CAP. IV. UNDE ELASTICE Un mediu elastic este un mediu continuu format din particule care interacioneaz. Dac una din ele ncepe s oscileze perturbaia se transmite i celorlalte. Unda elastic reprezint propagarea unei perturbaii mecanice ntr-un mediu elastic, fenomenul fiind descris de variaia n timp i spaiu a unor mrimi fizice caracteristice punctelor mediului (presiune, densitate, deplasare, vitez de oscilaie etc.). Pentru mrimile vectoriale unda elastic poate fi longitudinal sau transversal. Undele elastice nu se propag n vid. IV.1. Ecuaia de propagare a undelor longitudinale Fie un element de mas m, delimitat pe axa Ox ntre x i x + x, ntr-un mediu solid, elastic i ideal (Fig.IV.1). n urma propagrii undei elastice se produce o deplasare i o deformare a acestui element, el fiind acum delimitat de x + (x, t) i x + x + (x + x, t); x este foarte mic. Masa m este constant. Presiunea p se modific cu (presiunea produs de und), iar densitatea se modific cu

up

u .

Fig. IV.1. Deformarea elementului de volum V n propagarea undei elastice longitudinale. Mediul fiind elastic, este valabil legea lui Hooke: E= (IV.1) unde

SF= = efort unitar,

0ll= = deformaie specific (alungire relativ), iar E este

modulul de elasticitate de-a lungul axei Ox. Dezvoltm deplasarea (x + x, t) n serie Taylor n jurul lui x: ( ) ( ) ....,, +

+=+ xx

txtxx , reinem primii doi termeni i calculm alungirea elementului considerat:

( ) ( ) xx

txtxx += ,,l (IV.2)

Deoarece rezult c deformaia specific este: x=0l x= (IV.3)

Dezvoltm efortul unitar (x + x, t) n serie Taylor n jurul lui x: ( ) ( ) ....,, +

+=+ xx

txtxx , reinem primii doi termeni i calculm fora rezultant care acioneaz asupra elementului m:

( ) ( )[ ]x

xStxtxxSF += ,, (IV.4)

Dar: xSVmamF === ; , iar 22

ta

= ; introducnd aceste rezultate n relaia (IV.4) obinem:

22

tx =

(IV.5)

Difereniem legea Hooke x

EE == n funcie de x:

22

2

2

tEx =

(IV.6) Relaia (IV.6) reprezint ecuaia de propagare a undelor elastice longitudinale i are forma (III.3) din teoria general a undelor. Din identificarea acestor forme rezult viteza de propagare a undelor elastice longitudinale:

Evlong = (IV.7)

Pentru unda armonic plan soluia ecuaiei (IV.6) este: sau ( ) ( kxtiAetx = , ) ( ) ( )kxtAtx = cos, (IV.8) care descrie unda de deplasare longitudinal (A este amplitudinea acestei unde; alegem 0 = 0, pentru simplificarea calculelor).

- 66 -

Alte mrimi fizice perturbate de unda elastic, care satisfac ecuaii de tipul (IV.6), sunt: unda de vitez de oscilaie (u)

( ) ( ) + ==

= 2, kxtikxti AeAeit

txu sau ( ) ( kxtAtxu )= sin, (IV.9)

a maxim de oscilaie a particulelor mediului (amplitudinea

unda de acceleraie (a)

unde Au =max este vitezundei de vitez).

( ) ( ) ( + === kxtikxti AeAe

tutxa 22, ) (IV.10)

axim a micrii de oscilaie a particulelor mediului ).

unda de deformare elastic ()

sau ( )kxtA cos (IV.10') unde Aa 2max = este acceleraia m

( )txa =, 2

(amplitudinea undei de acceleraie

( ) ( ) ==

= 2, kxtikxti kAeikAex

tx sau ( ) ( )kxtkAtx = sin, (IV.11)

este deformaia specific maxim a mediului (amplitudinea undei de

n

unde =max kAdeformare).

e ( )up unda de presiu

( ) === 2, kxtiu EkAeEtxp sau ( ) ( )kxtEkAtxpu = sin, (IV.12)

este presiunea maxim a undei elastice (amplitudinea undei de

ate

unde pu m, EkA=axpresiune).

