Raciocínio Lógico

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Raciocínio Lógico

Professor Wagner BertoliniÉ com grande satisfação que apresento a vocês este curso de RACIOCÍNIO LÓGICO, projetado especialmente para aten-

der às necessidades daqueles que se preparam para o concurso da AGÊNCIA NACIONAL DE TRANSPORTES AQUAVIÁRIOS.Permitam-me fazer uma breve apresentação de minha trajetória acadêmica e profissional:-graduado pela Faculdade de Ciências Farmacêuticas pela USP-RP, em 1990;- Mestre em síntese de complexos bioinorgânicos de rutênio, com liberação de óxido nítrico, pela Faculdade de Ciências Farma-

cêuticas, USP-RP;-Doutor em farmacotécnica, estudando o efeito de promotores de absorção cutânea visando à terapia fotodinâmica para o câncer

de pele, Faculdade de Ciências Farmacêuticas pela USP-RP;-Especialista em espectrometria de massas, pela Faculdade de Química, USP-RP;-professor de Química em ensino Médio e pré-vestibular (Anglo, Objetivo, COC) desde 1992.-professor de Química (Orgânica, Geral, Analítica, Físico-Química e Inorgânica) em cursos de graduação;-Professor de Química Farmacêutica, em curso de graduação em Farmácia;- Professor de raciocínio lógico;-ProfessordePós-Graduação em Biotecnologia (controle de produtos e processos biotecnológicos);-Analista Químico em indústria farmacêutica, AKZO do Brasil, em SãoPaulo-SP.-Consultor de pesquisa entre empresa-Universidade, em RibeirãoPreto, onde resido atualmente.

Espero poder contribuir com a sua capacitação para este concurso.Seguem abaixo comentários acerca do conteúdo e da metodologia do nosso curso.

ApresentaçãodocursoConteúdo do edital:1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou propo-

sicional). 3.1. Proposições simples e compostas. 3.2. Tabelas-verdade. 3.3. Equivalências. 3.4. Leis de De Morgan. 3.5. Diagramas lógicos. 4. Lógica de primeira ordem. 5 Princípios de contagem e probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7 Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.

Na NOVA nós seguimos a sequencia do edital. Não creio que a sequencia do edital esteja boa na parte inicial, pois isola estruturas lógicas de tabela-verdade. Depois, coloca argumentação antes de tabela verdade.

Caso queira minha orientação para melhorar seu entendimento, creio que você deveria seguir a seguinte sequencia: 1, 3, 2, 4, 5, 6 e 7.Faremos uma análise global dos tópicos, através de explicações bem detalhadas, com dicas e orientações de como proceder para

resolver as questões e em menor tempo. Teremos vários exercícios das principais bancas de concursos públicos do país.A proposta do curso é facilitar o seu trabalho e reunir toda a teoria e inúmeros exercícios, no que tange aos assuntos do edital, em

um só material. Nosso curso será completo (teoria detalhada e muitas questões por aula). Ao mesmo tempo, não exigirá muitos conhecimentos prévios, na maioria do curso. Portanto, se você está iniciando seus estudos no assunto, fique tranquilo, pois, nosso curso atenderá aos seus anseios perfeitamente. Se você já estudou os temas e apenas quer revisá-los, o curso também será bastante útil, pela quantidade de exercícios que teremos e pelo rigor no tratamento da matéria, o que lhe permitirá uma excelente revisão do conteúdo.

Por isto sua preparação com afinco e dedicação pode ser seu diferencial. E aqui estou, junto a você, nesta batalha. Eu e o pessoal da NOVA procuraremos a sua melhor preparação.

Lembre-se que, como concursando, muitas vezes você se sente sozinho, desacreditado e sem muita confiança. Mas saiba que o trabalho do estudo é duro, solitário, cansativo e requer muita vontade e dedicação. Quando vier sua aprovação, sua vitória você verá que o seu sucesso pertence a todos (inclusive àqueles que nunca te apoiaram... mas assim é a vida). Força e pense sempre em você, nos seus familiares, naqueles por quem você tem amor.

Desejo um excelente estudo e ótimos resultados nesta jornada. Muito boa sorte, dedicação e boa prova!!!!

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Raciocínio Lógico

1 ESTRUTURAS LÓGICAS.

Breve introdução

Não há um consenso quanto à definição da lógica, mas alguns autores a definem como o estudo dos processos válidos e gerais pelos quais atingimos a verdade, inclusive pelo estudo dos princípios da inferência válida. É a Ciência que expõe as leis, modos e formas do conhecimento científico. É uma ciência formal que se dedica ao estudo das formas válidas de inferência. Trata-se, portanto, do estudo dos métodos e dos princípios utilizados para distinguir o raciocínio correto do incorreto.

A lógica foi criada por Aristóteles, no século IV a.C., como uma ciência autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material. É por esta razão que esta lógica aristotélica se designa também por lógica formal.

Segundo os registros foi Aristóteles quem sugeriu o silogismo como sendo o argumento válido. Aristóteles é considerado o pai da lógica formal.

Conceito de proposição

Vamos a um conceito básico, em função de ter encontrado diversos conceitos:“Chama-se proposição toda oração declarativa que admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V), mas não as

duas valorações”.Em função de ser uma oração é esperado que apresentasse, portanto, sujeito e predicado. A expressão: “As belas ruas de paralelepí-

pedo de Ribeirão Preto” NÃO se constitui uma proposição devido à ausência de predicado.Como anteriormente mencionado a oração é declarativa. Portanto, teremos alguns tipos de expressões que NÃO serão proposi-

ções, por serem do tipo imperativo, interjeições, exclamativa, interrogativas, indefinidas (abertas).Desta forma, não são proposições expressões do tipo:a) Que bela manhã! (exclamativa).b) Quer uma xícara de café? (interrogativa).c) Pare!!! (imperativa – indica ordem).d) Feliz Natal!. (optativa – exprime desejo).e) Ele foi o melhor jogador do campeonato. (sentença aberta; não se sabe quem é “ele” e, assim, não podemos valorar tal expressão).

Veja algumas frases que são proposições (aquelas que podemos valorar em verdadeira ou falsa)a) A lua é o único satélite do planeta Terra (V)b) A cidade do Recife é a capital do estado do Maranhão. (F)c) O número 612 é ímpar (F)d) A raiz quadrada de dois é um número irracional (V)Mas, uma proposição pode ser qualquer outro tipo de expressão, tais como as matemáticas, conjunto de símbolos que possuam

um significado, e que pode ser valorada em verdadeiro ou falso. Exemplo:4 > 7 Estamos afirmando que o número quatro é maior que o número sete. Temos, neste caso, símbolos numéricos, o que ainda assim

nos permite dizer que isto é uma proposição. No caso, é uma proposição falsa.Veja o exemplo abaixo:x-8 = 0 Não podemos valorar esta expressão em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não se conhece o valor de x. Se x valer oito,

teremos x – 8 = 0. Porém, para qualquer outro valor de x que não seja oito, a igualdade acima está errada.Sendo “x” uma variável, pode assumir inúmeros valores. Quando a expressão apresentar uma variável, nós dizemos que ela é

uma sentença aberta. Isto nos impede de julgá-la em verdadeira ou falsa. Logo, não é proposição.Em algumas situações teremos expressões que serão denominadas paradoxos. E estas não podem ser valoradas em falsa ou ver-

dadeira porque teríamos uma situação de contradição. Veja a seguinte frase:Um meliante declara à polícia: “Eu sou mentiroso”.Isto não pode ser uma proposição lógica, pois, se consideramos que o meliante disse a verdade, então é verdade que ele é um

mentiroso e, portanto, sendo um mentiroso ele não pode declarar uma verdade. Contradição!

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Raciocínio LógicoResumindo:

Não são proposições: frases exclamativas, interrogativas, opinativas, as expressões de desejo, as expressões de sentimentos, as interjeições, orações imperativas, e aquelas que contenham variáveis (sentenças abertas).

A partir daí, podemos encontrar alguns princípios que devem sempre ser observados:

1) Princípio da Identidade: Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira. Uma proposição falsa é sempre falsa. 2) Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

3) Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor. Não há meio termo.

Exercícios resolvidos

Exemplo: MRE 2008 [CESPE] (MODIFICADO)Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V —, ou falsas — F —, mas não cabem a elas ambos

os julgamentos.Julgue os itens abaixo:1. Considere a seguinte lista de sentenças:I - Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?II - O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y.IV - O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.Nessa situação, é correto afirmar que, entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.

Resolução. A sentença I é uma pergunta. Não podem ser julgado em verdadeiro ou falso, não sendo classificada como proposição. Na sentença II temos uma expressão de opinião sobre o Palácio do Itamaraty. Alguém está dizendo expressando sua opinião de

que o Palácio é belo. Não é proposição.Na sentença III, temos duas variáveis (x e y). Quando temos variáveis, trata-se de uma sentença aberta, que não pode ser julgada

em verdadeira ou falsa. Logo, não é uma proposição.Na sentença IV, temos outra expressão de opinião. Também não é proposição.Gabarito: errado.

Exemplo: (BB1/2007/Cespe) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras do alfabeto — A, B, C, etc.

Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V.

Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item subsequente.

01. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”“A expressão X + Y é positiva.”“O valor de 7= 3 +4.”“Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.”O que é isto?Resolução- “A frase dentro destas aspas é uma mentira”.É uma oração declarativa, mas não pode ser classificada em verdadeiro ou falso. Se tentarmos classificá-la como verdadeira,

teremos uma contradição. Se classificarmos como falsa, temos uma nova contradição, pois é falso dizer que a frase dentro daquelas aspas é mentira, e, portanto, ela seria verdadeira. Logo, a frase “A frase dentro destas aspas é uma mentira” não é uma proposição

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Raciocínio Lógicológica. É um paradoxo.

- A expressão X + Y é positiva.É uma sentença aberta e não pode ser valorada em V ou F, pois não conhecemos os valores de X e Y. - A frase p: O valor de 7 = 3 + 4 é proposição, pois se constitui em oração declarativa e que assume apenas um dos dois valores

lógicos V ou F.- Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira é proposição, pois se constitui em oração declarativa e que assume apenas um

dos dois valores lógicos V ou F.- O que é isto?É uma frase interrogativa e, portanto, não é uma proposição. O item está errado porque há exatamente duas proposições.

Questões propostas

Questão 1) (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, en-quanto uma delas não tem essa característica.

I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado?IV. Existe vida em outros planetas do universo.V. Escreva uma poesia.A frase que não possui essa característica comum é aa) I.b) II.c) III.d) IV.e) V.

Questão 2) As frases “Transforme seus boletos de papel em boletos eletrônicos” e “O carro que você estaciona sem usar as mãos” são, ambas, proposições abertas.

Questão 3) (TRT 17ª Região 2009/CESPE-UnB) Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, mas não como V e F simultaneamente.

A partir das informações do texto, julgue o item a seguir. A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições.- A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica.- Por que existem juízes substitutos?- Ele é um advogado talentoso.

Questão 4) (TCE-PB/2006/FCC)Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças:

1.Três mais nove é igual a doze.2. Pelé é brasileiro.3. O jogador de futebol.4. A idade de Maria.5. A metade de um número.6. O triplo de 15 é maior do que 10.É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números. a) 1,2 e 6.b) 2,3 e 4.c) 3,4 e 5.d) 1, 2, 5 e 6.e) 2, 3,4 e 5.

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Raciocínio LógicoQuestão 5) SEFAZ SP 2006 [FCC]Considere as seguintes frases:I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.II. (x+ y)/5 é um número inteiro.III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.É verdade que APENASa) I e II são sentenças abertas.b) I e III são sentenças abertas.c) II e III são sentenças abertas.d) I é uma sentença aberta.e) II é uma sentença aberta.

Questão 6)FINEP2009[CESPE] Acerca de proposições,considere as seguintesfrases:IOs Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos.II O que é o CT-Amazônia?III Preste atenção ao edital!IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.São proposições apenas as frases correspondentes aos itens:a)I e IV.b)II eIII.c)III eIV.d)I,II eIII.e)I, II eIV.

Questão 7) TRT 17 – 2009 [CESPE] Julgue o item a seguir:Na sequência de frases abaixo, há três proposições.- Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil?- O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas.- Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES.- Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES.

Questão 8) (BB2/2007/Cespe) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R, etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧, então se obtém a forma P∧Q, lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨, então se obtém a forma P∨Q, lida como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. A partir desses conceitos, julgue o próximo item.

Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faça seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

Questão 9) (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças:

1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco.4. Quarenta e dois detentos.5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis.

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Raciocínio LógicoDe acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números.(A) 1 3 e 5.(B) 2, 3 e 5.(C) 3, 5 e 6.(D) 4 e 6.(E) 5 e 6.

Resolução das questões propostas

Questão 1) Resolução A frase I é exclamativa. A frase II não possui predicado, não sendo assim uma oração.A frase III é interrogativa e a frase V é imperativa.Portanto a característica comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única proposição é a frase IV, pois

é uma oração declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de não sabermos o seu valor lógico.

Questão 2) Resolução Para que uma frase seja uma sentença aberta, o sujeito deve ser uma variável. A primeira frase é imperativa. Portanto não é proposição.A segunda frase não tem sentido completo. Não se trata de uma proposição lógica, pois estas devem possuir sentido completo. O item está errado.

Questão 3) ResoluçãoA primeira frase é uma oração declarativa e que, mesmo que não saibamos, pode ser classificada em V ou F.A segunda frase é interrogativa. Não é proposição.A terceira frase é uma sentença aberta. “Ele” é um termo que varia. Esta frase não pode ser classificada em V ou F. Não é proposição. O item está errado.Questão 4) Resolução As frases 1, 2 e 6 têm sujeito e predicado. São, portanto, sentenças. As frases 3,4 e 5 não possuem sentido completo. Não são sentenças.

Questão 5) ResoluçãoI. A expressão utiliza a palavra “ele” para dar o teor de indefinição. A cada possível pessoa designada por “ele”, temos um valor

lógico diferente. Trata-se de uma sentença aberta, que não é proposição. II. Temos variáveis (x e y). Novamente não é uma proposição, e sim uma sentença aberta.III. Temos uma proposição, pois pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Ou é verdade que João foi o secretário, ou é falso.

Não há uma terceira opção. Se é possível julgar em V ou F, é proposição. Concluindo: I e II são sentenças abertas; III é proposição.Gabarito: A

Questão 6) Resolução.A frase II é uma pergunta, não podendo ser julgada em V ou F. A frase III é uma ordem, que também não é proposição. Logo,

são proposições as frases I e IV.Gabarito: A

Questão 7) Resolução.Observem que a primeira sentença é uma pergunta, que não pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição.As demais sentenças são proposições, pelo que o item é verdadeiro.Gabarito: certo

Questão 8) ResoluçãoAs frases (I) e (III)são proposições, pois são orações declarativas. A frase (II) é imperativa e, portanto, não é uma proposição. O

item está certo.

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Raciocínio LógicoQuestão 9) Resolução:1. Tomara que chova! (exclamativa)2. Que horas são? (interrogativa)3. Três vezes dois são cinco (proposição).4. Quarenta e dois detentos.(sem predicado)5. Policiais são confiáveis. (proposição)6. Exercícios físicos são saudáveis. .(proposição)De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números(A) 1, 3 e 5.(B) 2, 3 e 5.(C) 3, 5 e 6.(D) 4 e 6.(E) 5 e 6.Resolução: A resolução está dada em vermelho após cada expressão. Letra C

2 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES.

ARGUMENTAÇÃO LÓGICA

Chama-se argumento uma sequência finita de proposições P (P1, P2, P3,...Pn) que inferem uma proposição Q (ou C), ou seja, um grupo de proposições iniciais denominadas premissas, que findam em uma proposição final, denominada de conclusão do argumento, que será consequência das premissas iniciais.

Há um caso de argumento, em que temos duas premissas e uma conclusão. Tal argumento recebe o nome de silogismo categórico (Aristóteles).

As premissas também podem ser denominadas de hipóteses e a conclusão de tese.Vejamos alguns exemplos de argumentos:

Exemplo 1)p1: Todos os homens são mortaisP2: Sócrates é homemC: Logo, Sócrates é mortal.Vamos interpretar estas premissas?Acima, temos duas premissas (Todos os homens são mortais; Sócrates é homem). Estamos dizendo que essas duas premissas

acarretam na nossa conclusão (Sócrates é mortal). Eis nosso exemplo de argumento.

Exemplo 2) Primeira premissa: Todos os homens são analfabetosSegunda premissa: Raquel de Queiroz é homemConclusão: Logo, Raquel de Queiroz é analfabeta.Acima, temos duas premissas (Todos os homens são analfabetos; Raquel de Queiroz é homem). Estamos dizendo que essas duas

premissas acarretam na nossa conclusão (Raquel de Queiroz é analfabeta). Eis nosso exemplo de argumento.

IMPORTANTE:- O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja, silogismo é o argumento formado por duas

premissas e a conclusão.- Em um argumento lógico, sempre consideraremos as premissas como sendo verdadeiras. - O argumento lógico afirma que o conjunto de premissas tem como consequência uma determinada conclusão.

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Raciocínio LógicoMas fica uma questão: todos os argumentos lógicos são válidos?

Façamos, então, um estudo dos argumentos lógicos, para verificar se eles são válidos ou inválidos. É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a tentar entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido.

Validade de um argumentoDizemos que um argumento é válido, quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas, ou

seja, as premissas verdadeiras garantem que a conclusão também será verdadeira.

DICA: VÁLIDO, TODOS VERDADEIROS (premissas e conclusão).Existem casos em que o argumento é INVÁLIDO. Veremos em algumas situações que as premissas e a própria conclusão po-

derão ser visivelmente falsas (e até absurdas), e o argumento, ainda assim, poderá ser considerado válido. Isto pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste.

“Quando o argumento não é válido, diz-se que é um sofisma”.

OBS: A grande dificuldade para o concursando é que ele pensa na lógica do cotidiano e, muitas vezes atribui valor falso para premissas

ou conclusões por considerá-las absurdas para o mundo real. Na lógica argumentativa pouco importa se, no mundo real, as premissas são de fato verdadeiras ou não. Não nos cabe avaliar se uma premissa é realmente verdadeira. Isto cabe a outros ramos das diversas ciências (física, química, biologia, Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, etc).

Na lógica argumentativa estamos interessados na forma do argumento. O que nós analisaremos é se o argumento está bem cons-truído, bem formulado, isto é, se as premissas, de fato, suportam a conclusão, resultando num argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis.

Aqui vale a teoria do pedreiro: “o que vale é a construção e não o seu conteúdo” (kkkk, não existe esta teoria, mas a frase é totalmente válida).

Com uma construção adequada o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão.

RECAPITULANDO:Considerando SEMPRE que as premissas são verdadeiras, a conclusão necessariamente também seja verdadeira, então o ar-

gumento é válido. Caso contrário, se existir um caso em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão seja falsa, então o argumento é inválido.

O que devemos fazer para determinar se um argumento é mesmo válido? Vermos muitos métodos que poderão ser úteis e que serão usados com frequência em questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer. Porém, dentre estes méto-dos podemos ter um cuidado inicial em selecionar, eleger, qual o que nos daria a resposta com maior rapidez. Porém, um método será visto com mais atenção, pois, nos dá toda a base teórica que NUNCA podemos desprezar: a tabela-verdade. Este método, dependendo do caso, não é o recomendado devido ao tamanho (número de linhas) da tabela.

Existem várias técnicas desenvolvidas por estudiosos e professores. O número de técnicas chega facilmente a, pelo menos, SEIS. Porém, para cada caso devemos eleger o que seria mais conveniente.

TÉCNICAS DE ANÁLISE DA VALIDADE DO ARGUMENTO

A) Através da tabela-verdadePara analisar um argumento por meio da tabela-verdade, devemos seguir alguns passos básicos:- montar uma tabela-verdade contendo todas as premissas e a conclusão.– identificar as linhas em que todas as premissas são verdadeiras.– verificar se, nas linhas indicadas no item anterior a conclusão também é verdadeira.

- FINALIZANDO: nas linhas avaliadas se as premissas e a conclusão forem verdadeiras o argumento é válido. Em caso negativo, o argumento é inválido.

Veja a situação abaixo:Como analisar uma questão sem frases, apenas empregando a linguagem lógica para as premissas e conclusão?Vamos seguir os passos e resolver? Mãos à obra!!!Devemos saber que o que está acima da linha são as premissas, enquanto que abaixo dela encontra-se a conclusão. Neste caso,

temos duas premissas e a conclusão (um silogismo).

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Raciocínio LógicoCasos deste tipo podem ser frases que já foram traduzidas para linguagem simbólica.Depois de construir a tabela-verdade, devemos verificar quais são as suas linhas em que os valores lógicos das premissas têm

valor V. Depois devemos analisar as linhas das premissas com valores V (com premissas verdadeiras) com os valores lógicos das colunas da conclusão forem também Verdadeiros. Nestes casos o argumento é válido. Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras) houver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido.

Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve várias proposições simples.

EXEMPLO:(p ∧ q) → r~r____________~p ∨ ~q

1º passo) Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a conclusão. Teríamos, portanto, três tabelas a construir (uma tabela para cada premissa e uma tabela para a conclusão). Para economizarmos espaço, ganharmos tempo e facilitarmos a exe-cução do deste passo, faremos somente uma tabela-verdade, em que as premissas e a conclusão corresponderão a distintas colunas nesta tabela, conforme se observa abaixo.

Observe que as premissas e a conclusão são obtidas pelos seguintes procedimentos:- A 1ª premissa (4ª coluna da tabela) é obtida pela condicional entre a 3ª e a 2ª colunas.- A 2ª premissa (5ª coluna) é obtida pela negação da 2ª coluna.- A conclusão (8ª coluna) é obtida pela disjunção entre a 6ª e a 7ª colunas.

