104

CAPITOLUL 4

CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV

4.1. Introducere

Un circuit functioneaza in regim sinusoidal daca toate tensiunile si toti curentii sunt marimi

sinusoidale de aceeasi pulsatie. Un astfel de circuit se numeste circuit de curent alternativ (c.a.).

Fie un circuit liniar cu rezistoare cu rezistentele pozitive, bobine cu inductivitatile pozitive,

condensatoare cu capacitatile pozitive si in care toate sursele independente sunt sinusoidale de

aceeasi pulsatie ω. Se poate arata (vezi paragraful 7.4.3) ca un astfel de circuit functioneaza in

regim sinusoidal atunci cand timpul care trece de la cuplarea surselor tinde catre infinit. Spunem

ca regimul permanent (care se obtine pentru pentru t→∞) al acestui circuit este sinusoidal. In

paragraful 6.5.1 se arata ca daca intr-un astfel de circuit avem un singur element neliniar, regimul

permanent, daca exista, este unul nesinusoidal (deformant) in care raspunsul contine componente

de pulsatiile 2ω, 3ω,... Regimul sinusoidal este deci regimul permanent al unei clase de circuite

liniare.

Importanta studiului acestui regim este legata de faptul ca energia electrica se produce cu

generatoare sinusoidale si se distribuie eficient prin circuite de curent alternativ; in plus foarte

multe circuite electronice functioneaza in acest regim.

4.2.Reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale

O marime sinusoidala este o functie de timp de forma: y(t) = 2 Y sin(ωt +ϕ)

unde: Y este valoarea efectiva, 2 Y este valoarea maxima, ω este pulsatia si ω=2πf unde f = 1/T

este frecventa si T este perioada,iar ϕ este faza initiala.

Reprezentarea in complex a marimii sinusoidale y(t) = 2 Y sin(ωt + ϕ) este numarul complex

Υ = Ye jϕ unde Y este modulul numarului complex, ϕ este argumentul numarului complex, iar

j = −1 . Evident Y=Ycosϕ + jYsinϕ, unde Ycosϕ este partea reala a lui Y si Ysinϕ este partea sa

imaginara.

Reprezentarea grafica a lui Y in planul complex se numeste fazor.

105

Proprietati:

a) liniaritatea: ay1 (t) + by

2 (t) ⇔ aY1+ bY 2 cu a,b∈R

Demonstratie: Este evident ca ay1 (t) ↔ aY1. Ramane de aratat ca y1 + y2 ↔ Y1 + Y2

Fie y t Y t1 1 12( ) sin( )= +ω ϕ si y t Y t2 2 22( ) sin( )= +ω ϕ . Atunci

y t Y t Y t Y t Y t

Y Y t Y Y t

( ) ( sin cos cos sin sin cos cos sin )

[ cos cos ) sin ( sin sin ) cos ]

==== ++++ ++++ ++++ ====

==== ++++ ++++ ++++

2

21 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕϕ ϕ ω ϕ ϕ ω

Notam:

A Y Y Y Y si tg BA

deci AA B

si

BA B

zulta y t A B AA B

t BA B

t

A B t t A B t

==== ++++ ==== ++++ ==== ====++++

====++++

==== ++++++++

++++++++

====

++++ ++++ ==== ++++ ++++

1 1 2 2 1 1 2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

cos cos , sin sin cos

sin . Re ( ) ( sin cos )

( ) (cos sin sin cos ) ( ) sin( ).

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ω ω

ϕ ω ϕ ω ω ϕ

B

Reprezentarea in complex a lui y(t) va fi:

Y A B j A jB Y jY Y jY Y Y==== ++++ ++++ ==== ++++ ==== ++++ ++++ ++++ ==== ++++2 21 1 1 1 2 1 2 1 1 2(cos sin ) cos sin cos sinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

b) derivarea marimii sinusoidale in raport cu timpul: dydt ⇔ jω Y

dydt ==== ω Y 2 cos (ωt + α) = ω Y 2 sin (ωt + α + π

2 ) ⇔ ω Y ej(α + π2 ) = jω Y

Exemple:a) Fie marimea sinusoidala y(t) = 120 2 sin (ωt + π/2). Numarul complex corespunzator

este Y = Yejϕ cu Y = 120 si ϕ = π/2, respectiv Y = 120ejπ/2 = 120 ( cos π/2 +jsin π/2) = 120j.

Daca y(t) = 100 sin (ωt + π/4), atunci Y = 1002

ejπ/4 = 1002

( cosπ/4 +jsinπ/4 ) ⇔ 50 ( 1+j ).

b) Fie numarul complex Y = 3+4j. Marimea sinusoidala corespunzatoare este y(t) = Y 2 sin(ωt

+ ϕ) cu Y = 3 42 2++++ = 5 si ϕ = arctg 4/3 = 580 si deci y(t) = 5 2 sin (ωt +580 )

4.3. Caracterizarea in complex a elementelor de circuit

4.3.1. Elementele dipolare

Se considera un element dipolar de circuit (EDC) avand tensiunea la borne u(t)=

106

U 2 sin(ωt+ϕu) si curentul i(t)=I 2 sin (ωt+ϕi) respectiv in complex U=Uejϕu si I = Iejϕi unde ϕ

= ϕu - ϕi este defazajul intre tensiune si curent.

