Chap 6b:Perumusan Ensembel

Mekanika Statistik Kuantum

Part-2

Menghitung Banyak Status Keadaan• Asumsi : partikel tak punya spin (spinless!)-> apa

konsekuensinya?

• Karena TAK ADA INTERAKSI maka tingkat-tingkat energy yg bisa dimiliki system adalah tingkat energy PARTIKEL TUNGGAL. Yang membedakan adalah berapa banyak partikel bisa menempati suatu tingkat energy tsb.

• Energi level system = Energy level dari 1 partikel! (non interacting!)

• Energi system = total energy berdasarkan okupansi partikel pada level energy partikel tunggal:

𝜖𝒑 =𝑝2

2𝑚dengan 𝒑 =

2𝜋ℏ

𝐿𝒏

Dimana n = (nx, ny, nz) dengan nj =0,1, 2,… dan L3=V.

Menghitung Banyak Status Keadaan• Spesifikasi keadaan system ideal diberikan oleh set jumlah

okupansi { np} dengan np: jumlah partikel dengan momentum p.

• Kendala system:

𝐸 =

𝒑

𝑛𝒑𝜖𝒑 𝑁 =

𝒑

𝑛𝒑

• Untuk kasus spinless boson dan fermion set {np} sudah secara unik menspesifikasi keadaan system.

• Nilai yang diijinkan untuk masing-masing adalah:

𝑛𝒑 = ቊ0,1,2,3,… 𝑏𝑜𝑠𝑜𝑛

0,1 𝑓𝑒𝑟𝑚𝑖𝑜𝑛

Gas Ideal di Ensembel MikrokanonikMekanika Kuantum

• Untuk Boltzmann :

𝑛𝒑 = 0,1,2,3,… tetapi {np} menyatakan 𝑁!

𝑛1!𝑛2!….keadaan

system! Permutasi partikel dengan momentum yg berbeda (p) berbeda tak menghasilkan distribusi baru.

• Tingkat energy system N partikel adalah tingkat energy partikel tunggal.

• Pendekatan : spektrum energi tsb akan dibagi dalam sel-sel, tiap sel mengandung sejumlah level (tingkat) energi ygberdekatan.

Teknik Menghitung Banyak Keadaan Sistem

• Konstrain:

σ𝑖 𝑛𝑖 = 𝑁 dan σ𝑖 𝑛𝑖𝜖𝑖 = 𝐸

• Banyak cara mendistribusi N partikel kesel-sel tsb, tiap kali menghasilkan satumacam distribusi n : W {ni}

• Maka banyak keadaan status microstate terkait:

Γ 𝑁, 𝑉, 𝐸 =

{𝑛𝑖}

𝑊{𝑛𝑖}

• Penjumlahan dilakukan terhadapberbagai cara mendistribusikan {ni} ygberbeda yg memenuhi konstrain di atas.

Sel-3 3

Sel-2 2

Sel-1 1

g3 ; n3

g2 ; n2

g1 ; n1

Jumlahlevel

Okupansi

Misal untuk sel ke-i :Rata-rata level energi bernilai i

Banyak level di sel tsb: gi >>1Jumlah partikel di sel tsb: ni : jumlah np untuk seluruh level di sel tsb.

Boson

• Sedangkan W{ni}:

𝑊 𝑛𝑖 =ෑ

𝑖

𝑤𝑖

• Dengan wi : banyak cara mendistribusikan partikel identikindistinguishable sejumlah ni di dalam sel ke-i yang memilikijumlah level gi.

• Nilai wi bergantung pada jenis partikel : Fermion atau Boson.

• Kasus Boson:

– Tiap level boleh berisi partikel : 0,1,2,dst

– Persoalan : diberikan ni boson untuk menempati level energi yg berbeda sebanyak gi dalam sel-i.

Boson

– Pertanyaan : ada berapa banyak cara berbeda untuk mendistribusikan boson tsb di sel-i tsb yg punya gi subsel?

– Persoalan tsb bisa dipandang sbg:

Diberikan ni partikel dan (gi-1) partisi. Carilah banyaknyacara berbeda untuk mendistribusikan ni partikel dan (gi-1) partisi tsb.

• Jumlah partisi gi-1, sebab jumlah level (“ruang”) : gi

Partikel ke: 1 2 3 4 ….. n

Partisi ke: 1 2 gi-1

Boson

• Banyak cara mendistribusikan ni partikel + (gi-1) partisi : (ni+gi-1)!