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª

Linha q r (p∧q) 1ªPrem(p ∧ q) → r

2ª Prem~r ~p ~q Conclusão

~p ∨ ~q1 V V V V F F F F2 V F V F V F F F3 F V F V F F V V4 F F F V V F V V5 V V F V F V F V6 V F F V V V F V7 F V F V F V V V8 F F F V V V V V

2º passo) Agora, vamos verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas são todos V. Daí, obser-vamos que a 4ª, 6ª e 8ª linhas apresentam todas as duas premissas com valor lógico V.

3º passo) Finalizando, temos que verificar qual é o valor lógico da conclusão para estas mesmas 4ª, 6ª e 8ª linhas. Em todas elas a conclusão é também V. Portanto, o argumento é válido.

PREMISSAS VERDADEIRAS E CONCLUSÕES VERDADEIRAS = ARGUMENTO VÁLIDO.EXEMPLO: Classifique o argumento abaixo em válido ou inválidoPremissas:1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema.2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.3 – Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto.Conclusão: Manuel não vai ao mercado.Resolução:Vamos dar nomes às proposições simples.m: Manuel vai ao mercado.

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Raciocínio Lógicoc: Cláudia vai ao cinema.p: Pedro vai ao porto.b: Beatriz vai ao boliches: Suelen vai ao shoppingLembra quantas linhas teremos? X = 25 = 32 linhas. Olha só que tabela grande:

Prem 1 Prem2 Premissa 3 Premissa 4 Conclusãom → c

c V p b ^ s ~ s V ~p ~m

-E aí? Vai encarar esta tabela? Só se for para treinar, porque na prova você não deverá dispender tanto tempo assim. Só se tiver tempo de sobra e ainda não consegui responder por outra técnica.

UMA POSSIBILIDADE INTERESSANTE, QUANDO se usa a tabela-verdade é a possibilidade de eliminar as linhas que po-

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Raciocínio Lógicodem originar premissas falsas (já que elas devem ser sempre verdadeiras para o argumento poder ser válido e partimos sempre desta consideração). Mas dependendo do número de premissas, ainda assim seria trabalhosa.

EXEMPLOClassifique o argumento abaixo em válido ou inválido Premissas:1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema.2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.3 – Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto. Conclusão: Manuel não vai ao mercado.Já vimos a montagem da tabela-verdade vamos usá-la novamente o exemplo anterior. Portanto:

Prem 1 Prem2 Premissa 3 Premissa 4 Conclusãom → c c ∨ p b ∧ s ~ s ∨ ~p ~m

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Raciocínio LógicoVamos analisar a primeira premissa: trata-se de uma condicional. E só temos um caso em que ela será falsa. Isto não nos ajuda

muito. Portanto, não perderemos tempo com ela. Analisaremos a terceira premissa, pois esta é uma conjunção:

- Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping. Acima temos um conectivo “e”. Há um único caso em que a proposição composta com a conjunção é verdadeira: quando as duas

parcelas são verdadeiras.Logo, o único caso em que a proposição acima é verdadeira é quando Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping. Portanto, para

que a terceira premissa seja verdadeira, devemos ter, obrigatoriamente as seguintes condições:Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping (b e s devem ser verdadeiros).

Tal fato nos ajudará muito, pois, as linhas em que isto não ocorrer podem ser omitidas da tabela-verdade. Vejam, na tabela acima que marquei em vermelho onde b e s são falsos. Com isto o número de linhas já diminuiria muito e restariam as linhas abaixo.

Prem 1 Prem2 Premissa 3 Premissa 4

Conclusão

m → c

c ∨ p b ∧ s ~ s ∨ ~p

~m

Vamos para a quarta premissa. Por que esta premissa agora? Porque temos informação sobre Suelen. Em nenhuma outra premissa temos informação sobre Beatriz. Portanto, é o que nos resta de caminho.

4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto. É uma premissa. Como qualquer premissa, deve ser verdadeira. Temos uma disjunção. Para que seja verdadeiro, pelo menos uma das parcelas deve ser verdadeira. A primeira parcela, esta nós já sabemos algu-ma coisa sobre ela. Vimos que Suelen vai ao shopping (s é verdadeiro). Mas na premissa Suelen não vai ao shopping torna esta parcela falsa. Analisaremos a segunda parte da proposição molecular da premissa 4.

Nesta disjunção temos a ocorrência da negação de s ( ~s, que teria valor falso). Portanto, para que esta disjunção seja verdadeira, a segunda proposição obrigatoriamente deverá ser verdadeira. Mas veja: a segunda proposição sendo verdadeira corresponderá à negação de p sendo verdadeiro. Portanto p é falso (linhas a serem eliminadas). Com isto, descartaremos as linhas em que p é falso. Na tabela acima marcarei em vermelho as linhas em que p é falso. Nossa tabela-verdade ficará assim:

Prem 1 Prem2 Premissa 3

Premissa 4

Conclusão

m → c

c ∨ p b ∧ s ~ s ∨ ~p

~m

Como temos também uma disjunção na segunda premissa, faremos a mesma análise, levando em consideração que em2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.

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Raciocínio LógicoSabemos que Pedro ir ao porto é falso é obrigatório que Claudia vai ao cinema seja verdadeiro.(c: deve ser verdadeiro.). Elimi-

naremos assim as linhas em que c tenha valor lógico Falso.Na tabela acima marcarei em vermelho as linhas em que c é falso. Nossa tabela-verdade fica reduzida a:

Prem 1

Prem2

Premissa 3

Premissa 4

Conclusão

m → c

c ∨ p b ∧ s ~ s ∨ ~p ~m

Para finalizar, analisaremos a primeira premissa:

1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema.A segunda parcela deste condicional é verdadeira (Cláudia vai ao cinema). Com isso, automaticamente, o condicional será ver-

dadeiro, independente do valor lógico da primeira parcela. Assim, não interessa o valor lógico de m. Qualquer que seja, a primeira premissa será verdadeira.

Deste modo, não conseguimos excluir mais linhas da nossa tabela-verdade. Ela ficará da forma como vimos acima.

Prem 1

Prem2

Premissa 3

Premissa 4

Conclusão

m → c

c ∨ p b ∧ s ~ s ∨ ~p

~m

Nos resta completar o que sobrou da tabela-verdade inicial.

Ora, nós fomos retirando todos os casos que tornavam as premissas falsas. Logo, nos casos restantes, todas as premissas são verdadeiras.Prem

1Prem

2Premissa

3Premissa

4Conclusão

m → c

c ∨ p b ∧ s ~ s ∨ ~p

~m

V V V VV V V V

Assim, só montamos as linhas que interessam: só aquelas em que todas as premissas são verdadeiras. Nestas linhas, vamos analisar a conclusão.

Prem 1

Prem2 Premissa 3

Premissa 4

Conclusão

m → c

c ∨ p b ∧ s ~ s ∨ ~p ~m

V V V V FV V V V V

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Raciocínio LógicoAgora buscaremos as linhas em que a conclusão também seja verdadeira. Caso tenhamos linha com premissas verdadeiras e a

conclusão seja falsa o argumento não é valido. Vejam que existe um caso de premissas verdadeiras e conclusão falsa.Resposta: argumento inválido.Outra técnica possível, e eu arriscaria dizer que é a mais rápida e mais empregada para se resolver as questões, é a que eu, pes-

soalmente, denomino de:

2) TÉCNICA DA PREMISSA FÁCIL

Considerando as premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.Devemos “garimpar” entre as premissas dadas uma que seja fácil (geralmente proposição simples e a conjunção) e analisar os

conectivos após atribuir um valor lógico devido à dica da premissa fácil Este método, fácil e eficiente serve para resolver a maioria das questões cobradas pela ESAF (neste assunto) e também outras

bancas.Vou demonstrar a validade de um argumento empregando esta técnica fazendo DOIS exemplos. Vale lembrar que SEMPRE

considerarei as premissas como verdadeiras. Daí, por meio das operações lógicas com os conectivos e com o valor lógico da PRE-MISSA FÁCIL, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o argumento seja considerado válido.

Exemplo 01):

p ∨ q~p ________q

1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é:1ª premissa o valor lógico de p ∨ q é verdade2ª premissa o valor lógico de ~p é verdade.Buscaremos, agora, determinar o valor lógico das proposições simples p e q, com a finalidade de, após isso, obter o valor lógico

da conclusão.Observando a 2ª premissa, verificamos que esta é uma proposição simples (e, portanto verdadeira, segundo a técnica).

Conclusão:2ª premissa: ~p é verdadeComo ~p é verdade, logo p é falso.

Usaremos esta informação para obter o valor lógico da proposição simples p, na proposição composta da premissa 1).

Observação:Avaliando a 1ª premissa antes da segunda premissa não teríamos como obter de imediato o valor lógico de p, e nem de q, mesmo

considerando a premissa como verdadeira

2º passo)Análise da 1ª premissa:p ∨ q é verdade

Sabendo que p é falso, e que p ∨ q é verdade, então o valor lógico de q, de acordo com a tabela-verdade do “ou” (uma das pre-missas deve ser verdadeira), é necessariamente verdade.

Portanto, até o momento concluímos que:p é falsoq é verdade

3º passo) Agora vamos utilizar os valores lógicos obtidos para p e q a fim de encontrar o valor lógico da Conclusão. Como esta é formada apenas pela proposição simples q, então a conclusão tem o mesmo valor lógico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento é válido.

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Raciocínio LógicoEXEMPLO 2:Classifique o argumento abaixo em válido ou inválidoPremissas:1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema.2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.3 – Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto.

Conclusão: Manuel não vai ao mercado.

Vamos considerar todas as premissas como verdadeiras e usar a informação da premissa fácil e com a análise dos conectivos, para ver se a conclusão dada é verdadeira e definirmos a validade do argumento.

Observa-se que ao final do texto existe uma informação dada por uma premissa simples, que é a conclusão (que pode ser V ou F). A premissa 3 que é a dica, pois, a única maneira da conjunção ser verdadeira é que ambas as parcelas sejam verdadeiras. Portanto, a premissa 3 nos permite concluir que:

3- Beatriz vai ao boliche (V) e Suelen vai ao Shopping (V).Observe que a premissa que novamente traz Beatriz (não tem mais premissa) ou Suelen é a premissa 4, que está na forma de

disjunção. Ora, a tabela-verdade da disjunção requer que uma das parcelas seja verdadeira e a outra seja falsa. Como sabemos que Suelen não vai ao shopping é falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Portanto, concluímos que “Pedro não vai ao porto” é verdade. Portanto, “Pedro vai ao porto” é falso.

4 – Suelen não vai ao shopping (F) ou Pedro não vai ao porto. (V)Observe que a premissa que novamente traz Pedro é a premissa 2, que está na forma de disjunção. Ora, a tabela-verdade da

disjunção requer que uma das parcelas seja verdadeira e a outra seja falsa. Como sabemos que “Pedro vai ao porto” é falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Portanto, concluímos que “Cláudia vai ao cinema” é verdade. Portanto,

(F) Cláudia vai ao cinema (V) ou Pedro vai ao porto (F).

Resta agora analisar a premissa 1:1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema (V).Como sabemos que “Cláudia vai ao cinema” é verdade. Portanto, para a condicional ser verdadeira com a segunda parcela

sendo verdade é necessário que a primeira parcela também seja verdade. Portanto, concluímos que “Cláudia vai ao cinema” é verdade. Portanto, “Manuel vai ao mercado” deve ser verdadeiro, para que a premissa 1 (e todas as premissas sejam, no caso, verdadeiras).

Se Manuel vai ao mercado (V), então Cláudia vai ao cinema (V).Agora, comparemos com a conclusão que nos foi dada no enunciado:Conclusão: Manuel não vai ao mercado.Análise das premissas: Manuel vai ao mercado.Premissas verdadeiras e a conclusão para a mesma premissa é oposta (portanto, falsa). RESULTADO: argumento INVÁLIDO.

Veja que esta mesma questão fora anteriormente resolvida pela confecção da tabela-verdade (claro, obtendo-se mesmo resultado), porém, com muito mais trabalho para resolver.

3) Técnica da conclusão FALSAEste método é parecido com o método anteriormente descrito, com a seguinte diferença: considerando a conclusão é falsa

e fazer a verificação se conseguimos ter todas as premissas verdadeiras. Se a se concluirmos que é possível a existência dessa situação o argumento será inválido.

Ou seja, um argumento é válido se não ocorrer a situação em que as premissas são verdades e a conclusão é falsa. Este método consiste em fazer uma avaliação “às avessas”, pois, faremos a análise das premissas e verificar se conseguiremos

ter todas as premissas sendo verdadeiras e a conclusão é falsa. Caso isto se verifique o argumento será inválido.Professor, se a técnica é muito parecida com a anterior por que temos duas técnicas para usar? Caro aluno, às vezes temos

casos em que a proposição em estudo pode admitir duas ou mais possibilidades, o que torna a análise mais complicada se conside-

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Raciocínio Lógicoramos a conclusão verdadeira. Mas, com a conclusão sendo falsa a tabela-verdade pode permitir uma única valoração, facilitando a análise.

PRESTE BEM A ATENÇÃO:Nesta técnica começamos a análise pela conclusão.Por que? Quando devemos usar esta técnica?Esta técnica é indicada quando a conclusão só apresenta um caso de falso. Isso ocorre quando a conclusão é:- uma proposição simples ou uma disjunção ou uma condicional

Vamos a um exemplo. Exemplo 01)Premissa 1: Se fizer sol então vou nadar ou jogar futebolPremissa 2: Se eu nadar então não fez sol.Premissa 3: Se chover então não vou jogar futebolConclusão: Se fizer sol então não chove.

Veja, que se considerarmos a conclusão como verdade teríamos três possibilidades para que isto aconteça. Porém, ao considerá-la falsa teremos uma única situação:

Antecedente Verdade e consequente falso.Portanto, concluiríamos que: Fez sol é verdade Não Choveu é falso (logo, choveu é verdade).

Agora o que faremos?Vamos trabalhar com estas duas conclusões das proposições da conclusão e verificar se teremos todas as premissas verdadeiras.

Caso isto ocorra, teremos um argumento INVÁLIDO. Para que o argumento seja válido deveremos ter uma incompatibilidade, uma incongruência nas premissas.

Então, vamos à análise:Inicialmente esquematizaremos as premissas e a conclusão com os valores lógicos atribuídos a eles:Verdade para a Premissa 1: Se fizer sol então vou nadar ou jogar futebol Verdade para a Premissa 2: Se eu nadar então não fez sol.Verdade para a Premissa 3: Se chover então não vou jogar futebol Conclusão: Se fizer sol então não chove. (F) (a condicional é falsa e não as duas premissas simples)

Depois devemos procurar nas premissas onde teríamos as proposições “Chover” e “fez sol” e substituir pelos valores lógicos atri-buídos na conclusão

Veja que temos nas premissas 1 e 2 a condicional com a parcela referente ao sol e na premissa e 3 a parcela referente a chuva (chover).Vamos, então, adicionar os valores lógicos e depois concluirmos o que for possível:

Premissa 1: Se fizer sol (V)então vou nadar ou jogar futebolPremissa 2: Se eu nadar então não fez sol.(F).Premissa 3: Se chover(V). então não vou jogar futebol

Vamos à análise das premissas individualmente, no que for possível:Premissa 1: a parcela ‘vou nadar ou jogar futebol” deve ser verdade, pois corresponde à segunda parte da condicional. E isto ocorre

quando uma das parcelas da disjunção seja verdadeira. Portanto, não podemos ainda concluir mais nada sobre esta parcelaPremissa 2: Se eu nadar então não fez sol (F).Podemos concluir que nadar é falso, pois, se fosse verdade a condicional toda seria falsa (e a premissa também).Portanto: nadar é falso

Premissa 3: Se chover(V). então não vou jogar futebol Como a primeira parcela da condicional é verdade, a segunda parcela deverá ser verdade para que a condicional (e a premissa)

seja verdade.Conclusão: não vou jogar futebol é verdade. Logo, jogar futebol é falso.

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Raciocínio LógicoAgora já sabemos que jogar futebol é falso e que nadar é falso podermos substituir na premissa 1, que ficaria assim:Premissa 1: Se fizer sol (V)então vou nadar (F) ou jogar futebol (F).Tivemos aqui um problema: Não conseguimos chegar a todas as premissas como sendo verdadeiras. Veja:Premissa 1: Se fizer sol (V)então vou nadar (F) ou jogar futebol (F). RESULTADO: PREMISSA FALSA!!!!!

Usando a tabela-verdade da disjunção a proposição ficaria falsa. Transformando a premissa 1 em linguagem simbólica teríamos: V → F V F, e isto resulta em um valor lógico Falso, tanto

para a disjunção (segunda parcela da condicional) como para a premissa.. A premissa A → (B ∨ C) deveria ser verdade!!!

Esta contradição nos valores lógicos ocorreu porque não foi possível, chegar a todas as premissas verdadeiras, chegarmos a uma conclusão falsa. Daí, concluímos que nosso argumento é válido.

Em outras: para que o argumento fosse dito inválido, teríamos que conseguir chegar a todas as premissas verdadeiras. Porem, a primeira premissa foi avaliada como falsa. Concluímos que o argumento é válido!

EM RESUMO: se conseguirmos obter todas as premissas como verdadeiras, à partir de valor lógico falso para a conclusão tería-mos argumento inválido (pois argumento válido deve ter premissas e conclusão verdadeiras).

Veja o segundo exemplo da técnica anterior. Constatamos que o argumento era inválido. Tente, como treino, aplicar esta técnica e você verá que será possível tornar todas as premissas verdadeiras, partindo da conclusão tomada como falsa.

QUESTÃO COMENTADA(Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa pre-

missa pode-se corretamente concluir que:a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.Poxa professor, como fazer um ”trem” destes. O enunciado é enorme, cheio de premissas e nomes... fiquei confuso!!!!!Calma!!!! Relaxe. A ESAF gosta de colocar frases múltiplas, com muitos nomes, com nomes parecidos, só pra confundir o can-

didato. Mas, muitas vezes ela te dá a premissa fácil

OBSERVAÇÃO: Geralmente a premissa fácil é dada ao final do enunciado.Iniciaremos definindo as seguintes proposições simples (use as iniciais dos nomes pra facilitar, caso não tenha repetições dos

nomes):P = Pedro é pintorC = Carlos é cantorM = Mário é médicoS = Sílvio é sociólogo.(Percebeu que a inicial do nome é a inicial da profissão?)

O enunciado pode ser convertido para a linguagem simbólica e teríamos (P ou C) → (~M e ~S).Observe agora que todas as alternativas estão na forma de condicional. Isto facilita se usarmos o método da conclusão falsa.

Porque teríamos já 2 valores lógicos (para a conclusão falsa) e deveríamos testar as premissas.Temos, no caso, um argumento com uma premissa e queremos encontrar uma conclusão válida para este argumento. E a resposta

estará entre as alternativas apresentadas. Portanto, devemos converter para a linguagem simbólica cada uma das opções de resposta. Ficaria assim:

a) (P e ~C) → (M ou S) b) (P e ~C) → (M ou ~S) c) (P e C) → (M e ~S) d) (P e C) → (M ou S) e) (~P ou C) → (~M e S)OBS: Namore um pouco as alternativas e perceba que temos a parcela inicial e a final se repetindo dois a dois em quase todas

as alternativas.

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Raciocínio LógicoConsideraremos a premissa verdade e a conclusão falsa, e verificaremos se essa situação é possível de ocorrer. Se possível,

então o argumento é inválido, ou seja, a conclusão não é consequência obrigatória das premissas. Se não é possível a ocorrência daquela situação, então o argumento é válido.

Vamos analisar as alternativas:Análise da alternativa “a”: (P e ~C) → (M ou S)Vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento. Pelo método, devemos designar o valor

lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (P e ~C) → (M ou S) é falsoPara que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C), tenha valor V e a 2ª parte, (M ou S), tenha

valor F. - Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V. (Consequentemente C é F).- Para que (M ou S) seja F, é necessário que: M é F e S é F .Resumindo:P é V , C é F, M é F e S é FVamos agora testar estes valores lógicos na premissa (P ou C) → (~M e ~S) e ver se ela pode ser verdade com esses valores lógicos.Vamos substituir os valores lógicos:(V ou F) → (~F e ~F) , que é o mesmo que: (V ou F) → (V e V) .Resolvendo esta última proposição, obtemos V → V, que resulta no valor lógico V. Portanto, acabamos de verificar que é possível

existir a situaçãoRESULTADO: conclusão falsa e premissa verdade. Logo, esta conclusão não é consequência obrigatória da premissa, e por isso

esta alternativa não é a correta.

Análise da alternativa “b”: (P e ~C) → (M ou ~S)Vamos considerar que a alternativa é a conclusão do argumento. Pelo método, devemos designar o valor lógico falso para a propo-

sição da conclusão. Portanto: (P e ~C) → (M ou ~S) é falsoPara que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C), tenha valor V e a 2ª parte, (M ou ~S), tenha

valor F.Disto resulta:- Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F) (Viu? Namorou a alternativa? Esta parte nem teria que

ser refeita).- Para que (M ou ~S) seja F, é necessário que: M é F e ~S é F (e é claro S é V).Resumindo:P é V , C é F, M é F e S é VVamos agora testar estes valores lógicos na premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos. Vamos substituir os valores lógicos: (V ou F) → (~F e ~V) , que é o mesmo que: (V ou F) → (V e F) .Resolvendo esta última proposição, obtemos V → F, que resulta no valor lógico F.Verificamos que não é possível existir a situação: conclusão falsa e premissa verdade. Logo, esta conclusão é consequência obri-

gatória da premissa, e por isso esta alternativa é a resposta da questão.

RESUMO DAS TÉCNICAS E QUANDO USÁ-LAS

Deve ser usado quando... O argumento é válido quando...Método da Construção da Tabela- Verdade do argumento

em qualquer caso, mas preferencialmente quando o argumento tiver no máximo duas proposições simples(SILOGISMO).

nas linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas têm valor V, os valores lógicos relativos a coluna da conclusão forem também V.