Considerand u(t) si i(t) asociati dupa regula de la receptoare (ca si marimile complexe

corespunzatoare U si I) se defineste impedanta complexa a EDC ca raportul dintre tensiunea U si

curentul I: Z = UI

= UI

e j Ze jϕ ϕ==== unde raportul Z = UI

este impedanta EDC. Z si Z se masoara

in Ω. Se noteaza Z= R + jX unde ReZ=R este rezistenta de curent alternativ si ImZ=X este

reactanta si deci Z=R + jX = R X e j arctgX R Ze j2 2+ =/ ϕ

Se defineste admitanta complexa Y a unui element de circuit ca raportul dintre curentul I si

tensiunea U: Y IU Z

Ye j G jB==== ==== ==== −−−− ==== −−−−1 ϕ unde Y este admitanta EDC, G=ReY este

conductanta EDC si B=ImY este susceptanta EDC. Y si Y se masoara in Siemens (Ω- 1 ).

In continuare sunt prezentate elementele dipolare de circuit in c.a. si schemele lor

echivalente in complex. Pentru surse u(t) si i(t) se considera asociate dupa regula de la generatoare.

Pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) se considera asociate dupa regula de la receptoare.

Sursa ideala de tensiune are tensiunea electromotoare sinusoidala e(t) = 2 E sin(ωt + α).

e(t)⇔E=Eejα. In figura sunt desenate sursa si schema ei echivalenta in complex.

Sursa ideala de curent are curentul electromotor is(t) = 2 Is sin(ωt + ß) cu reprezentarea in

complex Is= Eejß si schema echivalenta din figura.

Rezistorul ideal Daca u(t) = 2 U sinωt atunci i(t) = u tR( ) = 2 U

R sinωt, U=RI si deci ZR =R si

107

rezistorul are schema echivalenta in complex din figura. In schemele echivalente in complex

impedantele complexe se simbolizeaza ca niste rezistoare.

Defazajul intre tensiune si curent este ϕ = ϕu - ϕi = 0 si reprezentarea fazoriala a lui U si I este:

Bobina ideala Daca i(t) = 2 Isinωt atunci din ecuatia de functionare u(t) = L di tdt( ) =

2 ILωsin(ωt+π/2) rezulta in complex U= jωLI si deci ZL = jωL = jXL ,unde XL=ωL este

reactanta inductiva a bobinei.

Deoarece ϕ= ϕu - ϕi= π / 2 reprezentarea fazoriala a lui U si I este

deci spunem ca bobina ideala defazeaza cu π / 2 tensiunea inaintea curentului (sau curentul in

urma tensiunii).

Condensatorul ideal Daca u(t) = 2 Usinωt atunci din ecuatia de functionare i(t) = C du tdt( ) =

2 UCωsin(ωt+π/2) rezulta I= jωC U sau U = 1j Cω

I si deci ZC= -j 1ωC

= jXC, unde XC= -

1ωC

este reactanta capacitiva a condensatorului.

Deoarece ϕ = ϕu-ϕi=-π/2 reprezentarea fazoriala a lui U si I este

108

deci condensatorul ideal defazeaza cu π / 2 tensiunea in urma curentului (sau curentul inaintea

tensiunii).

Observatii

i) reprezentarea in complex a unei marimi sinusoidale (tensiune sau curent) are numai 2 parametri

(Y, ϕ ,). Doi dintre cei trei parametric (Y, ϕ , ω ) ai marimii sinusoidale corespunzatoare.

Parametrul ω intervine in expresiile impedantelor complexe

ii) Sistemul de ecuatii diferential algebric care caracterizeaza un circuit liniar dinamic in regim

sinusoidal corespunde unui sistem de ecuatii algebrice in complex; aceasta proprietate constituie

principalul avantaj al utilizarii reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale deoarece

manipularea (inclusive rezolvarea) unor ecuatii algebrice este considerabil mai simpla decat a unor

ecuatii diferentiale.

4.3.2. Elementele multipolare

Un circuit de curent alternativ poate contine orice element liniar de circuit. Dintre

elementele rezistive multipolare liniare reamintim sursele comandate liniar (prezentate in

paragraful 2.1.2) si circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului (prezentat in

paragraful 2.5.3.3). Prin analogie cu rezistorul liniar, este evident ca o sursa comandata liniar are

ca schema echivalenta in complex tot o sursa comandata liniar; de exemplu o SCCC cu ecuatia de

functionare is(t)= ßi1(t) are ca schema echivalenta in complex o SCCC cu ecuatia de functionare

Is= ßI1. In consecinta circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului are schema

echivalenta in complex:

Dintre elementele dinamice multipolare liniare cel mai des utilizat este perechea de bobine

cuplate magnetic. Ecuatiile de functionare a doua bobine liniare cuplate magnetic sunt:

u1(t) = L1 di t

dt1( )

± M di t

dt2 ( )

, u2(t) = L2 di t

dt2 ( )

± M di t

dt1( )

In complex aceste ecuatii devin: U1=jωL1I1±jωMI2 , U2=jωL2I2±jωMI1

109

Schema echivalenta in complex contine doua impedante inductive cuplate intre ele. La bornele

unei astfel de impedante avem o cadere de tensiune proprie si o cadere de tensiune mutuala. De

exemplu

U1 este formata din caderea de tensiune proprie jωL1I1 si caderea de tensiune mutuala jωMI2;

semnul caderii de tensiune mutuale este + daca curentii I1 si I2 ataca la fel bornele polarizate

(ambii intra sau ambii ies din aceste borne) sau - daca curentii I1 si I2 ataca diferit bornele

polarizate (unul intra si celalalt iese din borna polarizata) (vezi paragraful 3.2.4.). Deci de fiecare

data cand se scriu ecuatiile circuitului trebuie determinate semnele caderilor de tensiune mutuala.

