MICROSOFT
2020
CUADERNILLO DE MATEMÁTICA 1 ° A y 1 ° B - SECUNDARIA
Prof. Diana Santovito
NOMBRE Y APELLIDO:……………………………………………………
2
ÍNDICE
Programa de contenidos ………………………………………………………………….. 3
Objetivos por unidad ……………………………………………………………………... 4
Criterios de evaluación………………………………………………..…………………... 5
UNIDAD N°1: Números Naturales
o Operaciones con números naturales ……………………………………...……… 6
o Potenciación y sus propiedades ………………………………………………….. 9
o Radicación y sus propiedades ……………………………………….…………… 12
o Cálculos combinados …………………………………………………………….. 12
UNIDAD N°2: Divisibilidad
o Múltiplos y divisores ……………………………………………………………... 13
o Números primos y compuestos…………….……………………………………... 14
o Criterios de divisibilidad …………………………………………………………. 15
o Factorización…………………………………………………………………….... 16
o Mcm y dcm ………………………………………………………………………. 17
UNIDAD N°3: Expresiones algebraicas
o Análisis de expresiones numéricas ………………………………………………. 19
o Letras como variables …………………………………………………….…….... 20
o Lenguaje simbólico ………………………………………………………………. 22
o Ecuaciones ………………………………………………………………….…….. 24
UNIDAD N°4: Ángulos
o Sistemas sexagesimales .………………………………………….………..…….. 27
o Clasificación de ángulos ………………..………………………………….…….. 28
UNIDAD N°5: Triángulos
o Circunferencia ………………..………………………….……………….………. 34
o Clasificación de triángulos ………………..………………………….….………. 35
o Construcciones .……………..…………………………………………..…….….. 36
o Ángulos interiores y exteriores de un triángulo ………………………..……….... 37
UNIDAD N°6: Cuadriláteros
o Clasificación de cuadriláteros... …..…………………….….…………….............. 41
o Unidades de medida...................…..…………………….….…………….............. 42
o Perímetro y área de una figura………..…..…………………….….………........... 43
o Perímetro y área de una circunferencia..……..…..…………………….….…........ 45
o Teorema de Pitágoras………..…..…………………….….……………................. 47
o Ángulos interiores de un cuadriláteros.…………..……...….…………….............. 50
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PROGRAMA DE CONTENIDOS
Unidad 1
Números naturales
Conjunto numérico de los números Naturales: características y propiedades (conmutativa, asociativa
y distributiva de la suma, resta, multiplicación y división). Potenciación: relación con la multiplica-
ción, base, exponente natural y propiedades de potencias de igual base. Radicación: relación con la
potenciación, índice, radicando y propiedades. Cálculos combinados.
Unidad 2
Divisibilidad
Múltiplos de un número natural. Relación entre la multiplicación y la obtención de los múltiplos de
un número. Relación entre los factores de un número y la división. Divisibilidad y resto de la divi-
sión. Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos. Factorización de un número. Múlti-
plo común mayor y divisor común menor.
Unidad 3
Expresiones algebraicas
Problemas tendientes a encontrar comportamientos generales en secuencias numéricas. Lenguaje
coloquial y simbólico. Situaciones problemáticas. Ecuaciones con y sin aplicación de la propiedad
distributiva.
Unidad 4
Ángulos
Sistemas sexagesimales. Concepto y clasificación de ángulos según su amplitud (agudo, recto, obtu-
so, nulo, llano, completo, convexo y cóncavo) y según la posición relativa entre dos de ellos (conse-
cutivos, complementarios, suplementarios, adyacentes y opuestos por el vértice). Operaciones en el
sistema sexagesimal.
Unidad 5
Triángulos
Circunferencia, definición y elementos. Triángulos, definición y elementos característicos. Clasifi-
cación según sus lados y según sus ángulos. Construcción de triángulos en GeoGebra. Propiedad
triangular. Ángulos internos y externos de un triángulo.
Unidad 6
Cuadriláteros
Clasificación de cuadriláteros: paralelogramos (Cuadrado, rectángulo, rombo, paralelogramos) y no
paralelogramos (trapecios y romboides). Perímetro y área de figuras geométricas (triángulos, parale-
logramos, círculo y circunferencia). Unidades de medida. Teorema de Pitágoras. Elementos, propie-
dades de cuadriláteros (de lados y ángulos).
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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE POR UNIDAD
Unidad 1
Conocer las propiedades de las operaciones como recurso para facilitar los cálculos.
Calcular potencias y raíces a partir de problemas que le den un sentido a dichas operaciones.
Explorar y analizar las propiedades que se cumplen en la potenciación y radicación.
Resolver cálculos que involucren las operaciones estudiadas y sus propiedades; teniendo en cuenta la
jerarquía de las operaciones.
Unidad 2
Estudiar y analizar la relación entre las propiedades de la multiplicación y la obtención de múltiplos y
divisores de un número.
Utilizar los criterios de divisibilidad para anticipar los divisores de un número.
Descomponer números a través de factores primos establecer relaciones entre los divisores del mismo.
Resolver problemas que involucren situaciones de reparto y encuentros entre varios números a partir
sus múltiplos y divisores.
Unidad 3
Generalizar propiedades de los números y las operaciones incorporando el lenguaje algebraico para
formularlas.
Producir y evaluar expresiones algebraicas, leer información de ellas.
Diferenciar variables de incógnitas.
Resolver ecuaciones lineales con y sin aplicación de la propiedad distributiva.
Unidad 4
Recuperar y profundizar nociones y relaciones aprendidas en la primaria sobre las unidades de tiempo y
medida de ángulos.
Clasificar los distintos ángulos y establecer relaciones entre los mismos.
Operar en el sistema sexagesimal.
Unidad 5
Clasificar triángulos a partir de sus lados y ángulos.
Incorporar la computadora al trabajo matemático, en particular, el programa Geogebra.
Construir triángulos con el programa Geogebra.
Analizar las relaciones entre los lados de un triángulo para asi poder formular y utilizar la propiedad
triangular.
Analizar las propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo.
Unidad 6
Analizar diferentes cuadriláteros para caracterizarlos y clasificarlos.
Calcular áreas y perímetros de triángulos, paralelogramos, trapecio, romboides y círculos dadas ciertas
condiciones.
Analizar las propiedades de los ángulos interiores de un cuadrilátero.
Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular medidas de lados de un triángulo rectángulo.
5
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Para determinar acreditaciones en función a los procesos de aprendizaje esperables del estudiante, se
han integrado e interrelacionado capacidades, con el fin de producir un campo de evaluación factible,
en el cual el/la alumno/a deberá:
Resolver problemas en situaciones intra o extramatemáticas.
Plantear y resolver situaciones problemáticas, donde intervienen los contenidos y procedi-
mientos señalados en las unidades temáticas.
Extraer conclusiones de los datos recabados y organizarlos adecuadamente descubriendo las
propiedades que de allí se desprenden.
Utilizar e interpretar diferentes fuentes de información.
Utilizar el lenguaje matemático para comunicar las ideas de forma oral y escrita.
Reconocer los conceptos aprendidos en diferentes situaciones planteadas.
Observar y establecer relaciones, comparaciones y clasificaciones en las diferentes unidades
temáticas.
Trabajar en forma individual y grupal, reconociendo las ventajas del intercambio de ideas y la
unificación de criterios.
Desempeñar y desarrollar una actitud responsable en el seguimiento de la materia.
Crear, implementar y argumentar las propias estrategias de resolución.
Cumplir con los objetivos de aprendizaje.
Instrumentos de evaluación
Observación directa en el aula.
Participación activa del o la estudiante en la clase, trabajo colaborativo y asistencia.
Evaluaciones escritas y orales, trabajos prácticos, carpeta, informes, guías de ejercicios e in-
vestigaciones individuales y grupales presentados en tiempo y forma. Las actividades men-
cionadas anteriormente llevarán una nota que se promediará, al final de cada trimestre, y
darán por resultado la nota de desempeño de la o el estudiante.
