Download pdf - Chapitre 3 Systèmes optiques centrés

Chap. 3 - Systèmes optiques centrés dans les conditions de Gauss: définitions

Système centré dioptrique : ne contenant que des dioptres.

Système centré catadioptrique : contenant des dioptres et des

miroirs.

Système centré catoptrique : ne contenant que des miroirs.

Un système centré est dit :

à foyers : les foyers principaux objet et image sont à distance finie;

afocal : les foyers principaux objet et image sont rejetés à l’infini.

Chapitre 3 : systèmes optiques centrés

1

Un système centré est un ensemble de milieux transparents séparés par

des surfaces (planes ou sphériques) réfringentes et/ou réfléchissantes.

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Systèmes centrés dioptriques - Introduction

2

''

)' ,(

22

)' ,(

11

)' ,( 222111 BABABAAB jj FFSjFFSFFS

'' )F' (F,

BAABcentréoptiqueSystème

(S1) (S2) (S3)

(E) (S)

A

B

A’

B’

n n’

(P) (P’)

A

B

A’

B’

n n'


Points et plans principaux d’un

système centré dioptrique

Les plans principaux objet (P) et image (P’) sont deux

plans conjugués tels que le grandissement linéaire =1.

B’ B

(P)

H F H’ F’

(P’)

A A’

E S

Les points principaux objet H et image H’ sont deux points

conjugués, intersection de l’axe optique avec les plans

principal objet (P) et image (P’) respectivement, et tels que :

Les distances focales objet f et

image f’ sont données par :

''' FHfetHFf

(F et F’ ont même définition que

pour un système optique simple)


3

1''

HB

BH

1 / '

HHcentréSystème

La nature de F et F’ dépend de leur position / à

E et S et non pas par rapport à P et P’.

n n’


Construction des plans principaux

(P) et (P’)

Le plan principal image (P’) est le lieu des K’ intersection des incidents

parallèles à l’axe et des émergents correspondants passant par F’

Le plan principal objet (P) est le lieu des K intersection des incidents

passant par F et des émergents correspondants parallèles à l’axe.

4

(P)

H H’ F’

(P’)

F

K’ K


La donnée des éléments cardinaux du système centré (F, F’, H et H’) définie

complètement le système optique.

La construction de l’image d’un objet se fait grâce aux deux rayons

particuliers ( // à l’axe et passant par F).

B

A

F

H H’

F’ A’

B’

I I’

J J’

Construction de l’image d’un objet Formule de conjugaison/vergence

u u’ '

''''

f

AF

FA

f

AB

BA

1''

'

AH

f

HA

f

Relation de Descartes

Grandissement avec

origine aux foyers


5

n n’

(P) (P’)

En considérant les triangles semblables (BIJ) et

(FHJ) d’une part, (B’I’J’) et (F’H’I’) d’autre part, on

montre que :

En calculant tg u et tg u’,

on montre que :

Remarque: n et n’ sont les indices des milieux avant E et après S respectivement.


'''' n

n

f

f

FH

HF

HFFHnnidentiques

sontextrêmesmilieuxlesLorsque

''' :

HF

n

FH

nV

''

' :est foyers à centré systèmeun d' vergenceLa

Relation entre les distances focales

Vergence

di 0

0

vergentsystèmeV

convergentsystèmeV


6

H H’

''''.. ' ''' BAABununuBAnuABn

Formule de Lagrange-Helmoltz :

''''

''''

FH

AB

FH

BAutgu

HF

AB

HF

FFutgu s

Indépendamment de la nature des foyers.


HA

AH

n

n

AB

BA ''

'

''

Vf

n

HA

n

AH

n

'

'

''

'

Autres formulations de la relation de conjugaison

et de grandissement transversal

Relation de conjugaison avec

origine aux points principaux

''' . ffAFFA

Formule de Newton

Remarque :

Dans le cas d’un dioptre sphérique : H Ξ S Ξ H’

Le grandissement linéaire avec origine

aux points principaux s’écrit :


7

1''

'

AH

f

HA

f

'

'

n

n

f

f

La relation de conjugaison avec

origine aux foyers est :


s

K

K’

N’ N

J

J’

Points nodaux N et N’ et

grandissement angulaire G

Les points nodaux N et N’ sont deux points conjugués sur l’axe tels qu’à tout incident passant par N correspond un émergent passant par N’ et parallèle à l’incident.