Aceleasi ecuatii in complex corespund si urmatorului circuit echivalent cu surse de tensiune

comandate in curent:

Intr-adevar calculand U1 ca suma intre caderea de tensiune la bornele impedantei jωL1 si

tensiunea la bornele sursei comandate rezulta U1=jωL1I1±jωMI2. O verificare similara se poate

face si pentru U2. In expresiile E1 si E2 se considera semnul + daca curentii I1 si I2 ataca la fel

bornele polarizate si semnul - daca le ataca diferit. Se prefera utilizarea acestui circuit in locul

schemei cu bornele polarizate. Aceasta deoarece semnele E1 si E2 se stabilesc atunci cand se

construieste circuitul echivalent, aceasta operatiune fiind facuta separat de cele implicate de

scrierea ecuatiilor. Se diminueaza astfel posibilitatea de a gresi, fata de utilizarea schemei cu borne

polarizate in care semnele caderilor de tensiune mutuale se stabilesc in timpul scrierii ecuatiei.

Daca cele doua bobine cuplate au un nod comun exista un circuit echivalent mai simplu

fara surse comandate. Ecuatiile de functionare ale celor doua bobine cuplate sunt: U1=jωL1I1 + jωMI2 si U2=jωL2I2 + jωMI1. Daca in prima ecuatie se aduna si se scade jωMI1 si in a doua

110

ecuatie se aduna si se scade jωMI2 se obtin ecuatiile: U1=(jωL1 - jωM)I1 + jωM (I1 + I2), U2=

(jωL2 - jωM)I2 + jωM(I1 + I2) carora le corespunde schema echivalenta din figura b .

Acest procedeu se numeste spargerea cuplajului. Daca bornele polarizate sunt atacate diferit de

curenti atunci M se inlocuieste cu -M si circuitul echivalent fara cuplaje este:

Daca sunt mai mult de doua bobine cuplate intre ele, circuitul echivalent in complex este

asemanator. Iata un grup de trei bobine cuplate intre ele si circuitul echivalent in complex al

acestora. Se observa ca I1 si I3 intra in bornele polarizate in timp ce I2 iese din borna polarizata.

Ca urmare impedantelor de comanda Z12 si Z23 li se va atasa semnul - iar impedantei de comanda

Z31 i se va atasa semnul +.

115

4.4. Teoremele lui Kirchhoff in complex

Teorema I a lui Kirchhoff este : ik ( )k Ni

t∈∈∈∈∑∑∑∑ ==== 0 si datorita liniaritatii reprezentarii in

complex se obtine: 0=∑∈Sk kI (suma algebrica a curentilor in complex corespunzator tuturor

laturilor unei sectiuni S este nula).

Teorema a II-a a lui Kirchhoff este: 0)( =∑∈

tBk ku si similar rezulta 0=∑

∈Bk kU (suma

algebrica a caderilor de tensiune complexe la bornele tuturor elementelor de circuit care apartin

aceleiasi bucle este nula).

4.5. Puteri in circuitele de curent alternativ

Se considera un EDC cu tensiunea si curentul la borne: u(t) = U 2 sinωt si i(t) =

I 2 sin(ωt - ϕ). Pentru generatoare (surse) de orice tip u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la

generatoare; pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la

receptoare. Se definesc urmatoarele puteri:

Puterea instantanee p(t), absorbita de receptor sau cedata de generator este:

p(t)= u(t) i(t) =2UI sinωt sin(ωt - ϕ) = UIcosϕ - UIcos(2ωt - ϕ)

Valoarea medie pe o perioada a puterii instantanei care se numeste putere activa P este:

PT

p t dt UIT

= =∫1

0( ) cosϕ

Puterea activa depinde de valorile efective ale tensiunii si curentului si de factorul de putere

cosϕ si se consuma efectiv si ireversibil in rezistoare. Unitatea de masura a puterii active este

Wattul, [P] = 1W.

Din definitia puterii active rezulta interpretarea fizica a valorii efective a curentului si a

tensiunii. Daca se considera un rezistor cu rezistenta R prin care trece curentul i(t) = I 2 sinωt

rezulta u(t) = Ri(t) = RI 2 sinωt si Pabs Tu t i t dt RI

T==== ====∫∫∫∫

1 20

( ) ( ) . Deci valoarea efectiva a unui

curent sinusoidal este numeric egala cu valoarea unui curent continuu care, trecand prin aceeasi

rezistenta ca si curentul sinusoidal produce aceeasi putere prin efect Joule.

Puterea reactiva Q, este Q = UI sinϕ avand unitatea de masura [Q]=1VAR (volt-amper

reactiv).

Puterea aparenta S, este S = UI si are unitatea de masura [S] = 1VA. Evident

S P Q= +2 2 .

116

Puterea aparenta complexa (puterea complexa) este S = U I*=UIej ϕ =Uicosϕ

+jUIsinϕ=P+jQ.

