Introdueere . . . . . . .1. MECANICA (Tr. 1. Cretu) ..

1.1. Probleme eu rezolvari1.2. Probleme eu indicatii ~i rezultate

- Rezolviiri ~i solutii -!~IZIC.A MOLECULAR.A $1 CALDURA (D. Angheleseu)

2.1. Probleme eu rezolviiri • • . . .2.2. Probleme eu indieatii ~i rezultate

- Rezolviiri ~i soIutii -3. ELECTRICITATE $1 MAGNETISM (Gh. Maearie) .

3.1. Probleme eu rezolviiri •.• . .3.2. Probleme eu indieatii ~i rezultate

,_ - Rezolvari ~i soIutii -iii--:J OPTICA (1. Viero~anu)

4.1. Probleme eu rezolviiri4.2. Probleme eu indieatii ~i rezultate

5. TABELE eu eonstante fizieeBibliografie • • • . . . . . • . . . . .

355

3158

128128138149169 -169186212267267273308312

v 1.1.1. Un om se afla la distanta d =50 m de un drum rectiliniu, pe care seapropie un automobil cu viteza VI =10m/s.

Se cere:~1. Directia pe care trebuie sa fuga omul, cu viteza V2 =3 mis, pentru a intilni

automobilul. Omul incepe sa fuga in momentul in care distanta dintre el ;;i auto:.mobil este b =200 m.

2. V'iteza minima cu care poate fugi omul pentru ca, in conditiile de la punctulprecedent, sa intilneasca automobilul.

3. Distanta parcursa de auto mobil, pina la intilnire, in cazul cind omul fugecu viteza minima.

4. Timpul cit fuge omul, cu viteza minima, pentru a intilni automobilul.

v 1.1.2. 0 minge de masa m=100 g este lansata, fara rotatie, pe verticala de Iasol cu viteza initiala Vo =40 m/s.

Se cere sa se determine:1. Inaltimea maxima la care ajunge mingea ;;i timpul necesar pentru a ajunge

la aceasta inaltime, precum ;;i energia potentiala la inaltimea hmax.2.1 naltimea maxima la care ajunge mingea dupa prima ciocnire cu solul, daca

sarind instantaneu pierde jumatate din energia pe care 0 poseda in momentul atin-gerii soIului. ,

3. Inaltimile maxi me succesive atinse de minge, daca mi;;carea continua dupa 1/fiecare ciocnire cu solul ca in conditiile de la punctul 2. I

4. Intervalul de timp dupa care mitlgea se va opri.Se considera g=10 m/s2

• ~

1.1.3. Un observator anat la inaltimea hI =60 ill, observa trecind prin fata sa uncorp care a fost aruncat de la pamint pe verticala in sus;;i dupa un interval detimp t1=8 s vede din nou corpul trecind prin fata sa, in coborire. Un alt obser-vator aflat la inaltimea 112 (112)111) observa acela~i obiect, insa durata intre celedoua aparitii este t2 =6 s. Se cere sa se calculeze: .

1. Diferenta de nivel intre cei doi observatori.2. Inaltimea maxima pina la care s-a ridicat corpul.3. Viteza Vo cu care corpul a fost lansat de la sol.4. Timpul t in care corpul a urcat inaltimea 111,

1.1.4. De la unul din malurile unui riu, de latime D =1000 m pleaca in acela~imoment doua barci identice, cu viteza V= 10 m/s, una din barci pleaca initial per-pendicular ;;i alta paralel ;;i in acela~i sens fata de directia de curgere a rlului. Vitezade curgere a riului este V =5 m/s. Amindoua barcile dupa ce parcurg p distanta(dus-intors) egala cu 2 D ajung din nou in punctul de plecare.

Se cere sa se determine:

1. Unghiul pe care trebuie sa-l faca directia de mi~care a barcii care traverseaza~iul fata de normala Ia riu, pentru ca aceasta sa se reintilneasca in punctul deplecare.

2. Care dintre barci va ajunge prima la punctul de plecare ~i la cit timpva sosi a doua barca.

3. Timpul dupa care ar fi ajuns in punctuI de plecare barca ce a plecat insensul de curgere a riului, daca initial ar fi mers in sens invers.

1.1.5. Doua corpuri sint aruncate vertical in sus, de Ia suprafata pamintului,('u vitezele VI ~i V2, la un interval de t' secunde.

Se cere sa se determine:1. Timpul dupa care se VOl'intilni cele doua corpun III aer.

~ 2. Intre ce limite poate varia t' pentru ca cele doua corpuri sa se mai poataintilni in aer.

1.1.6. Dintr-un avion ce zboara Ia inaltimea h =300 m, cu viteza Va =360 km/h,se lanseaza 0 bomba asupra unui tren ce se deplaseaza paralel cu directia de zbora avionului.

Se cere sa se calculeze :1. Timpul de cadere al bombei.2. Distanta strabatuta de bomba pe odzontala.3. Intervalul de timp avut la dispozitie de catre pilot pentru ca bomba sa

loveasca trenul aflat in repaus, ~i avind lungimea L=100 m.4. Intervalul de timp pentru ochire de catre pilot daea trenul se deplaseaza

'eU viteza v=120 km/h: a) in sensul mi~carii avionului, b) in sens invers. Se con-sidera g=lO m/s2•

1.1.7. Un corp de masa m = 1 kg este aruneat pe verticala de jos in sus eu vitezaVo = 19,6 m/s. Dupa ce a atins inaltimea maxima corpul cade libel' pe verticala inJOs 0 distanta de 10 m, iar apoi asupra lui actioneaza 0 forta F in sensul opusmi~carii. Se neglijeaza rezistenta aerului.

Se cere sa se calculeze:1. Viteza corpului in momentul aplicarii fortei F.2. Variatia vitezei cu timpul cit actioneaza forta F.3. Valoarea fortei F pentru ca dupa un timp t=2 s eit actioneaza forta, corpuI

sa se opreasca.4. Energia cinetica ~i energia potentiala a corpului in momentul in care asupra

lui incepe sa actioneze forta F.

1.1.8. Un punct material de masa m = 1,2 kg se deplaseaza rectiliniu, subactiunea unei forte F, dupa Iegea :

s=10 t2 - 5 t3+5 t4Se cere sa se stabileasea:1. Daca forta care pune in mi~care acest material are un maximum sau un

minimum.2. Valoarea fortei F in momentul de maxim sau minim. (Distanta s se ma-

soara in metri iar t in seeunde).

1.1.9. Un corp de masa m1=100g se arun:ca de jos in sus pe vertieala euviteza initiala Vo =40 m/s. In aeela~i moment de Ia inaltimea maxima la care poateajunge primul corp, cade libel' un al doilea corp de masa m2 =30 g. Cele douaocorpuri se ciocnesc neelastic ~i i~i continua mi~carea.

Sa se calculeze:1. Tinipul dupa care se intilnesc eele doua corpuri.2. Inaltimea deasupra pamintului la care se intilnese corpurile.

3. Valoarea ~i semnul vitezei v a celor doua corpuri imediat trlupa ciocnire.4. Timpul, socotit din momentul ciocnirii, dupa care cele doua' corpuri atins'

pamintul.5. Viteza cu care corpurile ating pamintuL

1.1.10. Se cunoa~te ca:Mobilul A 'pleaca din origine Cll viteza vA =2 m/s in sensul pozitiv. alaxei

Mobilul B pleaca in acela~i moment cu A de la 0 distanta de 30 m fatade origine eu 0 viteza de VB = 5 m/s in sensul negativ al axei QX. . .. .

Mobilul C pleaca dela distapta de 2 m fata de origine in sensul pozitival axei OX, cu viteza vc=10 mis, dupa 3 secunde de .la .pornirea mobilului A.

Se cere':1. Sa se scrie ecuatiile de mi~care ale mqbilelor A, B, ~i C, luind ca origine

a spatiului ~jtimpului, punctul ~i momentul pleclhii mobilului A. Mi$carile. celor.trei mobile se considera rectilinii ~i uniforme.

2.' Sa se determine pozitia punctelor de intilnire ~i rilomentele respective.3. Variatia distantei dintre mobilele B ~i C de la pornirea mobilului B pina

la intilnirea lui cu C.

1.1.11. La momentult=O un corp care are viteza initiala Vo incepe sa se depla-seze rectiliniu avind 0 mi~care uniform incetinita. Dupa ce corpulparcu'fge distanta11= 18' m viteza lui este VI =8 mis, iar dupa parcurgerea distantei 12='32 m vitezalui devine v2 = 6 m/s. e' ~

Se cere sa se calculeze :I. Viteza initial a ~i acceleratia ml~caru. -<;'4"J2. Spatiul strabatut de corp pina la oprire. ..•••.3. Spatiul pe care-l strabate corpul in ultima secunda de mi~care.

1.1.12. Mobilele A ~i B avind masele mA='1 kg ~i mB = 2 kg, aflate in acela~iloc in repaus pornesc simultan sub actiunea fortelor F A ~i respectiv F B' Forta FA = 1Nactioneaza timp de 30 secunde asupra corpului A iar forta FB=4 N actioneaza timpde 10 secunde asupra corpului B. Cele doua mobile se deplaseaza pe un plan ori-zontal fara frecare pina in momentul cind se reintilnesc. Din momentul reintil-nirii deplasarea se face tot pe plan ul orizontal, dar cu coeficien tul de frecare[J.=0,102, acela~i pentru ambele corpuri.

Se cere sa se calculeze:1. Distantele parcurse de cele doua corpuri pina in momentele:a) i1-IO s.b) i2=·30 s. .2. Distanta S ~i timpul i dupa care cele dona corpuri se reintilnesc.3. Distantele parcurse de cele doua corpuri dupa reintilnire ~i intervalele cIe

timp de la reintilnire pina la oprirea celor doua corpur:.4. Variatia in timp a distantei /::,S dintre cele, doua corpuri.

1.1.13. TreL trenuri A, B ~i C strabat aceea~i distanta orizOi .•.:ala MN=sin acela~i timp, in felul urmator : trenul A cu 0 mi~care uniforma cu viteza vo' trenulB cu 0 mi~care uniform accelerata cu acceleratia a, iar trenul C cu 0 mi~careuniform intirziata cu acceleratia de frinare tot a.

Se cere sa se 'arate ca:1. Viteza de plecare din M a trenului B este aceea~i cu viteza'de sosire iu N

a trenului C iar viteza de plecare din M a trenului C este egala cu vitez,a de so-••ire in N a trenului B.

2. Consumul de combustibil al locomotivei, considerat proportional cu lucrulmecanic efectuat de forta de tractiune a locomotivei, care este diferit pentru fiecaredin cele trei trenuri.

Greutatea fiedirui tren se considera G iar forta de frecare F este aceea~i ineazul celor trei mi~cari considerate.

1.1.14. Un ascensor de masa M=loo0 kg este partial echilibrat de 0 contra-greutate de masa M' =900 kg, eu ajutorul unui cablu ce trece peste un scripete fix.

Cind ascensorul este in repaus, la patter, i se aplica in timpul t1=2 s 0 fortaPI =1960 N indreptata in sus, pe urma un timp t2 i se aplica forta F2=1372Nindreptata tot in sus. Dupa aceasta ascensorul este lasat libel' un interval de timp ta•

Se cere sa se calculeze:1. Aceeleratia sistemului format din ascensor ~i contragreutate in timpul unei

I,lli~cari fara frecare.2. Duratele de timp f2 ~i fa pentru ca ascensorul sa se opreasca la nivelul unui

etaj situat la inaltimea h =9,8 m de parter.3. Valoarea fortei indicata in timpul fiecarei faze de urcare de catre dinamo-

metru, fixat de tavanul ascensorului, de care este agatata 0 greutate de masam=1 kg. .

Se neglijeaza frecarile precum ~i masa scripetelui.

1.1.15. 0 scindura de greutate G este fixata pe un perete, prin apasare, cu 0forta F care face un unghi <:I. cu orizontala. Coeficientul de frecare intre scindura;;i perete este fl. .

Se cere sa se calculeze intre ce limite poate sa varieze valoarea fortei F pentruca scindura sa ramina in echilibru pe perete.

1.1.16. Un carucior de masa m=10 kg este tras, in sus, pe un plan inclinat.Unghiul dintre plan ~i orizontala este variabiI. Coeficientul de frecare intre caru-cior ~i planul inclinat este fL=IIV~

Se cere sa se calculeze:1. Unghiul <:I.=<:1.1 dintre planul inclinat ~i orizontalii pentru care forta de trac-

tiune necesara in mi~carea uniforma este egala cu greutatea diruciorului.2. Unghiul (<:1.=<:1.2) pentru care forta de tractiune a caruciorului uniform pe

planul inclinat, este maxima.3. Valoarea fortei pentru unghiul <:1.=<:1.2'4.· RandamentuI planului inclinat pentru <:I.=<:1.1 ~i <:I.=<:1.2'

1.1.17. Un motor de putere constanta P =40 CP actioneaza un auJoIpobil demasa M =4000 kg, care se deplaseaza pe 0 strada orizontalii plecind din repaus.

Se cere sa se calculeze:1. Viteza automobilului dupa 30 de secunde de la plecare, dacii s· neglijeaza

frecarile.2. Dependenta vitezei automobilului de timp, in conditiile de la punctul 1,

aratindu-se daca mi~carea este uniform acceleratii sau nu.3. Viteza limita atinsa de automobil cind forta de frecare este 3% din gre-

titate.4. Timpul necesar frinarii ~iforta de frinare necesarii pentru ca automobilul sa se

opreasca, dupii ce a atins viteza limiUi, pe 0 distanta d =50 m. Pe aceastii distantamotorul se decupleaza.

1.1.18. Un automobil de masa m =2000 kg plecind din repaus atinl!e in timpulf1 =10 s 0 viteza VI =15 m/s.

Se cere sa se calculeze:1. Puterea' medie dezvoltata de motorul automobilului daca coeficientul de

frecare este fL =0,05.2. Puterea maxima a motorului daca viteza maxima pe care 0 poate dezvolta

automobilul pe aceea~i ~osea este Dm =40 m/s.3. Valoarea fottei de tractiune ~i acceleratia automobilului in momentul cind

viteza Iui este D2 =20 m/s (Se considera P =Pma,;).4. Variatia acceleratiei automobilului in functie de viteza considerind puterea

motorului constanta ~i egala cu valoarea obtinuta la punctul 2.

1.1.19. De Ia baza unui plan inclinat, care face unghiul 0; =450 cu orizontalase comunica unui corp de masa m 0 viteza Do = 10 ms-1 orientata in sus de-a Iungulplanului. Coeficientul de frecare dintre corp ~i planul inclinat este fL=0,2.

Se cere sa se calculeze:1. Inaltimea fata de orizontala pe care 0 poate atinge corpuI.2. Viteza corpllIui cind va reveni Ia baza planului inclinat.3. Daca se presupune ca dupa 0 secunda de Ia comunicarea vitezei Do corpul

ciocne~te elastic un alt corp de aceea~i masa, se cere distanta parcursa pe planulinclinat de al doilea corp.

1.1.20. Doua corpuri de mase m1= 1 kg ~i m2 =2 kg sint legate intre ele printr-unfir inextensibil, de masa neglijabila, care este trecut peste un scripete fix aflat in vir-ful unui dublu plan inclinat. Fetele dublului plan inclinat (fig. 1.1) fac cu orizontalaunghiurile Cl =450 ~i ~=300 iar coeficientul de fre-care de alunecare a corpurilor pe ambele fete estefL =0, 1. Se neglijeaza frecarea Ia axul de rota tiea scripetelui precum ~i masa scripetelui. Se ceresa se calculeze:

1. Acceleratia mi~carii sistemului format dincele doua corpuri.

2. Tensiunea in firul de Iegatura.3. TimpuI in care cele doua corpuri ajun!!

Ia baza planului in cazuI dnd firul de Iegaturas-ar rupe Ia momentul t =0 dnd corpurile se afla Flg'. 1.1Ia aceea~iinaltime h =5 m, in repaus, fata debaza planului. 8;. .

1.1.21. Un corp de masa M =50 kg esteridicat de Ia marginea inferioara A, a unui planinclinat (fig. 1.2), de Iung-ime1=50 m ~i inaltimeh =25 m pina Ia marginea superioara B a planului.Ridicarea se efectueaza cu ajutorul unui cabluinextensibil de greutate neglijabila. Cind corpulse afla in repaus in punctul B se taie cabluI ~i C 1111'11/

corpul coboara uniform accelerat pina in punc- Fig. 1.2tul A de unde continua sa se deplaseze uniformincetinit pina in punctul C. Pe planul inclinat ~i pe planul orizontal coeficientul defrecare este fL=0,2. Acceleratia gravitationala se considera g = 10 m/s2•

Se cere sa se calculeze:1. Forta de tractiune pentru ridicarea corpului intr-o mi~care uniforma pe planuI,

inclinat. .2. LucruI mecaniC efectuat pentru ridicarea corpului din punctul A in punctul

B(in conditiile mi~carii uniforme).l;: 3. Randamentul planului inclinat.

4. Acceleraiia corpuIui in diderea pe pIanuI incIinat ~i viteza cu care ajungein pl,lnctul A.

5. AcceIeratia pe pianuI orizontaI ~i spatiuI AC strabatut pe acest plan.

1.1.22. Un bloc de piatra de masa ill =200 kg este ridicat la inaltimea h =8 mfolosind un plan inclinat ~i un sistem de scripeti (figura 1.3). PlanuI incIinat face un-

ghiul oc=30° cu orizontaIa iar coeficientuI defrecare de aIunecare a bIocuIui de piatra pe pla-nul inclinat este 1-"1=0,3.

Se cere sa se caIcuIeze:1. Forta cu care trebuie tras Ia capatul C

pentru a efectua ridicarea blocului de piatraintr-o mi~care uniforma.

2. VaIoarea masei M ce ar putea echilibrasistemuI in cazuI dnd fJ-=fJ-1 ~i dud fJ-==0.

3. Considerind ca in momentuI cind bIocuide piatra se afla Ia inaItimea h se rupe cablulde Iegatura ; se cere timpuI dupa care ajunge

biocuI de piatra Ia baza planului ~i timpuI dupa care se opre~te pe pianuI orizontaI.CoeficientuI de frecare pe portiunea orizontaIa este fJ-2=0,7.

1.1.23. Un tren de masa ill1 = 1000 tone se depIaseaza orizontaI cu 0 vitezav =72 km/h. La un moment dat uItimeIe vagoane de masa ill2 =200 tone se desprindde tren. Mecanicul, observind dupa un timp oarecare schimbarea survenita in com-portarea trenuIui, opre~te motorul Iocomotivei.

Puterea motoruIui este P=1600 kW. Din momentuI opririi motoruIui locomotivei,trenul a mai parcurs un spatiu [3=3000 m.

AcceIeratia gravitationaIa se considera g=lO m/s2•

Se cere sa se calculeze:1. CoeficientuI de frecare dintre roWe trenuIui ~i ~ine.2. Viteza trenuIui in momentuI opririimotoruIui.3. Distanta dintre tren ~i vagoanele desprinse dupa oprire atlt a trenu!ui cit ~i

3. vagoanelor.1.1.24. Un corp A de masa ill1 =0,8 kg se afla pe un plan inclinat (fig. 1.4.) pe care

poate aIuneca cu frecare (fJ-1=0,2). CorpuI A este fixat la unul din extremitatile unui!fir trecut peste un scripete, la ceaIalta extremitate fiind atirnat un corp B de masam2 =0,4 k§!. Se neglijeaza frecarile intre fir ~i scripete.

Se cere sa se caIcuIeze:1. UnghiuI OC1 pentru care maseIe sint in

echilibru, cind se neglijeaza frecarea.2. Unghiul OC2 pentru care corpuI A coboara

uniform pe plan uI incIinat (fJ-= fJ-1=0,2).3. UnghiuI (;(3' pentru care corpuI A urea

pe plan cu acceleratia a=0,98 m/s2 (fJ-=fJ-1)'4. Rupindu-se firuI ce Ieaga ceIe dOl;la mase,

corpuI A aluneca din repaus, pe pIanuI inclinat~i i~i continua drumul pe pIanul orizontaI. Sccere coeficientuI de frecare fJ-2pe pIanuIorizontai

daca spatiul parcurs pe orizontala este egaI cu spatiul parcurs pc planul inclinat.In acest caz plan ul inclinat face cu orizontala unghiul (;(4 =300

•

1.1.25. Un corp mobi! de masa ill1 love~te un corp cu masa ill2, aflat in repaus.Presupunind ca ciocnirea este frontaIa se cere sa se caIcuIeze :

1. Energia cinetica Eiz a celui de-al doilea corp dupa ciocnire, in ipoteza ca cioc-Jlirea este elastica ~i :

a) ml =m2, b) ml =9 m2•

Energia cinetica a primului corp inainte de ciocnire este El.

2. Raportul maselor ml/m2 pentru ea raportul vitezelor V 21VIsa fie egal Cll

5/3 (V2 este viteza eorpului al doilea dupa eiocnire ~i VI viteza primului corp inaintede ciocnire).

3. Energia cinetica transformata in caldura daca ciocnirea este inelastica, pentrucazurile dnd ml =m2 ~i ml =9 m2•

1.1.26. Un fir de lungime 1=4 m fixat intr-un punet 0 ~i de capatul diruia atirnao bila de mas a m = 10 kgeste indepartat cu un unghi (;(0 de la pozitia verticaUi ~i apoilasat liber. '

Se cere sa se caleu] eze :1. Tensiunea din fir in functie de unghiul (;( dintre fir ~i verticala. •2. Unghiul (;(0 pe care·trebuie sa-l faca firul in dreapta verticalei pentru ca ener-

gia einetica maxima a bilei in timpul oscilatiilor sa fie E =200 J.3. Elongatia (unghiul) maxima in stinga verticalei, daca se plaseaza in 0' situ at

sub 0, un cui care imobilizeaza 2 m din fir in momentul cind pendulul traverseazaverticala in conditiile de la punctul 2.

1.1.27. Peste un scripete fix este trecut un fir, care are legate la capete maseleml = 100 g ~i respectiv m2 =200 g. Masa m2 este ridicata pina la inaltimea h2 =0,5 m,astfel ca ml sa a tinga soluI. N eglij ind fredirile ~i greuta tile firului ~i scripetelui, secere 'sa se calculeze;

1. Aceeleratia sistemului.2. Timpul dupa eare eele doua mase se afla la aceea~i inaltime.3. Inal~imea la care se ridica mas a ml dupa ce mas a m2 a atins soluI.

"1.1.28. De la un tren de masa M =250 t, care se deplaseaza orizontal cu 0viteza constanta, se desprinde la un moment dat ultimul vagon de mas a m =10 t.Dupa desprindere, vagonul mai parcurge drumul [=200 m ~i se opre$te. Forta detractiune a locomotivei este considerata tot timpul aceea~i, iar coeficientul de frecareare valoarea fl =0,1.

Se cere sa· se calculeze:1. Viteza trenului inainte de ruperea vagonului.2. Forta de tractiune a locomotivei.3. Distanta dintre tren ~i vagon in momentul opririi vagonului.1.1.29. 0 sfera de masa m1 = 1 kg, aluneca cu frecare pe un plan incIinat cu unghiul

(;(=30° fata de orizontala. Lungimea planului este 51=4 m iar coeficientul de frecarea sferei pe plan este fl =0,2. . ,

Sferapleaca din punctul de inaltime maxima a planului incIinat ~i i~i continuami~carea pe un plan orizontaI. Viteza initiala pe planul orizontal este egala cu viteza

. obtinuta la baza planului incIinat iar coeficientul de frecare pe planul orizontal estefll =0,1. Dupa ce parcurge 0 distanta 52 =8 m pe planul orizontal, sfera ciocnei;)te 0

alta sfera de masa m2=4 kg, care se drplaseaza cu viteza de 12 mis, in sens con-trar sensu.lui dr mi~eare al primei sfere. Ciocnirea se considera plastid ~i instantanee.'Ansamblul celor doua sfere i~j continua mi~earea spre baza planului incIinat, urdndpina la 0 inaltime h.

Se cere sa se calculeze:1. Viteza sferei de masa mIla baza planului incIinat.2. Viteza celor doua sfere dupa cioenire.3. Energia de deformare a sferelor prin ciocnire.4. InaItimea h pe verticala, pina la care se va urea ansamblul celor doua corpurL

1.1.30. Din punctul de inaltimemaxima (fig. 1.5) a unui plan inclinat ABcu inaltimea h =3 m se da drumul unuicorp de masa mI =2 kg, care aluneca peplan cu frecare. Unghiul dintre planul incli-nat ~i orizontala este a=30° iar coeficien-tul de frecare este fJ. =0,1. Dupa parcur-gerea portiunii AB pe planul inclinatcorpul continua sa se deplaseze pe portiu-nea orizontala BC, fara frecare. In punctul

C se gase~te un corp de masa m2 =3 kg suspendat de un fir de lungime I' =2 m.Ciocnirea dintre cele doua corpuri se considera neelastica.

Se cere sa se calculeze:1. Unghiul maxim pe care-l face firul, de care este atirnat corpul de masa

m2, cu verticala.2. Tensiunea maxima care ia na~tere in fir, in timpul oscilatiei.3. Energia de deformare a corpurilor prin ciocnire.

1.1.31. De capetele unei sfori ce trece peste Ull scripete fixat la parteasuperioara a unui plan inclinat sint legate doua corpuri. Unul, de masa mI =800 galuneca pe planul inclinat, iar eel de al doiIea, de masa m2 =200 g, atirna vertical.In momentul initial, cind sistemul este mentinut in repaus, se aplica masei m2o viteza initiala VI=15 m/s vertical de sus in jos. Inclinatia planului fata de verticalaeste a =300 iar coeficientul de frecare dintre corpul de masa mI ~i plan fJ. =0,2.

Se cere sa se calculeze:1. Acceleratia GI a·sistemului de doua corpuri.2. Timpul/I socotit de la momentul initial pina in momentul in care viteza

sistemului este zero.3. Spatiul S parcurs de masa mI in timpul tl•4. Dupa timI>Ul t1' masa mI incepe sa coboare pe planul incIinat.

Se cere acceleratia G2 a acestei mi~cari.5. Energia cinetica a celor doua corpuri in momentul t2 =tI +20 s.(Se considera g = 10 m/s2).

1.1.32. La momentul t=o se produce explozia unui corp care se afla in repauspe un plan orizontal, rezultind doua fragmente A ~i B de masa mI respectiv m2•

Energia rezultata din explozie se presupune ca se transforma integral in energiecinetica a celor doua fragmente.

Fragmentul A se mi~ca cu frecare, coeficientul de frecare fiind fJ., pe un planorizontal cu viteza initiala VI' capatata in urma exploziei, iar dupa parcurgereadistantei SI love;;te capatul libel' al unci bare de cauciuc de lungime l ~i sectiunes. Bara este paralela cu distanta de deplasare a fragmentului, iar capatul opus albarei este fix. In urma lovirii bara se scurteaza cu !J..l metri.

Fragmentul B cu viteza initiala V2, primita in urma exploziei, urca imediatdupa explozie pe un plan incIinat, dispus in continua rea planului orizontal. Mi~-carea, pe planul incIinat, se face cu frecare, coeficientul de frecare fiind fJ..

Se cere sa se calculeze:1. Vitezele celor doua corpuri in momentul imediat dupa explozie.2. Energia E rezultata din explozie.3. Coeficientul de elasticitate k al barei.4. Distanta 52 parcursa de fragmentul B pina la oprirea lui.Marimile mI, m2, fJ., 51' !J..l, l, s ;;iE (modulul de elasticitate al barei) se considera

cunoscute.

Se noteaza cu v; - viteza fragmentului A in momentul lovirii barei.

1.1.33. Un corp de masa m=l kg aluneca in timp de 2 s pe un plan inclinatde lungime I =4 m, pornind din repaus din punctul de inaltime maxima al planului.Unghiul dintre planul inclinat ~i orizontala este 0:=30°.

Se cere sa se calculeze:1. Coeficientul de freeare dintre corp ~i planul inclinat.2. Forta cu care trebuie apasat corpul, normal pe planul inclinat, pentru ca

el sa nu mai alunece.3. Lucrul mecanic efectuat impotriva fortei de frecare, in timpul coboririi

corpului pe planul inclinat.4. Randamentul planului inclinat.*' 1. 1.34. Dintr-o fintina de adincime h = 12 m se scoate apa cu ajutorul unui

cablu cilindric de diametru d =1 em ~i a unei galeti de volum V =10-2m3• Cablulare masa m=l kg pe fiecare metru, iar greutatea galetii goale este G=20 N.: Fusulpe care se infa~oara cablul are diametrul D1 ~ 16 em. Pe acela~i ax cu fusul se aflao roata de diametru D2 =1,6 m cu ajutorul caruia se invirte~te fusul.

Se cere sa se calculeze:1. Luerul mecanic L necesar pentru a ridica galeata plina cu apa ,la inaltimea h.2. Forta tangentiala F1 ce trebuie aplicata tangential rotii de diametrul D2

pentru a echilibra greutatea unei galeti pline, aflata la inaItimea hI =6 m de nivelul apei.'3. Forta F2 ce trebuie aplicata pentru a echilibra galeata goala la niveluI h

fata de apa.4. Timpul in care un om ridica galeata plina cu apa, daca omul dezvolta 0

putere de P=37,7 W, iar 250/0 din Iucrul mecanic se pierde prin frecari.Densitatea apei se ia p=1000 kg·m-3•

1.1.35. Locomotiva unui tren cu masa totala m =120 I are 0 forta de tractiuneconstanta Ft=141 600 N. Trenul urea pe 0 panta de 5% iar coeficientul de frecareglobal aI trenului cu ~in.ele este !J. =0,05. Trenul porne~te din repaus. Dupa uninterval de timp 1=12 s',de Ia pornirea locomotivei pleaca din dreptul garii unauto mobil C1l viteza constanta v=7 mIs, care merge pe 0 ~ose~paralela cu caleaferata.

Se cere sa se calculeze :1. Acceleratia "a" a trcDului.2. Viteza medie a trenului in intervalul de timp de la 10=0 pina !a momentul'1=1 min.3. Energia cinetica Ee ~i energia potentiala Ep la momentuI 12,;:,2 min.4. Momentele in care distanta dintre Iocomotiva ~i automobil este d=16 m.Se face abstractie de distanta dintre caIea ferata ~i ~osea, iar departarea d se'

masoara pe 0 axa paralela cu ambele drumuri.

1.1.36. Pe un plan inclinat de lungime I= 12 m, ce face unghiul IX =30° cuorizontala, se afla doua corpuri: corpul 1 cu masa m1=7 kg ~i corpul 2 cu masam2=5 kg.

Coeficientul de frecare dintre corpul 1 ~i planul inclinat este !J.l =0,4 iar dintrecorpu! 2 ~i plan este /1-2 =0,6. La momentul initial cele doua corpuri se afla in re-paus: corpul 1 in virful planului iar corpul 2 la 0 distanta de 5 m departare deprimul. In acest moment corpurile sint lasate libere. Se cere sa se calculeze.

1. Acceleratiile a1 1?ia2 ale celor doua corpuri la coborirea pe planul inclinat ..2. Distanta S (masurata din virful planului), momentul II ~i vitezele VI :;;iv2

ale celor doua corpuri in momentul cind se ciocnesc.3. Viteza initiala V03 a corpului 3 format din contopirea corpurilor 1 :;;i2 in

urma ciocnirii lor plastice.

4. Acceleratia a3 a corpului 3 (se considera 0 contopire prin alaturare, coefi-cientul de frecare dintre fiecare corp ~i planul inclinat raminind cum s-a indicatmai sus).

5. Momentul i3 cind corpul 3 ajunge la baza planului (momentul i3 se masoarade la momentul to cind corpul 1 este Hisat liber).

1.1.37. Un corp de greutate G = 103 Neste tras pc un plan orizontal de douaforte concurente F1 ~i F2 situate intr-un plan orizontal ce cuprinde ~i centrul degreutate al corpului. Fortele F1 ~i F2 fac un unghi de 90° intre ele. Sub actiuneaacestor forte r;;i a fortei de frecare, corpul se deplaseaza intr-o mi~care uniformaccelerata fara viteza iUitiaHi cu acceleratia a =2 m/s2• Dupa un timp i1 =20 sfortele inceteaza actiunea ~i corpul i~i continua mi~carea pina la oprire.

Se ~tie ca valoarea fortei F1 este 300 N, acceleratia gravitationala se considerag=lO m/s2 iar coeficientul de frecare intre corp ~i planul orizontal este fL=0,2.Se cere sa se calculeze :

1. Forta de tractiune.2. Forta F2• '

3. Spatiul total parcurs de corp.4. Timpul cit dureaza intreaga mi~care.1.1.38. Un corp de mas a m, dupa 0 didere lib era de 320 m (fara frecare ell

aerul) i~i continua mi~carea pc 0 distanta SI =40 m pc un plan inclinat, ce faceunghiul or;=30° cu orizontala. Coeficientul de frecare dintre un corp ~i acest planinclinat este fL =0,2. De la marginea inferioara a planului inclinat corpul se de-plaseaza pc distanta S2 = 1000 m pc un plan orizontal. intre planul orizontal ~icorp coeficientul de frecare este tot fL. Dupa parcurgerea spatiului S2 eorpul urea farafrecare pc un plan inclinat cu unghiul ~=45° fata de orizontala. Viteza cu care eorpulincepe Sa se deplaseze pc primul plan inclinat se considera egala cu viteza corpuluidupa ce a pareurs inaltimea de 320 m in eaderea libera.

Se cere sa se caleuleze :1. Timpul de eadere libera to'2. Aeceleratiile up U2 ~i a3 pe primul plan inclinat, pe planul orizontal ~i pe

al doilea plan inelinat.3. tnaltimea H pina la care se ridica corpul pe al doilea plan inclinat.4. Ecuatiile spatiului ~i vitezei in cele patru etape ale mi~carii.

1.1.39. Doua greutati de mase egale (M =100 g) sint suspendate la extremitatilefirului unei ma~ini Atwood. Deasupra greutatii A plasata in fata diviziunii zeroa riglei gradate se pune la momentul i =0 un corp de masa m1= 10 g. La momentult =0 se pune in mi~care sistemul mobil al ma~inii, eu viteza initiala Vo =20 em/sin sensul eoboririi greuta tii A.

Dupa ce parcurge un spatiu h =1 m, greutatea B trece printr-un inel ~i se ri-die a cu mas a aditionala m2 =30 g.

Se cere sa se calculeze:1. Viteia corpului A in momentul cind se adauga mas a m2 ~i timpul dupa

care se adauga aceasta masa.2. Timpul necesar ~i spatiul parcurs pina la oprire.3. Timpul dupa care sistemul trece din nou prin pozitia de plecare.4. Tensiunea in fir incazul punetului 1.

1.1.40. 0 sfera mica de mas a m = 100 g aluneca pe 0 panta de lungime1=20 m, cu coefieientul de frecare fLl =0,2. in momentul initial sfera se afla la inalti-mea h=10 m fata de orizontala,in,punctul de inaltime maxima a planului, $i apoieste Hisata sa cada fara viteza initiala.

Se cere sa se calculeze:1. Timpul de deplasare a sferei pe panta.2. Spatiul parcurs de sfera in continuare pe planul orizontal (coeficientul de

frecare pe planul orizontal este fL2 =0,5).3. Unghiul a al planului inclinat fata de orizontala pe care sfera, fara fre~are,

ar ramine in echilibru, fiind echilibrata .de forta ce a actionat asupra ei in cazulpunctului 1.

4. Presupunind ca sfera se spnJIlla pe planul inclinat fiind legata de un firce face unghiul ~=45° cu verticala se cere reactia N a planului inclinat ~i tensiuneain fir.

1.1.41. Doua forte de marime egala cu V2N, avind directii perpendiculareintr-un plan orizontal actioneaza asupra unui corp cu masa m =2,5 kg legat printr-unfir de lungime l=1,5 m ~i sectiunes=l mm2, de un perete fix. La momentul t=Ose taie firul, corpul deplasindu-se orizontal sub actiunea rezultantei fortelor pinala momentul tl, dnd actiunea fortelor inceteaza, iar corpul incepe sa urce un planinclinat.

Se cere sa se calculeze:1. Rezultanta fortelor.2. Modulul de elasticitate al firului ~tiind ca alungirea sa sub actiunea rezul-

tantei fortelor este ~l=1,5·1O-3mm.3. Acceleratia imprimata corpului imediat dupa taierea findui.4. Timpul tl la care se -intrerupe actiunea fortelor, ~tiind ca energia cinetica

a corpuhfi la acest moment este Ek=180 J.5. Inaltimea h la care corpul urca pe plan ~i distanta s parcursa pe plan,

daca unghiul de inclinare al acestuia fata de orizontala este a =30°. Se neglijeazairecarHe.

Acceleratia gravitationala se va lua g=10m/s2•

1.1.42. 0 macara al carui scripete se afla la inaltimea ho =36 m de sol, ridicao piesa de la sol pina la inaltimea h, ceea ce necesita un lucru mecanic £=58,8 kJ.Acest lucru mecanic este produs de 0 ma~ina termica functionind cu 0 sursa calda~lVind temperatura tl =207°C ~i 0 sursa rece cu temperatura t2 =87°C. Dupa oprirela inaltimea h piesa efectueaza mici oscilatii de perioada T =8 s.

Se cere: _1. Inaltimea h 13 ina la care a fost ridicata piesa, considerind cii g =9,8 m/s2•

2. Forta de intindere a cablului in timpul ridicarii piesei, daca mi~carea deridicare a fost uniform acceletata ~i s-a efectuat intr-un timp t =4s.

3. De la ini'iltimea 11, piesa cade libel' intr-un bazin avind adincim 'a s =9 m.eu ce viteza atinge fundul bazinului daca densitatea piesei este de trei ori mai marededt a apei bazinului.

4. Caldura Ql preluata de la sursa calda ~i caldura Q2 cedata sursei reci dacarandamentul ma~inii termice este jumatate din randamentul unei ma~ini termiceideale care ar functiona dupa un ciclu Carnot intre temperaturile tl ~i t2•

5. Puterea maxima dezvoltata de motorul macaralei in timpul ridicarii pieseL1.1.43. Un corp aflat la inaltimea H fata de sol parcurge in cadere libera,

fara frecare cu aerul, 0 distanta hI dupa care ajunge pe un plan inclinat pe carei~i continua mi~carea spre baza acestuia.

Viteza initiala pe planul inclinat este egala cu viteza cu care ajunge corpulpe acest plan.

Dupa parcurgerea planului inclinat corpul i~i continua mi~carea pe un planmizontal pe care se deplaseaza pina la oprire, pe distanta s = 114,8 m.

Mi~carea pe planul inelinat ~i pe planul orizontal se face eu frecare, eoeficientulde frecare fiind fJ. =0,4.

Dupa oprirea eorpului pe planul orizontal se produce 0 explozie care scindeaziicorpul in doua parti avind masele mi ~i m2 aflate in raportul mJm2 = 1/2. Dato-rita exploziei eele doua parti se deplaseazii eu frecare, pe planul orizontal in sensuricontrare. Se presupune eii energia degajata in explozie, egaHi eu E =86400 J,se regase~te numai ea energie einetiea a eelor douii parti all' corpului.

Se cere:1. Distanta h ~i durata to a eaderii libere.2. Viteza v eu care eorpul ajunge la baza planului inelinat.3. Ina1timea H.4. Vitezele VI ~i V2 obtinute de fragmente in momentul exploziei.5. Cum variaza distanta ~s dintre eele doua fragmente in raport cu timpuI.Se dau:- unghiul de inclinare al planului 0.:=30°,- masa corpului m =600 kg,- viteza eu care corpul atinge planul inclinat Vo =29,4 m/s.

*1.1.44. Un corp P (fig. 1.6) de dimensiuni neglijabile ~i masii m =2 kg este suspen-dat de un fir de masa neglijabila avind lungimea Z =40 em. Sistemului i se imprimao mi~care de rotatie uniforma, astfel incit eorpul P sa deserie 0 traiedorie eireularain plan orizontal eu 0 viteza unghiulara U) =7 rad/s.

- eonsiderind firul inextensibil se cere:1. Unghiul <X dintre fir ~i verticalii in timpul mi~earii de rotatie.2! Momentul einetic al eorpului P in mi~eare de rotatie in jurul axei 00'.

3. Luerul meeanie neeesar pentru a aduee eorpuJP din stare a de repaus in starea de _mi~care eonsiderat~anterior.

- Considerind firul extensibil ~i avind seetiunea5=1 mm2 se cere:

4. Modulul de elasticitate al materialului firului daeiiin repaus sub efeetul greutiitii eorpului P, alungireafirului este

--t- .....J/,#!' •••••

'j "- - - --:0 /)\.•••••••, I ,.'"

....__ •....- 1.1.45. Un corp de masa m=2 kg pOfRe~te din A-w-- in jos pe un plan inelinat (fig. 1.7) eu unghiul 0.:, eu 0

Fig. 1.6 viteza initiala Vo' l\'1i~carea are loe fara frecare pe porti-unea AB a planului inclinat ~i continua eu frecare ([1.=0,102) pe un plan orizontalpe distanta BC. In punetul C corpul patrunde intr-un medin rezistent ~i se opre~tedupa ee a strabatut distanta CD.

Cunoscind:

5. Alungirea tiZ' a firuluirotatie a corpului P.

8Fig, 1.7

viteza ini~iala Vo =V57 mis,distanta AB, a=20 m.,distanta BC, b=50 m.distanta CD, e =2,722 m,unghiul 0.: =30°,

Se cere:1. Viteza VB cu care corpul ajunge in B.2. Timpul , in care este parcursa distanta BC.3. Porta F ce actioneaza pe distanta CD.4. Sa se anaIizeze cazul in care viteza initiala Vo in punctul A ar fi fost ori-

entata in sens invers pe planul inclinat.

1.1.46. Un tren avind masa totala m =600 tone porne~te din repaus ~i are 0 mi~-care uniform accelerata.

Dupa timpul t1 =2 minute, trenul atinge viteza V1=54 kmjh.Se cere:1. Acceleratia de mi~care a trenului.2. Tinind seama de forta de frecare dintre ~ine ~i rotile trenului, valoarea coefi-

cientului de frecare fiind !-L =0,01, sa se determine forta de tractiune a trenuluiin mi~carea accelerata.

3. Distanta parcursa de tren in primele doua minute.4. Puterea dezvoltata de locomotiva la momentul '1'5. ~tiind ca dupa t2=4 minute de la pornire, motorul locomotivei nu mai

actioneaza, sa se determine distanta ~i timpul dupa care trenul se va opri datoritafrecarii.

Acceleratia gravitationaUi se va lua g=10 m.js2.

1.1.47. Un pendul matematic este alcatuit dintr-un fir de otel avind lungimea10== 1 m la temperatura OCC§i dintr-o bila metalica de masa m= 1 kg. In pozitiainitiala, firul face un unghi CPo =1t/4 radiani cu verticala. Se cere:

1. Viteza tangentiala Vo ce trebuie imprimata bilei, astfel incit amplitudineaunghiulara a oscilatiei sa fie CPmax=1tj3 rad.

2. Sa se calculeze fortele de intindere a firului in pozitiile in care firul facecu verticala ungiurile CP1=CPmax §i respectiv CP2=0, pendulul fiind in regim de oscilatie.

"I / 3. Care este coeficientul de dilatare Iiniara a firului ~tiind ca perioada oscilatiilormici ale pendulului la temperatura de 100cC este cu 0,055% mai mare dedt la tem-peratura de OCC.

4. Presupunind ca firul este extensibiI, ce masa m' ar trebui sa aiba bila, pentruca sub actiunea greutatii ei, pendulul in repaus in pozitia verticala, deformarea elas-tica a firului la temperatura de OCCsa fie egala cu dilatatia Iiniara a firului incalzitpina la temperatura de 100cC. Sectiunea firului de otel este 1 mm2•

Se da:- modulul de elastic it ate al otelului E=2,15·1011 Njm2•

1.1.48. Un autocamion care se deplaseaza rectiliniu uniform cu viteza v1=4,95mjs.trece la momentul '1=0 prin punctul A.Din acest punct, la momentul t2 =2 secunde, pleaca din repaus, cu acceleratia con-stanta a, un tramvai care ajunge din urma autocamionul intr-un punct B. Inmomentul , al intlInirii in punctul B, viteza tramvaiului este v2 =10 mjs.

Se cere sa se calculeze :1. Intervalul de timp in care autocamionul strabate distanta s=AB.2. Distanta s.3. Acceleratia tramvaiului.4. Considerind ca incep ind din punctul B tramvaiul este frinat cu aceeleratia

a/ oprindu-se in punctul C, sa se dE'termine acceleratia a' §i timpul t' in care tram-vaiul parcurge distanta BC =s/ = 12,5 m.

5. Sa se determinE' coeficientul de frecare de alunecare !-L intre rotile tramva-iului §i ~ine, distanta BC fiind orizontala.

1.1.49. Pe un plan inclinat, care face unghiul ()(=30° cu orizontala, se gase~te'un corp cu masa m =0,5 kg la 0 distanta 81 =32 m de la margine a inferioara a planu-'lui. Plecind din repaus, corpul aluneca pe pIanul inclinat cu frecare. Ajuns Ia baza.acestuia corpul i~i continua mi~carea pe un plan orizontal ; alunecind cu frecare pe-0 distanta 82=39 m, dupa care love~te capatul liber al unei bare de cauciuc a carei;axa este situaUi pe directia de deplasare a corpului ; celalalt capat aI barei este fix.

Se cunosc:Lungimea barei de cauciuc l =0,50 m.Sectiunea barei de cauciuc 8=2 cm2•

Coeficientul de frecare aI corpului cu planul inclinat fl.l =0,106.Coeficientul de frecare al corpului cu planul orizontaI fl.2 =0,204.Modulul de elasticitate aI cauciucului E =4 .106 N/m2

Se cere sa se ca1culeze:1. Acceleratiile a1 ~i a2 pe care Ie are corpul pe planul inclinat, respectiv pe pla-

\fiul orizontal.2. Viteza VI cu care corpul ajunge la baza planului inclinat ~i viteza v2 dupa par-

iCurgerea spatiului orizontal 82,

3. Timpul t1 ~i t2 de mi~care pe planul inclinat, respectiv pe planuI orizontal.4. Scurtarea t1l a barei de cauciuc datorita lovirii acesteia de catre corp, consi-

,derind ca deformatia barei se face dupa legea lui Hooke.

1.1.50. 0 locomotiva avind viteza constanta V trece la momentul to =0 prin,punctul A, al unei cai ferate care descrie un arc de cerc AB=60°. Pe 0 ~osea rectilinie,porne~te sub calea ferata din punctul A la momentul to =0 un automobil care efec-rtueaza 0 mi~care uniform accelerata de-a lungul coardei AB, ajungind in punctuI Bla momentul t =3 min 20 s.

Se cere sa se calculeze:1. Distanta AB parcursa de automobil, acceleratia sa fiind a =0,03 m/s2•

2. Viteza automobilului in punctul B.3. Viteza v a locomotivei ~tiind ca masa ei este de 60 tone, iar forta centrifuga

,-exercitata in centrul de greutate este F =40 000 N.4. Energia cinetica a locomotivei.5. Cu cite minute sose~te locomotiva in B inaintea automobilului.

1.1.51. Un pendul de lungime l =50 cm este montat pe platforma unui vagon,u.e cale ferata, care se mi~ca uniform cu viteza Vo =80 km/h. Prin frinarea vagonului,;acesta are 0 mi~care uniform intirziata. In cursul frinarii penduluI face cu verticala,unghiul ()(=30°.

Sa se calculeze:1. Acceleratia de fdnare a vagonului.2. Distanta pe care 0 parcurge vagonul pina la oprire socotita de Ia momentul

,dnd se aplica frina.3. La oprire penduluI incepe sa oscileze. Se cere energia cinetica maxima in mi~-

~area de oscilatie, ~tiind ca masa pendulului este m =3 .10-2 kg.4. Care este perioada de oscilatie a pendulului, considerind oscilatiile izocrone.

1.1.52. Pe 0 cale rectilinie ~i orizontala, un vagon de tramvai cu masa M=10tone porne~te din repaus sub actiunea unei forte constante F =5000 N care actio-'neaza pe distanta 81 = 100 m. CoeficientuI de frecare global se considera fl. =0,02.

Se cere sa se calculeze:1. Viteza VI a vagonului dupa parcurgerea distantei 81,

2. Energia cinetica E1 a vehiculului in momentul in care a atins viteza vI'

3. Distanta 82 parcursa de vagon din momentul incetarii actiunii fortei F pina-ee viteza vagonului atinge valoarea v2 =2 m/s.

4. Energia E2 consumata prin frecari de-a lungul drumului parcurs S=SI +S2'

5. Puterea motorului P de actionare corespunzatoare vitezei maxime a vehicu-lului.

Se considera acceleratia gravitationala g=10 m/s2•

1.1.53. Dintr-un punct A se lasa sa cada dupa verticala, fara viteza initiala, uncorp de masa M 1 =2 kg. Dupa 2 secunde se arunca dupa el un alt corp cu masa M 2 ==4 kg ~i cu viteza initiala V02 =24,5 mis, pe aceea~i verticala.

Se cere sa se calculeze:1. Timpul dupa care corpul M2 ajunge din urma pe primul.2. Spatiul parcurs p ina la punctul de intilnire.3. Vitezele celor doua corpuri inainte ~i dupa ciocnire, considerind ciocnirea

perfect elastica.4. Masa unei bucati de gheata care sa se topeasca complet, fara varia tie de tem-

peratura, admitind ca cele doua corpuri in momentul dnd se intilnesc, cad peaceasta bucata de gheata. Intreaga energie obtinuta prin oprirea celor doua corpurieste preluata de gheata.

1.1.54. Un fir trecut peste un scripete fix are atirnata la un capat 0 masa mi ==200 g, iar la celalalt capat 0 masa m2 = 100 g.

Se cere sa se calculeze:1. Acceleratia a cu care se mi~ca cele doua mase.2. Distanta hI dintre centrele maselor mi ~i m2 dupa intervalul il =3 s, daca in

momentul initial se aflau in acela~i plan orizontal.3. Energia cinetica ECl a celor doua corpuri in acest moment.4. Daca dupa il =3 s, firul se rupe, ce distanta lz2 mai parcurge masa m2 pina la,

inaltimea maxima, datorita vitezei pe care 0 are la momentul il•5. Viteza V3 a masei mi in momentul dnd m2 ajunge la inaltimea maxima.Se neglijeaza frecarile.1.1.55. Dintr-un punct A situat pe un plan inclinat care face un unghi C( =30°'

cu orizontala este lasat liber un corp cu masa de 0,1 kg. Corpul aIuneca fara Jrecarepe planul inclinat ~i apoi se depIaseaza cu frecare pe un plan orizontal. Energia cine-tica a corpului la fineIe alunedirii pe planul inc1inat este 4,9 J, iar coeficientul de,frecare pe pIanul orizontal este fL =0.2.

Se cere sa se calculeze:1. Distanta strabatuta de corp pe planuI inclinat.2. Distanta parcursa pe planul orizontal pina la oprirea corpului.3. Durata mi~carii pe pIanuI incIinat ~i pe planuI orizontal.4. Daca in punctuI A se imprima corpului 0 viteza de 2 m/s dar in sens invers.

primei mi$cari, care este inaltimea maxima la care ajunge corpu!.5. Plecind din acestlpunct. care este distanta parcursa pe planul orizontaI pina,

la oprirea corpuluL

1.1.56. Un corp cu masa M =50 grame este aruncat de jos in sus pe un plan in-clinat cu 0 viteza iuitiala Vo =40 m/s. Coeficientul de frecare fiind fL =0,2 iar incli-·narea fata de planul orizontal fiind C( =30°, se cere sase calcuIeze :

1. Timpulil dupa care corpul ajunge la distanta maxima fata de Dunctul initial~2. Distanta maxima!3. Timpul i2 considerat de la momentul initial, in care corpul ajunge din nou iThe

punctul initial (urcare $i coborire).4. Viteza cu care corpul se intoarce in punctul initial.5. Energia cinetica cu care corpul aillnge la pUTlctul intial.

1.1.57. 0 piesa ell masa M =300 kg este trasa in SllS, cu 0 viteza constanta, perun plan inclinat Cll30° fata de orizontala, pc 0 distanta l =20 m. Mi~carea se face ellfreeare de alunecare, coeficientul de frecare intre piesii ~i planul inclinat fiind fJ- ==0,2.

Se cere sa se calculeze:1. Diferenta de energie potentiaHi gravitationala a piesei intre pozitia sa finalii

~i pozitia sa initiala.2. Lucrul mecanic efectuat de forta de frecare pe distanta l =20 m.3. Lucrul mecanic total necesar pentru transportuI piesei pe aceea~i distanta.4. Puterea necesarii pentru ca tragerea piesei pe distanta datii sa fie facuFt in

WO secunde.5. Energia cinetica a piesei in mi~carea sa uniforma pe plan.

1.1.58. Un autocamion de 3,6 tone merge pe 0 ~osea orizontala cu viteza u ==30 kmjh. Coeficientul de frecare global intre roti ~i ~osea este fJ- =0, 12 iar randa-mentul global aI autocamionului "I) =0,4.

Sa se calculeze:1. Ener~ia cinetica a autocamionului.2. Lucrul mecanic efectuat de autocamion intr-o ora.'3. Cantitatea de combustibil consumata intr-o ora ~tiind ca puterea calorica a

oCombustibiluJui este q = 11 000 kcaljkgo.4. Ce distantii parcurge autocamionuI fara frinare dupa intreruperea alimen-

rtarii cu combustibiI.5. TimpuI scurs intre intreruperea alimentarii cu combustibil ~i oprirea auto-

<eamionului fara frinare.1.1.59. Un automobil cu masa m =900 kg pleaca din repaus dintr-un punct A

~i parcurge in linie dreapta distanta l =ABCD in felul urmator : pe distanta l1=AB ==800 mare 0 mi~care uniform accelerata ~i atinlZe in punctul B viteza u =90 kmjh ;pe distanta l2=BC, pe care automobilul 0 parcurge in timpul i2=10 minute are 0mi~care uniforma ; pe distanta l3 =CD are 0 mi~care uniform incetinita.

Se cere:1. Timpul i1 in care este parcursa distanta II ~i acceleratia a1 pe aceasta distanta.2. Acceleratia de frinare as pe distanta l3 ~tiind ca aceasta distanta este parcursa

in timpul i3 ==50 secunde.3. Distanta totala parcursa l =AD.4. Energia cinetica a automobilului in punctul C.5. Forta de frinare in mi~care uniform incetinita pe distanta CD.

1. 1.60. Pe un ~antier de constructii seutilizeaza un scripete mobil SI' pentru mane-vrarea unoI' materiale prin ridicare ~i coborirepe 0 inaltime h =20 m, conform schitei alatu-rate (fig. 1.8). Corpul ridicat impreuna cucontainerul are masa m1=750 kg iar in cobo-rire containerul ramas gol are masa m2 =50 kg.

Se presupune ca la coborire pina la juma-tate din inaltimea h, masa m2 are 0 mi~careuniform accelerata cu acceleratia g =10 mjs2.

Containerul este legat de scripetele mobilprintr-un cablu de otel care are modulul de elec-tricitate E =2 .1011Njm2 ~isectiunea s =0,5 cm2•

Sistemul de scripeti este actionat de un motor.11/1I lilli/I Ii! I iii ;Jj,l /I /Ii I

Fig.·U

Se cere sa se calculeze:1. Forta ce trebuie dezvoltata de motor cind sarcina de masa mi este ridicata

'Uniform ~i cind aceasta este ridicata uniform accelerat cu acceleratia a=2 m/s2•

2. Forta de frinare dezvoltata de motor pentru ca containerul de masa m2 sa-eoboare ultima jumatate din inaltimea h, uniform incetinit, astfel incit sa atingasolul cu viteza v =0.

3. Alungirea relativa a cablului la ridicarea uniforma ~i Ia ridicarea uniform2cce.lerata a sarcinii de masa mI'

A. Lucrul mecanic efectuat de motor la ridicarea uniforma ~i uniform accelerata.2. masei mI'

5. Timpul in care efectueaza ridicarea masei mi in mi~carea nniforma daca pu-terea debitata de motor in acest caz este P =5 kW.

Se considera g=10 m/s2•/

1.1.61. Un punct material cu masa m =0,5 kg legat cu un fir avind lungimea,1=2 m, descrie 0 mi~care circulara uniforma, in jurul unui punct fix, intr-un plan·orizontal.

Se cere sa se calculeze:1. Perioada T ~i frecven~a v a mi~carii circulare daca forta centripeta are va-

Joarea F =4 N. Sa se determine ~i energia cinetica a punctului material.2. Legea de mi~care a proiectiei punctuJui material pe un diametru al cercului.3. Valoarea vitezei unghiulare CJJR Ia care se produce ruperea firului, ~tiind ca

Jforta de rupere a aeestuia este F R =9 N.4. Considerind ea dupa ruperea firului punctul material executa 0 mi~care ree-

ltilinie eu frecare pe planul orizontal, sa se determine timpul t cit dureaza aceastami~eare (de la ruperea firului pina Ia oprire) ~i distanta s pareursa de punet pe plan.Coeficientul de frecare pe planul orizontal este fL =0,2.

Acceleratia gravitationala se va lua g = 10 m/s2•

1.1.62. Obila en masam=100g se depla-:seaza Hira frecare pe un jgheab reprezentat infigura, 1.9 aleatuit dintr-o portiune inclinata care ".se continua cu 0 bucla vertieala de raza R =15 em~i apoi cu 0 portiune orizontala. Presupunind ca tJin pozitia initiaIa bila se afla la h =0,4 m, se r--cere sa se caleuleze: -<::::

1. Energia einetiea a bilei in punetele A ~i B ~.:alebuelei.

2. Fortele cu care bila actioneaza asupra(' Ljgheabului in punctele A ~i B.

3. Inaltimea minima de la care trebuie lasata A\ iliila pentru' ca ea sa nu cada dnd treee prin Fig. 1.9

ipunctul cel mai de sus al buclei.4. Timpul dupa care viteza bilei se reduce la jumatate in mi~carea pe portiunea

·orizontala presupunind ca viteza initiala pe aceastii portiune de drum este Vo =3 m/s:~i ca forta de frecare ce actioneaza asupra bilei este F=0,15 N.

5. Distanta parcursa pe drumul orizontal, in timpul calculat Ia punctul 4.

1.1.63. 0 sfera A de masa M = 1 kg este suspendata printr-un fir de lungimed=2 m, de marginea unui disc de raza R=1 m, ce se rote~te intr-un plan orizontal,eu 0 viteza. ~nghiulara w. In planul in care se efectueaza mi~GaF~a::sfet~.[£"~1{la. inrrepaus 0 bIla B cu masa m =200 g. 1 & i 'd L l \) \ t. '\ \

\ l' t i ~~nnik l

21 \ ,.~ ;<u19?.-:l__._-----....------

Se cere sa se calculeze:1. Relatia ce exprima dependenta unghiului (): pe care-l face firul cu verticala,

in functie de restul parametrilor.2. Viteza unghiulara Ul cind (X =45°.3. Distanta pe care 0 parcurge bila B lovita central de sfera A, in momentuPJ

ruperii firului cind sfera A se rotea cu viteza unghiulara Ul =2 rad/s.Se ~tie ca viteza sferei se reduce la jumatate in urma ciocnirii iar coeficientull

:Ie frecare pe plan este tJ. =0,3.4. Distanta fata de axul de rotatie la care bila B atinge solul, daca este aruncata"

in aer de catre sfera, ~i viteza acesteia in punctul de ciocnire cu solul. Se 9tie ca pla-·l1ul de rotatie s.e afla la distanta h =5 m fata de sol.

1.1.64. ~tiind ca pamintul se rote~te in jurul soarelui cu 0 perioada T;::; 365 zile,..aproximativ pe un cerc de raza R=150 .106 km, 9i ca diametrul solar se vede de pepamint sub unghiul 2(X =32' iar constanta de atractie gravitationala este y =6,68 ~

N·m2.10-11 --, se cere sa se calculeze:

kg2

1. Masa specifica medie a soarelui.2. Masa soarelui Ms.3. Raza Rs a soarelui considerat sferic.

1.1.65. Doua bile A 9i B de masa mI 9i m2 sint suspendate de cite un fir de ace-ea~i lungime l. Bila A este ridicata la inaltimea hI fata de pozitia de echilibru 9i la-sata apoi libera love9te bila B, aflata in repaus, care se ridica la inaltimea h2• In mo-·mentul ciocnirii firul care sustine bila A se rupe ~i bila A cade pe sol. Se cunoa~te-distanta h de la punctul de echilibru pina la sol precum ~i mI, m2, l, hI' ~i h2• Se cere-sa se calculeze:

1. Distanta de la piciorul perpendicularei dusa din punctul de echilibru p'ina 'in!punctul de pe sol 'in care cade bila A.

2. Porta care produce ruperea firului.

1.1.66. Pentru curatirea unei f'int'ini cu adincimea totala H =10 m ~i cu dia-·metrul D =2 m se scoate apa cu un vas de 628 I. Cablul de sustinere se infa~oara pe-

. tamburul unei roti dintate, care angreneaza cu un ~urub melc cu pasul p =31,4 mm!~i cu turatia N =1500 rot/minut. Roata dintata are z=40 dinti iar tamburul ei are·raza f=16 cm. ~urubul este pus in mi~care de un motor termic cu randamentul "1)=

=37%' printr-o curea de transmisie ~i 0 roata de raza R' =25 cm, fixata pe axa ~u-rubului. Lucrul mecanic necesar pentru scoaterea apei este L =565 200 J.

Netinind sealpa de greutatea vasului ~i a cablului, de frecari 9i de forta arhime-did ~i consider'ind g=10 m/s2, se cere:

1. Adincimea h a apei din f'intina ~i numarul de vase care se scot pentru golirea ei_2. Viteza de ridicare a vasului!3. Porta de actionare la periferia roW de raza R' ~i puterea motorului.4. Timpul necesar pentru golirea apei ~i numarul de rotatii facute de tambuF

in acest scop.

1.1.67. Un corp de mas a M, de dimensiuni neglijabile, este legat de un punct:fix 0 situat la 'inaltimea h =60 m deasupra pam'intului printr-un fir inextensibil de-lungime l = 1 m. Acest corp se rote~te in jurul punctului 0, intr-un plan vertical, in--tr-o mi~care circulara uniforma, cu turatia n =300 ture{miriut.. Se cere sa se deter-mine:

1. Timpul dupa car~ corpul va atinge pamintul dacii 'in momentul cind firullOM este vertical, punctul M fiind deasupra lui O. firul Sf rupe.

2. Distanta D de la verticala ce trece prin 0 la locul de cadere in conditiile deHa punctul 1.

3. Iilaltimea HI (fata de pamint) la care se va ridica corpul M daca firul se rupe!in momentul cind firul OM este orizontal ~i viteza este dirijata vertical in sus.

4. Cre~terea temperaturii corpului M, daca, acesta cind ajunge pepamint, in-tl;ilne~te un obstacol rigid, in contact cu care corpul se opre~te fara a sari in sus. CaI-duraspecifica a corpului M este C =109 J/kg ·grd.

1. 1.68. Un vagon se deplaseaza cu frecare pe un plan orizontaI. Cind vitezade.deplasare a vagonului scade la valoarea v=10 mis, din el se trage, in sens contrar$ensului de mi~care, un proiectil cu viteza v = 1700 mis, fata de pamint. Ca urmare,vagonul i~i va mari viteza pina la valoarea v'=29,77 m/s. Pentru ca viteza vagonu-flui sa nu scada sub valoarea v, va fi necesar sa se traga proiectile in mod periodic cu@erioada t =30 s. Sa se determine:

1. Raportul maselor primelor doua proiectile.2. Legea de varia tie a maselor proiectilelor.3. CoeficientuI de frecare, considerind ca deplasarea vagonului este frinata doar

\prin frecare. .4. Spatiul strabatut de vagon in timpul t.1.1.69. Un ciclist deplasindu-se cu viteza v efectueaza un viraj orizontal de raza r.1. Sa se exprime forta centrifuga la care este supus ciclistul (daca se poate as i-

mila sistemul ciclist-bicicleta cu un punct material de masa m).2. Fie m = 100 kg ~i R = 10 m, raza medie a pistei, care are largimea 1=5 m. Ce

witeza maxima poate atinge ciclistul in viraj fara sa derapeze, daca frecarile intre501 ~i roti exercitao forta tangentiala f=200 N.

3. Se suprainaIta pista in locul virajului, asUel ca un ciclist deplasindu-se pemijlocul ei cu viteza de 11,4 km/h sa nu ri~te sa derapeze chiar daca soIul ar fi per-fect alunecos.

Daca forta de frecare datorita solului aspru are aceea~i valoare ca la punctuliPrecedent, intre ce limite de viteza ciclistul poate efectua virajul pe aceasta pista,aara a derapa ? Pe care parti ale pistei aceste viteze sint posibile ?

Se va Iua g = 10 m/s2• De asemenea la inclinarea virajului se va considera C( ~

~sino: ~tg C( iar cosc( ~ 1.

1.1.70. Doua sfere A ~i B, pot aluneca fara frecare pe un ~ant inclinat cu unghiul~.x=300 fata de orizontala.

Sfera B cu mas a M =10 g este mentinuta fixa intr-uD punct al (juntului. SferaA de masa m=l g se mi~ca pe ~ant de jos in sus lovind sfera B care in momentul40virii devine ~i ea libera. Momentul ciocnirii sferei A de catre sfera B se considera,ca origine de timp. Viteza sferei A in momentul ciocnirii este Vo=2 m/s. Dupa cioc-mire sfera A are viteza VI ~i sfera B viteza v2• Ciocnirea se considera elastic.

Se cere:1. Sa se calculeze vitezele VI ~i v2•

2. Sa se studieze mi~carea sferei B dupa ciocnire :;;isa se determine coordonatelerpunctului C in care viteza sferei B devine egala cu zero.

3. Care ar fi trebuit sa fie valoarea masei m pentru ca dupa ciocnire sfera A samu cedeze decit 1% din energia sa cinetica incidenta, sferei B.

1.1.71. 0 sfera elastica de masa m =10-2 kg este lasatii sa cada libel' deasupraUlnui disc metalic orizontal afIat in repaus.

1. Neglijind frecarile ~i durata contactului cu planuI discului ~i considerind ca~sfera se ridica pe verticala cu 0 viteza egala cu fractiunea k =3/4 din cea avuta inainte

de ciocnire, sa se calculeze inaltimea II de la care cade sfera, dadi energia ei la punctuDeel mai inalt pe care-I atinge in urma ciocnirii este E =6,615 J.

2. Sa se scrie legea de varia tie a inaltimii maxime la care se poate ridiea sfera.in urma ciocnirilor s uccesive in conditiiIe de la punctul 1.

3. Sa se calculeze spatiul parcurs de sfera dupa 3 ciocniri succesive.4. Sa se calculeze viteza unghiulara w eu care ar trebui sa se roteasca discu~

pentru easfera sa cada in acela~i punct M al discuIui. In acest caz ciocnirea seconsidera perfect elastica.

1.1.72. Doua sfere mici de masa m1=100 g ~i m2=50 g sint fixate Ia capatu~unor fire, considerate inextensibiIe, eu lungimile II =28 cm ~i 12 =30 cm. CeleIaltecapete ale firului sint legate de 0 a treia sfera, care este pusa in rota tie in j uml unuilax vertical (fig. 1.10). .

Se eere sa se ealculeze:1. Frecventa de rota tie pentru ca firul de care este

legata cea de-a treia sfera sa ramina vertical.2. Vitezele VI ~i v2 ale celor doua sfere in acest caz.,3. Diferenta de nivel intre cele doua sfere.4. Energia necesara pentru punerea in mi~care a>

celor doua sfere.

1.1. 73. 0 hila de masa m =0,2 kg este suspendata.printr-un fir de lungime 1=1 m ~i sectiune 5=0,2 mm2.,

Bilei i se imprima 0 mi~care de rotatie, _astfel incH!firul deserie un con care formeaza cu orizontala untunghi IX =300

• Se cere sa se calculze :1. Numarul rotatiiIor exeeutate de bila pe minut.2. Considerind firul extensihiI, care este alungireru

lui, daca modulul de elasticitate este E = 1011 NJm2_

3. Tensiunea maxima suportata de fir daea acesta se rupe la 0 frecventa de rota-tie egala cu 60 rot/minut.

1.1.74. Un corp de masa m este lansat in sus, pe verticaIii, intr-un cimp gravi-tational de intensitate uniforma (- g).

1. Sa se gaseasea relatia dintre aItitudinea ho atinsa de corp ~iviteza sa initiaIa Yo-2. Se considera cimpul ereat de pamint, presupus omogen ~i sferic de raza R.,

La suprafata soIului are inteIisitatea ahsoluta g. Sa se afle relatia dintre altitudinea.atinsa hI ~i viteza initiala Vo a, eorpuIui. Sa se arate ell.daca hI este mic fata de R seregase~te relatia obtinuta la punctuI 1.

3. Viteza Vo se imprima aplieind corpului de masa m, initial in repaus, 0 fortiiiconstanta f, verticaIa in sus. Se cere in acest caz relatia dintre forta f, viteza initiaHivo' durata actiunii fortei ~i drumul parcurs de corp in timpuI t.

1.1.75. Un automobil trece peste un pod convex eu viteza v=72 km/h. La ie-~irea de pe pod intra, cu frecare, intr-o curba cu raza R = 100 m. Coeficientul de fre-care de alunecare latera Ill.pe ~osea este f1. =0,5. Distanta dintre rotile automobiIuluileste d = 1,5 m; iar inaltimea centruIui de greu ta te deasupra ~oseI('ih =0,4 m. Acce-leratia gravitationaIa se considera g =10 m/s2•

Se cere sa se calcuIeze :1. Raza podului, astfel ca la mijlocul lui, automobilul sa apese asupra lui CWo·

4/5 din greutatea sa.

1,1.76. Doua mobile de masa m1 !lim2 descriumi!lcari circulare uniforme pe doua traiectoriisituate una in plan orizontal !li cealalta in planvertical. Traiectoriile au centrul comun. Se dau~azele celor doua cercuri R1 =R2 =R =1 m iar vite-zele unghiulare ale celor doua mobile WI =3,435cadis ~i (,)2=3,141 rad/s. Se presupune ca mobi-!lele pleaca simultan din punctele A !liB indicatein figura 1.11.

Se cere sa se calculeze:1. TimpuI dupa care ceIe doua mobile se ciocnesc. Se cere !li precizarea punc-

tului de ciocnire.2. Cantitatea de caIdura produsa prin ciocnirea plastica a ceIor doua mobile

(se considera m1=0,5 kg !li m2= 1 kg).3. Viteza corpuIui format prin ciocnirea plastica !li unghiul pe care directia lui

de mi~care iI face cu viteza avuta de primul mobil inaintea ciocnirii.1.1.77. Un punct material executa 150 oscilatii pe minut, eu 0 amplitudine A =

=0,05 m. Se cere sa se calcuIeze :1. Frecventa ~i puIsatia oscilatiilor.2. Ecuatia mi~carii oscilatorii.3. Viteza ~i acceIeratia maxima a punctului material.4. Raportul dintre energia cinetiea ~i energia potentiala a punctului material, in

momentuI in care eIongatia este jumatate din amplitudine.Faza initiaIa se considera CPo = 15°.1.1.78. Se considera un mediu elastic cu modulul de elasticitate E =4,32 .1010

N·m-2~idensitateap=2,7·103kg·m-3. In acestmediu se propaga 0 vibratie de frec-venta v=500 Hz. Se cere sa se caIeuIeze:

1. Viteza de propagare a vibratiilor IongitudinaIe care se propaga in acestmediu.

2. Lungimea de unda a acestor vibratii.3. Distanta fata de punctul 0, la care se gase~te primul punct in care ecuatia

mi~carii este y =a sin ( (,)1- ; ). Se considera ecuatia mi~carii in punctuI 0 ca fiind

2. Viteza vIla care apare aIunecarea lateralaa automobiluIui.

3. Viteza v2 la care se produce rostogolil .,.,.<3.utomobilului.

- - ,"Y,....- _.~/'

//

I8

mt \\\

"/

/./-

1.1.79. Un punet material cu masa m=lO g oscileaza dupa Iegea x=5 sin ~l6

<cm.Se cere sa se caIcuIeze :1. TimpuI dupa care este atinsa viteza maxima ~i timpul dupa care este atinsa

acceleratia maxima.2. Forta maxima care actioneaza asupra punctului material.3. Expresia energiei cinetiee ~i a energiei potentiale a punetului material precum

=;;ienergia totaIa a acestuia.1.1.80. Un corp de masa m=2 g, pornind din repaus, are 0 mi~care oscilatorie

armonica.Se cere:1. Sa se scrie ecuatia de mi~care a corpuIui ~tiind ca pentru a indeparta corpul

din pozitia de echilibru pina intr-un punct A situ at Ia distallta maxima fata de pozi-

tia de echilibni, se cheltuie~te un Iucru mecanic L =23 mJ, iar in punctuI A asupra:.corpului actioneaza forta F=I,15 N, indreptata spre pozitia de echilibru.

2. Sa se caIculeze perioada mi~carii.3. Energia cinetica ~i energia potentiala cind corpuI se gase~te Ia distanta:.

y =2 em fata de pozitia de echilibru.

1.1.81. La extremitatile firului unei ma~ini Atwood se gasesc douabile de maseegale m1=m2 =M =50 g.. Unadintre bile se gase~te Ia niveIuI zero aI rigIei ~i estesuplimentata cu 0 masa m =2 g. Masa supIimentara m poate fi retinuta de un cadru~

Se cere:1. Sa se stabileasca Ia ce distanta, de niveIuI de zero, trebuie fix at cadruI, pen-

tru ca masa suplimentara sa fie retinuta Ia intervaluI de timp t =2 s de Ia inceputui1

mi~carii.La efectuarea acestor caIcuIe se neglijeaza frecariIe.2. Viteza sistemuIui in momentuI atingerii cadrului.3. Din cauza frecarilor timpuI necesar ca masa supIimentara sa atingiii

cadruI se dovede~te a fi mai mare decit doua secunde. Facindu-se incercari se con-stata ca daca cadruI se ridica cu h=5 cm, acesta este atins de mas a .suplimentaraexact in 2 s de Ia inceputuI mi~carii. Se cere forta de frecare in acest caz~

4. Ecuatia de mi~care a sistemuIui dupa retinerea masei suplimentare.5. Diviziunea rigIei Ia care se va gasi· masa ce coboara, dupa intervaIuI t' =5 s

de Ia inceputuI mi9carii.

1.1.82. Un osciIator constituit dintr-un punct material de masa m=I,6·10-2 k~atirnata Ia capatuI unui resort, vibreaza sub actiunea fortei elastice a res0rtului",ecuatia eIongatiei avind forma:

y=10-1 sin (~t + i)unde y este exprimat in metri. Se cere:

1. Perioada ~i frecventa oscilatiei.2. Viteza maxima ~i acceleratia maxima a punctului material.3. VaIoarea maxima a fortei care actioneaza asupra punctului material.4. ReIatiile care exprima dependenta de timp a energiei cinetice, potentiale

~i totale a punctuIui material.5. TimpuI in care punctuI material executa drumuI de Ia jumatatea amplitu-

dinii Ia V3j2 din ampIitudine.

1.1.83. Un corp de masa m =8 kg, suspendat de un are, osciIeaza rectiliniu in juruPpunctului de echilibru. ArcuI se intinde 0,2 m sub actiunea unei forte F=98 N.

Se cere sa se caIcuIeze :1. Perioada de oscilatie a corpului de masa m.2. Frecventa ~i puIsatia oscilatiei.3. Amplitudinea oscilatiiIor corpului de mas a I1l, in absenta amortizarilor.4. Energia de oscilatie totaIa a corpului suspendat.5. Viteza corpului de masa m in punctuI in care acesta ar fi in echilibru in

absenta oscilatiei. De asemenea sa se caIculeze viteza eorpului in punetuI in camelongatia este maxima.

1.1.84. Un penduI simpIu de Iungime 1=1,18 m eu mas a m =0,5 kg, prime~tein pozitia verticala, un impuIs H =1,7 kg.m/s ~i incepe sa oseileze.

Sa se caleuleze:1. Energia primita initial de masa m..2. UnghiuI maxim pe care-l face firuI pendulului cu vertieala.

3. Forta de intindere in fir cind pendulul trece prin pozitia verticaIa./ 4. Admitind di firul este din cupru cu coeficientul de dilatare liniara cx=16 ·10-6

grad-I, sa se calculeze variatia temperaturii mediului in care oscileaza pendulul~ind frecventa osciIatiiIor pendulului variaza cu 0,05%.

1.1.85. Un punct material de masa m =25 g executa 0 oscilatie armonica cu ampli-Jtudinea A =0,12 m. ~tiind ca in momentul in care trece prin pozitia de echilibru'viteza este Ve =9,6 mis, sa se calculeze :

1. Ecuatia mi~carii.2. Elongatia Yl la momentul ii=7/6 T.3. Elongatia Y2 in momentul in care viteza oscilatorului este egala cu un sfert

·din viteza vO'

4. Valoarea maxima a fortei elastice PM'5. Frecventa f ~i perioada T a oscilatiei.

*- 1.1.86. Un corp solid format dintr-un inel cilindric din metal cu raza exterioara.R = 6 em, in interiorul caruia se afIa introdus un cilindru de lemu de raza exterioara,f' egala cu raza interioara a inelului cilindric, are capetele sprijinite astfel incit se!poate roti in jurul axei lui dispusa orizontal. Pe inelul meta lie este infa~urat un fir<deal carui capat libel' atirna un corp de masa m =0,8 kg, celalalt capat al firului fiind:fixat de suprafa ta metalica pe care este infa~urat. La un moment dat corpul demasa m este lasat libel', fapt care produce rotatia solidului in jurul axei sale.

~tiind ca momentul de inertie al cilindrului din lemn fata de axa de rota tie,este JI =5 kg ·cm2, iar momentul de inertie al inelului metalic fata de aceea~i axa-este J 2=42,7 kg' em2, se cere:

1. Acceleratia unghiulara e a corpului solid ~i acceleratfa a a masei m, fara a lua\in considerare frecarile ~i masa firului.

2. Energia cinetica Ec a corpului solid la timpul i =4 secunde, socotit din momentul"In care incepe rotirea.

3. Numarul de rotatii n pe care Ie face corpul in timpul celor 4 secunde.4. Forta de intindere T a firului in timpul mi~carii.5. ~tiind ca momentul de inertie al unui cilindru plin de masa mx ~i raza Fx,

'lata de axa sa este Jx= ~ mxrl, se cere sa se deduca expresia momentului de inertie

.•J 2 al inelului cilindric de metal.

*- 1.1.87. 0 sfera cu densitatea P=0,8 g/cm3 ~i cu raza r =5 cm este aruncata-de jos in sus cu 0 viteza initiala Vo =24,5 m/s de la suprafata apei unui bazin. La ina-jpoiere, sfera se scufullda fara frecare, in apa bazinului (avind densitatea d = 1 g/cm3)

;pina la 0 adincime s. Se cere:1. Inaltimea maxima la care ajunge sfera.2. Adincimea spina Ia care se scufunda sfera in bazin prin cadere.3. Ce densitate ar trebui sa aiM un lichid in care sfera dnd ar pluti libel' sa fie

':scufundata jumiHate din volumul ei.I, 4. Energia necesara pentru a imprima sferei 0 mi~care de rota tie libera cu turatia

I ,rl =10 rot/s.

*- 1.1.88. 0 sfera cu volumul 400 cm3 din material cu densitatea PI=0,75 g/cm3,

~ste cufundata intr-un lac sara t la adincimea hI =20 m de unde i se imprima de josiin sus, vertical, 0 viteza VI=5 m/s. Sa se calculeze:

1. Acceleratia a cu care se mi~di sfera, daca densitatea apei este P2=1,2 g/cm3

iar acceleratia gravitatiei g =9,8 in/s2.2. Viteza v2 cu care sfera ajunge Ia suprafata apei.3. Timpul ii in care sfera ajunge la suprafata apei.

4. Inaltimea maxima hz la eare se ridiea sfera deasupra apei in aer.5. Energia cinetica Ec cu care sfera ajunge din nou la suprafata apei in ciiderea

ei de la inaltimea hz•6. Adincimea 173 la care ajunge sfera dnd, in caderea ei, se scufunda in apa:Se neglijeaza frecarile sferei cu apa $i aeru!.*" 1.1.89. Un pendul matematic este format dintr-un fir de lungime [=49 m i?Y

omasa In =6 kg.Se da pendulului 0 mi~care de oscilatie in jurul pozitiei de echilibru.Sa se calculeze :

I"') 1. Perioada micUor oscilatii ale pendulului (se ia g =9,8 mjsZ).j 2. Unghiul maxim pe care-I poate face acest pendul cu pozitia de echilibru,.

fara ca firul sa se rupa, i?tiind ca firul rezista la 0 for~a maxima de 12 kgf.3. lnaltimea maxima a pendulului fata de pozitia de echilibru in acest caz.4. Energia cinetica a pendulului in momentul cind trece prin pozitia de echilibru,.

in cazul de la punctul 2.*" 1.1.90. La 0 turbinii vine apa printr-o conductii avind lungimea [=500 m, aria,sectiunii A =400 cmz, inclinarea fata de planul orizontal a.;=30°.

Se cere:1. Debitul de apa in m3js i?i in kg/so2. Puterea utila la axul turbinei, dacii ranclamentul turbinei este YJl =0,90.3. Cu ce vitezii love$te apa paletele turbinei, daca ajutajul reduce sectiunea Ia 1/10~4. Considerind ca in timpul caderii apei se pierde prin frecare 1/250 din energie

cu cit se ridica temperatura apei care ajunge la paletele turbinei.5. Turbina antreneaza 0 pompa care ridica apa la inaltimea de 70 m, ranclamentul'

pompei fiind YJz =0,85.Sa se calculeze debitul de apa in m3/s."* 1.1.91. Un cub cu latura a=8 cm confectionat clintr-un material cu densitate~

Pc=800 kg/m3 se eufunda in apa astfel ca fata sa superioarii sa se afle la 0 aclin-eime h =2,5 m. Sa se calculeze :

1. Rezultanta fortelor care actioneaza asupra cubului.2. Aeeeleratia imprimata cubului lasat liber.3. Timpul t dupa care fata superioara a cubului, Hisat libel', atinge suprafat~

apei.4. Viteza cubului la momentul t.

? 5. Fractiunea x din latura cubului, care riimine cufundaUi in apii, la echilibru ..I t?-..' S~ peglijeazii freciirile.

I "* 1.1.92. Un cilindru plin de masa M=10 kg este a$ezat orizontal astfel rncitsa se poata roti in jurul axei sale. Pe cilindru este infa$urat un cablu, de eapatu»libel' al cablului este legata 0 masa In =2 kg.

Se cere sa se calculeze :1. Acceleratia cu care va cobori masa In liisaUi libel'. Se face abstracne de orice'

frecare.2. Tensiunea din cablu. la coborirea corpului de masa In.

1.1.93. 0 tija rigicla OA se poate roti in j urul unei axe verticale care trece prinO. Tija este orizontala. 0 masa In aluneca fara frecare pe OA. Masa este fixata la una·din extremitatile unui resort elastic, eealalta extremitate fiind fixata in A. Cind sis-temul este in repaus distanta de la masa In =20 g la axa 0 este 1'=2 em, iar lungimearesortului este [= 10 em. Resortul este astfel construit incit se alungei?te cn a =1 crndaea de el se suspenda masa M =1 kg.

Se cere:1. Sa se gaseasca relatia dintre numarul de rotatii pe minut n, al sistemului iji

depltsarea x a masei m in aceasta situatie.2. Sa se calculeze n pentru x=1 mm iji pentru x=1 cm.3. Raportul t1nln dad x=0,2 mm. Sa se calculeze t1n pentru x=1 mm ~i x=

= 1 cm, t1x fiind 0,2 mm.4. Considerind ca alunecarea masei m pe tij a are loc cu frecare (fL=0, 1), sa se

calculeze t1nln care rezulta tinind seama de forta de frecare.

1.1.94. 0 masa m =10 g oscileaza in jurul pozit-iei de echilibru, avind elongatia>data de ecuatia :

Y=0,4Sin27t(5l+ ~)

un de Y este exprimat in metri. Cind trece prin pozitia de elongatie maXIma, osci-latorul loveijte 0 bila de masa m1=5 g, transferindu-i intreaga sa energie. In urma.acestei ciocniri bila capata 0 viteza orizontata pe verticala in sus.

Se cere:1. Amplitudinea, perioada iji faza initiala a oscilatiei.2. Viteza masei m dupa timpul l2 =0,05 s de la inceputul oscilatiei.3. inaltimea la care se va ridica bila de masa m, in urma ciocnirii.*" 1.1. 95. Un satelit artificial cu masa m = 1 200 kg descrie 0 traiectorie circulara.

in jurul pamintului, la inaltimea h=230 km fata de sol. Sa se calculeze:1. Accelera tia gravitationaUi g' la inaltimea satelitului.2. Viteza liniara D a pamintului.3. Energia necesara pentru plasarea satelitului pe orbita (se face abstractie de

frecarea cu aerul). •4. in satelit se afla un pendul. De cite ori va fi mai mare perioada de oscilati~

a pendulului cind se gaseijte in satelit, fata de pcrioada de oscilatie pe care 0 are la·suprafata pamintului.

."e dau : acceleratia gravitationala la sol g=9,8 m/s2, raza pamintului R=6370km~1.1.96. Un corp de masa m =0,5 kg este

a.ije2.atpe un plan orizontal iji legat de un suportvertical prin intermediul unui resort (fig. 1.12)cu coeficientul de elasticitate k=20 N/m. Dadicoeficientul de frecare dintre corp iji planulorizontal este fL=0,15 iji corpului i se imprima 0viteza init-iala Do=3 m/s dinspre suportul vertical,se cere:

1: Pina la ce distanta x se departeaza corpulde pozitia de echilibru.

2. Frecventa de oscilatie a resortului.3. Spatiul total parcurs de corp pina la oprire.4. Cu cite grade se inealzeijte eorpul daca consuma 50% din eiHdura produsa'

prin freeare. Caldura speeifica a eorpului este C=450 J/kg. grad. Se va lua g=lO m/s2~

1.1. 97. 0 grinda de lemn (p =700 kg/m3) eu dimensiunile 2 m X 30 em X 15 em estetinuta la 0 adincime de 2 m intr-un bazin cu apa. La un moment dat grinda este lasata.liber-a. Sa se determine:

1. Forta necesara pentru mentinerea grinzii la adincimea datil.2. Timpul in care grinda se ridica la suprafata apei (se neglijeaza freearile)~

3. Inaltimea portiunii scufundate la plutirea grinzii cu una din fete Ie cele maide jos.

4. Forta F' care trebuie sa actioneze asupra grinzii pentru ca inaltimea portiuniiscufundate sa fie 14 em.

5. Schimbind materialul grinzii, ce densitate p' trebuie sa aiba acesta pentru.ca grinda sa se gaseasca in echilibru in interiorul lichidului la adincimea H' =3 m.

Pentru simplificare se considera g =10 m/s2•

1.1.98. 0 bara omogena de lungime [ se sprijina in punctele A ~i B (fig. 1.13).Distantele de la punctele de sprijin pina la capetele barei sint [1 respectiv [2'

Greutatea barei este G.Se cere sa se calculeze re.actiunile F1 ~i F2 in punctele de sprijin.

1.1.99. 0 scindura AB =[ este articulata in A iar celalalt capat este prins printr-unfir inextensibil ce trece peste un scripete fix prin intermediul unui resort de punctuIM (fig. 1.1'4).

Pentru ca scindura sa ramina orizontala, se cere sa se calculeze :I. Alungirea resortului.2. Reactiunea din articulatia A.3. Directia -~i sensu 1 reactiunii din articula tia _4.Se cunosc:Greutatea scindurii Gs=150 N.Lungimea resortului in repaus [0=0,5 m.Constanta de elasticitate a resortului k = 104 Njm.Unghiul Hicut de firul ce leaga capatul B cu orizontala este ex=30°.4. Presupunind ca un carucior de areutate Gc=150 N are posibilitatea sa se

deplaseze suficient de lent pornind din punctuI A spre B se cere alungirea resortuluiin functie de departarea relativa a caruciorului fata de punctul A.

1.1.100. 0 scara de lumrime [ se sprijina cu un capat pe un perete lucios ~i cu'Celalalt cap at pe sol.

