Download pdf - Apostila Completa de Raciocínio Lógico

Prof(s): Edgar Abreu e Z Moreira www.acasadoconcurseiro.com.br Pgina 1

DEFENSORIA PBLICA - RS 2012 RAC. LGICO MATEMTICO

http://www.acasadoconcurseiro.com.br/

PROFESSORES:

EDGAR ABREU e Z MOREIRA

RAC. LGICO MATEMTICO DPE/RS


Prezado Aluno:

Algumas informaes sobre este material de estudos:

Este apostila sem dvida a mais completa e atualizada do mercado,

certamente voc no ir encontrar um material de tamanha qualidade.

Este material foi elaborado com base no ultimo edital da Defensoria

Pblica, elaborado pela FCC em Outubro de 2012.

O responsvel pela elaborao desta apostila o professores Edgar

Abreu e o Prof. Z Moreira.

Esta apostila disponibilizada gratuitamente para download.

Caso este material seja til para voc, mande um e-mail para o

professor ou para o curso da Casa do Concurseiro, compartilhando a

sua felicidade.

Esta apostila pode ser utilizada para os concursos da Defensoria-RS,

tanto o cargo de tcnico judicirio quanto para o cargo de Analista

Judicirio, haja visto que o contedo o mesmo. Tambm pode ser

utilizada para o concurso de Tcnico e Analista do TRT-RJ 2012, pois

o edital tambm o mesmo.

Apostila de acordo com os editais publicados

no dia 15 de Outubro de 2012 (Def. Pblica-

RS) e 24 de Outubro (TRT-RJ)



A CASA DO CONCURSEIRO Estude com o curso que mais aprovou primeiros colocados nos ltimos

concursos.

TRE RJ (2012): Primeiro colocado

TRE PR (2012): Primeiro Colocado

INSS (2012): Primeiro Colocado (Gravata)

CEF 2012: Primeiro colocado nas Microrregies abaixo

1. So Paulo SP;

2. Porto Alegre RS;

3. Cruzeiro do Sul AC;

4. Aracaju SE;

5. Cascavel PR;

6. Patos PB;

7. Osasco - SP;

8. Uruau GO;

9. Jundia; Bacabal MA;

10. Ji-Paran RO;

11. Vitria - ES ;

12. Santarm PA;

13. Teresina PI;

14. Uruguaiana RS;

15. Itumbiara GO;

16. Maring PR;

17. Santo Antonio de Jesus BA;

18. Caxias do Sul RS;

19. Santo ngelo RS;

20. Picos PI;

21. Castanhal PA

Banco do Brasil 2011/2012: Primeiro colocado nas Microrregies

abaixo

1. Santo Amaro SP;

2. Varginha BA;

3. Bonito MS;

4. Juiz de Fora MG (PNE);

5. Irec Vitria da Conquista;

6. Jundia

7. So Paulo - SP;

8. Jequi BA;

9. Anpolis GO ;

10. Sete Lagoas MS;

11. Pouso Alegre MG;

12. Lins SP;

13. Paraso do Tocantins TO

14. Rio de Janeiro RJ;

15. Cabo Frio RJ;

16. Pelotas RS;

17. Novo Hamburgo RS;



CONTEDOS DE RAC. LGICO MATEMTICO SEGUNDO O EDITAL

FCC 2012 TCNICO E ANALISTA (DEF. PBLICA RS E TRT-RJ)

Raciocnio Lgico-Matemtico Matemtico: Matemtica: Conjuntos numricos:

racionais e reais - operaes, propriedades, problemas envolvendo as quatro

operaes nas formas fracionria e decimal. Conjuntos numricos complexos.

Nmeros e grandezas proporcionais. Razo e proporo. Diviso proporcional.

Regra de trs (simples e composta). Porcentagem. Juros simples e compostos.

Raciocnio Lgico-Matemtico: estrutura lgica de relaes arbitrrias entre pessoas,

lugares, objetos ou eventos fictcios; deduo de novas informaes das relaes

fornecidas e avaliao das condies usadas para estabelecer a estrutura daquelas

relaes. Compreenso e anlise da lgica de uma situao, utilizando as funes

intelectuais: raciocnio verbal, raciocnio matemtico, raciocnio sequencial,

orientao espacial e temporal, formao de conceitos, discriminao de elementos

QUANTIDADE DE QUESTES PREVISTAS: 05 (Defensoria Pblica RS Tcnico,

Analista e TRE-RJ)

MNIMO DE ACERTO: 2 questes (Apenas na prova para o Concurso da

Defensoria)



Sumrio

MDULO 1 INTRODUO A MATEMTICA BSICA ................................ 06

MDULO 2 MATEMTICA BSICA ............................................................ 14

MDULO 3 REGRA DE TRS ..................................................................... 32

MDULO 4 PROPORES .......................................................................... 39

MDULO 5 PORCENTAGEM ...................................................................... 49

MDULO 6 JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS ............................... 59

MDULO 7 LGICA SENTENCIAL ............................................................. 74

MDULO 8 OPERAES BSICAS EM LGICA ........................................ 82

MDULO 9 DIAGRAMAS LGICOS ........................................................... 86

CADERNO DE EXERCCIOS ................................................................ 98 QUESTES DE PORCENTAGEM .............................................................................................. 99 QUESTES DE RACIOCNIO LGICO ................................................................................... 112 QUESTES DE LGICA MATEMTICA .................................................................................. 118



Possibilidade boa

de cair na prova.

MDULO 1 INTRODUO A MATEMTICA BSICA

Iniciamos esse modulo tirando a primeira (de muitas) duvida do aluno:

Nossa primeira aula far um breve resumo do que estudaremos nos prximos encontros, dando-

lhes dicas e orientaes de banca de matemtica do concurso da Defensoria RS. Nas aulas de

matemtica veremos do mais simples ao mais complexo, iniciaremos na estaca zero e o cu o

limite (no precisamos exagerar, a aprovao basta n?). Boa aula e aproveitem o curso.

O que pode cair em raciocnio lgico?

Raciocnio lgico

Teoria

Tcnicas

Treino

Exemplo de questes de raciocnio lgico para treino.

Algumas seqncias lgicas conhecidas:

a) 1 2 4 7 11 16 _?___

b) 2 10 12 16 17 18 19 __?___

c)

120

0

12

24 60

?



Pequena possibilidade

de ser cobrado na

prova!

Exemplo de raciocnio lgico na sua parte terica.

Exemplo: Se estudo na casa do concurseiro ento passo no concurso do TJ. Da afirmativa

acima podemos concluir que:

a) Se passei ento estudei na casa do concurseiro.

b) Se no passo ento no estudei na casa do concurseiro.

c) Se no estudei na casa do concurseiro no passo no concurso.

d) Se passei ento no estudei na casa do concurseiro.

Exemplo: Dado um circulo de raio 1m com um retngulo ABCD nele inserido. Qual o valor da

diagonal BD desse retngulo?

R=2,25 m

No lembra nada de matemtica ? No tem problema...

Comeamos do bsico.

Se voc no lembra muito do bsico da matemtica essa a aula que no pode perder,

relembraremos muita coisa teoricamente fcil da matemtica.

A B

C D

Fique atento

Alm de problemas envolvendo seqncia lgica numrica poder cair problemas

matemticos com alguma observao lgica.



DIVISO (MAS SEM CALCULADORA!)

1458 72

At agora tudo bem? Mas e esse a diviso for com nmeros decimais, para dividir numero decimal

por numero decimal, igualemos as casas decimais com zero, neste caso colocamos um zero ao

lado do 2 para igualar as casas depois da virgula, igualadas corta-se as virgulas e comea a

diviso.

Exemplo:

2,24 0,2



Agora faa voc:

3)10,8 1,5

MULTIPLICAO COM NMEROS DECIMAIS.

Multiplicao com nmero com vrgula mais usado no nosso dia-a-dia, logo de melhor

compreenso.

Na multiplicao de nmeros decimais esquecesse as vrgulas no primeiro instante, multiplicando

normalmente, aps ter chego no resultado conta-se as casas depois da virgula dos fatores (no

exemplo abaixo 2,81 duas casas depois da virgula- e 4,3 uma casa depois da virgula no total

3 casa depois da virgula) e conte de trs pra frente 3 casas e ponha a virgula.

Exemplo:

7,81 4,3

Agora faa voc:

4)9,8 4,06

Para terminar adio e subtrao com decimais:

4,13 + 223,06 + 0,0123 + 12366,123 + 564,1 =

Importante: vrgula embaixo de vrgula!!!!

2,81

4,3

843

1124*

12,083

x

Na multiplicao

contam-se as

vrgulas de trs

para frente.



4,13

223,06

0,0123

12366,123

564,1

13157,4253

2 1,00004=

2,00000

1,00004

1,99996

Agora faa voc:

5) 12,07 + 2,6 + 166,088 + 30,1 + 1,0003 =

6) 1 0,2134=

7) 3,07003 0,2321 =

Mas o dois no

tem vrgula?