Puterile absorbite sau debitate de elementele ideale de circuit sunt:

- rezistorul ideal absoarbe puterea activa P=RI2 si, deoarece ϕ=0, puterea reactiva

absorbita este Q=UIsinϕ=0 deci puterea complexa absorbita este Sa =RI2 +j0.

- bobina ideala parcursa de curentul i(t)= 2 Isinωt are tensiunea la borne u(t)=

2 ωLIsin(ωt + π/2) deci ϕ=π/2 si rezulta Q=UIsinπ/2=ωLI²=U2/ωL > 0, P = UI cosπ/2 = 0, deci

bobina absoarbe puterea complexa Sa=0+jωLI². Media pe o perioda a energiei acumulate in bobina

este ~ ( )Wm TLi t dt LI

T= =∫

1 2 20

.

- condensatorul ideal cu tensiunea la borne u(t) = U 2 sinωt este parcurs de curentul i(t)=

2 ωCUsin(ωt + π/2), deci ϕ = -π/2 si rezulta Q = UIsin(-π/2)= − 1 2ωC

I = - U²ωC < 0, P = UI

cos(-π/2) = 0, deci condensatorul absoarbe puterea complexa Sa=0-jωCU². Media pe o perioda a

energiei acumulate in condensator este ~ ( )We TCu t dt CU

T= =∫

1 2 20

.

Deoarece elementele dinamice condensator si bobina schimba cu circuitul in care sunt conectate o

putere reactiva nenula, ele se numesc si elemente reactive.

- sursa ideala de tensiune cu tensiunea electromotoare e(t)= 2 Esinωt parcursa de curentul

i(t)= 2 I sin(ωt+ϕ) debiteaza o putere complexa Sd=E I* = EIe-jϕ = EIcosϕ-jEIsinϕ (U si I sunt

asociate dupa regula de la generatoare sau I parcurge sursa in sensul sagetii lui E)

- sursa ideala de curent cu curentul electromotor is(t)= 2 Is sin(ωt+ϕ) cu tensiunea la

borne u(t)= 2 U sinωt debiteaza o putere complexa Sd = U I* = UIse-jϕ = UIscosϕ-jUIssinϕ (U si Is

sunt asociate dupa regula de la generatoare)

Observatii

i)puterea activa este absorbita numai de rezistoarele ideale

ii)puterea reactiva este absorbita numai de bobinele si condensatoarele ideale

iii)impedanta complexa Z=R+jX absoarbe puterea aparenta complexa Sa =U I*= Z I I*=

ZI2=(R+jX) I2 =RI² + jXI² deci Pa=RI2 si Qa =XI2.

iv)sursele debiteaza atat putere activa cat si putere reactiva

117

4.6. Teorema conservarii puterilor complexe

Plecand de la teorema a II-a a lui Kirchhoff in complex (vezi paragraful 4.4) si de la faptul

evident ca curentii conjugati Ik* verifica teorema I alui Kirchhoff in complex

0* =∑∈Sk kI ) teorema lui Tellegen in complex este: Uk Ik

toatelaturile* ====∑∑∑∑ 0 ; in aceasta expresie

Uk si Ik sunt asociate dupa regula de la receptoare. Separand intr-un membru puterile complexe

debitate de surse (pentru care Uk si Ik sunt asociate dupa regula de la generatoare) si in celalat

membru puterile complexe absorbite de consumatori (impedante complexe) rezulta:

Teorema conservarii puterilor complexe Suma puterilor complexe debitate de toate sursele dintr-

un circuit este egala cu suma puterilor complexe absorbite de toate impedantele din acelasi circuit:

S kd S katoate sursele toate impedantele

∑ = ∑

Tinand seama ca :Sd = Pd + jQd si Sa = Pa + jQa rezulta:

Pkd Pkatoate sursele toate rezistoarele∑ = ∑ si

Qkd Qkatoate sursele toate elementele reactive∑ = ∑

adica puterile active si puterile reactive se conserva.

Observatii:

i)puterile aparente Sk nu se conserva

ii)conservarea puterilor complexe poate fi folosita, similar cu consevarea puterilor in

circuitele de c.c., la verificarea rezultatelor obtinute prin rezolvarea problemelor de

analiza a circuitelor de c.a.

iii)tinand seama ca pentru o bobina Qa=ω ~Wm si pentru un condensator Qa=-ω ~We rezulta

ca Qa Wm We= −∑∑ ω ( ~ ~ ) deci un dipol RLC are caracter inductiv daca QatoateZ∑ >0,

are caracter capacitiv daca QatoateZ∑ <0 si are caracter rezistiv sau este la rezonanta

(vezi paragraful 4.9) daca QatoateZ∑ =0

iv)condensatorul nu genereaza putere reactiva chiar daca absoarbe o putere reactiva

negativa; asa cum rezulta din teorema conservarii puterilor complexe, puterea reactiva

(pozitiva sau negativa) este generata de surse

118

v)defazajul ϕ intre curent si tensiunea la bornele unui dipol RLC format din elemente de

circuit cu R,L,C>0 este cuprins intre -π/2 si +π/2 deoarece UIcosϕ= Rk I ktoate R2 0>∑

deci cosϕ>0.