( )=u unda de densit

( ) == 2, kxtiu kAetx sau ( ) ( )kxtkAtxu = sin, (IV.13)

este densitatea maxim produs de unda elastic (amplitudinea undei de unde u max, kA=

densitate). Observaie: deplasarea longitudinal ( )tx,r , viteza de oscilaie ( )txu ,r i acceleraia ar sunt mrimi vectoriale orientate, n exemplul discutat, pe axa Ox.

- 67 -

Undele elastice longitudinale se propag att n solide, ct i n lichide i gaze.

m nlocuiete cu

coeficientul de compresibilitate

n lichide propagarea undei elastice se produce asemntor cu cazul solidelor. n formula (IV.7) a vitezei de propagare odulul de elasticitate se

TVpVK

= , deci:

lichidlong

Kv = (IV.14)

procesului de ediul ncon

Difereniem ecuaia procesului adiabatic ( este exponentul adiabatic). Obinem

n gaze folosim tot coeficientul de compresibilitate, K, dar deosebim dou cazuri: a) proces adiabatic (dac frecvena undei este foarte mare, n timpul propagare nu are loc un transfer de cldur ntre gaz i m jurtor).

.constpV =

: 0=+ pdVVdp din care: V

p

Q

=dVdp

=0, apoi: pK = .

iteza de propagare este: V

gazlong

pv = (IV.15)

Folosind ecuaia termic de stare a gazului ideal = /mRTpV molar a ( = masa gazului, R = constanta gazelor ideale, T = temperatura absolut) i Vmgaz /= obinem:

RTp

gaz= , iar viteza de propagare devine:

= RTvlong (IV.16)

a undei este mic putem presupune c temperatura rmne

Difereniem ecuaia procesului izoterm

b) proces izoterm (dac frecvenconstant n timpul propagrii).

.constpV = Obinem: din care:

0=+ pdVVdp

VdV Tpdp = , apoi: .

iteza de propagare este:

pK =V

==RTpv

gazlong (IV.17)

- 68 -

Exemplu: sunetul este o und elastic longitudinal; el se propag prin comprimri i rarefieri succesive ale mediului elastic (Fig. IV. 2).

Fig. IV. 2. Propagarea sunetului n aer. IV.2. Ecuaia de propagare a undelor transversale Fie un mediu solid, elastic i ideal. Mai concret, considerm o coard elastic orientat de-a lungul axei Ox i un element de coard, x foarte mic. Masa acestui element este: (dA este elementul de suprafa perpendicular pe Ox). Coarda este deformat astfel nct elementul x este scos din poziia de echilibru avnd o deplasare pe direcia Oy (perpendicular pe Ox). Perturbaia se propag dup axa Ox, antrennd i restul corzii, deci deplasarea depinde de coordonata x i de timp, (x, t).

xdAm =

Fig. IV.3. Deformarea elementului de coard (bar) x n propagarea undei elastice transversale. Conform Fig.IV.3 fora rezultant pe axa Oy este: ( )[ ] sinsin += dFdFy (IV.18)

- 69 -

Dar: xx

tg

= sin , iar ( )

xxx +

+ sin . Dezvoltm funcia sin ( + ) n

serie Taylor n jurul lui x i reinem primii doi termeni: ( ) x

x

++ sinsin)(sin (IV.19) adic:

....22

+

+

=

+x

xxx xxxx

(IV.19)

nlocuind n relaia (IV.18) obinem:

xx

dFdFy

2

2 (IV.20)

Dar: , unde este efortul unitar tangenial. Pe de alt parte: dAdF = 22

tmdFy

= . Din aceste relaii i din (IV.20) rezult:

2

2

2

2

tx =

(IV.21)

Relaia (IV.21) reprezint ecuaia de propagare a undelor elastice transversale i are forma (III.3) din teoria general a undelor. Din identificarea acestor forme rezult viteza de propagare a undelor elastice transversale:

=transv (IV.22)

Dar: , unde este fora de ntindere din coard, iar este masa unitii de lungime.

lmFT // = TF ll /mm =

Pentru unda armonic plan, soluia ecuaiei (IV.21) este: sau ( ) ( kxtietx = max, rr ) ( ) ( )kxttx = cos, maxrr (IV.23) care descrie unda de deplasare transversal, cu proprietatea, esenial, 0= krr , adic vectorul deplasare transvesal r este perpendicular pe vectorul de und kr (und transversal). Undele elastice transversale se propag numai n solide.

