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PROFESSOR: ALBERTO THOMAZ
MATÉRIA: ARITIMÉTICA
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Aula.01 - Teoria Dos Conjuntos
ALGEBRA
Conceito : Em matemática, álgebra é o ramo que estuda as generalizações dos conceitos e operações de aritmética. Hoje em dia o termo é bastante abrangente e pode se referir a várias áreas da matemática.
No nosso estudo, vamos focar na parte da Algebra essencial no trabalho de qualquer pessoa que se utilize de conceitos matemáticos.
Introdução aos Conjuntos
Ao estudarmos Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.
Alguns Conceitos Primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
a. O conjunto de todos os argentinos.
b. O conjunto de todos os números naturais.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
a. Alberto é um elemento do conjunto dos professores do Ibenac.
b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
a. Alberto pertence ao conjunto dos professores do Ibenac.
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "pertence".
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
1 N
0 N
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
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Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
a. A={a,e,i,o,u}
b. N={1,2,3,4,...}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
a. A={x: x é uma vogal}
b. N={x: x é um número natural}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando logo contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U.
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2} então A B={a,e,i,o,u,1,2}.
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Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A B = { x: x A e x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
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Aula 02 Propriedade dos conjuntos
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A A = A e A A = A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A A B, B A B, A B A, A B B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B = B A A B = B A
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A Ø = A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A Ø = Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U = A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
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Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x A e x B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x A e x B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
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Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
Leis de Augustus De Morgan
1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A B)c = Ac Bc
2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2
c ... Anc
3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A B)c = Ac Bc
4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2
c ... Anc
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Aula .03 Diferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
A B = { x: x A B e x A B }
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B=A B.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. A A=Ø (conjunto vazio).
6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:
A (B C) = (A B) (A C)
7. A B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta inclusão é própria, isto é:
A B (A C) (B C)
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Conjuntos Numéricos
1. Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}
2. Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …}
- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:
Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Z*+ = N*
- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}
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3. Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.
4. Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)
5. Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.
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Aula.04
Exercícios
1 – (UEFS) Sendo M(0) o conjunto dos múltiplos de zero e D(0) o conjunto dos divisores de zero, M(0) e D(0) são , respectivamente conjuntos:
a)unitário e infinito b) unitário e vazio c) vazio e unitário
d) vazio e infinito e) infinito e vazio
2 - (INFO) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das sobremesas?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
3 - (INFO) - Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma lê em o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lê em ambos:
a)80% b)14% c)40% d)60% e)48%
4 - Em uma prova de matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Resposta : 450
05. (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é:
a) 127 b) 125 c) 124 d) 120 e) 110
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Aula.05
06. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:
a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?
07. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi:
a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600
08. (UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é:
a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e) 30%
09. (VUNESP) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo:
Marcas A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhuma delas
Número de Consumidores 109 203 162 25 28 41 5 115
Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é:
a) 99 b) 94 c) 90 d) 84 e) 79
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12. (PUC CAMP) Considere os Conjuntos :
IN, dos números naturais
Q, dos números racionais,
Q+, dos números racionais não negativos,
IR, dos números reais.
O número que expressa :
A) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de IN.
B) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de IN.
C) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+,
D) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+,
E) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q,
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Aula.06 - Lógica Matemática
CONCEITO
No nosso estudo de lógica, o principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS ou PROPOSIÇÕES
Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.
ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira.
Premissa : "Todo homem é mortal.“
Premissa : "João é homem.“
Conclusão : "João é mortal.“
Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro.
ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão
Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado.“
Premissa : "Está chovendo.“
Conclusão: "Ficará nublado.“
Não trataremos do estudo desses argumentos neste roteiro.
As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade.
Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer de nosso estudo.
CONCEITOS BÁSICOS:
PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
Ex:
A lua é quadrada.
A neve é branca.
Matemática é uma ciência.
Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas.
Uma proposição e uma declaração afirmativa à qual se pode associar um valor verdadeiro ou falso, mas não ambos. Por exemplo: “O Brasil fica na America” é uma proposição verdadeira, enquanto “A lua e de queijo" e uma proposição falsa.
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A proposição é o elemento básico a partir do qual os argumentos são construídos, sendo também o principal objeto de estudo na lógica proposicional.
CÁLCULO PROPOSICIONAL
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.
OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL ·
VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) .
Exemplos: A lua é quadrada : p A neve é branca : q
CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :
∧ : e
∨ : ou
→ : se...então
↔ : se e somente se
~ : não
Exemplos:
A lua é quadrada e a neve é branca. : p ∧ q (p e q são chamados conjunctos) .
A lua é quadrada ou a neve é branca. : p ∨ q ( p e q são chamados disjunctos)
Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p → q ( p é o antecedente e q o conseqüente)
A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p ↔ q
A lua não é quadrada. : ~p
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Aula.07
SÍMBOLOS AUXILIARES :
( ) : parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos;
Exemplos:
Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. : ((p ∧ q) → ~ p) ·
A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca. : ((~ p) ↔q))
DEFINIÇÃO DE FÓRMULA :
1. Toda fórmula atômica é uma fórmula.
2. Se A e B são fórmulas então (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) e (~ A) também são fórmulas.
3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2.
Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~, ∨ , ∧ , → , ↔ .
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita.
Exemplo: a fórmula p ∨ q ∧ ~ r → p → ~ q deve ser entendida como
(((p ∨ q) ∧ (~ r)) → ( p →(~ q)))
PRINCIPIOS BÁSICOS
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:
1- Princípio da Identidade:
Todo objeto é idêntico a si mesmo.
2- Princípio da Contradição:
Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.
Ou ainda: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
3- Princípio do Terceiro Excluído:
Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
Ou ainda : Qualquer proposição é verdadeira ou e falsa, não podendo ser nada mais do que isso.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas – sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.
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TABELAS VERDADE
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade :
Na tabela – verdade figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.
1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).
Um triangulo tem 3 lados ; Um triangulo não tem 3 lados.
Um triangulo tem 4 lados; Um triangulo não tem 4 lados.
2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjuntos são verdadeiros.
1 é < 2; o gato mia. 1 < 2 e o gato mia.
1 é < 2; o gato late. 1 < 2 e o gato late.
1 é > 2; o gato mia. 1 é > 2 e o gato mia.
1 é > 2; o gato late. 1 é > 2 e o gato late
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Aula.08
TABELAS VERDADE
3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos.
1 é < 2; o gato mia. 1 é < 2 ou o gato mia.
1 é <2; o gato late. 1 é < 2 ou o gato late.
1 é >2; o gato mia. 1 é >2 ou o gato mia.
1 é > 2; o gato late. 1 é > 2 ou o gato late.
4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. A implicação não afirma a veracidade do antecedente e do consequente, mas a relação existente entre eles
1 é < 2; o gato mia. Se 1 é < 2 então o gato mia.
1 é <2; o gato late. Se 1 é < 2 então o gato late.
1 é >2; o gato mia. Se 1 é >2 então o gato mia.
1 é > 2; o gato late. Se 1 é > 2 então o gato late.
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TABELAS VERDADE
5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos.
1 é < 2; o gato mia. 1 é < 2 se e somente se o gato mia.
1 é < 2; o gato late. 1 é < 2 se e somente se o gato late.
1 é > 2; o gato mia. 1 é > 2 se e somente se o gato mia.
1 é > 2; o gato late. 1 é > 2 se e somente se o gato late.
Notas : Observemos o seguinte:
No caso da implicação, por exemplo : ‘Se x é um número inteiro, então x é real’, ou seja p → q, ‘x ser um número inteiro’ (p) é condição suficiente para ‘x ser real’(q), enquanto que ‘x ser real’ (q) é condição necessária para ‘x ser um número inteiro’(p).
Já no caso da bi-implicação, por exemplo : ‘Fogão é campeão, se e somente se somou mais pontos’, ou seja p ↔ q, teremos que ‘Fogão é campeão’ (p) é condição necessária e suficiente para ‘Fogão somou mais pontos’(q), assim como ‘Fogão somou mais pontos’(q) é condição necessária e suficiente para ‘Fogão é campeão’ (p).