4.7. Analiza circuitelor de curent alternativ

4.7.1. Introducere

Prin utilizarea reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale, intr-un circuit de c.a. al

carui graf are L laturi si N noduri se pot scrie urmatoarele ecuatii liniar independente intre ele:

• N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff (vezi paragraful 1.3)

• L-N+1 ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff (vezi paragraful 1.3)

• L ecuatii date de legaturile intre Uk si Ik pentru fiecare latura a grafului (vezi paragrafele 2.2 si

4.3)

Ecuatiile unui circuit de c.a. sunt ecuatii algebrice de aceeasi forma cu ecuatiile unui circuit liniar

de c.c. deoarece:

- teoremele lui Kirchhoff au aceeasi forma

- in ecuatiile de legatura intre Uk si Ik, Zk ia locul lui Rk, Yk ia locul lui Gk, etc.

La circuitele liniare de c.c. Ik si Uk sunt marimi reale iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk

avand coeficienti reali. La circuitele de c.a. Ik si Uk sunt marimi complexe iar ecuatiile sunt liniare

in Ik si Uk avand coeficienti complecsi. Ca urmare metodele de analiza a circuitelor de c.a. sunt

aceleasi cu cele pentru circuitele liniare de c.c.. Metodele de analiza vor fi reluate pe scurt in

continuare insistandu-se asupra particularitatilor circuitelor de c.a..

4.7.2. Formularea problemei si metoda de rezolvare

Problema analizei unui circui de c. a. se formuleaza astfel:

• se cunosc: valorile parametrilor elementelor (Rk, Lk, Ck, Mk, ek(t), isk(t)) si modul de

interconectare a elementelor de circuit,

• se cere sa se determine toate tensiunile si toti curentii.

Rezolvarea acestei probleme consta in scrierea sistemului de 2L ecuatii ale circuitului si

determinarea solutiei acestuia (Uk , Ik ,k=1,...,L).

Algoritmul de analiza a unui circuit de c.a. are urmatoarele etape:

1) Se construieste circuitul echivalent cu surse si impedante complexe utilizand schemele

echivalente in complex ale elementelor de circuit

2) Se scriu ecuatiile acestui circuit

119

3) Se rezolva sistemul de ecuatii si se determina valorile complexe ale curentilor si

tensiunilor, (Uk, Ik, k = 1, ... , L) de forma Uk = Ukejϕk

4) Se verifica rezultatele obtinute prin bilantul puterilor complexe

5) Se determina valorile instantanee de forma uk(t) = Uk 2 sin(ωt +ϕk).

Exemplu Fie circuitul din figura a cu e(t) = 30 2 sin ωt si is (t) = 2 sin (ωt+π/4) unde ω=100π s-1.

Circuitul echivalent cu surse si impedante complexe este dat in figura b.

Se scrie sistemul de ecuatii dat de teoremele lui Kirchhoff:

I1 + I2 = 1+j , 10 I1 -20j I2 = 30, 20j I2 - 20j (1+j) - U = 0

Solutiile acestui sistem sunt: I1 = 1 , I2 = j si U = - 20j.

Verificarea rezultatelor prin bilantul puterilor complexe:

S kdtoate sursele

∑ = E I1* + U Is

* = 30⋅1 + (-20j) (1-j) = 10 -20j

S katoate impedantele

∑ = R⋅I12 + ωLj⋅I2

2 - 1ωC

j⋅Is2 = 10⋅1 + 20j⋅1- 20j⋅2 = 10 - 20j

Valorile instantanee sunt: i1 (t) = 2 sin ωt, i2 = 2 sin( ωt+π/2) si u(t) = 20 2 sin( ωt-π/2)

4.7.2. Scrierea ecuatiilor potentialelor nodurilor si curentilor ciclici

4.7.2.1. Metoda potentialelor nodurilor

Asa cum s-a aratat in paragraful 2.5.1 se prefera comanda in tensiune deoarece marimea de

comanda poate fi scrisa ca o diferenta de potentiale. Ca urmare, circuitul echivalent cu surse de

tensiune comandate in curent al bobinelor cuplate (vezi paragraful 4.3) nu este potrivit pentru

scrierea ecuatiilor metodei nodale. Pentru aceste bobine se poate construi un circuit echivalent cu

surse de curent comandate in tensiune. In acest scop se rezolva ecuatiile de functionare ale

bobinelor cuplate: U1=jωL1I1±jωMI2 , U2=jωL2I2±jωMI1 in raport cu necunoscutele I1 si I2 .

Exemplu. Fie bobinele cuplate cu ecuatiile de

functionare U jI jI si U jI jI1 2 1 2 2 1 2 2==== ++++ ==== ++++

Rezolvand acest sistem de ecuatii in raport cu I1 si I2 rezulta:

117

IU

j

jU si I

U

j

jU1

132

3 2 2232

3 1==== ++++ ==== ++++

adica ecuatiile urmatorului circuit echivalent:

Aplicatie .Sa se scrie ecuatiile potentialelor nodurilor pentru circuitul:

e t t

is t t

( ) cos

( ) sin( )

====

==== ++++

2 2

2 24π

Deoarece cuplajul nu se poate sparge construim circuitul echivalent cu surse de curent comandate

in tensiune al celor doua bobine cuplate. Cu notatiile din figura ecuatiile de functionare ale acestor

doua bobine sunt: U jI jI U jI jI1 2 1 2 2 2 2 1==== ++++ ==== ++++, deci circuitul echivalent este cel prezentat

in exemplul precedent. Schema echivalenta in complex este:

Se observa ca avem un circuit rezonant RLC serie cu Ze = j-j+3 =3 si doua surse ideale de tensiune

care nu se pot transforma in surse de curent. Alegem ca potential de referinta o borna a uneia

dintre aceste surse iar pentru cealalta introducem necunoscuta suplimentara I4 . Rezulta ecuatiile

116

VV j

Vj

Vj

V I j U

U VV V I

IV V

j

Vj j

Vj

Vj j U

U V V

V j I

5 0

1

223

13 1

23 3

13 4 3 2

2 32 4 3 3

31 31

31

113

23

11

23

13 1

1 1 2

412

1 4

========

++++

−−−− −−−− ==== ++++

==== −−−−−−−− ====

====−−−−−−−−

−−−−++++ ++++

−−−−

−−−−−−−− ==== ++++ ++++

==== −−−−

==== −−−− −−−− −−−−

adica un sistem de 9 ecuatii cu necunoscutele V V U U I I1 5 1 2 3 4, ... , , , , , .

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor potentialelor nodurilor este:

• se fac toate transformarile posibile ale surselor de tensiune in surse de curent si ale comenzilor

in curent in comenzi in tensiune

• se alege potentialul de referinta astfel incat cat mai multe potentiale ale nodurilor sa poata fi

exprimate ca sume de tensiuni electromotoare

• considerand si necunoscutele suplimentare (curentii unor surse de tensiune conectate intre alte

noduri decat cele de la punctul precedent si curenti de comanda) se scrie sistemul de ecuatii:

V j Y k V i Y k I skk jk i jk j

− =∈∑

∈∑

∈∑

,

si ecuatiile suplimentare

4.7.2.2. Metoda curentilor ciclici

Aplicatie. Sa se scrie ecuatiile metodei curentilor ciclici pentru circuitul:

e t t

e t t1

2

2 2

2

( ) cos

( ) sin

====

====

119

Schema echivalenta in complex se construieste considerand pentru bobine circuitul echivalent cu

surse de tensiune comandate in curent (vezi paragraful 4.3.2).

Rezulta ecuatiile

++−−=++++−

−−=

=

=

++−−=+++++

21131)21('1)21('2

'2'13

'22

'11

21232)21('2)121('1

IjIjIjIjjIjjjI

III

II

II

IjIjjIIjjjIjjI

deci 5 ecuatii cu necunoscutele I I I I I1 2 1 2 3' , ' , , , .

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este:

• se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale comenzilor

in tensiune in comenzi in curent

• se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie

plasate in coarbore

• considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi ′ ′ ′I I I B1 2, ,...., (curentii ciclici),

se aleg sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:

I i Rkk BiI j Rkk Bi

k Bj

' '∈∑ + =

∈∈

∑ Ekk Bi∈∑

si ecuatiile suplimentare

4.8. Teoreme ale circuitelor de curent aternativ

Ecuatiile circuitului echivalent cu surse si impedante complexe sunt similare ecuatiilor unui

circuit liniar de curent continuu (vezi paragraful 4.7.1). Din acest motiv enunturile teoremelor sunt

asemanatoare cu cele din paragraful 2.4 si demonstratiile nu vor fi reluate.

120

4.8.1. Teoremele impedantelor echivalente

Legarea in serie a impedantelor: Zes Zk

n

k====

====∑∑∑∑

1. Deoarece Zes = Res + jXes si Zk = Rk + jXk rezulta

Res Rkk

n====

====∑∑∑∑

1 si Xes Xkk

n====

====∑∑∑∑

1

Legarea in paralel a impedantelor: Yep Ykk

n====

====∑∑∑∑

1, deci Gep Gkk

n====

====∑∑∑∑

1 si Bep Bkk

n====

====∑∑∑∑

1

4.8.2. Teorema superpozitiei

Fie un circuit de c.a. cu mai multe surse: E1, ... , El, Is,l+1,...,Ism. Orice curent (sau tensiune)

din circuit se poate scrie ca o suma a curentilor (tensiunilor) din aceeasi latura produsi de fiecare

sursa independenta separat, celelalte surse independente fiind pasivizate.

De exemplu I I kk

m1 1

1====

====∑∑∑∑ unde I1k este curentul produs in latura 1 de sursa independenta

din latura k, celelalte surse independente fiind pasivizate.

Teorema este o consecinta a caracterului liniar al ecuatiilor circuitului. Sursele comandate

nu se pasivizeaza.

4.8.3. Teoremele generatoarelor echivalente

Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B.

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de

tensiune UAB0 in serie cu o impedanta ZAB0 unde UAB0 este tensiunea de mers in gol masurata la

bornele A si B (impedanta Z fiind scoasa din circuit) si ZAB0 este impedanta echivalenta intre

bornele A si B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaza).

Daca circuitul pasivizat este o combinatie serie - paralel de impedante atunci determinarea

lui ZAB0 se poate face cu regulile din paragraful 4.8.1. Daca circuitul contine surse comandate sau

121

nu este un circuit serie - paralel, atunci se conecteaza intre A si B o sursa independenta de tensiune

de valoare 1V ( sau o sursa independenta de curent de valoare 1A) si ZAB0 rezulta in urma

determinarii lui I sau U.

