6
CAPTULO
Objetivos
En este captulo:
Aprenders a clasificar nmeros
reales de acuerdo al tipo que
pertenecen
Sabrs ubicar nmeros reales en
la recta numrica y compararlos
Comprenders las propiedades de
la igualdad
Reconocers las propiedades de
las operaciones con nmeros
reales
Resolvers operaciones con
nmeros reales
Usars los nmeros reales para
resolver problemas y representar
datos
LOS NMEROS REALES
Datos curiosos donde se utilizan distintos tipos de nmeros:
El vuelo ms largo conocido que haya hecho una gallina dur 13 segundos.
De los asteroides clasificados, el que ms cercano pas a la tierra en el ao 2006 fue el 2004 XP14 , su dimetro se
ubica entre 320 m y 870 m y estuvo a tan solo 1.1 veces la distancia que hay a la Luna.
En un cuadrado de 1 unidad de lado la diagonal mide 2 , esta medida es ubicable en la recta numrica.
Hasta el ao 2002 se haban calculado 1 242 100 000 000 cifras decimales del nmero .
La divisin de un nmero natural entre 7 produce decimales peridicos: 5
0.714285714285714285...7
Ms de 1
10 de la produccin anual de sal del mundo se utiliza para descongelar los caminos en los Estados Unidos
de Norteamrica.
Es posible predecir (sin hacer ms clculos) los dems dgitos del resultado de una divisin cuyo perodo se
conozca pero no as con los decimales de una raz cuadrada inexacta, para estos habra que continuar operando.
El Mar Muerto se ubica a 400 m respecto al nivel del mar y es el punto natural ms bajo del planeta.
Valora la utilidad de los diferentes tipos de nmeros usados en estos datos. Has empleado alguna forma de ellos en tu
experiencia diaria? Procura recordar el nombre de cada uno de ellos.
7
CLASIFICACIN DE LOS NMEROS
REALES
Sabas que los nmeros que se parecen al 59 804, 3 , 25 , 5
8, 0.25, 3.333, 19.7, 28, 0, etc.,
tienen una utilidad muy frecuente en la vida cotidiana? Estos nmeros sirven para expresar medidas como la
temperatura, la longitud, el volumen, las ganancias, las deudas, el tiempo, etc., entre muchas otras magnitudes.
Toda cantidad que se pueda representar en la recta numrica se llama nmero real y es til para expresar la
magnitud de algo.
El conjunto de los nmeros reales es extenso y como tal, agrupa subconjuntos de nmeros que se distinguen
entre ellos por caractersticas nicas y muy evidentes.
A continuacin se muestra un esquema que nos da una mejor idea del asunto:
NUMEROS REALES
NEGATIVOS: () CERO POSITIVOS: (+)
RACIONALES (Q) RACIONALES (Q)
a) enteros a) enteros
b) fracciones b) fracciones
c) decimales c) decimales
IRRACIONALES (I) IRRACIONALES (I)
Los nmeros reales positivos se distinguen de los reales negativos en que estos ltimos llevan el signo menos () en su lado izquierdo, si un nmero no tiene signo en su lado izquierdo, se le considera positivo.
Nmeros racionales. Un nmero real ser racional si se puede representar a travs de una fraccin N
M, siempre que
N 0. (N es distinto de cero). As las fracciones por s mismas son nmeros racionales ( la palabra racional deriva de la
palabra razn, que en matemticas significa comparacin de dos cantidades a travs de un cociente). Los enteros tambin
son nmeros racionales, pues 1
MM , igual ocurre con los nmeros decimales que guardan mucha relacin con las
fracciones, por ejemplo 0.333 es lo mismo que 1
3 o bien 0.142857142857 =
1
7. Todos estos, por poder
representarse de modo fraccionario se clasifican como nmeros racionales.
Nmeros irracionales. Un nmero irracional es un nmero real, como 2 , 3 y , cuyo resultado exacto solo
puede expresarse en la forma como ellos mismos aparecen. Se puede decir que en n , si n no es un cuadrado, entonces
n es irracional, entonces 5 , 6 , 7 , 8 son irracionales (en tanto que 9 , que es igual a 3, es racional). El concepto es extensible a todas las races inexactas.
El cero. El nmero real cero es un elemento de separacin entre los nmeros negativos y positivos, por su ubicacin en
la recta es mayor que cualquier nmero negativo y menor que cualquier nmero positivo. El cero es la ausencia de
cantidad, as, representar el estado econmico de una persona con el cero equivale a decir que no tiene haber ni deudas. El
criterio no es aplicable al caso de las temperaturas, pues 0 0C no significa ni fro ni caliente, esto es muy relativo !!!.
Lo que aprenders Identificar los nmeros reales
por nombre de acuerdo al tipo
al que pertenecen
Por qu es importante Se utilizan a menudo en la vida
diaria y saber identificarlos ayuda a
su empleo de modo ms eficiente
La diagonal de un cuadrado de una
unidad por lado.
Los nmeros inconmensurables
como 2 (que no se pueden
medir) significaron un problema
para escuelas tan antiguas que
Platn informa que tales
situaciones sacudieron a los
matemticos griegos en la fe
que propona la escuela
pitagrica en los nmeros
enteros.
8
Otras agrupaciones de nmeros reales. Sin duda, anteriormente has manejado el concepto de nmero entero, se
trata del nmero real que no est fraccionado. Los nmeros enteros son tanto positivos como negativos incluyendo el cero,
por ejemplo: -31, -5, -1, 0, 8, 20, 27, etc.
Un conjunto de nmeros tambin muy conocido es el de los nmeros naturales (N), son los enteros
positivos a partir del 1 y no se acaban al llegar al diez! (como se pudo aprender alguna vez). Los nmeros naturales son un
subconjunto de los nmeros enteros pero hay un conjunto de nmeros que incluye al cero y los naturales, es el de los
nmeros completos.