Se cere sa se calculeze :1. Un,ahiul maxim dintre scara ~i peretele vertical pentru care scara nu cade,

·daca coeficientul de frecare dintre scara ~i sol este fl.1 =0,4.2. Forta de frecare dintre scara ~i sol, necesara pentru ca sa nu alunece cind

<Unom de masa m =60 kg se afla la 3 m de capatul de sus al scarii. Lungimea scariiin acestcazseia [=10 m ~i masa ei Ms=I,5 kg. Echilibru se cere cind unghiul dintrescara ~i orizontala este ex= 60°

3. Inaltimea la care se poate ridica pe scara (l =6 m, Ms = 10 kg) un om de masam =60 kg. Unghiul dintre scara ~i peretele vertical este ~=30° iar coeficientul de fre-<:are intre capatul scarii ~i sol se ia in acest caz fl.2 =0,433.

*" 1.2.1. Un proiectil este lansat sub unghiuI (X =300 eu orizontala. Viteza proiee-tiIului la ie~irea din teava tunului este Vo =800 m/s. Lansarea este faeuta de la nivelulisolului. Rezistenta aerului se negIijeaziL Se cere sa se ealculeze:

1. Timpul dupa care proiectiluI eade la sol. .2. Viteza proiectilului in punetul de inaltime maxima.3. Distanta pe orizontala intre punetul de lansare ~i punctul de eadere a proiec-

tilului. .4. !na1timea maxima atinsa de proiectil in mi~care.5. Raza de eurbura a traiectoriei in punctul de inaltime maxima.

1.2.2. Un corp avind viteza initiala Vo =5 m/s pareurge in a cineea secunda 0'distanta d =4,5 m. Se cere sa se ealculeze :

1. Acceleratia corpului.2. Drumul pareurs de corp in timpul i =40 s.3. Timpul dupa care se opre~te. \4. Distanta maxima pareursa de corp.

1.2.3. Un punet material, parcurge 0 dreapta cu 0 mi~eareuniform variatLEI treee prin punetul A eu viteza VA =15 m/s ~i prin punctul B situat la distant3l.d=10 m fata de A, cu viteza vB=10 m/s.

Se cere:1. Aceeleratia mi~carii.2. Timpul neeesar ca mobilul sa ajunga din A in B.3. Viteza medie a mobilului. intre punetele A ~i B.

1.2.4. Un tren treee eu 0 viteza v=20 m S-1, paralel eu un zid lung, care se afliiiIa 0 distanta necunoscuta x de ealea ferata. Un calator din tren desearcind 0 arma~aude ecoul dupa intervalul i1 =3 s.

Considerind viteza sunetului in aer ca fiind Vs =340 m S-I, se cere sa se calcu-Ieze distanta x dintre zid ~i ealea ferata.

1.2.5. Trei mobile M1, M2, Ms, de mase m1=2 kg, m2=3 kg ~i respectiv ms==4 kg, se afla in virfurile A, B ~i C ale unui triunghi oareeare cu laturile AB =SI ==25 em, BC =S2=40 em ~i CA =ss =56 em. Cele trei mobile incep sa se deplaseze,coneomitent, in sens invers aeelor de eeasornie. Mobilele M1 ~i M2 au acceleratiileconstante G1 =3 em/s2 ~i respeetiv G2 = 1,2 em/s2 iar mobilul Ms are viteza constantav=2 em/so

Se cere sa se determine:1. Intervalele de timp il' i2 ~i is in care mobilele strabat laturile AB, BC ~i CA

ale triunghiului.2. Momentele dupa care primul ~i al doilea mobil au aceea~l viteza ca ~i mobi-

Iul M3•

3. Dupa eit timp de la ineeputuI mi~carii fiecare mobil s-a intiInit eel putinodata cu celelalte doua, daea fieeare mobil i~i continua mi~earea de-a lungullaturiloFtriunghiului (fara sa-~i schimbe caraeterul mi~carii).

4. Pozitia virfurilor triunghiului M1M2Ms daea la 2 seeunde de la ineeputuI mi~-carii mobilelor s-au oprit bruse precum ~idistantele M1 M2, M2M3 ~i respectiv MsM1-

1.2.6. Un corp este aruncat pe verticala in sus, de la sol, eu viteza initiala vo•Se neglijeaza frecarea eorpului eu aerul.

Dupa atingerea inaltimii maxime eorpuI se intoarce in punctul de unde a fostaruncat, pe aeeea~i traiectorie.

Se cere sa se demonstreze ca :1. In orice punct de pe traiectorie viteza corpului la coborire este egala ~i de sens

oContrar cu viteza lui la urcare.2. Din orice punct al traiectoriei, timpul de urcare pina la inaltimea maxima,

oeste egal cu timpul de coborire de la inaltimea maxima pina la punctul respectiv.1.2.7. De la inaltimea h =200m cade Iiber pe verticala un corp cu viteza initiala

.vo = 15 m/s. .Se cere sa se calcuhlze :1. Viteza cu care corpul atinge solul daca Vo este indreptata pe verticala in jos.2. Aceea~i viteza daca la momentul initial Vo este indreptata pe verticala in sus.3. Cu ce viteza ar atinge solul, corpul respectiv, daca viteza initiala Vo a acestuia

'la inaltimea h era orientata dupa orizontala.1.2.8. Doua ma~ini pornesc simultan din punctul A ~i ajung in punctul B dupa

IUn interval de timp to =2h. Primul automobil parcurge prima jumatate a distanteiAB cu viteza VI =30 km/h iar a doua jumatate a acestei distante cu viteza v2==45 km/h. Cel de-al doilea automobil parcurge distanta AB intr-o mi~care uniform;,..•ccelera ta.

Se cere sa se calculeze:1. Viteza medie a primului automobiI.2. Timpul tl in care primul automobil se deplaseaza cu viteza VI ~i timpul t2

OCUcare acest automobil se deplaseaza cu viteza v2•

3. Momentele in care cele doua automobile au aceea~i viteza.4. Sa se stab ilea sea daca pe parcursul distantei AB unul din automobile va depa~i

,pe celalalt.*- 1.2.9. Un corp este aruncat de la sol sub un unghi <X cu orizontala. Rezistenta

:aerului se neglijeaza. Se cere sa se calculeze :1. Unghiul <Xl sub care trebuie aruncat corpul pentru ca bataia sa fie de 4 ori

)mai mare decit inaltimea maxima atinsa de corp.2. Unghiul pentru care bataia este maxima la 0 viteza initiala Vo data.1.2.10. Doi excursioni~ti MI ~i M2 trebuie saparcurga intr-o zi distanta AB=

=d=48 ~m. Excursionistul MI pleaca djn punctul A cu bicicleta, iar M2 pe jos.Intr-un punct C, excursionistul Ml' lasa bicicleta ~i i~i continua drumul pe jos.Excursionistul M2 ajungind in punctul C i~i continua drumul cu bicicleta. Fiecare·excursionist are viteza VI =1,5 m/s cit timp merge pe jos ~i viteza v2=4 m/s cit timpmerge cu bicicleta. Rotile bicicletei au diametrul D =80 cm. Roata mare a angrena-jului cu lant are diametrul dl =16 cm, iar roata mica a angrenajului - fixatii laIfoata din spate - are diametrul d2 =8 em. Se cere sa se determine:

1. Distanta A C, astfel ca cei doi excursioni~ti sa ajunga simultan in punctul B.2. Distanta parcursa de excursionistul1112 pina in momentul cind excursionistul

J111 trece prin punctul C.3. Timpul cit bicicleta ramine nefolosita.4. Numarul de rotatii facute de rotile angrenajului intr-un minut.5. Spatiul parcurs de bicicleta pina la oprire, ~tiind ca bicicleta se opre~te dup a

'Un minut de la intreruperea pedalarii.*- 1.2.11. De la suprafata pamintului este aruncat vertical in sus cu viteza Vo =

=20 m/s un corp de Pb cu mas a mi =300 g. De la inaltimea maxima la care poate;ajunge acest corp., cade liber un alt corp tot de Pb, cu masa m2=100 g. Corpurile:se ciocnesc la jumatatea inaltimii maxime care ar putea fi at ins a de primul corp.Se cere sa se afle :

1. Care dintre corpuri trebuie a run cat mai intii. Timpul, dupa care trebuie.aruncat al doilea corp, de la pornirea primului corp.

2. Timpul necesar pentru ca eorpurile sa atinga solul dupa eiocnire.3. Cu cite grade variaza. temperatura acestor doua corpuri dad se presupune

ea toata energia lor einetiea se transforma in ealdura prin eioenire.Se eonsidera aeeeleratia gravitationala g=10 m/s2•

Caldura speeifica a plumbului CPb = 130 J/kg grad.1.2.12. Dintr-un punet P pleaea un mobi!eu vietza VI

iar in acela~i moment un al doilea mobil, afIat la distanta dde punctul P, porne~te cu viteza v2 catre acest punct (vezifigura 1.15).

Mi~carile celor doua mobile se considera rectilinii ~i uni-forme, iar unghiul dintre cele doua traiectorii este IX.

Se cere sa se calculeze spatiul parcurs de primul mobilpina in momentul cind cele doua mobile se gasesc la dis-tan ta minima unul fa ta de altuI.

1.2.13. Un corp cu viteza initiaIa vo=5 m/s este arun-cat in sus pe un plan in clinat ee face unghiul IX =30°cu orizontala. Coeficientul de frecare intre corp ~i plan este fJ. =0,2. Se cere sase calculeze:

1. Inaltimea maxima la care se ridiea. eorpul pe planul inclinat.2. Viteza corpului cind ajunge din nou in punctul initial de plecare.

1.2.14. Un glonte de masa m=6 g este lansat cu viteza initiala vo=600 m/s ~istrabate distanta d =300 m.

Se cere sa se calculeze:1. Distanta cu care se abate glontele, sub actiunea vintului care produce forta

F=0,012 N, careia ii este supus glontele pe intreaga distanta parcursa. Unghiuldintre vint ~i directia de tragere este 90°. Viteza glontelui in sensul tragerii se con-sidera constanta.

2. Distanta cu care se abate glontele daca mi~carea acestuia este uniform inee-tinita cu acceleratia a =-450 m/s2•

1.2.15. Un riu cu latimea de 100 mare viteza V=1 m/s. Dintr-un punct situatla mijlocul apei pornesc simultan doua barei cu motor, ale carol' motoare identiceIe asigura 0 viteza u = 14,4 km/h.

Sa se calculeze :1. Distanta dintre punetele in care eele doua barei ating acela~i mal, precum

~ ~~i distantele strabatute de fiecare barca, daea vectorii u fae eu vectorul V unghiurile0:=45° ~i respectiv unghiul ~=135°.

2. Timpul dupa care cele doua biirci ajung la mal.3. Distanta care separa eele doua barci dupa 10 minute daea una se deplaseaza

in sens opus sensului de deplasare a apei, iar cealalta merge in sensul de deplasare aapei.

1.2.16. Un om cu masa MI=80 kg treee de la un capat la altul al unei barci delungime l =5 m. In timpul aeesta barca, afIata pe 0 apa Iini~tita, se deplaseaza insens opus sensului de mi~eare a omului eu t:.l =2 m. La ffiQmentul initial viteza.barcii fata de apa era egala cu zero.

Se cere sa se calculeze greutatea parcH,

1.2.17. Punctele A ~i B se afIa la distanta d "':"240 m, unul de altul pe 0 ~osea1n panta. Din punctul A pleaca, intr-o mi~care uniform aeeelerata, spre punctul Bun motociclist cu viteza initiala VOl =8 m/s. Concomitent din punctul B, urea spre.

punetul A, intr-o mi:]eare uniform ineetinita un bieiclist. Viteza initiala a bieielis-tului in punetul Beste V02 = 16 m/s. Motociclistul intilne:]te biciclistul dupa 10 se-cunde la 0 distanta de 130 m de punctul A.

Se cere sa se calculeze:1. Acceleratia motoeiclistului :]i aeceleratia biciclistului.2. Vitezele motociclistului :]i biciclistului la intilnire.3. Distanta fata de punctul A, la care se opre9te biciclistul.

1.2.18. Mecanicul unui tren de persoane, care se deplaseaza eu viteza VOl =30 m/svede in fata lui, deplasindu-se in acela9i sens, un tren de marfa care are vitezaU02 =9 m/s. In momentul in care distanta dintre personal 9i marfar este d = 180 m,meeanicul de la personal pune 0 frina care imprima trenului 0 acceleratie de frinarea =-1,2 m/s2

• Se considera ca mecanicul de pe trenul de marfa nu observa apropie-rea personalului !1itrenul de marfa continua sa se deplaseze uniform cu viteza V02'

Se cere sa se stabileasca daca are sau nu are loc ciocnirea dintre cele doua trenuri.

1.2.19. Un biciclist ce se deplaseaza cu viteza Vo = 15 km/h intilne:]te un pietonce vine din sens opus. La 5 minute dupa intilnirea cu pietonul, biciclistul se opre!1tepentru un timp de 1 ora :]i 10 minute. Dupa aceea se intoarce inapoi eu viteza vo'l.a 0 jumatate de ora de la pornire ajunge din urma pietonul care se considera ca s-adeplasat uniform cu viteza VI in intregul interval de timp.

Se cere sa se calculeze viteza pietonului.

1.2.20. Doua ma9ini se deplaseaza pe doua strazi perpendiculare intre ele,inspre intersectia strazilor. Mi:]carea automobilelor este rectilinie 9i uniforma. Primama!1inaare viteza VI =50 km/h iar a doua ma:]ina are viteza v2 = 100 km/h. In momen-tul plecarii lor concomitente prima ma!1ina se afla la dl = 100 km iar a doua la d2 ==50 km de punctul de intersectie a strazilor.

Se cere sa se stabileasca dupa cit timp de la plecarea ma$inilor distantadintre ele este minima.

1.2.21. Coeficientul de frecare dintre un plan $i un corp de greutate G se con-sidera fL.

Se cere sa se determine:1. Intre ce limite poate sa varieze valoarea unei forte orientata paralel cu pla-

nul pentru ca corpul sa nu fie pus in mi$care. PIanul se considera inclinat cu unghiulat fata de orizontala.

2. Unghiul ~ pe care trebuie sa-l faca planul cu orizontala pentru ca, numai subactiunea propriei greutati, corpul sa alunece uniform pe plan.

3. Unghiul y fata de orizontala sub care trebuie Sa fie indreptata 0 forta care saasigure 0 mi$care rectilinie $i uniforma a corpului pe un plan orizontal, astfel incitvaloarea fortei sa fie minima.

4. Valo~rea fortei minime de la punctul precedent.

y 1.2.22. Unui corp de masa m =1 kg aflat la inaJtimea h pe un plan inclinat i seimprima in jos paralel cu planul, 0 viteza vo=lO m/s. Corpul parcurge planul incli-nat in timpul t =2 s !1iapoi i$i continua drumul pe un plan orizontal p ina se opre:]te.Se considera coeficientul de frecare pe planul inclinat :]i pe planul orizontal ca fiindfL =0,2. Se cere sa se calculeze:

1. Lungimea !1iinaltimea planului inclinat.2. Spatiul parcurs pe orizontala.3. Energia cinetica a corpului la sfir!1itul planului inclinat.4. Fortele de frecare pe planul inclinat !1ipe cel orizontal.5. Energia consumatii pentru invingerea fortelor de frecare pe intregul parcurs.

'Se cunoa~te : unghiul dintre plan ~i orizontalii IX =30°.Acceleratia gravitationala se considera 9 = 10 m/s2•

1.2.23. Ma~ina Atwood folosita pentru verificarea Iegilormi~carii uniform accelerate poate fi reprezentata schematic infelul urmator: de un fir care trece peste un scripete sint sus-pendate doua corpuri de mase inegale m1 ~i m2 (fig. 1.16).Se cere:

1. Sa se afle acceleratia sistemului format din cele douacorpuri.

2. Tensiunea din fir ~i forta F care actioneaza asuprascripetelui. Masa firnlui ~i a scripetelui se neglijeaza.

3. Raportul maselor m1 ~i m2 daca se ~tie ca dupa uninterval de timp t de la inceputul mi~carii masa m1 a coboriteu 1/n din distanta pe care ar fi parcurs-o in aceea~i perioadade timp, in cadere libera.

4. Se considera m1=m2 =m =300 g. Pe unul din corpuri se a~aza 0 masa adi-~ionala m' = 10 g. Sa se determine timpul t de Ia inceputul mi~carii, in care fiecarecorp va parcurge distanta d=1,2 m ~i viteza pe care 0 vor avea corpurile dupiiparcurgerea acestei distante.

5. Valoarea fortei cu care actioneaza masa aditionala asupra corpului respectivin timpul mi~carii.

1.2.24. Un om stind pe 0 barca trage spre el, cu ajutorul unui cablu, 0 altii barca.Masa primei barci impreuna cu omul este M1=200 kg iar masa celei de-a doua biircieste M2=100 kg. Forta de tractiune din cablu este F=100 N. Se neglijeaza fortelede frecare ~i se considera ca barcile se afla pe 0 apa lini~tita.

Se cere:1. Acceleratiile celor doua barci.2. Distantele parcurse de cele doua barci in timp de 5 s.

1.2.25. Pe un plan inclinat se deplaseazadoua greutati sub actiunea unei a treia greu-tati (fig. 1.17). Greuta tile sint legate intre eleprin cabluri iar cablul ce Ieaga corpul 2 decorpul 3 trece peste un scripete fix. Coefici-entul de frecare dintre corpurile 1 ~i 2 cu pla-nul inclinat este [.L=0,2. Unghiul dintre planulinclinat ~i orizentala este 1X=30°. Masele celortrei corpuri sint: m1=3 kg, m2'=4 kg, ~i Fig. 1.17m3=5 kg.

Se cere sa se calculeze:1. Acceleratia sistemului format din cele trei corpuri.2. Tensiunea din cablul ce Ieaga corpurile 2 ~i 3.3. Tensiunea din cablul ce Ieaga corpurile 1 ~i 2.

1.2.26. Pe 0 platforma de cale ferata de masa M1 =16 t este a~ezat un tun demasa M2 =3 t. Teava tunului este orientata paralel cu calea ferata, fiicind un unghi.«=60° cu planul orizontaI. Masa proiectilului este m=50 kg.

Se cere sa se calculeze viteza proiectilului, daca din momentul traperii platforma,se deplaseaza cu 8=3 m in timpul t=6 s.

1.2.27. Leonardo da Vinci a· facut urmatoarele afirmatii : Daca fort·a F depla-seaza corpul de masa m in timpul t pe distanta 8 atunci :

1. Aceea~i forta deplaseaza corpul de masa m/2 in timpul t Ia distanta 2 s.2. Forta F va deplasa corpul de masa m/2 pe distanta 8 in timpul t/2.3. Forta F/2 deplaseaza corpul de masa m/2 pe distanta 8 in timpul t.4. Forta F/2 deplaseaza corpul de masa m pe distanta 8/2 in timpul t.5. Forta F deplaseaza corpul de masa 2 m pe distanta 8 in timpul 2 t.Se cere sa se indice care dintre aceste afirmatii sint adevarate.

1.2.28. Un corp de masa m se deplaseaza sub actiunea unei forte F. Viteza ini-tiaHi a corpului este Do =0.

Se cere sase deduca:1. Dependenta energiei cinetice a corpului in functie de timpul t socotit din mo-

mentul inceperii actiunii fortei.2. Dependenta energiei cinetice a corpului in functie de drumul parcurs.

1.2.29. Un corp de masa ml =4 kg se afla la baza unui plan inclinat cu unghiul«=30° fata de orizontala. Corpul este legat de un fir inextensibil de masa neglijabila,trecnt peste un scripete fix situat la extremitatea superioara a planului inclinat. Decealalta extremitate a firului este legat un corp de masa m2 = 10 kg, situat initial lanivelul superior al planului inclinat. Coeficientul de frecare de alunecare intre corpulde masa ml ~iplanul inclinat este fL = V3/4, iar lungimea planului este l =2,5 m. Lamomentul t=o sistemul se lasa liber. Se cere sa se calculeze :

1. Acceleratia cu care se deplaseaza sistemul pina in momentul in care corpulde masa m2 atinge planul orizontal.

2. Vitezele atinse de cele doua corpuri in acest moment.3. Acceleratia corpului de masa ml dupa ce corpul de masa m2 a atins planuJ

orizontal.4. Spati]11 parcurs de corpul de masa ml pina la oprire din momentul in care

corpul de masa m2 atinge planul orizontal.5. Care ar fi energia cinetica a corpului de masa ml, la baza planului, daca in

momentul in care corpul de masa m2 atinge planul orizontal, firul ce leaga cele douacorpuri s-ar rupe.

1.2.30. Un corp de masa ml se afla pe unplan orizontal. Corpul este legat printr-un cablude greutate neglijabila, ce trece peste un scripetefix, de un alt corp de masa m2 (fig. 1.18). Se con-sidera la inceput ca intre corpul de masa ml ~iplanul orizontal nu exista frecare.

Se cere:1. A..eceleratia sistemului.2. Tensiunea in fir.Considerind coeficientul de frecare dilltre

corpul de masa ml ~i plallul orizontal ea fiind fL

se cere:3. Acceleratia sistemului.4. Tensiunea in fir.

·1.2.31. Un automobil se deplaseaza cu 0 IIii~care uniform aecelerata pe un planorizontaL Viteza sa Ia un moment dat fiind Do=18 km/h automobilul atinge dupa uninterval oarecare de timp viteza D =72 km/h. Cu aeeasta ocazie se efectueaza un In-ern mecanic L = 150,093 kJ. Puterea motorului este P =20,4 CP. Se cere sa se caIcu-

. leze:

1. Greutatea automobilului.2. SpatiuI parcurs in mi~carea uniform acceleratiL3. Forta de tractiune medie dezvoltata de motor dadi se considera rezistentele

nule.

1.2.32. Cu ajutorul unui scripete fix aflat Ia 0 inaltime oarecarese Iasa sa co-boare uniform 0 c:u~ca de masa M =120 kg. Dupa primele 5 secunde a strabatut dis-tanta de 10 m. Se cere:

1. Tensiunea in cabluI de care este suspendata cu~ca.2. Ce tensiune trebuie sa suporte cabluI daca Ia urcare mi~carea se face uniform

accelerat cu acceleratia a=2 m/s2•

1.2.33. Pentru verificarea legilor cinematicii se folose~te ma~ina Atwood.La capetele firului inextensibil petrecut peste scripetele ma~inii Atwood sint

legate doua corpuri de mase ml =m2 =m =38 g. Deasupra sarcinii de mas a ml aflataIa diviziunea 0 se a~aza Hira izbire 0 maS{1 aditionala m3 =4 g, care determina mi~-carea' sistemului. I

Se cere:1. Sa se determine ce distanta x parcurge in cadere corpul de masa ml dupa

2 secunde ~i care va fi viteza sistemului in momentuI considerat.2. Dupa 2 secunde corpul de masa m2 este incarcat cu omasa aditionala de 10 g.

Sa se determine Ia ce distanta Xl de diviziunea 0 se va gasi sarcina de mas a ml dndsistemuI se va opri inainte de a porni in sens invers.

3. Ma$ina Atwood mi~cindll-se in sens invers, dupa cit timp (de Ia inceputuIexperientei) $i cu ce vitez{l va reveni corpul de masa mIla diviziunea O.

4. Ce densitate are corpul de maEa m1 daca este 0 sfera de raza r=1,5 cm ..

1.2.34. Doua mobile pornPEc simultan din punctuI A pe aceea~i directie~i inacela~i sens. Primul mobil Ee deplaspaza Cll viteza VI=20 mis, iar al doiIea mobiI sedeplaseaza cu \'iteza V2 = 15 m/s. Dupa un interval de timp t =30 minute un al trei-lea mobiI pleaca tot din pUIlctul A. pe aceea~i direc~ie ~i in acela~i sens Cll primeledoua mobile. ~tiind ca eel de-al treilea mobiI ajunge pe primuI mobiI Ia un intervalde timp t' =60 minute dupa ce I-a ajuns pe eel de-al doiIea mobil, se cere:

1. Viteza celui de-al treilea mobi!.2.' Intervalul de timp t2 scurs de Ia pUIlcrea in mi~care a mobilului al 'doilea ~i

p ina la. intVnirea Iui Cll cel de -aI treilea mobi!.

1.2.35. Un scripete fara greutate este ata$at invirful a dona plane inclinate care formeazi'i cu ori-zontala unghiurile 0: =300 ~i ~ =450 (fig. 1.19). Douagre!Jtati A. $i B de mase ml =m2 = 1 kg sint legate deun fir care trece peste scripete. Se cere:

1. A~celeratia cu care se deplas 'aZ{l greutatilednd frccarea pe ambele plane este l' gIijabila.

2. Tensiunea in fir in conditiile e la punctul 1.3. Acceleratia sistemului ~i tensi lea in fir cind coeficientul de frecare de

care ~ ambelor corpuri pe cele doui' plane este fLI=[1-2=0,1.

1.2.36. Un corp A este aruncalalt corp B cade de Ia inaltimea h =

1. Durata de cadere a corp'2. In ce timp parcurge corpu

ertica] in sus cu viteza' initiala VI"",20 mls. Un9,6 m cu viteza initiala v2 =0. Se cere:

Jj B.B: a) primul metru, b) ultimuI metru.

3. Cum variazii in timp distanta verticaHi x dintre corpurile A :;;iB dacii corpu-rile incep sa se mi:;;tesimultan. La ce moment corpurile sint la aceea:;;ialtitudine.

4. Energiile cinetice ale corpurilor A si B dnd se giisesc la aceea:;;idistantii fatiide sol. Se considerii mA = 1 kg :;;imB =2 kg.

1.2.37. Un corp de masii m=100 g, aflat pe un plan inclinat cu unghiul a,=30°fata de orizontalii, are coeficientul de frecare intre el :;;iplan fJ.=0,2. Sii se calculeze :valoarea fortei F care actioneazii orizontal pentru ca:

1. Corpul sa urce uniform.2. Corpul sa coboare uniform pe plan.3. Corpul sii urce cu acceleratia a=l m/s2•

4. Corpul sa coboare eu acceleratia a =2 m/s2•

5. Corpul sa coboare cu acceleratia a=15 m/s2•

1.2.38. Pe un plan inclinat ce face unghiul C( =300 cu orizontala se giise:;;te uncorp de masii m1= 1 kg legat cu un fir inextensibil ce trece peste un scripete :;;iare lacelalalt capat un corp de masa m2=9 kg (care atirna pe verticala).

Sistemul liisindu-se sa porneasca in mi:;;care farii viteza initiala, se cere:1. Sa se calculeze spatiul parcurs de corpul m1 :;;iviteza corpului mIla momentul

t =2 secunde de la pornire daca coeficientul de frecare intre corp :;;iplanul inclinateste fJ.=0,2.

2. Sa se calculeze tensiunea din fir in conditiile de la punctul 1.3. Sa se calculeze intre ce limite ar putea varia valoarea masei m2 pentru ca sis-

temul sa nu se mi:;;te pe planul inclinat.4. Dadi dupa cele doua secunde de la inceperea mi:;;carii firul se taie instanta-

neu sa se calculeze distanta maxima pe care 0 parcurge corpul de masa m1 pe planulinclinat.

1.2.39. Un corp de masa m = 100 g este aruncat de jos in sus cu viteza initi-ala Yo =200 m/s. In punctul maxim pe care-l poate atinge corpul, are loc 0 exploziein urma careia se obtin doua corpuri de mase m1 :;;im2 care se VOl' mi:;;ca in sensuriopuse dupa directia verticalei.

Se cere:1. Sa se calculeze timpul t necesar corpului m sa ajunga la inaItimea sa maxima.2. Sa se calculeze vitezele celor doua corpuri imediat dupa explozie.3. Sii se calculeze intervalul de timp t1t dintre momentele in care cele doua cor-

puri ating piimin tul.Acceleratia gravitationala se considera 9 = 10 m/s2•

Rap-ortul mJm2 =2/3.Enera-ia de explozie este E =5000 J :;;ise considera ca se distribuie integral sub

forma energiei cinetice a celor doua corpuri.

\ 1.2.40. Un corp cu masa m = 10 kg se arunca in jos pe un plan inclina1 cu un-ghiul a, =450 fata de orizontala, cu 0 anumita viteza initiala asHel ca la pOl" ire ener-gia sa totala este E =420 J. Ajungind la baza planului corpul parcurge di tanta de5 m pe orizontala apoi urca pe un alt plan inclinat cu ~=45°:;;i se oprr te cind aatins distanta maxima pe plan. Coeficientul de frecare are valoarea fJ.= 1,2 pe totparcursul mi:;;carii. Se cere sa se calculeze :

1. Distanta de la care este aruncat corpul pe primul plan daca vit a la baza luidevine egala eu 8,2 m/s.

2. Viteza initiala a corpului pe primul plan.

3. Energia potentiala a corpului in momentul in care se opre~te pe cel de-al doi-lea plan.

4. Lucrul mecanic al fortelor de frecare pe tot parcursul mi1}dirii.

1.2.41. Doua plane inclinate, a~ezate fata in fata sint in contact la bazele lor.Planele au aceea~i lungime I, acela~i unghi a de inclinare fata de planul orizontaI. Dela virful unuia dintre plane aluneca un corp care poate trece pe celalalt plan, in am-be Ie sensuri. Corpul aluneca pe ambele plane cu acela~i coeficient de frecare fl.

Se cere sa se calculeze:1. Spatiul parcurs la a n-a urcare pe planul de la virful caruia a pornit corpuI.2. Spatiul total parcurs de corp pina la oprire.3. Timpul t necesar primei coboriri.4. Timpul necesar pentru a n-a coborire.

1.2.42. Din virful unui deal cu panta a=30° porne~te la momentul to=0,0 saniecu masa inclusiv incarcatura m1 =90 kg avind un coeficient de frecare fl1=0,5. Lamomentul t1 =8,5 s din ace1a~i punct porne~te 0 a doua sanie cu masa inclusiv incar-catura m2 =6@ kg, avind coeficientu1 de frecare fl2=0,4.

Se cere sa se calculeze:1. Accelera tiile Q1 ~i Q2 a celor doua, sanii pe deal.2. Momentul t Ia care se intilnesc cele doua sanii.3. La ce distanta s de punctul de plecare are loc intilnirea saniHor.4. Care din marimile t ~i s este afectata de valoarea acceleratiei gravitationale g.5. Energia cineticii a fiecarei sanii in momentul intilnirii.

1.2.43. 0 motocicleta de greutate G p1eaca de la baza unui plan inclinat ce faceunghiul a cu orizontala, in sus pe plan. Plecarea se face din repaus. Dupa ce a par-curs 0 distanta s pe plan in sus viteza motocicletei este v.

Coeficientul de frecare se comidera 1)..Se cere sa se calculeze puterea medie' dezvoltata de motorul motocicletei.

1.2.44. Un elicopter se ridica vertical in sus cu 0 acceleratie Q = 1 m/s2• Dupa uninterval de 10 secunde de 1a inceputul urciirii, din elicopter se lasa sa cada un pachet.Se neglijeaza frecarile cu aerul ~i se considera acceleratia gravitationalii g = 10 m/s2•

Se cere sa se calculeze timpu1 dupii care pachetul atinge suprafata piimintului.

1.2.45. 0 ladii de masa M =50 kg aluneca cu frecare in jos pe un plan inclinatce face unghiul a =300 cu orizontala. Initial lada se afla la iniiltimea h =2,5 m fatade orizontala. De la baza inferioara a planului inclinat lada continua sa alunece peplanul orizontal. Coeficientul de frecare pe planul inclinat ~i pe planul orizontal estefl1=1/2V3 ~i respectiv fl2=0,3125.

Se cere sa se calculeze:1. Acce1eratia la coborire pe planul inclinat.2. Energia lazii la baza inferioara a planului inclinat.3. Distanta [1 parcursa de 1ada pe orizontala.4. Forta medie suplimentara de fdnare a lazii pe planul orizontal, asUel incit

Sa poata fi oprita la distanta [2 =0,5 m de la baza planului inclinat.

1.2.46. Un carucior cu patnl roti avind impreuna cu pasagerii masa m =1500 kgse mi~ca pe un plan orizontal cu viteza v =36 km/h.

Se cere sa se calculeze :1. Forta minima eu care fiecare sabot de frinare trebuie sa apese asupra roW

respective pentru a 0 bloca.2. Distanta parcursa prin alunecare cu rotile blocate pina la oprirea carucioru-

luL

3. Puterea medie consumata prin frecare.Se considera acceleratia gravitationala g=10 m/s2• Coeficientul de frecare roata

~ina este fl2 =0, 1 iar coeficientul de frecare roata sabot este fll =0,15.

1.2.47. Doua mase m1 =2 kg ~i m2=1 kg sint atlrnate la capetele unui fir con-siderat initial inextensibil trecut peste 1111 scripete fix. La momentul initial,distantadintre cele doua mase este l =2 m. In acest moment sistemul se lasa liter.

Se cere sa se calculeze:1. Accelera tia sistemului.2. Timpul pina la care energia potentiaHi in c1mpul gravitational a celor doua

mase este aceea~i.3. Tensiunea din fir.4. Firul fiind practic extensibiI, se comtata ca, avind lungimea initialiJ l = 10m,

in conditiile mi~carii de mai sus, se alunge~te eu !::J.l =5 .10-3 m. Sectiunea t'irului estes=1O-5 m2•

Se cere modulul de elasticitate al firului.

1.2.48. Un proiectil de masa m=13 g este lansat vertical Cll 0 vitcza v=710 m/s~i se incastreazii intr-o mas a M =420 {t, din metal moale. ~'c cere Sa se calculeze :

1. Inaltimea la care se va ridica ansambIul maselor (m +M) de Ia locuI de cioc-nire.

2. CiIdura degajata prin ci'ocnire.AcceIeratia gravitationaHi g=9,81 m/s2•

1.2.49. Pe un cilindru ce se poate rob In jurul axei sale, aflata in pozitia orizon-tala, se infa~oara un fir de capatul caruia se leaga 0 bila de masa m =2 g. Lasat sa sedeplaseze uniform accelerat pe verticala in jos sfera parcurge distanta d = 1,5 m intimpul t =3 s. Raza cilindrului este R =4 em,

Se cere sa se calculeze:1. Acceleratia unghiularii a' cilindrului.2. Viteza unghiulara dupa timpul t =3 s.3. Acceleratia normala a punctelor de pe suprafata cilindrului la momentul t.4. Energia cinetica a sferei la momentul t.

1.2.50. Sa se calculeze inaltimea h la care trebuie sa fie ridicata ~ina exterioarafata de cea interioara a unei dii ferate la 0 curba cu raza de curbura R pentru a seinlatura forta ce actioneaza spre exterior, a unui tren ce se deplaseaza cu viteza v peportiunea curbei. Distanta dintre ~ine se considera d.

1.2.51. Un jgheab de lemn este format dintr-un plan inclinat I11N, 0 bucla NPNin planul vertical, 0 por~iune orizontalii N R ~i un plan inclinat R S (fig. 1.20).

Pe MN ~i buclii nu existii frecari. Pe dis-tantele NR ~i RS coeficientul de frecare este[1.=0,125.

Se dau : unghiul planului RS fata de orizon~tala a=30°, raza bueIei 1'=20 em, acceleratiagravitationala se considera 9 = 10 m/s2• DistantaNR=2 m.

Sa se calculeze:1. lnaltimea pe I11N de la care se da drumul

unui mobil pentru a strabate bucla.2. Timpul in care corpul strabate dis.,

tanta N S._" Fig. 1.20<:~

3. Spatiul 51 pe care mobiIuI II parcurge pe pIanuI indinat R&4. Timpul t2 in care corpul strabate distanta 51 de pe pIanuI inclinat R5 Ia co-

borire. .5. Inaltimea hIla care urea mobilul pe bucla dnd coboara de pe pIanuI R 5.

1.2.52. Pe un plan inclinat ce face unghiul IX =30° cu orizontala este ridicat uncorp cu ajutorul unei forte constante F care face un unghi .~=45° cu directia pIanuIuiinclinat, orientata spre partea superioara a planului. Masa corpului este m =2 kg.Coeficientul de frecare dintre corp ~i planul inclinat este fL =0,2. Se cere sa se ealcu-Ieze:

1. Valoarea fortei F pentru ca corpulsa se mi~te uniform in sus pe pIanuI in-clinat.

2. Valoarea fortei F pentru ca corpul sa coboare uniform pe plan.3. Valoarea fortei F pentru ca corpul sa coboare uniform accelerat pe plan, cu

acceleratia a=l m/s2•

1.2.53. Un om de greutate G =800 N merge in tramvai, in pieioare, fara sa setina de ceva. Tramvaiul se opre~te brusc iar omul face instinctiv un pas inainte pen-tru a nu cadea. Dad viteza tramvaiului in momentul in care incepe oprirea esteVo =5 m/s iar oprirea se face in timpul t =2,5 s, se cere sa se determine:

1. Lungimea pasului facut de om daca centrul de greutate se afla Ia inaltimeah=1,25 m de la podea.

2. Spatiul patcurs de tramvai in timpul frinarii.

1.2.54~ In momentul dnd un automobil incepe sa accelereze uniform, are vitezaVI =54 km/h ~i dupa ce parcurge distantall =500m intra in curba cu viteza v2 = 72km/h~i i~i pastreaza viteza constanta pe toata lungimea l2 =600 m a curbei, care este unarc de cerc al earui unghi Ia centru este 90°, ~tiind ca automobilul dntare~te 2 t iarfL =0,2 pe intregul drum se cere sa se calculeze :

1. Forta de tractiune pe primii 500 m.2. Viteza unghi ulara ~i forta centrifugadezvoltata la curba.3. Timpul necesar parcurgerii intregii distante considerate.4. Viteza Ia care apare alunecarea Iaterala.5. VitezaJa care apare rasturnareaautomobilului data distanta dintre roti este

d=1,5 m iar pozitia centrului de greutate este la inaltimea h=0,8 m.

1.2.55. 1. Cu ce viteza v trebuie sa se deplaseze un motociclist pentru a se men-tine perpendicular pe peretele vertical al unei camere cilindrice cu raza R =6 m. Coefi-cientul de frecare fiind fL =0,3 iar acceleratia gravita tionala g =9,8 m/s2•

2. Ce inaltime h va atinge un corp care este aruncat pe un plan inclinat in sus,l aralel cu planul, Cll, viteza initiala V calculata. la, punctul 1. Coeficientul de, freearedintre corp ~i plan este fL =0,3. Unghiul dintre plan ~i orizontala este IX =30°.

1.2.56 .. Un corp de masa M =0,500 kg fixat la extremitatea unei bare de masaneglijabila cu lungimea l =0,5 m se rote$te uniform.

Se cere sa se calculeze:1. Forti eentrifuga ce actioneaza astipra cOliului clnd, bara face uriunghi

IX =45° cu pozitia .de echilibru (verti'cala).2. NUJ!larul de rotatii pe secunda.3~Energia cinetica a -maseiiil mi~care: .

1.2.57. Un corp de ma,a m este a/;atat de.capatul ullui fir inextensibil de lun-gime LPunctul de care se fixeaza' celalalt. capat ·al firului se deplaseazi1 .fata de pa-mint eu acceleratia a ce face unghiul IX eu directia orizontaJii.

Se cere sa se calculeze:1. Unghiul ~ pe care-I face firul cu verticala.2. Forta T cu care corpul actioneaza asupra firuiui.

1.2.58. 0 sfera de mas a m1 se deplaseaza cu viteza vlO iar sfera de masa m2 sedeplaseaza cu viteza v20 (v20 <vlO). Sferele se deplaseaza in acelaiji sens ciocnindu-secentral iji perfect elastic. Dupa ciocnire sfera de masa m1 are viteza v1 iar sfera demas a m2, viteza v2•

Se cere:1. Sa se exprime vitezele v1 iji v2 in functie de v1O' v20' m1 ~i m2•

2. Sa se arate ca nu este posibila egalitatea v1 =v2•

3. Sa se studieze ciocnirea dnd m1 =m2•

1.2.59. Pamintul se considera 0 sfera de razii R =6400 km, care efectueaza intimpul T =24 ore 0 rota tie completa in jurul axei sale.

Se cere sa se caIculeze viteza liniara a punctelor de pe suprafata Pamintului.a) la ecuator,b) Ia latitudinea <p=60°,c) la pol.

1.2.60. Un disc se roteijte in jurul axei cu 0 frecventa de rotatie de 955 rotatiijminut.La 10 s dupa oprirea actiunii exterioare, care asigura mi~carea uniforma derota tie a discului, acesta se opreijte. In acest timp miijcarea discului se considera uni-form incetinita.

Se cere sa se caIculeze:1. Viteza unghiulara a discului in timpuI rotapei uniforme.2. Acceleratia unghiulara a discului in timpul opririi.3. Numarul de rotatii efectuate pina la oprire.

1.2.61. Intr-un vas ce are forma unui trunchi de con se afla 0 sfera de masa m.Diametrul partii inferioare a vasului se considera d iar peretii vasului sint inclinaticu un unghi 0: lata de verticalil. Vasul sf' poate roti in jurul unei axe verticale careeste axa sa de ~;imetrie. Se cere sa se calculeze :

Viteza unghiu I,U3 cu carl' trebuie sa se roteasca vasul pentru ca sfera, ce s-a aflatinitial pe fundul vasului, sa poata ie~i din vas.

1.2.62. Un corp de masa m aluneca fara frecare pe 0 curba circulara de raza Raijezata in plan vertical. Corpul pleacii din punctul de inaltime maxima (h =2R) alcurbei.

Se cere sa se specifice in ce p unct de pe curba, corpul se desprinde de acesta.

1.2.63. 0 sfera de masa m este suspendati'i de un fir de lungime l. Firul este deviatde la pozitia de echilibru cu un unghi IX iji in aceasta pozitie sfera este lasata libera.

1. Se cere sa se caIculeze valoa rea minima a unghiului IX pentru ca firul sa se rupadaca se ~tie ca firul se rupe in momentul dnd este solicit at cu 0 forta > 2,5 mg. ---

2. Se considera ca firul este deviat p ina la pozitia orizontaHi ~i apoi sfera este lasatalibera. In acest caz se cere sa se determine unghiul ~ pe care-I face fiml cu verticalain momentul in care acesta se rupe. Conditia de rupere este cea de la punctul prece-dent.

1.2.64. Un fir inextensibil de eare este atirnata 0 bila de mas a m deviata eu un-ghiul CPo de la vertieala ~i apoi 13.sat liber. Se eere :

1. Sa se determine tensiunea in fir in funetie de unghiul cp dintre vertieala ~ipozitia firului.

2. Sa se ealeuleze energia einetiea a bilei in funetie de unghiul cpo

1.2.65. 0 ma~ina de masa m se deplaseaza pe un pod, intr-o mi~care uniforma,cu viteza v. Se cere sa se afle fo1'ta cu care apasa ma~ina asupra podului daca :

a) podul este orizontal,b) podul este arcuit convex,c) podul este areuit concav.

1.2.66. Un automobil se deplaseaza pe 0 ~osea circulara de raza R=50 cm. Sestabile~te ca legea spatiului in mi~earea automobilului poate fi serisa sub forma:

unitatea de lungime se considera metrul, iar unitatea de timp secunda.Se cere sa se ealculeze:1. Viteza automobilului.2. Acceleratia tangentiala ~i acceleratia no1'mala a automobilului preenm ~i

aeceleratia totala in momentul i =5 S.

1.2.67. Un proiectil lansat sub unghiul 0( Cll orizontala explodeaza in punetulcel mai inalt al traieetoriei sale la inaltimea hmax =20 m. In urma exploziei proiec-tilul se desparte in doua parti egale. Dupa timpul i1 = 1 s de la explozie una dintreparti cade pe pamint, sub locul unde s-a produs explozia, la distallta d1= 1 km delocul de tragere. Se neglijeaza rezistenta aerului ~i se considera aeceleratia gravita-tionala g = 10 m/s2•

Sa se ealeuleze:1. Unghiul de trage1'e ~i eomponelltele Vox ~i voy ale vitezei illitiale de tragere.2. Inaltimea maxima pina Ia care s-a ridieat eea de-a doua jumatate a proiee-

tilului.3. Distanta d2 la eare va cadea a doua parte a proiectilului, de Ia loeul de tragere.

1.2.68. Un proieetil este Iansat sub unghiul 0( eu o1'izontala pe un plan inelinatfata de orizontala cu unghiul ~.

Se cere sa se determine unghiul 0( in funetie deunghiul ~ (considerat fix) astfel incit biitaia de-alungul planului inclinat sa fie maxima.

1.2.69. Un om de greutate G se afla pe 0 plat-forma (fig. 1.21) ce se rote~te cu viteza unghiulara win jurul unui ax, la distanta R de axa de rotatie. Omulridiea 0 greutate G1 cu ajutorul unei fringhii ce treeepeste un seripete fix. Coeficientul de freea1'e intrepieioarele omului ~i platforma se eonsidera IJ-. Se eeresa se determine cum poate sa varieze aeeeleratia Cllcare omul ridica greutatea G1 pentru ca el sa raminain repaus fata de' platformiL

,w~

I

1.2.70. 0 sfera de masa M =1 kg, de dimensiuni neglijabile estefixata la extremitatea unei tije T de mas a neglijabila (fig. 1.22), arti-culata la partea superioara de un ax vertical AA' caruia i se imp rima() mi~care de rota tie uniformii. Lungimea tijei Teste 1=1 m. Accele-ratia gravitationala se considera g =10 m/s2•

Se cere sa se calculeze:1. Viteza de rotatie <ua sistemului in junii axului A.A' asUel ca

G 'tija sa faca unghiul a=30° cu axuI.2. Energia cineticii a masei m pentru a=30°.

Fig. 1.22 3. Energia totala ce trebuie cedaUi sistemului aflat initial inrepaus pentru a i se imprima mi~carea respectiva.

1.2.71. Un corp de mas a m =0,5 kg este legat de unfir inextensibiI; un capat al firului fixat in pUllctul 0(fig. 1.23). Corpul este tinut lntr-o asUel de pozitie ca firulsa faca unghiul a =30° cu verticala. Se cere sa se caIculeze :

1,) Forta de intindere a firului cind corpul fiilld inrepaus firul face unghiul a=30° cu verticala.

2) Forta care tinde sa readuca eorpu1 in pozitia deechi1ibru.

3) Forta de intindere a firu1ui dud corpu1 fiilld Hisatlibel' trece prin pozitia de eehilibru.

4) Viteza tangentiaJa Vo care trebuie s-o aiba eorpulpentru ca trednd prin pozitia de eehilibru sa-~i continuedrumul in partea opusa pina face unghiu1 ~ =600 cu vertieala.

1.2.72. Un vagon eu masa mi se dep1aseaza pe un traseu orizontal cu viteza vO'

Dupa un interval de timp ti el ciocne~te un al do ilea vagon cu masa m2, care sta pelinie ~i cu care i~i continua mi~earea impreunii pina 1a oprire. In tot timpul mi~cariicoeficientul de frecare este fJ-.

Se cere sa se ca1culeze:1) Spatiul parcurs de primul vagon pina la ciocnire ~i viteza lui in momentul

ciocnirii.2) Viteza cu care pornesc cele doua vagoane dupa ciocnire.

:3) SpatiuI parcurs de cele doua vagoane pina la oprire.

1.2.73. Se considera 0 bara AB absolutrigida ~i de greutate neglijabila. Bara esteactivata de un sistem de forte paralele (figura1.24).

Se dau FI =2 kgf, F2=1 kgf, F3=3 kgf,F4 =4 kgf ~i F5 =5 kgf. Bara are lungimea6 a.

Sf:' cere sa se calclllf:'7e fe, -tele par~lele FA ~i FB Cll care trebuie actionat la cape-ba rei asUel incH acea~to -,a se afle in echilibru sub actiunea sistemului formatcele 7 Forie.

teledin

1.2.74. Dona bare absolut rigide AB ~i AC sint articulate in punctul A ~i -deasernellea III punctele B ~i C ale unei suprafete orizontale (fifF. 1.25), astfel incitbara

A B formeaza unghiuI 0( =45° iar bar?- ACunghiuI ~=60° cu orizontala.De artieulatiaA se Ieaga un fir inextensibil iar de capatuIlibel' aI firului se Ieaga 0 greutate P cu masa.m =100 kg. lHasa barelor se neglijeaza.

Se cere sa se calculeze tensiunile ce aparin barele AB 9i AC.

1.2.75. De virfurile unei placi patrate Fig. 1.25rigide ABCD de laturL s 9i g):eutate neFlli-jabila.actioneaza fortele F, 2F, 3F, 9i 4F (fig. 1.26). Se cere sa se calculeze forta R caretrebuie sa actioneze asupra placii pentru ca aceasta sa fie in echilibru, precum 9ipunc-tul 0 de apIicatie a fortei R.

1.2.76. Se da un sistem format din trei bare absolut rigide A~, BC 9i CD arti-culate intre ele la capetele B 9i C 9i articulate in punctele A 9i D fixatepe 0 suprafatiiorizontala (figura 1.27). Se considera AD=BC 9i AB=CD. In articulatia C actio-neaza pe orizontala 0 forta Fc=100 N.

/1/ I

/ I.1· 'rf

x I F

oFig. 1.27

Se cere sa se calculeze valoarea fortei FE apIicata vertical in jos in articulatiaB, asUeI incit sistemuI indicat sa ramina in echiIibru. Pozitia de echiIibru este astfelinclt 1::BA.D=30° 9i 1::ADC=90°.

1.2.77. Se cere sa se calculeze centruI de masa aI unei placi omogene care areforma unui sector circular de raza r eu unghiuI Ia centru 20c (In radiani). Sa se parti-cularizeze rezultatuI obtinut pentru cazuI unui sfert de cerc 9i aI unui semicere.

1.2.78. , Sa se determine centrul de greutate alariei unui segment de raza R (fi@'. 1.28) avindunghiuI la centru 20c (In radiani).

1.2.79. 0 bila de mas a m este suspendatade un fir inextensibil 9i seoasa din pozitia deechilibru asUel ca firul Sa faca unghiul 1tj2 cuverticala 9i apoi este lasat libel'. Se considera ca.in momentul initial firul nu este tension at.

Se cere sa se stabileasca pozitia punctelor de pe traiectoria bilei in care accele-fatia este verticala in jos, verticala in sus ~i orizontala.

1.2.80. Doua corpuri cu masele ml ~i m2 sint legate printr-un fir inextensibil caretrece peste un scripete fix. Suprafetele plane pe care corpurile stau la momentul ini-

1.2.83. Se da sistemul de bare ~i de greutatiindicat in fig. 1.32. Barele AD, BC, CH, DI ~ibratul 001 al pirghiei sint de doua ori mai lungidedt barele AE, EB, IJ, JH ~i bratul FO. Gre-utatea barelor ~i a pir!1hiei se neglijeaza.Se cere sa se calculeze raportul greuta tilor Gl ~i

Fig. 1.32 G2 pentru ca sistemul sa fie in echilibru.

1.2.84. 0 hila elastica cade libel' de la inaltimea h pe un plan inclinat care faceunghiul rx cu orizontala (figura 1.33). Ciocnirea intre bila ~i plan se considera perfectelastica.

Se cere sa se calculeze rap ortul distan telor intre punctele la care hila sarind 10-Ile~te succesiv planul inclinat.

1.2.85. Doua platane pe care s~ afl.a we~ta~ile. egale. G =3 k~f s~nt sus~~nd~tede capetele unui fir trecut pe ste dOl scnpetl flc~l. Flrul dmtre scnpetl este talat lar

tial in repaus formeaza unghiul rx ~i ~ ell orizon-.tala (fig. 1.29). Corpul din dreapta are centrul degreutate cu inaltimea h mai jos dedt eel dinstinga. Daca sistemul este lasat libel' cele douacorpuri se VOl'afla dupa un interval de timp 't' laaceea~i inaltime. Coeficientul de frecare al corpu-rilor pe cele doua plane se considera fl..

Se cere sa se stabileasca relatia dintre valo-rile maselor ml ~i m2•

1.2.81. Un numar n de caramizi sint a~ezateuna peste alta in genul indicat in fi~ura 1.30. Seconsidera ca intre caramizi nu exista nici 0 fortade legatura. Fiecare diramida are lungimea I.

Se cere sa se calculeze distanta maximadintre fetele din dreapta a diramidei celei maide sus ~i a fetei din stinga caramidei celei maide jos, astfel ca sistemul sa ramina in echilibru.

1.2.82. In figura 1.31 se indica 0 parte dintr-opIasa orizontala tensionata. Portiunea AB estetensionata cu 0 forta egala cu 10 N.Se cere sa se calculeze tensiunile din portiunileBC, CG, CD ~i DE. Nu se tine seama de masafirelor.

capetele libere se leaga la un dinamometru (figura 1.34). Se neglijeaza masele plata-nelor, scripetilor :;;idinamometrului.

Se cere sa se calculeze:1. IBdicatia dinamometrului.2. Greutatea GI ce trebuie adaugata pe un platan pentru ca indicatia dinamo-

metrului sa nu se schimbe cind luam de pe celalalt platan @Teutatea G2=1 kgf.

Fig. 1.33 Fig. 1.34

1.2.86. Doua maimute avind aceea~i greutate G se afla la capetele unui fir tre-cut peste un scripete fix. Una dintre maimute incepe sa se urce pe fringhie iar cealalt.aramine in repaus fata de fringhie la pozitia initiala. La momentul initial ambele mal-mute se aflau la aceea:;;i inaltime fata de sol. Se neglijeaza greutatea scripetelui, afringhiei ~i frecarile.

Se cere sa se calculeze unde se va afla maimuta care sta cind cea care urca pefringhie va atinge scripetele. '

1.2.87. Se considera un sistem format din doi scripeti fic:;;i:;;iunul mobil (figura1.35). Un fir trecut peste sistemul de scripeti are la capete masele mi ~i ms' De scripe-tele mobil se atirna un corp de masa m2• Diametrul scripetelui mobil este egal cu dis-tanta dintre extremita tile interioare ale celor doi scripeti fiqi, astfel ca portiunilefirului ce sustine scripetele mobil sint verticale. Se neglijeaza masele scripetilor :;;ialefirelor. De asemenea se neglijeaza frecarile.

Se cere sa se calculeze acceleratiile aI' a2 :;;ias ale maselor ml, m2 :;;irespectiv ms'1.2.88. Se da sistemul de scripeti indicat in figura 1.36. Masa scripetilor :;;ia fire-

lor se neglijeaza.~Se neglijeaza :;;ifrecarea. Se cere sa se determine:

1. AcceleratiiIe maselor ml ~i m2•

2. Sensul de rota tie a scripetilor in timpul deplasarii corpurilor.

1.2.89. Doua corpuri cu masele egale cu m sint suspendate de capetele unui firtrecut peste doi scripeti fic~i (fig. 1.37). Un aI treilea corp tot cu masa m este suspen-dat la mijlocuI firului dintre scripeti. Distanta dintre axele scripetilor este 2 l.

Se negIijeaza frecarea la axele scripetilor :;;igreutatea firelor.Se cere sa se gaseasca inaltimea cu care coboara corpuI al treilea cind sistemuI

indicat este lasat liter.

1.2.90. Un disc rigid ~i omogen (fig. 1.38) se rote~te fara alunecare pe un planorizontal cu viteza constanta v. Se cere:

1. Sa se demonstreze ca viteza liniara de rota tie a punctelor de pe periferia dis-cului, in raport cu centrul 0, este egala cu viteza mi~carii de translatie a discului.

2. Marimea ~i directia vitezelor punctelor A, B, C ~i D de pe periferia disruluiin raport cu un observator aflat in repaus la 0 distanta oarecare de disc.

3. Pozitia punctelor de pe disc care au aceea:;;i viteza absoluta ca :;;icentrul dis-c1,llui in raport cu observatorul considerat la punctul precedent.

1.2.91. Trei corpuri aflate intr-o mi~care derota tie sint legate de capetele unui fir care trecepeste doua cuie (fig. 1.39). Doua corpuri cu aceea~imasa m fiecare s int atirnate in partea stinga ~iun corp cu masa L2 m este atirnat in parteadreapta. Se neglijeaza masa fili~lui ~i frecarea.

Se cere sa se stabileasca daca sistemul formatdin cele trei corpuri va fi in echilibru.

Un camion cu masa m = 10 t se deplaseaza pe 0 ~osea orizontala cu viteza

II

I

I

I

I

I ,t:_-_-_-____.-mZm

1.2.92.!J=10 mjs.Se cere sa se calculeze:

1. Energia consumata pentru a atinge aceasUi viteza, considerind viteza initialazero :;;i frecarile neglijabile. .

2. Puterea motorului ca viteza camionullli sa ramina constanta daca fortele defrecaresint Ff=100 N pentru fiecare tona. .

3. Consumul de combustibil pe ora in conditiile de la punctul 2 daca motorulare randamentul de 60% ~i folose~te combustibil cu puterea calorica q =4,6 .107 Jjkg.

4. De cite ori trebuie marita puterea motorului pentru ca urcind 0 panta cuinclinarea 5/100 viteza camionului sa ramina tot 10 m/s. Pe panta se considera coefi-cientul de frecare rezultat de la punctul 2.

1.2.93. Din dreptul marginii superioare a unui plan inclinat cu unghiul IX fatade orizontala, avind inaltimea lz se cIa drumul simultan la doua corpuri ; unul in lun-gul planului iar celalalt pe verticala. Cind corpul de pe verticala a strabatut jumatatedin iniiltimea planului, cel de pe plan patrunde intr-o zona in care se ia in conside-rare frecarea cu coeficientul fL. Zona cu frecare tine p ina la terminarea planuluiinclinat.Se cere sa se calculeze:

1. Timpul in care corpul de pe plan a ajuns la baza planului.2. Viteza corpului dupa cr a parcurs distanta d pe pIa nul orizontal. Coeficientul

de frecare pe planul orizontal este tot fL.3. Timpul de mi~care a cvrpului pe orizontala.

1.2.94. Un motor eU puterea P=40 CP actioneaza 0 ma~ina cu masa m =4 t,care se deplasC'?za pe 0 ~osea orizontala.Sa se calculeze:

1. Viteza ma~inii dupa 30 secunde, neglij incIu-se frecarile.2. Presupunind ca fortele de frecare sint independente de viteza ma~ll111 ~i au

valoarea 30% din greutatea acestuia sa se arate ca mi~carea vehiculului tinde sa de-vina 0 mi~care rectilinie ~i ulliforma. Se cere viteza limita atinsa in acest caz.

3. Dupa ce s-a atins viteza limita se dore~te sa se frineze ma~ina pe 0 distantade 110 m. In acest scop se sup rima actiunea motorului ~i se actioneaza frina. Se cereforta de frinare ~i timpul cit actioneaza ea.

1.2.95. Intre doua sta~ii distanta este de 20 km ~i avind 0 diferen~a de nivel de76 m, calea ferata prezinta 0 panta regulata. Timpul necesar unui tren pentru a par-curge aced spatiu este 40 minute. Garnitura este compusa dintr-o locomotiva de8 tone, 3 va£oane de 35 tone fiecare ~i un vagon po~tal de 15 tone.

1. Care este unghiul pantel.2. Neglijindu-se fortele de frecare se cere:a) Forta de tractiune a locomotivei,b) Lucrul mecanic total efectuat,c) Puterea dezvoltata de locomotiva.3. In realitate forta de frecare are 0 valoare egala cu 1/100 din greutatea fiecarei

tone tractata. Sa se recalculeze in acest caz elementele cerute la punctul 2.4. Randamentul motorului fiind 15%, care este puterea consumata.

1.2.96. Trei greutati G, P ~i Q sint legateintre eIe ca in figura 1.40. Cocficientul de fre-care intre P, rrspectiv Q pc planul orizontal,~i pe planul indicat este [1-. Masa scripetilor seneglijeaza.

1. Sa se studieze mi~carea corpurilor.2. Sa se determine reactiunile in fire.

1.2.97. Dupa parcurgerea in mi~carea uni-form acceleraUI a unci portiuni de 250 m de caleferata rectilinie ~i orizontala cu vitez a initiaUi Fig. 1.4054 km/h, 0 drezina de 10 tone intdl intr-ocurba cu viteza de 72 km/h ~i iese din curbacu viteza de 43,2 km/h. Curba este unsfert de cere cu raza de 500 m iar coeficientul de frecare cu sina fL =0,025. Consi-derindu-se g=10 m/s2 ~i neglijind rezistenta aerului se cere':

1. F'Or~eled'e tractiune dezvoltate de motorul drezinei pe cele 2 trasee.2. Forte:le orizontale care apasa pe ~ine la intrarea ~i la ie~ir~a din curba.3. Timpul de parcurgere a celor doua trasee de cale ferata.

1.2.98. Se suspenda de un fir cu lungimea /= 1,5 m un vas plin cu apa. Firul fiindTiixat la un capat, i se imprima sistemului 0 mi~care de rotatie uniforma in planulvertical. lVlasavasului ~i cea a apei este M =3 kg.'Se cere sa se calculeze :

L Numarul de rotatii pe secunda pe care trebuie sa Ie faca vasul pentru ca apa:sa nu cada din vas.

2. Tensiunea maxima pe care 0 suporta firul dnd se efectueaza doua rotatii pesecunda.

3. Frecventa de rotatie ce trebuie imprimata pentru ca in punctul cel mai sus:al traieetoriei vasul plin eu apa Sa fie in stare de imponderabilitate.

1.2.99. 0 locomotiva de 100 tone trage 4 vagoane de cite 50 tone. Frecarile sintneglijabile; acceleratia gravitationala este 10 m/s2•

1. Plecind de la 0 viteza nula, locomotiva atinge viteza VI =36 km/h in 10 secunde.Sa se calculeze forta totala de tractiune exercitaUi de loeomotiva ~i forta cu care~oeomotiva trage trenul format din cele 4 vagoane.

2. Locomotiva atingind viteza de 36 km/h ineepe sa uree pe 0 rampa aseendenta-de 2%, adiea ridieindu-se cu 2 m pe un parcurs de 100 m. tn 20 de seeunde de mi~carepe rampa, uniform aeeelerat, loeomotiva atinge viteza v2=72 km/h. Sa se calculezeaeeeleratia, spatiul parcurs ~iluerul meeanic efeetuat de loeomotiva in timpul de:20 seeunde.

3. Puterea mecaniea maxima a loeomotivei fiind 4500 kW, care este timpulminim in care trenul ar putea atinge 0 viteza de 120 km/h? Cu ce viteza maximacar putea urca 0 panta de 3% ?

~'

1.2.100. Se considera un spatiu plan, orizontal de lungime L, care separa bazele.a doua plane inclinate, de unghiuri (Xl ~i (X2' La mijlocul distantei L sint in repausdoua mase punctiforme ml ~im2, alipite. Masele sint puse in mi~care prin explozia uneimase M de combustibil cu puterea calorica q ~ise deplaseaza pe aceea~i dreapta in sen-suri opuse, catre planele (Xl ~i (X2' Considerindu-se ca intreaga energie rezultata dinexplozie este preluata de cele doua mase ~i ca mi~earile lor implidi freeare eu coefi-cientul /L, se cere sa se ealculeze vitezele eu care masele revin in punetul initial.

1.2.101. Fie un plan inelinat cu unghiul(Xl=450 ~i iniHtimea h1,=1 m eontinuat cu 0

portiune orizontaIa /2=1,2 m ~i apoi cu un altplan inclinat eu unghiul (X2 fata deorizontala ~ide inaltime h2=0,6 m (fig. 1.41). Pe acestrelief aluneca din punctul A, eu frecare, uncorp cu masa m =3 kg. Coeficientul de frecare peintregul traseu are valoarea /L =0,1.Se cere sa se calculeze :

1. Marimea unghiului "'2 dad!. mobilul ajunge pina in punctul B.2. Luerul mecanic al fortelor de frecare pe distanta dintre punetele A ~i B.3. tnaltimea la care se va ridiea eorpul pe al doilea plan daca unghiul (X2 =30.

1.2.102. Fie un plan inclinat cu unghiul (X=;0300 a carui cateta mare Sl =30 emoestecontinuat cu 0 portiune orizontala ell.' lungime S2 =25 cm ~i apoi eu un arc de cere.convex a carui raza este R =1 m (fig. IA~!). Pe plan este lasat din punctul de inaltime

maxima, sa cada un corp P de masa m =5 kg.Coeficientul de frecare pe planul inclinat este fLl =0,1pe portiunea orizontala fL2 =0,2 iar pe arcul decerc este fL3 =0,4.Se cere sa se calculeze :

1. Inaltimea pi na la care urca corpul pesuprafata cilindrica N M cint este lasat liber dinpunctul P.

2. Viteza initiala cu care trebuie lansat corpul din punctul M pentru a'ajunge in P.

Indicatie : se va considera ca pe portiunea de drum curbilinie N M actiunea fortei-centrifuge produce numai 0 cre~tere a fortei de frecare care se opune mi~carii.*" 1.2.103. Un ascensor ce se afla in mi~care verticala, mai intU cu acceleratia ascen-denta a =2 m/s2 ~i apoi cu acceleratia descendenta a1 =3 m/s2, contine 7 lazi identicea~ezate una peste alta, avind fiecare greutatea G= 100 N.

Coeficientul de frecare dintre lazi este fL iar coeficientul de frecare dintre lada.a 7-a ~i as censor este fL'.Se cere:

1. Sa se calculeze apasarea primei lazi pe a doua, a celor de-a doua pe cea de-a.treia etc., pentru valorile a ~i aI' ale acceleratiilor.

2. Forta orizontala necesara pentru deplasarea laterala a intregului lot de laz~~i sa se arate cind aceasta deplasare se va face mai u~or.

3. Conditiile de realizare a deplasarii daca forta orizontala este aplicata in mij-locul Iazii a 6-a.

*1.2.104. Un proiectil este lansat dintr-un tun inclinat sub unghiul 0: fata de ori-zontaIa.

1. Se cere sa se determine de cite ori se mic~oreaza bataia proiectilului daca setine seama de reculul aparatului de lansare. Se neglijeaza rezistenta aerului ~i sepresupune ca reculul este numai orizontaI.

2. Cu ce viteza initiaIi'i este lansat proiectilul daca setine seama de recuI.3. Timpul in care va fi parcursa traiectoria tinind seama de recuI.4. Ce viteza se imp rima aparatului de lansare datorita reculului.Se da: M - mas a aparatului de lansare,

v - viteza initiala fara recul,m - mas a proiectilului.

1.2.105. Doua bile de mase diferite m1 ~i m2 sint suspendate liber de ni~te fire delungimi II ~i 12, astfel incit bilele vin in contact. Prima bila se deplaseaza in planulfirelor de la pozitia initiala cu unghiul 0:1, apoi i se da drumul. Se produce 0 ciocnirecentrala elastica a bilelor.Se cere sa se calculeze:

1. Unghiurile 0:1 ~i 0:2 cu care VOl' devia bilele fata de verticala dupa prima ciocnire.Unghiurile se considera mici (adica sinusurile se aproximeaza cu arcul).

2. Energia corpurilor dupa ciocnire.

1.2.106. Doua bile A ~i B cu masele mA =2 kg ~i mB =3 kg pornesc una spre altacu vitezele VA =6mjs ~i VB =3 m/s. Distanta dintre bile fiind d =90 m se cere sa se cal-culeze timpul dupa care fiecare dintre bile revine la pozitia initiala. Se considerao ciocnire elastica, in care bilele se mi~ca rectiliniu ~i uniform fara Irecare.

1.2.107. 0 bila de mas a ml care se mi~ca cu viteza VI este lovita de 0 alta bilade masa m2, care 0 ajunge pe prima, mi~dndu-se in acela~i sens cu viteza v2• Ciocnirease considera perfect neelastica. Se cere:

1. Sa se afle viteza bilelor dupa ciocnire ~i energia lor cinetica.2. Considerind ca bilele se deplaseaz'l una spre cealalta ~i ca energia cinetica

a unei bile este de 20 de ori mai mare dedt energia cinetica initiala, a celeilalte. In ce{:onditii bilele se VOl' mi~ca dupa ciocnire, in sensul in care se mi~ca bila cu energiemai mica.

1.2.108. Un corp de masa m =300 kg porne~te din repaus ~i se mi~ca pe un planDrizontal cu acceleratia al =0,1 m/s2 timp de 1 minut, dupa care forta de tractiuneinceteaza Sa mai actioneze. In continuare corpul coboara pe 0 panta inclinata cu unghiul(Xl =300 fata de orizontala ~i lunga de 50 m, apoi pe un plan orizontal pe 0 distanta.s =50 m ~i urca pe un plan inclinat cu unghiul (X2 =450 fata de orizontala. Pe planeleinclinate coeficientul de frecare este fLl =0,1 iar pe portiunile orizontale fL =0,2.Se cere:

1. Viteza corpului la marginea superioara a pantei.2. Forta de tractiune pe prima portiune orizontala.3. Acceleratia pe panta ~i viteza la baza ei.4. Timpul in care corpul strabate ultima portiune orizontala.5. Inaltimea la care se ridica corpul pe planul al do ilea ~i energia in momentul

Dpririi.

1.2.109. De la ce inal~ime h trebuie sa alunece fara frecare un mobil de masam = 10 kg pentru a putea sa parcurga un looping de raza R =5 m?

Ce distanta Sf va parcurg'e acest corp pe pIa nul orizontal dupa efectuarea 100-pingului, daca se deplaseaza cu frecare, coeficientul de frecare fiind fL =0,3.

In cit timp va fi parcursa distanta Sf?Considerind ca dupa efectuarea loopingului corpul s-a oprit izbindu-se de un

Dbstacol intr-un interval de 0,2 secunde, Sa se afle forta me die de izbire ?

1.2.11 O. Vn avion cu viteza V = 120 km/h strabate 0 distanta de 360 km dus ~il:ntors.

1. In cit timp parcurlle avionul distanta dus ~i intors :a) pe un timp frumos fara vint,b) dnd vintul bate pe distanta de mi~care a avionului cu viteza VI =60 km/h.2. Presupunind ca avionul coboara la 0 altitudine de 490 m 1?ica deasupra unui

punct A lasa sa cada un pachet greu, sa se afle neglijind influenta vintului 1?irezistenta,aerului, la ce distanta pe orizontala pachetul atin~e solul ~i cu ce viteza.

3. Sa se efectueze calculele de la punctul 2 in cazul dnd vintul bate cu viteza'vl =60 km/h; se considera ca vintul bate Cll viteza constanta 1?i rezistenta aeruluieste neglijabila.

Calculele se fac dnd viteza vintului este de acela~i sens cu viteza avionului 1?icind este de sens contrar.

1.2.111. L.a extremitatile unui ax care se rote1?te este fixat un mic inel prin caretrece un fir. La capetele firului sint prinse doua mase M1 1?iM2• Presupunirid ca intimpul rotirii axului masa M2 este indepartata de la pozitia de echilibru (verticala)~i descrie un cerc in planul orizontal, iar masa M1 ramine dupa pozitia verticala.Sa se determine:

1. Viteza unghiulara, dnd raza cercului descris este jumatate din lungimea firu.,lui de care este atirnata mas a M2•

2. Energia masei M2•

*1.2.112. Greutatea unui corp Ia pol este G=9,81 N.Se cere:

1. Greutatea aceIuia~i. corp la ecuator.2. De cite ori trebuie sa se roteasca PamintuI mai repede dedt in mod obi~nuit

pentru ca la ecuator corpuriIe sa nu aiba greutate.Se· cunosc : .

--.:..raza Pamintului Ia ecuator R =6,37 . 106m,. - acceleratia gravitationaIa g=9,81 m/s2•

*1.2.113. 0 racheta cosmica zboara spre Luna. Cunosdnd urmatoareIe date ~arac-teristice pentru:

Pamint Rp=6,37 ·106m, Mp =5,96 .1024 kg,gp =9,81 m/s2 Ia suprafata sa,

Luna RL=1,74·1O° m; l\h=3·1022 kg~i constantaatractiei universaIe: y =6,67 .10-11 m3/kgs2•

Sa se calculeze :1. Distanta de Ia suprafata pamintuIui, pe directia ce une~te centreIe celor

doua cimpuri, pina in punctul in care racheta va fi atrasa cu aceea~i forta de.Pamint, respectiv de Luna.

2. De cite ori va cre~te sau se va miqora perioada de osciIatie a unui pendulmatematic transportat de pe Pamint pe Luna.

*1.2.114. Un sateIit artificial al PamintuIui Cll masa m=60 kg se rote~tepe 0 traiectorie circulara situata Ia inaItime de 180 km de suprafata Pamintului.Se cere:

1. Viteza satelituIui.2. Perioada de rotatie a satelitului in jurul Pamintului.3. Greutatea satelituI ui la inaltimea considerata.4. Perioada indicata de un pendul matematic instaIat pe satelit daca pe Pamint

acesta bate secunda.Se dau:

y =6,67 .1O-11Nm2/kg2•

Masa pamintuIui M =5,978.1024 kg, go=9,81 m/s2•

*1.2.115. Sa se arate cum variaza greutatea unui corp cu distanta de Ia supra-fata PamintuIui, p ina Ia departarea h =20 raze ale Pamintului.

1. La ce inaItime deasupra PamintuIui greutatea unui corp scade eu 0 treimedin greutatea pe care 0 are Ia suprafata PamintuIui.

2. Care este acceleratia gravitationaIa la inaltimea h =5 raze ale PamintuIui.

*I.2.116. 0 pIaneta se mi~ca pe 0 orbita eJiptica avind Soarele in unul dinfocare. L.uind in considerare Jucrul mecanic aI fortei gravitationale sa se indicepunctul de pe traiectorie in care viteza planetei va Ii maxima ~i punctuI in careviteza planetei va Ii minima.

*1.2.117. Doi sateliti se deplaseaza de-a lungul unei orbite circularc in acela~isens la 0 distanta midi unul de ceIalalt. Se pune problema trecerii unui containerde pe primuI sateIit pe aI doiIea. Viteza containeruIui in raport cu satelituI seconsiderii v, care este mult mai mica decit viteza V a satelitului.Se cere sa se determine cind ajunge containerul mai repede pe cel de-aI doiIea sa-telit. cind va fi aruncat in directia mi~carii primului satelit sau in directie opusa.

*1.2.118. Se cere inaitimea minima de la suprafata Pamintului atinsa de primulsatelit sovietic lansat la 4 octombrie 1957 daca se considera cunoscute urmatoarele

date: inaltimea maxima atinsa de satelit este hmaa; =900 km. Perioa,da de rota tiea satelitului in jurul Pamintului este Ts=96 minute. Semiaxa mare a orbitei l.unii:este RA =384400 km, iar perioada de rotatie a Lunii in jurul Pamilltului TL==27,3 zile. Raza Pamintului Ro =6370 km.

"*" 1.2.119. tntr-un satelit artificial al Pamintului se afla un corp cu masa m ==0,100 kg, suspendat de un resort aflat in satelit. $tiind ca resortut se alunge~tein satelit de patru ori mai putin declt atunci clnd se afla pe Pamint se cere sa secalcuIcze :

1. Valoarea fortei centrifuge care actioneaza asupra corpului.2. Viteza satelitului pe orbit a circulara.3. Numarul de rotatii efectuate de satelit in 24 de ore.Raza Pamintului R =6400 km. InaItimea satelitului fata de supra.fata Pamin-

tului se considera h ~ R.*" 1.2.120. Pentru realizarea legaturii internationale prin televiziune este 5ufi-cient sa avem trei sateliti care se rotesc pe 0 orbita circulara plana in planul ecu-atorului de la rasarit spre apus ~i aflati la 0 distanta unghiulara de 1200 unul fatade altul. Perioada de rotatie a fiecarui satelit este T =24 h.

1. Sa se determine raza orbitei ~i viteza liniara a unui asHel de satelit.2. Sa se calculeze lucrul mecanic necesar pentru a scoate pc orbiti'i un astfe}

de satelit de masa m=2000 kg.*" 1.2.121. Sa se stabileasca la ce iniiltime trebuie sa se roteasca un satelit arti-ficial al Pamintului pentru a ramine tot timpul deasupra aceluia~i plmct de pesuprafata Pamintului.

1.2.122. Un pendul cu amplitudinca unghiulara <X =450 revine in pozitia deechilibru cu viteza v =3,39 m/s. Acceleratia gravitatiei in locul considera't este g ==9,81 m/s2, iar greutatea sferei pendulului fiind G=0,5 kgf, se cere:

1. LUIlgimea pendulului.2. Perioada oscilatiilor pendul ului.3. Energia potentiala in punctul cu alonga~ia maxIma.4. Energia cinetica a corpului cind corpul trece prill pozitia vertical'a.

*" 1.2.123. Un rewrt liniar are lungimea L1 dnd se gase~te in pozitia verticalii.libel'. Daca se atirna la capatul lui 0 masa m1 lungimea lui va deveni L1++L=L2• Dupa ce resortul impreuna cu masa m au atins pozitia de echilibru, 0

a doua masa m carle de la inaltimea L2 peste prima, cu care se ciocl'le~te inelastic.Sa se calculeze :

1. Perioada ~i amplitudinea oscilatiei rezultate.2. tna1timea maxima, deasupra pozipei initiale de echilibru, atinsa in mi~carea

rezultanta.

1.2.124. Se considera greutatea G=49 N suspendata de un arc. ArcuJ. respectivse alunge~te cu 9 em sub actiunea unei forte de 58,8 N. Se cere:

1. Perioada de oscilatie a greutat!i G.2. Energia de oscilatie a masei suspendate.

Acceleratia cravitationala este g=9,80 m/s2•

1.2.125. Un punct material de masa m se mi~c:i intr-ull plan avin.d <loor-donateledate de expresiile:

x=a cos w ty=b+c sin wt.

Se cere:1. Ecuatia traiectorici.

2. Viteza punctului material.3. Acceleratia punctului material.4. Forta rezultanta care actioneaza asupra punctului m~terial.1.2.126. Un corp de masa m =5 kg, executa 0 mi:;;care oscilatorie armOlllca.

~tiind ca pentru a indeparta corpul din pozitia de repaus, p ina in punctul Msituat la distanta maxima de aceasta pozitie, se cheltuie:;;te un lucru mecanic L ==0,55J :;;i ca in punctul M forta care actione9o:a corpul este F=2,5 N.Sa se afle :

1. Amplitudinea mi:;;carii corpului A.2. Coeficientul de elasticitate k.3. Perioada mi:;;carii.4. Ecuatia de mi:;;care a corpului luind ca ongille a timpului :;;i spatiului, mo-

mentul respectiv pozitia corpului cind se afla pina in punctul de echilibru.5. Ecuatia de mi~care a corpului luind ca origine a timpului :;;i spatiului mo-

mentul respectiv pozitia corpului clnd trece prin punctul M.*" 1.2.127. Un corp de masa m este suspendat de un fir prins pe un stativ fixat.pe un carucior. Sa se afle tensiunea R din fir :;;i unghiul or. al firului cu verticalaeind ca ruciorul :

1. Se mi:;;ca pe orizontala cu acceleratia constanta a.2. Urca :;;i respectiv coboara cu acceleratia constanta al pe un plan inclinat

.eu unghiul x fata de orizontala.3. Coboara libel' pe planul inclillat amilltit, clnd coeficientul de frecare intre

plan :;;i carucior este fJ..4. Sa se afle perioada de oscilatie a penduluIui simpIu in fiecare din cazuriIe

,de mai sus.*" 1.2.128. Pe un dirucior (fig. 1.43) este fixata 0

barii orizontala, de-a lungul careia poate aIunecafi'ira frecare un man:;;on de masa m = 1 kg. De man-~on sint legate doua arcuri, aI CarOl' coeficient de-elasticitate comun este k =0, 1 kgf/cm. Se cere sa se aflelegea de mi:;;care a corpului, in raport cu sistemul de\feferinta legat de carucior in urmatoareIe cazuri:

1. CarucioruI prime:;;te 0 acceIeratie care cre:;;te incetode Ia zer0 pina la valoarea a.

2. Caruciorul prime:;;te brusc la t =0, aeceleratia{1 =0,48 m/s2 care ramine constanta.

3. Se considera caruciorul legat cu 0 sfoara :;;iman:;;onulse depIaseaza cu I = 6 em fata de pozitiade echilibru. In· momentul dnd se da drumul la man:;;on se taie sfoara cu care eralegat diruciorul. Se considera ca la echilibru centrele de masa ale mall:;;onului :;;icaru-doruIui se aflau pe aceea:;;i verticala. Masa carucioruIui (fara man:;;on) este M=5 kg;masa arcuIui ~i frecarea se pot neglija.

Se cere sa se studieze felul mi:;;carii care apare dupa ce se da drumuI la man-·:;;on in conditiile indicate.

1.2.129. Un resort metalic are Iungimea l =25 cm dnd el nu este illtins. Seadmite cil. masa sa este neglijabilil. :;;i cil. alungirea este proportionaIi'i Cll forta care>() produce; 0 fortil. F1= 1 N produce 0 alungire Lill = 1 cm.

1. Un corp de mas a M =50 g este suspendat de una din extremitatile resor-tului, cealalta extremitate fiind fixata de plafonul unui ascensor care urca cu 0 mi:;;-·care uniform aecelerata a carei acceIeratie este a =g/4 un de g = 10 mjs2. Sa se caleu-ieze aIungirea resortuIui in aeeastii fazii a urearii.

2. Sa se ealeuleze perioada mieilor oseilatii, neglij ind frecarea, in cazul in careaseensorul este oprit.

3. Resortul R ~i eorpul de masa M presupuse patrunse de un canal diametral~sint ghidate in mii?earea lor de 0 tija rigida 0 Y de mas a neglijabila. Aeeasta tija~se rotei?te in jurul axei OX eu freeventa v =5 rad/s.Sa se ealeuleze alungirea resortului daea corpul gliseaza libel' pe axa OY.

1.2.130. Un corp de masa m =2 g este suspendat de un fir inextensibil de masaneglijabila i?i lungime 10= 1 m. Corpul executa miei oseilatii in jurul pozitiei de eeh{-libru, eu freeventa v =0,496 S-I.

1. Sa se serie ecuatia de mi~care a corpului, presupunind ca la momentul t==0 se gasei?te in pozitia de echilibru ~i ca viteza liniara in aeest moment estev=12,6 em/so

2. Corpul este indepartat de la pozi!:ia de eehilibru eu un unghi C( =600 ~i esteabandonat fara viteza initiala.

a) Care este tensiunea in fir dncl trece prin pozitia elf. eehilibru.b) Firul se rupe in momentul treeerii prin pozitia de echilibru i?i eade apoi

pe un plan orizontal aflat la distanta h = 19,62 m sub centrul de greutate al bilei.Sa se afle : traieetoria bilei, clistanta pe orizontala pareursa de bila (fata de

vertieala punetului de eehilibru) i?i viteza eu care bila atin:2'e planul oTizontaJ.

1.2.131. Se da 0 mii?eare oseilatorie a unui punct material de fOFma:x =Asin( wt +cp)

Se cere sa se calculeze :1. Dependenta acceleratiei punctului material de elongatie.2. Dependenta acceleratiei punctului material de viteza sa.3. Faza initiala este cp =7t/3 i?i perioada T =0,06 s. Se eel' momentele eele

mai apropiate la care viteza i?i aeeeleratia are valorile de doua ori mai mici deeitvalorile maxime.

1.2.132. La eompunerea a doua mii?eari oseilatorii de aeeeai?i direqie 1}ide aeeeai?ifreeventa dar una eu amplitudinea Al =2 em iar a cloua eu amplittldinea A2=4 emse obtine 0 oseilatie armonica eu amplituclinea A=5 em.

Se eel' sa se caleuleze diferenta de faza dintre eele doua mii?C2.Fi oscilatoriiee se eompun.

1.2.133. Un punet material efectueaza 0 mii?eare oseilato:rie dupa legea X=

=A sin (27t t+ ; ).Se cere sa se calculeze:1. Momentlil in care energia potentiala este Qgala cu energia cineHca.2. Energia totaHi a punctului material, daca masa lui se considera m.3. Forta sub actiunea careia corpul executa mii?carea oseilatorie ilHlieata.

1.2.134. Doua surse coerente de unde sonore de aceeai?i putere se aHa Ia dis-tantele II =2,5 m i?i re,spectiv 12 =2,4 m de microfon. Se cere sii se ealeuleze relatiadintre amplitudillca unclei reflectate i?i a eelor initiale, claca Inngimea, Ele uada este1-.=0,3 m. Undcle se consicleri'i plane.

1:2.135. Sa se calcllieze moclulul Young pentru un metal in caFe sunetul sepropaga eu viteza v =4700 m/s. Densitatea rriaterialului este p=8',6'103 k[!/m3.

1.2.136. Peste un scripete avincl forma unui rlisc, trece un fir de eapetelecaruia se leaGa corpurile eu masele m1 = 100 g ~i 1112 = 110 g. Masa, scripeteltli esteM =400 [. Frecarea prin rotatiascripetelui se neglijeaza.Se cere sa se calculeze acceleratia corpurilor.

1.2.137. U [Data sub forma unui disc cu masa M=8 kg ~i raza R =30 cm se.aWi in stare de repaus.Se cere sa se calculeze:

1. Lucrul mecanic necesar pentru a aduce roata intr-o mi~care de rota tie cuviteza unghiulara w = 10 rot/so

2. Ce lueru meeanie ar fi trebuit:sa Se cheltuiasca daca discul ar fi:avut 0 grosime mai mica dar raza arfi fost de doua ori mai mare. Masa-discului raminincl aceea~i.

1.2.138. Doua corpuri cu masele m1

~i m2 sint legate de capetele unui fir-care trece peste un scripete cu masa ]\;!(fig. 1.44) ~i momentul de inertie J.Se considera ca firul nu aluneca pescripete.Se cere sa se calculeze:

1. Acceleratiile eorpurilor.2. Tensiunile din fir.3. Efortul in suportul scripetelui.

1.2; 139. Pe un scripete cilindric diferent.ial sint infa~urate in sens opus douafire, de greutate neglijabila, de capetele carora sint legate doua corpuri cu maseleillll ~i m2 (fig. 1.45).Se cere sa se calculeze:

1. Acceleratia unghiulara a ~istemului.2. Tensiunile T1 ~i T2 in fire. Momentul de incr~ie al scripetelui se considera J.

1.2.140. Un cilindru omogen cu raza R se rote~te fara alunecare pe un planinclinat ce face unghiul 0( cu orizontala. Cilindrul este lasat libel' de la inaltimeah (h>R). Viteza initialii a cilindrului este zero.Se cere sa se calculeze:

1. Viteza centrului de inertie ~i viteza un£iularii de rota~ie a cilindrului in mo-mentuI cin d acesta atinge planul orizontal.

2. Forta de frecare a cilindrului pe plan.3. Cocficientul de frecare f.l. pentru care

cilinclrul se poate rosto go Ii fara alunecare peplanul inclinat.

1.2.141. Un tub cilindric cu raza r esteconectat cu ajuto rul unor spite la douacercuri ell raza R (fig. 1.46). Masa ambeloreereuri este M. Masa tublllui~i a spitelor seneglijeaza in raport cu M. Un fir ee trece pesteun scripete este infa~urat in jurul tubului.De celiilalt capat al firului se leaga un corpcu masa m. Masa scripetelui ~i a firului seneglijeaza. Se cere sa se determine:

1. Acceleratia corpului de mas a m.

2. Tellsiunea in fir.3. Forta de frecare ce actioneaza intre cercuri ~i suprafata astfel ca cercurile

sa nu alunece.4. Coeficientul de frecare la care cercurile incep salalunece.

--* 1.2.142. !n doua vase comunicante de forma cilindrica, avind sectiunile 81==10 cm2 ~i respectiv 82 =20 cm2 se afla mercur. Deasupra mercurului in primul vas,se toarna 1 I de apa. Tot in acest vas se introduce un corp de masa m =200 g careplute~te in apa. Se cere sa se calculeze cu cit se ridica nivelul mercurului in cefde al doilea vas.

--* 1.2.143. Doua vase cilindrice cu diametrul D =4 em fiecare sint unite in parteade jos printr-un tub de volum negIijabil. Intr-unul din vase se toarna 0,5 I apa iarin celalalt 0,5 I petrol (Pa=103 kg/m3, pp=0,8·103 kg/m3).

Se cere sa se calculeze inaltimea Iichidelor in cele doua vase cilindrice.

--* 1.2.144. !n figura 1.47 se indica schema de principiu a unei instalatii ce poatefi utilizata pentru masurarea debitului de apa. Pe tubuI orizontal de sectiune. 811~i 82 curge apa. La fiecare portiune de tub avem cite un tub manometru. Dife-renta de nivel in cele doua tuburi verticale este h. Se cere sa se caIculeze valoareadebitului de apa ce trece prin tubul orizontal in functie de marimea h.