Aplicatie. Sa se calculeze Z ZAB AB0 1( )= Ω

e t t

e t t

is t t

1 2 2 2

2 2 24

2 24

( ) cos

( ) sin( )

( ) cos( )

====

==== −−−−

==== −−−−

π

π

Bobinele cuplate avand un nod comun se poate sparge cuplajul. Prin pasivizare si calculand

impedantele echivalente j j j jj j

−−−− ====−−−− ⋅⋅⋅⋅

−−−−==== ∞∞∞∞

0 2 2

2 2, circuitul capata o forma mai simpla. Se conec-

teaza intre A si B o sursa de tensiune cu E V= 1 si rezulta

Ij

jj

ZAB Ij

jj==== ++++ ====

++++ ==== ====++++

====++++1

612

1 36 0

1 61 3

1 610

Generatorul echivalent de curent al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B

109

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de

curent IABsc in paralel cu o impedanta ZAB0 unde curentul IABsc corespunde scurtcircuitului intre

bornele A si B.

Daca in schemele echivalente ale diportilor rezistivi liniari (vezi paragraful 2.4.3.3.) se inlocuiesc

rezistentele cu impedante si conductantele cu admitante se obtin schemele echivalente ale

diportilor de c.a...

4.8.4. Teorema transferului maxim de putere activa

Se considera o sursa de tensiune electromotoare E si de impedanta interna Zi, la bornele

careia se leaga o impedanta Z. Se pune problema urmatoare: ce relatie trebuie sa existe intre Zi si

Z astfel incat pentru un E dat puterea activa absorbita de Z sa fie maxima.

Fie Zi = Ri + jXi si Z = R + jX . Curentul din circuit este I ER Ri j X Xi

=+ + +( )

si deci puterea

activa absorbita de Z este P RI RER Ri X Xi

= =+ + +

2 2

2 2( ) ( )

Se observa ca functia P(R,X) are un maxim in raport cu X pentru X= -Xi . Valoarea acestui maxim

este P R Xi PM R RE

R Ri( , ) ( )

( )−−−− ==== ====

++++

2

2 . Maximul functiei PM R( ) are loc pentru R=Ri (vezi

teorema transferului de putere in curent continuu). Rezulta ca puterea activa absorbita de sarcina

este maxima daca Z = Zi* (teorema transferului maxim de putere activa).

Daca Z = Zi*

puterea activa Pd cedata de sursa este consumata in cantitati egale de R si Ri

deci randamentul circuitului este η=P/ Pd=0,5.

Observatii

i) daca R→∞ si/sau X→∞ atunci η→1 dar P→0

110

ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Zi, impedanta

de sarcina Z absoarbe puterea activa maxima tot daca Z = Zi*

iii) daca generatorul de curent alternativ are o impedanta interna inductiva, rezulta ca

pentru a absorbi o putere activa maxima sarcina trebuie sa aiba un caracter capacitiv.

4.9. Rezonanta dipolilor

4.9.1. Definitii si exemple

Exista doua definitii ale rezonantei: prima se foloseste in electroenergetica, a doua se

utilizeaza la circuitele electronice.

Definitia 1 Un dipol de c.a. este la rezonanta daca absoarbe pe la borne o putere reactiva nula,

adica Qabs=UI sinϕ = 0.

Deci la rezonanta defazajul ϕ dintre U si I este nul (sinϕ = 0 ⇒ ϕ = 0). Daca impedanta

echivalenta la bornele dipolului este Z=R+jX, Q=XI² =0 ⇒X = 0 deci la rezonanta reactanta

echivalenta este nula si dipolul are o comportare rezistiva la borne.

Definitia 2 a) Se considera la bornele dipolului o sursa de tensiune cu pulsatie variabila si valoare

efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care I(ω) are maxime si minime.

Exemplu

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω1 , ω2 , ω3 , ω4, ω5

- in cazul maximelor de curent (ω1 , ω3 , ω5 ) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul minimelor de curent (ω2 , ω4) avem rezonanta de curent.

Se observa ca deoarece I = Y U si U = ct, curba Y (ω) are aceeasi alura cu I (ω).

b) Se considera la bornele dipolului o sursa de curent cu pulsatie variabila si valoare

efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care U(ω) are maxime si minime.

Exemplu

111

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω‘1 , ω‘2 , ω‘3 , ω‘4, ω‘5

- in cazul minimelor de tensiune (ω‘1 , ω‘3 , ω‘5) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul maximelor de tensiune (ω‘2 , ω‘4) avem rezonanta de curent.

Deoarece U = Z I si I = ct, curba Z(ω) are aceeasi alura cu U(ω).

Observatii

i) cele doua definitii ale rezonantei nu duc in general la aceleasi pulsatii de rezonanta

ii) rezonanta de tensiune are loc la pulsatiile pentru care Y(ω) are maxime locale si deci

Z(ω)=1/ Y(ω) are minime locale

iii) rezonanta de curent are loc la pulsatiile pentru care Y(ω) are minime locale si deci

Z(ω)=1/ Y(ω) are maxime locale.