EJERCICIOS
1. Reflexiona cada afirmacin y luego escribe una F (falso) o V (verdadero) segn sea lo correcto.
a) Todos los nmeros reales son positivos _____
b) Todos los nmeros reales se pueden representar en la recta numrica _____
c) Las medidas son expresables utilizando nmeros reales _____
d) Las races cuadradas no son nmeros reales _____
e) El cero es un nmero racional _____
f) Todas las races inexactas son nmeros irracionales _____
g) Todos los decimales peridicos son racionales _____
h) es irracional porque no existe fraccin numrica para representarlo _____
i) Existen ms nmeros positivos que negativos _____
j) 3 27 es un nmero racional _____
2. Coloca una palomita en la celda cuya descripcin se aplique al nmero dado.
nmero Entero Racional irracional positivo Negativo
a) 12
b) 0
c) 7
2
d) 2
2
e) 9
f) 2
g) 5
3
h) + 1
i) 22
j) 24
k) -0.999
l) 1000
CORRIGI: _______________________________ CALIFICACIN = #
2
ACIERTOS _______
Adivino quien soy. En este juego el instructor colocar en la espalda de un jugador un papel con un nmero real
cualquiera. El jugador solo puede lanzar preguntas a la fila que pertenece, buscando pistas para dar con el nmero que
trae consigo. La fila solo puede contestar con un si o un no, el fin es aprender a utilizar los nombres y clasificaciones
de los nmeros reales. Gana la fila cuyos jugadores hayan dado con el nmero en menos tiempo.
ACTIVIDAD 1
10 minutos
ACTIVIDAD 2
15 minutos
9
REPRESENTACIN GRFICA DE LOS
NMEROS REALES
Es til considerar los nmeros reales desde un punto de vista geomtrico. Una recta horizontal l , que se
prolonga indefinidamente por sus dos extremos. Se escoge un punto arbitrario O que corresponder al entero 0 (cero) y
otro punto arbitrario P (sobre l ) a la derecha de 0 que corresponde al 1. La parte de la recta l comprendida entre O y P
se llama segmento de recta y se simboliza como OP . La longitud del segmento de recta OP determina la unidad de
distancia bsica o escala. As el 2 estar a una distancia similar del 1 que el 1 del 0. Lo mismo ocurrir por el lado de los
reales negativos, que estarn ubicados a la izquierda del cero y por lo tanto son menores que el cero. Ver figura.
Para representar el nmero racional 4
3, se divide el segmento comprendido entre 0 y 1 en 4 partes, pues el
denominador de toda fraccin (en este caso el 4) indica las partes en que hay que dividir cada unidad. Luego se toman 3
partes contando de izquierda a derecha y esa es la ubicacin del racional 4
3.
Para representar 3
2 , se divide del 0 al -1 en tres partes en conformidad con el denominador y luego se
cuentan dos partes partiendo del cero hacia la izquierda, por ser negativo el racional y listo!!!
Para representar el racional 4
9 , se divide del 0 al -3, cada unidad en cuatro partes, y luego contando 9 de
ellas, hacia la izquierda del cero, por ser racional negativo.
Para representar el racional 0.3 que est comprendido entre 1 y 0, dividimos la unidad en diez partes y
luego contamos de derecha a izquierda tres de ellas.
Lo que aprenders Ubicar nmeros reales en la
recta numrica
Por qu es importante Facilita las comparaciones de
cantidades
10
Tocante a los nmeros que son decimales, se puede decir que mientras ms dgitos tengan despus del punto
decimal, el entero se fracciona en ms partes. Por ejemplo el nmero 0.345 se lee trescientos cuarenta y cinco milsimos
y la palabra milsimos, que habla del orden del decimal, tambin indica el nmero de partes en que se divide el entero, es
decir en mil partes, de las cuales hay que tomar 345. En otro caso el decimal 0.31 se lee treinta y un centsimos y el
entero se parte en cien pedazos debido a centsimos, de los cuales hay que considerar 31 de ellos.
EJERCICIOS
1. Ubicar sobre la recta numrica real los nmeros 0.9, -0.9, -1.05, 5
2, 2
1,
3
1 . Utilizar las posiciones sealadas con
los puntos A, B, C, D, E y F.
2. Sobre la recta l , escribir la ubicacin de los siguientes nmeros reales.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -1 f)-2 g) 4
1 h)
4
3 i)
2
11 j)
5
7
k) l) 1.6 m) -1.2 n) 2.9
3. Escribir en las lneas si los resultados respectivos de cada operacin son positivos, negativos o cero. No usar
calculadora.
a) _________________ 3 b) _________________ 2
32
c) _________________ 32 d) _________________ 3110
e) _________________ 222 f) _________________ 532
g) _________________ 36 100 25 121
h) _________________ 1 2 3 4
1 2 3 4
i) _________________ 10 2
2 10 j) _________________
2 23 2
3 2
CORRIGI: ________________ CALIFICACIN = #
3
aciertos _______
ACTIVIDAD 1
15 minutos
11
COMPARACIN DE NMEROS REALES
Si a y b son dos nmeros reales, al momento de compararlos ocurre alguna de las tres situaciones siguientes:
a > b se lee a mayor que b
a < b a menor que b
a = b. a igual que b
esta cualidad de los nmeros reales se conoce como tricotoma y consiste en que puede ocurrir una y solo una de las tres
situaciones anteriores al comparar dos nmeros reales.
Tocante al orden de los nmeros reales, para cualquier par de nmeros, el que se ubique a la derecha sobre la
recta numrica, es el mayor.
Una manera de emplear los nmeros reales es a travs de intervalos. Un intervalo de nmeros reales puede
verse tambin como un pedacito de la recta, definido en sus extremos por dos nmeros dados, as surge el extremo
izquierdo y el derecho. En efecto, los nmeros que quedan definidos por el intervalo son mayores que el nmero dado del
extremo izquierdo y menores que el del extremo derecho.
Cules son los reales comprendidos en el intervalo de la figura siguiente
Contestaramos que todos los que estn a la derecha del 2 y a la izquierda del 3.5, y esto ha sido muy fcil. El problema
sera escribirlos, por eso en matemticas se cuenta con una notacin simbolizada que termina por sacarnos del apuro: en
este caso, escribiramos (2, 3.5) que se lee todos los nmeros mayores que 2 y menores que 3.5. Como puede verse se
escriben los dos nmeros extremos en parntesis y separados por una coma. A esto se le conoce como un intervalo
abierto. Es muy importante comprender que en este grupo de nmeros no podemos incluir al 2, ni al 3.5, porque los
extremos de un intervalo abierto no estn en l y cuando se dibuja esto en la recta numrica, los extremos llevan crculos
vacos (ver figura anterior).