• Akan tetapi : partikel identik (undistinguishable) demikianjuga partisi!, maka permutasi ni diantara partikel dalam satu sel dan permutasi diantara (gi-1) partisi tidak menghasilkankonfigurasi distinc yg baru, jadi:

•

𝑤𝑖 =𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 !

𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 1 !

Fermion

Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satudistribusi {ni} tertentu dari bosons adalah: (artinya seluruh n sudah didistribusikan dulu n1 berapa, n2 berapa dst)

𝑊𝐵𝐸 𝑛𝑖 = 𝑊𝑖𝐵𝐸 =ෑ

𝑖

𝑤𝑖 =ෑ

𝑖

𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 !

𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 1 !

• Kasus Fermion:

– Tiap level hanya boleh diisi maksimum 1 partikel, jadiokupansi tiap level:0 atau 1.

– Karena sel ke-i memiliki gi level yang akan ditempati ni

partikel (tentu ni tidak bisa > gi), berarti akan ada ni level yg berisi 1 partikel dan sisanya (gi-ni) kosong.

Fermion

• Kita bisa memandang ini spt di Boson, akan tetapi:

Jumlah obyek yg akan didistribusikan, justru total jumlahlevelnya : gi

“Obyek” tsb akan dipartisi jadi 2 kelompok saja: kelompok satu masing-masing berisi 1 partikel (ni), sisanya (gi-ni) tidak ada partikel.

• Jadi ada g! cara berbeda mendistribusi obyek tsb. Tetapi permutasi dalam tiap kelompok : isi (ni) dan kosong (gi-ni) tidak menghasilkan keadaan baru. Sehingga banyaknya cara yang berbeda diberikan oleh:

Fermion

𝑤𝑖 =ෑ

𝑖

𝑔𝑖!

𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 𝑛𝑖 !

Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu distribusi{ni} tertentu dari Fermion adalah: (artinya seluruh n sudahdidistribusikan dulu n1 berapa, n2 berapa dst)

𝑊𝐹𝐷 𝑛𝑖 = 𝑊𝑖𝐹𝐷 =ෑ

𝑖

𝑤𝑖 =ෑ

𝑖

𝑔𝑖!

𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 𝑛𝑖 !

Level: 1 2 3 4 ….. gi

kosong (gi-ni) berisi (ni buah)Partisi hanya 1, bisa berpindah-pindah tempat

Boltzon

• Kasus : Boltzon (Partikel maxwell boltzmann: hipotetik)

• Untuk partikel Boltzmann mula-mula anggap mereka terbedakan (distinguishable) dan mereka bisa menempati status keadaan yang sama seperti boson.

• Untuk sel ke-i, ada gi level (subsel) dan terdapat ni partikelterbedakan yg harus didistribusikan ke gi tsb, jelas banyaknyacara berbeda untuk mendistibusikannya adalah:

– Partikel ke-1, bisa menempati salah satu dari gi level,

– Partikel ke-2, juga bisa menempati salah satu dari gi level

– Partikel ke-n, juga bisa menempati salah satu dari gi level

Boltzon

• Total cara berbeda mendistribusikan ni partikel dalam gi level adalah :

𝑔𝑖𝑛𝑖

• Banyak cara membagikan N total partikel ke dalam berbagaisel yang masing-masing berisi n1, n2 dst dan permutasi dalam tiap sel tidak menghasilkan keadaan baru adalah (kombinasi):

𝑁!

𝑛1! 𝑛2! …

• Faktor koreksi berikutnya (Gibbs) : 1/N!, karena permutasi diantara partikel tsb sendiri (N buah) tidak akan menghasilkan status keadaan baru.

Boltzon

• Sehingga total banyak konfigurasi {ni} yang berbeda bagi

Boltzon ini adalah:

𝑊𝑀𝐵 𝑛𝑖 =1

𝑁!

𝑁!

𝑛1! 𝑛2! …𝑔1

𝑛1𝑔2𝑛2 … =ෑ

𝑖

𝑔𝑖𝑛𝑖

𝑛𝑖!

Problem of The most Probable Distribution

• Setelah mengetahui banyaknya cara berbeda mendistribusikan partikel identic N buah, maka selanjutnya mesti dicari distribusi {ni

*} seperti apa yang akan menghasilkan W yg terbesar.

