CHƯƠNG 1: GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN

_______________________________________________________I. Giá trị riêng và vector riêng của ma trận – Chéo hóa ma trận:1. Tìm giá trị riêng và vector riêng của một ma trận:Ví dụ:

Cho ma trận .

a) Xác định đa thức đặc trưng của .

b) Xác định các giá trị riêng của .

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng .

d) Xác định một cơ sở của gồm các vectơ riêng của .

Giải

a) Đa thức đặc trưng của là

b) Các giá trị riêng của là các nghiệm của phương trình đặc trưng . Phương

trình đặc trưng có các nghiệm 3, 5. Vậy và là các giá trị riêng của ma

trận .

c) Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm

không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm

không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

d) Đặt gồm các véc tơ riêng của độc lập tuyến tính trong . Do

đó là một cơ sở của .

Bài tập:

1) Cho ma trận .

a) Xác định đa thức đặc trưng của .

b) Xác định các giá trị riêng của .

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng .

d) Xác định một cơ sở của gồm các vectơ riêng của .

Hướng dẫn:

Sinh viên làm tương tự như ví dụ.

2) Cho ma trận

a) Xác định đa thức đặc trưng của .

b) Xác định các giá trị riêng của .

c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng .

d) Xác định một cơ sở của gồm các vectơ riêng của .

Hướng dẫn:

Sinh viên làm tương tự ví dụ

Đa thức đặc trưng của là

2. Chứng minh các tính chất đối với giá trị riêng và vector riêng:

1) Cho là giá trị riêng của , và . Chứng minh rằng

a) là giá trị riêng của ma trận .

b) là giá trị riêng của ma trận .

c) là giá trị riêng của ma trận .

d) là giá trị riêng của ma trận đa thức .

Hướng dẫn:

a) Do là giá trị riêng của nên tồn tại sao cho .

.

Vậy là giá trị riêng của ma trận .

b) Ta có .

Vậy là giá trị riêng của ma trận .

c) Ta có

Vậy là giá trị riêng của ma trận .

d) Giả sử Khi đó,

Và

Vậy là giá trị riêng của f (A).

Sinh viên cho ví dụ minh họa cho những kết quả trên.

2) Cho là giá trị riêng của . Chứng minh rằng

a) Nếu khả nghịch thì là giá trị riêng của ma trận .

b) Nếu khả nghịch thì là giá trị riêng của ma trận .

Hướng dẫn :

a) Vì A khả nghịch nên . Ta có,

Vậy Nếu khả nghịch thì là giá trị riêng của ma trận .

b) Vì A khả nghịch nên .

Khi đó, ta có

Nếu khả nghịch thì là giá trị riêng của ma trận .

Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên.

3) Cho là ma trận vuông cấp trên và là các giá trị riêng của nó.

Chứng minh rằng .

Hướng dẫn:

Do là các giá trị riêng của A nên là các nghiệm của đa thức đặc

trưng . Do đó,

.

Lấy t = 0, ta có:

Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên.

4) Cho là ma trận vuông cấp trên và là các giá trị riêng của nó.

Chứng minh rằng

a) .

b) .

c) .

d) .

Hướng dẫn:

a) Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của

ma trận . Do đó

Sinh viên cho ví dụ minh họa.

b) Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của ma

trận . Do đó .

c) Do là các giá trị riêng nên là các giá trị

riêng của ma trận . Do đó .

d) Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng

của ma trận . Do đó .

Sinh viên cho các ví dụ minh họa.

5) Cho là ma trận vuông cấp trên và là các giá trị riêng của nó.

Chứng minh rằng

a) Nếu khả nghịch thì .

b) Nếu khả nghịch thì .

c) Nếu không là giá trị riêng của thì ma trận khả nghịch và

Hướng dẫn:

a) Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của ma

trận . Do đó .

b) Do là các giá trị riêng nên là các giá trị

riêng của ma trận . Do đó

c) Do không là giá trị riêng của nên định thức của ma trận khác 0. Vậy

khả nghịch. Theo giả thiết là các giá trị riêng của nên

là các giá trị riêng của ma trận và do đó

là các giá trị riêng của .

Vậy

Sinh viên cho ví dụ minh họa.

3. Chéo hóa ma trận:Cách chéo hóa một ma trận:Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để chéo hóa ma trận A ta làm như sau:Tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính của A, bằng cách tìm đa thức

đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng sau đó ứng với từng giá trị riêng tìm các vector riêng.

Khi đó xảy ra một trong hai khả năng sau:TH1: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n thì kết luận A không

chéo hóa được. TH2: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì kết luận A chéo hóa

được. Khi đó ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột và khi đó

là ma trận chéo trong đó các là các giá trị riêng của A ứng với

vector riêng là vector cột thứ i của ma trận P.1. Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau:

Hướng dẫn:

Đa thức đặc trưng của ma trận A là:

Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là .

Ứng với , giải hệ pt:

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số ]

Không gian con riêng ứng với giá trị riêng là

Cơ sở của E(-1) gồm hai vector .

Ứng với giá trị riêng , để tìm vector riêng ta giải hệ pt:

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số

Do đó, không gian con riêng của A ứng với giá trị riêng là

Cơ sở của gồm 1 vector .

Nhận xét: Các vector độc lập tuyến tính nên ma trận A chéo hóa được. Khi đó, tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho với D là ma trận chéo.

và

2. Bài tập:

1. Cho ma trận . Hỏi ma trận A có chéo hóa được không? Tìm ma trận C

làm chéo hóa A (nếu có).Hướng dẫn:SV. Làm tương tự như ví dụ. 2. Cho A, B và P là các ma trận sao cho . Chứng minh rằng với mọi

.

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất (k lần) và .

Sinh viên cho ví dụ minh họa.

3. Cho ma trận

a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A. b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo

D sao cho

d) Tính với mọi số nguyên dương k.

Hướng dẫn:Các câu a); b); c) làm tương tự như các ví dụ trong tài liệu. Câu d) áp dụng tính chất của bài 2.(Tức là khi thì ).

4. Cho ma trận

a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A. b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo

D sao cho

d) Tính với mọi số nguyên dương k.

Hướng dẫn:Làm tương tự như bài 3.

5. Cho ma trận , . Chứng minh rằng là các vector riêng

của A. Hãy tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để .

Hướng dẫn:

Để chứng minh là các vector riêng của A thì cần tìm các giá trị sao cho

. Khi đó, ma trận đường chéo D có dạng .

6. Cho ma trận vuông cấp 4 A có các giá trị riêng là 5, 3, -2. Giả sử không gian vector riêng ứng với giá trị riêng có chiều là 2. Hỏi ma trận A có chéo hóa được không?

Hướng dẫn:Dựa vào điều kiện chéo hóa được của ma trận. 7. Hãy xác định đa thức đặc trưng và một cơ sở không gian vector riêng của các ma trận

sau. Trong số các ma trận sau đây ma trận nào chéo hóa được, khi đó hãy tìm ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho .

8. Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên

và

9. Chéo hóa các ma trận sau (nếu được).

10. Cho ma trận trên trường số thực như sau

a) Tính

b) Tính với .

c) Tính biết rằng .

Hướng dẫn:

a) Đa thức đặc trưng của A là : . Giá trị riêng là 5, 6, 7

detA= 5.5.6.7 = 1050.

b) Đa thức

c)

11. Chéo hoá ma trận trên và .

13) Chéo hoá ma trận

14) Chéo hóa ma trận

15) Cho ma trận

a) Chéo hoá ma trận .

b) Hãy tính luỹ thừa ma trận .

16) Cho ma trận

a) Hãy tính đa thức ma trận , trong đó .

b) Hãy tìm một ma trận trên trường số thực sao cho .

17) Cho ma trận

a) Chéo hóa .

b) Đặt .

Tính và .

Hướng dẫn:

Đặt . Tính bằng cách chéo hoá ma trận .

* Đa thức đặc trưng của ma trận là . Giải phương trình đặc

trưng , ta nhận được các nghiệm phân biệt 2,3. Do đó các giá trị riêng phân biệt của

ma trận là .

* Với , ta có và cơ sở

Với , ta có và cơ sở .

* Do nên ma trận chéo hoá được và , trong đó

ma trận khả nghịch với các cột là các véc tơ riêng và ma trận đường chéo với

các phần tử trên đường chéo chính 2,2,3 tương ứng với các véc tơ riêng .

a) Ta có và do đó

b) Ta có .

II. Tìm giá trị riêng – vector riêng -Tìm cơ sở của không gian vector V để ma trận của một phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo.

Ví dụ:Cho T là toán tử tuyến tính trên xác định bởi

Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của T. GiảiMa trận của toán tử tuyến tính trên đối với cơ sở chính tắc của là:

Đa thức đặc trưng của ma trận A là .

Giải phương trình đặc trưng ta được các nghiệm là t = 1 và t = 2. Vậy ma trận A

có hai giá trị riêng là . Khi tìm cơ sở của các không gian riêng và ta được:

Cơ sở của là và cơ sở của là .

Vậy f không chéo hóa được. Chú ý:

Để nghiên cứu một phép biến đổi tuyến tính , ta quy về việc nghiên cứu ma trận của f. Từ đó dẫn đến việc cần tìm cơ sở để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo. Để tìm cơ sở này ta thực hiện như sau:

- Đầu tiên ta tìm các vector riêng độc lập tuyến tính của f. - Nếu f có ít hơn n vector riêng độc lập tuyến tính (chú ý dim V = n) thì không có cơ sở

nào của f để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo. - Nếu f có đúng n vector riêng độc lập tuyến tính thì n vector riêng đó làm thành cơ sở B

của V mà ma trận A của f trong cơ sở B đó là ma trận chéo. Cụ thể:

với là các giá trị riêng ứng với các vector riêng .

(Các có thể trùng nhau).

Ví dụ:

Trong cho cơ sở và một phép biến đổi tuyến tính

sao cho:

a) Hãy tìm công thức của f, tức là tìm

b) Tìm một cơ sở của để ma trận của f trong cơ sở này là ma trận chéo.

Hướng dẫn:

a) Gọi , giả sử

Xét hệ

Suy ra,

Ta có:

b) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là:

Xét

Suy ra

Do đó, f có hai giá trị riêng là .

Ứng với giá trị riêng , xét hệ pt:

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:

Khi đó, f có hai vector riêng độc lập tuyến tính là .

Ứng với giá trị riêng , xét hệ pt:

Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số:

Vector riêng ứng với giá trị riêng là

Do f có 3 vector riêng độc lập tuyến tính nên f chéo hóa được và cơ sở là cơ sở mà ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo là:

1. Bài tập:

1. Cho toán tử xác định bởi:

Toán tử f có chéo hóa được không? Tìm cơ sở của mà trong cơ sở ấy f có dạng chéo (nếu có).

Hướng dẫn:Tìm ma trận A của f đối với một cơ sở nào đó, có thể chọn cơ sở chính tắc để đơn giản.Sau đó, tìm các giá trị riêng và vector riêng của ma trận A. Kiểm tra xem A có chéo hóa được không? Kết luận.

2. Trong cho cơ sở gồm các vector . Gọi

là ánh xạ tuyến tính xác định bởi .

a) Hãy tìm công thức của f.b) Hãy tìm một cơ sở trong đó ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Hướng dẫn:Làm tương tự như ví dụ.

3. Hãy chéo hóa (nếu có thể) các toán tử tuyến tính cho sau đây:

a) f (x, y, z) = (x + y, 2y + z, 2y + 3z)b) f (x, y, z) = (x + y, y + z, -2y – z)c) f (x, y, z) = (x – y + z, x + y – z, -x + y + z)d) f (x, y, z) = (x – y, y – z, x + z)III. Dạng chính tắc Jordan:1. Tìm dạng chính tắc của 1 ma trận:

Hãy tìm dạng chính tắc của các ma trận sau:

a) b) c) d)

Hướng dẫn:Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về dạng chính tắc. a) Ta có:

Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. 2. Tìm dạng Jordan của một ma trận:Hãy tìm dạng Jordan của các ma trận sau (bằng cách đưa về dạng chính tắc và suy

ra ma trận J đồng dạng với A).

a) b) c) d)

e)

Hướng dẫn:a) Xét ma trận

Dạng Jordan của ma trận A là:

b) Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. Bài tập về ma trận đồng dạng:

1) Cho và là các ma trận đồng dạng trên . Chứng minh rằng

a) .

b) .

c) .

Hướng dẫn:

Do đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch để .

a) .

b) .

c) .

Sinh viên tìm ví dụ minh họa.

2) Cho và là các ma trận đồng dạng trên . Chứng minh rằng

a) và đồng dạng.

b) và đồng dạng với mọi .

c) khả nghịch khi và chỉ khi khả nghich.

d) Nếu khả nghịch thì AB và BA đồng dạng.

Hướng dẫn:

a) Do đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch để . Ta có

. Vậy và đồng dạng. 0,5đ

b) Do đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch để .