Algunas veces queremos que el intervalo s incluya a sus extremos. Por ejemplo si queremos referirnos al
conjunto de nmeros formado por el 2 y el 5 y todos los reales que estn entre los dos, escribimos [2, 5]. Se leer todos
los reales ubicados entre el dos y el cinco, incluyendo el dos y el cinco. En el intervalo cerrado usamos corchetes en vez
de parntesis y la forma de representarlo grficamente es como sigue:
[2, 5]
A continuacin se presenta una tabla que nos muestra un resumen de lo que se ha dicho respecto a intervalos y otras
extensiones del mismo tema.
Lo que aprenders Comparar nmeros reales y
ubicarlos en cierto intervalo
Por qu es importante Ayuda a tener una idea precisa de
las cantidades
Intervalos de nmeros
reales
12
Intervalo abierto Intervalo cerrado Intervalo abierto por la
derecha
Intervalo abierto por la
izquierda
Representacin
en smbolos (a, b) [a, b] [a, b) (a, b]
Representacin
grfica
Contiene
A todos los nmeros
mayores que a y
menores que b. Los
extremos a y b no
pertenecen al intervalo
A los nmeros a, b y a
todos los que son
mayores que a y
menores que b. Los
extremos a y b
pertenecen al intervalo
Al nmero a, y a todos
los que son mayores
que a y menores que b.
El extremo a pertenece
al intervalo, b no
pertenece a l.
A todos los nmeros
mayores que a y menores
que b y al nmero b. El
extremo a no pertenece al
intervalo, b s pertenece a
l.
x pertenece al
intervalo si
x > a
x < b
x a
x b
x a
x < b
x > a
x b
1. El sastre cortador.
Un sastre corta cada minuto un metro de una tela que mide diez metros. Cunto tardar en tenerla completamente
cortada? _______________________
2. De un cuadrado, cuadritos.
Se recorta un papel de 1 m2 en cuadritos que miden 1 cm2. Si se acomodan los nuevos cuadritos a lo largo de una lnea
recta, Cunto medir la lnea? ___________________
EJERCICIOS
1. Contesta el siguiente acertijo, si fuera necesario auxliate de dibujos.
En un juego de mesa, Alejandra tiene ms puntos que Fernando, pero menos que Jessica. La marca de
Jessica es mejor que las de Kenya y Alberto, y los puntos de Alberto son menos que los de Kenya, aunque
ms que los de Fernando y los de Alejandra. Quin de los cinco tiene menos
puntos?_________________ Quin tiene ms? _____________________________
2. En cada ejercicio coloca P o NP despus de verificar si el nmero de la izquierda pertenece o no pertenece al
intervalo propuesto a la derecha.
a) 0.9 __________ (1.7 , 2.3) i) 1.56 ___________ (1.5 , 1.5)
b) 1.31 __________ (1.3 , 2) j) 2.08 ___________ (2.079, 2.081)
c)3.5 __________ (5 , 5) k) 0.00001 ________ (0 , 0.5)
d) 9.0001 _________ (15 , 9.01) l) ___________ (3.1 , 3.2)
e) __________ (4 , 2) m) ___________ ( , )
f) 2 __________ (0 , ) n) 2.38 __________ (2.3 , 1.8)
g) 5 __________ (5 , 10] o) 8 __________ [8 , 24]
h) 6 __________ [6 , 0) p) 0 __________ [6 , 0)
q
Prende el
foco
ACTIVIDAD 1
35 minutos
13
q) 3.28__________ (3 , 3) x)2
1 __________ [0 , 1]
r)2
5 __________ (1 , 0) y)3.5 __________ [3 , 3.5)
s) 2.7 __________ (3 , 2)
t) 1.799 __________ (1 , 1.8)
u) 3.0001_________ (3 , 4)
v) 128.16________ (345.12 , 128.17)
w) 80.45 _________ (80.3, 80.45]
3. Usa la lnea de la derecha para ordenar de mayor a menor la serie de nmeros que aparece a la izquierda respectiva,
(p, x, f y h son nmeros naturales).
Serie de nmeros Nmeros ya ordenados de mayor a menor
a) 9.02, 9.2, 9.002, 9.0002
b) 2.8, 2.851, 2.08, 2.185, 2.086
c) 7
3,
2
3,
4
3,
21
3
d) 1
5 ,
2
3,
2
7,
3
4
e) p 11, p + 1, p 9
f) 88 + f, 88 f, 88 (f +2),
88 + (f + 2)
g) h + 5, h 10, h 20, h 5
h)114 x , 114 5x ,
114 3x , 114 5x
i) p2, p5, p3, p, p4. (considerar que p 1)
j) 5m
h
,
4m
h
,
10m
h
k) 4 f
p,
f
p,
2 f
p,
6 f
p
l) 1
x,
1
5x,
1
3x,
1
10x
m) 1
1x ,
1
5x ,
1
8x ,
1
x
CORRIGI: ___________________________ CALIFICACIN = #
4
aciertos _______
Notas:
14
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
CON NMEROS REALES
Resulta lo mismo 2 10 que 10 2 ?
Se obtienen diferentes resultados con (5)( 8) que con ( 8)(5)?
En ocasiones surgen dudas respecto a la verdad de un resultado al hacer una operacin con nmeros reales, en
muchos casos esas dudas se disipan si se mantienen conceptos claros respecto a las propiedades de las operaciones con los
nmeros. Ahora busca comprender cada una de ellas.
Esta propiedad establece que las operaciones con nmeros reales siempre dan un nmero real. Por ejemplo:
5 + 7 = 12 Tanto los sumandos como la suma son nmeros reales
20 5 4 Dividendo y divisor reales tienen como cociente un nmero real
La palabra conmutar significa cambiar de lugar. Hay conmutatividad si despus de intercambiadas las
posiciones de los valores de una operacin, los resultados aun se mantienen inalterados.
Si en 5 3 + 9 = 11 conmutamos los trminos en todas las formas posibles, obtenemos 5 + 9 3 = 17
5 3 + 9 = 17
3 + 5 + 9 = 17
3 + 9 + 5 = 17
9 + 5 3 = 17
9 3 + 5 = 17
Si en 2 4 3 24 conmutamos los factores, obtenemos 2 3 4 24
3 4 2 24 , etc.
