CONCEPTO DE AMORTIGUAMIENTO

En el mundo real esto no es posible. En todo proceso físico hay pérdidas por el motivo que sea, no existe el movimiento continuo (a excepción de las ideas de Einstein al respecto), y en este caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento vibratorio armónico simple:

El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son las fuerzas de rozamiento con fluídos (aire, agua...) y por ello la fórmula es la misma. c es un coeficiente de rozamiento viscoso.

F=c*v = c*x'

(cuando el cono está parado no se mueve, por lo que o no hay fuerza o está compensada), la ecuación se hace:

Para que resolver la ecuación característica sea más fácil, hacemos

y

tenemos:

La ecuación característica es:

Las raíces son:

(ec 1)

Esto muestrs tres casos posibles, en los que las raíces son diferentes, iguales o complejas. Estamos llegando a la compresión del fenómeno del amortiguamiento.

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TRES CASOS:

CASO 1

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MAYOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Por lo tanto,

... y tenemos dos raíces reales. La solución es

donde m1 y m2 son negativos. La gráfica de esto es una exponencial que decrece, y que se puede ver a la derecha:

El eje vertical corresponte a la posición del cono y el horizontal al tiempo. La masa tenderá a su posición de reposo cada vez más lentamente.

A este caso se le llama MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO

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CASO 2

Si las dos raíces m1 y m2 son iguales,

y

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Tenemos una raíz doble, m1=-a. La solución es

La gráfica de esto es como un lado de una campana de Gauss. La masa también tenderá a su posición de reposo cada vez más lentamente, pero la velocidad al principio crece lentamente.

Este es el caso del MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO. Su importancia radica en que es el estado límite entre el comportamiento anterior (sobreamortiguado) y el siguiente, el subamortiguado.

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CASO 3

En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Las raices que tenemos son complejas y conjugadas.

Para simplificar las ecuaciones, haremos:

Transformando la solución mediante la fórmula de Euler de las exponenciales de números complejos, tenemos una solución de la forma:

Aplicando las condiciones iniciales calculamos C1 y C2, y tendremos

Y con un último cambio,

tendremos la solución que nos indica cómo será el movimiento de una manera más sencilla que la anterior.

Es decir, es una onda senoidal con un desfase determinado, modulada por una exponencial que decrece con el tiempo y una constante.

La masa tenderá a su posición de reposo pero habrá la fuerza amortiguadora no es lo suficientemente fuerto como para frenerlo antes de que llegue al punto x=0 (punto de reposo). Como se puede ver a la derecha, se pasará del punto de reposo.Luego volverá en la otra direción, se pasará de nuevo del centro y volverá a pasarse cuando vuelva, cada vez la oscilación será menor, así hasta en infinito donde teóricamente se detendrá.

En la gráfica de la derecha se puede ver el movimiento un tanto exagerado (para lo que sería un altavoz), y la exponencial como módulo de la función coseno.

Este tipo de movimiento se llama MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO

En dos primeros casos el sistema resonante no llega a completar un sólo ciclo, por lo que no tiene sentido hablar de frecuencias, pero en este último caso, el sistema si tiene una frecuencia de resonancia que viene dada por alfa, el coeficiente que acompaña al tiempo en la función periódica coseno, que es:

Vemos como cuando la viscosidad del medio (amortiguamiento) se hace próximo a cero la fórmula tiende a la del caso donde no había amortiguamiento:

Es de imaginar también que cuanto menor es el amortiguamiento más se parecerá la última fórmula a una función coseno, es decir: la vibración durará más tiempo cuanto menos amortiguada esté.

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VIBRACIONES FORZADAS

Si añadimos una fuerza más al sistema anterior, tendremos algo más próximo a lo que sucede en un altavoz, ya que el altavoz lo que hace es eso exactamente, es el sistema resonante que hemos estudiado, pero además existe un motor magnético que genera una fuerza que desplazará el cono. Fe es la nueva fuerza añadida.