• Dengan kata lain berapa nilai masing-masing ni di tiap sel agar W paling besar!

• Entropi S diberikan oleh :

𝑆 = 𝑘 ln (

{𝑛𝑖}

𝑊 𝑛𝑖 )

Problem of The most Probable Distribution

• Nilai log ruas kanan, untuk N besar sekali bisa didekatidengan 1 suku saja yaitu : the largest W{ni}=W{n*i}, dengan{n*i} adalah distribusi {ni} yang akan menghasilkan the largest W : THE MOST PROBABLE STATE! Tetapi dengantetap memenuhi dua kendala : total partikel dan energy

• Jadi :𝑆 ≈ 𝑘 ln𝑊{𝑛𝑖

∗}

• Konstrain:

σ𝑖 𝑛𝑖 = 𝑁 dan σ𝑖 𝑛𝑖𝜖𝑖 = 𝐸

Metoda Lagrange Multiplier

• Memakai metoda Lagrange multiplier, maka kondisi untukmendapatkan Wmax tsb diungkapkan oleh:

𝛿 ln𝑊{𝑛𝑖} − 𝛼Σ𝑖𝛿𝑛𝑖 + 𝛽Σ𝑖𝜖𝑖𝛿𝑛𝑖 = 0

• Dengan 𝛼 , 𝛽 adalah parameter.

– Asumsi: ni dan gi >>1 sehingga Aproksimasi Stirling bolehdipakai. Maka:

Kasus : Distribusi Bose Einstein:

𝑊𝐵𝐸 𝑛𝑖 =ෑ

𝑖

𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 !

𝑛𝑖! 𝑔𝑖 − 1 !

Distribusi Bose-Einstein

Maka:

ln𝑊𝐵𝐸 =

𝑖

ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ! − ln 𝑛𝑖! − ln 𝑔𝑖 − 1 !

ln𝑊𝐵𝐸 ≈

𝑖

𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 − (

)

𝑛𝑖 + 𝑔𝑖

− 1 − 𝑛𝑖 ln 𝑛𝑖 + 𝑛𝑖 − 𝑔𝑖 − 1 ln 𝑔𝑖 − 1 + (𝑔𝑖 − 1)

Dengan ni, gi>>>1, maka:

ln𝑊𝐵𝐸 ≈

𝑖

𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − (

)

𝑛𝑖

+ 𝑔𝑖 − 𝑛𝑖 ln 𝑛𝑖 + 𝑛𝑖 − 𝑔𝑖 ln 𝑔𝑖 + 𝑔𝑖

Problem of The most Probable Distribution

l𝑛 𝑊𝐵𝐸 ≈

𝑖

𝑛𝑖 ln 1 +𝑔𝑖𝑛𝑖

+ 𝑔𝑖 ln 1 +𝑛𝑖𝑔𝑖

𝛿ln𝑊𝐵𝐸 ≈

𝑖

𝛿𝑛𝑖 ln 1 +𝑔𝑖𝑛𝑖

Substitusi ke :𝛿 ln𝑊{𝑛𝑖} − 𝛼Σ𝑖𝛿𝑛𝑖 + 𝛽Σ𝑖𝜖𝑖𝛿𝑛𝑖 = 0

𝑖

ln 1 +𝑔𝑖𝑛𝑖

− 𝛼 − 𝛽𝜖𝑖 𝛿𝑛𝑖 = 0

Berarti

ln 1 +𝑔𝑖𝑛𝑖

− 𝛼 − 𝛽𝜖𝑖 = 0

Distribusi BE, FD dan MB

Jadi distribusi Boson yang terkait W terbesar (most probable):

𝑛𝑖 =𝑔𝑖

𝑒𝛼+𝛽𝜖𝑖 − 1≡ 𝑛𝑖

∗(𝐵𝐸)

Dapat dibuktikan dengan cara yg serupa untuk gas Fermion dan Boltzmann didapatkan, the most probable distribution-nya:

𝑛𝑖 =𝑔𝑖

𝑒𝛼+𝛽𝜖𝑖 + 1≡ 𝑛𝑖

∗(𝐹𝐷)

𝑛𝑖 =𝑔𝑖

𝑒𝛼+𝛽𝜖𝑖≡ 𝑛𝑖

∗(𝑀𝐵)

Distribusi BE, FD dan MB

Dapat dibuktikan bahwa hubungan parameter 𝛼, 𝛽 dengan thermodinamika adalah :