Asociar debe entenderse como la manera de agrupar nmeros reales que estn sujetos a un mismo tipo de
operacin. Por ejemplo:
la agregacin 3 4 + 5,
si usamos parntesis para asociar 3 y 4, tenemos: (3 4) + 5 = 1 + 5 =4.
A continuacin probamos otra manera de asociar, por decir, el 4 con el +5, tenemos 3 + (4 + 5) = 3 +1 =4.
En el caso de las multiplicaciones: 4 2 10 4 2 10 8 10 80
O bien, asociando de otro modo: 4 2 10 4 2 10 4 20 80
Se observa que es posible hacer distintas asociaciones en las operaciones de agregacin y multiplicacin con
reales y de todos modos obtenemos el mismo resultado.
La propiedad asociativa hace posible las reducciones en las operaciones, por ejemplo 2 + 5 = 7 por asociacin
(5)(9) = 45 tambin por asociacin.
Lo que aprenders Reconocer las propiedades de
las operaciones para hacer
clculos correctos
Por qu es importante Da seguridad al operar
Propiedad de
cerradura
Propiedad conmutativa
Propiedad Asociativa
15
Esta propiedad tiene una aplicacin muy til en la multiplicacin y la divisin, pues establece que si a, b y c
son nmeros reales distintos de cero y se tuviera a(b + c), entonces el producto se podra obtener multiplicando a con b y
luego a con c. As:
a(b + c) = ab + ac. y a(b c) = ab ac
(b + c)a = ab + ac (b c)a = ab ac
Tambin se les conoce como elementos neutros de las operaciones. Con esto nos referimos a un nmero a
(el elemento neutro), tal que cuando tengamos otro nmero y los operemos, el resultado siga siendo este ltimo nmero.
Por ejemplo 5 + 0 = 5 y 23 1 = 23. Se observa que en la adicin, el elemento neutro es el 0, mientras que en la
multiplicacin es el 1.
Son los nmeros R tales que al operarlos en una suma o resta, el resultado es cero. Por lo tanto, el elemento
inverso en la adicin es el respectivo nmero con signo contrario, por ejemplo:
a) 6 + (6) = 0 el inverso aditivo de 6 es el 6
b) 12 + (12) = 0 el inverso aditivo de 12 es el 12
Mientras que en la multiplicacin se dice: dado un nmero real, su inverso multiplicativo o recproco ser el
nmero real que cuando lo multiplique el resultado sea uno. Por ejemplo:
a) 8 1
8 = 1 el inverso multiplicativo de 8 es
8
1
b) 3 5
15 3 el inverso multiplicativo de
3
5 es
5
3
Propiedades al suelo. Agrupados en equipos de 12 jugadores, el instructor dir una definicin o un ejemplo de alguna
propiedad estudiada en el texto y cada equipo, utilizando paliacates, formar con letras y en el piso el nombre de la
propiedad referida. Gana el equipo que termine primero y est correcto.
EJERCICIOS
1. Conmuta los sumandos y los factores de todas las formas posibles y comprueba la igualdad.
a) 4 + 2 + 7 = 13 b) 5 + 3 + 4 = c) (7)(5)(3) =
2. Primero resuelve las operaciones, despus en un segundo rengln aplica una asociacin y compara los resultados (deben
ser iguales).
a) 3 + 4 + 6 = b) 7 + 3 + 5 + 2 + 4 + 6 = c) 8 + 5 + 2 + 15 =
d) (2)(4)(3) = e) (5)(6)(2)(3) = f) (4)(10)(8) =
Propiedad Distributiva
Elementos de identidad
Elementos inversos
Actividad 1
10 minutos
Actividad 2
30 minutos
16
3. Aplica la propiedad distributiva. Usa el formato del ejemplo:
a) 8 (2 + 3) = 8(2) + 8(3) = 16 + 24 = 40 b) 3(4 + 6) =
c) a(b + c) = d) (a + b)(c + d) =
e) 6(3m 5n + 8) = f) 4b2(3ab3 + 3b4) =
4. Evala cada una de las siguientes proposiciones con falso (F) o verdadero (V); justifica tu respuesta sobre la base del uso
de las propiedades que has estudiado. Observa el ejemplo.
[(2)(3)]4 = [(4)(3)]2 V Propiedades asociativa y conmutativa
a) 8 2 = 2 8 _____ ________________________
b) 4 + 2 = 2 + 4 _____ ________________________
c) 6 3 = 3 6 _____ ________________________
d) (20 + 2) + 4 = 20 + 4 + 2 _____ ________________________
e) (2)(3)(6) = [(2)(3)]6 _____ ________________________
f) 3(2 + 4) = (3)(2) + 4 _____ ________________________
g) 4(2) + 4(3) = 4(2 + 3) _____ ________________________
h) (3)(4) + 2 = 2 + (3)(4) _____ ________________________
i)
8
90
8
9 _____ ________________________
j) n
m
y
x
y
x
n
m _____ ________________________
k)
4
368
4
368 _____ ________________________
l) a + (b + y) = (a + b) + y _____ ________________________
m) 6(1) = 6 _____ ________________________
n) xx
1 _____ ________________________
o) (a + b)(a + b) = a2 + b2 _____ ________________________
CORRIGI: ________________ CALIFICACIN = 3
ACIERTOS _______
Notas:
17
OPERACIONES ARITMTICAS
FUNDAMENTALES
Las operaciones que llamamos aritmticas son consideradas tambin como operaciones fundamentales de la
matemtica y son la suma, la resta, la multiplicacin, la divisin.
Las operaciones aritmticas a menudo utilizan smbolos de agrupacin, los ms usuales, apareciendo en orden a prioridad,
son:
Parntesis ( )
Corchetes [ ]
Llaves { }
La funcionalidad de estos signos toma alguna o algunas de las siguientes utiidades:
Para sustituir el signo de multiplicacin. Por ejemplo: 3 7 = 3(7) = (3)7 = (3)(7).
Para considerar una expresin-operacin como nmero nico. Por ejemplo, en la expresin 5(12 4)
podemos considerar que (12 4) es un nmero nico, ya que esta expresin puede ser sustituida por el valor de su
operacin, que es 3.