Método da Premissa FácilConsiderar as premissas verdadeiras e o valor lógico da conclusão verdadeiro

Método a acima não puder ser empregado, e houver uma premissa fácil (que seja uma proposição simples; ou que esteja na forma de uma conjunção)

o valor encontrado para a conclusão é obrigatoriamente verdadeiro.

Método da conclusão falsaConsiderar a Conclusão como Falsa e verificar se as premissas podem ser verdadeiras

for inviável a aplicação dos métodos anteriores. Também é recomendável que a conclusão seja uma proposição simples ou uma disjunção ou uma condicional.

não for possível a existência simultânea de conclusão falsa e premissas verdadeiras.

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Raciocínio LógicoHá, ainda, a possibilidade da “Técnica do Chute”Quando não tivermos uma proposição simples para utilizar como ponto de partida na análise do argumento, podemos fazer o se-

guinte. Damos um “chute”. Escolhemos uma das premissas e chutamos alguma coisa. Em seguida, verificamos se este chute nos leva a algum absurdo ou não.

Cuidado: é importante saber que essa técnica pode levar a erros. Caso o argumento lógico apresente mais de uma linha da tabela--verdade em que todas as premissas são verdadeiras, a técnica do chute pode nos levar a uma resposta errada.

Existem outras técnicas que não abordarei aqui. Para os que desejam uma boa ideia de como responder a maioria das questões estas técnicas seriam o suficiente. Não vejo porque “complicar” mais o assunto, que, a meu ver, é o mais penoso para o candidato.

QUESTÕES PROPOSTAS

Questão 1: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dina-marquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

Questão 2: Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:

a) 25b) 87c) 112d) 121e) 169

Questão 3: Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

Questão 4: Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

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Raciocínio LógicoQuestão 5: O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim.

Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

Questão 6: (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal). Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Passárgada. Assim,

(A) não viajo e caso.(B) viajo e caso.(C) não vou morar em Passárgada e não viajo.(D) compro uma bicicleta e não viajo.(E) compro uma bicicleta e viajo.

Questão 7: (Chesf - Analista de Sistemas - CESGRANRIO – 2012. Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje

(A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço.(B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira.(C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço. (D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas.(E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço.

Questão 8: (VUNESP - 2011 - TJM-SP). Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que

(A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. (C) as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo.RESOLUÇÕES:

Questão 1:(P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.(P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.(P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.

Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão tam-bém for verdadeira. Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo e.

Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:

Francisco não fala francêsChing não fala chinêsNa premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Temos uma proposição

composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala espanhol.

21

Raciocínio LógicoDa premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples

conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês.

Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Vamos analisar o consequente do se então, observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano.

Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão.

Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações:Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanholDébora não fala dinamarquêsIara não fala italianoAna fala alemão.

A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A), resposta do problema.

Questão 2:Resposta “B”.O número que não é primo é denominado número composto. O número 4 é um número composto. Todo número composto pode ser

escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2, onde p é um número primo.

Observe os seguintes números:1 2 22 (4)1 3 3² (9)1 5 5² (25)1 7 7² (49)1 11 11² (121)Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9, 25, 49 e 121 (mas este

último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

Questão 3:Resposta “B”.O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e uma proposição final (conclusão). A validade

de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir:Todo cavalo tem 4 patas (P1)Todo animal de 4 patas tem asas (P2)Logo: Todo cavalo tem asas (C)Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C. Veja que este argumento

é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.

22

Raciocínio Lógico

(P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

(C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos é um subcon-junto do conjunto de animais que tem asas.

Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a con-clusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido. Observe:

Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos:

Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2)Artur gosta de Lógica (P3)Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissa mais fácil, ou seja, aquela

que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo” abaixo:

p q p V qV V FV F VF V VF F F

Sendo as proposições:p: Lógica é fácilq: Artur não gosta de Lógicap v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)

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Raciocínio LógicoObserve que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verda-

de. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa, só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então.

Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que: Geografia não é difícil - é o antecedente do se então.Lógica é difícil - é o consequente do se então.Chamando:r: Geografia é difícil~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil)p: Lógica é fácil(não p) ~p: Lógica é difícil~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação do consequente gera a

negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil.De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que:Artur gosta de LógicaLógica é fácilGeografia é difícilVamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira:a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro

e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem

forem verdadeiras.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F)d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F)e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra do “ou” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem falsas.

Questão 4:Alternativa “A”.Com os dados fazemos a tabela:

Camisa azul Camisa Branca Camisa Preta

“eu sou cul-pado”

“sim, ele (de camisa azul) é o

culpado”

“Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou

eu”

Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente.

I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul, não teríamos resposta, pois o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo.

II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente.

III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está sempre mentindo.

O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A).

Questão 5:Resposta “C”.Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do conectivo “se então” também representado por “→”. Vamos a um exemplo:Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se o duque sair do castelo

então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja:

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Raciocínio Lógico- p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente.- q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente.- Se p então q também pode ser lido como p implica em q.- p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.- q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.Vamos às informações do problema:1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Chamando A (proposição rei ir à caça) e B (proposição

duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duque-sa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”.

3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D.

4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão sorriu). Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E).

Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa).

Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D→ ~C (a duquesa não foi ao jardim).Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C→ ~A (então o rei não foi à caça).Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A→~B (então o duque não saiu do castelo).

Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.

Questão 6:Resposta “B”.1°: separar a informação que a questão forneceu: “não vou morar em Pasárgada”.2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma proposição verdadeira.3°: destacando-se as informações seguintes:- caso ou compro uma bicicleta.- viajo ou não caso.- vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta.Logo:- vou morar em Pasárgada (F)- não compro uma bicicleta (V)- caso (V)- compro uma bicicleta (F)- viajo (V)- não caso (F)Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta.Outra forma:c = casarb = comprar bicicletav = viajarp = morar em PasárgadaTemos as verdades:c ou bv ou ~c

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Raciocínio Lógicop ou ~bTransformando em implicações:~c → b = ~b → c~v → ~c = c → v~p → ~bAssim:~p → ~b~b → cc → v

Por transitividade:~p → c~p → vNão morar em Pasárgada implica casar. Não morar em Pasárgada implica viajar.

Questão 7:Resposta “B”.Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF.V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos:S V Q → PF V PNSendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja =

Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa, temos: PF V PN → JeJe → ~Ja~Ja → ~CEm questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são verdadeiras. Ora, o enunciado diz que

Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa. ~Ja → ~CPara a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja também é falsa. ~Ja → ~CNa proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sabemos que ~Ja é falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... então,

temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira. Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa, para

esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa.Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada, para esta ser verda-

deira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.

Representação lógica de todas as proposições:S V Q → PF V PN(f) (f) (f) (f) F F

PF V PN → Je F FJe → ~Ja F F

~Ja → ~C F FConclusão: Carlos almoçou em casa hoje, Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva, Pedro não teve aula de

futebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Agora é só marcar a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema.

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Raciocínio LógicoQuestão 8:Resposta “C”.Dê nome:A = AFINO as cordas;I = INSTRUMENTO soa bem;T = TOCO bem;S = SONHO acordado.Montando as proposições:1° - A → I2° - I → T3° - ~T V S (ou exclusivo)Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso “ou isso ou aquilo, escolha

UM”).~T = VT = FI → T(F)Em muitos casos, é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”, sendo assim o F passa para trás. Assim: I = FNovamente: A → I(F)O FALSO passa para trás. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas não foram afinadas. Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de conclusão; última frase: Não sonho acordado será VERDADEAdmita todas as frases como VERDADEFicando assim de baixo para cimaOu não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = VSe o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = VSe afino as cordas (F), então o instrumento soa bem (F) = VA dica é trabalhar com as exceções: na condicional: só dá falso quando a primeira parcela é V e a segunda parcela é F. Na disjun-

ção exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem, o que dá verdade. Extraindo as conclusões temos que:Não toco muito bem, não sonho acordado como verdade.Se afino as corda deu falso, então não afino as cordas.Se o instrumento soa bem deu falso, então o instrumento não soa bem.Joga nas alternativas:(A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha dormindo, só temos como verdade que não sonho acordado, pode ser

que você nem sonhe).(B) o instrumento afinado não soa bem deu que: Não afino as cordas.(C) Verdadeira: as cordas não foram afinadas.(D) mesmo afinado (Falso, deu que não afino as cordas) o instrumento não soa bem.(E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu não toco muito bem e não sonho acordado.

3 LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL): 3.1 PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS; 3.2. TABELAS-VERDADE; 3.3. EQUIVALÊNCIAS; 3.4. LEIS DE DE

MORGAN; 3.5. DIAGRAMAS LÓGICOS.

Estudo das proposições simples e compostas

Os lógicos procuraram combater as limitações da lógica clássica e encontrar uma linguagem artificial, simbólica e altamente abstrata, na qual se define rigorosamente o significado de cada símbolo e o conjunto das regras que permitem relacioná-los de um modo tão rigoroso como aquele que é característico do cálculo matemático. Foi assim que se foi constituindo a lógica moderna ou logística que dispõe de:

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Raciocínio Lógico- um conjunto de símbolos formais, constantes e variáveis;- regras de combinação desses símbolos entre si;- regras de transformação dessas combinações elementares de símbolos.Seguindo, analisando as proposições, percebemos que estas podem ser classificadas como simples ou atômicas; compostas ou moleculares.As proposições simples não contêm nenhuma outra proposição fazendo parte integrante de si mesmas, ou seja: elas não podem ser

divididas em outras proposições menores.Veja o exemplo abaixo:p: Marcela é auditoraq: Paulo é bancárior: Wagner é professor

As proposições compostas são formadas por duas ou mais proposições ligadas por meio de determinadas palavras ou expressões a que chamamos operadores ou conectivos lógicos.

As proposições simples combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moleculares.

Quando juntamos duas ou mais proposições simples, formamos outra proposição, maior, chamada de proposição composta. Geralmente simbolizamos as proposições simples por letras minúsculas e as proposições compostas por letras maiúsculas do alfabeto.

O que são os Conectivos?Definimos os conectivos como expressões lógicas que permitem ligar entre si várias proposições simples, obtendo proposições

complexas cuja verdade ou falsidade estarão dependentes da verdade ou falsidade das proposições iniciais e da natureza dos conec-tivos envolvidos.

Toda a proposição interligada por conectivos também terá um valor lógico (V/F).Os conectivos serão representados nas proposições compostas das seguintes formas:- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)- Disjunções inclusivas: a ∨ b (lê-se: a ou b)- Disjunções exclusivas: a V b (lê-se “ou a ou b “ (uma coisa ou outra)- Condicionais: a → b (lê-se: se a então b)- Bicondicionais: a ↔ b (lê-se: a se somente se b)Além disso, é importante saber que existe a negação, que pode ser simbolizada por “~” (til) ou por “ ¬ ” (cantoneira), além da

equivalência entre proposições, representadas pelo símbolo ≡ ou ⇔.

Algumas formas de se representar as proposiçõesSuponha que tenhamos duas proposições,1. A = “Maria tem 23 anos”2. B = “Maria é menor”.Pela legislação corrente de Argentina, uma pessoa é considerada menor de idade caso tenha menos de 18 anos, o que faz com que

a proposição q seja F, na interpretação da proposição p ser V.Vejamos algumas situações e respectivas formas de interpretar as proposições compostas derivadas de A e B.“Maria não tem 23 anos” (não A)“Maria não é menor”(não(B))“Maria tem 23 anos” e “Maria é menor” (A e B)“Maria tem 23 anos” ou “Maria é menor” (A ou B)“Maria não tem 23 anos” e “Maria é menor” (não(A) e B)“Maria não tem 23 anos” ou “Maria é menor” (não(A) ou B)“Maria tem 23 anos” ou “Maria não é menor” (A ou não(B))“Maria tem 23 anos” e “Maria não é menor” (A e não(B))Se “Maria tem 23 anos” então “Maria é menor” (A => B)Se “Maria não tem 23 anos” então “Maria é menor” (não(A) => B)“Maria não tem 23 anos” e “Maria é menor” (não(A) e B)

Cuidado:Várias questões de prova pedem que se “converta” uma frase escrita para a simbologia lógica, ou vice versa. Por isto, é importan-

te que, inicialmente, você se familiarize com estas formas de representação. Muitas bancas (principalmente CESPE) utilizam apenas esta forma de linguagem em algumas questões. Vejamos alguns exemplos:

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Raciocínio LógicoConsidere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:P: Nesse país o direito é respeitado.Q: O país é próspero.R: O cidadão se sente seguro.S: Todos os trabalhadores têm emprego.Considere também que os símbolos “ ∨ ”, “ ∧ ”, “ → ” e “ ¬ ” representem os conectivos lógicos “ou”, “e”, “se, então” e

“não”, respectivamente.Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente

por P ∧ (¬R) .2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por

Q→S.3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego” é uma consequência de, “nesse país, o direito

ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q ∧ R)→P.

Resolução. Primeiro item. Temos:“Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” Vamos colocar parêntesis para delimitar as proposições simples:(Nesse país o direito é respeitado), mas (o cidadão não se sente seguro)As duas parcelas são unidas pela palavrinha “mas”, que acrescenta uma informação. Ela tem um papel análogo ao do “e”. É

como se afirmássemos que o direito é respeitado e o cidadão não se sente seguro.Além disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma negação. Portanto, a proposição mencionada pode ser representada

por: P ∧ (¬R)Item certoSegundo item. A sentença é:Se (o país é próspero), então (todos os trabalhadores têm emprego).Em símbolos: Q → SItem certoTerceiro item.A proposição é: “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego” é uma consequência de, “nesse país, o direito

ser respeitado”.Vamos usar parêntesis para delimitar as proposições simples:(O país ser próspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) é uma consequência de, (nesse país, o direito ser respeitado).A expressão “é uma consequência”, remete ao condicional (se, então). Podemos reescrever a frase assim:Se (nesse país, o direito é respeitado), então (o país é próspero) e todos os trabalhadores têm emprego).Em símbolos, ficamos com: P → (Q ∧ S )Não foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado.Gabarito: certo, certo, erradoExemplo: Julgue os itens a seguir:1. A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês” poderia ser representada por

uma expressão do tipo P → [(¬Q) ∧ (¬R)].Resolução:Nesta proposição temos um condicional escrito em ordem inversa. Colocando na ordem normal, temos:Se (Alberto é francês), então (João não é norte-americano) e (Lucas não é brasileiro).Vamos dar nomes às proposições simples:P: Alberto é francêsQ: João é norte-americanoR: Lucas é brasileiroA simbologia para a proposição composta ficaria: P → [(¬Q) ∧ (¬R)]Que é exatamente o que afirmou o item.Gabarito: Certo

Tabela-verdade das proposições compostasA tabela-verdade é uma tabela em que combinamos todas as possibilidades das proposições simples para ver quais são os resultados

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Raciocínio Lógicodas proposições compostas. A tabela-verdade, como se sabe, é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. A seguir trabalharemos com a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados, explicando suas possibilidades.

Antes de iniciarmos é interessante se conhecer quantas linhas irão compor a tabela-verdade de qualquer tipo de conectivo. Para isto, devemos usar uma expressão matemática, onde x é o número de linhas da tabela-verdade e n é o número de proposições simples:

X = 2n

Ou seja: se tivermos uma proposição simples teremos duas possibilidades; V ou F. Mas se tivermos duas proposições termos 4 pos-sibilidades, conforme esquema abaixo:

X = 22 = 4

p qV VV FF VF F

Estas opções são decorrentes das possíveis “combinações” ente as proposições. Uma dica para montar a tabela-verdade é sempre colocar para p (no caso de 2 proposições) VV, FF e depois colocar alternados V e F para a proposição q.

Veja: Se tivermos 3 proposições teremos X = 23 = 8. Ou seja: 8 linhas na tabela-verdade. E como montá-la? Simples! Divida o total

ao meio (8 dividido por 2 = igual a 4) e este valor será o número de repetições dos valores lógicos V e depois, F, para a primeira proposição. Depois, diminua sucessivamente ao meio este valor obtido para as demais proposições, alternando-as. Veja: 4, 2, 1 (uma progressão).

P q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

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Raciocínio LógicoObservou? p 4 em 4, q 2 em 2 e r alternados.

Veja as possibilidades:

Caso a tabela-verdade tenha 4 proposições teríamos X = 24 = 16 linhas. Divida o total ao meio (16 dividido por 2 = igual a 8) e este valor será o número de repetições dos valores lógicos V e, também, a quantidade de valores correspondentesa falsos (F) para a primeira proposição. Depois, diminua sucessivamente ao meio este valor obtido para as demais proposições, alternando-as. Veja: 4, 2, 1.

Vamos montar a tabela-verdade?

p q R SV V V VV V V FV V FV V FV FV FV FV FFFFFFFFF

Observe que eu intencionalmente, desta vez, não completei a tabela. Deu pra perceber que existe uma alternância nos valores V e F, em proporção?

Vale ressaltar que é muito raro aparecerem 4 proposições nas questões dos concursos públicos. Geralmente aparecem duas e, menos frequente, três proposições.

31

Raciocínio LógicoPorém, é importante que você saiba como montar a tabela. Você verá que, com a prática, esta tabela NÃO precisará ser montada,

principalmente para não se perder tempo na resolução das questões. Porém, é preciso saber como montá-la, para analisar as possibi-lidades das interpretações.

Tabela-verdade das conjunções e seus significados

Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “^”.

Se tivermos a sentença: “Paulo é advogado e Maria é professora”

Poderemos representá-la apenas por: p uma das proposições e q a outra, onde:p = Paulo é advogado q = Maria é professora.Como se revela o valor lógico de uma conjunção? Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposi-

ções simples componentes forem também verdadeiras (veja o nome: Conjunção ou proposição conjuntiva e as respostas Conjunta-mente verdadeiras).

Então, diante da sentença “Paulo é advogado e Maria é professora”, só poderemos concluir que esta proposição composta é ver-dadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que “Paulo é advogado e que Maria é professora”.

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será, toda ela, falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.

Veja as nossas premissas:p = Paulo é advogado q = Maria é professora.Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Paulo é advogado e Maria é professora) será também

verdadeira. Teremos:

Paulo é advogado

Maria é professora

Paulo é advogado E Maria é professora

P Q P(p e q)V V VV F FF V FF F F

Exemplo 14) O professor Wagner quer fazer uma caipirinha e não tem limão nem cachaça. Como fazer a bebida sem estes com-ponentes? Impossível. Então, ele pede à sua dedicada esposa que compre os tais ingredientes: limão e cachaça.

Consideremos como proposições:p: ela comprou limãoq: ela comprou cachaça

Porém, a esposa de Wagner teve, para ilustrar o caso em questão, as possíveis distintas condutas:a) comprou apenas limãob) comprou apenas cachaçac) não comprou nem limão nem cachaçad) comprou limão e cachaçaDe acordo com estas situações vamos analisar o que podemos concluir:

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Raciocínio LógicoComprou

limão Comprou cachaça Dá pra fazer a caipirinha?

P Q P (p e q)V F NÃOF V NÃOF F NÃOV V SIM

Deu pra perceber? Ah!!!! Com caipirinha todo mundo entendeu, né? Kkkk. Mesmo fora da ordem convencional (o que não faz uma caipirinha .)

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção “ p e q “ corresponderá à intersecção do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

Na área de intersecção tivemos a situação em que se comprou o limão e a cachaça:

p ∩ q Veja p ∧ q (observe o sentido das concavidades (“boca pra baixo”)Tabela-verdade da disjunção

Vamos abusar do professor Wagner neste exemplo. Agora, neste caso a esposa de Wagner quer fazer o almoço e percebe que está sem a famosa “mistura”. Então, ela pede ao seu dedicado marido que compre carne de frango ou carne bovina para fazer a mistura do almoço, pois, ela irá fazer uma das duas misturas.

Consideremos como proposições:p: ele comprou carne de frango.q: ele comprou carne bovina

Porém, Wagner, depois da caipirinha (ehehehe) teve, para ilustrar o caso em questão, as distintas condutas:a) comprou apenas carne de frangob) comprou apenas carne bovinac) não comprou nem carne de frango nem carne bovinad) comprou carne de frango e carne bovina.

De acordo com estas situações vamos analisar o que podemos concluir:

Comprou carne de frango

Comprou carne bovina

A esposa dele fez a mistura?

P Q P(p V q)

V F SIM

F V SIM

F F NÃO

V V SIM

Veja que neste caso, basta que apenas uma das proposições seja verdadeira (disjuntamente, separadamente, verdadeiras) para que o conjunto seja verdadeiro. Ou seja: obedeceu ao que se pediu.

33

Raciocínio LógicoPortanto uma disjunção só será FALSA, se ambas as proposições componentes forem também FALSAS (e o professor vai apa-

nhar em casa quando chegar sem nenhuma das misturas, eheheh). Ou seja: só é falsa se as duas partes forem descumpridas! (veja o nome: DISjunção ou proposição DISjuntiva).

As proposições p V q podem ser representadas por conjuntos:

O conectivo “ou” será caracterizado pela união dos conjuntos p e q.Tabela-verdade da disjunção exclusiva

Há um outro tipo de proposição do tipo disjunção, bem parecido com a disjunção que acabamos de analisar acima. Porém, esta apresenta uma discreta diferença. Vamos comparar duas sentenças abaixo, referente a presente de Natal. Você diz ao seu filho duas frases muito parecidas, tais como:

“Te darei uma raquete ou te darei um tablet” “ou te darei uma raquete ou te darei um tablet”A diferença é singela, todavia, importante. Repare que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade

(te darei uma raquete), isso não impedirá que a segunda parte (darei um tablet) também o seja. Já na segunda proposição, se for ver-dade que “te darei uma raquete, então teremos que não será dado o tablet. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “darei um tablet”, então teremos que não será dada a raquete.

Ou seja: a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verda-deira, e a restante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas.

Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva.

Veja a diferença destas disjunções nas suas respectivas tabelas-verdade. Uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. Ou seja: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.