DICA: Todos os nmeros tm vrgula, alguns no so necessrios que aparea, mas eles tm

vrgula. No caso acima o 2 tem uma virgula logo depois dele. 2 e 2,00000 o mesmo

numero, assim podemos igualar com zero depois da unidade 2, e resolvendo o calculo logo

depois.



TRANSFORMAES DE TEMPO

Manuela ficou doente e faltou 1

6do ms no trabalho. Quantos dias Manuela trabalhou neste ms?

O que seria 1

6 do ms? Para calcularmos isso multiplicaremos

1

6 por 30, pois, um ms tem 30

dias.

1

6x30=

305

6

1

6 do ms significa 5 dias, mas cuidado com que se pergunta, pois a pergunta no quantos dias

Manuela faltou e sim quantos trabalhou, neste caso 25 dias.

Seguindo o mesmo raciocnio quantos dias tm:

3,2 meses = 3 meses + 0,2 meses=

3 meses + 2 x 0,1 meses =

3 meses + 2 x 3 dias = 3 meses e 6 dias

2,7 meses = 2 meses + 0,7 meses =

2 meses + 7 x 0,1 meses =

2 meses + 7 x 3 dias = 2 meses e 21 dias

Faa voc:

10) Para acompanhar as aulas do concurso Mariana pediu para sair mais cedo do servio 2/3 do

ms. Quantos dias no ms Mariana ficou trabalhando at o final do expediente?

0,1 ms = 3 dias

Importante: Fica-se acertado que um ms (comercial) tem 30 dias.



Seguindo o mesmo assunto...

0,4 semanas tem quantos dias?

0,4 semanas = 4 x 0,1 semanas =

4 x 16,8h = 67,2h

67,2h = 2 dias + 19,2h =

67,2h = 2 dias 19h e 12 minutos.

Para completar...

2,6 anos so quantos anos?

2,6 anos = 2 anos + 0,6 anos =

2,6 anos = 2 anos + 6 x 0,1 anos =

2,6 anos = 2 anos + 6 x 1,2 meses =

2,6 anos = 2 anos + 7,2 meses =

2,6 anos = 2 anos + 7 meses + 6 dias.

Faa voc.

11) Marcos muito metdico e ao sair de um relacionamento fez as contas e chegou concluso

que ele e sua ex-namorada ficaram juntos exatamente 1,7 anos. Quanto tempo exatamente

Marcos e sua ex ficaram juntos?

AS QUATRO OPERAES DE ACORDO COM SUA IMPORTNCIA.

Aqui est uma pergunta aparentemente fcil: Como se resolve a expresso 2 + 3 x 5?

Lembre-se que esse curso tem objetivo de trabalhar com vocs desde o bsico do ensino

fundamental at os detalhes mais complicados da matemtica, por isso nada ser esquecido.

Voltando ento a pergunta.

Para ficar bem claro operaes matemticas tm uma ordem de importncia, ou seja, algumas

operaes so mais fortes que outras assim tendo que ser resolvidas primeiro. Confira o quadro

abaixo.

1 semana = 168h logo

0,1 semana = 16,8h

0,1 ano = 36 dias

ou 1,2 meses



1 Potenciao e radiciao

2 Multiplicao e diviso

3 Adio e subtrao.

Analisando esse quadro fica mais fcil resolver a expresso acima.

2 3 5

2 15 17

Mas se tivermos a seguinte expresso: 12 2 3.

O que resolver primeiro j que a diviso e a multiplicao tm o mesmo peso?

Se resolver primeiro a diviso o resultado da expresso 18, mas se resolvo primeiro a

multiplicao o resultado outro (no caso 2)... Qual o certo?

Quando tivermos um caso como esse, segue-se a ordem da expresso, ou seja, o que vier

primeiro, no caso a diviso.

12 2 3

6 3 18



MDULO 2 MATEMTICA BSICA

SIMPLIFICAO DE FRAES

Para que precisamos aprender simplificao de fraes neste curso? Essa a pergunta que muito

de vocs devem estar fazendo agora, pois bem, saibam que essas simplificaes apareceram no

arremate das questes, pois as alternativas viro sempre na forma simplificada, muitas vezes

vocs podem acertar toda a questo e a resposta no estar entre as alternativas, pois estar

simplificada, logo este um tpico importantssimo para ns.

A simplificao de fraes feita dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo nmero,

isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma frao mais simples e

equivalente.

Exemplo:

2 5

2 5

30 15 3

440 20

Poderamos tambm ter simplificado toda a frao diretamente por 10, o que nos pouparia um

tempo importante.

Com base nesse mesmo procedimento, simplificamos fraes algbricas que apresentam fatores

em comum.

Exemplo:

2 3

3

8

12

x y

x yPodemos escrever est frao abrindo seus termos.

2 3 2 2

3 2

8 2 2 2

12 3 2 2

x y x y y

x y x x y

Simplificando os termos semelhantes, teremos:

2 3 2 2 2

3 2

8 2 2 2 2

312 3 2 2

x y x y y y

xx y x x y

Atravs desse pequeno resumo de simplificao de fraes ser que conseguiremos simplificar

essas fraes abaixo:



2 4 6

2

x y z Como estamos lidando com uma multiplicao e uma diviso, podemos cortar um

por um.

2 4 64 6 24

2

x y zx y z xyz

Se voc inverteu a ordem das letras, no tem problema, pois se lembre que a multiplicao

comutativa, ou seja, no importa sua ordem.

E quando temos uma adio e uma diviso? Neste caso, s podemos corta se todos os elementos

do numerador podem cortar com o denominador.

Neste caso podemos simplificar o 2, 4 e 6 por 2.

2 4 62 3

2

x y zx y z

Seguindo a mesma lgica...

2 3 2 3 3

2 2 2

x y x y xy

Ento fica fcil essa prxima simplificao.

2 3 2 33

2 2

x y x yx y

IMPORTANTE: No podemos cair essa armadilha, pois acabamos de ver que na adio no se corta

numerados por denominador, um por um, como faz na multiplicao.

Errei, pois

inverti a ordem

das letras.

Acertei!!!



Faa voc:

1. Simplificando a frao 10 10

10

x y

x

obtemos a frao:

a) 10x y

x

b) 10y

c) y

d) x y

x

e) NRA

2. Dada a frao x y

k w

, qual das alternativas abaixo tem uma frao equivalente a

dada?

a) x y

k w

b) y x

w k

c) x y

k w

d) x y

k w

e) NRA

3. Simplificando a frao x y

x y

obtemos

a) -2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

COMO ISOLAR UMA INCGNITA - MAIS CONHECIDO COMO EQUAO DO 1 GRAU.

Comeamos pelo obvio.

Podemos dizer que 8 = 8, sem traumas?

Multiplicamos essa igualdade por 2

2.8 = 2. 8, a igualdade continua valendo, certo?

Agora vou adicionar 5 unidades em cada lado da igualdade

5 + 2.8 = 5 + 2.8, a igualdade continua valendo, ok?

O que podemos concluir?



Que uma igualdade no se altera quando operamos dos dois lados o valor, neste caso acima

multiplicamos cada lado por 2 e adicionamos cinco unidades, e vemos que a igualdade continua

valendo.

Seguindo o mesmo raciocnio, resolvemos a equao da seguinte maneira

2x = 12

Bom, nesta equao a grande pergunta :

Que nmero multiplicado por 2 igual a 12? Para chegar a resposta certa, importante saber,

que somente um nmero ser resposta para essa equao, temos que isolar o valor

desconhecido, temos ento que anular o 2 que est multiplicando o x. Como faremos isso?

Sabemos que o 2 est multiplicando o x, logo pensemos na operao inversa da multiplicao

(sempre que queremos anular um valor vamos pensar na sua operao inversa), a diviso.

Dividiremos cada lado da igualdade por 2.

2 12

2 12 62 2

xx x

12 4x , adicionamos 12 unidades um cada lado da igualdade.

12 12 4 12

16

x

x

Sabendo agora a lgica do valor desconhecido podemos trabalhar com a regra do passa pro

outro lado trocando de sinal, extremamente prtica.

Seguiremos as seguintes regras:

1 Se est dividindo, passa pro outro lado da igualdade dividindo. Mas cuidado... isso nem sempre

ser feito, por exemplo:

27 11

3

x .

DICA: Neste caso o 3 est dividindo num lado, mas no podemos passar

multiplicando pro outro lado, pois se perceber o 3 divide apenas o 2x e no todo o

lado da igualdade, por isso no usaremos essa regrinha prtica. Passamos ento

primeiramente, o sete pro outro lado subtraindo.



2 27 11 11 7

3 3

24 2 4 3

3

126

2

x x

xx

x x

2 711

3

x

2 711 3 2 7 11 3

3

2 7 33 2 33 7

262 26

2

13

xx

x x

x x

x

Como resolvemos a equao abaixo:

2 10x

Neste caso o 3 est dividindo todo um lado da igualdade,

assim podemos passar o 3 multiplicando o outro lado,

usando regrinha prtica.

Agora sim, passamos o 3 multiplicando

Essa eu entendi, o 2 est negativo

passa pro outro lado positivo!!!!!

Cuidado, o 2 negativo sim, mas

a operao que o 2 est

relacionado a multiplicao, ou

seja, o menos 2 est

multiplicando o x, logo passa pro

outro lado dividindo.