- 70 -

IV.3. Mrimi energetice n unda elastic longitudinal

Propagarea undei elastice ntr-un mediu dat presupune un transfer continuu de energie de la surs la mediu. Energia astfel transferat se regsete n mediu ca energie de micare a particulelor mediului n jurul poziiilor lor de echilibru i ca energie potenial de deformare. Fie un element de volum V i mas m = V n mediul perturbat de o und elastic longitudinal. 1) Energia cinetic a elementului considerat este:

( kxtAVumEc == 2222

sin22

) (IV.24) unde s-a folosit expresia (IV.9) pentru unda de vitez de oscilaie.

2) Energia potenial a elementului considerat este: ( )2

* 2l= kE p , unde 0

* lSEk = este

constanta elastic, iar 0ll = . Folosim expresia (IV.11) a undei de deformare elastic i relaia VS =0l . Rezult:

( kxtAVkEESE p == 2222

0 sin22

l ) (IV.25)

Dar: , iar 2vE =v

k = . Relaia (IV.25) devine:

( )kxtAVE p = 222

sin2

(IV.25')

Se constat c cele dou energii sunt egale: pc EE = (IV.26) 3) Energia total a elementului considerat este: cpc EEEW =+= 2 (IV.27) 4) Densitatea volumic de energie este energia cuprins n unitatea de volum,

VWw

= ; w se msoar n J/m3. n cazul undei elastice longitudinale, folosind (IV.27) i (IV.24) n definiia mrimii w, rezult: (IV.28) ( ) ( ) 2222 sin, ukxtAtxw == 5) Densitatea volumic medie de energie, w , reprezint media pe o perioad a densitii volumice de energie:

- 71 -

( )[ ]

222cos11 22

0 0

22 AdtkxtT

AwdtT

wT T === (IV.29)

n Fig.IV.4 sunt reprezentate mrimile w i w n funcie de timp.

Fig. IV. 4. Densitatea volumic de energie i valoarea ei medie n funcie de timp, pentru unda elastic longitudinal. 6) Fluxul energetic este energia transferat printr-o anumit suprafa n unitatea de timp.

Se msoar n watt (W). t

Wen

= (IV.30) 7) Densitatea fluxului energetic, Jen, este egal cu energia transferat n unitatea de timp prin unitatea de arie dispus normal pe direcia de transfer a energiei. Se msoar n W/m2.

tS

WJn

en = (IV.31)

Conform Fig. IV. 5: ( )

vwtS

tvSwJ

n

nen =

= (IV.32) Vectorial: vwJ en

rr = (IV.32')

Fig. IV.5. Calculul densitii fluxului energetic pentru unda elastic longitudinal. 8) Intensitatea undei este media n timp de o perioad a modulului densitii fluxului de energie.

- 72 -

vwJI en == (IV.33)

Din relaiile (IV.29) i (IV.32) rezult: 2

22 vAI = (IV.34) Definim impedana acustic a mediului (analogie cu rezistena electric) prin: (IV.35) vZ = Relaia (IV.34) devine: . (IV.34')

2/22 AZI =Concluzie: Intensitatea undei depinde att de caracteristicile sursei (A, ), ct i de cele ale mediului ( ). Prelucrnd expresia presiunii maxime: vZ = == AvEkApu max, , relaia (IV.34) devine:

Z

pv

pI uu

22

2max,

2max, == (IV.34")

IV.4. Unde elastice produse de surse aflate n micare Micarea sursei care produce undele elastice determin: modificarea suprafeelor (fronturilor) de und i modificarea frecvenei recepionate de un observator. IV.4.1. Modificarea fronturilor de und Suprafaa de und cea mai avansat se numete front de und. Fie o surs punctiform de oscilaii aflat ntr-un mediu elastic, omogen i izotrop. Notm: = viteza sursei; v = viteza de propagare a undei (nu depinde de viteza sursei, ci numai de caracteristicile mediului).