En caso de ausentismo a un trabajo práctico o evaluación escrita, la nota correspondiente será Ausen-
te, salvo que se justifique la falta. En esos casos el docente pautará cuándo evaluar según no afecte la
planificación anual. Las tareas enviadas a realizar en las casas o las tareas que se trabajen en las cla-
ses, deberán realizarse en su debido momento, de lo contrario cada incumplimiento de la tarea in-
fluirá en la nota final de cada trimestre.
Recuperación de contenidos
Los contenidos no alcanzados/aprendidos deberán recuperarse al final de cada trimestre en una eva-
luación escrita que se realizará próxima al cierre de cada trimestre. Todos/as los/as estudiantes
tendrán derecho a acceder a dicha evaluación.
Nombre y apellido del alumno/a:...............................................................................................
Hemos sido notificados de los contenidos y criterios de evaluación del área de Matemática, 1er. Año.
……………………………… ……………………………..
Firma del familiar a cargo Firma del estudiante
6
UNIDAD Nº1: NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que utilizamos para contar y forman un conjunto que se repre-
senta por el símbolo N.
N =
Este conjunto tiene las siguientes características:
Tiene un primer elemento: el 0 (algunos consideran que el primer elemento es el 1, es una
cuestión de convención).
No tiene último elemento: siempre podemos sumar 1 y obtener el siguiente de un número na-
tural. Por lo tanto no existe un número natural más grande que todos los demás. En matemáti-
ca, se dice que el conjunto N es infinito (que no tiene fin).
Entre dos números naturales consecutivos no existe otro.
Operaciones con números naturales
Recordamos algunos nombres:
Propiedades de las operaciones
Operación
Propiedad
Suma Multiplicación Resta División
Propiedad
Conmutativa
La suma
___________ la
propiedad conmu-
tativa. Si se cam-
bia el orden de los
sumandos, el re-
sultado_________
_____________
Por ejemplo:
La multiplicación
___________ la
propiedad conmu-
tativa. Si se cam-
bia el orden de los
factores, el resul-
tado___________
_____________
Por ejemplo:
La resta
___________ la
propiedad conmu-
tativa. Si se cam-
bia el orden del
minuendo y del
sustraendo, el
resultado_______
_____________
Por ejemplo:
La división
___________ la
propiedad conmu-
tativa. Si se cam-
bia el orden de los
números que di-
viden, el resultado
_____________
Por ejemplo:
15 Sumando 35 Minuendo 3 Factor Dividendo 12 4 Divisor
20 Sumando 10 Sustraendo 2 Factor Resto 0 3 Cociente
35 Suma 20 Diferencia 6 Producto
+ - x
7
Operación
Propiedad
Suma Multiplicación Resta División
Propiedad
Asociativa
La suma
___________ la
propiedad asocia-
tiva. Si se suman
tres o más núme-
ros agrupados de
forma diferente el
resultado
_____________
Por ejemplo:
La multiplicación
___________ la
propiedad asocia-
tiva. Si se multi-
plican tres o más
números agrupa-
dos de forma dife-
rente el resultado
_____________
Por ejemplo:
La resta
___________ la
propiedad asocia-
tiva. Si se restan
tres o más núme-
ros agrupados de
forma diferente el
resultado
_____________
Por ejemplo:
La división
___________ la
propiedad asocia-
tiva. Si se dividen
tres o más núme-
ros agrupados de
forma diferente el
resultado
_____________
Por ejemplo:
1) a. Resolver la siguiente cuenta 12 x 11.
b. Indicar cuáles de las siguientes cuentas tienen el mismo resultado que la cuenta anterior.
11 x 12 10 x 11 + 2 x 11 10 x 11 + 2
2) Sin hacer la cuenta, justificar si los siguientes cálculos tienen el mismo resultado.
a. 32 x 5 y 30 x 5 + 2 x 5.…………………………………………………….……………...
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
b. 23 x 14 y 23 x 10 + 23 x 4.….…………………………………………..………………...
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
3) Juana resolvió de la siguiente forma:
a. Analizar el procedimiento anterior.
b. Resolver las siguientes divisiones utilizando la misma estrategia que Juana.
=………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………
8
Operación
Propiedad
Multiplicación División
Propiedad
Distributiva
La multiplicación ____________ la
propiedad distributiva. En un producto
uno de los factores ____________
descomponer, en una suma, y multi-
plicar cada uno de los sumando por el
factor restante. Si se descompone uno
de los factores en una resta, la propie-
dad distributiva _________________
en la multiplicación.
Por ejemplo:
La división ____________ la propie-
dad distributiva si se descompone el
dividendo en sumas y restas y se dis-
tribuye el divisor. La división
_____________ la propiedad distribu-
tiva si se descompone el divisor en
sumas y restas y se distribuye el divi-
dendo.
Por ejemplo:
4) Resolver a partir de descomponer uno de los factores, en el caso de la multiplicación, y el di-
videndo en el caso de la división.
a. 21 . 40 = …………………………….. d. 255 : 5 = ……………………………..
…………………………….. ……………………………..
b. 19 . 15 = …………………………….. e. 636 : 6 =……………………………..
…………………………….. ……………………………..
c. 6 . 256 = …………………………….. f. 960 : 8 =……………………………..
5) Completar con = o ≠ según corresponda. En la carpeta, explicar las respuestas.
a. 3 + (2 + 4 +1) …. 3 . 2 + 3 . 4 + 1 d. ( 20 + 40) : 5 …. 20 + 40 : 5
b. (20 +40) . 5 …. 20 . 5 + 40 . 5 e. 120 : ( 20 + 40) …. 120 : 20 + 120 : 40
c. ( 6 + 12 ) : 6 …. 6 : 6 + 12 : 6 f. (165 – 90) : 15 …. 165 : 15 – 90 : 15
6) Observar las siguientes igualdades y explicar si se utilizaron las propiedades correctamente
en cada caso.
a. 700 - 200 = 200 - 700 e. 4 . (7 . 2) = 4 . 7 . 4 . 2
b. (20 - 10) : 2 = 20 : 2 - 10 : 2 f. 4 . (80 - 5) = 4 . 80 - 4 . 5
c. (500 + 100) . 4 = 500 . 4 + 100 . 4 g. 30 : (5 - 3) = 30 : 5 - 30 :3
d. 176 : (4 : 2) = (176 : 4) : h. 125 . 24 = 125 . 4 . 6
9
7) En un supermercado, las gaseosas se venden en paquetes de 8 botellas. Si el encargado apila
los paquetes en 8 pisos y en cada pido pone 8 paquetes, ¿Cuántas botellas se pueden almace-
nar?
8) Un edificio tiene 6 pisos. Cada piso tiene 6 departamentos. Cada departamento tiene 6 venta-
nas. De cada una cuelgan 6 macetas. Cada maceta tiene 6 petunias plantadas. ¿Cuántas petu-
nias hay en todas las ventanas del edificio? Escribir todas las cuentas que se realizaron.
9) Completar los siguientes cuadros.
a. Calcular los cuadrados de los primeros 12 números naturales.
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Potencia
b. Calcular los cubos de los primeros 12 números naturales.
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Potencia
10) ¿A qué es igual ?
…….
Cada vez que se le suma uno al exponente al resultado hay que……………………………………..
Cada vez que se le resta uno al exponente al resultado hay que……………………………………..
Todo número elevado a la 0 es…………….. y todo número elevado a la 1 es…………………........
…………………………..
11) Completar con ‹, › o =, según corresponda:
a. …. b. …. c. …. d. ….
e. …. f. …. g. …. h. ….
10
Propiedades de la Potenciación
Comprobar y escribir = o ≠ en los espacios en blanco. ¿La potenciación es distributiva...
…respecto de la suma? …respecto de la resta?
……. …….
……. …….
La potencia es distributiva respecto de la _____________ y la _____________
La potencia no es distributiva respecto de la ______________ y la ______________
12) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y luego escribir en la carpeta
una justificación
a. = ….. d. = …..
b. = ….. e. …..
c. = ….. f. …..
13) Resolver las siguientes potencias
a. = b. = c. = d. =
14) ¿Cuáles de los cálculos anteriores dan el mismo resultado que ?...........................................
