Transcript
Page 1: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �

Konsep Dasar

Page 2: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �

Solusi Persamaan Fungsi

Polinomial

Page 3: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �

Interpolasi dan Aproksimasi

Polinomial

Page 4: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �

Metoda Numeris untuk Sistem

Nonlinier

Page 5: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �

Metoda Numeris Untuk Masalah

Nilai Awal

Page 6: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �

Metoda Numeris Untuk Masalah

Nilai Batas

Suatu fenomena yang umum dibicarakan berkenaan dengan masalahnilai batas ini adalah dalam bidang teknik sipil� Salah satu contohnyayaitu de�eksi dari suatu balok persegi panjang yang kedua ujungnyatersanggah dengan kuat sehingga tidak mengalami perubahan� Persa�

S S

0 L

w(x)

x

maan difrensial dari fenomena ini digambarkan sebagai

d�w

dx��

S

EIw �

qx

�EI�x� L

dimana w�w�x� adalah de�eksi yang dialami balok pada jarak tertentux� sedang L� q�E� S� dan I masing�masing menunjukkan panjang balok�intensitas beban� modulus elastisitas� tekanan pada ujung balok� danmomen inersia� Selanjutnya karena ujung balok tidak mengalami pe�rubahan maka de�eksi tidak terjadi pada daerah ini� sehingga PD order� tersebut memenuhi sarat batas

w� � w�l �

��

Page 7: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

Fokus permasalahan sekarang berkenaan dengan ketebalan balok itu�apakah balok itu mempunyai ketebalan yang sama �uniform�� jika initerpenuhi solusi eksak dapat ditelusuri oleh solusi analitik� dan EI akanmenjadi konstan� Namun pada umumnya ketebalan itu tidak uniformatau beragam� sehingga momen inesrsia I merupakan fungsi dari x�yaitu I � I�x� sehingga dibutuhkanlah solusi numeris�

Masalah nilai batas dalam hal ini akan direpresentasikan dengan persamaan

difrensial order dua� dengan asumsi semua sistem persaamaan difrensial order p

dapat ditransformasikan kedalam order � ini Secara umumpersamaan itu adalah

sebagai berikut

y�� � f�x� y� y�� a � x � b �� �

y�a � � dan y�b � � �� �

Teorema ��� Bila suatu fungsi f dalam masalah nilai batas

y�� � f�x� y� y�� a � x � b� y�a � �� y�b � ��

adalah fungsi kontinyu dalam himpunan

D � f�x� y� y�ja � x � b��� � y ����� � y� ��g�

dan �f�y� �f�y�

juga kontinyu dalam D� maka jika

�� �f�y�x� y� y� � untuk semua �x� y� y� � D� dan

�� ada konstanta M � denga j �f�y�

�x� y� y�j �M � untuk setiap �x� y� y� � D�

masalah nilai batas diatas dikatakan mempunyai solusi tunggal�

Contoh ��� Masalah nilai batas berikut

y�� � e�xy � sin y� � � � � x � �� y�� � y�� � �

Page 8: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

mempunyai

f�x� y� y� � �e�xy � siny��

Sekarang

�f

�y�x� y� y� � xe�xy � � sebab � � x � �

dan

j�f

�y��x� y� y�j � j � cos y�j �M� dimana M � �

sehingga masalah ini mempunyai solusi tunggal�

��� Metoda Difrensi Terbatas untuk MNB li�

nier

Jika f�x� y� y� disajikan dalam bentuk

f�x� y� y� � p�xy� � q�xy � r�x� a � x � b� y�a � �� y�b � �� �� �

maka persamaan difrensial y�� � f�x� y� y� disebut MNB linier Selain itu disebut

MNB non linier

Selanjutnya untuk menerapkan metoda ini pertama kali kita pilih N � dan

bagi interval �a� b� menjadi bagian kecil �grid kedalamN�� subinterval homogen�

dimana xi � a � ih� untuk i � � �� �� � � � � N � � dan h � b�aN�� Perlu dicatat

bahwa untuk N �� maka h� � solusi numeris dengan metoda ini diharapkan

mengaplikasikan N �� sehingga solusinya benar�benar akurat menginterpolasi

y���xi � p�xiy� � q�xiy � r�xi� a � x � b� y�a � �� y�b � � �� �

Page 9: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

Perluas y dalam deret Taylor sampai order � akan xi untuk xi�� dan xi��

y�xi�� � y�xi � h � y�xi � hy��xi �h�

�y���xi �

h�

�y����xi �

h�

��y������i � �� �

untuk �� � �xi� xi�� dan

y�xi�� � y�xi � h � y�xi� hy��xi �h�

�y���xi�

h�

�y����xi �

h�

��y������i � �� �

untuk �� � �xi��� xi Dalam hal ini y � C��xi��� xi���

Jumlahkan kedua persamaan ��� dan ��� sehingga diperoleh

y���xi ��

h��y�xi��� �y�xi � y�xi����

h�

���y������ � y������i �� �� �

Dengan teorema nilai tengan diperoleh

y���xi ��

h��y�xi��� �y�xi � y�xi����

h�

��y�����i �� �

untuk �i � �xi��� xi��� ini disebut dengan rumus Difrensi Terpusat

Selanjutnya dengan mengurangkan kedua persamaan itu diperoleh

y��xi ��

�h�y�xi��� y�xi����

h�

�y���

�i� �� �

untuk i � �xi��� xi��

Substitusikan ��� dan ��� ini kedalam ��� maka

y�xi�� � �y�xi � y�xi��

h�� p�xi

�y�xi��� y�xi��

�h

�� q�xiy�xi

�r�xi �h�

����p�xiy

���

�i� y�����i�

Metoda difrensi terbatas dengan kesalahan pemenggalan O�h� dapat di�

sajikan bersama nilai batas y�a � � dan y�b � �� yakni

w� � �� wN�� � � �� �

Page 10: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

��wi � wi�� � wi��

h�

�� p�xi

�wi�� � wi��

�h

�� q�xiwi � �r�xi�

�� �

h

�p�xi

�wi�� � �� � h�q�xiwi �

�� �

h

�p�xi

�wi�� � �h�r�xi��� ��

dimana i � �� �� � � � � N Kombinasi dari ��� dan ��� akan mengarah pada

pembentukan sistem linier

Aw � b �� ��

dimana A adalah matrik tridiagonal� w dan b adalah suatu vektor� dengan entri

sebagai berikut

A �

��������������

� � h�q�x� �� � h�p�x� � � �

�� � h�p�x� � � h�q�x� �� � h

�p�x�

�� � h�p�xN��

� � � ��� h�p�xN � � h�q�xN

w �

��������������

w�

w�

wN��

wN

�� dan b �

���������������

�h�r�x� �

�� � h

�p�x�

�w�

�h�r�x�

�h�r�xN��

�h�r�xN �

��� h

�p�xN

�wN��

Algoritma metoda Difrensi Terbatas linier

INPUT a� b� nilai batas �� beta dan N � �

OUTPUT approksimasi wi untuk y�xi� dimana i � � �� � � � � N � �

Page 11: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

Step � Set h � �b� a�N � ��

x � a� h�

a� � � � h�q�x�

b� � �� � �h�p�x�

d� � �h�r�x � �� � �h�p�x�

Step � For i � �� � � � � N � �

set x � a� ih�

ai � � � h�q�x�

bi � �� � �h�p�x�

ci � ��� �h�p�x�

di � �h�r�x

Step � Set x � b� h�

aN � � � h�q�x�

cN � ��� �h�p�x�

dN � �h�r�x � �� � �h�p�x�

Step � Set l� � a�� �Step ���� adalah program untuk menyelesaikan sistem

linier tridiagonal

u� � b�a��

z� � d�l��

Step � For I � �� � � � � N � ��

set li � ai � ciui���

ui � bili�

zi � �di � cizi��li�

Step � Set lN � aN � cNuN���

zN � �dN � cNzN��lN �

Step � Set w� � ��

wN�� � ��

wN � zn�

Step � For i � N � �� � � � � � set wi � zi � uiwi���

Step � For i � � �� � � � � N � � set x � a� ih�

OUTPUT �x�wi

Step � STOP �Prosedur selesai

Contoh ���� Gunakan algoritma metoda Difrensi Terbatas Untuk menyelesaikan

Page 12: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

masalah nilai batas berikut ini�

y�� � ��

xy� �

x�y �

sin�lnx

x�� � � x � �� y�� � �� y�� � ��

dengan N��� dan h����

Penyelesaian ���� Memahami bentuk persamaan linier itu dalam hal ini dapat

ditulis bahwa p�x � � �x� q�x � �

x�dan r�x � sin�lnx�

x�� Selanjutnya untuk xi �

a� ih� maka

i � � x� � a� �h � ��

i � � � x� � a� ��h � �� � �� � ���

i � � � x� � ���

���

i � � � x � ���

sehingga sebagian entri dari matrik A dan vektor w� b dapat digambarkan sebagai

berikut

A �

��������������

� � ����q���� �� � ���� p���� � � �

�� � ���� p���� � � ����q���� �� � ���

� p�������

��� �� � ���� p����

� � � ��� ���� p���� � � ����q����

Page 13: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

w �

��������������

w�

w�

���

wN��

wN

�� dan b �

���������������

�����r���� �

�� � ���

� p����

���

�����r����

���

�����r����

�����r���� �

�� � ���

�p����

���

Dengan menggunakan algoritma diatas diperoleh hasil dalam tabel dibawah

ini�

xi wi y�xi en� � � � � � ���� � ����� ���� � ��

� � � ����� � ����� ���� � ��

� � � ������ � ������ ���� � ��

� � � ����� � ������ ���� � ��

� � � ����� � ������ ���� � ��

� � � ������ � ������ ���� � ��

� � � ������ � ����� ���� � ��

� � � ������ � ������ ���� � ��

� � � ������ � ������ ���� � ���

� � �

Tabel � �� Data hasil simulasi Difrensi Terbatas Linier

Dibawah ini dapat dilihat visualisasi gra�k dari metoda Difrensi Terbatas untuk

interval domain � � x � �

Page 14: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 21

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

o : Solusi eksak

−− : Solusi numeris

Gambar � �� Interpolasi metoda Difrensi Terbatas

��� Metoda Difrensi Terbatas untuk MNB non

linier

Secara umum MNB non linier disajikan dalam bentuk

y�� � f�x� y� y�� a � x � b� y�a � �� y�b � �� �� ��

Teorema ���� MNB diatas dikatakan mempunyai solusi tunggal bila untuk in�

terval domain

D � f�x� y� y�ja � x � b��� � y ����� � y� ��g�

maka

�� f� �f�y

dan �f�y�

adalah fungsi kontinyu dalam D�

�� �f�y�x� y� y� � � untuk sebarang � �

� ada konstanta K� dan L dimana

K � max�x�y�y���Dj�f

�y�x� y� y�j� L � max�x�y�y���Dj

�f

�y��x� y� y�j

Selanjutnya sebagaimana halnya metoda Difrensi Terbatas pertama kali kita

pilih N � dan bagi interval �a� b� menjadi bagian kecil �grid kedalam N � �

Page 15: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS �

subinterval homogen� dimana xi � a � ih� untuk i � � �� �� � � � � N � � dan

h � b�aN��

Kemudian kita ganti y���xi dan y��xi pada persamaan non linier

berikut

y���xi � f�xi� y�xi� y��xi a � x � b� y�a � �� y�b � � �� ��

dengan rumus Difrensi Terpusat pada ��� dan ���� maka untuk i � �� �� � � � � N

berlaku

y�xi�� � �y�xi � y�xi��

h�� f

�xi� y�xi�

y�xi��� y�xi��

�h�

h�

�y���

�i

�h�

��y�����i� �� ��

untuk sebarang �i� i elemen �xi��� xi�� Demikian juga bila suku kesalahan kita

penggal maka diperoleh bentuk selengkapnya dengan nilai batas sebagai beikut

w� � �� wN�� � � �� ��

�wi�� � �wi � wi��

h�� f

�xi� wi�

wi�� �wi��

�h

�� � �� ��

untuk i � �� �� � � � � N

Sekarang sistem nonlinier N �N yang diperoleh dari metoda ini adalah

�w� � w� � h�f

�x�� w��

w� � �

�h

�� � � �

�w� � �w� � w� � h�f

�x�� w��

w� �w�

�h

�� �

�� ��

�wN�� � �wN�� � wN � h�f

�xN��� wN���

wN �wN��

�h

�� �

�wN�� � �wN � h�f

�xN � wN �

� � wN��

�h

�� � � �

mempunyai solusi tunggal sepanjang h � �L

Page 16: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

Untuk mengaproksimasi solusi terhadap sistem ini akan digunakan metoda

Newton sebagaimana dijelaskan dalam bab �� dengan hasil berupa barisan bila�

ngan fw�k � � w

�k � � � � � � w

�k N g� yang diawali dengan memilih nilai awal fw��

� � w�� � � � � � � w

�� N g

Untuk sistem diatas dapat ditentukan Jacobian matriknya� yakni

J�wi �

���������� ����������

�� � h�fy�

�xi� wi�

wi���wi���h

�� i � j � � j � �� ���� N�

� � h�fy

�xi� wi�

wi���wi���h

�� i � j j � �� ���� N�

��� h�fy�

�xi� wi�

wi���wi���h

�� i � j � � j � �� ���� N � ��

dimana w� � � dan wN�� � � Fungsi F�x� dapat ditentukan langsung dari

persamaan nonlinier diatas� yaitu

F�wi �

����������������

�w� � w� � h�f

�x�� w��

w����h

�� �

�w� � �w� � w� � h�f

�x�� w��

w��w��h

�wN�� � �wN�� �wN � h�f

�xN��� wN���

wN�wN��

�h

�wN�� � �wN � h�f

�xN � wN �

��wN��

�h

�� �

Metoda newton dapat diterapkan dengan dengan menyelesaikan persamaan

J�wi�viT � �F�wi

terlebih dahulu� kemudian hasil v�� v�� � � � � vn dipakai untuk menghitung

w�k i � w

�k�� i � vi� i � �� �� � � � � N

Page 17: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

Algoritma metoda Difrensi Terbatas non linier

INPUT a� b� nilai batas �� beta dan N � �� toleransi �� jumlah iterasi

maksimumM

OUTPUT approksimasi wi untuk y�xi� dimana i � � �� � � � � N � �

Step � Set h � �b� a�N � ��

w� � ��

wN�� � ���

Step � For i � �� � � � � N � �

set wi � �� i

����b�a

�h�

Step � Set k � ��

Step � While k �M kerjakan step ����

Step � Set x � a� h�

t � �w� � ���h�

a� � � � h�fy�x�w�� t�

b� � �� � �h�fy� �x�w�� t�

d� � ���w� �w� � �� h�f�x�w�� t�

Step � For i � �� � � � � N � ��

t � �wi�� � wi����h�

ai � � � h�fy�x�wi� t�

bi � �� � �h�fy��x�wi� t�

ci � ��� �h�fy� �x�wi� t�

di � ���wi � wi�� � wi�� � h�f�x�wi� t�

Step � Set x � b� h�

t � �� �wN����h�

aN � � � h�fy�x�wN � t�

cN � �� � �h�fy� �x�wN � t�

dN � ���wN � wN�� � �� h�f�x�wi� t�

Step � Set l� � a�� �Step ���� adalah untuk menyelesaikan sistem

linier tridiagonal

u� � b�a��

z� � d�l��

Step � For i � �� � � � � N � �

Set li � ai � ciui���

Set ui � b�li�

zi � �di � cizi��li�

Page 18: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

Step � Set lN � aN � cNuN���

zN � �dN � cNzN��lN �

Step �� Set vN � zN �

wN � wN � vN �

Step �� For I � N � �� � � � � ��

Set vi � zi � uivi���

Set wi � wi � vi�

Step �� If jjvjj � � maka kerjakan langkah �� dan ��

Step �� For i � � � � � � N � �

Set x � a� ih�

OUTPUT �x�wi �Prosedur selesai dengan sukses

Step �� STOP