Ganhar a raquete

Ganhar o tablet

Ou ganhar a raquete ou ganhar o tablet

p Q P(p V q)V V FALSOV F VERDADEF V VERDADEF F FALSO

Tabela-verdade da condicionalVimos que a estrutura condicional refere-se a “Se p então q”.Estamos agora falando de proposições como as que se seguem:“Se Augusto é advogado, então Silvia é farmacêutica.”“Se amanhecer chovendo, então não irei à praia.”

34

Raciocínio LógicoVamos analisar a seguinte sentença:“Se nasci em Recife, então sou pernambucano.”Agora observe que a única maneira de essa proposição estar incorreta é se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.

Ou seja, se é verdade que eu nasci em Recife, então necessariamente é verdade que eu sou pernambucano. Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Recife, e que é falso que eu sou pernambucano, então este conjunto estará

todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em Recife é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado ne-cessário que eu seja pernambucano.

Portanto: p é suficiente e q é necessário.Ou seja: é suficiente que eu tenha nascido em Recife para ser pernambucano. E é necessário que eu seja pernambucano para

poder ter nascido em Recife Regra: O que está à esquerda da seta é sempre condição suficiente e o que está à direita é sempre condição necessária (p → q).Para não confundir quem é necessário e quem é suficiente, uma dica. Observe a proposição. S p, então q.A palavra “Se” começa com “S”. E suficiente também começa com “s”.A palavra “então” possui a letra “n”. E necessária também possui “n”.

Proposições associadas a uma condicionalA partir da condicional p → q podemos obter as condicionais (1) q → p, denominada proposição recíproca de p → q;(2) ~p → ~q, denominada proposição contrária de p → q;(3) ~q → ~p, denominada proposição contrapositiva de p → q.

Confecção da Tabela-verdade da estrutura condicional.

Condicional: p → q (Se, então)P q P(p → q)V V VV F FF V VF F V

Observe que a condicional só será falsa se a antecedente (lado esquerdo da seta) for verdadeiro e a consequente (lado direito) da seta for falso.

Lembre-se: Vagner Falou tá Falado!!!!!A condicional exige que, se o antecedente for verdadeiro, então o consequente deverá ser verdadeiro, para resultar em verdadeiro. As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se p, então q”:Se A, B. A é condição suficiente para B.B, se A. B é condição necessária para A.Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional “Se p então

q” corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q):

Tabela-verdade da bicondicionalA estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas sentenças. Pode ser entendida como

uma Bi-implicação.A bi-implicação (SE, SOMENTE SE), entre duas fórmulas é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.

35

Raciocínio LógicoInterpretação: “P ↔ Q” pode ser interpretada como “P se e somente se Q”, “P é equivalente a Q”, “P e Q possuem o mesmo

valor de verdade”.Assim, se P significa “O número natural é divisível por cinco” e Q significa “’O último algarismo do número natural é zero ou

cinco”, “P ↔ Q” pode ser interpretado como “O número natural é divisível por 5 se, e somente se, o seu último algarismo é zero ou cinco”.

Basta que uma das proposições ou condições seja falsa para que o enunciado se torne falso.Na linguagem natural o problema está em confundir uma condição necessária como sendo a única possibilidade para se chegar

ao resultado verdadeiro.

Veja este exemplop = 24 é múltiplo de 3 (V)q = 6 é ímpar (F)P ↔ Q = “24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar”. (F).

Mas, veja esta outra situaçãop = 24 é múltiplo de 3 (V)q = 6 é par (V)P ↔ Q = “24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é par”. (V).A tabela-verdade da bicondicional fica assim:

p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional “p se e somente se q” corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.

Observação: Uma proposição bicondicional “p se e somente se q” equivale à proposição composta: “(se p então q) e (se q então p)”, ou seja, “ p ↔ q “ é equivalente a “(p → q) e (q → p)”. (Equivalência será abordado futuramente).

Resumindo- a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.- a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.- a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.- a bicondicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.- a disjunção exclusiva é verdadeira quando as proposições tiverem valores lógicos diferentes.- a bicondicional será verdadeira quando ambas as proposições forem falsas ou ambas proposições forem verdadeiras.

Tabela-verdade com várias proposições interrelacionadasComo proceder para resolver a seguinte proposição composta: (p V q) → r?Bem, conhecendo as respectivas tabelas-verdade dos conectivos podemos resolver da seguinte maneira:Montar a tabela com 8 linhas e determinar a tabela-verdade apenas para a relação (p V q), observando-se os valores

lógicos de p e de q:

36

Raciocínio Lógicop q R p V qV V V VV V F VV F V VV F F VF V V VF V F VF F V FF F F F

Depois, estabelecer a tabela-verdade da relação entre a coluna obtida e a proposição r (observe que eu desloquei de posição a coluna r para evitar erro no momento de atribuir o valor lógico):

p q p V q r (p V q) → rV V V V VV V V F FV F V V VV F V F FF V V V VF V V F VF F F V VF F F F V

Como resolver tais situações?Quando temos diversos conectivos, costumamos utilizar parêntesis ou colchetes para indicar qual “parcela” tem precedência.Primeiro devemos dar prioridade para resolver o que está entre parêntesis, depois oque estiver entre os colchetes.Existem situações em que os parêntesis são omitidos. Neste caso, temos que saber a ordem de precedência entre os conectivos. A ordem é: 1º: operador “não”2º: conectivo “e”3º: conectivo “ou”4º: conectivo “se então”5º: conectivo “se, e somente se”Um exemplo ocorre na situação abaixo:“Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França”.Este é um ponto importante para o concursando, porque pode trazer uma maior dificuldade e levar a interpretações incorretas.Temos um “e” e um “ou”. Conforme a ordem de precedência, primeiro resolvemos a parte referente ao “e” e, posteriormente, faze-

mos a parte referente ao “ou”. Para facilitar a análise e a confecção da tabela-verdade, seria interessante colocarmos as proposições entre parêntesis. Para ilustrar melhor o resultado da prioridade:

(Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) ou Paris é a capital da França.Agora, para dar sequencia vamos atribuir os valores lógicos das proposições. Vejamos bem. Para analisar esta etapa dividirei a par-

cela inicial (composta) da segunda parcela (que é uma proposição simples). Vamos valorar: (Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França).Para valorar você deve, ao menos, saber um pouquinho de Geografia Neste caso concluimos que: (Roma é a capital da Itália (V) e

Londres é a capital da França (F)). Como é uma conjunção e temos que uma das proposições é negativa, concluímos que a proposição é, portanto, negativa.

Logo, ficaríamos com a seguinte situação: (F) ou Paris é a capital da França (V).Como esta proposição tem o conectivo ou (disjunção), sabemos que para ela ser verdadeira pelo menos uma das parcelas deve ser

verdadeira. Mas já temos uma parcela falsa. Se a segunda parcela da proposição disjuntiva for falsa a disjunção será falsa. Se verdadeira, a disjunção seerá verdadeira.

37

Raciocínio LógicoParis é a capital da França (V).Portanto, como a segunda parcela da proposição é verdadeira isto nos leva à conclusão de que a proposição inicial é verdadeira.Poderíamos utilizar a linguagem simbólica e teríamos:Proposição inicial: p ∧ q V rProposições em prioridade: (p ∧ q) V rResolução da primeira parcela: F V rAnalisando a segunda parcela: F V VConcluindo: V (proposição inicial verdadeira).

Sabendo que se trata de uma disjunção, basta que uma das partes seja verdadeira (no caso, a segunda parcela é verdadeira) para que o valor lógico da proposição composta seja verdadeira. Neste caso, a resposta é verdadeira independente da primeira parte ser verdadeira ou falsa. Em uma prova você já poderia dar a resposta e não perder tempo resolvendo a primeira parte. Caso a segunda parte fosse falsa, deveríamos analisar a primeira parte.

A primeira parte é uma conjunção e ambas devem ser verdadeiras para que esta parte seja verdadeira. (Pela nossa análise verificamos que a primeira parte é falsa, mas isto não iria interferir na nossa resposta neste caso em questão).

Resumindo:Ficamos com: (V e F) ou VEntre parêntesis, temos um “e”, em que uma parcela é falsa. Logo, a expressão entre parêntesis é falsa.(F) ou V Assim, nosso “ou” tem uma parcela verdadeira. Logo, a proposição dada na alternativa é verdadeira, independente da parcela entre

parêntesis.Questões propostas

Questão 1: (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,(A) mesmo que se esforce, você não vencerá.(B) seu esforço é condição necessária para vencer.(C) se você não se esforçar então não irá vencer.(D) você vencerá só se se esforçar.(E) seu esforço é condição suficiente para vencer.

Questão 2: (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição “Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de p. (p v q, lida como “p ou q”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue

o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado?

Questão 3: Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treina-mento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance;

A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências;

A3: buscou evitar situações procrastinatórias.

Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou

38

Raciocínio Lógicoa atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso).

A1 A2 A3Roberta FRejaneRenata V

Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for proposição” Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição pq tem valor lógico V. Certo ou errado?

Questão 4: (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as terças, quartas e quin-tas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanha”?

(A) Terça e quinta-feira. (B) Terça e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sábado. (E) Quinta-feira e domingo.

Questão 5: Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envol-vidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “∧”, “∨”, “¬” e “→” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a se-guir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado.

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que:P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”;Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”;R= “ele sempre leva um guarda-chuva”;S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.(A) P→ (Q ∧ R)(B) (P → Q) ∨ R(C) (P ∨ Q) ∧ (R ∧ S)(D) P ∨ (Q ∧ (R ∧ S))

Questão 6: (CESPE – Banco do Brasil – Escriturário) Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas; são frequentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto. A proposição simbolizada por A→B lida como “se A, então B”, “A é condição suficiente para B”, ou “B é condição necessária para A”, tem valor lógico F quando A é V e B é F; nos demais casos, seu valor lógico é V. A proposição A∧B lida como “A e B” tem valor lógico V quando A e B forem V e valor lógico F, nos demais casos. A proposição A, a negação de A, tem valores lógicos contrários aos de A.

Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam, então os bancos ganham muito dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não aumentam” é também V.

( ) Certo ( ) Errado

Questão 7: (CESPE – Banco do Brasil – Escriturário) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras - V - ou falsas - F -, mas não como ambas, simultaneamente. As proposições são frequentemente representadas por letras maiúsculas e, a partir de proposições simples, novas proposições podem ser construídas utilizando-se símbolos especiais. Uma expressão da forma A → B, que é lida como “se A, então B”, é F se A for V e se B for F e, nos demais casos, será sempre V. Uma expressão da forma A ∧ B, que é lida como “A e B”, é V se A e B forem V e, nos demais casos, será sempre F. Uma expressão da forma A ∨ B, que é lida como “A ou B”, é F se A e B forem F e, nos demais casos, será sempre V. Uma expressão da forma ¬A, a negação de A, é V se A for F e é F se A for V.

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Raciocínio LógicoJulgue os itens que seguem, a respeito de lógica sentencial e de primeira ordem, tendo como referência as definições apresen-

tadas no texto. Se a proposição “Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA” tiver valor lógico V, a proposição “Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, então os correntistas têm melhores serviços lá do que aqui” será F.

( ) Certo ( ) Errado

Questão 8: (CESPE - INSS - Analista) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição “Se P então Q”, denotada por P→Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma P, a negação da proposição P, terá valores lógicos contrários aos de P. P∨Q, lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P e Q forem, ambas, F: nos demais casos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acor-do com o artigo 5.º da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável.B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item a seguir. De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição (A) ∨ ((C) tem valor lógico F.

( ) Certo ( ) Errado

Questão 9: (CESPE – TRT – Técnico Judiciário) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira - V -, ou falsa - F -, mas não V e F simultaneamente. Proposições simples são simbolizadas por letras maiúsculas A, B, C etc., chamadas letras proposicionais. São proposições compostas expressões da forma A ∨ B, que é lida como “A ou B” e tem valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário será sempre V; A ∧ B, que é lida como “A e B” e tem valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F; ¬A, que é a negação de A e tem valores lógicos contrários aos de A.

Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às proposições A e B, assinale a opção correspondente à proposição composta que tem sempre valor lógico F.

(A) [A ∧ (¬B)] ∧ [(¬A) ∨ B](B) (A ∨ B) ∨ [(¬A) ∧ (¬B)](C) [A ∧ (¬B)] ∨ (A ∧ B)(D) [A ∧ (¬B)] ∨ A(E) A ∧ [(¬B) ∨ A]

Resoluções

Questão 1: Resposta “E”.Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você se esforçar então irá vencer) formada por duas proposições simples

(você se esforçar) (irá vencer), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma:

Se p então q, ou seja:→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente→ q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. Tabela Verdade é a forma de representar todas as combinações possíveis de

valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições, sejam elas simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). O número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Na tabela verdade são duas pro-posições simples e ao todo 22 = 4 linhas.

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Raciocínio Lógicop q p→qV V VV F FF V VF F V

Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem”. Observe que estamos falando da segunda linha. Observe também que todos os demais valores lógicos de p→q que não se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1ª, 3ª e 4ª linhas).

Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p. Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo “não” ou “negação”, cuja tabela verdade se verifica a seguir:

p ~pV FF V

O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da proposição, vejamos, se a proposição p é verdadeira, então ~p é falsa e vice-versa, se a proposição p é falsa, ~p é verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente, observe através da tabela verdade:

p q ~p ~q p→q ~q→~pV V F F V VV F F V F FF V V F V VF F V V V V

Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais, o que equivale a afirmar que são expressões logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício:

Se você se esforçar então irá vencer- você se esforçar é a proposição p também conhecida como antecedente.- irá vencer é a proposição q também conhecida como consequente.- você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q- irá vencer é a proposição q também conhecida como condição necessária para que ocorra q.

Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. Ou seja, Se você se esforçar então irá vencer é uma equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou.

Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo, por mais absurdo que pareça basta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente corretas. Vamos analisar as alternativas:

Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,a) errada, a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se esforçar é a condição suficiente para que você vença, ou seja, basta

que você se esforce que você irá vencer, e a afirmação nega isto.b) errada, na forma p→q, o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra.c) errada, esta afirmação sempre vai cair em prova. Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer a única conclusão possível

é de que basta que você se esforce que você irá vencer, e se você não se esforçar, ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar, se você não se esforçar você poderá ou não vencer. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas. Observe que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, afirmar uma não quer dizer afirmar a outra.

d) errada, você vencerá só se se esforçar, indica que seu esforço é condição necessária para você vencer, o que não é verdade.e) correta, seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença.

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Raciocínio LógicoQuestão 2: Resposta “Errado”.Analisando as proposições:A: “A prática do racismo é crime afiançável”- é falsaB: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” - é verdadeira;C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado” - é falsa.Então, a proposição composta “B - C” pode ser traduzida em “V > F” e, pela regra do conectivo → (implica), a proposição com-

posta terá valor lógico F.

Questão 3: Resposta “Certo”. Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes, basta completar a tabela de acordo com os dados do enunciado:

A1 A2 A3Roberta F V FRejane V F FRenata F F V

Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar situações procrastinatórias” tem valor lógico V, a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e, pela regra do conectivo → (implica), o valor lógico da proposição é V.

Questão 4: Resposta “A”.Pelo enunciado, sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras. Com o conectivo “e”, para se ter uma

verdade, ambas as sentenças devem ser verdadeiras. Assim, nesse problema, é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição.

- Domingo, segunda, sexta, sábado: a sentença é falsa, pois nesses dias a pessoa fala a verdade. Portanto, temos uma contradição. - Terça e quinta: a sentença é falsa, mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta, não há contradição. - Quarta: a sentença é verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, há contradição. Então, a alternativa “A” satisfaz ao enunciado.

Questão 5: Resposta “C”. A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus ou metrô; outro aspecto é

o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o conectivo ∧ é o principal, interligando as duas partes da proposição. Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P ∨ Q.

Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R ∧ S. Reunindo então as duas partes da proposição original, obtém-se (P ∨ Q) ∧ (R ∧ S).

Questão 6: Resposta “Certo”.P: “as operações de crédito no país aumentam”.Q: “os bancos ganham muito dinheiro”.P então Q. Tal estrutura lógica equivale a ~Q então ~P.

“Se as operações de crédito no país aumentam, então os bancos ganham muito dinheiro”. Equivale a A → B;“Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não aumentam”. Equivale a ~B → ~A;Logo, como A → B equivale a ~B → ~A a afirmativa é correta.

Questão 7: Resposta “Errado”.A proposição do tipo P então Q tem valor lógico V (verdadeiro) quando as duas condições são verdadeiras, as duas condições são

falsas e a primeira condição é falsa e a segunda é verdadeira. Sabendo que a primeira condição é falsa (já que a questão afirma que “algum banco lucra mais nos Brasil do que nos EUA”), concluímos que a segunda pode ser falsa ou verdadeira que a proposição terá valor lógico V(verdadeiro). Logo, não podemos afirmar que a segunda proposição será F.

Negação:Todo A é B = Algum A não é B.

42

Raciocínio LógicoAlgum A é B = Todo A não é B.Algum A é B = Nenhum A é B.Nenhum A é B = Algum A é B.

Equivalência:

Todo A é B = Nenhum A não é B.Nenhum A é B = Todo A não é B.Todo A é B = A condicionado a (→) B.1- Verdadeiro - Algum banco lucra mais no Brasil do que nos EUA.2- Falso - Todo banco não lucra mais no Brasil do que nos EUA.3- Equivalente à segunda - Se todos os bancos não lucram mais no Brasil do que nos EUA, então... (quer dizer que nos EUA

lucram mais).A primeira parte é falsa, a segunda parte não importa, pois falso condicionado a qualquer coisa sempre será verdadeiro. Equi-

valente à terceira - Se todos os bancos lucram mais no EUA do que no Brasil, então... Não importa o resto, continua sendo falso condicionado a qualquer coisa, sendo verdadeiro, portanto.

Questão 8: Resposta “Errado”.F ou V = V.A: F; ~A: VC: F; ~C: V~A v ~C = V ∨ V = VA banca misturou constitucional com raciocínio-lógico, então teríamos que julgar.

Proposição A – falsa.Proposição B – verdadeira.Proposição C – falsa.

Na disjunção para ser falsa, ambas as proposições têm que ser falsas.A ou B - F ou F = Falso¬A ou ¬ B = V ou V = Verdade

Questão 9: Resposta “A”.A opção A de fato não poderá ser V, pois, para que isto ocorresse teríamos que atribuir o valor V para A e para ¬B na primeira

parte da conjunção, o que tornaria a segunda parte F. A opção B pode ser V, basta que A ou B sejam V. A opção C pode ser V, basta que A e B sejam V. A opção D pode ser V, basta que A seja V. A opção E pode ser V, basta que A seja V.

Tabela Verdade

A B ~A ~BV V F VV F F FF V V VF F V F

(A) [A ∧ (¬B)] ∧ [(¬A) ∨ B]Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A primeira parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria

falso, Ex: (A) [(V ∧ (F)] ∧ [(F) ∨ V] = falso.Linha (II) - Considerando A verdade e B falso. A primeira parte da AND (E) seria verdade, a segunda seria falsa, consequente-

mente o resultado seria falso, Ex: (A) [(V ∧ (V)] ∧ [(F) ∨ F] = falso.Linha (III) - Considerando A falso e B verdade. A primeira parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria

falso, Ex: (A) [(F ∧ (F)] ∧ [(V) ∨ V] = falso.

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Raciocínio LógicoLinha (IV) - Considerando A falso e B falso. A primeira parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria falso,

Ex: (A) [(F ∧ (F)] ∧ [(V) ∨ V] = falso.

(B) (A ∨ B) ∨ [(¬A) ∧ (¬B)]Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A primeira parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria

verdade, Ex: (B) [(V ∨ V) ∨ [(F) ∧ F] = verdade.

(C) [A ∧ (¬B)] ∨ (A ∧ B)Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria

verdade, Ex: (C) [(V ∧ (F)] ∨ (V ∧ V) = verdade.

(D) [A ∧ (¬B)] ∨ ALinha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria

verdade, Ex: (D) [V ∧ (F)] ∨ V = verdade.(E) A ∧ [(¬B) ∨ A] Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria

verdade, Ex: (E) V ∧ [(F) ∨ V] = verdade.

NegaçãoA negação é um tópico bastante abordado em concursos. E muitos candidatos erram, por não seguirem as regras básicas dos

conectivos a serem negados Trabalharemos agora com esta parte do raciocínio lógico.É muito importante saber negar uma proposição. As pessoas pensam que basta apenas colocar a palavra Não que estará tudo

resolvido. Mas não é assim.No caso de uma proposição simples, a negação é a mais fácil de estabelecer: basta pôr a palavra não antes da sentença.

Exemplos:“Sergio é arquiteto”Negativa: Sergio não é arquiteto.“Maria é estudante.”Negativa: Maria não é estudante.Caso tenhamos na sentença original uma negativa (já traga a palavra não), teremos que fazer a negativa (negar o sentido negativo

já presente).Exemplo:“Sergio não é arquiteto.”Negativa: (“Sergio não não é arquiteto”): “Sérgio é arquiteto.”

Lembra das operações matemáticas básicas (- com - = +).O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. Assim, a tabela-

-verdade da negação é bem simples. Veja:P ~pV FF V

Algumas situações também são negações, porém, descritas das seguintes formas:-”não A”, - Não é verdade que A. - É falso que A.

Daí, as seguintes frases são equivalentes:“matemática não é fácil.”“Não é verdade que matemática é fácil.”“É falso que matemática é fácil.”

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Raciocínio LógicoMas como proceder para fazer a negação de proposições compostas?Esta parte da negação é a que mais aparece nos concursos, porque apresenta maior dificuldade para o concursando e, assim,

maiores possibilidades de erros.Inicialmente devemos analisar o tipo de conectivo que aparece na proposição. E, em função disto, teremos diferentes maneiras

de se fazer a negação. Existem algumas regras que deverão ser seguidas e ponto final!!! É uma questão de treino. Você já deve ter encontrado este conselho em quase todos os materiais didáticos. Mas é verdade.E como ganhar tempo para resolver uma certa quantidade de questões sem empenhar muito tempo nos estudos? Agru-

pando informações. Vamos lá!!!!

a) Negação de Conjunções: ~(p e q)Para negarmos uma proposição do tipo conjunção (p e q) é fácil:1) Negaremos a primeira (~p);2) Negaremos a segunda (~q);3) Trocaremos e por ou.