__ ~::Q_ _Cc~a~ -=~=~~~=~==~-;- - -Sz ~ ~

Fig. 1.47

*" 1.2.145. La marginea unui vas cu apa se SprIJllla cu un capat un beti~or, ce-lalalt capat fiind cufundat in apa. Beti~orul se poate roti in juruI punctului 0 incare se sprijina pe peretele vasului (fig. 1.48). Se constata ca in pozitia de echi-libru 1/n din lungimea beti~orului nu este cufundata in apa. Densitatea apei seconsidera cunoscuta pa.

Se cere sa se calculeze densitatea materialului din care este confecponat be-ti~orul.

1.1.1. Din figura 1.49 rezultaA _ (

~ :-.-I,'i!). 1.'19

AC = sin ct = -.!!.L 'sinBC sin ~ u2

d~=- .b

lr\ • b sin a: -VI'LJeCI -- = -,

d v2

VI d2. Vz = --,b sin a:

. 10·50 5sIn IX = -- = - j3·200 6

. 5IX=arc sm - •6

dvz v1d cos a:----=0,

da: b sinz a:

v1d 50·10V2 m(n = - = -- =2,5 m/s.

b 200

'? AC b b b = _b_2_ =2062

·oJ. = cos ~ = V1-sin2~ V1-d2/b2 b2_d2 ' m.

4. i = _B_C_ = _b_tg_~ = _b_ = _d_ = __ b_._d__ = 50·200 =20,66 S.V-in V-in V_£ b2_d2 ~/- ~I

•••• •.•• • .•• n V2nl£n Vb2 - d2 2,5 V 40000-2500

1.1.2.v21. hmax = --..Q... =80 m,

2g

t=~=4 s,g

Ep=m.g.h=0,1·1O·80=80 J.

mVr 1 mv&,2=22

V2 v2 hh - _I - ~ - --.!!!~-401max - 2g - 4g - 2 - m.

3. Daca continuam rationamentul de la punctul 2 obtinem :

h hmax 401max= -- = m,2

hmaxh21/lax = -- =20 m.

22

h hm4x 1311UIZ= -- = 0 m...,23

4. Prima data mingea urea !;ii eoboara intr-un timp

io=2 i=2.:2·g

A dona oara urea ~i eoboara in timpul

i1=2 ~ = 2 ~o = t~,g . V2 g 1'2

4a fel obtinem:

l _ ton- (V2)n'

Timpul total

[1 1 1 1 ]

T = to 1 + 1'2' + (¥2)2 + (1'2')3 + ...(V2')n + ...1 1'-.l.(J= _ = _2_ .8=27,314 S.

1-1/V2 V2-1

- --+IIIIIII hma:r

IIIII

Tinind cont di timpuI de ureare este egal elltimpul de eo~orire, rezulta ea de Ia inaltimea hmaa:pina Ia hI (fig. 1.50) corpuI se deplaseaza uniformacceIerat (Hira viteza initiala), in timpuI t1/2, iar pinala inaltimea h2 in timpul t2/2. Deci '.

9(~r gf; rI1h = ----- =

2 2

= JL (tf-m 9,8 (64-36) =34,3 m.8 8·

') I I' . 9(1112)2 g/2 6~. lmax = 11 +-- =h1+ _t = 0+78,4=138,4 m~. 2 8

hmax= ~t-, vo=V2ghm-::X=V2 '9,8 ·138,4=

=52,08 m/s.

t=~_~l- =1314 S.9 2 '

1. Pentru ca barca sa se deplaseze perpendicular pe maluI riului trebuie Sa aibao asHeI de directie de mi~care, ca componenta vitezei sale de-alunguI riuIui sa fie v

d.. v 5 1eCI: sIn ex= - = - = -;

Y 10 2

t 2 D = _2 ·1000_ _ = 2000 =230,94 S,I=YV1_v2/Y2 l0Vl-25/100 -75

D D 2DY 2 Dt2=--+-- =-- = ----v+ Y V -v y2 - v2 Y(1_V2/V2)

2000

10(1 _ 25)100

= 2000 =266,670 s,.75

vII' -gl'2/2[1= ----.

gl'+V2-V1

2. Conditia ca cele doua corpuri sa se reintilneasca este

2 ( )' 2v1- V1-V2 <l <-.g g

1.1.6.

1. lc=V2h =V2.300 =7,75s.g 10

2. d =Va'lc=774,6 m.

3. f}.[ = .£ =1 s.Va

L4. a) M1 = -- =1,5 s,va-v

1.1. 7.

1. vb=V2gh=V2'9,8'10=V196=14 m/s.F2. (F-mg)=ma, a =--g,m

, (F ) , Fv=vo- ---g l, v=vo+gl-··-t.nl m

,a = ~o_=7 m/s2,

'24. Ec= I!..lVo_ =98 J,2

V~ mv2Ec+Ep=mghmax=mg 0=-Q=192 J,

2g 2

1. s = 10 [2 - :) [3+ 5 [4,

V= d =20 t _ 15 [2+20 [3dt '

dv d2s ,a = --- = ..- = 20 - 30 [J-60 12dl dt2 "

Forta va avea un extrem dnd

dPdt =0 =m( - 30+120 i) =30 m( - 1+4 i).

t = 2- s forta F are un minim.4 '

:2. Fmin=1,2 (20 - 30..!.-'+60~) =19,5 N.4 16

v2

hI +h2 =hImax = 2~

gl2 gl2 v2vt--+- =_0,o 2 2 2g

Vot=--- =2 s.2g

:2. hI=vot-I?:t.:=80- 10·4 =60 m.

2 2

3. In momentul intilnirii corpurHe au vitezele :

VI=vo - gt =40 - 20 =20 mis,

v2=gt=10 '2=20 mis,

U= 20·70 =10,77 mls130

este indreptata in sus.

4. Corpurile se VOl' deplasa in sus p ina la inaltimea

u2lz =111 + - =65,8 m.

2g

u V2t:t = - + - = 4,70 s,g g

5. V = V2gh = V 2 '65,8 ·10=36,28 m/s.

J. SA=VAt,

SB=30- vBt,

SA =2 t,SB=30 - 5 t,

Sc= Vc(t - 3) - 2, Sc=lO(t - 3) - 2=10 t - 32.

2. a) Intilnirea mobilelor A ~i B

SA=SB, 2t1=30-5t1•

t =30 =428 s1 7 ' ,

60sI=2 tl = -m.7

.h) Intilnirea mobilelor A ~i C

SA= Sc, 2 t2=10 t2 - 32.

8 t2 =32, t2 =4 s,

S2=2 t2=8 m.

62i3= - =4,13 s,15

124S3=2 i3=-m.15

1.1.11.

1. V1=V Vfi - 2 all

v2 = VvI - 2 al2

u22. lmax = _0_ = 50 m.2a

3. i= ~ = 10 s.a

In 9 secunde corpul parcurge distanta

= 90 - ~ =90 - 40,5~49,5 m.• 2

Deci in ultima secundii va parcurge distanta

lmax - 19=0,5 m.

SB2=SBI+aBi1(t2 - i1)=100+20(30 - 10)=500 m.

SA =SA2 +aAi2(i - 12),

SB=SB2+aBil(i - i2)

SA = SB, SA2+aAf2(t - f2) = SB2+aBtl(f - f2)

450+30(t - 30)=500+20(t - 30),

10(t - 30)=50

·f - 30=5=f=35 s,

5=450+30 '5=600 m.:3. Dupa reintilnirc eorpurile se Val' deplasa uniform ineetinit eu vitezeIe initiale'VA=aA12 =30 m/s ~i UB=aBll =20 m/s.

Aceeleratiile de frinare vor fi

a'=aA=a.a=fLg=l m/52,

S v~ 900 VAAmax= -, = -- =450 mfA' = - . =30 s,

2aA 2 ' (l'

vS _ ~o~ - liBSBmax = 20' - 2 =200 m, fB' = --;:=20 s.

4. a) Pentru 0<1<10,

~SI = SB _ SA = (OB- aA)i2 =.!. f2.

2 2

b) Frntrll 10<1<30

.6.S2

=5Bl +VB(l- t1

) - a.:4~ =_ .1_f2+20 t - 100.2 2

c) Fentlu 30<t<35,6.S

3= - 10 t+350 dud f=35 s,

d) 35 <t<55Corpul B se opre~te dupa t=35+20=55 s eonsiderat de Ia inceputul mi~carii

.6.S4= SA - 5B = (UAt - -V:.) - (UBf - _a~t~) = (VA - vB)f =10 f

·e) 5;) <t <65.a'12 16.S

5=uAf-2-200 =30t-"2t2_200.

f) Dupa t =65 ambele corpuri siut in repaus ~i distanta dintre ele este:

6.S6=SAmax-5Bmax=250 m.

1. Notam eu VBM, VBN ' VCM ~i VCN vitezele trenurilor B ~i C in puncteIe ]\1 ~i J:.,

t t . 1 t2 1 t2S=Vo =VBM +-a =VCM--a ,2 2

UBM=VcM - at=vCN

VCM=VBM+at=VBN .

FtrA - F=O, F=FtrA,G

FtrB=F +-a,gOCB=FtrBs=(G: +F)'S

occ=Ftres=(F-G ~ )s,GFtre - F = - - a,o

GFtre=F- -a.g

2. a) al = G'+Fl-=-~ = 1WO+F-Mg = 8820+1960-9800 = 980 =0,516 m/s2.lIl+M' M+lIl' 1900 1900

lzl=~aliT=2'0,51G=1,032 m.:4

U1 =a1i=1,032 m/s.

b) a2= G'+F2-G =0,2064 m/s2,11,1+1\1'

1 .: 1?h. =7 - a.i2 +uli. = - a /"+a1iIi •.- 2 - - 2 2'. -

Viteza dupa pareurgerea inaltimii lz2 este

/12=a2i2+vI =a2i2+aIil·

c) In faza a treia mi~carea va fi uniform ineetinita ell aeceleratia de frinareegala in valoare absoluta ell a (de la punctul 1).

Illaltimea parcursa va fi

Conditia este ca

hI +lz2+lz3=h ~i u3=0.

Efectuind calculele rezulta i2 =3,85 s, ia=3,54 s.

G ~F(sin oc+fl cos oc),

GF~ -----

sin C(+!l cos C(

Pentru ca scindura sa nu se poata deplasa in sus

Fsinoc~G+ flFcosoc,

GF~ -----

sin C(-I.l. cos C(

Deci pentru ca scindura sa fie in repaus

G G----- ~F ~ -----sin C(+!l cos C( sin CL -!l cos C(

1. Forta de tractiune

Ft=mg(sin oc=tflcOSoc)~sin oc=t flcOSoc=1, sin (1.=1 - fl COSrt..

sin2 oc=1 - 2 fl cos rt.+fl2 cos2 oc=1 - cos2oc, COS2rt.(fl2+1)- 2fl cos -(;(=0

12-VS1-+13

2 3 V3----=_.V3 4 ')

Rezulta ca OC1 =30° .Mai putea fi 0 solutie cos (1.1=0

2 dFt ( .) 0. d; =mg cos (1.2- fl SIll OC2 = ,

3 F (. 60°,L. -"cos 60°)-100 (13 .:L _1_ 2.)= 4·100 - ~oo N .. tmax=mg SIn To - - -" r- If- - lr- 1 •2 1'3 2 2 r3 r3

4sin C(

• "1)= ,sin 0;+ !l cos C(

1.1.17.

11. Pi = -Mv2,2

P=40 CP=29440 W,

v=21 m/s.

2. v = V2P• Vt-=const Vi.

M

Deci nu depinde liniar de timp 1?ideci nu este uniform accelerata.3. Forta de tractiune fiind P /v iar forta de frecare fLG rezulta

P 29·440vl= -- = ----- =25 m/s.fL NI g 0,03 ·4000 ·9,8

2-L d= _U_l_,

2 uf

252 - 2af=-- =6,2~m/s •100

iVlaf=PI+fLM g,

FIT =4000 '6,25 - 0,03 ·4000 '9,8 =23823 N

t=!..£=~=4s.U 6,25

3. Ftr= _~= 1862 N.U

(Plu)-Ff P -vFf1. a= ---- = ---- pentru P=FI'v, a=OIn InU

lJ2

1. hm~x=sm~xsin 0:= . 0 sin 0:=6 05 m.2g(sm a+fL eos (X) ,

,/----- V sin (X -u eos a2. V = v2 acSm~x = Vo . ' =8,2 mis,

sm a+lJ. eos a

3. Dupa 0 secunda corpul va avea viteza

VI =110- gi(sin iY.+fL cos 0:)=1,71 mis,mlvl=m2v2, v2=1,71 mis,

u2s= - I =0,176 m.2g(sin (X+fL eos a)

1. U = m2(sin ~ -(L cosl3) - m1(sin 0(+ IlcosO() g =0, 16 m/s2•

m1+m2

2. m2g(sin ~ - fJ.cos \Cl:J - T =m2u,1 T - m1g(sin o:'tfJ.cos o:)=m1u,

T = m1m2Y {sin o:'tsin ~+fJ.(coso:- cos ~)]=9 N,m1+m2

V 2/13. t1 = - =1,49 S,U1

1.1.21.

1. Ftr=Mg(sins 0:+fJ.cos 0:)=336,5 N.

2. r;.=Ftrl=16,825 kj.

3. o:u=M.g 'h=12,5 kj, 'Y) =0,74.

4. Uc = g(sin 0:- fJ.COS 0:)=3,27 m/s2,

VA =1/2 Gcl = 18 m/s.

5. ao=fJ.g=2 m/s2,

AC = VA2

=81,75 m.2uo

1. F = my (sin O(+{L cos O() = 372,3 N.4

my sin 0( M= 19,4

my (sin a:-{L cos a:) mg (sin l7.+fL cos a:)---~-- ~ M2g ~ . ,4 4

12 ~ M2 ~ 37,97 kg.

1.1.23.

1. P=F/V=fJ.mlgu,P 16.105

fJ.= -- = --- = 8'10-3=0,008.m1yv 106.10 ·20

3. Vagoanete desprinse yOI' parcurge pina la oprire distanta

1J=I~I=J 400 =40000=2500m.l2fL!! 2.8.10-3.10 16

Dupa desprinderea vagoanelor forta de tractiune r5mine constanta egaHi cu fLmlgiar forta defrecare este. fL(mJ ~ m2)g. Deci trenul se va deplasa uniform acceieratcu acceleratia:

!LJnI!!-iJ.(ml -Jnz)Y iJ.m2Y(l = ------ = --- =

ml-m2 JnI-m2

8.10-3.2.105 ·108.105

vi=v2+2 ai2,

1 = 1,'f-V2 = ~80-40~ = 20002 2a 4.10-2 m.

I. mlg sin O(J =m2g=<>CJ.1 =30°.

ml (sin 0(2 - fL cos 0(2) =m2

2 sin Cl.2 - 0,4 COS Cl.2 =1

. 2xsInO( =--

2 1+x2

1-x2COS Cl2= -- ,

. 1+x2d 0::1un e x=tg_·

2

_4_;_x~ _ ._1_+_x_2+_0,_4_(1_-_x_2)

1+x2 1+x2

0,6 x2 - 4 x+l,4=0,10± yiOO=2i 10±8,888

:l.:1.2= 3 -- = --3-·-'

l}/2!!- /Ill!! sin Ci3 -fLl 1111 !! COS GIsa = ---C.---=__ ~~~ __ --"- =0,98,m1+Jn2

3 =10 c- 20 sin 0(3 - 4 COS 0(3'

.1. 2 ali =2 a21,

g(sin 0(4 - fL cos (;(4) = fL29,

I

E' _ mzll22 ---

2

E~/EI = . 4mlm2

(m1+m2)2

)'. 69

a) m1 =m2, E;/E1 =1, for (I

ib) m1 =9 m2, E;=0,36 E1• ,

2. U2lUl = 2m1 =5/3,

m1+m2

3. Cind ciacnirea este inelastica

.:6.£=E1-E=E

1.-'!:J._,nl1+n12

£ =0,5 E1, m1=m2,

,E=0,1 E1' m1 =9 m2•

mr§T=mg cas (1.-L--I :2

2 \mV~mgl (1- cas armgl (1- cas 1Xo)·

2

mv§- - =mgl (cas a- cas Cl.oJ,2

T =mg(3 cas (Y.- 2 cas ao)'

./'. 2. E=mgl (1- cas (1.0)'

3. mg(l-OO')(I-c.os~) =mgl(l-cas 1Xo),

00' =l/2, 1- cas ~ = 2(1- cas (1.0)'

~=90°.

2. ~ = at2

,

2 2t = V 112 = VO,5 =0,39 s.

a 3,26

h=h2u- 2ah2 = 0,5 + 2·3,26·0,5 = 0,66 m.T 2g 2· 9,8

1. 1.28_

1. v5-2 ,u.gJ.=0, vo=V2-0,1-10-200=20m/s.

2. Inainte de rupere trenul se deplasa uniform:

Ftr-IJ-Mg =Ma1 =0,

Ftr=1J.Mg=0,1-250·lOs·9,8=245 kN.

3. (M-m)a =Ftr-Ff,

a = p.Mg-fL(M -m)g = fLmg = 0,1·10·9,8 =0,04 m/s2,M -m JJ - In 240

0/2ll=·voi ~ --l

f·2 '

teste timpul d u pa care se opre1jte vagonul,

t =.-!!.....=20 s.o

d=20.20+ ~04.400 -200=208 m.2 .

1. v=V2 SI,g (sinlX-1J. cos 1X)~5m/g.

2. V1=V02-21J.1 gS2~3 mIs,

1112°2-1111°1 =(m1 +m2)v,

II = ~~2-J~r:1 = 4·12-1·3 =9 m/s.m1+m2 5

In u2 2 ( , ) 2fj,E = _1 _I + m2u2 _ m1,m2 u =90 J.222

(ln1 + JJl2)lJ'2 • ..,-2- =11111+1112)gl1+ (m1,mlL)9IJ.l1ctg IX,

2h(g+g/-l ctg IX) =V'2,

65Ii == ---- ~2,4 m.2· 13,46

m u2~ =m1g(sin IX- f.L cos lX)l,

2

v1=2 -9 (sin a - f.L cos IX)l =49 (m2/s2),

vB=7 m/s.

v2hmax =- =0,4 m,

2g

i-Ithmax=l(l-cos ~), cos ~= ----f~=0,8,

Unghiul e este cuprins illtre 0 ~i ~. Tellsiullea maxim3 va fi in cazul cIud f} =0°.

Tmax = 2(ml+ms)gllmax +(m1

+m2)g =70 N2

E=4,7 j.

1.1.31.

v2S =_1 =33 m.

2al

_ mlg(sin a:-!J.COS a:)-m2u -0616 2u2- --------- - , m/s.ml+m2

5. Dupa t2 =t1 +20 s, corpurile vor avea viteza

V2=U2 '20=12,32 mis,

E=75,8 J.

1.1.32.

'2 Es(Lli)2VI =--,

mli

D~

S2 = 2g(sin oc+f.l cos oc)

1. a=g(sin ex-fJ- cos ex),[= ~ = g(sin oc-f.l cos oc) t2

2 2= g(sin oc-2 lW) _ 035IJ. - , •

y cos oc

F = my sin oc-f.l my cos oc =5,6 N.fJ.

3. ex=Fjl=fJ.mg cos ex·[=12 J.

4 = sin oc -0 62• YJ -, •sin oc+fJ. cos ex

1. Greutatea cablului care se rididi este

Pm = O+myh = 1·9,8·12 =58,.8 N,. . '2 2

ex=(G+ Vpg+Pm)h=2120,8 J.

D (D d)2. F1-1 =(G+pVg + mgh1) _I +-- ,2 2 2

F1 =37,57 N.

3. F D2 =G (D1 +~),2 2 2 2

P (1 )P t = .!!:- = 2 120,8u= -YJ ,

Pu 28,275

sin cc~tg 0:.~a:=0,05.

cos 0:.=1.

_ Ft -mg(sin OO:+[Jocos00:) -0 2 rnf 211 - -------- -, s .

m

O+atl 0,2·6{) 6 I2. Vm = -- = -- = m s.2 23. PI =Ft·af1=141·600.0,2·60=1699,2 kW.

4. v2 =af2 =0,2 ·120=24 mis,

Ec= mv~ = 120000.242 =34,56.106 J.2 2

at2 . 0,2 .120211 =8 sin a =_2....sm a = ---0.05=72 m,2 2

Ep =mgh =84,672 MJ.

5 I t· ~ S al2. Pentru ocomo lva 1= - .2

Pentru automobil S2=v(l-Lll).

Putem avea A) SI-S2=d ~i B) S2-S1 =d,1Q12~-V(lA-Lll)=d= lA,=11,65 S, LA. =58,35 s.2

Cum lA,<Llt=lA =58,35 s.al2V(iB - Lll)- _Ii = d, lB, =200 S, lB,=50 S.2

1. a=g(sin a-fJ. cos a)

al =1,509 m/s2, a2=- 0,2 m/s2•

Evident ca solutia a2< 0 nu este posibiHi, din moment ce corpul se afla initialin repaus. Deci a2 =0.

2. S=5 m,

t = V-10 ::::;2.57 s,1 1,509 .

VI=a1l1 =3,88 mis,

v2=0.

3. mivi =(mi +m2)v03'7 -3,88

V03 = ~ =2,26 m/s.

WIg sin e<+ll12g sin e<-[Jot wtg cas e<-[Jo2 ll12g cas (Y,4. a3 = ------------------Inl+In2

[[Ltml + [L2ll12 ]= g. sin CI. - ----cos CI. =0,8036 111/s2•

Inl +In2

1. Ftr-Fj=ma,G

Ftr = - a:f'fLG =0,2.103+2.102=400 N.9

2. F2=VFt;-Tf=100V16-9=100 V7 N.

3. S= at2 + (at)2 = 400+ 40

2=800 m,

2 2 fL9 4

at 404. i =20+' - =20+ -- =40 s.

fL9 2

1. io= 112;0= r'13;0 =8 s.

2. a1 = g(sin lX-fL cos IX)=3,21 m/s2,

u2=fLg=1,96 m/s2,

u3=g sin ~=6,94 m/s2•

3. mghO+mgsl sin lX=fL mg cos IX SI +m fL gS2+mgH,

H=133,7 m.g[2

u) s= -' v=gi2 ' ,

a [2c) S = V i- 3_ .

1 2'

1. 01 = m1 g = 980·10 =46,6 m/s,2NI+m1 210

i1= v1-VO = 78,~ = 1,7 s.

a1 46,6

h =.::.t = (98,4)2 =59 3 em.2 2a2 2 ·81,6 '

Deei sistemul se opre~te dupa un timp

i=t1+t2=1,7+1,2=2,9 s.

Dupa ee a pareurs inaltimea

h=h1+h2=100't59,3=159,3 em.

t =V~ =V2·159,3 =2 s.a a2 81,6

Timpul total dupa eare sistemul treee din nou prin pozitia initiala este

t' =t1 +t2 'tta =4,9 s.

4. (M'tm1)g-T=(M+m1)a1

T=(M'-!-m1)(g-a1)=(M'tml)g[1- ~]=102,6'lOa gf.2M+m1

hct.= - =0,5

I

t1 =V 2/ =l! 2 ·20 =3,5 s.a1 3,21

3. mg sin ct.'=mg(sinct.-fJ-eos ct.), sin ct.' =0,33, ct.' =19°3'.

4. G sin ct.-T eos y=O,

T=G sin oc =0,1. 9,8 ~~,sin (oc+~) 0,96

N +T sin [ ; -(ct.+~)] =G eos iX,

N =6 eos iX-T eos(ct.+~)=O,l· 9,8 1,73 -0,52 '0,09 =0,72 N.2

1.1.41.

1. R=VFf+F~=V4=2 N.

2. ~=E~ E=E!_~2.1,5 =2.1012N/m2•S l illS 1,5.10--6.10-6

R 23. a=-=-=0,8 m/s2•m 2,5

14. Ek= -mv2•2 '

V =V2Elc = V 36~ =12 m/s,

m 2,5

t II 1-1= -= ::> s.

a

h=EI.;=~=7,2 ill,mg 2,5 ·10

s= _h_ = 7,2 =14,4 m.sin ex 1/2

1. Perioada de oseilatie a pendulului de lungime l =ho-h este

T=2itV ho~ h,

de unde

gT2 98.64h= ho- --=36- -'- =36-15,9=20,1 m.

4rr2 4.3,142

F= ~ = 58,8·103 =2,92 .103 N.h 20,1

B. Energia einetiea a corpului pe fundul bazinului este egaHi eu energia potentiaHideasupra nivelului apei, plus lucrul mecanic efeetuat la traversarea bazinului

mll2- =mgh+macs,

2

'unde acceleratia mi~carii in apa este

G-FA pVg-PoVg P-Poac=--= =--g;

m V p

"tJ=0,5 "tJc=0, 125.

Se obtin ecuatii1e : L =Ql- Qz,LQl = - =470,4 kJ,7j

2ha=-'

[2 '

2hVmax = -t- (vmax =2 Vmediu).

2Fh LPmax= - -=2 - (sau Pmax=2 Pmcdiu)

t t

P 2 58,8. max= -4- =2C,4 kW.

1 h= u6 = 29.42 =441 m,

• 2g 2·9,8 '

t - ~ - 29,4 -30- - - s.9 9,8

a =g(sin ex-fJ- cos ex),

H-h+ (u2-uij)sin (X = 44,1 + 59,4·0,6 05 50- . 2g (sin (X-!J- cos (X) 2 ·9,8(0,5 - 0,4.0,866) , = m.

3. v=Vv~+2a[,

H-h[=--sin (X ,

4. m1+m2=mm1 1--=-,,. ma l2

1m1= -m=200 kg,3 •2m2= -m=400 kg.3

2 2~l~ +~2~ =E,2 . 2

a't2

{

vlt-- =(24 t-1,96 tZ)m,

SI= SI(t1):73,44 m, t>t1.

0~T~tl=.!l=6,12 sa

I a't2v212- - =(121-1,96 (2)m,

2

S2 = s2(12)= 18,36 m, 1>12,

(V1+v2)I-a'12=(361-3,9212)m; 0~1~12'a't2

s2(f2)L.j-v11- 2 =(18,36+241-1,96 (2)m,

Sl (11)+s2(12) =91,8 m, I> 11'

1. Forta centrifuga ce actioneaza asupra corpului P in timpul rotatiei

Fe =mCJ)2r =mCJ)2l sin a..

Greutatea corpului P

G=mg.

Conditia de echilibru este ca rezultanta fortelor ce actioneaza asupra corpului Psa fie orientata in lungl\l firului:

Fc=G Ig a..

Rezulta

cos a.= 2_ = ~ =0,5,w2[ 49.0,4

l· 04Vsr= SIna.= -', 2

-3. Lucrul mecanic este egal cu variatia energiei [totale intre starea de repaus ~istarea de mi~care

mv2L=D..B= - +mgl(l-cos a.)

2

Jw2

sau = - +mgl(l-cos 9')2 .Kw

sau ="2 +mgl(l-cos a.).

Rezulta L =9,8 J.

4. Legea lui Hooke, aplicata in cazul corpului in repaus

t:.l 1 G 1 mg-=--=--.[ ESE S

E = mg _1_ = 2·9,8 0,4S /).1 1(r° 3,92·1(r5

5. Legea Iui Hooke/),1' 1 F-=--1 E S

pentru eorpuI in rota tie :/),1' F 1-=-=--=2,/).1 g cos Ct

A.l'=2 A.l=7,84·10-5 m.

1.1.45.1 11. mghA +-mvij = -mVb,2 2

vB=Vvij+2ghA, hA=a sin 0(=10 m"

vB=V57 +2 ·9,8'10 =15,9 m/s.Se poate rezolva ~i printr-o aW'i varianta:

S,=vot't .~ g sin 0( t2,

VB=Vo+g sin 0( t.

Rezolvind aeest sistem amim valoarea vitezei VB

1112. 2mv~ =2mv~+F'd =-2mv~ +m Il gb,

Ve = V Vb- 2 Ilgb = V 253- 2 '0,102 '9,8 ,50;;:;12,4 mis,

t= VB-VC = 16-12,4---=3,5 s.g 0,102

o alta varianta: se rezolva eeuatia:1

b = vBt- -Il g12.2

m/).v mcc3. F=ma= -- = --.,

!: /)./ /)./

1 1c=vcD.l- - a(D.1)2 = - vcD.I=>D.1 =0,44 s,

2 2

F= mvc = 2·12,4 =56,36 N./)./ 0,44

4. Rezultatele nu sint afeetate de sensu I vitezei vo, deoareee neexistind freeare peplanuI inelinat, eorpuI plecind din A ell viteza Vo in sus va ajunge din nou in A toteu viteza vo'

1. 1.46.

1. VI =aII, VI =54 km/h = 15 mis,15

ai = -- =0,125 m/s2•}', 120r.~4

2. F-Ff=mal' Ff=f-lmg=60 000 N,

F=m(a1+f-lg)=135 kN.

air 1 13. Sl =-2- = TVl1l = 215 -120=900 m.

4. P=F-v1=135 000'15=2025 kW.

5. v2=aI2=0,125-240=30 m/s.12 V Is=v21-f-lg - = _2_;2 2

S = 30 ·300 =4 500 m.2

30 .1=-- =300 S,

0,01·10

1. Apliciim Iegea conserviirii energiei:mv2-/ +mglo(1-cos qlo)=mg lo(1-cos qlmdx),

De unde rezultii:

vo=Y2glo(cos qlo-cos qlmax)=y2 '9,8 -1(0,707-0,5)=V4,057=2,015 m/s.

F'=1·9,8 cos...2:.=4,9 N.3

b) qI =0,r

F" oj. mv2 • 2gl0 (1 '-cas 'CPmax)m (3 2. = mg'T'-1 =mg+ 10

=mg -

F"=1-9,8(3-2 ~)=19,6 N.

3. ~T=Tt-To=2 7tV+-2 7t V~- =2 7tVI; lV ;: -11=~~[V;: -1 j'~~ =V~-I=Vl+CXM-l.To 10

1+C(~l= (1 + t:.T)2 =1 +2~T + (t:.T)2.To To To

Neglijind termenul (~TITo)2, se obtine:2 t:.T 2 0,055 _

C(~ - - = --- =1,I-lO-n grad-I.M To 100 100 '.

4. Din legea Iui Hooke

~l=l m'g.o ES

la inciilzire ~l =loC(M.Rezultii :

, ES rt./llm =---

9

, 2,15.1011.1.10-6.1,1.10-5.100m = ------------- =24,13 kg.

1,8

V2 =a(i-i2),

vIi = ~ a(l-2)2,2

2v2 2 ·10l =- - =----- =200 s.

v2 -21\ 10 -2 ·4,95

2. s=vIi=4,95 '200=990 m.

3. S = ~ a(i-i2)2,2

2s 2·990 1980 0050- / 2a=--=--=--=, ::lms.(I -(2)2 1982 39204

I i' 1S =V2 --2

De aici rezulta dad eliminam pe i',

v2 102a' =_2_ = - - =4 m/s2,

25 2· 12,5

i'=~ =~ =2,5 s.a' 4

a' 4fL = - = - =0,4082.

9 9,8

r 1 V3)1. a1=g(sin cx-fL cas rt.)=9,8 2-0,106 2, =4 m/s2,

a2=fL29=0,204·9,8=1,999 m/s2=2 m/s2•

132= 2- . 4 ·tr-+t1 =4 s.

10=16-2/2-+/2-3 s,

( sau S2 =V1t2- ~ a2t2-+t2 =3 s).

4. CXdef=Ecin = _1_mv~= 0,5.102

=25 J,2 - 2

F rezulta din legea lui Hookef:../ 1 F-=--.

/ E S

Deci forta medie este1 ESf:..l

Fmedie=--- -- ,2 I

1 ESf:..lCl:d f= - --.!:1l

e 2 I

!:1l= V 2/rt: def = V 2·0,5·25 =0,176 m.ES 4.106.2.1064

'" 1 11. AB= - at2= -0,03(200)2=600 m.2 2

mv23. F= _.'-,

RV=V!-~~V40000'600 =20 m/s=72 km/h.

m tA 60000

4. E=mv2 = 60000·400 =12 1\1J.2 2

5. AB = 27tR = 6,28 ·600 = 628 m66''"

i' = AB = 628 =31,4 s,V 20

tcr ., = 111«1. b "" ,111g

a = g tp- 0( = 9~8 = 5,66 m/s~.

Uos= - - =43,61 m.2a3. Ecmax =mg l(1-cas IX),

Ecmnx =0,03·9,8' 0,5· 0,135=19,3 '10-3 J.

4. T =21tVl-- =2 "VO,5 =1,413 s.9 9,8

F 5000 .a = - -Ltg = -- - 0,02 ·10=0 3 m/s2,

M' 10000 '

VI=1/2 '0,3 '100=7,75 m/s.

2. EI=~mvI=3'105 J.2

t - V1-U2 __ 7_,7_5 -_2 28 7-2- - =, ;)s,

[Lg 0,02 ·10

S2 =7,75 '28,75- -~ .0,02 .10.28,752 = ]40,15 m.2

4. E2=Ej(SI +s2)=flmg(sl +S2)=0,02 .104 '10(100+140,15)=4,803 .105 J.

5. P=P'vI =5000 ·7,75=38750 W.

1.1.53.

11V t+· - gt2 = - g(t2,.L4t+4)02 2 2 .1 ,

2·9,8 = 19,6 =4 s.24,5 -19,6 4,9

1 982. X= 2 g(t+2)2= ~ 62=4,9 ·36=176,4 m.

3. VI=g(t+2) =9,8·6 =58,8 mis,

v2 = V02 '+gt =24,5 +9,8 ·4=24,5 +39,2 =63,7 mis,

M1v1 +M2v2=M1u1 +M2112,

M1Vi+M2V§ =Jl!I1Ui+M2U§,2·4 ·63,7 -2 ·~8,8

6

2·2 ·58,8+2 ·63,7

6

196=.-' - =65,3 mis,3

= 181,3 =60 4 m/s.3 '

12. hI =2' - atI= 29,4 m.2

1:3. VI =at1 = - g'3 =9,8 m/s.

3

4 VI. t2= - =1 s,9

10,1·9,8· -

2

[1 = 4,9 =25 m0,2 ·0,1 ·9,8

[= 116 =~=251 _. m.2a 2 ·1,96

:3. [= ~ a[2 = ~ g sin a.t2 =~ 9 8.-!-[22 2 2 ' 2 '

t =V4 '10/9,8=2 s,

t = ~ =505 s1 1,96 ' ,

t+[l =2+5,05=7,05 s.

4. mg!l'=Ed-E'c=4,9 +2.0,122=5,1,. 2

Il'= ~ =5,2 m.0,1·9,8

[ _ Ec+E~ -"- 5,12 - [J.1I1g - 0,2.0,1.9,8 =26 m.

a1=g(sin oc+1l-casoc)=9,81(0,5+0,173)=6,602 m/s.Deci

40 .i1=-- =606 s

6,602 ' ,

1= vij = 1600 =121,16 m.2a1 13,204

uncle

a2=g(sin oc-Il- cas oc)=3,21 m/s2,

i'=8,68 s, t2=14,74 S.

4. v =a2t' =3,21 '8,68 =27,86 m/s.

5. Ec= ~MV2= ~0,05(27,86)2=19,4 J.2 2

1.1.57.

1. G=mg=300 ·9,81=2943 N-;

T=G sin oc=2943·0,5=1471,5 N,

Ff=Il-N =0,2 G 'cas oc=50,97 N,

R=T+Ff=1471,5+50,97=1522,47 N,

EpB-EpA =G ·Il=G[ sin oc=2943 ·20·0,5=29430 J.

2. ocF=Ffr '[=50,97 '20=1019,40 J.

3. ocR=R·[ =1522,47 ·20=30 449,4 J.

4. p=!!:.!!-= 30449,4 =304,49 W.t 100

mv2 300(20/100)25. Ec=--=----2 2

300(0,2)2---=300 '0,02=6 J.

2

1.1.58.

1. E = _1_mu2 = ~ -3,6'103 (30 ~)2=125000 J.c 2 0 2 3600

2. a=Ffrec·d=fJ. mgd=0,12-3,6'103'9,8'30'103=1,27-108 J.

3. a=4,18 "I) Mcomb-q,

M -024~ - 0,24.1,27.108_688 kacomb- J - -, o.

q 0,4.11.106

E 125000s= __ c_ = ------ =29,5 m.Ffrec 0,12 ·3,6 .103 ·9.8

1.1.59.

1. u =90 km/h = ~~- =25 mIs,3,6

[1 = ~ a1tf = 2-.!'...- if = ~~-

2 2 11 2

Rezulta

i - 2/1 - 2.800 -641- - - s,

V 25

V 25a1 = - = - =0,39 m/s2.

i1 64

v 25a3= - = - =0,5 m/s2.

i3 50

3. [=i1 +[2+[3' i1 =800 m,

[2=ut2=25·10 '60=15 000 m,

[ t 1 2 1 ~ 0,5 .5023=V 3- -a3t3= -a3tg= -- =625 m,

222

[=800+15000+625=16425 m.

1 14. Ecin = - mv2 = - 900'252 =281250 J.2 2

F= I1lV2 = 900.25

3 =450 N.2i3 2 ·625

1. F1= ~1Q. = 750·10 = 375 kN

2 2 ' ,

F2

= ml(g +a) = 750·12 =4 5 kN.22'

F3=m2(g+a1) =50 '20=1 kN;

F3=~=0,5kN.2

3 (ill) _ r.!!..t!! _ 750·10 =7,5 .10-4,. I u - SE - 0,5·1Q-4·2·1011

(ill) m1(a+a) 750·12 =9,10-4.I U'a = SE = 0,5.10-4.2.1011

4. L1 =m1gh=750'10 '20=150 kJ,

L2=m1(g+a)h=750 ·12·20=180 kJ.

5. L1 =P 'f,

f= 150.103 =30 s.

5.103

1 T= 27t = 27t1. ,Cil V

V-FI 4·2v=-= -=4m/s,m 0,5

T=2.3,14.2 =314s4 "

1 1 1V= - =- = 0,318-,T 3,14 s

Ec= ~mv2= ~O 5.42=4 J.2 2 '

x=l cos a=l cos <ilf,

x=2 cos 2f

sau pe diametrul vertical

y =2 sin 2t.

3. Fa=m<ilRl<ilr=VFRlml=V9/0,5 '2=3 S-I.

4. O=vo-af

t=~~=2 = _6_= 3 s.a !LY 0,2 ·10

1S= Ilot- - at22 ""

Vb 36s= "2a- = 2.0,2 .'10 =9 .m,

mv~1. -2- =mgh,

mv2-/- = mg(h-2R),

vB=V2g(h-2R) = V2 '9,~0,1= 1,4 m/s.

2. FA= mv~ +mg=0,1( 7,84 +9~8)=6,21 N,R 0,15

mll~ (1,96)FB= -R--mg=O,1 0,15 --9,8 =2,28 N.

'2mV8 =mg,R /.

mV8'2 (=mg x-2R),2

mg(x-2R), mgR =2mg(x-2R),5 5x=-R= -·0,15=0,375 m.2 2

4. t= IIO-V ,

aa= ~'-= 0,15 =1,5 m/s2,

m 0,1

t 3-1,5 ]=--= s.

1,5

5. s=v t- at2

=3 '1- 1,5 =2,25 m.022

Fc Mw2R w2R1. tg 0( = - = -- = --,

Mg Mg g

unde R =1'+[ sin cco

Deci tg O(=~(r +[ ~)g V 1+tg2/X

g tg rx 102. Ul = = -V- = 2 radjs,

1'+1 sin rx 1+ 2

n=()O 'I=60~ =19 rotjminut.27!

Viteza sferei dupa ciocnire este vi =Vl/2

iar viteza bilei B dupa ciocnire e~te v2'~i inainte de ciocnire v2=0.

lHv1 =mv2+·~,111;,

, 1'11 ( ') 54,82 12 O~1J2= -- VI-VI = -- = ., ;) n1/s •.III 2

IIlV'2-+ = f.lmg1=1=24 m.

4. d = V2l, h= ~ gl2,2

l= V 2;1 =1 s;

d=12,05 m

V =Vv22+(gl)2=15,6 m/s.

2R 1lV[s=t,) 3_._,

y

2rr(,)=--,

T

\I. = __ 27!__ 16= -7t-radiani.360.60 52.32

Introducind se obtine ps=1,403 .103 kgjm3.

M 47t R S 1 4rr22. 1 s= -- s' ps= -- R3=2 .1031 k<1.3 Y ~ b

2g(m1h1 -m2h2)vi=------m1

gt2h=_l_,

2

1.1.66. ~

1. LucruI mecanic utiI pentrll scoaterea apei este :

L =mg(H-~)=pV9(H-~~).

Luind hj2 am presupllS masa cOllcentrata in centruI de greutate

1tD2 I h )L =P-4-hg\H--2- ,

565200= 3,14·4 1000 ·10 ·h(10-hj2).4

Deci voIllmuI apei din flntina este:-itD2

V =-11=6,28 m3=6280.4

n = 6280 =10.628

2. Roata ~i tamburuI VOl' executa

N 1500 3~ 5 j'n= - = - = I, rot mmllt.Z 40

Vitcza de ridicare a vasuIlli Cll apa va fi :

v=rU)=l'~~ = l'1tn = 0,16·3,14·37,5 =0,628 m/s.-60 30 30

3. Egalind lucrlll mecanic efectuat Intr-o rotat-ie de roata cu~urub ~i lucrul m~canicefectllat de vas, se ohtine

2" R'F' =sG,unde s este lungimea arcului de Infa~urare dupa tambur, Intr-o rotat-ie a ~urubului.

Din relapa:

p nse obtine

2,,1'S =--.

Z

Inlocuind

2 " R'F'= 2,,1' G unde G=J11g=628 '10=6280 N,z

F'= -.!£ = 0,16.6280 =100 N.ZW 10·0,25

Puterea dezvoltata la pcriferia rotii este:

P F' I F'R' I F'R' "x 100 0 ?I" 3,14·1500 392' \'T.u= v = w = -3() = '. ,-;) ~~ = ;)"

Pm= P" = 3925 =10600 W.'1) 0,37 .

4. Timpul necesar pentru golirea apei este

[=L" = 565200 =144 s=2'24".P" 3 925

Spatiul parcurs de vas pentru ridicarea apei este

S=v '[=0,628 ·144=90,5 m"

iar nUl11arul de rotatii execlltat de tambur

11'= _s_ = _90,5 = ~,L =90 rotat-ii.2,,1' 6,28· 0,16 1,0048

[= V 211 = V2•61 =3,528 s.

!J 9,81

2. D=v'[

w=2 ,,11=2·3,14·5=31,4 ra,d/s,v=[w =31,4 mis,

D=31,4 ·3,528=110,7889 m.

3. Corpul se ridiea pina la punetul 1'111'

OM' = S= ~ = 985,96 =50,2 m,2g 2· 9,81

Hl =H+S=60+50,2=110,2 m.4. Corpul revine in punetul de lansare eu viteza v iar la atingerea pamintului va aveaviteza :

vl =vv~+2 gh=V985,96+2.9,81·60=46,50978 mJs,11\I1CM=-Mvf,2

vr 2163 16t= 2C = 2'1~9 ~ 9,927°.

1. Fie 1\11 masa ini~ialii a vagonului ~i m1' m2, m3 ••• masele proieetilelor. Din legeaeonservarii impulsului in eazul alegerii primului proieetii

Nlv=(M-m1)v'-m1V,

~J = ~~ =K= ~29'~~=0,0114.NI v'+V 29,77+1700

!!...11 = _1_ =1,012.m2 1-I{

1112 = v'-v =K.11'1-m1-nl2 v'+ V

ml=KM,

m2 =K(M-ml) =KJ1;I(1-K),

m3~KtM-ml-m2) =KM(1-K)2.

In g~nerai

mn=ICV1(1-K)n-l =Jnl(1-!{)n-l .

Deei masele proieetilelor formeaza 0 progresic geometriea eu primui termenK}\![ ~i ratia (1~K).

v'-v 29,77- 10fl. = ~ = 9,8.30 =0,0665.

4. S=v'l-..2...fl.gl2=599,84 m.2

1. f'= mv2

•r

mv2 V-;;:Canditia ea sa nn derapeze este f' =f, - =f, v= --.

r m

Raza r paate varia intre R - [/2 pinii la R + [/2.Deei eieIistnl paate dezvolta 0 vitezii maxima dnd se deplaseaziipe partea exteriaarii a pistei

R+ _1_ =12,5 m,2

Vmax= VUH1/2)( = V 12,5·200 =5 m/s=18 km/h.nl 100

f'0..= ----.,

G

mo2 v2trr~= -- =-.a mgR Rg

Daeii eiclistul merge pe altii parte en aeeeai?i vitezii v,farta f' va fi

1 mlJ2fl = -- unde r;;R.r

Deci daea rezultanta dint're fi ~i G nn este narmalii,la pistil. iar aceasta este perfect Iueiaasii, eiclistul dera-peazii. In eazul existcntei frecarii, cielistul se incliniieu lInghiuI ~ fate; de narmala Ia pistii

mIJ2 •• •fl = - -; pe dU'cetw planllilIlR+ 1/2

fl cas a-Gsina-Ftr =0.

Valaarea maxima a fartci de freeare este farta cen-trifugii f

mvyfl-Ga.- f= 0, R+I/2 -Ga-f=O,-v Grt.+f( R I)v1- -- +-

m 2

V2= V G:r (R-Ij2).

Inloeuind v = 11,4 kmjh =3,17 mjs,

R=lO m, g=lO mjs2,

(3,17)2tg a. = - =0,1,10· 10

a.=0, 1 radiani,

VI = VI00'10'0,1+20012,5 =6,12 m/s=22 kmjh,100

u =VI00'10'0,1.±_200 7,5 =4,75 mjs=17,1 km/h.2 100

V1 =uo - viteza sferei A inainte de ~oc,""

m-M 't f' A d ~u1 = --- Uo - VI eza s erel upa sacM+m '

1-10V1 = --2=-1,63 mis,

1+10

2 m 2·1VI = -- Uo = -- 2 =0,36 m/s.m +M 1+10

Deei la momentul l =0, luat ca repel', sfera Beste lansata in sus eu viteza Vl'

2. Dara sfera pleadi di~ 0' ~u viteza V1, pe plan in sus fara freeare se va ridiea un timp l

VI

g sin ex

v2S=OC --!- =0013 m.2g sm ex '

Considerind un sistem de coordonate cu centruI in 0 (x pe orizontaIa ~i y pe ve~-ticaIi'i) atunci coordonatele punctului C sint :

Xc=OC cos cx.=0,01l m,

Yc=OC sin cx.=0,0065 m.

3. Eneqria cinetica a sferei D sa fie 1/100 din energia cinetidt a sferei A

MV2 1 1ECB = -_I.. =-- _.-mIJo22 100 2 '

4m21\/f ? II?---lJo=-- --mlJo,2(m+M)2 100 2

V-~IJ1- m+1Y! 0'

1. Sfera atinge pentru prima data pIanuI diseuIui ell viteza v =2 glz. In urma primeiciocniri viteza sa devine VI =kv =1.: 2 gh iar inaItimea maxima Ia care sc poate ridica

este hi =0)2g. Energia potentiaIa in punctuI eel mai inaIt estc cgala cu encrgiacinetiea imediat dupa eioenire :

?mv-E =mgh1 = 21

- =mk2glz,

de unde h =E/mk2g =30 m.

2. Dupa ciocnirea a doua viteza sferei va fi v2 =k/l[ =k21J ~i dupa rr ciocniri Un =kn /I,

<leci

Efectllind suma progresiei geometrice cu ratia h2

l_k2(n+l)H=Iz----·

I.-I.:

Pentru n=3, H=Iz·1,2=36 m.

4. TimpuI [=2 y21z/g in care sfera Sl:' rididi piria Ia iniil~imea maxima Iz ~i cadeinapoi pe disc trebuie sa fie egaU\. cu. perioada T =2 1t(w a discuIui:

f- V-g 1t21t!w=2V21z!g w = 1t -- = - = rad.s-I•2h V6

W2{2 sin Cl.2tg (1;2= ----

9

cos~= -g-,w212

1. F1 =m1w2r1, F2=m2w2r2, r1 =/1 sin 0(1.

PI m1w2r1 w2/1sin Cl.1tg CY.1=- - =--- = ---,GI mig 9

T1 sin (1;1 =T2 sin 0(2 sau F1 =F2,

m1w2r1 =m2W2l'2' de unde m1l'1 =m2l'2'

-V w41y - g2 -V W4{~ - g2m1----=n72-----

w2 w2

w4{y _ g-=-u)4{~_g2

my- m~

my{y-m~{~w =6 rad/s, w =2 'ie\),

'1= -~ = .6_=0,95 Hz.27t 6,28

. I V w4{t _g22. 111 = Wl1 = ---- =0,39 m/s,

w

V~{2 2"_ w 2-g -07'6 /112 - ---- - ,;) m s.

w

G mg1. to (1;= - = -~.~,'" Fe mw2{

w2=_0_,/ tg C(

V- V1 g 1 9,8 1V= - -- =- -- =-Y9,8' 1,73=0,,6556rot/s=

2IT l tg Ct. 2IT 1. ~ 2IT

V3=39,34 rotjminut.

2. III = l F = l G =0 2ES ES sin r;; ,

Fc0(=-'

RR = _F_c_ =m__4_IT_

2V_

2_R =4n2v2ml =8N.

cos r;; cos ex

1 v21. 2mv'6=mgho:ho= 2~ .

F Mpm I2. =y -- a suprafata Pamintului,R2

Mpmmg=y--'R2

R2g-m

yr2

R2=ma=mg-

r2

unde a este acceleratia corpului in dmpul creat de Pamint

~mvb= (;h~r= t;~R2 dr=mgR2 (~~1=mgR2 (~ __ 1_) =mgR2 h2 J j r2 ) r2 R R +h R(R+h}

R R R

Vb ho=--,

(v2) 1-holR2g 1---.L

2gR

ho=h1(1-h1/R),

dnd

4 mv2 1 mv21. -mg=mg- - ~ -mg.=-'

5 r 5 r

5v2 5· 400I'= - =-- =200 m.

g 10

2. fLmg < ~~I,Vi > \!~JR = Vl\5 ·10·100=22,36 mjs.

mv2 d3 _ ..2 h>- lng-'

. R "" 2

V > 1!~di= lVio'1,5'100 =101/1875=43 m,/s •.2 2h 2 .0,4 ~,

1. Evident ca ciocnirea nu poate avea loc decit in punctul B sau C.Admitem ca are Joc in B. In acest caz ciocnirea se va produce intr-un timp t, de 1apornirea celor doua corpuri in care corpul m2 parcurge un numar n de rotatii completelar corpnI de masa ml parcurge in plus arcuI AB

~51=n2"R+AB=v1l, 52=n2"R=vz!.

".ill = (,,- "IR + 3IT R4 J 4'

3ITn2"R '+ -R=w1RI,

4

n2"R =w2Rt.

Daca introducem in reIatiiIe de mai sus aflam n =4.

2 2 (+)22. Q= :!.!..~r:..l+ ~~~2_ m1 2 m2 lJ ,

-+ -+ -+m1v1 +m2v2 =(m1 +m2)v.

Cind se ciocnesc ceIe dona corpuri au directii perpendiculare intre ele

------ 1/m2lJ2 '-m2v2V (m1vl)2+(m2v2)2 = (m1,+ m2) V,= 1 IT 22 =2,4 mjs,m1+m2

Q=1,5 J.

3 t _m2v2 = 3,14 =182. gCl.--- , ,mIlJ1 1,71

1501. V= - =2,5 Hz, w=2 "v=5,,=15,7 radjs.60

'Po= 15°= ~,12

A =5 .lQ-2m, W =5rc,

X=5·lQ-2 sin (5rct + ,,)12

3. v =dxjdt =5 .10-2 ·t5rc)2 cas (5rct + ~),'d2

a =~ = - 5.10-2 (5rc)2sin (5rct+rcj12),!df2

Vmax =5 .10-2 '5rc=a,25rc =0,785 m· S-l,

amax =5 .1O-2(5rc)2 = 1,25rc2= 12,32 m/s2,

4. A ~A Sin(5rct + ~),2 12

1 ,1t '(5 t 1t )- = SIll - = SIll rc +- ,2 6 12

1t 5 t 1t-= rc+-,6 12

15t=-,121t=-s.60

Ec-=Ep

(1 1t)cos2 51t-+-60 12

'2( 1 1t}Sill 51t-+-60 12

COS2( '6' ) (V3i~)2---=--=3.sin2 (":r/6) (1/2) 2

V··-· - V 4 32.10101. V= E/p =' =4.103 mis.

I 2,7.103

v 4.1032. A= - = -- =8 m.

v 5.102

3. y=a sin (w t- 1t) =a sin 2 rc(~ - 2-) =a sin 2 rc('!- _!-) ,6 T 12 T /,

/, 8 2x= - =- =-m.12 12 3

dx 1t 1t1. v=---=5-cas-t,dt 6 6

5 1t • d I 1t t lId' - . d 1t tVmax = - cln cas - = a lca cln - =l1rc,. 6 6 6

dv 5 ( 1t) 2. 1ta= dl = - "6 ,<:;n"6t.

~ f=(2n <-\-' 1) " sau t =3,9,15 etc. s.6 6

4,,2Am . ( t )2. F = ma = --- SIn 2,,--,T2 T

A = 5 em, T=12 s, m=10-2 kg,

Fmax

= 4(3,14)2.5.10-2 10-2=13.10-5 N.144

3. Ee= mv2

= ~ 25 (~)2. cos:l~ t,2 2 6 6

E mw2x2 m (")2 25 . 2 " tp= -- = -- - . SIn - ,2 2,6 6

mEt =Ee+Ep = - A2w2=const.2

F 2L1.2.L=-A, A=- =4 cm2 F 'F N f--k = - =28,75 - , T =2" 1 :::. =0,0;)2 s,A m k

?-y=A sin~ t=4 sin 120 teem).

T

13. Ee = - mw2(A 2 - y2) =0,288 J,2

Ep= 2-mw2y2=1,15 .10-2 J.2

1,1,8l.

1. NI =50 g,

mg a/2a = --- =0,192 m/s2, SI = - =0,38/1 111.2M+m 2

2. v = at =0,384 m/s.

3. S' =0,384 - 0,05 =0,334 111,

S'= a'/2, a'= 25' = 0,668 =0,167 Ill/52,2 /2 4mg-fa' = --- , f este forta de freeare,

2M+m

a'/24. S = v't - --- ,2

5. i =5 s de Ia inceputuI mi~carii inseamna 3 secunde de la ,oprirea masei sup Ii.,mentare.

1. T= 2rr_ = 2-r;S =16 s,(,) 'It

1 1v = - = - =6,25 '10-2 Hz.

T 16

2. vmax=Aw=1O-12: =3,925 .10-2 m·s-1,8

A 2 10-1('It)2 1-410-2 -2amax= W = 8 =,D' ms,

3. Fmax=mamax=1,6 '10-2.1,54 .10-2 =2,46 .1O-4N.

4. Eo= ~ w2 A2m cos2(wt+cp) = 1(3,925 '10-2)2.1,6.10-2 COS2 (.~ t+ ;) =

= 1 232 '10-5 COS2 (l!- t + l!-) J,, 8 . 8

Ep=1,232'10-5 sin2(~t+ ;)J,Etot=Ec+Ep =1,232 .10-5 J.

5. A =A sin(wt1 +cp), sin (~tl + 2:) = ~ ,2 8 8 2

rr rr IT 1- = - t1+ - --+ t1 = - s.6 8 . 8 3

A V3 =A sin(wt +. 'm) sin ('It t +-~) = V3 ,2 2· T' 8 2 8 2

'Ittlli'It_IT t_5- 2-:1- --~ 2--S.8 . 8 3 3

5 1 _ 4 -1 '13i2 - i1 = - - - - - -,u s.3 3 3

1. F= - k·x, k=\F \ =~ =490 Nm-1.x 0,2

T=2 T:Vm =2 '3,141( 8 =0,804 s.k 490

1 12. v= - = -- =1,24 Hz.

T 0,804

mg 8·9,83. G=mg=kxmax=ka, a= - = -- =0,16 m.k 490

4. Et = ~ ka2 = _1 ·490 .0,162 = 6,272 J.2 2

5. Et= ~ mv§,2

vo= V2~t= V 2.6?72 =1,25 m s-1,

1. H=mv,E= mv

2 = H2 = (1,7)2 =2,89 J.22m 2·0,5

H22. E = - =mgh, de unde

2mh = ~ = 2,89 = 2,89 =0,59 ill,

2 m2g 2 ·0,25·9,8 4,9

_ l-h _ 1,18 -0,59 -0 5COSCl.-------, ,

1 1,18

Cl.m =arc cos 0,5 =60°.

3. Faria de lntindere in acest caz este suma dintre greutate ~i farta centrifuga

mv2F=mg+ - =2 mg=9,8 N.

1

1 f-v=-l !!-,2 'IT I 1

0,05 1 1/ g 1v+ 100-V=2-; l(l±Gt.6.I) =11 Vl±a.6.!

1± 0,05 __ 1_. _1_ =(1 + 0,05)2 =1-1- 2·0,05100 Vl±a.6.I' l+al'd -- 100 -L 100 '

1 ±CI.~t=1 ±10-s,

f= 10-3 = _1o_-_3_.1_0_6= 1000 =62,50.a 16 16

1. y=A sin wt=0,12 sin wt, v=Aw cas wt.

In pozitia de echilibru, cos wt = J,9,6=Aw=0,12 (», w==9,6 =805-1,

0,12 -

Y=0, 12 sin wt=0,12 sin 80 t.2. YI =A sin wt1 =A sin w 2- T = A sin 2- 2 ,,=A sin 271:

6 6 6 '

Yl =0,12 V3 =0,1038 m.2

13. v = A (,)cos (i)(=/10 COS(i)(= - 110,4

1 V (1 2COS(i)(=4:=sin(i)(= 1- :1} =0,97,

Y2=0,12 '0,97=0,1164 m.

4·IFMI=kYM=k·A=m(i)2A,

5. T = 2 IT = ~28 =0,0785 s,(,) 80

f=!- = _1_ =12,7il S-1.T 0,0785

1.1.86.

l.JE=T·R, mg-T=ma=lJ1ER, T=m(g-e:.R), (J1+J2)e:.=

=mgR-me:.R2, (J1+J2+mR2)=mgR, J1+J2+mR2=0,00765 kgim2p

e:.= 0,8·9,8·0,06 =6149 radis2 a=e:.R=61,49 '0,06=3,6894 mis2.0,00765 ' ,

2. (i)t=-d=61,49 ·4=245,96 raclis,

E= _1_(J1+J2)(i)i= !-0,00477'245,962=144,283 J.2 2

3. a= +d2= +61,49 '16=491,92 rad,

(I. 491,92 78 33 t t"n=-=--= , ro"a,ll.2 IT 6,28

4. T = m(g - a) =0,8(9,8 - 3,(894) =4,88 N.

5 J = ~(m':'+m )R2_~m*r2 = ~m~'(R2-r2)+..!.-m?R2,'22 2 2 2 2-

1'2m* ="r2lp, m2 =T.:(R2- r2)lp, m* ~m --

- 2 R2_r2 '

1 h = 3_ = (24,5)2 =30 6. 2 g 2-9,8 ' m.

2- 1t2. S-1Iot- -2- a, O=Uo - at,_ FA-G _ g(d-p) _? 45 12a- - -~, m,s,

m pV3. mg = - dg=Vpg2 "

V6S= -2a'S= ..!.-(24,5j2 =1225.

2 2,451

p= - d =500 kgim3.2

2J =-- Mr2,5

m este masa sferei

1. ~ P2g - mg=ma, a =( :: - 1 }g =0,6 '9,8 =5,88 rnl<::2

2 1· 1 [2· v2=v1'-!-al, 11=v1l'-!---a ,2

v2 = V2a1l1 +vr= V260,2=16,15 m/s.

3 l - V2-IJ1 -1 896• 1 - -, s.a

v~ 260,24. h? =_._= - -1327 m.- 2g 2.9,8 '

5. Ee= 2- mv~= 2.. ·0,300 '260,2=39 j.2 2

6 I - v~ _ 260,2 -2') 1• /3 - - - •••, m,

2a 2 ·5,88

v2 52h3=111+-1 = 20 + -- =22,1 m.

2a 2 ·5,88

1.1.89.

1. T = 27tV 1 =6,28 V49 =1,4 s.g 980

mv2

2. -- +mg =F, v2 =2 911 =2 gl (1 - COSy),J

m'-m 1 0cas cp = _._- = - => 9=60.2m 2

mv24. Be = - =mg1l =14,4207 j.

2

1.1.90.

1. qval=A 'v=AV2 gl si;-(X=4 ·10-2v'.2:g~8-~5001/2=2,8 rn3js,

qnt =2,8,1000 =2 800 kg/so

2. Pu =qmghYJl = 2 800 ·9,8 . 500· 2... 0,9 =617,1 kW.2

3. u=10Y2 gh=lOY2·9,8 ·250 =700 m/s.

4. A6 =...!L = qm' gh _1_~ =2,340C.m qm 4,18 250

pi 5248.103P~=q'vol pgh~q'=_U =----=7,65 m3js.

p gll 9,8.70.103

1.1.91.

1. u=a3=512·10-6 m3,

R= Vg(PA - Pc)=512 .10-6 '9,81 '200=1,0045 N ~ 1 N!R 1 12. a = -- = ------ = -- =2,5 m/s2~

V pc 800.512.10-6 0,4096

3. h= a~2, t= V 2~1 =1,41 s.

4. u=at =2,5 ·V2m/s.

1.1.92.

1. T'R=JE,

1 a_MR2- =m(g- a)R,2 R

1-M.a+' -m'a=m'g2' ,

a = _2_m_g_ = ~ =2,8 m/s2•2m+M 14

2. T=2(9,8 - 2,8)=14 N

1.1. 93.

k= Jfl = Mg = 9,81 =981 N/m,Ixl a 10-2

w=2r.v=2r.~= 7tn •60 30

!VI g 7t2n2X= - =m - (r+x),

a 900'

n2= 900 M·g·xm7t2a(r+x)

2. Xl =1 mm,

x2=2 em,

nl =463 rot/min,

n2 = 1 220 rot/ min.

3. n= 30 VlVIg 1/ x ,7t ma r+x

dn = ~~11"'19 (r+x) -x (_.!-_)-1/2 = ~~1111-[ 9 11 r2 ;dx 7'1: ma (r+x)2 f+X 7'1: ma x(r+.x)3

dn 6ndx 6x '

A -.!.-~l/Mgl!~ rLln - .._ . "uX,7'1: ma I X(f+X)3

6n = ~ 11 1'2 Llx 11r+~" = .1__ f_ 6xn 2 i x(r+x)3 ,x 2 (r+x) x

I\n 1::::....= - Lln1=44

n 10,5

6n + 1 A 8 I'- - uI12 = rot mm.n 150

4. In prezenla frecarii

xMgmw'2(r+x) = .....:.-+~.mg,a

1 +' 26n =1+ ('!.lm ,n x1,I

6n = _afl.mJl 2xM"

t'l.n = 10-2

n

L 1.94.

1. Y = A sin (27t'..!...'+' 'Po) = 0,4 sin (27t _t~ + ~)' ,T \ 0,2 3

A ' 27'1: ( t2. U= wcos (wt+'Po) = A --cosI27t --}-T t T

(7'1: 7'1: ) 57'1: V'S=47t' cas - + -- =47tcos- = - 47t-2 " 3 6 2

)" 0 4 27'1: (2 0,05 7'1: )'Po = , - CDS 'it' _. - + - =

0,2 0,20 3

2'it' Vs m/s.~,I •

4n2k = w2m =-m,

T2

h = ~~n:~:"= _4_""_,2_.1_0_'_10_-_3_'°_,1_(.,_=16 m.2T2m! 9 2.0,04.5.10-3,9,8

yMm1. mg=--. R2'

yMg=-,n2

vMmmg'= I

(R+h)2

yJ1

(112 Jn2 1+ R2

g' = 9 (6370)2 =\) 1 m/s2•6600 '

2. (;:11) =mg', u=Vg'(R+h)=7,7S km/s.

3. E=Ecin+Epot= mv2

+mg'h=3,85491 .1010 J.2

4. T = 2TC V :' T' =2TC V-; ,:!.. = Vf ..., T' =T V D =T V·9,1:) .T' D D' n.1

mv2 l:x2__ 0 =f.l-mgx+-,

2 2

kx2- +2fJ.mgx - mUB=0,2

20x2+2. 0, 15·0,5 .10x-0,5· 9 = O.

4 x2 +0,3x - 0,9=0,

-0,3+ V14,49X = 8 "-'0,44 m.

1

') V0,5_IT -

20

12. v=y= V-

. m<:oTt -

k

mv2T =flmgS.v8 9S= -- =----- =3 m.

2fL g 2·0,15·10

4. Prin frecare cantitatea de dtldura clegajata este Qf=fJ.mgS din ea("<e<<:K··rr.1<Labsoarbe numai 50% ~i dcci

mctli = flmg S· 0,5,

1= 0,5·0,15·10;3 = 5.10-3 arad.450 b

1.1.97.

1. F=Fax=(Pa - p)V 'g=(1000 - 700)'0,09 ·10=270 N.

2. ma=Vpa=Vg(Pa - p),

a=g(~~' -1) =1O(~0 -1) =4,3 m/s2,

t = 1!2H = -V2'2 =1 s.a. 4,3

lz'=lz-P- =15· ~ =10,50 em.pa 1000

4. For~a arhimedidi fiind mai mare dedt greutatea gl'inzii, eind aeeasta este seu-LundaHl in intregime in apa, rezulta ea trebuie aplieata 0 forta F' de sus in jos.

V"Pag= Vpg+F',

F'=g(PaV"- pV)=10'2'0,3(1000'0,14-700'0,15)=210 N.

5. Dad Fasc=O, grinda se poate gasi in eehilibru in interiorulliehidului Ia oriee nivel

PaVg=p'Vg de unde p'=Pa.

Deoareee bara este omogena grcutatea G este aplicata in centrul barei.Evident ea intrueit bara este in repaus

G=F1+F2•

Momentul rezultallt al tuturor for~elor ce aetioncaza asupra barei, fata de oriee;punet trebuie de asemenea sa fie zero.. Luam momentul fat,a de punctul A

,G ( ~ -II) =F2(1 - I1 - (2)'

Daca luiim momentul fata Ge punctul B

IG (1,_ -I )=F (f -- i-I ),2 2 1 1 2

1-211-----~_.- -1-(11+12)

Asupra seindurii actioneaza for~ele T (tensiunea in fir) Gs, R:; ~i R,/'

Sc ~tie ea eonditiile de echilibru sint :

LFx1 =0,

LFyi=O

R:; +F sin (X =Gs,RA' = T cos 0:,

Gs L =T sin (Xl ·Z.2

1. T=~ =150 N2 sin <X '

T 150D..[o = - = - =0,015 m=1,5 em.Ie 104

R"3. tg ~= -!!. = Gs-T sin <X + Gs/2 =tg 0.:,R~ T cas CI. Gs cas CI.

2 sin <X

deei ~ =0(.

4. In aeest eaz asupra scindurii vor aetiona fortele T;, Gs, Gc, RA2 ~i RA1•

Seriind eonditiile de eehilibru obtinem :

RA2+T' sin o.:=Gs+Gc, RA1=T' coso.:.Momentul fata de p unctul A

Gs _1_ +Gc' x=T.[ sin a,2

T'=~-+ (~)~.2 sin CI. I sin CI.

D..[' = .:£- = Gs + (~I Gc

k 2k sin <X. 1 ) Ie sin Ct.

Deei D..['=r(-=-) este 0 dreaptaI J

~ =0, D..['. =D..lo=1,5 em,l mm

~=1,I

Din egalitatea eu zero a sumei momentelor fata de punetul A(fig. 1.59)

MsgOA~eos a' - fLIMsgAB sin 0:'=0, RB=Fj=fllMsg,

tgo:'= ~ = _1_ =_1_ =1,25, 0:'=38,7°.lI'lAB 2·0,4 0,8

2. Deoareee peretele este Iucios, reaetia RB este perpendieulara pe acest perete.Din eonditia ea suma proiectiiIor fortelor pe orizontaIa sa fie zero, daca afliimpe RB afli:im imediat $i forta de frecare in punctul A.EgaHlm eu zero suma momentelor fata de punetul A'.

NIsgOA, cos o:d--mgAC cos 0: - RBAB sin 0:=0

R M. gOA.+mgAC tB = - e !! 0:,AB .

3. Utilizind ceIe indicate la punctele 1 $i 2 afIam ca omul se poate ridica pinain punctul C la ini'iltimea (fig. 1.60)

h ==A C sin 0:=4,1 m.

1.2.1. 1. t=81,4 s.2. v=vox=694 m/s.3. sx=56,5 km.4. hmax=8,1 km.

5. In punctuI eel mai de sus al traiectoriei, aeceleratia imprimata de forta<Ie greutate este verncala $i normala la traiectorie. Putem deci scrie:

v2 :Jg = _~x_ , R = !!.:~=49,1 km.

1.2.2. 1. a= - 0,1 m/s2•

2. slO=45 m.

1.2.3. 1. a =6,25 m/s2•

3. Vm = 12,5 m/s.

1.2.4. 1. x=509,1 m.

3. t=50 s.4. smax=125 m.

1.2.5. 1. i1 =4,082 s;2. t; =0,67 s;

t2 =8,164 s;t2=1,67 s.

3. Primul corp Ie Intilne$te pe eeIelaIte 2 dupa t =7,28 s.

4. Dupa dona seeunde corpul M1 parcurge distanta si =6 em, eorpul 1112dis-tanta s2=2,4 em iar M3 distanta ss=4em. Noultriunghi A'B'C' are laturib A'R'(M1M2)=20,21 em, B'C'(M2M3) =33,74 em $i C'A'(M3M1)=47.13 em.

1.2.6.

1. Se ia un punet oarceare A de pe traieetorie un de viteza eorpului este v'.De aiei eorpul va mai avea 0 Inaltime h' = ;'2. Clnd corpul va ajunge din non

gin punetul A, viteza Iui va fi :

1'--,0"V-2f' '2 v- ,v = g 1 = ,/ g 2 = v ,• 9

2. t'= ~ si9 ,

v"i" = - cum v' =v" ~ i' =t"

9

2. v=64,5 m/s. Aceste doua viteze sint egale, evident din demonstrapa Ia.problema precedenta.

3. v=-yvij+2 gh=65 m/s.1.2.8. 1. Vrn =36 km/h.

2. ti =6/5 h; t2 =4/5 h. 3. ti =5/6 h ; t; =5/4 h.4. Nu se pot depa~i pe drum.

d1.2.10. 1. A C= -- =24 km independent de VI ~i v2 •..;

3. At=lO h.4. ni =95,5 rotatii ; n2 =48 rotatii.5. a =0,067 m/s2; S = 119,4 m.

1.2.11. 1. tI=0,59 s; t2=1,41 s.Deci corpul M2 trebuie aruncat cu 0,82 s mai 1 ('prdr.

2. t~0,88 s.

3. AS=0,77°.

1.2.13. 1. h=0,93 m.2. V =2,43 m/s

al2 F·d2

1. Abaterea As= - = --2 = 0,25 m.2 2m·vo

2. Timpul de deplasare este: t} =0,67 s,2 F 2

AS} = ~l!! = __ II =045'-\ 2 m 2 ' m.

1.2.15. 1. D=100 m.2. t=17,62 s.

1.2.16. Gb=1176 N

1.2.17. 1. aM=1 m/s2;

2. vM=18 m/s;aB=-l m/s2•

vB=6 m/s.

1.2.18. Nu are loc eioe nirea.In momentul opririi personalului, trenul de marfa este Ja 30 ill infata.

1.2.19. v =3,57 km/h.1.2.20. Distanta minima este la momentuI t =0,8 h, adidi d'upa ee ma~inaa doua a treeut de intersectie.

Se obtine din conditia.:!-Y(d

1- u

1t)2+(d2 "':-;u

2t) 2 = o.

dl

1.2.21. 1. Cind forta F actioneaza paraleI en planuI, clar orientata in jos, corpn'ya sta in repaus daca

F ~ fLGcos ex-G sin ex.Dadi forta F este orientata in sus, nu va pune corpul in mi~care daca

F~G(sjn ex+fL cos ex).

'2. G sin ~=fLGcos ~,

~ a =Fcosy- fL(G-F sin y),

a =0-+ F = fLG = dF = - fLG(fLcOS';' -sin y) = °fL siny+cosy dy (fL sin y+cos y)2 '

F este minima cind f-lcosy=siny, tgy=p,.4. F= fl·G =~.

V~ V-l- 1'[1.2+1fL --+ --

1 +fL2 1+fL2

Observatie: este interesant de subliniat ca ~=y.

1.2.22. 1. 1=26,54 m; h=13,27 m.2. S=68,40 m.3. Ec= 136,78 J.4. F1=3N; F2=2N.5. E1 =45,9 J; £2=136,8.J.

2. T=2 11111112g, F=2T,1111+1112

3.~2_ =(n+1)(n-L).1111

4. a=0,164 m/s2; t=3,83 s; u=0,63 mis,5. F' =m' (g-a)=0,09S N.

1.2.24. 1. a1 =0,5 m/s2; a2=1 m/s2• 2. Sl =G,25 m;

1.2.25. 1. a = g 1113-(1111 +~2) (sill. C(+fL cos _r:) = 0,25 m/s2•1111+1112+1113

2. T23=47,75 N. 3. T21 =20,5 N.

1 226 U= _(._M_1+_M_2)_2~ = 760 I1.. . IU,S.m ( cos C(

mv2 111 F2tl. J 2 ,12Ec=- =--- =22m2 2'"

2. Fdt =d(mu) =mclv,

dt= dx ,D

dxF- mdv, Fdx=mvdll,v

mv2F(x- xo)= - = Ee.

2

il.2.29. 1. a1 =4,64 m/s2•

2. v =3,407 m/s.3. Acceleratia de frinare a2 =8,75 m/s2•

4. .0.5=0,66 m.5. E=9,55 J.

1.2.31. 1. Masa m=800 kg; G=8 kN.2. s=125 m.

1.2.32. 1. T1=1080 N.2. T2=1416 N.

1.2.33. 1. s=l m; v=l m/s.2. s' =1,75 m.

1.2.34. 1. va=25,9 m/s.2. t2 =71 minute.

1.2.35. 1. a = 1,02 m/s2•

2. T=5,9 N.

3. 5,79 s; 1,53 m/s.4. p =2,68 .103 kg/ma.

i1.2.36. 1. t =2 s.2. a) t1=0,45 s,

b) t2=0,05 s.gt2 gt2

3. x+-+v1t-- =h,2· 2

X=k-v1t, X=0 pentru t=0,980.4. (Ee)A =54 J, (Ee)B =92 J.

1.2.37. 1. F1 =0,88 N. 4. F4 =0,143 N.2. F2=0,338 N. 5. Nu se poate.3. Fa=l,Ol N.

il.2.38. 1. s=16,65 m; v=16,65 m/s; a=8,327 m/s2•

2. T=15,06 N.

3. O,327<m2<O,637 kg.4. 20,6 m.

1.2.39. 1. 20 s.

2. mI =40 g; m2 =60 g; VI =387 111j5;

3. Daca illI este orielltat in sus: .6i =53,5 s.

1.2.40. 1. I =4,19 m.2. va =4,96 mjs.

3. Ep=198 J.4. (;(=199 J.

lu =I (Sin a-fLcas a)2n.1.2.41. 1.sin <X.+IJ.cas a

') l. =l eLlsin a -fL cas~ ,l11 sin a -fL cas _0;)2~. tot I • 'T I . + ...

SIl1<X.+ 11. cas ex \ Sill a+fL cas CI. .

. _ (SinCl.-fLcasCl.ln 1se consldera -:------ I ~1-

Sill <X.+ fLcas aJ

3. tI= l,/---V-- .

t g(sin a -fLcas a)

t _ (Sin CI.-!J. cas a'n V 2/4. n- sinO:+fLcos a) g(sina-fL cas a)

1.2.42. 1. aI =0,66 mjsZ, a2=1,51 mjsz.

2. t =25,25 s.3. s=210,39 m.L1. t nn depinde de g; s depinde de g.5. EC1=21,497 kj; Ecz=19,191 kj.

1.2.43.1. a=(CSin cc+fi.Gcosa+ ~ a).s,a ai2 2SPm = ---, s= ---, a= -,t 2 [2

U 2s 25t=-=--;a=--a D (~f-r

1.2.45. 1. a =2,5 - mj52.

2. E=6,25 J.3. II =4 S.

4. Pfs =1,09·1 kN.

L2.46. 1. Fmin =2,5 kK.2. Smax =50 m.

'1.2.47. 1. a =3,27 m/s2•

2. [=0,78 s.

1.2.48. 1. h =23,16 m.

3. T=13,06 N ..'1. E =2,61.109 N/m2•

2. Q =760 caI.

L2.49. 1. 28 1 I? R=a;(/= - = -nl S-'/2 3 I ,

aS-2.e:=R =8,33

2. w=:::t=25 rad/s.

3. v2 1 =5,5102 Ill/S2•an=- =R (4· 10-2)2

4. 10-3J.

mv2

F=-'R'd d

h = ----- = -- ----,

V--- r--G2 1 ,g2R21+- 1,--F2 v4

51. h= - 1=50 cm=0,5 m.

2

2. [=0,70 s.3. R S =0,37 m.4. [2 =0,43 S.

5. Corpul parcurge din R numaipunetul N.

L2.52. 1. Fj=15,8 N. 9 F3=8,05 N.V.2. F2=11,59 N.

1.2.53. 1. p=0,50 m.2. smax=6,25 m.

1.2.54. 1. F4 =4350 N.2. w=0,05 rad/s; Fcf=2093,3 N.3. [=58,57 s.

1.2.55. 1. v=14 m/s. 2. h =13,1 m.

1.2.56. 1. Fc=4,9 N. 3. Ec=0,857 J.2. v=0,837 S-l

1.2.57. Din figura 1.62 rezulta :

4. Vi =27,65 m/s.5. V2 =59,86 m/s.

~ -+ -~T+G=ma,Gx+Tx=maxGy+Ty=mayGx=O; Gy=-G=-mg,Tx=T sin ~,

Ty=T cos ~,

ax =a cos a, ay =a Sill a, 0 + T sin ~==ma cas x,-mg+T cos ~= ma sin (J..

uncle:

1 to' ~ = a cas Ct.

. '" U+a sin CI.

2. T=mVg2+2 ga sin a+a2•

1.2.58. m11110+m21120=m1111+m21J22 2 ? 2

:::1:'.1Q. + In2V20 In1Vj. In2v?2 2 = -2- + --:2 .

Formula (1) poate Ii scrisii :

m1(1I10-1I1) =m2(1I2-1I20)

iar formula (2)

m1(1I10-u1)(1I1O + Ill) = m2(v2-IJ,o)' (v2 + v20)

Din (3) ~i (4) rezulti'i:

.<l1O+V1 =112+11;:0' (5)

Inmu1tim (5) Cll m2 ~i sciiclem din (3) iar apoi inmultim (5) cu m1 ~i rezultatul il sciidemdin (3). Oblinem:

2m2/!20+(m1 -1112)V10 2 111 IVlO+ (1112-:'11)V201. 111= -- ..--.-.--, v.= -----.---.-.m1+m2 - m1+1112

2. Dacii III =1I2~1I1O =lIzo dar in acest cn uu se puteall ciocni.

3. m1 =m2; III =1120; 112=1110,

Deci, in acest caz, prin ciocuire, sfcrelc i~i schimhii iutre ele viteze.'Dacii 1120=O~ 112=1110 ~i III =0.

1.2.59. v =wR cos (J) = 2;: R cos (J)., w =7,27 '10-5S-1,• T

a) Vo =4GG m/s.b) 1160 =233 m/s.e) 1190 =0.

ij.2.60. 1. Wo= 2rrn. =100 S··-l.60

2. Z=- <.Uo-o =-10 5-2•t

3. cp= ~o+o .f =500 rad, n = -~ =80 rotatii2 2~

12l:!Q. I?;:; _ +.2mg/cDsex 1,5•• Uv. • ~,<.J mg-mg _ .._-- cas 0(= -.

/ 2

1. 2.61. Din figura 1.63 se vede-cD. :

FC2~G2' Fc2=mw2R cas (1.'

Gz =mg sin ce.

Cazul limita Fcz =G2, w =

= V~i(;gex.

2 mg / CDS ~ 252. 2,5 m!J=mg cos ~+.--2--' cos ~= ~

1.2. 64. 1. T =mg (3 cas 9-2 cas 90)'Jnv2

2. ~- +mgl(l-cos 9) =mgl(l- cas 'Po)' II=V2gi(cos cp-coscpo)'

1.2.65. a) F=mg

b) mu2(fig. 1.65, a).F=mo'--cos if!

b R

c)mv2

(fig. 1.65, b).F=mg+-cos c:pR

1.2.66. 1. IIt=5 m/s.2. (It=-l mjs, an=O,5 mjs2,a=VaH-a~=1,12mjs2.

1.2.67. 1. Day =20 mis, Vox =500 mis, tg Of. =0,0392.2

2 T-I -1 + ~ =30 6 m,• r; max - Imax 2g ,

112= 14,7 m/s din lege a conservarii impulsului Ia explozie,

3. d2=5 km.

gx2

.2.68. y=x tg cr.-'<2. ' y=x tg ~2vo ~COS2 ex

(vezi fig. 1.66).

dx 1 ('IT I )- =O--+cr.= - - T~ •da: 2 2

2X = ~ (sin 2 0::-2 cos2 0::tg ~),

g

G G,1.2.69.- (j)2R '+' fLG~Gl + _1 a,g . g

G G-- (j)2R ~ G,+,G1 '+' _1 a,g g

.£ (c,}R-fLg) -g.<,.a <.-~ (w2R'+'fLg)-g.G1 G1

-1.2.70. 1. w=3,36 S-I, 3. Etat=2,76 j.2. Ec=1,41 j,

(1.2.71. 1. PI =4,24 N. 3. P3=6,22 N.2. F2 =2,45 N. 4. v =2,67 m/s.

m12. V= ---VI'm1+m2

v23. Smax= -.

2[Lg

;1.2.73. PA=3 kgf, FB=O

,1.2.74. TAB=51,8 kgf, TAc=73,2 kgf.

3a a1.2.75. R=lO P, Xo=-' yo=-·10 2

1.2.76. Trebuie studiat llltli echilibrul ill articulatia C ~i apoi in articulatia B>{fi~. 1.67)

Xc=4Vir,3"

4rxc=- .3"

{~Fe

rev2r sin Cl

Xc=--3a:

2R sin3 a:Xc= •

2(1Y. -sin Cl cas oc)

1.2.79. A, n, C - evident (fig. 1.(8). D ~i E

sub ul1!!hiul Ct., cas C/.= _(1::=, cIeci C/.=54°45'. ]3

1.2.80. (m1 +m2)a =m1g sinC/.- In29 sin ~-- [Jm1rJ cas Ct. - fLm2g cas ~.

al2S=-.

2

.!!!l_ = gl2 (sin a +sin ~)([L cos ~+sin ~) +211

m2 [112(sin o:+sin ~)(sin 0:-[Lcos a) -211

l( 1 1 1)1.2.81. L=-_ 1+-+--+ ... +--.2 2 3 n

Echilibrul este instabi!.

1.2.83. Cind greutatea G1 caboara cu h, punctul F va cobor! cu hl3 iar greutatea G~ S{:

V::l ricliea cu 2hj32G1h=G2 - 11,3

1.2.84. II=8 h sin c<,12=16 h sin c<

')

G1= -=- G".3 ~

II: [2: 13••• =1: 2: 3 ...1.2.85. 1. Indicatia va fi 3 kgf.

2. G1=3 kgf.Tensiunea ramine 3 kgf =T,

G+G~ _Y_= (G +G1- T).

g 21.2.86. Maimutele se VOl' afla la aceea9i Ina1t.ime.

Asupra fiecarci maimu te aetioneaza forta F = T-mg.

1.2.87. m1g-T=m1Ql'

De unde:4m1n1a-3m2ma+m,m2a1 = -------- g,4mlma+m2ma+mlm2m1n12-4m1ma+m2ma

Q2= ---------- g.4 m,n1a+ m2ma +m,m2

4 m1ma-3 m1m2+m1maas = ---------- g.4 mlma+m2nla+n11In2

1.2.88. m1g-T=m1a,

1.2.89. !n pozitia devertieala ce treee prin

. . 1 lscnpe!:l 1 = -:'r= •V3Echilibrul se va stabilitreilea.

echilib I' U mr;-',,;"mg ces 0:=0. Deci Ct.=60° ung-hiul dintrecentrul celui de DI doilea corp 9i pozitia firelar intre

)2rrr

1.2.90. 1 Vtr = - =(,)l'=v.T

2) Pentru punctul A, 2v,

Pentru punctul B ~i D, V2v,Pentru pUllctul C e<ste zero.3) Toate punctele afiate pe portiunea de cerc cu centrul in C ~i Cll raza egalii ell

_raza discului.-1.2.91. Nu va fi in echilibru. Va fi mai greu in pmtea dreapta.1.2.92. 1) Ec=5 .105 J.

2) P=104 w.3) m =1,304 kg/h.4) de 14,687 ori.

V

- Vg-ll-S-il-12-0:-+-2-g'-I(-Sj-n-C/.---fJ.-C-O-S0:-)-( -.l--_-si-n-ex-)

) t-- 3_ +. smo: 2 VglJ2'sin 0:}1.2.93.1 ------------------g g(sin 0: -fJ. coso:) g(s1n ex -fJ. cos a)

2) V =Vgh sin2 0: +2gh (sin iX-!J. COSCI;)(-._l- _ sin 0: )-2(J.gd., S1l1 0: 2

Vgll sin2 0:+2 gll (sin 0:-[1- cas 0:) (_._1 __ sin 0:) - V

3) t = sm 0: 2!J-g

';1.2.94. 1) V =21,014 mis,P--mgv

a=O,Q=

PV = -- =25,034 m/s.

!,Lmg

2) Ff=12,534 '103N,t =7,989 s.

;1.2.95. 1) sin iX=3,8 '10-2•

2) a) F =44,688 kN,lJ) E=892,7G NJ,c) P=372,40 kW.

3) a) F=56,439 kW,b) E=1128,788 NJ,c) P =470,328 kW.

4) Pc =3 135,523 kvV.

ll.-l.96. 1) G-!J.P-Q(sin O:+f-lcos a)= G+P+Q ((1g

sau

Q. Q P G G+P+QSIll CI;- !J.cos iX-f-l - = --- a2,g

PTI-VP--T2= - aI'

g

b) Q sin CI.-vQ cos CI.-T;=!La2,g

T;-G=Ea2,g

T2--fLP-T; =!- a2•g

1.2.97. 1) PI =6,0'103 N, F2 =0,869 kN.2) F; =8 .103 N, F;=2,88·103 N.3) tl = 14,286 S, t2 =49,06 s.

1.2.98. 1) v~0,407 S-l.

2) Trnao;=738,6 N.3) ')=0,407 S-l.

1.2.99. 1) Ft=3 .105 N, Fv=2 .105 N.2) a =0,5 m/s2, s =300 m, CI. =45 1\1J.3) t=37,03 s, Vrnax=50 m/s.

2 Nqml 2Nqm21.2.100. VOl = --_ .._, V02= ----m2(ml +m2) m1(ml+m2)

La bazele planelor:

_lV 2 L .VI - Vol-2 [J.g -,2

Val' urca pe plane:V2

1= 1_.1 2g(sin (Xl +[1- cos (Xl) ,

m V2 m V2f-l_0l-·..'..1.-.L_ =L"m g+2 1 In 9 cas2 2 ~ I , 'I 1 fL Cl.1,

m2 V52 m2 V§f .~ - -2- =oWm2g+212m29fL cas Cl.2·

V21= 2 _2 2g(sin 0:2+ [L cas (X2)

1.2.101. 1) ctg Cl.2=3 ..2) 12 J.3) h2 =0,665 m.

1.2.102. 1) Se calculeaza VN=1,35 mjs.Considerind fOIta medic de freeare ~i luind apraximativ arcul cgal eu eaarda se

obtine:

_~V7v ==mnlz+lL [mg(2R-11) + mvJv] [1 +.rR- h) 2].2 ;1. , 3 2 2 J. l R

2) Analog, eu aeelea~i aproximatii.