Step �� Set k � k � �

Step �� OUTPUT �Jumlah maksimum dari iteraszi dibutuhkan

�Prosedur selesai dengan tidak sukses

STOP

Contoh ���� Gunakan algoritma ini� dengan h � ��� hitung masalah nilai

batas berikut ini

y�� ��

���� � �x� � yy�� � � x � �� y�� � ��� y�� � ����

Penyelesaian ���� Memahami bentuk persamaan non linier ini maka sistem

nonlinier �� � �� dapat ditulis sebagai berikut

�w� � w� � �����

��� � �x�

� �w�w� � ��

����

�� �� � �

�w� � �w� � w� � �����

��� � �x�

� � w�w� � w�

����

�� �

���

�w�� � �w� � �����

��� � �x�

� � w�

��� � w��

����

��

��

�� �

Page 19: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

Selanjutnya matrik Jacobiannya adalah

J�wi �

���������� ����������

�� � ������ fy�

�xi� wi�

wi���wi���h

�� i � j � � j � �� ���� ���

� � ����fy

�xi� wi�

wi���wi���h

�� i � j j � �� ���� ���

��� ������fy�

�xi� wi�

wi���wi���h

�� i � j � � j � �� ���� ���

Tabel berikut ini memberikan hasil selengkapnya dari metoda Difrensi Terbatas

non linier ini dengan menentukan nilai awal fw�� � � w

�� � � � � � � w

�� N g�

xi wi y�xi en� � � � � � ���� � ����� ���� � ��

� � � ����� � ����� ���� � ��

� � � ������ � ������ ���� � ��

� � � ����� � ������ ���� � ��

� � � ����� � ������ ���� � ��

� � � ������ � ������ ���� � ��

� � � ������ � ����� ���� � ��

� � � ������ � ������ ���� � ��

� � � ������ � ������ ���� � ���

� � �

Dibawah ini dapat dilihat visualisasi gra�k dari metoda Difrensi Terbatas untuk

interval domain � � x � �

Page 20: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 21

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

o : Solusi eksak

−− : Solusi numeris

Gambar � �� Interpolasi metoda Difrensi Terbatas

Page 21: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��

Latihan Tutorial �

� Masalah nilai awal yang disajikan dalam bentuk�

y�� � ��y � x� � x � �� y� � � y�� � �

mempunyai solusi y�x � e��e� � ����e�x � e��x � x Gunakan metoda

difrensi terbatas dengan h � �� dan h � ��

� Masalah nilai awal yang disajikan dalam bentuk�

y�� � y� � �y � cosx� � x � �� y� � ���� y� � � ���

mempunyai solusi y�x � � ����sinx � � cos x Gunakan metoda difrensi

terbatas dengan h � � dan h � �

� Gunakan algoritma difrensi terbatas untuk menyelesaikan beberapa soal

berikut ini

� y�� � y� � �y � �x � �� � x � �� y� � �� y�� � �� h � ��

� y�� � � �xy� � �

x�y � �

x�lnx� � � x � �� y�� � ���� y�� �

ln �� h � ��

� y�� � �x � �y���y� ��� x�e�x� � x � �� y� � ��� y�� �

� h � ��

� y�� � y�

x� �y

x�� lnx

x� �� � � x � �� y�� � � y�� � � h � ��

� Gunakan difrensi terbatas linier untuk menentukan solusi hampiran y�x �

e���x terhadap masalah nilai batas� y�� � �y� � x � �� y� �

�� y�� � e��� dengan h � �� dan h � ��

Page 22: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · momen inersia Selanjutn y ak ... atau b eragam sehingga momen inesrsia I merupak an fungsi dari x y aitu I x sehingga dibutuhk anlah solusi

Daftar Pustaka

Burden� R L and Faires� J D ���� Numerical Analysis Brooks�Cole Publishing

Company U S

Golub� G H and Van Loan� C F ���� Matrix Computations Second Edition

Johns Hopkins University Press Baltimore and London

Higham� N J ���� Accuracy and Stability of Numerical Algorithms SIAMBooks Philadelphia

Penny� J and Lind�eld� G ���� Numerical Methods Using Matlab EllisHorwood Limited London

Powell� M J D ���� Approximation Theory and Methods Cambridge UniversityPress U K

Strang� G ���� Linear Algebra and its Applications Academic Press� U K

Varga� R S ���� Matrix Iterative Analysis Prentice�Hall� Inc EnglewoodCli�s New Jersey

��