APIM4 - 1
Morfologie matematica
APIM4 - 2
Astazi discutam despre…
• ce inseamna morfologia
• complementul si proprietatile operatorului
• relatia dintre seturi si imagini
• dilatarea si erodarea
• inchiderea si deschiderea
• operatii geodezice si reconstructie
• reziduri
APIM4 - 3
Definitie
• morfologie = studiul formei
• morfologia matematica
- teoria matematica de descriere a formelor
utilizand seturi
- algebra neliniara
• in cadrul prelucrarii imaginilor – interactiunea
dintre o imagine si un element structural ales
APIM4 - 4
Conditii de aplicare
Morfologia poate fi aplicata unui set finit P daca:
1. Elementele sale se pot ordona partial ≤, de
ex. pt. toate elementele a, b, cP:
a ≤ a
(a ≤ b, b ≤ a) a = b
(a ≤ b, b ≤ c) a ≤ c
2. Fiecare subset nevid al setului P are un
maxim si un minim
APIM4 - 5
Exemplu (1)
• ordonarea ≤ este definita ca in calculul
obisnuit:
2 ≤ 5, 4 ≤ 15
• maxim {7, 4, 2} = 7
• minim {7, 4, 2} = 2
• imaginea este o multime de valori de gri ->
este un set de valori ordonate, cu subseturi ->
se poate aplica morfologia
APIM4 - 6
Exemplu (2) • Setul tuturor subseturilor unui set S este un set
adecvat S: • ordonarea partiala este realizata de relatia de
incluziune dintre seturi: • maximul este definit de reuniune • minimul este definit de intersectie
p1 p2
max(p1, p2) = p1 p2
min(p1, p2) = p1 p2
O imagine binara = un set adecvat
APIM4 - 7
De la seturi la imagini
• imaginii binare i se poate aplica morfologia
• o imagine cu valori de gri = stiva de imagini binare
Putem aplica morfologia unei imagini cu valori de
gri aplicand-o tuturor seturilor din stiva
APIM4 - 8
Simplificare pentru imagini
• Pentru doua imagini f si g, relatia ≤ este adevarata daca ea este adevarata pentru toti pixelii:
• Imaginea maxima si minima este definita tot pe baza pixelilor:
APIM4 - 9
In concluzie
• Operatiile morfologice se pot aplica unui set adecvat P
• O imagine poate fi considerata ca o colectie de seturi adecvate Ps
! Singurele operatii de baza care se pot aplica in morfologia imaginilor sunt operatorii max si min
Operatiile morfologice se pot aplica imaginilor
APIM4 - 10
Complement
APIM4 - 11
Complement - exemplu
Daca f este:
Intervalul de gri este {0,…,8} =>
APIM4 - 12
Proprietatile operatorilor
• Dualitate:
• Operatorii pot fi duali cu ei insusi
• Extensivitate:
• Anti-extensivitate:
• Idempotenta:
APIM4 - 13
Exemplu de operatori duali
• max si min sunt operatori duali
max(fc)=4 si min f =0, (min f)c=4, deci operatorii sunt duali
imaginea f imaginea fc
APIM4 - 14
Elemente structurale
• operatiile morfologice utilizeaza elemente structurale (mici)
• de obicei sunt aproximari de patrate, cercuri, etc.
APIM4 - 15
Dilatarea unei imagini binare (1)
• elementul structural (simetric) se plaseaza cu originea pe un pixel
• daca atinge setul atunci centrul elementului devine parte a dilatatiei
APIM4 - 16
Dilatarea unei imagini binare (2) • definitie:
unde: - X este setul (imaginea binara) - S este elementul structural - (X) este dilatarea imaginii X
X S (X)
APIM4 - 17
Dilatarea unei imagini binare (3)
• trasaturile fundalului si golurile din obiecte se micsoreaza
• colturile ascutite sunt rotunjite
APIM4 - 18
Dilatare - exemplu
Dilatare utilizand un element structural patrat
APIM4 - 19
Erodarea unei imagini binare (1)
Operatorul dual dilatarii este erodarea
• elementul structural (simetric) se plaseaza cu originea pe un pixel
• daca este complet inclus in set atunci centrul elementului devine parte a erodarii
APIM4 - 20
Erodarea unei imagini binare (2) • definitie:
unde: - X este setul (imaginea binara) - S este elementul structural - (X) este erodarea imaginii X
X S (X)
APIM4 - 21
Erodarea unei imagini binare (3)
• trasaturile fundalului si golurile din obiecte cresc
• colturile se ascutesc
APIM4 - 22
Erodarea - exemplu
Erodare utilizand un element structural patrat
APIM4 - 23
Imagini cu valori de gri (1)
Se aplica setul de definitii pentru toate seturile:
APIM4 - 24
Imagini cu valori de gri (2)
Erodarea:
• elementul structural (simetric) S se plaseaza cu originea pe un pixel din imaginea f;
• se ia minimul dintre toti pixelii imaginii f care ating elementul structural S.