1.2.103. 1) F1 =120,F; =70 N,

2) F=fL'7F1,

3) fl. ' < 1.>p..,

Fi=iFl'F;=iF1'·

F' =fL'7F;.

~cos a+llIt

V2) V 1= -=======

Vr ~cos a+lM:

3) i= 2V1 sina •g

4) V = !!l!!.l_ cos ccll{

:1.2.107.- 1) v= m1v1+m2v2 ,

m1+n12

V 2m1E1 - V2m2E22) v= ------,m1+m2

V2m1E1> V2 '20m2E1,

'1.2.108. 1) v =6 m/s.2) F=630 N.3) a2 =4,05 m/s2, II =21 m/s.4) t=2,73 s.5) h=11,36 ill,

E1)=33,398 kJ.

p _ (m1v1+ m2v2)2~e- •

2(m1+m2)

1.2.109. 1) h;;, 12,5 m.2) s'=41,6 m, l=5,32 s, Fm=788,5 N.

1.2.110. 1) a) 1=6 h, b) l=4 h.2) el =333 ill, v = 103,5 m/s3) ell =166,6 ill, d2=500 m,

v1=99,41 mis, lJ2 =110,02 m/s.

2 2 g 21. .111. 1) CJ) =--=.I V3

2) Ee = M2?!. •4V3

1.2.112. 1) .=9,78 N.2) De '" 17 ori.

1.2.113. 1) D =3,4.105 km.2) gp=6,1 gq' TL=2,46 Tp.

1.2.114. 1) v=7,79 km/s.2) T=5280 s.3) gh=58,35 N.4) Tp =2,03 S.

R21.2.115. G=mqo -- ,

. (R+Itj2g=~.

36

1.2.116. In AVmnx,

In BVmin (fig. 1.(9).

1.2.117. Trebuie aruncat din primul satelit in sensu]de mi~care al acestuia.

1.2.118. 11=220 km.

1.2.119. 1) Fc=0,73 N.2) 11 =R.

3) v =9,68 km/s.4) 11 =10,4 rota1ii.

1.2.120. R=<1,23'107 m, u=3,08·103 m/s.R b -R m ( '11'C

2R2)L=rm111p or p+_ uij--_P =11,53.1010j.

Jlorb ·Rp 2 TE1.2.121. II =82 ·400 km.

1.2.122. 1) l=UJ8 m.2) T=2,82 s.

3) Ec=Ep=2,87 j.

1.2.123. 1) T=2 nV2L2,

g

2) h=L2(V2-1).

1.2.124. 1) T=0,7755 S.

2) E =3,675 J.

1 2 125 1) x2 :.le,. ~y_b)2 =1... ,.(12 c2

2) u =wVa2sin2 wi+c2coS2 w i.

3) a =w2Va2cos2 wi +c2sin.2 wi.4) F =J)W =mw2Va2rus2 wi +c2sin2 ol!.

1.2.126. 1) A =0,44 G'1.

2) 11 =5,68 S.

3) T=O,186 S.

4) X =0,44 sin(33,76 i).

5) X =0,41 cos (33,76 i).

a1.2.127. 1) <p=are tg-,g

~cos exg

1+ ~sin exg

tg <p=1- ~sin ex'

g

3) Firul fiind normal la planul inclinat<p=-iY., R =mg cos ex.

1.2.128. 1) Man~on ul se va deplasa treptat ~i in sens invers acceleratiei (pe

cre~terii aeesteia). Deplasarea maxima :a = 1 em.

a1- -cos exg

2) Man~onul va efectua oscilatii armonice dupa lege a X = ma (l-cos wt),.k

X fiind eoordonata man~onului fata de earueior IcgaUi de pozitia initiala a man-fionulni.

w =-'I!lE- = 9,9 rad/s.m

3) l\1all~onul se deplaseaza fa ta de eentrul eurs~ cu distan ta Xl' iar earueiorul en X2 .•

mX1 =MX2, MX2=-h(X2,+Xl),

.l\IX2+h( 1- ~)X2=0, m)(l +h( 1'+ : )Xl =0,

_Vk(m+M.) -108 dl0)- ---- , ra s.mM

Z~=5lU+m

l_ll_l _ = 1 em.M+m

1.2.129. 1) LiI=0,625 em.

2) T=0,14 s.3) 6..Z =0,25 em.

1.2.130. 1) y=4,02 sin 3,116 t.em.

2) a) T=3,924·1Q-2N.b) 0 parabola X =6,48 m, u = 18,87 mis.

1.2.131. 1) a=-(02X.

2) a=wVu6-v2 .

..,) XT A . (2" t " ).) .L = . SIn -- + -- ,o . T 3

1 2"u =--A-,1 2 T

(

2IT IT ) 1 2" ITcos T 11+3 = 2' -i 11+ 3 =7t/3,

Ia fel 12= I--. = 0,025 s.6

1.2.132. CP2-CP1 =71°46'.

11.2.133. 1) l=-s.24m A2w2 4IT2m A2

2)E=-- =----.2 2

3) F=-mA(47t)2 sin (27tl+ ;).

1.2.134. VOl' fi acelea~i amplitudini.

1.2.135. E=1,S9 .1011 N/m2•

1.2.136. a =0,24 m/s2•

1.2.137. 1) 7110 j.2) 28400 j.

1.2.138. m2g-T2=m~a2m1g-T1 =m1a

dw(T2-T1)r=J di;

m2-m11) (12=-a1 = ----g.Jm1+m2+ -r2

m1gJ2m1m2g+ --

r22) T1=------

Jm1+m2+ -1'2

m2gJ2m1m2g+ --

r2T2=-----

Jm1+m2+ .-;r

3) F=T1+T2+Mg.

1.2.139. 1) E = -.!!!...2R-m1l' g.m2R2+m1r2+J

mV~ Jw2~.2.140. Ee = -2- +"2 ' J =.2.- mR2, ve=wR,

2

Ve = V : gh w = v; = ~ V : gh.

2) Fj = _1._ mgsin <x, ae =eR3

1 mR2o; 1Ff= --~ -~-= -mRE,2 R 2

1Ff= - mac, mac=2 Ff,

2

2Ff=T:lg sina-Ff·

13) f.L;;;' -~- tga.,J

mga=-----

m+2111 (~~)2R-r

2m M9(_R_)2R-r_.2) T=

m+2m(_R_" _)2R-r

1\11 mO(1 + .2..)3) F= R

m(1- ~)\2Mr1+-R

1'v1 ( r )22-;;+ 1-R1.2.142.1.2.143.

1.2.144.

~h =3,66 '10-2 m.ha =0,355 ill, hp =0,442 m.

Q = S s l( 2gli-.1 21 2 ?5j- 52" (n2-1\

p= ~)Pa'

2.1.1. Sa se determine lungimile la O°C, 101 ~i 102, a doua bare paralele care, inca 1-zite, pastreaza totdeauna 0 diferenta de lungime constanta" t11 =2 cm. Se cunosc coefi-cientii de dilatare 0':1=11.10-6 K-1 ~i 0':2=18'10-6 K-1.

2.1.2. Doua vase de sticla identice, de forma cilindridi, gradate, se umplu, unuleu mercur, celalalt cu un lichid al carui coeficient de dilatare este necunoscut, pinaIa diviziunea 50, ambele lichide avind temperatura t1 = 10°C.

Se incalzesc apoi cele doua vase pina la t2 =90°C ~i se constata ca, in urma dila-Hirii, mercurul a urcat cu 0,3 diviziuni mai mult decit celalalt Iichid.

Sa se calculeze coeficientuI de dilatare al Iichidului YI.

2.1.3. 0 vergea de cupru cu sectiunea s = 1 cm2 ~i cu lun[;imea 10 = 1 m la te mpera-tura to=O°C prime~te 0 cantitate de dildura Q=3471 J. Sa se calculeze:

1. Alungirea barei t11. .2. Forta F care trebuie aplicata barei pentru a-i mentine alungirea tll, clnd tem-

peratura revine Ia to'3. Lucrul mecanic L efectuat de fortele elastice care actionind asupra barei la

to produc alungirea t11.

2.1.4. Intr-un calorimctru in care se afla m1 =0,5 kg apa ~i m2 =0,3 kg ghcata,in echilibru termic, Ia temperatura to =O°C, se introduce 0 sfera de metal cu masalVI = 1 kg ~i temperatura t =240°C. N oul echilibru termic se stabile~te la temperatura(l°C, dupa ce toata cantitatea de gheata s-a top it. Sa se calculeze :

1. Caldura specifica c a metalului.2. Temperatura de echilibru 8 a sistemului daca mas a sferei metalice este 1111=

=2 kg (se considera neglijabila capacitatea calorica a calorimetrului).3. Masele sferelor metalice, lVI' ~i lVII, pentru realizarea echilibrului termic, la

temperatura to respectiv 8, daca este ncnula capacitatea calorica a calorimetrului

( [{ =0,2 k~~)!2.1.5. Intr-un calorimetru care contine ap[l ~i

D gheata la echilibru termic se gase~te urrnatoruldispozitiv (fig. 2.1): un tub A, deschis la parteasuperioara, este introdus intr-un vas B in care ~eafla apa ~i mercur. Vasul B comunica la partea infe-rioara cu un tub C terminat cu un capilar orizont:Ldivizat in volume egale ~i aflat in afara calorimetru-lui. Introduclndu-se in vasul A 0 cantitate d>eter mercurul este impins in capilar pina la diyi-ziunea N1 =40 (prin evaporarea eterului 0 parte

din apa se solidifica, ceea ce determina marirea volumului). Daca in vasul B se puneo cantitate de apa m1= 10 g, cu temperatura t1 = 10°C, dupa stabilirea echilibruluitermic mercurul din capilar se retrage pina la diviziunea N2=35. Adaugindu-se apoio b ucata de cupru cu masa m =20 g iji temperatura t =80°C, in final mercurul se re-trage pina la diviziunea N 3 =27,8.

Cunoscindu-se caldura specifica a apei (C1 = 1 :~). sa se calculeze caldura spe-

cifica a cuprului (c).

2.1.6. 0 bara de fieI', cu lungimea l=l m, sectiunea 8=2 cm2 iji temperaturat =25°C ede incalzita cu 0 lampa de petrol, consumind 0 cantitate x =0, 1 kg petrol.

Sa se calculeze:1. Variatia de temperatura !::It a barei.2. Aluncirea barei !::llla incalzire.3. Temperatura finala e a unui vas care contine M = 10 kg apa, cu temperatura

initiala to =20°C, in care s-a introdus bara incalzita.Se cunosc:

Puterea calorica a petrolului q =4,8 ·107 ~.kg

Randamentul de utilizare a dildurii YJ =10%'

2.1. 7. 0 bara de otel cu sectiunea 8=24 cm2 absoarbe prin incalzire 0 cantitatede caldura Q=22 MJ. Sa se calculeze:

1. Alungirea barei !::ll.2. Cantitatea de petrol x necesara pentru incalzirea barei, presupunind un ran-

dament de utilizare a caldurii YJ =30%.3. Forta F care trebuie aplicata pentru a produce aceeaiji alungire.Se cunosc:

Puterea calorica a petrolului q=3,13·105~.kg

Lungimea initiala a barei lo=100 !::ll.2.1.8. Un proiectil cu masa m =5 kg iji viteza il1itiaIa Vo =300 ~ traverseaza ree-

s

tiliuiu orizontal un strat de zapada cu Iungimea 8= 10 km. In timpul traversarii stra-tului de zapada se dezvolta, clatorita frecarii, 0 cantitate de caldura Q=200 kJ. Sase calculeze:

1 Viteza VI a proiectilului Ia ieijirea din zapada.2. AcceIera~ia a iji timpul t in care proiectiIuI strabate zapada.3. Forta constanta de rezistenta F care actioneaza asupra proiectilului.4. Variatia de temperatura !::l6 a proiectilului, presupunind ca absoarbe juma-

tate din caldura dezvoltatii.Se cunoa~te:

JCaldura specifica a proiectilului C = 125-- .kgK

2.1.9. Pentru frinarea unui vagon de tren se preseaza pe fiecare roata cite unsabot care exercita 0 £orta F=8000 N. Din momentul aplicarii sabotului pina la /'oprire roata mai face un numar n =200 rotatii.

Sa se calculeze:1. Cre~terea temperaturii sabotului !::It ijtiind ca acesta retine 50% din caldura

dezvoltata prin frecare.

2. Masa x de gheata cu temperatura initiala t =-lO°C, care ar fi topita (aparezultata raminind la O°C) de intreaga cantitate de caldura dezvoltatii prin frecare.

Se cunosc:Masa sabotului m = 10 kg, diametruI ropi d = 1 m.Coeficientul de frecare sabot-roata fJ. =0,2.Caldura specifica a materialului sabotului c=460 ----.::!- •

kgK

2.1.10. Un mol de gaz perfect care in starea initiala se gase~te in conditii nor-

/maIe trece izoterm intr-o stare II in care presiunea este P2=~ atm ~i apoi se deschide2

izobar trecind in stare a III. Se ~tie ca diferenta dintre volumele starii III 9i II esteV3-V2=5,2 I. _

Presupunind 0 cantitate de azot care are parametrii de stare ai starii II ~i 0 can •.titate de argon care are parametrii de stare ai starii III inchise in doua vase izolatetermic fata de exterior, sa se calculeze temperatura T ~i presiunea P dupa deschide-rea robinetului de legatura dintre cele doua vase ~i stabilirea echilibrului termic.

Se cunosc:

Caldura molara la volum constant a azotuluiCN2 = ~ R ~~2 mol K

Caldura molara la volum constant a argonului CAr = 2.- R cal2 mol K

2; 1.11. Pentru incalzirea unei cantitati de apa m =4 kg se consuma 0 can titatede ciildura Q=828 keaI. Temperatura initiala a apei este to=10°C. IncaJzirea se pro-duce Ia presiullea atmosferica.

Sa se calculeze:1. Cantitatea de apa x transformata in vapori.2. Volumul V ocupat de vapori (considerati gaz perfect) la presiunea p = 1 atm.3. Enentia cinetica medie 0: a moleculelor vaporilor de apa.4. Lucrul mecanic L produs la destinderea izobara a vaporilor obtinuti, daca

volumuI acestora se dubIeaza.Se cunoa~te :Randamentul de utilizare a caldurii YJ =0,5.2.1.12. 0 cantitate de apa m = 1 g, care se f!ase~te la temperatura to =90°C ~i

presiunea Po= 7 '104~ (egala cu presiunea de saturatie a vaporilor de apa Ia 90°C)m

sufera urmatoarele transformari succesive:1. Vaporizare, la temperatura to ~i presiunea Po'2.1ncalzirea vaporilor obtinuti la volum constant, pina dud presiunea devine

Pl=l atm.3. Racirea vaporilor de la punctul 2, la presiune constanta, pina dud tempera-

tura devine t2=100°C. Vaporii sint considerati gaz perfect.Sa se calculeze cantitatea de caldura primita ~i lucrul meeauic efectuat in fie-

-care transformare.Se cunosc:Caldura specifica a vaporilor de apa la presiune constanta

calcp=0,48-·g·K

Caldura specifica a vaporilor de apa la volum constantcal

C =036---v , g.K

Caldura latenta de vaporizare este data de relatia1-=(606,5-0,695 t) cal ,

gunde teste temperatura in °C.

'iY2.1.13. Un vas cu volumul VI =8 dm3 contine aer la presiunea PI =0,5 atm, iarin alt vas, cu volumul V2=5 dm3 se gase~te hidrogen sub prcsiunea ,02=1,5 atm. Sereunesc cele doua vase, care au aceea~i temperatura, printr-un tub Cu volum ne@'li-jabil, astfel incit gazeIe se amesteca. Sa se calculeze:

1. Presiunea ,0 a amestecului.2. I\lasa aerului ml ~i masa hidrogenului m2•

Se cunosc, Ia temperatura comuna a gazelor ~i Ia presiunea Po = 1 atm, densita-tile acrului ~i hidrogenului (POI =0,0013 gjcm3 ~i P02 =0,00009 gjcm3).

<A. 2.1.14. Sa se calculeze densitatea oxigenului, care se gase~te la temperatura

t =50°C ~i presiunea ,0 = 150 atm, cunoscind valumul molar normal (Vom =22,4 dmS

)mol

i masa molara (M =32 -.L) a oxigenului.mol

2.1.15. In corpul de pompa al unei ma~ini termicese gase~te aer care Ia temperatura T1=400 K ocupa'olumni VI =2 dm3 ~i exercita 0 forta de 104 N asupra

. istoEului. Gazul sufera 0 destindere izoterma fig. 2.2ajunGincl in starea 2, in care volumul este V 2 =2,6 dm3,

apoi 0 comprimare izobara pina in starea 3 de un de::-e'in~ in starea initialii (1) printr-o inciilzire izocora.

a se determine:1. Parametrii de stare in starile 1, 2, 32. Lucrul mecanic efectuat in ciclu3. Randamentul unui ciclu Carnot care are func-

':~lllea intre temperaturile extreme atime in ciclul 1231.Se cunoa~te:Suprafata pistonului 5=200 cm2•

2.1.16. Un gaz care se p-D.se9teintr-o stare initialii caracterizata prin parametrii

-: =9.105 N2

~i V1 =3 dm3 poate ajunge in starea 2, situaUi pe aceea~i izoterma, ca-m

acterizata prill presiunea ,02 = 6 ·105 ~-, pe urmatoarele cai :m2

a) printr-o transformare izocora, urmatii de una izobara,b) printr-o transformare izohara, urmata de una izocora, /c) printr-o transformare izoterma.Sii se reprezinte grafic transformarile enuntate ~i sa se calculeze : \..1. Lucrul mecanic efectuat pe fiecare cale J ~

2. Randamentul unui ciclu Carnot care ar functiona intre temperaturile extreme .""•..• e in transformarile enuntate.

1{2.1.17. Intr-un vas cu volumul V se introduc n1 moli din gazul 1 eu temperaturaT1, n2 moli din gazul 2 cu temperatura T2 ~i n3 moli din gazul 3 cu temperatura T3•

Cllnoscind ciHdurile -specifiee, c1' c2 ~i c3' masele molare lVII' M2 ~i M3 all' celor treigaze, precum ~i constanta gazelor perfecte R, sa se calculeze presiunea ~;;st':muiuiajtms in eehilibru termic.

1(' 2. L 18. Un tub barometric eu sectiunea 1 cm2 se umple cumercur ~i se scufunda cu capatul desehis intr-o cuva eu mereur,realizindu-se situatia din figura 2.3 (inaltimea coloanei demercur hI =40 em, lungimea coloanei de aer II =20 em). $tiindca mediul ambiant are temperatura t =27°C ~ipresiunea P = 1atm,sa se calculeze :

1. Ina1timea L2 pe care trebuie sa 0 aiba tubul barometric(masurata de la nivelul mercurului din cuva) pentru ca volu-mul aerului din camera barometrica sa devina V2=25 cm3.

2. Masa de hidrogen m care trebuie introdusa in camerabarometrica daca inaltimea coloanei de mercur devineh=20 cm.

---lOt, :'!'c n-.' •....•. ' ,J/

2.1.19. Un tub cu volumul V =40 I contine oxigen sub presiunea p =151 .10s Nm2la temperatura t = 17°C. Sa se calculeze:

1. Masa oxigenului m din tub.2. Numarul x de litri de oxigen care pot fi utilizati la 0 suclura, claea aceasta se

realizeaza la t1 =O°C, presiunea de lueru a oxigenului fiind PI =2,5 '10sN •} ~

3. Densitatea gazului pi ramas in tub cind presiunea a scazut pina 'faNp' =59' 105 - la temperatura t' =27C.m2

Se Cllnosc:kgDensitatea oxigenului in eonditii normale Po=1,43 _.m3

NPresiunea normala Po=105~.m2

V" 2.1.20. 0 pila electrica eu tensiunea electromotoare E =2 V ~i rezistenta internar=0,5 Q alimenteazii 0 rezistenta exterioara R=1,5 Q plasata intr-o incinta cu vo-Iumul invariabil, V =2,24 1, care contine oxigen in conditii normale. Curentul treceprin rezistenta R un timp 't" = 100 s ~i se presupune ca intreaga cantitate de ealduradezvoltata este transmisa gazului. Sa se ealeuleze:

1. Temperatura finala T a oxigenului.2. Presiunea finala P a oxigenului.3. Energia cinetica medie E a moleculelor de oxigen in stare finala.Se cunoa~te:Caldura ..Jmolara a oxigenului la volum constant Cv=20,8 J •

• mol. grad

~ 2.1.21. La mijlocul unui tub de sticla orizontal, inchis la ambele capete, se afIao coloana de mercur cu lungimea de 20 cm. Cind se a~aza tubul in pozitie verticalii,coloana de mercur se deplaseazii in jos cu 10 cm. Sa se determine presiunea din tubcilid acesta se giise~te in pozitie orizontala, ~tiind cii lungimea tubuluiieste 1 m, iar

densitatea mercurului 13,6 .103 kg •m3 ,/'

carei temperaturi slnt t1=35°C la intrare ~i t2==80°C la ie~ire. Sa se calculeze:

1. Temperaturile TB, Te, TD•

2. Puterea P dezvoltata de motor.3. Randamentul motorului '1).

4. Debitul volumic Qv al apei de racire.Se cunosc:Puterea calorica a motorinei q=4,6 .107 ~

kg

D· . t t" 820 kgenslta ea mo ormel p = - .m3

- 2.1.25. Un corp de pompa, cu volumul V =5 I, la temperatura t=23°C, contine1015 molecule oxigen, 4 .1015 molecule azot, ~i 3,3 .10-7 g argon. In conditii izobare,se ridica temperatura gazului cu l1t = 100°C. Sa se calculeze:

1. Presiunea p a amestecului.2. Volumul V' dupa destindere.3. Lucrul mecanic L efectuat In destindere.4. Viteza patratica medie a moleculelor de oxigen, de azot ~i a atomilor de argon

(gaz monoatomic) in stare finala.

>< 2.1.26. 0 ma~ina termica functioneaza dupa ciclul Camot avind randamentul'1)=60%. Ma~ina consuma 40 kg carbune pe ora preluind numai jumatate di~ caldura

2.1.22. 0 ma~ina termica ideaIa functioneaza Intre temperaturile 15°C ~i 150°C..Sa se calculeze cantitatea de caldura Ql luata de la sursa calda ~i cea cedata surseireci, Q2' daca lucrul mecanic produs este de 1 kWh.

2.1.23. 0 ma~ina termica a carei sursa calda are temperatura t1 =266°C functio-neaza cu un randament "I)r =600/0:'din randamentul ciclului Camot (lntre acelea~i

limite de temperatura). Ma~ina consuma 100,:g combustibil. Presupunind ca 7 g azot•

(utilizat ca agent termic) evacuat Ia temperatura sursei reci ocupa un volum

V =3,5 dm3 sub presiunea p =2 .105 ~, sa se calculeze:m2

1. Temperatura sursei reci T2•

2. Puterea l1P care se pierde folosind aceasta ma~ina.3. Energia medie a moleculelor de azot la temperatura T2•

4. Lucrul mecanic L care trebuie efectuat pentru a reduce volumul celor 7 gramede azot la jumatate printr-o transformare izobara.

~e cunoa~te: •

Puterea caIorica a combustibilului q =31,4 MJ .kg

4iX 2.1.24. Ciclul aproximativ aJ unui motorDiesel este reprezentat In fi[ura 2.4. Gazul careefectueaza ciclul este considerat gaz perfect :'iiatinge In A temperatura t;J =127°C. l\Iotorul

8cicluri . _ 1 1.'2 J.efectueaza n =720·· -- SI consuma v=O,280 - Olm ---min ' h:

II

I: II I

20ImfLuL __w C·O. I I

I II aim .. - -;- - - - - 1- - - - - - - - - - ,A:. I_. .__~-

O!L om OS!Fig. 2.4

obtinuta prin arderea combustibilului. Condensatorul are temperatura mediuluiambiant, t2 =23°C. Sa se calculeze:

1. Puterea utila a ma~inii.2. Temperatura sursei calde.3. Masa agentului termic (aer) evacuat din cilinelru, avind volumul V =5 elma

la presiunea p=1,5 atm.

Se cunoa~te puterea calorica a eombustibilului q=3 .107 ~.kg

2.1.27. 0 ma~ina termieii monoeilindriciicare funetioneaz[l dupa diagrama din fig. 2.5,are un piston eu diametrul d =0,3 m ~i cursa

tUT~1=0,6 m. Arborele motorului face n=180 --'" •min

Cazanul ma~inii este alimentat eu apa eu tem-peratura t = 46°C i?i furnizeaza vapori de apa

saturati cu presiunea PI =106 ~. Dupa destin-il12 .

d(~reain eorpul de pompa, vaporii de apa saturati

sint evacua~i eu presiunea P = 104 ~. Sa se eal-lTI2

c uleze :1. Puterea ma~inii P.2. Masa de apa m eonsumata in timpul ,,=1 h.3. Cantitatea de caldura Ql Iuata de la cazan in timpul 'r.4. Cantitatea de dildurii Q2 cedata eondensatorului in timpu11·.5. Cantitatea de apa de racire .M consumata in timpul l' de condensator, daca

apa de racire are Ia intrare temperatura 81 = 15°C ~i Ia ie~ire 62 =40°C.Se cunosc:Temperatura vaporilor de apa saturati Ia PI' tl = 179°C.

Cilldura de vaporizare a apei Ia ti, /'1 =483 kcal .kg

Caldura de vaporizare a apei Ia temperatura corespunzatoare presiunii de satu-. kcalratle P2' 1..2=565 --.

kg

Densitatea vaporilor de apa in conditiiIe admisiei p =5,1 kg .m3

2.1.28. Un agregat frigorific eu puterea P=17,7 kW, functionind dupa ciclulCarnot, transforma apa cu temperatura tl =20°C in gheata ell temperatura t2 =-lOoC.Agreg atul este considerat perfect izolat termie. Sa se calculeze:

1. Cantitatea de gheata m care poate fi produsa in timpul1' =8 ore.2. Randamentul "I).

3. Rezistenta electrica R a agregatului, daca este alimentat de la 0 sursa de ten-siune continua U =220 V.

4! Cre~terea intensitatii curentului j}.! perrtru ca proeluctivitatea sa creasc3 en10%.

2.1.29. 0 ma~ina termica cu randamentul teoretic 'YJ =0,21 are temperatura sursei

calde t1=160°C. Ma~ina, care are un randament real YJr= ~ YJ, furnizeaza 0 putere7

P =60 kW. Sa se caIculeze:1. Temperatura sursei reci T2•

2. Cantitatea m de carbune consumata intr-o ora, dadi puterea calorica a carbu-. MJnelUI este q =30 - .kg3. Viteza u de regim a unui tren cu masa totala m = 100 t, action at de aceasUi

ma~ina, daca urca 0 panta cu unghiul de inclinare or; =0,0102 rad, coeficientul de fre-care fiind fL=0,0102.

2.1.30. Un corp de pompa, de forma cilindrica, cu diametrul interior d=10 cm,es e prevazut cu un piston cu greutatea proprie G=300 N, care aluneca fara frecare.Cursa pistonului, care se efectueaza pe verticala, este h = 15 cm. Presiunea exterioara

este Po=1,013'105~, iar temperatura t1 =23°C. Punind corpul de pompa in contactm2

cu 0 sursa de caldura, care consuma combustibil cu puterea calorica q =4,2 .107 ~,kg

aerul din interior se cIBata ~i ridica pistonul cu h' =3 cm. Sa se calculeze :1. Temperatura finala T2 a aerului din corpul de pompa.2. LucruI mecanic L produs la dilatarea aerului.3. Cantitatea de caJdura Q necesara.4. Cantitatea de combustibiI x consumata.Se cunoa~te:Randamcntul de utilizare a ciildurii YJ =60%.

, 2.1.31. 0 ma~ina termicii functioneazii dupa un ciclu Camot, intre temperaturile

t1 =400°C ~i t2 =23°C ~i preia de 1a Slma calda 0 cantitate de caldura Q1 =6 .105 ~.mm

Lucrul mecanic produs este conSUli1at de un vehicuI, cu masa m =400 k~, care se depla-

seaza pe un plan orizontal, cu frecare, cu viteza constanta u =36 km. Randamentulh

de transmisie este YJ' =71,5%. Sa se calculere :1. RandamentuI ma~inii tel' mice I).

2. Puterea P dezvoltata de ma~ina termica.3. Cantitatea de c5.ldura Q2 cedata sursei reci in timpul t = 1 min.4. Puterea P' a vehiculului.5. CoeficientuI de frecare p. dintre vehicul ~i planul orizontaI.

6. Forta F cu carc apasa vehiculul, in mi~care cu viteza u =36 k: ' asupra unui

pod, cn raza de curbura R =50 m, cu convexitatea in sus, in punctul cel mai inaltal podului.

2.1.32. Sa se caIculeze lucrul mecanic ~i variatia de energie interna la trecereaunui mol de apa din starea Iichidii in starea de vapori (Ia presiunea 1 atm ~i tempe-ratura 100°C).

2.1.33. Intr-un vas calorimetric care contine apa Ia temperatura t =40°C se intro-duc I111 grame ghea~a la temperatura t1 =-lOoC ~i m2 grame de vapori de apa saturatiIa presiunea p = 1 atm. Se cere:

1. sa se determine raportul dintre cantiti'ltile m1 $i m2 pentru ca la echilibrul ter-lnic temperatura l sa ramina neschimbata.

2. Dupa realizarea echilibrului termic apa aflata in vas se incalze$te cu ajutorul

unui arzator cu gaz care consuma D =0,02.JL gaz, randamentul de utilizalc a caldurii. S

fiind 'Yj =50%. Sa se determine masa m a apei din vas daca prin incalzire temperaturasa cre$te crt ill =35,8°C in timpul -r = 10 min.

3. Sa se determine debitul volumetric D' al gazului combustibil la presiunca p=. 1 1 - N= 1, . O~- $i temperatura 0 =27°C.m2

4. Sa se determine cantitatea dc caldura Q' necesara pentru a transforma 0 can-titate de apa m'=1 kg (Cll temperatura ini~iaHi t=40°C) in vapori cu t'=120°C,incalzirea facindu-se izobar, la p = 1 atm.

Se cunosc :Puterea calorica a combustibilului q=5·107 J/kg.Masa unui kmol de gaz combustibil il;f =16 lqjkmol.<:2.1.34. Un motor termic, care functioneaza dupa un ciclu Carnot, este utilizat pen-

tru ridicarea unui corp de masa M1 =2000 kg, pe un plan Incli,. qt,· ce face unghiul a ==30° cu orizontala. Deplasarea corpului pe planul inclinat se face cu viteza constanta

v =5,5 ~, coeficientul de frecare intre corp $i plan fiind fL =0,2.s

Gazul ce serve$te drept substanta de lucru (agent termic) in motor prime$te cal-dura de la sursa calda la temperatura II =800°C $i cedeaza caldura sursei reci la tem-peratura l2=30°C.

Se cere:1. Puterea motorului, necesara ridicarii corpului pe planul inclinat.2. Cantitatea de caldura primita de agentul termic de la sursa calda $i cantitatea

de dildura eedata sursei reei in timp de 3 sec.3. Distanta s cu care este ridicat corpul pe planul inclinat in intervalul de timp

in care motorul termic consuma pentru incalzirea agentului termic 0 cantitate 'm ==20,64 g combustibil cu puterea calorica q ~25 .106 ~ •

kg4. Densitatea gazului la ie$ire din motorul termic daca evacuarea se face la presiu-

nea p = 1,5 atm $i temperatura l =30°C.5. Acceleratia cu care ar trebui ridicat corpul pe planul

inclinat asHel incit alungirea relativa a cablului de legaturaintre corp $i motor sa fie de 1,2 ori mai mare decit in cazulridicarii corpului cu viteza constanta.

Se cunosc :Masa unui mol de gaz (agent termic) M =28 g/mol.Acceleratia gravitationaUl 9 = 10 m/s2•

- r;::;:.. -ir.:\ --r; -.I-I~

I~i~'·

2.1.35. Intr-un recipient in care se afla ma=10 lq: apaeste introdus un vas cilindric vertical (fig. 2.6). In vas se aflaun piston cu mas a m =5 kg $i suprafata S =4,9 cm2 egali'i cu su-prafata vasului.

Prin greutatea sa pistonul comprima in vas n =0,01 moli aer.Initial starea de echilibru termic se realizeaza la temperaturo =27°C. Apa din recipent este iH<::alzita cu 0 serpentina par-cursa de un agent termic lichid cu caldura specifica c=1 OOOJjkgK,

avind la intrare temperatura 81 = 200°C, iar la lel,me 82 = 150°C. Intr-o secundaserpentina este parcursa de 0 mas a D = 100 g de agent termic. Se neglijeaza pier-derile de caldura spre exteriorul recipientului ~i se considera variatia temperaturiisuficient de lenta pentru ca apa din recipient ~i aerul din vas sa aiba temperaturiegale. Se neglijeaza frecarea dintre piston ~i vasul cilindric.

Se cere:1. !naltimea 110 a pistonului de la fundul vasului in starea initiaHi.2. Sa se calculeze dependenta de timp a distantei lz dintre piston ~i fundul vasului

din momentul inceperii indilzirii (10=0) pina in momentul f1 =20 min.3. Sa se calculeze masa de vapori de apa Dv ce parasesc intr-o secunda recipientul

dupa ce a fost atima temperatura de fierbere 8f= 100°C a apei din recipient.4. Care este valoarea ener£iei medii de translatie a moleculelor de gaz in starea

initiala. .in tot timpul procesului descris presiunea atmosferica este constanta :;;iare valoa-

_ Nrea Po=10" -.

1112

2.1.36. Intr-un vas de alama de masa m =2 kg, in care se afla M1=5 kg apa latemperatura 81 =20°C, se introduce 0 cantitate iVI2 de gheata 101 temperatura 82=-10°C.

Sa se caIculeze :1. Masa iVI2 de [heat a necesara pentru ca in vas sa existe apa la temperatura

8=0°C. .2. Cantitatea Q de caldura necesara pentru ca in vas sa ramina M1 kg apa la

temperatura 83 = 100°C.'3. Volumul V ocupat de M2 kg vapori de apa saturati cu presiunea P = 1 atm.

Vaporii se consicler~i gaz perfect.4. Lucrul mecanic L produs la dublarea volumului V intr-un proces izobar.

2.1. 37. 0 ma~ina termica ideaHi efectueaza un lueru mecanie L = 1,676 kJ pentrufiecare kilocalorie luata de la sursa eaIda aflata la temperatura f1 =200°C.

Sa se calculeze:1. Randamentul ma~jnii YJ ~i temperatura f2 a sursei reci.

, 2. Puterea utila P u a ma~inii daea consuma intr-o ora 5 kg de benzin[l eu putereacalorica q=48·106Jjkg.

3. Volumul oeupat de 56 g azot, ce serve~te clrept agent termic in ma~ina, aflatIa presiunea P =2 atm ~i temperatura fl'

<k 2.1.38. Un mol de oxigen se gase~te intr-o stare A caraeterizata prin temperatura

fA =47°C ~i demitatea p = 1,22 ~-. Gazul treee intr-o aJta stare B, printr-o incalziredm3

izohara, produeincl un lueru mecanic L = 1 662 J.Sa se calculeze :1. Presiunea p in starea ini\.iaIa.2. Temperatura TB in starea finala.3. Volumul V de gaz metun aI'S, la p' = 1,2 atm $i l = 17°C, pentru realizarea pro-

cesuluiAB presupunind un randament de utilizare a caiclurji "I) =75%.4: Variatia de energie' intern a U B - VA in proeesul AB. '5. Sa se reprezinte grafic ciclul ABCA in care BC este 0 transformare izoterma

~j CA a transformare izocora.Se cunoa~te :

Puterea calOJ'ica a metanului q=13200kcaL

:, kg

2.1.39. Dintr-un tub cu raza r=I,2 mm se Iasa sa se scurga n =15 picaturi de apa.Sa se caIcuIeze masa de apa care s-a scurs.

Se cunoa~te:

Tensiunea superficiaIa a apei (J =0,0728 ~ .m

2.1.40. Doua placi mari de sticla sint partial scufundate in apiL Placile sint verti-cale, paralele, situate Ia 0 distanta d=1,4 mm una de alta. Sa se calculeze illaltimea hIa care se ridicii apa intre cele doua placi.

Se cunoai?te :NTensiunea superficiala a apei cr=0,0728 - .m

<x 2.2.1. Un tub de sticHi capilar, perfect cilindric, are doua repere A ~i B ~i contineo coloana de mercur CD. Se masoara distantele AB ~i CD Ia temperatura O°C ~i 100°C.RezuItateIe masuratorilor siat :

a) La O°C distanta AB este d =51,432 cm, iar distanta CD este l =50,584 ern.b) La 100°C cele doua distante devin d' =51,476 cm 9i l' =51,409 cm. Instrumentul

de masura este mentinut tot timpuI Ia O°C.Sa se caIcuIeze :1. Coeficientul de dilatare lineara (1. i?i cubica y aIsticlei.2. Raportul R intre sectiunea tubului Ia 100°C i?i sectiunca Ia O°C.3. Coeficientul de dilatare absoluta yHg aI mercurului.

:/2.2.2. Un vas de stieHl. contine, Ia O°C, pina Ia un anumit reper, 0 cantitate demercur de 1 kg. VasuI este iIJ,calzit pina Ia 100°C. Sa se caIculeze : masa mercurului conti-nut de vas pina Ia acelai?i repel' daca :

1. DiIatarea vasului este neglijabiIa.2. SticIa din care este confection at vasuI are coeficientul de dilatare volumica

egal cu 3 .10-5 grd -1.

-tz 2.2.3. 0 sfera metalica are volumuI 1800 cm3 Ia temperatura 12°C. Sfera este incal-zita pina dnd volumul sau devine 1815,973 cm3 i?i apoi este introdusa intr-un vas carecontine 4 kg apa Ia temperatura de 12°C. EchiIibruI termic se restabiIqte Ia tempera-tura de 24°C.

Sa se calculeze :1. Temperatura i Ia care a fost incalzita sfera.2. Coeficielltul de dilatare cubica y al metalului din care este confectionata sfera.Se i?tie ca mas a sferei este m =20,475 kg.Se cUlloa9te :C5.ldura specifica a metalului c2 =0,03 cal/g ·grad.

~"'i..2.2.4. 0 bara de otel cu lungimea l=1 m, cu sectiunea constanta, se race9te pier-zind 41850 J. Sa se calculeze forta de intindere F care trebuie aplicata pentm ca barasa-i?i pastreze, i?i dupa racire, Iungimea initiala .

..J/2.2.5. Un corp cade de Ia inaltimea h (fiira vitezii initiali'i). In momentul contactuluiculsoIul, 60% din energia corpului este utilizata pentm incalzirea acestuia, astfel incitcre9terea relativa de volum a corpului este 3,6 ,10-3• Sa se calculeze ina1timea hcunoscindu-se:

Caldura specifica a corpului c =460 Jjkg.Coeficientul de diIatare lineara a corpului 0:= 1,2 ·1O-5K-1•

t 2.2.6. Intr-un calorimetru de masa In =500 g care contine 0 cantitate de apanil =600 g la temperatura i1 =20°C se introduce 0 bila de fier cu masa In2 =450 g ~it.emperatura t2 = 100°C.

Sa se calculeze:1. Temperatura de echilibru e din calorimetru.2. Cantitatea de gheata x cu temperatura to =- 10°C care trehuie adaugata pen-,

tru ca temperatura sa scadii de la e la t1~Se cunoa§te caldura specifica a calorimetrului (S75 J/kgK).

k 2.2.7. Intr-un vas care contine In1 = 1,5 kg apii cu temperatura t1= 15°C se intro-duce 0 bucaUi de ghea~a cu mas a In2=O,1 'kg §i temperatura t2=-10°C. Dupa ce sestabile9te echilihrul termic la temperatura I' se introduce in vas 0 cantitate x de vaporide apa la presiunea p=l atIn §i temperatura t=100°C, astfel incH in final apa dinvas are din nou temperatura t1•

Dupa aceasta vasul este incalzit cu un arzator cu gaz pina dnd intreaga cantitatede apa se transforma in vapori la t=100°C §i p=1 atm, randamentul de utilizarea caJdurii fiind 70%.

Sa se calculeze:1. Temperatura 1'.2. Cantitatea x de vapori de apa.3. Cantitatea l'v! de gaz combustibiI consumat.Se cunoa§te: Puterea calorica a gazului q =5 .106 J/kg.

~ 2.2.8. 0 hutelie de otel cu voIumul V =50 dm3 elibereaza hidrogen printr-unrobinet. La temperatura t1 =22cC manometrul indica 0 presiune p =5 atm. Dupa untimp oarecare, la temperatura t2 =27°C manometrul indica aceea§i presiune. Hidroge-nul ie§it din butelie este ars pentru a incalzi 0 hara de fier cu sectiunea 5=24 cm2•

Sa se calculeze:1. Masa flm de hidrogen ie§ita din huteIie.2. Cantitatea de ciildura Q absorbita de bara.S. Alun:\!irea barei 6.1.Se cunoa§te puterea calorica a hidrogenului q =5000 ca1/g.

1>{2.2.9. Sa se calcuIeze variatia temperaturii 6.t a eantitiitii de apa m dintr-nnvas in raport eu timpul " daca:

a) In vas se introduce continuu un Iichid (miscibiI cu apa) cu debitul masic D~i cu temperatura 61,

b) Lichidul cu dehitul D circuIa printr-o serpentina, scufundatain apa, avindla intrare 61 §i Ia ie§ire 62,

Se presupune ca nu exista pierderi de caldura.Se cunosc temperatura initiaHi a apei 80, c{tldura specifica a apei c ~i ciildura

specifica a lichiduIui c1•

2.2.10. Cantitatea de caldura primita de Piimint de la Soare este de0,5 cal/min 'cm2 daea cerul este senin. Pl:esupunind ea, in medie, eerul este senin12 ore pe zi §i SOO zile pe an, sa se calculeze :

1. Cantitatea x de carbuni care ar putea fi economisiti in timp de un an,utilizind caldura primita de suprafa~a de 1 ha.

2. Cantitatea de apa In care putea fi distilatii utilizind compIet dildura pri-miUi in timp de 12 ore de 1 m2, presupunind cii distilarea se face la presiunea,de 1 atm ~i apa are temperatura initiala30°C.

3. Puterea unei ma~ini termice P care ar folosi ciHdura primita de 0 suprafatade 1 ha, daca randamentul ma~inii reprezintii 60% din randamentul unei ma~inicare ar putea functiona dupa un ciclu Carnot (temperatura cazanului 160°C, a con-densatorului 40°C).

Se cunoa~te ~Puterea calorica a carbunelui q =8 000 kcal/kg.

~T(2.2.11. Intr-ull ealorimetru care contine, 400 g apa la temperatura mediului,ambiant to =20°C se introduc doua eorpuri:' unul de cupru avi~d masa m] =50 g~i temperatura i1 =40°C, iar altul de fier eu ,masa m2 =80 g ~i temperatura i2 == 100°C. Sa se calculeze temperatura finala 6 in urmatoarele eazuri :

a) Calorimetrul este izolat termic fata de exterior.b) Calorimetrul eedeaza mediului exterior, pina la realizarea echilihruiui termic,

o carititate de cald ura q = 150 J. ,c) Caldura cedata de calorimetru depinde de ,temperatura finaUi din calori-

metru ~i temperatura mecliului ambiant io' conform reIatiei q = 100(6 - to) caI.Se cunoa~te capacitatea caloricii a calorimctruIui K =40 J/K.

«2.2.]2. Intr-un vas de alama cu masa m'=0,2 kg ~i temperatura i=15°C seintroduce 0 cantitate de apa M =1 kg cu temperatura i=15°C ~i a cantltate degheatii m1=0,2 kg cu temperatura io= - 5°C. Ansamblul se incaIze~te pilla la 100°Ccu un re~ou cu puterea de 660 Vv' alimentat cu curent continuu cu tensiunea 220 V.Randamentul de utiIizare a caldurii este 'I) =0,8.

Sii se calculeze :l. Cantitatea de ciildura Q necesara.

,2, Durata operatiei 'r..]:. Rezistenta Rs care trebuie montatii in paralel cu un ampermetru introdus

In circuit, daca acesta are rezistenta proprie 0,2 Q ~i suporta un curent de 1 A.

~ 2.2.13. Sa se calculeze temperatura gazului dintr-un vas cu volumul 15 dm3,

'prevazut eu 0 supapa cu aria 10 cm2 asupra careia, pentru a fi melltinuta inchisa,actiol1eaza 0 forta de 1 900 N. Se !]tie ca aceea9i masa de gaz ocupa un' volum dede 150 l sub presiunea de 1 atmla temperatura 32°C.

,- -r '2.2.14. Un mol de gaz perfect care initial se gase~te in conditii normale (Po =,=0= 1'atm, Vo=22,4 dm3 9i io =O°C) efectueaza urmiitoarele transformiiri succesive:InciiIzire izobarii pina la temperatura il=127°C, destindere izoterma pina la presiuneaP2 =Po/lO, ra~ire izocorii pina la i3 =55°C 9i c0!ilprimare izobara pina la temperaturat4 =io, dupa care, printr-o comprimare izoterma, revine in starea initiaIa.

, Sa se ealculeze parametrii de stare Pi, Vi ~i Ti in toate starile prin care trecegazu"I (1~1, 2, 3, 4).

, .2.15. Doua vase izolatetermic fata de exterior, avirid volumele invariabileV1'=1 l ~i V2 =='3l, eomullicii intre ele printr-ull tub (cu volum negIijabiI)prevazutcu un rohinet. Cit timp robinetul este inchis, vasul 1 contine azot la presiuneaPI =0,5 atm ,91temperatura i1 =O°C, iar vasul 2 contine argon la presiunea P2 = 1,5 atm:;;itemperatura i2""": 100°C. Sa se calcu~eze presiunea p ~i temperatura t dupa deschi-'derea rohinetului ~i stabilirea echilibrului termic .

.se CUl1Osc:CiiIdura molara la volum constant a azotului CV1 =5/2 R.CalcLuram()l~ra la volum constant a argonului CV2 =3/2 R.

2.2.16. Douii tuburi, cu acela:;;ivolum V= 10 l, contin un gaz perfect la aceea~ipresiune P = 1,5 ·10' N/m2, dar la temperaturi diferite (tl=O°C ~i t2 =50°C).

Sa se calculeze surplusul de gaz (~V) dintr-un tub, exprimat in Iitri in con-.ditii normale (Po=1,013·l(l5 Njm2 i7i to=O°C).

1< 2.2.17. Intr-un vas se afla 100 g de apa i7i 8 g gheata Ia temperatura O°C.Sa se calculeze : .ft. Cantitatea de caldura Qt necesara pentru topirea ghetii.:2. Cantitatea totala de caldura Q necesara pentru a transforma amestecul de

apa ~i gheata in vapori Ia 100°C.3. Cantitatea de combustibil x necesara procesului anterior, daca randamentul

,de utilizare a caldurii este 80°/0'4. Volumul· vaporilor V la temperatura 100°C i7i presiunea 1,013 .105 Njm2•

5. VolumuI V' al vaporilor daca temperatura devine 150°C, presiunea raminindneschimbata.

Vaporii de apa sint considerati gaz perfect.Se cunoa~te : Puterea calorica a combustibilului q =29,26 MJ jkg.

1( 2.2.18. Bratele A ~i A I ale unui tub in forma de U au fiecare lungimea de1 m i7i poseda in partea superioara cite un robinet (R i7i R'). La O°C, robineteleifiinddeschise, se toarna mercur pina la inaltimea de 20 em. Se inchide apoi·robinetul R i7ise toarna in continuare mercur in tubul A' pina ce inaltimea mercuruluiin acesta devine 40 cm. Sa se calculeze denivelarea ~h a mercurului din cele doua:brate ~i presiunea aerului P inchis in bratul A, i7tiind ca presiunea atmosferica'este fO" Njm2 ••

"''X 2.2.1'9. Un tub, inchis lit un capat, estescufundat cu capatul deschis intr-o-cuva cu mercur fiind mentin)lt vertical. Aerul din tub ocupa un volum de 50 cm3,

jar nivelul mercurului din tuB este cu 10 cm deasupra nivelului mercurului din cuva.lntr-o alta pozitie a tubului, aceeai7i cantitate de aer ocupa un volum de 100 cm3,

jar denivelarea intre mercurul din tub i7icel din cuva este de 42,5 cm. Sa se calculezepresiunea atmosferica 11, i7tiind ca temperatura este O°C.

. 2.2.20. Un tub de sticla, cu sectiunea mica, inchis Ia un cap at, contIne aer:separat de atmosfera printr-o coloana de mercur Cll Iungimea h -7,6 cm, Cindtubul este mentinutvertical, cu capatul inchis in sus, inaltimea coloanei de·aer este [1 ==50 cm; daca tubul este rasturnat, astfel incit capatul deschis, estein' partea

:superioara, coloana de aer are 0 lungime [2 =40,3 cm.Sa se determine presiunea atmosferica P i7tiind ca temperatura lacaTe seefec-

tueaza experienta este O°e.

~ 2.2.21. Doua vase A i7i B cu volumeleYA =1 dm3 i7i VB=2 dm3 contin aceIai7igaz in acelea!?i conditii de temperatura i7ipresiune (f =20°C i7iP = 1 atm). Dupa cesint incalzite, la volum constant, vasul A pina Ia temperatura fA =1000Gi7i vasulB Ia tB =250°C, se stabiIe~te Iegatura intre cele doua vase printr-un tub de sectiuneneglijabila. Sistemul ajunge Ia echilibru termic fara 'pierderi de caldura. in exterior.Sa se calculeze:

1. Presiunea sistemului p' la echilibru.2. Numerele de moli de gaz nA i7ihB din vase Ie A i7i B in stare finala.3. Cantitateax de gaz care a trecut dintr-un vas in altuI.

.2.22. Un gaz. perfect are in conditii normale (Po= 1 atm i7i to=O°C) densitatearelativa fata de aer Pr=1,05, iar in 'conditiile de lucru (t=20°C) densitatea sa estep=1,2,g/dm3•

Sa se calculezepresiunea gazului p in conditiile .delucru i7i sa se stabileasca.relatia dintre presiune i7i densitate Ia temperatura .oonstanta.

~ 2.2.23. Un rezervor cu volumul 41 l contine sub presiunea P =30 atm, la 27"C,un amestec de bioxid de carbon, azot ~i heliu (10% moli CO2, 20% moli N2 ~i70% moIi He). Gazele au fost captate din trei buteIii, cu acela~i volum de 50 l~i aceea~i temperatura de 27°C, in care presiunile initiale erau PI =50 atm (in buteliacu CO2), P2=120 atm (in buteIia cu N2) ~i Ps=100 atm (in butelia cu He). Sa secalculeze presiunile finale PI, p;, p~ din cele trei buteIii (dupa umplerea rezervorului).

2.2.24. Intr-o camera cu dimensiunile 6,33 X4 X 3 la un moment dat temperaturaeste 17°C~ipunctul de aburire goC. Dupa un interval de timp temperatura devine18°C, iar punctul de aburire 11°C.

Sa se calculeze :1. Umiditatea relativa V a aerului la momentul initial.2. Umiditatea relativa V' a aerului la momentuI final.3. Cre~terea !:>.ma masei vaporilor din camera.Se cunoa~te dependenta presiunii de saturatie Ps (in mm col Hg) a vaporilor

de apa de temperatura t(°C) conform datelor din tabelul de mai jos

?\ 2.2.25. ° cantitate de azot m = 14 g, care initial se gase~te in conditii normale,trece, printr-o transformare izoterma, in starea A in care presiunea este 2 atm~i apoi printr-o transformare izobara, in stare B in care volumul VB este cu 22,4 lmai mare dedt volumul VA din stare a A. Sa se calculeze :

1. Volumul initial Vo2. Volumul VA.3. Temperatura TB•4. Lucrul mecanic L in transformarea izobara .

.2.26. lntr-un corp de pompa vertical, de forma cilindrica, cu sectiunea 100 cm2,

prevazut, in partea superioara, cu un piston mobil, cu masa 51 kg, se gasesc14 g azot la temperatura 27°C. Gazul este incalzit izobar pina la temperatura 400 K.In aceasta stare pistonul este blocat ~icorpul de pompa este pus in legatura cu un vascu volumul 3 dmS in care se gase~te az.ot la presiunea 4.105 Njm2 ~i temperatura400 K. Sa se calculeze:

1. Ina1timea h la care se gase~te pistonul fata de baza corpului de pompain stare a initiala.

2. Lucrul mecanic L efectuat de gaz.3. Presiunea finala P (dupa stabilirea legaturii intre corpul de pompa ~i vas).4: Numerele de moIi nA ~i nB din corpul de pompa ~i din vas in stare a initialiLSe cunoa~te :Presiunea atmosferica Po=105 Njm2•

la temperatura t=27°C ~i presiunea p=4 .105 Njm2•~fg2.2.27. 28 g azot se gasescSe cere:1. Volumul VI ocupat de azot.2. Gazul se incalze~te la presiune constanta pina dnd volumul sau se tri-

pleaza. Ce valori au :a) Temperatura T2 atinsa de azot,b) Lucrul mecanic L efectuat ?3. Gazul se destin de izoterm Oa temperatura T2) pilla la presiunea

Pa2 .105 Njm2• Care este volumul ocupat in aceste conditii (Vs)·

4. Masa azotului m care trebuie eliminata pentru ca gazul sa ocupe volumuIVIla presiunea P3 9i temperatura T2•

2.2.28. Intr-un cilindru, prevazut cu piston mobil, se aHa 0 masa de aer m =10 g,incalziUi la presiune constanta P = 105 Njm2 cu un incalzitor electric cu rezistentaR =3 Q strabatuttimp de 6 minute de un curent cu intensitatea 1=0,4 A. Se ne-glijeaza pierderile de caldura. Sa se calculeze :

1. Numarul de molecule n din cilindru.2. Variatia de temperatura I1t in urma incalzirii.3. Deplasarea s a pistonului in urma incalzirii, daca suprafata pistonului este

A =20 cm:-.4. In continuare se fixeaza in aceasta pozitie pistonul 9i se incalze9te aerul

ajuns la temperatura T pina la T'; care este cantitatea de gaz x care trebuie eva~cuata pentru ca presiunea sa ramina neschimbata?

1(2.2.29. Intr-un calorimetru se amesteca m1=840 g apa la temperatura t1 =28°Cf?i m2 =24 g gheata la DoC. Dupa topirea ?hetii se introduce un cub de metal cumasa iVI =216 g a carui temperatura este t2• ~tiind ca temperatura finala a sistemuluiredevine t1 =28°C, sa se calculeze :

1. Temperatura t a amestecului dupa topirea ghetii, dar inainte de iiltroducere,acubului de metal.

2. Temperatura initiala t2 a cubului.3. Cantitatea de dddura Q cedata de cub apei.4. Latura cubului lo la O°C.5. Coeficientnl de dilatare lineara a metalului IX, 9tiind ca intre temperaturile

t2 ~i t1 cubul s-a contractat cn 0,11664 cm3•

Se cunosc:Densitatea metalului la O°C Po=8 gjcm3•

Caldura specifica a metalului c' =0,1 caljg.

j(2.2.30. 0 bntelie de hidrogen, cu volumul de 10 l, construita ca sa reziste lao presiune maxima de 30 atm, are scapari de gaz astfel incit manometrul indicaaceea~i presiune de 20 atm la temperatura de 20°C, ca 9i la temperatura initialade 10°C.

Sa se calculeze :1. Masa hidrogenului 11m care a iC9it din butelie.2. Temperatura maxima T la care poate fi incalzita butelia, daca nu are

_capari de gaz, condi'~iile initiale fiind acelea~i (lOOC9i 20° atm).Se cunoa9te :Densitatea hidrogenului in conditii normale Po=O,00009 gjcm3•

1f2.2.31. Un rezervor metalic cu volumul V constant este umplut cu hidrogen{a temperatura t1 =15° 9i presiunea 1 atm. Se incalzef?te gazul pina la t2=37°C. Pentrua mentine in rezervor presiunea constanta de 1 atm, 0 parte din hidrogen este eli-

inat printr-o supapa, ceea ce determina mic90rarea masei gazului din rezervor cu.J.m =6,052 kg.

Sa se calculeze :1. Densitatea hidrogen ului p in conditii initiale.2. Volumu(rezervorului V.3. Numarul n de molecule ramas in rezervor.Se cunoa9te:Densitatea hidrogenului la O°C9i 1 atm, po=8,9 .10-5 gjcm3•

,,'\'2.2.32. Un tub cilindric de sticIa, deschis la amindoua capetele, avind lun-gj~'ea 1=100 em, se afunda cu jumatate din lungimea sa, vertical, in apa dintr-ullvas deschis. Astfel afundat se astupa deschiderea capatului superior al tubului ~japoi se scoate vertical afara in aer. Sa se calculeze :

1. Lungimea [' pina la care ramine apa in tub. Se considera densitatea apei~= 1 gjcm3, presiunea atmosferica PI = 105 Njm2, acceleratia gravitationala g = 10 mjs2

(se ne&!lijeaza efectele de capilaritate).2. La ce temperatura T3 ar trebui incalzit tubul cu aer ~i apa, tinut tot vertical

astfel incit lungimea coloanei de apa sa devina [3 =35 em, temperatura initialafiind TI =290 K (Se neglijeaza dilatarea apei).

3. Modificarea lungimii t1[ a coloanei de apa daca, in conditiile de la punctul 1,se tine seama de capilaritate, tensiunea superficiala a apei fiind 0'=72,8,10 -3 Kjm.

'! 2.2.33. Intr-un calorimetru cu apa se introduce 0 bila metalidi de masa m==500 g avind temperatura t; dupa realizarea echilibrului termic temperatura incalorimetru este to=40oe. In continuare se introduce in calorimetru inca 0 bila, ideu-tica cu prima, tot cu temperatura i, ~i apoi m' =600 g gheata aflata la ooe; duparealizarea echilibrului termic se constata ca in calorimetru temperatura a ramasaceeafli, io=40oe. Se cere:

1. Temperatura t a bilelor.2. eu cit cre~te volumul uneia dintre bilele de mai sus prin incalzire de la

• ooe pina la temperatura i, daca densitatea metalului la ooe este Po=G 250' kgjm3,

iar coeficientul de dilatare lineara 0:=13 '10-6 K-I.3. ~tiind ca bilele sint incalzite de la ooe la temperatura t intr-un cupt0r care

folose~te drept combustibil pacura, sa se determine mas a M de pacura consumatiipentru incalzirea unei tone de bile metalice (se neglijeaza pierderile de caldura).

4. Daca in cuptor se introduce un recipient cu un gaz perfect care ating~ tem-peratura finala tl=327°e, sa se determine presiunea PI din recipient Ia aceastatemperatura, fltiind cii initial presiunca gazului era Pi =10 Njm2 Ia temperaturaif, =27°e, volumul fiind mentinut constant.

Se cunosc:Caldura specifica a materialului bil elor c=900 Jjkg.K.Puterea calorica a pacurii q=4 '107 Jjkg.

~ 2.2.34. Intr-un 8mestec ce contine mI =3,5 kg apa la temperatura tI =40oefli m2 =0,5 kg ghea ta la temperatura ooe se introd uee un halon cu oxigen Ia tem-peratura i2 = - 20°C ~i presiunea PI =0,8 atm.

Sa se ealeuleze:1. Masa m3 a oxigenului din balon, fltiind ea volumul aeestuia este VI =2,5 dm3.

2. Temperatura finala i3 a oxigenului, caldura specifica a oxigenuIui· fiind0,156 eal(g K.

3. Presiunea P2 a oxigenului din. balon la temperatura i3 (dilatarea vasului esteneglijabila). '.

4. eantitatea de eiildura Q neeesara vaporizarii la 100°C fli presiune mormala,a intregii eantitati de apa, inealzirea fiicindu-se de la temperatura i3•----------- .

.2.35. Intr-un radiator de ealorifer temperatura apei la intrare este t1 =87°e.iar la ie~ire este i2 =30oe. Se inloeuie~te incalzirea eu apa, prin incalzire eu vaporide apa saturati. Vaporii intra in condensator eu presiunea de 1 atm, se condenseaza~i din radiator iese apa cu temperatura i3 =70oe.

Sa se calculeze :1. Masa m de vapori care da aeeeafli eantitate de caldura ea 1 kg de apa diD

primul caz (indilzire eu apa ealda).

2. Volumul V ocupat de. masa m de vapori in condiWle de presiune ~i temperaturain care intra in radiator, considerind vaporii de apa gaz perfect.

3. Debitul de masa D al vaporilor de apa care trebuie sa intre in radiatorpentru a men tine constanta temperatura camerei in care este montat radiatorul,dad pierderilede caldura prin peretii camerei in unitatea de timp sint P =2,385 kW.

4. Numarul de molecule n aflat in masa m de vapori.5. Enersi? medie a unei molecule din vaporii de apa in conditiile de Ia intrarea

in radiator.\ . .

/2.2.36. Intr-un vas care contine 2 kg apa la temperatura de.20DC se introduceo bucat-a de gheata eu masa 100 g ~i temperatura ~100C. Sa se calculeze:

1. Temperatura amestecului t la echilibru.2. Cantitatea de dldura Q necesara pentru vaporizare (Ia temperatura lOODC).3. Cant ita tea de apa x transformata in vapori daea se consuma 40 g dintr-un

combustibil cu puterea calorica 8000 caljS! ~i dadi randamentul de incalzire estede 60%.

4. Volumul V ocupat de vaporii de apa formati la temperatura de lOO°C dacapresiunea scadc pina la 200 mm eol Eg.

'.. 2.2.37. Un corp de pompa care contine la oDC un amestec de 100 g apa ~i8 g gheata cste incalzit pina dud tot continutul se trans£orma in vapori de apala 100DC ~i 1 atm. Sa se caleuleze :

1. Cantitatea de dldura Q necesara pentru topirea ghetii.2. Cantitatea de caldura Q' necesara perrtru rcalizarea intregului proces.3. Cantitatea de combustibil x necesar daca se utilizeaza un combustibil eu

puterea calorica 7000 kcaljkg ~i daca randamentul de utilizare a caldurii este 80%.4. Volumul V ocupat de vaporii de apa (considerati gaz perfect) obtinuti la

100°C ~i 1 atm.

4(2.2.38. Intr-un vas care contine mI =520 §Z apa la temperatura tI =50°C seadauga m2 =20 g ghea ta cu temperatura /2 = ~ lODC,

Sa se caleuleze:1. Temperatura amestecului e.2. Cantitatea de caldura Q necesara pentru a transforma toata masa de apa

(mI +m2) in vapori, la temperatura / = 100°C ~i prcsiunea atmosferica.3. Cantitatea de combustibil x consumata pentru produeerea vaporilor, daca

puterea CalOl'iea a combustibilului estc q =7000 kcaljkg ~i randamentul de utilizareeste "fJ=60%.

4. Volul11ul V ocupat de vapori dupa ce au suferit 0 destindere izotermaastfel indt presiunea lor a scazllt pina la 100 mm eol Eg .

.), 2.2.39. Un gaz perfect care Sf' gase~te Intr-o starc initiaUi 1 caracterizata prinvolumul VI =20 dm3 ~i presiunea PI = 105Njm2 trec,e intr-o stare 2 caracterizataprin V2=2VI ~i P2=3PI'Trecerea se face prin una din urmatoarele trei cai:

1. 0 transformare izocorii urmata de alta izobara.2. 0 transformare izobara urmatii de a Ita izocora.3. 0 transformare care in diagrama P ~ V se reprezintii printr-o linie dreapta.Variatia de energie intcrnii hind L1.U =3 .104 J sa se calculeze lucrul m~canic L

produs ~i cantitatea de dildura Q consumaUi pc fiecare cale.

~2.2.40. Intr-un vas se aWi 10-7 moli .oxigen ~i 10-6 g azot. Temperatura ames-tecului fiind de 100°C ~i presiunea 10-3 torr sa se ealculeze :

1. Volumul vasului V.2. Numiirul de molecule din unitatea de volum no'

3. Presiunile oxigenului PI ~i azotului P2 dadl fiecare gaz ar ocupa singur~ntregul volum la temperatura datil.

. -2.2.41. lntr-u corp de pompa se afla 0 masa m de aer la presiunea PI ==105 Njm2, temperatura tI =27°C, ocupind un volum VI =30 dm3• Gazul efectueaza

'lumatoarea succesiune de transformari :o incalzire izocora pina la presiunea P2=1,5 .105 Njm2

o destindere izobara pina Ia un volum V3=60 dm3

o racire izocora p ina Ia presiunea P3 = PIo comprimare izobara pina in starea initiala.

Sa se calculeze:1. Masa aerului m.2. Temperaturile T 2' T 3 ~i T 4 la sflr~itul fiecarei transformari.3. Lucrul mecanic efectuat ~i cantitatea de caldura primita in fiecare din cele

'patru transformari.4. Lucrul mecanic total L efectuat pe intregul cicIu de transformari ~i can-

titatea totala de caldura Q primita de sistem din exterior in timpuI unui ciclu.5. RandamentuI unei ma~ini termice care ar functiona dupa cicluI descris (-I)')

.;;i randamentul unei ma~ini termice care ar descrie un ciclu Carnot (Y) cu acelea~itemperaturi maxima ~i minima.

Se cunosc:Densitatea aerului in conditii normale Po=I,293 gjdm3•

Caldura specifica a aerului la volum constant cv=0,723 Jjg.K.Cilldura specifica a aerului la presiune constanta cp = 1,010 Jjg.K.

-f(2.2,42. Un corp de pompa, a~ezat vertical, contine 1 mol aer, volumul acestuiafiind delimitat de un piston, cu greutate neglijabila, care se poate deplasa farafrecare. Sa se calculeze:

1. Lucrul mecanic L efectuat prin incalzirea aerului de la TI =300 K la T2==400 K.

2. Cantitatea de aer x care trebuie scoasa din corpul de pompa pentru capistonul sa revina in pozitia initiala, mentinindu-se temperatura T2•

if{ 2.2.43. 0 ma~ina frigorifica ideala, functionind conform cicIului Carnot, consuma,lntr-.un ciclu, un lucru mecanic L =3,7 .104 J. Ma~ina preia 0 cantitate de ciiloo.raQ2 de la sursa rece, cu temperatura t2 = - 10°C ~i cedeaza sursei calde, cu tem-peratura tI = + 17°C, cantitatea de caldura QI'

Sa se calculeze:1. Randamentul ciclului Carnot Y).

2. Cantitatile de caldura QI ~i Q2'~ 2.2.44. 0 cantitate de 128 g oxigen este incalzita izobar de In 20°C la 100°C.

Sa se calculeze :1. Cantitatea de caldura Q primita de gaz.2. Lucrul mecanic L efectuat.3. Variatia de energie intern a ~u.2.2.45. lntr-un corp de pompa se gase~te un kmol de gaz perfect la presiunea

<Ie 10 atm ~i temperatura 27°C. Gazul este incalzit izobar prin arderea a 0,2 kgdrbuni cu puterea calorica 3 '107 JjkC. ~tiind ca 15% din caldura ob~inuta Ia ar-<Ierea carbunelui este utilizata pentru destindere, sa se calculeze parametrii de stareai gazului in starea finaJa.

-k'2.2.46. Sa se calculeze cantitatea de caldura Q primita de un gaz perfect intr-otninsformare izobara (p =5 '105 N/m2) daca voIumui gazului cre~te de 1a 50 dm:'!Ia 60 dm3 ~i daca variatia de energie intern a este de 7500 J.

¥ 2.2.47. 0 cantitate de 8 g de oxigen efectueazii ciclul ,,1\ABCA conform fig. 2.7. In A temperatura este t = 127°C r .,iar volumul VA = 1 l. In B temperatura ramine neschim-bata, iar volumul se dubleaza.

Sa se calculeze:1. Pre~iunea, volumul ~i temperatura gazului in sta-

rile A, B, C.2. Lucrul mecanic efectuat ~i cantitatea de ciHdura

primita de gaz in fiecare transformare.3. Lucrul mecanic L cfectuat pc intreg ciclul.4. Randamentul "'I)' al cic1ului ABCA.5. Randamentul "'I) al ciclului Carnot efectuat intre acelea~i temperaturi extreme.Se cunoa~te raportul Cp/Cv = 1,4.

-tf2.2.48. Intr-un corp de pompa se gase~te aer care ocupa volumul VA =0,02 m3;.sub presiunea PA = 105 N/m2 la temperatura fA =27°C. Gazul efectueaza eiclul ABCDAformat din doua izocore (AB ~i CD) ~i doua izobare (BC ~i DA). In punctul B~presiunea are 0 valoare dubUi fata de cea din A, iar In punctul C volumul este de1,5 ori mai mare decit cel din A. Sa se reprezinte grafic ciclul. Sa se calculeze·lucrul mecanic L produs in acest ciclu precum 9i randamentul "'I)' al acestui ciclu"Se cunosc:

Caldura specifica la presiune constanta cp = 1000 J/kgKCaldura specifica la volum constant Cv =715 J/kgK

A b2.2.49. Un gaz perfect, cu presiunea P =8 ·10G N/m2 este incalzit izobar astfellincit densitatea sa se miqoreaza de patru ori. Cantitatea de caldura primitaestc 84 J. Sa se calculeze volumul V in starea finala, ~tiind ca raportul dintre·caldura specifica la presiune constantii ~i dildura specifica Ia volum constant a:.gazului este 1,4.

1f 2.2.50. Un corp de pompa contine gaz perfect, cu densitatea p la presiunea p._Sa se calculeze :

1. Presiunea p' din corpul de pompa daca, mentinind constante temperatura:9i volumul, a: fost eliminata 0 cantitate de gaz astfel inc1t densitatea a scazut cu Llp~

2. Lucrul mecanic L efectuat daca, dupa transformarea de la punctul 1, gazuP.se destinde izobar, variatia de energie interna in acest proces fiind LlU.

Se cunosc de asemenea constanta gazelor perfecte 11. ~i caldura molara la voluID.constant Cv.

2.2.51. Intr-un cilindru, prevazut cu piston mobil, izolat termic fata de exterior,care contine 289 g aer, este introdus un incalzitor electric cu rezistenta 20 .Q strabatuttimp de 30 min de un curent electric cu intensitatea 0,5 A. Sa se calculeze lucruD.mecanic L efectuat Ia destinderea izobara a gazului.

2.2.52. 0 ma~ina termiCa utilizeaza drept combustibil carbune cu putereacalorica 29 MJ/kg. Ma~ina functioneazll dupa un ciciu Carnot intre temperaturile,

200°C ~i 25°C ~i produce 0 putere de 100 kW. Ma~ina actioneaza un generatorde curent continuu, randamentul de transmisie fiind 90%. Sa se calculeze:

1. Cantitatea de ci:irbune x consumata in timp de 0 ora.2. Curentul I debitat de dinam, dad circuitul exterior contine un rezistor

R1 =2000 legat in serie cu un ansamblu de doi rezistori cuplati in paralel (R2==300 0 ~i R3 = 150 0).

3. Cantitatea m de apa cu temperatura initiaHi 20°C, in care este scufundatrezistorul R1 ~i care poate fi adusa la fierbere in timp de 0 ora, pierderile decaldura fiind de 5 %.

2.2.53. 0 ma9ina termica ideala, care functioneaza dupa ciclul Carnot, la carediferenta dintre temperaturiIe celor doua izvoare este tJ.T =420 K, are randamentulYJ =0,6. Consumul de combustibiI pentru incalzirea agentului termic din ma~inaeste 1,5 kg/ora, iarputerea calorica a combustibiIului este 10000 kcal/kg. Azotul, folositdrept agent termic in ma9ina, este evacuat la temperatura T2 a izvorului rece ~ila presiunea P2 =2 atm.

Sa sc calculeze:1. Puterea utiIa Pu dezvoltata de ma9ma.2. Volumul V2 al azotului la ie9irea din ma~ina, masa lui fiind m = 14 g, iar

:masa unui mol de azot 28 g.~ 3. Cantitatea de caldura degajata Q de masa m de azot la racirea ei, sub volum

constant, astfel incit presiunea azotului sa se reducii de la P2 la P3 =0,5 atm, tem-peratura la inceputul procesului de racire fiind T2•

Se cunoa~te:Caldura molara a azotului la volum constant Cv =5 cal/mol K.

2.2.54. Intr-un vas calorimetric cu 450 g apii la temperatura t1 =20°C se intro-'Cluc 50 g gheata la temperatura t2 = - 20°C, atingindu-se temperatura finala to'Se introduce apoi in apa un sistem de palete (analog dispozitivului experimental Joule)actionat de 0 masii M= 15 kg care cade vertical de la inaltimea h.

Sa se calculeze:1. Temperatura de echilibru to'2. Lucrul mecanic care trebuie transferat apei din calorimetru pentru ca tem-

peratura sa devina (to+ltC =t3•

3. tnaltimea de cadere h, 9tiind ca slnt necesare 10 caderi succesive ale maseiJV1 pentru ca apa sa capete temperatura t3 ~i ca llumai 0 treime din eneraia poten-tialii a masei M se transforma in energie cinetica.

4. Viteza masei M la capatul inferior al cursei.

2.2.55. Pentru topire.a unui lingou de aluminiu cu masa de 500 kg se uti-;1izeazaun cuptor incalzit cu pacuriL Temperatura initiala a lingoului este de 60°C,iar temperatura de top ire t =660°C.

Sa se calculeze:1. Cantitatea de ci:ildura Q necesara pentru topirea lingoului.2. Debitul masic oral' D de pacura arsa·· In cuptor, daca procesul dureaza

30 minute ~i randamentul de utilizare a caldurii este 55%.3. Lucrul mecanic L dezvoltat de 0 ma9ina termica a carei functionare reproduce

un ciclu Carnot ~i ·care preia de la sursa calda cantitatea de caldura Q. Tempera-tura sursei caIde este 11=727°C, iar a sursei reci t~=127°C.

4. Presiunea unui gaz perfect p inchis intr-ull vas cu volumul invariabiI, adusla temperatura de t =660°C, daca presiunea initiala este 10 N/cm2 ~i temperaturaillitiala 38°C. .

Se cunoa9te: Puterea caIOl'iet, ;l r:acurii q =4.107 J/kg.

2.1.1. La inci:iIzire lungimile barelor variaza conform relatiilor

II=lol{1 +cx1t) =lOl <-H01cx1t

12=l02{1 +cx2t) =l02 +l02cx2t.Prin scadere

II -l2=lol -l02+{loICXl -l02C(2)i.

Deoarece, conform datelor problemei

ll- l2 =lOl - l02= t::..l,

u.rmeaza

lOlexl - l02ex2=0.

Se obtine sistemul de doua ecuatii cu doua necunoscute (lOl ~i l02)

lOlex;.=l02CX2' lOI-l02 = t::..l,

.a carui rezolvare conduce la

1l02=3 - cm.

7

2.1.2. Notlnd Vo volumul unei diviziuni la to=O°C atunci avem pentru volumul.a 50 diviziuni la temperatura t1 expresia :

VI =50 vo[1 +YSl(t1 - to)) =50 vo(1 +YSlt1)

~i va reprezenta volumul fiecarui lichid la t1 = lOoC. Putem scrie deci urmatoarea'felatie pentru mercur:

50 vo(l+':ySl·tl)=VOHg{I+YHgtl) unde Cll VoHg am notat volumul oeupat demercur la to =O°C.

Rezulta

. 50vo(1+YSt.(1)

VOHg - 1+YHgi1

Analog pelltru lichidul neeunoscut yom obtine:

50vo(1+YSt·llVo = 1+y,11 •

Folosind aceste expresii putem serie volumul oeupat de mercur la t2 =90°C,V90Hg = VoHg{1 + YHg90),

V _ 50 vo(1+YSt·10)(1+YHg 90)90H g - 1+YHg.l0

Analog pentru lichidul necunoseutV 50 vo(1+YSt·10)(1+y·90)

9OZ= 1+Ye,10' •

Dar V90Hg-V90l=O,3{I+YSl'90)Vo sau

50(1+YSt ·10) (1+YHg.90 _ 1+YZ90 )=0,3(1 +yst·90)1+YI-Ig·l0 1+Yzl0

1+YHg90 l+YZ~ =6.10-3 l+YSt 901+YHgl0 1+yzl0 l+YSt 10

1+yz90 1+YHg90 6 '1O~ l+Y§>t 90 •

1+yzl0 1+YHgl0 l+YSt 10

Rezolvind aceasta ecuatie de gradul I in Yl ob~inem:YI=1,02·1O-4 K-l.

2.1.3. 1. ~l=lolXt.Temperatura t rezulta din Q=p1oS.c.t

t= _Q_ = 3471 __ =woe,p losc 8900x lx 10-4x 390

~l =1·1,7 .10-5 '10=1,7.10-4 m.D.I 1 F D.IES 1,7.10-4.9,8.1010.10-4

2. -=--, F=--=--------=1665 N.10 E S 10 1

3. La alungirea barei forta elastica, fiind proportiol1uU't cu alu ngirea, variaz2icontinuu intre 0 9i F. Atunci L va fi determinat de F mcclie ~i deciL = Fmed ~l = ~F~l = .2.- ·1665 ·1,7.10-4=0,JIJ! J.

2 2

2.1.4. 1. M c (t-to) =m2A,c= m2A = 0,3x ~~ = 0,1 keal •

NI(t - to) 1 X 240 kg·I{

2. m21,+(ml+m2)cl(e-to)=MlC(t-8),6= M1ct-'!'L- = 2.0,1.240-0,3·8_0_ =240e.

(m1 +m2)c1+M"1c (0,5+0,3)·1+2·0,1

3. a) M' =M (deoarece temperatura de echilibru ramine nesehimbata),b) m2A+(m1+m2)c1(6-to)+]{(6-to) =M')c(t-O),

Mi= m2A+(m1+m2)c16+H6 0,3.80+(0,5+0,3).:I-:~'1+0,2.24

c(t -6) 0,1 (240-24)

Mj =2,22 kg.

2.1.5. Masa de gheata topita, deci mic1?orarea volumului amestecului apa - gheatadin B, exprimata prin numarul de diviziuni cu care se retrage mereUI'ul, este propor-tionala eu cantitatea de caldura cedata de corpul introdlls In A care se race~te pin31la to =ooe.Deci:

Q=K~Nun de K este un coeficient de proportionaIitate, exprimat • eul

lll-"div

Pentru apaQ1=mlcl(tl-tO)=K(Nl-N2)'

RezuWiK = 5.~S!.l-=.!ol = ~~~ =20 eal •

Nl -N2 40-35 diy

Pentru cupruQ=mc(t-to) =K(N2-N3)·

iUrmeazaK(N2-N3)

C=----=m(t-to)

20(35 - 27,8) =0,09 cal •20x 80 gK

~2.1.6.1. Q=mctlt=plscMQ=r;xq,M= Yjx·q_ = __ 0~.:.0,1_~~"~0_7_ =668,90C.

pls·c 7,8.103.1.2.10-4.460

2. ~l =l'O(' tll= 1 ·1,3 .10-5 '668,9 =8,696 '10-3 m.3. M co(8-to) = plsc(t+.6.t-8),

e = plsc(t-ttJ.t)+Mcoto = 7,8.103.1.2.10-4.460(668,9+25)+10.4180.20 =30,95°C.plsc+Mco 7,8.103.1.2.10-4.460+10.4180

L t1l=lo(J..tlt, Q=m'ctll=lospctlt,

loM= -Q_,s pc

QIX 22.106.1,2.10-5M = -- = ---.------- =3,07 em.

spc 24.10-4 ·7,8 .103 ·460Q 22 ·10G _

X= - = ---- =234 kg.Yjq 0,3 ·3,13 .105 <

F=~~E.S=-!:.... '3.1010.24-10-4=72.105 N.lo 100 '

'.) Ai 1 FJ~ ._- == ----,

In E S

2.t.8.Inv2 illv2

L - 2°- - T =Q (conform legii conservarii energiei)

V( mv2 ) 2 ljr( 5.3002 ") 2 mVI = -t- Q il1" = I -2-- 200.000) --5 =100 s

2. Intr-o mi~care uniform intlrziata

1s=u l - -- at2() 2 '

10 000 =300 t- _1 (1[2, 100=300-at,2

lR ezolvarea sistemului da (I =4 ...!!!... $i t =50 S.s2

3. F=m·a=5·4=20 N.4. Q=m 'cilt, !1t= 1)Q = 0,5·200 000 =1600C.

m·c 5·125

2.1.9.1. Lfr=fLF,s=fLF.n. n.d =0,2·8000 ·200 ·3,14-1 =1,0048.106 J,

t1t= 0,5 Lfr = 0,5.1,0048.106 =1090C.m'c 10·460

"2. Lfr=X'C'(to-t)+Xt"Lfr =2,87 kg.

2040·10+330000

2.1.10. Parametrii azotului

O 5 t V-V - PoVo _1.22,4 44PN=P2=' a m, N- 2 - - _ = ,8 I,P2 O,n

TN=To=273 K.

Parametrii argonului

PA=P3=P2=0,5 atm, V3=V2+5,2=44,8+5,2=50 I,T

3= ~ T

2= 50·273 =304 K.

V2 44,8

Ecuatia calorimetridi

Conform datelor problemei nN=nA =1 mol,

5 3- R·273 + - R·3042 2

5 3-R+-R2 2

Presiunea rezultata din legea gazelor perfecte

nRTP=- unde n=nN+nA=2, V=VN+VA=94,8 I,

V

R nefacind parte din datele problemei se calculeaza din condi ~iile normale::R=poVolTa,

nT PoVo 2 ·285 1·22,4P= -. -- = -- . --- =0,493 atm.V To 94,8 273

2.1.11.1. 'Y) Q =mc(l-lo) +XA.

'l)Q-mc(l-lol 0,5·828-4·1·90x=-----=------=O,l kg./. 540

m2. pV=-RT.M

V= mR_,-!:. = _1_0_0_'0_'_08_2_._37_3_= 169,9dm3.Mp 18·1

3. E=2- R T,2 N

R =0,082 atm ~d1l13 =0,082mol·I(

N1,013.105 -- 10-3 mS

J'm =8310,--- ,.10-3 limol· K krnol·K

3 8 :'310E= -_. ----.373=7,73.10-21 J.

:2 6,02.1026

4. L=p(2V-V)=pV=l,013.105·0,1699=17.21 J.

2.1.12.

1. Q1=mA=I(G06,5-0,695·90)=544 caI,

L1 =p(V1- Va) ;:::;pV1

(Volumul apei Iichide este neglijabil fata de cel al vaporilor)

VI = mRT = 1·8,31·363=2,39 .10-3 m3,Mp . 18.7.104

L1=7·104.2,39·1O-3=167,3 J.2. Q2=mcv(T1-To)'

~ - ~ T - £t!:~- 1,013.105.363-52~ IT,- , 1- - - ;) "-

To 1'1 Po 7.104

Q2 = 1 .0,36(525-363) =58,4 caI, L2 =0:3. Q3 =mcp(T2-T3) =1·0,48(373-525) =-73 cal (racire),

L3=p(V3-V2),

~ = 1'2 V3= ~2.:z:s_ = 1'11'3 = 2,39.1O-3.3?.3=1,69.10-3

1'3 1'2 1'2 1'2 525 '

L3 =1,013 .105(1,69-2;39)10-3 =-70,9 J (comprimare).

2.1.13.1. Conform legii gaze lor perfecte

(n1+Il2)RTP= -----.v1+ V2

Numerele de moli n1 ~i n2 sc calculeaza din conditiile initialeP1V!. P2V2

n1=-RT- :;;1 n2=lIT''Rezulta

P = ~- (El~L.-L £2~2_ \ = €lVliE2~2,V1+1'2 RT I II.T 1 V1+1'20,5·8+1,5·5 88~P = ---- =0, ;) atm.

8+5

2. In conditii izoterme p V =ct ~i deci _P- =ct.fl

Atunci-V -V fl01 _8"030,0013 O-·_h2m1- IPl- I--Pl- 1 ._-. ,~-;), g,

. Po 1

m2 = V2P2 = V

2':'l!.2_ P2 =5.103 ~ooo~~ ·1,5 =0,675 g.

Po 1

m . nivI 1'oMp=-=-=--,. V V 1'om1'

Vo (volumul in conditii normale) rezulta din

p1' _ Po1'o_ V _pVTo ,l' - To 0- poT

P = ~ . p1'To = MpTo 32·150·273=156,8 ---.!L •Vom1' poT 1'ompoT 22,4·1·373 dm3

2.1.15.F 104N N

1. In stare a 1, PI = - = --- =5'105 -.S 2.102 cm2 m2

ir.. st::nea 2, Tz=T1=400 K, P2V2=PIVl'[J '7 5.105.') NT

Po = _1 ~..l_ = --~ = 3,85 .105 -'- •• V2 2,6 m2

In starea 3, ,03 = .oz =3,85 ·105 ~ ~i V3 = VI=2 dm3 T3 = Pa Va n sc calculeazarn2 nR

din PIVI =nRTl'T

3= PaVa • RTI_ = PaTl_ = 3,85.105.400 =308 K.

n p1V, PI 5.105

. V V 2,62. Proces lzoterm L1Z=nRT1 In _2_ =PIVI In _2 =5.105.2.10-3.2,303 log- =. ~ ~ 2

=263 J.

Proces izobar LZ3=pz(V3-Vz)=3,85·105(2-2,6)1O-3=-231,5 J.Proces izocor L31 =0.

Ltotal=263-231,5 =31,5 J.3. = T1 - Ta = 400 -308 =0 23.

"YJ T 400 '1

2.1.16.Reprezentarca grafid (fig. 2.8),Irs]"

A 2

•i . . lFig. 2.8

a)lA2, b) IB2, c) 12.

1. La=pz(Vz- VA)=Pz(V2- VI)'V = PlVI. = 9.10~ =45 dm3

z P2 6.105 ' ,

La;=6·105(4,5-3)·10-3=900 J,Lb=Pl(VB- V1)=Pl(VZ-V1)=9 '105(4,5-3}·10-3=

=1350 J,

Lc=nR T In ~ =P1V1 In v2 =PIVIVI VI

Lc=9 .105.3 .1O-Z,2,30310g4,5 =1088 J.3

v2,303 100' _2 ,

'" VI

2. Temperaturi extreme: TB ~i TA,

VI VB V2 V2 TT = TB = TB' TB= ~ ,

~=VA=~ TA=~T,T TA lA ' V2

~ T _ V 1..- T 2'? _ ~'1)= TB- T~ = VI V2 = _y.J.. __ ~~ •

TB ~I VzVI VI

"YJ = _3__ 4,_5 = 0,555.4,5

2.1.17.Presiunea se obtine aplicind kgea gazelor perfecte

(1l1+nz+1l3)R1'P = -----y--- .

Temperatura de echilibru rezulUi din eeuatia calorimetrica n1M1c1(T-T1)+

+n21H2c2(T - T2) +n3M3c3(T - T3) =0,T ~= ntM1c11'1 +nzj1-fz:21'2+n3~3c31'3 •

III1I11c1 +112i\12cz+ n311i3c3

(Ill +112+ 113)R(n1ll,l,c, 1'1+n2M2czT~ +n3 M3C31'3)p = -------------- .V(n1Al1c1+ I1zNl2cZ+ n31\{3c3)

2.Lt8.1. In tr~nslormare izoterma PrVI =P2V2'PresiUileaini~iaUi a gazului este PI=H-hi unde

omcrcur corespunzatoare l~ 1 atm. Atunci

(H-hJfl ..= (H-};2)/lz, 1-L '1\ 0 1

h.,=H- _~H-flt)ll = 7GO-- Q'60 .=!.90)200 =472 mm,... [2 250

L2=~2+!2 =472+250 =722 mill.~-- leT

2. p=(na+nH)' -i';-'m pV

nH =-~ -~-1 = -::1'-- - nu,1~- .J.(

[unde nH~i l1a reprezinEi numerele de :l1olic!e hidro£en ~iacr. na se obtine din conditiileinitiale

P1Ylna=---- .nT3GOPI =H-hi =360 torr= -- atm ~i VI =Sli =20 cm3,760

rr . 560._ V 4 3p=.n.-h=5GO tOlf=--aun ~i =sl= 0 em,760

l''[ 2 I f;60·40·10-3 360.20.10-3)

m~ 1£T(pV-P,V')~oot--'6o---~o- =0,00164 g.

2.1..19.