Propiedades de la potenciación Ejemplos
Para multiplicar dos potencias de igual
base, se escribe la misma base y
se………………… los exponentes.
Para dividir dos potencias de igual base,
se escribe la misma base y
se…………………los exponentes.
Para calcular la potencia de otra potencia,
se escribe la misma base y
se………………… los exponentes.
11
15) Sin resolver las potencias, ¿cuáles de estos cálculos da el mismo resultado que ? ¿Cómo
se dan cuenta?
a. = b. = c.
d. = e.
16) Resolver aplicando las propiedades de la potencia.
a. ……………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………….
c. ……………………………………………………………………………….
d. ………………………………………………………………………………
e. ……………………………………………………………………………
f. …………………………………………………………………………….
g. …………………………………………………………………………...
h. ………………………………………………………………………….
i. ……………………………………………………………………….
17) En una cocina hay dos paredes cuadradas donde se van a colocar cerámicas.
a. En una pared entran 7 cerámicas por fila. ¿Cuántas se necesitan para cubrir esa pared?......
b. Para la otra pared está previsto utilizar 64 cerámicas sin que se corte ninguna. ¿Cuántas
van a utilizarse por fila? ......
18) Resolver las siguientes situaciones problemáticas:
a. Un patio es cuadrado y tiene 144 mosaicos del mismo tamaño. ¿Cuántos hay sobre cada
borde? ¿Cómo se puede comprobarlo?..................................................................................
………………………………………………………………………………………………
b. ¿Qué número pensó cada chico?
12
19) Completar entre qué dos números enteros se encuentran las siguientes raíces.
a. _______ _______ c. _______ _______
b. _______ _______ d. _______ _______
Propiedades de la radicación
Comprobar y escribir = o ≠ en los espacios en blanco. ¿La radicación es distributiva...
…respecto de la suma? …respecto de la resta?
……. …….
……. …….
La radicación es distributiva respecto de la ________________ y la _________________
La radicación no es distributiva respecto de la _________________ y la _________________
20) Resolver aplicando propiedades, cuando sea posible:
a. …………………………………………………………………
b. ………………………………………………………………..
c.
…………………………………………………………………..
d. ………………………………………………………………
e.
…………………………………………………………….
f. ………………………………………………………………….
21) Resolver los siguientes cálculos combinados.
a. e.
b.
f.
c. ( + ) : + g. =
d. + h.
–
13
UNIDAD Nº2: DIVISIBILIDAD
1) En un circo, los malabaristas tienen 48 bastones y quieren acomodarlos en cajas de modo que
todas tengan la misma cantidad. Una forma que pensaron es armar 6 cajas con 8 bastones ca-
da una.
a. ¿Hay otras maneras posibles? Escribir todas.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
b. Escribir todas las formas posibles que tienen los payasos para ubicar 32 pelotas en bolsas
de igual cantidad.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2) Los magos llevan 17 varitas mágicas. ¿Pueden ubicarlas en más de una caja de manera que
todas tengan la misma cantidad? (las cajas deben tener más de una varita) ¿Por qué?
3) En el circo también hay 45 disfraces de payasos para ubicar en cajas de igual número. ¿Pue-
den armar 4 cajas sin que sobre algún disfraz? ¿Y, 9?
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por cualquier otro
número natural.
4 . 5 = 20, entonces, 20 es múltiplo de 4 y de 5.
9 . 3 = 27, entonces, 27 es múltiplo de 9 y de 3.
El cero es múltiplo de todos los números porque……………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………..
Un divisor es un número que divide exactamente a otro.
6 es divisor de 18, porque 18: 6 = 3. Por lo tanto, 18 es divisible por 6 y por 3.
7 es divisor de 35, porque 35: 7 = 5. lo tanto, 35 es divisible por 7 y por 5.
4) Para un juego, el profe de Educación Física necesita armar equipos con igual cantidad de
miembros. Indicar en qué casos podrá hacerlo y mostrar ejemplos.
Cantidad de personas ¿Se puede? Ejemplos
12 3 equipos de 4 o …
14
15
17
18
19
14
Un número es primo cuando tiene exactamente………………………………………………..
Por ejemplo,……………………………………………………………………………………..
Un número es compuesto cuando tiene……….………………………………………………..
Por ejemplo,……………………………………………………………………………………..
5) ¿El 1 es número primo? ¿Por qué? ¿Y el 0? ……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
La criba de Eratóstenes
Para obtener números primos, Eratóstenes, que fue un griego que vivió entre el 284 y el 294 antes de
Cristo, ideó una construcción que hoy conocemos como la criba de Eratóstenes.
Consideremos una lista de los números naturales desde el 2 hasta el 100.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Seguir las siguientes instrucciones:
El 2 es primo, se debe rodearlo y tachar todos los demás múltiplos de 2.
El 3 es primo, se debe rodearlo y tachar todos los demás múltiplos de 3, y así sucesivamente.
Al final, quedarán sin tachar todos los números primos menores que 100.
6) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Escribir una justificación en la
carpeta.
a. Todos los números primos son impares…………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
b. Todos los números impares son primos…………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
15
Estudiar una situación significa pensar, analizar, hacerse preguntas, probar soluciones y, a veces,
detenerse y volver a empezar por otro camino.
Para justificar que una afirmación es falsa, basta con dar un ejemplo en el que esta no se cumple. Se
llama contraejemplo.
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad sirven para saber, sin hacer la división, cuándo un número es divisible
por otro.
Un número es divisible por: Ejemplo
2, cuando es par.
3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4.
5, cuando termina en cero o cinco.
6, cuando es divisible por 2 y 3 a la vez
9, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.
10, cuando termina en cero.
12, cuando es a la vez divisible por 3 y por 4.
15, cuando es a la vez divisible por 3 y por 5.
7) Aplicar los criterios de divisibilidad y escribir una cruz en las casillas que correspondan.
Es divisible
por 2 3 4 5 6 9 10 12 15
50
128
546
612
1008
4000
50310
8) Ordenar las tarjetas para formar un número de 4 cifras que sea.
a. Múltiplo de 5, pero no de 10: ….. ….. ….. …..
b. Múltiplo de 6: ….. ….. ….. …..
c. Divisible por 2, pero no por 4: ….. ….. ….. …..
16
9) Con las cifras 0, 2, 4 y 7 escribir un número que cumpla con las siguientes condiciones. Si no
es posible, justificar.
a. Un número de cuatro cifras distintas que sea múltiplo de 5……………………….
b. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 4……………………….
c. Un número de cuatro cifras distintas que sea múltiplo de 3……………………….
10) Encontrar en cada caso todos los valores de a y b para que el número de cinco cifras cumpla
lo pedido.
a. Que 2a34b sea divisible por 5 y 3…………………………………………………………..
b. Que 63a4b sea divisible por 4 y 9..…………………………………………………………
Factorización
Un número compuesto se puede descomponer de manera única en factores primos. A la descomposi-
ción se la denomina factorización. Para factorizar un número, se pueden utilizar los siguientes es-
quemas:
Para encontrar todos los divisores de un número, se puede realizar el siguiente procedimiento.
70 = 2 . 5 . 7 1. Se factoriza el número.
2. 5 = 10 2 . 7 = 14 5 . 7 =35 2. Se calculan todos los productos posibles de sus
factores primos.
Divisores de 70:1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70. 3. Todo número es divisible por 1 y por sí mismo.
11) En la carpeta, factorizar los siguientes números y exprésenlos como una multiplicación:
a. 165 =……………………………. f. 1089 =…………………………….
b. 280 =……………………………. g. 1089 =…………………………….
c. 390 =……………………………. h. 4410 =…………………………….
d. 600 =……………………………. i. 3025 =…………………………….
e. 720 =…………………………….
12) Tres agencias de turismo realizan viajes a Mar del Plata. Una sale cada 3 días, otra cada 5 y la
última cada 10. ¿Cada cuántos días coincidirán las salidas?....................................................
17
El múltiplo común menor (mcm) entre dos o más números es el menor de los múltiplos que esos
números tienen en común, sin tener en cuenta el 0.
