Campo magnético en el vacío.
El campo magnético. Introducción histórica (I).
Desde la Grecia Clásica (Tales de Mileto 640610 aC a 548545 aC) se sabe que algunas muestras de mineral de magnetita tienen la propiedad de atraer el hierro.
El nombre de Magnetismo procede de Magnesia, la región de Grecia donde podía encontrarse magnetita natural.
Para el siglo XI dC, los chinos habían descubierto que el acero se puede magnetizar si se lo expone o se lo golpea con un imán lo suficientemente potente y que una aguja de acero magnetizada, si se dejaba girar libremente, apuntaba hacia el norte.
El campo magnético. Introducción histórica (II).
El estudio del magnetismo no se hizo de forma científica hasta el siglo XVI. El primer libro científico de magnetismo es De Magnete (1600), de Gilbert (15401603).
Gilbert, usando agujas y limaduras de hierro encontró que:
2) Los polos de un imán no se podían separar dividiendo el imán en dos o limando el imán.
1) La atracción que un imán ejercía sobre el hierro se localizaba sobre dos regiones del imán, a las que llamó polos.
3) Los polos son de dos tipos, a los que llamó Norte y Sur. Polos de distinto tipo se atraen y polos del mismo tipo se repelen.
El campo magnético. Fuentes del campo magnético.
En 1820, el físco danes Hans Oersted encontró que el paso de una corriente eléctrica hacía cambiar la orientación de la aguja de una brújula en sus inmediaciones.
Como en el siglo XIX se propuso el concepto de campo para explicar las acciones a distancia, su conclusión fue que una corriente eléctrica produce un campo magnético.
Este descubrimiento fue muy importante para su época, porque:
1) Significa que las fuentes de campo magnético son las cargas eléctricas en movimiento (a nivel cuántico existen otras).
2) Como el movimiento de las cargas eléctricas se da por la acción de un campo eléctrico, significa que existe una conexión entre electricidad y magnetismo.
vector que une un punto del hilo con el punto en el que estamos calculando el campo.
Ley de Biot y Savart. Enunciado para un elemento de corriente.
Continuando los trabajos de Oersted, Biot y Savart encontraron que el campo magnético ∆B creado por una corriente eléctrica I que circula por un conductor rectilíneo muy corto, de longitud ∆l, está dado por:
3 4 r r l I B o r r
r × ∆ = ∆
π µ
vector con la dirección del hilo que porta la corriente y cuyo módulo es igual a la longitud del hilo.
l r
∆
r r
A la constante µ o se la llama permeabilidad magnética del vacío. Su valor es µ o = 4πx10 7 Tesla.m 2 /Amperio.
Ox
Oy Oz
α l r
∆
r r B r
Ley de Biot y Savart. Relaciones geométricas (I).
3 4 r r l I B o r r
r × ∆ = ∆
π µ
1) El vector ∆B es perpendicular tanto a ∆l como a r.
El signo “x” que aparece en la expresión:
significa “producto vectorial”
De las propiedades del producto vectorial se deduce que:
2) Su módulo vale: α π
µ seno 4 2 r
l I B o ∆ = ∆
r
donde α es el ángulo que va del vector ∆l al vector r.
Ox
Oy Oz
α l r
∆
r r B r
3) Su sentido viene dado por la regla de la mano derecha.
Ley de Biot y Savart. Relaciones geométricas (II).
Ox
Oy Oz
α l r
∆
r r B r
Regla de la mano derecha.
3 4 r r l I B o r r
r × ∆ = ∆
π µ
Ley de Biot y Savart. Enunciado para un conductor cualquiera (I).
( ) 3 4 r r r r l Id B d
P
P o r r
r r r r
−
− × =
π µ
Para calcular el campo magnético B creado por un conductor con una forma cualquiera, se supone que cada pequeño tramo del conductor dl hace una contribución al campo dB dada por la Ley de Biot y Savart.
P r r vector de posición del
punto donde se calcula el campo.
vector de posición del elemento de corriente que crea el campo.
r r
Ox
Oy Oz
α l r
∆
P r r
B r
r r
r r P r r −
Ley de Biot y Savart. Enunciado para un conductor cualquiera (II).