Giả sử . Khi đó và

Vậy và đồng dạng.

c) Do và đồng dạng nên . Khi đó khác 0 khi và chỉ khi khác 0. Do đó khả nghịch khi và chỉ khi khả nghich.

d) Do đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch để . Nếu

khả nghịch thì . Do đó AB và BA đồng dạng.

Sinh viên cho ví dụ minh họa.

3) Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến

thì AB và BA đồng dạng.

4) Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính

nó.

5) Chứng minh các cặp ma trận sau đồng dạng bằng cách chứng minh rằng đồng

dạng với :

a) và

b) và

6) Chứng minh rằng:a) Mọi ma trận vuông phức A đều đồng dạng với một ma trận Jordan J (sự đồng dạng này

là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các ô Jordan. b) Mọi toán tử tuyến tính f trên không gian phức n chiều V đều có cơ sở Jordan, tức là cơ

sở của V mà trong đó ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận Jordan. 7) Chứng minh rằng:a) Nếu V là không gian vector trên trường số phức thì mọi phép biến đổi tuyến tính của

V đều có ít nhất một không gian con bất biến 1 chiều. b) Nếu V là không gian vector trên trường số thực thì mọi phép biến đổi tuyến tính của

V đều có ít nhất một không gian con bất biến hoặc 1 chiều hoặc 2 chiều.

9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:

a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau.

b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau.

c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức.

9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc cột) khác đều bằng 0.

9.3 Giả sử nnij )a(A , n21 A,,A,A là các cột của A. Chứng minh rằng: 0Adet

hệ véc tơ n21 A,,A,A là hệ véc tơ độc lập tuyến tính.

9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không là thay đổi hạng của ma trận đó.

9.5 Cho nmijaA

, B là ma trận vuông không suy biến cấp m. Chứng minh rằng

rankAA.Brank .

Còn nếu nmijaA

, B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rankAB.Arank . Còn

nếu nnijaA

, B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rankAA.BrankB.Arank .

9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có A.BB.A thì:

a/ 222 BB.A2A)BA( ; b/ 22 BA)BA)(BA( ;

c/ 32233 BB.A3B.A3A)BA(

9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có 2A thì các ma trận EAvµEA là những ma trận không suy biến.

9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:

a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó.

b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại.

9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu )kAdet(Adet . Hãy tính k.

9.12 Chứng minh rằng: Nếu 2Adet thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên.

9.16 Cho các ma trận

829407

C;41

2054

B;3213

21A

Hãy tính a/ B2A3 ; b/ C2B4A5

9.17 Cho

52

13B;3147

25A Tìm CAA và CBB .

9.18 Cho

211234

B;1315

31A . Tìm X biết a/ ;BX3A2 b/ X

32A3 ;

9.19 Tính: a/ A4 với

00

10A ; b/ B3 với

acosasin

asinacosB

9.20 Chứng minh rằng: ma trận

dc

baX thoả mãn phương trình:

E)bcad(X)da(X2 , trong đó

10

01E ;

00

00

9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho EBAAB , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.

9.22 Cho E3X4X)X(fTÝnh.3201X 2

, trong đó

10

01E .

9.23 Cho EX5X3X)X(fvµ4312B;32

21A 23

. Tính f(AB).

9.24 Chứng minh rằng: ma trận

300010001

X là nghiệm của đa thức

E9X9XX)X(f 23 .

9.25 Tìm (f(A))2 nếu

301210

021A và EX)X(f .

Giải các phương trình sau:

9.26 03x4x32det

; 9.27

23/31

13/2detx3121x132

det .

9.28 0003x0x48

2x126det

.

9.29 Cho a1, a2, …, an–1 là các hằng số tuỳ ý cho trước, khác nhau và khác 0. Giải phương trình:

0

a...aaa...............

a...aaaa...aaax...xxx

det

n31n

21n1n

n2

32

222

n1

31

211

n32

9.30 Tính các định thức sau: a/

222

222

222

222

222

)3()2()1(1)3()2()1(1)3()2()1(1)3()2()1(1)3()2()1(1

D

b/ a x x x

D x b x xx x c x

9.31 Giải phương trình:

1 1 1 . . . 11 1 x 1 . . . 1

01 1 2 x . . . 1. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . (n 1) x

Sử dụng tính các chất của định thức, tính các định thức từ bài 32 đến bài 36:

9.32 2272127222731273D

9.33 a/ 556275363222

654373461D ; b/

0x...xx1x0...xx1........xx...0x1xx...x0111...110

Dn

9.34 a/ 5412384412912673

D ; b/

x0...00a1x...00a.............

00...x0a00...1xa00...01a

D

n

1n

2

1

0

1n

9.35

2 3 4 53 4 5 6D 4 6 8 102 3 7 8

;

9.36 a/

n...nnnn........n...4444n...4333n...4322n...4321

Dn ; b/ 5

1 2 2 2 22 2 2 2 2

D 2 2 3 2 22 2 2 4 22 2 2 2 5

;

c/

n...2222........2...42222...23222...22222...2221

Dn .

9.37 Cho ma trận A cấp 1010 có dạng:

10

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0A

0 0 0 0 110 0 0 0 0

, các phần tử

dạng 9,1k1a;10a 1k,k10

1,10 ; E là ma trận đơn vị cấp 10. Chứng minh rằng:

1010 10)EAdet( .

9.38 a/ Dùng công thức khai triển định thức, tính các định thức sau:

a/

0032000351001202230011213

D

; b/

2100001090000861600151200305043200021

D

9.39 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

231121315

A

9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:

a/

43311241

21520121

A ; b/

1000011000111001111011111

B ; c/

221142

213C ;

9.41 Giải phương trình ma trận: a/ BAX

Với

0122

63B;

231121312

A

b/ CBAX với

211113362

C;9304331549

B;102111

213A .

c/ BAX với

1...000.......1...1001...1101...111

A ;

1...000.........2n...1001n...210

n...321

B

9.42 Với giá trị nào của thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo:

a/ 1 2 2

A 3 02 1 1

; b/ 2 0

A 2 10 1

; c/

31

13451

A ; d/

2312

12A .

9.43 Dùng phương pháp định thức bao quanh, tìm hạng của ma trận:

a/

1 2 3 41 3 0 1

A 2 4 1 81 7 6 90 10 1 10

;

1 1 2 3 10 2 1 2 20 0 3 3 3B 0 0 0 4 01 3 6 12 21 3 3 5 1

9.44 Dùng các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận:

1 2 1 1 12 1 1 2 4A 1 3 2 1 13 3 2 3 1

;

1 4 5 3 11 2 1 1 0

B 3 1 2 2 10 3 3 3 32 1 1 3 2

9.45 Chứng minh rằng một ma trận có hạng bằng r bao giờ cũng viết được thành tổng của r ma trận có hạng bằng 1.

9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng rank(A B) rankA rankB .

9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ

a/ 1 2 3 4A ( 1,0, 3,1); A (1, 2,1,3); A (2,1,1, 1); A (4, 3,3,5)

b/ 1 2 3 4B ( 1,0, 3,2); B (1, 2,1,0); B (2,0,1, 1); B (2, 3,3,1)

9.48 a/ Cho hệ véc tơ 1 2 3A (2,3,5); A (3,7,8); A (1, 6, ); X (1,3,5) .

Tìm giá trị của để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ 321 A,A,A .

b/ Cho hệ véc tơ

1 2 3A ( 6,7,3, 2);A (1,3,2,7);A ( 4,18,10,3);X (1,8,5, )

Tìm giá trị của để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ 321 A,A,A .

c/ Cho hệ véc tơ 1 2 3A (1, 1,a); A (3,2,2); A (4,3,1);C (2,1,3) .

Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ 321 A,A,A .

d/ Cho hệ véc tơ 1 2 3A (4,5,3, 1);A (1, 7,2, 3);A ( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a,4)

Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ 321 A,A,A .

9.49 Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó:

a/ 1 2 3 4A (1,2, 1,3); A (0,3, 3,7); A (7,5,2,0); A (2,1,1, 1)

b/ 1 2 3 4A (2,1,1,3,5); A (1,2,1,1,3); A (7,1,6,0,4); A (3,4,4,1,2);

5A (3,1,3,2,1)

9.50 Cho 1 2 mA ,A , ,A là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính. Nếu mỗi véc

tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

9.51 Cho 1 2 mA ,A , ,A là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ

của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải

9.2: Chứng minh:

n

kj ijj 1

a A chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức:

.

11 12 1n

21 22 2n

k1 k2 kn

k1 k2 kn

n1 n2 nn

a a . . . aa a . . . a. . . . . . . . . . . .a a . . . a. . . . . . . . . . . .a a . . . a. . . . . . . . . . . .a a . . . a

(*1)

dòng i

dòng k

trong đó 2n . Mà định thức (*1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không n

kj ijj 1

a A 0

9.3 Điều kiện cần: Cho nnijaA

có 0Adet , ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng

(hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là phụ thuộc tuyến tính, theo hệ quả 9.3.5 thì 0Adet , mâu thuẫn với giả thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính.

– Điều kiện đủ: Giả sử hệ n véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, theo định nghĩa của hạng của hệ véc tơ thì nA,...,A,Arank n21 , theo định lý 9.5.1 thì

nrankA , theo định nghĩa hạng của ma trận thì 0Adet . □

9.5 Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại 1B . Xét ma trận ghép 1BA ,

nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được EA.BB.BA.BBA.B 11 . Đó

chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận 1B nó là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên ma trận A để được B.A rankAA.Brank .

Để chứng minh rankAB.Arank , ta lấy chuyển vị B, mnji

1 aAvµ)B(

. Xét ma trận

ghép )B(A 1 , nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được

E)AB()B.(BAB)B(A.B 11 (vì E)B.B()B.(B 11 ). Như vậy từ ma trận A,

nhờ các phép chuyển vị và các phép biến đổi sơ cấp, ta đã thu được ma trận A.B rankAB.Arank □

9.7 Ta có det A E A E det A E det A E (*1)

Vì AE EA nên 2 2det A E A E det A E , do 2A nên

2 2 2 ndet A E det E ( 1) 0 det A E 0 và det A E 0 các ma

trận A E và A E là những ma trận không suy biến.

9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi dấu tất cả n dòng của định thức. Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng

của định thức làm cho định thức đổi dấu. Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n làm cho định thức được nhân với n( 1) .

b/ Đối với định thức cấp chẵn ( n 2k ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k cho nhau; dòng 2 và dòng 2k 1 cho nhau; … dòng k và dòng k 1 . Ta cũng đã biết: khi đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu. Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với k( 1) . Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4 thì định thức không đổi dấu.

Đối với định thức cấp lẻ ( n 2k 1 ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k 1 cho nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k 2 . Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k 1 theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với k( 1) . Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu.

Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các định thức cấp 4k và 4k 1 không thay đổi, các định thức cấp 4k 1 vµ 4k 2 sẽ đổi dấu (k nguyên dương).

9.9 Vì ndet(kA) k detA nên nk detA detA . Nếu detA 0 thì det(kA) detA đúng với mọi k. Còn nếu detA 0 thì nk 1 k 1 nếu n lẻ; k 1 nếu n chẵn.

9.10 Chứng minh rằng: Nếu 1AA thì ,3,2,1,0nAA;EA 1n2n2

Từ giả thiết 1AA 2 1A A A E 2n nA E E n nguyên dương 2n 1A A n nguyên dương. □

9.11 Chứng minh rằng: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thoả mãn BAAB và 0Adet thì 11 BABA .

1 1 1 1 1 1A B A BAA A ABA BA . □

9.12 Chứng minh rằng: Nếu 2Adet thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên.

Do detA 2 0 tồn tại ma trận nghịch đảo 1A 1A.A E 1 1(detA).(detA ) det(A.A ) detE 1 vì 2Adet 1 1detA

2 1A không thể

toàn các số nguyên.

9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho EBAAB , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.

Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp.

Giả sử ij ij ij ijn n n n n n n nA a ; B b ; AB c ; BA d

. Gọi AB BAV là tổng các

phần tử trên đường chéo chính của ma trận AB BA n

AB BA ii ii1

V (c d )

n n n

ik ki ik kii 1 k 1 k 1

a b b a

n n n n

ik ki ki iki 1 k 1 k 1 i

a b a b 0

. Trong khi đó tổng các phần

tử trên đường chéo chính của ma trận đơn vị E là EV n . Vậy không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho EBAAB .