RESUMINDO:NEGUE TUDO e troque o conectivo “e” por “ou”.Exemplo 15): negar a proposição “Ganhei uma camisa e uma gravata”A proposição acima poderia ser reescrita assim: “Ganhei uma camisa e ganhei uma gravata”Negação: “Não ganhei uma camisa OU não ganhei uma gravata”Neste caso as duas proposições têm sentido “positivo”. Por isto, aparecem duas negativas na resposta. Exemplo 16): negar a proposição “Não consegui marcar um gol e meu time perdeu”Negação: “Consegui marcar um gol OU meu time não perdeu”Neste caso a primeira proposições tem significado “negativo”. Por isto, aparecem nesta proposição sentido positivo.Convertendo para a linguagem da lógica, diremos que: ~(p^q) = ~p V (~q)

Como analisaremos a tabela-verdade das duas situações? Vamos analisar o primeiro exemplo:“Ganhei uma camisa e uma gravata”p = Ganhei uma camisaq = ganhei uma gravata

p q p^qV V VV F FF V FF F F

Agora adicionarei as colunas referentes às negações das proposições p e q:

P q p^q ~p ~q

V V V F F

V F F F V

F V F V F

F F F V V

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Raciocínio LógicoE a seguir, fazer a coluna referente à disjunção entre ~p e ~q, que é a negação da conjunção:

P q p^q ~p ~q ~(p^q)= ~p V ~q

V V V F F FV F F F V VF V F V F VF F F V V V

Observe que as tabelas verdades da conjunção e sua negação (no caso uma disjunção) são opostas.

p^qVFFF

~(p^q)= ~p V ~qFVVV

B) Negação da Disjunção: ~(p ou q)Na linguagem apropriada, concluiremos que:~(p V q) = ~p ^ ~q Para negarmos uma proposição do tipo disjunção (p ou q) é fácil:1) Negaremos a primeira (~p);2) Negaremos a segunda (~q);3) Trocaremos ou por e.

RESUMINDO:NEGUE TUDO e troque o conectivo “ou” por “e”.

Exemplo 17): negar a proposição “Ganhei uma camisa ou uma gravata”Negação: “Não ganhei uma camisa e não uma gravata”Neste caso as duas proposições têm sentido “positivo”. Por isto, aparecem duas negativas na resposta

Exemplo18): negar a proposição “Não consegui marcar um gol ou meu time perdeu”Negação: “Consegui marcar um gol e meu time não perdeu”(Neste caso a primeira proposições tem significado “negativo”. Por isto, aparecem nesta proposição sentido positivo).Convertendo para a linguagem da lógica, diremos que: ~(p V q) = ~p ^ (~q)

Como analisaremos a tabela-verdade das duas situações? Vamos analisar o primeiro exemplo:“Ganhei uma camisa e uma gravata”p = Ganhei uma camisaq = ganhei uma gravata

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Raciocínio Lógicop q pVq

V V V

V F V

F V V

F F F

Agora adicionarei as colunas referentes às negações das proposições p e q:

p q pVq ~p ~qV V V F FV F V F VF V V V FF F F V V

E a seguir, fazer a coluna referente à CONjunção entre ~p e ~q:

p q pVq ~p ~q ~(pVq) = ~p ^ ~q

V V V F F F

V F V F V F

F V V V F F

F F F V V V

Observe que as tabelas verdades da DISjunção e sua negação (no caso uma CONjunção) são opostas.

pVqVVVF

~(pVq) = ~p ^ ~qFFFV

Repare que as duas situações de negação são muito semelhantes. Negar tudo e trocar os conectivos “e” por “ou” e vice--versa.

C) Negação de uma Condicional: ~(p → q)Esta negação é a mais cobrada em concursos !!!! Portanto, é de extrema importância que saibamos trabalhar muito bem esta

negação.Como se negar uma condicional? Seguiremos os seguintes passos:Para negarmos uma proposição do tipo condicional (se p então q) é fácil (eheheh):1) manteremos a primeira (p);2) Negaremos a segunda (~q);3) Trocaremos o conectivo por e.

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Raciocínio LógicoExemplo: negar a proposição “Se chover então ficarei em casa”Negação: “choveu e não fiquei em casa”(OBS: ajusta-se o tempo verbal de acordo a um melhor entendimento)

Convertendo para a linguagem da lógica, diremos que: ~( p → q) = p ^ (~q)

Como analisaremos a tabela-verdade das duas situações? Vamos analisar o primeiro exemplo:“Se chover então ficarei em casa”p = choverq = ficarei em casa

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Agora adicionarei a coluna referente à negação da proposição q:

p q p → q ~q

V V V F

V F F V

F V V F

F F V V

E a seguir, fazer a coluna referente à CONjunção entre p e ~q:

p q p → q ~q ~( p → q) =p ^ ~q

V V V F F

V F F V V

F V V F F

F F V V F

Observe que as tabelas verdades da CONDICIONAL e sua negação (no caso uma CONjunção) são opostas.

d) Negação da Disjunção Exclusiva. “ou p ou q”¬(P V Q) <=> P ↔ Q

Este é um caso mais raro, porém, quando aparecem muitos concursandos “dançam feio”, porque a muitos materiais didáticos não trazem estas formas de negação.

Para negarmos uma proposição do tipo disjunção exclusiva , basta transformá-la em uma estrutura bicondicional. Observe:“Ou José é rico ou Paulo é bonito”.p= José é ricoq = Paulo é bonito

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Raciocínio LógicoNegando-a temos;“José é rico se e somente se Paulo é bonito”

Pela tabela-verdade podemos” confirmar” a negação da proposição

p Q p V q ¬(p V q) p↔qV V F V VV F V F FF V V F FF F F V V

Portanto, podemos concluir que a negação de uma estrutura bicondicional é também a disjunção exclusiva, pois, suas tabelas-verdades são opostas.

Podemos fazer um resumo dos conectivos e suas tabelas-verdade e as suas respectivas negações:

Conectivo É verdade quando É falso quando

p ∧ q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso

p V q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos

p V q dois valores lógicos diferentes Dois valores lógicos iguais

p → q nos demais casos p é verdade e q é falso

p ↔ q p e q tiverem valores lógicos iguais

p e q tiverem valores lógicos diferentes

negação de (p e q) ~p ou ~q

negação de (p ou q) ~p e ~q

negação de (p → q) p e ~q

negação de (p ↔ q) Ou p Ou q

Questões propostas

Questão 1: Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:a) p ˅ ~qb) p → qc) ~p ^ ~qd) p ↔ ~qe) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)

Questão 2: Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: A terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

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Raciocínio LógicoQuestão 3: Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine:a) a contrapositivab) a recíproca

Questão 4: a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p → r ^ s).b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine V (p), V (q), V(r).c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r).

Questão 5: (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo.I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.Q Fumar de ser encorajado.R Fumar não faz bem à saúde.T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T).b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R).c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P.e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).

Questão 6: Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Questão 7: Dê a negação lógica de cada sentença:a) Nenhum aluno gosta de geometria.b) Tudo o que é bom engorda.c) Existe um país de língua portuguesa na Europa.d) Comprei um CD e um livro.

Questão 8: Considere as afirmações seguintes:(I) Se um político tem muito dinheiro, então ele pode ganhar as eleições.(II) Se um político não tem muito dinheiro, então ele não pode ganhar as eleições.(III) Se um político pode ganhar as eleições, então ele tem muito dinheiro.(IV) Se um político não pode ganhar as eleições, então ele não tem muito dinheiro.(V) Um político não pode ganhar as eleições, se ele não tem muito dinheiro.

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Raciocínio Lógicoa) Assumindo que (I) é verdadeira, quais das outras afirmações são verdadeiras?b) Qual é a negação de (I)?c) A afirmação (I) é do tipo p → q. Como ficaria a afirmação q → p, chamada recíproca de (I)?d) Como ficaria a afirmação ~q → ~p, chamada contra positiva de (I)?

Questão 9: Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível.a) É falso que não está frio ou que está chovendo.b) Se as ações caem aumenta o desemprego.c) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis.d) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica.e) Jorge estuda física mas não estuda química.(Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “p e q”)

Questão 10: ESAF AFC-STN) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.Questão 11: Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a

seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas

Questão 12: A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

Questão 13: Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade. Questão 14: José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido.

Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não ira ao cinema. Verificou - se que Maria está certa. Logo,

a) O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido. b) Luís e Júlio não estão enganados. c) Júlio está enganado, mas Luís não. d) Luís está enganado, mas Júlio não. e) José não irá ao cinema.

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Raciocínio LógicoQuestão 15: (SEFAZ/FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo

lógico é:a) Disjunção inclusiva. b) Conjunção.c) Disjunção exclusiva.d) Condicional.e) Bicondicional.

RESOLUÇÕES

Questão 1: Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo.Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:a) P ˅ ~q Está frio OU NÃO Está chovendob) p → q Se Está frio então Está chovendoc) ~p ^ ~q não Está frio e não Está chovendod) p ↔ ~q Esta(rá) frio se e somente se Estiver chovendoe) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p) Estará frio ou não Estará chovendo se e somente se Estiver chovendo e não Estiver frio

Questão 2:Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:a) Não é verdade: que (negação) a terra é um planeta ou (a terra) gira em torno do Sol ~(p V q)b) Se A terra é um planeta então a terra gira em torno do Sol. p → qc) É falso que (negação) a terra é um planeta ou que (a terra) não gira em torno do Sol ~(p ˅ ~q) negação do( p ou ~q)d) A terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. q ↔ ~pe) A Terra não é nem (negação) um planeta e nem (negação) gira em torno do Sol. ~p ^ ~q

Questão 3:a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”.b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.

Questão 4:a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2), determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F;

Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = Fb) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p)

= V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = V

c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r)= V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

Questão 5:a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T.b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre

ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra.c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P.d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P.d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.Questão 6: Resposta “E”.A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma

melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema:a) São três amigasb) Uma é loura, outra morena e outra ruiva.c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha.e) Elas deram as seguintes informações:

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Raciocínio LógicoA loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

Faça uma tabela:

Cor dos cabelos Loura Morena RuivaAfirmação Não vou à França nem a Espanha Meu nome não é Elza nem Sara Nem eu nem Elza vamos à França

País Alemanha França EspanhaNome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha.Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete.Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não

vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.

Questão 7:a) p: Nenhum aluno gosta de geometria.~p: Existe algum aluno que gosta de geometria.

b) p: Tudo o que é bom engorda.~p: Existe algo que é bom e não engorda.

c) p: Existe um país de língua portuguesa na Europa.~p: Qualquer país na Europa não é de língua portuguesa.

d) p: Comprei um CD e um livro.~p: Não comprei um CD ou não comprei um livro.

Questão 8: Sejam:p: Um político tem muito dinheiro;q: Ele pode ganhar as eleições.

As afirmações dadas podem ser então escritas na maneira seguinte:(I) p → q(II) ~p → ~q(III) q → p(IV) ~q → ~p(V) ~p → ~q

a) Assumindo que (I) é verdadeira, apenas a afirmação (IV) é verdadeira.Para verificar esse fato, vamos examinar as tabelas-verdade:

p q ~p ~q p→q ~p→ ~q q → p ~q →~p ~p→~qV V F F V V V V VV F F V F V V F VF V V F V F F V FF F V V V V V V V

Observe que as duas únicas colunas iguais são aquelas em negrito.

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Raciocínio Lógicob) A negação de (I) é ~(p → q):“Não é verdade que se um político tem muito dinheiro então ele pode ganhar as eleições”.Podemos observar essa resolução com um pouco mais de detalhe. Vejamos: a afirmação p → q é equivalente a ~p ∨ q.Logo, a afirmação ~ (p → q) é equivalente a ~ (~p ∨ q) que, por sua vez, é equivalente a p ∧ ~q. Vamos verificar essa última

equivalência através da tabela-verdade:

p q ~p ~q ~p∨q ~(~p∨q) p ∧ ~qV V F F V F FV F F V F V VF V V F V F FF F V V V F F

Logo a equivalência entre ~ (p → q) e p ∧ ~q nos permite dizer que:“Existe um político que tem muito dinheiro e que não ganha às eleições”.c) A afirmação recíproca de (I), q → p, é a seguinte:Se ele pode ganhar as eleições, então ele tem muito dinheiro.d) A afirmação contra positiva de (I), ~q → ~p , é a seguinte:Se ele não pode ganhar as eleições, então ele não tem muito dinheiro.

Questão 9:a) “Não está frio ou está chovendo”.b) “As ações caem e não aumenta o desemprego”.c) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem olhos azuis e não tem cabelos louros”.d) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático então sabe lógica”.e) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”.

Questão 10: Resposta “C”.A questão exige do candidato apenas conhecimentos das operações lógicas fundamentais. Vamos representar as proposições simples:p: Alda é altaq: Bino é baixor: Ciro é calvoEscrevendo o enunciado em linguagem simbólica: p ˅ ~q ˅ rA afirmação dita no enunciado, representada por p ˅ ~q ˅ r, é falsa. Sabemos que na disjunção entre duas (ou mais) proposições

p e q, seu valor lógico será Falsidade somente quando p e q forem ambas falsas (ver tabela-verdade do “ou” que foi apresentada em tópicos anteriores). Na questão, temos não duas, mas três proposições. Então p, q e ~r têm valores lógicos falsidade. Entenderam? De uma outra maneira dizemos: para que a proposição p ˅ ~q ˅ r seja considerada falsa, temos que ter a combinação F ˅ F ˅ F na respectiva tabela-verdade:

p q r ~q p ˅ ~q ˅ rV V V F VV V F F VV F F V VF V V F VF F V V VF V F F FV F V V VF F F V V

Com isso, descobrimos que “Alda não é alta”, “Bino é baixo” e “Ciro não é calvo”. A questão pede uma proposição composta com valor lógico verdade, a partir dos valores lógicos de p, q e r. Escrevendo cada item em linguagem simbólica temos:

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Raciocínio Lógicoa) q → p ^ ~q → ~rV → F ^ F → VF ^ VFalsidade

b) p → q ^ q → rF → V ^ V → FV ^ FFalsidade

c) p → q ^ ~q → ~rF → V ^ F → VV ^ VVerdade

d) ~q → p ^ q → rF → F ^ V → FV ^ FFalsidade

e) ~p → ~q ^ r → ~qV → F ^ F → FF ^ vFalsidade

Questão 11:Aprendemos que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sen-

tença “Todos os economistas são médicos”, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico! Alternativa “A”.

Questão 12:Resposta “E”. O que a questão pede é a negação de uma condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira

parte E nega-se a segunda. Daí, concluiremos o seguinte: “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é igual a: “está chovendo E eu não levo o guarda-chuva”.

Questão 13:Se Carlos não é mais velho do que Maria, então João não é mais moço que Pedro Se João não é mais moço que Pedro, então

Maria e Julia não tem a mesma idade Se Maria e Julia não tem a mesma idade, então Carlos não é mais velho que Pedro. Logo, a única opção correta é: e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.

Questão 14:Se Maria está certa, então Júlio está enganado. Se Júlio está enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então

O Filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao cinema. Logo, concluímos que: José não irá ao cinema. Resposta “E”.

Questão 15: O conectivo mas é semelhante ao e. Conectivo lógico (conjunção)

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Raciocínio LógicoEQUIVALÊNCIA

A equivalência entre proposições compostas ocorre quando suas tabelas verdades forem idênticas mesmo expressas com o uso de diferentes expressões. Porém, “diríamos a mesma coisa de maneiras ou formas diferentes”.

Duas proposições compostas são equivalentes quando apresentam o mesmo valor lógico, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem.Para expressarmos a ocorrência de uma equivalência usaremos a seguinte simbologia (⇔ ou mais excepcionalmente, ≡).

Nos concursos a incidência de equivalência é muito grande. Principalmente quando se trabalha com a proposição na forma con-dicional.

O motivo disto é que são possíveis duas distintas formas de equivalência para a condicional. E isto gera um grau de dificul-dade muito grande para o candidato, fazendo com que ele erre muitas questões (creio que objetivo da banca, para selecionar quem sabe menos de quem sabe mais do assunto).

Para verificar esse fato, vamos examinar as tabelas-verdade:

1 2 3 4 5 6

p q ~p ~q (p → q)

~p→~q

(q→p)

~q→~p

p^~q

~pVq

V V F F V V V V F VV F F V F V V F V FF V V F V F F V F V

F F V V V V V V F V

Observe que as tabelas-verdade em azul (casos 1,4 e 6) são idênticas. Portanto, são situações equivalentes.Vamos fazer aqui uma análise muito importante:Temos na tabela a coluna 1 que corresponde à tabela-verdade da condicional. Quando negamos uma condicional (resultando na

tabela-verdade da coluna 5) devemos negá-la com uma conjunção. Quando se nega uma conjunção (coluna 5) devemos negar com uma disjunção (obtendo a tabela-verdade da coluna 6). Portanto, considerando que a condicional é verdadeira ao negá-la teremos valor lógico correspondente falso e ao negar novamente teremos a volta ao valor lógico verdadeiro.

O que quero dizer com isso? É que negar a verdade resulta em mentira e negar a mentira resulta em verdade. Portanto, a negação da negação é equivalente à proposição inicial.

Por isto, as colunas em azul 1 e 6 são idênticas (e são equivalentes).Se considerarmos coluna 1 a proposição verdadeira, sua negação seria a coluna 5. E se negarmos a coluna 5, o resultado seria a

coluna 6.

A equivalência contrapositivaHá um caso muito especial de equivalência da condicional que é a chamada contrapositiva. O que seria a contrapositiva? Como

fazer sua expressão?Repare que teremos uma equivalência da condicional com uma disjunção (exemplos das colunas 1 e 6). Porém, podemos ter uma

equivalente de condicional na forma de condicional (coluna 4). Observe que neste caso, teremos a inversão da ordem das proposições simples, ambas negadas e unidas com conectivo condicional.

Existem formas de se determinar esta expressão, porém, para evitar criar mais dificuldades e complexidade para você, caro aluno, basta memorizar, como citado acima, a expressão lógica da contrapositiva.

RESUMINDO:Equivalências da condicional:- com uma disjunção: ~p V q- com outra condicional (contrapositiva): ~q → ~p.Vamos fazer duas questões para exemplificar:

Exemplo: “Se chover então ficarei em casa.”- com uma disjunção: ~p V qNão chove ou fico em casa.

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Raciocínio Lógico- com outra condicional (contrapositiva): ~q → ~p.Se não fiquei em casa então não choveu.

Exemplo: Se chove então me molho- com uma disjunção: ~p V qNão estudo ou passo no concurso- com outra condicional (contrapositiva): ~q → ~p.Se não me molho então não chove

Vale a pena ressaltar que muitas bancas trazem uma condicional e pedem sua equivalência. Porem, costumam colocar nas alterna-tivas expressões com diferentes conectivos, com negação ou não, etc. E isto gera uma confusão muito grande na cabeça do candidato, em caso destas relações não estarem bem memorizadas.

Portanto, memorize: (p → q) ⇔ ~q → ~p ⇔ ~p V q

Outras equivalências A ^ B ⇔ B ^AA V B ⇔ B V AA V B ⇔ B V AA ↔ B ⇔ B ↔ A

Questões propostas

Questão 1: (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

Questão2: (Fiscal Trabalho/98) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

Questão 3: (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista;d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

Questão 4: (FCC TCE-MG 2007) São dadas as seguintes proposições:I. Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.II. Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente.III. Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente.IV. Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números:a) 2 e 4b) 2 e 3c) 2, 3 e 4d) 1, 2 e 3e) 1, 3 e 4

57

Raciocínio LógicoQuestão 5: A afirmação “se estudo então passo” é logicamente equivalente a:A) se passo então estudo;B) se não estudo então não passo;C) se não passo então não estudo;D) só se estudo então passo;E) estudo ou não passo;

Questão 6: Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia:(p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q)Questão 7: Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade

que:a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Questão 8: (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivalente a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médicoc) nenhum médico é economistad) pelo menos um médico não é economistae) todos os não médicos são não economistas

RESOLUÇÕES:Questão 1:Conforme aprendemos na aula passada, a estrutura condicional pode ser traduzida também com uso das expressões condição

suficiente e condição necessária. Lembrados? Usando essa nomenclatura, teremos que:- a primeira parte da condicional é uma condição suficiente; e a segunda parte da condicional é uma condição necessária.Daí, tomando a sentença “Se Marcos não estuda, então João não passeia”, teremos que:- Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou- João não passear é condição necessária Marcos não estudar.Ocorre que nenhum desses dois resultados possíveis acima consta entre as opções de resposta. Daí, resta-nos uma saída: tere-

mos que encontrar uma condicional equivalente à esta da questão. Qual seria?: p → q = ~q →~p. Teremos:Se Marcos não estuda, então João não passeia = Se João passeia, então Marcos estuda.Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem. Daí, agora analisando esta condicional equivalente,

concluiremos que:- João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou- Marcos estudar é condição necessária para João passear. - (Letra E)

Questão 2:Aqui também teremos que transformar uma disjunção em uma condicional. Já sabemos, pela resolução da questão anterior,

que poderemos usar a seguinte equivalência: ~p ou q = p →q.Teremos, pois que:- Pedro não é pedreiro = ~p- Paulo é paulista = qDaí, a condicional equivalente a esta disjunção será a seguinte:- Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Resposta! (Letra A)Questão 3:A questão nos trouxe uma condicional e pediu uma proposição equivalente. Podemos testar as duas equivalências da condi-

cional que conhecemos.Comecemos pela seguinte: p → q = ~q → ~p

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Raciocínio LógicoDaí, considerando que:- Pedro é economista = p e- Luísa é solteira = qSua condicional equivalente será:

- Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. (Letra E)

Questão 4:Simplificamos primeiro as proposições:I) Trabalha → eficienteII) ~Trabalha → ~eficienteIII) ~(trabalha ^ eficiente)IV) eficiente v ~trabalhaAgora buscamos as equivalências lógicas.I) Trabalha → eficiente é equivalente a essas duas:~eficiente → ~Trabalha~trabalha v eficienteII) ~Trabalha → ~eficiente é equivalente a essas duas:eficiente → trabalhatrabalha v ~eficienteIII) ~(trabalha ^ ~eficiente) é equivalente a:~trabalha v eficiente(a negação de p ^ q é ~p v ~q)IV) eficiente v ~trabalha é equivalente a essas duas:~eficiente → ~trabalhatrabalha → eficienteletra E

Questão 5: Nesta questão procuramos uma relação de equivalência. Para responder a este problema devemos nos perguntar quando que duas proposições são equivalentes.