Podemos escribir la ecuación de esta forma, reuniendo todas las fuerzas presentes:

En el caso del altavoz, la fuerza de excitación es una suma de frecuencias puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda cosenoidal pura:

(ec2)

Como ya hemos resuelto la parte homogénea, aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados para hallar la resolución, que será alguna de las tres posibles soluciones anteriores (soluciones homogéneas) más una solución particular. Tomaremos como solución:

Sustituimos en (ec2) y obtenemos el sistema

de donde otenemos A y B, que son:

Es decir, nuestra solución particular es la siguiente:

Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:

y nos queda la siguiente solución particular:

Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no homogénea es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp), y que tenemos tres posibles soluciones homogéneas que dependen de los parámetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante elástica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado.

Sobreamortiguado:

Críticamente amortiguado:

Submortiguado:

En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la única necesidad de que exista un mínimo amortiguamiento, tenemos una parte que decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibración) y una parte que es constante en el tiempo, consecuencia de la vibración forzada. A la primera parte se la denomina transitoria y a la segunda estacionaria, ya que con el transcurso del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.

¿de qué nos sirve esto?

Sirve para interpretar la respuesta temporal del sistema: Los sistemas sobreamortiguados son los que mejores características temporales poseen, mientras que los sistemas subamortiguados son los que peor se comportan.

Por decirlo de alguna manera, los tiempos de establecimiento (subida y bajada completa) de la onda (pensando más bien en valor abosluto, quizás en un valor RMS) son menores en los sistemas

sobreamortiguados que en los subamortiguados. En la imagen de arriba a la derecha podemos ver la respuesta ante tres ciclos de onda de un sistema resonante críticamente amortiguado (por ejemplo: caja cerrada con Q=0,5, Bessel).

El tiempo de subida puede interpretarse como parte del comportamiento paso alto que tiene la onda, al final vemos que la onda desaparece dejando sólo una ligera sobreoscilación, que puede deberse a un error en la simulación.En la imagen central podemos ver un ejemplo de sistema subamortiguado, en el caso una caja cerrada con Q=0,707 (Butterworth). La respuesta es buena pero la sobreoscilación al final es mayor.

La última imagen no corresponde con lo estudiado porque se trata de una caja bass-freflex, que es un sistema resonante de 4º orden, no de 2º. Conocemos las ventajas de extensión de la respuesta de las BR, y también que se consigue a base de penalizar la respuesta temporal.

Aquí vemos el porqué. La respuesta es mala, con sobreoscilaciones al principio pero muy especialmente al final, y sin que se llegue a alcanzar el valor máximo que debía alcanzar.

Esto da una idea de que el orden también es un elemento tan importante como el coeficiente de amortiguamiento.

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RESONANCIA

Nos quedamos con la solución particular del apartado anterior, las vibraciones forzadas, que es la parte estacionaria.

De ella, una parte es periódica y otra no, es su coeficiente, y éste coeficiente depende del la frecuencia.

El módulo depende de las condiciones de masa (M), amortiguamiento (c) y la constante elástica (k), y por supuesto de la frecuencia y de F0.

Cuando c es muy pequeño hemos observado antes que la frecuencia de resonancia del sistema

  tiende a

 

, y la gráfica del coseno modulada por la exponencial decreciente tarda mucho en decrecer, para intervalos de tiempo razonablemente pequeños, el movimiento descrito con poco amortiguamiento se asemejará la un simple coseno, como si no existiese amortiguamiento.

Esto quiere decir que el sistema vibra con gran libertad a su frecuencia, pero ¿qué pasará si forzamos la vibración con una fuerza cosenoidal de frecuencia próxima a Fs?

Cuando se excita el sistema con una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia

En uno de los términos del denominador sucede lo siguiente:

Y como hemos dicho que c tiene un valor muy pequeño, el denominador entero tiende a cero, sólo pudría serlo si c fuese cero (pero entonces la ecuación sería diferente). Esto hace que se obtengan valores del módulo muy altos, y lo que sucede en la realidad es que la amplitud de la vibración es muy alta, tanto mayor como menor sea el amortiguamiento.