2 10

2 10

2 2

5

x

x

x

Faa voc:

4. Resolva as equaes:

)3 12 21

5) 4 14

2

5 4) 14

2

)6 3 4 19

1 3) 13 4

a x

xb

xc

d x x

e x

UMA RPIDA PASSAGEM NAS FRAES

Aqui veremos uma pequena sntese de fraes, no se preocupem pois voltaremos neste assunto

com toda fora mais tarde, nos preocuparemos agora no matematiques, ou seja, na linguagem

matemtica usada em alguns clculos.

Frao a representao da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos

consider-la como sendo mais uma representao de quantidade, ou seja, uma representao

numrica, com ela podemos efetuar todas as operaes como: adio, subtrao, multiplicao,

diviso, potenciao, radiciao.

Por ser uma forma diferente de representao numrica, a frao ir possui uma nomenclatura

especfica e poder ser escrita em forma de porcentagem, nmeros decimais (nmeros com

vrgula) e nmeros mistos.

Quanto 2 5 7

3 2 10de de ? Antes de tudo precisamos conhecer uma parte do vocabulrio

matematiques, onde de entenda-se vezes (x), assim 2 5 7

3 2 10de de exatamente a mesma

coisa que 2 5 7

3 2 10 , resolvendo,

NO!!!



2 5 7

3 2 10 Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador

2 5 7 70 7(simplificamos por 10)

3 2 10 60 6

Faa voc

5. Quanto 4 5 14

?3 7 5

6. Uma pessoa devia R$ 12,00 e pagou 3

5 da divida. Quanto ainda deve?

7. Os 2 5

dos3 3

do preo de uma moto equivalem 3 2

dos2 5

do preo de um carro, sabendo que o

preo total do carro de R$ 9 600,00 qual o preo da moto? a) R$ 16 000,00 b) R$ 5 184,00 c) R$ 5 760,00

d) R$ 8 640,00 e) R$ 6 400,00

8. Uma questo de raciocnio lgico:

At agora foi feito um resumo de tpicos importantes da matemtica para o concurso da

Defensoria, a partir de agora comearemos o curso de verdade, fazendo ordenadamente uma

varredura de tudo que esta no edital, iniciando por:

DICA: Leia o problema em portugus e transforme tudo numa expresso em matematiques.

O produto dos 99 fatores abaixo :

1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 ... 1 1 1

2 3 4 5 98 99 100



CONJUNTOS NUMRICOS

Definio de Conjuntos Numricos.

Ao agrupamento de elementos com caractersticas semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes elementos so nmeros, tais conjuntos so denominados conjuntos numricos. Neste tpico estudaremos os cinco conjuntos numricos fundamentais, que so os conjuntos numricos mais amplamente utilizados. Conjunto dos Nmeros Naturais

Em algum momento da sua vida voc passou a se interessar por contagens e quantidades. Talvez a primeira ocorrncia desta necessidade, tenha sido quando l pelos seus dois ou trs anos de idade algum coleguinha foi lhe visitar e comeou a mexer em seus brinquedos. Provavelmente, neste momento mesmo sem saber, voc comeou a se utilizar dos nmeros naturais, afinal de contas era necessrio garantir que nenhum dos seus brinquedos mudasse de proprietrio e mesmo desconhecendo a existncia dos nmeros, voc j sentia a necessidade de um sistema de numerao. Em uma situao como esta voc precisa do mais bsico dos conjuntos numricos, que o conjunto dos nmeros naturais. Com a utilizao deste conjunto voc pode enumerar brinquedos ou simplesmente registrar a sua quantidade, por exemplo. Este conjunto representado pela letra N. Abaixo temos uma representao do conjunto dos nmeros naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}

Conjunto dos Nmeros Inteiros

Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria voc tomou conhecimento da existncia de nmeros negativos, ao lhe falarem que naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de zero. Curioso voc quis saber o que significava isto, ento algum notando o seu interesse, resolveu lhe explicar: Com exceo do zero, cada um dos nmeros naturais possui um simtrico ou oposto. O oposto do 1 o -1, do 2 o -2 e assim por diante. O Sinal "-" indica que se trata de um nmero negativo, portanto menor que zero. Os nmeros naturais a partir do 1 so por natureza positivos e o zero nulo. O zero e os demais nmeros naturais, juntamente com os seus opostos formam um outro conjunto, o conjunto dos nmeros inteiros e representando pela letra Z. Z = {...-4,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Conjunto dos Nmeros Racionais

So aqueles que podem ser representados na forma de frao a

b com



3 5 3..., 2,..., ,..., 1,...,0,..., ,...,1,...,2 9 7

Nmeros Irracionais

So todos aqueles nmeros que no podem ser representado por fraes, ou seja, todo nmero

irracional no racional.

So exemplos de nmeros irracionais:

3,1415926...

2,7182818...(numero de Euler)

2 1,4142135...

3 1,73205080...

e

Nmeros Reais

O conjunto dos nmeros reais a unio entre o conjunto dos nmeros racionais e o conjunto dos

nmeros irracionais.

R = Q U I.

Nomenclaturas mais usadas.

*

*

*

*

Todos os reais positivos mais o zero.

Todos os negativos positivos mais o zero.

Todos os reais exceto o zero.

Todos os reais negativos.

Todos os reais positivos.

Todos os naturais excet

o o zero.



Nmero complexo: todo nmero que pode ser escrito na forma

z = a + b i

onde a e b so nmeros reais e i a unidade imaginria. O nmero real a a parte real do

nmero complexo z e o nmero real b a parte imaginria do nmero complexo z, denotadas

por:

a = Re(z) e b = Im(z)

Exemplos de tais nmeros so apresentados na tabela.

Nmero complexo Parte real Parte imaginria

2 + 3 i 2 3

2 - 3 i 2 -3

2 2 0

3 i 0 3

-3 i 0 -3

0 0 0

Observao: O conjunto de todos os nmeros complexos denotado pela letra C e o conjunto

dos nmeros reais pela letra R. Como todo nmero real x pode ser escrito como um nmero

complexo da forma z=x+yi, onde y=0 ento assumiremos que o conjunto dos nmeros reais est

contido no conjunto dos nmeros complexos

Operaes bsicas com nmeros complexos:

Exemplos:

1. Se z=2+3i e w=4-6i, ento z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i.

2. Se z=2+3i e w=4-6i, ento z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i.

NMEROS PRIMOS

Nmeros primos so os nmeros naturais que tm apenas dois divisores diferentes: 1 e ele

mesmo.

Exemplos:

2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 um nmero primo.

17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 um nmero primo.

10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 no um nmero primo.

DICA: o 2 o nico par primo.



MLTIPLOS DE UM NMERO INTEIRO.

Um nmero a Z mltiplo de um nmero b Z, quando a diviso de a por b der um nmero

inteiro.

, sendo c .a

cb

Exemplos:

12 mltiplo de 3, pois 12 : 3 = 4

14 no mltiplo de 4, pois 14 : 4 = 3,5 Z.

NMEROS PRIMOS ENTRE SI.

So nmeros que no tem nenhum divisor comum entre eles, ou seja, no existe nenhum nmero

comum (exceto o um) que divida esses nmeros.

Exemplo:

4 e 9, so nmeros primos entre si, pois no existe um nmero que divida o 4 e o 9.

8 e 12 no so primos entre si, pois existe o 2 que divide o 8 e o 12.

MNIMO MLTIPLO COMUM.

O nome j diz tudo, quando calculamos o dito MMC entre dois nmeros, estamos procurando um

nmero que seja MULTIPLO desses dois nmeros, logo COMUM entre eles, mas para facilitar

precisa ser MINIMO, j que entre 2 nmero existe infinitos mltiplos.

Exemplo.

MMC (4,6).

Mltiplos de 4 = {4,8,12,16,20,24,28,32,36...}

Mltiplos de 6 = {6,12,18,24,30,36,40,...}

Mltiplos comum entre 4 e 6 = {12,24,36...}

O Mnimo Mltiplo Comum entre 4 e 6 = {12}

20 : 5 = 4, logo, 20 mltiplo de 5 e 5 divisor de 20.



claro que no fazerem MMC desta maneira, pois no temos tempo a perder logo fazer um

esquema que aprendemos l na quinta srie chamado chiqueirinho.

4,6 2

2,3 2

1,3 3 logo MMC (4,6) = 12

1,1 2 x 2 x 3 = 12

Podemos tambm fazer MMC entre mais nmeros.

MMC (4,6,8)

4,6,8 2

2,3,4 2

1,3,2 2

1,3,1 3 MMC (2,4,6) = 16

1,1,1 16

Quando precisaremos do MMC?

Quando somarmos ou subtrairmos fraes indispensvel o clculo do MMC, entre outros

problemas que veremos agora.

Marcio, Cristina e Pedro so netos de Dona Carmem, os 3 esto juntos visitando sua av, que est

de aniversrio hoje dia 12/10/212. Aps uma conversa com dona Carmem Marcio diz que s pode

v-la de 10 em 10 dias, Cristina de 12 em 12 dias e Pedro s voltar a ver sua av 20 em 20 dias.