EQUIVALÊNCIA LÓGICADadas as proposições p e q, dizemos que “p é equivalente a q” quando p e q têm tabelas-verdades iguais, isto é, quando p e q têm

sempre o mesmo valor lógico. Aqui chamamos a atenção que p e q podem ser proposições compostas também.No problema, temos a proposição composta “se estudo então passo”.p: estudoq: passoO conectivo “então” representado por conhecido como condicional.p q: se estudo então passo.Poderíamos fazer a tabela-verdade para cada uma das alternativas procurando encontrar a solução, mas para algumas equivalên-

cias já temos a resposta, isto é, com a prática e verificação já saberemos exatamente de algumas implicações tão facilmente que não precisaremos fazer uso da tabela.

Esta questão é um desses casos, pois temos o condicional p q que é equivalente a ~q ~p, uma equivalência que aparece em diversos exercícios e questões de concursos. Como símbolo de equivalência utilizaremos .

(p q) (~q ~p)

p q p q ~q ~p ~q ~p

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

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Raciocínio LógicoObserve as duas colunas em vermelho acima na tabela-verdade, elas mostram a equivalência lógica entre as proposições. Portan-

to, “se estudo então passo” é logicamente equivalente a “se não passo então não estudo”.

Questão 6:Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato:

Ordem Proposição

1 (p → q) → r ⇔

2 ⇔(~p ∨ q) → r ⇔

3 ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔

4 ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q)

5 r ∨ (p ∧ ~q)

Questão 7:Trata-se da negação (“não é verdade que) de uma conjunção (E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos:

~(p ∧ q) = ~p ∨ ~qDaí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte:Alberto não é alto. Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que: Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é

alto é igual a:

Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.

Resposta (letra A)

Questão 8:A palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os

economistas são médicos”, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase. Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico. É nossa resposta a alternativa A.

DIAGRAMAS LÓGICOS: INCLUSÃO; INTERSEÇÃO; DISJUNÇÃO. PRINCIPAIS REGRAS DE INFERÊNCIA; QUANTIFICADORES; NEGAÇÃO COM QUANTIFICADORES.

Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

CUIDADO: no preenchimento dos conjuntos deve-se começar pela informação que traz a região de intersecção, ou seja: ao grupo de indivíduos que fazem todas as atividades ou características apresentadas em questão. Se forem duas características A e B devemos começar preenchendo pelo número dos que possuem a característica A e B, simultaneamente. Depois, desconta-se este valor para determinar o número de indivíduos que apresentam apenas a característica A e B. Vejamos um exemplo bem simples abaixo:

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Raciocínio LógicoEXEMPLO 01) Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto.

Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: - quantas pessoas têm no grupo- quantas dirigem somente carro- ainda quantas dirigem somente motos.- quantas podem não dirigir nem carro nem moto.

Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Come-çaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

Concluindo-se que:

Temos nas somas individuas 8 + 33, que perfaz 41 indivíduos. Ee mais 10 pessoas na intersecção. Total: 51 indivíduos entrevis-tados. Dos quais:

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.b) Dirigem somente carros 33 motoristas.c) Dirigem somente motos 8 motoristas.

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Raciocínio LógicoEXEMPLO 02) No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada

a seguinte tabela:

Jornais LeitoresA 300B 250C 200

A e B 70A e C 65B e C 105

A, B e C 40Nenhum 150

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.

Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais.Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.

Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

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Raciocínio LógicoCom essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 pessoas não leem o jornal

C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150. que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.

Diagrama de Euler

Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma zona é definida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode definir um universo de discurso, isto é, ele pode definir um sistema no qual certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.

Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama está na forma como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção e disjunção). Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido completamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo.

Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn deve conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer relações entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”.

Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão.

Diagramas de Venn

Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respectivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∉ {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem

continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa,

simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia”. Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.

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Raciocínio LógicoNos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um

enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união.

John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro):

- Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição).- Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição).- Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição).- Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora).Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B

para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama:

Diferença de A para B: A\B

64

Raciocínio LógicoDiferença de B para A: B\A

Intersecção de dois conjuntos: AB

Complementar de dois conjuntos: U \ (AB)

Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

União de dois conjuntos: A B

Diferença Simétrica de dois conjuntos: A B

Complementar de A em U: AC = U \ A

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Raciocínio LógicoComplementar de B em U: BC = U \ B

Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes.

Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.

União de três conjuntos: A B C

Intersecção de três conjuntos: A B C

A \ (B C)

(B C) \ A

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Raciocínio LógicoQuestões Propostas

Questão 1) Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

(A) instrumentos de sopro ou de corda?(B) somente um dos dois tipos de instrumento?(C) instrumentos diferentes dos dois citados?

Questão 2) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é:

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES PROPOSTAS

Questão1)

Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora.

Passo 1: 60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai entre os conjuntos, na área de in-tersecção.

Passo 2:

a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100

b) 240 tocam instrumento de sopro. 240 - 60 = 180Vamos ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam:a) instrumentos de sopro ou de corda? Pelos dados do problema: 100 + 60 + 180 = 340b) somente um dos dois tipos de instrumento? 100 + 180 = 280c) instrumentos diferentes dos dois citados? 500 - 340 = 160

Questão2)

Resposta “E”.

67

Raciocínio Lógico

n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44

4 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM.

Existem alguns tipos de argumentos que apresentam proposições com quantificadores. A resolução análise do argumento destes argumentos torna-se mais fácil quando se lança mão do uso da teoria dos conjuntos, com representações dos conjuntos e que chama-remos de diagramas lógicos. Vimos que a sentença aberta é aquela que possui pelo menos uma variável.

Exemplo: X -3 = 9Aqui temos uma sentença aberta que possui a variável x.Não podemos valorar esta sentença como V ou F. Mas, se atribuirmos valor a x então será gerado uma proposição que poderá, a

dado valor de x, ser julgada em V ou F.A sentença aberta, então tem como particularidade o fato dela poder dar origem a diversas proposições, dependendo do valor

atribuído à variável x.

RECAPITULANDO:

- X -3 = 9 não pode ser considerada proposição. É sentença aberta e não pode ser julgada em V ou F.- atribuindo-se valor a x isto gerará uma proposição que pode ser valorada em V ou F.- Geralmente estas sentenças abertas podem ser acompanhadas de quantificadores que possibilitam torná-las proposições e pas-

síveis de valoração.- O quantificador universal é simbolizado por: ∀. Ele indica que todos os elementos do conjunto satisfazem a uma dada sentença

aberta.- A sentença aberta é indicada por p(x). Estamos indicando que o seu valor lógico depende da variável, que está entre parêntesis.- O quantificador existencial é simbolizado por: ∃. Ele indica que existe pelo menos um elemento do conjunto que satisfaz à

sentença aberta.- Por fim, temos o quantificador de existência e unicidade (∃!). Significado: Existe pelo menos um

PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS

Chamam-se de proposições categóricas proposições simples e diretas na forma de sujeito-predicado. Elas apresentam-se em quatro tipos:

A: Todo M é NB: Nenhum M é N ( Todo M não é N)C: Algum M é N.D: Algum M não é N

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Raciocínio LógicoOnde:A é uma proposição universal afirmativa.B é uma proposição universal negativa.C é uma proposição particular afirmativa.D é uma proposição particular negativa.- Os principais quantificadores estão representados por palavras e, os principais (mais comuns) são: algum, nenhum, existe, todo. - Argumentos decorrentes destes tipos de proposições são mais facilmente estudados por meio de diagramas (diagramas lógicos),

que representam os diversos conjuntos das possibilidades geradas pelo uso dos quantificadores envolvidos na questão.- Este tópico costuma trazer muitas dificuldades para o concursando, porque exige uma visão interpretativa das relações dos

“conjuntos” que irão aparecer nas resoluções.

Exemplo de frases:“Nenhum candidato foi aprovado”“Todos os homens gostam de futebol”“Alguma ave é azul”“Existe vida inteligente em Marte”

Vamos inicialmente tecer algumas considerações sobre os conjuntos e os quantificadores.

O estudo das proposições categóricas pode ser feito utilizando os diagramas de Euler- Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada.

Vejamos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas.

- Todo A é B ↔ Todo elemento de A também é elemento de B.

- Nenhum A é B ↔ A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns.- Algum A é B ↔ Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum.- Algum A não é B ↔ O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B.

Vejamos como representar cada uma das proposições categóricas utilizando os diagramas de Euler-Venn.- Todo A é BTeremos duas possibilidades.

A proposição categórica “Todo A é B” é equivalente a:A é subconjunto de B. A é parte de B.A está contido em B. B contém A.B é universo de A.B é superconjunto de A.Se soubermos que a proposição “Todo A é B” é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?Nenhum A é B é falso.Algum A é B é verdadeiro.Algum A não é B é falsa.- Algum A é B

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Raciocínio LógicoPodemos ter 4 diferentes situações para representar esta proposição:

A proposição categórica “Algum A é B” equivale a “Algum B é A”.Se “algum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?

Nenhum A é B é falso.

Todo A é B é indeterminado – pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).Algum A não é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4).

Observe que quando afirmamos que “Algum A é B” estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B.

- Nenhum A é B

A proposição categórica “Nenhum A é B” equivale a:Nenhum B é A. Todo A não é B. Todo B não é A.A e B são conjuntos disjuntos.Se “nenhum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?Todo A é B é falso.Algum A é B é falso.Algum A não é B é verdadeira.Exemplo: “Nenhum elefante é dinossauro”Neste caso, estamos afirmando que o conjunto dos elefantes não apresenta intersecção com o conjunto dos dinossauros.Assim:

70

Raciocínio LógicoNovamente: dizemos que não há intersecção entre os dois conjuntos.Assim como nos casos anteriores, temos algumas incertezas.A única certeza que temos é que não há intersecção entre os conjuntos.Contudo, simplesmente dizer que “nenhum elefante é dinossauro” não garante qualquer coisa sobre a existência de elemen-

tos dentro do conjunto dos elefantes, ou dentro do conjunto dos dinossauros.

- Algum A não é BSe a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

Observe que “Algum A não é B” não equivale a “Algum B não é A”. Por exemplo, dizer que “Algum brasileiro não é mi-neiro” não equivale a dizer que “Algum mineiro não é brasileiro”.

Se “algum A não é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?

Todo A é B é falso.Nenhum A é B é indeterminado – pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2).Algum A é B é indeterminado – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3).Veremos a seguir como são representados através de formas simbólicas as proposições categóricas e as interpretações para

cada uma delas.

71

Raciocínio Lógico

Existe equivalência ou negação entre estas proposições? Como fazer?

De modo geral, a negação do quantificador universal de uma função proposicional é equivalente a uma quantificação existencial sobre a negação da mesma função proposicional. A negação de uma proposição que usa quantificador é feita negando o quantificador e também o predicado P, ou seja, a negação da proposição “para cada x, P(x)” é “existe x, P(x)”. A negação da proposição “existe x, P(x)” é “para cada x, ~P(x)”

Veja a seguir na tabela abaixo:

Aqui, caro aluno, vai um esquema que permitirá a você resolver uma grande quantidade de questões quanto à equivalên-cia ou negação de UMA proposição categórica. Basta usar o triângulo abaixo e dispender pouco tempo com a teoria.

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Raciocínio LógicoQUESTÕES PROPOSTAS

Questão 01) (TTN-98 ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:a) algum A não é G;b) algum A é Gc) nenhum A é G; d) algum G é A;e) nenhum G é A;

Questão 02) VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)Observe o seguinte diagrama. De acordo com o diagrama, pode-se afirmar que:

a) todos os músicos são felizes.b) não há cantores que são músicos e felizes.c) os cantores que não são músicos são felizes.d) os felizes que não são músicos não são cantores.e) qualquer músico feliz é cantor.

Questão 03) VUNESP/2011- Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)Pergunta: Todo PLATZ que não é PLUTZ é também PLETZ. Alguns PLATZ que são PLETZ também são PLITZ. A partir dessas

afirmações, pode-se concluir que:a) alguns PLITZ são PLETZ e PLATZ.b) existe PLATZ que não é PLUTZ nem é PLETZc) não existe PLUTZ que é apenas PLUTZ.d) todo PLITZ é PLETZ.e) existe PLITZ que é apenas PLITZ.

Questão 04) FCC/2012 – Concurso TCE-SP – Analista de Fiscalização Financeira (Administração)Pergunta: Todos os jogadores são rápidos. Jorge é rápido. Jorge é estudante. Nenhum jogador é estudante. Supondo as frases

verdadeiras pode-se afirmar quea) a intersecção entre o conjunto dos jogadores e o conjunto dos rápidos é vazia.b) a intersecção entre o conjunto dos estudantes e o conjunto dos jogadores não é vazia.c) Jorge pertence ao conjunto dos jogadores e dos rápidos.d) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos estudantes e o conjunto dos rápidos.e) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos jogadores e o conjunto dos rápidos.

Questão 05) A negação de “todos os homens são bons motoristas” é:a) todas as mulheres são boas motoristas;b) algumas mulheres são boas motoristas;c) nenhum homem é bom motorista;d) todos os homens são maus motoristas;e) ao menos um homem é mau motorista.

73

Raciocínio LógicoTRT-17 – CESPE- 2009. Nos diagramas acima estão representados dois conjuntos de pessoas que possuem o diploma de curso

superior em Direito, dois conjuntos de juízes e dois elementos desses conjuntos: Mara e Jonas. Julgue os itens subsequentes tendo como referencia esses diagramas e o texto.

Questão 06) A proposição “Mara é formada em direito e é juíza” é verdadeira.

Questão 07) A proposição “Se Jonas não é um juiz, então Mara e Jonas são formados em direito” é falsa.Questão 08) Considerando as seguintes proposições: “Alguns filósofos são matemáticos” e “não é verdade que algum poeta é

matemático”, pode-se concluir apenas que:a) algum filósofo é poeta.b) algum poeta é filósofo.c) nenhum poeta é filósofo.d) nenhum filósofo é poeta.e) algum filósofo não é poeta.

Questão 09) CESPE – Polícia Federal – 2009) Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”.

Questão 10) Represente por diagrama de Venn-Euler (A) Algum A é B(B) Algum A não é B(C) Todo A é B(D) Nenhum A é B

Questão 11) (Especialista em Políticas Públicas Bahia - FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

(A) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.(B) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.(C) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.(D) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.(E) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

RESOLUÇÕES

Questão 01) Observamos que a questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas:1. Alguns A são R2. Nenhum G é RVamos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos.1. Alguns A são R

Não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

Representação de:

74

Raciocínio Lógico2. Nenhum G é R

Vamos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R).

A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações.

Teste das alternativas:1º) Teste da alternativa “a” (algum A não é G)Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira. Para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa.2º) Teste da alternativa “b” (algum A é G)Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verda-

deira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “d” não é correta.

Passemos para a próxima.3º) Teste da alternativa “c” (Nenhum A é G)Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é

verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “e” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

Questão 02) Como pode ser visto no diagrama, parte dos felizes não são músicos nem cantores.Questão 03) Todo Platz que não é Plutz é também Pletz. Ou seja, Platz e Pletz são duas coisas ao mesmo tempo.Alguns Platz também são Plitz. Ou seja, o Plitz pode ser Platz, mas isso não é uma regra geral.A letra E é falsa porque não existe delimitação para o conjunto Plitz e ele não fica sozinho;A letra B também está errada porque afirma que existe Platz que não é Plutz nem é Pletz. Mas a afirmação do enunciado garante

que “Todo Platz que não é Plutz é também Pletz.”A letra C está incorreta porque essa afirmação não é dita em nenhum momento do enunciado.

75

Raciocínio LógicoA letra D está incorreta porque não há uma regra em relação a isso também.

Questão 04) Ao analisar as informações dadas pode-se concluir que Jorge não pertence ao grupo de jogadores e sim ao conjunto compreen-

dido entre os rápidos e estudantes.

Questão 05) Usando o esqueminha:

Todo A: homens~B: são bons motoristas, portanto, B: não são bons motoristas.Resposta: Algum A é B:Algum homem não é bom motorista. (não encontramos nas alternativas).Devemos “trabalhar” em busca de palavras com significados semelhantes.Algum (ao menos um; existe pelo menos um etc).Não é bom motorista (é mau motorista). Logo:e) ao menos um homem é mau motorista.

Questão 06) A proposição “Mara é formada em direito e é juíza” é FALSA, pois, numa conjunção ambas as parcelas devem ser verdadeiras. Mara é formada em direito, mas, não é juíza. O enunciado diz que tal afirmativa é verdadeira. Isto está errado. Esta proposição é falsa.

Questão 07) A proposição “Se Jonas não é um juiz (F), então Mara e Jonas são formados em direito” (V) é falsa. Ocorre que neste caso se trata de uma condicional. Sempre que em uma condicional a primeira parcela for falsa nem importa o valor lógico da segunda parcela e a proposição será verdadeira. Então o enunciado diz que esta é falsa. ERRADO.

Questão 08)As premissas envolvem filósofos, matemáticos e poetas.Premissas:1) Alguns filósofos são matemáticos2) Não é verdade que algum poeta é matemático.Da primeira premissa, temos que existem elementos na intersecção entre filósofos e matemáticos.

76

Raciocínio LógicoA segunda premissa nos diz que: “Não é verdade que algum poeta é matemático”. Em outras palavras, é falso que: algum poeta

é matemático.Assim, a negação disso é verdadeira.A negação de “algum poeta é matemático” é “nenhum poeta é matemático”Ou seja, no fundo, a segunda premissa nos diz que “nenhum poeta é matemático”.Isso nos garante que não há elementos na intersecção entre poetas e matemáticos. Vejamos cada uma das alternativas.a) algum filósofo é poeta – não temos como garantir isso.A intersecção entre os conjuntos verde e preto está em branco: é uma região de incerteza. Não sabemos se existem ou não ele-

mentos ali.b) algum poeta é filósofo – análise idêntica à da letra “a”.c) nenhum poeta é filósofo – novamente, não temos certeza sobre a intersecção entre os conjuntos verde e preto. Pode ser que

contenha algum elemento ou não.d) nenhum filósofo é poeta – análise idêntica à da letra “c”.e) algum filósofo não é poeta. – esta conclusão é válida. Basta ver a região assinalada com um (X). Nela, temos o indicativo de

que existem elementos dentro do conjunto preto, que estão fora do conjunto verde.

Gabarito: E

Questão 09)

Se se deseja a negação, então, devemos usar Algum A, B. Lembrando que quando se tem categórico “todo” a segunda parte corresponde a ~B.

“Todos os policiais (A) são honestos (~B)”.Portanto, (B) = não são honestos (ou são desonestos).Negação: Algum policial não é honesto ou Algum policial é desonesto.Proposição: “Nenhum policial é honesto”. ERRADO.Não se usa categórico “nenhum” para negação do categórico “todo”.

Questão 10)

(A)

(B)

77

Raciocínio Lógico(C)

(D)

Questão 11)

Resposta “B”.

livro

instrutivo

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa. A opção “B” é perfeitamente correta. Percebam como todos os elementos do diagrama “livro” estão inseridos no diagrama “instrutivo”. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

5 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE.

Análise Combinatória

Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:

- Princípio fundamental da contagem- Fatorial- Arranjos simples- Permutação simples- Combinação- Permutação com elementos repetidos

Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como suces-sivos e independentes:

78

Raciocínio Lógico• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n

Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?

Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:

Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, n2, n3, … , nk

Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem.

Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”.

ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento. ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos

elementos.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos são iguais, pois indicam a mesma reta.

79

Raciocínio LógicoConclusão: Os agrupamentos...

1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos.

ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam. 2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e

considerados distintos.ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.

Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:

Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

Note que esta definição implica em particular que 0! = 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial.

Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos.

Cálculos do número de arranjos simples:

Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k:

n → possibilidades na escolha do 1º elemento.n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um deles já foi usado.n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois deles já foi usado....n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois l-1 deles já foi usado.

No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:

An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1) (é o produto de k fatores)

80

Raciocínio LógicoMultiplicando e dividindo por (n – k)!

Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!

Podemos também escrever

Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

Cálculo do número de permutação simples:

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos:

Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n!Portanto: Pn = n!

Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n elementos de A.

Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd

Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas:

Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.

abc abd acd bcdacbbacbcacabcba

Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:

abc abd acd bcdacb adb adc bdcbac bad cad cbdbca bda cda cdbcab dab dac dbccba dba dca dcb

81

Raciocínio Lógico(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos

Logo: C4,3 . P3 = A4,3

Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C n,k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:

a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos.b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos.

Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou

n,kn,k

k

AC =

P

Lembrando que:

Também pode ser escrito assim:

Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: A*n,k = nk

Permutações com elementos repetidos

Considerando:

α elementos iguais a a,β elementos iguais a b,γ elementos iguais a c, …,λ elementos iguais a l,

Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos.

Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:

Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k

82

Raciocínio Lógico

QUESTÕES

01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8?