TABELAS VERDADE
6. Tabela verdade das implicações compostas.
Dadas varias implicações simples p,q,r,..., podemos combina-las mediante o uso dos conectivos: ∧ ,∨ ,→ , ↔, ~ e construir proposições compostas, tais como: (p ∧(~q ∨ p)); ~((p ∨ ~q) ∧ (q ∨ p))
Com o emprego das tabelas-verdades das operações lógicas fundamentais e possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta dada. Logicamente, o valor-verdade final depende dos valores lógicos das proposições componentes.
NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE:
Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc.
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Aula.09
REGRAS DE OPERAÇÃO
1- Regras de Negação
1.1 – Regras de Morgan
~ (p ∧ q) = ~p ∨ ~q
Ex : A Negação de ‘ Flavia é bonita(p) e Alberto é preguiçoso(q)’ é ‘Flavia não é bonita(~p) ou Alberto não é preguiçoso(~q)’.
~ (p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Ex : A Negação de ‘ Flavia é bonita(p) ou Alberto é preguiçoso(q)’ é ‘Flavia não é bonita(~p) e Alberto não é preguiçoso(~q)’.
1.2 – Negação da Implicação
~ ( p →q) = p ∧ ~q
Ex : A Negação de ‘ Se Flavia é bonita(p), então Alberto é preguiçoso(q)’ é ‘Flavia é bonita(p) e Alberto não é preguiçoso(~q)’.
1.3 – Negação da bi- Implicação
~ ( p ↔ q) = (p ∧ ~q) ou (~ p ∧ q)
Ex : A Negação de ‘ Flavia é bonita(p), se e somente se Alberto é preguiçoso(q)’ é ‘Flavia é bonita(p) e Alberto não é preguiçoso(~q)’ ou ‘Flavia não é bonita(~p) e Alberto é preguiçoso(q)’ .
REGRAS DE OPERAÇÃO
1.4 – Negação de Sentenças com Quantificadores
~ (ɏ x)(p) = (Ǝx)(~p)
Ex : A Negação de ‘Todos os alunos do Ibenac são aprovados em concursos’ é Existe algum aluno do Ibenac que não é aprovado em concursos’.
~ (Ǝx)(p) = (ɏ x)(~ p)
Ex : A Negação de’Existe algum aluno do Ibenac que é aprovado em concursos’.‘Todos os alunos do Ibenac não são aprovados em concursos’.
2- Leis de equivalência Lógica
Leis associativas:
1. (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
2. (p ∨ q) ∨ 4 ⇔ p ∨ (q ∨ r)
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Leis distributivas:
3. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
4. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Lei da dupla negação:
5. ~(~p) ⇔ p
Equivalências da Condicional
6. p → q ⇔ ∼p ∨ q
7. p → q ⇔ ∼q → ~p
REGRAS DE OPERAÇÃO
3- Equivalência Lógica
Uma proposição composta P é logicamente equivalente a uma proposição composta Q, se as tabelas-verdade destas duas (P e Q) forem idênticas. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.
Ex : ‘ Se faz Sol, vou a praia’, é equivalente a ‘Não faz sol ou vou a praia’.
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Aula.10
REGRAS DE OPERAÇÃO
4- Proposição Contrapositiva
Se, ~ p → ~q for uma proposição verdadeira, então p →q também será verdadeira. Caso seja falsa, então p →q também será falsa.
Ex : ‘Se não faz sol , o guarda-vida não vai a praia’ então se essa afirmação é verdadeira, ‘ Se faz o sol, o guarda-vida vai a praia’ também é verdadeira.
~ (p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Ex : A Negação de ‘ Flavia é bonita(p) ou Alberto é preguiçoso(q)’ é ‘Flavia não é bonita(~p) e Alberto não é preguiçoso(~q)’.
DIAGRAMAS LÓGICOS
O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos Conjuntos possuem estruturas semelhantes.
Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente entre conjuntos :
1 - Negação (~ ) : Se uma proposição p puder ser representada por um conjunto P por exemplo, sua negação ~p será representada pela complementação de P em relação ao universo, ou seja (Pc = {x: x Ɇ P})
2 - Conjunção (∧ ) : Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, P e Q, através de um diagrama, a conjunção ”p ∧ q” corresponderá à interseção do conjunto P com o conjunto Q: P ∩ Q.
lembrete : Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras, Ou seja, a conjunção ”p ∧ q” é verdadeira somente quando p é verdadeira e q é verdadeira também. Por isso dizemos que a conjunção exige a simultaneidade de condições.
3- Disjunção (∨ ) : Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, P e Q, através de um diagrama, a conjunção ”p ∨ q” corresponderá à união conjunto P com o conjunto Q : P ∪ Q.
lembrete : Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas. Ou seja, a disjunção “p ∨ q” é falsa somente quando p é falsa e q é falsa também. Mas se p for verdadeira ou se q for verdadeira ou mesmo se ambas, p e q, forem verdadeiras, então a disjunção será verdadeira. Por isso dizemos que, ao contrário da conjunção, a disjunção não necessita da simultaneidade de condições para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira.
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4 - Implicação (→) : Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, P e Q, através de um diagrama, a conjunção ”p →q” corresponderá à relação em que P esta contido em Q : P ⊂ Q.
lembrete : Uma implicação “Se p então q” é falsa somente quando a condição p é verdadeira e a conclusão q é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa.
5 – bi-Implicação (↔) : Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, P e Q, através de um diagrama, a conjunção ”p ↔ q” corresponderá à relação em que P é igual a Q, ou seja todo P é Q e todo Q é P : P = Q.
lembrete : A proposição bicondicional “p se e somente se q” é verdadeira somente quando p e q têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando p e q têm valores lógicos contrários.
DEFINIÇÕES FINAIS
1- Tautologia : Uma proposição composta formada pelas proposições p,q,r, ... é uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p,q,r, ... que a compõem.
Exemplo: A proposição “Se (p e q) então (p ou q)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
A B A e B A ou B (A e B) →(A ou B)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
2- Contradição :Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.
Exemplo:
A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
A ~A A ↔ ~A
V F F
F V F
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O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos.
Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que:
a negação de uma tautologia é sempre uma contradição enquanto a negação de uma contradição é sempre uma tautologia.
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Aula.11
Exercícios de Fixação
01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
a) ~q
b) p ^ q
c) p v q
d) p→ q
e) p→ (~q)
02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano.
b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.
c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês.
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.
03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então:
a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q;
b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q;
c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa;
d) p → q é falsa, qualquer que seja q
e) n.d.a.
04. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira:
a) (2 = 3) → (2 . 3 = 5)
b) (2 = 2) → (2 . 3 = 5)
c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5)
d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5)
e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2))
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05. (UGF) A negação de x > -2 é:
a) x > 2
b) x #-2
c) x < -2
d) x < 2
e) x #2
06. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é:
a) nenhum gato é pardo;
b) existe gato pardo;
c) existe gato não pardo;
d) existe um e um só gato pardo;
e) nenhum gato não é pardo.
07. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é:
a) o gato não mia e o rato não chia;
b) o gato mia ou o rato chia;
c) o gato não mia ou o rato não chia;
d) o gato e o rato não chiam nem mia;
e) o gato chia e o rato mia.
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Aula.12
08- Se num campeonato de futebol é verdade que “quem não faz, leva”, ou seja, time que não marca gol numa partida sofre ao menos um gol nessa mesma partida, então:
a) em todos os jogos os dois times marcam gols
b) nenhum jogo termina empatado
c) o vencedor sempre faz um gol a mais que o vencido
d) nenhum jogo termina 0 x 0, ou seja, sem gols
e) resultados como 1 x 0, 2 x 0 ou 3 x 0 não são possíveis
09- Se “cada macaco fica no seu galho”, então:
a) tem mais macaco do que galho b) pode haver galho sem macaco
c) dois macacos dividem um galho d) cada macaco fica em dois galhos
e) dois galhos dividem um macaco
10 – (FGV – 2010) Certo dia, três amigos fizeram, cada um deles, uma afirmação:
Aluísio: – Hoje não é terça-feira.
Benedito: – Ontem foi domingo.
Camilo: – Amanhã será quarta-feira.