Para definir o modificar el orden en las operaciones. Por ejemplo, en la expresin 10 + 8 2, si queremos
primero sumar y despus dividir, se colocan los parntesis de la siguiente manera: (10 + 8) 2 = 18 2 = 9.
Cuando una expresin carece de signos de agrupacin, la forma de solucionarla est en conformidad con los pasos que
precisa la jerarqua de operaciones:
PRIMERO: Resolver todas las potencias y las races.
SEGUNDO: Resolver todas las multiplicaciones y divisiones
TERCERO: Resolver todas las sumas y las restas.
En todo caso se prefiere buscar las operaciones y resolverlas en el orden propuesto, comenzando en el lado
izquierdo de la expresin y avanzando hacia el derecho.
Aplicando la jerarqua de operaciones, verificaremos la exactitud y el error de los siguientes ejemplos:
Lo que aprenders Resolver operaciones con
nmeros reales
Por qu es importante Desarrolla la capacidad de operar
correctamente
Smbolos de
agrupacin
Jerarqua de
operaciones
18
EXPRESIN SOLUCIN CORRECTA SOLUCIN INCORRECTA
5 + 2 4 = 5 + 8 = 13 7 4 = 28
Porque va primero la multiplicacin
7 2 + 5 = 14 + 5 = 19 7 7 = 49
Porque va primero la multiplicacin
10 5 + 8 4 = 2 + 32 = 34
2 + 8 4 = 10 4 = 40
Porque se resuelven la divisin y la multiplicacin por
separado y luego se hace la suma
15 5 + 8 2 = 15 5 + 4 = 14
10 + 8 2 = 18 2 = 9
Porque se resuelve primero la divisin, luego la resta y
finalmente la suma, considerando que se opera de
izquierda a derecha en caso de operaciones de una misma
jerarqua.
En caso de que la expresin incluya uno o varios smbolos de agrupacin, la prioridad de estos smbolos establecida en el
listado de la pgina anterior, indica el orden en que se debe resolver las operaciones. Si existe un signo de agrupacin
dentro de otro, siempre debemos eliminar (resolver primero) el que est ms adentro.
Cmo resolveras la siguiente expresin?: 100 [10(3 + 2)]. Escribe tu forma de solucionarla sobre la lnea
de abajo, finalmente compara con tu compaeros.
EJERCICIOS
1. Coloca correctamente los signos de agrupacin en las siguientes expresiones para que el resultado sea el escrito. Toma
en cuenta la jerarqua de operaciones, eso implica que en algunos casos no sern necesarios los smbolos de agrupacin.
Ejercicio: 10 2 + 3 = 2
Solucin: 10 (2 + 3) = 10 5 = 2
a) 40 2 + 8 = 4 b) 30 3 + 8 2 = 36
c) 20 2 + 3 = 13 d) 30 3 + 8 2 = 26
e) 6 + 3 2 = 7 f) 25 2 12 3 = 46
g) 5 8 6 = 10 h) 10 + 5 3 2 = 90
i) 15 5 + 3 2 = 26 j) 10 + 5 3 2 = 40
k) 10 4 2 = 12 l) 10 + 5 3 2 = 50
m) 10 4 2 = 2 n) 20 5 + 8 2 = 8
o) 5 8 6 = 34 p) 20 5 + 8 2 = 6
q) 5 8 6 = 10 r) 7 20 2 + 3 = 28
s) 15 5 + 3 2 = 4 t) 7 20 2 + 3 = 73
u) 15 5 + 3 2 = 14 v) 7 20 2 + 3 = 91
w) 2 + 4 5 6 = 16 x) 2 + 4 5 6 = 24
y) 2 + 4 5 6 = 6 z) 2 + 4 5 6 = 2
Actividad 1
30 minutos
19
2. Cada uno de los clculos siguientes tiene algn error de procedimiento. Encuntralo y analiza qu tanto afecta al
resultado final.
CLCULO ERROR
a) 3 + 5 8 1 = 64 1 = 63
b) 235925
c) 68 (4 15) = 17 15 = 2
d) (7 + 4)2 + 9.5 = 49 + 16 + 9.5 = 74.5
e) 2461818
108
6
108
186
108
f) 24
15
177
96
17
9
7
6
g) 101006
600
6
258342
3. Cinco nmeros y las operaciones bsicas. Usa una sola vez cada uno de los nmeros y combnalos para formar el nmero
sealado, utiliza slo las primeras cuatro operaciones bsicas y los smbolos de agrupacin.
Ejemplo: 1, 7, 8, 9, 9; total:16. 9
8 7 1 169
a) 1, 10, 15, 20, 3; total: 6 _________________________________________
b) 2, 18, 3, 11, 12; total: 8 _________________________________________
c) 7, 14, 7, 17, 13; total: 7 _________________________________________
d) 0, 4, 1, 11, 9; total: 5 _________________________________________
4. En un lenguaje de programacin para computadoras se emplea, para indicar operaciones aritmticas, una escritura
especial, llamada notacin posfija, que no emplea signos de agrupacin (es decir, parntesis, barras ni corchetes). En
ella, se colocan primero las cantidades y despus las operaciones que se realizarn con ellas, de manera que las mismas
cantidades sirven para limitar las operaciones a realizarse. Por ejemplo, la expresin aritmtica:
{4 2 (5 + 3)} (15 + 2)
se escribira, con la notacin posfija, as:
4 2 5 3 + 15 2 +
Escribe en notacin posfija las siguientes expresiones aritmticas:
a) 2 (8 5) + 4 ______________________________________________
b) [(4 + 5) 10] 8 ______________________________________________
c) 2 (2 (2 + 1) + 1) ______________________________________________
La notacin posfija, te parece ms clara o ms precisa que la usual? Disctelo con tus compaeros.
CORRIGI: _____________________ CALIFICACIN: 4
aciertos ____________
Notas:
20
1. Resuelve los acertijos:
a) SUMAS EXTRAAS.
Observa las siguientes sumas, un tanto extraas:
UNO + SIETE = OCHO
SEIS + CUATRO = DIEZ
CINCO + CINCO = DIEZ
DOS + NUEVE = OCHO
CUATRO + CINCO = ONCE
TRES + OCHO = ???