"1. Parametrii de stare In starea normali ~i in eonditiile problemei slnt lep-ati prinrelatia

Po Vo pv---=-.To l'

,:r

lMasa gazului m este legata de densitatea Po In conditii normale prin

m=poVo'

EIimin Ind Vo intre eeIe doua relatii se obtine

m = pVToPo_151.105.40.10-3• 273·1,43 =8 13' kcr"poT 105.290 ' . l:>

2. VoIumuI oxigenului V' in eonditiiIe de lueru se obtine din

PIVI = pVTI T '

VI = pVTI = 151.105.40.273 =2274.PIT 2,5.105 ·290

Deoareee in tub trebuie sa ramina 40 I (in eonditiiIe de Iucru) rezuIUI

3. Deoareee densitatea variaza invers proportional eu voIumul

L=~, ,=p'PoTo=59.105.1,43.273=76,8 kgp'T' Po To P PoT' 105. 300 m3

un de Cv=Mcv reprezinta ealdura moIara (M este masa unui moly

n = 2,24 = 2,2~ =0,1.Vom 22,4

Q rezulta din Q=RI2l=R (~)2t=I,5( 2 )12100=150 J.

R+r 1,5 + 0,5

Q 150I1t= - =--- ~72°C=T=345 K.n Cv 0,1·20,8

2. Transformarea fiind izoeora

Po 1·345p= - T= --=1 262 atm.To 273 '

3. E= ~~ T= (8,~1/. 345 =713 .10-21 J.1 2 N 2· 6,02.1023 '

2.1.21.Fie s seetiunea tubului. Initial eoIoanade mercur se afla la mijIoeuI tubului.Putem scrie deci (fig. 2.9, a):

F1 =F2,

Dar:

F1 =PlS=PI =P2'

F2 =P2S

Cum masa de gaz A a suferit un proeesizoterm aplieam legea lui Boyle-Mariotte

P1V1 =PaVa, P1S1 =PaS!a' P1!1 =Pa!a'Si masa de aer B a suferit un proces izoterm pentru care aplicam aceea~i lege:

P1S!1 =P4S!4=>P1!1=P4l4'

Cind tubul e a~ezat in pozitie verticala (fig. 2.9, b), asupra coloanei de mercur aqio··-neaza fortele

Fa=Pas, G=pgsl2; (p=densitatea Hg),F4 =P4S, care li?i face echilibrulF4=Fa+G, deci P4s=Pas+pgsl2'P4 =Pa+pg!2'

!nlocuim pe P4 i?i Pa ~i obtinem:

p,l, p,l, P gl2--- = --- +pgl2 =>P1 = ---14 13 !..t _ i,_

\J) £413r-

PI = 13,6.103'~·20.10-2 =49 ·980(40· 10-2/30. 10-2)-(40.10-2/50.10-2)

2.1. 22. ..-D _ 0 '< _, ':, v

-~ C"IC', _ l' - T. 0 - Q.RandamentuI '1) = _, = _'_~-_,

1', 0,

~,~I' 01.?"'::

1I :'

4 I I ' ..•'-'0, l

t :./1',-1'2 = (273+150)-(273+15)

1', 273+150

Se Qblinc sist<.>mul

QJ -02 135

0, 42:1

(droarece QI-Q2=L=1 kwh=1000'3600 J).Hezolvarra sistemului da

QI =1,13 ·107,J, Q2=7,7 ·106J.

2.1.23.

T_ pVM _ 2.105.3,5.10-3.28

2- mR - 7.8,31 =337 K.

2. tlP =(I-'I)/)Pc unde,/ =' . =0 6 1', - 1'2_ =0 6 (266+273) - 337 =0,225,

Y) f)r'f), 1', ' 266+273

tlP=(I- '1)')Pc = (1-0,225)·31,4·106·100 =6,76 .105 W.3600

3. e:= ~ R T2= 3·8,31·337 =6,98 .10-21 J.

2 N 2.6,02.1023

-:". I:"}" \0,0;'

'1,'~ - 1:--

4. L=p .(V- ~- V) = ~pV = _1_ ·2 .105 '3,5 '10-3=350 J.2 2 2

:2.1.24.

1. TA=fA+-273=127+273=400 K.EA.'.'"A_= l!BVB = PcVc = EDV~

TA TB Tc Tn

Rezulta TB=800 K, Tc=2000 K, TD=800 K.

:2. Lucrul mecanic efectuat intr-un cielu este dat de suprafata ciclulUl

= 101,3 ~.J~ .ciclu

p= £~ = 101'.'~:!20_ =1 215,6 W.60 60

3. Yi = L_.• Q

1

unde Ql cfte canbtatea de ciHclura degajata prin arderea combustibilului Intr-unciclu

l'P'1_ = 0.230.10-3.820.4,6.107 =246 Jco 11 60 ·720 '

4. Conform principiului I al termodinamicii cantitatea de caldura preluaUi !ntr-un·ciclu (Ie "\lea de rilcire cste

'2.1.25.RT RT

1. P =11 11 =(111 +- 112 + 113)-y'1015

un de 11 = ---- =0 166'10-8 moli1 6,02'1023' ,

113= 3,3 .~=7_ =0,846 .10-8 moli.

39 (

p=(O 166+0.664 + 0 846)10-8\~3y696, . , 5.10-3

4.101511 = ----- =0,664 .10-8 moli,

2 6,02.1023

N= 8,24 '10-3 -' •

1112

_~ _ -"'-V'- VC!:+.6.T) _ ~~96+100) =6,68 IT+.6.T - T' - T - 296

V'= nR(1'+61') = 1,676.1O-8~31.396 =6,68'10-3 m3.p 8,24.10-3

3. L=p(V'- V)=8,24 '10-3(6,68 '10-3-5 '10-3)=1,38 .10-5 J.

41(= lV3R1'• f v2= -.

111

Din motive de omogenitate daca R se exprima in --~--, M trebuielTIoI.grad

k"luat ill-b

mol

°2: V V2 = 1(3 .8,31.396 = 555 m ,0,032 s

N2: Vv2 = lV3:"8,31.396 = 593 m ,0,028 s

Ar: V 2 = 1/3 .8,31.3'96 = 504 ~- .V 0,039 s

2.1.26.1. P

u= YJP

c='f) 9!. =YJ 0,5 mq = 0,6.0,5.40.3.107 =105 W=100 k\V.

t t 3.600

2. YJ = 1'1 - 1'2 , T1

= --22._ = E3 + 23 =7L10 K.1'1 1-'1) 1-0,6

3. P V = ~ RT=o>m = J!...Y..~~= 1,5·5.~~~ =8 9 g.M RT 0,082 ·296 '

2.1.27.1. Pentru un cicln

L = (D - D ) ~~=[=(106-104) 3,11·0,09 06 4') 10' J1 , 1 1 2 4 4 '" = ,..... '<.,

P = ~~1 = 180·4,2·104 =126.105•60 60 '

2. !Jl- .c,T;-d:L ll_.= 5,1·3,14·0,09·0,6·180·3600, - ------ =2335 kg.1 60 4·60

3. Q1 =11iC(t1-l) +m".,Q1 =2335 ·1(179-46) +2335 ·483 = 1,485 ·106kcal.

4. Q2 =mA2 =2335 ·565 = 1,31 9 .106 kcal.

5. 02=J1c(02-01), M =~- =2,319~~O_ =5,27'10'1 kgc c(02-01) 1(40-15)

2.1.28.

Q2=m[ Ca(tl-to) +A ,+-Cg(to-t2)]

~i trans mite sursei calde

Din formula randamentului

Q1-Q2 1'1-~ l'-- = --- se deduce Ql = Q

2--.! •

Q1 1'1 1'2

Eliminind Ql intre (2) ~i (3) rezuIta

Q. = ~1 =Q +PT.2 1'2 2

m = 1'2P-'_" -----(TI-1'2)[Ca(t1-lo)+),+Cg(lo -12)J'

263 ·17 700 ·8 ·3 600=10285

(293 -263)(4 180 ·20+330000 +2040 ·10)

. 1'1 - 1'2 293 -2632. f) = ------ = ------- ==0,102.1', 293

(;2 U2 29023. P = J-'.•.. , R = = --- =2 730. P 17700 ' .• '

4. Din (4) oc observa 0 proportionalitate rntre m ~i P

m =KP =J( [)J.

m -;- m =I{L(J+!ll) =KU1+KUI:11,10

m =KUI:1J=~1 1:11.10 J

UrmCaZ2

unde L este lucrul mecanic produs intr-o ora, iar Q cantitatea de ealdura can-sumata in acest timp

PI 4_.-= ---YJ,mq 7

7 P1' 7.6.104.3600m = -- = ----.-- =60

4 Tjq 4.0,21.3.107

sinex.+1J.mg cas ex.)v:3. P=P·v=(mgPv=-------

mg(sin a+[L CDS 0<)

Deoarece ex.cste foarte mic, sin ex.~ex. ~i cos ex.~ 1

6.104 =3- m/s.105 ·9,8(0,0102+0,0102)

2.1.30.1. La un proces izobar

VI V2 T _ V2TIT1 T2 2- VI '

V _1':d2 h - 3,14·100 '15-1177 - 3 V -V ..L 1':d211- - --- - ,~ em, 2- 1 I 'I,

4 4 47td2 I, =, ..3,14·100 34 1 _ 4 ·3=235,5 cm3, V2=1177,5+235,5=1413 em,

T = 1413+(273+23) =355,2 IL2 1177,5

7td2

2. L=P(V2-VI)=P- hI'4

P=Po+ ~9 =1,013 ,105+ 300 =1,395 ·105N/m2,7t " 3,14·100 .10-44 4

L=I,395 .105 '2,355.10-4=32,78 J.

Q _ (T T ) _ pVIM _ 1,395.105·1,1775.10-3 ·28,9 1 93. -mcp 2- I' m - -- - --------- = , 3 g,RT1 8,31·296

Q=I,93 .10-3 ·1000 '(355,2-296)=1132,03 J.4. Q=YjQc=Yjxq,

x = J{ = 1132,03 =4,48 '10-5 kg.Yjq 0,6·4,2.107

2.1.31TI - T2 (273+400)-(273+23)1. Yj=-- =--------=0,56.

TI (273+400)

2. Yj= ~ = ~, P= "r,QI = 0,56.6·105=5600 W.QI QI t 60

3. Yj= Ql:i~'Q2=(I-Yj) Ql=(1-0,56).6.105 = 2,64.]05~.

mm

4. p' =Yj'P=0,715·5 600=4 000 W.

5. P'=P,v=l,J-m.g.v, v = 36km =361000m =10 mis,h 3600 s]

- ~ - _ 4000 _ 0 102I,J-- -----, .mgv 400·9,8·10

6. 0 fractiune din greutate va functiol1a ca forta centripeta

F=mg- mv2

=40009,8- 400·100 =3120 N.R 50

2.1.32.

1. L=p(Vg-Ve)>:::,pVG=RT

(procesul este izobar ~i volumul specific al lichidului este neglijabil f~tli de eelal vaporilor) .

L=RT=8,314'373=3101 J.

2. U =Q-L=2 ·255 000 ·0,018-3101 =37489 J.

2.1.33.

1. m1c1(0-i1)1-m1A11-m1c(i-0)=m2c(100-i)1-m2'c,ml _ c(100-i)+~ = 4180.60+2,26.106 =4,85.m2 cl(O-il)+AI+ci 2040.10+3,3.105+4180.40

2. Qu=YJD-rq=0,5 '0,02 .10-3 ·10 .60.5.107 =3.105 J,Qu 3.105

m = c6.t = 4180. 35,8 =2 kg. ~

3. pV= mRT =D= ~ D'= ~ pD'= DRTi,M timp , timp , kI

D'= DRT = 2.1o-5.83~300 =2,48 .10-5 m3/s.pM 1,1.105.16

4. Q' =m'[ c(100-i)1-A21-c2(i'-lCO)] = 1[4180 ·EO1-2,26,1061- 1860 '20] =2 548 000 J

2.1.34.

1. P=F ·v, unde

(1 73 )F=Gt1-fLGn=M1g(sin lX+fL cas <X)=2000 ·10 0,5 1- 0,2~=13 460 N.

P=13 460 '5,5=74,03 kW.2. YJ = ,T1 - T2 = 1078_-303 =0,717,

T1 1073YJ = QI-Q2 =.£!.... ~Q1 = .£!....= 74,032=30 g, 75 kJ,

Q1 Q1 1) 0,717Q2=Q1-Pi=309,75-74,03 ·3=87,66 kJ.

3. a) P = 1)i~i =unde Q; este cantitatea de caldura primita in timpuI i' in care se

consuma cantitatea de cambustibiI m

t' = 1)Q; = 1)mq = 0,717.20,64.10-3.25.106 =4,128 s,P P 74,03.103

S=V 'i=5,5 ·4,128=27,5 m.

b) '~m 'q=F 'S,YJl11q 0,717.20,64.10--3.25.106

S= - = --------- =27,5 m.F 13460

V mRT m pM~ 1,5 ·284. p' =--;;[, P=-V = RT = 0,082.303 =1,7 g(I.

5. ~ =~. Se nateaza:1 ES

( ~1)1alungirea relativa in mi9carea unifarma,

I~l L alungirea relativa in mi9carea accelerata,

(6.111)2 = F2 = F+ma = mg(sin IX+ILcos 1X)+ma=1,2(6.lllh F1 F mg(sin lX+fLcos IX)

a=0,2 g(sin <X1-fLcas IX) =0,2 '1O(0,5+0,21,~3 }=1,346 m/s2•

2.1.35.1 _·.L mg _ 105 c.L 5· 9,8 =2,105 Nfm2,. P-Po'- s - .- 4,9.10-

pV=p11oS=nRT,11

0= nRT = 0,01_.8,31.300=0,2543 m.

pS 2.10°.4,9.10-

2. Se disting doua faze:a) Temperatura cre:;;te de la 80 PIna la 100°C :;;i11cre:;;te de la 110PIna la ovaloare11'.b) Temperatura ramIne constanta (100°C, caldura preluata fiind utilizata pen-

tru vaporizarea apei) :;;i 11 ramIne constant (11'),

a) Dtc(81-82) = (maCa +nMcp)(8-80)'

8 =80 + _Dc(61 -6L • t ;::::;80+ Dc (61-62)

maCa+n1\ilcp maca

(calclura preluata de gaz este neglijabila fata de cea luata de apa)

8=27+ 0,1·1000·50 .t=27+0,1196 t.10·480

Tra nsformarea gazului fiind izobara

11=110~ = 0,2543273+27+0,11961 =(0,2543+1,014'10-4 t)m.To 273+27

Relatia anterioara este valabila PIna la momentul t' dnd temperatura a devenit100°. Padnd 8 = 100°C rezulta

t' = 100-27 =610,4 s.0,1196

Se obtine 11'=0,3162 mb) 11=0,3162 m.

3. DvA=D 'c(81-82), Dv= Dc(61-62) = ~~000,50 =22'10-3 kg/'s.A 2,25.106 '

4. s = 2- RTo ~ 8310·300 =6,208 '10-21 J.2 N 6,023.1026

2.1.36.1. (m 'c+M1c1)(81-8) =M2c2(8-82)+M2A2'

M = (mc+J111c1)(61-6)= fl·380+5.4180)20 =1,23 kg.2 c2(62-6)+A2 2040.10+330000

2. Q=[mc+(MI +l\12)c] (83-8)+M2 Al =[2 ·380 + (5+1,23) 4180J· 100+1,23· 2,26·.106 =5,46 '106 J.3, Presiunea de saturatie 1 atm corespunde temperaturii 100°C. Din Iegea gazelorperfecte

V- M2RT _ 1,23·8310·373 -909 3- - ----- - ....., In.pM 1,013.105·18

4. L =pLl V =p(2V- V) =pV =1,013 .105 '2,09 =2,117 .105 J.

2.1.37.

'fi = ~ = 1 676 = 0 4 .J Q1 4185 '

~-~ K'1/=--~T2=Tl(I-'lj)=473(1-0,4)=284 .T1

mq 5.48.1062~ Pc=-=--- =667'104 W Pu='ljPc=0,4·667·104=26,7 kW~

t 3600" ,

S! pV = mRT , V= mRT = 56·8,31·473 =3,88 '1O-2m3=38,8 dm3.M pM 2.1,013.105.28

2.1.38.

I! p= _m_RT_ = _pR_T_A = 1,22 ·0,082(273+47) = 1 atmMV M 32

sauV=!!.- = ~ =26,2 dm3, p= RTA = 0,082·320 =1 atm.

p 1,22 V 26,2

2. L=P(VB-VA)=pVB-pVA=RTB-RTA'L 1662

TB= - + TA = - +320=520 K.R 8,31

B~QAB=Mcp(TB-TA)=0,032 ·910 '200=5 82( J,

Q QAB kca! 7 J=- =m'q, q=13200-=13200·4,185=5,52·10-,

'Yj !{g kg

m = QAB = 5824 =1 40 ,10-4 kaTJq 0,75.5,52.107' b'

V= mRT = 1,40.10-4.0,082.290 =0175 dm3.pM' 1,2,16.10-3 '

(! UB-UA=QAB-L, UB-UA=5760-1662=4098_ J.

5e CicluI ABCA este reprezentat In fig. 2.10.

A

'I

Piditura se desprinde In momentuI In care ~reutatea este egaIa cu forta datoritiitensiunii superficiale

2rrrcrm'g=27trcr, M=n'm=n-,

91 . ~M = - 15.2.3,14.1,2.10-3./2,8.10-3=8,9 .10-4 kg=0,89 mg.

9,8

Din l:auza rorteIor de adeziune apa se rididi intre ceIe doua placi. La eehilibru;greutatea stratuIui de apa este compensata de forta datorita tensiuni\ superfieiale.Pentrn 0 Iungime oarecare I a stratului de apa eu inaltimea h

ld 'hpg=2Icr,

1_ 2cr _ 2.72,8.10-3 -106.10-s 1061- _-----_, m=, mm.d'pg 1,4.10-3.103.9,8

2.2.1. 1. 0-;=8,55 .10-6 K--1,

2. R=1,00171,

2.2.2. 1. ml =0,9823 kg,

2.2.3. 1. t=90,1°C,

2.2.4. F =2800 N.

2.2.5. h=7823 m.

2.2.6. 1. 6=27,11°C,

2.2.7. 1. tf =8,8°C,3. M=1,21 kg.

2.2.8. 1. nm =2,067 g,3. nl=1,44'10-5 ll1.

2.2.9. a) nl= mC8o+D,c181,

mc+D'rc1

b) nl=6o+ D'rc1(81-8z)mc

2.2.10. J. :r = 1 350r t,3. P=5 780 kW.

2.2,11. a) ea =22,32°C,

y=2,565 .10-5 K-l,3. 'YHg=1,8 '11-4~K-l

2. m2 =0,9852 kg.

2. y =1,14 .10-4 K-l.

2. x =0,0475 kg.

2. x=0,0158 kg,

2.2.]2. 1. Q=513 ·400 J, 2. ,,=972,3 5,

3. Rs= 0,1 Q.

2.2.13. T=328,18 K.

2.2.]4. Pl=l atmP2 =0,1 atlP,Ps =0,082 atmP4 =0,082 atm,

2.2.]5. t=79,8°C,--_·z-"{- -~>

2.2.16. nV=229,1 1.

2,2.17. 1. Qt=2640 J,3. x=12,4 g,5. V' =0,2082~ mS•

VI =32,8 dm3.

V2=328 dms,Vs=328 dm3,

V4=273 dms,

I! = 1,23 atm.

T1=400 KT2=400 K,Ts=328 K,T4=273"K.

2. Q=290 ·784 J,4. V=0,1836:m3,

_N2.2.18. P=I,1275 '100 -,m2

2.2.19. H =0,98 atm.

2.2.20. P =0,93 atm.

2.2.21. 1. p'=1,61 atm, 2a. nA=0,0416 mali,2b. nB=0,0832 mali, 3. x=O.

2.2.23. PI =47,26 atm,Ps=82,31 atm.

2.2.24. 1. u =59,25%,3. L1m=90,9 g.

2.2.25. 1. Vo=11,2,3. TB=1365 K,

2.2.26. 1. 11=0,831 m,

3. P=2,53 '10°i'i1112

4a. nA=0,5,

2.2.27. 1. VI =6,23 .10-3 m3,

2b. L =4:990 J,4. m=O.

2.2.28. 1. n =2,083 '1023,

3. 5=0,248 m,

--E =canstant.p

2. VA=5,6,4. L=4538 J.

2a. T2=900 K,3. V3=37,38 .10-3 m3,

2. L1t=17,28°C,4 X- O,010(T'-T) k·. ----- g.

T'

2.2.29. 1. t =25°C, 2. t2 = 148°C,3. Q =2.592 cal, 4. fo =3 cm,5. (;(.=1,2 '1O-oszrad-1•

2.2.30 1. L1m=0,593 g, 2. T=424,5 K.

2.2.31. 1. P = 8,44' 10-0 ~, 2. V =1009 m3,cm3

3. n =2,57 ,1028•

2.2.32 1. ['=0,475 m, 2. 1'3=363,8 K,3. L11 =3,63'10-3 m.

2.2.33. 1. t =708,8°C,

3. M =15,95 kg,

2.2.34. 1. m3 =3,04 g,3. P2 =9,43 atm,

2. L1V=2,211'lO-lI m~,N

4. pf=20- .m2

2. 13~25°C,4. Q =2,46 ·106cal.

2.2.35. 1. m=O,1 kg,g

3. D=I-,s

5. s=7,7 .1O-21J.

2.2.36. 1. t=15°C,3. x =0,025 kg,

2.2.37. 1. Q=0,64 keal,3. x=12,45 g,

2.2.38. 1. 8=45°C,3. x=76,5 g,

2.2.39. la. L1 =6 ·10s J,2a. L2=2 ·10s J,3a. Ls =4 ·10s J,

2.2.40. 1. V=3,J6 ems,-,3a. PI =7,37 .10-4

2.2.41. 1. m =31,6 g,2b. Ts=900 K,3. LI2=0,

L34=0,Q12=3753 J,Q34=-7506 J,4a. L = 1500 J,5a. "I) =7,7 %,

2.2.42. 1. L=831 J,

2.2.43. 1. Yj =0,093,

2.2.44. 1. Q=9318,4 J,

2.2.45. T =408,45 K,

2.2.46. Q=12500 J.

2.2.47. 1. PA =8,2 atm,Pc=4,1 atm,

2. LAB =597,8 J,QAB =597,8 J,3. L=182,3 J,4. '/]'=11 %

2.2.48. L=1000 J,

2.2.49. V=4 ems.

2.2.50. 1. p'=p(l- ~),p

2.2.51. L =2 584,4 J,

2. V =169,8 dms,

4. n =3,344'1024,

2. Q=1312,5 keal,4. V =161 dms.

2. Q' =697,60 keal,4. V=183 dms.

2. Q=321·300 eal,4. V =6,96 mS•

lb. Q1=3,6.104 J,2b. Q2=3,2 .104 J,3b. Q3=3,4'104 J,

2. no =2,62 .1013 em-s,torr, 3b. P2 =2,63'10-4 torr.

2a. T2 =450 K,2c. T4=600 K,L23=4500 J,£41 =-3000 J,Q23= 15726 J,Q41=-10480 J,4b. Q=19479 J,5b. 1')=66,6 %.2. x =0,25 mol.

2a. Ql=3,97.105 J,

2. L=2659,2 J,

PB=4,1 atm,Vc=1 l,LBC=-415,5 J,QBc=-1454,25 J,5~ 'YJ =50%.

2. L= R~U •Cf)

2b. Q2 =3,6 '105 J.

3. L\U=6659,2 J.

V=3349 dm3•

Tc=200 K.LCA=O,QCA =1038,75 3,

2.2.52. 1. x =36,7 kg,3. ill =615 kg.1

2.2.53. 1. Pfl = 10,45 kW.3. Q=2j190 J.

22.54. 1. to =9°C,3. h=2,13 m,

2.2.55. 1. Q=4,695 .108 J,3. L=5,121 .108 Jj

2. L=2090 J,4. D=3,7 m/s.2. D =42,68 kg/h,4. P =30 N/cm2•

3.1.1. Doua sarcini electrice punctiforme Ql=<-f-'2-1O-6 C ~i Q2=2-1O-7G Begasesc In vid la distanta d =2 m una fata de alta.

Se cere sa se calculeze :

1. Forta de respingere ce actioneazii Intre aceste sarcini electrice.2. Lucrul mecanic necesar pentru a apropia sarcinile plnii Ia distanta d'=dj2,3. In cazul In care Q1 ~i Q2 ar reprezenta sarcinile a doua sfere de raza R1 ~i R2

e cere raportul R1 : R2 pentru ca unind sferele printr-un conductor ideal fiira capa-~itate sa nu aiba loc nici un transfer de sarcina Intre ele.

3.1.2. Un condensator plan aVlnd distanta dintre pliici d=l cm ~i ca medinriielectric un material cu f;r =7 a fost Incarcat Ia 0 diferenta de potential ~ V = 100 V.?iind deconectat de la sursa de tensiune se scoate dielectricuI dintre placiIe conden-satorului.

Se cere sa se calculeze :1. Diferenta de potential dintre pliicile condensatorului In absenta dielec-

:ricului.2. Masa unei particule de sarcina Q=10-12 C daca aeeasta se aflii in echilibru

:n tre placile eondensatorului.3. Considerind di nu are loe niei 0 pierdere de sarcina, care trebuie sa fie dis-

tanta dintre placile condensatorulu.i pentru ca In absenta dielectricului diferenta de;lOtential diutre ele sa fie tot 100 V?

4. Sii se arate ca in cazul In care dielectricul ocupii doar 0 por~iune din distanta. intre pUicile condensatorului, capacitatea acestuia nu depinde de modul de aran-j are al dielectricului.

3.1.3. Intre placile unui condensator cu 5=12 cm2 se afla 0 pladi de cuart cu5=-osim~a de 4 mm ~i de ambele parti a mai ramas aer ~u 0 grosime de 5.10-2 mmce fiecare parte.

Se cere sa se calculeze:1. Capacitatea totalii a ansamblului, daca f;rClIart = "1,5 iar pentru aer, Er se va

a 1.2. Se scoate placa de cuart. Care este noua valoare a capacitatii ~i care este can-

Litatea de (~lectricitate de pe placile condensatorului dad se aplica o' diferenta deotential de 100 V?

3. Distanta dintre pliicile condensatorului pentru a se putea mentine in echili-bru 0 piditura de. ulei Incarcata cu sarcina a 5 electroni, daca picatura se considerasera cu raza 10-3 mm ~i Cll 0 densitate p =900 kg/m3. Diferenta de potential riimine:.eschimbaUi.

3.1.4. Un condensator plan - paralel cu capacitatea C =3 fL F este conectat Ia" sursa Cll tensiunea V =100 V. Aerul este dielectric.

Sa se determine:

1. Lucrul mecanic necesar deplasarii armaturilor, astfel incH distanta dintrearmaturi sa se dubleze fata de valoarea initiala.

2. Variatia energiei cimpului electrostatic in acest caz.3. Variatia energiei sursei de alimentare.4. Condensatorul este deconectat de la sursa, armaturile fiind read use la dis-

tanta initiala ; care este in acest caz lucrul mecanic necesar deplasarii armaturilor?,.<- /"8· 3.1.5. Intre armaturile orizontale ale unui condensator plan, dielectric fiind

aerul, se afla 0 picatura de ulei cu masa m =3 .10-13 g care se gase~te in echilibrudatorita diferentei de potential V aplicata armaturilor condensatorului. Picatura deulei poarta 0 sarcina electrica q=I,6 .10-17 C. Cunoscind aria unei armaturi 5=4 cm2,

distanta dintre armaturi d=20 mm ~i considerind g=10 m/s2,

Sa se determine:1. Numarul de sarcini elementare care se afla pe picatura de ulei.2. Capacitatea condensatorului.3. Diferenta de potential U care trebuie aplicata armaturilor condensatorului

pentru ca picatura sa stea in echilibru intre armaturi.4. Sarcina cu care se va incarca condensatorul in acest caz.

~. 3.1.6. 0 sfera metalica cu peretii subtiri are raza R =0,2 m. in interiorul acesteisfere goale se afla 0 bila metalica cu raza r =0, 10 m aiJezata concentric cu prima. Bilametalica este legata la pamint printr-un conductor care trece printr-un orificiu alsferei exterioare. Sfera exterioara este incarcata cu sarcina Q=10-8C.

Sa se determine:1. Potentialul sferei.2. Capacitatea sistemului format din doua sfere concentrice de raze R ~i 1'.

"" 3.1. 7. Se considera un condensator plan avind suprafata placilor 5 ~i distall tadintre pUici d. Acest condensator este legat la 0 sursa de tensiune constanta U.

Sa se calculeze:1. Raportul intensitatilor cimpului electric din condensator cind illtre placile

Iui se ana aer ~i respectiv un dielectric cu constanta dielectrica relativa E:r.2) Capacitatea. C a condensatorului pentru cazul cind dielectricul consta din

doua straturi de grosimi egale paralele cu pUicile :;;i avilld constantele dielectrice E:1:;;i E:2•

3. Capacitatea aceluia~i condensator in cazul in care 0 jumatate din volumuldintre armaturi este umpluta cu unul din dielectrici, iar cealalta jumatate cu cel deal doiIea dielectric, suprafata de separare fiind perpendiculara pe pUici.

3.1.8. Un condensator plan este incarcat la 0 diferenta de potential V ~i apoiscos de la sursa de tensiune ; placile sint a:;;ezate vertical. Se apropie de condensatorun vas cu un dielectric astfel incit acesta sa umple pe jumatate condensatorul.

Sa se determine:1. Capacitatea noului condensator format.2. Cimpul dintre placile condensatorului, distributia de sarcina pe pUici.

'''. /3.1.9. PUicile unui condensator plan, cu suprafata totala 5 se afla la distanta duna! fata de cealalta. Condensatorul se conecteaza la 0 sursa :;;ise incarcii astfel in-cit intre placi se va stabili 0 diferentii de potential U, apoi se deconecteaza de la sursa.Intre pliicile condensatorului se introduc 0 placii de sticlii (E:rl) cu grosimea d1 ~i 0placa de parafina (E:r2) de grosime d2 (d1 +d2 =d).

Sii se calculeze: .1. Intensitatea cimpului electric f}i ~iiderea de potential in fiecare strat~2. Capacitatea totalii a sistemului.

3. Lucrul mecanic necesar, pentru depIasarea placilor condensatoruIui de ladistanta a; pina la a; dupa ce au fost inHiturate straturile de sticla ~i parafina. Pro-resuI acesta are loc sub 0 diferenta de potential constanta. .

3.1.10. Un corp punctiform cu mas a m=l g incarcat cu sarcina q=O,0109 lJ.C~_ustinut de un fir inextensibil cu lungimea [=20 cm, este respins de un aIt corp puncti-form cu sarcina Q. La echilibru in vid cele doua corpuri se gasesc pe aceea~i orizon-:ala la distanta r =20 cm unul de altul. Unghiul 0: format de directiile firului de sus-;inere in aceasta pozitie ~i in absenta sarcinii Q este de 7t/4.

Se cere:1. Reprezentarea fortelor care actioneaza asupra corpului ~i determinarea po-

zitiei de echilibru.2. Sarcina Q.3. Diferenta de potential dintre armaturile unui condensator plan daca supra-

-ala lor ar fi 5=100 cma, distanta dintre ele d=0,8856 mm, iar sarcina lui ar fi Q.:::patiul· dilltre placi este umplut cu un dielectric de permitivitate relativa Er=50.

4. Cre~terea energiei potentiale a corpului A la deplasarea datorita fortei exer-:-itate de sarcina Q.

3.1.11. Doua sfere conduetoare A ~i B sint incarcate cu electricitate negativa.::feraA are raza R1 =1cm ~i sfera B, raza R2=3 em. Centrele sferelor fiind a~ezate'a distanta d1 = 12 em, forta de respingere dintre ele este F1 =4.10-5 N. Sferele se puni:1 contact ~i apoi sint indepartate la aceea~i distanta d1• De data aceasta sferele se,e ping cu 0 forta F2=6 .10-5 N.

Lasind lib era sfera B aceasta se departeaza de sfera A la 0 distanta d2 =40 cm:: de va avea viteza V =6 .10-2 m/s. Distanta d2 este masurata tot intre centrele~:-erelor. Fixind sfera B in aceasta pozitie se aduce 0 a treia sfera D la distanta d ==20112 em de fiecare sfera. incarcarea sferei D s-a facut folosind un curent electric de;~tensitate 1=0,1 mA intr-un timp i=1 min.

Se cere:1. Cantitati1e initiale de electricitate ale sferelor A ~i B.2. Potentialele sferelor A ~i B inainte ~i dupa ce au fost puse in contact.3. Masa sferei B.4. Numarul de electroni ceda~i de 0 sfera celeilalte cInd sfereleA ~i B sint puse

:1: contact ~i sa se in dice care sfera cedeaza ~i care sfera prime~te electroni.5. Forta exercitata de cele doua sfere asupra sferei D.

3.1.12. Doua sfere concentrice de raze R ~i R' (R<R') sint aduse respectiv Ia?o·entialele V ~i zero. Spatiul dintrc ele contine aer. Sa se calcuIeze :

1. Valoarea maxima a cimpului electric in spatiul dintre cele dona sfere.2. Potentialul maxim la care poate fi adusa sfera interioara daca se cunosc Emax

._ R'.3. Energia maxima inmagazinata de condensatorul sferic, in conditiile prece-

nte.

3.1.13. Doua sarcini pozitive q1 ~i q2 se gasesc la distanta r una fata de alta. Sa_€ determine pozitia, marimea ~i semnul sarcinii q3 astfel ca toate sarcinile sa se afle:_ echilibru.

3.1.14. Ce forta va actiona asupra unui dipol liber al carui moment electric este~sal eu 2/3 .10-10 Clm, daca el este situ at in vid Ia distanta [=0,3 m fata de 0 sarcina?'JnctuaHi q =3,10-5 C ? Se considera "bratul" dipolului mult mai mic elecit l.

3.1.15. Sa se calcuIeze potentialuI ci!llpului electric creat de 0 bara in-:iTIit de lunga uniform incarcata cu densitatea Iiniara de sarcina qel[ ='t'.

I I') 3.1.16. Sa se determine potentialul in centrul unui inel cu diametrul exteriorD1=0,8 m ~i diametrul interior D2 =0,4 m daca pe suprafata sa este uniform repar-tizata sarcina q=6 .1O-7C (er=I,03).

r~\ ~ 3.1.17. Distanta intre placile unui condensator plan este d =0,005 m, iar dife-renta de potential intre ele este 150 V. Pe placa inferioara se depune parafina (e:r =2)eu grosimea d2 =0,004 m. Sa se determine densitatea superficiala a sarcinilor de peaceasta placa.

3.1.18. 0 sfera metalica de raza ['1 se incarca cu cantitatea de electricitate q, apoise leaga cu 0 alta sfera neincarcata cu raza ['2' Sa se arate ca egalitatea potentialelorlor este echivalenta cu conditia de minim a energiei electrice a acestui sistem. Distantaintre sfere este mare in comparatie cu razele lor.

3.1.19. 0 roata u~oara dintr-un material de densitate pare n palete de formadreptunghiulara fixate in centrul ei. In partea superioara a paletelor cade un fasciculde electroni accelerati de un dmp electric pina la diferenta de potential U ~i carecreeaza curentul I. Cu ce acceleratie se mi~dl. roata daca frecarea la ciocnirea electroni·lor cu paletele se neglijeaza. Se dau : raza roni R, Uitimea paletelor I, grosimea pale-telor h (R 'P h, R 'P I).

(3.1.2Q)Se dispune de 3 becuri de putere PI =50 W ~i patru becuri de putere P2==25- Weare functioneaza normal Ia 110 V.

Se cere:1. Intensitatea curen tului care trece prin filamentele becurilor in conditiile

functionarii normale.2. Rezistentele filamentelor la temperatura de functionare.3. Modul de conectare al celor 7 becuri pentru a putea fi folositil 0 alimentare

de 220 V.4. Rezistenta echivalenta a ansamblului de becuri obtinut Ia punctul 3.

w:2t Filamentul de 'Wolfram al unui bec are Ia temperatura i1 =20°C, rezis-tent~35,8 Q. Conectat la 0 tensiune de 120 V prin filamentul aflat la tempera-tura i2 =2 200°C trece un curent 1=0,33 A. Sa se calculeze :

1. Coeficientul dependentei de temperatura a rezistentei filamentului.2. Timpul in care energia cedata de bec ar transforma in vapori la presiunea de

1 atm 0 masa de apa de 1 kg C.t temperatura initiala 20°C.3. Rezistenta interioara a sursei de alimentare a becului daca in conditiile de

funcnonare normala randam~ntul sursei este 0,98.

~ Se-~onsidera un miliampermetru cu 0 rezistenta proprie de 250 Q. Scalaaparatului are 50 diviziuni pentru un curent de 1 mA. Sa se calculeze :

1. Rezistenta ce trebuie adaugata in paralel pentru ca aparatul sa poatii masura100 mA.

2. Daca miliampermetrul astfel echipat este montat in serie cu 0 cuva electro-litica cu electrozi de Ag .continind 0 solune de AgN03, in timpul i =30 minute depu-nindu-se la catod 0 masa de 0,210 gAg, aparatul este corect ~untat ?

3. Rezistenta aditionala care trebuie folositii dad aparatul este utilizat ca volt-metru pentru a masura 0 tensiuue de 5 V.

4. Diviziunea la care se va opri acul aparatului cind pentru verificare este mon-tat la bornele unei baterii cu 0 t.e.m. e=I,80 V ~i rezistenta intern a ['=1 Q.

(i12f')Rezist~ntele Rl' R2, R3, R4 formeaza circuitul din figura (3.0). Cunoscindca Rr==9-Q, R4=4 Q ~i 8=120 V sa se determine rezistentele R2 ~i R3, egale intreele, astfel incit valoarea curentului IL sa aibil. valoarea maxima.

3.1.24. La bornele unui generator de eurent eontinuu eu t.e.m egaU\ cu 110 V~i rezistenta intern a neglijabila se leaga in serie 0 rezistenta R1 = 1240, un motorelectric asimilat cu un receptor cu rezistenta interioara egala cu 960 ~i un amperme-tru Cll rezistenta interioara neglijabila.

1. Presupu nem ca motorul nu functioneaza ~i prin circuit trece un curent timpde 5 minute. Caldura degajata in rezistenta R1 serve~te la incalzirea apei. Daca masa.apei este de 1 kg ~i temperatura sa initiala este 15°C, care este temperatura finaUi a.apei?

2. lVIotorul functioneaza, iar ampermetrul indica un curent de 0,3 A. Care estet.e.e.m. a motorului ~i puterea mecaniea pe care 0 furnizeaza ? Care este caderea depotential la bornele motorului?

3.1.25. Un circuit serie alimentat sub 0 tensiune constanta de 110 V este formatdintr-o rezistenta R, un motor 1v.I cu rezistenta fm ~i un voltametru cu CuS04 de re-zistenta interioara Rv=20. Rezistenta R consta dintr-un,fir de Fe-Ni cu rezistivi-tatea p =80 fLQ(cm, lungimea l =20 m ~i sectiunea S = 1 mm2•

Se cer:1. Valoarea rezistentei R.2. Intensitatea curentului prin circuit ~i rezistenta rm a motorului, daca motorul

fiind. oprit, masa catodului voltametrului cre~te cu 0,593 g in 6 minute.3. T.c.e.m. a motorului, tensiunea la bornele motoruilli ~i randamentul lui daca

intensitatea curentului prin circuit este de 2 A dnd motorul func~ioneaza.

3.1.26. Sa Se calculeze sensibilitatea unui tubcatodic fata de tensiune, adica deflexia spotuluiIuminos pe ecran cauzata de 0 diferenta de potentialde 1 V pe grilele de comanda. Lungimea grilelor decomanda este l, distanta dintre ele este d, distantade la grile la ecran este L, diferenta de potential deaccelerare fiind Uo (fig. 3.1).

3.1.27. 0 rezistenta Rare la borne 0 diferentade potential U =120 V dnd este parcursa de uncurent de 16 A. Lungimea conductorului din careeste confectionata rezistenta este egala Cll 3 m ~iare 0 sectiune de 0,2 mm2•

1. Sa se calculeze valoarea rezistentei ~i arezistivita t ii firului.

2. Un motor eu rezistenta interioara de 5 0functioneaza la 0 diferenta de potential de 120 Vconsumind 0 putere de 480 W.

-Iz

Rz

Sa se caIcuIeze t.c.e.m. a motoruIui, puterea utila furnizata :;;irandamentuI sau.3. Pentru a face sa functioneze motoruI in conditiiIe precizate Ia punctuI 2) dis-

punind de 0 tensiune de 210 V, de rezistenta caIcuIata Ia punctuI 1) ~i de 0 rezistentanecunoscuta X se presupun urmatoareIe scheme:

a) R :;;iX in serie cu motoru!.b) X in serie :;;iR in paraIeI cu motoru!.c) R in serie :;;iX in paraIeI cu motoru!.Sa se determine vaIoriIe Iui X in ceIe 3 cazuri precum :;;icurentii care strabat

rezistentele R si X.~8? Fie ~n generator de t.e.m. E :;;irezistenta interioara T, doua voltmetre

identice, de rezistenta interioara TV :;;idoua ampermetre identice de rezistenta inte-rioara J'A. Cind un voltmetru este montat Ia bornele generatorului, eI indica VI; cindse adauga aI doilea voItmetru in paraleI indicatia Iorcomuna este V2• Cind un amper-metru este montat Ia bornele generatorului indica II ; cind aI doilea ampermetru esteadaugat in serie indicatia lor comuna este 12,

1. Sa se exprime E in functie de VI :;;iV2•

2. Sa se exprime J' in functie de E, II :;;i12,- '\

3.1.29. La bornele rezistentelor R1 :;;iR2 legate in paralel care au rezistenta echi-valellta-cu 9,375Q, se aplica 0 tensiune de 90 V. Cantitatea de calduri'i. degajata derezistenta R1 in timp de 5 minute :;;i10 secunde, poate incalzi 0,5 kg apa de Ia tem-peratura de 293 K pina Ia fierbere. Se cere:

1. TimpuI in care rezistoruI R2 ar incalzi 0 cantitate de apa de 3 ori mai mare,intre acelea:;;i limite de temperatura.

2. Lungimea firului conductor din care este confectio nata rezistenta R2 dacasectiunea acestuia este 0,55 mm2 :;;irezistivitatea lui este 1,1Q mm2Jm.

3. Cantitatea de apa pe care ar incalzi-o ambii rezistori, respectind aceIea~i con-ditii de temperatura, in timpuI caIculat pentru rezistenta R2, daca ar fi {Zrupati inserie.

h 3.1.30.\Un motor termic care functioneaza dupa un cicIu Carnot intre tempera--wrile ll=17°C ~i l2=307°C consuma 0,5 kg/h combustibil cu puterea caloridi q=1,2'

.107 J/kg, randamentuI de utilizare a caldurii fiind "1)1 =0,75. MotoruI termic aIi-menteaza un generator de curent continuu (randamentuI de transformare a energieimecanice in energie eIectrica fiind "1)2 =0,8) care debiteaza pe trei rezistente R1 =80,Rz =20Q ~i R3 =30Q (rezistenta interna a generatorului se considera neglijabiIa).Rezistoarele Rz ~i R3 sint grupate in paraleI, iar ansamblullor se monteaza in seriecu R1• Se cere:

1. RandamentuI "I) aI motorului termic.2. Puterea P debitata de motoruI termic.3. Puterea Pz a generatorului.4. Intensitatea curentului prin fiecare rezistenta.5. Tensiunea Ia bornele fiecarei rezistente :;;i tensiunea U Ia bornele genera-

torului.3.1.31. 0 uzina electrica alimenteaza un consumator printr-o linie a carei rezis-

tenta este 1Q. ConsumatoruI, aI carui f~ctor~de pu.tere ~e va Iua egal cu unitatea,functioneaza Ia tensiunea U =220 V ~lare puterea 198 kW. Transportul energieielect~ice de Ia uzina Ia consumator se face in 2 moduri : a) direct prin fire; b) prin-tr-un transformator care are l'alldamentul 100%.

Sa se calculeze:1. Intensitatea curentului absorbit de consumator.2. Tensiunea generatoruIui, astfeI incit Sa asigure 0 functionare normaIa a con-

sumatorului in cazul (a).

3. Randamentul transportuluienergiei electrice in cazul (a).4. Intensitatea curentului pe linia de transport asUel incit sa se asigure functio-

narea normala a consumatorului in cazul (b) ~tiind ca pe linie se pierde 0 putere carereprezinta 10% din puterea consumatorului (se presupune ca transformatorul se aflaa consumator).

5. Raportul de transformare k al transformatorului.6. Tensiunea ce trebuie furnizata de generator in cazul (b).

I 7. Randamentul transportului energiei electrice in cazul (b).

3.1.32. 0 baterie electrica are rezistenta intern a 1'i =0,5 Q. T.e.m. furnizata deaceasta- baterie variaza dupa relatia aproximativa

tE =6(1- - )V, T =600 s.T

Bateria debiteaza pe doua rezistoare R1 ~i R2 legate in paralel. ~tiind ca la mo-mentul to =0, tensiunea la bornele rezistentelor este U (0) =5,75 V ~i ca intensitateacurentului electric in R1 la t1 =450 secunde este egali'i cu intensitatea curentului elec-tric in R2 la momentul t2 =480 secunde.

Sa se calculeze:1. Rezistenta echivalenta Re.2. Intensitatea curentului la momentul to =0.3. Rezistentele R1 ~i R2 •

4. Energia calorica degajata in perechea de rezistente in intervalul de timp to=0~i t2 =480~ secunde.

/ --;

3.1.33~)Se considera circuitul din figura 3.2.unde -

E1 =80 V, R1=4 Q.

E2=30 V, R2=6 Q.

E3=60 V, R3=48 Q.

r---R-!~

Sa se calculeze curentii din cele 3 ramuri precum~i UAB.

~34 .. a se calculeze viteza globala a electronilor care iau parte la conductieintr-un conductor de Al prin care trece un curent de intensitate 1=10 A, sectiunea.conductorului fiind 8=10 mm2• Se admite ca pentru fiecare atom de Al din metalexista un electron de conductie.

C3~§:'Douabaterii de acumulatoare cu foe.m. E1=115 V, respectiv E2=119 V~i cu rezistentele interioare 1'1=0,2 Q ~i 1'2=0,3 Q sint legate in paralel ~i debiteazacurent intr-un circuit. ~tiind ca prima baterie de acumulatoare debiteaza un curentII =25 A, .sa se calculeze curentul total in circuit.

3.1.36:; Se da circuitul din figura 3.3 unde R1 = 12 Q, R2 = 1 Q, R3 =4 Q, R4 =~2-Q,..R5=2 Q, R=5 Q, E=120 V (rezistenta intern a a sursei este neglijabila). Secer:

1. Curentul care circula prin laturile retelei.2. Potentialele punctelor M ~i N fata de P.3. Diferenta de potential intre M ~i N.4. Bilantul ener~etic in retea.5. Rezistenta R aflindu-se intr-un fierbator cu randamentul YJ =0,85 sa se afle

cantitatea de apa ce se va putea incalzi pina la temperatura de 100°C, in timp de ()<

ora, temperatura initiala a apei fiind de 15°C.

~~Un disc (fig. 3.4) de raza 1'1 ~i grosime 11 dintr-un material cu rezistentaspecifica ? contine un inel dint,-un material cu conductibilitatea electrica mult matmare, asUel incit rezistenta inelului se poate neglija. In centrul discului se plaseaza un

electrod cilindric de raza 1'0 de asemenea cu 0 rezistenta ne-glijabila.Sa se determine:

1. Marimea rezistentei intre electrodul central ~i inel.2. Intensitatea curentului in disc ~i densitatea de curent

la distanta l' de axa discului (1'0 ~ l' ~ 1'1) daca se aplica 0 ten-siune U intre electrodul central ~i ineI.

3. Intensitatea ~i potentialul cimpului electric in disc ladistanta l' de axa, daca potentialul inelului se anuleaza, iarpotentialul in centru este U.

4. Puterea pusa la dispozitie in acest fel in disc, ~i dependenta sa radiala.5. Distanta de la axa discului la care rezistenta este jumatate din rezistenta

discului.6. Valorile maxi me ~i minime ale densitatii superficiale de putere din disc.

~~Un receptor electric are puterea nominala P =30 'vV ~i poate fi alimentatla 0 tensiune U =150 V. Tensiunea retelei de alimentare este Ur =220 V. Deoarecetensiunea retelei este mai mare decit tensiunea nominala a receptorului se· impunealcatuirea unui montaj adecvat. Pentru aceasta dispunem de un numar suficient derezistori cu puterea nominala P1 =5 \V ~i cu urmatoarele valori ale rezistentelor R1 ==100 D, R2 =200 D, Rs =500 D. Se cere sa se alcatuiasca montajul astfel incit:

1. Receptorul sa functioneze la valorile nominale ale tensiunii ~i puterii sale.2. Sa nu fie depa~ita pentru nici unul din rezistorii utilizati puterea nominala.3. Sa se utilizeze clt mai putini rezistori.Sa se calculeze randamentul montajului propus.

cii~se leaga in serie 6 elemente cu E =2 V fiecare. Aceasta baterie alimenteazaun cirCUIt in serie format dintr-un voltametru cu 0 solutie de ZnCl2 ~i cu electrozi deZn avind 0 rezistenta R1 =2,5 D, 0 rezistenta R2 =20 formata dintr-un fir de fero-nicheI ~i cufundata intr-un calorimetru cu ulei iji 0 simpla rezistenta Rs=1,2D. Cir-cuituI este strabatut de un curent 1=2 A.

1. Sa se afle U Ia borneIe voltametruIui.2. CurentuI circuIa timp de 32 minute iji 10 secunde ~i masa de Zn depusa la

catod este 1,32 g. Sa se determine numaruI de mas a al Zn.

3. Sa se determine rezistenta interioara Ti a unui element.4. Rezistenta din feronichel are 0 sectiune de 0,2 mm2 ~i lungimea de 50 cm. Sa

se afle rezistivitatea materialului.5. Calorimetrul contine 0,5 kg ulei cu ci'iIdura specifica 192 J/kg ·grad. Dupa

trecerea unui curent timp de 15 minute ~i 36 secunde sa se calculeze temperaturafinaBi, daca temperatura initiala era de 20°C.

(il~ Un circuit electric cuprinde un generator de t.e.m. E =4 V, cu rezistentainternt-- neglijabila, un ampermetru cu rezistenta interna neglijabila ~i doua rezis-toare R1 ~i R2 legate in paralel, R1 =2 Q ~i R2 =6 Q. Se cer:

1. Intensitatea curentului indicata de ampermetru.2. Intensitatile 11 ~i 12 ale curentilor prin rezistentele R1 ~i R2•

3. Tensiunea la bornele generatorului.4. Rezistentele R1 ~i R2 variaza astfel incit suma lor ramine constanta ~i egaH~

cu r. Intensitatea curentului indicat de ampermetru trece printr-o valoare minima.Sa se afle curentul minim in functie de 1'.

5. Considerind ca valoarea minima a curentului este 1m=2 A sa se afle T.~r-:::/__ / 3.1.41. ensiunea la bornele unei lampi electrice variaza intre 110 V ~i 130 ~T,

---"'rezistenta sa raminind constanta. Puterea lampii este 60 W la tensiunea de 120 V,Sa se calculeze rezistenta lampii ~i curentul care trece prin ea cind se aWi sub 0 ten-siune de 120 V. 0 instalatie cuprinde 50 astfel de lampi montate in paralel. Legaturileintre lampi au rezistente neglijabile. Instalatia este alimentata de un generator avindtensiunea la borne 130 V. Sa se calculeze rezistenta firelor de legatura intre instala~ie~i generator, daca tensiunea la bornele insfa1atiei este 110 V. Sa se calculeze intensi-tatea curentului In fire.

In paralel cu lampile se introduce un motor avind rezistenta de 1Q ~i putereade 1425 W. Se sting un numar de lampi asHel incit tensiunea la bornele motoruluisa fie 110 V. Sa se gaseasca valoarea curentului prin motor ~i a t.c.e.m.

Aleg!ndu.se curentul cel mai mic de la punctul precedent, cite lampi trebuiestinse I!entru ca tensiunea la bornele instalatiei sa fie cel putin 110 V ?

(': -"'''',?~42. P baterie de acuml~latoare se a!Ui in paralel cu ?~ generator de c.urent

contmuu·.-T.e.m; a generatorulUl este E1 =110 V, lar a batenel E2 =100 V, rezlsten-tele lor interioare fiind 1'1=1'2 =5 n. Evident ca bateria de acumulatoare se poateincarca sau poate debita in generatorul de curent continuu.

Sa se determine care din aceste cazuri va avea loc cind rezistenta in retea esteTs=IC!-0Q:.

I 3.1.43./0 baterie are t.e.m. de 32 V, iar hornele ei se unesc printr-un conductorcu diamefrul de 0,5 mm ~i lungimea de 3 m. In conductor se produce 0 cadere de po~tential de 30 V ~i se consuma 0 putere de 6 W. Se cere:

1. Rezisten ta interioara a bateriei.2. Timpul necesar pentru a trece prin circuit 360 C.3. Diametrul pe care ar trebui sa-l aiba conductorul pentru ca diferenta de po~

tential intre capetele lui sa fie 16 V.4. Raportul dintre energia dezvoltata in conductor in acest caz ~i energia cores~

punzatoare din primul caz.-,/-t,---/~~

'Ir-~V~_/ 3.1.44. \0 cade re de apa avind h =20 m inaltime are un debit de 2,5 mS/s. Ca~---derea de apa actioneaza 0 turbina al carui randament este Y)1 =80% iar aceasta un

dinam avind randamentul Y)2 =95%. Curentul debitat de dinam este folosit ~i trans-mis la distanta de 10 km. Tensiunea la bornele dinamului este U b = 10 kV. Sa se cal~culeze:

1. Puterea disponibila la bornele dinamului.

2. Intensitatea curentului.3. Sectiunea firului de Cu necesar pentru a transmite curentul daca 10% din

puterea disponibila a dinamului se pierde prin efect Joule (Pm =0,017 a ·mm2Jm).4. Masa de Cu necesara pentru confectionarea firului.

3.1.45. Un circuit serie este format dintr-o rezistenta R1 =10 a ~i 0 bobina deinductanta L =3j201t H ~i de rezistenta necunoscuta ; el este conectat la 0 tensiunealternativa U = 100 V. Cunoscind frecventa curentului v =50 Hz ~i caderea de ten-siune pe rezistenta R1, anume U1 =40 V, sa se calculeze :

1. Intensitatea curentului din circui t.2. Rezistenta bobinei ~i caderea de tensiune de pe bobinao3. Puterea activa absorbita de bobina ~i puterea activa a sursei.40 Capacitatea ce trebuie introdusa in serie pentru ca intensitatea curentului

din circuit Sa fie maxima ~i sa se afle diferenta de potential la extremitatile bobinei,in aceste conditii noi. .

3.1.46. Un generator de curent continuu eu alimentare shunt are Tezistentarotorului Rrot =0,2 .0, tensiunea la borne 110 V, rezistenta inductorului Ri =55 a,jar intensitatea curentului din rotor, frot =30 A. Sa se caleuleze :

1. Toe.m. a generatorului ~i intensitatea curentului in circuitul exterior.2. Randamentul generatorului.3. Curentul din circuitul exterior trece printr-o rezistenta montata intr-un calo-

rimetru cu petrol eu ealdura specifica C=2132 Jjkg ·grad. Care este lungimea firuluirezistentei daca rezistivitatea este p=17 .10-9 a m ~i daca sectiunea este de 4 mm2

iar rezistenta R = 10 a. Ce cantitate de petrol se poate incilJzi cu 10°C in timp de10 minute?

4. Masa de gheata la O°Cee se poate vaporiza cu cantitatea de caldura obtinutala punctul 3.

3.1.47. Un circuit paralel de eurent alternativ este format din infa~urarile unuielectromagnet legate in serie cu 0 bara conductoare de lungime 4 cm, suspendataprintr-un resort in intrefierul electromagnetului, 0 cutie cu capacitate introdusa incircuit drept condensator variabil ~i 0 rezistenta fixa R =316 .0 (fig. 3.5). Circuituleste alimentat de un generator adaptat pentru a debita in circuitul exterior curentide freevente variabile ~i intensitate efectiva constanta 1=0,3 A.

La inchiderea circuitului, bara conductoare situatii in intregime in intrefier, inpozitia orizontala, perpendicular pe liniiIe de cimp magnetic - intra in oseilatie.Variind concomitent frecventa generatorului ~i capacitatea introdusa in circuit cu

ajutorul cutiei de capacitati, astfel incit in-tensitatea efectivii prin infa~urarea electro-magnetului sa pastreze 0 valoare constantafL =0,3 A, se observa atingerea starii de rezo-nanta de catre oscilatiile mecanice ale bareiatunci cind C=C1 =150 !J.F,frecventa avind 0valoare fo' Mentinind apoi neschimbata frec-venta fo a generatorului, se constata ca pen-tru C=C2=100!J.F intensitatea curentului prinrezistenta R atinge 0 valoare maxima. Sa sedetermine:

1. Relatia dintre capacitatea C a conden-satorului ~i frecventa f a generatorului, astfelincit 1=h.

2. Inductanta totala a infa~urarilor eIec-tromagnetului.

3. Frecventa fo'4. Tensiunea efectiva Ia bornele generatorului, Ia frecventa fo'5. Constanta de elasticitate k a resortului.6. Permeabilitatea magnetidi relativa a miezului, ~tiind ca fiecare infa~urare a

electromagnetului consta din N = 103 spire, bobinate uniform pe 0 Iungime l =0,1 min jurul miezului magnetic de sectiune S =4 '10-3 m2•

7. Deplasarea centrului osciIatiiIor barei in regim de rezonanta de la pozitia derepaus a barei.

Se neglijeaza rezistenta infa~urarilor electromagnetului.

3.1.48. Intre doua borne A ~i B se stabile~te 0 diferenta de potential sinusoidalade valoare Ve =20 V ~i frecventa v =50 Hz.Bornele A ~i B sint unite printr-un circuitcare are in serie 0 bobina, un mic electromagnet E ;;i 0 rezistenta neillductiva 1'=5Q.

1. ElectromagnetuI poate sa atraga 0 coarda de fier PQ de Iungime 1 m C~l masaspecifica fL'=7,7 g/cm2, sectiune circulara cu diametrul 0,5 mm. Care trebuie sa fietensiunea in coarda pentru ca aceasta sa vibreze cu amplitudinea maxima?

2. Rezistenta l' se cufunda intr-un calorimetru. Care este intensitatea eficace acurentului daca se degaj a 5 270 calorii intr-un sfert de ora?

3. In timpul trecerii curentului se masoara diferenta de potential eficace Vi labornele Iui r, V2 la bornele bobinei ; se obtine Vi = V2• Sa se determine de£azajuI in-tre curentul i ~i diferenta de potential VAB. De unde provine acest defazaj ?

4. Care este valoarea instantanee a curentului i ;;tiind ca VAB = Vo sin c.u t.5. Care este puterea debitata in circuit?

3.1.49. Un alternator de frecventa v =50 Hz are rezistenta Ra =0,3 0, ~i illduc-tanta La = 12 mHo EI alimenteaza doua circuite in paraleI : primuI circuit contine 0bobina cu inductanta Li =200 mH ~i rezistenta R1 =3 Q; al doilea circuit contineun voltametru (cu CuS04) cu rezistenta R2 =5 Q. Printr-un procedeu convenabiI semasoara masa m =0,066 mg cupru depusa intr-o semiperioada la catod (A =63,6).

1. Sa se calculeze intensitatea medie <12> ~i intensitatea (12)max a curentului'din al doilea circuit.

2. Sa se serie expresia valorii instantanee a tensiunii la bornele alternatorului.3. Sa se calculeze intensitatea maxima a eurentului (Il)max in cireuituI unu.4. Sa se earacterizeze curentuI debitat de alternator.

3.1.50. Fie un generator de tensiune alternativa e =em sin c.u t ~i rezistenta inte-rioara, pur ohmica, 1'. Se monteaza la bornele generatorului 0 rezistenta pur ohmica R,variabiliL

1. Sa se exprime in functie de Ctn, l' ~i R, puterea Pi disipata in R. Sa se afle pu-terea maxima Pim ~i valoarea eorespunzatoare R. Aplicatie numerica Ctn = 120 V,1'=5 Q, v=50 Hz.

2. Se monteaza in serie cu R un condensator fix C. Sa se exprime in functie deem, 1', R, C puterea disipata in R in acest caz. Sa se arate ca P 2 <Pi indiferent de va-loarea Iui R. Sa se calculeze putere9 maxima P2m ~i rezistenta R corespunzatoare.Aplicatie numerica: em,=120 V, 1'=:) Q, v=50 Hz, C=lO fLF.

3. Care este valoarea inductantei L care pusa in serie cu rezistenta R ~i capaci-tatea C ar anula efectuI capacitatii?

( 3.1.51. Obara conductoare aluneca fara frecare pe un sistem de doua drepte OA~i()B normale intre ele. Bara este perpendiculara pe bisectoarea unghiului format dedrepte ~ise mi~ca in IunguI bisectoarei cu 0 viteza v =0,1 m/s raminind paraleIa Cllea insa~i. Asupra sistemului actioneaza un cimp de inductie magnetica B =200 T ~~care face un unghi e =300 cu planul determinat rle dreptele OA ~i OB. Sa se calculeze ::

1. Dependenta fluxului magnetic care strabate suprafata AB in functie de de-plasarea x in lungul bisectoarei.

2. Rezistenta circuitului AOB clnd bara se afla la distanta x=0,20 m fata depunctul 0, ~tiind ca pbara =0,1 Q mm2jm ~i sectiunea ei este Sb =2 mm2, iar rezistentacelor doi suporti OA ~i OB este de 100 ori mai mare ca rezistenta barei.

3. Intensitatea curentuhi in tot circuitul.4. Diferenta de potentia! la capetele unde bara AB intretaie drepteIe OA ~i OB,

pentru distanta x=0,2 m.:5. Forta la care este sup usa bara A B in timpuI deplasarii la x =0,2 m.

3.1.52. Un electron eu viteza v=107 mjs patrunde perpendicular pe liniile deeimp intre placile unui condensator, care are ca dielectric aerul. Condensatorul aresarcina Q =2.10-12 C, suprafata armaturilor S =20 cm2 iar latura armaturiil = 10 cm,paralela cu directia de mi~eare a electronului. Dupa ce parase~te condensatorul, elec-tronul patrunde intr-un clmp magnetic H =4500 Ajm. Viteza electronului este per-pendiculara pe directia liniiIor de clmp magnetic. Se cere sa se calculeze :

1. Acceleratia imprimata de clmpul electric electronului.2. Deviatia II a traiectoriei electronului intre placile eondensatorului.3. Viteza VI eu care parase~te eleetronul condensatoruI.4. Raza cercului parcurs in cimp magnetic.

3.1.53. Rotorul unui alternator are 4 perechi de poli ~i se rote~te cu 0 vitezaunghiuIara corespunzatoare a n ture pe secunda. Se monteaza in serie cu indusul unampermetru; 0 bobina de inductie L=0,198 H ~i un condensator de capacitate C==20 fl.F. Rezistenta ohmica a circuituIui este R =10 Q. Se variaza simultan viteza un-ghiulara a rotorului ~i fluxul inductiei produs de fiecare pol astfel incit t.e.m. Eeficaee sa ramina constanta.

1. Cind rotoruI se rote~te cu viteza unghiulara n =10 turejsec. ampermetrul in-dica 0,67 A. Care este t.e.m. a alternatorului.

2. Cind se variaza n de la 10 la 30 turejsecunda, intensitatea eficace trece prin-tr-un maxim pentru valoarea no' Sa se calculeze aceasta valoare no ~i intensitateaeficace corespunzatoare 10,

3. Sa se caIcuIeze intensitatea eficace in cazul n = 30 ture/s.4. Ce valori va capata n pentru ca intensitatea eficace sa se reduca la jumatate.5. Sa se construiasca curba 1=f(n).6. Sa se calculeze diferenta de potential eficace Ia hornele condensatorului cin

eI este strabatut de un curent de intensitate eficace maxima.

fUr'filL- ...3.J,.54:-'Primarul unui transformator este alimentat de un alternator de tensiun, reglabila ~i frecventa constanta v =50 Hz. CircuituI secundaI' este format dintr

rezistenta neinductiva R=lO Q ~i 0 bobina de rezistenta neglijabiIa ~iinductanta L==15,92'mH. Numarul de spire al primarului este n1 =2250 iar al secundaruIui n2 =45.

1. Se neglijeaza rezistenta infa~urarilor transformatorului. Se aplica tensiuneaU1=2500 V la bornele primarului. Sa se caIcuIeze intensitatea eficace ~iinstantane<>in circuituI secundaI' ~i in derivatiile sale, defazajuI in raport cu tensiunea la borne '"secundaruIui ~i puterea totaIa consumatii, in urmitoarele cazuri:

a) rezistenta ~i bobina sint montate in serie.b) rezistenta ~i bobina sint montate in paraIeI.c) bobina este montata intre 0 extremitate a rezistentei ~l Inijlocul ei.2. a) Care este numaruI de spire al bobinei clnd sectiunea medie este S =~O cm-.

~J Iungimea sa [0 =40 cm.b) Care trebuie sa fie sectiunea transformatoruIui pen tru ca inductia magneti-';

.eficace sa nu depa~easca vaIoarea B = 1 T?

3. Rezistenta si bobina sint montate in serie. Sa se calculeze tensiunea aplicatarra bornele primaruiui pentru ca la bornele secundarului tensiunea sa fie U 2 =50 V,in urmatoarele cazuri:

a) Infa~urarea secundarului are 0 rezistenta ohmica r =0,2 Q.b) Infa~urarea secundarului are ~i 0 inductanta l =2 mHoSe considera tot timpul n111=n212 (Il ~i 12intensitatile curentilor din primal'

:~i, respectiv, secundar).3.1.55. Un condensator cu capacitatea C =2fLF este legat in serie cu 0 rezis-

tenta activa R=100Q. Aplicind 0 tensiune alternativa de 2 KV la bornele A ~iB cu 0 frecventa r =50 Hz.

Sa se calculeze:1. Reactanta capacitiva.2. Impedanta circuitului.3. Tensiunea la bornele rezistentei active.4. Tensiunea la bornele condensatorului.5. Factorul de putere, puterea activa ~i puterea reactiva.

3.1.56. Un circuit electric este alimentat de la reteaua de curent alternativ de120 V ~i 50 Hz fiind format dintr-un condensator C, 0 bobina L ~i 0 rezistentaQhmica R montata ca in figura 3.6. Reactan~a bobinei este de 10 Q, rezistentabobinei fiind practic neglijabila. Cu ajuto-rul comutatorului K stabilind legatura cir-euitului cu rezistenta R se constata cre~tereacurentului total absorbit de Ia rete a de 1,67Qri fa ta de cel initial. Facind legatura Cll

condensatorul C, se constata mic~orarea curen-tului absorbit de la retea de doua ori fata{)e cel initial.

Se cere:1. Marimea rezistentei R.2. Capacitatea condensatorului C.3. Curentul absorbit de rezistenta R.4. Curentul absorbit de condensatorul C.5. Factorul de putere cind circuitul este

format doar din a) bobina, b) bobin5. ~i rezis-tenta, c) bobina ~i condensator.

3.1.57. Un dinam cu excitatie serie are indusul cu rezistenta electrica Rr==1,5 Q, raza r=10 em ~i lungimea l =25 cm; pe el sint infa~urate N =90 spire.

IndusuI se rote~te cu n =600 rotatiijminut in cimpul magnetic aI inductorului.Rezisten~a inductorului este Ri =0,5 Q; induc~ia magnetica are valoarea B =3 T.Sa se calculeze:

1. T.e.m. produsa de dinam.2. CurentuI ~i tensiunea de utilizare daca dinamuI alimenteaza un circuit ex-

terior cu rezistenta Re=16 Q.

3. Numarul de becuri cu rezistenta R =240 Q fiecare, montate in derivatiepe care poate sa Ie alimenteze dinamuI.

4. Puterea unui bec.5. Randamentul electric al dinamului.

3.1.58. Un conductor rectiliniu AB, de lungime l=O,~ m ~i 0 sursa electricade t.e.m. E =0,5 V ~i rezistenta intern a rL =0,005 Q sint conectate prin doi con-ductori MN ~i PQ de rezistente neplijabile. Datoritii faptului cii acest conductor

M'--- BI~N! II y y " P'9'" I ,t[

x /~ t I "/.

~=============*=o

se afla intr-un dmp magnetic uniform deinductie B=1,4 T (vezi figura 3.7), con-ductorul se deplaseaza perpendicular pedirectia fluxului de inductie magnetic acu viteza v =0,5 m/s. Se cer:

1. T.e.m. indusa in conductorul AB.2. Curentul in circuitul inchis MPAB

~tiind ca rezistenta conductorului ABeste r =0,005 Q.

3. Forta mecanica sub influenta careiase produce mi~carea conductorului.

4. BiIantul puterilor.

5. Randamentul transformarii energiei electrice in energie mecanica.

3.1.59. Sa se calculeze curentii ~i puteriIe, in circuitul paralel de curent alter-nativ (fig. 3.8) la frecventa r=420 Hz, dad! primul brat contine rezistenta R ==200 D, al doilea brat- bobina cu inductanta L=50 mH ~irezistenta RL=15 Q.iar aI treilea brat - capacitatea C=0,5 fJ.F. Sa se construiasca diagrama vectorialaU =100 V.

~

"_J_

rI I

I

~

IRL I "-'

-c fR -r

I~R'

I

I L

I

Fig. 3.8 Fig. 3.9

3.1.60. Circuitului din figura (3.9) i se apIica tensiunea U =60 V. Elementelecomponente au urmatoarele valori R1 =8 D, XL =6 D, R2 =3 D, Xc =4 D.Sa se determine curentul din fiecare ramura, curentul total precum ~i puteriIeactiva ~i reactiva.

3.1.61. 0 bobina mica L1 are 0 inductanta L=l mH ~i un numar N=500spire cu 0 suprafata de 10 cm2, cu 0 rezistenta ohmica de 50 D.

1. Care este rezistivitatea p a bobinajului, diametrul sirmei de bobinaj fiindde 1 mm?

2. Care trebuie sa fie frecventa unui curent alternativ pentru ca rezistentabobinei strabatute de acest curent alternativ Sa devina de 4 ori mai mare?

3. Initial bobina este astfeI a~ezata incit axul ei sa fie orizontal, planul spirelorsale fiind perpendicular pe planul meridianului magnetic. ~tiind ca componentaorizontala a cimpului magnetic terestru este Bt =2.1O-5T, care este variatia fluxululmagnetic cind bobina se rote~te cu 1800 in jurul unui ax vertical care trece princentruI sau. Care este cantitatea de electricitate care apare in bobina L1 ?

4. Un dmp de inductie B2 =4 .10-3 T paralel cu axa bobinei L1 este creatde 0 alta bobina mult mai mare decit L2 a~ezata coaxial cu L1• Curentul I din

L2 este variat uniform in timp cu ajutorul unui reostat, pina scade la zero intr-untimp de 0,2 s. Care este in acest caz t.e.m. indusa in L1 ?

3.1.62. Se alimenteaza un receptor cu rezistenta R ;;i reactanta X la 0 reteaeu tensiunea V = 120 V ;;i frecventa r =50 Hz. Prin receptor trece un curent de5 A absorbind puterea activa P =480 W.

~tiind ca receptorul are numai inductanta sa se determine factorul de putere,rezistenta, reactanta ;;i inductanta sa.

3.1.63. Se da un circuit de curent alternativ format dintr-o capacitate de 20 fLF~i 0 bobina cu rezistenta de 10 £1 ;;i inductanta de 0,3 H. Se aplica circuituluio diferen ta de potential alternativ, a carei valoare eficace este Vet = 100 V ;;i frec-venta 50 Hz. Se cere:

1. Sa se calculeze valoarea eficace ;;i faza curcntului obtinut aplidnd diferentade potential succesiv.

a) la bornele condensatorului.b) la bornele bobinei.c) ansamblului condensator - hobina a;;ezate in pm'alel.d) ansamblului condensator - bobina a;;ezate in serie.

in acest caz sa se calculeze ;;i valoarea eficace a tensiunii la bornele condensato-mlui ;;i ale bobinei.

2. Pentru a realiza bobina cu inductanta de 0,3 H s-a folosit 0 infa;;urarepe un inel format din tole de fie I' cu fLr =2000. Diametrul interior al inelului este.30 cm, iar cel exterior 40 cm. Cite spire sint necesare pentru a obtine aceastainductanta.

3.1.64. 0 bobina cu diametrul d ;;i de lungime l, formata din N spire, se poateroti, cu viteza unghiulara cu, in jurul unui ax ce trece prin centrul sau, normalpe generatoare. Capetele firului sint fixate la doua inele izolate, situate pe ax,pe care se sprijina periutele. Bobina se rote;;te intr-un dmp magnetic creat de unelectromagnet, a carui inductie este B, liniile de dmp fiind norma Ie pe axul derota tie. Sa se calculeze:

1. a) t.e.m. de inductie,b) defazajul intre curent ;;i tensiune,c) impedanta circuitului,d) intensitatea eficace a curentului indus.Circuitul are rezistenta R.2. Capacitatea care trebuie introdusa in circuit pentru a obtine fenomenul de

Ifezonanta ;;i valoarea maxima pe care 0 poate atinge intensitatea eficace.3. Energia medie intr-o perioada pentru cazul de maxim de la punctul 2.

3.1.65. Intre doua borne A ;;i B, este mentinuta 0 tensiune sinusoidala de50 Hz, avind valoarea eficace de 110 V; se considera doua bobine cu caracteris-ticile R1 =7 £1, L1 =0,03 H, R2 =25 0, L2 =0,4 H. Dad cele doua bobine sintmontate in paralel intre A ;;i B, sa se calculeze :

1. Intensitatea curentului in fiecare bobina.2. Unghiurile de defazaj ale acestor curenti fata de tensiunea aplicata intre

punctele A ;;i B.3. Tensiunea eficace la bornele fiecarei bobine ;;i puterea consumata in fieca re

Dobina daca acestea ar fi inseriate.4. Puterea consumata in fiecare bobina daca intre A ;;i B se monteaza infa-

I;lurarea primara de 300 spire a unui transformator. Bobinele de mai sus sint montatein serie la bornele infa;;urarii secundare care are 7 500 spire.

3.1.66. Dintr-un fir de Ni-Cr de lungime I trebuie sa se confectioneze n rezis-tente identice pentru radiatoare astfel ca ele sa aiba puterea absorbita totaUi maxima.Se folosqte 0 sursa de curent cu t.e.m. E ~i rezistenta interioara r. Sa se afIe nu-roarul n de rezistente care se pot forma in conditiile date.

3.1.67. 0 bobina cu diametrul D =0,20 m si cu 0 infasurare din Cu cu Iun-!limea I =20 m, avind 0 suprafa~a transversala de 2 .10-0 ~2 se rote~te cu vitezaunghiulara constanta Ul=2" 10 S-l. Cu ajutoruI unoI' contacte mobile bobina se poatecupIa Ia un galvanometru baIistic. Actionarea brusca a bobinei determina 0 deviere aacului galvanometruIui cu 4,2 divizillni. Ce valoare are diviziunea galvanometruIui ?

3.1.68. Pentru masurarea rezisten~elor mici se folose~te puntea dubla Thomson(fig. 3.10). Sa se deduca condi~iile de echilibru ale pun tii daca rezistentele rl' 1'2>

R1, R2 sint astfeI alese incit r1R2 =r2R1•

3.1.69. Indicatia aparatelor de l11asura din sistel11uI prezentat In fig. 3.11 estedirect proportionala cu curentul care trecc prin ele, adica I =Kin, Ki - valoareadiviziunii pentru curent. Sa se afle Ki daca Ia inchiderea circuitului in prezentarezistentei R1 acul galvanol11etrului se deplaseaza n1 diviziuni, iar daca rezistentaR1 este scoasa, acuI galvanometrului deviaza Cll n2 divi:7.iuni.

3.1. 70. Doua contururi confectionate din conductori identici, avind formepatrate cu dimensiunile a ~i 2a, situate paraleI unul fata de altul se gasesc intr-uilcimp magnetic. Directia cimpului formeaza cu normala la suprafata contururiIorunghiuI a # ,./2. Inductia cimpului magnetic cre~te proportional cu patratuI timpului.Care este raportuI cantitatiIor de calaura degajate de cont.ururi in intervaluI de timpde Ia zero Ia t?

3.1. 71. Intr-un contur circular cu raza r = 1 m ,<;ituat intr-un cimp magneticvariabiI in timp se induce 0 t.e.m.

€i =kt (k =,. Vis). UnghiuI intre normala la s\lprafata conturului ~i vectoru}ind uctiei magnetice este ,,/3.

Sa se determine dependenta B =f(t) daca Bt=o =0.

3.1. 72. Pentru masurarea inductiei cimpului creat de 0 anumita substantase folose~te schema din fig. 3.12.

Reostatul R este astfeI reglat Incit t.e.m. de inductie care apare in Infa~urareasecundara a soIenoiduIui S Ia decuplarea infa~Ularii principale sa compenseze t.e.m.care apare in infa~urarea secundara a toruIui cind el este gol. Dupa umplerea toruJuicu substanta de studiat acuI galvanometrulni se deplaseaza cu a=35 diviziuni.

Sa se afle inductia cimpului magnetic cre-at de substanta, B1, dacii suprafata sec~iu-nii transversale a bobinei secundare a toruluieste 5 =14 .10-2 m2, rezistenta interna agalva-nometrului, R = 120 Q ~i constanta galva-nometrului 0:0 = 1,2 .10-5 C/diviziune.

3.1. 73. In interiorul unui solenoid cu lun-gimea l =0,5 m ~i numarul de spire 11=300,aflat in aer, se gasqte un inel metalic careocupa 0 suprafata 5=5 ·10-4m2. Rezistentacercului este R =0,02 Q. Suprafata cerculuieste perpendiculara pe axa solenoidului. Curentul in solenoid variaza dupa legeaI =k· t, unde k = 1 A/s. Cum VOl' £i indreptate fortele care actioneaza asupra ine-lului ? Cu ce va fi egala for~a care actioneazii pe unitatea de lungime a cerculuidupa 5 secunde de la inchiderea cirCllitului?

I Rr

~-~c5J~~~

3.1.74. Un inel metalic care acapera 0 suprafata 5=10'10-4 m2 este situatintr-un solcnoid lung care are un numar de spire pe unitatea de lungime no =500spire/m. Suprafa~a inelului este perpendiculara pe axa solenoidului. Prin solenoidtrece Ull curent care variaza dupa legea 1=10- kt unde 10=10 A iar k=O,l A/s.Ce valoare are for~a care actioneaza asupra unitatii de lungime a inelului din parteacimpului magnetic dupa 0 secunda de la inchiderea circuitului, daca rezistenta ine-lului este R=10-3 Q?

3.1. 75. 0 rama patrata cu latura a =0,30 m se rote~te uniform cu viteza Ull-ghiulara w =62,8 S-1 intr-un cimp magnetic omogen care variaza sinusoidal cupulsatia w' =31,4 S-1 ~i estc perpendicular pe axa de rotatie a cadrului. La momentulinitial B =Bo=10-3 T iar suprafata ramci este paralcla cu B. Sa se afle t.e.m.de inductie in rama dupa 10 s de la inceputul rotirii.

3.1. 76. 0 rama p atraUi cu latura a = 1 m se mi~ca cu 0 viteza constanta lJ

in directie perpendiculara pe un conductor liiliar infinit aflat pe suprafata rameiparalel cu una din laturile sale. Prin conductor trece un curent 1=10 A. La unanumit moment distanta de la conductor Ja cea mai apropiata latura a ramei estex = 1 m. Care ar trebui sa fie viteza v pentru ca la accst moment in rama sa seinduca 0 t.e.m. egala cu 10-4 V?

3.1. 77. Printr-un conductor rectiliniu illfinit de lung trece un curent II =3,14 A.o spira circulara este astfel dispusa incit suprafata sa este paralela cu conductorulrectiliniu iar perpendiculara dusa pe conductor din centrul spirei este normala ~ila suprafata spirei. Prin spira trece un curent 12=2A ; distanta dintre centrul spirei~i conductor este d =0,2 m, iar raza spirei 1'=0,3 m. Sa se afle inductia magneticain centrul spirei.

3.1. 78. Un conductor rcctiliniu infinit de lung prin care trece curentul II ~io spira circulara prin care trece curentul 12 sint dispuse ca in problema prece-denta. Distanta de la centrul spirei la conductorul liniar este egaHi eu raza spirei.Sa se afle curentul 12 care trebuie sa treaca prin spira pentru ca in centrul sauinductia magneticii sa fie indreptata sub un unghi 0: =T<:/3 fata de axa spirei cindprin conductorul liniar trece curentul II =3,14 A ?

3.1. 79. Folosind conditiile prob lemei ;:U .77 sa se afle inductia magnetica inpunctul 1\:1care imparte in doua parti egale pependiculara dusa din centrul spireipe conductorul liniar.

3.1.80. Curentul de autoinductie al unui solenoid trecind printr-un galvano-metru balistic provoaca 0 deviere a acului sau indicator cu 5 diviziuni; rezistentaohmica a solenoidului R1 =50 Q. Acela~i curent trece printr-un al doilea solenoidcu 0 rezistenta ohrnlca R2 =60 Q. Curentul de autoinductie produce 0 deplasarea acului galvanometrului cu 8 diviziuni. Sa se afle de cite ori inductanta celui de aldoiIea solenoid este mai mare decJt inductanta primului solenoid. Rezistenta galva-nometrului se neglijeaza.

3.1.81. Un conductor sub forma unui contur dreptunghiular prin care trececurentul II =3 A este situat in apropierea unui conductor rectiliniu de lungimeinfinita pm"alel cu laturile mici ale dreptunghiului. Conductorul liniar ~i cadrul drept-unghiular se afla in acela~i plan. Conturul are dimensiuniIe b Xc =0,4 X 0,2 m.Distanta de la conductorul rectiliniu p ina la latura cea mai apropiata a conturuluieste ((=0,05 m. Prin condudorul liniar trece curentul 12=10 A. Sa se determineforta cu care ac~ioneaza cimpul magnetic al conductorului liniar asupra conturului.

3.2.1. Trei condensatori se monteaza ca in reteaua din figura 3.13. Sa se calcu-leze :

1. Cantitatea de electricitate de pe armatura fiecarui condensator din retea uadin figura, un de C1 =2fLF, Cz =4fLF, ~i C3 =3[J.F, !?tiind ca potentialul punctului Aeste de 1200 V.

2. Potentialul punctului B.

"~ 3.2.2. Un fascicul ingust de electroni accelerati pina la 0 energie de 1600 eVtraverseaza un condensator plan pe la mijlocul distantei dintre placile acestuia(fig. 3.14). Care este tensiunea minima aplicata intre placile condensatorului astfelincit electronii sa atinga marginea uneia dintre placi. Lungimea placiIor b =2 cm,iar distanta dintre ele d = 1 cm.

3.2.3. Doua sfere dintre care una de volum 4,190 cm3 iar alta 28,260 cm3 sintelectrizate la feI. Distanta dintre centrele lor fiind de 12 cm, forta de respingereeste de 4.10-5 N. Dupa ce au fost conectate intre ele se a!?aza la aceea~i distan taca !?i prima data ~i se constata ca forta de respingere este de 6 .1O-5N. Sa se aflesarcinile initiale.

3.2.4. Patru condensatoare identice plane cu dielectric aer sint conectate inserie. Intensitatea cimpului electric in fiecare din ele este Ea = 3 .104 V/cm. Dis-tanta dintre placi este d =0,7 cm.

1. Care este tensiunea maxima pe care 0 suporta aceasta baterie de con den-satoare?

2. Care va fi aceasta tensiune maxima daca unul din condensatoare este in-locuit cu unul similar in care se utilizeaza ca dielectric sticla ?

Permitivitatea relativa a sticlei se considera sr=7 iar cimpul electric in acestdielectric se va lua Es =9 X 104 V/cm.

- '\ 3.2.5. Trei sarcini identice egale cu q=1,3 .10-4C sint dispuse in virfurile unui-ti:iunghi echilateral. Ce sarcina q1 trebuie a~ezata la intersectia medianelor acestuitriunghi, pentru ca forta rezultanta care actioneaza asupra fiecarei sarcini sa fieegala cu zero?

3.2.6. 0 particula de mas a m ~i sarcina q se dcplaseaza intr-un cimp electricuniform. Intensitatea cimpului variaza in timp dupa lege a E=Eo sin (wt+cp). VitezainitiaHi a particulei Vo este perpendiculara pe direqia cimpului electric. Sa se de-termine ecuatia traiectoriei particulei.

~ \ 3.2.7. In cimpul electrostatic al unei sarcini electrice Q =2 '10-4C, in aer, segase~te 0 sarcina electrica punctiforma q=10-6C, care este deplasata intre puncteleA ~j B situate la 0 distanta de 50 cm nnu1 cle altul. Intensitatea cimpului electro-static in A fiind de 1,8'106 Vim, iar in B de 103 Vim, sa se afle:

1. Potentialul electric in punctul A. ~i B.2. Lucrnl mecanic efectuat de sarcina electrica Q pentru a deplasa sarcina

electrica punctiforma q intre punctele A ~i B .

.;- 3.2.8. Un condensator plan cu pHiciIc a~ezate orizontal se afla in vid; dis-tanta dintre placi d =0,01 m. Pe placa inferioara se afla 0 particula cu masa m ==10-10 kg care se incarca cu sarcina electrica. Pe placile condensatornlui se aplicao diferenta de potential U =2 000 V. Prin aceasta incarcare a condensatorului, par-ticula se va deplasa in sus. Sa se determine sarcina particulei, daca ea ajunge laplaca superioara cu viteza v =0,2 m/s ~i sa se compare sarcina particulei cu sarcinaelementara .

•••..13.2.9. Un condensator plan este format din doua discuri egale, cu raza de

10 cm, a~ezate paralel, unul in fata celuilalt, la distanta de 1 mm unul de celalalt.Dielectricul dintre cele doua discuri cste 0 sticla cu permitivitatea relativa I::r =10.Sa se calculeze :

1. Capacitatea condensatorului.2. Cantitatea de electricitate cu care se incarca condensatorul daca intensitatea

cimpului electric in interiornl condensatorului este de 1 000 Vim.3. Valoarea sarcinii q daca doua cOl'puri punctiforme in vid, incarcate cu +q,

respectiv q situate Ia 2 cm unul de celi:i1alt, produc la _mijlocul distantei dintreele, un cimp electric de aceea~i intensitate (E =1000 Vim) ca la punctul precedent.

3.2.10. Un circuit este constituit dintr-un alternator cu tensiunea cfcctiva de70 V, 0 lampa electrica cu rezistenta de 1170 ~i dintr-un condensator de 10 flFin serie cu lampa. Sa se calculeze:

1. Impedanta circuitului.2. Factorul de putere.3. Tensiunea maxima la bornele condensatorului. Pulsatia curentului este

w =300 rad/s.

il 'I Z I 1/1'lz

3.2.11. Fire identice de sectiune A 9i rezisti-·vitate p se leaga intr-un dreptunghi ABCD ell

diagonala AB din acela;;i material (fill. 3.15). Sase gaseasca rezistentele electrice intre puncteleA ;;i B ;;i respectiv intre C ;;i D, daca AD == BC=a, AC=BD=b.

Fig. 3.Hi 3.2.12. 0 baterie de elemente este formatadin 4 ramuri legate in paralel, fiecare ramura

continind un numar 11 de elemente, fiecare element are t.e.m. de 6 V si rezis-tenta intern a de 0,2 Q. Bateria debiteaza. curent intr-un circuit fon~at dindoua reo state cu lampi legate in serie. Primul reostat are 10 lampi montate in paralel,fiecare lampa avind puterea de 100 W, ;;i tensiunea nominala de 100 V. Al do ileareostat are 10 lampi montate in paralel, fiecare lampa avind puterea de 200 W;;i tensiunea nominala de 100 V. Sa se calculeze:

1. Valoarea rezistentei suplimentare introdusa in circuit (se va indica 9i cumse monteaza) pentru ea lampile sa functiolleze la tensiunea lor normala.