Sabe-se que um deles mentiu e que os outros dois falaram a verdade. Assinale a alternativa que indique corretamente o dia em que eles fizeram essas afirmações.
(A) sábado. (B) domingo. (C) segunda-feira.
(D) terça-feira. (E) quarta-feira.
11(FGV-2010)Considere a sentença: “Se tenho saúde então sou feliz".
Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é:
(A) Se não tenho saúde então não sou feliz. (B) Se sou feliz então tenho saúde.
(C) Tenho saúde e não sou feliz. (D) Tenho saúde e sou feliz.
(E) Não tenho saúde ou sou feliz.
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12 (FGV-2010) A negação lógica da sentença “Se não há higiene então não há saúde” é:
(A) Se há higiene então há saúde.
(B) Não há higiene e há saúde.
(C) Há higiene e não há saúde.
(D) Não há higiene ou não há saúde.
(E) Se há saúde então há higiene.
13(FGV – 2010) Considere como verdadeiras as seguintes afirmativas:
I. todo A também é B.
II. pelo menos um A também é C.
III. algum C não é B.
Pode-se deduzir que:
(A) todo A também é C.
(B) algum B também é C.
(C) todo C também é B.
(D) todo B também é C.
(E) nenhum C também é B.
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Aula.13
14(FGV – 2010) Se A não é AZUL então B não é AMARELO. Se B não é AMARELO, então C é VERDE. SE A é AZUL , então C não é VERDE. Logo tem-se obrigatoriamente que :
(A) A é AZUL.
(B) B é AMARELO.
(C) C é VERDE.
(D) A não é AZUL.
(E) B não é AMARELO.
15 (FGV – 2011) Se Huxley briga com Samuel, então Samuel briga com Darwin. Se Samuel briga com Darwin, então Darwin vai ao bar. Se Darwin vai ao bar, então Wallace briga com Darwin. Ora, Wallace não briga com Darwin. Logo,
(A) Darwin não vai ao bar e Samuel briga com Darwin.
(B) Darwin vai ao bar e Samuel briga com Darwin.
(C) Samuel não briga com Darwin e Huxley não briga com Samuel.
(D) Samuel briga com Darwin e Huxley briga com Samuel.
(E) Samuel não briga com Darwin e Huxley briga com Samuel.
16(ESAF – 2011) Dizer que não é verdade a seguinte sentença “Carlos é rico e Pedro é inteligente” é equivalente a dizer que
(A) Carlos não é rico e Pedro não é inteligente.
(B) Carlos não é rico ou Pedro não é inteligente.
(C) Carlos é rico ou Pedro não é inteligente.
(D) se Carlos não é rico, então Pedro é inteligente.
(E) se Carlos não é rico, então Pedro não é inteligente.
17(ESAF – 2011) Sendo p a proposição: “João é médico” e q a proposição:” José é engenheiro” então a proposição pvq corresponde a
(A) João é médico ou José é engenheiro.
(B) João é médico e José é engenheiro.
(C) João não é médico e José é engenheiro.
(D) João é médico ou José não é engenheiro.
(E) João não é médico ou João não é engenheiro.
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18 (ESAF – 2011) A negação de o cachorro late e o gato mia é
(A) o cachorro não late e o gato não mia.
(B) o cachorro late ou o gato mia.
(C) o cachorro não late ou o gato não mia.
(D) o cachorro e o gato não latem e nem miam.
(E) o cachorro mia e o gato late.
19 (ESAF-2005) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:
1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?
O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente:
a) Não, sim, não
b) Não, não, sim
c) Sim, sim, sim
d) Não, sim, sim
e) Sim, não, sim
20 (ESAF – 2005) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente:
a) Culpado, culpado, culpado.
b) Inocente, culpado, culpado.
c) Inocente, culpado, inocente.
d) Inocente, inocente, culpado.
e) Culpado, culpado, inocente.
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Resolução:
01.
a) Paulo não é paulista.
b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca.
c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca.
d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca.
e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca.
02.
a) p ^ q
b) (~p) v p
c) q → p
d) (~p) ^ (~q)
03. B 04. A 05. C 06. C 07. C
08.D (Se é verdade que “quem não faz, leva”, tem-se que o time que não marca qualquer gol leva pelo menos algum gol, logo, nenhuma partida termina sem gols, ou seja, 0 x 0
09 – B ( Quando dizemos que cada macaco fica em seu galho, estamos afirmando que todo macaco fica em algum galho, Não podemos dizer necessariamente que todo galho terá algum macaco pendurado. Logo, pode haver algum galho que fique sem macaco)
10 – C 11 – E 12 – B 13 – B 14 – B 15 – C 16 – B 17 – A 18 – C 19 – D 20 - B
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Aula.14
VERDADES E MENTIRAS
IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA: Algumas vezes, na solução de problemas de Lógica, ou mais especificamente : de Raciocínio Lógico, vamos encontrar problemas onde não se encontram somente sentenças declarativas afirmativas ou ainda sobre as quais não se pode afirmar se são sentenças verdadeiras ou falsas, de modo que não será possível usar as técnicas do cálculo proposicional nem mesmo da teoria de conjuntos para resolver esse tipo de problema.
Uma classe específica desse tipo de problema, é conhecida como problema de verdades e mentiras, cuja solução baseia-se mais numa organização das informações do que qualquer técnica específica da lógica matemática.
Veremos que nesse tipo de solução devemos organizar as informações de modo a poder concluir algo que já nos dê uma informação relevante sobre o conjuntos de verdades e mentiras proposto.
Exemplo 1 : (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: "Sou inocente"
Celso: "Edu é o culpado"
Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a verdade"
Tarso: "Celso mentiu"
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é:
a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso
Armando: "Sou inocente” Celso: "Edu é o culpado“ Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a verdade” Tarso: "Celso mentiu“
Do enunciado temos também : Só 1 mente e Só 1 é culpado
1ª Hipótese : Armando mentiu.
2ª Hipótese : Celso mentiu.
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Exemplo 2 : (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:
– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.
– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.
– “Foi a Mara”, disse Manuel.
– “O Mário está mentindo”, disse Mara.
– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.
Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:
a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria
-“Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.
Do enunciado temos também : Só 1 mente e Só 1 entrou sem pagar
1ª Hipótese : Marcos mentiu.
1ª Hipótese : Mario mentiu.
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Aula.15
Exemplo 3 (ESAF) Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações:
Nestor: "Marcos é casado com Teresa"
Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina"
Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra"
Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:
a) Sandra, Teresa, Regina
b) Sandra, Regina, Teresa
c) Regina, Sandra, Teresa
d) Teresa, Regina, Sandra
e) Teresa, Sandra, Regina
Nestor: "Marcos é casado com Teresa” -Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina” - Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra“
Do enunciado temos também : 1- marido de Sandra mentiu; 2- o marido de Teresa disse a verdade
1ª Hipótese : Nestor está falando a verdade.
1ª Hipótese : Nestor mentiu.
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Exemplo 4 - Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos da mesma cor. Nem o vestido, nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo:
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto
b) o vestido de Júlia é branco e os seus sapatos são pretos
c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos
d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco
e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis
- somente Ana está com vestido e sapatos da mesma cor. - Nem o vestido, nem os sapatos de Júlia são brancos. -Marisa está com sapatos azuis.
Do enunciado temos também : 1- cada vestido e cada sapato é de uma cor(preto, branco e azul)
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Exemplo 5 - Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nessa ordem , Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou o seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis e a terceira em São Paulo. Márcia realizou o seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo nem fez Medicina. Assim os cursos e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são pela ordem :
a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis e Biologia em São Paulo
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis e Medicina em São Paulo
c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis e Psicologia em São Paulo
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo e Psicologia em Florianópolis
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo e Psicologia em Florianópolis
- Márcia realizou o seu curso em Belo Horizonte. - Priscila cursou psicologia. - Berenice não realizou seu curso em São Paulo nem fez Medicina.
Do enunciado temos também : 1- cada uma estudou num lugar e um curso diferente.
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Aula.16 - Fração, Razão e Proporção
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro .
Alguns conceitos primitivos
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.