9.29 Phương trình

2 3 n

2 3 n1 1 1 1

2 3 n2 2 2 2

2 3 nn 1 n 1 n 1 n 1

x x x . . . xa a a . . . a

det 0a a a . . . a. . . . . . . . . . . . . . .a a a . . . a

(với điều kiện a1, a2, …, an–1 là

các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n nghiệm. Dễ dàng thấy 1 2 1 3 2 n n 1x 0, x a , x a , , x a là n nghiệm khác nhau của phương trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi □

9.30 a/

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 ( 1) ( 2) ( 3)1 ( 1) ( 2) ( 3)

D 1 ( 1) ( 2) ( 3)1 ( 1) ( 2) ( 3)1 ( 1) ( 2) ( 3)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

(2)

1 2 1 ( 2) ( 3)1 2 1 ( 2) ( 3)1 2 1 ( 2) ( 3)1 2 1 ( 2) ( 3)1 2 1 ( 2) ( 3)

=

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

(3)

1 ( 2) ( 3)1 ( 2) ( 3)1 ( 2) ( 3)1 ( 2) ( 3)1 ( 2) ( 3)

vì định thức (2)

có được từ định thức (3) bằng cách cộng vào cột 3 một tổ hợp tuyến tính của 2 cột đầu.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(5)

1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)

D 01 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)

Vì định

thức (5) có cột 4 bằng tổ hợp tuyến tính của 3 cột đầu.

b/ Nếu abcx 0 : a x x x

D x b x xx x c x

1 x x 1 x xa0 b x x x1 b x x

0 x c x 1 x c x

21 0 x 1 1 x 1 0 x 1 1 x

ab0 1 x ax 0 1 x xb1 1 x x 1 1 x0 0 c x 0 1 c x 1 0 c x 1 1 c x

. Vì định thức cuối

cùng có hai cột giống nhau nên nó bằng 0. Định thức đầu tiên là định thức của ma

trận tam giác nên 1 0 x

ab0 1 x ab(c x) abc abx0 0 c x

. Lại tách hai định thức giữa

theo cột cuối, mỗi định thức thành hai định thức, ta được:

2 21 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1

D abc abx acx 0 1 0 ax 0 1 1 xbc1 1 0 x b1 1 10 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1

, ở đây lại thấy

1 1 10 1 1 00 1 1

; 1 0 11 1 1 01 0 1

(có hai cột giống nhau); 1 1 00 1 0 10 1 1

; 1 0 01 1 0 11 0 1

D abc abx acx xbc

Nếu chẳng hạn a 0 thì 1 0 x

D xb1 1 x bcx1 0 c x

.

Nếu x 0 thì a 0 0

D 0 b 0 abc0 0 c

. (Đáp số trong sách sai)

9.31 Phương trình:

1 1 1 . . . 11 1 x 1 . . . 1

01 1 2 x . . . 1. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . (n 1) x

là phương trình bậc n 1

nên nó có không quá n 1 nghiệm khác nhau. Nhưng dễ thấy phương trình có n 1 nghiệm khác nhau là 1 2 n 1x 0; x 1; . . . ; x n 2 phương trình chỉ có các nghiệm đó mà thôi (Đáp số trong sách bài tập thiếu nghiệm – không điểm) □

9.33 a/ 556275363222

654373461D

98 98 982 2 2 0

363 275 556 (Định thức có hai dòng tỷ lệ với nhau thì

định thức bằng 0.

9.33 b/ n

0 1 1 .. . 1 11 0 x .. . x x1 x 0 .. . x xD . . . . . . . . . . . . .1 x x .. . 0 x1 x x .. . x 0

Lấy dòng 1 nhân với –x để cộng vào các dòng từ thứ hai trở đi, ta được:

.

n

0 1 1 .. . 1 11 x 0 .. . 0 01 0 x .. . 0 0D .. . . . . . . . . . . . . . . . .1 0 0 .. . x 01 0 0 .. . 0 x

Khai triển định thức theo dòng n, ta được:

n 1n

1 1 .. . 1 1 0 1 1 .. . 1x 0 .. . 0 0 1 x 0 .. . 0

D ( 1) . x.0 x .. . 0 0 1 0 x .. . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 .. . x 0 1 0 0 .. . x

(*1)

Khai triển định thứ nhất theo cột n 1 (là định thức cấp n 1 ), ta được

n 2

1 1 .. . 1 1x 0 .. . 0 0

D x0 x .. . 0 0.. . . . . . . . . . . . . .0 0 .. . x 0

;

Định thức thứ hai

0 1 1 .. . 11 x 0 .. . 01 0 x .. . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 0 0 .. . x

chính là n 1D . Thay vào (*1), ta được công thức:

n 1 n 2n n 1D ( 1) x x.D n

nguyên dương (*2)

Ta có 3

0 1 1D 1 x 0 2x

1 0 x

3 2 2

4D ( 1) .x x.2x 3x Ta chứng minh được:

n 1 n 2nD ( 1) .(n 1)x n nguyên dương (*3) hiển nhiên công thức đã đúng

với n 3 . Giả sử (*3) đã đúng với n, ta chứng minh (*3) cũng đúng với n 1 .

Theo (*2) thì n n 1n 1 nD ( 1) x x.D theo (*3) thì

n n 1 n 1 n 2n 1D ( 1) x x.( 1) (n 1).x n n 1( 1) x (1 n 1) n n 1( 1) .n.x , tức là (*3)

cũng đúng với n 1 □

9.34 a/ Định thức có cột một và cột 4 tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0.

9.34 b/

x0...00a1x...00a.............

00...x0a00...1xa00...01a

D

n

1n

2

1

0

1n

khai triển theo dòng n 1 , ta được:

0

1n 2 n 2 nn 1 n n n2

n 1

a 1 0 .. . 01 0 .. . 0 0a x 1 .. . 0x 1 .. . 0 0

D ( 1) .a . x. ( 1) .a .( 1) x.D0 x .. . 0 0 a 0 x .. . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 .. . x 1 a 0 0 .. . x

=

n na x.D n nguyên dương (*1).

Ta có: 0 2

1 0 2 0 1 3 1 0 1 2

2

a 1 0D a ; D a x a ; D a x 1 a x ax a

a 0 x

dự đoán:

nn n 1 n i

n 1 0 1 n 1 n ii 0

D a x ax a x a ax n

nguyên dương (*2). Hiển nhiên (*2)

đã đúng với n 2 . Giả sử (*2) đã đúng với n nguyên dương tuỳ ý, theo (*1) thì

n 2 n 1 n 1D a x.D , theo (*2) thì n

n in 2 n 1 i

i 0D a x. ax

=

n 1 n 20 1 n 1 n n 1a x ax a x a x a

=n 1

n 1 ii

i 0ax

, tức là (*2) đúng với n n 1 □

9.35

2 3 4 53 4 5 6D 04 6 8 102 3 7 8

, (dòng 3 và dòng 1 tỷ lệ với nhau).

9.36 a/ * Cách 1:

n...nnnn........n...4444n...4333n...4322n...4321

Dn Lấy dòng 1 trừ dòng 2, ta được:

n

1 0 0 0 . . . 02 2 3 4 . . . n3 3 3 4 . . . nD 4 4 4 4 . . . n. . . . . . . .n n n n . . . n

, lấy dòng 2 trừ dòng 3, ta được tiếp:

n

1 0 0 0 . . . 01 1 0 0 . . . 03 3 3 4 . . . nD 4 4 4 4 . . . n. . . . . . . .n n n n . . . n

. Cứ như vậy, ở bước k thì lấy dòng k trừ dòng k 1 , sau

bước thứ n 1 ta được: n

1 0 0 . . . 0 01 1 0 . . . 0 01 1 1 . . . 0 0D . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1 0n n n . . . n n

= n 1( 1) n .

Cách 2: n

1 2 3 . . . n 1 n2 2 3 . . . n 1 n3 3 3 . . . n 1 nD . . . . . . . . . . . . . . . .

n 1 n 1 n 1 . . . n 1 nn n n . . . n 1 n

Lấy dòng các dòng từ dòng 2 trở đi trừ

dòng 1, ta được n

1 2 3 . . . n 1 n1 0 0 . . . 0 02 1 0 . . . 0 0D . . . . . . . . . . . . . . . .

n 2 n 3 n 4 . . . 0 0n 1 n 2 n 3 . . . 1 0

khai triển theo cột n, ta được:

n 1 n 1n

1 0 0 . . . 02 1 0 . . . 0

D ( 1) n ( 1) n. . . . . . . . . . . . . . . .n 2 n 3 n 4 . . . 0n 1 n 2 n 3 . . . 1

9.36 c/ Tính:

n2...22221n...222..............

22...32222...22)2(22...221

Dn

lấy dòng 2 nhân với 21 rồi cộng vào

dòng 1; lấy dòng 2 nhân với –1 rồi cộng vào các dòng từ dòng 3 trở xuống, ta được

2n0...00003n...000

...............00...10022...22211...110

Dn

. Khai triển theo cột 1, ta được tiếp:

2n0...00003n...000

...............00...20000...01011...111

.2Dn

= )!2n.(2Dn □

Theo đó thì phần b bài 9.36 chính là 5D 2.(5 2)! 12 .

9.37 Tổng quát, ta tính định thức cấp n mà các phần tử có dạng

ii i,i 1 n1a 0 i 1,n; a 0 i 1,n 1; a 0 , còn lại đều bằng 0:

11 12

22 23

33

n 1,n 1 n 1,n

n1 nn

a a 0 .. . 0 00 a a .. . 0 00 0 a .. . 0 0D .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 .. . a a

a 0 0 .. . 0 a

, khai triển định thức theo cột 1, ta được:

22 23 12

33 22 23n 13311 n1

n 1,n 1 n 1,n

n 1,n 1 n 1,nnn

a a .. . 0 0 a 0 .. . 0 00 a .. . 0 0 a a .. . 0 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 a .. . 0 0D a ( 1) a0 0 .. . a a .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 .. . a a0 0 .. . 0 a

n 111 22 nn 12 23 n 1,n n1a a a ( 1) a a a a

.

9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:

c/

1000011000111001111011111

B 1

1 1 0 0 00 1 1 0 0

B 0 0 1 1 00 0 0 1 10 0 0 0 1

Tổng quát: 1

1 1 1 . . . 1 1 1 1 0 . . . 0 00 1 1 . . . 1 1 0 1 1 . . . 0 00 0 1 . . . 1 1 0 0 1 . . . 0 0B B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 . . . 1 10 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 1

Từ đây suy ra bài 9.41.c: BX C với

1 2 3 . . . n 1 n0 1 2 . . . n 2 n 10 0 1 . . . n 3 n 2C . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 20 0 0 . . . 0 1

1X B C =

1 1 0 . . . 0 0 1 2 3 . . . n 1 n0 1 1 . . . 0 0 0 1 2 . . . n 2 n 10 0 1 . . . 0 0 0 0 1 . . . n 3 n 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 . . . 1 20 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 1

=

=

1 1 1 . . . 1 10 1 1 . . . 1 10 0 1 . . . 1 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 10 0 0 . . . 0 1

=B.

Như vậy ta có đẳng thức 2B C

9.42 a/ Ma trận 1 2 2

A 3 02 1 1

có ma trận nghịch đảo detA 0 4 9 0

94

.

b/ 2 0

A 2 10 1

3detA 5 0 0; 5

c/

31

13451

A 2detA 17 38 0 2; 19 ;

d/

2312

12A 3 1 21detA 6 5 0 1;

2

9.45 Nhận xét: “Ta dễ thấy một ma trận (khác ma trận không) mà tất cả các cột của nó tỷ lệ với nhau (tức là chỉ khác nhau bởi một hằng số nhân) đều có hạng là 1”

Giả sử 1 2 nA (A ,A , ,A ) là ma trận mà jA là cột thứ j của ma trận A ( j 1,n ).

Do 1 2 nrankA rank A ,A , ,A r tồn tại hệ r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại

của hệ véc tơ 1 2 nA ,A , ,A ( r n ). Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết hệ

đó là r véc tơ đầu tiên: 1 2 rA ,A , ,A r

k jk jj 1

A z A k r 1,n

r r r

1 2 r j,r 1 j j,r 2 j j,n jj 1 j 1 j 1

A A ,A , ,A , z A , z A , z A

1 1,r 1 1 1,r 2 1 1n 1

cét nr cét ®Çu cét r+1 cét r+2

ma trËn1

A , , , , z A ,z A , ,z A

2 2,r 1 2 2,r 2 2 2n 2

cét nr cét ®Çu cét r+1 cét r+2

ma trËn2

,A , , , , z A ,z A , ,z A

r r,r 1 r r,r 2 r rn r

cét nr cét ®Çu cét r+1 cét r+2

ma trËnr

, , , ,A ,z A ,z A , ,z A

. Theo nhận xét: mỗi ma trận trong số

tổng của r ma trận trên đều có hạng là 1, đó là điều phải chứng minh.

9.46 Giả sử 1 2 nA ,A , ,A là các cột ma trận A; 1 2 nB ,B , ,B là các cột của ma trận

B. Giả sử 1 2 nrankA r rank A ,A , ,A r tồn tại hệ con r véc tơ độc lập

tuyến tính cực đại của hệ 1 2 nA ,A , ,A . Không làm mất tính tổng quát, có thể giả

thiết r véc tơ đó là hệ r véc tơ đầu tiên của hệ: 1 2 rA ,A , ,A (r n) r

k jk jj 1

A z A k 1,n

. Cũng vậy, rankB s 1 2 nrank B ,B , ,B s có hệ s véc

tơ độc lập tuyến tính cực đại của 1 2 nB ,B , ,B là 1 2 sB ,B , ,B (s n) s

k jk jj 1

B z B k 1,n

k kA B biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ

1 2 r 1 2 sA ,A , ,A ,B ,B , ,B k 1,n 1 2 n 1 2 nrank A ,A , ,A ,B ,B , ,B

r s rankA rankB rank(A B) rankA rankB .