Algunos múltiplos de 4 son: 0, 4, 8, 12, 1, 20, 24, …
Algunos múltiplos de 6 son:0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
Para hallar el mcm entre dos o más números el primer paso es factorizar los números y luego se eli-
gen los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Por ejemplo:
13) Calcular el MCM.
a. (25 ; 30) = c. (25; 50; 120) = e. (9 ; 27 ; 30) = g. (10 ; 12; 20) =
b. (14 ; 42 ) = d. (48 ; 60) = f. (7 ; 8) =
14) Una editorial decide donar a distintas bibliotecas 12 libros de aventura, 16 de cuentos y 8 de
ciencias. Si deben armar cajas con igual cantidad de libros y del mismo género, poniendo el
mayor número posible de libros, y sin que sobren. ¿Cuántos libros habrá en cada caja?
¿Cuántas cajas se necesitarán?.....................................................................................................
El divisor común mayor (dcm) entre dos o más números es el mayor de los divisores que tienen en
común esos números.
Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Para hallar el dcm entre dos o más números el primer paso es factorizar los números y luego se eli-
gen los factores comunes con su menor exponente. Por ejmplo:
15) Calcular el DCM.
a. (25 ; 30) = c. (25; 50; 120) = e. (9 ; 27 ; 30) = g. (10 ; 12; 20) =
b. (14 ; 42 ) = d. (48 ; 60) = f. (7 ; 8) =
16) Resolver, en la carpeta, las siguientes situaciones:
a. A partir del momento en que se enciende, un robot de juguete da un paso cada 8 segun-
dos. Toca una sirena cada 5 segundos y prende sus luces cada 10 segundos. ¿Cada cuán-
tos segundos hace las tres cosas simultáneamente?
b. En una fábrica de alimentos balanceados para animales se han preparado 50 kilos de tro-
citos para perros, 30 kilos de alimentos para cachorros y 40 kilos para gatos. Se debe en-
6 es el mayor de lo s divi-
sores que tiene en común
dcm
y , entonces dcm
12 es el múltiplo menor
que tienen en común.
mcm
y , entonces mcm
18
vasar en bolsas iguales la mayor cantidad de kilos posibles, colocando la misma cantidad
de cada uno. ¿Cuántos kg de cada uno se deben poner en cada bolsa? ¿Cuántas bolsas
podrá armar?
c. La abuela de Camila debe tomar varios medicamentos durante el día: la pastilla rosa cada
8 horas, la verde cada 4 horas y la celeste cada 3. Si comienza tomándolas todas juntas,
¿Cada cuántas horas deberá volver a tomar las 3 al mismo tiempo?
d. Maru preparó 96 masitas de chocolate, 108 de limón y 20 de coco. Quiere ponerlas en
platos de tal manera que en todos haya la misma cantidad de masitas, pero del mismo ti-
po. ¿Cuál es el mayor número de masitas que puede contener cada plato? ¿Cuántos platos
podrá armar?
e. Anabela tiene 54 muñecas y su hermana Paola 36. ¿cuál es la mayor cantidad de muñecas
que puede guardar cada una en sus cajas para que en todas haya la misma cantidad?
¿Cuántas cajas va a tener cada una?
f. Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han coincidido los dos.
¿En cuántos días volverán a coincidir?
g. Patricia quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendió en su taller de chocola-
tería, hizo 32 bombones de chocolate con leche, 24 de chocolate blanco y 28 rellenos.
¿Cuántos paquetes con la misma cantidad de bombones de cada tipo puede hacer? ¿Cuán-
tos bombones de chocolate blanco y rellenos va a haber en cada paquete?
h. Tres personas están haciendo gimnasia en una plaza. Una da vuelta caminando, otra tro-
tando y otra corriendo. La primera tarda 10 minuto en dar una vuelta, la segunda tarda 6
minutos y la tercera 2 minutos. Si comenzaron a la misma hora y en el mismo lugar ¿cada
cuánto tiempo se vuelven a encontrar el punto de partida?
i. En el colegio de Julieta, la profesora de Inglés toma una evaluación cada 15 días, la de
Matemática cada 20 días y la de Lengua cada 30 días. ¿Después de cuántos días de co-
menzar las clases tendrán por primera vez las tres evaluaciones juntas?
j. Una de las unidades del grupo scout necesita preparar cintas para una de las pruebas del
campamento. Si tienen dos cordeles, uno azul de 94 cm y otro marrón de 64 cm. ¿Cuál es
el mayor tamaño en que pueden cortar las cintas de ambos cordeles, para que sean todas
iguales? ¿Cuántas cintas de cada color van a tener?
k. Sandra preparó 96 empanadas de carne, 72 de atún y 48 de humita. ¿Cuál es el mayor
número de empanadas que puede poner en cada bandeja, para que tengan todas las mis-
mas cantidades y cada una sea de un solo gusto? ¿Cuántas bandejas va a necesitar?
19
UNIDAD N° 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1) Decidir, sin hacer las multiplicaciones, si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).
Explicar las decisiones.
a. 21 x 28 es múltiplo de 21: ……………………………...…………………………………..
b. 21 x 28 es múltiplo de 4: ………………………………...…………………………………
c. 21 x 28 es múltiplo de 7: ……………………………………...……………………………
2) Decidir, sin resolver las cuentas, cuál de estos cálculos dan un resultado que es múltiplo de 4.
Explicar en la carpeta cómo se dieron cuenta.
a. 4 x 78 + 16………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
b. 440 + 123………………..………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
c. 12 x 153 + 80……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
d. 8 x 49 + 87………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
3) Completar cuando sea posible los cálculos para que el resultado sea un múltiplo de 9. Expli-
car la elección sin realizar las cuentas de dividir. Si no es posible, explicar por qué.
a. 15 x _____ + 81 b. 9 x 148 + _____
La suma de dos múltiplos de un mismo número es………………………………………….….
Si en una multiplicación uno de los factores es múltiplo de un número, el producto……….….
………………………………………………………………………………………………….
4) En grupos y sin hacer las cuentas, decidir si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).
Explicar las decisiones:
a. 2 x 15.673 + 6 da como resultado un número par:………………………………………….
………………………………………………………………………………………………
b. 7 x 233 + 4 da como resultado un múltiplo de 2:..…………………………………………
………………………………………………………………………………………………
c. 15 x 36 + 1 da como resultado un número impar:.………………………………………….
………………………………………………………………………………………………
d. 27 x 9 + 7 da como resultado un múltiplo de 2:.…………………….……………………..
………………………………………………………………………………………………
20
5) Sin hacer la cuenta, decidir si estos cálculos dan múltiplos de 5. Justificar:
a. 134 x 5 + 1…………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………
b. 134 x 5 + 15…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
c. 134 x 5 + 23…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
d. 134 x 15 + 17……………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………
6) Para cada cálculo de la actividad anterior, escribir el menor número que hay que sumarle para
obtener un múltiplo de 5.
………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………..…
7) Ana pensó un número, lo multiplicó por 10 y le sumó 26. ¿Qué número debe sumar a este
cálculo para estar segura de que el resultado dé un múltiplo de 5 aunque cambien el número
que pensó? Explicar cómo decidieron lo que tiene que sumar.
………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………..…
………………………………………………………………………………………………..…
8) Si es posible, completar cada cuenta con un número para que la afirmación sea verdadera. En
cada caso analizar si hay una única posibilidad y, si hay más, explicar cuáles son todos los
números que podrías escribir.
a. 7 . _____ da como resultado un número par.
b. 6 . _____ da como resultado un número impar.
c. 3 . _____ + 5 da como resultado un número impar.
Letras como variables
9) Responder las siguientes preguntas:
a. ¿Es cierto que si en 16 x 15 + a se reemplaza la letra a por el número 44, el resultado es
múltiplo de 4?.........................................................................................................................
21
b. ¿Con qué otros números podrían reemplazar la letra a para que el resultado de 16 x 15 + a
sea múltiplo de 4?...................................................................................................................