Las tres primeras parecen normales, pero las dos que siguen son ms bien raras.
Cunto da la ltima suma?
b) EL CUADRO MGICO.
Se dice que un cuadro es mgico si al sumar de manera vertical, horizontal o en diagonal, la suma siempre es la misma.
Completa los siguientes cuadros mgicos:
c) LLEGAR A 30.
Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un nmero entero entre 1 y 6, y los suman a los nmeros
elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 30 es el ganador. Veamos una partida:
Primer jugador 4 6 1 5
Segundo jugador 1 4 3 6
Suma total 4 5 11 15 16 19 24 30
Gana el segundo jugador!
Despus de jugar algunas partidas, puedes encontrar alguna estrategia ganadora?
Prende el
foco
21
Las operaciones de suma y resta las consideraremos de modo general como una agregacin de nmeros
reales, estas agregaciones tienen su representacin grfica en la recta numrica y corresponden a saltos sobre la misma.
Estos saltos se orientan hacia izquierda o derecha en la recta en funcin del signo del nmero real (el signo de un
nmero est en su lado izquierdo), si el nmero es negativo se salta hacia la izquierda tantas unidades como valga el
nmero, si es positivo, los saltos son hacia la derecha. Cualquier serie de saltos principia en el cero. El resultado de una
agregacin de nmeros es precisamente el lugar donde finalicen los saltos.
Ejemplo: 3 2 + 11 4 = 2
De aqu mismo derivan algunas conclusiones como la que dice que cuando se agregan dos nmeros negativos,
solo hay que sumarlos y el resultado es negativo. Esta conclusin puede observarse en el grfico anterior, pues en el caso
de 3 2, el resultado fue 5, hubo que dar dos saltos hacia la izquierda.
Es muy comn confundirse pensando que al operar 3 2, se puede decir menos por menos es ms y
finalmente colocar 5, por esto es importante reconocer que en las agregaciones donde no haya parntesis, no opera la ley
de multiplicacin de signos. Cabe aclarar que si en alguna agregacin existen parntesis, stos se eliminan
multiplicndolos con el signo inmediato que est a su izquierda y finalmente se resuelve la agregacin. Por ejemplo en la
operacin:
( 4) + ( 10) =
el paso necesario consiste en eliminar los parntesis, realizando la multiplicacin de signos de la siguiente forma: el signo
externo ubicado a la izquierda del parntesis multiplicado con el signo del nmero, quedando as:
( 4) + ( 10) = 4 10 = 6
En el caso de agregar fracciones o decimales se sigue el mismo mecanismo utilizado en la agregacin de
enteros (aunque en la prctica es un tanto complicado pensar en saltos), en el caso especfico de las fracciones, el
numerador se reduce a una simple operacin de enteros.
2 4 1 2 4 1 20 24 5 9 3
3 5 6 3 5 6 30 30 10
Es oportuno recordar que cuando hay fracciones con distinto denominador, primero se obtiene un denominador
comn que surge calculando el mcm (mnimo comn mltiplo) de los denominadores, que en el caso anterior es 30.
EJERCICIOS
1. Resuelve las siguientes agregaciones. NO uses calculadora.
a) 20 + 10 8 5 = b) +3 + 8 + 9 + 6 = c) + 10 - 25 15 + 30 =
d) 2 5 2 4 8 = e) +24 + 6 24 = f) 8 + 5 5 + 8 + 5 =
g) 1 + 6 + 10 8 15 = h) 20 + 40 10 10 = i) 100 30 40 100 =
j) 40 20 10 + 50 = k) +1 7 + 4 + 7 4 1 + 8 =
l) 47 + 89 2 + 47 89 + 2 = m) 2 248 40 + 2249 = n) 10 30 10 =
o) +88 888 88 888 1 =
La suma y la resta
Ejemplo
Actividad 1
50 minutos
22
2. Resuelve las siguientes expresiones. Incluye el paso que muestra la eliminacin de parntesis.
a) (+3) + (5) + (2) = 3 5 2 = 4
b) (+9) + (10) + (9) (+10) + (+20) =
c) (2) (+6) (6) =
d) (4) (2) + (+8) = e) (+7) + (3) + (+10) =
f) (3) (3) + (8) (+2) = g) (+5) (10) + (6) =
h) (15) (+10) (+5) =
i) (12) (+20) (+8) (+10) =
j) (7) (2) (7) + (10) =
k) (+7) (2) (7) + (10) =
l) (7) (2) (7) + (10) =
3. Efecta las siguientes operaciones simplificando el resultado.
Ejemplo: 3 1 11 1 11 1 10 10 5
24 4 4 4 4 4 4 2
a) 9
6
9
3 b)
8
4
8
3
c) 20
3
20
8
20
15 d)
3
21
3
2
3
5
e)
5
6
5
3
5
4 f)
35
32
35
20
35
18
g)
5
3
5
4
5
2 h)
9
1
9
4
9
2
i)
1
1
7
5
7
2 j)
18
15
18
10
18
6
4. Resuelve las siguientes operaciones. En los casos en que alguna fraccin que integra la operacin se pueda simplificar,
simplificarla antes de resolver la operacin (esto tambin se va a calificar). El resultado debe estar simplificado y en
fraccin propia o impropia (no mixta). Observa el ejemplo:
3 14 3 2 9 8 1
4 21 4 3 12 12
a) 12
11
8
5
4
2
b) 8
13
9
4
3
1
Notas:
23
c) 15
3
5
3
6
13
d) 12
4
3
2
8
7
e) 5
3
15
8
30
20
f) 33
6
2
12
11
7
g) 26
20
13
8
3
4
h) 42
17
7
5
21
20
i) 28
13
64
5
j) 30
280
15
4
CORRIGI: _____________________ CALIFICACIN: 1046
aciertos____________
1) Aade el nmero que falta:
2) Calcular el valor numrico de la siguiente multiplicacin: ... ?x a x b x c x z _________
c) El batalln.