Em que dia os trs voltaro a se encontrar junto com dona Carmem?

Sabemos que algumas vezes os trs iro se encontrar, algumas visitas sero COMUNS entre os

trs mas qual ser a prxima vez que isso acontecer? Qual o MINIMO de dias pra isso

acontecer, faremos ento um MMC para saber:

10,12,20 2

5,6,10 2

5,3,5 3

5,1,5 5

1,1,1 2 x 2 x 3 x 5 = 60 dias



Se a ultima visita foi no dia 12/10/2012 a prxima ser 60 dias depois, CUIDADO, pois 60 dias no

exatamente 2 meses, pois o ms 10 tem 31 dias.

Ento do dia 12/10 12/11 so 31 dias, faltam 29.

Do dia 12/11 12/12 so mais 30 dias (nov. tem 30 dias), como eu quero 29, a prxima visita

ser dia 11/12.

Faa voc

9. Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida

de uma pista circular. O primeiro d uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos.

Calcule os minutos que levaro para se encontrar novamente.

a) 1320

b) 132

c)120

d) 60

e) 22

10. Sistematicamente, Fbio e Cntia vo a um mesmo restaurante: Fbio a cada 15 dias e Cntia a

cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provvel

encontro dos dois nesse restaurante ocorrer em

a) 9 de dezembro de 2004.

b) 10 de dezembro de 2004.

c) 8 de Janeiro de 2005

d) 9 de Janeiro de 2005

e) 10 de Janeiro de 2005

11. Considere que 3 carretas faam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada

editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao

completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo

dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, ento elas voltaro a partir juntas

novamente dessa editora aps

a) 45 dias b) 60 dias c) 10 dias d) 15 dias e) 30 dias

12. Em uma rodoviria, o nibus da empresa Viaje Bem parte a cada 20 minutos e o nibus da

empresa Boa Viagem parte a cada 30 minutos. Supondo que os dois nibus partem juntos s 6

horas da manh, depois de quanto tempo os nibus das duas empresas devem partir juntos

novamente?



MAXIMO DIVISOR COMUM

O mximo divisor comum de dois ou mais nmeros naturais o maior natural que divide todos

estes nmeros.

Exemplo:

MDC (60,80)

Divisores de 60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

Divisores de 80 = {1,2,4,5,8,10,16,20,40,80}

Divisores comuns = {1,2,4,5,10,20}

Mximo Divisor Comum = {20}

Entre tantos mtodos de encontrar o MDC aqui ser visto o mais simples e mais usado.

Decompomos separadamente cada em fatores primos.

60 2 80 2

30 2 40 2

15 3 20 2

5 5 10 2

5 5

1 2x3x5

1 24x5

MDC de 60 e 80 so os divisores comuns, ou seja, que se repete nas fatoraes

2 x 5 = 4 x 5 = 20.

Exemplo.

Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possvel de gavetas para

acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um

terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e

medicamentos de um nico tipo em cada uma delas, quantas gavetas dever usar?

a) 33 b) 48

c) 75 d) 99

IMPORTANTE: Como isso cai no concurso?

- Maior tamanho possvel

- Menor nmero de pedaos

- No h sobras



e) 165 Toda vez que aparecer a palavra menor quantidade estamos lidando com MDC, faremos ento o

MDC entre 120, 150 e 225.

120 2 150 2 225 3

60 2 75 3 75 3

30 2 25 5 25 5

15 3 5 5 5 5

5 5 1 1

1

Pegamos os divisores comuns entre 120, 150 e 225, mas ateno tem que ser comum nos 3

nmeros e multiplicamos.

5 x 3 = 15.

J sabemos que so 15 gavetas, agora precisamos saber quantos remdios vai ter em cada

gaveta, dividiremos o total de cada tipo de medicamente por 15 e somamos no final.

120 : 15 = 8

150 : 15 = 10

225 : 15 = 15 8 + 10 + 15 = 33

Alternativa A.

Faa voc

11. Dois pedaos de madeira, um com 80 centmetros e outro com 120 centmetros, devem ser

cortados em pedaos de tamanhos iguais, para que seja montada a estrutura de um pequeno

armrio. Para que os pedaos de madeira possuam o tamanho mximo possvel, para que no

haja desperdcio, qual deve ser o comprimento de cada pedao?

12. Entre algumas famlias de um bairro, foi distribudo um total de 144 cadernos, 195 lpis e 216

borrachas. Essa distribuio foi feita de modo que o maior nmero possvel de famlias fosse

contemplado e todas recebessem o mesmo nmero de cadernos, o mesmo nmero de lpis e o

mesmo nmero de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o nmero de

cadernos que cada famlia ganhou foi:

a) 4 b) 6

c) 8 d) 23



e) 24 CRITRIO DE DIVISIBILIDADE

Critrios de divisibilidade so regras simples que permitem verificar se determinado nmero

inteiro A mltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades da sua representao decimal.

A seguir esto apresentados critrios de divisibilidade (regras prticas) para alguns nmeros

inteiros de maior importncia.

Divisibilidade por 2.

Um nmero natural divisvel por 2 se o seu ltimo dgito divisvel por dois, isto , se o nmero

termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6 ou 8. Neste caso, diz-se que o nmero par.

Exemplos:

5040 divisvel por 2, pois termina em 0, que divisvel por dois.

237 no divisvel por 2, pois 7 no um nmero par.


Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores dos dgitos do numero natural tem como

resultado um outro nmero divisvel por 3.

Exemplos:

234 divisvel por 3, pois a soma de seus algarismos igual a 2+3+4=9, e como o nove

divisvel por 3, ento 234 divisvel por 3.

111 divisvel por trs, pois a soma dos valores absolutos dos algarismos desse nmero 3.

156 divisvel por 3, pois a soma desses algarismos igual a 12 (1+5+6=12) e 12 divisvel por

3.


O nmero divisvel por 4 quando o nmero formado por seus dois ltimos algarismos for

divisvel por 4 (isto inclui os nmeros que terminam com 00).

Exemplo:

36248900, divisvel por 4, pois termina em 00.

35374928, divisvel por 4, pois os ltimos dois dgitos (28) divisvel por 4.


Um nmero divisvel por 5 quando o ltimo algarismo for 0 ou 5.

Exemplo:

125, termina por 5.

150, termina por 0.



81475, termina por 5.


Qualquer nmero divisvel por 6 quando for divisvel por 2 e por 3 ao mesmo tempo:

Exemplo:

4962 um nmero par, portanto divisvel por 2; Para saber se esse nmero divisvel tambm

por 3, basta somar seus algarismos. Se o resultado dessa soma for divisvel por 3, ento 4962

tambm ser divisvel por 3. (Confira: 4+9+6+2 = 21 ==> 21 divisvel por 3)

Como 4962 divisvel ao mesmo tempo por 2 e por 3, conclui-se que ele divisvel por 6.


Um nmero divisvel por 8 quando o antepenltimo algarismo for par e os dois ltimos formem

um mltiplo de 8 (isto : 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96). Tambm so

divisveis por 8 os nmeros com antepenltimo algarismo mpar e os dois ltimos formando um

mltiplo de 4 que no seja tambm mltiplo de 8 (isto : 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76,

84 ou 92).

Exemplo:

10840 8 par e 40 mltiplo de 8.

15000 000.

49736 7 mpar e 36 mltiplo de 4, mas no de 8,logo 49736 divisvel por 8.


Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel

por 9.

Exemplo:

72 7 + 2 = 9

1494 1 + 4 + 9 + 4 = 18 1 + 8 = 9

581472 5 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 2 + 7 = 9


Um nmero divisvel por 10 quando termina em zero.

Exemplo:

5000, 15340, 505000, 1000.

Atravs desses critrios de divisibilidade faremos agora alguns problemas de raciocnio lgico com

nfase no assunto acima, que podem cair na prova.

O produto dos primeiros 20 nmeros primos um nmero cujo ltimo algarismo o.....

Alinharemos os 20 primeiros primos.



2 x 3 x 5 x 7 x 11 x...

Ao invs de multiplicar todos os nmeros, percebam que se multiplicarmos 2 x 5 o resultado 10,

e todas as outras multiplicaes por 10 o resultados sempre termina em zero, logo se

multiplicarmos todos os 18 primos restantes por 2x5 ter com a casa das unidades zero.

Um problema onde voc precisa usar muito mais o raciocnio.

Faa voc:

13. O produto dos 100 primeiros nmeros impares um nmero que termina em...

a) Somente por nmero impar. b) Termina em zero. c) Termina em 5.

d) Termina por um nmero mltiplo de 3. e) Impossvel determinar.

Gabarito.

1. d 2. b 3. b 4. a) x=11 b) x=4

c) x=24/5

d) x=11

e) x=21/4

5. 8/3

6. R$ 4,20

7. b

8. 1/100

9. e

10. c

11. b

12. 1hora

13. c



MDULO 3 REGRA DE TRS

RAZO E PROPORO.

