Transcript
  • 1 ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU

    PRELAZNO I STACIONARNO STANJE DINAMIČKIH SISTEMA

    Posmatramo jedan stacionaran dinamički sistem na čijem ulazu deluje konstantna pobuda ( )u t U . Neka je izlaz sistema ( )y t na ovu pobudu prikazan na slici

    Sa grafika uočavamo sledeća moguća ponašanja sistema:

    ponašanje u prelaznom stanju definisano sa ( )y t , kada je t

    ponašanje u stacionarnom stanju definisano sa ( ) lim ( ) .t

    y y t const

    Stacionarno stanje sistema određeno je vrednošću konstantne pobude ( )u t U koja

    deluje na sistem i na njegovom izlazu, kad t , generiše konstantni izlaz ( )y .

    Napomena: Neki sistemi ne poseduju stacionarno stanje. Za ove sisteme važi lim ( ) .

    ty t const

    ili lim ( )

    ty t

    stacionarno stanje

    prelazno stanje

    sistem

  • 1.1 MODELOVANJE DINAMIČKIH SISTEMA

    Dinamičko ponašanje sistema se može opisati pomoću operatora H koji preslikava ulazne veličine u t u izlazne veličine y t sistema.

    Operator H nazivamo model sistema.

    H se opisuje pomoću nekog tipa jednačina u zavisnosti od vrste sistema koji se modeluje.

    Tip jednačina stacionarnog H operatora

    Funkcionalna zavisnost jednačina Stanje sistema

    algebarske jednačine ( , ) 0f u y stacionarno stanje

    diferencijalne jednačine ( , , , ) 0dydu

    dt dtf u y

    stacionarno + prelazno stanje

    integralne jednačine ( , , , ) 0f u udt y ydt stacionarno + prelazno stanje

    diferencijalno-integralne jednačine

    ( , , , , , ) 0du dy

    f u udt y ydtdt dt

    stacionarno + prelazno stanje

    H

    gH

  • POSEBNI SLUČAJEVI DINAMIČKIH SISTEMA

    Napomena. Osobina linearnosti sistema biće kasnije razmatrana.

    H je opisan sistemom linearnih diferencijalnih jednačina (LDJ) sa konstantnim koeficijentima Linearni, stacionarani

    dinamički sistem

    Linearni, stacionarani dinamički sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom

    H je opisan jednom linearnom diferencijalnom jednačinom (LDJ) sa konstantnim koeficijentima

    SISTEM

    u1(t)

    ur(t)

    y1(t)

    ym(t)

    SISTEM u(t) y(t)

    1

    1 1 01

    1

    1 0

    ( ) ( ) ( )... ( )

    ( ) ( )... ( )

    n n

    n nn n

    m m

    m mm

    d y t d y t dy ta a a a y t

    dt dt dt

    d u t d u tb b b u t

    dt dt

  • 1.1.1 LINEARNI STACIONARNI DINAMIČKI SISTEMI SA JEDNIM ULAZOM I JEDNIM IZLAZOM

    Linearni stacionarni dinamički sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom se može opisati jednom linearnom diferencijalnom jednačinom (LDJ) sa konstantnim koeficijentima

    1

    1 1 01

    1

    1 0

    ( ) ( ) ( )... ( )

    ( ) ( )... ( )

    n n

    n nn n

    m m

    m mm

    d y t d y t dy ta a a a y t

    dt dt dt

    d u t d u tb b b u t

    dt dt

    Ulaz - pobuda sistema ( )u t

    Izlaz - odziv sistema ( )y t

    Koeficijenti diferencijalne jednačine 1 1 0 1 1 0, , , , ; , , , ,n n m ma a a a b b b b

    Red modela (sistema) n Uslov fizičke ostvarljivosti sistema n m Početni uslovi (1) ( -1)(0), (0), , (0)ny y y

    SISTEM

  • Primer. Mehanički sistem na koji deluje sila f(t) sadrži masu M, oprugu koeficijenta elastičnosti k i trenje koeficijenta .

    Rešenje.

    sila inercije: 2

    2( )i

    d xf t M

    dt ,

    sila viskoznog trenja: ( )tdx

    f tdt

    sila elastičnosti opruge: ef kx .