Dilatarea:
• elementul structural (simetric) S se plaseaza cu originea pe un pixel din imaginea f
• se ia maximul dintre toti pixelii imaginii f care ating elementul structural S
APIM4 - 25
Imagini cu valori de gri - exemplu
Erodarea Dilatarea
APIM4 - 26
Exemplul 1 - dilatare
Dilatare cu un element structural patrat de 3x3
Dilatare cu un element structural patrat de 5x5
APIM4 - 27
Exemplul 2 - dilatare
Dilatare cu un element structural patrat de 3x3
Dilatare cu un element structural patrat de 5x5
APIM4 - 28
Exemplul 2 - dilatare
Valorile de gri in imaginea originala
Valorile de gri dupa dilatare
APIM4 - 29
Exemplul 3 - dilatare
dilatare cu un element structural patrat de 3x3
diferenta celor doua imagini (ideala pentru imag care contin zgomot)
imag. originala
APIM4 - 30
Exemplul 4 - dilatare
dilatare cu un element structural patrat de 3x3
dupa mai multe dilatari
imag. originala
APIM4 - 31
Exemplul 1 - erodare
Erodarea cu un element structural patrat de 3x3
Erodarea cu un element structural patrat de 5x5
APIM4 - 32
Exemplul 2 - erodare
erodare cu un element structural patrat de 3x3
dupa doua erodari
imag. originala
APIM4 - 33
Exemplul 3 - erodare
imagine segmentata (binarizata pe baza unei valori de prag)
dupa erodare
imag. originala
APIM4 - 34
Proprietatile erodarii si dilatarii
• Operatori duali:
• Dilatarea este extensiva:
• Erodarea este anti-extensiva:
• Separabilitate:
APIM4 - 35
Deschidere si inchidere (1)
• Deschidere: erodare urmata de dilatare
• Inchidere: dilatare urmata de erodare
APIM4 - 36
Deschidere si inchidere (2)
imaginea f:
erodarea imaginii, (f) dilatarea imaginii, (f)
APIM4 - 37
Deschidere si inchidere (3)
erodarea imaginii, (f) dilatarea imaginii, (f)
deschiderea imaginii, (f) = ((f))
inchiderea imaginii, (X) = ((f))
APIM4 - 38
Deschidere si inchidere (4)
imaginea f:
APIM4 - 39
Deschidere si inchidere (5)
APIM4 - 40
Deschidere si inchidere (6)
deschidere inchidere imag. originala
APIM4 - 41
Deschidere si inchidere (7)
dupa deschidere cu un element circular
imag. originala
APIM4 - 42
Deschidere si inchidere (8)
dupa inchidere cu un element circular
imag. originala
APIM4 - 43
Proprietatile deschiderii si inchiderii
• Operatori duali
• Deschiderea este anti-extensiva
• Inchiderea este extensiva
• Idempotente:
APIM4 - 44
Operatii geodezice
• Dilatarea geodezica:
• Eroziunea geodezica :
APIM4 - 45
Exemplu
f g
pt. un elem.
structural
patrat de
5x5
APIM4 - 46
Alt exemplu
APIM4 - 47
Exemplu - o functie unidimensionala
APIM4 - 48
Reconstructie
• Aplicarea iterativa a dilatarii geodezice va converge intotdeauna la un rezultat stabil = reconstructie
APIM4 - 49
Deschidere prin reconstructia eroziunii
• este o eroziune urmata de reconstructie
• permite eliminarea structurilor mici fara a schimba structurile mari
γrec
APIM4 - 50
Exemplu
imaginea
originala eroziunea
imaginii
dilatare geodezica reconstructie
APIM4 - 51
Alt exemplu
• permite extragerea structurilor mici prin scaderea reconstructiei din imaginea originala
- =
original reconstructie
APIM4 - 52
Exemplu – imagine in nuante de gri
original eroziune reconstructie
APIM4 - 53
Reconstructie pe baza markerilor
• Markerii pot fi obtinuti prin – alegerea de catre utilizatori – procesarea imaginii
APIM4 - 54
Stergerea obiectelor de pe margine
• Obiectele care intersecteaza marginea imaginii pot deveni nedorite deoarece, de ex., influenteaza masurarea dimensiunii
original marker original - reconstructie
APIM4 - 55
Stergerea unor obiecte
• In cazul imaginilor in nuante de gri, marcarea maximelor poate fi folosita pentru a extrage sau sterge anumite obiecte
APIM4 - 56
Reziduri
• Utilizarea diferentelor (reziduri) dintre operatiile obisnuite pot genera multe filtre morfologice utile
• Tipuri de reziduri:
– diferenta a doua primitive (gradientul morfologic, laplacianul morfologic, filtrul “top-hat”)
– diferenta a doua familii de primitive (skeletul si ultima eroziune)
– transformarea “hit-or-miss” (subtiere si ingrosare)
APIM4 - 57
Gradienti morfologici (1) • Si eroziunea si dilatarea actioneaza asupra muchiilor