Alm do bsico da matemtica aqui aprenderemos tambm um pouco de latim, isso mesmo latim

(muito chic!), pois a palavra razo vem do latim ratio e significa a diviso ou o quociente entre

dois nmeros A e B, denotada por A

B.

Exemplo: A razo entre 12 e 3 4, pois 12

43

.

A palavra proporo vem do latim proportione (te mete!!!) e significa uma relao entre as partes

de uma grandeza, ou seja, uma igualdade entre duas razes.

Exemplo: 6 10

3 5 , a proporo

6

3 proporcional a

10

5.

Numa proporo A C

B D

Os nmeros A e D so denominados extremos enquanto os nmeros B e C so os meios e vale a

propriedade: o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto :

A D C B

Dada a proporo 12

3 9

x qual o valor de x?

12

3 9

x

9 3 12

9 36

4

x

x

x

DICA: Usando tambm o conhecimento adquirido na aula anterior de igualar a incgnita essa regra

acima se torna dispensvel.



Faa voc:

1. A razo entre o preo de custo e o preo de venda de um produto 2

3 . Se for vendida a R$

42,00 qual o preo de custo?

2. Para a,b e c reais e diferentes de zero temos que a:b::b:c. Assim temos a expresso 22ac+3b

ac equivalente a: a) 1 b) 2 + 3b c) 5b

d) 2 + 5b e) 5

3. A razo entre dois nmeros P e Q 0,16. Determine P+Q, sabendo que eles so primos entre si?

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.

A definio de grandeza est associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Como

exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preo, idade e etc.

As grandezas diretamente proporcionais esto ligadas de modo que medida que uma grandeza

aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional.

Exemplo:

Um automvel percorre 300 km com 25 litros de combustvel. Caso o proprietrio desse

automvel queira percorrer 120 km, quantos litros de combustvel sero gastos?

300 km 25 litros

120 km x litros

300 25

120

300.25

120

300 25.120

300010

300

x

x

x

x x

DICA: Quando a regra de trs direta multiplicamos em diagonal, regra do DIDI.



Faa voc:

4. CESGRANRIO - 2012 - CMB - Assistente Tcnico - Em um supermercado, a carne

acondicionada em embalagens com uma etiqueta contendo o preo unitrio (o preo de 1 kg de

carne), o peso lquido (a quantidade de carne contida na embalagem) e o total a ser pago. Certo

dia, a balana eletrnica apresentou problemas e algumas etiquetas foram impressas com defeito,

sendo omitidas algumas informaes. As figuras I e II representam as etiquetas de duas

embalagens do mesmo tipo de carne, com defeitos de impresso.

O peso lquido, em kg, registrado na etiqueta representada na Figura II .

a) 0,305 b) 0,394 c) 3,94

d) 0,35 e) 0,42

5. CESGRANRIO - 2012 - CMB - Assistente Tcnico - Administrativo - No pas X, a

moeda o PAFE e, no pas Y, a moeda o LUVE. Se 1,00 PAFE equivalente a 0,85 LUVES, ento

17,00 LUVES equivalem a quantos PAFES?

a) 14,45 b) 17,00 c) 20,00

d) 144,50 e) 200,00

6. CESGRANRIO - 2008 - ANP - Tcnico Administrativo - Em fevereiro, Mrio pagou, na

conta de seu telefone celular, 264 minutos de ligaes. Analisando a conta, ele percebeu que,

para cada 3 minutos de ligaes para telefones fixos, ele havia feito 8 minutos de ligaes para

outros telefones celulares. Quantos minutos foram gastos em ligaes para telefones celulares?

a) 72 b) 88 c) 144

d) 154 e) 192



GRANDEZA INVERSAMENTE PROPORCIONAL.

Entendemos por grandezas inversamente proporcionais as situaes onde ocorrem operaes

inversas, isto , se dobramos uma grandeza, a outra reduzida metade.

Exemplo:

12 operrios constroem uma casa em 6 semanas. 8 operrios, nas mesmas condies,

construiriam a mesma casa em quanto tempo?

12 op. 6 semanas

8 op. x semanas

Antes de comear a fazer, vamos pensar... diminuiu o numero de funcionrios, ser que a

velocidade da obra vai aumentar? claro que no, assim enquanto um lado diminui o outro

aumenta, inversamente proporcional, multiplicamos lado por lado.

8 12 6

8 72

729

8

x

x

x x

Faa voc:

7. Diga se diretamente ou inversamente proporcional: a) Nmero de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que ter que ser comprada. b) A rea de um retngulo e o seu comprimento, sendo a largura constante. c) Nmero de erros em uma prova e a nota obtida. d) Nmero de operrios e o tempo necessrio para eles construrem uma casa. e) Quantidade de alimento e o nmero de dias que poder sobreviver um nufrago.

8. (FCC) Para realizar um determinado trabalho, quatro operrios, rotineiramente e trabalhando

juntos, gastam um total de 12 horas. Planejando terminar o trabalho mais rapidamente cinco

operrios so alocados para realizar esse mesmo trabalho. Devido diminuio do espao fsico

DICA: Quando a regra de trs inversa multiplicamos lado por lado, regra da LALA.

Dias

H/d Op. inv

Dica !!!!



para a realizao do trabalho, a produtividade de cada operrio, para um mesmo intervalo de

tempo, cai 10% em relao produtividade de cada operrio na situao com apenas quatro

operrios atuando. Levando-se em conta apenas essas informaes, o tempo ganho ao se

acrescentar mais um operrio foi de

a) 2 horas e 20 minutos. b) 1 hora. c) 1 hora e 40 minutos.

d) 2 horas. e) 1 hora e 20 minutos.

9. Uma expedio foi programada para durar 120 dias. O nmero de participantes inicialmente era

N e o consumo de alimentos considerado constante em cada dia e igual a todos participantes.

48 dias aps o inicio da expedio, chegaram 30 novas pessoas que estavam perdidas no mato.

Devido aos alimentos, a expedio teve que retornar 27 dias antes do previsto. Quantas pessoas

compunham inicialmente a expedio?

REGRA DE TRS COMPOSTA.

A regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou

inversamente proporcionais. Muita gente boa se atrapalha nesse tipo de problema, o que no

vai ser o caso de vocs.

Como montamos um problema de regra de trs composta?

Vejamos o exemplo abaixo.

Exemplo:

Vinte operrios constroem 80 m de muro em 1 dia trabalhando 10h/dia. Em quanto tempo, 30

operrios construiro 90 m de muro trabalhando 6h/dia?

20 op. 80m 1 dia 10h/dia

30 op. 90m x dia 6 h/dia

Numa regra de trs composta tomamos como mais importante a coluna com a varivel, esta

coluna ser nosso apoio da montagem da questo, vamos comparar parte por parte saber se vai

ser diretamente ou inversamente proporcional. Antes disso simplificamos o que der pra simplificar.

2 op. 1 dia

3 op. x dias

Se 20 operrios fazem um certo trabalho em 1 dia 30 operrios faro menos dias, logo essa regra

de trs inversamente proporcional, LALA.

3 2 1x



8 m 1 dia

9 m x dias

Para fazer 80m de certo trabalho gasta-se 1 dia para fazer o mesmo trabalho mas aumentar para

90m precisaremos de mais dias, logo essa regra de trs diretamente proporcional, DIDI.

3 8 2 1 9x

Por fim,

10h/dia 1 dia

6h/dia x dias

Certo trabalho feito em um dia trabalhando numa carga horria de 10h/dia, mudando essa

carga horria para 6h/dia precisaremos de mais tempo para concluir o trabalho, inversamente

proporcional, LALA.

3 8 6 2 1 9 10

144 180

1801,25

144

x

x

x

1 dia + dia = 1 dia 1 hora e 30 minutos.

Faa voc:

10. (Carlos Chagas) Franco e Jade foram encubidos de digitar os laudos de um texto. Sabe-se que

ambos digitaram suas partes com velocidades constantes e que a velocidade de Franco era 80%

de Jade. Nessas condies, se Jade gastou 10 min para digitar 3 laudos, o tempo gasto por

Franco para digitar 24 laudos foi?

a) 1h e 15 min b) 1h e 20 min. c) 1h e 30 min.

d) 1h e 40 min. e) 2h.

11. FCC - 2012 - MPE-PE - Analista Ministerial - rea Jurdica - O dono de uma obra

verificou que, com o ritmo de trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por

1h30min

1h30min

1h30min

1h30min

de 6h

de 6h

de 6h

de 6h 6h/dia



dia, o restante de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a obra com 9

dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o nmero de horas de trabalho por dia dos

trabalhadores. Com a proposta feita, cinco trabalhadores se desligaram da obra. Com o pessoal

reduzido, o

nmero de horas de trabalho por dia aumentou ainda mais e, mesmo assim, houve acordo e as

obras foram retomadas, mantendo-se o prazo final de 9 dias. Aps trs dias de trabalho nesse

novo ritmo de mais horas de trabalho por dia, cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono

desistiu de manter fixa a previso do prazo, mas manteve o nmero de horas de trabalho por dia

conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes terminaram o que faltava da obra

em uma quantidade de dias igual a

a) 42

b) 36

c) 24

d) 12

12. FCC - 2011 - TRT - 19 Regio (AL) - Analista Judicirio - Arquivologia - Em uma

campanha publicitria, foram encomendados, em uma grfica, quarenta e oito mil folhetos. O

servio foi realizado em seis dias, utilizando duas mquinas de mesmo rendimento, oito horas por

dia. Dado o sucesso da campanha, uma nova encomenda foi feita, sendo desta vez de setenta e

dois mil folhetos. Com uma das mquinas quebradas, a grfica prontificou-se a trabalhar doze

horas por dia, entregando a encomenda em

a) 7 dias.

b) 8 dias.

c) 10 dias.

d) 12 dias.

e) 15 dias

GABARITO:

1. R$ 28,00

2. E

3. R$ 29,00

4. E

5. C

6. E

7. a) DP b) DP c) IP d) IP e) DP

8. E

9. 45

10. D

11. E

12. D



MDULO 4 PROPORES

PROPRIEDADE DAS PROPORES.