    RAVNOTEŽA: ( ) ( ) ( )ei tf t f t f f t

    2

    2

    ( ) ( )( ) ( )

    d x t dx tM kx t f t

    dt dt

    Karakteristike sistema:

    - red izvoda diferencijalne jednačine:

    2n , 0m - red sistema: 2n - parametri sistema:

    0 1

    2 0

    , ,

    , 1

    a k a

    a M b

  • 1.2 STANDARDNE ULAZNE VELIČINE

    Namena standardnih ulaznih veličina:

    - Za izvođenje teorijskih rezultata

    - Za poređenje osobina različitih klasa sistema

    - Za definisanje karakterističnih odziva sistema

    Vrste standardnih ulaznih veličina:

    - jedinična odskočna funkcija

    - jedinična nagibna funkcija

    - jedinična impulsna funkcija

    - prostoperiodična funkcija

    sistem

  • 1.2.1 JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKCIJA (HEVISAJDOVA FUNKCIJA)

    Jedinična odskočna funkcija - ( )h t

    0 0( )

    1 0

    th t

    t

    Odskočna funkcija

    0 0( )

    0

    tKh t

    K t

    t

    h(t)

    1

    t

    Kh(t)

    K

  • Zakašnjena jedinična odskočna funkcija

    0( )

    1

    th t

    t

    Zakašnjena odskočna funkcija

    0( )

    tKh t

    K t

    t

    1

    t

    K

  • Realna odskočna funkcija

    Nagla promena vrednosti odskočne funkcije se ne može realizovati u praksi.

    Zbog toga u praksi koristimo funkciju sa postepenom, ali brzom promenom u posmatranom trenutku vremena

    Osobine odskočne funkcije:

    modeluje idelani prekidač.

    permanentno pobuđuje sistem nakon uključivanja.

    t

    h(t)

    1

    0( ) ( )a ah t h t

    t

    ha(t)

    1

    -a/2 a/2

  • 1.2.2 JEDINIČNA NAGIBNA FUNKCIJA

    Jedinična nagibna funkcija

    0, 0( )

    , 0

    tr t

    t t

    ( ) ( )r t t h t

    t

    1

    f(t) = t

    t

    1

    45o

    t

    45o

  • Nagibna funkcija

    ar t ath t

    Zakašnjena nagibna funkcija

    ar t

    t

    a

    t

  • 1.2.3 JEDINIČNA IMPULSNA FUNKCIJA (DELTA FUNKCIJA)

    Jedinična impulsna funkcija ( )t

    2

    1

    1 2

    ( ) 0, 0

    ( ) 1, 0

    t

    t

    t t

    t dt t t

    Za 0t , (0) , strelica „gleda“ u .

    Površina ispod krive jedinične impulsne funkcije iznosi 1!

    Impulsna funkcija ( )K t

    2

    1

    1 2

    ( ) 0, 0

    ( ) , 0

    t

    t

    t t

    K t dt K t t

    K - površina ispod krive t

    Kδ (t)

    K

    0

    t

    δ (t)

    1

    0

  • Zakašnjena jedinična impulsna funkcija

    2

    1

    1 2

    ( ) 0,

    ( ) 1,

    t

    t

    t t

    t dt t t

    Zakašnjena impulsna funkcija

    2

    1

    1 2

    ( ) 0,

    ( ) ,

    t

    t

    K t t

    K t dt K t t

    t

    1

    0

    t

    K

    0

  • Realna impulsna funkcija

    Kod impulsne funkcije imamo nagli beskonačni skok sa nultim trajanjem koji se ne može realizovati u praksi.

    Impulsnu funkciju aproksimirmo funkcijom ( )T t sa pravougaonim skokom.

    Smanjivanjem parametra T postepeno se dobija oštrija impulsna promena

    0

    ( ) lim ( )TT

    t t

    T0

    t

    δT (t)

    T/2 -T/2

    1/T

    t

    δT (t)

    T/2 -T/2

    1/T

    t

    δT (t)

    T/2 -T/2

    1/T

    t

    δ (t)

    1

  • Veza između funkcija h, r i δ

    Veza preko ( )r t Veza preko ( )t

    ( )r t ( )t

    ( )( )

    dr th t

    dt ( ) ( )

    t

    h t d

    ( )( )

    dh tt

    dt

    ( ) ( )

    t

    r t h d

    ili

    ( ) ( )r t t h t

  • 1.2.4 SINUSNA FUNKCIJA

    2

    sin sin 2 siny t A A ft A tT

    Prigušena sinusna funkcija

    2

    sin sin 2 sint t tAe Aey t t ft tT

    Ae

    T – period oscilacija

    f – učestanost oscilacija [Hz]

    ( 1/f T )

    - kružna učestanost [rad/s]

    ( 2 f )

    – koeficijent prigušenja [1/s]

  • 1.3 KARAKTERISTIČNI VREMENSKI ODZIVI

    Pobudna funkcija Odziv sistema

    Odskočna funkcija h(t) Odskočni odziv s(t)

    Nagibna funkcija r(t) Nagibni odziv

    Impulsna funkcija (t) Impulsni odziv g(t)

    Sinusna funkcija Sinusni odziv

  • 1.4 ODZIV SISTEMA NA PROIZVOLJNU POBUDU

    Posmatramo sistem opisan pomoću impulsnog odziva ( )g t .