9.47 Ta biết rằng: “Nếu hạng của một hệ véc tơ bằng số véc tơ của hệ thì hệ véc tơ đó là hệ véc tơ độc lập tuyến tính; còn nếu hạng của một hệ véc tơ ít hơn số véc tơ của hệ thì hệ

véc tơ đó là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính”. Vì vậy ta chỉ cần tính 1 2 3 4rank A ,A ,A ,A .

b/ Gọi A là ma trận tạo bởi hệ véc tơ 1 2 3 4A ,A ,A ,A , do hạng của một ma trận

bằng hạng của hệ véc tơ dòng hay hệ véc tơ cột của ma trận đó nên ta tính hạng của ma trận:

1 2 3 4 11 1 1 3 1A 3 5 7 5 32 3 4 1 4

(1) 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 0 1 10 31 1 1 3 1 0 (1) 2 7 2 0 1 2 7 2A 3 5 7 5 3 0 1 2 7 6 0 0 0 0 (4)2 3 4 1 4 0 1 2 7 6 0 0 0 0 4

1 0 1 10 01 0 1 10 30 1 2 7 00 1 2 7 2 B0 0 0 0 10 0 0 0 (4)

0 0 0 0 4 0 0 0 0 0

1 2 3 4rank A ,A ,A ,A rankA rankB 3 , hạng của hệ véc tơ 1 2 3 4A ,A ,A ,A ít

hơn số véc tơ của hệ hệ véc tơ 1 2 3 4A ,A ,A ,A là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính.

Cách giải như trong sách bài tập không được coi là cách giải mẫu mực, vì có phải ai cũng thấy được dòng A3 bằng tổng các dòng A1 và A4 đâu. Chẳng hạn, chỉ cần sửa

41a 1 là ta được hệ 4 véc tơ mới, làm sao thấy được cái gì ở hệ véc tơ này:

(1) 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 0 1 10 31 1 1 3 1 0 (1) 2 7 2 0 1 2 7 2C F3 5 7 5 3 0 1 2 7 6 0 0 0 0 (4)1 3 4 1 4 0 1 1 3 5 0 0 1 10 7

Xét định thức cấp 4 xếp theo trật tự: cột 1, cột 2, cột 3, cột 5; dòng 1, dòng 2, dòng 4,

dòng 3:

1 0 1 30 1 2 2D 4 00 0 1 70 0 0 4

(định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần

tử trên đường chéo chính) 1 2 3 4rank A ,A ,A ,A rankC rankF 4 , hạng của hệ

véc tơ 1 2 3 4A ,A ,A ,A bằng số véc tơ của hệ hệ véc tơ 1 2 3 4A ,A ,A ,A là hệ véc tơ

độc lập tuyến tính.

9.48 a/ Véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ 321 A,A,A tồn tại

các số thực thì 1 2 3 1 2 3rank A ,A ,A rank A ,A ,A ,X . Nhưng 1 2 3rank A ,A ,A ,X

2 3 1 1rank 3 7 6 3 3

5 8 5

vì có định thức cấp 3: 2 3 13 7 3 11 05 8 5

1 2 3

2 3 1rank A ,A ,A rank 3 7 6 3

5 8

2 3 13 7 6 0 5 5 0 15 8

.

Ngược lại, nếu 1 thì hệ véc tơ 321 A,A,A là hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại

của hệ véc tơ 1 2 3A ,A ,A ,X véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ 321 A,A,A .

b/ Xét ma trận A mà các cột của nó là 1 2 3A ,A ,A ,X và biến đổi:

1 1 0 1 16/5 11/56 (1) 4 6 1 47 3 18 8 5 0 0 0 025 0 30A 3 2 10 5 3 1 0 6/5 1/5(15) 0 182 7 3 40 0 31 7 0 0 17 15

16 530 1 085

0 0 0 06 731 0 0

85150 0 1

17

1 2 3 1 2 3rank A ,A ,A rank A ,A ,A ,X 3 hệ véc

tơ 321 A,A,A là hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ 1 2 3A ,A ,A ,X

với mọi véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ 321 A,A,A với mọi .

9.49 a/ Xét ma trận A mà các cột của nó là 1 2 3 4A ,A ,A ,A và biến đổi:

1 0 3 1(1) 1 3 3 1 1 3 32 5 6 8 0 1 0 20 (7) 0 14A 1 5 3 9 0 6 0 12 0 0 0 03 4 9 5 0 7 0 14 0 0 0 0

1 2 3 4rank A ,A ,A ,A 2 và hệ 2 véc tơ 1 2A ,A là một cơ sở của hệ 1 2 3 4A ,A ,A ,A .

3 1 4 1 2A 3A ; A A 2A .

b/ Xét ma trận X mà các cột của nó là 1 2 3 4X ,X ,X ,X và biến đổi:

1 2 4 1(1) 2 4 1 1 0 18 173 1 3 5 0 7 15 8 0 0 64 64

X 0 3 1 2 0 3 1 2 0 0 22 221 2 1 2 0 0 3 3 0 0 ( 3) 32 5 1 6 0 1 7 80 ( 1) 7 8

1 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 1 10 1 0 1

1 2 3 4rank X ,X ,X ,X rankX 3 và hệ véc tơ 1 2 3X ,X ,X là một

cơ sở của hệ véc tơ 1 2 3 4X ,X ,X ,X , đồng thời 4 1 2 3X X X X .

9.50 Xét ma trận cấp m n tạo bởi hệ véc tơ 1 2 mA ,A , ,A , do hệ này là hệ độc

lập tuyến tính nên nó có hạng là m ma trận tương ứng có hạng là m nên nó có ít nhất một định thức cấp m khác 0. Khi mỗi véc tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 thì ma trận tương ứng tăng thêm cột thứ n 1 , nó vẫn có ít nhất định thức cấp m khác 0, định thức này vẫn chính là định thức trên. Vì vậy ma trận mới vẫn có hạng là m hệ m véc tơ mới vẫn có hạng là m hệ véc tơ mới vẫn độc lập tuyến tính.

9.51 Cách 1: Cho 1 2 mA ,A , ,A là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu

mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là phụ thuộc tuyến tính. Vì nếu hệ mới là độc lập tuyến tính thì theo bài 9.50, hệ cũ là độc lập tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ mới là phụ thuộc tuyến tính.

Cách 2: Hệ 1 2 mA ,A , ,A phụ thuộc tuyến tính 1 2 mrank A ,A , ,A m ma trận tương ứng có hạng nhỏ hơn m cấp của định thức con cấp cao nhất trong số các định thức con khác không vẫn nhỏ hơn m. Khi mỗi véc tơ của hệ đều bị bớt đi thành phần thứ n thì ma trận tương ứng mất đi cột thứ n cấp của định thức con cấp cao nhất trong số các định thức con khác không không thể tăng lên được. Vì vậy ma trận mới vẫn có hạng nhỏ hơn m hệ m véc tơ mới vẫn có hạng thấp hơn m hệ véc tơ mới vẫn phụ thuộc tuyến tính.

Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠBài 1: Khái niệm Không gian vectơ__________________________________1. Định nghĩa: Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một K-không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Tính giao hoán của phép cộng: ;

2. Tính kết hợp của phép cộng: ;3. Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn:

4. tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là thỏa mãn: 5.

6.

7.

8.

2. Nhận xét: - Các phần tử 0 trong điều kiện (3) và phần tử trong điều kiện (4) là duy nhất.- Các phần tử của V được gọi là vectơ được ký hiệu bởi các chữ La tinh nhỏ Các

phần tử của trường K được gọi là các vô hướng và ký hiệu là các chữ Hy Lạp nhỏ

- Nếu K thì ta gọi V là không gian vectơ thực, còn nếu thì ta gọi V là không gian vectơ phức.

- Ta định nghĩa phép trừ vectơ bằng công thức sau:

- Luật phân phối đối với hiệu: ;

3. Ví dụ: - Trường K là một không gian vectơ trên chính nó, tức là mỗi phần tử của K vừa đóng vai

trò là một vectơ, vừa đóng vai trò là một vô hướng.

- Cho với các phép toán

- Tập hợp những vectơ tự do trong mặt phẳng với những phép toán cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số thực mà chúng ta đã biết trong chương trình toán phổ thông là một không gian vectơ trên trường số thực .

- Tập hợp M(m, n, K) với các phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số tạo thành một không gian vectơ trên K.

- Tập hợp K[x] các đa thức một biến với hệ số trên trường K cùng với phép toán cộng đa thức và nhân đa thức với một số K tạo thành một không gian vectơ trên trường K.

- Gọi tập hợp là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n, trong đó n là số nguyên dương.

Ký hiệu , với deg f là bậc của f.

Nếu và với .

Trong với phép toán cộng và phép nhân vô hướng được định nghĩa như sau:

giả sử và với

Không mất tính tổng quát giả sử m < r.

Kiểm tra được cùng với hai phép toán được định nghĩa là không gian vector trên trường số thực .

- Gọi là tập hợp tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Định nghĩa các phép toán trong như sau:

- Nếu thì

Bài tập: Hãy chứng minh các ví dụ trên thỏa các tiên đề về không gian vectơ, sau đó hãy chỉ ra

vectơ đối và vectơ 0 tương ứng với các không gian vectơ trên. 4. Tính chất:

, trong đó 0 ở vế phải là vectơ 0, còn 0 ở vế trái là phần tử 0 của trường K;

Nếu thì hoặc hoặc

(Sinh viên tự chứng minh các tính chất trên như là bài tập.)

Bài 2: Không gian vectơ con ____________________________

1. Định nghĩa: Cho V là một K-không gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V. Khi đó W được

gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K-không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W.2. Định lý:

Tập con của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa:

i)

ii)

Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau:

Để chứng minh một tập hợp khác rỗng là không gian vector thì có hai cách hoặc chứng minh

tập hợp này với hai phép toán cộng và nhân vô hướng thỏa các tiên đề của không gian vector;

hoặc chứng minh rằng tập hợp đó là không gian vector con của một không vector khác. 3. Ví dụ:

1. Cho V là một không gian vectơ trên K thì V cũng là không gian vectơ con của V.

2. Tập cũng là một không gian vectơ con của V, được gọi là không gian không (hoặc không gian con tầm thường).

3. Với và thì W là không gian vectơ con của V, thật vậy:

ta có: .

4. Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không gian con của V. 5. Ví dụ: Trong ta xét hai tập hợp sau:

và

Khi đó ta có thể kiểm tra được là các không gian con của .

Đồng thời là không gian con của .

Tuy nhiên hay z = 0}, không phải là không gian con của .

Bài 3: Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính____________________________________________1. Tổ hợp tuyến tính:

1.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và là các phần tử

của V. Ta nói vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ nếu tồn tại các vô

hướng K sao cho .

1.2. Ví dụ:

i) Trong cho 3 vectơ . Khi đó vectơ u có dạng

có dạng: . Vậy, vectơ u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

, hoặc ta có thể nói u biểu thị tuyến tính được qua các vectơ .

ii) Cho , Khi đó, vectơ v là tổ hợp

tuyến tính của các vectơ vì .

Mặt khác, vectơ không là tổ hợp tuyến tính của các vectơ ;

vì nếu ngược lại thì thành phần thứ 3 của vectơ u phải bằng 0, vô lý.

1.3 Nhận xét:

i) Nếu v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ thì v cũng là tổ hợp tuyến tính

của các vectơ .

Thật vậy, nếu thì

ii) Vectơ 0 luôn là tổ hợp tuyến tính của một họ vectơ bất kỳ. 2. Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính:

2.1 Định nghĩa: Họ các vectơ của không gian vectơ V trên trường K được gọi

là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng K không phải tất cả đều bằng 0

sao cho: . Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính.

2.2 Nhận xét:

- Họ các vectơ phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất 1

hệ số . Giả sử đó là . Khi đó, .

Suy ra, nếu các vectơ phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

- Các vectơ độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu

Nói cách khác, hệ phương trình vectơ

có nghiệm duy nhất là (0, 0, …,0).

2.3 Ví dụ: Trong cho hệ vectơ . Hệ trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải:Xét hệ phương trình vectơ:

.

Ta có ma trận các hệ số của hệ trên là và rankA = 3, nên hệ phương trình

trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0). Do đó, hệ các vectơ trên độc lập tuyến tính. Nhận xét:

i) Từ ví dụ trên để xét hệ m các vectơ là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến

tính trong , ta lập ma trận A với các cột là các vectơ , rồi tìm rankA. Nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ) thì hệ độc lập tuyến tính, ngược lại nếu rankA <m thì hệ phụ thuộc tuyến tính.

Do nên nếu lập ma trận A có các dòng là các vector và thực hiện

các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang¸khi đó hệ vector là độc lập tuyến nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ), ngược lại nếu rankA <m thì hệ phụ thuộc tuyến tính.

ii) Vectơ gọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ , nếu tồn tại các số

, sao cho (hay phương trình vectơ

có nghiệm)

Ví dụ 2: Trong cho 3 vector sau: . Khi đó ta có

khi đó hệ ba vector trên là phụ thuộc tuyến tính.