𝛼 = −𝜇

𝑘𝑇dan 𝛽 =

1

𝑘𝑇

Sehingga dengan definisi fugacity :𝑧 = 𝑒𝛽𝜇 :

𝑛𝑖∗ 𝐵𝐸 =

𝑔𝑖𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑖 − 1

𝑛𝑖∗ 𝐹𝐷 =

𝑔𝑖𝑧−1 𝑒𝛽𝜖𝑖 + 1

𝑛𝑖∗(𝑀𝐵) = 𝑔𝑖𝑧𝑖 𝑒

−𝛽𝜖𝑖

Distribusi BE, FD dan MB

Pelabelan thd sel ke-i yg memiliki degenrasi gi dapat diganti ke pelabelan momentum (yg unik), sehingga:

𝑛𝑖∗ 𝐵𝐸 =

𝑔𝑖𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑖 − 1

→ 𝑛𝒑∗ 𝐵𝐸 =

1

𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝒑 − 1

𝑛𝑖∗ 𝐹𝐷 =

𝑔𝑖𝑧−1 𝑒𝛽𝜖𝑖 + 1

→ 𝑛𝒑∗ 𝐹𝐷 =

1

𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝒑 + 1

𝑛𝑖∗(𝑀𝐵) = 𝑔𝑖𝑧𝑖 𝑒

−𝛽𝜖𝑖 → 𝑛𝒑∗ 𝑀𝐵 = 𝑧𝑒−𝛽𝜖𝒑

Pelabelan momentum p ini identic dengan menggunakan bilangan gelombang k, sebab 𝒑 = ℏ𝒌

Okupansi dan Jumlah Partikel

Jumlah total partikel N akan diberikan oleh :

𝑁 =

𝑖

𝑛𝑖∗ =

𝒑

𝑛𝒑∗

Untuk Boson dan Fermion :

𝒑

1

𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝒑 ± 1= 𝑁

Dalam limit thermodinamika N besar, spectrum energy nyaris kontinu:

𝜖𝒑 =𝑝2

2𝑚, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝒑 = 𝑝𝑥, 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑝 = |𝒑|

Okupansi dan Jumlah Partikel

Maka σ𝒑 →1

ℎ3𝑑3𝑞 𝑑3𝑝 =

𝑉

ℎ3 𝑑3𝑝 =

𝑉

ℎ3 𝑑𝑝 4𝜋𝑝2

𝑛 =𝑁

𝑉≈

1

ℎ3න

0

∞4𝜋𝑝2𝑑𝑝

𝑧−1𝑒𝛽𝑝2

2𝑚 ± 1

=1

ℎ3න

0

∞4𝜋𝑝2𝑑𝑝

𝑒−𝛽𝜇𝑒𝛽𝑝2/2𝑚 ± 1

Substitusi 𝑥2 =𝛽𝑝2

2𝑚:

𝑛 ≈4𝜋

ℎ32𝑚

𝛽

3/2

න

0

∞𝑥2𝑑𝑥

𝑒−𝛽𝜇𝑒𝑥2± 1

Pada limit suhu tinggi 𝛽 → 0 , N yang berhingga menuntut integralnya → 0.

Tentang pendekatan untuk Σ

Kadang kita mengintegralkan di ruang k (bilangan gelombang): 𝑝 = ℏ𝑘, memakai ini maka :

Maka σ𝒑 →𝑉

ℎ3 𝑑𝑝 4𝜋𝑝2 =

𝑉

2𝜋2 𝑑𝑘 𝑘2

Okupansi dan Jumlah Partikel

Agar integralnya kecil (→0), maka penyebutnya →∞:

Untuk 𝛽 → 0, maka 𝑒−𝛽𝜇𝑒𝑥2± 1 → ∞ , 𝑒−𝛽𝜇𝑒𝑥

2→ ∞

atau 𝑒−𝛽𝜇 → ∞.

Hal ini berarti dalam kasus 𝛽 → 0 atau suhu tinggi maka distribusi Fermion dan Boson menjadi seperti Maxwell Boltzmann saja.

Jika suhu tinggi (𝛽 → 0) maka okupansi level tertentu sebanding dengan:

𝑒−𝛽(𝜖𝑝−𝜇)

Jika 𝛽 kecil maka okupansi keadaan dengan energy tinggi akan sedikit, artinya dalam hal ini tak berpengaruh antara boson ataupun fermion, sebab tersedia jauh lebih banyak status keadaan dibandingkan partikel yg akan menempati.