10) Resolver las siguientes consignas en la carpeta:
a. Si es posible asignar valores a b para que 3 . b sea múltiplo de 3. ¿Cuáles son todos los
valores que cumplen con esta condición?
b. Si es posible asignar valores a c para que 3 . c sea múltiplo de 5. ¿Cuáles son todos los
valores que cumplen con esta condición?
c. Si es posible asignar valores a d para que 3 . d sea múltiplo de 6. ¿Cuáles son todos los
valores que cumplen con esta condición?
11) En la carpeta, analizar y resolver las siguientes situaciones:
a. Juana dice que con la expresión 2 . t obtiene números pares para cualquier valor de la va-
riable t. ¿Estás de acuerdo? Justificar.
b. Enrique dice que con la expresión 2 . k + 1 obtiene números impares para cualquier valor
de la variable k. ¿Estás de acuerdo? Justificar.
c. Pablo dice que con la expresión 2 . s + 4 obtiene múltiplos de 4 para cualquier valor de la
variable s. ¿Estás de acuerdo? Justificar.
d. Sofía dice que con la expresión 3 . m + 1 obtiene múltiplos de 3 para cualquier valor de la
variable m. ¿Estás de acuerdo? Justificar.
*Importante: si se quiere estudiar la validez de una afirmación en la que intervienen expresiones
con variables, se pueden dar tres situaciones excluyentes (si pasa una no pueden pasar las otras):
Que sea verdadera para cualquier valor de la variable,
Que sea verdadera para algunos valores de la variable y para otros no, y
Que ningún valor de la variable sirva para lograr que la afirmación sea verdadera (es decir
que sea falsa para todos los valores).
12) Estudiar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
a. 6 . r da como resultado un número par para cualquier valor de r .
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
b. 4 . w + 1 da como resultado un número par para algún valor de w.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
22
13) En parejas, estudiar la expresión 6 . p + 3. Escribir, para cada afirmación, si esta es válida pa-
ra todo valor que tome la variable p, para ningún valor de p o para algunos valores de p. Ex-
plicar las decisiones.
a. 6 . p + 3 es múltiplo de 2 para….…………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
b. 6 . p + 3 es un número impar para ….……………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
c. 6 . p + 3 es divisible por 3 para….…………………………………………..……………...
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
d. 6 . p + 3 es divisible por 6 para….…………………………………………………..……...
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
14) En cada caso, escribir una expresión con una variable para formar una afirmación verdadera.
a. …………………….. da un número par para cualquier valor de la variable.
b. …………………….. da un número impar para cualquier valor de la variable.
c. …………………….. da un múltiplo de 4 para cualquier valor de la variable.
d. …………………….. da un múltiplo de 7 para cualquier valor de la variable.
Lenguaje simbólico
15) Para averiguar la edad de la profesora, ella les propuso a sus alumnos el siguiente enunciado:
“El doble de mi edad, aumentado en 10, da por resultado 60”. ¿Cómo se podrá calcular la
edad de la profesora?
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
El lenguaje en palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaje coloquial. La matemática
utiliza un lenguaje particular denominado lenguaje simbólico o lenguaje matemático.
16) Considerar que “a” es la edad de Agustín y expresar en lenguaje coloquial las siguientes ora-
ciones.
a. La edad que tenía Agustín el año pasado…………………..
b. La edad que tendrá el año que viene…………………..
c. La edad que tendrá dentro de 15 años…………………..
d. La cantidad de años que faltan para que tenga 50 años…………………..
23
17) Pensar cómo se expresarán en lenguaje simbólico las siguientes expresiones:
a. Un número: …………………..
b. El doble de un número: …………………..
c. El triple de un número: …………………..
d. El anterior de un número: …………………..
e. El siguiente de un número: …………………..
f. La mitad de un número: …………………..
g. La tercera parte de un número: …………………..
h. El anterior del doble de un número: …………………..
i. El doble del anterior de un número: …………………..
j. La diferencia entre un número y cuatro: …………………..
k. La suma de dos números consecutivos: …………………..
18) Unir con flechas cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente:
La diferencia entre un número y 4
El cuádruple de un número
La cuarta parte de un número –
La suma entre un número y su cuarta parte
El siguiente de la cuarta parte de un número –
La cuarta parte del siguiente de un número
La diferencia entre un número y su cuarta parte –
El cociente entre un número y su cuarta parte
19) Para debatir en grupos. Marcar con una x la opción correcta:
24
Ecuaciones
20) Responder:
a. Si es posible asignale un valor a “x” para que la expresión x + 10 sea igual a 15. ¿Cuántos
posible valores se pueden pensar?
b. Si es posible asignale un valor a “x” para que la expresión 2x + 12 sea igual a 28.
c. Si es posible asignale un valor a “x” para que la expresión 5x - 9 sea igual a 31.
Una ecuación es una igualdad en la que hay por lo menos un valor desconocido denominado incóg-
nita. La ecuación está resuelta cuando se encuentra ese valor desconocido, que llamamos solución
de la ecuación.
Cuando se resuelve una ecuación, deshacemos los pasos u operaciones que afectan a la incógnita con
la operación inversa:
Se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad.
Se multiplica o divide por un mismo número a ambos miembros de la igualdad.
21) Resolver y verificar las siguientes ecuaciones:
a. e.
b. f.
c. g.
d.
22) Completar el siguiente cuadro de 2 maneras diferentes, cuando sea posible:
Ecuación Aplicando propiedad distri-
butiva
Sin aplicar propiedad distri-
butiva
25
(
23) Resolver, en la carpeta, las siguientes situaciones planteando previamente una ecuación:
a. El doble de un número, aumentado en 3 unidades, da por resultado 7 ¿Cuál es el número?
b. Si al triple de un número le sumo la mitad de 10, obtengo como resultado 20. ¿De qué
número se trata?
c. La resta entre la tercera parte de un número y 4, es igual a 11. ¿Cuál es dicho número?
d. Si a un número lo aumento en 2 unidades y al resultado lo multiplico por 3, se obtiene 18.
¿Qué número es?
24) Resolver las siguientes ecuaciones aplicando propiedades.
a.
b.
c.
26
d.
e.
f.
25) Plantear la ecuación para calcular el peso de cada lata de tomate (sabiendo que cada lata “t”
tiene el mismo peso).
26) Resolver las siguientes situaciones:
a. El doble de la edad de Mariana es igual a la mitad de cincuenta y seis. ¿Cuál es la edad
de Mariana?
b. El precio de tres kilogramos de helado es igual a cuatro veces cuarenta y cinco. ¿Cuánto
cuesta el kilo de helado?
c. El peso de Luca aumentado en seis es igual a cuatro veces cuarenta y cinco. ¿Cuántos
kilogramos pesa Lucas?
d. La cuarta parte de lo vendido en el puesto de panchos es igual al doble de ciento ocho.
¿Cuánto se vendió en total?
27
UNIDAD N°4: SISTEMA SEXAGESIMAL Y ÁNGULOS
1) Responder las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántas horas dura el movimiento de rotación de la Tierra?
…………………………………………………………………………….
b. ¿Cuántos minutos dura el movimiento de rotación de la Tierra?
…………………………………………………………………………….
c. En una semana, ¿Cuántas horas en total tarda la tierra en hacer los movi-
mientos de rotación?
…………………………………………………………………………….
d. ¿Cuántos segundos hay entre el mediodía y la medianoche?
…………………………………………………………………………….
2) Durante dos días, en la prehistoria, un hombre salió a cazar para poder alimentarse. El primer
día tardó 4h 15 min en poder cazar lo suficiente para alimentar a su grupo, y al día siguiente
estuvo cazando durante 2h 50 min.
a. ¿Cuánto tiempo le dedicó a la caza entre los dos días?
…………………………………………………………………………………………….
b. ¿Cuánto tiempo de diferencia tuvo entre el primer y segundo día?
…………………………………………………………………………………………….
c. Si el tercer día tardó 1h 40 min, ¿Cuánto tiempo de diferencia tuvo entre el segundo y ter-
cer día?
…………………………………………………………………………………………….
3) Paula camina todas las mañanas desde su casa hasta la escuela y tarda 12 minutos y medio. Si
durante un día, realizan dos veces dicho recorrido. ¿Cuánto tiempo por semana tardan en ir y
volver a la escuela?.......................................................................................................................