El campo magnético total se obtiene de sumar las contribuciones de todos los elementos de longitud del conductor:
( ) ∫ −
− × = 3 4 r r
r r l d I B P
P o r r
r r r r
π µ
La unidad del campo magnético en el SI es el Tesla (T). Un submúltiplo muy usado es el Gauss (g): 1 gauss = 10 4 T.
Ox
Oy Oz
α l r
∆
P r r
B r
r r
r r P r r −
Ley de Biot y Savart. Enunciado para una densidad de corriente.
Si el conductor no puede considerarse un hilo, sino que tenemos que tener en cuenta su espesor o bien que la corriente no está distribuida uniformemente es su interior, la expresión para calcular el campo es:
( ) ∫ −
− × = 3 4 r r
r r dV j B P
P o r r
r r r r
π µ j
r Vector densidad de corriente.
Elemento de volumen del conductor.
dV
S n j I r r ⋅ = l n l ∆ = ∆ r r
( )( ) l n S n j l I ∆ ∆ ⋅ = ∆ r r r r
l r
∆
S ∆
j r
( ) V j l S j l I ∆ = ∆ ∆ = ∆ r r r
Como los vectores n y j son paralelos:
Ley de Biot y Savart. Campo creado por una carga en movimiento (I).
Hemos visto que para una densidad de corriente:
j r
Vector densidad de corriente.
Elemento de volumen del conductor. dV
Pero vimos que el vector densidad de corriente vale:
v nq j r r = v r velocidad de los portadores de carga.
q carga de los portadores.
Número de portadores por unidad de volumen. n
Luego: ( )
∫ −
− × = 3 4 r r
r r dV v nq B P
P o r r
r r r r
π µ
( ) ∫ −
− × = 3 4 r r
r r dV j B P
P o r r
r r r r
π µ
Ley de Biot y Savart. Campo creado por una carga en movimiento (II).
En: ndV
Es el número de portadores de carga en el elemento de volumen dV.
Luego el campo magnético creado por un único portador de carga es:
( ) 3 4 r r r r v q B
P
P o r r
r r r r
−
− × =
π µ
( ) ∫ −
− × = 3 4 r r
r r dV v nq B P
P o r r
r r r r
π µ
Ox
Oy Oz
α q
P r r
B r
r r
r r P r r −
v r
Ley de Biot y Savart. Campo creado por una corriente rectilínea (I).
z e dz l d r r =
Geometría del
problema
r P e a r r r =
z e z r r r =
a z
= α tan Ox
Oy
Oz
ϕ
α
r e r
ϕ e r
I
l d r
z
P P r r a
r r r r P r r −
Vectores que aparecen en la Ley de Biot y Savart.
2 2 z a r r p + = − r r
Otras relaciones que se deducen del esquema:
( ) 3 4 r r r r l Id B d
P
P o r r
r r r r
−
− × =
π µ
Ley de Biot y Savart. Campo creado por una corriente rectilínea (II).
La dirección del vector dB es perpendicular a r p r y dl, luego dB es paralelo al vector e ϕ .
Geometría del
problema
Ox
Oy
Oz
ϕ
α
r e r
ϕ e r
I
l d r
z
B d r
P P r r a
r r r r P r r −
( ) 3 4 r r r r l Id B d
P
P o r r
r r r r
−
− × =
π µ
ϕ e dB B d r r =
Y el módulo del vector dB vale:
( ) 3 4 r r r r l d I
dB P
P o r r
r r r
−
− × =
π µ
Ley de Biot y Savart. Campo creado por una corriente rectilínea (III).
ϕ e dB B d r r =
Por las propiedades del producto vectorial:
( ) φ seno r r dz r r l d p p − = − × r r r
( ) 3 4 r r r r l d I
dB P
P o r r
r r r
−
− × =
π µ
Luego:
2 cos
4 r r dz I dB
P
o r r −
= α π
µ 2 2
cos 4 z a
dz I dB o
+ = α
π µ
Pero: α α π φ cos 2
seno seno =
+ =
Oz
α
r e r
I
l d r
z
P
P r r a
r r r r P r r −
α
φ
Vista lateral
Ley de Biot y Savart. Campo creado por una corriente rectilínea (IV).