Perbandingkan Okupansi rata-rata Distribusi Fermion, Boson dan Boltzon

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1 0 1 2 3 4

(-)

FD

BE

MB

Nampak bahwa pada (-) besar distribusi FD,BE mendekati MB.

Padahal MB (klasik) adalahmodel yg cukup bagus untukT tinggi, berarti:

𝜖 − 𝜇

𝑘𝑇≫

Supaya bisa besar, padahal T tinggi maka <0 danmagnitude harus besar!

Pengaruh Spin partikel

• Jika partikel memiliki spin S, maka status keadaan partikel tunggal dengan momentum tertentu p mesti dilengkapi dengan spin-nya (p,S).

• Dalam banyak aplikasi kita hanya perlu memperhatikan jumlah total status keadaan yang perlu dijumlahkan, misalnya untuk N:

𝑁 = σ𝑠σ𝒑𝑛𝑠,𝒑 = (2𝑆 + 1) σ𝒑𝑛𝒑

• Dengan s=-S,-S+1,…,S.

• Misal untuk spin S=1/2, maka 𝑠 = −1

2,1

2, jadi ada (2S+1)=

(2(1/2)+1)=2 keadaan terkait spin tsb.

• Jadi jika spin=S, maka banyak status keadaan berlipat (2S+1).

Entropi

– Ungkapan Entropi-nya berbentuk (BE):

𝑆 ≈ 𝑘 ln𝑊 𝑛∗ = 𝑘σ𝑖 𝑛𝑖∗ ln 1 +

𝑔𝑖

𝑛𝑖∗ + 𝑔𝑖 ln 1 +

𝑛𝑖∗

𝑔𝑖

– Untuk Fermion, ungkapan entropinya dapat dibuktikanmenjadi:

𝑆 ≈ 𝑘 ln𝑊 𝑛∗ = 𝑘σ𝑖 𝑛𝑖∗ ln

𝑔𝑖

𝑛𝑖∗ − 1 − 𝑔𝑖 ln 1 −

𝑛𝑖∗

𝑔𝑖

– dan Maxwell-Boltzmann

𝑆 ≈ 𝑘 ln𝑊 𝑛∗ = 𝑘

𝑖

𝑛𝑖∗ ln

𝑔𝑖𝑛𝑖∗

Entropi

– Untuk hasil terakhir ini telah dilakukan aproksimasi : gi, ni

>>1.

Jika secara eksplisit, ni/gi untuk masing-masing distribusi, maka entropi:

BE: 𝑆 ≈ 𝑘 σ𝑖 𝑛𝑖∗(𝛼 + 𝛽𝜖𝑖)−𝑔𝑖 ln 1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖

FD : 𝑆 ≈ 𝑘 σ𝑖 𝑛𝑖∗(𝛼 + 𝛽𝜖𝑖)+𝑔𝑖 ln 1 + 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖

MB: 𝑆 ≈ 𝑘 σ𝑖 𝑛𝑖∗(𝛼 + 𝛽𝜖𝑖)

– Nilai ni untuk masing-masing distribusi spt yg diturunkansebelumnya!

Entropi

– Atau dengan substitusi nilai 𝑛𝑖∗, untuk Boson:

𝑆 ≈ 𝑘 σ𝑖 𝑔𝑖(−𝑙𝑛 𝑧+𝛽𝜖𝑖)

𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑖−1− ln 1 − 𝑧𝑒−𝛽𝜖𝑖

Untuk Fermion:

𝑆 ≈ 𝑘 σ𝑖 𝑔𝑖(−𝑙𝑛 𝑧+𝛽𝜖𝑖)

𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑖+1+ ln 1 + 𝑧𝑒−𝛽𝜖𝑖

Maxwell-Boltzmann: 𝑆 ≈ 𝑘𝑧 σ𝑖 𝑔𝑖𝑒−𝛽𝜖𝑖(−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖𝑖)

Fungsi thermodinamika diperoleh dengan eliminasi z dari persamaan di atas, dengan memanfaatkan kendala bagi

𝑁 =

𝑖

𝑛𝑖∗

Contoh : Gas Boltzmann

– Kita pakai untuk Boltzon, mulai dari

𝑁 =

𝑖

𝑛𝑖∗ = 𝑧

𝑖

𝑔𝑖 𝑒−𝛽𝜖𝑖 = 𝑧

𝒑

𝑒−𝛽𝜖𝒑

Untuk hasil terakhir tsb karena gi adalah degenerasi level energy 𝜖𝑖, ketika dinyatakan dlm momentum maka tiap punik, jadi tidak ada degenerasi!