F H H’

F’

fHFNFfFHFN ''et ''' '''et '' ffNHHNHHNN

Si les milieux extrêmes sont identiques (f = - f’) : H Ξ N et H’ Ξ N’

PFO


8


Points nodaux N et N’ et

grandissement angulaire G

N et N’ sont tels que le grandissement angulaire G = 1 :

N N ‘ / G = 1

D’après la relation de Lagrange-Helmholtz : 'n

nG

'n

nGOn a alors pour N et N’ (G = 1) :

Si en plus les milieux extrêmes sont identiques (n = n’) alors : = 1

dans ce cas : N Ξ H et N’ Ξ H’

Exemple : Pour le dioptre sphérique : H Ξ H’ Ξ S et comme

HN = H’N’ = f + f’ = SF + SF’ = R =SC = HC, alors N Ξ C Ξ N’


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Construction de l’image d’un objet

Système centré divergent

B

A F’ H H’ F A’

B’


10

P P’


Association de deux systèmes

centrés

Position du problème:

(S) : (H, H’, F, F’) ? (S1) : (H1, H’1, F1, F’1)

(S2) : (H2, H’2, F2, F’2)

(S) systèmedu optique intervalle appeléest '

systèmedu épaisseur l'ou optique intersticel'est '

21

21

FF

HHe


11

H1 H1’ H2 H2’ H H’


Construction géométrique des points

cardinaux du système équivalent

1 – Foyer image F’ et point principal image H’

(PF2)

Φs2

F’

(P’)

H’ H’2

F’2

n’

F’1 F2

N

H1

F1

H’1

n

(S1) (S2)

(P1) (P’1)

(P2) (P’2)

H2

'' 21

1 FFASS


12


Construction géométrique des

points cardinaux

2 – Foyer objet F et point principal objet H

(PF’1)

Φ’s1

F

(P)

H

F’2

n’

F’1 F2

N

H1

F1

H’1

n (S1) (S2)

(P1) (P’1)

(P2) (P’2)

H2 H’2

'21

2 AFFASS


13


Détermination analytique des

points cardinaux

'' 21

1 FFASS

'21

2 AFFASS

D’après les deux constructions

précédentes on a :

En appliquant la formule de Newton aux couples de points

conjugués (F, F2) par (S1) et (F’1, F’) par (S2), on montre que :

'

'' 222

ffFF

En utilisant les deux constructions précédentes et les propriétés

des triangles semblables, on montre que :

''

''' 21

fffFH

11

1'

ff

FFet

21

fffHFet


14

' 21 FFOù

).(S centré systèmedu imageet objet focales distances lessont 'et

);(S centré systèmedu imageet objet focales distances lessont 'et

222

111

ff

ff


Vergence du système (S) et

formule de Gullstrand

La vergence Vs (ou C) du système centré équivalent est le

rapport de son indice de sortie à sa distance focale image : '

'V s

f

n

Compte tenu de l’expression de f’ du système centré, Vs s’écrit :

''

'

'

'V

21s

ff

n

f

n fe f' -' avec 2121 FF

En remplaçant ∆ par son expression et en développant Vs, on trouve :

V 2121s ssss VV

N

eVV

Formule de Gullstrand 2s

1s

'

'V

'V

2

1

f

n

f

N

n'

N-

'

N

n-

'

2

2

1

1

f

f

f

f

où et


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N étant l’indice du milieu intermédiaire


Systèmes centrés afocaux

Une association de deux systèmes centrés est afocale si le foyer

image du premier système est confondu avec le foyer objet du

second système. Dans ce cas l’intervalle optique est nul ( ). 0

Système centré afocal ses foyers objet et image sont à l’infini.


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P1 P1’

P2 P2’


Systèmes catadioptriques Ces systèmes sont formés par des dioptres et limités

par au moins un miroir. Ils sont équivalents à un miroir

sphérique (M) unique de centre et de sommet tels

que :

Ξ

(Sd) (M1)

C S

(M)

est l’image du sommet S du miroir réel à travers le (Sd) dans le

sens de la lumière réfléchie.

est l’image du centre C du miroir réel à travers le système

dioptrique (Sd), dans le sens de la lumière réfléchie;

SdC

SdS


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Un tel système catadioptrique à foyers est identique à un miroir

sphérique, en ce qui concerne la position et la grandeur des images, non

en ce qui concerne leur nature réelle ou virtuelle.


Exemple:

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D(S1, C1) M(S2, C2)

C1 S2 C2

n n'

S1

n n’

MS (, )

(n) )'(

),(

211

n

CSDC et

(n) )'(

),(

211

n

CSDS

2111

11211

11211

''

.

''

SSnnCSn

CSSSnS

CS

nn

SS

n

S

n

2111

11211

11211

''

.

''

CSnnCSn

CSCSnS

CS

nn

CS

n

S

n