Uma pizza inteira Quatro pedaços de pizza
1 4 x 1/4
Qual o significado de uma fração?
Uma fração significa dividir algo em partes iguais. Assim:
indica a : b , sendo a e b números naturais e b diferente de 0.
a representa o numerador e b, o denominador.
Podemos também encontrar a denominação de Antecedente e Consequente, para os numeradores e denominadores respectivamente.
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Leitura de frações:
Metade
Um terço
Dois quartos
Três quintos
Um sexto
Quatro sétimos
Sete oitavos
Dois nonos
Um décimo
Dois onze avos
Cinco doze avos
... ...
Um centésimo
Um milésimo
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Frações Equivalentes
Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo, como o próprio nome já diz, são equivalentes.
Simplificação de Frações
Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo número inteiro. Observem comparando com os quadradinhos acima.
a)
b)
Outros exemplos:
a)
b) Não é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível.
Tipos de Fração
- Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o denominador.
Ex: ( 7<9 )
- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou igual ao denominador.
Exs: ,
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Numa fração imprópria temos o seguinte:
Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, e sobram 5 sétimos. Vejam que 7x1+5=12
Outros exemplos:
a)
b)
Mínimo Múltiplo Comum – MMC
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum (MMC) o menor dos seus múltiplos que é comum a todos eles, com exceção do número zero, pois este é menor dos números naturais e é múltiplo de todos eles.
Os múltiplos de um número natural são todos aqueles que divididos por este número têm zero como o resto da divisão. Por exemplo, 0, 6 e 12 são todos múltiplos de 6, pois qualquer um deles pode ser dividido por 6 em uma divisão exata. Neste caso o quociente da divisão seria respectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os múltiplos de um número natural são o resultado do produto deste número por um outro número natural.
Já que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos.
Múltiplos de um Número Natural e o seu MMC
Tomemos por exemplo os números naturais 6, 8 e 12. Seus múltiplos são respectivamente:
{ 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... }
{ 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... }
{ 0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }
Podemos notar que com exceção do número 0, o número 24 é o menor dos múltiplos comum a todos eles.
Temos então que:
MMC(6, 8, 12) = 24
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Como descobrir o MMC de um conjunto de números?
Um prático método para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a decomposição em fatores primos.
Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.
Da fatoração destes três números temos:
6 = 2 . 3
8 = 23
12 = 22 . 3
O MMC(6, 8, 12) é o produto dos fatores comuns e não comuns, com os maiores expoentes.
O fator 2 é comum a todos eles, mas tomemos o 23, pois é o que possui o maior expoente.
O fator 3 não é comum ao número 8, mas independente disto também deve ser considerado e como nos dois casos onde ele é múltiplo, o expoente é 1, iremos considerar somente o 3 mesmo.
Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 6, quanto para o números 12, mas o consideramos apenas uma vez.
Logo:
MMC(6, 8, 12) = 23 . 3 = 24
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Aula.17
MÁXIMO DIVISOR COMUM
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se máximo divisor comum (MDC) o maior número que é divisor de todos eles.
Entenda por divisor, um número natural não nulo, que ao dividir um outro número natural, produz uma divisão com resto igual a zero, isto é, produz uma divisão exata.
Com este sentido, o conjunto dos números formados pelos divisores de um número natural qualquer é um conjunto finito.
Caso o número 1 seja o único divisor comum a um conjunto de números naturais, dizemos que os números deste conjunto são primos entre si.
Divisores de um Número Natural e o seu MDC
Analisemos os números naturais 108, 135 e 63. Seus divisores são respectivamente:
{ 1, 3, 4, 9, 12, 27, 36, 108 }
{ 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 }
{ 1, 3, 7, 9, 21, 63 }
De todos os divisores que cada um dos números possui, o número 9 é o maior deles que é comum a todos os três.
Temos então que:
MDC(108, 135, 63) = 9
Como descobrir o MDC de um conjunto de números?
Um método prático para se determinar o MDC de um grupo de números naturais é a fatoração.
Para podermos comparar o resultado obtido pelo método acima e o obtido pela fatoração, vamos utilizar de novo os números 108, 135 e 63 como exemplo.
Da fatoração deles nós temos que:
108 = 33 . 4
135 = 33 . 5
63 = 32 . 7
O MDC(108, 135, 63) é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.
No caso apenas o fator 3 é comum a todos eles, mas tomemos o 32, pois é o que possui o menor expoente.
Logo:
MDC(108, 135, 63) = 32 = 9
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Calculando o MDC entre dois números pelo método das divisões sucessivas
Este método consiste em se dividir o maior número pelo menor.Se a divisão for exata, então o número menor será o MDC entre os dois números. Se não for, então o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passará a ser o novo divisor.
Se desta vez a divisão for exata, então o divisor atual será o MDC, se não for, repete-se o processo, o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passa a ser o novo divisor e assim vai até que a divisão seja exata, neste momento o divisor atual será o máximo divisor comum entre os dois números.
Para a exemplificar vamos utilizar os números naturais 80 e 288:
Dividindo 288, que é o maior deles, por 88, teremos 48 como resto da divisão, então devemos continuar o processo.
Agora dividiremos 80 pelo resto 48 e como novo resto iremos obter 32, como a divisão ainda não foi exata, continuamos o processo.
Dividiremos então 48 por 32, cujo resto é 16, o que nos obriga a continuar o processo.
Desta vez dividiremos 32 por 16. Agora a divisão é exata, então o MDC(80, 288) = 16.
Note que por este método só é possível o cálculo do MDC entre dois números. Se você precisar calcular o máximo divisor comum dentre três ou mais números, o ideal é apurar o MDC entre os dois menores e depois ir calculando o máximo divisor entre o MDC atual e o próximo número na ordem ascendente até terminar, ou até que encontre um MDC igual a 1. Por exemplo, o MDC(24, 80, 242) deve ser calculado assim:
Primeiro calcule MDC(24, 80) que é igual a 8, finalmente calcule MDC(8, 242) que é igual a 2.
Para melhor fixação destes conceitos, faça os cálculos por este método e confira o resultado.
Exemplos de MDC
Qual é o MDC(15, 75, 105)?
Fatorando os três números temos:
15 = 3 . 5
75 = 3 . 52
105 = 3 .5 . 7
Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 15, quanto para o número 75 e para o 105, mas o consideramos uma única vez. De forma análoga agimos em relação ao fator 5.
MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15
Portanto:
O MDC(15, 75, 105) é igual 15
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Qual é o MDC(100, 150, 200, 250)?
Da Fatoração dos quatro números temos:
100 = 22 . 52
150 = 2 .3 . 52
200 = 23 . 52
250 = 2 . 53
Os fatores 2 e 5 são comuns aos quatros números. O menor expoente do 2 é 1 e do 5 é 2. Assim:
MDC(100, 150, 200, 250) = 2 . 52 = 50
Logo:
O MDC(100, 150, 200, 250) é igual a 50
Qual é o MDC(25, 16)?
A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:
25 = 52
16 = 24
Não há fatores comuns, já que 25 e 16 são primos entre si, então:
MDC(25, 16) = 1
Portanto:
O MDC(25, 16) é o número 1.
Propriedade do MMC e do MDC
Sejam a e b dois ou mais números naturais não nulos temos que MMC(a, b) . MDC(a, b) = a . b.
Observe que esta propriedade e válida apenas para o MMC/MDC entre exatamente dois números, para três números ou mais esta propriedade não se verifica.
Exemplos de MMC
Qual é o MMC(15, 25, 40)?
Fatorando os três números temos:
15 = 3 . 5
25 = 52
40 = 23 . 5
Para uma melhor identificação, os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes foram marcados em vermelho.
45
MMC(15, 25, 40) = 23 . 3 . 52 = 600
Portanto:
O MMC(15, 25, 40) é igual 600
Qual é o MMC(250, 225, 294, 245)?
Da Fatoração dos quatro números temos:
250 = 2 .53
225 = 32 . 52
294 = 2 .3 .72
245 = 5 . 72
MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 32 .53 . 72 = 110250
Logo:
O MMC(250, 225, 294, 245) é igual a 110250
Qual é o MMC(27, 81)?