– Bagaimana mengubah Σ → ?

Volume elementer di ruang fasa (q,p) = h, jadi banyak status keadaan:

𝑖

→𝑉

ℎ3න

Contoh : Gas Boltzmann

𝑁 ≈𝑧𝑉

ℎ3න0

∞

4𝜋𝑝2 𝑒−𝛽𝑝2

2𝑚 𝑑𝑝 =𝑧𝑉

𝜆3

Dengan adalah thermal wavelength 𝜆 =ℎ

2𝜋𝑚𝑘𝑇, dengan

ini bisa juga dituliskan (𝑣 = 𝑉/𝑁):

𝑧 =𝜆3

𝑣Energi system 𝐸 = σ𝑛𝑖𝜖𝑖: (dengan bantuan N di atas)

𝐸 =

𝑖

𝑧𝑔𝑖𝜖𝑖𝑒−𝛽𝜖𝑖 = 𝑧

𝒑

𝜖𝒑𝑒−𝛽𝜖𝒑

≈𝑧𝑉

ℎ3න0

∞

4𝜋𝑝2𝑝2

2𝑚𝑒−

𝛽𝑝2

2𝑚 𝑑𝑝 =3

2𝑁𝑘𝑇

Entropi

• Maxwell-Boltzmann:

𝑆/𝑘 ≈ 𝑧

𝑖

𝑔𝑖𝑒−𝛽𝜖𝑖(−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖𝑖)

Atau

𝑆/𝑘 ≈ 𝑧

𝒑

𝑒−𝛽𝜖𝒑(−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖𝒑)

𝑆

𝑘≈ 𝛽𝑧

𝒑

𝜖𝒑𝑒−𝛽𝜖𝒑 − (ln 𝑧)𝑧

𝒑

𝑒−𝛽𝜖𝒑

𝑆

𝑘≈ 𝛽𝐸 − 𝑁 ln 𝑧

Entropi

𝑆

𝑘≈3

2𝑁𝑘 − 𝑁 ln 𝑧

Dengan 𝑧 =𝜆3

𝑣:

𝑆

𝑘≈3

2𝑁𝑘 − 𝑁 ln(

𝜆3

𝑣)

𝑆

𝑘≈3

2𝑁𝑘 − 𝑁 𝑙𝑛

𝑁

𝑉

ℎ2

2𝜋𝑚 𝑘𝑇

3/2

Interpretasi

Ambil misalnya (BE):

𝑆 ≈ 𝑘 σ𝑖 𝑛𝑖∗(𝛼 + 𝛽𝜖𝑖)−𝑔𝑖 ln 1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖

Suku Σ𝑖𝑛𝑖∗ = 𝑁 , total partikel dan Σ𝑖𝑛𝑖

∗𝜖𝑖 = 𝐸 total energi.

Sehingga:𝑆

𝑘≈ 𝛼𝑁 + 𝛽𝐸 −

𝑖

𝑔iln(1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

Dapat dibuktikan bahwa arti parameter dan adalah :

𝛼 = −𝜇

𝑘𝑇dan 𝛽 =

1

𝑘𝑇sehingga:

𝑇𝑆 ≈ −𝜇𝑁 + 𝐸 − 𝑘𝑇

𝑖

𝑔iln(1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

Interpretasi

Atau: E − 𝑇𝑆 + 𝜇𝑁 = 𝑘𝑇σ𝑖 𝑔iln(1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

– Dari thermodinamika diperoleh hubungan:

𝐴 + 𝜇𝑁 = 𝑃𝑉

– Sehingga (BE):

𝑃𝑉 = −𝑘𝑇σ𝑖 𝑔iln(1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

– Hasil serupa diperoleh juga untuk FD :

𝑃𝑉 = 𝑘𝑇

𝑖

𝑔iln(1 + 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

– Dan MB: (gas ideal klasik)

𝑃𝑉 = 𝑘𝑇

𝑖

𝑔i𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖 = 𝑘𝑇

𝑖

𝑛𝑖∗ = 𝑁𝑘𝑇