=> pot fi utilizate la localizarea muchiilor
APIM4 - 58
Gradienti morfologici (2)
• Gradientul morfologic:
• Gradientul interior si exterior:
se mai poate scrie:
APIM4 - 59
Exemplu
imaginea
originala
gradientul
morfologic gradientul
exterior
gradientul
interior
APIM4 - 60
Exemplu – imagine CT
original gradientul gradientul morfologic interior
APIM4 - 61
Exemplu – imagine MR
original gradientul gradientul morfologic exterior
APIM4 - 62
Laplacianul morfologic
• echivalentul morfologic al Laplacianului este definit ca rezidul gradientului exterior si interior:
APIM4 - 63
Exemplu – imagine MR
original laplacianul morfologic
APIM4 - 64
Filtre “top-hat”
• Rezidurile imaginii originale si deschiderii sau inchiderii sunt denumite filtre “top hat”
• Filtru “top hat” alb: original minus deschidere
• Filtru “top hat” negru: inchidere minus original
APIM4 - 65
Filtre “top-hat” albe • Deschiderea elimina structurile mici (referitoare
la elementul structural) => – filtrul scoate in evidenta structurile mici cu
valori mari de gri – filtrul scoate in evidenta structurile referitor la
fondul local
APIM4 - 66
Exemplu
original
threshold
imagine filtrata cu filtrul “top
hat” alb
threshold
al imaginii filtrate
APIM4 - 67
Familii de operatii
• O familie este un set de operatii morfologice {ψi} unde elementul structural depinde de i
• de exemplu: familia eroziunilor{εi}
• Pentru un set S, rezidurile R a doua familii de primitive {ψi} si {φi} este definit astfel:
APIM4 - 68
Exemplu
APIM4 - 69
Eroziunea finala (1)
• O eroziune care nu sterge complet componentele
• Eroziunile se aplica fiecarei structuri pana cand inca o eroziune ar sterge structura
APIM4 - 70
Exemplu
APIM4 - 71
Transformarea “hit-or-miss”
• Utilizeaza un element structural format din doua
parti:
X=(X1,X2)
• Centrul elementului X este parte a tranformarii
hit-or-miss daca X1 se potriveste in setul S si X2
se potriveste in fundal (SC)
APIM4 - 72
Exemplu
S HX(S)
APIM4 - 73
Subtiere si ingrosare
• Subtierea este rezidul unui set si a transformarii ”hit-or-miss”:
• Ingrosarea este reuniunea unui set si a transformarii ”hit-or-miss”:
APIM4 - 74
Exemplu
S HX(S) thinX(S)
APIM4 - 75
Elementul Golay L
• Este cel mai utilizat element al alfabetului Golay
• Este folosit in 8 variante rotationale
• Subtierea cu L1,…,L8 pana la stabilitate
genereaza un schelet (continuu)
APIM4 - 76
Scheletul • Scheletul este o figura compusa din linii cu
forma de baza a unui set:
• Poate fi vazut ca rezultatul “arderii ierbii”
• Conserva topologia
APIM4 - 77
Exemplul 1
S thinX(S)
APIM4 - 78
Exemplul 2
• Subtierea cu elementul L1, L3,L5 si L7 pana la
convergenta
APIM4 - 79
Sfera maxima • O sfera Bi(x) este dilatarea unui punct x cu δi
• Bi(x) este maxima daca
• Este maxima fiindca nici o alta sfera de dimensiune mai mare si cu acelasi centru nu poate fi tangenta obiectului
APIM4 - 80
Sfera maxima (2)
APIM4 - 81
Scheletul • Reuniunea tuturor centrelor sferelor maxime
• Deseori este discontinuu => nefolositor in practica
APIM4 - 82
Functia quench
• Fiecare punct din schelet are asociata o sfera maxima de dimensiune i => functia quench, i reprezinta nivelul de gri
APIM4 - 83
Functia quench
APIM4 - 84
SKIZ
• SKIZ = scheletul zonelor de influenta =
scheletul fundalului imaginii
• O zona de influenta = toate regiunile de puncte
cel mai apropiate de un obiect
APIM4 - 85
SKIZ
Imag.originala SKIZ suprapunere
APIM4 - 86
Filtru secvential alternativ (ASF)
• Combina doua familii de operatori
• Este util in practica doar daca
• Uneori este util pentru imaginile cu mult zgomot
APIM4 - 87
Exemplu
ASF
(deschideri si
inchideri de
dimensiuni 7
pana la 3)
Threshold
ASF
Original
Threshold
original
APIM4 - 88
Granulometrie • Distributia dupa dimensiune a obiectelor
• Exemplu:
1. Deschidere cu un element de o anumita
dimensiune
2. Masurarea dimensiunii
3. Marirea elementului structural
4. Repeta pasii 1-4 pana cand imaginea este goala
• poate fi utilizata orice familie descrescatoare daca are urmatoarea proprietate:
APIM4 - 89
Exemplu
256x256 original granulometria deschiderilor (x pixeli in 103)
Recommended