Sinh viên có thể nhận xét do vector là tổ hợp tuyến tính của hai vector nên hệ 3 vector này phụ thuộc tuyến tính.

Bài tập: Sinh viên hãy vận dụng nhận xét trên và kiểm tra xem các họ vectơ được nêu sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:

i) Các vectơ ;

ii) Với A, B, C là các vectơ của không gian các ma trận vuông cấp 2 trên như sau:

iii) Trong không gian các đa thức một biến hệ số thực xét các vector sau:

3. Định lý và hệ quả

3.1. Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ các vectơ phụ thuộc tuyến tính là một trong các vectơ đó là tổ hợp của các vectơ còn lại.

Sinh viên tự chứng minh định lý như bài tập nhỏ.

3.2. Hệ quả: Trong các vectơ nếu có vectơ 0 thì hệ các vectơ này phụ thuộc tuyến tính.

Nếu một phần của họ các vectơ phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các vectơ của hệ đó đều phụ thuộc tuyến tính.

thì {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi .

Hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỷ lệ.

Sau đây, ta sẽ mở rộng định nghĩa độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cho một họ bất kỳ những vectơ của không gian vectơ V.

3.3. Định nghĩa: Một họ khác rỗng những vectơ của không gian vectơ V gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính của V.

Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vectơ của V gọi là độc lập tuyến tính, nếu mọi họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều độc lập tuyến tính.

Bài 4: Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ________________________________________________

1. Hệ sinh:1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp

tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh.

Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều.

Do đó, nếu cho S là hệ sinh của V khi và chỉ khi:

.

Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu .

1.2 Ví dụ:

1. Nếu thì .

2. Đối với không gian vectơ , hệ vectơ gồm các vectơ là một cơ sở của không gian vectơ .

3. Tập các đơn thức là một hệ sinh của không gian các đa thức K[t].

4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V là hệ sinh của V.

1.3 Nhận xét:

Để chứng minh S là một hệ sinh của V ta chứng minh mọi tập con hữu hạn là hệ sinh của V. Khi đó, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

Phương pháp 1:

Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có các số thuộc trường K sao cho

.

Trong không gian vector với điều này tương đương với hệ phương trình:

luôn có nghiệm với trong đó

.

Phương pháp 2:

Nếu biết trước 1 hệ sinh của V thì cần chứng tỏ mỗi vector biểu diễn được

qua các vector với i = 1, …, m.

Ví dụ: Chứng minh rằng hệ 4 vector là hệ sinh của không gian vector .

Giải:

Xét hệ phương trình

Hệ này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phương trình là:

1.4 Định lý: E(S) là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V chứa tập S.

1.5 Định lý: S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính. 2. Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ: 2.1 Định nghĩa: Ta gọi hệ vectơ là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu của V. Nói

cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ độc lập tuyến tính.

Nếu tập được sắp thứ tự là cơ sở của V và thì bộ các số được gọi

là tọa độ của u theo S nếu .

Ví dụ: Trong xét cơ sở chính tắc gồm 4 vector sau đây:

khi đó vector được

biểu thị tuyến tính qua các vector như sau:

. Suy ra tọa độ của vector u đối với cơ sở trên là u = (1, 2, 3, 4).

Mặt khác, trong xét cơ sở gồm các vector sau:

thì khi đó vector được biểu thị tuyến tính qua các vector trên như sau:

. Khi đó, tọa độ của u đối với cơ sở này là u = (-2, -1, 3, 3).

2.2 Định lý: Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V là như nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV.

2.3 Ví dụ:

- Các vectơ lập thành một cơ sở của không gian vectơ . Ta gọi đây là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên) của , vậy . Một vectơ có tọa độ với hệ là . Tuy nhiên, tọa độ của

x theo hệ lại là

- Các ma trận lập thành một cơ sở của

không gian các ma trận M(2;K). Một ma trận sẽ có tọa độ đối với hệ cơ sở này là

(a, b, c, d).

- Trong không gian vectơ các ma trận , ta có thể lập một hệ cơ sở bao gồm các ma trận trong đó các phần tử tương ứng ở dòng i và cột j với bằng 1 còn

các phần tử còn lại của ma trận này đều bằng 0. Khi đó, .

- là tập hợp các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hay bằng n với các phép toán thông

thường là một không gian vectơ. Trong đó, hệ là một cơ sở của không gian vectơ

này. Do đó, .

2.4 Định lý: Cho S là một hệ vectơ của không gian vectơ V. Khi đó, các điều kiện sau tương đương:

i) S là cơ sở của V;ii) Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua các vectơ của hệ S; iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Khi ta có dimV = n thì các điều kiện trên

tương đương với: iv) S là một hệ sinh có đúng n phần tử;v) S là một hệ độc lập tuyến tính có n phần tử;vi) S có đúng n phần tử và ma trận các cột (dòng) là các vectơ tọa độ của các phần tử của

S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không.2.5 Nhận xét:Đối với không gian hữu hạn chiều (giả sử dim V = n ) thì để chứng minh một hệ vector

gồm n vector là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ vector này là độc lập tuyến tính.

2.6 Hệ quả 1: i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V.ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở thành cơ sở. 2.7 Hệ quả 2:

i) Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều hữu hạn.ii) Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều.

2.8 Định nghĩa: Cho một hệ hữu hạn vectơ trong không gian vectơ V. Số phần tử

của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của là một hằng số (không phụ thuộc vào cách

chọn hệ con, chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ ). Hằng số này được gọi là hạng của hệ

vectơ . Ta ký hiệu hạng của hệ là .

2.9 Định lý: Gọi A là ma trận có các dòng (cột) là các tọa độ của các vectơ khi đó ta có

.

Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó.

Chú ý: Trong phạm vi của tài liệu này ta chỉ đề cập đến không gian vectơ hữu hạn chiều, tức là .

Ví dụ:

Xét hệ vector . Khi đó,

= 4 với A là ma trận có các dòng là tọa độ của các vector trong cơ sở chính tắc của .

3. Không gian hữu hạn chiều: 3.1 Định nghĩa: Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ n chiều nếu cơ sở của

V có n vectơ.3.2 Tính chất: Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó:(a) Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.(b) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V. (c) Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V.(d) Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n-k vectơ để lập thành

một cơ sở của V. Sinh viên tự cho ví dụ minh họa cho các tính chất trên. Chú ý: Từ tính chất (b) và (c) ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng minh một hệ n

vectơ là cơ sở thì ta cần chứng minh đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ sinh.

Bài 5: Tọa độ vectơ trong cơ sở - Công thức đổi tọa độ ______________________________________________

1. Tọa độ vectơ trong một cơ sở: 1.1 Định nghĩa: Một cơ sở của không gian vectơ được gọi là cơ sở được sắp nếu ta chú ý

đến thứ tự của các vectơ cơ sở. Ta dùng ký hiệu để chỉ cơ sở được sắp, còn

là cơ sở không được sắp. Ta gọi cơ sở không được sắp là một tập cơ sở.

Do đó, và là hai cơ sở khác nhau. Rõ ràng hai cơ sở được sắp B và B’ nói trên đều thuộc vào môt tập cơ sở. Ứng với một tập cơ sở gồm n phần tử ta sẽ có n! cơ sở được sắp.

Cho V là không gian vectơ n chiều là một cơ sở của V khi đó, x viết được

duy nhất dưới dạng: .

Bộ số được xác định một cách duy nhất và được gọi là tọa độ của x trong cơ sở B.

Để chỉ tọa độ của x trong cơ sở B, ta ký hiệu: . Hoặc .

1.2 Ví dụ:

Xét không gian gồm các đa thức bậc nhỏ hơn bằng 2. Xét hệ vector

, khi đó với mọi vector u = thuộc thì tọa độ của u đối

với cơ sở là

1.3 Tính chất:

Nếu và thì

i) ;

ii) ;

iii)

1.4 Ví dụ:

Trong cho hệ 3 vectơ .

a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của .

b) Tìm tọa độ của các vectơ trong cơ sở B.

Giải:Vì B là hệ gồm 3 vectơ trong không gian hữu hạn chiều , nên để chứng minh B là cơ sở

của ta chỉ cần chứng minh B là hệ độc lập tuyến tính.

Để chứng minh điều này ta có thể xây dựng ma trận A có các dòng là các vectơ , sau đó chứng minh rankA = 3 hay .

Ta có, .

Vậy hệ các vectơ là hệ độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của .

b) Xét một vectơ tùy ý , giả sử , khi đó

Vậy với mọi vectơ tùy ý , thì ta có

.

Lần lượt cho a bằng ta có tọa độ của các vectơ trong cơ sở B lần lượt là:

■2. Đổi cơ sở, ma trận đổi cơ sở, công thức đổi tọa độ:

Giả sử trong không gian vectơ V, ngoài cơ sở còn có một cơ sở khác là

.

Nếu tọa độ của các vectơ trong cơ sở B là , hay .

Khi đó, đặt , mà các cột của ma trận này lần lượt là tọa độ của các

vectơ trong cơ sở B.

Khi đó, C được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở B’, ký hiệu là hay .

2.1 Định lý: Cho V là một không gian vectơ n chiều trên trường K và A, B, B’ là các cơ sở được sắp của V. Khi đó, ta có các điều khẳng định sau:

a) Ma trận đổi cơ sở từ A sang A là .b) .

c) .

2.2 Công thức đổi tọa độ:Cho không gian vectơ V, gọi B và B’ là hai cơ sở được sắp của V. Giả sử và tọa độ

của x đối với cơ sở B và B’ lần lượt là: và .

. Mặt khác, , nên .

Do tính duy nhất của phép biểu thị tuyến tính qua cơ sở B của x nên ta có

. Hay, ta có thể viết tường minh như sau:

Dạng ma trận của biểu thức trên là hoặc

2.3 Các ví dụ:

1) Trong , cho cơ sở B với các vectơ lần lượt có tọa độ sau:

.

1. Hãy lập ma trận và công thức đổi từ cơ sở chính tắc C sang cơ sở B.2. Tìm tọa độ của u = (5, 4, 3) trong cơ sở B.3. Tìm vectơ , biết tọa độ của vectơ v trong cơ sở B là .

Giải:1) Ta có cơ sở chính tắc C của là cơ sở gồm các vectơ

. Khi đó,

. Do đó, ma trận đổi từ cơ sở chính tắc C sang cơ sở B

là

■

2) Giả sử , khi đó áp dụng công thức đổi tọa độ của một vectơ ta có:

. Vậy .■

3) Gọi tọa độ của v trong cơ sở chính tắc V là ta có

. Vậy hay v= (3, 4, 5) .■

2) Trong cho 2 cơ sở và như sau:

1) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’.2) Viết công thức tính tọa độ của vectơ x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’.Giải:

Giả sử . Khi đó, ma trận chuyển cơ sở B sang cơ sở B’ có dạng:

. Để tìm ta phải giải các phương trình vectơ (1), (2), (3).

Phương trình (1) tương đương với hệ

Phương trình (2) tương đương với hệ

Phương trình (3) tương đương với hệ

Ta dùng phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình trên, lập các ma trận hệ số mở rộng:

Vậy với hệ (1) ta có

Hệ (2) ta có

Hệ (3) ta có

Vậy ma trận đổi cơ sở B sang cơ sở B’ là .■

b) Giả sử và . Khi đó, công thức tính tọa độ của x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’ là:

■

3) Trong cho 2 cơ sở và với

, với a là một hằng số.

a) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B sang B’.

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B’ sang B.Giải:

a) Ta có

Lần lượt cho k = 0, 1, 2, …, n ta có

b) Ta có:

Lần lượt cho k các giá trị k = 0, 1, …., n ta có

■

Bài 6: Không gian dòng của ma trận – Tổng và giao các không gian con_________________________________________________________________

1. Không gian dòng của ma trận:1.1 Định nghĩa: Cho ma trận . Với mỗi i = 1, 2, …., m đặt

và là không gian con của sinh bởi các vectơ

. Ta gọi là các vectơ dòng và là không gian dòng của ma trận A. 1.2 Nhận xét: Không gian dòng của ma trận sẽ không thay đổi nếu ta áp dụng các phép

biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận. Do đó, ta sẽ dễ dàng tìm được cơ sở và số chiều của không gian này.

1.3 Định lý: Cho . Khi đó:

i) Nếu A tương đương dòng với B thì .

ii) .

1.4. Hệ quả: Cho và B là một dạng bậc thang của ma trận A. Khi đó có thể chọn các vectơ dòng khác 0 của B làm cơ sở cho không gian dòng WA.

1.5 Ví dụ: Tìm một cơ sở và số chiều cho không gian con của sinh ra bởi các vectơ

Giải:

Có thể xem như các vectơ dòng của ma trận A

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A về dạng bậc thang.

