Transcript

26/09/15  

1  

 Históricamente,   el   principio   de   mínima   acción   postulaba   que,   para   sistemas   de   la  mecánica  clásica,  la  evolución  temporal  de  todo  sistema  4sico  se  daba  de  tal  manera  que  una  can5dad  llamada  "acción"  tendía  a  ser  la  mínima  posible.  Posteriormente  se  generalizó  el  principio  a   sistemas   con5nuos  y   cuyas  magnitudes  básicas   no   sólo   dependía   de   una   variable   temporal,   sino   también   de   las   otras  coordenadas  espacio-­‐temporales.      Además  la  formulación  relaEvista  del  principio  mostró  que  la  condición  de  mínimo  era  demasiado   restric5va,   y  que  debía   ser   subs5tuida  por   la  condición   un  poco  más  general  de  que  la  trayectoria  debía  ser  un  punto  crí5co  o  estacionario  (es  decir,  un  mínimo  o  un  máximo,  pero  no  un  valor  no  extremal).    La   primera   formulación   del   principio   se   debe   a   Pierre-­‐Louis   Moreau   de  Maupertuis   (1744),   que   dijo   que   “la   naturaleza   es   económica   en   todas   sus  acciones”.    

En   la   imagen   aparecen   una   carga   posiEva   fija  (en  rojo)  y  un  electrón  libre  (en  azul).  De  todas  las   trayectorias   posibles,   ¿cuál   escogerá   el  electrón?   El   principio   de   acción   mínima  determina  que  la  trayectoria  1  será  la  elegida.  

26/09/15  

2  

   D'Alembert  había  formulado  un  año  antes  el  principio  de  d'Alembert  que  generalizaba  las  leyes  de  Newton.  Entre  los  que  desarrollaron  la  idea  se  incluyen  Euler  y  Leibniz.    Debe  ser  dicho  que,  desde  el  punto  de  vista  del  cálculo  de  variaciones,  hablar  de  principio  de  acción  estacionaria  es  más  exacto.        Anteriormente,  Pierre  de  Fermat  había  introducido  la  idea  de  que  los  rayos  de  la  luz,  en  situaciones  ópEcas  tales  como  la  refracción  y  la  reflexión,  seguían  un  principio  de  menor  5empo  (ver  principio  de  Fermat).  

El   principio   de   menor   acción   condujo   al   desarrollo   de   las   formulaciones  lagrangiana  y  hamiltoniana  de  la  mecánica  clásica.    

Aunque   sean   al   principio   más   di4ciles   de   captar,   Eenen   la   ventaja   que   su  cosmovisión  es  más  transferible  a  los  marcos  de  la  Teoría  de  la  RelaAvidad  y  la  mecánica   cuánAca   que   la   de   las   leyes   de  Newton.   Esto   ha   hecho   pensar   a  alguna  gente,  que  este  principio  es  un  principio  "profundo"  de  la  Esica.  

NESTOR  ALONSO  ARIAS  HERNANDEZ  -­‐DPTO.  FISICA  Y  GEOLOGIA  –    UNIVERSIDAD  DE  PAMPLONA  

“De  todos  los  posible  caminos  a  lo  largo  de  la  cual  un  sistema  dinámico  puede  moverse  desde  un  punto  a  otro  dentro  de  un  intervalo  de  Aempo  especificado  (consistente  con  cualquier  ligadura),  el  camino  seguido  es  aquel  que  minimiza  la  integral  de  Aempo  de  la  diferencia  entre  la  energía  cinéAca  y  la  potencial”.  En  términos  del  cálculo  de  variaciones,  el  principio  de  Hamilton  

δ!

"#

$

%&= 0dt

t1

t2

∫ T −U( )

Se  requiere  que                                                                          sea    un  extremum  (máximo  o  mínimo)        T −U( )t1

t2

∫ dt

En  coordenadas  cartesianas  

La  Energía  cinéEca  depende     La  Energía  Potencial  depende  de  

ENERGÍA  CINÉTICA  

ENERGÍA  POTENCIAL  

T xi( ) U xi( )xi xi

Si  realizamos  la  diferencia  de  estas  canEdades,  a  la  que  llamaremos  

L = T −U =L

L ( )xi, xi = L xi, xi;t( )

en  un  campo  conservaEvo  

26/09/15   4  

26/09/15  

3  

NESTOR  ALONSO  ARIAS  HERNANDEZ  -­‐DPTO.  FISICA  Y  GEOLOGIA  -­‐  UNIVERSIDAD  

DE  PAMPLONA  

Por  lo  tanto,  podemos  escribir  

δ L xi, x;t( )t1

t2

∫ dt = 0

La  Función                  que    aparece  en  la  integral    puede  ser  idenEficada  como  en  la  integral  variacional  

L

δ f yi (x), y 'i (x); x{ }dxx1

x2

∫Si  realizamos  la  transformación  

x ⇒yi (x) ⇒y 'i (x) ⇒

txi (t)xi (t)

f yi, y 'i; x{ } ⇒ L xi, xi( ) = L xi, xi;t( )Por  tanto,  la  ecuación  de  EULER-­‐LAGRANGE  ,  correspondiente  a:  