A este fenómeno que consiste en que a una frecuencia se obtienen amplitudes de vibración muy altas con muy poca fuerza se le denomina resonancia, y está presente en todos los sistemas resonantes por alto que sea su amortiguamiento.

En la gráfica de la derecha podemos ver una simulación

de un sistema resonante con amortiguaciones bajas sometido a un barrido de frecuencias. El eje Y marca la amplitud (1 metro en condiciones normales) y el eje x la frecuencia que se imprime al circuito

No es descabellado ver que se obienen amplitudes extremadamente grandes, 20 metros, pero se podían haber forzado más.

En el caso de altavoces es posible obtener ondas de salida que corresponden a valores varias veces mayores de lo que serían en otras condiciones, y como hemos visto en el caso anterior, se penaliza la respuesta temporal del sistema.

 

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ANALOGÍA CON LA ELECTRICIDAD

La ecuación de las vibraciones forzadas tiene una gran analogía con una ecuación que se encuentra en la resolución de sistemas eléctricos pasivos sencillos, la red RLC

Analizando el circuito, tenemos lo siguiente:

R: Resistencia L: Bobina (inductor) C: Condensador (capacitor) Fuente de fuerza electromotriz (voltaje)

Las fórmulas correspondientes son las siguientes:

Y sabemos por la 2ª ley de Kirchoff que la tensión producida por la fuente es igual a la suma de las caídas de tension en los demás elementos:

Por lo tanto, la solución es:

Esta ecuación por si sóla muestra una gran analogía con la ya conocida

, y en el caso de vibraciones forzadas

De esta manera podemos establecer la siguiente relación:

Masa M= Inductancia LViscosidad c= Resistencia R

Constante del muelle k= Inversa de la capacidad 1/CDesplazamiento x= Carga del condensador Q.

Esta herramienta permite trabajar independientemente con sistemas resonantes bien sean mecánicos o eléctricos, además de esto se pueden deducir conceptos muy interesantes, sobre todo el referido al amortiguamiento y al tipo de movimineto, dada la clara relación entre resistencia eléctrica R y el coeficiente de amortiguamiento c.

En los sistemas eléctricos de 2º orden se producen los mismos fenómenos. Examinamos a continuación el comportamiento ante pulsos cuadrados de un filtro de 2º orden de paso bajo:

A la derecha podemos observar un filtro de paso bajo de 2º orden con un comportamiento marcadamente subamortiguado. Superpuesta, la onda cuadrada de entrada.

Se supera la tensión de la onda de entrada, luego sacaremos una conclusión de esto.

Aqui se muestra el de Chebychev, un filtro con una Q mayor de lo habitual en altavoces (1) pero muy utilizado en otras disciplinas por motivos que también examinaremos a continuación.

Ahora vemos la respuesta ante la onda cuadrada de un filtro con Q=0,707, que da un comportamiento también subamortiguado pero con menos overshot que los anteriores.

Se trata de la configuración de Butterworth, sumamente extendido en la construcción de cajas acústicas por que es el que da la respuesta más plana. Luego lo veremos más en detalle.

Bessel, el que tiene la Q=0,5 y comportamiento críticamente amortiguado. Es la línea divisoria entre los sobreamortiguados y los subamortiguados.

Y para terminar, un filtro sobreamortiguado, en el que no hay ningún signo de overshot (sobreoscilación).

A priori el que mejor características tiene es éste, el sobreamortiguado, pero esto sólo se refiere a uno de los varios aspectos que posee un filtro, la respuesta temporal.

Esto no es nuevo, hemos comprobado antes que cuanto mayor es la amortiguación mejor es la respuesta temporal.

A la derecha se puede comparar la respuesta de todos los filtros superpuestos, junto a la onda de entrada.

... y para terminar, la respuesta de todos los filtros pero no superpuesta. Abajo, la onda de entrada.