ϕ e dB B d r r = Geometría
del problema
Ox
Oy
Oz
ϕ
α
r e r
ϕ e r
I
l d r
z
B d r
P a
Usando que:
dz z a
I dB o
+ = 2 2
1 cos 4
α π
µ
a z
= α tan α
α 2 cos
d a dz
=
Como:
2 2 cos
z a a
+ = α
=
α α α α
π µ
2 2
2
cos cos cos
4 ad
a I dB o
Ley de Biot y Savart. Campo creado por una corriente rectilínea (V).
ϕ e dB B d r r = Geometría
del problema
Ox
Oy
Oz
ϕ
α
r e r
ϕ e r
I
l d r
z
B d r
P a
α α π µ d I a
dB o cos 4
=
Tenemos ahora que integrar para hallar el campo total creado por el hilo.
Si el hilo es infinito, recorremos el hilo cuando α varía desde π/2 hasta π/2.
∫ =
− =
= 2
2
cos 4
π α
π α
α α π µ d I a
B o
[ ] 2
2
seno 4
π α
π α α
π µ =
− = = I
a B o
Ley de Biot y Savart. Campo creado por una corriente rectilínea (IV).
2) Las líneas de campo son circunferencias centradas en el hilo cuyo sentido viene dado por la regla de la mano derecha.
Conclusiones:
1) El módulo del campo disminuye con la inversa de la distancia al hilo.
Ox
Oy
Oz
ϕ
α
r e r
ϕ e r
I
r
B r
B r
ϕ π µ e
a I B o v r
2 =
Ley de Biot y Savart Líneas de campo creado por una espira.
Las líneas de campo magnético son líneas cerradas que atraviesan el plano de la espira.
El sentido de giro de las líneas de campo viene dado por la regla de la mano derecha.
Ley de Biot y Savart Líneas de campo creado por un imán con magnetización uniforme.
Las líneas de campo magnético son líneas cerradas que entran en el imán por el polo norte y lo abandonan por el polo sur.
Si dividimos el imán en dos mitades, en el plano de separación entre las dos mitades aparece un polo norte y un polo sur, de modo que no podemos obtener un polo aislado.
Ley de conservación del flujo magnético. Enunciado.
Como hemos visto en los ejemplos anteriores las líneas de campo magnético son curvas cerradas.
Al igual que hicimos para el campo eléctrico, podemos definir el flujo del campo magnético a través de una superficie S como:
Esto significa que el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es siempre cero.
∫ ⋅ = S
m S d B r r
φ
0 = ⋅ = ∫ S
m S d B r r
φ
Ley de conservación del flujo magnético. Ejemplo.
Para las tres curvas pintadas en la figura, el número de líneas de campo que entran en ellas es igual al número de líneas de campo que las abandonan.
Ley de conservación del flujo magnético. Consecuencias (I).
De la condición: 0 = ⋅ = ∫ S
m S d B r r
φ
Pueden sacarse las siguientes conclusiones:
1) El campo magnético no tiene fuentes puntuales.
En el caso del campo eléctrico, el flujo a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica en su interior. Como para el campo magnético el flujo a través de una superficie cerrada es cero, eso significa que no existen “cargas magnéticas”.
1) El flujo magnético se conserva.
El flujo magnético es el mismo a través de cualquier superficie abierta que se apoye en el mismo contorno. (Este es el mismo comportamiento que tiene el campo de velocidades de un fluido incompresible).
Ley de conservación del flujo magnético. Consecuencias (II).
Que el flujo del campo magnético se conserve implica que el flujo magnético que pasa por el interior de una curva cerrada puede calcularse usando cualquier superficie que se apoye en dicha curva cerrada.
Demostración: Las superficies S 1 (amarillo) y S 2 (verde) se apoyan en la curva C y forman una superficie cerrada. Entonces:
Por convenio, el vector normal a una superficie cerrada siempre apunta hacia el exterior del volumen que encierra la superficie.
B r
n r
2 S ∆ 1 S
n r 1 S ∆
2 S
∫ ∪
= = 2 1
0 S S
m S d B r r
φ C
Ley de conservación del flujo magnético. Consecuencias (III).
