Corso di Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2012-2013
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Corso di Fluidodinamica delle
Macchine
Parte 2b: Risoluzione di Flussi Non Viscosi (applicazioni)
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2D Flow Near a 90° Corner (1)
• Un flusso 2D incomprimibile, non viscoso, in prossimità di un angolo di 90° (come quello riportato in figura) viene descritto dalla seguente stream function ψ:
2sin22
r
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2D Flow Near a 90° Corner (2)
1. Determinare, se possibile, la funzione potenziale
2. Se la pressione in (1) vale 30kPa, calcolare la p in (2)
Si consideri ρ=1000kg/mc e z2=z1 .
P1 = 30 kPa
?
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2D Flow Near a 90° Corner (3) • Le velocità vr e vθ possono essere a loro volta espresse
attraverso la stream function ψ come segue:
• Si possono quindi calcolare le componenti di velocità radiale e tangenziale:
• Se il campo di moto ammette l’esistenza del potenziale questo soddisfa la relazione seguente:
rv
rv
r
1
2sin4
2cos42sin2
2
rv
rvr
r
rrV
1
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2D Flow Near a 90° Corner (4)
• Integrando le equazioni differenziali si ha:
• L’unico modo affinché entrambe siano valide è che le due funzioni f1 e f2 siano uguali fra loro e costanti, e per comodità, senza perdere in generalità, si pongono uguali a 0 (interessano le variazioni). Quindi:
• Il fatto che sia possibile individuare una funzione potenziale dimostra che il campo è IRROTAZIONALE.
rfrr
frrr
2
22
1
2
2cos22sin4
2cos22cos4
2cos22
r
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2D Flow Near a 90° Corner (5)
• Si può assumere una qualsiasi stream function, ma solo per quelle che definiscono un campo irrotazionale è possibile individuare una funzione potenziale.
• Per flussi irrotazionali è indifferente utilizzare le streamlines oppure le linee equipotenziale per caratterizzare il flusso.
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2D Flow Near a 90° Corner (6)
• Nell’ipotesi di flusso incomprimibile è possibile applicare il trinomio di Bernoulli tra i punti (1) e (2) per trovare la relazione tra pressione e velocità (z1=z2):
• Il modulo di V può essere calcolato:
2
2
2
112
2
22
2
11
222VVpp
g
Vp
g
Vp
222216 rvvV
r
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2D Flow Near a 90° Corner (7) • La stream function poteva essere espressa anche in
coordinate cartesiane:
• In questo modo però sarebbe stato più complesso generalizzare l’espressione di ψ per angoli diversi da 90°. Per un generico angolo α si ha:
quadrata) (iperbole 4cossin42sin22
xyrrr
cos
sin
Ar
Ar
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FLUSSI A POTENZIALE 2D (tipologie base)
• Uniforme
• Sorgente e pozzo
• Doppietto (pozzo-sorgente)
• Vortice
Essendo i flussi a potenziale governati dall’equazione di Laplace (LINEARE), i vari flussi base possono essere combinati per realizzare soluzioni particolari.
Si ricordi che le streamlines in un flusso 2D, non viscoso, possono essere considerate come pareti solide.
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FLUSSO UNIFORME GENERICO
( , ) c o s c o s ( )
s in ( ) s in
( , ) c o s s in
( , ) c o s s in
x y U d x U x f y
fU f y U y
y y
x y U x y
x y U y x
yxU
cos
xyU
sin
Potenziale e funzione di corrente (flusso uniforme)
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• Consideriamo un flusso che si muova radialmente come riportato in figura. Se m è la portata volumetrica per unità di lunghezza (lungo asse z) che fuoriesce dalla sorgente si ha:
r
mvmvr
rr
1
22
• Dal momento che la componente tangenziale del flusso è nulla, si può calcolare il valore del potenziale e della stream function integrando le relazioni già viste in precedenza.
2
ln2
01
1
2
m
rm
r
r
r
m
r
SORGENTE e POZZO
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• Se m > 0 si tratta di una sorgente (flusso uscente), se m < 0 si tratta di un pozzo (flusso entrante);
• Nell‘ origine la velocità ha una singolarità, ma questo non è un problema perché si farà sempre in modo che tali punti siano all‘ esterno del dominio fluido;
SORGENTE e POZZO
• Alcuni flussi reali possono essere approssimati ad una certa distanza dall’origine utilizzando pozzi o sorgenti.