Vậy . Do đó, dim W = 3. 2. Tổng của các không gian con – Tổng trực tiếp

2.1 Định lý: Trong không gian vectơ V cho m ( ) không gian con . Khi đó

tập hợp là một không gian con của V, hơn nữa nó là

không gian nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) của không gian V chứa , W được gọi là

không gian tổng của các không gian con , ký hiệu là .

2.2 Nhận xét:i) Mỗi đều biểu diễn được thành tổng các vectơ từ các không gian

con thành phần . Tuy nhiên, cách biểu diễn trên có thể không duy nhất.

ii) Nếu và thì .

2.3 Ví dụ:

1) Trong , xét cơ sở chính tắc . Ta có các không gian con của như sau: W, Z, T .

; và

. Khi đó,

; và .■

2) Với , xét các không gian con sau:

và

Khi đó, vectơ vì (3,3, -1) = (2,2,-2) +(1,1, 1) trong đó và

.

Tuy nhiên, vectơ vì .■

3) Với , xét các không gian con sau:

và Chứng minh rằng

Giải:

Kiểm tra được .

Ngược lại, với mọi vectơ thì .

Kiểm tra được và . Suy ra,

Do đó, .■

2.4 Định nghĩa: Tổng được gọi là tổng trực tiếp nếu với mỗi thì chỉ có

một cách biểu diễn duy nhất , với . Khi đó ta ký hiệu

.

Trường hợp , thì ta nói (tương ứng ) là không gian con bù trực tiếp của

(tương ứng ).

2.5 Định lý: Cho là những không gian con của không gian vectơ V. Khi đó,

W là tổng trực tiếp của nếu và chỉ nếu mọi phần tử x của W đều viết được một

cách duy nhất dưới dạng: , với .

2.6 Định lý: Giả sử và là hai không gian con của không gian vectơ V khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

i) là tổng trực tiếp;

ii) .

2.7 Định lý: Cho và là hai không gian con của không gian vectơ hữu hạn chiều V.

Khi đó,

2.8 Hệ quả: Nếu tổng W + Z của hai không gian hữu hạn chiều W, Z trong không gian vectơ V là tổng trực tiếp thì

2.9 Ví dụ:

1) Trong không gian xét hai không gian con và .

Hãy xác định dimW, dimZ, tìm và W + Z.Giải:

Ta có: và .

Do đó, dimW = dimZ = 2

Ta có: , nên . Từ đó ta được,

.

Do , nên .■

2) Cho U là không gian con sinh bởi các vector và V là không gian con sinh bởi các vector

Hãy tìm một cơ sở và số chiều của U + V và Giảia) Tìm cơ sở của U +V.

Lập ma trận A có các dòng là các vector , thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta đưa ma trận này về dạng bậc thang. Khi đó số chiều của U + V là rank A và ta có thể chọn các dòng khác 0 của ma trận A làm vector trong cơ sở của U + V.

:= A

1 3 -2 2 31 4 -3 4 22 3 -1 -2 91 3 0 2 11 5 -6 6 32 5 3 2 1

Sau các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta được ma trận bậc thang sau:

1 0 0 -4 70 1 0 2 -20 0 1 0 -10 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

Khi đó, gọi là một cơ sở của U+ V.

Suy ra, dim U + V = 3.

Để tìm được cơ sở của ta tìm điều kiện để vector thuộc U và thuộc V. Ta có vector x thuộc U khi và chỉ khi x biểu thị tuyến tính qua các vector cơ sở của U tức là hệ phương trình với ma trận hệ số sau có nghiệm.

Vậy để vector x thuộc U khi và chỉ khi

Ta có vector x thuộc V khi và chỉ khi x biểu thị tuyến tính qua các vector cơ sở của V tức là hệ phương trình với ma trận hệ số sau có nghiệm.

Vậy để vector x thuộc V khi và chỉ khi

Do đó, để x thuộc U giao V khi và chỉ khi

Hệ phương trình thuần nhất trên có ma trận hệ số là:

:= A

-3 1 1 0 04 -2 0 1 02 -1 0 0 1

-1 1 1 0 0-4 -2 0 1 0-6 -1 0 0 1

Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang sau

1 0 0 0 00 1 0 0 -10 0 1 0 10 0 0 1 -20 0 0 0 00 0 0 0 0

Vậy hệ phương trình trên có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số

với

Khi đó cơ sở của gồm 1 vector duy nhất

Do đó, Chú ý: Sinh viên có thể tham khảo thêm về không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trong các tài liệu viết về đại số tuyến tính.

Tóm tắt chươngTrong chương này, sinh viên được tiếp cận với những kiến thức cốt lõi của đại số tuyến

tính bao gồm các kiến thức về không gian vectơ như: Định nghĩa, tính chất, khái niệm về sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính, khái niệm về cơ sở, số chiều, tọa độ trong không gian vectơ hữu hạn chiều v/v…Sau khi học xong chương này sinh viên cần trả lời các câu hỏi sau:

1. Không gian vectơ là gì? Có những tính chất nào?2. Thế nào là không gian vectơ con? Cách chứng minh một không gian vectơ là không

gian vectơ con?3. Thế nào là một hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính? Cách chứng minh một hệ

vectơ độc lập tuyến tính? Hệ độc lập tuyến tính tối đại có những tính chất gì? Hệ sinh là gì?

4. Điều kiện để một hệ vectơ trở thành cơ sở? Có những cách nào để chứng minh một hệ vectơ là cơ sở? Ma trận chuyển cơ sở được xác định như thế nào?

5. Tọa độ của một vectơ đối với 1 cơ sở được xác định như thế nào? Cách chuyển tọa độ của một vectơ từ cơ sở này sang tọa độ của vectơ đó trong cơ sở khác?

6. Tổng của không gian vectơ là gì? Tổng trực tiếp của các không gian vectơ được định nghĩa như thế nào?

BÀI TẬP1. Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn

trên trường K lập thành một không gian vectơ trên trường K. 2. Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất n

ẩn trên trường K không lập thành không gian vectơ trên trường K.3. Xét xem tập hợp nào sau đây với phép cộng và phép nhân với một số thông thường lập

thành một không gian vectơa) Tập các ma trận thuộc M(m, n, K).b) Tập các ma trận vuông cấp n đối xứng trên trường K.c) Tập các ma trận chéo cấp n trên trường K. d) Tập các ma trận vuông cấp n trên K có định thức bằng 0.

4. Cho K là một trường và với các phép toán xác định như sau:(a, b) + (c, d) = (a+c, b + d) và k(a,b) = (ka, 0).Chứng minh V là không gian vectơ trên trường K.5. Cho U là không gian vectơ con của V. Chứng tỏ rằng hiệu tập hợp V\U không phải là

không gian vectơ con của V. 6. Cho V là tập các hàm thực, dương và liên tục trên đoạn [-a, a]. Trên V ta định nghĩa

các phép toán cộng và nhân như sau:

a) Chứng minh rằng V là một không gian vectơ trên .b) Tập hợp tất cả các hàm số chẵn trong V có là không gian con của V không?c) Tập hợp tất cả các hàm số lẻ trong V có phải là không gian vectơ con của V không?

7. Cho V là tập hợp tất cả các hàm số với các phép toán cộng và nhân thông thường, nghĩa là:

Hãy kiểm tra xem V có phải là một không gian vectơ trên không?8. Trong các tập hợp con W của sau đây, tập hợp nào là không gian con của .

9. Trong các tập con W sau đây của với các phép toán cộng và phép toán nhân được định nghĩa như sau: thì

Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào là không gian con của

10. Cho là một họ các không gian vectơ con của V. Ký hiệu là tập hợp gồm các

phần tử có dạng với . Chứng minh tập này là không gian vectơ con của V.

11. Trong cho hai vectơ .

a) Vectơ u = (2, -3, 3) có biểu thị tuyến tính được qua không?

b) Tìm m để v = (1, m, -3) biểu thị tuyến tính được qua .

12. Trong cho các vectơ . Tìm

điều kiện để vectơ là tổ hợp tuyến tính của

a) ;

b)13. Xét xem các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

14. Trong (không gian các đa thức hệ số thực bậc không quá 3), xét các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

15. Trong không gian vectơ V cho 3 vectơ x, y, z. Chứng minh rằng {x+y, y+z, z+x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {x, y, z} độc lập tuyến tính.

16. Trong không gian chứng minh rằng hệ sau độc lập tuyến tính

17. Tìm hạng của hệ vectơ sau trong , sau đó tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của nó.

18. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của ?

19. Trong chứng minh là cơ sở và tìm tọa độ của u đối với B trong các trường hợp sau:

20. Trong cho hai hệ vectơ và B’ = {(2,1,-1); (3,2,-5); (1,-1,m)}.a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của .b) Tìm m để B’ là một cơ sở của .c) Trong trường hợp B’ là cơ sở của hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và

tìm tọa độ của vectơ u = (1, 0, 0) trong hai cơ sở đó. 21. Trong cho hai hệ vectơ và

B’ = {(0,0,1); (1, -1, 0);(1,1,1)}.a) Chứng minh rằng B và B’ là các cơ sở của .Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang

B’ và từ B’ sang B.b) Tìm tọa độ của vectơ x = (1, -1, 1) trong hai cơ sở đó.

22. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của sinh bởi hệ vectơ sau:a) {(1, 4, -1, 3); (2,1, -3, -1); (0,2, 1, -5)};b) {(1, -4, -2, 1); (1, -3, -1, 2); (3, -8, -2, 7)}.

23. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của sinh bởi hệ vectơ sau:

24. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con V của trong các trường hợp sau:a. V là tập gồm các vectơ thỏa

b. V là tập gồm các vectơ thỏa .25. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian sau:

a. Tập hợp các ma trận vuông cấp n.b. Tập hợp các ma trận vuông đối xứng cấp n.c. Tập hợp các ma trận vuông phản xứng cấp n.

26. Trong chứng minh rằng không gian sinh bởi các vectơ (1,2,3); (-1, -1, 2) và (-1, 1, 12) trùng với không gian con sinh bởi các vectơ (0, 1, 5) và (1, 3, 8).Nhận xét: Ta có thể phát biểu một cách tổng quát sau:Cho S và S’ là những tập con hữu hạn khác của một không gian vectơ. Chứng minh rằng nếu mỗi phần tử của S là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của S’ và mỗi phần tử của S’ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của S thì .

27. Trong cho các vectơ . Chứng tỏ các vectơ trên phụ thuộc tuyến tính. Tìm một cơ sở cho không gian con của

sinh bởi các vectơ này.

28. Tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở

29. Trong không gian cho hai không gian con

và

a. Tìm một cơ sở và số chiều của .b. Tìm một cơ sở và số chiều của W1 + W2.

30. Trong không gian cho hai không gian con sau đây

và

Tìm một cơ sở và số chiều của .31. Trong không gian cho hai không gian con sau đây

và

Tìm cơ sở, số chiều của . 32. Trong không gian cho các vectơ sau đây

Đặt . Hãy tìm cơ sở cho mỗi không gian con

. Từ đó suy ra .33. Trong không gian cho các vectơ sau đây u = (1, 1, 0, -1); v = (1, 0, 0, -1);

w = (1, 0, -1, 0). Đặt và .

Hãy tìm cơ sở cho mỗi không gian con . Từ đó suy ra .

34. Trong , cho các vectơ

a) Chứng minh rằng là các cơ sở của .

b) Tìm nếu biết u = (1, 2, 3), và

35. Trong cho các vectơ

Đặt

a) Kiểm tra là cơ sở của W.

b) Cho . Tìm điều kiện để và với điều kiện đó hãy tìm .

c) Kiểm tra là một cơ sở của W. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’.

d) Tìm nếu biết và

36. Trong không gian vectơ , cho tập V có dạng:

(a) Chứng minh rằng V là một không gian con của .(b) Tìm một cơ sở và số chiều của V.37. Trong không gian , cho tập con

38. Chứng minh rằng nếu hệ vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có vectơ nào biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ.

Tìm m để vectơ biểu thị tuyến tính qua các vectơ

(a) Chứng tỏ F là một không gian con của .(b) Tìm một cơ sở và số chiều của F.

Định thức

Giới thiêu về định thứcVới một ma trận vuông cấp 2 bất kỳ, ta tìm thấy điều kiện cần và đủ để ma trận là khả nghịch. Thật vậy, xét ma trận:

Ma trận A là khả nghịch khi và chỉ khi ad - bc ≠ 0. Ta gọi số này là định thức của A. Từ điều này,  chúng ta muốn có một kết quả tương tự cho các ma trận lớn hơn (tức là ma trận có cấp cao hơn). Vì vậy, ta có định nghĩa định thức tương tự cho một ma trận vuông bất kỳ, nó xác định một ma trận vuông là khả nghịch hay không?

Để tổng quát  khái niệm cho các các cấp cao hơn, chúng ta cần phải nghiên cứu về khái niệm định thức và những tính chất nào của nó được thỏa mãn. Trước hết, chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây cho định thức.