Como hemos dicho antes, éste comportamiento es sólo uno de los aspectos del filtrado, pero quedan otros también muy importantes: la respuesta en frecuencia, la fase y el retardo de grupo.

Aquí está otro de los aspectos más importantes del filtrado, la respuesta en frecuencia. Se emplea un paso bajo de 2º orden a 1kHz, con las mismas características que los utilizados para la anterior simulación.

Con el punto de -3dB a una frecuencia fija se puede observar lo siguiente:

El que más filtra atenúa la banda eliminada es el subamortiguado, le siguen Chebychev, Butterworth, Bessel y por último, el que menos atenuación produce es el sobreamortiguado.

Y un fenómeno curioos, que hemos visto antes en los filtros subamortiguado, Chebychev y Butterworth, pero que ahora en esta última gráfica no sucede con el Butterworth: Los filtros con Q mayores producen valores de señal por encima de la entrada en frecuencias próximas al punto de -3dB... ¿porqué?

Por la resonancia. Los filtros con amortiguamientos bajos producen una cierta resonancia eléctrica que es lo que genera ese pico al final de la banda. Es exáctamente lo mismo que con sistemas mecánicos, cuando la amortiguación es baja el sistema tiene gran facilidad para vibrar a la frecuencia impresa, y alcanzan grandes amplitudes.

Y ahora, dada la analogía entre sistemas mecánicos y eléctricos... ¿sería posible modificar el amortiguamiento de un filtro? Efectivamente, si que se puede, y es tan simple como variar una simple resistencia. Es sencillo hacer la prueba: se requiere un altavoz, un filtro, micrófono y ruido blanco: A medida que se añaden resistencias en serie (se suman al valor de R) comenzará a aparecer un pico al final de la banda, y cada vez la caída es más abrupta. Si se ponen resistencias en paralelo, (disminuyen el valor de R), se comprobará cómo la caída será cada vez más gradual. Y paradójicamente la frecuencia de corte permanecerá prácticamente inalterada. Como hemos visto en la fórmula de la frecuencia de resonancia,

El coeficiente de viscosidad c (equivalente a resistencia eléctrica) es una parte de la ecuación, pero no la única.

Un aviso para los que quieran hacer la prueba: toda resonancia eléctrica tiene como consecuencia bruscas variaciones en la impedancia, y se pueden alcanzar valores muy bajos. De este mayor consumo de corriente es de donde sale la energía eléctrica que hace vibran con mayor amplitud el sistema resonante eléctrico.

Como ya hemos visto, esta resonancia empeora los parámetros temporales.

Hay otra forma de medir el empeoramiento de los parámetros temporales, es la fase, aunque se refiere más a nivel de una sóla frecuencia.

Y no hay sorpresas, los filtros de mayor amortiguamiento son los que producen variaciones de fase más leves, y los otros más bruscas.

También el retardo de grupo (nos muestra la variación de la fase frente a la frecuencia), confirma lo que ya sabíamos.

 

Respuestas Características de los Sistemas dinámicos

Hemos visto diversos modelos que parten desde fundamentos (ecuaciones de balance, p.e.) y que resultaron en ecuaciones diferenciales de primero o segundo orden.

A fin de obtener una visión general y, en lo posible, generar una concepción intuitiva del comportamiento dinámico de sistemas de procesos, se revisarán los comportamientos dinámicos de sistemas de primer y segundo orden, para luego generalizar a más altos órdenes.

Dinámica de Primer orden

Utilizando variables desviación, se obtienen ecuaciones diferenciales con valores iniciales nulos en todas las variables (en particular las de entrada y las de salida), así y(t)=0, f(t)=0 en t=0.

Un sistema de primer orden no es sino aquel cuyo modelo se expresa en UNA ecuación diferencial ordinaria (a pesar de llamarse "sistema") que tiene sólo la primera derivada de la variable de respuesta del sistema. Esta EDO puede ser escrita en términos clásicos, con coeficientes asignados a las variables de salida y de entrada (la entrada es la función que exita al sistema) y encontrar luego su "constante de tiempo" P y su "ganancia" KP. Utilizando los coeficientes "ai" y "bj" en la EDO, resulta:

NOTA: si a0=0,

conocido este último como proceso "puramente capacitivo".