A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:
27 = 33
81 = 34
MMC(27, 81) = 34 = 81
Portanto:
O MMC(27, 81) é o próprio número 81.
Se o MDC(27, 72) = 9, qual é o MMC(27, 72)?
Segundo a propriedade do MMC e do MDC temos que :
Logo:
O MMC(27, 72) é igual a 216.
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Aula.18
OPERAÇÕES COM FRAÇÃO
Neste módulo iremos abordar a realização das quatro operações aritméticas fundamentais com números fracionários.
Iremos analisar cada uma das operações aritméticas separadamente para que possamos observar as características individuais de cada uma delas.
Adição
A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.
Vejamos o seguinte exemplo:
Podemos observar que toas elas possuem o denominador 7. Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como terá o mesmo denominador 7
Vejamos agora este outro exemplo:
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores.
Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador.
O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
Será o MMC(3, 5, 13):
Como sabemos, o MMC(3, 5, 13) = 195. Logo todas as frações terão o denominador comum 195.
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O novo numerador de cada uma delas será apurado, simplesmente dividindo-se 195 pelo seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original:
Para 1/3 temos que: 195 : 3 . 1 = 65, logo: 1/3 = 65/195
Para 2/5 temos que: 195 : 5 . 2 = 78, logo: 2/5 = 78/195
Para 3/13 temos que: 195 : 13 . 3 = 45, logo: 3/13 = 45/195
Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contendo o denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo:
Subtração
A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as frações contenham um denominador comum. Quando as frações possuírem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se este denominador comum.
Vejamos o exemplo:
Observamos que todas as frações possuem o denominador 9. Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como irá manter o denominador 9:
Observemos este outro exemplo:
Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos a apurar o MMC(9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador comum.
Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum.
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Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador:
Para 8/9 temos que: 63 : 9 . 8 = 56, logo: 8/9 = 56/63
Para 1/3 temos que: 63 : 3 . 1 = 21, logo: 1/3 = 21/63
Para 2/7 temos que: 63 : 7 . 2 = 18, logo: 2/7 = 18/63
Finalmente podemos realizar a subtração:
Multiplicação
Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais simples das operações aritméticas que as envolvem. Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores.
Vejamos o exemplo abaixo:
Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou não, iremos realizar a multiplicação conforme mostrado abaixo:
A multiplicação de frações mistas deve ser precedida da conversão das mesmas em frações impróprias:
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Divisão
A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações.
Vejamos como realizar a divisão abaixo:
Realizando-se a inversão das divisoras e mudando-se de divisão para multiplicação teremos:
Realizando-se a multiplicação teremos:
A divisão de frações mistas segue o mesmo principio, no entanto devemos primeiramente convertê-las em frações impróprias:
Múltiplas Operações
Assim como nas operações aritméticas com números naturais, nas operações aritméticas com frações, a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração, por isto em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar as operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração.
Vejamos a expressão a seguir:
A sequência para a sua resolução é a seguinte:
Primeiramente executamos a multiplicação
Em seguida executamos a divisão, invertendo a fração e transformando a divisão em uma multiplicação
E por fim a soma e a subtração
Finalmente obtemos o resultado da expressão
50
Aula.19
Dízimas Periódicas
Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:
(período: 5) (período: 3) (período: 12)
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.
Período: 2 Parte não periódica: 0
Período: 4 Período não periódica: 15
Período: 23 Parte não periódica: 1
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.
Observações:
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
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Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
Dízima Composta :
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde
n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
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Aula.20
Exercícios
Simplificando a Expressão :
obtém-se :
a) 1,8. b) 1,75. c) 1,5. d) 1,25. e) 1,2.
(CESPE-Correios)Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 5/8 foram entregues pela manhã, 1/5 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a
a) 98.
b) 112.
c) 26.
d) 66.
e) 82.
(CESPE – Correios)Em determinado dia, todas as correspondências recebidas na agência dos Correios da cidade Alfa destinavam-se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi destinada metade das correspondências recebidas na agência menos 30 correspondências; ao bairro Y foi destinada a terça parte das correspondências restantes, isto é, depois de retiradas as do bairro X, e mais 70 correspondências; o bairro Z recebeu 180 correspondências.O total de correspondências recebidas, nesse dia, na agência dos Correios da cidade Alfa foi
a) superior a 680 e inferior a 700.
b) superior a 700 e inferior a 720.
c) superior a 720.
d) inferior a 660.
e) superior a 660 e inferior a 680.
53
Aula.21
(VUNESP-TJ) Considere dois níveis salariais apontados em uma pesquisa de mercado para um mesmo cargo, o mínimo (piso) e o máximo (teto).Sabe-se que o dobro do menor somado a 1/5 do maior é igual a R$ 3.700,00. Se a diferença entre o nível máximo e o nível mínimo é igual a R$ 3.100,00, então o teto salarial para esse cargo é de
a) R$ 4.800,00.
b) R$ 4.500,00.
c) R$ 3.800,00.
d) R$ 3.600,00.
e) R$ 3.400,00.
(FCC-TRT) Dispõe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336 unidades, e outro, com 432 unidades. Um técnico judiciário foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo as seguintes instruções:
1. todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins;
2. cada pacote deve ter um único tipo de boletim.
Nessas condições, o menor número de pacotes que ele poderá obter é
a) 12
b) 16
c) 18
d) 24
e) 32
(FCC – TRT) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em
a) 9 de dezembro de 2004.
b) 10 de dezembro de 2004.
c) 8 de janeiro de 2005.
d) 9 de janeiro de 2005.
e) 10 de janeiro de 2005.
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Aula.22
Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
A
B =
C
D Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma
6:3::8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
A
B =
C
D os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A · D = B · C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
3
4 =
6
8 Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
x
3 =
4
6 Para obter X=2.
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Razões e Proporções de Segmentos
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.
A________B, C ______________ D
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.
m(AB)
m(CD) =
2
4 Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.
Polígonos Semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :
ABC ~ DEF
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Figuras Semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos
observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2
Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:
ABC ~ DEF
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.
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Aplicações práticas das razões
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.
1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
vmédia = distância percorrida / tempo gasto
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h
o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.
2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.
escala = comprimento no desenho / comprimento real
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6 O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
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3 Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:
dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2
Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.
4 Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.
Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.
Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:
Substância Densidade [g/cm³]
madeira 0,5
gasolina 0,7
álcool 0,8
alumínio 2,7
ferro 7,8
mercúrio 13,6
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5 Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
Pi = 3,1415926535
Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:
C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
significando que
C = Pi . D
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.
Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições:
Fração é uma divisão entre dois números
Razão é uma comparação entre duas grandezas
Proporção é a igualdade entre duas razões
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Aula.23 - Divisão de um Número em Partes Proporcionais
Grandezas Proporcionais
O que estudaremos são grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais, embora existam casos em que essas relações não se observem, e que portanto, não farão parte de nosso estudo.
1. Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá com a outra.
Observação é necessário que satisfaça a propriedade destacada.
Exemplo: Se numa receita de pudim de micro-ondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita.
Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de pães que peça:
Preço R$ 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00
Nº de pães 1 2 5 10 20 50
Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço mais pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante.
2. Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra.
Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada.
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Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem.
Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma distância de 600km.
Velocidade media(km/h) 60 100 120 150 200 300
Tempo de viagem(h) 10 6 5 4 3 2
Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante.
Divisão Proporcional
Uma GRANDEZA é todo valor que pode ser relacionado a um outro certo valor de tal forma que, quando um varia, como consequência direta o outro valor também varia.
Desta forma, podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma de divisão no qual determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação.
Divisão Proporcional
A divisão proporcional pode ser:
• Direta • Inversa • Direta e Inversa ao mesmo tempo.
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Divisão Inversamente Proporcional
Para decompor um determinado número N em duas partes, sejam X e Y, que sejam inversamente proporcionais a X e Y, deve-se decompor este número N em duas partes X e Y diretamente proporcionais a 1/x e 1/y, que formam, desta forma, os números inversos.