4) Matías vive a 12 minutos y medio de colectivo de la escuela. ¿Cuánto tiempo viaja por sema-
na ida y vuelta?.............................................................................................................................
5) Resolver, en la carpeta, los siguientes problemas:
a. Claudia está entrenando para correr una maratón. Antes del almuerzo corrió 1h 35’ 52’’, y
luego del almuerzo corrió 2h 49’ 52’’. ¿Cuánto corrió en total?
b. Al día siguiente Claudia corrió 5h 5’ 30’’, ¿Cuánto tiempo más corrió que el primer día?
c. Los próximos 4 días Claudia corrió exactamente lo mismo que el día 2. ¿Cuánto corrió en
total esas últimas 96 horas?
d. Finalmente el 7° día corrió la mitad que el 1er día. ¿Cuánto tiempo corrió?
28
Los sistemas de unidad donde las mismas van de 60 en 60 (horas, minutos y segundos) se llaman
sistemas sexagesimales. El tiempo y los ángulos se miden en estos sistemas, en el primer caso 60
segundos es igual a 1 minuto, y 60 minutos es igual a 1 hora; y en el segundo, 60 segundos es igual a
1 minuto, y 60 minutos es igual a 1 grado. De este modo, 80 minutos de tiempo corresponden a 1
hora y 20 minutos, mientras que 80 minutos en ángulos corresponden a 1°20´ (1 grado y 20 minu-
tos).
Ángulos
Definición de ángulo: _________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
Clasificación de ángulos según su amplitud
A los ángulos los podremos nombrar con la letra del alfabeto griego o con las del nuestro: .
29
Algunas letras del alfabeto griego:
Nombre de letra Minúsculas Nombre de letra Minúsculas
Alfa Lambda
Beta Mu
Gamma Pi
Delta Ro
Épsilon Sigma
Theta Fi
Kappa Omega
6) Observar la figura y clasificar cada uno de los ángulos.
7) Realizar las siguientes sumas:
a. 45° 28’ 32’’ + 44° 31’ 28’’ = b. 120° 45’ 27’’ + 59° 14’ 33’’ =
8) Resolver las siguientes situaciones:
a. Sabiendo que , ¿Cuánto debería medir para que juntos midan 90°?
b. Sabiendo que , ¿Cuánto debería medir para que juntos midan 180°?
30
Cuando dos ángulos suman 90° se denominan ángulos……………………………………
Cuando dos ángulos suman 180° se denominan ángulos……………………………………
9) Considerar los siguientes ángulos y responder:
a. ¿Son complementarios los ángulos ? Justificar.
b. ¿Son complementarios los ángulos Justificar.
c. El ángulo es suplementario con . ¿Cuánto mide ?
d. El ángulo es suplementario con . ¿Cuánto mide ?
10) Hallar el complemento de los siguientes ángulos:
° ° °
11) Hallar el suplemento de los siguientes ángulos:
° ° °
12) Indicar V o F y justificar la respuesta:
a. El complemento de un ángulo agudo es otro ángulo agudo.
b. El suplemento de un ángulo agudo es otro ángulo agudo.
c. Dos ángulos suplementarios pueden tener la misma amplitud.
d. El suplemento de un ángulo obtuso es un ángulo agudo.
e. El complemento de un ángulo recto es un ángulo nulo.
13) Indicar V o F y justificar la respuesta:
a. Si 2 ángulos son complementarios y ninguno es recto, entonces ambos son agudos.
b. Si 2 ángulos son suplementarios, ambos pueden ser obtusos.
c. 2 ángulos con el mismo complemento, pueden tener distintas amplitudes.
d. Si 2 ángulos suplementarios son iguales, cada uno de ellos es recto.
31
14) Plantear las ecuaciones, resolver e indicar el valor de cada ángulo:
15) Indicar con una cruz los pares de ángulos, que tienen en común un vértice y también un lado:
Ángulos consecutivos
Dos ángulos son consecutivos cuando comparten un vértice y un lado:
Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes cando son consecutivos y suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el vértice en común y sus lados son semirrec-
tas opuestas. En el gráfico y son opuestos, y también lo son y .
32
16) Sabiendo que , calcular la amplitud de los tres ángulos restantes de la figura y com-
pletar la siguiente oración.
……… porque es ……………………….. a ……….,
……… porque es ……………………….. a ………. y
……… porque es ……………………….. a ……….. .
¿Qué característica tienen los pares de ángulos que son opuestos por el vértice? ……………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
17) Indicar si las siguientes afirmaciones se cumplen: “a veces”, “siempre” o “nunca”. Justificar
en la carpeta.
a. Los ángulos adyacentes son suplementarios.
b. Los ángulos suplementarios son adyacentes.
c. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
d. Los ángulos adyacentes son opuestos por el vértice.
e. Los ángulos consecutivos son complementarios.
18) Considerar que y
a. El triple de .
b. El doble de .
c. La mitad de .
d. La tercera parte de .
19) Hallar el valor de los ángulos marcados en cada una de las siguientes figuras:
33
20) Calcular la medida de los ángulos que faltan medir. Justificar.
a. d.
b. e. ;
c. f.
21) Plantear las ecuaciones, resolver e indicar el valor de cada ángulo:
34
UNIDAD Nº5: TRIÁNGULOS
1) En una sala de un museo se exhibe una obra
de gran valor. La sala es rectangular y la
obra se encuentra en el centro de la misma,
como se muestra en el dibujo. Se instalan
cámaras de seguridad a una cierta distancia
de ella. En el dibujo está marcada con C una
de las cámaras.
a. Marcar en el dibujo otros puntos en los
que se pueden ubicar otras de las cámaras. ¿Qué figura forman todos los puntos que cum-
plen con esta condición?........................................
b. Ubicar dos puntos que indiquen cámaras que se hallen a mayor distancia que las anterio-
res.
c. Sombrear la zona de los puntos que estén a menor o igual distancia de O que C. ¿Qué
nombre recibe la figura formada?
Circunferencia
Definición:………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..
Elementos de una circunferencia
Los segmentos con extremos en el centro y en cualquier punto de la circunferencia se llaman
radios.
Los segmentos que unen dos puntos de la circunferencia y pasan por el centro se llaman diá-
metros.
Una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma se llama arco.
Un círculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia e interiores a la misma.
- Marcar dos puntos a y b sobre la cir-
cunferencia. Estos puntos determinan
dos arcos (marcarlos con colores
distintos)
- Ubicar dos puntos interiores a cada
uno de esos arcos y escribí sus nom-
bres:
35
Triángulos
Un triángulo es una figura geométrica que tiene tres lados. Los puntos donde se unen los lados se
denominan vértices y para nombrarlos se les asigna una letra del alfabeto.
ACB
Lados:
Los triángulos se pueden clasificar según las características de sus lados o de sus ángulos. Entre to-
dos completamos el siguiente cuadro.
Según sus
lados
Figura
Nombre Equilátero Isósceles Escaleno
Características Todos sus lados
son iguales
Tiene al menos
dos lados iguales
Todos sus lados son
distintos
Según sus
ángulos
Figura
Nombre Rectángulo Acutángulo Obtusángulo
Características Tiene un ángulo
recto
Tiene sus tres
ángulos agudos
Tiene un ángulo
obtuso
2) a. Realizar el siguiente instructivo en Geogebra:
- Trazar un segmento AB de 7 cm.
- Trazar una circunferencia con centro A y radio de 5 cm.
- Trazar una circunferencia de centro B y radio 3 cm
b. Si se unen los puntos A y B con uno de los puntos en que se cortan ambas circunferencias,
queda determinado un triángulo. ¿Cómo se puede saber, sin medir, cuál es la longitud de cada
uno de los lados de ese triángulo? ?.............................................................................................
…………………………………………………………………………………………………..
36
3) Construir los siguientes triángulos en GeoGebra.
a. Con lados 4 cm, 6 cm y 8 cm.
b. Con lados 5 cm, 5 cm y 5 cm.
c. Con lados 6 cm, 4 cm y 4 cm
4) En la carpeta, realizar un instructivo detallando los pasos que se deben seguir para construir
un triángulo utilizando la aplicación GeoGebra.