Imaginem uma receita de bolo.

1 Receita:

receita:

2 receitas:

11

2 Receitas:

Ento se houver,

4 xcaras de farinha 6 ovos - 240 ml de leite 180 g de acar

A B


C D


E F


G H

14 xcaras de farinha x ovos - y ml de leite z g de acar

G H



Teremos que calcular x, y e z por regra de trs (Propores).

1. A B A C

ou C D B D

2. A B B D A B C D

ou A B A C

3. F P G Q F P G Q

ou P Q F G

Numa proporo, a soma dos dois primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assim como a

soma dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE.

Considere as informaes na tabela:

A B

5 10

6 12

7 14

9 18

13 26

15 30

Deixa ver se eu entendo:

Tudo que vale no bolo vale nas

propores. Perfeito!!!!!

As colunas A e B so iguais, mas so PROPORCIONAIS.

Ento, podemos escrever:



Toda a proporo se transforma em

uma desigualdade quando multiplicada

por uma constante

Assim podemos afirmar que:

5k 10

6k 12

9 18k

Onde a constante de proporcionalidade k igual a dois.

Exemplo 1:

A idade de meu pai est para a idade do filho assim como 9 est para 4. Determine essas idades

sabendo que a diferena entre eles de 35 anos.

9

4

35

P

F

P F

Como j vimos as propores ocorrem tanto verticalmente como horizontalmente. Ento

podemos dizer que:

P est para 9

Assim como

F est para 4.

Simbolicamente,

9

4

P

F

Usando a propriedade de que toda proporo se transforma em uma igualdade quando

multiplicada por uma constante, temos:

P = 9k e F = 4k

Logo a expresso fica:

P F = 35

9k 4k = 35

5k = 35

K = 7

Assim, P = 9 x 7= 63 e F = 4 x 7 = 28



Faa voc:

1. x y

Se e x y 1549 13 determine x e y:

2. 21 x 5

x y e 10 y 16

Determine x e y.

3. A idade do pai est para a idade do filho assim como 7 est para 3. Se a diferena entre essas

idades 32 anos, determine a idade de cada um.

DIVISO PROPORCIONAL.

Exemplo 1.

Vamos imaginar que temos 120 bombons para distribuir em partes diretamente proporcionais a 3,

4 e 5, entre 3 pessoas A, B e C, respectivamente:

Num total de 120 bombons, k representa a quantidade de bombons que cada um receber.

Pessoa A - k k k = 3k

Pessoa B - k k k k = 4k

Pessoas C - k k k k k = 5k

Se A + B + C = 120 ento 3k + 4k + 5k = 120

3k + 4k + 5k = 120

12k = 120

K = 10

Assim,

Pessoa A receber 3 10 30

Pessoas B receber 4 10 40

Pessoas C receber 5 10 50

Exemplo 2:

Dividir o nmero 810 em partes diretamente proporcionais a 2/3, 3/4 e 5/6.

Primeiramente tiramos o mnimo mltiplo comum entre os denominadores 3, 4 e 6.

2 3 5 8 9 10

3 4 6 12 12 12



Depois de feito o denominador e encontrado fraes equivalentes a 2/3, 3/4 e 5/6 com

denominador 12 trabalhares apenas com os numeradores ignorando o denominador, pois como

ele comum nas trs fraes no precisamos trabalhar com ele mais.

Podemos ento dizer que:

8K + 9K + 10K = 810

27K = 810

K = 21.

Por fim multiplicamos,

8 30 240

9 30 270

10 30 300

240, 270 e 300.

Exemplo 3.

Dividir o nmero 305 em partes inversamente proporcionais a 3/8, 5 e 5/6.

O que muda quando diz inversamente proporcional?

Simplesmente invertemos as fraes pelas suas inversas.

3 8

8 3

15

5

5 6

6 5

Depois disto usamos o mesmo mtodo de calculo.

8 1 6 40 3 18

3 5 5 15 15 15

Ignoramos o denominador e trabalhamos apenas com os numeradores.

40K + 3K + 18K = 305

61K = 305

K = 5

Por fim,

40 5 200

3 5 15

18 5 90

Inversamente

proporcional? Ferrou!!



200, 15 e 90

Exemplo 4.

Dividir o nmero 118 em partes simultaneamente proporcionais a 2, 5, 9 e 6, 4 e 3.

Primeira regra que temos que aprender num problema como esse deixar todas as seqncias

diretamente proporcionais, como aqui j esto no precisamos nos preocupar com isso.

Uma vez direta, multiplicamos suas proporcionalidades.

2 5 9

x x x

6 4 3

12 20 27, ficando ento,

12K + 20K + 27K = 118

59K = 118

K = 2

Tendo ento,

12 2 24

20 2 40

27 2 54

24, 40 e 54.

CASOS PARTICULARES.

Joo, sozinho, faz um servio em 10 dias. Paulo, sozinho, faz o mesmo servio em 15 dias. Em

quanto tempo fariam juntos esse servio?

Primeiramente temos que padronizar o trabalho de cada um, neste caso j esta padronizado, pois

ele fala no trabalho completo, o que poderia ser dito a metade do trabalho feito em um certo

tempo.

Se Paulo faz o trabalho em 10 dias isso significa que ele faz 1/10 do trabalho por dia.

Na mesma lgica, Joo faz 1/15 do trabalho por dia.

Juntos o rendimento dirio de 1 1 3 2 5 1

10 15 30 30 30 6

Se em um dia eles fazem 1/6 do trabalho em 6 dias os dois juntos completam o trabalho.

Sempre que as capacidades forem diferentes, mas o servio a ser feito for o mesmo, seguimos a

seguinte regra: 1 2 T

1 1 1

t t t (tempo total)



Faa voc:

4. Dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcional a 2,3 e 4.

5. Dividir o nmero 810 em partes diretamente proporcionais a 2/3, 3/4 e 5/6.

6. Dividir o nmero 48 em partes inversamente proporcionais a 1/3, 1/5 e 1/8.

7. Divida o nmero 250 em partes diretamente proporcionais a 15, 9 e 6.

Dica: trabalhar com a frao, nunca com dizima peridica.

8. Dividir o nmero 148 em partes diretamente proporcional a 2, 6 e 8 e inversamente

proporcionais a 1/4, 2/3 e 0,4.

9. Dividir o nmero 670 em partes inversamente proporcionais simultaneamente a 2/5, 4, 0,3 e 6,

3/2 e 2/3.

10. Dividir o nmero 670 em partes inversamente proporcionais e simultaneamente a 2/5, 4, 0,3 e

6, 3/2 e 0,4.

11. Divida o nmero 662 em parcelas inversamente proporcionais a 14, 27 e 15.

12. Divida o nmero 600 em partes diretamente proporcionais a 12, 4, 2 e 6 e inversamente

proporcionais a 6, 2, 3 e 18, respectivamente.



13. Divida o nmero 579 em partes diretamente proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente

proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente.

14. Uma herana foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente proporcionais s suas idades

que so 32, 38 e 45.

Se o mais novo recebeu R$ 9 600, quanto recebeu o mais velho?

15. Uma empresa dividiu os lucros entre seus scios, proporcionais a 7

e 11. Se o 2 scio recebeu R$ 20 000 a mais que o 1 scio, quanto recebeu cada um?

16. Os trs jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador iro receber um

prmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas

cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiao

referente a cada um deles respectivamente?

17. Trs scios devem dividir proporcionalmente o lucro de R$ 30.000,00. O scio A investiu R$

60.000,00, o scio B R$ 40.000,00 e o scio R$ 50.000,00. Qual a parte correspondente de cada

um?

18. Quatro amigos resolveram comprar um bolo da loteria. Cada um dos amigos deu a seguinte

quantia:

Carlos: R$ 5,00

Roberto: R$ 4,00

Pedro: R$ 8,00

Joo: R$ 3,00

Se ganharem o prmio de R$ 500.000,00, quanto receber cada amigo, considerando que a

diviso ser proporcional quantia que cada um investiu?