Si hacemos la integral en cada superficie por separado:
Por convenio, el vector normal a una superficie abierta siempre apunta hacia la dirección dada por la regla de la mano derecha.
0 2 1 1 2
= ⋅ + ⋅ = = ∫ ∫ ∫ ∪S S S S
m dS n B dS n B S d B r r r r r r φ
B r
2 n r
2 S ∆ 1 S
n r 1 S ∆
2 S
1 n r
Eso significa que hemos de escoger un sentido de giro para la curva C.
Escogemos el sentido dado por las flechas azules. Eso implica:
1 n n v r − = 2 n n v r =
Ley de conservación del flujo magnético. Consecuencias (IV).
Sustituyendo los vectores normales a las superficies S 1 y S 2 :
0 1 2
2 1 = ⋅ + ⋅ − = ∫ ∫ S S
m dS n B dS n B r r r r φ
B r
2 n r
2 S ∆ 1 S
n r 1 S ∆
2 S
1 n r
∫ ∫ ⋅ = ⋅ 1 2
2 1 S S
dS n B dS n B r r r r
Y para calcular el flujo magnético que atraviesa una superficie cerrada podemos usar cualquier superficie que se apoye en esa curva cerrada.
Ley de Ampere. Circulación del campo magnético.
Se llama circulación del campo magnético a la integral: ∫ ⋅ =
C m l d B C
r r
Donde C es una curva cerrada.
Como el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es nulo, no podemos usar el Teorema de Gauss para calcular campos magnéticos. Tenemos que buscar un procedimiento alternativo.
es un segmento muy pequeño de la curva C.
θ cos l B l B C m ∆ = ∆ ⋅ = ∆ r r r
l d r
B r es el valor del campo magnético
en el segmento que estamos considerando. l d
r
B r
θ
Ley de Ampere. Justificación (I).
Calculemos la circulación del campo creado por un hilo de corriente recto e infinito que transporta una corriente I.
Como curva C, escogemos una circunferencia en un plano perpendicular al hilo y con su centro en el hilo.
∫ ⋅ = C
m l d B C r r
ϕ π µ e
a I B o v r
2 = ϕ ϕe ad l d r r
=
Campo creado por el hilo.
Elemento de longitud del hilo.
Definición de circulación.
I a
C
l d r
B r
r e r ϕ e
r
Ley de Ampere. Justificación (II).
I l d B o µ = ⋅ ∫ r r
Hemos obtenido:
1. Fíjate que este resultado no depende del radio de la circunferencia que escojamos.
2. Puede demostrarse que el mismo resultado se obtiene usando cualquier curva cerrada que rodee el conductor.
I d I C o o
m µ ϕ π
µ π ϕ
π ϕ
= = ∫ =
− = 2 ϕ
π µ
ϕ ϕ
π ϕ
π ϕ
ad e e a I C o
m r r
⋅ = ∫ =
− = 2
Campo creado por el hilo.
Elemento de longitud del hilo.
Ley de Ampere. Enunciado.
total o C
I l d B µ = ⋅ ∫ r r En general,
A este resultado se le conoce como Ley de Ampere.
es decir, la circulación del campo a lo largo de una curva cerrada C es igual al producto de la permeabilidad del vacío µ o por la corriente total I total que atraviesa una superficie S que se apoye en dicha curva cerrada:
3 I
1 I
2 I S
C
Fuerza de Lorentz. Propiedades.
Experimentalmente se comprueba que*:
• El campo magnético no ejerce ninguna fuerza sobre cargas eléctricas estacionarias.
Nota: suponemos que las fuentes que crean el campo magnético están quietas y que medimos las velocidades de las cargas eléctricas con respecto a las fuentes del campo magnético.
• La fuerza F que ejerce un campo B sobre una carga q que se mueve con velocidad v es proporcional al producto de q por los módulos de B y v y el seno del ángulo θ que forman ambos vectores.
• La fuerza F es perpendicular tanto al campo magnético B como a la velocidad de la carga v.
θ seno B v q F r r r
=
Fuerza de Lorentz. Enunciado.
Todas esas propiedades pueden resumirse en la expresión:
conocida como fuerza de Lorentz.