02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos a serem realizados é:

(A)182(B) 91(C)169(D)196(E)160

03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é:

(A) 78.125(B) 7.200(C) 15.000(D) 6.420(E) 50

04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e à como diferentes, contudo, João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número de cartões esperados por João é igual a

(A) 720(B) 1.680(C) 2.420(D) 3.360(E) 4.320

05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é

(A) PROVA.(B) VAPOR.(C) RAPOV.(D) ROVAP.(E) RAOPV.

06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é:

(A) 66(B) 72(C) 90(D) 120(E) 124

83

Raciocínio Lógico07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões

sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?

(A) 80(B) 96(C) 240(D) 640(E) 1.280

08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendo-se que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados?

(A) 06(B) 10(C) 12(D) 15(E) 20

09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar duas equipes é

(A) 10(B) 15(C) 20(D) 25(E) 30

10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule:a) quantos são no total;b) quantos não possuem o algarismo 2;c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez;d) quantos têm os algarismos distintos;e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.

Resoluções

01.

02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 . 13 = 182.

03.

Algarismos

Letras

As três letras poderão ser escolhidas de 5 . 5 . 5 =125 maneiras.Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 = 120 maneiras.O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 . 120 = 15.000.

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Raciocínio Lógico04. I) O número de cartões feitos por Cláudia foi

II) O número de cartões esperados por João era

Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680

05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então teremos:P4 = 24 que começam por AP4 = 24 que começam por OP4 = 24 que começam por P

A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV.

06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é

07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240

08. I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e outros 3.II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2 entre os

3 restantes.III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2 mais experientes é

IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3 restantes é

V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é 2 . 3 = 6

09.

10. a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464

85

Raciocínio LógicoProbabilidade

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço

amostra por n(S).Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.Ø = evento impossível.S = evento certo.

Conceito de Probabilidade

As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:

Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S.- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio

- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.

- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 - P(A).Demonstração das Propriedades

Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

86

Raciocínio LógicoUnião de Eventos

Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

A

BS

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Eventos Mutuamente Exclusivos

A

BS

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso

temos, analogicamente:

P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

Eventos Exaustivos

Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

87

Raciocínio LógicoProbabilidade Condicionada

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).

Veja:

Eventos Independentes

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)

Intersecção de Eventos

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ouA e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Lei Binominal de Probabilidade

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?

Resolução:- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes

o evento A.- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e

n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

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Raciocínio Lógico

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . p

k . (1 – p)n-k

QUESTÕES

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

(A) (B) (C) (D) (E)

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

(A) (B) (C) (D) (E)

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?

05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é

(A) 10%(B) 12%(C) 64%(D) 82%(E) 86%

89

Raciocínio Lógico06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de

ela ser amarela ou branca?

07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:

(A) 42%(B) 45%(C) 46%(D) 48%(E) 50%

08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:

(A) 0,5(B) 5/7(C) 0,6(D) 7/15(E) 0,7

09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:

(A) (B) (C) (D) (E)

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

(A) 1 (B) (C) (D) (E)

Respostas

01.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico:08 mulheres sem filhos.07 mulheres com 1 filho.06 mulheres com 2 filhos.02 mulheres com 3 filhos.

Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.

03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =

04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números

ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:

90

Raciocínio Lógico05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500

B: o número sorteado é múltiplo de 10;B = {10, 20, ..., 500}.

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em quea1 = 10an = 500r = 10Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

Dessa forma, p(B) = 50/500.

A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;A Ω B = {100, 110, ..., 500}.

De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(A B) = 41/500

Por fim, p(A.B) =

06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas.Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

Como A B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos;

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) =

07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos:(A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta.

Assim, temos:P (A B) = P (A) + P (B)P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30P (A B) = 0,28 + 0,18P (A B) = 0,46P (A B) = 46%

91

Raciocínio Lógico08. Sendo A e B eventos independentes, P(A B) = P(A) . P(B) e como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Temos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7.

09. Representando por a probabilidade pedida, temos: =

=

10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:

I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas.

II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.

A probabilidade de isso ocorrer é:

6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.

Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.

92

Raciocínio LógicoNote que ao subtrairmos os elementos comuns evitamos que eles sejam contados duas vezes.Observações:

a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira.b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.

Observe o diagrama e comprove.

Conjuntos

Conjuntos Primitivos

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são definidos.Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos.Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou

um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto

(de pontos).Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y,

..., embora não exista essa obrigatoriedade.Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por letras minúsculas.Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.

Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈ALê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.

Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∉ALê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.

Como representar um conjunto

Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula.Exemplos- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8.{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}.

93

Raciocínio LógicoPela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem

determinado.P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos:Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por:{x, tal que x tem a propriedade P}

Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por:{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,{x : x tem a propriedade P}

Exemplos

- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3}- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}

Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.

Exemplos- Se A = {a, e, i, o, u} então

- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então

Conjunto Vazio

Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês 0/ ou, simplesmente { }.Simbolicamente: ∀ x, x∉ 0/Exemplos- 0/ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}- 0/ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}- 0/ = {x | x ≠ x}

Subconjunto

Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B.

Simbolicamente: A⊂B⇔ (∀ x)(x∈∀ ⇒ x∈B)

94

Raciocínio LógicoPortanto, A ⊄B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B. Simbolicamente: A⊄B⇔ (∃ x)(x∈A e x∉B)

Exemplos- {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}- {2, 3, 4}⊄ {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4}- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6}

Inclusão e pertinência

A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂ ).A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação

de inclusão.Simbolicamentex∈A ⇔ {x}⊂Ax∉A ⇔ {x}⊄A

Igualdade

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.

Simbolicamente: A = B ⇔ A⊂B e B⊂ADemonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A.Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos.Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto

de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔ A⊄B ou B⊄A

Exemplos

- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2}⊂ {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos.

- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária.- {a,a} = {a}- {a,b = {a} ⇔ a= b- {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)

Conjunto das partes

Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A).

Simbolicamente: P(A)={X | X⊂ A} ou X⊂ P(A) ⇔ X⊂A

Exemplos

a) = {2, 4, 6}P(A) = { 0/ , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}

b) = {3,5}P(B) = { 0/ , {3}, {5}, B}

c) = {8} P(C) = { 0/ , C}d) = 0/P(D) = { 0/ }

95

Raciocínio LógicoPropriedades

Seja A um conjunto qualquer e 0/ o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades

0/ ≠(0/ ) 0/ ∉ 0/ 0/ ⊂ 0/ 0/ ∈{ 0/ }0/ ⊂A⇔ 0/ ∈P(A) A⊂A⇔ A∈P(A)

Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n elementos.

União de conjuntos

A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A∪ B.

Simbolicamente: A∪ B = {X | X∈A ou X∈B}

Exemplos

- {2,3}∪ {4,5,6}={2,3,4,5,6}- {2,3,4}∪ {3,4,5}={2,3,4,5}- {2,3}∪ {1,2,3,4}={1,2,3,4}- {a,b}∪ φ {a,b}Intersecção de conjuntos

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A∩ B. Simbolicamente: A∩ B = {X | X∈A ou X∈B}

Exemplos

- {2,3,4}∩ {3,5}={3}- {1,2,3}∩ {2,3,4}={2,3}- {2,3}∩ {1,2,3,5}={2,3}- {2,4}∩ {3,5,7}=φ

Observação: Se A∩ B=φ , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

96

Raciocínio LógicoSubtração

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A e X∉B}

O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CAB. Simbolicamente: CAB = A - B{X | X∈A e X∉B}

Exemplos

- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =φ

- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂A.- Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B⊂A ⇔ B = A – B = CAB`

Exemplos

Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:a) A = {2, 3, 4} A⇒ = {0, 1, 5, 6}b) B = {3, 4, 5, 6 } B⇒ = {0, 1, 2}c) C = φ C⇒ = S

Número de elementos de um conjunto

Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos:

n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)A∩ B=φ ⇒ n(A∪ B)=n(A)+n(B)n(A -B)=n(A)-n(A ∩ B)B⊂A⇒ n(A-B)=n(A)-n(B)

97

Raciocínio LógicoExercícios

1. Assinale a alternativa a Falsa:a) φ ⊂{3}b)(3) ⊂ {3}c)φ ∉ {3}d)3∈{3}e)3={3}

2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).a) 2 ∈ A b) (2) ∈Ac) 3∈A d) (3) ∈Ae) 4∈A3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos (partes) possuem o conjunto A?

4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?

5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:a) A∪ B b) A∩ Bc) A∪ C d) A∩ C

6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Determine o conjunto X de tal forma que: X∩ A=φ e X∪ A = S.

7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A⊂X e A∪ X={2,3,4}, determine o conjunto X.

8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A∩ (B∪ C), sabendo-se:a) A∩ B tem 29 elementosb) A∩ C tem 10 elementosc) A∩ B tem 7 elementos.

9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-sea) quantas crianças existem na escola?b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?

10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;- Quando chove de manhã não chove à tarde;- Houve 5 tardes sem chuva;- Houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:a)7b)8c)9d)10e)11

98

Raciocínio LógicoRespostas

1) Resposta “E”.Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida pela relação de pertinência (∈) e não pela relação de igualdade

(=). Assim sendo, 3∈{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, ∀ x.

2) Solução:a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.

3) Resposta “32”.Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5

elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.

4) Resposta “10”.Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 2k é o número de subconjuntos de A.Assim sendo: 2k=1024⇔ 2k=210⇔ k=10.

5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do diagrama de Venn-Euler, temos: a)

A∪ B={1,3,4,5,6,7}

b)

A∩ B={3,4}

c)

A∪ C={1,3,4,5,6,8}

99

Raciocínio Lógicod)

A∩ C={4,6}

6) Resposta “X={1;3;5}”.Solução: Como X∩A=φ e X∪A=S, então X= A =S-A=CsA ⇒ X={1;3;5}

7) Resposta “X = {2;3;4}Solução: Como A⊂X, então A∪X = X = {2;3;4}.

8) Resposta “A”.Solução: De acordo com o enunciado, temos:

n(A∩ B∩ C) = 7n(A∩ B) = a + 7 = 26⇒ a = 19n(A∩ C) = b + 7 = 10⇒ b = 3

Assim sendo:

e portanto n[A∩ (B∪ C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3Logo: n[A∩ (B∪ C)] = 29.

9) Solução:

100

Raciocínio LógicoSejam:A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = xB o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = y

De acordo com o enunciado temos:

=⇔=+=+=∪=⇔=+=+=∪15249)()()(33429)()()(

xxBnAnDAnyyDnBnDBn

Assim sendoa) O número total de crianças da escola é:

703313915)()()()()( =+++=+++=∪∪∪ DnCnBnAnDCBAn

b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é:

5733915)()()()]()[( =++=++=∪∪∪ DnBnAnDBBAn

10) Resposta “C”.Solução:Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os

conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva)n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva)n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde)

Daí:n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)7 = n(M) + n(T) – 0

Podemos escrever também:n(M’) + n(T’) = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:n(M’) + n(T’) = 11n(M) + N(T) = 7

Somando membro a membro as duas igualdades, vem:n(M) + n(M’) + n(T) + n(T’) = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M’) = total dos dias de férias = nAnalogamente, n(T) + n(T’) = total dos dias de férias = n

Portanto, substituindo vem:n + n = 182n = 18n = 9

Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.

101

Raciocínio Lógico

7 RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO PROBLEMAS ARITMÉTICOS, GEOMÉTRICOS E MATRICIAIS.

Conjunto dos Números Inteiros – Z

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:

- O conjunto dos números inteiros não nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0}

- O conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N

- O conjunto dos números inteiros positivos:Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}- O conjunto dos números inteiros não positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- O conjunto dos números inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.

O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.

Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

Adição de Números Inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

102

Raciocínio LógicoAssociativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (–z) = 09 + (–9) = 0Subtração de Números Inteiros

A subtração é empregada quando:- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.

A subtração é a operação inversa da adição.

Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença subtraendo minuendo

Considere as seguintes situações:1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +32- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual

a temperatura registrada na noite de terça-feira?Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3).

Temos:(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3

Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.Multiplicação de Números Inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

103

Raciocínio Lógico(+1) x (+1) = (+1)(+1) x (-1) = (-1)(-1) x (+1) = (-1)(-1) x (-1) = (+1)Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produto

Iguais Positivo

Diferentes Negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1=1/z em Z, tal quez x z–1 = z x (1/z) = 19 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)Divisão de Números Inteiros

Dividendo divisor dividendo:Divisor = quociente 0Quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na divisão exata dos números naturais:40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo:(–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4)Logo: (–20) : (+5) = - 4

Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:

- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem

ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.

104

Raciocínio Lógico1- Não existe divisão por zero.Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é

igual a zero.Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0

Potenciação de Números Inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a x a x a x a x ... x aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7)² = (-7) x (-7) = 49(+9)² = (+9) x (+9) = 81

- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo.Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9

- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo.Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125

Propriedades da Potenciação:

Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9

Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2

Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10

Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13

Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1Radiciação de Números Inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:√9 = ±3mas isto está errado. O certo é:√9 = +3

105

Raciocínio LógicoObservamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos

(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Exercícios

1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?

2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?

3. Calcule:a) (+12) + (–40)b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)

4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:a) x + (–12) = –5b) x + (+9) = 0c) x – (–2) = 6d) x + (–9) = –12e) –32 + x = –50f) 0 – x = 8

5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações?

Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.Máxima prevista 37° no Piauí.

6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10?

7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números.

8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham:a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36

106

Raciocínio Lógico9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?

10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Respostas

1) Resposta “9²”.Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.Os números quadrados perfeitos são:1² = 1 (menor que dois algarismos)2² = 43² = 94² = 16 (dois algarismos)5² = 256² = 367² = 498² = 649² = 8110² = 100 (mais que dois algarismos)

Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 812) Resposta “270”.Solução:(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 10155 – 51 + 165 + 101 = 270

Portanto, o número inteiro é 270.

3) Solução:a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 6 – 24 = -18

4) Solução:a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7b) x + (+9) = 0 → x = -9c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18f) 0 – x = 8 → x = -8

5) Resposta “40˚”. Solução:A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.

6) Resposta “-1320”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x+2 = -10x= -10 -2x = -12

(-12) . (-12+1) . (-12+2) =-12 . -11 . -10 = - 1320

107

Raciocínio Lógico7) Resposta “999900”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x= 99

(99) . (99+1) . (99+2) =99 . 100 . 101 = 999900

8) Solução:a) (–140) : x = –20 -20x = -140 x = 7

b) 144 : x = –4 -4x = 144 x = -36 c) (–147) : x = +21 21x = -147 x = -7

d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185

f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432

9) Resposta “738”.Solução:x + (-846) . -3 = 324x – 846 . -3 = 324-3 (x – 846) = 324-3x + 2538 = 3243x = 2538 – 3243x = 2214

x =

x = 738

10) Resposta “3”.Solução: Seja t o total da adição inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: Temos:

t + 8 - 5 = t + 3

Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

108

Raciocínio LógicoConjunto dos Números Racionais – Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma mn , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente

de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual,

o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = { mn : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:- Q* = conjunto dos racionais não nulos;- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representação Decimal das FraçõesTomemos um número racional p

q , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

25

= 0,4

14

= 0,25

35 4

= 8,75

153 50

= 3,06

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

13

= 0,333...

122

= 0,04545...

167 66

= 2,53030...

Representação Fracionária dos Números DecimaisTrata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de

fração. Temos dois casos:1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto

pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 910

5,7 = 5710

0,76 = 76100

109

Raciocínio Lógico

3,48 = 348100

0,005 = 51000

= 1200

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:Exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 39

.

Exemplo 2

Seja a dízima 5, 1717...Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 ⇒ x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512 99

.

Exemplo 3

Seja a dízima 1, 23434...

Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .

Subtraindo membro a membro, temos:

990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 611 495

, a fração geratriz da dízima 1, 23434... Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: Módulo de - 32

é 32

. Indica-se 32

- = 32

Módulo de + 32

é 32

. Indica-se 32

+ = 32

Números Opostos: Dizemos que – 32 e 3

2 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 3

2 e 3

2 ao ponto zero da reta são iguais.

Soma (Adição) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a

b e c

d , da mesma forma que a soma de frações, através de:

ab

+ cd

= ad + bc bd

110

Raciocínio LógicoPropriedades da Adição de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0

Subtração de Números Racionais

A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)

Multiplicação (Produto) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a

be c

d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

ab x c

d = ac

bd

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com

sinais diferentes é negativo.

Propriedades da Multiplicação de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a

- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = ab em Q, q diferente de zero, existe q-1 =

ba

em Q: q × q-1 = 1 ab

x ba

= 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Divisão de Números RacionaisA divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q =

p × q-1

Potenciação de Números RacionaisA potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o

expoente.qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

111

Raciocínio LógicoExemplos:

a) 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

8125

b)

c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25

d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

+ 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

= 1

- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

− 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

= - 94

- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

− 35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−2

. − 53

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 259

- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

827

- Toda potência com expoente par é um número positivo.

− 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= − 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

125

- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25.25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2+3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

112

Raciocínio Lógico- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e

multiplicamos os expoentes

Radiciação de Números Racionais

Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2.Exemplo 2

19 Representa o produto 1

3 . 13

ou 1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. Logo, 13

é a raiz quadrada de 1

9 .Indica-se 19

= 13

Exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.

O número -100 9 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10

3 como +10

3, quando elevados ao quadrado, dão 100

9.

Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.

O número 23 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 2

3.

Exercícios

1. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma só potência.

113

Raciocínio Lógico

3. Escreva o quociente − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟12

: − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

como uma só potência.

4. Qual é o valor da expressão

5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 16 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das

figurinhas 34 . Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?

6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 14 do livro e no dia seguinte leu 1

6 do livro. Então calcule:

a) A fração do livro que ela já leu.b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

7. Em um pacote há 45 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1

3 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 59 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?

9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 13 desses apartamentos foi vendido e 1

6 foi reservado. Assim:

a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

10. Transforme em fração:a) 2,08b) 1,4c) 0,017d) 32,17

Respostas

1) Solução

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 724

− 10 − 324

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−14 + 912

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

724

− 724

+ 512

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 7 +1024

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 1724

= − 1024

= − 512

b)

mmc:(4;2)=4

2) Solução:

+ 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟10

114

Raciocínio Lógico3) Solução:

− 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟8

4) Solução:

+

−−

−43:

21

2413 3

+

−−

−43:

81

2413

+

−−

−34.

81

2413

−−

−24

42413

244

2413

+−

83

249 −=

−

5) Resposta 1112Solução:

16

+ 34

= 212

+ 912

= 1112

6) Solução:

a) 14

+ 16

= 312

+ 212

= 512

b) 1- 512

= 1212

- 512

= 712

7) Respostas 715Solução:

45 - 1

3 = 12

15 - 5

15 = 7

15

8) Resposta 49Solução:

1 - 59 = 9

9 - 5

9 = 4

9

115

Raciocínio Lógico9) Solução:

a) 13 + 1

6 = 26

+ 16 = 3

6 = 12

b) 1- 12

= 22

- 12

= 12

10) Solução:

a) 2,08 → 208100

= 5225

b) 1,4 → 1410

= 75

c) 0,017 → 171000

d) 32,17 → 3217100

Geometria Plana

A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa idéia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.

As Figuras Básicas

Aproveitaremos o cubo, figura bastante conhecida de todos, para mencionar três figuras básicas da geometria: o ponto, a reta e o plano. No cubo seguinte, três faces são visíveis, e três não. As três faces visíveis têm em comum apenas o ponto A.

Os matemáticos consideram que os pontos são tão pequenos que não chegam a ter tamanho algum. Para representar um ponto fazemos uma marca bem pequena no papel e para nomeá-lo usamos uma letra maiúscula: A, B, C, etc.

Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos à direita. Estas faces têm em comum o segmento de reta AB, com extremidades nos pontos A e B.

116

Raciocínio Lógico

O segmento AB (“tem começo e fim”)

Nas próximas figuras, indicamos a semi-reta AB, de origem A

, e a semi-reta BA, de origem B

.A semi-reta AB

(sua origem é A e “ela não tem fim”)

A semi-reta BA

(sua origem é B e “ela não tem fim”)

A seguir, indicamos a reta AB

A reta AB

(“não tem começo nem fim”)

Os matemáticos consideram que as retas não têm largura. Para nomeá-las, além de anotações como AB

, é muito comum o uso de letras minúsculas: r, s, t, etc. Prolongando indefinidamente uma face de um cubo em todas as direções, como indica a próxima figura, temos um plano.

O plano α

Os planos não têm espessura. Para nomeá-los, usamos letras gregas, principalmente as três primeiras α (alfa), β (beta) e γ (gama).

Perímetro

Entendendo o que é perímetro.Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento.Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela

não se coloca rodapé?

117

Raciocínio LógicoA conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja:P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1P = 26 – 1P = 25

Colocaríamos 25m de rodapé.A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.Área

Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de

quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros.

Se tivermos uma figura do tipo:

118

Raciocínio LógicoSua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades. No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

Área do Retângulo

Existe dois tipos de retângulos: com lados todos iguais (quadrado) e com os lados diferentes.

No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4 A = 24 cm²

Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h

119

Raciocínio LógicoQuadrado

É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .A= ²

Área do Trapézio

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula:

A = b . h (b = base e h = altura). 2

Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).

Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:

Primeiro: completamos as alturas no trapézio:

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

120

Raciocínio LógicoA área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF). Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais. Cálculo da área do ∆CEF:

AΔ1= B ⋅h2

Cálculo da área do ∆CFD:

AΔ2 = b ⋅h2

Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:

AT = A∆1 + A∆2

AT = B ⋅h2

+ b ⋅h2

AT = B ⋅h + b ⋅h2 - Colocar a altura (h) em evidência, pois é um temo comum aos dois fatores

AT = h(B + b)2

Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:

A = h(B + b)2

h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio

Área do Triângulo

Observe o retângulo abaixo, ele está dividido ao meio pela diagonal:

A área do retângulo é A = b. h, a medida da área de cada metade será a área do retângulo dividida por dois. Cada parte dividida do retângulo é um triângulo, assim podemos concluir que a área do triangulo será:

A = b ⋅h2

121

Raciocínio LógicoMas como veremos a altura no triângulo? A altura deve ser sempre perpendicular à base do triângulo.