Em princípio, a divisão proporcional inversa não existe, pois neste caso, basta inverter os termos da razão para transformá-la em uma divisão direta. Assim, por exemplo, para dividir em partes inversamente proporcionais a 1/4 e 2/3 equivale a dividir em partes diretamente proporcionais a 4 e 3/2.
Exemplos para fixação de definição
a) Dividir o número 50 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
Solução:
b) Dividir o número 441 em partes inversamente proporcionais a 3,5 e 6.
63
Aula.24
Regra da Sociedade.
Quando temos um número sendo divido em partes diretamente proporcionais a dois conjuntos de números, o resultado será o mesmo que dividir esse número em partes proporcionais ao produto desses números.
Lembrando que se a divisão for diretamente proporcional a um conjunto de números e inversamente ao outro conjunto, o resultado será o mesmo que dividir esse número em partes diretamente proporcionais ao produto do primeiro conjunto pelo inverso do segundo.
Exemplo : Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais aos números 8 e 6 e inversamente proporcionais aos números 2 e 3.
Exercícios
1)Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
2)Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:
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3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?
4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml.Uma professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:
a) 12,0
b) 15,2
c) 16,0
d) 20,4
e) 24,0
5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o disco dá :
a) 3 voltas
b) 5 voltas
c) 6 voltas
d) 9 voltas
e) 12 voltas
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6). Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.
*7). Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é: a)90 b)96 c)180 d)72 e)-124
*Está com erro nas respostas
66
Aula.25
8). (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:
a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
e) x = 8 e y = 12
9). (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:
a)1,2 e 3
b)1,2 e 5
c)1,3 e 4
d)1,3 e 6
e)1,5 e12
10. (MACK) Dividindo-se 100 em partes diretamente proporcionais a 2 e 4 e inversamente proporcionais a ½ e 2/3 a menor parte é:
a) 35
b) 40
c) 60
d) 50
e) 28
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11. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:
a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00
b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00
d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00
12(ESAF-2005)- Um indivíduo fazendo cálculos chegou à dízima 5,48383....
Obtenha o número racional p/q que representa esta dízima.
a) Tal número não existe porque esta dízima corresponde a um número irracional.
b) p=5483, q=990.
c) p=5483-54=5429, q=999.
d) p=5483-54=5429, q=900.
e) p=5483-54=5429, q=990.
13(ESAF- 2003) Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de milho em grão em uma área plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade média do município em termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.
a) 50
b) 60
c) 72
d) 90
e) 100
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Aula.26 - Regra de Três
Regra de Três
Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplica-las na resolução de problemas.
Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos.
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples
Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12m do mesmo tecido?
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago
Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas.
Macete : X será igual a razão onde no denominador estará o oposto ao X e no numerador o produto dos outros valores.
Assim teríamos :
X =( 12 x 156 )/8 = 234,00
A quantia a ser paga é de R$234,00.
69
b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas.
Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa.
Resolução:
Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.
Macete : X será igual a razão onde no denominador estará o valor da mesma linha de X e no numerador o produto dos outros valores.
Assim teríamos :
X =(60 x 40 )/80 = 3
O tempo a ser gasto é 3 horas.
Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplo:
a)Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional
(seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões.
Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
70
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Resolução:
Macete : Identificar as grandezas que são diretamente ou inversamente proporcionais ao valor procurado X , e X será obtido aplicando as mesmas regras anteriores. Ou seja no denominador o produto dos termos opostos a X para o caso das grandezas diretamente proporcionais e os termos da mesma linha de X para as grandezas inversamente proporcionais e no numerador o produto dos outros valores.
Assim teríamos :
X =(20 x 125 x 8)/(160 x 5 ) = 25 caminhões.
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Aula.27
Exercícios sobre Regra de Três
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
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12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
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23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?
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34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?
35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?
36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?
b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?
37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?
38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?
39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?
40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?
41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 cm3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?
42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?
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43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?
45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?
47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?
50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?
51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?
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54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?
55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?
56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?
57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?
58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?
59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?
60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?
61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?
62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?
63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?
64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?
65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?
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66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?
69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?
70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?
71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?
72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?
74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
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77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias?
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?
82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?
83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:
a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50
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86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:
a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000
87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:
a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km
88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?
a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas
89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?
a) 10 dias. b) 12 dias . c) 14 dias. d) 18 dias
90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?
a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias
91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de Fórmula 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:
a) 2 min b) 2 min e 19 segundos
c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos
92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :
a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros
93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
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94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?
a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas
95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?
a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00 c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00
96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :
a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.
97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :
a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00. c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00
98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :
a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.
100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:
a) 8 dias b) 9 dias c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.
101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?
a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos
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102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos d) 5 gatos e) 6 gatos
103 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinquenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :
a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias
104 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :
a) triplicar o nº de operários
b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia
c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de operários
d) duplicar o nº de operários
e) duplicar o nº de operários e o número de horas trabalhadas por dia
105 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min b) 7h 44 min c) 7h 46 min d) 7h 48 min e) 7h 50 min
106 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:
a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias d) 45 dias e) 180 dias
107 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50
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Aula.28 - Progressões Aritméticas
Definição: Progressão" é tudo aquilo que progride, que vai para frente ou para traz, que evolui.
Como estamos falando de matemática, certamente nos concentraremos nos números.
Uma PROGRESSÃO é uma sucessão de números um após o outro (Ex. 1, 2,3, 3, 5, 9, 13...ou também, 0, 5, 21, -25, 20, 20, 7,...).
Ou seja, quando falamos simplesmente PROGRESSÃO, estamos nos referindo a alguns números colocados um após o outro sem, necessariamente, possuir uma lógica em sua evolução.
Exemplos :
1 - (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,………………..) é uma progressão constante infinita do número 1.
2- (1,2,3,4,5,6,,7,8 ………………………) é uma progressão numérica dos números Inteiros positivos.
3- (1, -5,7,-8, 12,-14) é uma progressão numérica que possui números positivos e negativos.
3- (1, 4,7, a, 21, 26,b, c, d) não é uma progressão numérica, pois contem elementos não numéricos. Assim, de forma geral, as progressões numéricas são formadas somente de números, e podem ser finitas ou Infinitas.
Serão Infinitas àquelas progressões que possuírem um numero infinito de termos.
Exemplo: (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 …….) O conjunto dos números Inteiros Positivos, é um conjunto Infinito, porque não tem fim, ou seja, não definimos o ultimo termo dessa progressão .
E serão Finitas, aquelas progressões que possuem um ultimo termo.
Exemplo: (1, 3, 5, 7,9) – Conjunto dos números Impares e Inteiros menores do que 10, cujo ultimo termo é o número 9. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS(PA)
Definição: Progressão aritmética é uma sucessão de números, um após o outro, que seguem um "ritmo definido".
Veja a progressão abaixo:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
Esta progressão segue um ritmo definido, mostrado na figura abaixo:
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Ou seja, temos um ritmo que é o de SOMAR DUAS UNIDADES a cada elemento que acrescentamos. Este é o ritmo que estamos falando, somar sempre o mesmo número a cada elemento acrescentado.
Como ela é uma progressão numérica que segue um "ritmo definido" de aumento em relação ao número anterior, ela pode ser definida como uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA CRESCENTE, pois note que sempre irá crescer.
Veja outro exemplo:
(15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 2, 0, -2, -4...)
Esta também pode ser classificada como uma PA, pois segue um ritmo definido. O qual, diferente da anterior, é de decréscimo. Por ser assim, ela é chamada de PROGRESSÃO ARITMÉTICA DECRESCENTE.
Nota : Só podemos chamar de PA se o ritmo que a sequencia seguir for de acréscimo ou de decréscimo e constante. Se tiver um ritmo diferente não será uma PA. Por exemplo, a sequencia (1, 2, 4, 8, ...) tem um ritmo, sempre dobrar o próximo elemento, mas não é uma PA, porque não segue um ritmo constante.
Exercícios:
1- Verificar se as progressões abaixo são PA, e quando for diga se é crescente ou decrescente:
(a) (100, 101, 109, 110, 119, 120...)
(b) (10, 20, 30, 40, 50, 60...)
(c) (-15, -10, -5, 0, 5, 10...)
(d) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...)