B v q F r r r
× =
La fuerza de Lorentz sobre una carga positiva viene dada por la regla de la mano derecha.
Como [F]=N, [v] = m/s, [q]=C entonces, [B]=N/(C.m/s)=N/(A.m).
Es decir: 1 Tesla = 1 Newton/(Amperio.metro)
v r
B r
θ
Ox
Oz
Oy
q
Fuerza de Lorentz. Consecuencias (I).
Como la fuerza F que el campo ejerce sobre la carga es perpendicular a v, el campo magnético B no ejerce ningún trabajo sobre las cargas eléctricas.
0 = ⋅ = ⋅ = dt v F s d F W r r r r δ
Esto significa que:
• Al mover una carga dentro de un campo magnético, no cambia su energía potencial. Por tanto, no se puede definir un potencial magnético.
• Como el campo no hace trabajo sobre la carga, no puede cambiar su energía cinética, y tampoco el módulo de su velocidad.
v r
B r
θ
Ox
Oz
Oy
q
F r
Fuerza de Lorentz. Consecuencias (II).
Consideremos una carga q que se mueve con velocidad v en el seno de un campo magnético uniforme B.
Sólo la componente de la velocidad perpendicular al campo magnético contribuye a la fuerza de Lorentz.
Si descomponemos la velocidad de la partícula en la forma:
⊥ + = v v v r r r ||
Componente de la velocidad paralela al campo magnético.
Componente de la velocidad perpendicular al campo magnético.
B v q B v q B v q F v r r r r r r
× + × = × = ⊥ ||
0
v r
B r
Ox
Oz
Oy
q
|| v r
⊥ v r
F r
Fuerza de Lorentz. Consecuencias (III).
CONCLUSIÓN: La carga sigue una trayectoria en espiral alrededor de las líneas de campo.
v r
B r
Ox
Oz
Oy
q
|| v r
⊥ v r
F r
• Como la fuerza es perpendicular a B, la aceleración a de la partícula siempre es perpendicular a las líneas de campo.
• Como el módulo de la velocidad no puede cambiar, la componente perpendicular de la velocidad gira alrededor de la línea de campo magnético.
m F a r
r =
Fuerza de Lorentz. Consecuencias. Ejemplos.
Fuerza de Lorentz Consecuencias.
Fuerza sobre una corriente estacionaria. Derivación (I).
( ) L nS B v q F ∆ × = ∆ r r r
Consideremos un pequeño segmento de un conductor que porta una corriente I, con:
L ∆ Longitud del segmento. S Área de la sección del segmento.
n Número de portadores de carga por unidad de volumen.
La fuerza ∆F sobre el segmento de conductor es:
Volumen del segmento
Fuerza sobre un portador de carga
Número de portadores de carga en el volumen.
1 q S
2 q 3 q
4 q
L ∆
Fuerza sobre una corriente estacionaria. Derivación (II).
( ) L nS B v q F ∆ × = ∆ r r r
Recordando que: v nq j r r = Vector densidad de corriente
S n j I s r r
⋅ =
U usando que los vectores n s , ∆L y v tienen la misma dirección, queda:
( ) ( ) B L I B L S n v q F r r r r r
× ∆ = × ∆ = ∆
Partiendo de:
Definición de intensidad de corriente
s n r
Definición de intensidad de corriente
1 q S
2 q 3 q
4 q
L ∆
s n r
Fuerza sobre una corriente estacionaria. Caso particular: un hilo recto en campo uniforme.
La fuerza sobre todo el hilo conductor que porta la corriente se encuentra de integrar la expresión:
B L I F r r r
× ∆ = ∆
A toda la longitud del hilo: ( ) ∫ × = B L d I F r r r
Si el campo es uniforme y el hilo es recto, el producto dLxB es constante a lo largo de todo el hilo y la fuerza total queda:
B L I F r r r
× =
El vector L tiene la dirección de la corriente I y su módulo es la longitud del hilo. Ox
Oy Oz
F r
B r
I
L r
∆
Fuerza entre corrientes estacionarias. Caso particular: hilos rectos paralelos.