Un batalln de soldados debe cruzar un ro. En la orilla hay dos nios jugando en un bote. El bote es tan
pequeo que slo da cabida a los dos nios o bien a un soldado. An as, todos los soldados, que son muchos, logran
cruzar el ro en el bote. Cmo? __________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Supongamos ahora que son 100 los soldados. Cul es la menor cantidad de travesas requeridas para cruzar a los
100 soldados? _____________________________
Notas:
Prende el
foco
24
Una multiplicacin si viene en cualquiera de las siguientes maneras: 6 4 6 4 6 4
6 4 6 4 , significar lo mismo.
Para resolver multiplicaciones y divisiones es necesario aplicar de manera razonable la ley de los signos, esta
ley establece que:
Es importante recordar algunas propiedades de las operaciones en la multiplicacin como la del neutro
multiplicativo que dice que todo nmero multiplicado con uno da el mismo nmero o la del elemento nulo en la
multiplicacin, que dice que todo nmero multiplicado con cero da cero.
La multiplicacin de fracciones se da en el orden bd
ac
d
c
b
a
, lo que muestra claramente que ocurre
una multiplicacin de numerador con numerador y de denominador con denominador. Luego se simplifica el producto.
Un recurso muy til en la multiplicacin de fracciones es el que nos permite cancelar numeradores con denominadores
iguales. Esto se puede verificar en una operacin sencilla, tomemos la multiplicacin 3 4 12 6 3
4 5 20 10 5
, si se
observa con detenimiento, podemos llegar al mismo producto si desde el principio cancelamos el cuatro del numerador
con el cuatro del denominador. La cancelacin es vlida siempre y cuando se trate de factores, en donde no se interponga
entre facores algn otro signo que indique una suma o resta. En el siguiente ejemplo no se puede cancelar el cuatro del
numerador con el del denominador, pues hay un signo interpuesto que requiere previa operacin antes de multiplicar:
3 4 2 3 2 6 3
4 5 4 5 20 10
.
En esta operacin la ley de signos opera igual que en la multiplicacin, pues le es una operacin inversa.
A continuacin completa la ley de los signos que opera en las divisiones.
(+) (+) = ( )
( ) () = (+)
( ) () = ()
( ) (+) = ()
En esta operacin es de suma utilidad tener claros los conceptos de la divisin del cero y la divisin entre cero.
Para la divisin del cero: 00
a si dividimos al cero, el resultado es cero.
Para la divisin entre cero: 0
a si dividimos entre cero, no existe ningn nmero real, por grande grande que
sea, que multiplicado por cero de a . El smbolo se interpreta como
infinito. No hay un nmero real como resultado para esta divisin.
La multiplicacin
Las opciones de
cancelacin tienen una
gran aplicacin en el
lgebra.
La divisin
John Wallis (1616 -1703)
Matemtico ingles, fu el
primero en utilizar el smbolo
del lazo del amor para representar el infinito.
25
A veces se suele confundir la ubicacin de los elementos de una fraccin en una divisin a manera de casita,
aqu se muestra el orden para que no haya dudas al respecto: la fraccin abb
a , se puede observar que el numerador
a, se convierte precisamente en el dividendo y el denominador b en el divisor.
Al dividir fracciones regularmente se prefiere el mtodo de multiplicar cruzado bc
ad
d
c
b
a
,
mientras que otros recomiendan operar como si fuera una multiplicacin siempre y cuando se use el recproco de la
segunda fraccin, esto nos llevara a aprovechar la ventaja de la cancelacin que nos ofrece la multiplicacin de fracciones.
Por ejemplo en la divisin
2
3
2
7, primero hacemos el recproco de la segunda fraccin que es
3
2 y
finalmente operamos como si se tratara de una multiplicacin de fracciones, as en este caso se tiene la opcin de poder
cancelar los nmeros 2:
3
7
3
2
2
7
.
Ahora se muestra la divisin de fracciones de otro modo: bc
ad
d
c
b
a
, la famosa regla de los extremos y los
medios, cuyos nombres van desde ley de la tortilla hasta ley del sandwich, en fin; no es ms que otra forma de
referirse a la divisin de dos fracciones.
EJERCICIOS
1. Resuelve los siguientes productos y cocientes. NO USAR CALCULADORA.
a) (+4)( 6)(2) = k) (+35) (5) = b) (3)(5)(2)(1) = l) (78) (2) =
c) (+10)(10)(+2) = m) 0 (800) =
d) (5)(30)(0)(7) = n) (57) (+3) =
e) (8)(+1)(2)(3)= o) (+333) (0) =
f) (0)(44 000) = p) (44) (+1) =
g) (+22)(1)(3)= q) (432) (3) =
h) (5)(+2)(1)(3) = r) (1 000) (+100) = i) (5)(4)(2)(2) = s) (+555) (555) =
j) (10)(+10)(10)= t) (+6 222) (+3) =
2. Resuelve con mucho cuidado las siguientes operaciones. Es importante que sigas e incluyas los pasos que ya se han
analizado.
a) (+3) + (8) (3) = b) (1)( 6)(+2) 3 + 8 =
c) 5(3 7) + (20) 5=
d) (+8 + 3 5 + 2 9) =
e) (+3)( 8)( 2)( 1)=
f) (5 5)2 =
g) (2)( 4) + (3)( 1) =
h) (2)( 4) (3)( 1) = i) +10 6(2 + 4 10) =
j) 15 + 2(2)(0) 5 =
ACTIVIDAD 2
50 minutos
26
k) 3[+30 (10)] 9 =
l) [+3 (2) + 5] (2) =
m) [(+3)(2)(5) + 4] = n) 20 2(+5)( 3) 10 =
o) 20 2(+5)(+3) 10 =
p) {+9 [(8) (4)] + 9 6} =
q) [(48) (+6)]5 10 =
r) 2[+8 8(7 3) + 2(5)] =
s) [+8 8(7 3) + 2(5)] =
t) { [+8 8(7 3) + 2(5)]} =
u) {[(+15) (+3)] (+5 8)} (8) =
v) 21 + 2(3 15) (3)(+7) + (3)( 8) =
w) [(+24) (3)] 49 + 5 4(+10 8) + (7)( 7) 6 =
3. Resuelve las siguientes operaciones. Practica la simplificacin o cancelacin en donde sea posible. El resultado debe
estar simplificado.