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COMBINAZIONE POZZO-SORGENTE (1)
• Supponiamo di combinare una sorgente e un pozzo, disposti come in figura. La stream function per questo caso vale (eq. Laplace è lineare):
21
21
tan2
tan
2
m
m
• Sfruttando le relazioni trigonometriche e calcolando le tangenti degli angoli (θ1 e θ2) si ottiene:
22
0
22
1 sinsin2tan
2 ar
mar
ar
arm a
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• Quando a tende a 0 mentre m tende a infinito si parla di DOUBLETS (DOPPIETTO) e per questi casi si può scrivere:
rK
rKK
ma
m
a
cos;
sin0
• Sorgenti, pozzi e doublets non hanno una reale controparte in natura ma aiutano a modellare fenomeni fisici reali quando sono combinati con altri flussi a potenziale (flusso intorno ad un cilindro).
COMBINAZIONE POZZO-SORGENTE (2)
Streamlines
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VORTICE (1) • Se si considera un flusso in cui le streamlines
sono cerchi concentrici, le direzioni radiali rappresentano le linee equipotenziali (si inverte la SORGENTE):
0
1
ln ;
rv
r
K
rrv
rKK
• Nonostante quello che può sembrare, questo flusso è irrotazionale. In questo caso la velocità va come 1/r e le distorsioni del campo di moto giustificano la sua irrotazionalità (Vortice Libero).
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• Al concetto di moto vorticoso viene associata la circolazione del campo di moto. Se consideriamo che in questo caso che il campo di moto è rappresentabile come il gradiente di una funzione potenziale si ha:
• Questo è vero solo se la curva su cui viene calcolata la circolazione non contiene singolarità. Per il vortice libero la singolarità in r = 0 si ha, quindi:
CCC
ddsVds 0
222
2
0
KKrd
r
K
VORTICE (2)
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Riassunto dei principali flussi
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INTERAZIONE FRA FLUSSI BASE
• Uniforme + Sorgente (HALF BODY)
• Uniforme + Sorgente e Pozzo (RANKINE OVALS)
• Uniforme + Doppietto (CILINDRO senza LIFT)
• Uniforme + Doppietto + Vortice (CILINDRO con LIFT)
Essendo i flussi a potenziale governati dall’equazione di Laplace (LINEARE), i vari flussi base possono essere combinati per realizzare soluzioni particolari.
Si ricordi che le streamlines in un flusso 2D, non viscoso, possono essere considerate come pareti solide.
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UNIFORME + SORGENTE (1)
• Se consideriamo una sorgente ed un flusso uniforme che interagiscano tra loro, si ha che:
• In un punto del dominio fluido i due campi si annulleranno creando un punto di stagnazione.
2
sinm
Ursourceuniform
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• Nel sistema di riferimento considerato il punto stagnazione si verifica nel punto x=-b (r=b; θ=π) dove:
• Considerando la definizione di ψ e il fatto che m = 2πbU, si può calcolare l’equazione della streamline che passa dal punto stagnazione, già evidenziata in figura:
• Sostituiamo la streamline con un corpo solido che abbia lo stesso profilo.
2
1
2
1
2
1
2
m
U
mb
b
mU
r
mv
b
b
r
sin
br
UNIFORME + SORGENTE (2)
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• In questo modo è evidente che questo modello permette di descrivere il flusso intorno ad un corpo solido chiamato half-body la cui ampiezza tende a 2πb per θ → 0.
• Attraverso le definizioni di vr e vθ si può valutare la velocità del flusso in ogni punto del dominio:
• Sfruttando il trinomio di Bernoulli e considerando trascurabile la variazione di quota, è possibile ottenere il valore della pressione in ogni punto del dominio fluido.
2
2
cos21
sin
2cos
1
r
b
r
bUV
Ur
v
r
mU
rv
r
UNIFORME + SORGENTE (3)
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Alcune considerazioni: • La velocità del flusso a “parete” non è nulla poiché, considerando il flusso
non viscoso, trascuriamo gli sforzi di taglio che impongono la condizione di no slip. Di conseguenza nella zona dello strato limite la trattazione a potenziale non permette una accurata risoluzione del campo di moto;
• Va detto che la pressione non varia in direzione normale a parete nemmeno nel boundary layer, perciò il suo profilo sarà ben approssimato anche da una trattazione non viscosa;
• Al contrario, lontano dallo strato limite questa trattazione è molto utile e permette con buona approssimazione di valutare il campo di moto.
UNIFORME + SORGENTE (4)
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• Nel caso dell’ovale di Rankine, oltre alla sorgente ed al flusso si considera anche un pozzo che permette di passare da un half-body ad una porzione chiusa di dominio fluido.