(e) (10, 6, 2, -2, -6...)
(f) (16, 25, 36, 43, 52, 61...)
RESPOSTAS:
(a) Não é uma PA, pois do primeiro para o segundo termo houve um acréscimo de 1 unidade, e do segundo para o terceiro houve um acréscimo de 8 unidades. Para ser PA devemos ter o acréscimo sempre constante.
(b) É uma PA, pois o ritmo se manteve constante do início ao fim. Sempre somando 10, ou seja, CRESCENTE.
(c) É uma PA, pois o ritmo se manteve constante do início ao fim. Sempre somando 5, ou seja, CRESCENTE.
(d) É uma PA, pois o ritmo se manteve constante do início ao fim. Sempre somando 1, ou seja, CRESCENTE
(e) É uma PA, pois o ritmo se manteve constante do início ao fim. Sempre subtraindo 4, ou seja DECRESCENTE
(f) NÃO É PA, pois não houve um ritmo constante.
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1- Termo Geral de uma PA
Para um melhor estudo de PA's, vamos agora usar uma nomenclatura mais apropriada.
Como exemplo, vamos usar a progressão dada anteriormente: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e assim por diante.
Genericamente,, cada termo de uma PA tem seu nome: o primeiro é chamado, normalmente, de a1, o segundo de a2, o terceiro de a3 e assim sucessivamente. Então, nesta PA:
Quando temos um termo que não sabemos sua posição, chamamos genericamente de an, onde "n" é a posição ocupada pelo n-ésimo termo em questão.
Este é um termo geral, pois pode ser qualquer um.
Voltando ao exemplo.
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
Como é uma PA, segue um "ritmo definido" (ritmo este que é a soma de 2 unidades a cada elemento que acrescentamos). Este ritmo também tem um nome: se chama "RAZÃO" e é representada por "r" minúsculo.
Portanto, o segundo termo será a soma do primeiro mais a razão; o terceiro será a soma do segundo mais a razão e assim sucessivamente.
Vemos no nosso exemplo que cada próximo termo da progressão é acrescido de 2 unidades, portanto r = 2.
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Repetindo o Quadro 3, teremos :
Observe então que no terceiro termo temos 2 vezes a razão, no quarto termo temos 3 vezes a razão e etc.
A relação entre tais valores é que o número de vezes que a razão irá aparecer é uma unidade a menos que a ordem do elemento.
Portanto, se quisermos achar o termo de ordem "n" (termo genérico), iremos somar o a1 com (n-1) vezes a razão.
Assim, podemos inferir uma "fórmula" para calcular qualquer termo de uma P.A. e dessa forma teremos :
an = a1 + (n - 1).r
Esta então é a fórmula conhecida como termo geral de uma PA, que possibilita que calculemos qualquer termo de uma PA, conhecidos o primeiro termo e a razão desta PA.
Obs : Quando temos uma PA cuja razão seja ZERO, ou seja r=0, todos os seus termos serão constantes , e chamamos esta PA de Estacionária.
Exercícios de Revisão :
1 - Qual a razão em cada uma das progressões abaixo?
(A) ( 1, 2, 3, 4, ... )
(B) ( 10, 17, 24, ... )
(C) ( -5, -4, -3, ...)
(D) ( 10, 1, -8, ...)
(E) ( -5, -10, -15, ...)
(F) ( 1/2, 1, 3/2, ...)
(G) ( x, x+2, x+4, ...)
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Aula 29
2- Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
3- (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
4- O valor de x para que a sequencia (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
2- Soma dos Termos de uma PA
Em algumas situações da e aplicação da PA , pode ser útil saber-se qual seria a soma dos n primeiros termos de uma PA, assim vamos agora procurar uma expressão para essa soma.
Estas somas são simbolizadas por S25 (soma dos 25 primeiros termos), por S200 (soma dos 200 primeiros termos) ou por Sn (soma dos "n" primeiros termos).
Vamos ver um exemplo:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)
Esta progressão possui 10 termos, com a1=1, a10=19 e r=2. Se quiséssemos saber a soma dos 10 primeiros termos desta PA, poderíamos calcular manualmente, ou seja, 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100. Mas, e se fosse pedido a soma dos 145 primeiros termos?
Manualmente iria demorar muito.
Vamos ver se existe uma maneira mais prática:
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Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5x20=100 (mesmo resultado).
Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?
Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!
E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!
A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos: S100=(a1+a100).50
Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com "n" termos? A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes.
Ou seja, podemos escrever:
Vamos agora fazer alguns exercícios para um melhor entendimento dessa fórmula :
1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
- Informações do problema:
a1=100 a30=187 n=30 S30=?
- Aplicando a fórmula da soma, temos:
S30 = (100+187) . 15
S30 = 4305
2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
- Informações do problema:
a1=21 r=7 S12=?
Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.
a12=a1+(12-1)7
a12=21+77
a12=98
Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:
S12=(a1+a12)6
S12=(21+98)6
S12=119*6
S12= 714
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Aula 30
3 - Interpolação de Meios Aritméticos
Vamos agora, estudar uma aplicação específica das PAas, que terão muita serventia no estudo da matemática Financeira.
Primeiramente devemos saber o que significa o verbo "interpolar". Significa "colocar entre".
E, "meios artméticos", significa "números que formam uma PA".
Assim, vamos enunciar o problema da Inerpolação Aritmética, para entendermos melhor esta questão.
1- Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão ?
Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:
Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos.
Então, as informações deste exercício são:
a1=5 e a12=38 r=?
Agora é só usar a fórmula do termo geral:
a12=a1+(12-1)r
38=5+11r
38-5=11r
33=11r
r=33/11
r=3
Ou seja, a razão dessa PA formada pela Interpolação de novos 10 termos será 3.
2- Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
Informações do problema:
a1=112 an=250 r=23
Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
Agora , cuidado, 7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
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Aula 31 - Progressões Geométricas
Progressões Geométricas
1 – Definição
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer sequência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3
2 - Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k
Exemplos:
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4 =16 e, portanto q = 2.
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.
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3 - Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.
P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2
4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .
Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
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5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50
93
Aula 32
6 – Exercícios resolvidos e propostos
6.1 - Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os três primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .
Solução:
Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq). Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819
94
6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:
A)1 B) 10 C) 100 D) -1 E) -10
Solução:
Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)
Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n) Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10
95
6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a:
A)1/x B) x C) 2x D) n.x E) 1978x
Solução:
Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...
O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e
razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x
6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28° b) 32° c) 36° d) 48° e) 50°
Solução:
Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D
96
6.5 - Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24.
Resposta: 3
6.6- Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 8.