19. (Carlos Chagas) Certo ms o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionrios uma

gratificao no valor de R$ 500. Essa gratificao foi dividida entre eles em partes que eram

diretamente proporcionais aos respectivos nmeros de horas de plantes que cumpriram no ms

e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional suas respectivas idades. Se um dos funcionrios

tem 36 anos e cumpriu 24h de plantes e, outro, de 45 anos cumpriu 18h, coube ao mais jovem

receber:

a) R$ 302,50 b) R$ 310,00 c) R$ 312,50

d) R$ 325,00 e) R$ 342,50

20. (Carlos Chagas) Na oficina de determinada empresa h um certo nmero de aparelhos

eltricos a serem reparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois tcnicos dividiram o total de

aparelhos a serem arrumados entre si, na razo inversa de seus respectivos tempo de servio na

empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos o total a serem reparados

de:

a) 21 b) 20 c) 18

d) 15 e) 12

21. Trs scios formam uma empresa. O scio A entrou com R$ 2 000 e trabalha 8h/dia. O scio

B entrou com R$ 3 000 e trabalha 6h/dia. O scio C entrou com R$ 5 000 e trabalha 4h/dia. Se,

na diviso dos lucros o scio B recebe R$ 90 000, quanto recebem os demais scios?

22. Certa herana foi dividida de forma proporcional s idades dos herdeiros, que tinham 35, 32 e

23 anos. Se o mais velho recebeu R$ 525,00 quanto coube o mais novo?

a) R$ 230,00 b) R$ 245,00 c) R$ 325,00

d) R$ 345,00 e) R$ 350,00

23. Na sucesso de nmeros inversamente proporcionais 6, 16, 4 e 8, x, 12 o valor de x :

a) 10 b) 8 c) 3

d) 4 e) 6



24. Uma torneira enche um tanque em 3 h, sozinho. Outra torneira enche o mesmo tanque em 4

h, sozinho. Um ralo esvazia todo o tanque sozinho em 2 h. Estando o tanque vazio, as 2 torneiras

abertas e o ralo aberto, em quanto tempo o tanque encher?

GABARITO:

1. x = 63 e y = 91 2. x = 0,5 e y = 1,6 3. Idade do pai 53 e idade do filho 24. 7. 125, 75 e 50.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. R$ 135 000.

15. R$ 35 000 e R$ 55 000.

16.

17. A = R$ 12.000 B = R$ 8.000 C = R$

10.000

18. Carlos: R$ 125 000, Roberto: R$ 100 000,

Pedro: R$ 200 000 e Joo: R$ 75 000.

19. C

20. D

21. A = R$ 80 000, B = R$ 90 000 e C = R$

100 000

22. D

23.C

24. 12 horas.



MDULO 5 PORCENTAGEM

TAXA UNITRIA

DEFINIO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitria A taxa unitria importante para nos auxiliar a desenvolver todos os clculos em matemtica financeira. Pense na expresso 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma frao cujo numerador igual a 20 e o denominador igual a 100. COMO FAZER

1010% 0,10

100

2020% 0,20

100

55% 0,05

100

3838% 0,38

100

1,51,5% 0,015

100

230230% 2,3

100

FATOR DE CAPITALIZAO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se no sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao abaixo: O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, est valendo 120% do seu valor inicial. Como vimos no tpico anterior (taxas unitrias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preo deste produto aps o acrscimo.

1.2.1 AGORA A SUA VEZ:

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%



120Fator de Capitalizao = 1,2

100

O Fator de capitalizao um nmero pelo qual devo multiplicar o preo do meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalizao (por 1,2) para conhecer seu novo preo. Nesse exemplo, ser de R$ 60,00. CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAO: Basta somar 1 com a taxa unitria. Lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

o Acrscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45

o Acrscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2

ENTENDENDO O RESULTADO: Para aumentar o preo do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preo por 1,2. Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acrscimo de 20% passar a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalizao para 20%) = R$ 1.800,00 COMO FAZER:

Acrscimo de 30% 1,3

Acrscimo de 15% 1,15

130 = 100% + 30% = 130% =

100

115 = 100% + 15% = 115% =

100

103 = 1Acrscimo de 3% 1,03

Acrscimo de 20

00% + 3% = 103% = 100

300 = 100% + 200% = 30 00% =

0% 3

1 0



AGORA A SUA VEZ:

Acrscimo Calculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

FATOR DE DESCAPITALIZAO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se no sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao abaixo: O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, est valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tpico anterior (1.1 taxas unitrias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preo deste produto aps o acrscimo.

80Fator de Descapitalizao = 0,8

100

O Fator de descapitalizao o nmero pelo qual devo multiplicar o preo do meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalizao por 0,8 para conhecer seu novo preo, neste exemplo ser de R$ 40,00. CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitria de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65 o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8



ENTENDENDO O RESULTADO: Para calcularmos um desconto no preo do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor desse produto por 0,80. Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passar a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalizao para 20%) = R$ 1.200,00 COMO FAZER:

Desconto de 30% 0,7

Desconto de 15% 0,85

70 = 100% 30% = 70% =

100

85 = 100% 15% = 85% =

100

97 = 1Desconto de 3% 0,97

Desconto de

00% 3% = 97% = 100

50 = 100% 50% = 50% =

10050% 0,5

AGORA A SUA VEZ:

Desconto Calculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

ACRSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO

Um tema muito comum abordado nos concursos os acrscimos e os descontos sucessivos. Isso

acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questo desse

tipo.



O erro cometido nesse tipo de questo bsico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo

que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalizao e descapitalizao.

Vejamos abaixo um exemplo de como fcil se confundir se no temos estes conceitos bem

definidos:

Exemplo:

Os bancos vm aumentando significativamente as suas tarifas de manuteno de contas. Estudos

mostraram um aumento mdio de 30% nas tarifas bancrias no 1 semestre de 2009 e de 20%

no 2 semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancrias tiveram em mdia suas

tarifas aumentadas em:

a) 50%

b) 30%

c) 150%

d) 56%

e) 20%

Ao ler esta questo, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso

marcam como certa a alternativa a (a de apressadinho).

Ora, estamos falando de acrscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa mdia mensal de

manuteno de conta no incio de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:

Aps receber um acrscimo de 30%:

10,00 x 1,3 (ver tpico 1.3) = 13,00

Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2 semestre de 2009:

13,00 x 1,2 (ver tpico 1.3) = 15,60

Ou seja, as tarifas esto 5,60 mais caras que o incio do ano.

Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, conclumos que elas sofreram uma alta de 56%,

e no de 50% como parecia inicialmente.

COMO RESOLVER A QUESTO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA:

Basta multiplicar os fatores de capitalizao, como aprendemos no tpico 1.3:

o Fator de Capitalizao para acrscimo de 30% = 1,3

o Fator de Capitalizao para acrscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56



Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% igual a 1 (ver mdulo 1.2),

logo, as tarifas sofreram uma alta mdia de: 1,56 1 = 0,56 = 56%

COMO FAZER

Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acrscimo de 20% dobre o seu valor, em fevereiro outro acrscimo de 40% e em maro um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto aps a 3 alterao em relao ao preo inicial : a) 10% maior b) 10 % menor c) Acrscimo superior a 5% d) Desconto de 84% e) Desconto de 16% Resoluo: Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2 Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4 Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5 Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto) Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos: 1 0,84 = 0,16 Conclui-se ento que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E)

Exemplo: O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto trabalhar na vspera da prova do concurso pblico da CEF, aps este susto, comeou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro ms e mais 25% no segundo ms. Preocupado com o excesso de peso, comeou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relao ao peso que tinha no incio : a) 8% maior b) 10% maior c) 12% maior d) 10% menor e) Exatamente igual Resoluo: Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 20/100 = 1 0,2 = 0,8 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 20/100 = 1 0,2 = 0,8 Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1 Conclui-se ento que o professor possui o mesmo peso que tinha no incio. (Alternativa E)



AGORA SUA VEZ

QUESTO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em nmero de unidades vendidas, dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D teve 80% de participao nesse mercado. Em 2004, o nmero de unidades vendidas pela empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%. Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relao a 2003, (A) 24 %. (B) 28 %. (C) 30 %. (D) 32 %. (E) 60 %.

QUESTO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lcia so vendedoras em uma grande loja. Em maio elas tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% suas vendas, em relao a maio, e Lcia, por sua vez, teve um timo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lcia teve um crescimento de: (A) 35%. (B) 45%. (C) 50%. (D) 60%. (E) 65%.

Resoluo questo 1.5.1

Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele totalmente

dividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%):

2003 2004

Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96

Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28

TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24

Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um

aumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa A



Resoluo questo 1.5.2

Como no sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para

cada vendedora. A diferena para o problema anterior que, no anterior, estvamos tratando o

mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada

vendedora.

Maio Junho

Ana 1 Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2

Lcia 1 Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em

junho = 1,2 * 1,25 = 1,5

Como as vendas de Lcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5),

houve um aumento de 50%. Resposta: alternativa C

QUESTES FCC MDULO 1

1. (TRF 1 REGIO 2011 - MED) - Denis investiu uma certa quantia no mercado de

aes. Ao final do primeiro ms ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do

segundo ms, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00.