• In questo caso le streamlines hanno la seguente forma:
• Per ψ = 0 le streamlines formano un profilo chiuso.
21
2sin
mUr
wellsourceuniform
UNIFORME + SORGENTE e POZZO (1)
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• Le streamlines che si trovano all’interno del profilo vanno direttamente dalla sorgente al pozzo.
• Gli ovali di Rankine hanno lunghezza 2l e altezza 2h e hanno due punti di stagnazione dove le velocità del flusso, della sorgente e del pozzo si combinano per dare una velocità complessiva del flusso nulla. Le dimensioni si possono ottenere considerando la funzione ψ = 0 al variare di θ:
a
h
m
Ua
a
ah
a
h
Ua
m
a
l
2tan2
1
2
22
UNIFORME + SORGENTE e POZZO (2)
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Alcune considerazioni: • La forma dell’ovale dipende dal valore del parametro adimensionale
πUa/m.
• Per diversi valori di πUa/m si possono quindi avere infinite forme. All’aumentare del parametro ci troveremo di fronte a oggetti sempre più oblunghi, mentre per valori piccoli si hanno quelli che si chiamano blunt body.
• A valle della zona di massimo spessore, il flusso decelera e recupera pressione fino al punto di stagnazione in cui la velocità è nulla. Nella realtà il gradiente di pressione avverso porta all’ispessimento dello strato limite fino alla sua “separazione”, creando zone di ricircolo che la trattazione a potenziale non può mostrare.
• Caso particolare degli ovali di Rankine è il cilindro circolare (a → 0 ).
UNIFORME + SORGENTE e POZZO (3)
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• Quando a → 0 sorgente e pozzo collassano in un punto che è il centro di un cerchio.
• Con riferimento all’analisi del doublet si era già vista la forma assunta dall’equazione delle streamlines nel caso in cui a → 0 e m → ∞. In tali condizioni l’ovale di Rankine si transforma in un cilindro.
UNIFORME + DOPPIETTO (1)
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• Con geometria circolare è infatti utile considerare coordinate polari
c o s( , ) c o s c o s ( ) in c u i in te n s i tà
s in( , ) s in s in ( )
Kr U r K U r K
r r
Kr U r K U r
r r
UNIFORME + DOPPIETTO (2)
Uniforme Doppietto
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• La funzione di corrente vale quindi:
• Siccome sappiamo già che la superficie del cerchio è una superficie su cui ψ = costante , si può calcolare l’intensità K del doublet:
• Si possono quindi calcolare le velocità:
sinsin
sin2
rr
KU
r
KUr
sin12
2
02
0
r
rUrUrK
sin1 ; cos12
2
0
2
2
0
r
rUv
r
rUv
r
UNIFORME + DOPPIETTO (3)
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• Sulla superficie del profilo, dove r = r0, si ha:
• Il valore massimo della velocità si ha per θ = ± π/2 . Se invece ci si muove radialmente dal cilindro in direzione radiale la velocità tangenziale diminuisce con il quadrato del raggio (vedi figura iniziale).
• Trascurando le variazioni di quota si può calcolare la pressione in ogni punto del dominio fluido attraverso il trinomio di Bernoulli scritto tra un punto sulla superficie e un punto del campo di moto:
sin2 ; 0 Uvvr
22
0sin41
2
1 Upp
s
sin1 ; cos12
2
0
2
2
0
r
rUv
r
rUv
r
UNIFORME + DOPPIETTO (4)
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Pagina 30
• Il confronto tra il risultato numerico e sperimentale evidenzia l’effetto dovuto allo sviluppo dello strato limite e della separazione dello stesso quando il gradiente di pressione è avverso.
• Se si valutano le forze di lift e drag e si inserisce l’espressione ottenuta per ps si perviene al paradosso di d’Alambert:
0sin ; 0cos
2
0
2
0
dapFdapFsysx
UNIFORME + DOPPIETTO (5)
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• Poiché il flusso è non viscoso ed il campo irrotazionale, la teoria a potenziale riferisce che il cilindro non è soggetto ad alcuna forza di Drag
• Il confronto tra il risultato numerico e sperimentale evidenzia l’effetto dovuto allo sviluppo dello strato limite e della separazione dello stesso quando il gradiente di pressione è avverso (parte posteriore del cilindro)
UNIFORME + DOPPIETTO (6)
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Pagina 32
• Consideriamo nuovamente il flusso intorno ad un ostacolo circolare cui aggiungiamo una sorgente tipo vortice:
• La velocità tangenziale sulla superficie assume un valore diverso rispetto al caso precedente:
• Il punto di stagnazione varia a seconda dei valori assunti dalla funzione Γ.