a)
7
4
4
7
b)
5
4
4
7
c)
7
5
5
21
d)
10
9
8
5
9
8
e)
2
4
19
f)
0
2
3
5
2
g)
4
9
8
7
9
4
7
2
h)
3
10
10
31
20
15
i)
1
27
33
11
12
j)
7
5
3
8
8
7
5
3
Notas:
27
4. Resuelve las siguientes divisiones aplicando el mtodo del inverso multiplicativo o recproco y simplifica el resultado.
a)
6
51
3
12
b)
6
5
10
15
c)
5
2
10
7
d)
63
40
21
20
e)
7
5
9
7
f)
14
15
14
9
g)
15
82
5. Simplificar.
a) 9 8 12
25
b) 3 9 7
4
c) 4
5 6
8 16
d)
5 2
7 7
e) 4 3 6 2
5
CORRIGI: _____________________ CALIFICACIN: #
1065
aciertos ____________
Notas:
28
EJERCICIOS
1. Resolver.
a) 3479523
b) 2537435
c) 84757324725
d) 8752
e) 243936
f)
45
15
1535
g)
42525
82337
h) 7358484
i) 241634
j) 3854
k)
3
22
2
315
l)
232
5
3
4
5
2
1
m) 23 001.02.0
n) 223 32
o) 22 6352
p) 22 9393
CORRIGI: ___________________ CALIFICACIN: #
1016
aciertos ____________
Operaciones
combinadas
Actividad 3
30 minutos
29
TRANSFORMACIN DE IGUALDADES
1. Signo fugitivo.
Qu signo, + , hay que colocar entre los nmeros para que se cumplan los resultados?
A) 2 9 3 5 7 1 = 9
B) 4 4 5 7 2 8 = 8
C) 3 6 5 2 4 4 = 0
D) 8 4 3 5 2 1 = 7
2. Tres conejos para cuatro.
Dos hijos y dos padres, cazan tres conejos y le toca uno a cada uno. Cmo puede ser esto?
3. Dentro y fuera.
Qu es lo contrario de no estoy dentro? ____________________________________________
4. Marco de letras.
En este marco de letras se esconde un refrn muy conocido:
C S H A I D L E L L O H
A D
U E
C E
C N O E O R L E A R P R
Empezando por una de las letras y, saltando siempre una, se da dos veces la vuelta al marco. Cul es el
refrn?_________________________________________________________________
En la seccin 1.4 se mostr que una igualdad es una expresin matemtica donde se comparan dos elementos,
sin embargo no siempre resulta evidente la igualdad de estos dos elementos. Por ejemplo, es fcil darse cuenta en
8 + 2 = 10 que se trata de una expresin verdadera, pues en el primer miembro una vez realizada la suma se obtiene 10,
que es igual al segundo miembro, pero un caso como 3 2
5 8 5 2 64 3
complica nuestro
reconocimiento visual y pone en entredicho nuestra habilidad. En este ltimo caso, surge la necesidad de transformar el
primer miembro de la igualdad y reducirlo con estricto apego a las propiedades, de tal modo que no se altere y finalmente
pueda resultar evidente la verdad.
La prctica y los conocimientos adquiridos al demostrar la igualdad entre los dos elementos de una
equivalencia numrica, se hacen necesarios para en lo posterior hacer demostraciones ms complejas tales como las
identidades trigonomtricas y las simplificaciones para resolver una ecuacin, etc. A continuacin se muestra la reduccin
paso a paso del ejercicio que aparece en el prrafo anterior.
Lo que aprenders Simplificar operaciones
tomando en cuenta las
propiedades utilizadas en cada
paso
Por qu es importante Desarrolla la capacidad de operar
correctamente
Prende el
foco
30
3 45 8 5 6
4 3
3 205 8 6 Por la asociacin del parntesis (jerarquia de operaciones)
4 3
3 445 6 Por asociacin dentro de los corchetes
4 3
445 6
4
Por asociacin del los corchetes
5 11 6 Por asociacin de la agregacin
6 6 Igualdad demostrada
Argumentar las razones de las acciones en cada paso, es evidencia de que se sabe lo que se est haciendo con la
igualdad. El lenguaje empleado es acorde con las propiedades expuestas en la seccin 1.4 y propicia una mejor
comprensin de la terminologa matemtica.
EJERCICIOS 1. Realiza las operaciones necesarias para demostrar las siguientes igualdades y justifica tus operaciones argumentando la
propiedad utilizada.
a) 1 1 1 97
5 33 2 5 6
b)
1
5 1 1 253 32 3 4 2 144
Actividad 1
30 minutos
31
c)
1 1 3 3
362 4 4 5
1 2 3 35
2 3 4
d)
4 3 12
5 2 2 13
2 5 1 10
5 4 2
e) 3 1 1
(2 8)10 3 5
CORRIGI: __________________ CALIFICACIN: # 2aciertos ____________
32
AUTOEVALUACIN
Coloca una palomita en cada casillero cuya descripcin corresponda al numeral dado.
Numeral Entero Nmero
racional
Nmero
irracional
Nmero
Positivo
Nmero
Negativo
1) 0
2) 1
2
3)
4) 3
5) 2
6 2
Nombrar el entero referido en cada ejercicio:
6. Gilberto perdi 25 puntos en un juego de cartas. _____________
7. La cumbre ms alta de Mxico es el Pico de Orizaba o Citlaltepetl y est a 5 754 m sobre el nivel del mar. _______________
Encontrar el valor absoluto.
8. 13.4 9. 96.5
Graficar cada nmero racional en la recta numrica.
10. 11
2 11. 3.5
Compara las cantidades utilizando >
33
16. 4.7 + ( 5.1)= 17. 5 4
6 6
18. 5 4 7 6
Encontrar el inverso aditivo.
19. 7
3 20. 45
Multiplicar.
21. 1 4
3 5
22. 5 2 4 3
Dividir.
23. 72 9 24. 42
7
25.
4 4
9 6
26.125
25
Encontrar el recproco.
27. 4
15 28. 10 29. 2.5 30.
1
100
Simplificar.
31. 5 8 2 32. 4 3 1 10
33. 50 12 16 7 34. 6 9 5 11 6 10
35. 3 4 6 15 11 2 5
Resolver.
36.
7
10
21
40
37.
5 2
27 9
1 5
36 18
38.
3 1
100 20
7 1
75 25
34
39. 2
13
40. 0.1 0.01
Recommended
