MINISTERIO DE EDUCACION

COLEGIO PABLO EMILIO CORSEN

MODULO DE X° CIENCIA E INFORMÁTICA

Profesora: Carmen I. Ureña G.

Nombre del Estudiante: ________________________________

TEMA: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

SUBTEMAS: Conceptos, Propiedades, simplificacion y operaciones con potencias y radicación. AREA:_Álgebra

OBJETIVO DE APRENDIZAJE Resuelve problemas cotidianos que involucran conceptos básicos, propiedades y

operaciones algebraicas de potenciación y radicación. INDICADORES DE LOGROS: Conceptuales Simplifica expresiones aritméticas y algebraicas, aplicando correctamente las propiedades de las potencias. Procedimentales Determina correctamente los valores faltantes de expresiones algebraicas. Actitudinales: Resuelve situaciones reales, aplicando las propiedades de las potencias, con seguridad

CONTENIDO

Tema 1: Potenciación y Radicación.

Conceptos.

Simplificación de radicales

Adición y sustracción de radicales semejantes y no semejantes.

Multiplicación y división con radicales.

Potenciación y radicación con radicales.

Racionalización.

Correo: carmenurena12@hotmail.com

“Queridos estudiantes, el siguiente contenido tiene como finalidad utilizar las expresiones algebraicas, en

operaciones matemáticas, que serán útil más adelante en el bachiller de ciencia e informática.” Ojalá pronto

termine por lo que estamos pasando a nivel mundial, y se retomen los contenidos para mejor compresión y lógica.

DESARROLLO

CONCEPTO DE POTENCIACIÓN Y SUS PROPIEDADES “Lectura”

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe

𝑎𝑛y se lee usualmente como «a elevado a n» ó «a elevado a la n» potencia. En la nomenclatura de la potenciación

se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina

la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

Es decir que:

Donde "a" se llama base y "n" se llama exponente n veces a como factor. El factor que se repite se llama base. El

número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la

potencia 26 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64

porque el 2 se multiplica por sí mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Las siguientes son propiedades de la potencia de números reales.

PROPIEDADES.

1. EXPONENTE CERO

105 :Ejemplo 10 x

2. EXPONENTE NEGATIVO

8

18- x:Ejemplo 1

xmx

mx

3. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES

2210751075 x:Ejemplo xxxxpnm

xp

xnxmx

4. DIVISIÓN DE BASES IGUALES

15510510

5

10x :Ejemplo xxx

x

nmxnx

mx

5. MULTIPLICACION DE BASES DIFERENTES

2744343*837*323

7*2 :Ejemplo ** mymxm

yx

6. DIVISON DE BASES DIFERENTES

81

16

43

424

3

2 :Ejemplo

my

mxm

y

x

7. DIVISIÓN DE FRACCIONES CON EXPONENTE NEGATIVO

16

81

42

434

2

34

3

2 :Ejemplo

m

x

ym

y

x

8. POTENCIA DE UNA POTENCIA

24

1244324

32x :Ejemplo x

xxmnxnmx

EJERCICIO RESUELTO 1

EJERCICIO RESUELTO 2

PRÁCTICA No. 1

NOTA: los problemas se seleccionarán en el salón de clase.

Calcula las siguientes potencias utilizando las propiedades:

1. (−4)4 = 7. 𝑎5. 𝑎−8. 𝑎5 =

2. (−9)3 = 8. (𝑥𝑦)5. 𝑥𝑦15. 𝑥𝑦−12 =

3. (−2

7)

4

= 9. (−3)−6 ÷ (−3)4=

4. 26 + 43 + 82 = 10. (−3)−6 =

5. 50 + 41 + 22 + 42 = 11. [𝑥3. (−2𝑥2)2]2=

6. 4−1. 4 − 40 + 1 − 320 12. 𝑎4 ÷ 𝑎6 =

RADICACIÓN Y SUS PROPIEDADES

La radicación se define como la operación inversa de la potenciación, y consiste en que, dados dos números,

llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando RECUERDA

Propiedades de la Radicación

Una potencia de exponte racional, como 91

2, se puede expresar utilizando el símbolo √.

Potencia de la forma: 𝒂𝟏

𝒏

Si se tiene una potencia de exponente racional de forma 𝒂𝟏

𝒏, con 𝒏 ∈ 𝚴 se escribe 𝑎1

𝑛 = √𝑎𝑛

. Se lee “raíz enésima

de a”.

Potencia de la forma 𝒂𝒎

𝒏

Si se tiene una potencia racional de la forma 𝑎1

𝑛 , con n ∈ N, m ∈ Z y n diferente de , se escribe 𝒂𝟏

𝒏 = √𝒂𝒎𝒏 =

( √𝒂𝒏

)𝒎

.

El resultado de una radicación se comprueba mediante una potenciación porque son operaciones inversas.

