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Leon 1: BUT ET METHODES DE LA RDMI But de la RdM

Cest une science dont lobjet est de dterminer les dimensions dun lment dune construction de telle sorte quil soit capable de rsister dans les meilleures conditions de scurit et dconomie, aux efforts quil est cens recevoir compte tenu de la fonction quil possde dans la construction.

Cest une science qui sappuie sur la statique et la complte:

la statique sintresse aux forces extrieures sollicitant un solide

la R.d.M. va plus loin et soccupe des forces intrieures et des dformations rsultant de lapplication sur le solide tudi dactions extrieures.

Lors de ltude dune construction (btiment, ouvrage dart, ), la R.d.M. intervient trois niveaux:

stabilit: chaque lment doit tre en quilibre. Lensemble de la construction doit tre galement en quilibre (stabilit densemble)

rsistance: chaque lment de la construction doit pouvoir supporter les charges prvues sans risque de rupture

dformation: les lments de la construction doivent avoir une rigidit suffisante de faon supporter les charges sans dformation excessive.

La R.d.M permet de traiter les deux problmes suivants:

le dimensionnement:

Dterminer les dimensions dune pice de telle sorte quen tout point de celle-ci, les contraintes (forces intrieures) et dformations produites par les charges quelle est cense recevoir, restent dans des limites conformes au rglement spcifique du matriau utilis (BAEL)

la vrification:

Connaissant les dimensions de la pice ainsi que les charges qui lui sont appliques, sassurer quen tout point, les contraintes et les dformations restent infrieures aux limites fixes par les diffrents rglements.

II Les mthodes de la RDM

La RDM comporte deux parties distinctes:

ltude des proprits mcaniques des matriaux rels (et des modles)

les mthodes de calcul des contraintes et des dformations.

Les mthodes de calcul de la RDM (classique( utilisant des hypothses simplificatrices (hypothses fondamentales de la RDM) facilitant les calculs tout en garantissant une prcision suffisante.

Cest ainsi que lhypothse que le matriau utilis est (lastique( se vrifie tout fait pour lacier dans son domaine courant dutilisation.

Les constructions mtalliques font donc appel , dans leur tude, de nombreux rsultats directs de RDM.

Par contre, le bton arm prsente un caractre htrogne et discontinu (fissuration) sloignant ainsi des hypothses habituelles de la RDM.

Il ncessite alors lemploi de thories spcifiques sous tendues par de nombreux essais et expriences et donnant lieu des rgles particulires (BAEL).

III Forces intrieures quilibre lastique

Considrons un corps solide initialement au repos. Entre les diverses particules du solide sexercent des actions, des forces molculaires ou forces de cohsion. Chaque particule est en quilibre sous leffet des forces de cohsion qui lui sont transmises par les particules voisines.

Toutes les forces sont dailleurs gales et opposes. Elles se dtruisent donc deux deux et ninterviennent pas dans lquilibre statique de la pice.

Si nous appliquons une force extrieure P en un point A du corps, son quilibre initial est rompu et la particule A ne peut rester au repos, elle se dplace.

Les particules voisines de A se dplacent leur tour et le corps se dforme par propagation de londe de mouvement.

Mais, cette onde va en samortissant au fur et mesure quon sloigne du point A. par raction, les diverses particules tendent sopposer aux dplacements qui leur sont opposs: elles dveloppent cet effet des forces intrieures qui augmentent en mme temps que les dformations.

Au bout dun temps trs court, ces forces intrieures sont devenues assez importantes pour arrter la dformation du corps. Celui-ci atteint un nouvel tat dquilibre, que lon appelle lquilibre lastique qui caractrise ltat de dformation du corps.

IV Notion de contrainte

On appelle contrainte (ou taux de travail) au point A, le quotient de la force lastique df par llment daire d( sur lequel elle agit;

La contrainte est en somme la force lastique par unit de surface au point A.

df

C = (( d(on dfinit de la mme manire au point A une contrainte normale

dfn

( = (( d(Et une contrainte tangentielle

dft

= (( d(

V Equations dquarrissage

Ces quations ont pour but de permettre de calculer lintensit des forces lastiques, ou ce qui revient au mme, la grandeur des contraintes aux diffrents points de la pice.

A lquilibre statique du tronon de gauche sous leffet des forces extrieures appliques ce tronon et des forces lastiques, nous avons:

N + (( d(T + (( d(M + ( ( y d( = 0

Leon 2: Hypothses de calcul en R.D.M.