6.7 - (UCS) O valor de x para que a sequencia seja uma PG é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
97
6.8 - Em uma PG o primeiro termo é , e o terceiro, . O valor do décimo termo é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
6.9 - (UFPA) Na PG de termos positivos , temos:
Então, é igual a:
(A) 21 (B) 49 (C) 53 (D) 63 (E) 70
6.10 - (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 11
98
Aula 33
Exercícios – Banca : Fundação Carlos Chagas 01- O ano de 2007 tem 365 dias. O primeiro dia de 2007 caiu em uma segunda-feira. Logo, neste ano, o dia de Natal cairá numa: a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sexta-feira Gab : B 02- No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia 1o de janeiro cairá numa segunda-feira será : (A) 2013 (B) 2014 (C) 2016 (D) 2018 (E) 2019 Gab : D 03- Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os habitantes desse planeta, é correto afirmar que (A) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves. (B) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves. (C) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves. (D) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves. (E) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves. Gab : D
99
Aula 34
04 - Numa pesquisa respondida por todos os funcionários de uma empresa, 75% declararam praticar exercícios físicos regularmente, 68% disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos e 17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos. Em relação ao total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos representam a) 43% b) 60% c) 68% d) 83% e) 100% Gab : B 05 - Em uma amostra de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo? a) 18 b) 15 c) 8 d) 0 e) 20 Gab : C
100
Aula 35
06- Para encher um tanque com água dispõe-se de duas torneiras I e II. Considere que, abrindo-se apenas I, o tanque estaria cheio após 12 minutos, enquanto que II, sozinha, levaria 15 minutos para enchê-lo. Assim sendo, se I e II fossem abertas simultaneamente, o tanque estaria cheio em: (A) 6 minutos e 10 segundos. (B) 6 minutos e 15 segundos. (C) 6 minutos e 25 segundos. (D) 6 minutos e 30 segundos. (E) 6 minutos e 40 segundos. Gab : E 07 - As torneiras A e B enchem um reservatório em 8 horas e 6 horas, respectivamente, e a válvula C esvazia-o em 12 horas. Estando o reservatório vazio e abrindo-se A, B e C simultaneamente, em quanto tempo o reservatório ficará cheio ? a) 4h 48 min b) 4h 40 min c) 4h 30 min d) 4h 20 min e) 4h 16 min Gab : A 08 - Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em : (A) 6 horas e 30 minutos. (B) 7 horas e 30 minutos. (C) 6 horas. (D) 7 horas. (E) 8 horas. Gab : B 09 - Três analistas judiciários – Aurélio, Benício e Custódio – foram incumbidos de implantar um sistema informatizado de processamento de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas. Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1h e 30 minutos para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para implantá-lo ? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Gab : C
101
10 - Um escritório dispõe de duas copiadoras A e B, tais que: operando sozinha, A é capaz de tirar n cópias de um texto em 8 horas de trabalho ininterrupto e B tem 80% da capacidade operacional de A. Essas máquinas foram acionadas simultaneamente num mesmo instante, a fim de tirar as n cópias de tal texto e, após funcionarem juntas e ininterruptamente por 4 horas, foram desligadas. É correto afirmar que, ao serem desligadas, (A) o trabalho estava concluído. (B) haviam sido tiradas 4/5 das n cópias. C) 20% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído. (D) haviam sido tiradas 3/8 das n cópias. (E) 10% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído. Gab : E
102
Aula 36
Exercícios – Banca : Fundação Carlos Chagas
11- O número 2,34545…, é equivalente a:
a) 23/55 b) 2345/990 c) 2322/990 d) 2321/990 e) 227/99
Gab : C
12- Em um dado de seis faces marcamos os números
Indicando por x o número obtido após o primeiro lançamento do dado, e por y o número
obtido após o segundo lançamento, o maior valor possível de será
a) 5 b) 4 c) 10/3 d) 7/3 e) 3/2
Gab : B
13- Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar?
a) 33 b) 48 c) 75 d) 99 e) 165
Gab : A
103
Aula 37
14- Certo dia um correntista fez três depósitos, de valores A, B e C reais, num total de R$ 3 660,00. Se de C subtrairmos B, obtemos R$ 305,00 e B corresponde a 3/5 de A. O menor desses três depósitos foi de:
(A) R$ 879,00 (B) R$ 915,00 (C) R$ 1.021,35 (D) R$ 1.220,00 (E) R$ 1.326,35
Gab : B
15. Um pai abriu uma conta-poupança para cada um de seus 3 filhos, André, Bruno e Caio, à época do nascimento de cada um, e, sempre que possível, depositava uma quantia nessas contas. Hoje, o saldo total dessas 3 contas é de R$ 53.100,00, sendo que Bruno tem 20 anos, André é mais novo 2 anos que Bruno e Caio é 3 anos mais velho que André. Se a quantia da poupança de cada irmão é diretamente proporcional à idade deles, a poupança de Caio tem a mais que a de André:
(A) R$ 16.200,00 (B) R$ 2.700,00 (C) R$ 18.900,00
(D) R$ 18.000,00 (E) R$ 900,00
Gab : B
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Aula 38
16. Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, o técnico de 30 anos recebeu :
(A) 2 micros a mais do que o de 24 anos. (B) 4 micros a menos do que o de 36 anos.
(C) 4 micros a menos do que o de 24 anos. (D) 6 micros a menos do que o de 36 anos.
(E) 9 micros a menos do que o de 24 anos.
Gab : E
17. Dois Supervisores de Linha Operacional devem passar algumas instruções a 82 funcionários de uma estação do Metrô. Para tal, eles decidiram dividir o total de funcionários entre si, em quantidades que são, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Metrô. Se um dos Supervisores tem 48 anos e trabalha há 20 anos no Metrô, enquanto que o outro, que tem 30 anos, lá trabalha há 8 anos, então o número de funcionários que deverá receber instruções do Supervisor mais idoso é: (A) 50 (B) 48 (C) 40 (D) 36 (E) 32 Gab : E
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Aula 39
Exercícios – Banca : Fundação Carlos Chagas
18 . Se 34 m de um tecido custaram R$ 136.000,00, quanto custarão 48 do mesmo tecido?
(A) R$ 192,000,00 (B) R$ 185.000,00 (C) R$ 176,000,00
(D) R$ 198,000,00 (E) R$ 174,000,00
Gab : A
19. Se 12 operários gastam 20 dias para fazer um muro, quantos dias gastarão 20 operários para fazer o mesmo muro?
(A) 12 dias (B) 15 dias (C) 20 dias (D) 13 dias (E) 14 dias
Gab : A
20. Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra fica pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que a dos primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
(A) 24 (B) 16 (C) 30 (D) 15 (E) 20
Gab : C
21. (FCC) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm, todas, a mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em:
(A) 8 horas e 40 minutos. (B) 8 horas e 20 minutos. (C) 7 horas e 45 minutos.
(D) 7 horas e 30 minutos. (E) 7 horas e 15 minutos.
Gab : D
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22 Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de arroz em 10 dias.
Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?
(A) o trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo.
(B) o trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo.
(C) o trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo
(D) as produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma.
(E) o trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo.
Gab : D
107
Aula 40
Porcentagem
22. (TRF – 5a REGIÃO- FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou 1/4 do número de páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser digitadas é:
(A) 20% (B) 25% (C) 45% (D) 50% (E) 60%
Gab : E
23. (FCC) Certo dia, do total de pessoas atendidas no período da tarde em quatro caixas de um banco, sabe-se que o
- caixa 1 atendeu a 30%,
- caixa 2 não atendeu a 79% e
- caixa 3 não atendeu a 75%
O número de pessoas atendidas pelo caixa 4 correspondeu a que porcentagem do total?
(A) 21% (B) 22% (C) 23% (D) 24% (E) 25%
Gab : D
24. Suponha que, em uma eleição, apenas dois candidatos concorressem ao cargo de governador. Se um deles obtivesse 48% do total de votos e o outro, 75% do número de votos recebidos pelo primeiro, então, do total de votos apurados nessa eleição, os votos não recebidos pelos candidatos corresponderiam a:
(A)16% (B) 18% (C) 20% (D) 24% (E) 26%
Gab : A
25. D. Maria cria gatos em seu sítio e ela tem somente gatos brancos e pretos. Sabe-se que:
60% dos gatos são brancos.
25% dos gatos machos são pretos.
70% dos gatos pretos são fêmeas.
Qual a porcentagem de fêmeas brancas nessa criação?
(A) 20% (B) 24% (C) 30% (D) 36% (E) 40%
Gab : B
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Aula 41
26. Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d’água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem.
a) 41% b) 35% c) 45% d) 49% e) 55%
Gab : A 27. Em toda a sua carreira, um tenista já disputou N partidas, tendo vencido 70% delas. Considere que esse tenista ainda vá disputar, antes de se aposentar, mais X partidas, e que vença todas elas. Para que o seu percentual de vitórias ao terminar sua carreira suba para 90%
X deverá ser igual a
(A) N. (B) 1,2 N. (C) 1,3 N. (D) 1,5 N. (E) 2 N.
Gab : E 28 Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale a aumentar o preço original em:
a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) 10%
Gab : B 29. Comparando as quantidades de processos arquivados por um técnico judiciário durante três meses consecutivos, observou-se que, a cada mês, a quantidade aumentara em 20% com relação ao mês anterior. Se no terceiro mês ele arquivou 72 processos, qual o total arquivado nos três meses?
(A) 182 (B) 186 (C) 192 (D) 196 (E) 198
Gab : A 30. O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB desse país, em 2008.
a) 1,25% b) 5% c) 4,58% d) 3,95% e) -5%
Gab : D
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