A quantia que Denis investiu foi:

(A) R$ 3 200,00

(B) R$ 3 600,00

(C) R$ 4 000,00

(D) R$ 4 200,00

(E) R$ 4 500,00

2. (SEFAZ PB 2006 - SUP) A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalizao

mensal, corresponde a uma taxa efetiva de

(A) 9% ao trimestre.

(B) [(1,03) - 1] ao bimestre.

(C) 12 . [(1,36)1/12 ? 1] ao ano.

(D) ao semestre.

(E) .



3. (TRT 22 REGIO/PI - 2004) Um comerciante compra certo artigo ao preo unitrio de

R$ 48,00 e o coloca venda por um preo que lhe proporcionar uma margem de lucro

de 40% sobre o preo de venda. O preo unitrio de venda desse artigo

(A) R$ 78,00

(B) R$ 80,00

(C) R$ 84,00

(D) R$ 86,00

(E) R$ 90,00

RESOLUES QUESTES FCC MDULO 1

Questo 1

Fator para o lucro de 20%: 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1 + 0,2 = 1,2

Fator para a perda de 15%: 100% - 15% = 100/100 15/100 = 1 0,15 = 0,85

O detalhe que Denis perdeu 15% apenas do que havia lucrado, e no do montante total. Ou

seja: o fator de 0,85 ser aplicado apenas ao lucro de 20%. Para saber o valor obtido ao final do

perodo, multiplicamos os fatores: 0,2 * 0,85 = 0,17

Logo, ao final do perodo, Denis possua 1,17 do valor investido inicialmente, que so R$

5.265,00. Para saber o valor investido inicialmente, podemos chamar o capital investido de C, e

estabelecer a seguinte relao:

1,17 de C igual a 5.265. Matematicamente:

1,17C = 5.265

Calculando o capital inicial:

C = 5.265/1,17

C = 4.500

RESPOSTA: Alternativa E

Questo 2 Primeiro passo: converter a taxa nominal para uma taxa efetiva. Como a taxa foi dada ao ano com capitalizao mensal, e 1 ano possui 12 meses: 36% / 12 = 3% ao ms Com essa informao, podemos analisar as alternativas: a) Essa alternativa estaria correta se fossem juros simples, pois 3% * 3 = 9%. No regime de juros compostos, essa taxa seria um pouco maior, pois o clculo seria 1,03 = 1,092727, ento a taxa seria de 9,2727%



b) Para converter a taxa mensal de 3% para uma taxa bimestral, utilizamos o fator 100% + 3% = 100/100 + 3/100 = 1 + 0,03 = 1,03. Como 1 bimestre possui 2 meses, elevamos esse fator ao quadrado, e depois subtramos 1 do resultado, que o mesmo 1 adicionado anteriormente para o caulo da potncia. Matematicamente, teramos: 1,03 - 1, que exatamente o sugerido pela alternativa. c) O clculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalizao mensal para uma taxa efetiva ao ano seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03) potncia 12 e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teramos: [(0,36/12)+1] - 1 d) O clculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalizao mensal para uma taxa efetiva ao semestre seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03) potncia 6 (1 semestre = 6 meses) e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teramos: [(0,36/12)+1]^6 1 e) Esse clculo seria correto caso estivssemos convertendo uma taxa efetiva de 36% ao ano para uma taxa mensal. Como 36% uma taxa nominal, esse no o clculo correto. RESPOSTA: Alternativa B

Questo 3 O problema informa que h um lucro de 40% sobre o preo de venda, e que descontado esse lucro, o valor do produto de R$ 48,00. Precisamos fazer o raciocnio inverso do que fizemos at o momento, pois se antes pensvamos em um fator de aumento e aplicvamos sobre um valor para descobrir o novo valor, agora aplicaremos um fator de decrscimo sobre um certo valor X, sabendo que o resultado ser R$ 48,00. Organizando matematicamente: Para descontar os 40%, o fator ser: 100% - 40% = 60%, ou em valor unitrio, 0,60. Esse fator dever ser aplicado sobre o preo com o lucro para termos o resultado 48. Assim: 0,60X = 48 X = 48/0,60 X = 80 RESPOSTA: Alternativa B



MDULO 6 JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

CAPITALIZAO SIMPLES X CAPITALIZAO COMPOSTA

Como vimos no tpico 1.1, a definio de capitalizao uma operao de adio dos juros ao

capital.

Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneira, uma maneira simples e outra

composta e depois compararmos.

Vamos analisar o exemplo abaixo:

Exemplo 3.1.1 Jos realizou um emprstimo de antecipao de seu 13 salrio no Banco do

Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao ms. Qual o valor pago por

Jos se ele quitou o emprstimo aps 5 meses, quando recebeu seu 13?

Valor dos juros que este emprstimo de Jos gerou em cada ms.

Em juros simples, os juros so cobrados sobre o valor do emprstimo (capital)

CAPITALIZAO COMPOSTA

MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00

3 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00

4 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00

5 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00

Em juros composto, os juros so cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do

perodo anterior)

CAPITALIZAO COMPOSTA

MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00

3 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10

4 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41

5 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05

Assim notamos que o Sr. jos ter que pagar aps 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros

simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.



GARFICO DO EXEMPLO

Note que o crescimento dos juros composto mais rpido que os juros simples.

JUROS SIMPLES

FRMULAS:

OBSERVAO: Lembre-se que o Montante igual ao Capital + Juros

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

A maioria das questes relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de

utilizar frmula matemtica.

APLICANDO A FRMULA

Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a frmula para encontrarmos a soluo

CALCULO DOS JUROS

CALCULO DO MONTANTE

J C i t (1 )M C i t



Exemplo 3.2.1 Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3

meses e taxa de 2% ao ms. Qual o valor dos juros?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 2% ao ms

OBS: Cuide para ver se a taxa e o ms esto no mesmo perodo. Nesse exemplo, no tem

problema para resolver, j que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,02 (taxa unitria) x 3

J = 6.000,00

Resposta: Os juros cobrado sero de R$ 6.000,00

RESOLVENDO SEM A UTILIZAO DE FRMULAS:

Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar frmula, apenas o conceito de

taxa de juros proporcional.

Resoluo:

Sabemos que 6% ao trimestre proporcional a 2% ao ms (ver tpico 2.1)

Logo, os juros pagos sero de 6% de 100.000,00 = 6.000,00

PROBLEMAS COM A RELAO PRAZO X TAXA

Agora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo no so dados em uma mesma unidade,

necessitando assim transformar um deles para dar continuidade resoluo da questo.

Sempre que houver uma divergncia de unidade entre taxa e prazo, melhor alterar o prazo do

que mudar a taxa de juros. Para uma questo de juros simples, esta escolha indiferente, porm

caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, ir encontrar dificuldades para responder

as questes de juros compostos, pois estas as alteraes de taxa de juros no so simples,

proporcional, e sim equivalentes.

Exemplo 3.2.2 Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3

meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?

Dados:

C = 100.000,00



t = 3 meses

i = 12% ao ano

Vamos adaptar o prazo em relao a taxa. Como a taxa est expressa ao ano, vamos transformar

o prazo em ano. Assim teremos:

C = 100.000,00

t = 3 meses = 3

12

i = 12% ao ano

Agora sim podemos aplicar a frmula

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,12 x 3

12

J = 3.000,00

ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS

Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prtica. Primeiramente, vamos

resolver pelo mtodo tradicional, depois faremos mais direto.

Exemplo 3.2.3 Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que

o valor do montante acumulado em aps 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros

mensal cobrada pelo banco.

Como o exemplo pede a taxa de juros ao ms, necessrio transformar o prazo em ms. Neste

caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:

Dados:

C = 100.000,00

t = 6 meses

M = 118.000,00

J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

Aplicando a frmula teremos:

18.000 100.000 6

18.000 18.0000,03

100.000 6 600.000

3% ao ms

i

i

i



Agora vamos resolver esta questo sem a utilizao de frmula, de uma maneira bem simples.

Para saber o valor dos juros acumulados no perodo, basta dividirmos o montante pelo capital:

118.000juros acumulado = 1,18

100.000

Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:

1,18 1 = 0,18 = 18%

18% os juros do perodo, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxa

proporcional e assim encontrar 3 % ao ms.

EST FALTANDO DADOS?

Alguns exerccios parecem no informar dados suficientes para resoluo do problema. Coisas do

tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc.

Vamos ver como resolver esse tipo de problemas, mas em geral bem simples: basta atribuirmos

um valor para o dado que est faltando.

Exemplo 3.2.4 Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em aes.

Aps 8 meses, resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicao inicial dobrou. Qual

a rentabilidade mdia ao ms que este fundo rendeu?

Para quem vai resolver com frmula, a sugesto dar um valor para o capital e assim teremos

um montante, que ser o dobro desse valor. Para facilitar o clculo, vamos utilizar um capital igual

a R$ 100,00, mas poderia ser utilizado qualquer outro valor.

Dados:

C = 100,00

t = 8 meses

M = 200,00 (o dobro)

J = 100,00 (Lembre-se que os juros a diferena entre o Montante e o Capital)

Substituindo na frmula teremos

100 100 8

100 1000,125

100

12,5% ao

8 80

0

m s

i

i

i

RAC. LGICO MATEMT