I. HYPOTHESES FONDAMENTALESLes hypothses de la rsistance des matriaux, dans ce cours, sont les suivantes:

( Les matriaux sont homognes et isotropes;

( Il ny a pas de gauchissement des sectionsdroites: les sectionsdroites planes et perpendiculaires la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires la ligne moyenne aprs dformation;

( Toutes les forces extrieures exerces sur la poutre sont contenus dans un plan de symtrie;

( On suppose que les dformations restent faibles par rapport aux dimensions de la poutre.

ii. Hypotheses generales

1. Hypothses sur les matriaux :

Lhomognit: on admet que les matriaux ont les mmes proprits mcaniques en tous points ( matriaux parfaits sans dfauts). LIsotropie: on admet que les matriaux ont, en un mme points, le mme comportement dans toutes les directions (valable uniquement pour les matriaux non fibrs: hypothse non valable pour le bois par exemple).2. Hypothses sur les forces extrieures :

Plan de symtrie: Toutes les forces extrieures sont contenues dans le plan de symtrie de la poutre ou alors disposes symtriquement par rapport ce plan. Types dactions mcaniques extrieures: Deux types dactions mcaniques peuvent sexercer sur la poutre:

- Charges concentres: forces ou moments

- Charges rparties.

3. Hypothses sur les dformations :

Hypothse de Navier et Bernoulli: Les sections planes et perpendiculaires la ligne moyenne (section droite) avant dformation, restent planes et perpendiculaires la ligne moyenne aprs dformations. Amplitude des dformations: On se place toujours dans le cas de petites dformations (les dformations restent faibles par rapport aux dimensions de la poutre). On peut donc admettre que les forces extrieures conservent une direction fixe avant et aprs dformation.

III. COUPURES DANS UNE POUTREAfin de dterminer les efforts lintrieur dune poutre (efforts de cohsions), il est ncessaire de raliser sur cette poutre une coupure fictive par un plan (P) perpendiculaire la ligne moyenne. La poutre est alors divise en deux parties appeles Tronons. 1. Efforts de cohsions (Torseur de cohsion):

Les actions mcaniques que la partie de droite exerce sur la partie de gauche au niveau de la section droite S fictive, apparaissent comme tant des actions extrieures et peuvent tre modlises par un torseur rduit en un point G, appel Torseur de cohsion.

En projetant sur chacun des axes du repre R, on obtient les composantes suivantes:

2. Relation entre actions extrieures et efforts de cohsions:

Cette relation sobtient en appliquant le principe fondamental de la statique. La plupart des ouvrages de mcaniques donnent des relations toutes faites qui ne sont en ralit valables que pour un repre gnral et ceci est source derreurs frquentes. Le torseur des efforts de cohsion scrit toujours dans un repre local qui est perpendiculaire la coupure fictive!!Isolons le tronon de gauche.Isolons le tronon de droite.

Dans ce cas le problme est simple car le repre gnral R et le repre local RG sont quivalents (= et =) et on peut crire le PFS:

+=

= -

Dans ce cas les repres ne sont plus quivalents!! (= -, = et = -). On applique le PFS dans le repre local!!

+=

= -

Le torseur de cohsion permet de dterminer la sollicitation dans la poutre. Le type de sollicitation permet de dterminer la contrainte dans la poutre et de la dimensionner. Leon 3 : NOTIONS DE POUTREI DfinitionLes notions abordes dans ce cours ne sont valables que pour des solides ayant une forme de poutre;On appelle poutre, un solide gnr par une section droite (S) dont le centre de gravit dcrit une courbe; la section restant perpendiculaire la courbe en (G). On appellera aussi poutre toute pice mcanique sur laquelle des calculs de R.d.M pourront tre effectus et qui rpond aux critres suivants: - Une poutre est un solide long par rapport aux dimensions des sections droites. (L>10D pour avoir un rsultat prcis)- La poutre doit comporter un plan de symtrie longitudinal not (().- Les sections droites (S) doivent rester constantes ou ne varier que progressivement entre A et B (pas de variation brusque de section).- La Ligne moyenne ou fibre neutre est le lieu des centres de gravit de toutes les sections droites du solide (A, G, B,.)

cest donc un solide pour lequel:

( il existe une ligne moyenne, continue, passant par les barycentres des sections du solide;

( la longueur L est au moins 4 5 fois suprieure au diamtre D;

( il ny a pas de brusque variation de section (trous, paulements);

( le solide admet un seul et mme plan de symtrie pour les charges et la gomtrie.

Exemples de poutres:

Exemples de poutres ne satisfaisant pas lhypothse de symtrie:

Remarque:- La fibre neutre est la seule ne pas subir de variation de longueur aprs dformation.

Exemples de poutres

Ces lments ne peuvent pas tre pris comme des poutres

II DIFFERENTS TYPES DAPPUIS DE POUTRES

1. Dfinition des appuis ou liaisons

2. Diffrents types dappuis ou liaisons

3. Liaisons parfaitesDans le cas dune structure plane charge dans son plan, on distingue trois types de "liaison parfaite"Dsignationschmaractionsinconnues

Appui simple01

- RAy

Appui articul02

RAx RAy

Appui encastr03

RAX RAY MA

d

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A

G

y

x

d

y

x

- direction Ox

0

x

0

y

direction variable

2 composantes / Ox

/ Oy

A

G

EMBED Word.Picture.8

direction variable

moment dencastrement

2 composantes / Ox

/ Oy

0

x

y

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

G

A

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

dfn = d

A

df = c d

dft = d

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

y

dft

dfn

df

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_1084107298.doc

D

A

x

x

x

G

B

Plan de symtrie de la

poutre

L

Section droite

Ligne moyenne Lm

d