rr
rUr ln
2sin1
2
2
0
004
sin2
sin2Urr
Uvstag
UNIFORME + DOPPIETTO + VORTICE (1)
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Pagina 33
UNIFORME + DOPPIETTO + VORTICE (2)
0 14
0
Ur
14
0
Ur1
40
Ur
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Pagina 34
• Se andiamo a valutare il campo di pressione in questo caso, assume la seguente forma (con Bernoulli):
• Calcolando le forze di lift e drag si vede che, mentre il drag resta nullo, il lift diventa diverso da zero:
• L’equazione generalizzata per la valutazione del lift in funzione di densità, velocità e circolazione si chiama legge di Kutta-Jukowski.
222
2
22
0
4
sin2sin41
2
1
UaaUUpp
s
UFFyx
; 0
UNIFORME + DOPPIETTO + VORTICE (3)
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Pagina 35
• Nella pratica questo modello fisico rivela che un cilindro dotato di circolazione ed investito da una corrente sviluppa un azione di lift.
• Nella pratica, a causa delle azioni di no-slip a parete, quando un cilindro viene posto in rotazione sviluppa una circolazione non nulla dando effettivamente ruolo ad un’ azione di lift:
• Questo è detto
EFFETTO MAGNUS
E NELLA REALTA’?
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Pagina 36
• Nella pratica qualsiasi corpo in rotazione sviluppa questo effetto e guadagna un’ azione proporzionale alla sua rotazione (Golf, Calcio)
• Nel caso di una corpo sferico lanciato, il flusso visto dalla stessa è quello relativo dovuto al suo movimento
ESEMPI
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Pagina 37
E’ Possibile ottenere la soluzione intorno ad una geometria semplice
(Cilindro) e con trasformazione conforme (retta da Eq. di Laplace)
trasportarla intorno al profilo atteso che:
si mappi nel cerchio
02
2
2
2
xy
0
2
2
2
2
),(),( yx
Flusso Intorno ad Un Profilo Isolato
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• Da un punto di vista matematico si possono sviluppare degli operatori matematici nel campo complesso che permettono di trasformare la generica sezione circolare in una sezione di forma differente e viceversa. Questo metodo è detto CONFORMAL MAPPING.
Queste trasformazioni permettono quindi di risolvere il flusso intorno al cilindro e poi di “trasportare” la soluzione trovata alla geometria del profilo. La circolazione è trovata imponendo la condizione di Kutta.
Flusso Intorno ad Un Profilo Isolato
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Pagina 39
• Per le trasformazioni da cilindro a profilo si adotta come intensità del vortice quello per cui il punto di ristagno a valle cade sul trailing edge della pala (condizione di kutta)
Flusso Intorno ad Un Profilo Isolato
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Pagina 40
ESTENSIONE DELLA TEORIA A POTENZIALE • Altri metodi invece sfruttano distribuzioni complesse di flussi base per
modellare geometrie reali come profili aerodinamici (panel methods).
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Pagina 41
FLUSSI NON VISCOSI SUPERSONICI (esempi)
Esercizio 1
• Trovare le condizioni del flusso nelle varie zone contrassegnate (1,2,3,4,5)
M1 = 3, T1 = 277.6K, p1 = 1.034 bar, γ=1.4, θ = 10
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FLUSSI NON VISCOSI SUPERSONICI (esempi)
• Notare come nascano, anche nel caso non viscoso, una forza di lift ed una di drag.
Drag
Lift
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FLUSSI NON VISCOSI SUPERSONICI (esempi)
Esercizio 1
• Dimensionare il condotto in modo che non si abbiano urti riflessi
M1 = 3, T1 = 300 K, p1 = 1 bar, γ = 1.4, θ = 10
D
D2?
θ
1
2
L?
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Pagina 44
APPENDICE
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Pagina 45
APPENDICE
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Pagina 46
APPENDICE
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Pagina 47
Bibliografia
• Munson, B.R., Young, D.F., Okiishi, T.H., Fundamentals of Fluid Mechanics, fourth edition, John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-44250-X
• White,F.M., Fluid Mechanics, sixth edition, McGraw Hill, ISBN 978-0-07-128645-9
• Liepmann, H.W.; Roshko, A. (1993) [1957], Elements of gasdynamics, Courier Dover Publications, ISBN 0-486-41963-0