Định thức của = det = = ad - bc

Các tính chất của định thức

1. Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, nghĩa là

Từ tính chất này ta suy ra sử dụng dòng hay cột để tính định thức đều được. Đặc biệt ta sẽ thấy các phép biến đổi cơ bản trên hàng hữu hiệu thế nào trong việc tìm định thức. Do đó, ta có những kết quả tương tự cho các phép biến đổi cơ bản trên cột.

2. Định thức của ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo, tức là

3. Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu, tức là

4. Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó, tức là.

Đặc biệt, nếu tất cả các phần tử trong một dòng là số 0 thì định thức bằng 0.5. Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ

bằng định thức của ma trận cũ, tức

6. Ta có

Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó

Nếu A và B tương tự, khi đó

Ta lấy ví dụ để hiểu rõ hơn về các tính chất trên.

Ví dụ. Tính

Chúng ta hãy đưa ma trận này về ma trận tam giác qua các phép biến đổi cơ bản. Ta giữ lại dòng 1 và lấy dòng 1 nhân với rồi cộng vào dòng 2. Ta được

Sử dụng tính chất 2, ta được

Vì vậy, ta có

ta có thể dễ dàng kiểm tra lại kết quả.

Định thức của các ma trận cấp cao hơn sẽ được trình bày ở mục .

Định thức của các ma trận cấp caoNhư đã trình bày trước đó, mong muốn của chúng ta là những tính chất của định thức đã đúng với ma trận cấp 2 vẫn còn đúng với một ma trận vuông tổng quát. Nói cách khác, chúng ta giả định:

1. Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, tức là

2. Định thức ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo.

3. Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu.

4. Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó.

5. Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ.

6. Ta có

Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó

Vì vậy, chúng ta hãy xét một ma trận cấp 4.

Ví dụ. Tính

Ta có

Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng đầu nhân với một số thích hợp, ta được

Ta giữ lại dòng đầu, biến đổi trên những dòng còn lại. Đổi dòng 2 với dòng 3, ta được

Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng thứ 2 nhân với một số thích hợp, ta được

Sử dụng tính chất trước đây, ta được

Nếu ta nhân dòng thứ ba với 13 và cộng vào dòng thứ tư, ta được

định thức này bằng 3. Như vậy, định thức ban đầu là

Những tính toán dường như là khá dài. Sau này ta sẽ thấy có một công thức dùng để tính định thức của ma trận.

Ví dụ. Tính

Trong ví dụ này, những phép biến đổi cơ bản không được trình bày chi tiết. Ta có

Ví dụ. Tính

Ta có

Công thức chung để tính định thức Cho A là một ma trận vuông cấp n . Ta viết A = (aij), trong đó aij là phần tử ở dòng i và cột j, với i = 1, …, n và j = 1, …, n. Với mỗi i, j ta đặt Aij (gọi là phần bù đại số) là định thức cấp (n-1) có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j nhân với (-1)i+j. Ta có

với i cố định, và

với k cố định. Nói cách khác, chúng ta có hai công thức: công thức khai triển theo dòng (thứ i) hoặc khai triển theo cột (thứ j). Ta khai triển theo bất kỳ dòng nào hoặc cột nào đều được. Bí quyết là sử dụng dòng nào hoặc cột nào có nhiều số không nhất.

Đặc biệt, ta có công thức khai triển theo dòng

Hoặc

Hoặc

Như một bài tập, hãy viết các công thức khai triển theo cột

Ví dụ. Tính

Ta sử dụng công thức khai triển theo dòng thứ ba. Ta có

Có kỹ thuật để tính định thức dễ dàng hơn không?. Câu trả lời là phụ thuộc vào định thức được yêu cầu tính. Có những định thức nên dùng các phép biến đổi cơ bản, có những định thức nên dùng công thức khai triển. Tất cả những vấn đề đó là để có được câu trả lời chính xác.

Lưu ý: Tất cả các tính chất ở trên vẫn đúng trong trường hợp tổng quát. Ngoài ra, ta nên nhớ rằng các khái niệm của định thức chỉ tồn tại cho ma trận vuông.

Định thức ma trận và ma trận khả nghịch.

Tìm ma trận nghịch đảo là vẫn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học. ví dụ giải mã một tin nhắn ta tìm ma trận nghịch đảo. Xét ma trận vuông. Ma trận A được gọi là khả nghịch

nếu và chỉ nếu . Ngoài ra nếu A có cấp n, khi đó Ai,j được định nghĩa là ma trận cấp n-1 tạo thành từ ma trận A bằng cách bỏ đi phần tử nằm ở dòng I cột j. Nhắc lại

với mọi I cố định và

với mọi j cố định. Định nghĩa ma trận chuyển vị của A, kí hiệu adj(A).

Ví dụ. Cho

Ta có

Lấy giá trị . Ta có

Chú ý rằng . Do đó ta có

Định nghĩa chuyển vị của ma trận A kí hiệu adj(A), là ma trận mà phần tử dòng i cột j là phần tử dòng j cột i của ma trận ban đầu.

Định lí. Với mọi ma trận A cấp n, ta có

Đặc biệt, nếu , khi đó

Cho ma trận vuông cấp hai, ta có

điều này dẫn đến

Đây là công thức đã dùng ở trang trước.

Trong trang tiếp theo, chúng ta thảo luận ứng dụng công thức trên vào hệ tuyến tính.

Ứng dụng của định thức tới hệ phương trình: Qui tắc Cramer.

Chúng ta thấy rằng định thức là hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch. Ta có thể sủ dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hể số khả nghịch.

Xét hệ tuyến tính( dưới dạng ma trận)

A X = B

trong đó A là ma trận hệ số, B là ma trận hạn cột tự do, và X ma trận cột ẩn. Ta có:

Dịnh lí. Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu A là ma trận khả nghịch. Trong trường hợp này, nghiệm được cho bởi quy tắc định thức Cramer:

trong đó xi là nghiệm của hệ hoặc là một phần tử của X, và ma trận Ai được xác định từ A bằng cách thay thế cột thứ I bởi ma trận cột B. Khi đó, ta có

với bi những phần tử của B.

Đặc biệt, nếu hệ tuyến tính AX = B là thuần nhất, nghĩa là , khi đó nếu A khả

nghịch, nghiệm duy nhất của hệ là tầm thường , đó là . Do đó nếu ta ta tìm nghiệm khác 0 của hệ, ma trận hệ số A phải khả nghịch.Ta cũng biết rằng điều này xảy ra néu và chỉ

nếu . Đây là kết quả quan trọng.

Ví dụ. Giải hệ phương tình tuyến tính.

Giải. Trước hết, chú ý rằng

điều này chỉ ra ma trận hệ số khả nghịch. Sử dụng công thức Cramer. Ta có

và nghiệm là

Chú ý rằng, dễ thấy z=0. Thật vậy, sự xác định cho z có hai dòng giống nhau ( dòng 1 và dòng cuối). Ta cố gắng kiểm tra giá trị tìm được của x, y, và z là nghiệm của hệ cho trước.

Chú ý. Quy tắc Cramer chỉ sử dụng cho hệ tuyến tính mà ma trận hệ số khả nghịch.

Giá trị riêng và vectơ riêng: Giới thiệu.

Bài toán giá trị riêng là vấn đề đáng quan tâm về lí thuyết và ứng dụng rộng rãi. Ví dụ, vấn đề này là quan trọng trong việc giải hệ phương trình vi phân, phân tích mô hình tăng trưởng dân số và tính toán bậc của ma trận ( trong việc xác định lũy thừa ma trận). Các lĩnh vực khác như vật lí, xã hội học, sinh học, kinh tế và thống kê đã tập trung sự chú ý đáng kể vào giá trị riêng và vectơ riêng trong các ứng dụng và tính toán của chúng. Trước khi cung cấp khái niệm chính thức, chúng tôi giới thiệu khái niệm này trong một ví dụ.

Ví dụ. Xét ma trận

Xét ba cột của ma trận

Ta có

Suy ra

Tiếp theo xét ma trận P có các cột là C1, C2, và C3,

Ta có det(P) = 84. Nên ma trận khả nghịch. Tính toán đơn giản

Tiếp theo tính P-1AP

ta có

Sử dụng ma trận tích, ta được

điều này chỉ ra A đồng dạng với một ma trận chéo. Đắc biệt, ta có

với . Chú ý rằng không thể tìm A75 , một cách trực tiếp từ dạng ban đầu của A.

Ví dụ này là phong phú để kết luận nhiều câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên.Ví dụ , cho trước ma trận vuông A, làm thế nào để tìm ma trận cột đồng dạng với những cái ở trên? Nói cách khác, làm thế nào để tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo?

Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ma trận cột vectơ. Vì vậy các cột ma trận C1, C2, và C3 là các vectơ. Chúng ta có định nghĩa.

Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông. Một vectơ C khác 0 được gọi là vectơ riêng của A nếu và chỉ nếu tồn tại một số ( thực hoặc phức) sao cho

mỗi giá trị là giá trị riêng của A. Vectơ C được gọi là vectơ triêng của A tương ứng với giá trị riêng .

Chú ý. Vectơ riêng C phải khác 0 bởi vì ta có

với bất kì số .

Ví dụ. Xét ma trận

Ta thấy rằng

trong đó

Dó đó C1 là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 0. C2 là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng -4 , C3 là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 3.

Lệu có thể tìm được tất cả các giá trị riêng trên không. Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về điều này.

Tính các giá trị riêng

Cho ma trận vuông A có cấp n, số là giá trị riêng nếu và chỉ nếu tồn tại một vectơ C khác 0 sao cho

Sử dụng tính chât của tích hai ma trận, ta thu được

Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số

Chúng ta cũng biết rằng hệ này có một nghiệm nếu và chỉ nếu ma trận hệ số khả nghịch, tức là

Bởi vì vectơ 0 là một nghiệm C không là vectơ 0, nên ta phải có

Ví dụ. Xét ma trận

Phương trình tương đương với

tương đương với phương trình bậc hai

Giải phương trình này dẫn đến

Nói cách khác, ma trận A chỉ có hai giá trị riêng.

Tông quát, cho ma trận vuông A cấp n, phương trình

cho nghiệm là giá trị riêng của A. Phương trình này được gọi là phương trình đặc trung hay đa thức đặc trưng của A. Đó là hàm đa thức bậc n. Ta biết rằng phương trình này có nhiều nhất n nghiệm. Do đó ma trận vuông A cấp n sẽ có không quá n giá trị riêng.

Ví dụ. Xét ma trận đường chéo

Đa thức đặc trưng của nó là

Nên giá trị riêng của D a là a, b, c, và d, là các phần tử trên đường chéo.

Kết quả này là đúng cho mọi ma trận chéo có cấp tùy ý. Nên tùy thuộc vào giá trị trên đường chéo, bạn có thể có mọt, hai hay nhiều hơn các giá trị riêng.

Nhận xét. Thật là tuyệt vời khi thấy rằng ma trận A có cùng giá trị riêng với ma trận chuyển vị AT của nó bởi vì

Cho bất kì ma trận cấp 2, A, trong đó

đa thức đặc trưng được cho bởi phương trình

Số (a+d) được gọi là vết A (denoted tr(A)), và rõ ràng số (ad-bc) là định thức của A. Nên đa thức đặc trưng của A có thể được viết lại như sau

Cho giá trị của ma trận

B = A2 - tr(A) A + det(A) I2.

Ta có

Ta dẫn đến

Nói cách khác, ta có

Phương trình này được gọi là định lí Cayley-Hamilton . Nó đúng cho mọi ma trận vuông có cấp tùy ý.

trong đó là đa thức đặc trưng của A.

Ta có một số tính chất của các giá trị riêng của một ma trận.

Định lí. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu là một giá trị riêng của A, thì:

1.

là giá trị riêng của Am, với

2.

Nếu A khả nghịch, thì là giá trị riêng của A-1.

3.

A không khả nghịch nếu và chỉ nếu là một giá trị riêng của A.

4.

Nếu là một số tùy ý, thì là một giá trị riêng của .

5.

Nếu A và B là đồng dạng nhau, then they have thì chúng có cùng đa thức đặc trưng (điều này đãn đến có cùng giá trị riêng).

Câu hỏi tự nhiên tiếp theo là tìm vectơ riêng. Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về vấn đề tìm vectơ riêng.

Tính vectơ riêng.

Co ma trận A vuông cấp n và là một giá trị riêng của nó. X là vectơ riêng của A ứng với . Ta phải có

Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số là . Bởi vì vectơ 0 alf một nghiệm, hệ này có nghiệm. Thật vậy, ta sẽ đề cập trong trang khác là ccấu trúc nghiệm của hệ là phong phú. Trong phanà này ta thảo luận vần đề có bản là tìm nghiệme.

Nhận xét. Khá dễ dàng để thấy rằng nếu X là một vectơ thỏa mãn , thì vectơ Y = c X (cho mọi số c tùy ý) thỏa mãn cùng phương trình . Nói cách khác, nếu ta biết X là một vectơ riêng, thì cX cũng là một vectơ tương ứng với cũng vectơ riêng.

Chúng ta bắt đầu với một ví dụ.