Exemple. a)

( )I I I UR j L

j CU U

R LR j C R L L= + =

++ =

++ + −

1 2 2 2 2

2 2 2ω

ωω

ω ω ω

Se calculeaza puterea aparenta complexa S = UI* si se anuleaza puterea reactiva

obtinandu-se pulsatiile de rezonanta dupa definitia 1: L

CRLC

21

12,1 −±=ω ; se observa ca

daca R→0

atunci ω2→ 1LC

. Se calculeaza minimele si maximele lui I(ω) respectiv ale lui Z(ω)

ZC

R L

R LC

2 12 2

2 2 2

2 1 2( )ω

ω

ω

ωω

= +

+ −

si δδωZ 2

0= are solutiile ω 21 222

1 2 2

, = − ±+

RL

CL

R

LC

112

(daca R→0 atunci ω2→ 1LC

). Pulsatiile de rezonanta obtinute dupa cele doua definitii nu sunt

aceleasi.

b) Impedanta complexa a circuitului RLC serie este Z R jX R j LC

= + = + −( )ωω1 .

Rezulta

Z R LC

2 2 1 2( ) ( )ω ωω

= + − . Dupa prima definitie, pulsatia de rezonanta corespunde lui X=0 deci

ω 01====LC

. Dupa a doua definitie, se calculeaza δ ωδω

Z 20( ) = si se obtine aceeasi valoare pentru

ω0 . Daca U=ct in raport cu ω, la rezonanta I ia valoarea maxima deoarece Z ia valoarea minima

Z(ω0)=R.. Pentru acest circuit Uc(ω0)=|Xc|I= UL(ω0)=|XL|I si Uc(ω0)= -UL(ω0) deci U(ω0)=UR(ω0)

+UC(ω0) + UL(ω0)=UR(ω0). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta UC si UL

sa aiba valori mai mari decat tensiunea U a sursei de alimentare. Se noteaza cu

QU LU R

U CU R R

LC0

1= = = factorul de calitate al circuitului unde UL, UC, UR se considera la

rezonanta. Daca Q0 >1 ( LC

R≥ ), la rezonanta, tensiunea bobinei si cea a condensatorului

depasesc tensiunea sursei de alimentare.

c) Circuitul RLC paralel are propietati selective in frecventa duale celui RLC serie.

Utilizand ambele definitii se obtine aceeasi pulsatie de rezonanta a acesui circuit ω 01====LC

. La

rezonanta YR

j CL R

( ) ( )ω ωω0

10

1

0

1= + − = deci Y are valoarea minima. Daca U=ct in raport cu

ω, la rezonanta I ia valoarea minima deoarece I=YU. Pentru acest circuit Ic(ω0)=U/|Xc|=

IL(ω0)=U/|XL| si Ic(ω0)= -IL(ω0) deci I(ω0)=IR(ω0) +IC(ω0) + IL(ω0)=IR(ω0). Este posibil ca la

113

rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta IC si IL sa aiba valori mai mari decat curentul I prin

sursa de alimentare. Se noteaza cu Q0 factorul de calitate QI LI R

ICI R

R CL0 = = = unde IL, IC, IR

se considera la rezonanta. Daca Q0 >1 ( CL R

≥ 1 ),curentul bobinei si al condensatorului depasesc

curentul total.

4.9.2. Aplicatii tehnice ale rezonantei

a)Compensarea factorului de putere Presupunem ca avem o linie de transport al energiei electrice

la capatul careia este conectat consumatorul inductiv (asa cum sunt majoritatea consumatorilor

energetici) din figura a..

Curentul absorbit de consumator este : I UR

Uj L

==== ++++ω

deci I UR L

= +12

12 2ω

si cosϕ

= PUI

U

RUR L

L

R L=

+=

+

2

2 12

12 2

2 2 2

ω

ω

ω.

Se conecteaza un condensator in paralel cu consumatorul astfel incat ωω

LC

= 1 (circuitul

b). In acest caz avem un circuit RLC derivatie la rezonanta a carui impedanta de intrare este Z=R

si curentul absorbit de receptor este I UR

I' = ⟨ . Puterea reactiva absorbita de consumatorul inductiv

in paralel cu condensatorul C este nula, si pierderile de putere activa pe linia de transport (de

rezistenta r ) vor fi minime : ∆P’linie = rI’2 < ∆Plinie= rI2. In acest caz factorul de putere cosϕ‘=1 si

avem o compensare totala a factorului de putere.

Consumatorii industriali nu au tot timpul aceiasi parametri (se opresc anumite utilaje, in

anumite zile nu se lucreaza, etc). Pentru a nu se ajunge la functionarea in regim capacitiv (care

produce efecte nedorite in sistem) mentinand pierderile de putere pe linie la un nivel rezonabil se

face o compensare partiala a factorului de putere (de exemplu cosϕ‘=0,92). In acest caz calculul

capacitatii condensatorului care se leaga in paralel cu consumatorul inductiv se face astfel:

diferenta intre puterea reactiva absorbita de consumatorul necompensat Q=UIsinϕ si cea absorbita

114

de consumatorul compensat partial Q’=UIsinϕ‘ este absorbita de condensator (QC=ωCU2).

Exprimand puterile reactive in functie de puterea activa P absorbita de consumator (Q=Ptgϕ,

Q’=Ptgϕ‘) rezulta C Ptg PtgU

====−−−−ϕ ϕ

ω'

2 . In acest calcul se considera ca U nu se modifica prin

conectarea condensatorului.