δ L xi, x;t( )t1

t2

∫ dt = 0∂L∂xi

−ddt∂L∂xi

= 0 para i=1,2,3,

26/09/15   5  

NESTOR  ALONSO  ARIAS  HERNANDEZ  -­‐DPTO.  FISICA  Y  GEOLOGIA  -­‐  UNIVERSIDAD  

DE  PAMPLONA  

Donde                  es  conocida  como  la      función  de  Lagrange      o      Lagrangiano  L

EJEMPLO:   OSCILADOR  ARMONICO  UNIDIMENSIONAL  

L = T −U =12m x2 − 1

2k x2 ⇒ LAGRANGIANO  

Teniendo  en  cuenta  la  ecuación  de  Lagrange  del  Movimiento  

∂L∂x

−ddt∂L∂x

= 0

Calculando  ∂L∂x

=∂∂x

12m x2 − 1

2k x2

#

$%

&

'(= −k x

∂L∂x

=∂∂x

12m x2 − 1

2k x2

#

$%

&

'(= m x

ddt∂L∂x

=ddt

∂∂x(m x) = m x

−kx −mx = 0mx + kx = 0

x + kmx = 0

x +wo2x = 0donde   wo

2 =km

L xi, xi( )⇒

26/09/15   6  

⇒ L = L xi, xi;t( )

26/09/15  

4  

x +wo2x = 0 wo

2 =km

La  solución  de  la  ecuación  diferencial    

con   Es  de  la  forma   x(t) = Asen(wot −φ)

El  valor  de  la  fase                      dependerá  del  valor  de              en                      φ x t = 0 Es  decir,  x(0)

La  solución  exhibe  un  comportamiento  senoidal.    

Calculemos  la  ENERGÍA  TOTAL   E = T +U

T = 12mx2 =

12m!

"#

$

%&A2w2cos2 wot −δ( ) = 1

2m!

"#

$

%&A2 cos2 wot −δ( ) =

km

T = 12

A2 cos2 wot −δ( )k

LA  ENERGÍA  CINETICA  

LA  ENERGIA  POTENCIAL  

U =12kx2 = 1

2k!

"#

$

%&A2sen2 (wot −φ) U =

12kA2sen2 (wot −φ)⇒

Por  tanto,  

E = 12kA2 cos2 wot −δ( ) +

12kA2sen2 (wot −φ)

E = 12kA2 cos2 wot −δ( )+ sen2 (wot −φ)( ) ⇒ E = 1

2kA2

•  Proporcional  al  cuadrado  de  la  amplitud.  

•  Es  independiente  del  5empo.  26/09/15  

NESTOR  ALONSO  ARIAS  HERNANDEZ  -­‐DPTO.  FISICA  Y  GEOLOGIA  -­‐  UNIVERSIDAD  

DE  PAMPLONA  7  

PERIODO  Y  FRECUENCIA  Conocemos  que:  

wo2 =

km⇒ 2π

T!

"#

$

%&2

=km

T 2 = 4π 2 mk

T = 2π mk

⇒ ⇒

Así  mismo  

1f= 2π m

k⇒ f = 1

2πkm

El  periodo  del  oscilador  armónico  simple  es  independiente  de  la  energía  o  amplitud.  Un  sistema  que  exhibe  esta  propiedad  se  denomina  Isócrono.  

PENDULO  PLANO  EJEMPLO:  L = T −U

T = 12m S2 = 2 θ 2

12m ⇒ T = 1

2m2 θ 2

U =mg↑

h↓

h =mg [ ]↑

h↓

cosθ

− cosθ ⇒U =mg 1− cosθ[ ]Por  lo  tanto,  el  Lagrangiano  es:  

L = 12m2 θ 2 −mg 1− cosθ[ ]

26/09/15  NESTOR  ALONSO  ARIAS  HERNANDEZ  -­‐

DPTO.  FISICA  Y  GEOLOGIA  -­‐  UNIVERSIDAD  DE  PAMPLONA  

8  

S

26/09/15  

5  

26/09/15  NESTOR  ALONSO  ARIAS  HERNANDEZ  -­‐

DPTO.  FISICA  Y  GEOLOGIA  -­‐  UNIVERSIDAD  DE  PAMPLONA  

9  

L = 12m2 θ 2 −mg 1− cosθ[ ]

Aplicando  la  ecuación  de  Lagrange.  

∂L∂θ

−ddt∂L∂ θ

= 0

L = L{ }⇒ θ, θ;t

∂L∂θ

= −mgsenθ ∂L∂ θ

= m2 θddt∂L∂ θ

= m2 θ; ;⇒

Por  tanto,  

−mgsenθ −m2 θ = 0

−gsenθ − θ = 0

θ + gsenθ = 0

si senθ ≈θ para θ <<

Entonces,  

θ + gθ = 0

θ +wo2θ = 0

Si  llamamos     wo2 =

g

Cuya  solución  es:   θ =θo cos wot −φ( )

TAREA:   Calcular  la  Energía  mecánica  total  

PERIODO  Y  FRECUENCIA  Conocemos  que:  

wo2 =

g⇒ 2π

T!

"#

$

%&2

=g

T 2 = 4π 2 g

T = 2π g

⇒ ⇒ f = 12π

g


Recommended