5) Utilizando GeoGebra, construir los siguientes triángulos:
- 3 cm, 4 cm y 5 cm.
- 4 cm, 5 cm y 10 cm.
- 5 cm, 7 cm y 5 cm.
- 8 cm, 3 cm y 5 cm.
a. ¿Siempre es posible armar una figura con forma de triángulo? ¿Por qué?............................
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Propiedad 1: ……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
6) Verificar, con la propiedad triangular, con cuáles de estos segmentos es posible construir un
triángulo y con cuáles no.
LADO LADO LADO SÍ/NO. Justificar
5 cm 5 cm 4 cm
7 cm 3,5 cm 12 cm
4,5 cm 7,5 cm 2 cm
6 cm 3 cm 2,5 cm
Propiedad 2: ……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..
37
7) Calcular la amplitud de los ángulos que faltan en los siguientes triángulos:
Ángulo exterior: El ángulo , es el ángulo exterior de , si
son adyacentes. Entonces 180°. Para trazarlo debemos
prolongar uno de los lados del ángulo interior.
Propiedad 3: En todo triángulo, a lados congruentes se oponen ángu-
los congruentes. Es decir, si un triángulo tiene dos lados iguales tam-
bién tiene dos ángulos iguales. Si , entonces .
8) Utilizar las propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo para calcular la
amplitud de los ángulos de los siguientes triángulos:
38
9) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un triángulo equilátero? Explicar.
………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………
10) Calcular la medida de los ángulos exteriores del siguiente
triángulo sabiendo que sus ángulos interiores miden:
39
Propiedad 4: ……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..
11) Clasificar los siguientes triángulos según sus lados y sus ángulos.
12) En la carpeta, indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar cada
respuesta.
a. No se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 77°, 24° y 90°.
b. Se puede construir un triángulo con dos ángulos obtusos.
c. Se puede construir un triángulo con dos ángulos rectos.
d. Se puede construir un triángulo rectángulo que sea equilátero.
e. Se puede construir un triángulo con tres ángulos iguales.
f. Un triángulo cuyos dos de sus ángulos midan 47 y 43 es un triángulo rectángulo.
g. Es posible construir un triángulo cuyos ángulos exteriores mida , y
h. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre miden 45 cada uno.
13) Completar con “siempre”, “a veces” o “nunca” y luego justificar, en la carpeta, cada respues-
ta.
a. Un triángulo isósceles es equilátero………………………..
b. Un triángulo equilátero es isósceles.………………………..
c. Un triángulo rectángulo es isósceles.………………………..
d. Un triángulo obtusángulo es rectángulo………………………..
e. Un triángulo rectángulo es escaleno………………………..
f. Un triángulo rectángulo es equilátero………………………..
14) Calcular la medida de los ángulos faltantes.
a. Datos: d. Datos:
=2 +30°
=2 +20°
40
b. Datos: e. Datos:
c. Datos: d. Datos:
41
UNIDAD Nº6: ÁREA Y PERÍMETRO
CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es una figura plana cerrada de cuatro lados. Se pueden clasificar en dos grupos:
1. Paralelogramos: paralelogramo, rectángulo, rombo y cuadrado.
2. No paralelogramos: Trapecios y trapezoides
Paralelogramo
Cuadrilátero que tiene
dos pares de lados
opuestos paralelos
Rectángulo Paralelo-
gramo que tiene cua-
tro ángulos rectos
(miden 90°).
Rombo
Paralelogramo que
tiene cuatro lados
iguales.
Cuadrado
Paralelogramo que es
rombo y rectángulo a
la vez. Es decir, tiene
cuatro ángulos rectos
y cuatro lados iguales.
Trapecios
Cuadrilátero que tiene un
solo par de lados opuesto
paralelos, llamados bases.
Trapecio isósceles
Trapecio cuyos lados no
paralelos miden lo mismo.
Trapecio rectángulo
Trapecio que tiene dos
ángulos rectos.
Trapezoides
Cuadrilátero que no tiene
pares de lados paralelos
Romboide
Trapezoide que tiene dos pares
de lados consecutivos iguales.
42
1) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar en la carpeta.
a. Un cuadrado es un rombo. d. Un cuadrado es un rombo.
b. Un rombo es n cuadrado. e. Un rectángulo es un cuadrado.
c. Un rectángulo es un trapecio. f. Un rombo es un romboide.
Perímetro y área
2) Francisco quiere bordear su campo con forma rectangular de 5 kilómetros de largo y 4 kiló-
metros de ancho con una cerca por la que pasarán dos líneas del alambre. ¿Cuánto alambre
necesita? ………………………………………………………………………………
3) Pedro quiere plantar flores en una porción del patio de su casa. Elige un sector cuadrado de 3
metros de lado y decide bordearlo con una cerca metálica para que sus animales no se coman
las plantas. ¿Cuántos metros de cerca metálica necesita? ……….……………………….……
El perímetro de una figura es la medida de la longitud total de su contorno.
El Sistema Métrico Legal Argentino (Simela) es el sistema de unidades de medida vigente en Ar-
gentina. La unidad de longitud es el metro.
Ejemplo.
Km Hm Dam M Dm Cm Mm
6.000
460
65,3
Atención:
Multiplicar un número natural por 10 es equivalente a ………………………………………...
Multiplicar un número decimal por 10 es equivalente a ………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Dividir un número natural, que posee un 0, por 10 es equivalente a …………………………..
Dividir un número natural, que no posee un 0, por 10 es equivalente a………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
Dividir un número decimal por 10 es equivalente a…………………...………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
43
4) Expresar las siguientes medidas en las unidades indicadas.
a. 3,5 km = ………………….. m e. 145 mm = ………………….. dm
b. 38 mm = ………………….. cm f. 17.000 cm = ………………….. hm
c. 14.000 mm = ………………….. dam g. 1 m = ………………….. cm
d. 145,5 cm = ………………….. dam h. 1 km = ………………….. m
5) Marquen con una X las equivalencias correctas. Corrijan los casos donde no colocaron una
cruz.
a. 30 m = 300 mm d. 6,32 dam = 632 dm
…………………………………… ……………………………………
b. 10 000 m = 100 km e. 0,08 hm = 0,8 km
…………………………………… ……………………………………
c. 50 km = 5 000 dam f. 153,9 cm = 0,01539 hm
…………………………………… ……………………………………
El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa.
Fórmulas para calcular áreas
Cuadrado: Rectángulo: Triángulo:
Romboide y rombo:
Trapecio:
Paralelogramo:
La altura es un segmento perpendicular a un lado que alcanza el vértice opuesto
Generalmente la altura de una figura se simboliza con la letra h, la base con la letra b, la diagonal con
la letra d y el lado con la letra l.
l h h
b b
h h
b b
44
Diagonales
La diagonal de un cuadrilátero es un segmento que une dos vértices no consecutivos. Cada cuadrilá-
tero tiene dos diagonales.
En todos los paralelogramos sus diagonales se cortan mutuamente en su punto medio.
En un rectángulo sus diagonales son iguales y se cortan mutuamente en su punto medio.
En un rombo sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
En un cuadrado sus diagonales son iguales, perpendiculares y se cortan mutuamente en su punto
medio.
Los romboides tienen dos diagonales de las cuales la mayor corta a la menor perpendicularmente en
su punto medio.
Atención: Tengan en cuenta que las figuras no tienen medidas reales. Son figuras de análisis y nos
sirven para pensar, pero no las podemos medir.
6) Calcular las áreas de estas figuras y expresar el resultado en metros.