El análisis de la respuesta dinámica de un sistema puramente capacitivo consiste en determinar como cambia y(t) con f(t). Por ejemplo, frente a un cambio escalón (cuya transformada es 1/s):

Es decir, un cambio escalón produce un incremento permanente en el tiempo (hasta infinito). Recibe, por eso, el nombre de "integrador puro". Se observa que un sistema capacitivo o integrador puro produciría serios problemas de comportamiento dinámico, comportándose como un sistema no autoregulado, que requiere un controlador. (Estanque con bomba de desplazamiento positivo en la salida).

VOLVIENDO AL TEMA CENTRAL:

En cambio, la respuesta dinámica de un sistema de primer orden, llamado también de respuesta exponencial, o autoregulado, se puede analizar frente a un cambio escalón (si bien es posible y deseable utilizar otras funciones de entrada, pero un escalón es suficiente, además de ser simple).

Obviamente, la respuesta a tiempo infinito es la misma amplitud "A" del escalón (porque la exponencial de menos infinito es cero). Además, como la respuesta final es

finita, se suele decir que es un proceso autoregulado, pues llega a un nuevo estado estacionario aún cuando no se tome acción alguna.

El gráfico de primer orden se desarrolló utilizando un tiempo adimensional, conformado por el tiempo real dividido por el tiempo de respuesta; el resultado es que consideramos el tiempo en términos de cuántos tiempos de respuesta han pasado, porque esa nomenclatura es universal para cualquier primer orden.

Similarmente, la amplitud se presenta en términos del valor de la respuesta dividido por el valor final (a tiempo infinito) porque esa respuesta adimensional es también universal para cualquier primer orden.

La pendiente del gráfico adimensional en tiempo cero es 1,0 (es decir, la curva trazada desde 0,0 siguiendo la pendiente llegaría a 1,1). ver gráfica superior

Se puede observar que SIEMPRE la respuesta será de un 63,2% en p unidades de tiempo; de 86,5% en 2 p; de 95% en 3 p; de 98% en 4 p, etc.

Habitualmente se trabaja con parámetros constantes. Se debe observar, sin embargo, que los parámetros SON una FUNCIÓN de la operación física modelada de modo que podrían no ser constantes.

Por ejemplo, en el caso ya visto del estanque de altura variable con salida regulada por pérdida de carga, se linealizó la dependencia del flujo de salida con la raíz de la altura de carga y se obtuvo una expresión lineal, conservando el primer término de la aproximación de Taylor:

entonces, tanto la ganancia de estado estacionario como el tempo de respuesta de primer orden dependen de la altura en la que se desarrolló la aproximación lineal de Taylor... pero he.e. depende del momento (tiempo) que se elija para definir el “e.e.” que se usa para basar el desarrollo de la aproximación lineal (porque es LA altura de aguas de estanque en ese momento)!!!

Segundo Orden

Siguiendo la misma nomenclatura utilizada recién para la EDO de primer orden, es posible escribir la ecuación de segundo orden en forma estándar para identificar términos relacionados con la ganancia, con el tiempo de respuesta y con el coeficiente de amortiguación de la ecuación:

Puesto en la forma canónica, es el período natural de oscilación; es el coeficiente de amortiguación y Kp es la ganancia de estado estacionario.

Si se utilizan, nuevamente, variables desviación (para que los valores iniciales sean cero, es decir y(t)=0, dy/dt=0 para t=0) entonces

En esta expresión no se puede tomar transformada inversa sin conocer el término dentro de la raíz. Se pueden distinguir tres casos, si

> 1, dos polos reales distintos

= 1, polo doble real

< 1, dos polos complejos conjugados

Respuesta Sobreamortiguada, 1

en caso que existan dos polos reales, mediante expansión en fracciones parciales y transformada inversa para un cambio escalón unitario:

Resulta aparente que la forma de la respuesta se asemeja a una de primer orden pero con una cierta demora en el arranque (la respuesta de primer orden arranca inmediatamente, produciendo incluso una discontinuidad en 0+).