Ejemplos

Expresar las potencias como radicales.

1. (3𝑚)1

4 = √3𝑚4

2. 3842

3 = √38423 = (√384

3)

2

3. (2𝑥)−1

5 = 1

(2𝑥)15

= 1

√2𝑥5

4. (3𝑝 + 2)−3

5 = 1

(3𝑝+2)35

= 1

√(3𝑝+2)35

Practica en clase.

Expresa cada potencia como una raíz Expresa cada raíz como una potencia

1. 𝟓𝟏

𝟑 = 1. √169 =

2. 𝒂𝟏

𝟐 = 2. √164

=

1. (𝒎)𝟓

𝟒 = 3. √𝑚3

=

2. (𝒙𝟑)𝟐

𝟑 = 4. √64

729

6 =

3. (𝟑𝒙𝟐)−𝟑

𝟒 = 5. √0,25 =

Propiedades de los radicales en IR

En el siguiente cuadro se enuncian propiedades de los radicales.

PRÁCTICA No. 2

Escribe una expresión equivalente a la expresión dada, usado las propiedades de las raíces.

1) √16𝑥. 81𝑏54 =

2) √32𝑎7. 5𝑐45 =

3) √𝑚2. 𝑘53 =

4) √𝑛3

𝑝

3 =

5) √5𝑥9 ÷ 3𝑧3 =

Propiedad de las raíces Ejemplos Raíz de un producto: aquí

se indica la raíz de cada

factor por separado, luego

se multiplican esas raíces.

√𝐚. 𝐛𝐧

= √𝐚𝐧

. √𝐧𝐧

√e2. 27 = √𝑒2. √27

Raíz de un cociente: aquí

se indica la raíz del

dividendo y la del divisor

por separado. Luego se

dividen.

√𝑎 ÷ 𝑏 𝑛

= √𝑎𝑛

÷ √𝑏𝑛

, 𝑏 ≠ 0 1) √𝑥4 ÷ 7𝑦53= √𝑥43

÷ √7𝑦53

2) √𝑤5

𝑛4

4=

√𝑤54

√𝑛44

Potencia de una raíz: Para

elevar una raíz a una

potencia se eleva el

subradical de la raíz al

exponente de la potencia.

( √𝑎𝑛

)𝑚

= √𝑎𝑚𝑛 (√𝑟

4)

6= √𝑟64

Raíz de una raíz: se expresa

la raíz del radical que tiene

como índice el producto de

los dos radicales. Esta

propiedad se usa

similarmente en

expresiones con más de dos

radicales.

√ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎𝑛.𝑚

√√𝑝𝑞74= √𝑝𝑞4.7 = √𝑝𝑞28

6) (√𝑚𝑛2

)3=

7) (√𝑦4 )3=

8) [(√𝑓𝑔3 )3

]5

=

9) √√2𝑥 2

=

10) √√√3𝑡 =

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: En una expresión radical completamente simplificada el subradical no

debe tener factores con exponentes iguales o mayores que el índice del radical. Para lograr esto, algunas veces es

necesario extraer factores del subradical, así:

Simplifica cada expresión mediante la extracción de factores:

a)

b)

1. Si el exponente del subradical es mayor que el índice, se

aplica la propiedad de la multiplicación de potencia de

igual base.

2. Se extraen los factores cuyos exponentes son divisibles

por el índice de la raíz.

3. Si se puede, se dividen el índice y el exponente por el

máximo divisor común de ambos.

=2𝑥𝑦2 √2𝑥24

−7√𝑥156=

−7√𝑥12. 𝑥36=

−7𝑥2 √𝑥36 =

−7𝑥2 √𝑥(3÷3)(6÷3)

=

−7𝑥2√𝑥

1. Se aplica la propiedad de la

multiplicación de potencias de

igual base,

2. Se extraen factores

3. Se dividen el índice y los

exponentes del subradical por el

máximo divisor común de ellos.

√12𝑎5 =

√12𝑎5 = √22. 3. 𝑎4. 𝑎 =

2. 𝑎2√3𝑎 =

2𝑎2√3𝑎

1. Se descomponen las cantidades

subradical

2. Se aplica la propiedad de

multiplicación de potencias de

igual base.

3. Se extraen los factores.

PRÁCTICA No. 3

Simplifica cada expresión mediante el procedimiento de extracción de factores del sub radical.

√16𝑚4 =__________________________

√16𝑥33 =___________________________

√27𝑝53 =___________________________

−2√32𝑚114 =________________________

Escribe la respuesta utilizando las propiedades de la radicación:

1. √𝑥9

2. √√𝑎𝑏333

3. (√𝑥𝑧4

)7

4. √45𝑎2 ÷ 81𝑛2

5. √𝑚5. 𝑝6. 𝑘5

6. √𝑥73

Observa el siguiente link https://www.youtube.com/watch?v=duwojO7exaY para que te puedas guiar mejor.