7) Resolver los siguientes problemas.
a. El papá de Diego le pidió que le ayudara a calcular el área de una de las paredes de su
pieza, pues necesitaba cambiar el papel mural. El papá le dice: “Hijo, la pared es cuadrada
y mide 5m”. Diego realiza el cálculo para obtener el área y piensa: “La pared es un cua-
6 m
200 cm
1,5 dm
32 cm
1,5 dam 40 mm
20 dm
30 m
4 cm
0,7dm
3 hm
1,2 dm
0,5 dm
7,5 hm
45
drado; por lo tanto, su área la obtengo al multiplicar 4m por 5m”. ¡Papá, el área de la pa-
red es 20 ! Indicar si el procedimiento que realizó Diego es correcto o no. Justificar.
b. La habitación de Juan es rectangular y tiene 12 de área. ¿Qué medidas puede tener la
habitación? ¿Son las únicas posibles? Explicar.
c. Paula quiere poner una alfombra rectangular de 50 cm de ancho por 80 cm de largo. ¿Qué
parte del piso ocupará la alfombra?
d. i. Leo y Analía heredaron un terreno rectangular de 12 m de frente y 32 m de fondo
¿Cuánto mide su superficie?
ii. Destinaran un sector rectangular del terreno, para plantas aromáticas, de 2 m de ancho
que ocupará 6 . ¿Qué largo tendrá?
iii. Van a rodear por completo el sector de las plantas aromáticas con un alambre tejido
para que los animales no rompan las plantas ¿Alcanza con los 11 metros que Leo tiene en
un rollo? ¿Cuánto falta o cuánto sobre?
Perímetro de una circunferencia
8) Dibujar en GeoGebra las circunferencias con los radios pedidos, medir su perímetro y com-
pletar la tabla.
Perímetro de una circunferencia: ……………………………………………
9) Calcular el perímetro de las siguientes circunferencias.
Radio de la circunferencia 1,5 3 3,5 4,5
Diámetro de la circunferencia
Perímetro
( Perímetro ) : (medida del diámetro)
5,5 cm
6 cm
6 cm 4 cm
46
Área de un círculo
10) Natalia quiere calcular el área que ocupa un círculo. Para eso comienza a descomponer el
círculo en figuras:
a. Completar la frase de Natalia: “Si se sigue dividiendo el círculo en partes más chiquitas,
la figura que obtengo se parece cada vez más a un ……………………………………….”
b. ¿Qué relación hay entre los lados de la figura y el círculo original?
………………………………………………………………………………………………
Área de un círculo:……………………………………………
11) Calcular el área de los siguientes cuatro círculos.
5 cm
16 cm
7 cm
20 cm
47
12) Recorta las piezas que figuran en el pie de la página.
Trabajar sobre la figura formada
por el triángulo rectángulo y los tres
cuadrados dibujados sobre sus la-
dos.
Comprobar que el cuadrado recor-
tado es igual al cuadrado I y que las
4 piezas restantes cubren exacta-
mente el cuadrado II.
Después con las 5 piezas cubrir el
cuadrado III y completar la igual-
dad.
Área del cuadrado…… = Área del cuadrado…… + Área del cuadrado……
……………………….. =…………….………… + …………………………
Teorema de Pitágoras
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………....
En nombre de este teorema fue elegido en honor a Pitágoras de Samos, filósofo y matemático griego,
impulsor de la escuela pitagórica en el siglo VI a.C y gracias a la ayuda de los pitagóricos, aquellos
que pertenecían a la escuela, consiguió el descubrimiento de lo que hoy en día conocemos como el
Teorema de Pitágoras. Este teorema ha sido atribuido según diferentes fuentes de la propia Grecia a
Pitágoras, como ha trascendido hasta nuestros días. Sin embargo, existen evidencias de que era cono-
cido por antiguas civilizaciones como en Babilonia, Egipto, India o China. Por lo que se sabe, estas
III
II
I
48
civilizaciones conocían y manejaban triángulos concretos que verificaban el teorema pero le debe-
mos a Pitágoras el teorema en toda su generalidad - para todos los triángulos rectángulos - y también
su “demostración”, sabemos que algo “es verdad” porque se ha demostrado matemáticamente, y así
ocurre con el Teorema de Pitágoras. En matemática se llama teorema a una propiedad que puede ser
justificada basándose en otras propiedades ya aceptadas y que se hizo conocida por sus aplicaciones
frecuentes.
13) Sobre cada lado de los triángulos rectángulos se construyeron cuadrados. Con los datos dados
en las figuras, calcular el área del cuadrado que falta.
14) Calcular la longitud de los lados faltantes de cada uno de los siguientes rectángulos.
A
A
C
C
3 cm
3 cm
4 cm
4 cm
………
………
A
A
C
C
6 cm
6 cm
8 cm
8 cm
………
………
B
B
D F
15 cm 12 cm
12 cm
………
D
F
26 cm
………
E
B
E
24 cm
b. a.
c. d.
49
15) Hallar, en cada caso, lo que se indica a continuación.
a. Una letra “N” se ha construido con tres listones de madera; los listones verticales son 20
cm y están separado 15 cm. ¿Cuánto mide el listón diagonal?
b. Hallar la medida, en centímetros, de la altura de un rectángulo, cuya base mide 35 cm y
su diagonal 37 cm:
c. Una escalera de 15 metros se apoya en una pared vertical, de modo que el pie de la esca-
lera se encuentra a 9 metros de esa pared. Calcular la altura en metros, que alcanza la es-
calera sobre la pared.
G I 5 cm
13 cm
……… G
I 20 cm
25 cm
………
H
H e. f.
50
Ángulos interiores de un cuadrilátero
16) Seguir las siguientes instrucciones.
a. Trazar la diagonal BD del cuadrilátero ABCD.
¿Qué figuras quedaron determina-
das?......................................................
b. Nombrar y a los dos ángulos que componen el
ángulo B.
……
c. Nombrar y a los dos ángulos que componen el
ángulo D.
……
En el triángulo ,
……… En el triángulo ,
………
En el cuadrilátero , ………
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es……………..
17) Calcular la medida de los ángulos que faltan en cada cuadrilátero.
51
Cuadrilátero Propiedades de los ángulos interiores Figura
Paralelogramo
Los ángulos que se encuentran sobre el
mismo lado suman (suman 180 ) y los
ángulos opuestos son iguales.
Trapecio
Los ángulos no opuestos ni adyacentes
a la bases son suplementarios. En el
trapecio isósceles lo dos ángulos que
están apoyados sobre la misma paralela
son iguales.
Romboide Los ángulos opuestos a la diagonal
mayor son iguales
18) En cada figura hallar la medida de los ángulos interiores que faltan.
a. En el paralelogramo abcd . e. En el rombo efgh donde .
b. En el paralelogramo abcd . f. En el paralelogramo efgh .
c. En el trapecio adcb . g. En el romboide ilkj
A B
C D
A
A B
C D
A B
C D
Trapecio
isósceles
Diagonal mayor D
C B
52
d. En el trapecio isósceles adcb h. En el romboide mpon
53
BIBLIOGRAFIA
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Autónoma de Buenos Aires : Tinta Frsca, 2013.
El hilo de la matemática 7/ Alejandro Rossetti; Adriana Laura Díaz; Federico Maloberti. – 1a
ed. – Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Estación Mandioca, 2013.
Explorar en matemática 6: libro del docente/ Mónica Escobar … [et. Al.]; coordinado por
Claudia Broitman y Horacio Itcovich. – 1a ed. – Buenos Aires: Santillana, 2012.
Hacer matemática 7-1/ Carmen Sessa … [et.al.]; coordinado por Carmen Sessa. -1a ed.-
Boulogne: Estrada, 2015.
Matemática 1. Fotoactivados: versión para el docente / Roxana Abálsamo ... [et. al.]. - 1a ed. -
San Isidro: Puerto de Palos, 2012.
Matemática 1: Nuevas miradas/ Liliana Ediht Kurzrok. – 1a ed. – Ciudad Autónoma de
Buenos Aires : Tinta Frsca, 2017.
Matemática 7/ Gustavo Barallobres y Adriana Diaz. – 1a ed. – Buenos Aires: Aique Grupo
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Matemática 7°/ Mariana E. Andrés y Maria Celina L. De Elizondo. – 1a ed. – Buenos Aires:
Santillana, 2002.
Matemática en 7°. Primaria CABA/ 1.° SECUNDARIA. Libro para el docente/ María Mónica
Becerril_ [et. Al.]; coordinado por Claudia Broitman y Horacio Itcovich. – 1a ed. – Buenos Aires:
Santillana, 2011.
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