2. Numarul de elemente pe 0 ramura a bateriei in aceasta situatie.

3.2.13. Sa se determine puterea disipata in unitatca de volum de un con-ductor cu lungimea l =0,2 m, daca la capetele lui se aplici:i 0 diferenta de poten-tial U =4 V. Rezistivitatea conductorului se considera p = 10-6 Q m.

') 3.2.14. Un dinam are tensiunea electromotoare E1 =100 V Se pune dinamufin legatura cu 0 baterie de acumuiatoare care are 0 tensiune electromotoare E' ==60 V ; dinamul furnizeaza in acest caz 0 putere de 400 wati. Rezistenta intreguluicircuit fiind R =2 Q, se cere:

1. Rezistenta dinamului.2. Intensitatea curentului in circuit. /

gj2.15J Un circu it serie este forma t dintr- un alternator, un brc cu rezisten taR1 = 0 Q ;;i 0 bobina cu rezistenta R2 ;;i inductanta proprie L necunoscute. Dife-rentele de potential masurate cu un voltmetru slnt respectiv : Ia extremitatile becuIuiUl=50V,laextremitatiIe bobinei U2=70 V, la bornele aiternatoruIui U=87 V; seeere:

1. lntensitatea curentului.2. Rezistenta R 91 indnctia proprie L a hobinei.3. Puterea absorbita de bec 9i bobina.4. Factorul de putere al circuitului.Frecventa curentului care trece prin circuit f=50 Hz.

~.2. @ intr-un caIorimetru care contine0,5 {g petrol se cufunda 0 rezistenta princare circula un curent de intensitate I = 2 Aprovenit de la bateria cu tensiunea electromo-toare E = 110 V si rezistenta electrica interioarar ~5 Q. in circuit se mai a'na un bec electric, unampermetru ;;i un voltmetru dispuse ca in figura3.16. Stiind ca tensiunea la bornele rezisten teiR1 est~ 20 V ;;i ca 80% din dildura dezvolta'tain rezistenta prin trecerea curentului timp de5 minute este folosita pentru incalzirea petrolu-lui cu b.6 =9, 1°C, sa se calculeze:

~1. Caldura specifica a petrolului.2. Rezistentele care trebuie introduse in circuit in cazul cind pentru masurarea

intensitatii dispunem de un ampermetru care masoara maximum 0,1 A ~i are rezis-tenta interioara 1'=100 n, iar pentru masurarea tensiunii avem un voltmetru Cll

rezistenta interioara I'v= 1000 n care masoara maximum 1 volt.3. Puterea absorbita de bec in cazul cind circuitul cuprinde rezistentele de la

punctul 2.

[3.2.!1) Doua kg de apa la temperatura to se inclilzesc in 20 minute cu ajutorulunui fierbiitor electric p ina la temperatura t1 =85°C.

Fierbatorul are 0 putere de 0,6 kw ~i este alimentat sub 0 tensiune de 120 Vcurent continuu.

Cind apa ajunge la temperatura t1 se scoate fierbatorul din priza ~i se introducein apa, gheata cu mas a m = 1500 grame avind temperatura if = - 20°C.

Dupa topirea ghetii, temperatura finala a amestecului devine t = 10°C.Cunoscincl ranclamentul fierbatorului 'f) =0,85 ~i neglij ind capacitatea calorica

a fierbatorului, se cere:~ 1. Curentul absorbit de fierbiitor.v2. Rezistenta electrica a fierbatorului.

3. Temperatura initiala a apei.4. Caldura de top ire a ghetii.

v' 5. Energia electrica consumata de fierbator.

3.2.18. !n reteaua electrica din fig. 3.17 secunosc:R1=R4=1 n; R2=R3=97n; e=2,5 V;1'i=0,5 n pentru fiecare element din cele douagrupari care con tin cite 4 elemente fiecare;

Caracteristicile condensatorului C; Sr =2,5;1'cl=10-4m; 5=200 cm2.

Sa se calcuIeze:1) Intensitatea curentului din circuit.2) Diferenta de potential UAB.

3) Capacitatea condensatorului plan ~i sar-cina electrica de pe armaturile sale. Fig. 3.17

--~ .

3.2. 19.'lUn conductor izolat de diametru 2.10-4 m ~i rezistivitate p=2 .10-8 n 'm,~ __hobinat sub forma unui solenoid de raza 1'=2 '10-2m ~i lungime l=0,2 m,

astfel incit pe 3 cm lungime de solenoid se gasesc 120 spire; la bornele sale se aplicao tensiune de 128 V. Sa se caIculeze :

1. Intensitatea curentului in solenoid.2. Intcnsitatea cimpului magnetic pe axul solenoidului ~i inductia magnetic a

in cazul cind in interiorul sau este aer sau se afIa un miez de fie I' cu fLr=200.3. Fluxul inductiei magnetice in solenoid in condinile pct. 2.4. Inductanta solenoidului.

b_

3.2.20. Un circuit oscilant este compus dintr-un condensator cu capacitatea0,025 fLF ~i 0 bobina cu ind uctia de 1,015 H. Condensatorul este incarcat cu can-titatea de electricitate egala cu 2,5 ·lO-6C.

1. Cum variaza tensiunea de la bornele condensatorului in timp? Care estepUlsatia de rezonanta a circuitului?

2. Sa se gaseasca valorile tensiunii la momentele T18, TI4 ~i TI2 secunde.

.f. 3.2.21. lntr-un cinuit elceteic " arIa 0 batedc de 15 .cumulatori.o rozi,ten"R1 =22 n, doua rezistente R2 = 12 n .;ii R3 = 10 n, legate in paralel, ;;i un solenoideu 1'ezistenta R4=3 n toate Inseriate. Sa se afle:

1. Intensitatea curentului electric 11' tensiunea electromotoare a unui acu-mulato1' fiind E =2,2 volti, iar rezistenta inte1'ioa1'a ri =0,05 n.

2. Intensitatea H a c1mpului magnetic pe axul solenoidului ;;tiind ca acestaare n =400 spire ;;i lungimea II =20 cm.

3. Fluxul magnetic «:D care strahate 0 spira, raza spirei fiind R =4 cm.4. Lungimea 12 a firului metalic din care este confectionata rezistenta R1, ;;tiind

ea sectiunea firullli este 5=1 mm2 ~i rezistivitatea p=0,49 n mm2/m.5. Ce cantitate de apa poate fi adusa de la temperatura 20°C la 30°C, folosind

ca inealzitor rezistenta R2? jDar c1ud se folose;;te rezistenta R3 ?

-It 3.2.22. Se fac dOlla lnfa~urari ca In figura 3.18 in jurul}ll\ui inel suhtire de fie l' cu raza R = 10 cm. Prima Infa-;;urare are 2 000 de spire, iar cea de a doua 1 000 spire.Sa se afle intensitatea c1mpului magnetic In centrulinelului dadi curentul care trece prin cele doua inHi;;u-rari are intensitatea 1=10 A.

-1<.. j(j.2.2~/Cu 16 elemente identicC', de tensiune electro-motoare e~1,5 V ;;i rezistenta interioara 1'=0,5 n, se for-meaza p ramuri, fiecare avind n elemente in serie. Gene-ratorul astfel oh~inut alimenteaza un conductor de dia-metru 0,8 mm ;;i rezistenta R =2 Q. Srl se determine:

1. Ce valori trehuie sa aiba n ~i p pentru ca InFig. 3.18 circuitul exterior curentul sa aiba intensitatea maxima.

2. Valoarea intensitatii maxime.3. Puterea cOl1sumata In circuitul exterior ;;i puterea fiecarui element.4. Lungimea conductorului, daca rezistivitatea materialului este de 0,35 n m.

3.2.24. Un generator format din 16 elemente identice fiecare de tensiune eIectro-motoare e=1,5 V ;;i rezistenta interioara 1'=0,5 n, legate In serie, alimenteaza unsolenoid de rezistenFi R =2n:;;i un voltametru cu apa. acidulata ;;i cu 0 tensiune depolarizare e' =1,5 V ;;i rezistenta 1" =5 n legate in paraleI. Solenoidul are 0,1 spire pecentimetru, axa lui fiind in planul meridianului magnetic terestru. In centrul sole-noidului este plasat un mic ac magnetic mobil In jurul unei axe verticale treclndprin eentrul sau de greutate. Sa se determine:

1. Intensitatea curentului in voltametru.2. Volumul de hidrogen, masurat In conditii norma Ie, degajat Intr-un minut

in voltametru.3. Unghiul format de axa acului magnetic clnd prin hobina trece curent electric

;;i de axa acului magnetic c1nd prin bohina nu trece curent electric. Clnd prin hobinanu circula curent electric acul magnetic se Inclina cu unghiul rx=it/3 fata de orizon-tala. Componenta orizontala a c1mpului magnetic terestru este Ho =16 A/m.

3.2.25. $aizeci de acumulatoare aVlnd fiecare 0 t.e.m. e=2 V ;;i 0 rezistenta inte-rioara 1'=0,01 n slnt grupate In serie.

Bornele A :;;iBale hateriei de acumulatoare sint legate la doua borne fixe C :;;iD.Ansamblul de conductori A C ;;i BD au impreuna 0 rezistenta R =6,9 n.

1. Bornele C ;;i D se unesc printr-o rezistenta R' =2,5 n. Ce intensitate 1 trecep1'in circuit? Sa se afle diferenta de potential de la bornele A ;;i B.

2. Se inlocuie~te rezistenta R' printr-un motor electric. Acest motor are 0 rezis-tenta de valoare R" =0,5 Q i;'i functioneaza astfel incit intensitatea din circuit areaceea~i valoare determinata la punctul precedent. Sa se determine tensiunea contra-electromotoare a motorului si randamentul electric.

3. Cit va fi intensitatea 'din circuit daca motorul este blocat (impiedicat sa seroteasca) ?

4. Care trebuie sa fie intensitatea l' debitata de aceasta baterie de acumulatoarepentru ca puterea in circuitul exterior intre punctele C 9i D sa fie maxima?

Ce valoare are rezistenta exterioara aplicata intre C ~i D in acest caz~?

3.2.26. Circuitul oscilant al UlllLi post de emisie este format dintr-un condensa-tor care incarcat la 0 baterie de 120 V acumuleaza 0 sarcina de 1,2.10-7 C 9i 0 bobinacu sectiunea 5=10 cm2, lungimea l=31,4 em 9i numarul de spire N=100. Circuitulpostului de receptie are un condensator cu aer cu distan~a dintre placi d1 =1 mm ~io bobina, care la trecerea unui curent II =0,1 A produce un flux de inductic magnetica<1\=4 '1O-3Wb. Se cere sa se calculeze :

1. Frecventa ~i lungimea de unda a postului emitator.2. Valoarea capacitatii postului de receptie cind este acordat cu eel de emlSle.3. Suprafata 51 a placilor condensatorului postului de receptie la rezonanta cu

p "stul emitator.

/.J.- 3.2.27.- 0 bobina cu miez de fier este confectionata dintr-un fir de cupru bobinatlspira linga spira intr-un singur strat. Ea se conecteaza pe rind la 0 tensiune con-

tinua ~i alterna tiva de 110 V 9i respectiv frecvcnra de 50 Hz. Se cere sa se calculeze :1. Intcnsitatea 11 care strabate bobina in curent continuu.

2. Intensitatea 12 care strabate bobina in curent alternativ.3. Valoarea capacitatii condensatorului ce trebuie legal in serie cu bobina, in cu-

rent alternativ, pentru ca prin circuit sa treaca un curent egal cu eel ce strabate bobinain curent continuu la aceea9i tensiune.

Se dau : numarul de spire N =500, lungimea bobinei l = 10 em, diametrul bobinei

;Ed=2 em, permeabilitatea magnetica relativa a fierului F.r=800.

. 3.2:28~D spira cu raza R = 10 em se rote~te cu turatia constanta n =600 rot/min,.in tr-urrcimp de inductie magnetica uniforma B =2000 Gs, perpendicular pe diametrulin jurul caruia are loc rotatia. Sa se determine:

1. Valoarea fortei electromotoare maxi me induse.2. Defazajul dintre t.e.m. indusa ~i flux.3. Frecventa I) a t.e.m. induse.

3.2.29. Intr-un circuit de curent alternativ sint montate in serie 0 bobina L, 0

rezistenta R 9i 2 condensatori legati in paralel intre ei 9i in serie cu R 9i L. Gcneratorulcu 6 perechi de poli are 0 tura~ie de 100 rot/min. Se cunoa9te capacitatea celor doicandensatori care este pentru fiecare de 0,1 F, valoarea rezistentei R=10Q 9i induc-tanta babinei L =0,4 H.Se cere sa se calculeze :

1. Impedan~a circuitului.2. Defazajul dintre intensitatea curentului 9i tensiunea la bornele circuitului.3. Perioada ~i frecventa de rezonanta ale circuitului.

2.1033.2.30. Un circuit serie, format dintr-un condensator de -- !J.F 9i 0 babina

IT

de rezistenta R =5 Q ~i inductan ta L = 20 10-3 H, este conectat la a te'nsiune alter-IT

nativa instantanee U =110 V2 sin 100 TIt. Babina care are 100 de spire serve~te caprimal' al unui transfarmator cu 25 spire in secundar. Se cere sa se calculeze :

1. Tensiunea efectiva ~i frecventa curentului alternativ.2. Tensiunea la bornele bobinei ~i cea de la bornele condensatorului.3. Defazajul dintre intensitatea curentului ~i tensiunea la bornele circuitului.4. Tensiunea la bornele secundarului transfonnatorului.5. Puterea activa ~i reactiva consumate in circuit.

3.2.31. Un circuit format dintr-un rezistor R = 103Q ~i 0 bobina cu miez de fie I'de diametru D =4 cm, aVllld un numar de spire N =400 ~i 0 lungime 1=40 cm, este co-nectat la 0 tensiune aiternativa cu frecventa v =50 Hz. Se cere:

1. Sa se calculeze permeabilitatea reJativa a fierului ~tiind ca defazajul intretensiunea la borne ~i intrnsitatea curentlllui este q:> =30° (se neglijeaza rezistenta bobi-nei).

2. Sa se calculeze factOI'll I de putere daca rezistenta bobinei are 0 valoareR =0,5.103 Q.

3.2.32. Un circuit serie format dintr-un rezistor R ~i 0 bohina f{tra rezistentade inductanta L=0, 1 H este conectat la 0 tensiune aiternativa. Intre tensiunea apli-cata ~i intensitatea curentului apare un defazaj q:> =30°, Se cere:

1. Sa se ca1cuJeze valoarea rezistorului R.2. Sa se calculrze valoarea acelei capacitati ce trebuie introdusa in serie pentru

a inlatura defazajul.Se cunoa~te 1'=50 Hz.

3.2.33. Doua conductoare rectilinii ~i paralele, foarte lungi, strabatute fiecarede un curent de 25 Ase ana, in vid, Ia distanta de 20 cm unul de altul. Se cere:

1. Sa se calculeze intensitatea dmpului magnetic in pUIlctele din acela~i plan cuconductoarele, situatela distantele r; =5 cm, r;' =10 cm, r;" =30 cm, fata de unllldin conductori.

2. Sa se calculeze intcnsitatea dmpului magnetic intr-un punct A situat la distantad.e 20 cm de fiecare conductor.

3.2.34. Opt elemente cu tensiuni electromotoare de 1,2 V ~i rezistellte interioarede 2'Q fiecare se leaga in doua ramuri paralele, in fiecai'e ramura fiind Irgate cIte4 elemente in serie.

In circuitul exterior se gasesc montate in paralel un voltametru cu solu~je deCllS04 de rezistenta R2 =40 Q avincl electrozii din cupru ~i un fierbiitor electric cu rezis-tenta de 10 Q ~i randamentul termic 'f) =75% care incalze~tc 50 g de ghea~a Ia t1 ==-lO°C. Se cere:

1. Sa se calculeze2. Sii se calculezc

portati spre catod.3. Sa se calculcze intensitatea curentului din fiecare ramura.4. Sa se gaseasci'i starea finala a ghetii.

3.2.35. Daca intensitatea curentului electric ce trece printr-un solenoid cre~tede la 1=50 A in timp de 0 secunda la capetele solenoidului apare 0 tensiulle electro-

otoare de inductie E1 =0, 1 V. Se cere sa se calculeze :1. Inductanta solenoidului.2. Frccventa de rezonanta a circuitului rezultat din conectarea in paralcl a acestei

bobine cu un condensator plan ce are suprafata armaturilor S = 1,13.10-3 m2 ~i distantadintre ele d = 1 mm.

3. Numarul de spire al bobinei daca la trecerea curentului de intensitate 1, ill-eentrul solenoidului, intensitatea cImpului magnetic este H =5.104 A/m, lungimeasolenoidului fiind l =50 cm.

4. Sectiunea solenoid ului, considerind permeabilitatea relativa a mediului fl.r = 1.

caclerea de potential pe rezistenta interioara a unni element.cantitatca de cupru clepusa de cei 9.1020 ioni de cupru tralls-

I

3.2.36. Sa se scrie expresiile valorilor instantanee ~i sa se afIe defazajul dintre doicurentisinusoidali, ~tiind ca unul are valoarea eficace II =18 A, perioada T, =0.01 s ~ica la t =0 valoarea instantanee a curentului este io = I1/V2. Celalalt curent are valoareaIma,x=20 A, T2=0,02 s ~i CPo=-7':/2.

Sa se scrie de asemenea expresiile valorilor instantanee ale tensiunilor care slntdefazate in urma fata de curentii de mai sus Cll 7':/2, considerind valorile eficace aletensiunilor UI =15 Y, respectiv U2=75 V.

3.2.37. In circuitul din figura 3.19, V este unvoltametru Cll sulfat de cupru ~i electrozi de cupru Ciar S este 0 bobina de rezistenta R = 10 Q. Porbu-

. nile A111 ~i M B din circuit sint constituite dintr~unfir cu lungimea l =60 cm. Sursa de curent este legataIa bornele A ~i Bale circuitului ACBlVI. B

Pentru ca galvanometrul G sa in dice divizi-unea zero punctul J1II trebuie sa fie situat la 20 cmde punctul A. Sa se calculeze :

1. Rezistenta voltametrului. M2. Intensitatile curentilor din laturile ACB, -L-

AMB daca sursa are t.e.m. E = 25 V ~i 0 rezis-

tenta interioara neQ'lijabila. Find AMB are £ =. S Fig. 3.19

=20,83 Q/m.

3.2.38. Intr-o instalatie se considera doua derivatii. Pe prima derivatie se afIaun voltametru V iar pe a doua derivatie un motor electric M.

Voitametrul are rezistenta Rv=300 la 0 rezistivitate p =3.105 Q mm2/cm. Motorulare un randament de 90%. In circuitul principal exista 0 tensiune U =100 V !]i uncurent de 0 intensitate 1=2 A.

1. Ce cantitate de cupru se depune intr-o ora la catod?2. Ce distanta este intre electrozi, daca sectiunea acestora este S = 1000 mm2 ?3. Ce putere furnizeaza motorul?

3.2.39. Un bec electric ~i un reo stat sint legate in serie intr-un circuit electric.Tensiunea Ia bornele becului este U 1=60 V iar rezistenta reostatului R =20Q. Becul~i reostatul consuma impreuna 0 putere P=200 W. Se cere:

1. Intensitatea curentului in circuit.2. Cantitatea de caldura dezvoltata de bec in timp de 0 ora.3. Temperatura filamentului din becul electric claca rezistenta lui la temperatura

de O°C este de 2,5Q jar coeficientul termic al rezistivitatii ~=5.1O-3 grd.-1•

i / 3.2.40. Rezistenta unni bec electric cn filament, pe soclul caruia este scris 220 V--'-100 W, este de 11 ori mai mica Ia rece (20°C) dedt in stare de incandescenta.Sa se afIe :

a) rezistenta la rece.b) valoarea medie a coeficientului de temperatura, daca temperatura de incalzire

a filamentului este 2350°C.

3.2.41. 0 baterie de elemente galvanice cu tensiunea electromotoare E ~i rezis,tenta interna ri debiteaza p,e 0 rezistenta exterioara R.

a) Sa se construiasca graficul variatiei tensiunii U in circuitul exterior, in functiede R.

b) Se introduce in circuitul exterior in serie cu rezistenta R, 0 rezistenta r varia-hila. Sa se diagrameze dependenta intensitatii curentului in circuit fata de rezistenta r.

3.2.42 .. 0 baterie alcatuita din :;;ase elemente de acumulatoare, legate in serie,fiecare cu t.e.m. de 10 V :;;irezistenta interioara 0,20, alimenteaza cu energie circuituldin fig. (3.20) Sa se calculeze:

1. rezistenta circuitului cind intrerupatorul K este Inchis,2. rezistenta circuitului cind intrerupatorul K este deschis,3. tensiunea la borne cind Intrerupatorul K este Inchis,4. eneraia eliberata de rezistenta Rs In timp de 30 secunde cind Intrerupa-

torul K este deschis,5. de cite ori se mare:;;te intensitatea In baterie cind rezistenta exterioara este

scurtcircuitata. Se VOl' considera cazurile 1 :;;i 2.Se dau: R1=R3=20; R2=R4=R7=3Q; R5=50,

R6=4,650; Rs=5,80.

3.2.43. Un conductor Iiniar cu lungimea de 2 m ~i rezistenta r=0,5 Q alunecafara frecare pe doua bare conductoare orizontale care se Inchid pe 0 rezistenta R ==1,5 Q.

Conductorul este deplasat cu 0 viteza constanta perpendicular pe liniile unuicimp magnetic de inductie magnetica B =5 T consumlndu-se pentru aceasta 0 puteremecanica de 2W. Sa se calculeze:

1. Viteza de deplasare a conductorului la echilibru.2. Tensiunea electromotoare indusa In conductor.

3.2.44. Se considera un circuit format dindoua elemente calvanice identice cu t.e.m. de1,5 V cu rezistenta intern a de 20 legate ca In figura3.21. 1n conditiile neglijarii rezistentei firelorde conexiune :

1. Ce curent trece prin aceste elemente?2. Ce indica voltmetrul V ?3. Cc va indica voltmetrul daca rezistenta

interna a unui element galvanic este egalii cu30, iar a celuilalt element galvanic este 1 Q.

3.2.45. Care este cantita tea de Cu depusa la catod In 10 m, daea. prin baia deCuS04 trece un curent furnizat de 0 baterie alcatuita din 6 elemente legate in serie:a) cazul cind electrozii sint de Fe. b) dnd electrozii sint din Cu. Se va lua rezistentabaii :;;i a electrozilor 0,2Q, iar t.e.m. a unui element 1,5 V cu rezistenta interna 0,5Q.Tensiunea de polarizare se considera 1,32 V.

3.2.46. Un conductor vertical cu un cap at pus la pamint, are lungimea l =30 m~i capacitatea electric a proprie C = 100 pF.

1. Sa se calculeze inductia proprie corespunzatoare antenei daca lungimea anteneicorespunde la 'A/2.

2. Sub actiunea unei descarcari electrice atmosferice antena este strabatuta deun curent constant cu intensitatea 1=100 A. Cunoscind rezistenta electrica a anteneiR = 1Q ~i faptul ca pentru a-~i ridica temperatura cu un grad, antena absoarbe energiade 120 J, sa se calculeze timpul In care temperatura antenei cre~te cu Ll8=100°C.

3. Cu cit variaza lungimea de unda fundamentaUi a antenei datorita Incalziriide mai sus? Se cunoa~te eoefieientul de dilatare liniara a=10-5 grad-I.

4. La ee distanta r de conductor cimpul magnetic creat de curentul care treceprin antena anuleaza componenta orizontala a cimpului magnetic terestru cu valoareaHo=16 Aim.

3.2.47. Doi acumulatori cu t.e.m. EI ~i E2 ~i eurezistentele interioare 1'1 rrspectiv f2 functioneaza Inparalel pe 0 rezistenta R (fig. 3.22). In serie cu acu-mulatorul 1, este montata 0 rezistenta variabila R1· fi1Sa se determine:

1. Conditia necesara pentru ca acumulatorul 2 sanu fie parcurs de curent.

2. Rezistenta intern a rIa acumulatorului 1 daca E1se constata experimental ca aceasta conditie este sa-tisfacuta pentru R1 = 49 Q, R = 101 Q, precum ~ipentru R1 =39 Q, R =81 Q.

3. T.e.m. E1 daca E2 =2 V. Fig. 3.22

3.2.48. Un dinam ~unt este utilizat pentru Incarcarea unei baterii de acumulatoiieu un curent de intensitate 15 A. Bateria are 0 t.e.m. de 50 V ~i 0 rezistentaintern a de 0,5Q. Rezistentele dinamului slnt de 160 Q pentru infa~urarea de exci-tatie ~i 0,5Q pentru infa~urarea rotorului. Conductoarele de legatura intre dinam~i baterie au 0 rezistenta totala de 0,6 Q.

1) Sa se calculeze intensitatea curentului de excitatie.2) Sa se calculeze intensitatea curentului din rotor.3) Sa se calculeze t.e.m. a dinamului.

3.2.49. Se considera schema din fib'ura 3.23.Bateriile de acumulatoarc au t.e.m. E1 =2 V ~irespeetiv E2 =5 V. Rczistentele interioare sintneglijabile.

1) Sa se determine conditia necesara ea prinbateria E1 sa nu circule curent; sa se demon-streze ea aceasta conditie este independenta deR1 ~i R4•

2) In conditiile de la punctul 1 sa se calcu-leze curentul care circulii prin R3 claca R2 =2 Q.

3) In acelea~i conditii sa se determine va-loarea tensiunii de la bornele lui R2•

3.2.50. Un condensator plan cu aer, aVlnd capacitatea C = 10 fLF se incarca subtensiunea U =20 kV. Odata incarcat, condensatorul se cleconecteaza de la sursa detensiune ~i se introduce in interior 0 lama de sticla (er =5), avind 0 grosime egala eujumatate din distanta d clintre armaturi. Apoi se masoara tensiunea U1 la bornele eon-densatorului. Se seoate lama dielectrica ~i jumatate din condensator este umplut

in intregime tot cu sticHi, astfel incit limita de separatie dintre mediile aer-sticla esteperpendicular pe placile condensatorului. Tensiunea la bornele condensatorului este U 2'

1) Sa se calculeze valorile tensiunilor U I ~i U2'

2) Sa se calculeze valorile capacitatilor CI ~i C2 ale condensatorului in cele doua.cazuri.

, 3) Sa se arate ca C2 este intotdeauna mai mare decit CI.

----3.2.51. Un cub format dIn 12 rezistente egale Ro a~ezate pe fiecare latura estealimentat de la 0 tensiune de curent continuu prin cele doua colturi opuse a~ezatepe diagonala cubului.

Rezistenta Ro 0 socotim echivalenta cu rezistenta care rezulta prin inlocuireadielectricului cuart al unui condensator cu otel incalzit la 120°C. Se dau: Capacitateacondensatorului 0,16 flF, Er=5, Po = O,lQ mm2Jm, coeficientul de temperatura alrezistentei 01:=0,006grad-I. Sa se calculeze :

1) Rezistenta otelului la 120°C.2) Rezistenta Ro'3) Rezistenta totala a cubului.4) Considerind cll otelul se race~te In timp dupa 0 variatie liniara astfel ca de

la 120°C ajunge dupa 20 minute la 20°C, sa se arate care este temperatura dupa5 minute.

5) Valoarea curentului I care trece prin rezistenta totala a cubului pentru catemperatura finala sa fie cea de la punctul 4 considerind ca masa rezistentelor estede 200 g)i caldura specifica 0,11 caljg.grad. Incalzirea se face de la O°Cin timp de 30',

3.2.52. Un circuit alimentat de un generator cu rezistenta intern a de 0,25·Q esteformat din 2 rezistori RI =6 n ~i R2 = 10 n, grupati in derivatie, ~i 0 baie electroliticacu AgN03, grupata in serie cu rezistorii.ln 15 minute, la catodul haii, se depun 20,124gde argint. Daca la bornele baii tensiunea este de 30 V, Sa se calculeze :

1) Tensiunea electromotoare a generatorului.2) Curentii derivati in rezistorii RI ~i R2•3) Rezistenta haii.4) Energia electrica consumata in generator.

3.2.53. Intr-un circuit electric, parcurs de un curent de intensitate constanta I,se introduce un galvanometru de rezistenta g. Deviatia la galvanometru este den diviziuni.

Se ~unteaza galvanometrul cu 0 rezistenta s. Deviatia galvanometrului este n',1) Sa se calculeze rezistenta g, cunoscindu-se ~iraportul njn' =k (calculul numeric

pentru s=100 Q; k=6).2) Sa se calculeze intensitatile curentilor in ~unt ~i in galvanometru (calculul

numeric pentru 1=18 mA).3) Care este diferenta de potential la bornele galvanometrului?

J,3.2~54.Rezistenta unui moto I' electric este de 1Q. El este legat la 0 sursa cu t.e.m.

de 600 V, prin fire conductoare care au 0 rezistenta de 3Q. Tensiunea contraelectro-motoare este proportionala cu numarul de rotatii pe minut. JVIotorulexecuta in golNo = 1 500 turejmin ut, neglij iud u-se frecarile. Se cere sa se exprime in functie de n uma-rul de ture n pe minut, al motorului in sarcina, urmatoarele marimi :

1) Tensiunea contraelectromotoare.2) Intensitatea curentului in circuit.3) Diferenta de potential la bornele motorului.4) Puterea sa.5) Randamentul sau.

3.2.55. Un dinam 1n care indmul ~i inductorul slnt Iegati 1n serie are 0 tensiunee ectromotoare 120 V. Rezistenta indusului este 1,5 Q iar a inductorului 0,5 Q.Acest dillam alimenteaza 30 de' Iampi grupate 1n paraIeI ~i strabatute fiecare de uncurent de 0,5 A. Se cere:

1) Intensitatea curentului principal.2) Rezistenta total a a circuitului.3) Rezistenta fiecarei lampi.4) Puterea consumata de a lampa.5) Tellsiunea la bornele dinamului.6) Ralldamentul electric al dil1amului.

3.2.56. CeIulele galvanice cu t.e.m. de E1 =2 V ~i E2=1,5 V slnt conectate ca infigura 3.24, a. Un voltmetru Cll zeroul la mijlocul scalei indica 0 tensiune VI =1 V

+ 1-£2/1<~

iar acul indicator se dep laseaza in aceea~i directie ca ~i atunci ciud intrerupatoruI Keste deschis. Ce va indica voltmetrul, daca celulele sint conectate ca in figura 3.24, b.Se neglijeaza curentul care se ramifica prin voltmetru.

i 3.2.57. In serie cu rezistenta R1 =2 Q se Ieaga 0 rezistenta R2 =3 Q iar in derivatieu R2 se leaga 0 bobina cu 100 spire pe 0 lungime de 20 cm. Intensitatea II ce trecerin R1 este 1 A. Se cere sa se afle :\. 1) Intcnsitatea curentilor prin rezistentele R2 ~i R3 dad rezistenta bobinei R3

este 9 Q.2) Tensiunea electromotoare a pilei legata in serie cu R1 daca rezistenta inte-

rioara r=lQ.3) Rezistenta care trebuie adaugatJ'i unui voltmetru pentru a putea masura ten-

siunea de la bornele Iui R1, ~tiind ca pentru masurarea tensiunii de pe R1 se foIo-~se~te un voltmetru cu rezistenta Rv=100 [1 ce poate masura pina la 1 V.

~ 4) Raza bobinei daca se produce un flux de 2,2.10-4 Wb.

I - 3.2.58.0 baterie cu E=30 V este Iegata in serie cu o rezistenta R1=100 Q:'}i 0bobina R2 =20 Q iar in para leI cu bobina un aparat ce are rezistenta R3• Se cere:

1) Rezistenta R3 cunoscind caderea de tensiune pe R1 ca hind de 25 V, iar curentul12 prin R2 de 0,2 A.

2) VaIoarea rezistentei interne a bateriei.3) FIuxul bobinei daca are 50 spire pe 0 Iungime de 5 cm, diametruI unei spire

fiiud 2 cm, iar fLr =300.

t3.2.59. La 0 retea cu tensiunea de 120 V sint legate in serie doua bobine cu R1 ==15 Q ~i L1 =84 H, R2 =30 Q ~i L2 =5 H, un condensator cu C =0,2 fLF~i 0 rezistentiiR3=10 Q. Frecventa retelei curentului alternativ fiind v=50 Hz sa se calculeze:

1) Tensiunea la bornele fiecarei bobine, la bornele condensatorului ~i ale rezis-tentei R3•

2) Factorul de putere al fiecarei bobine ~i factorul de putere al circuitului.3) Puterea activa, reactiva ~i aparenta in circuit.4) Capacitatea Cx care trebuie conectata cu condensatorul C, pentru a inlatura

defazajul intre curent ~i tensiune.

3.2.60. Se aplica 0 tensiune alternativa cu frecventa de 50 Hz ~i valoare eficace100 VIa extremitatile M~i N ale unui circuit R,L serie avind valorile R=100 .0,L=0,318H.

1) Care sint in tensitatea in circuit precum ~i tensiunile eficace la bornele rezis-tentei ~i ale bobinei? Sa se calculeze puterile absorbite de rezistenta ~i bobina.

2) Care este valoarea capacitatii C care trebuie sa fie aplicata in serie in circuitulprecedent pentru ca intensitatea ~i curentul sa fie in faza la borne Ie M ~i N?

3) Acest condensator C se pune in paralel cu bobina L. Sa se calculeze in acestcaz curentul din rezistenta R.

3.2.61. Un circuit este format dintr-o rezistenta R si un ansamblu de 3 volta-mehe,- continind CuS04, AgN03 ~i respectiv' Amcl2, a~e~ate in serie.

Lasind sa treaca curentul electric timp de 30 minute, se constata ca diferentade potential la extremitiitile rezistentei R este de 30 V.

Masa depusa la catodul voltametrului A este 0,593 g.Se cere:

1) Intensitatea curentului.2) Rezistenta R.3) CIt argint ~i aur s-au depus in voltametrele B ~i C.

3.2.62. Un motor electric alimentat la 120 V are in serie 0 rezistenta de 10 O.1) Se considera ca motorul este impiedicatsa functioneze iar in rezistenta ~e de-

gaja 240 calorii/s. Care este in acest caz intensitatea curentului? Dar rezistentamotorului?

2) Se considera ca motorul se rote~te ; in acest caz, in rezistenta se degaja cloar60 calls. Care este in acest caz intensitatea 12 a curentului?

3) Care este diferenta de potential la bornele motorului?4) Care este diferenta de potential la bornele motorului ~i randamentul sau, in

cazul de la punctul 2?

3.2.63. lntre polii A ~i B ai rete lei de curent alternativse intercaleaza motorul M ~i bobina L in serie.

1) Care este consumul motorului in kvVh in timp de10 minute daca motorul are 0 putere mecanica de 100 CP ~iun randament "YJ =0,8 ?

2) Care este tensiunea eficace intre bornele A ~i Palernotorului daca se ~tie ca intensitatea eficace a curentuluicare-l traverseaza este de 200 A, curelltul fiind defazat inurma tensiunii UAp cu 1t/6 rad?

3) Tensiunea la bornele P Bale bobinei L este de 250 V9i curentul din bobina este defazat in urma cu 1t/6 rad fatade UPB' Care este tensiunea totala la rete a UAB ili defaza-jul ei fata de curent ?

4) Ce rezistenta ohmica ar trebui intercalata intre A ~i B in locul motoruluiastfel incit consumul de energie sa fie egal cu cel din cazul precedent?

3.2.64. Se considera reteaua electricii din figu-ra 3.26, in care: E1 =12,4 V, E2=11,6 V, R1 =1,2Q,R2=1,6 Q, R3=4 Q.

Sa se calculeze curen tii care circula prin fiecare re-zistenta. Care vor fi intensitatile curentilor daca rezis-tenta R3 ar lipsi din circuit? Presupunind ca· re-zistenta R2 se introduce intr-un vas care continem = 1 kg gheata la temperatura de - 6°C, sa secalculeze timpul necesar pent ru vaporizarea masei mde gheata in cele doua cazuri.

3.2.65. Se da un circuit format dintr-o rezistenta R=10 Q, 0 inductanta L==0,068 H ~i 0 capacitate C =3 IJ. F legate in serie. La bornele circuitului se aplicao tensiune alternativa sinusoidala cu valoarea eficace U =220 V ~i frecventa f=50 Hz.

Sa se calculeze:1) Valoarea eficace a curentului care trece prin circuit, impedanta circuitului

~i defazajul dintre tensiune ~i curent, precum ~i tensiunile Ia bornele rezistentei,inductantei ~i capacitatii.

2) Puterea activa ~i cea reactiva din circuit.3) Care va fi intensitatea curentului care trece prin circuit daca se produce

un scurtcircuit intre armaturile condensatorului?

I I"tcP h~~'

~R'

[, j

~K'

K'~ I

II I I

Fig. 3.26

3.2.66. Un voltametru cu solutie de CuS04 se introduce in 249,6 g apa. Volta-metrul se considera cii are 0 rezistenta de 2 Q ~i este Iegat in paraleI cu un re-zistor a carei rezistenta este 6,5 Q ~i cu 0 bobina de 100, spire a carei rezistentaeste 6,5 Q. Bobina are lungimea 0,5 m ~i diametrul 0,1 m. Aceasta grupare se leagain serie cu un rezistor cu rezistenta de 6,7 Q. IntreguI circuit este Iegat la borneleunui generator de 100 V ~i rezistenta interioara de 2 Q.

Se cere:1) Intensitatile curen~ilor din fiecare ramura. a circuitului in regim stationar.2) Cu cite grade se ridica temperatura apei in timp ce la catodul voltametrului

se depun 1,968 mg de cupru, daca apa prime~te 40% din caldura dezvoltata de voI-tametru considerat ca un rezistor de 2 D.

3) Randamentul instalatiei formata din cele trei consumatoare legate in paraIeI.4) Miezul bobinei avind permeabilitatea

relativa IJ.r = 103, care va fi tensiunea elec-tromotoare autoindma pentru un regim tran-zitoriu de 10-3 secunde ?

3.2.67. Se considera circuitul din fi£mra3.27, E ~ 20 V; r = 2 Q; R1 = 10 Q; R2 ==10 Q; R3=40 Q; R5 = 100 Q, R6 =20 Q.Considerind ca firele de conexiune au 0

rezistenta neglijabila, se cere:1) Valoarea rezistentei R4 ~tiind ca rezis-

tenta echivalenta intre punctele A ~i Beste 12,5 Q.

2) Tensiunea in circuitul exterior.3) Caderea de tensiune la capetele rezis-

tentei R4•

RsFig. 3.27

4) Curentii din circuit.5) Consumul de energie in circuit in timp de 0 ora.

3.2.68. Tensiunea poate fi red usa in circuitele de ie~ire ale generatoarelor cuajutorul unui divizor de tensiune schematizat in figura 3.28. Un selector specialface posibila conectarea unui cap at de linie de ie~ire sau la punctul cu potentialul Uoprodus de generator sau la oricare din punctele Vi' U2' ••• , Un, fiecare avind

un potential de k ori mai mic (k> 1) clecit precedentul. Cel de al doilea cap at delinie de ie;;ire precum ~i capetele inferioare ale rezistoarelor R3 sint la pamint.Sa se afle raportul intre rezistentele R1: R2: R3 pentru orice numar de celule Inatenuator.

3.2.69. 0 baterie este alciHuita din n =5 elemente legate in serle, fiecare elementavind t.e.m. E=1,4 V ~i rezistenta interioara 1'=0,3 n.

1) La ce curent puterea debitata de baterie va fi egala cu P=8 W?2) Care este puterea debitata de baterie?3) Ce valoare ar trebui sa aiba rezistenta exterioara R pentru ca puterea debi-

tata sa fie maxima?

3.2.70. 0 sfera de raza '1 dintr-un material Cll rezistivitatea peste inconjuratade un electroc! sferic cu 0 rezistenta neglijabiHi. In centrul sferei se afla un altelectrod sferic, conductor ideal, la care printr-un mic orificiu vine un conductor~i el cu 0 rezistenta neglijabila. Pe electrozi se aplica un potential U. Sa se deter-mine:

1. Rezistenta sferei ~i curentul din circuit.2. Valoarea minima posibila a curentului I ~i valoarea maxima a rezistentei R

pentru U ~i 1'0 constante.3. La ce valoare r, rezistenta sferei este a k parte din valoarea maxima deter-

minata mai sus. (Se va calcula pentru k =0,9.)4. Intensitatea cimpului electric la distanta r de centrul sferei ~i sa se indice

directia sa daca potentialul electrodului central este nul, iar al celui exterior este+U.

5. Distributia potentialuJui in sfera, densitatea radiala de putere ( dP) ~i densi-dl'

tatea volumica de putere.

3.2.71. Un condensator plan cu 0 capacitate C =8 cm ~i 0 distanta Intre placid =3 mm este conectat la 0 sursa de inalta tensiune printr-o rezistenta R = 103 n.Aerul din spatiul dintre placile condensatorului este ionizat de radiatii Roentgen

asHel incit n = 104 pereclli dc ioni se formeaza intr-un cm3 pe secunda. Sarcinafiecarui ion este egala cu cea a unui electron. Sa se afle diferenta. de potential labornele rezistorului R presupun ind ca toti ionii ating placile condensatorului inaintede a se recombina.

3.2.72. Curentul anodic al unei diode este determinat de tensiu uea anodidi,intr-un anumit domeniu de tensiuni, prin ecuatia: fA =A UA +B U ~. Sa se aflecurentul anodic daca dioda este. conectata in serie cu 0 rezistenta (fig. 3.29) RA ==20 k Q in circuitul unei baterii cu 0 t.e.m. E=120 V.

Pentru dioda data: A =0,15 mAjV ~i B=0,005 mAjV2.Se neglijeaza rezistenta interna a bateriei.

II

II

cPE

\/I I__ ".;)_._.1

3.2.73. Se da circuitul din figura 3.30, R1 =8 Q; R2 = 12 Q; R3 =3 Q; R4 ==5(9; Rs=6 Q; R6=4 Q; R7=7 Q; Rs=10 Q; E1=240 V; Til=l Q; E2=160V;Ti2=2 Q.Sa se calculeze :

1) Intensitatile tuturor curentilor.2) Tensiunile: UAF, UEF, UDC.

3) Puterile produse de cele doua surse ~i puterile consumate de toti rezistoriiprecum ~i de sursele insa~i; Sa se verifice legea conservarii energiei.

4) Randamentul circuitului.5) Cantitatea de electricitate care circula prin nodul D in timp de 1 minllt.

3.2.74. Intr-un betatron electronii descriu 0 traiectorie circulara cu raza R ==0,2 m. Inductia cimpului magnetic care mentine electronii pe traiectorie are va-loarea B =0,328 mT. Intensitatea curentului electronic este f =2 mA. Sa se caIculeze :

1) Viteza electronilor ~i energia lor c netica.2) Acceleratia centripeta a electronilo ~i forta centrifuga la care ei sint supu~i.3) Perioada ~i frecventa de rotatie a electronilor.4) Numarul de electroni.5) La un moment dat se introduce un obstacol (tinta) in calea fasciculu!ui de

electroni. Dad! admitem ca toti lovesc tinia intr-un interval de timp i = Tj8 ~i caramin absorbiti pe tinta, sa se caIcu!eze forta medie Cll care ei apasa tinta in intervalulde timp dat.

3.2.75. Un circuit ca In figura 3.31 este alimentat cu tensiunea u = 120 sin wi Vavind v=50 Hz, R=20 Q; C = 80 fLF; L = 20 mHoSa se calculeze:

1) IntensiVitile curentilor I, IR, h, Ie; sa se construiasca diagrama vectorialaa acestora.

2) Puterile active, reactive din fiecare ramura.3) Defazajul dintre curentul total ~i tensiunea de alimentare.4) Valoarea curentului Ie la momentul t=1,2593 s.

R

LJ III C

¢ rv

3.2. 76. ~a se calculeze intensitatea dmpului magnetic produs de un segmentAB de conductor liniar prin care trece un curent de 20 A, Intr-un punct C aflatla distanta 5 cm de conductor (fig. 3.32). Distanta se considera pe perpendiculararidicata din mijlocul segmentului AB. Segmentul AB de conductor se vede dinpunctul C sub unghiul 1'/3.

3.2.77. Un reo stat potentiometric prezinta Intre extremitatile A ~i Bale bobi-najului sau 0 rezistenta totaHi constanta R. La bornele sale se aplica 0 tensiuneconstanta U.

1) NoUnd cu R' fractiunea de rezistenta cuprinsa Intrf' extremitatea B ~icursorul C, care este diferenta de potential Intre punctele B ~i C. .

2) Se leaga intre B ~i C un receptor de rezistenta constanta r. Sa se calculezein acest caz rezistenta echivalenta Intre A ~i B.

3) Sa se calculeze intensitatea curentului in r ~i diferenta de potential U2 labornele rezistentei r.

Aplicatie: R=20 Q; R' =10 Q; r=100 Q ; U=100 V.

3.2.78. Un ampermetru se conecteaza pentru a masura intensitatea curentuluiintr-un circuit cu rezistenta R. Ce eroare relativa va fi facuta dad conectareainstrumentului nu schimba intensitatea curentului in circuit. Tensiunea de la ca-petele circuitului se mentirie constanta.

3.2.79. Doi conductori paraleli, de lungime infinita, plasati In vid la distantaD =10 cm unul de altul, sint parcun;,i In acela~i sens de curentii aVlnd intensitatile/1=100 A ~i 12=25 A. Se cere:

1) Intensitatea dmpului magnetic la jumatatea distantei dintre conductori.2) Intensitatea dmpului magnetic intr-un punct exterior, situat la distanta

d =5 cm de conductorul prin care circula curentul mai mic.3) LocuI geometric aI punctelor in care dmpuI magnetic cste nul.4) Forta electrodinamica, pe unitatea de Iungime, dintre cei doi conductori

la jumatatea distantei dintre ei.

3.2.80. Se considera circuitul din figura 3.33.Se ~tie ('a valorile rezistentelor sint: R = 10 Q;

1 = 20 Q ~i R2 = 25 D. Fiecare element gal-vanic are tensiunea electromotoare E =2 V ~irezistenta intern a l' =0,2 Q. Sa se calculeze :

1) Intensitatile curentilor II' 12 ~i I prinrezistoarele Rl' R2 ~i R.

2) Tensiunea la bornele bateriei B.3) Cantitatea de caldura dezvoltata timp

de 5 minute in rezistorul RI•

4) Presupunind ca R este un voltametru sa se ealculeze volumul ocupat dehidroilenul degajat prin electroliza, timp de 10 minute la presiunea p = 1 atm. ~itemperatura t =27°C.

Rz +

/F~'C:R

=,:::J---1. ~

+ - I~

3.2.81. Un voltmetru cu rezistenta mare, legat la cei doi poli ai unei bateriide acumulatoare indica 100 V cind bateria nu furnizeaza curent ~i 50 V cind bateriafurnizeaza curent de 25 A intr-un rezistor R.

1) Sa se calculeze tensiunea electromotoare a bateriei.2) Sa se caIculeze R ~i valoarea rezisten tei interioare r a bateriei.3) Presupunind ca rezistorul R este format din doua rezistoare x ~i y legate

in paralel, sa se determine curen tii Ix ~i I y prin x ;;i respectiv y.Rezistorul y este cunoscut ;;i are 0 valoare de 6 Q.4) Rezistoarele x ;;i y variaza astfel incit suma lor ramine constanta ~i egaIa

eu 9 Q. Sa se calculeze valoarea rezistorului y pentru care curentul debitat debaterie are valoarea minima, precum ;;i valoarea acestui curent minim.

5) Se considera ca rezistoarele x ;;i y au 0 astfel de valoare incit rezistentalor echivalenta este R, valoarea obtinuta la punctul 2.

In acest montaj in serie cu rezistorul R se introduce un motor. Care este rezis-tenta Rm a motorului, clad. intensitatea curentului este 20 A cind acesta esteimpiedicat sa functioneze.

6) Daca motorul functioneaza, intensitatea debitata de baterie este 15 A. Careeste tensiunea contraelectromotoare a motorului.

3.2.82. Pentru masurarea tensiunii ~i inten-sitiitii curentului prin rezistorul R2 al circuituluidin figura 3.34 dispunem de un instrument avindscala de 100 diviziuni ~i rezistenta l' =40 Q. Latrecerea unui curent de 100 mA acul instrumen-tului indica 40 diviziuni. Se cere:

1) Rezistenta ;;untului ampermetrului ;;i rezis-tenta aditionala a voltmetrului pentru masurareacurentului ~i tensiunii folosind intreaga scala ainstrumentului.

2) Rezistenta ;;untului pentru a masura curen-tul din R2 cu jumMate din scala. Se dau: E = 120V;ri =2 Q,._Rl =150 Q; R2 =50 Q, iar rezistenta firelor de legatura se neglijeaza.

3.2.83. Intr-un circuit electric se leaga in paraleI doua rezistoare confectionatedin \~t'Gela~imaterial. UnuI din ele cu rezistenta RI =25 Q este confectionat dinsirma cu sectiunea SI =1 mm2 ;;i pe eI se disipa 0 putere PI =10-6W. Sa se gaseasca

r

numaruI de electroni care trec prin unitatea de sectiunc transversaHi a celui de aldoilea rezistor In timp de 1 ora, daca lungimea lui este de 10 ori mai mare decita primului, iar marimea rezistentei sale R2=100 Q.

HI Hz ~1. La reteaua reprezentata In figura 3.35

~I Jl rezistoarele R1 $i R2 au valorile R1 = 10 Q $i

R2 =6 Q. Clnd intrerupatorul 2 este inchis $iU ,\,

1 Z I intrerupatorul 1 este deschis, ampermetrul in-dica un curent 1. Cind ambii intrerupi:itori sint des-

¢----------<0r----~ chi~;j, ampermetrul indica un curent 11 =2/3 I.

Fig. 3.35 Sa se determine rezistenta echivalenta a rete lei.

~.2.85. Dispunem de doua bai de electroliza identice, aliment ate de un singurgenerator.

1) Ciud este mai mare randamentul generatorului: cind rezistenta totala abailor este mai mare sau mai mica dedt rezistenta interioara a generatorului?

2) Cum trebuie grupate cele doua bai pentru ca depunerea unei cantiUiti anu-mite de meta I sa aiba loc mai repede?

3) Presupunem ca cele doua bai slnt legate in serie; una folose$te pentrucuprarea, iar alta pentru argintarea a cite un obiect de aceea)i formii $i marime.Daca se urmare$te depunerea unoI' straturi de metal la fel de groase, care dintre

t·· t . ~ . dOt n (S . ~ kAgpCu 1opera,!l se ermma mar repe e: cuprarea sau argm areac e $tre ca ._-> ,~kCUPAg

unde k)i~p slnt echivalentii electrochimici $i respectiv densitatHe corespunzatoare.)

, 3.2.86. Un bec de 100 Q este montat in paralel cu trei rezistoare identice de3 Q fiecare. Circuitul este alimentat de patru gcneratoare legate in paralel, fiecareavind tensiunea electromotorarp- E =4V $i rezistenta interioara r =0,2 Q.

a) Cu cit se modifica intensitatea curentului care trece printr-un bec, dacase scoate din circuit unul din rezistori ?

b) Cu cit se modifica intensitatea curentului care trece printr-un bec, dacase conecteazii In paralel inca un element galvanic identic cu primele?

c) Cu ce rezistenta ar trebui modificat ansamblul rezistoarelor aflate in paraleleu becul, pentru ca becul sa fie striibatut de acela$i cnrent in situatia initiala, dacase conecteaza la sursa in par'alel inca un generator identic cu primelc?

!lldll

3.2.87. Dona elemente de curent reciprocperpendiculare 11dl1 $i 12dl2 se gasesc la distantal' unnl fata de altul. Slnt egale fortele care acti.,.oneaza asupra fiecaruia din ele? Cum respectaaceasta interactiune legea a treia a lui New-ton?

3.2.88. Un circuit electric ABCD este alimentat de mai multe elemente gal-vanice identice (fig. 3.37), fiecare aVlnd tensiunea electromotoare E =6 V $i rezis-tenta interioara r =2 Q.

Fiecare latura a circuitulni are aceea$i rezistenta R, iar diagonala AC are rezis-tenta 2 R.

3.2.89. Un circuit electric alimentat de 0 sursacu tensiunea electromotoare E ~i rezistenta interioara r,.are forma unui triunghi dreptunghic cu ipotenuzaBC =Cl. Sursa este legata intre punctele B ~i C,iar rezistentele fiecarei laturi sint proportionale cuJungimea laturii respective.

1) Sa se determine modul de variatie a curentului debitat de sursa cind virfulAal triunghiului dreptunghic descrie semicercul de diametru BC, astfel incit rezis-tentele x ~i yale laturilor A B ~i respectiv A C variaza.

2) Sa se determine rezistentele x ~i y in cazul in care puterea debitata de sursain circuitul exterior este maxima.

3) Cum variaza intensitatea curentului care strabate latura AC la deplasareapunctului A pe cerc ? Are vreo importanta in acest caz sensul de deplasare a pune-tului A ?

a) Sa se determine valorile rezistentei R, daca~ntensitatile curentilor care trec prin fie care laturanu se schimba la legarea in serie sau in paralel a ge-neratoarelor.

b) Sa se determine curentii care strabat fiecareTamura a circuitului in cazul in care se folosescn =5 elemente galvanice.

c) Se modifica rezistenta intregului circuit in·cazul in care sursele ar fi concentrate intre A ~i D ?

d) Care este diferenta de potential intre mijloa-~cele conductoarelor AB ~i BC?

3.2.90. Un disc metalic se rote~te in jurul axei proprii perpendiculara pe supra-fata discului, cu viteza unghiulara (,)=100 S-l. Raza discului este R=lO cm. Cediferenta de potential va apare intre centru ~i marginea discului ?

3.2.91. Doi generatori sint montati in serie, fiecare dintre ei avind tensiuneaelectromotoare de 1 V; primul are 0 rezistenta interioara de 2 ohmi, al doilea de3 ohmi iar circuitul exterior are 5 ohmi. Sa se calculeze:

1) Intensitatea curentuJui in circuit.2) Diferenta cle potential intre polii fiecarui generator ~i intre polii extremi

ai celor doi genera tori.3) Puterea disipata in interiorul fiecarui generator ~i in circuitul exterior.

3.2.92. 0 rezistenta electric a consumii 0 putere de 500 W, iar curentul caretrece prin ea are 0 intensitate de 4 A.

1) Care este valoarea rezistentei?2) Ce timp este necesar pentru a aduce la fierbere 0,5 litri de apa luata la

20°C, dad nu exista nici un fel de pierdere de caldura?3) Daca timpul este de 10 minute, care

este puterea consumati'i ?4) Cit costa aceasta energie dacii se pla-

te~te 0,50 lei kWh?

3.2.93. Se grupeaza un numar de 6 con-densatoare ca in figura 3.38. C1=C2=C3=C4== Cs= C6 =3 fLF. Se cere sa se calculeze:

1) Capacitatea totala a grupului de con-.densatoare.

2) CurentuI corespunziitor cantitiitii de electricitate a capacitiitii totale dnd seaplica 0 tensiune de 100 volti, care trece printr-un circuit in timp de 30 minute.

3) ~untuI necesar unui ampermetru prin care trece curentul de mai sus. Rezis-tenta ampermetrului este de Ra=l Q ~i el nu poate suporta dedt 0,1 mA.

4) Masa de gheatii ce se poate inciilzi de la - 10°C la + 10°C, cu un curent 1==10-3 A, timp de 30 minute.

3.2.94. 0 bobinii are rezistenta R ~i 0 impedanta Z =51,2 Q la 0 frecventa de50 Hz. Sa se determine:

1) Rezistenta R a bobinei, ~tiind ca, atunci cind circuitul este alimentat in curentcontinuu, ampermetrul aratii I =2,01 A, iar voltmetrul a ciirei rezistentii interioaraeste Rv=10 000 ,Q indica 100 V.

2) Inductanta L a bobinei dnd circuitul este alimentat de la reteaua de curentalternativ cu frecventa de 50 Hz.

3) Factorul de putere.

3.2.95. Trei bile mici identice, fiecare avind 0,1 gf, sint suspendate intr-un punctde fire de matase avind 0 lungime l =20 cm. Ce sarcini vor fi repartizate pe fiecarebila, dacii fiecare fir formeaza un unghi d =30° cu verticala ?

~ 3.2.96. In experientele clasice de masurare a sarcinii unui electron, 0 picaturade ulei inciircatii electric este plasata intre pHicile unui condensator plan. Sub actiuneaunui cimp electrostatic, picatura se deplaseaza uniform in sus, parcurgind 0 anumitadistanta in timpul [1' sau in jos, dnd semnul sarcinilor de pe placi se schimba, par-curgind aceea~i distanta in timpul [2'

Presupunind ca forta de frecare dintre picatura ~i aer este proportionala cu vitezapicaturii, sa se gaseasca timpul [ necesar pentru ca picatura sa strabata aceea~i distantadupa ce cimpul este anulat.

~ 3.2.97. Un inel sub tire din sirma cu raza Rare 0 sarcina electrica q. Centrulinelului contine 0 sarcina Q de acela~i semn cu g, iar Q~q. Sa se giiseasca forta cu careeste intins ineluI."* 3.2.98. 0 sarcina+Q este repartizata pe 0 placa de metal dreptunghiulara culaturile a ~i b. Grosimea c a placii este mult mai mica decit a ~i b. Sa se calculeze inten-sitatea dmpului creat de aceasta placa incarcata."* 3.2.99. Doua bile de metal cu razele Fl = 1 cm ~i F2 =2 cm aflate la distanta R ==100 cm una de aUa sint legate la 0 baterie cu 0 t.e.m. E=3 000 V. Sa se calculezeforta de interactiune a bilelor, neglij ind interactiunea firelor de legatura.

__ 3.2.100. Sa se determine tensiunile VI ~i V2 corespunzatoarecondensatorilor C1.~i C2 din figura 3.39. E1=12 kV, E2=13 kV, Cl=3 fLF, C2=7 fLF.

Se neglijeaza conductivitatea dielectricilor.

3.2.101. Sa se determine capacitatea Co pentru 0 baterie de condensatori identicilca in figura 3.40.

3.2.102. Doi condensatori plani cu capacitatile C1 ~i C2 sint Incarcati la diferentelede potential U1 ~i U2 (U1 =I U2).

Sa se demonstreze ca daca condensatorii slnt legati In paralel, energia lor electro-statica totala scade. Sa se explice acest fenomen.

"* 3.2.103. Doua placi dreptunghiulare delungime l ~i de arie A sint dispuse paralel unafata de alta la distanta d ~i sint Incarcate la 0diferenta de potential U (fig. 3.41). Intre placise introduce un dielectric cu permitivitatea Sr,

eu grosimea d ~i cu Hitimea egala cu cea aplacilor. Lungimea "'dielectricului este mai maredecit l. Sase calculeze forta F cu care actio-neaZ{l dmpul asupra"c dielectricului In functiede distanta x.','" ', 3.2.104. Doi conductori cu coeficientii de varia tie cu temperatura a rezistentei

N 0:] ~i (.(2 au rezistentele R01 ~i R02 la ooe. Sa se gaseasca coeficientul de variatie cu tem-peratura pentru circuitul format din cei doi conductori legati In serie ~i In parale!.

,/,,\ 3.2.105. Sa se calculeze rezistenta hexago-

nului din figura 3.42, considerind ca et este

legat la un circuit prin punctele A ~i B. Rezis-

tenta fiecarui conductor din figura este R.

3.2.106. Ce rezistenta trebuie conectata Intre pUllctele C ~i D din figura 3.43astfel ca rezistenta Intregului circuit (lntre A ~j B) sa nu depinda de numarul de celulecelementare ?

If If R RA -------.--- C

R R t ____R R

R R R R-l

[j «I, D

Fig. 3.-13

3.2 .107. La combinarea unui atom gram de zinc cu acid sulfuric se degaja aproxima_ftiv 106 000 calorii, iar laformarea unui atom'gram de cupru din sulfat de cupru se con-:BUrna aproximativ 56 000 calorii. Calculati cu aceste <late t.e.m. pentru 0 pHa Daniell.

3.2.108. 0 baterie de acumulatoare cu t.e.m. E=24 V este legata la unul din cape-tele unei linii duble de telefon de lungime L =5,6 km pentru a gasi locul unde izolatiafirelor a fost strapunsa. S-a observat ca daca conductorii la celalalt capii.t al linieiau fost deconectati, curentul trecut prin baterie a avut valoarea II =1,5 A, iar dadiau fost scurtcircuitati curentul a fost 12=2 A. Curentul de scurtcircuit al bateriei este13=96 A iar rezistenta fiecarui conductor al liniei este T=70 Q. Sa se gaseascarezistenta R a izolatiei in punctul de strapungere.

3.2.109. 0 baterie de acumulatoare cu t.e.m.=10 V ~i rezistenta intern a T=1 Qeste legata 1a 0 rezistenta extern a R ~iproduce in acesta 0 putere P =9 W. Sa se gaseascadiferenta de potential U la capetele bateriei. Care este cauza rezultatului obtinut?

1 3.2.110. 0 trioda este conectata in circuitulunei baterii cu t.e.m. E =250 V in serie cu re-= E zistenta R=104Q (fig. 3.44). Grila estelegatalapolul negativ al unei baterii mici cu E1 =3 V, iarcatodul la polul sau pozitiv. In acest caz cadereade lpotentiaJ pe rezistenta R atinge valoareaU1 =95 V.

Daca circuitul grilei include 0 baterie euE2 =6 V, diferenta de potential pc rezistentaRva fi U2=60 V. Care va fi diferenta depotentiaFintre anodul ~i catodul triodei dad grila ~i cato-

dul se scurtcircuiteaza ? Se considera caracteristica de grila a triodei 0 linie dreaptain domeniul in care se refera modificarile potentialului grilei.

3.2.112. Doi conductori liniari se gasesc la ()distanta de 10 em unul fata de ceHilalt.. Prin.conductori trec curentii II =20 A ~i 12=30 A in.

acela~i sens. Ce lucru mecanic trebuie refectuat (pe unitatea de lungime a conducto-rilor) pentru ca ace~tia sa se indeparteze la 0 distanta de 20 cm?

1Eu T

I

3.2.111. Trei diode ale CarOl'caracteristici ano-dice pot fi aproximativ reprezentate de portiuni'de linii drepte: Ia=O la Ua~O; Ia=kUa laUa>O; unde k=0,12 mA/V, sint conectate ilLcircuitul din figura 3.45. Reprezentati intr-o'diagrama dependenta curentului I din circuit in,functie de tensiunea V, daca £1= 2 V, E2 = 5V~E3=7 V ~i V variaza de Ia -10V la +lOV.

'* 3.2.113. Un curent I trece printr-un conductor infinit de lung A Br. indoit informa de unghi drept (fig. 3.46). Cum se va modifica intensitatea cimpllhli magupticn punctul M daca un conductor drept infinit de lung BD'este'astfeI conpC'tat in punrtul

B incit curentul I Sa se imparta in punctul B in doua parti egale, iar curpntul in con-ductorul A B sa ramina neschimbat? (Se va tine seama de faptul ca intensitateacimpuIui magnetic creat intr-un anumit punct de catre un element mic de curenteste perpendicularape planul care contine acest element ~i raza vectoare dusa dimacest element de curent in punctul dat.)

TMII

A --------:IB - - -- - -0

t3.2.114. Intensitatea unui dmp magnetic in interiorul unui conductor cilindric

este H =k27':jr, unde j este densitatea de curent ~i r distanta de la axa conductorului.Sa se calculeze intensitatea cimpului intr-un punct arbitral' dintr-un cilindru gol dininteriorul conductorului prin care trece un curent cu densitatea j (fig. 3.47). Axacilindrului interior gol este paralela cu axa conductorului ~i se afla la distanta d deaccasta.

3.2.] 15. Determinati distributia liniilor de forta ale dmpului magnetic in interiorulconductorului cilindric din problema precedenta.

*- 3.2.116. Un inel de sirma cu raza R =4 cm se aflaplasat intr-un dmp magnetic heterogen ale dirui Iinii de fortain punctele de interseqie cu inelul formeaza un unghi 0( = 100

cu normala la planul inelului (fig. 3.48.). Intensitatea cimpu-lui magnetic care actioneaza asupra inelului este H = 100 Oe.Un curent de 1=5 A trece prin ine1.

Cu ce forta va actiona cimpul magnetic asupra inelului ?

3.2.117. Un cilindru de metal neincarcat, cu raza l' serote~te in jurul axei sale, intr-un cimp magnetic, cu 0

viteza ul1ghiulara w. Intel1sitatea cimpului ma~neticeste indreptata in lungul axei cilindrului. Care va fi intensitatea cimpului magnetic,asHel ca nici un dmp electrostatic sa nu apara in cilindru.

3.2.118. Un inel de sirma cu raza r este plasat intr-un dmp magnetic omogenperpendicular pe planul inelului ~i care variaza in timp conform legii H =kt. Sa segaseasca intensitatea cimpului electric in spira.

3.2.119. Un inel cu sectiunea tral1sversaHi dreptunghiulara (fig. 3.49) este con-fectionat dintr-un material Cll rezistivitatea P 9i este plasat in cimp magnetic omogen.

Vectorul cimp magnetic este indreptat de-a lungul axei inelului 9i cre~te directproportional cu timpul. Sa se gaseasca intensitatea curentului indus in ine!.

3.2.120. Sa se determine curentul in co nductori! din circuitul p rezentat in'fi~ura3.50, dadi vectorul intensitate al unui dmp magnetic este perpendicular pe planuldesenului 9i variaza in timp dupa legea H =kt. Rezistenta unitatii de lungime a conduc-torilor este 1'.

~-- a ff;~~;:!' ¥ B 2 A C, '--:1;/ //;0 I t

. b: ~~ I"A 8ft

I , v.:: %1 a {

_,--;- ~.~

Fll

.....-1--:--- .Lj

-- .- D1 a--- fC fj DFig. 3..19 Fig. 3.50 Fig. 3.51

3.2.121. Un conductor cu lungimea l f;)imasa m poate aluneca Hira frecare de-aiungul a doua rame verticale AB f;)iCD legate la 0 rezistenta R. Sistemul este plasatin cimpul macnetic omogen cu vectorul intensitate H perpendicular pc planul dese-nului (fig. 3.51).

Cum se va deplasa conductorul mobil in cimpul gravitational daca se neglijeazarezistenta conductorului f;)i a ramelor?

"* 3.2.122. Estimati coeficientul de inductanta mutuala pentru infa~urarile unuitransformator. Considerati infa~,mrarile ca boblne cu sectiuni transversale identice.N egli-jati dispersia liniilor de forta ale cimpului magnetic. (Coeficientul de inductanta mutualaa doua circuite este raportul intre fluxul magnetic indus de cimpul magnetic al pri-

mului circuit prin aria limitata de al doilea circuit ~i marimea acestui curent, M =y .)3.2.123. Sa se [aseasca marimea efectiva a unui curent alternativ care variaza

in modul urmator (fig. 3,52):

T1=10 dnd O<t<-,

81=0 cind .!.... <t <.!....,

8 21=-1

0cind I.... < t < ~ T,

2 8

1=0 cind ~ T<t<T,8

f li-T t

c1=1

0cind T<t<.'!... T.

8

3.2.124. 0 tensiune alternativa de amplitu-dine U =600 V exciti'i innif;)urarea secundaraa unui transformator care alimenteaza un redre-SOl' bifazic (fig. 3.53). Capacitatea condensatoru-lui C este atit de mare incH curentul I care treceprin rezistenta R = 5 kQ poate fi considerataproximativ constant (I =40 mA).

Presupunind ca prin nici una din diode nutrece curent in directie opusa, sa se gaseascaperioada T in timpul careia prin tub nu trecenici un curent.

3.2.125. Sa se arate ca atunci cind infa~urarile unui generator trifazic ~i rezis-tentele de sarcina sint legate in stea, curentul care trece prin conductorul neutru estezero daca R1 =Rz=Rs=R (fig. 3.54).

- y

~---Il I

DRI_-I.

X

~/J

-Il

Fig. 3.54 Fig. 3.55

3.2.126. Sa se arate ca daca intensitatile cimpului magnetic generat de trei perechi

de electromagneti sint egale ea amplitudine ~i au defazajul de: 7C, cimpul magnetic

rezultat p oate fi deseris printr-un vector eu 0 viteza unghiulara constanta w in jurul punc-tului O. Fiecare pereche de electromagneti creeaza c1mpuri magnetice dirijate in lunguldiametrelor respective ale inelului: Hl' Hz, Hs' Electromagnetii sint aJimentati cuun curent alternativ cu frecventa w (fig. 3.55).

3.2.127. Doua bobine identice perpendiculareuna pe alta sint impartite in jumatate ~i legatela un circuit ca in figura (3.56). Inductanta de~oc ell ~i rezistenta ohmica R sint astfel alese r;hincit intensitatile curentilor in bobine sa fieidentice. Rezistenta ohmica ~i reactanta induc-tiva a bobinelor siut mult mai mici dedt reac-tanta inductiva a bobinei eh.

Ce se va intimpla daca un ciliudru dealuminiu A fixat pe un ax se va introduce inspatiul dintre polii bobinelor?

--J l f

J:DR3.2.128. Un motor de curent continuu cu excita tie shunt dezvolta 0 putere mecanica

P =160 W, avind 0 tensiune la borne U =120 V. Rotorul are 0 turatie n =10 rot/soSa se determine viteza maxima posibila a motorului la aceasta tensiune. Rezistentarotorului este R =20Q.

':'3.2.129. Un motor de curent continuu cu excitatie shunt are 0 viteza unghiularade rotatie w = 100 rad/s la 0 tensiune U = 120 V la borne. Rezistenta infa~urarii rotoru-lui este R =20Q. Ce t.e.m. va dezvolta motorul dnd va fi folosit ca generator, dad esterotit eu aceea~i viteza unghiulara ? Tensiunea in infa~urarea statorului este menti-nuta constanta ~i egala cu 120 V. La viteza indicata momentul mecanic al axuluimotoruluieste M=1,6.107 dynXem.

3.2.130. Pe placile de deflexie verticala ale unui oscilograf se aplica tensiunile

U1=5 sin (wt+ ~). U2=10 sin (wt+~) ~i Us=15 sin (wt+ :). Sa se determine

tensiunea rezultanta.

3.1.1.

1. F= _1_ QI~ =9 .1O-4N.4 mOa d2

2. L= Q1Q2 (~-~) =1,8 '10-3 J.4m:a d' d

3. Daca. nu exista transfer de sarcina inseamua ca poteutialele sferelor siut egale.

~ = Q2 ; Cum C=41t~0 R,C1 C2

Q~ = R1_ = 10.Q2 R2

3.1.2.Q1. V=-,C

c= eaerS •d

La scoaterea dielectricului, .6.V' = };LCa '

C _ eaS0- •

d

t..v'2. mg=QE-+ mg=Q -, mr-...-7'10-9 kg.

d

3 . .6.V = _Q- d = _Q- d', d' = .!!- = 2- cill.eaerS eaers er 7

4 C _ eaS. 1- •

X

rFig. 3.57

...!.- = er(d-dl)+dl •

C eaerS

C _eaS3-- •

Y1 1 1 1-=-+-+-.C C1 C2 C3·

~ =--=- +~+ .--!. •C eaS caerS eaS

~=x+y+~;C eaS eaerS

C ea~~.- e,.(d-dl)+dl '

~ =d_-_dl +_d_l_ •

C eaS eaerS

SC-----d- dl dl---+-

eo erea

:2. C= 808r1S =25,9,10-12 F.d1+2d2

Q=C·V=25,9 '1O-1°C.4 U.3. mg=5 eE, -nr3pg=5e - •3 d

d=6,4 '1O-3m.3.1.4.

1.F=- awad

Fx=~ 85U2.2 x2

d, d'

L= {' Fxdx= ~<.SU2 (' ~ = ~ <.Su(~- ~)= C1U2 •J 2 J x2 2 d1 d2 4d, d,

d2=2d1, Cl=~' L=7,5'10~3 J.d1

:2. Variatia capaciUitii condensatorului implica 0 variatie a energiei electrostatice

We =!- Q1U- .!... Q2U = ~ U2(C1-C2) = C1U2 =7,5,10-3 J.2 2 2 4

3. WS=UQ1- UQ2= C1U2 =15 '10-3 J.2

Se vede Ca L+i1Wc=i1Ws.4. ~ = !!..l =E=const.

d2 d1

d,

L= {' 9~:'Sdx=- ~o E2 Sd = _ 3CIU~ •J 2 2 1 8d,

L= - 10,75,10-3 J.

3.1.5.1. q=l1.e=1,6 '10-118, 11=102sarcini elementare.

2. C= ':oSr5 =17,68 .1O-14F.d

U:3. q d =mg, U =37,5 V.

3.1.6.1. Trebuie sa se tina seama de faptul ca potentialul creat de 0 sarcina uniform dis-tribuita pe suprafata unei sfere este egal eu potentialul creat de acea sarcina plasati'iin· centrul sferei. In interiorul sferei potentialul electric creat de sarcina de pe sfera,este constant.

Daca sfera are sarcina Q, se poate determina sarcina q de pe bila care iama~tere prin inductie.

Q1. Vvid= C-,

!L = ~1_

C E:oE:rCQ

Evid=-,E:oS

EVid

Edielectric

-q- +_Q- =0, q=-Q-.!-.4rru 4mR R

In concluzie (vezi ~i fig. 3.58) :

-Q -~+QV= q+Q = R Q(R- r)

4rrE:R 4rre:R 4rre:R2

V=~102V.4

2. Tensiunea electridi calculata de-a lungul unei linii de elill!>este :

R R

u= r Edr= ~ r ~=-.!L(.2-_J_).J 4m: J r2 4rrE: r Rr rq Rrc=- =4m:--.U R-r

Edielectric= ~ = !L .E:oe:rs S

3.1.8.

1. C'= ~ (C:o + c:) = ~ (C:r+1).2d 2

2.V'=V~-; El=~E:r+1 d

V4,,0"= d ; 0"2 =C:rO",

V2 E:r

0"2=4rrd(e:r+ 1)

Prin 0" s-a notat densitatea superficiaHi de sarcina.

V' VE----2- d - d.

:3.1.9.1. Deoarece D1 =D2(=)E1E1 =E2E2

U1+U2=U.E:d1+E2d2=U (fif!. 3.59).

E _ <:2E21- •

<:1

E.(d2 + <:::1) = U,

Deci

E ZT2U,=------;• <:Tld2 + <:r2dl

EJ=zld2+e2d•

-:// \'\I dl i dz If--~--~

U1 =E1d1•

'2. C= _<:1~~.<:ld2+ <:2dl

1 1 <:S 1:3. W=-CV2= - - V2= -ESE2d.2 2 d 2

1. Firul se orienteaza dupa rezultanta fortelor Fe~i G (fig. 3.60).

,4 f-lC.

3. V=.fL,c

4. ~U=mgl

C= ~ = <:o<:rS V=800 V.d d'

,"3. 1.11.

5Iera A are initial sarcina Q1 ; dupa contact Q(

SIera B are initial sarcina Q2; dupa contact Q;,

Deci Ql +Q2 = 16Vi '1O-9C.

Se formeaza ecuatia de graduI doi care are soIutii QJ ~i Q2

Q2+16VZ'1O-9Q+64 '10-18=0.

Ql =3,28 '1O-9C ; Q2 = 19,28 .1O-9C.

2. VI = ~ = =2,952 kV.c1

V2= ~ =5,784 kV,c2

3. Q;(V1 - V2) = 2.- mv2•2

kQiQ2(2- _~) = ~ mv2•d1 d2 2

.$tiind ca Qf=C1V=5,64·1O-9C, Q2=C2V=16,92·IQ-9C,rezultii m =2,8 .10-3 kg.

4. [nA =~01 =2050·10' electroni, nB = ~ = 12 050 '107 electroni,, e e

nA= oi =3525·10' electroni, n~ = Q; =10575.107 electronie e

F2=Fi+F~+2F3F4 cos 2 0(.

In l:,D2\!IB (fig. 3.61),sin C( sin rr/2--=--.

dz/2 d

2. d2 40 emsin 0(= - = --_,

d 20 Y2. 1 rr

sm e<= V2' e<= '4 .In concluzie LA DB este dreptunghic.

F VF2 F? F -k QiQ F -k Q;Q= 3 + 4' 3 - dZ' 4 - c{'2 &

"",___JL-----~,

0'2

Fig. 3.61

Q=1·[=6·10-3 C; deci F3=3,8~N,

F=12,04 N F4=1l,42 N.

3.1.12.1. E(r) = _1_ R, R<r<R'.

4 rre:o r2

1 QEmax= -- -.4 moo R2

R' R'

IVI= j( Edr = 3_ (~= -Q-(~-~),4 moo J 1'2 4 rreo R R'

R R

RR'Q = 4"EO ---- V ;R'-R

RR'-R2V = ---- Emaxo

R'

R'Emax = ---- V.R(R'- R)

dV R'-2R-----E -0dR - R' max-,R' R'

R = :2' V1nax = 4 Ema:r-

1 1 RR'-R2'V = -- QV = - .41tEoR2Ema.x ----Ema:r.2 2 R'

7 R3(R'-R)?"" =21tEO R E"max'

ctW ? 3R2(R'-R)-R3- = 2itEoEmax ------- =0.dR R'

3(R' - R)=R; R= ~R'.'i

w .- ~ rr eO R '3 E2max - 128 max·

__ q_l~

4 rreoer(r 1+1'2)2

qlq34 TCeoel'l'I

0r,

0r2 0

£1 - q3 q;Fig. 3.62q2fJ3 =0.

47t'eoSrf§

,sarcinile slut situate pI' a~eea~i clreapta, iar qa este 0 sarcina negativa situata intre.q 1 ~i q2 (fig. 3.62) :

r., 1 1 11'1= - -- - --+--

1+Y q2/ql yq; - Vir y-q:; •

Deoarece dipolul se poatc deplasa:liber sub acnunea for~elor dmpului, eI trebuie:sa se afle cle-a Iungul liniilor de dmp. Se considera axa Ox de-a IunguI axei dipoluluiiiar originea coordonatelor, punctul unde se afla sarcina q.

dEF=p - cos (x,dx

dE 2q- =----~,dJ; 4rreox3

r=--!!- (fig. 3.63).sm CI.

I R Idll= _R. del .= etg(7.;sm2 rx

• T sin CI. drxdEl =dE SIll (7.= ----.

4nEoErRT cos rx dtX

dEli =dE cos (7.= --- •4nEoErR

'"E-E _\T sin cc dcc _

- 1- -----. 4nEoErR 2nfoErR

o

Se considera inelul format din inele concentrice infinit de subtiri a CarOl' supra-fata este dS=2rr:l'dl', unde l' este raza inelului.

-----q--- =1,8.104 V (cr este densitatea superficiala de sarcina).n( R1 +R2)2EoEr

Grosimea stratului de aer d1 =d-d2.

E1d1 +E2d2 = U; E1 =ErE2'

E1 =5'104 Vim.

D2=EO (E2+ :0);

Fie x - cantitatea de electricitate care trece pe cea de a doua sfera. Atunci con-clitia egalitatii potentialelor este:

q-x_ =4nEoErTl

(q_X)2 x2W=--+--.2C1 2C2

dW 2(q-x)

dx 2C1

dW =x-q +....::....dx C1 c2

2x

+ 2C '2

D ~ dW 0aca- =dx '

qC2x=---C1+C2

qr?X= _._--

r1+r2

d2~V 1 1Conditia este de minim pentru ca -2- = - + - >0.

dx C1 C2

;3.1.19.Pe baza le,Qii de conservare a momentului cineticJw=mNvR,deu mRV dN

dl J dtluncle J - momentul de inertie al rotii,

(u - viteza unghiulara a rotii,R - raza rotii,mN - suma 'maselor electronilor, care cad pe paleta,v - viteza electronilor,

dN = .!.-, numarnl de electroni care cad pe paleHi in unitatea de timp.dt e

lVlomentuJ de inertie al rotii :R

J =n ~ 1'2lhpdr = ~ nhlpR3,

oaici peste clensitatea materialului rotii.Viteza electronilor se afla din relatia:..!!l~=e[)', 1{2eu

V= 1-'2 I m

Acceleratia rotii :31

hlpnR2

1. II = !2.- =0,455 A.u .P212= - =0227 A.u '

u2R2= -. =484Q.

p2

3. Schema de concctarc estc urmi'itoarea

(fig. 3.64):

2R,(R,+ _R_2) 2R?2 - _

--------------- ~~2~,6Q.3R, (R1+ _R_21 +2R1·2R2+ (R1+ _R_2)2R2

2 I 2

1. a = IlR =0,15 grad-I;RoM

~~I~ @ff2! I i

@ff20.!i'2jffI; 2

[ IFig. 3.64

2. 1.U.l=maca(100-fh)+maLv, l=18,2 h.3. Ri =7,420.3.1.22.

1. RA1A =Rsls,

1=1A+1s,2. m=k·1.l,

IARs =RA--,I-IA

Rs =2,525 n.1 =104,3 mA.

Aparatul DU este ~untat corect.U U3. R=Ra+Rv = -, Ra = - -R.v,1 I

4. e=(Ra+RA+r)11•

Acul va'" indica 18 diviziuni.

dar:

1= E(R1+R2)

(R1 +R2)(R3+R4)+ R1R2

1 - E~ • d R R1 - -------- NoUn 1= 2=.1:,(R1 +R2)(R3+ R4)+ R1R2

dl1 =0, x2-36 =0, :r=6 D.

dx

3.1.24.

1. Circuitul seric are rezistenta Rt=Rm+R1"

deci i = R~ =0,5 A, Rt =220 Q.

Q=R1i2l, Q=maCa(6j--ei),

tlj = 17,22°C.

2. Caderea de potential pe circuit (fig. 3.65):

U=Rti', U=66 V. E=U+Ec.Ec=E-U, Ec=44 V.Pm=Eci', Pm=13,2 'vV.Um=Um'+Ec.Um=Rmi'+Ec, Um=72,8 V.

3.1.25.

11. R=p-,s

2. m = .!..- A i 'f, i=5 A.F n

ERt= -, Rt=22 Q.i

rm=Rt-R-Rv, fm=4 Q.

3. Rti'+Ec=E, Ec=66 V;

'Y) = Ee =0,893.Urn

2mvx _ 11-el.-o·2

. eUa=-md'

at 2 eUI2Yl=_1 = --.

2 2dmv2xcULL

Y2 = dmv2 •x

eVI (I )Y=Yl + Y2= dmv2 2+L

x .y IL

(1=-=--V 2Vod

eVIL VIL::::--=--

d!.l'Wi 2Vod

Vl.R=I'

RSP=-I-'

p2.1= -,

V

Uc=U-r1,Pu=Uc1,

Vc'I)=-u'

1=4 A.

Uc=100 V.Pu=400 W.

'1)=0,83.

II' (1' fl/"

i , 9

1Ii ' f /1.1

,R

jl X ! RI

X ji, !~ .IfI; ~. Ii y

aJ! bl ~.

Fig. 3.66

221

3. a) U'-U=210-120=90 V

R-l'-X = V'-V. deci X=15 n. I' ~"v

b) II = -, II =16 A.RV'-VX= ---; X=4,5 Q.I+I'

v'-v-e) 12=--, I2=8A.R

X-~ X=15Q.- 12-1'

E1. VI=rvI=rv--

Tv+TI TEE TvV2=r,v-=- --=--.2 2 Tv Tv+2T---+r

2

VIrv(E - V2)

ErV=V2rV+2V2r, 1'= ---2"'2"

Dad se face raportul:1= 2V2(E - VI) =)

V1(E - V2)

E= V1V2 •

2 V2 - VI '

E E-l11·:2. II =~ --; rA= -.-.T+7'A II

E E-197'12=--, rA=-')-"-'

r+ 2rA - 12

E E T--/,=---.II 212 2

1'=2£ 212-11•

2 1112

3.1.29."l. 3Q=U12i2,

V10= --II'~ R

i2 =1 550 s.12. R2=p -S

V2"3. m'c~e = - i2,

R'

m' =937,5 fJ.

3.1.30.1.ofj=T1-T2=0,5.

T1

Q=mc~e,V Q

12=----II. VII

l =12,5 !lo.

R' =.!!- + Y .II I"

2. QI =Yhmq.PI = ~ = "fh'lJmq', PI =625 W.

I t

3. P2=Y)2PI' P2=500 W.

4 R R R R _ R2R3. = I + 23' 23 - R +R •2 3

I=VP2/R, 1=5 A.1=12+13, 12=3 A.R212=R313, 13=2 A.

:J. VI=RI1, V1=40 V.V2=V3=R212=R313' V2= 60 V.V=VI+V2, V=100 V.V =R1, V =100 V.

3.1.31.P1. 1=-,U

2. Pierderile pe linie In cazul (a) (fig. 3.67) sint R12•

Puterea generatorului egaleaza pierderile pe linie ~i puterea consumatorului.

~----~----cb• Jj ,

_______ ----1

/7--11)Vg1=RJ2+V1, sau Ug=R1+V, Vg=1120 V.

Pc U3. '1)=- =-, '1)=19,6%.

Pg ug

4. Pierderea In cazul circuitului (b) va fi:

Pb=O,l Pc, Pb=RJI, 1~= O,~Pc, 11=141 .\.

5. k=!j, = J_, k=6,4.J! ~ 11

6. Vg=R1I + VI' VI - tensiunea la borneleprimarului.VI =kV.Vg=R1I +kV, Ug=1550 V.

P U7. Y)b= ~ = -, , 'l)b=91 %.Pg Ug

E1. 1=--,Re+ri

1=!!-.Re

U(O) = E(O)

R. R.+TI

I _ E(O) - U(O)2. 0- ----,Ti

3. 11(tl) =12(t2).Rt U(lt)-=--,R2 U(12)

~t~2_ -RR

t+R

2- e'

RezulUi R1 =25,875 Q, R2 =20,7 Q.480 480

4. w= r ReI2dt= R.E2(0)., r (1-6010)2dl.~ (R. + [f)- ~o 0

VV=570,4 J.Pentru t ~ 600 s, E =0 V.

3.1.33.

1'(R1 +R2)-I" R2 =E1-E2•

-I' R2+ I"(R2+ R3)= E2-E3,

I E:~-E:2R~:~31I

Rl+R2 £1-E21

-R2 £2-ES

I" = -------.R1+R2 -R2

-R2 R2+RsR1+R2 -R2 1

-R2 R2+F-l' =5 A, I" =OA.11=5 A, 12=1"-1'=-5 A, 13=OA.UAB=E3=60 V.

1= elQ = pelV =ne~ S=nevSell ell ell '

P =ne, densitatea de sarcina.11- va fi egal cu numarul de atomi din unitatea de volum, deoarece numai elec-

tronii de valenta contribuie la conductie.m

1'\ - -nm -nm A v""10~In/Is.omAl- V - Al- H Ai'

Re=10 Q.

I=E, 1=12 A•.Re

Ult1N=R111 = (R2+ R3Ri..-) 12,\ R3+R4

!l = 2.-, 11+12 =1, deci: 11=3 A, 12 =9 A.,12 3

!1 = R4

14 R3

deci:

13=6,75 A.14=2,25 A.

Varianta II: Se folosesc teoremeIe Iui Kirchhoff

E=(R5+R)I+R111'R111-R212-R313 =0,1=11 +12,

12=13+14,

13R3-14R4 =0,

71+12 11=120,1211-12-413=0,

1-11-12=0,12-13-14=013-314=0.

Se rezolva sistemuI de ecuatii liniare cu ajutorul teoremei Cramer.Dat fiind ca se mai pot folosi ~i aIte ochiuri pentru scrierea celei de a doua teo·

reme Kirchhoff, cum ar fi(R5+R)I+12R2+14R4=E sau~~+~~-~~=O 00se gase~te situatia de a dispune de un numar de ecuatii mai mare decit numarul

de necunoscute. Aplicind teorema Iui Rouche se pot determina ecuatiile principale~i apoi acestea se vor rezolva conform metodei Cramer. Se observa, dealtfel, imediatca ecuatiile din (2) sint 0 combinatie liniara a primelor doua ecuatii ~i a ultimei ecu·atii din sistemul (1).

2. VM=E-R1, VM=60 V, (Vp=O).VN=R51 VN=24 V.

3. UMN=VM-VN, UMN=36 V.4. Puterea debitata de pila este E1 =1440 W.

Puterea consumata este Re12 1440 W.5. W=R12l'lJ =mc(6-6o), m=6,221 kg.