• El campo que crea la corriente I 1 en la posición del hilo I 2 es:
Consideremos dos hilos rectos paralelos, separados una distancia a, que transportan dos corrientes I 1 e I 2 con el mismo sentido.
1 I 2 I
B r
ϕ π µ e a I B o r r
2 =
Ox
Oy • Como resultado, la corriente I 2 experimenta una fuerza:
Oz
ϕ π µ e a I e L I B e L I F o
z z r r r r r
2 1
2 2 × = × =
r o e L a I I F r r
π µ 2
2 1 − =
Espira conductora en campo uniforme. Fuerza.
Consideremos, por simplificar, una espira cuadrada en un campo uniforme, con su centro coincidiendo con el origen de un sistema de coordenadas.
La espira no experimenta ninguna fuerza porque las fuerzas sobre cada uno se sus lados se cancelan dos a dos.
Este resultado es válido aunque la espira no sea cuadrada.
B L I F r r r
× =
vector normal a la espira.
A
C
D
E n r
n r
z o e B B r r =
Ox
Oy
Oz
α
α a
a AC F r
AD F r
EA F r
DE F r
Espira conductora en campo uniforme. Momento.
Sin embargo, la combinación de las fuerzas sobre sus lados da lugar a un momento que intenta hacerla girar.
F r M r r r
× = El momento total sobre la espira es la suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre sus cuatro lados.
Los momentos de la fuerza sobre los lados EA y CD son nulos porque r y F son paralelos.
A
C
D
E n r z o e B B r r
=
Ox
Oy
Oz
α
α a
a AC F r
AD F r
EA F r
DE F r T M
r
T M r
Momento total sobre la espira.
Momento sobre una espira conductora. Derivación (III).
Si observamos la espira a lo largo del lado CD.
( ) ( ) α α seno 2 1 seno
2 1
DE x AC x DE AC T F a e F a e F r F r M r r r r r r r − − = × + × =
B aI F F DE AC
r r r = =
( ) x T e IB a M r r α seno 2 − =
Oy
Oz n r
I
I
AC F r
DE F r
α
α B r
T M r
Momento sobre una espira conductora. Definición de momento magnético.
( ) ( ) B n I a e IB a M x T
r r r r × = − = 2 2 senoα
El resultado anterior puede expresarse como:
Al vector:
momento magnético = área de la espira x intensidad x vector normal a la espira.
n I a m r r 2 =
En general, aunque la espira no sea cuadrada:
La orientación del vector normal hay que escogerla aplicando la regla de la mano derecha a la corriente que circula por la espira.
Se le llama momento magnético de la espira.
B m M T r r r
× =
Las unidades del momento magnético son Amperios x metro 2 .
El dipolo magnético. Semejanza con el dipolo eléctrico (I).
Espira de corriente
1 q 2 q 1 q 2 q
dipolo eléctrico
Lejos de una espira de corriente, las líneas de campo magnético son similares a las líneas de campo eléctrico de un dipolo eléctrico.
El dipolo magnético. Semejanza con el dipolo eléctrico (II).
B m M T r r r
× =
Además de la semejanza de los campos, tenemos:
E p M r r r
× =
Magnetismo. Momento sobre una espira en un campo uniforme.
Electricidad. Momento sobre un dipolo eléctrico en un campo uniforme.
Magnetismo. Energía potencial de una espira en un campo uniforme.
B m U r r
⋅ − =
Electricidad. Energía potencial de un dipolo en un campo uniforme.
E p U r r
⋅ − =
El dipolo magnético. Definición y campo.
−
⋅ =
→ →
→
→ 3 5 3
4 C O C O
C O
C O o
r m r
r m r B
r r
r r r
π µ
Puede demostrarse, que lejos de una espira de corriente, el campo magnético creado por la espira de corriente viene dado por:
Esta expresión:
• No depende de la forma de la espira.
• Es formalmente idéntica a la que da el campo de un dipolo eléctrico..
Por este motivo, cuando una espira de corriente es mucho más pequeña que la distancia a la que medimos su campo, decimos que actúa como un dipolo magnético.
m r momento magnético de la espira.
C O r →
r vector que une el centro de la espira con el punto C en el que se calcula el campo.
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