El eje vertical (amplitud) del gráfico anterior se obtiene tomado la respuesta dividida por la magnitud del escalón (si no fuese unitario) y dividido por la ganancia del proceso. El eje tiempo se obtiene dividiendo el tiempo real por el tiempo de respuesta del proceso.

Respuesta críticamente amortiguada,=1

En este caso, la transformada inversa de la respuesta (y(s)) para un cambio escalón unitario arroja la solución para el dominio del tiempo:

cuya representación gráfica es prácticamente idéntica a la indicada en la gráfica anterior para prácticamente 1. De hecho, es una buena idea que el estudiante verifique que la solución para mayor que 1 tiende a la solución dada para =1, al tomar límites.

El estudiante observará que la respuesta críticamente amortiguada es la más rápida respuesta posible de un sistema de segundo orden que no oscile.

Respuesta Subamortiguada, <1

En este caso, los polos de la función de transferencia son un número complejo y su conjugado. La transformada inversa arroja:

que da origen a soluciones oscilatorias, con frecuencia y ángulo de fase determinados según se indicó en la ecuación.

En la gráfica se observa el comportamiento general, según cambia el coeficiente de amortiguamiento (). El estudiante podrá observar las siguientes reglas generales:

1. Las respuestas subamortiguadas son más rápidas, en su arranque a tiempo 0+, que todas las otras formas de respuesta de segundo orden.

2. Aún cuando la respuesta parte rápido y llega pronto a su valor final, luego sigue creciendo y oscila con una amplitud que decrece en el tiempo.

3. El comportamiento oscilatorio es tan pronunciado como pequeño sea el coeficiente de amortiguamiento.

Es muy habitual encontrar este tipo de respuesta en procesos químicos controlados... no porque las unidades de proceso respondan de este modo sino que, más bien, porque los controladores los ajustamos para que respondan rápido.

En la práctica de procesos no se suele describir el comportamiento en términos de la ganancia, el tiempo de respuesta o el coeficiente de amortiguación; estos parámetros pertenecen al ámbito de los ingenieros dedicados al control de procesos y no a su operación. Así, es útil describir el comportamiento subamortiguado en términos más empíricos y gráficos.

Al igual que para sistemas de primer orden, la respuesta del sistema a un cambio en sus entradas (entrada o perturbación) después de un largo tiempo (infinito, en realidad) llega a un nuevo estado estacionario. En este caso, la tendencia hacia el valor final podría corresponder a una oscilación amortiguada o a una tendencia exponencial. En cualquiera de estos casos, la ganancia estacionaria del proceso estará dada, como antes, por la razón entre la magnitud del escalón aplicado y la magnitud del cambio observado en la respuesta:

donde se ha denotado por "u(t)" la entrada y por "y(t)" la respuesta.

Los sistemas de segundo orden en todo caso, presentan características nuevas, respecto de los de primer orden. En particular, pueden oscilar (o no) amortiguadamente.

Los sistemas de alto orden que convergen exponencialmente a un nuevo estado estacionario se denominarán sistemas sobre amortiguados. El caso más típico resulta de sistemas en que el segundo (o mayor) orden se produce por la interconexión en serie de dos sistemas de primer orden. Habitualmente es posible (y útil) aproximar la respuesta sobre amortiguada de segundo orden a un modelo de primer orden, pero con retardo.

Cuando la respuesta de segundo orden corresponde a sistemas críticamente amortiguados ( se obtiene la más rápida respuesta no oscilatoria del sistema. En este caso, según se puede observar en la gráfica de respuestas de segundo orden, la llegada al valor final es más rápida que para los sistemas sobre amortiguados.