3.1.37. 1) Se imparte discul in inele- de grosimi dr. Desigur, curentul se ami peo suprafata Sr =2TCrh. Din aceasta cauza rezistenta unui a~tfpl de inel elementaL'Ta fi:

drdR=p 2 1trh'

R= -.Lln2.21th ro

2) 1= 21thU ;rpIn -..!.ro

S) E=pj=_U_rXln2

ro

• I U]r=-= ---.

Sr r1rpln-ro

2 1t hU drdV=-ldR=---p-;

1rl 21t rh

p ll-ro

1 rlll-

V=U __ r •

ln~~~ ro

21t hU24) P=IU=--rp In -.!.ro

I·dPI = I dVdr dr

21t h U2 1

P(1<: r-; .5) r=VrOrl•6) dP = ~ = ~ dP = h U2 • ..!-

[dS 2 1t rdr 21t r dr (r)2 rSp III r:

( dP) h U2

dS max = p r6 (In ~:r ' dP

dS mln

h U2

pry (Ill ~:rUR=-,I

Tensiunea reteIei fiind mai mare decit ceaa receptoruIui este necesar sa se adauge rezistoriin serie cu receptorul (fig. 3.68).

UAB=U, UAC= Ur•

Rr" , Po ~ r---=?A~--'-~ ,--- c

Rt= UBeI '

. Rt trebuie realizata din rezistori pe care Ii avem Ia dispozitie. Se pot imagina maifiulte montaje (fig. 3.69):

o ~ -;O:~Af--~ IOOQ{-I::: rc

-- O/A 0 fA

§ .~ %gg~ JO,/A

-ouI

f----;:::==!()='On.==::I-----J--!()-O-:R-~

~ OIA100>2

lOOn.

O/A

2. Se constata ca pentru fiecare monta) rezistenta totaIi:i este 350 n. Observindintensitatea curentiIor se constata ca in rezistoruI de 200 ndin primul monta] curen"tul depa~e~te vaIoarea admisibila deci ~i puterea nominala Pl =5 W, prin urmarose abandoneaza acest monta).3. Dintre montajeIe doi ~i trei preferam pe aI doilea deoarece contine maiputinirezis-tori; intensitiitile curentilor sint mai aproape de valorile nominaIe.

Montajul alciituit fiind (fig. 3.70):

~

-1RJ =SOOn~ ,At___ .......,~ '---f~ ,--y

A f---i--R-- 8 l---l~-_-_-=--:"-='::~ RI =lOOn

RJ ~500n.

Pu PAB PAB'Y)= p; = P,IC =PAB+PBC'

PAB=P=30 W, PBC=2PR3,+PDC=2Pl+RlI2,'Y)=0,68.

1. U =1Rl'A 12. m= --1·t,n FnE3.1=--

U=5 V.

A=63.

I4. R2=p-,S

5. mc~6=R212t, ~6=45°C.6/=6i+D..6,

1. 1= E(R1+R2) ,

R1R2

2! E=R111,

E=R212,

81=-A.3

II =1-12,

R1(I-I2) =R1I-R112,

3. U=E=4 V.

4. I = Er ; dl =0,R1(r-R1) dr

4E5. r= -, r=8 O.1m

4EIm=-.r .

U2 .p=-,

r

u1=-,

ri = 110 V =0,458 A.

240 nCurentul in instalatie este: 50 i =22,9_ A.

UG=Uinst+R·50 i, R=0,874 O.7 In motor: Ulm= Uclm"tRmI'in,I RmI~+Pm-Ulm=O.

1m = U±VU2 -4RmPm •2 Rm

Uc= Pm,1m

CurentuI prin motor, 15 A, va trebui obtinut prin stingerea a151n = -- =32 7 liimpi.

0,458 '

Scriind ecuatiile care decurg din legiIe Kir-chhoff (fig. 3.71):

5 11+5 12=10, 5 11+100 13=110,II =12+13,

~i rezolvind s~ obtin:

13=1,02 A, II=1,51 A;

12 =0,49 A>O.

Deci bateria de aClImulatoare se va in-

E1. 1=--,R+Ti

l"i =10 Q.

2. t = 2- = QP,I U

I3. R=p-, s

E-IR E-U Ul"i = ---- = -- = -(E- U)

I I P ,

R' I=p-'S' '

U U2R =-=-,

1 P

R'=U'=U'~l' E-U'

5'= 5 R, d'2=d2 R, d'=1,5 '10-3 m.R' R'

4. W' P' U'1' U'2W' =4,26.-=-= - =-W P P R'P W

3.1.44.

1. Energia caderii de apa este We =mgh, deci:p We mglz D I

C = t = -t- = ypapiigJl•

PuYJ= -.

Pc

PU(t)=YJIPC=YJIDyghpapa (la bornele turbinei).

Ptld)='f)I"f)2pDyghpapa (la bornele dinamului).PlI.(d)=380 kW.

2. 1= Pu~cl), 1=38 A.

3. Puterea disipata prin efect Joule:

Pcz=12R=0,1 Pu (d).

Ez· rz~::.--;,; -------'0

rJ

Fig. 3.71

R = p..!... =0 _,_l_P_u(_d_) S=0,6 mm2•S [2

4. m=dV =dSl, m=53,4 kg~d =densitatea Cu.

3.1.45.

1. 1= U1,

R1

U2. 1=-_-_-_-_-_-_-_-_-_-·V (R1+R2)2+L2eu2 '

R2=1O n, U2rv73,2 V.

3. P=UI cos (j)=320 W;t Leug (j) = R +R .

1 214. 1= Imax, - =Lw,

Ceu

U21= ;VRhveu2

2C= -10-3 F.3

U1=-- ,R1+R2

1. Irot=Ilnd'tlext.U30 = - 'tlext, Iext=28 A.Rt -

E=U'tRrlr, E=116 V.U 110

2. "IJ = E = 116 ' "IJ =0,94.

3. R=p ~, l= RS = 10.4.10-',S P 17·10-'

RI2t =mcA-8, m =222 kg.R[2't

4. m= ----, m=1,5 kg.Lt+CM-f>Lv

3.1.47.

1. I=U -V-1+-( Cw __ 1 )2R2 - Leu:U

IL=-- •Leu

Conditia I=h impune:

_1_+C2w2=2 ~ •R2 L

2. Pulsatia <Uo(wo =27tfo) ~i capacitatea C1 satisfac conditia (3)

-..!-'tC w2=2 ~.R2- 10 L'

U I

IR=]i = }r 1 { 1 )2R -+ CW--

R2 \. Lw

Daca 1, R iji L con stante, cerinta IR=max. revine la anularea parantezei de subradical. Deoarece 1R atinge maximul pentru (i)=(i)o :;;iC=C2,

1>C2WO= - .

Lwo

Eliminind Wo intre ecuatiile (3') iji (5)

L=R2C (2-!2)It C2'

L=7,5 H.S. !nlocuind expresia (6) in relatia (3') se obtine:

1 1W5= ----- = --- .RC1(2C2 - C1) LC2

4w5=-103s-2, fo=5,8Hz.3

4E Pe baza relatiei (2)

U=Lwh,U=2"Lfoh,

deci pentm cu= 21t{o,U(fo)~82 v.

ti. Forta electromagnetica actionind asupra conductorului este:NI N

F=BIlc= fJ- - I 'le = fJ- -lc12•I I

Notind prin 10 amplitndinea curentului, avem la rezonanta w =cuoI =Iocos wot,

F - Nlc 12 2 _ Nlc .l"eZ -fJ- -- 0 cos cuot -fJ- - ]2(1 '-'-cos 2 (i) t)I 21 0.1 0 •

(9)

(10)

Se constata ca forta electromagnetica determil1ind mi:;;carea oscilatorie a barei con-ductoare este periodica, pulsatia sa fiind dubla in raport cu pulsatia curentului alter-nativ care i-a dat na$tere.

lntrucit rezonanta mecanica are loc pentru 0 frecventa proprie de vibratie me-canica egaHi cu cea a fortei periodice perturbatoare (in cazul de fata forta electro-magnetica), rezulta ca frecventC! rezonantei mecanice este de doua ori mai mare cafrecventa fo a curentului alternativ pentru care se observa rezonanta:

fm =2fo' CUm =2wo

Dar pulsatia vibratiilor proprii ali uneielectrica k este:

Tinina seama de (11) rezulta,

k~1,07 N/m.

6. Infa~urarile electromagnetului fiind identice ~i inseriate VOl' avea fiecare in parteinductanta L12. Rezulta:

£, N2A2,.=fl·rflo-z-' (13)

. .

LZflr-l2fLoA.N; flr=74,6.

7. Dupa cum se constatii din relatia (10), forta magneticii electrodinamica care 8 ctio-neaza asupra barei conductoare contine 0 componenta periodica ~i alta constanta.

Acestei componente Ii corespunde 0 deplasare x a centrului oscilatiilor bareiconducatoare :

Fcond J( /c12x=--=- -,k 2k NA

x~3,14 mm.

1. Electromagnetul atrage coarda ori de cite ori intensitatea curentului este maximain valoare absoluta:deci de 2 v = 100 ori pe secunda. Frecventa vibratiilor coardei estev' =100 Hz. Amplitudinea vibratiilor este maxima la rezonanta, deei dnd freeventa

1td2proprie a vibratiilor fundamentale este 100 Hz. Cu I =100 em ~i fl =fl' 4"" II, tensi-

unea in fir devine:

L1o VI

dat fiind ea v' = ~ V T i2/ (J.

2. Q=0,24 l'nt=5270 eal., Ie=2,21 A.3. Cireuitul este inductiv, intensitatea este in urma.fata de tensiunea la borne.

VAB=Ve=20 V.VI este in faza eu I.V2 este inain te fa ta de I.VI ~i V2 au aceea~i valoare efieaee:VI =V2=l'Ie=11,05 V.

Din triunghiul isoscel din figura (3.72) se dete rmina clefazajul :

Vo2 Vocas <p=-=-;VI 2V1

4. Daca VAB = Vo sin wt,I =I~ sin(wt-<p).

5. Puterea debitata in circuit dnd diferenta de potential Ve =20 V ~i Ie =2,21 A Cll

un factor de putere cos cP =0,905,

Ve1e cos cP =40 W.

3.1.49.1 A1. m= - - <1?>t, <12> =20 A,F n ~

dar <12> = ~ (I2)max, 1 <(I2)max=31,4 A.7T;

3. (Il)max= U;ax =22,4 A.

1 COS cp=12+1l COS CPl'

I sin cP =II sin CPl'

Rididnd Ia patrat ~i adunind membru eumembru (vezi fil!. 3.73) ;

12=1I+l~+21lI2 COS CPl'

Impartind membru cn membru cele 2 egalitati se obtine:

Lwun de tg CPl = - .R1

? ( Uej )2 2 eih1. Pl=R1ef=R R+1' =R(R+1')2'

dP1 = 0, 2em2 (R+1')2-2R(R+1') =0.dR (R+I')4R=r, R=5 Q.

e2Plm = _"2, Pl1n=1440 W.

21'

u2 2eih2. P =R12f=R· ef =R2 e (R+1')2+

t(_1_)2 (R+1'?+(_1_)2Cw J' Cw

Intr-adevar P2<P1 pentru orice R.

R2+2I'R+1'2_ 2R2_ 2R1'+(_1_)2dP~ =2e2 wC

dR m [(R+1'?+ ( ~C rrdP2 =0,dR

P2m ~ 1440

3. L= 1w2C'

R=Vr2+(~cr,W, (P2m <1440

L~10H.

R~5Q(R>5.Q).

W).

4. UAB=RAB1, UAB=0,0218 V.5. F=BIl sin e =B1 2x tg a sin e,3.1.52.1. ma=eE=e.!!- =e-R.. =eR

d Cd S'eQa= --, a=2 .1013 mjs2.

€oSm

2 l t 'l - ~• =V', I-• 2'

3. VI = Vv2+a2t2•

lt= -, t=10-8 S,U

3.1.51.

1. it>=BS sin e, din figura 3.74 avem,1s= -x '2x ·tg a=x2tO' a2 ::> ,

it> =Bx2 tg a sin e, it> = 1 000x2 Wh.

R l 2x tg lX2. b=PS=P-s-' Rb=0,02 Q.

Rsuport=100 Rb, Rsuport=2 Q,

Rtotal =2,02 Q.

3.1= ;t' e=/-_dd:\ =

=2BtO'asin6 X~.o dt

e =2B xv tg 01: sin e, 1=1,09 A.

~4 mUf B. -r- = ev!'

3.1.53.

L Frecventa curentului produs de alternator f =4n: pu!satia este Ii

w =21tf=87tn =251,2 S-I.

Lw=49,75 Q.

;w =199 Q. E=Z·]=] VR2+(Lw- ;CJ)f,E=100 V.

2. Pentru t.e.m.

Lw=_l_.Cw '

E10=-,!R

3. Pentru n =30, notind reactantele inductive XLI ~i capacitive XCI de la punctull,rezulta:

constanta, I este maxim dnd,1

n - --- no=20 rotatiijs.0- 81tVLC '

Xc= XCJ3 '

1= ~ = E _

Z V-R2-+ (-L-oo --C-~-r4. Pentru 1max=1o=10 A,

IPentru ca 1= --!!.. =5 A,2

Z2=R2+(Lw- :00 r,Z=R=10 n.

Z=20 n,

(L(,)- ;00 r =3000,

. 1Lw = - = 99,5 n. PentruCoo

1Lw- - = ±17,32.. Coo

11un n oarecare Lw =99,5 -,ng

1· n . (n 110)- = 99,5.J!, prin urmare: 99,5 -- - = ±17,32.Coo n 110 n

(~)2± 17,32 ~-1 =0.110 99,5 no

n ture- =0,917, n = 18,34-,110 s

~ =1,091, n = 21,82 ture.no s

It5. ~tim 1 pentru n=lO; 18,34; 20; 21,82; 30. I

Pentru un n oarecare exista I} I!I1= 100

V ( 1990)2100+ 4,975n - --;;

I! I 1

'0 18310ZIBl JO

Din aceste relatii se vede ca n =0 1=0;n-+oo, 1=0.6. S-a observat ca intensitatea maxima este10= lO A pentru n =20 ~i in acest caz

Xc= ~ =99 5 n,Coo '

n2-VI

1. a) 1== ~ __ = __ n_1 _

1/ R2 + L2(.)2 I/-R-2-+-L-2-oo-2

Defazajul epal curentului fata de tensiune (curentuI este in urma fata de tensi.,une) :

Lwtg ep= -,R

1tg ep= -.2

Daca tensiunea aplicata este de forma u = U sin wt, intensitatea curentului in secun-dar va fi i = 11/2 sin(wl-ep), 1=6,32 sin(lOO 'it 1-0,46).

Puterea consumata este P= U2I cos cp, P=200 W.b) Cind sint montate in paralel cele 2 elemente de circuit, tensiunea Ia bornele

rezistentei i;licea de la bornele bobinei este aceeai;li i;liegala cu U2•

IR= ~ , IR=5 A.

IL= U2,Lw

Deci intensitatea instantanee din rezistenta, bobina i;liintregul circuit sint :

iR=5V2sin wi, iL=10V2 sin (Wi- ;j. i=11,18 V2 sin(wi-l,09).

In rezistente puterea este: PR=RI~ =250 W.c) Schema circuitului secundar este cea din figura (3.76).

Intensitatile curentilor L1 i;liL2 sint egale pentru ca Lw =R/2, dar II est~ in faza cu