Ví dụ. Xét ma trận

Trước hết ta tìm giá trị riêng của A. Chúng là nghiệm của đa thức đặc trưng

Suy ra

Nếu ta khai triên định thức này theo cột thứ ba, ta được

Sử dụng biến đổi đại số, ta có

dẫn đến các giá trị rieneg của A là 0, -4, và 3. Tiếp theo ta tìm các vectơ riêng.

1.

Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính

điều này có thể được viết lại bởi

Có nhiều cách để giải hệ phương trình này. Phương trình thứ ba là đồng nhất với phương trình đầu . Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn đến 13x + z = 0. Nên hệ này tương đương với

Do đó vectơ X được cho bởi

Vì vậy, bất kì giá trị riêng X của A tương ứng với giá trị riêng 0 được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý.

2.

Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ

điều này có thể được viết lại

Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải. Tước hết ta xét ma trận

bổ sung , đó là

Ta sử dụng phép biến đỏi trên dòng để nhận được ma trận chéo. Chuyển đổi các dòng cho nhau ta được

Tiếp, ta lấy dòng đầu nhân với 5 cộng vào dòng thứ hai, nhân với 6 rồi cộng vào dòng ba. Thu được

Nếu giản ước dòng thứ hai cho 8, dòng thứ ba cho 9, ta được

Cuối cùng, trừ dòng thứ hai cho dòng thứ ba

Tiếp, ta đặt z = c. Từ dòng thứ hai, nhận được y = 2z = 2c. dòng đầu nhạn được x = -2y+3z = -c. Do vậy

Vì thế, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -4 được cho bởi

trong đó c là một só bất kì.

2.

Trường hợp : Giải chi tiết dành cho bạn đọc. Sử dụng mô tả tương tự trên, một vectơ riêng X of A tương ứng với 3 được cho bởi

trong đó c là một số bất kì.

Nhận xét. Tổng quát, giá trị riêng của ma trận là tất cả các nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng.

Ví dụ. Xét ma trận

Phương trình đặc trưng của A cho bởi

Do đó giá trị riêng của A là -1 và 8. Với giá trị riêng 8, dễ thấy rằng bất kì vectơ riêng X được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý. Ta tập trung vào giá trị riêng -1. Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ

điều này được viết lại

Rõ ràng, phương trình thứ ba và hai tương đương với phương trình đầu . Nói cách khác hệ này, hệ này tương đương với mọt phương trình

2x+y + 2z= 0.

ĐỂ giải nó, ta chọn hia số cố định trước và tìm số thứ ba. Ví dụ, nếu ta ðặt và ,

ta được . Do đó, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -1 cho bởi

Nói cách khác, với mọi vectơ riêng X của A ứng với giá trị riêng -1 là tôe hợp tuyến tính của hai vectơ trên

Ví dụ. Xét ma trận

Phương trình đặc trưng cho bởi

Do đó ma trận A có một giá trị riêng -3. Ta tìm vectơ riêng tương ứng. Chúng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính

được viết lại như sau

Hệ này tương đương với mọt phương trình duy nhất của hệ

x - y = 0.

Nên nếu đặt x = c, thì bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -3 được cho bởi

Tổng kết lại các ví dụ trên.

Tóm tắt: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử là một giá trị riêng của A. Để tìm vectơ riêng tương ứng, ta làm các bước sau:

1.

Viết hệ phương trình tương ứng

2.

Giải hệ phương trình.

3.

Viết lại vectơ X dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đữ biết.

Trong các ví dụ trên, giả sử rằng các giá trị riêng là số thực. Tổng quát, this is not the case except for symmetric matrices.Chứng minh điều này là phức tập, chỉ dễ dàng với ma trận vuông cấp 2.Xét ma trận vuông đối xứng

Phương trình đặc trưng của nó

Đây là phương trình bậc hai. Nghiệm phụ thuộc vào dấu của định thức

Biến đổi đại số ta được

Do đó, là một số dương, suy ra giá trị riêng của A là nững số thực.

Nhận xét. Chú ý rằng ma trận A có một giá trị riêng, đó là nghiệm kép của phương trình, nếu và chỉ nếu . Nhưng điều này chỉ có thể a=c và b=0. Nói cách khác, Ta có

A = a I2.

Phần tiếp theo sẽ thảo luận về giá trị riêng phức.

TRƯỜNG HỢP GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC Trước tiên, ta chứng tỏ rằng tồn tại ma trận với các giá trị riêng phức .

Ví dụ. Hãy xét ma trận

Phương trình đặc trưng được cho bởi

Phương trình bậc hai này có nghiệm phức được cho bởi

Vì vậy ma trận chỉ có giá trị riêng phức.

Bí quyết là chúng ta xem các giá trị riêng phức như là số thực. Nghĩa là chúng ta xem nó như là một con số và làm các tính toán bình thường cho các vectơ riêng. Ta hãy xem nó được tính toán như thế nào.

Với , các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính tính.

A X = (1+2i) X

Có thể viết lại như sau

Thực ra, hai phương trình trên là đồng nhất vì (2+2i)(2-2i) = 8. Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống còn một phương trình

(1-i)x - y = 0

Đặt x=c, khi đó y=(1-i)c. Do đó, ta có

trong đó c là một số tùy ý.

Nhận xét. Rõ ràng là mong đợi có các phần tử phức trong các vectơ riêng .

Chúng ta thấy rằng (1-2i) cũng là một giá trị riêng của ma trận trên. Vì các phần tử của ma trận A là số thực, khi đó ta dễ dàng chỉ ra rằng nếu là một giá trị riêng phức thì liên hợp

của nó cũng là một giá trị riêng. Hơn nữa, nếu X là một vectơ riêng của A tương ứng với

giá trị riêng , khi đó vector , có được từ X bằng thay số phức liên hợp của các phần tử

của X, là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng . Vì vậy, các vectơ riêng các ma trận A ở trên ứng với giá trị riêng (1-2i) được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý.

Chúng ta tóm tắt lại những gì đã làm trong ví dụ trên.

Tóm tắt: Cho A là một ma trận vuông. Giả sử là một giá trị riêng phức của A. Để tìm các vectơ riêng tương ứng, ta làm theo các bước sau đây:

1. Viết ra hệ phương trình tuyến tính tương ứng.

2. Giải hệ phương trình. Các phần tử của X sẽ là những số phức .

3. Viết lại vectơ X là tổ hợp tuyến tính của các vectơ chưa biết với các phần tử là số phức.

4. Nếu A có phần tử là số thực thì số phức liên hợp cũng là một giá trị riêng. Các vectơ riêng tương ứng được cho bởi các phương trình tương ứng, được tìm thấy trong 3, ta lấy liên hợp của các phần tử của vectơ rồi tổ hợp tuyền tính lại.

Nói chung, một ma trận vuông với các phần tử là những số thực vẫn có thể có giá trị riêng phức. Điều này là bình thường. Ta có thể đặt câu hỏi liệu có tồn tại lớp các ma trận chỉ có giá trị riêng thực. Điều này chỉ đúng với ma trận đối xứng. Chứng minh rất kỹ thuật và được trình bày trong một trang khác. Nhưng đối với ma trận vuông cấp 2, chứng minh là khá dễ . Chúng ta sẽ trình bày dưới đây.

Xét ma trận vuông đối xứng

Phương trình đặc trưng của nó được cho bởi

Đây là một phương trình bậc hai. Nghiệm của nó (là những giá trị riêng của A) phụ thuộc vào các dấu hiệu của biệt thức

Sử dụng các thao tác đại số, ta có

Vì là một số dương nên ta suy ra các giá trị riêng của A là các số thực.

Nhận xét. Lưu ý rằng ma trận A sẽ có một giá trị riêng, tức là phương trình đặc trưng có

nghiệm kép, nếu và chỉ nếu . Nhưng điều này chỉ xảy ra nếu a = c và b = 0. Nói cách khác, ta có

A = a I2

Chéo hóa Ma trậnKhi giới thiệu về các giá trị riêng và các vectơ riêng , ta sẽ đặt câu hỏi khi nào thì ma trận vuông đồng dạng tương đương với ma trận chéo? Nói cách khác, cho trước một ma trận vuông A, có tồn tại một ma trận chéo D sao cho ? (tức là có tồn tại một ma trận P khả nghịch sao cho A = P-1DP).

Nói chung, một số ma trận không tương tự như ma trận đường chéo. Ví dụ, ta xét ma trận

Giả sử tồn tại một ma trận chéo D sao cho A = P-1DP. Ta có

tức là đồng dạng với . Vì vậy, chúng có cùng một phương trình đặc trưng. Do đó A và D có cùng một giá trị riêng. Vì các giá trị riêng của D là các số trên đường chéo, và giá trị riêng duy nhất của A là 2, nên ta phải có

Như vậy ta có, A = P-1DP = 2 I2, . Điều này là vô lý. Do đó, A không đồng dạng với ma trận chéo.

Định nghĩa. Một ma trận chéo hóa được nếu nó là đồng dạng với một ma trận chéo.

Nhận xét. Ở mục trước, ta đã thấy rằng các ma trận

có ba giá trị riêng khác nhau. Và ta cũng đã chưng minh A là chéo hóa được. Trong thực tế, có một kết quả chung dọc theo những dòng.

Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n . Giả sử rằng A có n giá trị riêng phân biệt. Khi đó A là chéo hóa được. Hơn nữa, nếu P là ma trận với các cột C1, C2, ..., và Cn là n vectơ

riêng của A, khi đó ma trận P-1AP là ma trận chéo. Nói cách khác, ma trận A là chéo hóa được.

Bài toán: Điều gì sẽ xảy ra với các ma trận vuông cấp n có ít hơn ít hơn n giá trị riêng?

Chúng ta có câu trả lời một phần cho bài toán này.

Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để biết được liệu A có chéo hóa được không, chúng ta làm các bước sau:

1. Ghi lại các đa thức đặc trưng

2. Phân tích thành nhân tử p( ) . Trong bước này, ta có

trong đó, mỗi , i = 1, …, k , có thể là số thực hoặc số phức. Với mỗi i, lũy thừa ni được gọi là số bội (đại số) của giá trị riêng .

3. Với mỗi giá trị riêng, tìm các vectơ riêng tương ứng. Chẳng hạn, với các giá trị riêng , các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính

Sau đó giải hệ trên, ta sẽ tìm được vectơ X chưa biết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ, tức là

, trong đó, , j = 1, …, m là các hằng số tùy ý .Số nguyên mi được gọi là số bội hình học của .

4. Nếu với mỗi giá trị riêng số bội đại số bằng số bội hình học, khi đó ta có

điều này suy ra nếu ta đặt các vectơ riêng C, tìm được trong 3., cho tất cả các giá trị riêng, ta sẽ có đúng n vectơ. Đặt P là ma trận vuông cấp n mà các cột là các vectơ riêng C. Khi đó P là khả nghịch và

là một ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là các giá trị riêng của A. Vị trí của các vectơ C ở trong P đồng nhất với vị trí của các giá trị riêng tương ứng trên đường chéo của D. Điều này suy ra A đồng dạng với D. Vì vậy, A chéo hóa được. Nhận xét. Nếu số bội đại số ni các giá trị riêng là bằng 1, khi đó rõ ràng là chúng ta có mi = 1. Nói cách khác, ni = mi.

5. Nếu có giá trị riêng nào mà số bội đại số không bằng số bội hình học, khi đó A không chéo hóa được.

Ví dụ. Ta xét ma trận

Để biết được liệu A có chéo hóa được không, chúng ta thực hiện theo các bước như trên.

1. Đa thức đặc trưng của A là

Như vậy, -1 là một giá trị riêng với số bội là 2 và -2 là một giá trị riêng với số bội là 1.

2. Để biết được liệu A có chéo hóa được không, ta chỉ quan tâm đến giá trị riêng -1. Thật vậy, các vectơ riêng tương ứng vơi giá trị riêng -1, được cho bởi hệ

Hệ này giảm xuống còn một phương trình -y + z = 0. Đặt và y = , khi đó ta có

Vì số bội hình học của -1 là 2 bằng số bội đại số của nó. Vì vậy, ma trận A là chéo hóa được. Để tìm ra P ma trận, chúng ta cần phải tìm vectơ riêng ứng vơi giá trị riêng -2. Hệ phương trình tương ứng là

giảm xuống thành hệ

.

Đặt , khi đó ta có

Đặt

khi đó

Nhưng nếu ta đặt

khi đó

Chúng ta thấy rằng nếu A và B là đồng dạng, khi đó An có thể biểu diễn dễ dàng qua Bn. Thật vậy, nếu ta có A = P-1BP, khi đó ta sẽ có An = P-1BnP. Đặc biệt, nếu D là một ma trận chéo thì Dn dễ dàng tính được. Đây là một trong những ứng dụng của sự chéo hóa ma trận. Trong thực tế, các bước giải trên có thể được sử dụng để tìm căn bậc hai và căn bậc ba của một ma trận. Thật vậy, xét ma trận ở trên

Đặt

khi đó

Do đó A = P D P-1 Đặt

Khi đó ta có B3 = A

Nói cách khác, B là một căn bậc ba của A.