Cuando la respuesta es oscilatoria ( <1), se dice que el sistema está sub amortiguado. La amplitud de la oscilación depende de cuan menor que 1 sea el coeficiente de amortiguación. En este caso es posible caracterizar la oscilación en términos de su evidencia visual (aunque realmente deben determinarse por ajuste de funciones), los parámetros característicos de este segundo orden. Se habla, entonces, de:

excedente de respuesta (cuanto más allá del valor final llega la primera oscilación); este excedente, definido como A/B en la gráfica, es una función del propio coeficiente de amortiguamiento (de modo que permite su cálculo) según:

la tasa de decaimiento; refleja cuan rápido se extinguen las oscilaciones; se cuantifica mediante la razón entre dos picos consecutivos de la respuesta oscilatoria (C/A) y es, también, una función del coeficiente de decaimiento:

el período de oscilación está dado por el tiempo transcurrido entre dos picos (o cualquier otro punto) suscesivos de la respuesta oscilatoria, que en la gráfica se ha representado por "T". Por otra parte, la frecuencia de oscilación de una respuesta sub amortiguada está dado por:

Es también útil notar que si no hay amortiguación (x =0), el sistema oscilará permanentemente después de una excitación escalón. Se trata de un sistema oscilante no amortiguado.Tales sistemas oscilan con su frecuencia natural, dada por n=1/ , que es una propiedad del sistema (puesto que el tiempo de respuesta lo es).

El tiempo de respuesta de un sistema sub amortiguado caracteriza el tiempo que toma al sistema para llegar a su nuevo estado estacionario. Se suele definir que el tiempo de respuesta será el tiempo necesario para que el sistema llegue a un punto en que la amplitud de la oscilación sea un 5% del valor final (en variable desviación).

El tiempo de arranque caracteriza la velocidad con que responde un sistema sub amortiguado. Se cauntifica por el tiempo que toma al sistema llegar por primera vez al valor final.

Todos estos conceptos se han capturado en la gráfica de características de las respuestas sub amortiguadas.

Especificaciones del transitorio

Las especificaciones del transitorio solo tienen sentido para los sistemas Subamortiguados, presentaremos primero la gráfica que seguiremos para la explicación y seguidamente pasaremos a definir cada termino.

Para comenzar hay que decir que la referencia es una entrada en escalón de una unidad que se ve representada en color cian.

Tiempo de subida: Es el tiempo necesario para que la salida del sistema alcance un determinado porcentaje del valor final de la referencia. Si no se especifica dicho porcentaje se entiende que se medirá hasta que alcance el 100% del valor final. Otra forma de establecer el tiempo de subida es mediante una horquilla de valores, es decir, medir el tiempo que trascurre desde un porcentaje inicial hasta uno final, en nuestra gráfica el tiempo de subida esta marcado con líneas rojas, se denomina ts.

Sobreoscilación: Se define como la amplitud de la primera oscilación en porcentaje sobre el valor final de referencia, en nuestra gráfica se ve representada por las líneas verdes y se denomina SO.

Tiempo de pico: Es el instante de tiempo en el que se produce la primera sobreoscilación en nuestro dibujo se ve representado mediante líneas azules y se denomina tp.

Tiempo de establecimiento: Se define como el tiempo que tarda la salida del sistema en establecerse en una franja alrededor del valor final, se toman dos tiempos de establecimiento, al ± 2% y al ± 5%

Los cuatro términos deben de ser lo menor posible para que el sistema sea más eficiente.

Si la gráfica se ajusta a la formula genérica de un sistema de segundo orden podemos calcular el valor de todos los términos anteriormente comentados de forma analítica utilizando las siguientes formulas.

donde:

los siguientes parámetros:

Sobreimpulso máximo (Mp)

Tiempo de establecimiento (ts)

Tiempo de crecimiento (tr)

Tiempo de pico (tp)

Tiempo de retardo (td)

Se pretende hallar la función de transferencia

Tiempo de pico: Tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobreimpulso.

Sobreimpulso máximo: El valor máximo de la respuesta medido desde la unidad.

iempo de retardo: Lo que tarda el sistema en alcanzar por primera vez el 50% de su valor final.