*Su

Deosebim urmtoarele cazuri: a) (surs fix) - fronturile de und j sunt sfere concentrice, cu centrul n surs (Fig.IV.6a);

0* =Su

b) - fronturile de und sunt sfere cu centrele n S1, S2, S3 (poziiile succesive ale sursei) i nu se intersecteaz; se produce o apropiere a fronturilor de und pe direcia i n sensul vitezei sursei (Fig.IV.6b); evident c n sensul opus (n spatele sursei) ele se deprteaz;

vuS

d) - fronturile de und sunt cuprinse (nscrise) ntr-un con cu vrful n surs (Fig.IV.7). Undele produse astfel se numesc unde balistice.

vuS >*

Din Fig.IV.7 rezult S1S = , iar S1P = tuS * tv ; apoi: *sinSuv= , unde este jumtate din

unghiul plan de la vrful conului. Raportul v

uS*

>1 se numete numrul lui Mach.

a) b) c) Fig. IV. 6. Modificarea fronturilor de und pentru unde elastice produse de surse aflate n micare: a) ; b) ; c) . 0* =Su vuS *

Aplicaie: Un avion cu reacie zboar la nlimea h = 6,8 km cu viteza uS* = 500

m/s. La ce distan d fa de o cas se afl avionul cnd geamurile acesteia ncep s vibreze? Viteza sunetului n aer este v = 340 m/s.

Rezolvare: Conform Fig. IV.7b: SP = d; PA = h;dh

uv

S

== *sin ; vhud S

*

= = 10 km.

- 74 -

IV.4.2. Modificarea frecvenei recepionate de un observator (efect Doppler)

Cnd exist o vitez relativ ntre sursa sonor S i receptorul R frecvena ' a sunetului detectat de ctre receptor este diferit fa de frecvena msurat n sistemul de referin al sursei. Considerm cazul particular n care sursa i receptorul se apropie, vitezele lor fiind pe aceeai direcie (efect Doppler longitudinal; Fig. IV. 8).

Fig. IV. 8. Schem pentru efect Doppler longitudinal, cazul n care sursa i receptorul se apropie, pe aceeai direcie.

Notaii: = viteza sursei; = viteza receptorului; v = viteza sunetului; *Su*Ru =

1T =

perioada sunetului emis de surs; '

1' =T = perioada sunetului nregistrat de receptor; S = poziia sursei cnd ea emite primul sunet; S' = poziia sursei cnd ea emite al doilea sunet; R = poziia receptorului cnd el nregistreaz (aude) primul sunet; R' = poziia receptorului cnd el nregistreaz (aude) al doilea sunet. Sunt evidente relaiile:

1*

2* ' tvTuvtTu RS =++ i '12 TttT =+ ; rezult:

*

*

'R

S

uvuv

TT += , iar pentru frecvene: *

*

'S

R

uvuv

+= (IV.36)

Pentru cazul cnd sursa i receptorul se deprteaz pe aceeai direcie obinem:

**

'S

R

uvuv

+= (IV.37)

Se constat c n cazul apropierii dintre surs i receptor frecvena recepionat crete ( ), iar n cazul deprtrii lor frecvena recepionat scade (> '

Exemple: a) frecvena nregistrat de un observator fix aflat ntr-o gar prin care trece, fr s opreasc, un tren a crui siren este n funciune: cnd trenul se apropie sunetul este mai acut, iar cnd trenul se deprteaz sunetul este mai grav. b) doi observatori aflai n repaus, unul n faa unei ambulane aflate n micare, cu sirena n funciune, altul n spatele ambulanei (Fig. IV. 9).

Fig. IV. 9. Exemplu de efect Doppler longitudinal. Aplicaie: Un observator n repaus nregistreaz sunetele emise de dou diapazoane identice: unul se apropie, iar cellalt se deprteaz de observator, pe aceeai direcie, cu viteza de 1 m/s. Frecvena sunetului fiecrui diapazon, n sistemul propriu de referin, este = 650 Hz, iar v = 340 m/s. S se calculeze frecvena btilor percepute de observator.

Rezolvare: = 1 m/s; din formula (IV.36): ** ;0 SR uu = *1Suv

v= ; din formula (IV.37):

*Su

2 vv+= ; frecvena btilor este: ( )2*2 021

2

S

buv

v

== 3,8 Hz.

- 76 -