- /z

~~~/-'--t _~_--,1 L\--. -1?-12---UI--1?--;-11~~

tensiunea la borne pe cind /2 este in urma cu 7':/2. Dad se face compunerea lor vec-toriala ca in figura 3.77 rezultii ca 13 este in urma cu 7':/4 fata de II.

RUt'zlr

II t/__ /~~'/'"

If .UJ' -/J

Z

Acest curent 13 traverseaza cealalta rezistenta R/2 i;li da la bornele ei 0 tensiune

U3= ~ 13 (in faza cu 13), Ori, la bornele bobinei i;lirezistentei R/2 legate in paralel,

RU1 = -1,.2 -

Se obtine:V~= vI+ V~-2Vl V3 cos 1350Z=7,9 Q,

Z fiind impedanta echivalentii a circuitului ; intensitatea eficace din circuit esteJ[3 =~~2, 13 =6,32 A, iar curentii din ramurile legate in paralel slnt :

V2II = 12 = 13 - =4,46 A.Z

Aplicind teorema sinusurilor in figura 3.77 se obtine:sin cp __ sin 135 . 1 18 50 0 1 d 0 314sm cp = y_; cp = , =, ra =, .

511 Z13 10

Deci intensitatile instantanee sint:13=8,95 sin(100 7ti-0,314).II=6,32 sin(100 7ti+0,462).12=-6,32 sin(100 7ti+0,462).

2. a) L=fl N2S, N =VLlo , N =1 070 spire.10 fLS

b) Daca fluxul magnetic este variabiI, fluxul printr-o singura spira este ~ =I

= <I>max cos wi = BS '1/2 cos wi.d¢> ,I-e = - - =B S V2 w sin wi =Em sin wi.dt

u2

S="'£ = ~ = 1,11

Bw BwE = Em =BS w,

'1/2S=35,3 cm2•

3. a) S-a vazut la punctul 1) a ca 1=4,46 A. In rezistenta ohmica r din fig. 3.78caderea de tensiune este Vr=rl, Vr=0,9 V care se aduna vectorial cu V2 pentru a{fa tensiunea din secundar. Cum Vr este mic sepoate lua cre~terea lui V2 datorita lui Vr astfel:

f:.V2=Vr COS cp, V2=0,8 V.Deci tensiunea din secundar este:V;=V2+f:.V2,

v, -:2 V'1- 2'n2

_,c1?Lwl - - - - - - - Ur

b) De aceasta data, la U2 pe linga f:.V2 se 'f=Z65adauga cre~terea de tensiune datorita rezistentei If/inductive Zw a infa~urarii V l =Zwl, V l =2,8 V.

De asemenea ~i ea fiind mica se poate ada-uga Ia V; proiectia Iui V l pe V2' Fig. 3.78

f:.V;=Vz sin cp, f:.V;=1,25 V.Deci tensiunea din secundar este V~ = V2+f:.V2• V" =52,05 V,iar tensiunea din primal',

L~~========o u "~Jc R

3.1.55. Conform eu figura 3.79 avem;11. Xc= -, Xc=159,5 Q.

Coo

u3.1=-,z

4. Uc=Xc1, Uc=1693 V.5. P=U1 eos <p, P=11,24 kW, PR=U1 sin:<p,

3.1.56.1. h=.!!.-, h=12 A, 1

R= !!....,

XL R

12=1~+Il (fig. 3.80)U2 U2

12=-+-2' 1=1,671L•R2 . XL

~=V(~r-:i' 1=1,67h,R=7,5 Q.

2. La eontaetul eu eondensatorul,l=h-1c=~-~, 1_1£

XL Xc - 2 '

1 1 I

Xc = XL -a'1

C=-,XcooU3.1R=-,RU4.1c=-,

Xc7t

<Pa=2' eos <Pa=O.IRb) eos <pb=-,I

eos <Pb = 16 ~O 8.12·1,67 '

1. (p=BS=Brrr2,

E=nNil>,E2.1------,

tRr +Ri +R.

U=E-1(Ri +Rr),

il>=942 Wh.E=84,78 V.

1=4,71 A.

U=75,36 V.

3. Dad se noteaza eu b numarul de beeuriRb = - I b = 15 beeuri.Re

4. P=Ul'=U!.-, P'=23,66 W.n

UI U;5. 'Y)=-=-,EI E

1. e=Blv,. E-e

2. l=~-,r+r(

3. F=ilB, F=10,5 N.

4. Pmecanica"=,=P'V, Pmec=5,25 W.Pelectrica=i 'e, Pel=5,25 W.Ptermica=i2(ri+r), Ptermica=2,25 'vV.Psursa=i 'E, Psursa=7,5 W.Psursa =Pmecanica +Ptermica-

e=0,35 V.

i=15 A.

Pmecanica5. YJ =Psursa

UfA =-,

R

In eazul de fata

U Uh=-, lc=-·XL Xc(fig.~3.81 ~i 3.82) :

AU

IR

~I

Ie /L-!c !L

Fig. 3.IH

.II =0,5 A (din primul brat) .

.12=0,75 A (din al doilea brat);13=0, 15 A (din al treilea brat).P=60 W.'0=62 VAR.

S=u 'i=VP2+Q2=85 VA.

~

'~\'{'I, "-

- - - - -j \' -Vcz "- "-I I \ i "-

'-" I I

I IZ "'-", lID' ,.r - - -- - /'I "-.J \-1 II I"--~ -.J

IRz IFf 1'1,

Fig.3.83

3.1.60.Z1 =10 n, Z2=5 n.11=6 A, 12=12 A.cas CP1=0,8, cas CP2=0,6.sin CPl =0,6, sin CP2=0,8.P1 =288 W, P2=432 W.Q1=216 VAR, Q2=576 VAR.Pentru a determina curentul total se pot cal-

cula campanentele active ~i reactive ale curentilaI'din fiecare ramura (fig. 3.83):

1a1=11 cas CP1=4,8 A, 1a =la1 +1a2 = 12 A.1a2=7,2 A.

1r =1'1 +lr2 =6 A.1'1=-11 sin CP1=-3,6 A,1r2=12 sin CP2=9,6 A.I=V1a2+1r2, 1=13,4 A.cas CP =0,89, sin cP =- !.!.- = -0,45.

I

Pa=U1 cas cp=720 W.Q = U I sin cp =-360 VAR.Pa=Pal +Pa2·Q=Q1+Q2=216-576=-360 VAR.

3.1.61.1. Fie A sectiunea babinei L1 iar 5 sectiunea canductarului de babinaj.

rL = V ~ , rL=0,018 m.

1=N21trL, l =56,52 m.rr:d2

5= -, 5=0,78 '10-6 m2•4RS

P = -z-' p=6,9 '1O-7Qm.

2. Z=VR2+41t2v2L2=4 R.

V- R 5 kv = 15 2rr:L' v:::2 Hz.

3. (f)=BtN5, <1>=10-5 Wb.A(f)=BtN 5 cas OO-BtN 5 cas 1800 =2BtN 5,

i = ~, i = _1_1 ~<l>11 Q =iAf Q = ~ A(f)R R ~t' , R'

4. cf>=N5 B2, <1>'=2.10-3 Wb.

e' =-1~<l> I' e' =10m V.~I '

3.1.62.P =UI cas cP, cas cP=0,8.

uZ=-, Z=24 n.

I

A<I> =2 .10-5 Wb,

0=0,4 C.

R=Z cas <p,XL=Z sin <p,

L= XL27t{ ,

R=19,2 .0.XL=14,4 .0.

L=45,8 mHo

3.1.63.

1. a) 1ej=Cw Uef (fig. 3.84),

1ej=0,628 A.UL LCJl

b) tg <p= Un = R' (fig. 3.85).

tg cP=9,42.

1 - uef 1 3 1 Aej - ~-~, ej=, .V R2+L2CJl2

) U (f' 386)C 1L,R= VR2+L2CJl2' :lg. . .

0~UL

&,IJr

1 cas cP=1L.R cas CPL.

1 sin cp=-Ic+h,R sin <PL.

I=VIl.,R+1b-2Ich,R sin CPL,Ietg ep=tg CPL- ----

h,R COS <PL

d) 1= U _

VR-2+ (-LCJl- -~J2I

UC=-'CCJl

UL=IVR2+£2w2,LCJl __ 1_

CCJltg<p=---R

1=1,52 A.Uc=240 V.

NIB=fJ.rfJ.o-

2-,7tf

<I>L=- .

I

1. E = I:~, =BN S (i) sin cui (fig~ 3.87).

BNSwEef= V2" .

Lw N2Swtg cp=- =-.R lR

Z=VR2+L2CU2, 1e/=Eel.

Z

I Eele/=R12. C=-,

LwZ

T( 2

"3. dW =J2R di, <W> =R11r)sin2 cuidi= R~M T.o

E2f<IV>= _e_T.R

E~f<p> =-'R

:3.1.65.

J. ZI =VRr+LTCU2,

Z2 =VR~+L~CU2,U11=-,ZlU12=-,Zz

2 ... L1w.. tg _CPl = R

1'

Lzwtg CP2=-'Rz3. R=R1+R2·

L=L1+L2·U

1=-,Z

VI =IZ1,

ZI=11,70.

Z2=1280.

11=9,4 A.

Z= V(R1 +R2)2+(L1 +L2)2CU2, Z=138,80.

1=0,793 A.

4. Pi = (~J2Pl' P; = (25)2Pl> P; =2750 W.

P2= ( :: )2P2, P2=(25)2P2, P2=9800 W.

3.1.66.P=I2R, unde R este rezistenta totaIa a radiatoarelor dispuse in paraieI.R=J.i~.

S n2

I=~R +r'

Fie R - ~0- S

de unde n= V ~o , ;0 =r.

Se gase~te ea rezistenta eireuitului exterior trebuie sa fie egala eu rezistenta intedoaraa sursei.

G- . d d d' t~ 02p. • d • V II . I I'asm a oua enva a - ~l punm mea n = -ro aJungem a cone uZla eaan2

oP =0 este 0 eonditie de maxim.on3.1.67.Se noteaza eu V - viteza mi~earii dirijate a eleetronilor in eonduetorul bobinei ~i ellN - numarul total de eleetroni din el. Dupa Iegea Iui Joule, Iuerul meeanie efeetuatde eurentul I in timpul dt prin eireuitul eu rezistenta R,

dL=I2R dtdar aeela~i Iueru meeanie se exprima ~i asHeI:

dL=-Nd (n;2) =-Nmvdu,

m - masa electron ului ;dar I=j S, j - densitatea de curent, S - suprafata seetiunii transversale a~condue-torului.j ~enou, no - numarul de electroni Iiberi din unitatea de volum.I =enouS, e - sarcina eleetronului.Introducind aeeste expresii in (1),

dL =noeuSRI dt =noeuSR dq, (3)

dq - sarcina electriea purtata de eurent in timpul dt.Egalind (2) ~i (3) se obtine:

noeuSR dq=-N mu du, (4)

dar nolS=N.

Din (4) rezulta :

eR dq=-ml dv.

Integrind se obtine toata sarcina ce trece prin galvanometru la actionarea bobinei ;viteza electronilor variaza de Ia Vo Ia zero. Deci :

eRq =mlvo' q= ~ _I vo. Daca se noteaza valoarea diviziunii galvanome-e R

x=}L = -~ vo' vo=wr, r - raza bobinei.n eRn

q m Swlrx=-=---n e n

3.1.68.Dupa Iegea lui Kirchhoff:

{R10+r111 =R11Rx1o+r211 =R21

de unde:

3.1.69.

1=U

RAB+R

1=11+1;, I _ URz1- (RAB+R)(Rt+Rz+rg) ,

URz12=-------(R'AB+R)(Rz+ rg)

RAB= Rz(Rt+rg) , RAS= Rz rg .Rt+Rz+rg Rz+rg

UR2=Kin1(RAB 'tR)(Rl +R2+rg).UR2=Kin2{R'AB+R)(R2+rg).Kin1{RAB+R)(Rl +R2 +r g)=Ki112(R'AB +R)(R2 +r g}.

K.- URz1-

nz[rg(R+Rz)+RRz]

3.1.70.B=kt2•

d¢J de: =- - =- - (Ra2 cos a) =-2kla2 cas a.

dt dl

t;Q= ~ ~ dt = +_k_2_U4_CO_;_C;;_U_l3_

ox=~=~·

O2 R1 '

16 a4 = _1_~ = _1_R2 16 R1 8

~U.71.

I (. kl2leI> = ) El dt = 2'B = __ k_l_

2-- =k

1t2,

27tr2 cos C;;

kk1=-----27tr2 cos C;;

:3.1. 72.'Cantitatea de electricitate care trece prin galvanometru este :

t t t <I>

q = ~Idt = ~€ ~d dt = ~ ~(- :~) dt = _ ~ I = ~o ,

o 0 0 0

unde eI>o este fluxul de inductie magneticii prin suprafata sectiunii transversale a in-\fa~urarii S creat de cimpul magnetic al substantei de studiat pina la decuplarea cir-<cuitului.De aici: ¢o =qR, (1)

dar, ¢o = B1 Sn, (2)lUnde B1 este inductia magnetica cantata.

2RqR=B1Sn, B1=-,Sn

<dar q =«0(0' deci B1= c;;CJ:oR =0,36 T.

Sn

d<I> 1 kn fLoSEind=- - =--knu.oS, Iinu=--- .

dl I I Rl

iForta care actioneaza asupra unui element de arc dl al inelului din partea cimpuluimagnetic este dF=lind Bd!.

Forta care actioneaza pe unitatea de lungime a inelului este :

dF k2n2[Lijsf= dT =lind B=- Rl2 t.

iFortele VOl' comprima ineIul; f=-7,t·1O-s N/m.

:3.1. 74.Cimpul magnetic in interiorul soIenoidului dupa legea Biot-Savart-Laplace este dat,de expresia:

B =lnoflo = (lo-kt)noflo'

"if.e.m. care apare in ineI dupa legea lui Faraday este:

d<I> dEind =- - =- - [(Io-kl)nofLoS] =knafloS,

dl dl I.

iar curentul de inductie,I knafLoS •ind= -R-

Forta care actioneaza asupra unitatii de lungime a inelului este dupa legea lui Am-pere:

[= Bli~~dl = (10 _ kl)n5fL5 k:, [=3,9 '10-7 Njm.

3.1.75.Fluxul magnetic prin rama este <p=BS cos ct.=Bo cos(w'l) S,cos(wl±nj2);deci dupa legea lui Faraday:

E:ind I =- d<I> =Bow' sin(w'l)S cos(wl±nj2)+Bo cos(w'l)Sw sin (wl±nj2)_dt

t=10 s

€ind I = ±5,65 .10-3 V.t=10 s

Dupa legea Biot-Savart-Laplace:

BM=~; iar2TCy

fluxul de inductie magnetic prin elementul de su-prafata ha~urat este (fig. 3.88) :

d<[>=~ a dy; fluxul prin toata rama2 TC Y

x+a$= (~a dy = fLo1a In x+a •

J 2TCy 2TC Xx

d<I> d dx fLo1a x a€ind=--=---=----- V=

dt dx dt 211: x+a x2

Eind 2 TC x(x+a)V=-----, v=100 mjs.

fLo1a2

fLo1a2v

2TCx(a+x)

3.1.77.Inductia magnetica a cimpului creat de conductor este :

B =.E:Q..!l- • iar induct,ia magnetica In centrul spirei este :1 2 d '

B2 = .E:Q.2; pentru ea ele slnt perpendiculare,2 r

Brez=i/Br+B~= ~o V(:.~r+(:2r =7.10-6 T.

3.1.78.B-~~

1- 2 d

3.1. 79.

B1 J::Q..!l Pentru cii B1 ~i B2 sint perpendiculari :2rr d

2

d¢>:E:=-ctt'dar <D=Ll,

L _ gIRl1 - ,

I

E:ind dt =-d<D, deci I <I> I =qR,

lL=qR.I _ g2R2-'2- I '

3.1.81.Fortele care actioneazii asupra laturilor conturului care nu sint paralele cu conduc-torul rectiliniu ~.int egale ~i de sens contrar. Fortele care actioneazii asupra laturilorparalele ell conductorul iiniar Slut de asemenea de sens contrar dar inegale ca miirime,

Dupii legea lui Ampere:

F1 =~III2 C ~i F2 = ~~ C.2rr a 2rr (a+ b)

F=F,-F =[LOII~ac+bc-ac = fl·o I I _b_c_- 2 2 rr a(a+b) 2rr 1 2 a(a+b)

F=2,13·1O-5 N.

3.2.1. 1) Ql =8.10-4 C,2) VB=800 V.

3.2.3. Ql = ~ 10-8 C,3

d at2 bs=- =- unde t = -san2 2 v

F eJ1. cVa=-=-=-, ,-

m m md

Q2= E.-10-9 C.3

2) U1=Ead=2,1·104V; Q=C1V1= SVI •4n:d

La legarea In serie sarcina condensatoarelor este aceea~i, deei tensiunea eonden-

satorului eu stieHi va fi U - J{. _ VI2- C

2- €r •

U=3U1+U2=6,6'104 V.

i2:"5.- qr=10-4 C.

3.2.6. Fie axa Ox dupa direetia Vo' Dupa aeeasta axa partieula se mi9ca uniformx=vof. Dupa axa OY:

d2y dy q EF= m - F=qE ; - =- __ 0 cos(wt+ep)ill2 dt mw

qE q E qEo -I sin CD sin ( wx )Jy=--osin(wi+cp)+-osin9=-- ,__ 0 +cp ,InW2 mw2 InW2 ~ Vo J

2 qEo r ((,)X ) 0 (,)X]y=- -- eos -- +cp Slll-- .mw2 l 2 Vo 21'o

3.2.7. 1) VA=1,8 ·106V. VB=1,5 .103 V. 2) L=1,7985 J.

3.2.8. n=4·104•

3.2.9. 1) C~2,8 nF.2) Q ~2,8 nC.3) q~5 pC.

3.2.10. 1) Z=353,27 n. 3) Umoxc=93,41 V.2)eos cp=0,331.

bl'b=P -,

.40Va2+1>2

l'c=P-A

--

Pe DAC: (i1 +i2)l'a+ill'b =U DC; pe nABC: 2(i1+i2)l'a+i2l'c= UDC·

D .... ra+rc U .. Tb-T" U·eel: 11= DC; 1.= DC'2TaTb+TaTc+TbTc ~ 2rarb+TaTc+TbTc

RCD

= UCD=_'! ..CD = 21'al'b+l'c(ra+rb)I 211+12 l'a-l-l'b+2rc

1) R=10 n, in paralel eu llimpile primului rcostat.2) x =40 elemente.

W = E2 = U2 4.10 8 w .P pl2 m3

Ra=1 n. 1=20 A.

1) 1=2,5 A.

2) X U2 VR2+122..LL=j-= 2 ~U),

X~ = ~ = V (Rl +R2)2+VW2, L =0,0888 H.

3.2.14.

3.2.15.

3.2.16. 1) C=2,1 KJjkpoC.2) Rs =0,52 n.

Ra=19'103 n.3.2.17. 1) I=5 A.

2) R=24 n.3) to =73,2°C.

4) 1\=334,4 _kjjkg.5) W=720 kJ.

.'3;2.18.1) 1=0,2 A.2) UAB=9,8 V.

3.2.t9. 1) 1=2 A.2) H =8.103 Aim.

:3.2.20. 1) V = Vm sin (;)t.

(;)r =6289 S-1

·3.2.21. 1) 11=1,06 A.2) H =2120 Ajm.3) ([:1=135,68.10-5 Wb.

3) C=44,28·1O-1o F.Q =4,34 '10-8 C.

3) cI\ =1009,62.10-5 Wb,([:12=2019,24.10-3 Wb.

4) L1=504,81.1O-5 H,L2=1009,62·1O-3 H.

2) /50 V2 V,100 V,o V.

4) 12 =44,82 m.5) m1=0,239 kg.

m2 =0,287 kg.

·:3.2.22. Cimpul ereat de prima infa~urare este:HI = 0,4" IN! =400 Oe ~3 .104 Aim.

2"RCea de a doua infa~urare creaza un eimp,

H2 = 0,4"IN2 =200 Oe ~3j2 104 Ajm.2rrR

Deoareee cimpurile acestea slnt direct opuse :H=H1-H2=200 Oe~3j2 104 Aim.

'3.2.23. 1) n =8, p =2. 3) P=18 W,2) Imax =3A. 4) 1 =3,66 m.

3.2.24. 1) Iv.=0,436 A.

2) V =5,22 em3•

Fie (fig. 3.89) :HbobinaY=+(~-(Y.) ~i ~= ---Ho

3.2.25. 1) 1=1,2 A,2) e' =24 V.

3.2.26. 1) v=8 .105 Hz,2)' C=1O-12 F.

3.2.27. 1) 11=6,4 A.2) 12 =0,44 A.

3.2.28. 1) e: =0,4 V.2) e: este defazata cu 8=rcj2 in urma fluxului.3) f=10 Hz.

tg '( = __ s ,. (tg2 a+1J±stg C(

UAB=112,8 V."IJe=0,8.

A=375 m.

3) 1=15 A.4) l' =8 A. Re =7,5 n.3) 51=1,1 cm2•

3.2.29. 1) Z"-27 Q2) tg 9 =2,5.

2) VeiL =37,72 V, Vcf.=94,32 V.3) tg <p =0,6.

3.2.31. 1) flr=2930.

3.2.32. 1) R=53,4 Q.

3.2.33. 1) H' =53,078 Aim,H"=O Aim.

3.2.34. 1) V =0,4 V.2) m=948 mg.

3.2.35. 1) L=2·1O-3 H.2) C=lO-11 F, {=106 Hz.

/- ( 11: )3.2.36. 11=18}2 sin 200nt'+' (; .

12=20 Sin(100 nt- ; ). L1<p=2 n/3.

V1=15V2 sin (200 nt- ;).

U2=75V2 sin (100 nl-n).

3.2.37. 1) Rv=Rs _11_, Rv=5 Q.1-11

2) 1'=1,66 A. 1"=2 A.

3.2.38. 1) m=0,39 g.2) l=l em.

3.2.39. 1) P=U11+RI2, 1=2 A.2. Q=432·103J.

3.2.40. a) R1 =44 Q.

b) a=4,7·10-3 prad-1•

3.2.41. a) U=E _R_ (fig. 3.90).R+ri

u ~

£l---------V=='R

4) RapartuI de transfarmare n = 1J4.!uU efs=27,5 V.

5) P=1778,95 W.Pr =776,24 VAR.

2) cas 92=0,927.2) C=1,01'1O-3 F.

H'" =53,078 Aim.2) HA =19,904 Aim.3) 11=0,32 A, 12=0,08 A.4) mapa=5,1 g; Mgheata=44,9 g

Ia O°C.3) N =500 spire.

4) 5=3'10-3 cm2.

1=3,66 A.

3) Pu=147,6 W.

Eb)1=---

R+ri+r

1) Rt=8,90 n.2) Rt =9,70 n.3) U =52,87 V.

1) V=0,2 m/s.3.2.43.

3.2.44. 1) Se poate aplica teorema superpozitiei:1=0,75 A.

3.2.45. a) m =0,47 g.

3.2.46. 1) £=0,101.10-4 H.2) t=1,2 s.

3.2.47. 1) fI1(1'1+R1)+(I1 +I2)R =£1

[I1(r1 +R1)-I21'2=EI-E2

I 0 ! l't + R1+R E1 I2= --3>-1 =0, r1+R1 E1-E2 '

~ = r1+R1+R.E2 R

2) 1'1 =1,5 n.3.2.48.:1) le=0,41 A.

2) lr=15,41 A.

4) P=5,263 KW.5) n=8,42,

n=9,09.

2) e=2 V.

2) nu.3) U=+0,75 V.

3) ~'/~=1,001.4) 1'=2,65 m.

3.2.49. 1) 11(R1+R4)-12R2=EI-E211(R1 +R4 +R3)+12R3=E1

II --3>-0 \E1-E2 -R2

1 =0.E1 R3

E1 R3-=--.E2 R2+R3

2) Din conditia trei de la punetul anterior:

R3=1,33 n.Folosind conditia doi de la punctul anterior:

12R3=El'13=12=1,504 A.3) U2=3,008 V.

3.2.50. 1) U1 =48 KV.

U2=6,6 KV.

2) C1=4, 17 flF.

C2=60 flF.

3) ~ = _E_r - (fig. 3.92, a, b).c2 (Er+1)2

3.2.51. 1) R=5,366 Q.

2) Ro=3,12 Q.

3) Rt=~RG'G

3.2.52. 1) E=ll0 V.2) 11=12,5 A, 12=7,5 A.

3.2.53. 1) g=500 Q.2) 1'=3 mA,

1"=15 mA.

3.2.54. 1) E' =0,4 nV.2) 1=(150-0,1 n) A.3) V' =(150+0,3 n) V.

3.2.55. 1) 1=15 A.2) Rt=8 Q.

3) R=180 Q.

4) t=95°C.5) 1=1,36 A.

3) RB=1,5Q.4) W=180 KJ.

3) U =1,5 V.

4) P' =(60 11-0,04 n2)W.n

5) "1)=--'1 500

4) P=45 \V.5) U =90 V.6) "I) =0,75.

3.2.56. Pe portiunea AEzB exista VA-VB=Ez-111'2'

11= E1+E2 , 1'1 ~i I'z rezistentele interne ale celuleIor gaIvanice. In acord CllT1 +T2 +R

conditia initiaIa, potentiaIuI punctuIui A este mai jos dec1t cel aI punctuIui B.

Deci VB-VA>O.Pentru celaIaIt circuit:

Uz=Vi3- VA=E2+1zrz,E -E12= . 1 2; rezoIviud sistemul de ecua~ii se obtine,

T1+T2 +RUz= 2 EIE2+Ul(El-E2) =1,86 V.

E1+E2

3.2.57. 1) 12=0,75 A; 13=0,25 A.2) E=5,25 V.

3.2.58. 1) R3=80 Q.2) R1=4Q.

3.2.59. 1) UL.=1,61 V,U L'= 15,54 V,Uc =157,6 V,UR, = 0,099 V.

3) P=1,19 W,

Pr=0,0053 VAR,

Pa=1,19 VA.

4) Deoarece capacitatea de rezonantaintrodusa 0 capacitate In serie en C,

C = CCr =0.22 Fx C -C

r• fl··

3) Ra= 100 Q.4) 1'=0,6 m.

2) cos <P1=5·10-4,

cos 11'2 = 0,02,cos <P = 0,0045

3.2.60. 1) 1""'0,71 A,UL=70,86 V,UR=71 V,P=50,41 W,PL=85,22 VAR.

3.2.61. 1) 1=1 A.2) R=30 O.3) m1 =2,01 g,

3.2.62. 1) 11=2,4 A, Rm=40 O.2) 12=1,2 A.3) Um1 =96 V.4) Ec =60 V, Um2 =48 V, 1') =75%.

3.2.63. 1) W=9,8 k\Vh.2) UAP=4,2 V.3) UAB=254,2 V,4) R=1,47 O.

3.2.64. 1) {1:(R~r;,3)+1"R3=El1 R3 I I (R2'tR3)=E2,

1'=1,76 A, 1"=0,82 A. Deei

3.2.65. 1) 1=0,21 A,Z=1040,26 Q,

tg ep=-104.

Re = RvR.RL 'tR'oRvR+RvRL+RRL

J =~, 1=10,06 A,Re+ri

·I)R.I~ me1L2) ti0 = - .• -,

maC l{ ·Iv

3.2.67. 1) R4=10 Q.

2) U = IS,S,! V.

3) U4=1,45 V.

4) 1=0,58 A,

2) Cr=333 fLF.3) Se anuleaza.

'Itep=-.6

II=1', 12=1", 13=1' +1", 13=2,58 .-\.1=0,28 A.l1 =2,8 .106 S.

l2=24'106 S.

2) P=1,05 W,Pr =46,15 VAR.

3) C=O, 1=0.

Is.4=0,14,15=0,07 A,16=0,37 A.

5) W =10,93 Who

R1 =K-l.R3

3 ? 68 U - Un-1 R _ Un-1•_. • n - R1+R

33 - K '

U Ui-l t . 1 1-' d' . t t l' . I 1i = --pen ru once ce u a, eCI reZIS en,a u tImel ce u e,K

celule, ultimelor trei eelule etc. ar trebui sa fie ega1e eu R 3'

_1 1_ + 1 R _ R3(R1+R3) -R ~- 2- - 3 'Ra R2 R1+Ra R1 J{ -1

R1: R2: R3= (k-1)2: K: (K-L)

3.2.69. 1) l' =2A, 1" =2,66 A.2) Pma.x =32,66 W (Ia scurtcircuit),

Pmax debitata=8,14 'vV.3) R=1,5 0, (Re=ri)'

3.2.70. 1) Se considera sfera formata din straturi de raza r:;;i grosime dr. Curentulin direc~ie radiala se va intinde pe 0 suprafata a stratului 41tr2, lungimea stratului

fiind dr. Din aceasta cauza rezistenta stratului este: dR = p ~4,,1'2

1',

R= \_p_. ~ = p(T1-TO) ,

J 4" 1'2 4,,1'11'01'.

2) Imin =lim 1= 4" TO U, lim R = _P- = Rmax•y,~oo p 1',~oo 4,,1'0

-+ -+Semnul ,.minus" a fost ales deoarece j :;;iE sint indreptati spre centrul sferei.

l'

5) dV =-Er, Vr= (20~ U ~ = U 1'11'0 •

dT JT1-TO 1'2 1'1-1'0r.

D" I' ~ d t dP "E d .ensltatea vo umlca e putere es e - = J , eCIdV

Marimea puterii care se afla in stratul de raza r ili grosime dr va fi :

dP = W41tr2dr = 4" • (T1ToU)2 ~, de unde,P 1'1-1'01'2

dP = 4" (1'11'oU )2 2- .dT P 1'1-1'0 1'2

3.2.71. U =IR, I =enSd, S suprafa~a pIacilor condensatorului.

Sd=4 1tcd2•

U=en 41tCd2R::::1,4X10-11 U

3.2.72. E=IARA+UA, IA=AUA+BU~.

I =.-!!-+(ARA+1)-V(ARA+1)2+4EBRA 5 AA RA· 2BR2 = m .

A

j1'(R2'tR1 +R6+R;H-I"R~-R6I'" =E2I'R;+ +. I"(R3+R4.+R8+R~)+I"R8=E2-1' R4 + 1"R8+1"'(Ri+Rs+R6) =E1

l' =6,92 A, I" =-1,49 A, 1''' =13,77 A.IR,=IR,=1'=6,92 A; IR.=IR,=I"=1,49 A.IR,=1'+1"=5,43 A, 18=1'''+1''=12,28 A.IRe=I"'-1'=6,85 A, IR,=1'''=13,77 A.

2) UAP=142,87 V, UEP=87,51 V, UDG=11O,02 V.3) PE,"-'0,86 kw, PE, =3,3 kw.

PR, =0,38 kw, PR,=0,57 kw, PR,=6 W, PR.=l1 W.PR,=1,13 kw, PR,=0,18 kw, PR,=0,2 kw, PR,=1,51Pr,=0,059 kw, Pr,=0,19 kw,

8PE,+PE,=~PRI+Pr,+Pr"

1=1

4) 'fj =0,94.5) q=0,37 C.

1) v"-'107 mis, Ec=4,52·10-17 J.2) ac=5·1014 m/s2, Fc=45,5'10-17 N.3) T=8·1O-17s, v=1,25·1016 Hz.4) n ~ 1016 electroni.5) F=9,1 ·lOg,N.

1) II =IR=6 sin Nt A (fig. 3.93),

I2=h=19 sin (Nt--i'l A.\ .

I3=lc=3 sin (Nt+~)A.2 j

2) PI =359,99 W,

P2=1,139 VAR.P3=179,99 VAR.

3) tg cp =-1,56.

4) 13=3 sin (0,026:+ ;); 13=2,997:A.

3.2.73. 1) Notlnd R~=R7+rl, .R~=R5+rl,.

a,r 1 sin 6 dl a3.2.76. H= \---, l=a ctg e, r= -.J 4 rcr2 sin' ea, -

a,H=- ~ \ sin e d8= _1_ (cas 81-cas 92),

4rca J 4rcaa,

rc 2rc A91=3,82=3; H=31,8-;;;.

~ Ie

+-IR- ~Jl.iL

3.2.77. 1) UBC= !!-R' UBc=50 V.R

R'r2) Re=R-R'+ --, Re=19,09Q.R'+r

3) lr= u- UAG , Ur=U-UAC'r

3 2 78 1 U • . t d t•• • 0 = -, Inam e e conee are.R

1 = U , dupa conectare.R+RA

10-1 1E = -- = --; RA ~ R, era area este neglij abilii.

10 R1+-RA

3.2.79. 1) Hl =238 AJm.2) H2=185 AJm.3) .!!-- ~ =0, X= --~ D.

x D-x 11+12

4) F=10-2 NJm.

3.2.80.1) 12=0,06 11.,1=0,30 A, 11=0,24 A.2) UB=5,82 V.

3.2.81. 1) E =100 V.2) R=2 0, 1'=2.Q.

3) lx=16,6G A, ly=8,33 A.

'1) 1= E ,I = 9Exv (9-y)v+9r--+r

x+v

Imin~[(9-y)y+9r] maxim, y=9J2 .Q,

3.2.82. 1) Rs=4,9 .Q, Ra=414 .Q;2) Rs =2,3 .Q.

3.2.83. $2 =2,5, I2=~2·1O-5AJmm2.51 52

n =45 .1016 electroniJmm2•

3.2.84. Re=18 .Q.

U r 13.2.85. '1)=- =1- -- =1- --.E R+r 1+ ~

r

'1) max, R>r.m2) tserie = ---(r+2R),KE .

tparaJel = ~ (1' + ~) .KE 2

3) tcu> tAg.

3) Q=345,6 J,4) V=2,2.10-3 m3•

5) Rm=l Q.

6) Ec=25 V.

E

R-- lib

r N-+----n II

-- +lIbS

E

11--Rb

r N-1- + -~-----n R

-- +lIbJY-1

ER-Rb

r N--+----n-1 R

- +lIbN

~1'=Jb-Jb'=O,OOl A,~I" =1b-Jb' ---+0.

c) Daca ~I" =0, Rx=O.

Rezultatul ar contrazice Ia prima vedere legea a treia a lui Newton.Experimental se poate realiza numai 0 interactiune a doi curenti inchi~i pentru.

care ]rgea a treia a lui Newton se va respecta.

a) R=3 Q.b) 1=0,83 A,c) R'=2/3 R,d) U=2,5 V.

1)J= E(Rx+Ry)RAr+-----Rx+Ry+RA

E(x+ ya2-x2+a)J= -- ~ ..~.-(x+ Va2-x2)(a +r)+ar

E(Rx+ Ry+ RA)(Rx+Ry)(RA+r)+RAr

2) P = [E-1 (x)r]I(x) =E I(x)-J2(x)r,P' =0 cieci £1' (x)-2 rIJ' (x)=O,1'(X)=O sau E-2rJ=0,

a aJ(x) =0, x= y_; Y= ,/- .

2 y2

U a3) JAC = -- =E --_-_-_-_----x+y (x+Ya2-x2)(a+rHar

A EC--+B, x--+a, lAC =. ,

a(a +r) +arA E

B--+C, X--+O, 1Ac= ( +) +a a r ar

3.2.9G. m(,)2r=EeR R( (m mcuR2

U=- j Edr=- j-e- (,)2 ]'(lr=- ~ =-2,9.10-10 V.o 0

3.2.91. 1) 1=0,2 A.2) U1=0,4 V, U2=0,6 V,

U=1 V.3) Pi =0,08 W, P2=0,12 W, P=0,2 W.

3.2.92. 1) R=31,25 n. 3) W=83,33 who2) t=334,8 S. 4) C=0,04 lei.

3.2.93. 1) Ct=2fLF. 3) Rs=0,1 Q.2) 1=10-3 A. 4) m=0,1 kg.

3.2.94. 1) Iv=1O-2 A, 2) L=3,5 .1O-'l H.1B=2 A, R =50 n. 3) cos cp ~0,9.

3.2.95. Bilele VOl' fi aranjate in colturile unui triunghi echilateral cu latura v;- l.

Forta cu care actioneaza doua din bile asupra celei de-a treia este F = 4QV~' 0 hila• [2 3

va fi in echilibru daca tg a= ~(unde a=300). Deci: Q=.-!- Vm,g=100 CGSQ•mg 2

3.2.96. In mii;)careauniforma picatura este supusa aetiunii fortei de gravitatie G,.fortei arhimedice a aerului F, fortei cimpului, electrostatic eE i;)ifortei de freeare

cu aerul kv=k£. Toate aceste forte se echilibreaza. Deci; G-F-e£+ k~ = O.I' 11 -

G-F+eE-k~ =0, G-F-k £ =0,12 I

unde e este sarcina picaturii, E este intensitatea cimpului electric i;)iS distan ~aparcursade picatura.

Hezulta t = 21112 •

11- 12

3.2.97. Pentru ea Q ~ q, interactiunea intre elementele separateale inelului poate fi nealijatiL Fie un element mic la ineluhcu lun.g-imea Rt::..a. Sarcina Q actioneaza asupra sa cu forta'

t::..F = Q:2q unde t::..q = :~rx(fig. 3.94). Fortele de tensiune ale

inelului T echilibreaza t::..F. Din conditia de echilibru gasim :

t::..F = 2T sin(~rx)-Tt::..a.

Deci forla cautata va fi :

T=·_J1L.2r:R2

3.2.98. Presupunem ca sarcina este uniform distribuita pe ambele suprafete ale

placii, fiecare avind aria ab. Densitatea superIiciala va Ii: G= ~. Cimpul in inte-2ab

riorul metalului este zero, iar intesitatea in afara metalului este :

Q 2r:QE=4rc -- = -- .2ab ab

3.2.99. Diferenta de potential intre bile va fi E. Deci

Q1 _ Q2 =E, Q1 ~i Q2 fiind sarcina bilelor.1'1 1'2

Conform legii de conservare a sarcinii Q1+ Q2=0.

'Q __ Q _ E1'1 '.21- 2- •

1'1+1'2

E21'2 1'2Conform legii lui Coulomb: F= I 2 =0,0044 dyn.

R2(1'1 +1'2)2

3.2.100. Se ~tie ca E1-U1+Ez-U2=0.Sarcinile pe condensatori sint acelea~i, pentru ca suma sarcinilor aflate pe con·

ductorii superior ~i inferior este zero. Deci:

Q=C1U1 =C2U2,

U = ~ (E +E )=17,5 kv,1 C1+C2 1 "

U2 = -_!:}- (E1 +E ,) =7,5 kv.C1+C2 -

3.2.101. Fie diferenla de potential intre cape-tele bateriei de condensatoare U, iar sarcina ba-"teriei Q (fig. 3.95).

QCo= U' Q=q1+q2+q4=q4+q5+q6'

U =U4= q4 .C

In circuitul inchis lucrul forlelor cimpului elec-trostatic este zero. Deci :

'fir _~_ q3 =0C C C '

~ _ q4 + qo =0 si q3 _ qo + q6 =0.C C C ' C C C

'Conductorul care leaga al doilea, al treilea ~i al cincilea condensator este electricneutru. Deci : q3+q5 - q2=0.

S ~. 0e obline final: q1= q2 = q5=q6 = 2 ~l q3= .

Deci: Co=2C.

3.2.102. Energia totaHi a celor doi condensatori inainte de Iegare este :

Weo =2.(CIUi+C2U~), iar dupa Iegare:2

We = 2.~ = 2.(C1U1+C2U2)2 •

2 C1+C2 2 C1+C2

Se vede u~or Weo> We' Deci:

WeO- We= C1C2 (Ui+U~- 2U1U2»O.C1+C2

Crnd U1=U2, iVeo- We=O, iar dnd C1=CZ ~i Uz=O atunci Weo=2We.

Energia electrostatica seade pentrn ea atunci dnd condensatorii sint legatiprin conduetori, sarcinile se deplaseaza de fa un condensator Ia celalalt. In conduc-torii de Iegatura se degaja caldura : cantitatea de caldura nn va depinde clerezis-tenta conductorilor. Crnd rezistenta este mica, conductorii VOl' permite trece-rea unoI' curenti mai mari prin ei ~i invers.

3.2.103. Daca dielectrieul este introdus intre placile condematorului pe c1is-tanta x, energia condensatorului va fi :

W _ Q2 _ A U2 1 uncleel - 2C - 8rrd x

1+(e:r-1) -I

C= ~{l+(E:r-l)~} ~iQ= ~ U.4rrd I 4ita

Crnd x devine x+1) energia se va reduce Ia:AU2 1

We = - ------2 8rrd x+1)

1+(E:r-1)--I

Aceasta va fi Iucml fortei cautate F, pe clistanta I). In general, marimea fortcise va sehimba pe aceasta distanta, dar daca se considera I)suficient de mic, atullei :

iVel - We2=FI).

Rezulta~ F - AU2 e:r-1 I'" 1 ~- 8rrdl { X}2' neg IJIIlC o.

1+(e:r-1) 1

3.2.104. La Iegarea in serie R=Rol+Ro2+alRolt+a2Ro2f.Dar R =Ro(1 +1X'f), daca notam Ro =R01 +R02 ;IX' este coeficientuI de variatie eu temperatura.

La legarea In paralel :

R = ~lRo2(1+CXli)(1+CX21) =Ro(l +cc"i),ROl(1 +cxli)+ Ro2(1 +cx21)

Ro

= ROlRo2 cc" r" R02CXl+RolC1.2

R01 +R02 R01 +R02

3.2.105. Din cauza simetriei 11-7=17-4,12-7==17-3, 16-7=17-5,

Deci rezistenta totala nn se va schimba dacaconductorii 2-7, 7-3, 6-7 ~i 5-7 sint deconectatidin centru. Rezistentele part.ilor inferioare ~i superi-oare din circuit VOl' fi egale fiecare cu 8Rj3 (fig.3.96). Rezistenta totala a circuitul Rx va rezulta din:

1 1 6--=-+-;2Rx 2R 8R

4Rx =-R.5

3.2.106. Trebuie conectata Intre C ~i D(fig. 3,97) 0 astfel de rezistenta r incH rezistentaultimei celule sa fie r. Atunci ultima celula vafi inlocuita prin rezistenta r ~.a.m.d. Deci, rezis-ten ta totala a circuitului nu va qepinde de numa-

1 I 1 1 . f' I~ ,(2R+r)Rru ce u e or 51 va I ega a cu 1'. --- = r, ~ 3R+r

~i r=R(fi -1):::0,73 R.

p.

TI If

3.2.107. We =106 000 - 56000 =50 000 calorii=2 .1012 ergijmol este energia dega-jata In reactiile chimice. Lucrul curentului electric este W = QE; Q =2 X 4,8 X 10-1°.

6,02,1023 CGSQ,

WeE= .- =35 .10-3 CGSQ =105 V.Q' ,

Unde l este distan~a de la baterie la punctul de strapungere, iar peste rezistentaintern a a bateriei.

l' L' E 11(L' E ) ( E E )SeoD~me:R=---± ---;-I----+2r =(4±3)QII 12 II '2 l Is 12 )

R=l 0 nn este posibil, pentrn ca in acest caz punctuI de strapungere va fi la5,9 km de baterie adica:

l =L ~E-1ILp-1ILR =5,9 km.2r11

Rezistenta cantata va fi R =70.E-U

1=-·r

. EU-U2Deel P= ---,r

E VE2U=-± --PI'.2 4

U1 =9 V, U2=1 V.

Cind U1 =9 V, II =lA ~i R1 = ~ =9 Q.

Cind U2=1 V, I2=9A ~i R= ;2 = ~ Q.2

3.2.110. Pentru potentialul grilei E2= - 6 V curentul prin trioda este 12=;, iar

pentru E1 = - 3V este II = ~ .R

o cre~tere a potentialului grilei cu E1 - E2 =3 V produce 0 cres;tere a curen-tului anodic cu:

1I1--I2=-(U1- U2)=3,5 mA.

R

Marirea potentialului grilei fata de catod cu inca 3 V (de la -3V la zeroeu grila ~i catodul scurtcircuitate) va mari curentul anodic cu inca 3,5 mA.

Caderea de potential pe rezistenta R va cre~te cu U1 - U2=35 V ~i va deveniUO=U1 +(U1 - U2)=130 V, in timp ce diferenta de potential intre anodul ~icatodul triodei va fi E - Uo=120 V.

IfmA!1.'32

3.2.111. Prima dioda incepe sa conduca curentulnumai la Ua>O, adica V>E1 a doua la V>E2,

a treia la V>E3• Diagrama care indica vari-atia curentului total rata de tensiune va aveaforma unei linii frinte (fig. 3.98).

1=0 la V ~El'I =k(V - E1) la E1 ~ V ~E2'I =k(V - E1)+k(V - E2)la E2 ~ V ~E3'I =k(V - E1) + k(V - E2) + k(V - E3) laE3~V .

L- = 8,3 X 1O-5"jm.I

3.2.113. Conductorul BG nu va crea un dmp in punctul M aflat in prelungirealui BG. Conform regulii indicate, cimpul magnetic produs de un element al con-ductorului BG va fi perpendicular pe BM. Deei prezenta unui dmp diferit de zeroin punctul M va contraziee simetria problemei, pentru ca toate direetiile perpen-diculare pe BM au ponderi egale, HI =k1, fara eonductorul BD. Cimpurile

kIpentru A.B ~i BD se ;insumeaza. Deci dupa] eonectarea lui BD: H2 =k1 + 2'

D . H2 3eCl:- =-.HI 2

3.2.114. Conduetorul cu un gol in interior este echivalent eu un conductor solidprin care trece un curent cu densitatea j, in timp ce prin volumul care corespunde1'patiului gol trece un curent de aceea~i densitate indirectie opusa. Curentul total in acest volum va fizero. Aceasta arata ca exista un spatiu gal in con-ductorul solid. Cimpul creat de curentul cu densi-tatea j intr-un punct arbitral' al spa tiului gol A este(fig. 3.99) HI =k '2njR, R [fiind distanta [de laaxa conductorului la punctul A (presupunem ca 0curentul este indreptat spre noi). in [aceIa~i punctcurentul prin volumul corespunzator spatiului gol, darde directie in versa, creaza un dmp H2 =k ·2njr.Intensitatea totala a dmpului va fi:

R2+r2_d2coso.:= ----

2Rr

Deci intensitatea H =k2njd este aceea~i pentru toate punctele spatiului gal.

3.2.115.f::,.AOG",f::,.BAD;

Vectorul cimpul magnetic este perpendicular, in orice punct al spatiului gal, peIinia care une~te centrele conductorului ~i spatiului gal din interiorul luL

3.2.116. Asupra elementului de inel 6.l actioneaza forta 6.F=kIH6.l (fig. 3.101).Componentele sale sint 6.{, perpendiculara pe planul ineluIui, ~i 6.FI - aflatain planul inelului.

Nu~ai tJ.f actioneaza~asupra inelului ~i deci: f='ZkIH sin CI. tJ.li=klH 2nR sin a==237 dyn. [~;"

3.2.117. Porta Lorentz care actioneaza asupra electronilor trebuie sa fie F ==mu:h', adica mw2r=kevH.

Dar v=wr si H= mw., ek

Cimpul va fi dirij at in directia in care avanseaza un ~urub ce se rote~tein aceea~i directic cu axa cilindrului.

6.<I>3.2.118. Ei = 10-8 - = 10-8 kA, conform le,qii lui Faraday.

6./

E = -~ = 10-8 !5..rr}'2 =10-8 kr .2rr I' 2rrf 2

Acest dmp electric nu este creat de sarcinile electrice, ci de un dmp magneticvariabil in timp.

3.2.119. Sa impart,im inelul in n = b-a inele mici. fiecare cu liitimea I). Sa conside-I) . ,ram un inel mie cu inaltimea 11 r;;i cu raza interioara x ~i raza exterioara :l:;+I)~

2nxDad. I) ~x, rezisten~a inelului va fi: R = pI)h

T.e.m. de inductie in inelul mic va fi:

8=10-8 6.<I>=10-8nx2 k.6.1

Intensitatea curentului din inellll mic:t:!1= ~ = 10-8 7tx

2kl)ll = 10-8 kl)hx •

R p27tx 2p

Curen tul in intregul inel va fi:kill)

1= 10-8- {a+(a+I))+ a+2i))+ ..[a+(n - 1)1)]}2p

1= lO-skh (b _ a)2a + b - a-I). daca 1)--+0,2p 2'

I =10-8k17 (b2 - a2).4p

3.2.120. 81=10-8 ka2 in circuitul ABCD.

E. = 10-8 k - (/2 in circuitul BEPC.- 2

Cel mai simplu circuit echivalent este inclicat infigura 3.102. Conform legii lui Ohm: 13ar= E1 - 113ar ==lo2ar - Eo.

-h =12+- 13,

I _ Ge:l + 2e:21 - 22ar '

I _ 2<:1 + 8<:22- ,

22al'-/1 -/2

C fFinal:10-8ka 7

11=--'-,r 22

10-8 k(/12=---

f

10-8 ka 113=----. -.22

3.2.121. Notam viteza conductoruIui la un moment dat cu u.

La aceIa~i moment t.e.m. (u) va fi <:=10-8 Hlu, iar curentul 1=~·1O-8Hlv.R

Forta indusa de cimpul magnetic:

f=10_gH2/2u.R

R2z2uLa momentul dat : ma =mg -f =mg - 10-9 ~-- •

R

Pentru f =mg, a =0; de Ia acest moment conductorui se va mi~ca cu viteza'Constanta Uk

mgR·l09---

]i2/2

.3.2.122. <D=N1Af.Ll·H2' unde N1 este numarul de spire in prima infa~urare ~i H2este cimpul magnetic creat in miezul c elei de a doua infa~urari. Aproximativ'-1 IrrN21 d' . I' I' D .M 4rrfLrANIN2

L 2 = -_., un e I este penmetru mlezu Ul. eCI = ----./ /

3.2.123. VaIoarca efectiva a unui curent aiternativ este valoarc;:] curentului con-tin \l Ll care produce aceea~i cantitate de dllcl ura in conductor ca ~i curentul alternativin acela~i timp.

Q =0,24 IgR T +0,24 IgR!.- =0,24 15R!.-,884

2 I 4Q=0,24 Ief RT. Deci: ef= -.2

3.2.124. Tensiunea anoelica a fiecarei diode eote

Ua =!:!.... sin w[-IR (fig. 3.103). Curel1tui trece2

:prin dioda dnd Ua>O ~i nu trece dnel Ua < O.lutr-un sfert de perioada curentul nu ya treceintr-un interval de timp 0 < t < tl' t1 fiind dat

-1 U. t lR ° T . 2IR'<.Ie: - SIn w 1 - =; t1 = - arc sm2 2rr U

Acesta va fi ~i timpui in care curentul uu vatrece nici in urmatoareIe sferturi de perioada. Dcci, intr-o perioada curentuinu trece in timpui egal cu:

2T . 2IR- arc sm - =0,456 T.

rr U

3.2.125. Cind rezistenteIe de sarcina siut egale, curentii 11, 12, 13 sint egali ca

.amplitudine ~i decaiati cu 2; . Deci: 11 + 12=10 sin wt +10 sin (wt4- 2;) =

= 10 sin (wt+ ,;).

II+12+13 =losin (wt+ 71: )' +Jo. sin (wt+ 471:) =210sin (wt+~) cos ~ =0.3 _ !. 3 6 2

II+12+13=0.

H3=Ho sin (wt+4;).

Proiectiile acestor dmpuri magnetice pe axele alese x ;;i y VOl' fi:

H H . t+H . (t 471: ) 271: H . ( t 471:) 471:·X = 0 sm w 0 sm w +- 3 cos3 + 0 sm w +3 cos3 .

H H . ( 271:). 271: H . (t 471:) . 471:y= osm wt+3 sm3+ osm w +3 X Slll3'Hx=3/2Ho sin wt; Hy=3/2Ho cos wi.Aceste proiectii sint posibile numai dadi vectorul dmp magnetic se rote;;te

in sensul acelor ceasornicului cu 0 viteza unghiulara constanta w.

3.2.127. Curentii in bobinele 1-2 ;;i 3-4 au defazajul de 7t/2. Cimpurile magneticecorespunzatoare VOl' fi defazate tot cu 7t/2. Spatiul dintre bobine va contine cimpurile :R1=Ho sin wt (vertical) ;;i H2 =Ho sin (wt + ~)=Ho cos wt (orizontal). Inseamna

(vezi problema precedenU) ca se produce un dmp magnetic rotitor in spatiul gol.Deoarece cimpul se rote;;te el va fi dirijat in lungul cilindrului. Acesta este chiarprincipiul motorului, cu inductie monofazat.

3.2.128. Ca ;;i la motorul cu excitatie serie puterea motorului cu excitatie ;;unteste:

p_ UEi-Ei2• R - rezistenta rotorului.- R '

Pentru P=160 W, El=80 V ~i E2=40 V. Ambele valori depind de caracteristicilemotorului indicat.

Conform legii lui Faraday, Ei=an, unde a este 0 constanta determinata cantitativde tipul motorului ;;i de tensiunea aplicata.

a1 =8; a2 =4. Ei nu poate depa;;i 120 VDeci n1 = 15 rot/s sau n2 =30 rot/s.

Ei = ~ ±V ~2 -PR; Ei=80 V; E2=40 V.

T.e.m. a generatorului va fi tot 80 V sau 40 V.Existenta a doua rezultate se explica prin faptul ca aceea;;i putere a moto-

rului se obtine cu acela;;i produs JEi, in timp ce acestui produs ii corespunddoua perechi de valori posibile ale lui I ~i d.

u V n3.2.130. Uef=jr!-' Uo=. ~ UiUkCOS(CPi-q>k)=2 l,k=l

=v'Uy+U~+ U§+2U1 U2 COS (q>2-q>I)+2U1 U3 cos (q>3-q>1) +2U2U3 cos ('P3-q>2);

Uo=V1627, Uef=28,5~Uo'

4.1.1. Un observator de 1,75 m iniHtime, avind ochii la 1,60 m deasupra podeleiuuei camere, prive~te intr-o oglinda dreptunghiulara a~ezata pe unul din peretiicamerei. Care trebuie sa fie inaltimea minima a ol!linzii ~i Ia ce distanta de podeatrebuie a~ezata Iatura ei inferioara, pentru ca observatorul sa se vada in intregimein oglinda?

4.1.2. 0 raza de lumina avind directia Sf - constanta,cade pe una din oglinzile unui ansamblu de doua oglinziplane perpendiculare (fig. 4.1).

Ce devine raza reflectata de doua ori (1'R), dnd ansam-blul celor doua oglinzi se rote~te in jurul dreptei de inter-sectie ce trece prin punctul Q, considerata fixa ~i perpen-diculara pe Sf?Ce se intimpla cu punctul de intersectie Jif al normalelor laoglinzi in punctele f :,?il' ?

4.1.3. La ce distanta fata de ooglinda sferica concava, cu raza R =6 m, trebuiea~ezat un obiect, perpendicular pe axa principala, pentru a avea :

1. 0 imagine rasturnata de cinci ori mai mica dedt obiectul;2. 0 imagine rasturnata de cinci ori mai mare dedt obiectul;3. 0 imagine dreapta de cinci ori mai mare ca obiectul.

4.1.4. Un punct luminos A este situat pe axa unei oglinzi concave la distantap =50 em de virful acesteia. Distanta focala a ogiinzii este f =45 em. Sa se aratela ce distanta de virful oglinzii concave, perpendicular pe axa acesteia trebuie a~e·zata 0 oglinda plana, astfel ea razele de lumina ce plead din punctul A, dupa cese reflecta pe cele doua oglinzi, sa se illtilnem:ca tot in puncul A.

4.1.5. !n fata unei oglinzi sferice concave cu raza R =2 m, se a~aza perpen-dicular pe axa principaHi a acesteia, la distanta p =5 m de oglinda, un obiect luminoscu inaltimea h = 10 em.

1. Sa se determine pozitia ~i marimea imagillii.2. !n focarul principal al oclinzii concave, sub un unghi C/. =450 fata de axa

principala, se a~aza 0 oglinda plana, cu fa~a reflecUd oare indreptata spre oglindaconcava. Care va fi marimea imaginii finale [orm ata prin reflexia IIIminii pe cell'douaoglinzi ~i unde va trl'bui sa a~ezam un ecran pentru a 0 prindc ?

4.1.6. Se dau dOua ogIinzi concave, avind aceca~i distanta focala f~i axa comuna.1. Sa se gaseasca conditia pe care trebuie sa 0 indeplineasca distanta d dilltre

virfurile oglinzilor, pentru ca imaginea unni punct luminos 11 de pe axa principali'iSa se formeze tot in A, in urma reflexiilor razelor de lumina ce provin de la punctulluminos A, succesiv pe cele doua oglinzi.

4.1. 7. 0 raza de lumina monoeromatiea S1patrunde din aer intr-o sIera omogeniitransparenta cu. in dice de refraetie n ~i iese din sfera dupa ee suIera p refIexii sue-cesive in interiorul aeesteia.

Sa se ealeuleze deviatia /:, a razei emergente (care iese din sfedi dupa eele preflexii) in raport eu directia razei ~ncidente (S1).

""'"4.1.8. Pe un bane optic se ana un obieet avincl inaltimea de 5 cm. 0 lentiIabiconvexa formeaza pe un eeran imaginea obieetului inalta de 20 cm. Daca obieetulse indeparteaza de lentiIa eu 5 em, pe ecran se formeaza 0 imagine inalta de 10 cm.Se cere:

1. Distanta focala a lentilei biconvt. xe.2. Pozitia imaginii daca se introduel:- 0 a doua lentila cu distanta focala r =

=30 cm la distanta de 110 em de prima lentiHi.3. Dimensiunea imaginii formata de 81stemul celor doua Ientile.

4.1. 9. Pe 0 lama de stieHi eu fete pIa ne ~i paralele, avind indicele de refractie n~i grosimea e, cad doua raze de Iumin a provenite de la un izvor punctiform SafIat la distanta lz de supraIata lam('i (fig. 4.2). Prima raza, eazind pe supra-

fata lamei sub unghiul de ineidenta i sev indreapta, dupa reflexie, spre lentila

eonvergenta L, aI earui ax optic princi-pal este paralel cu raza refleetata. Adoua raza eade normal pe suprafata lamei\L ~i dupa ce traverseaza lama este refIec·tata eu ajutorul unei oglinzi plane 0dupa 0 directie paralela cu axul opticprincipal al lentilei L. Distanta dintrecele doua raze refIectate este d.

1. La ce distanta de lentila L tre-Fi!J. 4.2 buie a~ezat un ecran E, pentru ca cele

doua raze sa se intilneasca pe suprafatalui, daca este folosita 0 lentila biconvexa din sticIa, cu indicele de reIractien=1,5 ~i are raze Ie de curbnra R1 =12 cm ~i R2=60 cm?

2. Sa se exprime diferenta de drum dintre cele doua raze in punctul de con-vergenta ~i sa se determine aeeasta pentru cazul:

d =e=2 mm; i =7t/4 ; lz=2 cm, n=1,5.3. Sa se ealeuleze in eonditiile de la punctul 3 diferenta de faza /:,cp intre eele

dona raze refIeetate, daea se considera ca aeestea sint monocromatice cu A =6 560 A.4.1.10. Doua Ientile subtiri biconvexe identiee, centrate pe aceea~i axa, sint

puse in contact. Se umple cu Iiehid intervalul riimas libel' intre cele doua Ientile~i se obtine in felul acesta un sistem optic convergent. Distanta foeala a uneiadin cele doua Ientile identice este f =20 em iar indicele de refraetie al materialuluidin care sint confection ate acestea este n =3/2.

Un obiect a~ezat la distanta p =20 em de sistemul optic format, da imagineareala la distanta p' =60 cm de sistem.

Sa se calcnleze indicele de refractic al lichidului care constituie lentila diver-genta din sistem.

4.1.11. 0 lentila plan convexa eonfectionata din sticIa eu indicele de refractien =1,5 este folosita pentru a proiecta pe un ecran imaginea unui obiect inalt de5 cm. Stiind ca obiectul este a~ezat perpendicular pe axa lentilei, la 30 cm de lentiIa~i ca s~ obtine 0 imagine de dona ori mai mare deeit obiectul, sa se afIe:

1. Distanta focala a lentilei in aer.

2. Raza de curbura a fetei sferice a lentilei.3. Distanta focala a aceleia1?i Ientile dnd este introdusa in apa, indicele de re-

fractie al apei fiind na =4/3.4. Pozitia 1?imarimea imaginii in apa pentru acela1?i obiect, distanta intre obiect

~i lentiHi raminind neschimbata.5. Ce distanta focala ar trebui sa aibil. 0 lentila subtire pentru ca prin ali-

pirea ei la lentila data sa se obtina in aer un sistem cu distanta focaEi obtinuta[a punctul 3.' "

4.1.12. Doua oglinzi concave 01 1?i 02 cuvirfurile VI 1?i V2 sint formate din calotediametral opuse dintr-o sfera cu diametrul2R (fig. 4.3). Un obiect mic rectiliniu ABeste plasat perpendicular pe axa VI V2 intrecele doua oglinzi.

1. Sa se gaseasca pozitia imaginii A' B'formata de raze Ie care pornind de la obieetulA B sint reflectate pe oglinda 01' apoi peoglinda 02' Sa se analizeze cazul dnd obi-ectul A B se deplaseaza din V2 spre VI'

2. Sa se studieze variatia raportulur4.'BI .I AB

4.1.13. Un obiect rectiliniu AB cu lungimea 0 = 1 cm este a~ezat perpendicular;pe axa principala a unei Ientile subtiri cu distanta focala f =30 cm. Se cere:

1. La ce distanta p, de lentila, trebuie a~ezat obiectul AB, pentru a obtinepe un ecran perpendicular pe axa lentilei, 0 imagine reala de trei ori mai mareelecit obiectul.

2. Intre obiectul A B ~i lentila se plaseaza ca in figura 0 lama cu fete plane~i paralele Cll grosimea e=9 em ~i indieele de re-fractie n =1,8.In ee sens ~i eu cit trebuie deplasat eeranulpentru a obtine 0 imagine neta pe eeran.

3. Se a~aza ea in figura 4.4 0 oglinda pla-na M, care intersecteaza axa principala a len-tilei la distanta de 1 m de lentiHi ~i sub unuughi de 45°. Sa se precizeze care este natura,pozitia ~i marimea imaginii data de sistem.

4. La ce distanta de axa principala a len-tilei trebuie sa se gaseasca fundul unei euve

care contine un strat de apa cu aclincimea h =20 cm, pentru ca imaginea finala aobiectului A B sa fie realii ~i plasata pc fundul euvei? Se da indicele de refrac-~iei al apei n =4/3.

apo t:-=\r.uv6

4.1.14. Se considera 0 lentila sub tire convergenta cu distanta focala f ==20 cm.Pe axul optic principal al acesteia se a1?aza de 0 parte un obiect luminos AB, la dis-tanta p =30 cm de lentila, iar de partea ceaIaIta 0 og:linda convexa cu raza de curburaR =40 cm, cu virful spre lentila, Ia distanta OV =50 cm.

Sa se precizeze natura imaginii finale ~i distanta acesteia de lentila.

4.1.15. Pe un banc optic sint a~ezate dona Ientile convergente biconvexe L1'li L2 identice ~i 0 oglinda concava M, avind aceea~i axa optica. La stinga lentilei[,1 se afla pe axa un punct luminos S. Lumina traverseaza cele dona Ientile, se reflecta

pe oglinda ~i se intoarce prin Ientile. Sticla din care sint confectionate Ientilele arein dice Ie de refractie n = 1,5, raza de curbura a Ientilelor este R =20 em ~i a oglillziiR1 =40 em. Distanta dintre Ientile este d =1 m iar dintre lentil a L2 ~i oglincla M,d1=50 em.

Se cere sa se calculeze:1. Distantele focale fl ale lentilelor ~i f2 a oglinzii.2. Pozitia imaginii finale a obiectului punctiform S aflat la distanta p =30 em

in stinga Ientilei L1•

3. Marirea imaginii de la punctul 2.4. Cum trebuie a~ezat sistemul optic pentru ca imaginea finala sa se formE'ze

tot in S.

4.1.16. Doua Ientile convergente L1 ~i L2 avind distanteIe focale fl =20 em ~i[2= 10 em se gasesc la distanta d =50 em una fata de alta. In stinga lentilei L1 pe axacomuna la p =60 em se afla un obiect punctual O. Se cere sa se calculeze :

1. Pozitia ima{Jinii obiectului 0 data de cele doua Ientile;2. Intre cele doua Ientile se a~aza 0 a treia Ientila L3 cu distanta focala f3 =5 em,

care se poate deplasa intre lentilele L1 ~iL2• Pentru ce pozitie a lui L3 imaginea obiectuluio se va forma Ia distanta maxima de L2 ?

3~ Care este aceasta distanta maxima?

4.1.17. 1. Consideram 0 prisma a carei secti-une dreapta este un triunghi echilateral ABC ~io raza de lumina S1 ce intra in prisma pe fataAB sub un unghi de incidenta ce corespundedeviatiei minime (fig. 4.5). Cunoscind deviatiaminima a =60°, sa se determine unghiul de inci-denta al razei S1 ~i indicele de refractie alsubstantei din care este confectionata prisma.

2. Se arginteaza fata AC a prismei ABC ~i selipe~te cu fata BC de fata ipotenuza a uneiprisme a carei sectiune dreapta este un triunghiisoscel BCD, dreptunghic in D. Indicele de

a doua prisme este

n2 = V ; .Sa se arate mersul razei de lumina 51, prin sistemul format din cele doua prisme.

4.1.18. Un fascicul de lumina monocromatica, emis de 0 sursa punctiforma estetransformat intr-un fascicul de lumina paraleHi cu ajutorul unei Ientile plan convexa,ce are raza de curbura R =20 em ~i illdicele de refractie n =1,65.

Fasciculul de lumina paralel cade perpendicular pe 0 rete a optica cu 250 trasaturipe mm. Razele de lumina care formeaza maximul de difractie de ordinul 3 sint incli-nate fata de directia razelor incidente cu un unghi cp =30°.

Se cere:1. Distanta d la care trebuie a~ezata sursa punctiforma fata de lentil a pentru a

se obtine fasciculul de lumina paralela.2. Lungimea de unda a radiatiei monocromatice.

3. Se scoate lentila din dispozitiv §i se a;;aza pe un banc optic impreuna cu unobiect liniar. La ce distanta de lentila plan convexa, trebuie a§ezat obiectul, pentruea imagine a sa virtuala sa fie de trei ori mai mare dedt obiectul ?

4 . .$tiind ca metalul din care este confectionat bancul optic are coeficientul de dila-tare liniara 0:=2.10-5 grad-l sa se calculeze variatia distantei imagine-lentila, dndtcmperatura bancului cre§te cu 100°C.

4.].] 9. Un fascicul de lumina monocromatica este divizat in doua fascicule.Unul din fascicule cade normal pe 0 retea de difractie cu N=500 trasaturi pemm, iar al doilea fascicul cade pe 0 celula fotoelectrica.

Sa se determine:1. Lungimea de unda Al a radiatiei monocromatice §tiind ca maximul de difrac-

tie de ordinul doi se obtiile sub un unghi tp=30° fata de normala la planul rete lei.2. Numarl}l total al maximelor de difractie date de retea pentru 0 radiatie

eu A9=,1500 A.3. Sa se verifice valoarea constantei lui Planck, §tiind ca tensiunea de frinare

a fotoelectronilor este de 0,690 V in cazul radiatiei cu 1..2=4500 A §i de 0,415 V ineazul radiatiei cu lungimea de unda Al de la punctul unu.

4. Care e~te energia cinetica a unui fotoelectron emis de celula pentru radiatiaeu t\ = 5 000 A, daca energia de extractie este de 2,3 eV ?

4.1.20. Un izvor luminos emite lumina cu lungimea de unda /..=5 000 A. Fas-ciculul luminos paralel emis, cade normal pe 0 retea de difractie.

Se cere:1. Numarul fotonilor incidenti pe retea in timp de 1 minut, daca puterea

izvorului este P =20 W.2. Constanta rete lei de difractie, daca maximul de difractie de ordinul al doi-

lea, se formeaza sub unghiul cp=30°.3. Distanta dintre maximul central (de ordinul zero) §i maximul de ordinul

doi, pe un paravan pe care fi~ura a fost proiectata cu ajutorul unei Ientile, cu con-vergenta C=2 dioptrii.

4. Se inlocuie§te parflvanul cu 0 celula fotoelectrica de cesiu al carui prag foto-electric este "0=6600 A.

Sa se determine:a) lucrul de extrac~ie.b) viteza cu care este emis un electron.

4.1.21. Un dispozitiv experimental este construit dintr-un ecran E1 prevazuteu doua fante 51 §i 52' distantate cu a=0,2 mm; §i un al doilea ecran E2 paraleleu primul §i la 0 distanta D =0,5 m de acesta. 0 sursa de lumina punctiforma §imonocromatica se afla de partea opusa lui E2, in spatele ecranului E1, pe axa careune§te mijlocul distantei 5152 cu ecranul E2•

Pe ecranul £2 se obtine un sistem de franje de interferenta cu distanta intredoua franje consecutive i = 1,5 mm.

1. Sa se determine lungimea de unda a radiatiei cu care sint luminate fanteleecranului E1•

2. Dad se deplaseaza ecranul E2 - paralel cu el - la distanta D' =1 mfata de E1, care va fi distanta dintre doua franje consecutive?

3. Dad intregul dispozitiv experimental s-ar afla intr-un mediu transparenteu indicele de refractie n=1,5, care ar fi valoarea interfranjei?

4. Daca in drumul undelor luminoase care provin de la fanta 51 se interpuneo lama transparenta cu fete plane - paralele §i avind indicele de refractie n' §igrosimea d, ce se va intimpla cu sistemul de franje, dispozitivul afllndu-se in aer?

5. Se lumineaza cele doua fante simultan cu doua radiatii monocromatice, Ul131de lungimea de unda Al =6000 A ~i a doua necunoscuta. Se observa ca maximuIde ordinul 3 al radiatiei necunoscute coincide cu maximul de ordinul 2 al radiatieicunoscute (AI)' Sa se determine A2 ~i sa se precizeze in ce parte a spectrului se afla"

6. Dispozitivul de la punctul 1 se lumineaza cu lumina alba. Care va fi pe..ecranul E2, distanta intre maximele de ordinul 3 corespunzind radiatiilor: !\j'o~u=,=7 oooA ~i Aviolet=4000 A?

4.1.22. Succesiy se ilumineaz~ suprafata unui metal cu radiatii de lungimede unda Al =2790 A ~i A2= 2450 A. Tensiunile de fdnare sint VI =0,66 V, respecti,-V2=1,26 V.

Sa se calculeze:1. Constanta lui Planck.2. Lucrul de extractie.3. Frecventa de prag pentru metalul folosit ~i lungimea de unda pentru care-

se mai poate obtine efect fotoelectric ~i sa se compare cu lungimile de unda date inenunt·

4. Impulsul total transmis electrodului la fiecare proces de interactiune, ~tiind'ca electronul este expulzat dupa directia de propagare a radiatiiJor, dar in senE;contrar.

4.1.23. Pragul fotoelectric al unui metal este Ao=4 000 A; Se lasa sa cada peacest metal un flux de fotoni cu lungimea de unda A=3 000 A.

Se cere:1. Valoarea lucrului de extractic pentru acest metal.2. Energia cinetica a fotoelectronilor.3. Viteza fotoelectronilor.4. Impulsul fotonului incident.5. Masa fotonului incident.

4.1.24. Un laser emite un fascicul filiform de lumina monocromatica cu putereade 4,5 m W ~i cu lungimea de unda A=4 400 A. Fasciculul laser cade p~ 0 lama;de sticla plan-paralela cu grosimea d=3 mm ~i indice de refractie 11=1,5.

Se dau: constanta lui Planck h =6,6 .10-34 J.s ~i viteza luminii in vid c =3 .108 mis_Sa se afle:1. Numarul de fotoni emi~i de laser in timp de 1 secunda.2. La cadere pe suprafata superioara a lamei 0 parte se reflecta ~i alta parte

se refracta. La ce unghi de incidenta i fasciculul reflectat va fi perpendicular pe fas-ciculul refractat?

3. Sa se determine cu cit se deplaseaza fasciculul fata de directia ini~iala dupa,traversarea lamei de sticla pe care cade sub unghiul de incidenta obtinut la punctul 2.

4.Si'i se demonstreze ca daca fasciculul traverseaza citeva medii separate prin-suprafete plan-paralele, directia razei emer.aente depinde numai de directia razefincidente ~i de indicii de refractie ai primului ~i ultimului mediu.

4.1.25. Sa se determine temperatura la care eneraia cinetica medie a molecu-lelor unui gaz perfect este egaIi'i cu energia fotonilor cu lungimea de unda !, =0,6 fLm.

4.1.26. Sa se determine numarul de fotoni cu )...=0,6 fLm al CarOl' impuls totat;este egal cu impulsul atomului de heliu la temperatura T =300 ){.

4.1.27. pe 0 retea de difractie cu constanta d =3 fLm, cade normal un fascicu:de lumina monocromatica ~i se obtin pe un ecran franje. Doua maxi me vecine sin1\.observate sub unghiurile 'PI =23°15' ~i respectiv 'P2=36°52'

1. Sa se calculeze energia ~i impulsul unei radiatii din fascicul.

2. Sa se caiculeze impuisul total al fasciculului care cade pe reteaua de difractieIntr-o secunda, suprafata acesteia fiind 5 cm2 iar intensitatea fasciculului 1=3.10-3'

Wattjcm2•

4.1.28. Catoda unei celule fotoelectrice este luminata cu radiatii cu A =3 500 A~i apoi se aplica 0 diferenta de potential care frineaza total fotoelectronii smul~i.Se lumineaza apoi, aceea~i fotocatoda cu 0 radiatie a carei lungimc de unda diferacu 500 A de cea precedenta ~i se constata ca diferenta de poten~ial necesara frinarirfotoelectronilor este cu 0,59 V mai mare decit cea de la primul caz. Cunoscind con-stanta Jui Planck (h =6,6 -10-34 j.s) ~i viteza luminii (c =3 .108 mjs), sa se determinesarcina electron ului.

4.2.1. 0 persoana prive~te 0 sursa punetiforma de lumina cu intensitatea de 50 cd,a~ezata Ia distanta de 1 m de ochiul acesteia. Sa se calculeze fluxul luminoscare cade pe pupiia ochiului, diametrul pupilei fiind de 4 mm.

4.2.2. Pe 0 mas a se afla 0 carte la 0 distanta de 1 m de piciorul perpendiculareicoborite din lampa pe planul mesei. Lampa poate fi ridicata sau coboritii pe verti-caUi. Care este inaltimea h de la suprafata mesei, la care trebuie fix at a lampa, pentruea iluminarea cartii sa fie maxima?

4.2.3. Iluminarea obtinuta pe suprafata Pamintului in cazul unei incidente nor-male a razelor solare este de aproximativ 105 lux. Admitind ca radiatia soarelui nudepincle de directie ~i neglij iny! absorbtia luminii in atmosfera, sa se determine stra-lucirea Soarelui. Se considera raza orbitei Pamintului egala cu 1,5 .1011 m ~i diame-trul Soarelui 1,4.109 m. Cit de mare va fi iluminarea E a imaginii Soarelui obtin utaeu ajutorul unei Ientile cu diametrul de 5 cm ~i distanta focala de 10 cm ? Marimeaunghiulara a soarelui este de 30'. .

4.2.4. Fluxul de energie al radiatiei vizibile a unei luminari este de 6.10-3

watt/m2 la 0 distanta de 1 m de luminare. Presupunind ca Iuminarea pierde 8,5.10-3 kgdin greutatea ei pe ora, ~i ca puterea ealorid a sperman tetului este 24,3 .106 Joule/kg.Sa se gaseasca randamentul Iuminarii ca sursa de lumina.

4.2.5. Un punet luminos A se afla pe axa principala a unei oglinzi concave cudistanta focala de 30 cm, Ia 0 distanta de 40 cm de virful oglinzii. Unde trebuie a~e-zata 0 oglinda plana perpendicular pe axa principala a oglinzii concave, pentru caimaginea punctului luminos A, data de cele doua oglinzi sa cada tot in A ?

4.2.6. Un vas cu mercur se rote:;;te uniform in jurul unei axe verticale cu vitezaunghiulara U)=1 s -1. Suprafata libera a mercurului capata 0 forma curba ~i se foln.se~te ca oglinda. Sa se determine distanta focala a acestei ogIin;;:.

4.2.7. Pe cale geometrica sa se demonstreze ca daca 0 raza de lumina venita dinpunctul A trece prin punctul B dupa reflexia ei pe 0 oglinda plana, lungimea drumu-Iui parcurs de aceasta raza de lumina este mai mica dedt Iungimea oricarui alt drumcare merge de la punctul A la oglinda ~i apoi Ia punctul B.

4. 2~8. In f~ta _unei ~gIinzi sferice co~cave,. perp,endicular pe ~xa sa principaIa,se a~aza 0 oglmda plana. Un punct lummos sltllat mtre cele doua oglinzi emite unfascicul care, reflectlndu-se succesiv pe fiecare oglinda formeaza imaginea in planul

'ce contine punctul luminos - obiect :;;i este perpendicular pc aX3 principala. Raza,de curbura a oglinzii concave este R =4 m ~i distanta dintre virful sau :;;iplanul care-contine punctul fiind d =3 m, sa se determine distanta dintre oglinda plana :;;ivirful-oglinzii conca ve.-

4.2.9. Doua oglinzi concave cu distantele focale 10 cm, respectiv 40 cm, sint:situate fata in fata, avind axa optica comuna ~i distanta intre virfurile ogIinziIor d ==110 cm;

a) Sa se determine cele doua puncte aflate pe axa intre cele doua oglinzi, ale·caror imagini, dupa reflexia succesiva in cele doua oglinzi, se formeaza in acelea:;;ipuncte.

b) Cit de mare trebuie sa fie distanta intrc cele doua oglinzi pentru ca cele dona~puncte sa coincida?

4.2.10. 0 raza de lumina monocromatica, la suprafata plana de separatie intredoua medii transparente cu indicii de refractie nl' respectiv n2, se scindeaza in dOU[1raze: una reflectata :;;iceala1ta refractata. Sa se calculeze care este valoarea unghiu-lui de incidenta in functie de n1 ~i n2, pentru care raza reflectata :;;i raza refractata:sint perpendiculare intre ele.

4.2.11. Sa se determine deplasarea razei emergente in raport cu raza incidenta,care cade sub un unghi de incidenta i =70° pe 0 lama transparenta cu fete plane :;;iparalele cu grosimea d=10 cm, indicele de refractie al lamei este n=1,5.

4.2.12. Un vas contine un strat de lichid transparent; grosimea stratului deIichid este h, iar indicele de refractie n. Pe fundul vasului se afIa un mic obiect.Un observator observa imaginea obiectului din vas dupa 0 directie ce face un unghi,eu normala la suprafata lichidului.

1) Sa se calculeze adincimea h'la care observa acesfa imaginea obiectului :;;i·drumul optic L strabatut de raza de lumina in Iichid. Sa se calculeze acelea:;;i marimiin cazul unei incidente normale.

4.2.13. Pe fata posterioara a unei lame transparenta cu fete plane:;;i paralele de gro-:sime d =3 mm se afla 0 mica pata de cerneala - grosimea stratului de cerneala fiindneglijabila. Se ja:;;aza lama pe platina unui micros cop :;;ise potrive:;;te acesta, astfel'incit sa se vada cIaI' imaginea unei zgirieturi fine de pe fa ta superioara a lamei. Se'coboara dupa aceea tubul microscopului cu 2 mm pina ce se observa cIaI' imagineapetei de cerneala. Din date Ie problemei sa se determine indicele de refractie al lameitransparente.

4.2.14. Un bazin cu fundul plan :;;ireflectant contine un strat de apa cu grosimea,11 =20 m. Pe suprafata apei cade 0 raza de lumina sub un unghi de incidenta i =30°.'Sa se calculeze :

1) Dupa cit timp raza de lumina iese din apa in aer.2) Unghiul format de directia razei emergente (care iese din apa) cu directia razei

incidente.3) Distanta geometrica :;;i drumul optic strabatut de raza in apa. Indicele de

Tefractie al apei se ia n = ~ .. 3

4.2.15. 0 prisma de sticla are indicele de refractie n =3/2 :;;iunghiul A =5°. Se·cere deviatia unei raze de lumina care intra in prisma sub un unghi de incidenta i =3°:;;ivaloarea unghiului facut de raza emergenta la ie:;;irea din prisma cu normala la fataprismei.

4.2.16. 0 raza de lumina, trecind din aer in apa, intiIne:;;te in apa 0 oglinda plana,paralela cu suprafata apei pe care se reflecta :;;ise intoarce in aer. Sa se exprime Ull-

ghiul sub care iese raza emergenta fata de normala la suprafata apei, in raport cu un·-ghiul de incidenta al razei Ill. intrarea inapa.

2) Aceea~i intrebare pentru cazul cind oglinda plana face un unghi e<:cu supra--fata apei.

3) Indicele de refractie al apei fiind n =4/3, iar raza incidenta intrind in apa sub>unghiul de incidenta i =300 sa se determine unghiul minim cu care trebuie rotita oglinda~in raport cu suprafata apei, pentru ca raza emergenta sa se reflecte totalia supra-fata de separatie apa-aer.

4.2.17. Se dau doua prisme optice identice CAB ~i C'A'B' dreptunghice in C~i C'. Prismele sint astfel a~ezate incit 0 raza de lumina 51, intrind sub incidentainormala pe fata AC a primei prisme, sa iasa normal pe fata A'C' a celei de a doua,prisme.

1) Sa se traseze mersul razelor de lumina.2) Sa se exprime deviatia D.. a razei emergente fata de raza incidenta.

4.2.18. Sa se stabileasca urmatoarea relatie :sin 1/2·(A+~) n CDS 1/2 (r-r')

sin 1/2· A CDS 1/2 (i-i')

in cazul unei prisme cu unghiul de reIractie A ~iindicele de refractie n (fig. 4.24).

4.2.19. 0 prismii optica cu unghiul de refrac-tie A =600 are indicele de refractie n = V2 pentruradiatia galbena a sodiului.

1) Sa se determine unghiul de incidenta cores-punzator deviatiei mini me ~i valoarea acestei Fig. 4.24deviatii (D..minim) pentru radiatia galbena.

2) Sa se determine unghiul de incidenta minim pentru care radiatia galbenit;sufera reflexie totala pe a doua fata a prismei.

4.2.20. Deviatia razei emergente IE in raport:.cu raza incidenta 51 este: D..=(i1 +i2) - (1'd-+1'2) =(i1+i2)-A (fig. 4.25).

1) Sa se gaseasca conditia de deviaticminima.

2) Sa se exprime indicele de reIractie al pris-mei in functie de deviatia millima ~i de unghiutprism_i.

3) Sa se arate ca in cazul unei prisme cu.l1nghiul de reIringenta A mic ~i razele cad subun unghi de incidenta mie, avem satisfiicuta rela-·tia D..=A(n-l).

4.2.21. 0 persoana vede distinct un obiect a~ezat la 50 cm de ochi. Ce fel de oche-lari trebuie sa foloseascii persoana ~i cite dioptrii trebuie sa aiba lentilele lor pentruca persoana sa vadii cIaI' un obiect a~czat la 25 cm (minimul unei vederi distinctepentru un ochi normal). Distanta intre oehi ~i lentila se considera 1 cm.

4.2.22. Un miop are minimum de vedere distincta la 25 cm atunci dnd folose~te. Ientile divergente de 2,5 dioptrii a~ezate la distallt[[ de 1 cm de ochi.

Sa se afle distanta minima de vedere distinctii pcntru persoana respectiva dnd.uu folose~te ochelari.

~Y<:4.2.23. 0 prisma rectangular iwscel AOB, cu indicede refractie n =3/2 ~i a carei baza are largimea a = 12 em,este luminata dintr-un punct M a~ezat ca in figura 4.26(Mf =9 cm; fA =3 cm).

Sa se traseze mersul razelor pentru un fascicul ingustA

provenind din M ~i care cade normal pe fa~a deintrare AB.

Sa se determine distanta LM' la imaginea finala M'a punctului M fata de punctul L.

4.2.24. Un obiect este a~ezat pe axa unei oglinzi curbe dincolo de focarul ei. Intrefocal' ~i oglinda este a~ezaUi 0 placa de sticla cu fete plane ~i paralele avind IIrosimcad ~i indicele de refractie n astfel incit axa oglinzii sa fie perpendiculara pe placa.

Sa se arate ca introducerea placii deplaseaza imaginea la fel ca ~i 0 dcplasare ad(n-l) , .

Dglinzii cu --- mspre object.n

4.2.25. 0 lentila subtire plan convexaare indicele de refractie n =3/2 ~ieste a~e- B r\ szata in aer, dioptrul sferic are raza de --l .curbur~ CS=2 m ~i este acoperit cu un A-----.-C------------<strat de argint. Un obiect de inaltimey =4 cm este a;;ezat perpendicular pe axaCS ;;i la 3 m de lentiHi spre fata planaa acesteia (fig. 4.27).

1) Razele de lumina pornind de la obiectul AB traverseaza fata plana, se reflectklpe fata curba ;;i apoi traverseaza din nou fata plana. Sa se determine imagineafinala A' B'. J

2) Razele pornind de la obiectul luminos AB sufera reflexii atit pe fata planacit ;;ipe fa ta curba. Sa se determine imagine a AI/ B".

3) Ce pozitie Al trebuie sa aiM punctul A, in primul caz pentru ca imaginea A ~sa coincida cu A ?

4.2.26. Doua oglinzi sferice sint centrate pe aceea;;i axa una dilltre ele cste con-cava ;;i are raza de curbura Rl' cealalta este convexa ~i are raza de curbura R2(R2 <RI).

Suprafetele lor reflectatoare sint a;;ezate fata in fata. Dintr-un punet a;;ezat pe axalor comuna, se indreapUi un fascicul luminos spre oglinda concava. Dupa 0 reflexiepe oglinda concava ~i 0 reflexie pe oglinda convexa, se obtine 0 imagine a punctuluiM in M'. Distanta dintre cele doua oglinzi fiind 00' =L, se stabile~tc pozitia Iui M,astfel incit imaginea M' sa se formeze chiar in virful oglillZii concave. Sa se stabi-leasca dependenta distantei de la obiect la imagine, D, in functie de distanta dintrecele doua oglinzi.

4.2.27. Se da 0 oglinda concava cu raza R =2 m. La 0 distanta VB= 1,4 m devirful oglinzii se a~aza un mic cerc luminos cu raza AB = 1 cm, al carui centru seafIa pe axa principala a op-linzii. Sa se afIe la ce distanta d de virful oglinzii concavetrebuie sa a~ezam 0 oglinda plana, perpendiculara pe axa, pentru ca imaginea finalaa centrului cercului sa se formeze in B (centrul cercului).

Care va fi marimea diametrului acestei imagini?

4.2.28. Doua Ientile plan-convexe, identice, sint situate la 0 distanta d =3f unade cealalta ({fiind distanta focala a fiecarei Ientile). La distanta p =26,7 cm de len-

tila (in sens opus in raport cu cealalta lentila) se a~aza un obiect luminos liniar, cuinaltimea l =4 cm ~i perpendicular pe axul comun al celor doua Ientile. Sii se deter-mine:

1) Distanta focaHi ~i convergent a fiecarei Ientile ~tiind di raza de curbura esteR =8 cm ~i indieele de refractie n = 1,5.

2) Pozitia ~i felul imaginii data de cea de-a doua lentila.3) Raportul intre marimea imaginii finala ~i obiect.4) Sa se construiasca figura cu mersul razelor.

4.2.29. Se considera 0 lentiHi convergenta L1; pe axul ei principal la distantade 1,5 m se plaseazii 0 sursa luminoasa punctilorma S. De cealalta parte a lentilei sedeplaseaza un ecran perpendicular pe axul principal al Ientilei. Cine! eeranul se aflala distanta de 1 m de lentila L1, diametrul petei luminoase (imagine a sursei) are peeeran valoarea de 2,5 em. Cind eeranul este plasat la 1,25 ill de lentila L1, diametrulpetei este de 5 em.

1) Sa se deduea distanta focala a Ientilei L1•

Se repeta experienta inlocuind lentila L1, eu 0 alta lentiUi L2 :;;i in acest caz diametrulpetelar Iuminoase sint, pentru acelea:;;i distante ca ~i in cazul lentilei L1' 3,33 cm ~irespectiv 26,66 cm.

2) Sa se deduca distanta focaHi a lentilei L2•

Sc dispun lentila L1 ~i ecranul ca in prima experienta ~i se eonsidera ima~inea S' alui S. Se a~aza intre L1 ~i So euva paralelipipediea plinii eu apa (n =4/3) pere~ii cuveifiind foarte subtiri. Dimensiunea euvei cu apa dupa clirectia axel sistemului este<I\' 1 m.

3) srl se ealculeze distanta de Ia L1 pina la pozitia un de trebuie a:;;ezat ecranulpentru a prinde imaginea S', dupa plasarea euvei ell apa in drumul razelor de lumina.

4.2.30. 0 lentil a biconvexa, ambii dioptrii avind aeeea~i raza de curbura, da inaer imaginea unui obiect la distanta D de acesta. Lentila ~i obieetul fiind cufundatein apa, pastrind pozitia pe care 0 aveau in aer, imaginea se obtine la distanta de 1mde obiect :;;ide patru ori mai mare declt obieetul. Indieele de refraetie al sticlei este

J11s=1,5, iar al apei na=~' Sa se afle:3

1)IDistanta foeaHi a lentilei in:aer ~i eonvergenta ci.2) Raza de eurbura a fete lor lentilei.3) Distanta D dintre obieet ~i imaginea sa data de IentiUi in aer.

4.2.31. 0 lentila bieonvexa are razele de eurburi'i ale celor doi dioptri R1 =25 mmr;;i respeetiv R2=40 mm. Sa se determine distanta foeala :;;i eonvergenta acestei len4

tile in nrmatoarele eazuri:1) Lentila se afla in aer (na=l).

2) Lentila se afla in apa (napa = +).3) Lentila se afla in sulfura de carbon (neB =1,63).

Indieele de refractie al materialului din care este confectiollata lentila este nl =1,5.

4.2.32. Sa se gaseasca imaginea data desistemul din figura 4.28 a unui punct luminosa$ezat pe axa principala a sistemului, punetulfiind in stlnga lentilei din extrema stinga la 0

distanta de 10 cm de aceasta.

4.2.33. Un sistem optic se compune din doua Ientile LI ~i L2 a vlnJ acela~i axprincipal, situate la 20 cm una de alta. Lentila LI este biconvexa ambii dioptrii aVInd

aceeasi raza de curbura R si indicele de refractie al lentilei 11 = 2- "i distanta focala, , , 2 "I

[1=10 cm. Lentila L2 este divergenta ~i are distanta focala [2=-15 cm. Sa se afle:1) La ce distanta de un obiect AB, situat la distanta de 15 cm In fata lentilei LI

se afla imaginea lui A" B" data de sistem, ce fel de imagine este aeeasta ~i care esteA"B"valoarea raportului -- ?

A.B2) Sa se determine raza de curbura a dioptrilor lentilei LI.

3) Lentila LI se introduce in interiorul unei cuve cu fete plane ~i paralele ;;i dimen-siune dupa directia axei sistemului egala eu I foarte apropiata de grosimea lentileia~a ea in problema sa putem neplija dru m 011 striibatut de lumina prin liehidurrespectiv.

Sa se determine valoarea indicelui de refractie 11' al liehidului din euva ~tiind eil:pentru ea imaginea A"B" sa ramIna in pozitia de la inceput, obiectul AB trebuiedepartat foarte mult de sistemul de Ientile (teoretic la infinit de aeesta).

4.2.34. 0 lentila plan eonvexa are raza de eurbura a dioptrului sferic R=10 cm.~i indicele de refractie 11= 1,5. La distan ta de 15 em in fata Ientilei se a~aza un obiectrectiliniu ~i perpendicular pe axa lentilei, Inaltimea obiectului fiind AB =5 cm. Sase determine:

1) Pozitia, marimea ~i natura imaginii.2) Obiectul raminind Ia aceea~i distanta de lentila, aceasta fiind cu fata convexa

spre obiect ~i fata plana fiind argintata, sa se afle pozitia, natura ~i marimea imagini'finale in acest caz.

3) Sa se arate mersul razelor in cele douii cazuri.

4.2.35. 0 lentila convergenta are distan~a focala [1= 12 cm. In fata ei se a~azaun obiect la distanta P =20 em. La distan~a d =60 cm de aceasta lentila se afla 0 a>doua tot convergenta eu distanta focala f=10 cm. Sa se determine:

1) Convergentele C1 ~i C2 ale celor doua Ientile.2) Unde se afla imaginea obiectului data de sistemul format din cele doua Ientile.

care este natura ~i miirimea acestei imagini.

4.2.36. La 0 lentila biconvexa sl!b~irc se arginteaza una din fetele exterioare.Sa se gaseasca distanta focala fa oglinzii obtinuUi in felul acesta. Raza de curhurii

a suprafetei curate este R1 iar aceea a suprafetei argintate R2 ; indicele de refraetieal lentilei este 11.

4.2.37. Imaginea unni object lnminos care se obtine prin reflexie pe 0 Ientila con-vergenta poate Ii adusa la coincidenta cu insii~i obiectul, in doua pozitii ale accstuiadin urmii : In cazul dnd distanta dintre obiect ~i lentila este P =200 cm ~i In cazufdnd distanta este PI =7,91 cm (ambele pozitii se ana de aceea~i parte a lentilei). Dis-tanta focala a lentilei este f=37,7 cm. Sii se determine:

1) Tipul lentilei.2) Sa se gaseasca razelc de curbura RI ;;i R2 ale fetelor lentilei precum ~i indicele

de refractie al materialului din care este construita lentila.

4.2.38. Sa se arate ca pcntru 0 lentilii a~ezata in a~a fel inclt 0 Iata sa fie in con-tact cu un mediu cu indicele de refractie 111 iar cealalta fata in contact cu un mediu

Cll indicele de refrac~ie 112 (n2=F111)' este satisfacuta relatia: ff1 = ±!!.l.- (semnu.2 n2

+ san - depinzlnd de felul lentilei, convergenUi, sau divergenUi).

4.2.39. 1) Un miop are punctum remotum Ia distanta D=50 cm. Care este con-vergenta IentiIeior pe care trebuie sa Ie foloseasca pentru a vedea distinct Ia infinit?

2) Folosind lentilele cu convergenta C =10 clioptrii, acest miop vede distinct faraacomodare obiectele situate la punctum proximum. La ce distanta se afla punctumproximum ?

3) La batrJnete persoana respectiva devine presbit. Ce Ientile trebuie sa folo-seascii pentru a vedea distinct la distanta d =25 cm ? (Se neglijeaza distanta dintreIentile ~i ochi.)

4.2.40. Un microscop este construit din doua sisteme optice convergente cen-hate pe un acela~i ax; obiectivul cu distanta focala fob ~i ocularul cu distanta focalafoe - aflate in interiorul unui tub cilindric, distanta intre centre Ie optice ale celordoua sisteme fiind D.

1) Pe platina microscopului se a~aza un obiect AB ~i se regleaza microscopulincit imaginea definitiva a obiectului sa se formeze la infinit. Sa se calculeze distantap, a obiectului fata de obiectiv.

2) Se a~aza pe platina microscopului 0 lama cu fete plane ~i paralele ~i se a~azaobiectul AB - care este foarte subtire, peste lania. Se regleaza din nou aparatul a~afel ca imaginea finala a obiectului AB sa se formeze tot la infinit ~i pentru aceastatubul microscopului s-a ridicat pe 0 inaltime a. Dupa aceasta se a~aza obiectul A Bdirect pe platina microscopului ~i peste acesta lama cu fete plane paralele. Pentru caimaginea finala a obiectului AB sa se formeze tot la infinit se deplaseaza tubulmicroscopului pe 0 distanta d fata de pozitia sa din cazul precedent. Cunoscind pe a ~ib sa se calculeze grosimea e a lamei ~i indicele de refractie n al acesteia.

4.2.41. Un sistem compus dintr-o lentila convergenta cu centrul optic in 01 ~idistanta focala f1=20 cm ~i dintr-o lentila divergenta subtire cu centrul optic in 02~i distanta focala f2=10 cm avind axul optic principal comun, formeaza pentru unpunct obiect situ at Ia infinit 0 imagine la infinit.

1) Sa se calculeze distanta °1°2,2) La ce distanta de lentila 01 trebuie sa a~ezam un obiect AB perpendicular pe

axa (A pe axa), pentru a obtine 0 imagine virtuala A'B' situata la 20 cm de 02'3) Care va fi marirea? Sa se construiasca imaginile ~i sa se deseneze mersul

razelor.

4.2.42. Un obiect AB este a~ezat la distanta p =40 cm de 0 lentila convergentaeu distanta focala f=15 cm. Sa se calculeze pozitia unde trebuie a~ezata 0 oglindaplana perpendiculara pe axa lentilei, astfel ca imaginea definitiva a obiectului A Bdata de sistemul lentiHi-oglinda sa se gaseasca de aceea~i parte a Ientilei cu obiectul;;i in centrul sferei din care face parte una din fetele lentilei.

4.2.43. Un microscop este format dintr-un obiectiv cu distanta focala fob=5 mm~i un ocular cu distanta focaHi foc=20 mm. Un obiect este a~ezat Ia 5,2 mm de obiec-tiv. Se cere:

1) Pozitia imaginii reale data de obiectiv.2) Raportul dintre dimensiunile liniare ale acestei imagini ~i obiectului.3) Distanta la care trebuie sa se gaseasca obiectivul fata de ocular pentru ca ima-

ginea virtuala data de acesta sa se formeze la 25 cm de ochiul a~ezat imediat deasu-pra ocularului.

4) Raportul intre dimensiunile Iiniare ale acestei imagini ~i acelea ale obiectului.5) Puterea micro::icopului.

4.2.44. Un fascicul de lumina monocromatica cu lungimea de unda A=5 '10-7 mcade perpendicular pe 0 oglinda metalica ~i formeaza un de stationare. La ce distantade suprafata oglinzii se afla primul plan ventral ~i primul plan nodal al vectoruluielectric al cimpului luminos?

4.2.45. Intr-o experienta cu un dispozitiv de tip'Young (fig. 4.29) eu datele geometrice : d =0,5 em;.D =5 m, se obtine maximul de interferenta de ordi-nul unu, la distanta i=0,05 em de franja centrala.Sa se determine lungimea de unda a radiatiei mono-cromatice cu care s-a realizat experienta.

4.2.46. Folosind acela~i dispozitiv de la problema precedenta ~i trimitind nor-·mal pe paravanul prevazut cu cele doua fante lumina alba cu toate radiatiile avind.iungimea de unda cuprinsa intre l\violet=4000 A ~i Aro~u=7500 A, sa se determinelargimea primului maxim de luminozitate obtinut pe paravanul a~ezat la dist.anta.D =5 m de paravanul cu fantele distalltate cu d =0,5 cm una de alta.

4.2.47. Acela~i clispozitiv Young, poate fi folosit pentru determinarea indiceluj·de refractie al unei subst.ante in stare solida, lichida sau gazoasiL Pentru aceasta seinterpune in drumul unuia din cele doua fascicule care interfera un e~antion din sub-·stanta respectiva. A~a spre exemplu se a§aza in drumul unuia din fascicule un tub cuperetii de sticla ~i cu lun?imea 1=2 cm in care initia.l se ana aer ~i se observa sistemulde franje de interferenta. Mentinind tot sistemul la 0 temperatura constanta ~i lumi·-nind cele doua fante ale dispozitivului cu aceea~i lumina proveniUi de la 0 lampa cuvapori de sodiu care da lumina cu lungimea de unda I>-=5890 A ~i inlocuind neruldintub cu clor, se observa 0 cleplasare a sistemului de franje cu 20 de franje. Indicele derefractie al aerului in conditiile experientei fiind J1aer = 1,000276, sa se ca1culeze indi-·cele de refraciie al clorului.

4.2.48. Fetele plane ale unei pene de sticHt cu n=1,5 formeaza intre ele un unghi,0: =0, 1'. Pe fata superioara a penei cade normal un fascicul de lumina monocromatidLcu 1>-=5000 A. Sa se determine interfranja i.

4.2.49. Cu ajutorul oglinzilor lui Fresnel sc obtine, pe. un ecran,o figura de inter-ferenta, pentru 0 radia~ie monocromaticii Cll 1\ =5820 A.

1) Sa se determine numarul de franje luminoase pe centimetru, dad! unghiufdintre oglinzi este IY. = 179°59' ~i sursa de lumina se ana in planul ecranului.

2) Sa se ca1culeze numarul de franje pe centimetru, atunci cind intreg sistemuE:

se introduce in apa (napa = :).

3) In cazul in, care sursa de IU~ina ar trimit~ radiatii continind liniile dubletuluide rezonanta al sodiului (1)-1 =5890 A ~i A2=5896 A) cit de mare ar fi distan ta pe ecran.intre maximele de interferenta de ordinul intii ale celor doua radiatii ? (Tot sistcmuBse considera in continuare in apa).

4.2.50. Sa se determine lungimea de unda a unei radiatii monocromatice, carecazind perpendicular pe 0 retea optica, a carei constanta este N =400 trasaturi pe'centimetru, prezinta i)1 transmisie maximul de difractie de ordin 3, sub un unghi de'difractie de 3°30'.

4.2.51. Sa se determine lungimea de unda a unei linii spectrale a carei imaginedata de 0 rete a de difractie in spectrul de ordinul al treilea coincide cu imaginea liniei>A=4861 A in spedrul de ordinul aI patrulea.

4.2.52. Sa se determine constanta pe care trebuie sa 0 aiba 0 retea de difracti .pentru a da un spectru de difrac~ie ('It radiatii din domeniul infraro~u Cll lungimea deunda pina Ia 100 !J.m.

'" 4.2.53. Intr-un dispozitiv Young se folose~te lumina monocromatica ell), =6 ·10 _7 m. Distanta dintre cele doua fante este 1=1 mm, iar distan~a de la,acestea la ecran D =3 m.

1) Sa se gaseasea distantele primelor trei franje luminoase fata de franj a de ordinul.zero.

2) De cite ori ere$te distanta dintre franjele luminoase de interferenta veeine,'daca se folosqte lumina ro~ie cu Ar=6,5 .10-7 m in locul luminii verde cu~Av=5 '10-7 m.

...... 4.2.54. Un fascieul de lumina monocromatici'i cade normal pe 0 retea de difrac-tie cu N =300 trasaturi/mm.

1) Care este lungimea de nnda folosiUi, daci'i unghiul de diIractie pentru maximul-de ordinul doi este de 11°30'?

2) Cite maxime se pot obtine cu aceasta rete a in eazul in care reteaua cste lumi-~nata cu aceasta radiatie?

4.2.55. In drumul luminii albe se a$aZa un filtru care permite sa treaca lumina<:u ~,y=0,5 fLm. Aceasta lumina eade pe cele doua fante ale unui dispozitiv de inter-ferenta de tip Young, iar franjeIe se observa pe un eeran la 0 distanta D =2 m de celedoua fante. Interfranja masurata in aceste conditii este i=0,5 mm. Se lasa apoi sacad a pc celc doua fante lumina alba eu toate radiatiile cup rinse intre I'ro~u =7000 A~i 1.,'jolet=4 000 A. Care este in aeeste eonditii largimea franjei pentru ordinul unu ~iaeeea a franjei de ordinul patru.

Sa se spuna care va fi largimea franjei de ordinul unu pentru lumina alba, dad.intre ccle doua fante ~i eeranul pe care se formeaza franjele se a'laZa un bloc masivde stiela cu indieele de refraetie n=1,5.

4.2.56. Un faseieul de lumina monoeromatiea emis de 0 sursa punetiforma estetransformat intr-un faseieul paralel ell ajutorul unei Ientile plan eonvexe eu raza decurbura R =30 em ~i indice de refractic n = 1,5. Faseieulul eade perpendicular pe eera-nul eu eele doua fante ale dispozitivului Young $i se formeaza un sistem de franje de~nterferen ta pe un eeran la distan ~a D = 1 m de eele doua fante. Se inloeuie$te dis-pozitivul Young eu 0 eeluJa fotoclectrica eu eesiu.

Sa se determine:1) Distanta d la care trcbuie a$ezata Ientila plan convexa fata de pozitia sursei

punctiforme pentru a obtine faseieulul paralel.2) Lllngimea de. unda a radiariei monoeromatiee folosiUi daea distanta dintre

cele doua fante ale di~pozitivul1:li Young este l =2 mm, iar primul maxim de inter-ferenta se forrneazii la clistanta i=0,3 mm de franja centrala.

3) Viteza fotoelectronilor emi$i de eelula fotoeleetrica, daca luei'uI de extraetiepentm eesiu este L=1,89 eV.

4.2.57.0 radiatie are lungimea de unda in vid': Ao=5'10-7 m. Sa se ealculezeperioacla. frecventa ~i viteza de propagare a aeestei radiatii intr-o sticla eu indicelede refrac~ic n = 1,5. Sa se determine IUllgimea de unda a radiatiei in sticIa.

4.2.58. 0 radiatie l11onoeromatiea are in vid lungimea de unda A=6 000 A. Cunos-

cine! illdieele de rcfraetie al apei 11 =.i.. ~i viteza de propagare a luminii in vid Co =3

=3 .108 mis, sa se ealculeze:1) Lungimea de unda ~i viteza de propagare a radiatiei in apa.2) Ellergia fotonului.3) Raportul dintre freeventa radiatiei in aer $i in vid.

4.2.59. Din studiul efectului fotoelectric pe un metal oarecare se poate deter-mina sarcina electronului. Se folose9te drept fotocatoda intr-o celula fotoelectrica.metalul respectiv 9i se lumineaza cu un fascicul monocromatic. Se inregistreaza unanumit fotocurent. Se apIica intre electrozii celnlei 0 tensiune de frinare U1 care anu-leaza total fotocurentul obtinut prin iIuminare cu radiatii de frecventa VI' Iil cazulluminarii metalului cu radiaW de frecventa V2, tensiunea de frinare este U 2' Cunos-ciud: Ul=1,42 V; U2=2'04 V; vl=1,8'1015 Hz 9i v2=1,65·1015 Hz 9i h==6,6· 10-34 J ·S, sa se determine sarcina electronului.

Fasciculele de radiatii cu frecventele VI 9i V2 sint trimise pe 0 retea optica cu con-stanta n =50 mm-l. Sa se determine diferenta unghiurilor de difractie, pentru maxi-mul de ordinul 3, in caznl celor doua spectre de difractie, 9i care este ordinnl de difrac-tie maxim ce se poate obtine in caznl radiatiei de frecventa VI'

4.2.60.0 celula fotoelectrica cn stratnl fotosensibiI din cesiu, are pragnl r09uAo=6 600A. Celula cste luminata cu lumina monocromatica cu )\ =5500 A. Sa se afIe :

1) Viteza maxima a electroniIor emi9i.2) Energia cinetica maxima a unui electron, in conditiile in care celulei i se aplica-

o tensiune acceleratoare de 20 V.3) Tensiunea de frinare care trebuie apIicata celulei pentru ca sa se anuleze com-

p let curentul fotoelectronic.

4.2.61. 0 placa de zinc este luminata cu radiaW cu )\=300 A. Sa se caIculezepina la ce distanta maxima de la suprafata placii se pot deplasa fotoelectronii emi9i,daca exist a un cimp de frinare pe directia mi9carii acesteia de 10 V(cm, iar lucruJde extractie pentru zinc este de 3,74 eV.

4.2.62. Sa se exprime cnergia de repaus a nnni electron.

4.2.63. 0 lentila subtire convergenta, cu distanta focala de 50 cm, este taiata indona par~i egale printr-un plan trecind prin axa principala. 0 fanta luminoasa Sfoarte £ina este situata in acest plan 9i este paralela la Iinia de separatie a celor donajumatatide lentila 9i la distanta de 1 m de aceasta lentila (fig. 4.41). Aceasta emiteo lumina monocromatica:

1. La ce distanta trebuie sa departam cele doua jumatilti de lentiIa, simetric deo parte 9i alta a axei, pentru a obtine doua imapini, 51 9i 52,departate la 4 mm una,de alta?

Aceasta opera tie fiind efectuata se considera nn plan E, normal pe axa, la 3 Inde sursele 51' 52' Care este largimea regiunii din acest plan in care putem observafranje de interferenta? Se masoara distanta de la mijlocul unei franje luminoase lacmijlocnl celei de a douazecea £ranje luminoasa de la aceasta 9i se gase9te ca aceastaeste 8,19 mm.Care este lungimea de undll a radiatiei folosite?

2. Se a9aza iu fata nneia din surse (51 sau 52),0 lama de sticIa de grosime 0,008 111IIlJ9i indice de refractie 1,5 pentru radiatia monocr0111atica considerata~Care sint sensu I 9i valoarea deplasarii suferite de sistemul de franje?

3. Se scoate lama de sticHi i;jise lumineaza cele doua fante cu lnmina alba conti-nind radiatii cu lungimi de unda cup rinse intre 0,650.1O-ti m 9i 0,410.10-6 m.Care sint lungimile de unda ale radiapiIor din aceasta lumina care dau 0 franje intune-cata in planul de observatie precedent intr-un punct A departat cu 3 mm de axa ?

4.2.64. Intr-un tuh de descarcare se gase9te hidrogen atomic; acesta este ilumi-nat cn 0 radiatie monocromatica x asUel incit electronii atomilor de hidrogentrec in starca excitata caracterizaUi de numarul cuantic principal n =6. Prin revenire·direct in starea fundamentala, atomii emit 0 radiatie care cade pe 0 placa de vol-fram aflata in viel.

Sa se ealculeze luerul de extrartie pentru wolfram, i?tiind ea electronii smu1i?i prinefect fot0electronic ramin pe suprafata placii de volfram daca Ii se aplica un poten-~ial de frinare de 9 volti.

4.2.65. Pragul rOi?U pentru efectul fotoeledric intr-un metal oarecare este 1'0 ==2750 A. Sa se calculeze:

1) Lucrul de extractie al electronului din metalul respectiv.2) Viteza maxima cu care parasesc electronii metalul respectiv cind acesta este

lumi Hat eu radiatii cu A= 1 800 A;3) Energia cinetica maxima a electronilor de la punctul (2).

4.2.66. Sa se determine lungimea de unda i?i frecventa corespunzatoare celeiode-a cincea linii spectrale din seria Balmer a atomului de hidrogen. Se da :R=10973731m-1 ~i C=3·108 m/s.

Imaginea obiectului CB este C' B', iar portiunea utila din oglinda pentru a primiin ochi razele provenite de Ia extremitatile B i?\ C ale obiectului, dupa reflexia<lcestora pe oglinda, este limitata in figura de punc-tell' D ~i E (fig. 4.6).

Din geometria figurii ~i an llme din asemanarea tri-unghiurilor ADE i?iAC' B', rapol'tul de asemanare fiind

1 C'B' CB._, rezulta ca DE= -- = -- = 87,5 em, iar

2 2 2<lin asemanarea triunghiurilor B'EE' i?i B'AB, eu

.acela~i rap art de asemanare ( ~ ). rezulta ca EE' =

= .i B =80 cm. Deei inaltimea minima a o[[linzii este2 ' ~ V8'

DE =87,5 em, iar inaltimea de la padea este EE' ==80 em.

Din abservarea fig-urii 4.7. rezulta ca raza emergellta 1'R este alltiparaleUi Ia Sf~i prill rotirea amamblullli celol' doua oglinzi in jurul axei fixe ee trece prin 0 i?i esteperpendicular~l pc S1, raza 1'R rarnine in continuare antiparalela Ia SI iar aceasta

fiinel fix[l, pozitia Iui 1'R este de asemenea fixa.Punetul AI de intersectie al normalelor Ia planele oglinzilor

d use in 1i?i l' se deplaseaza pe 0 paraleUi Ia Sf, trecind prin0; el se va afla Ia 0 distanta minima fata de 0, dnd unghiuI

de inciden\iJ. i =: i?i se departeaza spre infinit eind i = 0

4.1.3.

D· t' 1 1 2 bt' d ~m eCUa,la - + -~ = - se a ;me, upap p' 11.

P = !!- (1 '+- L) = ~ l( 1+ ~) .2 p' 2 I ,

Rezulta

1 18 0 5 (. . I ). Pl = ill, pentru -~- =. lmagme rea a ,11

2. P2 =3,6 m, pentru ~ ~ --- (imagine rcala),i2 5o 13. P3 =~2,4 ill, pcntru - = -i3 5

t 1.4.

Falasim notaiiile: VA=p; VA'=p'; V(:=R=2f (fig. 4.8).Imaginea A' a punctului luminos data de oglinda cancava ar trebui sa se farmeze

la distanta

, pf 50·45P = -- = ---- =450 cm.p -f 50 -'15

Razele care pleaca de la punctul luminas A, dupa ee se refleeta pe aglinda eon-cava, in drumul lor intlInesc oglinda plana 0 ~i se ref]ecta din llOU, pc aceasta. Ima-

ginea virtuala A' joaca 1'01 de obiect pentru oglincla plana ~i ea va da 0 imagine reaUicare trebuie Sa coincicla cu punctul luminos A. Pentru aeeasta, oglinda plana 0trebuie a~ezata la jumatatea segmentului AA', adiea la 0 distanta

VO=VA'- AA' =p'_ P'-P = p'+p = 450+50 =250 em.2 2 2 2

, pf 5 ,.. . p' 11. P = -- = - =1,2;) m; 1=0- = -m=2,5 cm.

p -f 4 P 40

2. Imaginea A'B' devine obiect virtual pentru aglinda plana (fig. 4.9) care vada a imagine reala A" B" egala cu A' B' ~i simetrica cu aceasta in rapart cu planulaglinzii plane: A" B" =A' B' =i =2,5 em.

,4'A" !!I

Oglinda plana fiind inclillata Cll 45° fata de axul principal, imaginea A" B" esteparaleHi cu axa, la distanta FB"=FB'=p'-{=25 cm. Ecranul trehnie a~ezat paralel'cn axul principal ~i la distanta de 25 cm de acesta.

4.1.6.

Notind cu: P = VIA, P'= VIA / ~i respcctiv PI = V2A', PI = V2A folosind formula oglin-zilor sferice pentru cele doua oglinzi, considerind punctnl Inminos A ca obiect pentruoglinda 1 ~i imaginea reala A' data de aceasta, ca obiect pentru oglinda 2, care dao imagine tot reala ce va coincide cu pllnctul luminos, vom obtine (fig. 4.1 0).

d

, PI" d' .P =--; Pl= -P ~lJ! -f

, ptf (d -p')fpj=--=----pj-f d-p'-f

pe de aWi parte PI =d-p, deci d-p = df-p'f in care inlocuind ~i expresia lui'd- p'- f

, pf l' I'P 1=--. , sc a )tme re atw :fJ -[

d± Vd2-4{dp2-pd+fd =0 sau p = 2

~i pentrn ca p trebuie sa fie real, rezultii conditia d;:;, 4 f.

Notam cu : i unghiul facut de raza incidenta S1 cu normala la dioptrul sferic,Ua intrarea acesteia in sfera cu indice de refractie n (fig. 4.11); acela~i unghi 1I va

Ic(esire =/-r

:face raza emergenta care iese din sfera dupa ce sufera pe partea il1terioara a dioptru-Jui sferic P reflexii succesive;

~i=i-r,este 0 prima deviere a razei refractata la intrarea in sfera ;

~ref1=n-2r

·este devierea suferita de raza la fiecare reflexie pe partea interioara a dioptrului:sferic ;

~ie~ire=i-r

'este 0 ultima deviere, la ie~irea din sfera.Deviatia totaIa fi. a razei emergente E fata de directia razei incidentaS1 - devia-

Jie socotita pozitiva in sensul in care S1 se apropie de normala prin refractie este :

.fi. = ~intrare+p' ~ref1exie+~ie~ire,

.Li =(i-r) +p(n-2r) +(i-r),

.fi. =2i-2(p +l)r+ pn.

4.1.8.1. Fie Pl' P; ~i P2' P; distantele obiect-Ientila, respectiv lentiHl-ecran, in cele doufi

·cazuri. Din enuntul problemei rezulta:

li =4', , 4 P2 = P; _ =2 ;PI PI = Pl; P2 PI +01 1 1 1 1-=-+-, =-+-,f PI PI P2 P2

1 1 1 1 1-=-+-=--+--( PI 4PI PI+5 2(PI+5)

11

/1 /

1 /1 //

1/

p' = -.-!!L = ~ =-15 em.p-{ 10-30

Pozit.ia imaginii fata de prima Ientila este la 110-15 =95 em.

B" A" _ (p; ) (p,) _ ( 100 ) ( 15 ) _3 -- - - - - - - - --6. BA PI P 25 10

B"A"=BA(-6)=-30 em

4.1.9.

1. Cele doua raze d~ lumina fiind paralele eu axa lentilei, dupa trecerea prin lentil ase vor intilni in focarul acesteia (fig. 4.14). Eeranul trebuie a~ezat perpendicular peaxa lentilei, Ia distanta f de aceasta

1(=------=20 cm.(n-1) l{~- !_)

R1 R2

2. Diferenta de drum;) intre cele doua raze este :

6=2 h+e(n-1)+~(l+cos i)=45,82 mm.Sill 1

3 45,823. Ll<p = 2n - =2n ---- =4,4.105 rad.

/, 6560.10-7

A\ - . _

\ ------[J F

4.1.1 o.Notind cu F distanta focala a siste-

mului (fig. 4.15) ~i folos{nd formula len-tilelor subtiri

1 1 1 _- = - + -rezultaF p p'

F=15 cm.

Notind cu x distanta focala a lentilei divergente (lichida) ~i folosind relatia crlrene da convergenta sistemului :

1 1 1 1 _- = - '+' - '+' -, rezulta x=-30 cmF f x f

Notind cu R raza de curbura, aceea~i pentru toti dioptrii sistemului, din formula,care ne da convergenta uneia din Ientile Ie identiee, in funetie de indicele de refractie :

2.. =(n-l), 2.., rezulta R=20 emf R

~i aceea~i formula, scrisa pentru lentila divergenta

1 (' 1) 2 d-' 4-- = n - , --, ne a n = -,(-x) (- R) 3

11' = ~ fiind indicele de refraetie allichidului care constituie lentila diver!!enta formata3' ~

prin umplerea golului dintre eele doua Ientile convergente.

4.1.11.1. p' p' =p ~ =60 cm;

o p 0

2- = -.!.- +.~; f= ~ =20 cm.f p p' p+p'

2. ~=(n-l)(-.!...--.!...)=(n-l)-.!...'f RI R2 R

R=f(n-l)=lO cm.~ = (-.!2..._1).2- = n-n" -.!... f" net R 803. , =-- = C111.f' net R net R n -net

4 ' - --Elf' _ 30· 80 - 48. P1- - -- em,PI-f' 30-80

1115. r: = f + r:; fx=-26,6 em.

4.1.12.1. Vom folosi notatiile CA=R+p=a 9i CA'=R-pi=a' 9i yom scrie formula

oglinzilor, pentru prima oglinda aVlnd ea obiect - obiectul luminos AB 9i apoi pen-tru oglinda O2 socotind ea obieet imaginea data de oglinda 01, Vom obtine 0 relatieIntre a' 9i a de forma:

i'=oEL =5· ~ =8 em .PI 30

, aRa=--,R- 4a

care, pentru cazul ciml obiectul AB se deplaseaza din V2 III 111' ia valorile date intabelul alaturat :

IR

R(l -R 0 -4

(l'=~

IR 4-,;r0 ,;r +00 -00 ,;r - -

R-4a 5 3

A'B' R

I1 1

--=-- -,;r 1 ,;r +00 -00,;r-3AB R- 4a 5

4.1.13.1. Folosind relatiile pentru lentilele subtiri :i p' . 1 1 1-=- 91 -=-+-o P f P p'

deducem din prima: p' =3 p, care introdusa In cea de-a doua rela\:ie lie da :

p'f 3pf· lt~P = -- = -- 91 rezu a:p-f 3p-f4f 120 4 ' 3 -P=3=S;= 0 em; P = ·p=1201.cm.

2. Prin interpunerea lamei transparente Intre obiect ~i lentiIa, aceasta da 0 ima-gine AlBI mai aproape de lentila 9i care joaca rolul de obiect pentru aeeasta. Apro-pierea este data de

In aeest eaz, distanta de la imaginea - obiect (AIBI) la Ientila este

PI =p-e (1- ~ )=40-9 (1- /8) =36 em.

Distanta de la lentila pina la loeul un de aeeasta va da ima!!inea A'B' in eazulacesta este:

/ Pif 36 ·30PI = -- = -- =180 em.PI- f 6

Deei eeranul trebuie departat de lelltila ell:

D=pi-p'=180-120=60 em.

3. Imaginea A"B" data in final de oglinda plana cste reala, deoarece objectul A'B'pentru oglinda plana este virtual; A" B" este simetriea eu A' B' in raport Cll planllloglinzii plane, deei egalii cu A' B', paraleHi cu axa sistemului, punetul B" a.flindu-sepe vertieala OB", la distanta OB"=OB'=Pl-LO=180-100=80 em.

4. Prin plasarea ellvei ell apa in drumul razelor refleetate de og1inda plana 0, aces-tea sint deviate ~i se obtine 0 imagine finala A'" R'" - deplasata in sensul de inain-tare al razelor de lumina, adiea spre fundul euvei, deplasare data de d=B" B'" == h (1- ;a) un de h este grosimea stratului de apa, iar l1a indieele de refraetie al apei.

Urmeaza ea pentru ea imaginea finala A'" B'" sa se formeze pe fundul cuvei, aeeastatrehuie sa se afle sub axa sistemului, la 0 distanta OB'" = OB" '+ B" B'" = 80 '+'20+ (1- :) =85 em.

4.1.14.p=30 em, f=20 emp'=60 emPI=-VB'=-10 em;pj=20 em.Imaginea finala, obtinuta dupa trecerea razelor de lumina prin lentila ~i apoi

refleetarea lor pe oglinda eonvexa este B" A", este reala, mai mare dedt obieetul~i la 20 em de virful oglinzii, rcspeetiv la distanta OB" =OV-B"V =50-30 =20 emde lentiUi (fig. 4.17).

4.1.15.

1. :1 =(n-1) ~ = (1,5-1) 220

= 210 ; fl =20 em,

HI 40f2 = -- = - = 20 em.2 21 1 1 1 1 1

2. - =- + -; - =---; p'=60 em,f1 P p' p' 20 30

PI =d-p' =100-60 =40 em=2 fI,p;=p'=2fI=40 em,P2 =dI-p; = 10 em,111111 1- = - + -, ; -, = - - -- ~=--, p;=-20 ern,f 2 P2 P2 P2 20 10 20

[J3 =Pl '-/-p;=50-1-20 =70 em,11111 J "- = - + -, ; -, =--- = ---; !1;=28 ern.(I P3 P3 /13 20 70 Jtl()

jJ4,-~d-p~=100-28=72 em,

J 1 1 ,360 2-7 7- =- +-,; P4=-elTI= , - ern.f1 P4 P4 13

9 _i = }J~'P;l'P;'/I; .p' = ~ =0,616.oJ. 0 P4'P3'P2'P1'P 13

4. Sse ana In foearuIIui L1, iar ecntrul optie al ogJiuzii 1\11 va eoineide eu focaruI pos-terior aI Iui L2 ~i distanta dintre Ientile poate fi orieare (fig. 4.18).

l

l.__

~--

L1

4.1.16.1111112

1. r: = --; + -;;-; --;;:= r:- -;;= 60; P' =30 em.

Pl=d-p' =50-30 =20 em1 1 1 1 1r: = -;;-+ -pr; Pi = 20; p;=20 em.

2. P2=x-p'=x-30,1 1 1 1 1 1 x-35-=-+-,;-'=----=----fa P2 pz pz 5 x-30 5(x-30)

• I 5(x-30)~l pz = .

x-3580x_x2 -1600

x-35Pa=d-X-P2=50-x- 5(x-30)

x-351 1 1 1 1 x-35-=-+-,; -, =--------f2 Pa pa pa 10 80x-x-1600'

I 10(80x-x2-1600)Pa = 70x-x2-1250 •dp; 2(40-x)(70x-x2-1250) -2(35 -x)(80x -x2 -1 600)- -10 -------------- = 0dx - • 70x-x2-1250

sau (40-x)(70x-x2-1250)-(35-x)(80x-x2-1 600)=0

sau x2-70 x+1200 =0; x=35±V1225-1200 = 35±5/40•

"'-.30

3. xl=40 em, _ 10(80·40-1600-1600) =0

pa - (70.40 -1600 -2150) (rninimul),

Xl =3010(80·30-900 -1600)pi = --------

70 ·30-900-1 250

. n1• . 450SIn y = - sm ()( ~l Y = .n2

10(2400-2500)------ =20 em (maximul).

2100-2150

4.1.17.1. Pentru deviatia minima:i = A+~ =600

2 'sin i

nl = ----- =1,73.sin A/2

2. Unghiul din I' faeut de raza refraetata 11'(fig. 4.19) eu refleetata 1'1" este dublul unghiu-lui de reflexie=2r=60° (egal eu unghiul p.rismei).

Rezulta ea 11'1" Beste un paralelogram 1?ideei unghiul

7t • sin y n()(= --':-- ~=30° 1?i dm: -- = --!.sau,2 sin C( n2

Raza emergenta 1"1''' eade normal pe fata BD ~i l1?icontinua drumul nedeviatadeci raza emergenta este perpendieuladi pe fata BD.

4.1.18.1. Distanta sursei fata de lentila :

1 l' R 20d=f, - =(n-l)-~; d= - = -- =30,77 em.

( R n-l 1,65-1

2. Lungimea de unda a radiatiei :

sin fr> =kN).. ., )..= sin <p = ~ =0 666.1O-3mm =0 666T kN 3.250 ' ,

I

3. Distanta obiect - lentiHi :

p'=3p, ~ =~ ~_1 ; P= ~ f,P (3p 31 1 R- =(n-1)-; f=-'( R n-l

2 2 RP= - f= - --20,51 em.3 3 n-l

4. Variatia distantei imagine - lentila

Pt = p(1 + ell) =20,51 (l +2.10-5 '102) =20,55 em,2..= 2.._ ~ Pt' = (,Pt =61,87 em,f Pt Pt' (-Pt

.6.p'=pt - p'=Pt - 3p=61,87 - 61,53=0,34 em.

4.1.19.1-sin <p

1. Al =N =500 ~ =-1-mm=5000A.k 2 2000

1 1-sin <p -1N 5002. k= --- = --- =4,4 - se considera numarul intreg"2 4,5 ·10-

k=4 1?inumarul total n=4+4+1 = 9 maxime.

3. hVl =hvO+eVl

hV2=hvo+eV2

h -_ e(V1 - V2) -_ eA1 'A2 V V--- ---( 1 -- 2)'VI -V2 e(A2 - AI)

II = 1,6.10-19.5.103.4,5.103.10-20(0690 - 0 415)3.108(5.103-4,5.103)-10' "

h=6,6 .10-34 J ·s.4. Ee=hv - L = he -L = 6,6.10-34.3.108

- 2 3·1 6 '10-19 JA 5·10-7 " ,

Ee=0,28 .1O-1S J.

4.1.20.1. E=p·t,

E=nhv =nh~' ). ,

E=20 '60=1200 J,E). 1200·5·10-7n= - = -----=3.1021 fotoni.he 6,6.1()-.'l&.3·108

2. (a+b) sin ep=k"A.

a-I-'b __ ~ __ 2·5·10-7--- =2.10-6 m=2flm.sin 'P 1

23. X =ftg ep(fig. 4.20),

1 1f = - = - =0,50 mC 2

X =0,50 tg 30°=0,5 V~ =0,29 m.

c4. a) L=hvo=h-=

~=66.10-34 3.10

8 3·1O-19J,, 6,6.10-7

eel 2b) h- =11 - + -mv,). ~ 2

~ mv2= hC:.( ~ ~- A:) =

= 66.10-34.3 .108_1_ (~ __ 1_),, 10-7 5 6,6

2- mv2 = 4,8 10-19=9,6.10-20 J,2 5

v2= 9,6.10-20

.2 =2,13 .1011 m2/s2,9.10-31

v=4,61 .105 m/s.

4.1.21.

1. A= ai = 2.10-4.1,5.10-3 =6 .1O-7m=GOOO A.D 0,5

2. i' = AD' = 6·10-7·1 =3 .1O-Sm=3 mm.a 2.10-4

3. /, =!-; v este frecvcnta radiatici ~i este constanta, In timp ce "A' depinde dey

viteza de pl'opagarea III minii 111 mediul rcspectiv:, C A'J.. =-=-

n·y n. A'·D AD 6.10-7.0,5In=~ --=-=

(J na 1,:>':.!.10-4

sau pentru D'= 1 m:., AD' 6.10-7.0,5In = - = ---- '=2 mm.

na 1,5.2.10-4

4. Introducerea lamei in drumul undelor care pornesc de la fanta 51' echivaleazacu 0 suplimentare a drumului parcurs de aceste unde cu nd-d =d (n- 1) ~iaceastaare ca efect 0 deplasare a sistemului de franje pe ecranul E2 in sensul spre fanta51 (fig. 4.21).

2 A1D 3 A2D5. 2i1 =3i2 sau: --, = --, de unde rezulta:a a

220)'2 = -A] = ~6 '1O-7m=4 000 A.

3 . 3

Radiatia este In violet.

3' 3 Aro~uD.

6. XrOSl1 = 11'0011 = ,. ., a

. 3 AviolctD:l;vioJel= 31violet= ---- ,a

,1, =Xl'o~U - Xviolet= 3D (I'rosu-Avioh,t)= 3.0,5, 3 .10-7 =2,25,10-3 m=2,25 mm.a .' 2.10-4

1 1 A 1 2 h .. 1 2• IV1 = + -mu!, v2=A+ -mu2,2 . 2

h(V2-VI)= ~m(v~-vT), ~mVr=eVI;2 2h=e V2-V1 v =~.

V2-v1 ' 1 A1'

h =!:.... (V2 - V1)(A1 'A2) ,

c )'1 -A21,6.10-19 0,6.2790.2450.10-20

h=--- -------=643.10-343.108 (2790-2450).10-10 '

2. A =hvI-eVI sau A =hv2-eV2

sa II

A =6,43' 10-34.] ,225 .1015-1,6 '10-19 '1,26 =5,86 .10-19 .J =3,66 eV.S-a calculat

c . 3.108V = -= -·---=]0,752 ']014 S-I

I Al 2790.10-10 'C 3.108

V = -= ---- =12,245.1014 S-l2 A2 2 450.10-10

3. Pentl'U frecventa de prul.{ v o~~O deciA

A =hvp, \11) c= h'h= 5,86.10-

19 =9,]14'1014 S-I.f ll,43.1O-;J4

V2>V1>Vp=Y fenomenul posibiI,c 3.108 2'1\ = ~'-= --- = 3 292·10 -10 m =3202-,,-A~ ~ _p vp 9,114 .1014 ~- _

4. Pelectl'od=Pfoton--(-mev~.' hV1 1 2

PI =PI + meu1 =-- +mevI, - mevj =hvi -A,C 2

PI = hV1 +V2me(hv1-A)=...!3- +V2me(hv1 -A)

c ~

urmind acela~i rationament11 , I

P2= - + V2me(l1V2-A)A2

inlocuind ~i filcind calculeicPI =4,373 '10-25 kgm/s,

4.1.23.

se obtineP2=6,I79 '10-25 kg m/s.

1. L=hvo= be, L= 6,6.10-34.3,108 =4 95 .10-19 J.An 4·10-7 'mev2 c bc2. hv=L+ --- h- =L+Ec Ee=--L

2 ' A ' A'

Ee= 6,6.10-34.3.108 -4,95.10-19=06.10-19-495.10-19=1 65.10-19 J.3·10-7 ",

3 E _mev2• e- 2

V2E~V= -,

m

4. p=!!.-=bv =~=!:-, P 6,6.10-34 =2,2'1O-27k<1 m/s.C C AC A 3.10-7 D

5. E=hv=mc2; m= 1Iv =.!!..-= 6,6.10-34 =7,3 .10-36 kg.c2 CA 3.108.3.10-7

V=V2_._1,_65_._10_-_19 =YO,362·I012=0 6 '106 m/s.

9,1.10-31 '

1. Energia unui foton este egaUi eu

"

7t • •a = -1;>1 z+r+a=1t.

2

Introducind (2) in (1) avem

8=hv = bc = 6,6.10-34.3.108 =4,5.10-19 .JA 4400.10-10

Numarul de fotoni emi~i de laser in timp de asecunda este

n = p = 4,5.10-3 =1016 fotonie: 4,5.10-19

2. Referindu-ne la fjgura 4.22 scriem:

un de n este indieele de refractie al lamei destieHl, iar <Jin condipa pllSa in problema avem:

sin i sin i sin i .- ===-==-==;;:;:;:=::;:--,=-~;::;::..'-=.!t,gg_I!......=."". n.~III (7t) caSl ---.sin '2 - i _

In final i =arc tg 1,5.3. Din figura 4.22 rezultil :

AB d .. (. ) x= -- ~I SIll z-r = - ;cos r AB

de unded sin (l-r)

X=----·cos r

I TC ,nsa, In cazul nostru, r = - -l :;;i

2

d sin (2i - ; ) .X= ---------- = -d cos 21 d(2 sin2 i-1)

sin i = tg iVtg2 H1

d(~-1)n2+1x=-----

n= -=putem scrie:Vn2+1

d(n2-1) Vii2+1n(n2+1)

3(2,25- 1) V3;25 = 1 31,5·3,5 '

V n2+14. In fig. 4.23 am reprezentat k medii separate prin suprafe~e plan paralele :;;iaVInd indicii de refractie nI, n2, ••• ,nk'Scriind legile refractiei pentru fiecare supra-fata de separare, avem:

"- - - - - - ~,--T,,~

sin il n2--=._,sin rl nl

sin 12 n3-- ==-,sin r2 n2

sin i3 n4--=-,sin r3 n3

Dad tinem cont de faptul ca i2 =1'1' i3=1'2"" ik=-l'k-l rezulHi:sin 11 sin rl sin r2 sin rk-I n2 n3 n. nk--.--.-_ .... ---- =-.-.- ... --

4.1.25.Energia cinetica medie a mi:;;cal'llde translatie a moleculelor este data de expresia

Wc=~ !!...T=~kT2 N 2'

unde k este constanta lui Boltzmann.Energia transportata de 0 radiatie este e:=hv =h .!!-.

A

D' I' 3 ~kT c I ~ T 2 heIII ega ltatea - =h -, rezu ta = - -,2 ~ A 3 kA

T= ~ 6,6.10-34.3.108 =1 6.104 K.3 1,38.10-23.6.10-7 '

hv lzImpulsul fotonului este p= - = -, iar impulsul unui atoin de hr.liu, dad

e Aconsideram viteza patratica medie, estc

PHe =m V :~~ = V3mkT ~i estc <'gal cu impulsul a 11 fotoni

Jl !!- = '/3mkT . 1/ = ~ 1/3mkT =).. 1{ , lz

6 ·10-7 "3.1'1 G7 .10-27 ·1 38.10-2:3 ·300 11= J3 500 fotoni.6,6.10-;J-j 1/, , ,

4.1.27.1. Din conditia de maxime, d sin qJ=11A scrisa pentru maxim ul de ordinul 11 ~icpl de ordinul 11+1, rezulta:

A=d(siu qJ2- sin qJ1) ~i

c;=hv=!J ~ = he = 6,6.10-34

.3.108 =33 .10-20 J.).. d(sin 'P2-sin 'PI) 3.10-6.0,2

p= ~~ =!!- = __ l~__ = 6,G·10-34 =11,10-28 koms-1

e ).. d(sin 'P2-sin 'PI) 3.10-6.0,2 b

P--11~ __ IS l) IS _lz __ IS 3.10-3.52. --- =5 .10-11 kgms-1.).. E lz ~ A c 3 .108

),

Legea efectlllui fotoelectric scrisa pentru cele dOlla cazuri:lie lie-'~-=Eex+eU ; )..-6).. =Eex+e(U +~U),

Se scoate expresia lucrlllui de extraclie (Ee'l:) din prima relape ~i se introduce ina dOlla ~i obtinem :

he 6)..

MU()..-6)..)_G_,6_,_10_-_3_'J ._;)_._1_08_._50_0_'_1_0-_8 --I G.10-19 ell

--. , .Oll Olll J.:35·10 -8,0,59 <10 .10-8

124.2.2. h=-m2 '

4.2.3. B~1,5 .105 sb; E=33 .107 lux. 4.2.4. Yj=0,J3%.

4.2.5. Oglinda plana trebuie a~ezata Ia 80 cm de virful oglinzii concave.

4.2.6. Din cauza rotatiei vasului, particulele de mercur din vas siut supuse ladoua forte: greutatea ~i forta ceutrifuga iner~iali'i ; suprafa1:a lihera a mercurului esteiu fiecare puuct normala pc rczultauta celor doull for~e, luiud 0 forma curba.Diu: m(,}2R sinOl:= mg tg 01:, peutru C1. mic,

R g{= 2 = 2" =4,9 cm.

4.2.7.Tinind seama de legile reflexiei se vede ca drumul ACB=A'CB, este mai scurtdecit oricare alt drum AC'B=A'C'B, drumul cel mai scurt intre doua puncteA' ~i B, fiind linia dreapta A' CB (fig. 4.30).

4.2.8. d =4,5 m.

4.2.9. a) PI =13,14 em ~i P2=41,86 em,b) d1=80 em, d2 =100 em, d3=20 em.

4.2.10.

4.2.11.Dcplasal'ea !:l = d sin (i-r) =6,65 em.

CDS r

4.2.12.

1) a ) 11 I = V 1- sin2i .

1 n2-sin2 i '

h2) 0') lz~ =

n

4.2.13.

( 1 CDS i) (1 CDS i)Deplasarea tubului mieroseopului este: h'= d-d 1- - -- un de d 1----n CDS r n CDS r

reprezintii deplasarea imaginii; ~i, pentru ineidenla normalii (i =0,1'=0, ~ = 1) ,CDS r

I '( 1) d d 3h=d-d 1-- =-~n=-=-=1,5.Inn !I' 2

4.2.16. 1) Unghiul de emergenla cste egal eu unghiul de ineidenla.

2) Reflexia pe oglinda In eazul aeesta se va faee sub un nnghi r' =1'+20:'I " I' v sin (r+2o:) 1 ., '( 2) ([" 4 31)~I a le~n'NI (Ill apa: " = -, sm lem=SIIl 1'+ o:·n Jg." "

sm lem 11

3) Pentru a produee fenomenul de rel'lexie tutal;l trebnie lndeplinili'i eon-l-r

ditia 1'+2 0: ~ I respectiv <'l. ~ --.2

4.2.17." ""A=2(ii - A), (iI' =i2) (fig. 4.32).

4.2.19. 1) a) Din eonditia de deviatie minima rezulta ;=;'= ~ =30° :;;i2

=n-:,. sin i =n sin r = V"2 =;.f =45°.2

b) Amin=2i - A =90° - 60°=30°.

2) sin r'=~; r'=45°;1'=600-45°=15°:;;i i=aresinY2.n

d. siniIII -- =

sin r

4.2.20. 1)~ ~ =0, adiea lill=li21 ; razele care intra :;;iies slnt simetrice ; prin urmare ino 11

prisma, raza este paralela cu baza acesteia.A+A

sin--2

Asin-

23) Daca unghiul de refringenta A este mic :;;irazele cad pe fata prismei sub un

unghi de incidenta mie, atunci A=A (n -1).Indicatie : in cazul dnd A :;;iil sint mici, i2 este :;;iel mic. Prin urmare il =nrl :;;i

i2=nr2•

De aici A=(n - 1)(1'1+r2)=A(n - 1).

4.2.21. Persoana este presbita. Are nevoie de ochelari cu Ientile convergente. Punctulproxim al oehiului este punctul pentru care se obtine 0 imagine virtuala ~la 50 emde ochi, deci la 49 em de lentilii. Deci: p'=-49 em; p=25 - 1=24 em; f=3(cm;

ell 3 d' t"=- = - rv lOp rn.( 0,31

4.2.22. Trebuie sa aflam de la ce distanta p de 0 lentilii divergenta (de conver-genta - 2,5 dioptrii) trebuie a:;;ezat un obiect pentru a obtine 0 imagine vir-

1tuala in p'= - (25 - 1)=24 em, C= - =- 2,5 ~; f= - 40 em, p=15 cm.f

sc4.2.25.1) Notam: SA=p=3 m; f=-=1 m,2

SA' = 2L =0,857 m ;A'B' = ~ =1,14 em.np-( np-(

2) SA" = ~ =0,375 cm; A" B" = ~ = 0,50 em.2np-( 2np-(

3) Doua solutii: a) SA1 =0,b) SAI = sc = 1,33m.

n

4.2.26. D = 2R1L(L+R2)

fLL(R2+L) -R1(2L+ R2)

4.2.27. Se noteaza eu A B raza cercului obiect, iar A' B' este imaginea pe care 'arda-o oglinda curba in Iipsa celei plane-A' B' serve:;;tedrept obiect virtual pentru ogIinda

plana, care va da 0 ultima imagine reaJa AlBI(fig. 4.33). Pentru ea B I sa eoincida eu B, tre-buie ea oglinda plana sa fie plasata la juma-tatea distantei BB'. Folosind relatiile pentruoglinzi obtinem: 1) d =2,45 m ~i 2) i =-2,5 em~i rasturnata in raport eu obieetuI.

4.2.28. 1)f=16 em ~i C = 2- =6,25 dioptrii,f

2) P2 =-16 em - imagine virtuala.i'3) - =3.a

4.2.29. 1) Lentila Ll este eonvergenta ~i are distanta foeala fl =50 em.2) Lentiia L2 este divergenta ~i are distanta foeala f2=-150 em.3) Prin introdueerea euvei eu apa imaginea obieetului S data de aeeastase apropie de leniila LI ~i respeetiv ~i imagine a S' a aeesteia va fi ~i eadeplasata ineit distanta de la lentila LIla imaginea obieetului data deeuva ~i care joaea roJ de obieet pentru lentiUi va fi PI =125 em iar ima-ginea definitiva va fi dp, partea eealalta a lentilei la distanta P; =83,33 em.

4.2.30. 1) f=4,15 em; b) C=24 dioptrii.2) R=4,15 em.3) D =25,2 em.

14.2.31. 1) a) faer= ------ =30,8 em,(/lC-1)(~ + _1_)

R1 R2

b) Caer=3,25 dioptrii.12) a) fapa= ------- =120,3 em,

(~ -1) {_1 +~}/la, R1 R2

b) Capii=0,9 dioptrii.1

~) a) fes= ------- =246,5 em;

(~ -1) (_1 +~)/leg R1 R2

b) Ces =0,46 dioptrii.

4.2.32. Imaainea se obtine la 0 distanta de 5 em in dreapta lentilei din extremadreapta.

4.2.33. 1) P2=30 em -- adiea imaginea finala A"B" se formeaza dineolo de len-tila L

2- la 30 em de aeeasta ~i la 65 em de obieetul AB. Imaginea este reala ~i raportul

A"'B" pj'P2--=--=6.AB PI'P2

2) Din-1 =(n-l)2..rczulta R=2fn(-1)=10 em.f R

3) n' =~.3

4.2.34. 1) P'=~~:=-60 em;p-(

imaginea este virtuala, dreapta ~iL =P

=4- (de patru ori mai mare dec1tobieetul, fig. 4.34).

2) Lentila argintata pe fata planada 0 prima imagine virtuala A1B1(fig. 4.35) care serve~te ea obieetpentru oglinda plana ee la rindul saucIa imaginea A2B2 care este din noufolosita ea obieet pentru lentiIa, dindimaginea finala A3B3 'P2' =OA3 = 30 em

,reala; !.~=- ~ =

il PI30 . 1. 10

= 60; /2=2/1= em.

4.2.35. ]) C1 = _1_ =8,3 dioptrii; C2 = _1_ =5 dioptrii.f1 f2

. :32) Im:lpiuea cste reala, ~i raportul intrc imagine ~i oblect este - .

1

4.2.36. {= 11_11_(2__2(11-1) R2+211R1

4.2.~H. LcntiJa cstc un ll1cnisc cnncaV-COJ1VC,' (convergent), cu HI =20 CIll ~ifl2=10 elll; 11=],53.

lelllilelor sub!iri r ~= ---(-'1---1-)-(11-1) ....:--I- -

111 RI

punind pentrll prima fati:i !':.- ~i pelltrll fal:a a doua.!!-:;;i fl = --------:;;iIII 11,2 ( Il ) ( 1 1 )- -1 -±-

III ](1 R2

I I - .. f 1 IIIce or Coua expresll : - = ± - .f2 Il2

fl. l'Y • I t 1.2=-----~---,-:;;1 aC1l1Crapor'u

(!':.- -1) (.2... ± .2...)

H2 Rl R2

4.2.39. 1) Punind p=oo :;;ip'=-D, rezulta: f=-50 em ~i C=-2 dioptrii.2) Din conditia : f = 10 em ~i p' =-50 cm, rezulta: p =8,66 em.3) Punctum proximum coincide eu punctum remotum. Oehiul nu vede cIaI' dec1t

la distanta midi de 50 em. Pentru p =25 em trebuie ea p' =-50 ~i rezulta f=50 em,respeetiv C =2 dioptrii. Deci va trebui sa poarte ochelari eu Ientile eonvergente de2 dioptrii.

4.2.40. 1) Pentru ea imaginea definitiva a obiectului AB sa se formeze la infinit,trebuie ea imaginea A' B' data de obieetiv sa se formeze in foearul anterior al oeularului

adieu p' =D-foc iar distanta obiectului fata de obiectiv este data de p = (D -foe) .fob.D -foc-fob

2) Introducerea lamei de grosime e apropie obiectul AB de obiectiv eu distantaa care este tocmai grosimea e a lamei iar dnd obiectul este a~ezat sub lama eu fete

plane paralele, aeesta pare ridieat in raport eu platina mieroseopului eu: e (1- ~)~i pentru ea imaainea sa se formeze tot la infinit, mieroscopul trebuie deplasat eu aeeasta

distanta: e (1--~) = b--+ n = _e - .n e-b

4.2.41. 1) 0l02=fl+f2=10 em;2) 0lA =-60 em;

0IAI 02A' 13) g=--'--=-alA 02AI 21

(fig. 4.36).

4.2.42. p =40 em, p' = P .{ =60 cr:1.p-{

Imaginea virtuala B;A; data deoglinda plana joaea 1'01 de obieetpentru lentila eu (fig, 4.37):

PI =2.:r - pi =2.:r - ----.EL ;p-{

, 1.> ')( 111{. . "I ..Pl~ t::::~ =--.' pnu 1llOCllJrl1'1 - !

rez 1I Ita:I'{x-={+ -- =27 elll.

'2(/I-{)

4.2.43.1) p,=.J'..L=130 lHlIl;p-r2) AjB1=L=45;

,\ B /'

3) !J'=-25 em; /~=20 Ill; p='1,85 em (distanta rat·a de orular) :;;ip' =13 em (distanta fata de ohieet.iv). Distanta dintre ohiectiv:;;i ocular este: 1,85+13==14,85 em.

hr~-~-----~-~

]:

' A" ---1'" - - "'":::-.__

f} __ L_"\.------=::-fJ" f ",,-

'"

A 'n' A'TJ'11) - ~ 13,5; - = 13,5'25=337.AIEl 11 B

5) Puterea ocularului Poc = ~ = 50 clioptrii.roc4.2.44. In cazul reflexiei luminii pe 0 suprafata dc separalie intre mediul din

care vine lumina ~i un mediu mai refringent, veetorul luminos (electric) sufera un saltde faza egal eu Te, eeea ee echivaleaza eu 0 raminere in urma a undei reflectata, eu "-/2in raport eu unda direeta (incidenta). Din aeeasti'i eauza la suprafala oglinzii, prininterferenta undelor directe provenite de la 0 sursa monocromatica cu undele reflec-tate se ohtine un plan nodal - intensitatea rezuItanta este minima respeetiv nula,din cauza diferentei de drum a ='A/2 intre undele ce se suprapun. La distanta egalacu 'A/4 de suprafata oglinzii, undele reflectate interfera cu undele incidente, avindintre ele 0 diferenta de faza cp =2Te - sau exprimata in spatiu diferenta de drum esteep:aUi cu 'A. De aeeea in planul paralel eu suprafata refIeetatoare, aflat Ia distanta egaUieu "-/4 de aceasta avem maxi me de intensitate Iuminoasa - spunem ci'i avem primulplan ventral. La 0 distanta egaUi eu Aj2 de suprafata refIeetatoare yom avea un plan

nodal 9i a9a mai departe. Se va obtine deci un sistem de plane intens luminoase (ven-trale), primul la distanta "-/4 de suprafata reflectatoare 9i apoi intre doua plane ventra Ieconsecutive existind 0 distanta de },,/2.Alternind cu planele ventrale vom avea planenodale - distantate cu "-/4 de planul ventral veein 9i eu "-/2 de planul nodal urmator.In cazul problemei primul plan ventral se afla la distanta egala cu "-/4 = 1 ,25 .10-7 mde og-linda.

d· i 5.10-3.'5.10-44.2.45. "-= -= • =5-10-7m.

D 5

4.2.46. In cazul luminii albe, se va obtine pe paravan un maxim alb rezultatdin insumarea maximelor tuturor radiatiilor care compune lumina alba, aeesta estemaximul de ordin zero. Pentru maximul urmator, dinlrelatia :i=A·dD , rezulta ca

interfranja i, adica distanta dintre doua maxi me sueeesive depinde de lungimea deunda a radiatiei, In eazul de fata vom obtine un maxim de ordinul unu pentru radiatia

" I t- I d" t t' AvioletD 4 10' d . I " . tVIOe a, a IS an,a lviolet= d - . -~ m e maxlmu zero, 91un maxIm pen ru

radiatia r09ie la distanta iro~u= Aro~uD =7,5 .10-4 m iar pentru eelelalte radiatiid

ale luminii albe se VOl'obtine maxime cup rinse intre cele doua extreme ineit maximulde ordin unu va avea 0 largime ~ =iro~u-iviolet =3,5 '10-4 m.

4.2.4 7. Cele doua faseieule care provin de Ia eele doua fante sint eoerente, eleinterfera 9i formeaza pe paravanul paralel eu eele doua fante un sistem de franje deinterferenta. Franja de ordinul zero este eonditionata de 0 diferenta de drum opticintre eele doua faseieule nula, adica ~= dx =0.

DIn cazul introducerii clorului in tubul agezat in drumul unuia din fascicule, pentru

acest faseieul, drumul optic se modifica eu l(nclor-naer) 9i din aceasta cauza, franjade ordinul zero se va deplasa pe paravan, in sensul faseiculului in drumul caruia seafla tubul, astfel incit sa fie satisfaeuta eonditia d(X';;X) -l(nclor - naer), (x'-x)reprezentind deplasarea franjei de ordinul zero, prin introdueerea clorului in tub

• foo d I~ 20 d . t f . D . d·20·i l( ) d . AD -91 un ega a eu e III er rallJe. eel __ = nclor-llaer; ar 1 = -, urmeazaD d

A·Dd·20·--

_____d_= l(nclor-Jlaer) 9i facind simplificarile 9i inlocuirile valorilor numerice ga-D

sim llclor= 1,000865.

4.2.48. Raza incidenta cazind normal pefata penei, diferenta de drum intre raza reflee-tata pe fata superioara in punctul II 9i ceareflectata pe fata inferioara, raze care interferala suprafata penei, este practic: ~I =2eIn - "-/2(fig. 4.38). Daca eonsideram ca in punctele II 9i12se formeaza doua franje Iuminoase vecine, in12, diferenta de drum intre cele doua raze care

interfera fiind ~=2e2n - "-/2 (el 9ie2 reprezinta grosimea penei in punctele I l' res-pectiv 12), Cele doua franje luminoase fiind vecine, putem serie:

~I =2eIn-,,-/2=k,,- 9i ~2=2e2n-,,-/2=(k-l),,- 9i scazind membru cu membrucele doua egalitati, avem:

C1 -c2 A1= --= -- =0,56cm.

(/. 2n(/.

4.2.49. Dispozitivul cunoscut sub numele de "oglinzile lui Fresnel" este eonstituitdin doua oglinzi plane, ale CarOl' suprafete refIectatoare fac un unghi ce se apropiede 180°.Undele reIIectate pe cele doua oglinzi Ie putcm considera ca provenind de la cele douaimagini virtuale ale sursei de lumina m6nocromatica - surse ce pot fi considerate cafiind coerente. In lumina refIectata - exista un domeniu in spatiu in care se supra-pun undele de lumina ce provin de lei cele doua oglinzi dind franje de interferenta.\Tom folosi geometria data de figurile aHiturate. Conform figurii 4,39, I =D sin ep ==Dep =D(7t-a).

Conform figurii 4..10.

rr=D2+( X,c+ + Y,r§=D2+(XIC- +t sau rr-r§=2Ixk sau luind r1+r2=2D re-

zuILa 1'1-1'2 = (h = l~k ~i lulnd valoarea lui I =Dep, rezultii :

a,C =xkep ~i pentru ob~inerea de mC1xime de lumin[t: a,c = k· A, rezulEt; .1:/c 'ep ==k'A sau

~ = ~ = 2,91.10-4 racl = 5 franjeJ.'k' A 0,582.10-4 cm cm

k' lltp k. franje2) --=-=/1 --=6,6 -- .•1: I; A Xk cm

4.2.50. Intrc doua

a=(a+b) sin ep sau:radiatii difractate sub un unghi ep, cxistii 0 diferen~ii de druma = ~~ unde N =_1_ este constanta retelei. Conditia ca

N a+b "prin interJerenta celor doua radia(ii difractate sub unghiul ep sa dea un maxim este :~ sin tp l' 11'" I I' I 'I'u = -- = {".-+ •. Ilnc ore lnll maXITl1U UI,

N

rezulta A=sin q> =5100A=5,1'10-7m.Nk

4.2.51. A=6481 A.

4.2.52. Amaxim= ~ = 10-4, m ; rezulta ea reteaua trehuie sa aiba eel mult N = 104N ~ ,

trasaturi pe metru-rcspeetiv 10 linii pe mm.

4.2.53. 1) Xl =1,8 mm; x2=3,6 mm; x3=5,4 mm.2) de 1,3 ori.

4.2.54. 1) A=3 331 A;2) K =10 maxime.

4.2.55. Din: i = AD =>d = AD =2 .10-3d i

4.2.56. 1) d =60 em.5) A=6000 A.3) v=2,47 .105 m/s.

4.2.57. T = ~ =1,67 '10-15 s; v = 2 =6,1014 Hz;~ ~

C= 2 =2 '108m/s; A=C' T= ~ =3,33 .10-7 m.n n1) A=4500 A; c=2,25 .108 m/s.2) E=hv=4,4·10-19 J,

:!- =1 - freeventa ramine constanta:\/0

4.2.59. e=I,6·10-19 c; 'P1=1°30'; 'P2=1°37'; 'P=7',K=119

I11V2 he he4.2.60.: 1° - = - = -; v=3,46 .105 m/s;2 A ~

2° I1lV2 maX = mv

2+eU =33.10-18 J .

2 2 ' ,2

3° U[ = ~ =0,36 V.2e

4.2.61. : ~-Lex=e'E'd; d=3,7e

4.2.62. : Inoc2=0,511 MeV.

4.2.63. :R : Dispozitivul deseris este eunoseut sub numele de bilentila "Ii Billet (fig. 4.41).

1. d=2 mm; MM'=10 mm; A=0,546 .10-6 m;2. SistemuI de franje de interferenta se cleplaseaza in sensuI fantei in fata eareia

se a~azii lam,a de stielii, eu d =3 mm;3. A=0,421 '10-6 m; 0,471 ·10-6 1l1; 0,533 '10-6 In;0,615,10-6 m

EL M

57 0

5 SzAI

Fig. 4.41

4.2.64. Din: -::;= _1_ = R(_1 1_) , punind : m = 1 ~i 11=6 se obtine A pentruA m2 n2

radiatia emisa de atomii hidrogen: A=911 A.Din:h v=hvo+eUj> rezulta: hvo=lucrul de extractie=hv-eUt=h f-eUt=

=4,5 eV4.2.65. 1) Lext=4,5 eV.

2) vmax=9,1 .105 m/s.3) Emax=3,'8·10-19 J.

4.2.66. A5=3970 A; v5=7,55 '1014

a) Unitiiti fundamentaleLungimeaMasaTimpulIntensitatea curentului electricTemperatura termodinamici\Intensitatea luminii

Ii) Unitiiti suplimentareUnghiul, planlJnghilll solid

metrukilogramsecundaAll1perKelvincandela

radiansteradian

1. Acceleratia ciiderii libere2. Raza medie a Piimintului:1. Masa Piimlntului4. Distanta medic Intre Piimint ~i Soare5. Constanta atracpei universale6. Temperatura de zero absolut7. NUll1iirul lui Avogadro8. Masa e]ectl'onului9. Sarcina electronlllui

10. Numiirul ]ui Faraday11. Constanta lui Planck12. Viteza luminii in vid.:3. Viteza sunetului in aer (O°C)J4. Masa protonului15. Masa neutronului16. Unitatea alomicii de masii (u.a.Il1.)17. Constanta gazelor perfecte

sausau

18. Volull1 molar in conditii normale19. Permitivitatea vidului20. Permeabilitatea vidului

9,80665 m/s2~ 9,81 m/s26400 km5,96.1024 kg1,5.108 km6,67.10-11 m3/kg ·S2

-27:l,15°C~ -273°C6,025 .1026 kmol-1

9,1.10-31 kg~ 1,6.10 -19(:9,65.107 C/kg ech ivalent6,625.10-34 J.s.2,99793 .108 m/s~ 3.108 m/s:~:l2m/s1,6724.10-27 kg1,6746.10-27 kg1,66.10-27 kg8,31 J/mol K0,082 atm. dm3/mol K1,98 cal/mol K22,41 m3/kmol8,854.10-12 F /m1,256.10-6 H/m

0) Corpuri solideAluminiuLemnFieI' (otel)AuI'CupruParafini\P]atln,1Plexiglas

2,70,5 -0,87,819,:38,90,921,51,2

PlumbArgintSticlaFonta

b) LiehideBenziniiApii WC)Apii de mareGlieeriniiPetrolMereuI' (O°C)

Se dau valorile pentru

Aluminiu'WolframOte!CupruPlatinilArgint

HidrogenOxigenAzot

, HeliuArgonApi!AerBioxid de carbon]\Ietan

AlamaAlllminillApiiCllPruFieI' (Otel)Gheati!

OxigenAerVapori de apii

11,310,52,5 -2,77,0-7,8

0,7011,031,260,8013,6

temperaturi euprinse lntre 15 -20°C.

2:12284:191828,94.116

38091041803904602040

91010001860

AluminiuCupruFieI'GheatiiApi!

Cilldurii latentii speeifieii (Ie topire (kJ/kg) pentru solide~i Ciildurii latentii speeifieii de iierbere (k,J/kg) pentru liehide (Ia presiunea de 1 atm)

3931802703302260

Cilldura speeifiea (gheata)Caldura latentil speeifieil de top ire a ghetiiCilldura speeifieii (apii)Cilldura latentii speeifieil de fierbere (la presiu'l'\a

de 1 atm)

SubstantaAluminiuApii de mareApii distilatiiWolframFieI'CupruMereuI'PlumbArgintotelFanta

SubstantaAzotAluminiuArgonApaHidrogenHeliuFieI'OxigenCupruNeonMereuI'Plumb

AluminiuFieI'CupruPlumbotelStiela

Apa (20°C)GlieerimiVIeiPetrolAleoolMereur

0,5 kealjkg80 kealjkg1 kealjkg K

°C658-2,5o338015351083-39327960

14001150

°C-1962330

- 186100

- 253- 2693050

- 1832582

- 246357

1750

2,4.10-5

1,2.10-5

17.10-5

2;9.10-5

1,2.10-5

2,7.10-5

1,5·10-5·10-'7,2·10-'9·10-11·10-1,8·10-

SubstantaApaAerUlei de. transformatorParafiniiMicaSticlaTitanat de bariuEbonita

r811,00062,22,16,07,012004,3

(F/m)71.10-11

0,855.10-11

1,9.10-11

1,9.10-11

5,3.10-11

62.10-11

1'100.10-11

3,8.10-11

TabeluI 15

Hezisl.ivitatca p (in n mm2/m sau 10-6Qm) ~i coeficientlll a (ill grad-I) de depcndenla a rczistenleide temperatura

SUbstantaAluminiuWolframConstantanManganinCupruNichelinaPlatinaMercurPlumbArgintOtelZinc

AluminiuHidrogenFerFerAUI'OxigenCupruNatriuNichelPlumbArgintZinc

ApiiAerGlicerina

(AI)(H)(Fe)(Fe)(Au)(0)(eu)(Na)(Ni)(Pb)(Ag)(Zn)

0,0280,0550,480,450,0170,420,10,9580,210,0160,120,060

0,00-10,00510,000020,OQ0030,00430,00010,0040,00090,0040,0040,0060,004

Echivalentul clcctrochimic (10-6 I'o/f.)

0,0930,010450,290,190,680,08290,330,2380,301,0741,1180,34

1,331,000291,47

Indieele de refraclie

Cuar~GheatiiSticHi

1,541,311,57 -1,80

EDITURADiDACTICA ~I PEDAGOGICA

BUCURE~TI - 1974