No triângulo retângulo é fácil ver a altura, pois é o próprio lado do triângulo, e forma com a base um ângulo de 90° (ângulo reto).

Quando a altura não coincide com o lado do triângulo, devemos traçar uma reta perpendicular à base (formando um ângulo de 90º com a base) que será a altura do triângulo.

Exemplo: Observe o triângulo eqüilátero (todos os lados iguais). Calcule a sua área.

Como o valor da altura não está indicado, devemos calcular o seu valor, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo:

42 = h2 + 22 16 = h2 + 4 16 – 4 = h² 12 = h² h = √12 h = 2√3 cm Com o valor da altura, basta substituir na fórmula A = h (B + b) o valor da base e da altura. 2 A = 4 . 2√3 2A = 2 . 2√3 A = 4 √3 cm2

122

Raciocínio LógicoMatriz

A tabela seguinte mostra a situação das equipes no Campeonato Paulista de Basquete masculino.

Campeonato Paulista – ClassificaçãoTime Pontos

1º Tilibra/Copimax/Bauru 202º COC/Ribeirão Preto 203º Unimed/Franca 194º Hebraica/Blue Life 175º Uniara/Fundesport 166º Pinheiros 167º São Caetano 168º Rio Pardo/Sadia 159º Valtra/UBC 1410º Unisanta 1411º Leitor/Casa Branca 1412º Palmeiras 1313º Santo André 1314º Corinthians 1215º São José 12

Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete)Folha de S. Paulo – 23/10/01

Observando a tabela, podemos tirar conclusões por meio de comparações das informações apresentadas, por exemplo:→ COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos juntamente com Tilibra/Bauru→ Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna.

Definições

Chamamos de matriz m x n (m Є N* e n Є N*) qualquer tabela formada por m . n elementos (informações) dispostos em m linhas e n colunas

Exemplos

1°)

1 01 1

−2 33 2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

é uma matriz 2 x 4

2º)121

034

132

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ é uma matriz 3 x 3

3º)

1 0 3⎡⎣ ⎤⎦ é uma matriz 1 x 3

123

Raciocínio Lógico4º)

20

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

é uma matriz 2 x 1

O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiúsculas do alfabeto latino, A, por exemplo, enquanto os elementos da matriz são indicados por letras latinas minúsculas, a mesma do nome de matriz, afetadas por dois índices, que indicam a linha e a coluna que o elemento ocupa na matriz.

Assim, um elemento genérico da matriz A é representado por aij.O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento ocupa na matriz, e o segundo índice, j, a coluna desse comando.

A = aij⎡⎣ ⎤⎦← i − ésima ⋅ linha

↑

j − ésima ⋅coluna

ExemploNa matriz B de ordem 2 x 3 temos:

B =1 0 3

2 −1 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

b11 = 1; b12 = 0; b13 = 3;b21 = 2; b22 = -1; b23 = 4

Observação: O elemento b23, por exemplo, lemos assim: “b dois três”

De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é representada por:

A =

a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 a23 ... a2n

... a32 a33 ... a3n

am1 am2 am3 ... amn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Ou com a notação abreviada: A = (aij)m x n

Matrizes Especiais

Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matrizes especiais:

1ª. Matriz LinhaÉ a matriz que possui uma única linha.

Exemplos

- A = [-1, 0]- B = [1 0 0 2]

124

Raciocínio Lógico2ª. Matriz ColunaÉ a matriz que possui uma única coluna.

Exemplos

−A = 21

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −B =

0−13

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

3ª) Matriz NulaÉ a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplos

1)A =0 0

0 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2)B =0 0 0

0 0 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

4ª. Matriz QuadradaÉ a matriz que possui o número de linhas igual ao número de linhas igual ao número de colunas.

Exemplos

1)A =1 3

2 −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ É a matriz quadrada de ordem 2.

Observações: Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular.Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem

índices iguais.Exemplo{a11, a22, a33, a44} é a diagonal principal da matriz A.

3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.

Exemplo{a14, a23, a32, a41} é a diagonal secundária da matriz A.

5ª. Matriz DiagonalÉ a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.

Exemplos

1)A =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

125

Raciocínio Lógico6ª) Matriz IdentidadeÉ a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.

Representamos a matriz identidade de ordem n por In.

Exemplos

1)I2 =1 0

0 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2)I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Observação: Para uma matriz identidade In = (aij)n x n

7ª. Matriz TranspostaDada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se “ordenadamente”, suas linhas por

colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At.

Exemplo

A =1 0 3

2 1 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥,então At =

1 2

0 1

3 4

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Observação: Se uma matriz A é de ordem m x n, a matriz At, transposta de A, é de ordem n x m.

Igualdade de Matrizes

Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos que um elemento de matriz A é correspondente a um elemento de B quando eles ocupam a mesma posição nas respectivas matrizes.

Exemplo

Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2,

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ e B =

b11 b12

b21 b22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

São elementos correspondentes de A e B, os pares:a11 e b11; a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.

DefiniçãoDuas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais.Indica-se:A = BEntão:A = (aij)n x n e B = (bij)p x q

Observações: Dada uma matriz A = (aij)m x n , dizemos que uma matriz B = (bij)m x n é oposta de A quando bij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n.

126

Raciocínio LógicoIndicamos que B = -A.Exemplo

A =3 −1

2 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⇒ B =

−3 1

−2 −4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é simétrica quando aij = aji para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A = At.- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é anti-simétrica quando aij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é,

A é anti-simétrica quando At = -A.

Adição e Subtração de Matrizes

DefiniçãoDadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n, denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz C, de ordem m x n,

cujos elementos são obtidos quando somamos os elementos correspondentes das matrizes A e B. Indicamos:

C = A + B

Assim:

1 3 4

2 1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

2 1 1

3 2 3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

3 4 5

5 3 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Propriedades da Adição

Sendo A, B e C matrizes m x n e O a matriz nula m s n, valem as seguintes propriedades.- A + B = B + A (comutativa)- (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)- A + O = O + A = A (elemento neutro)- A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto)- (A + B)t = At + Bt

DefiniçãoConsideremos duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m x n. Chamamos de diferença entre A e B (indicamos com A – B)

a soma de A com a oposta de B.

A – B = A + (B)

Exemplo

Sendo:

A =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥e B =

4 5

−2 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ , então

A − B =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−

4 5

−2 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

127

Raciocínio Lógico

A − B =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

−4 −5

2 −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

A - B =

A − B =−1 −3

3 −3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Observação: Na prática, para obtermos a subtração de matrizes de mesma ordem, basta subtrairmos os elementos correspondentes.

Multiplicação de Matrizes por um Número Real

DefiniçãoConsideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um número real. O produto de por A é uma matriz B, de ordem m x n, obtida

quando multiplicamos cada elemento de A por.Indicamos:

B = α . A

Exemplo

Sendo:

A =1 3

2 5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ , temos

2 . A =2.1 2.3

2.2 2.5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

2 6

4 10

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Matrizes – Produtos

Multiplicação de MatrizesO produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada

elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. Indicamos:

B = α . A

Da definição, decorre que:- Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.- A matriz C, produto de Am x p por BP x n, é do tipo m x n.

PropriedadesSendo A uma matriz de ordem m x n, B e C matrizes convenientes e, são válidas as seguintes propriedades.- ( A . B) . C = A . (B . C) (associativa)- C . (A + B) = C . A + C . B (distributiva pela esquerda)- (A + B) . C = A . C + B (distributiva pela direita)- A . In = Im . A = A (elemento neutro)

128

Raciocínio Lógico- (α . A) . B = A . (α . B ) = . (A . B)- A . On x p = Om x p e Op x m . A = Op x n- (A . B)t = Bt . At

Observação: Para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa (A . B ≠ B . A). Esta propriedade só é verdadeira em situações especiais, quando dizemos que as matrizes são comutáveis.

Devemos levar em consideração os fatos seguintes:1º) (A + B) ≠ A2 + 2AB + B2, pois (A + B)2 = (A + B)(A+B) + A2 + AB + BA + B2

2º) (A . B)t ≠ At . Bt, pois, pela 7ª propriedade, devemos ter (A . B)t = Bt . At

Matriz Inversa

No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição:a.b=b.a=1

Normalmente indicamos o inverso de a por a1

ou a-1.Analogamente para as matrizes temos o seguinte:

DefiniçãoUma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:A.B=B.A=InA matriz B é denominada inversa de A e indicada por A-1.

Exemplos- Verifique que a matriz B=

−

−1134

é a inversa da matriz A=

4131

Resolução

A.B=

4131

.

−

−1134

=

1001

B.A=

−

−1134 .

4131 =

1001

Como A.B=B.A=12, a matriz B é a inversa de A, isto é, B=A-1.

Observação: É bom observarmos que, de acordo com a definição, a matriz A também é a inversa de B, isto é, A=B-1, ou seja, A=(A-1)-1.

- Encontre a matriz inversa da matriz A=

1213

, se existir.

Resolução

Supondo que B=

dcba

é a matriz inversa de A, temos:

A.B=

1213

.

dcba

=

1001

++++

dbcadbca

2233

=

1001

Assim:

129

Raciocínio Lógico

=+=+

0213

caca e

=+=+

1203

dbdb

Resolvendo os sistemas, encontramos:A=1,b=-1,c=-2 e d=3

Assim, B=

−

−3211

Por outro lado:

B.A=

−−

3211 .

1213

=

1001

Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:

B=A-1=

−

−3211

Observação: Quando uma matriz é inversível, dizemos que ela é uma matriz não-singular; caso a matriz não seja inversível, dizemos que ela é uma matriz singular.

PropriedadesSendo A e B matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, temos as seguintes propriedades:- (A-1)-1=A- (A-1)t= At)-1

- (A.B)-1=B-1..A-1

- Dada A, se existir A-1, então A-1 é única.

ExemploSendo A, B e X matrizes inversíveis de ordem n, isolar X em (X.A)-1-=B.

Resolução(X.A)-1=B ⇒A-1.X-1=B

Multiplicando os dois membros à esquerda por A, encontramos:A.A-1.X-1=A.BComo A.A-1=In, então:In.X

-1=A.BComo In é elemento neutro na multiplicação de matrizes, temos:X-1=A.BElevando os dois membros da igualdade, ao expoente -1, temos:(X-1)-1=(A.B)-1

Assim, X=(A.B)-1, ou então X=B-1.A-1

O sistema obtido está escalonado e é do 2º

Determinantes

Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir.

Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo:

A=

5421

→ det A=5421

130

Raciocínio LógicoDefinições

Determinante de uma Matriz de Ordem 1Seja a matriz quadrada de ordem 1: A=[a11]Chamamos determinante dessa matriz o número:det A=[ a11]= a11

Exemplos1º) A=[-2] → det A= -22º) B=[5] → det B=53º) C=[0] → det C=0

Determinante de uma Matriz de ordem 2

Seja a matriz quadrada de ordem 2:

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Chamamos de determinante dessa matriz o número:

detA =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = a11 . a22 − a21 . a12

Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Esquematicamente:

detA =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = a11 . a22 − a21 . a12

Exemplos

- A=

3521

det A=1.3-5.2=-7

- B=

−3212

det B=2.3-2.(-1)=8

Determinante de uma Matriz de Ordem 3

Seja a matriz quadrada de ordem 3:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

131

Raciocínio LógicoChamamos determinante dessa matriz o numero:

detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a32 a21 a13-a31 a22 a13+-a12 a21 a33-a32 a23 a11

Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus:

1º) Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32

2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos produtos, temos:

detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a13 a21 a32-a13 a22 a31+-a11 a23 a32-a12 a21 a33

Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de repetirmos a 1º e 2º colunas.

Determinantes – Propriedades - IApresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes:

Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At.

Exemplo

A= ⇒

dcba

At=

dbca

AAbcadA

bcadA tt detdet

detdet

=⇒

−=

−=

Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas filas paralelas, então:

detB = -detA

132

Raciocínio LógicoExemplo

A=

dcba

e B=

badc

B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A.detA=ad-bcdetB=BC-ad=-(ad-bc)=-detAAssim,detB=-detA

Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais”tem determinante igual a zero.Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna “iguais”, é igual a A. Assim, de

acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detAAssim: detA = 0

Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de sua filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA

Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência”um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna).

Exemplo

ka kbc d

= k.a b

c d

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos de A por k, então:

det(k.A)=kn.detA

Exemplo

A =

a b c

d e f

g h i

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⇒ k.A =

ka kb kc

kd ke kf

kg kh ki

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

det(k.A) =

ka kb kc

kd ke kf

kg kh ki

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

= k.k.k

a b c

d e f

g h i

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

Assim:det(k.A)=k3.detA

Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então.

detC = detA + detB

133

Raciocínio LógicoExemplos:

a b x

c d y

e f z

+

a b r

c d s

e f z

=

a b x + r

c d y + s

e f z + t

Propriedades dos Determinantes

Propriedades 5 (Teorema de Jacobi)O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número.

Exemplo

ExemploConsidere o determinante detA=

ihgfedcba

Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos:

a b c + ma

d e f + md

g h i + mg

(P4)

a b c

d e f

g h i

+

a b ma

d e md

g h mg

a b c + ma

d e f + md

g h i + mg

= detA +m

a b a

d e d

g h g

Igual a zero

a b c + ma

d e f + md

g h i + mg

= detA

Exemplo

Vamos calcular o determinante D abaixo.

D=8+0+0-60-0-0=-52Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular:

134

Raciocínio Lógico

D1=48+0+0-100-0-0=-52Observe que D1=D, de acordo com a propriedade.

ConsequênciaQuando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o

determinante é igual a zero.

Exemplo

SejaD =

1 2 8

3 2 12

4 −1 05

Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª coluna multiplicada por 3.

8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 612 = 2(3) + 3(2) = 6 + 65 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0Use a regra de Sarrus e verifique.

Propriedade 6 (Teorema de Binet)Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então:det(A.B) = detA . detB

Exemplo

A= ⇒

3021

detA=3

B= ⇒

1234

detB=-2

A.B= ⇒

3658

det(A.B)=-6

Logo, det(AB)=detA. detB

Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n∈N*, temos:det(An) = (detA)n

Sendo A uma matriz inversível, temos:

detA-1=Adet

1

Justificativa: Seja A matriz inversível.A-1.A=Idet(A-1.A)=det I

135

Raciocínio LógicodetA-1.detA=det I

detA-1=Adet

1

Uma vez que det I=1, onde i é a matriz identidade.

Determinantes – Teorema de Laplace

Menor complementar e Co-fator

Dada uma matriz quadrada A=(aij )nxn (n≥ 2), chamamos menor complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.

Exemplo

Sendo A=

212014321

, temos:

M11= 2101 =2

M12=2204 =8

M13=1214 =2

Chamamos co-fatorn do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.

Exemplo

Sendo A

−

−

031312413

, temos:

A11=(-1)1+1.M11=(-1)2. 0331

=-9

A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. 0132

− =-3

A33=(-1)3+3.M33=(-1)6. 1213 −

=5

Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n≥ 2, chamamos matriz co-fatora de A a matriz cujos elementos são os co-fatores dos ele-mentos de A; indicamos a matriz co-fatora por cof A. A transposta da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj. A.

Exemplo

Sendo A=

−124101231

, temos:

136

Raciocínio Lógico

A11=(-1)1+1.

1210 −

=2

A12=(-1)1+2.

1411 −

=-5

A13=(-1)1+3.

2401

=2

A21=(-1)2+1. 12

23 =1

A22=(-1)2+2.

1421

=-7

A23=(-1)2+3.

2431

=10

A31=(-1)3+1.

1023−

=-3

A32=(-1)3+2.

1121− =3

A33=(-1)3+3.

0131

=-3

Assim:

cofA =

2 −5 2

1 −7 10

−3 3 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

e adjA =

2 1 −3

−5 −7 3

2 10 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Determinante de uma Matriz de Ordem n

Definição.Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

Então:- Para n = 1A=[a11] ⇒ det A=a 11

- Para n ≥ 2:

A= ∑=

=⇒

n

jjj

nnnn

n

n

AaA

aaa

aaaaaa

111

21

22221

11211

.det

..........................

.......

ou seja:detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n

137

Raciocínio LógicoEntão, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz

pelos respectivos co-fatores.

Exemplos

1º) Sendo A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ , temos:

detA=a11.A11+a12.A12, onde:A11=(-1)1+1.|a22|=a22A12=(-1)1+2.|a21|=a21

Assim:detA=a11.a22+a12.(-a21)detA=a11.a22-a21.a12

Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.

− Sendo A =

3 0 0 0

1 2 3 2

23 5 4 3

−9 3 0 2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

,temos :

detA = 3.A11 + 0.A12 + 0.A13 + 0.A14zero

A11=(-1)1+1.

203341232

=-11

Assim:

detA=3.(-11)⇒ det A = -33

Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado.

Teorema de LaplaceSeja A uma matriz quadrada de ordem n, n⇒ 2, seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou

coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores.

Exemplo

Sendo A=

− 0223001401232105

Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que calcular apenas um co-fator.

Assim:detA=2.A14+0.A24+0.A34+0.A44

138

Raciocínio Lógico

A14=(-1)1+4

− 223014123

=+21

detA=2.21=42

Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra de Sarrus, por exemplo.

- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade de zeros.

- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace. Exemplo

Calcule det A sendo A=

−−

3643213212101321

A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos ainda três co-fatores.

Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero”em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos:

A=

−−

−

0320477012101321

Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:

detA=1.(-1)1+1.

−−

−

032477121

=

−−

−

032477121

Aplicamos a regra de Sarrus,

det A=(0-16-21)-(-14+12+0)detA=0-16-21+14-12-0=-49+14detA=-35

139

Raciocínio LógicoUma aplicação do Teorema de Laplace

Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior.

Assim:1ª) A é triangular superior

A=

nn

n

n

n

a

aaaaaaaaa

...000...............

...00

...0....

333

22322

1131211

detA=a11.a22.a33. ... .ann

2ª) A é triangular inferior

A=

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaa

..................

...

...0....

321

3333231

22221

1131211

detA=a11.a22.a33. ... .ann

In=

1000

010000100001

det/n=1

Determinante de Vandermonde e Regra de Chió

Uma determinante de ordem n ≥ 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente.

Exemplos1º) Determinante de Vandermonde de ordem 3

222

111

cbacba

140

Raciocínio Lógico2º) Determinante de Vandermonde de ordem 4

3333

2222

1111

dcbadcbadcba

Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos.

PropriedadeUm determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se de cada um dos elementos

característicos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante.

ExemploCalcule o determinante:

detA =

1 2 4

1 4 16

1 7 49

Sabemos que detA=detAt, então:

detAt =

1 1 1

2 4 7

1 16 49

Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então:detA=(4-2).(7-2).(7-4)=2.5.3=30

Exercícios

1. Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j.

2. Obtenha o valor de x e y sabendo que a matriz A = é nula.

3. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz .

4. Calcule o valor a e b, sabendo que =

5. Sabendo que a matriz A = é matriz diagonal, calcule x, y e z.

6. Sabendo que I2 = calcule x e y.

7. Escreva a matriz oposta de A = (aij) 2x 2 sabendo que aij = i + j.

141

Raciocínio Lógico8. Escreva a matriz transposta A = (aij)3 x 3 dada por aij = i – 2j.

9. Dada a matriz A = calcule o valor de a para que A seja simétrica.

10. Calcule A + B sabendo que A = e

B =

Respostas

1) Solução: Sendo a matriz A do tipo 2 x 3, temos:

A =a11 a12 a13

a21 a22 a23

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

a11 = 2 . 1 + 1 = 3a12 = 2 . 1 + 2 = 4a13 = 2 . 1 + 3 = 5a21 = 2 . 2 + 1 = 5a22 = 2 . 2 + 2 = 6a23 = 2 . 2 + 3 = 7

Portanto, A =

2) Solução: Como a matriz A é nula, então todos os seus elementos são nulos. Logo:

x + 1 = 0 → x = -1y – 2 = 0 → y = -2

3) Solução: Os elementos da diagonal principal são 1, 5 e 9; logo, 1 + 5 + 9 = 15.Os elementos da diagonal secundária são 3, 5 e 7; logo, 3 + 5 + 7 = 15.Portanto, a soma procurada é 15 + 15, ou seja, 30.

4) Solução: Como as matrizes são iguais, devemos ter:a + 4 = 5 → a = 1b² = 4 → b = 2 ou b = -2

5) Solução: Como a matriz A é matriz diagonal, devemos ter:x + 2 = 0 → x = -2y – 1 = 0 → y = 1z – 4 = 0 → z = 4.

Portanto, x = -2, y = 1 e z = 4.6) Solução:

Como I2 = , devemos ter x – y = 1 e x + y = 0.Resolvendo o sistema encontramos x =

142

Raciocínio Lógico7) Solução:

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ → a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3, a21 = 2 + 1 = 3, a22 = 2 + 2 = 4.

Logo,A =2 3

3 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥e− A =

−2 −3

−3 −4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

8) Solução:

A =

a11 a12 a13

a 21 a22 a23

a31 a32 a33

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a11 = 1 – 2 . 1 = -1a12 = 1 – 2 . 2 = -3a13 = 1 – 2 . 3 = -5a21 = 2 – 2 . 1 = 0a22 = 2 – 2 . 2 = -2a23 = 2 – 2 . 3 = -4a31 = 3 – 2 . 1 = 1a32 = 3 – 2 . 2 = -1a33 = 3 – 2 . 3 = -3

Portanto, A =

−1 −3 −5

0 −2 −4

1 −1 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

e At =

−1 0 1

−3 −2 −1

−5 −4 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

.

9) Solução: A matriz A será simétrica se At = A.

At = .

Então devemos ter → a² = 4

Portanto, a = 2 ou a = -2.

10) Solução:

A + B =1 0 3

−2 4 2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

−1 1 2

3 −2 5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=1+ −1( ) 0 +1 3+ 2

−2 + 3 4 + (−2) 2 + 5

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

0 1 5

1 2 7

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Bons estudos‼!Boa Prova‼!