    Cilj je da odredimo izlaz sistema ( )y t na poznatu pobudu ( )u t .

    Može se pokazati da važi sledeća veza između ovih veličina:

    ( ) ( ) ( )y t u g t d

    )( )) ((u ty t g t Simbolički zapis integrala konvolucije

    Zaključak: 1. g(t) se može koristiti kao model sistema bez početnih uslova.

    2. g(t) se može veoma lako eksperimentalno dobiti.

    integral konvolucije ulaza sistema ( )u t i impulsnog odziva sistema ( )g t

  • 1.5 NEKE BITNE OSOBINE SISTEMA

    1.5.1 SISTEMI BEZ MEMORIJE - STATIČKI SISTEMI

    Izlaz sistema u proizvoljnom trenutku zavisi samo od vrednosti pobude u tom trenutku.

    Primer: ( ) ( )Ru t Ri t

    1.5.2 SISTEMI SA MEMORIJOM - DINAMIČKI SISTEMI

    Izlaz sistema u proizvoljnom trenutku zavisi od vrednosti pobude u tom trenutku kao vrednosti u prethodnim trenucima vremena.

    Primer:

    1( ) ( )

    t

    Cu t i dC

  • 1.5.3 LINEARNOST

    Sistem je linearan ukoliko poseduje osobine

    aditivnosti i princip superpozicije

    homogenosti

    Sistem je aditivan ukoliko je njegov odziv na zbir ulaznih signala jednak zbiru odziva na pojedinačne ulazne signale, odnosno ako važi

    1 1

    1 2 1 2

    2 2

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    H

    H

    H

    u t y tu t u t y t y t

    u t y t

  • Sistem je homogen ukoliko je njegov odziv na multipliciranu pobudu jednak multipliciranom odzivu na originalnu pobudu:

    ( ) ( ) ( ) ( )H Hu t y t au t a y t

    Princip superpozicije = aditivnost + homognost

    , ( ) ( ) ( ) ( )H Hk k k k k kk k

    k u t y t a u t a y t

  • 1.5.4 KAUZALNOST – FIZIČKA OSTVARLJIVOST SISTEMA

    t

    y(t)

    t

    u(t)

    Sistem je kauzalan ako njegov odziv u nekom trenutku vremena zavisi isključivo od pobude koja je na njega delovala do tog trenutka.

    Svi realni fizički sistemi su kauzalni !

    Uslov kauzalnosti kod diferencijalnih jednačina:

    n m

    ???

    t

    y(t)

    t

    u(t)

    Nekauzalan sistem – odziv se javlja i pre dejstva pobude

    Kauzalan sistem – odziv se ne može javiti pre dejstva pobude

  • 1.5.5 STACIONARNOST – VREMENSKA INVARIJANTNOST

    Sistem je stacionaran ukoliko je njegov odziv na vremenski pomerenu pobudu takođe vremenski pomeren u istom iznosu

    Odziv stacionarnog sistema je neosetljiv na trenutak dejstva pobude.

    Kod stacionarnih sistema najčešće se usvaja da pobuda počinje da deluje u trenutku t = 0. Napomena. Model stacionarnih sistema se ne menja tokom vremena.

    t

    y(t)

    t

    u(t)

    t

    y(t)

    t

    u(t)

  • 1.6 OSNOVNI POKAZATELJI KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU

    Pokazatelji su definisani koristeći odskočni odziv sistema drugog reda:

    SISTEM: 2

    2 1 0 02

    ( ) ( )( ) ( )

    d y t dy ta a a y t b u t

    dt dt

    Specijalni izbor parametara:

    2 11, 2 na a ,

    2

    0 0 na b - da bi odskočni odziv u stacionarnom stanju bio jedan ( ) 1y

    SISTEM:

    2

    2

    2 2( ) ( )2 ( ) ( )n n nd y t dy t

    y t u tdt dt

    (sistem drugog reda)

    –koeficijent relativnog prigušenja (0 1 )

    n – sopstvena neprigušena učestanost (0 n )

  • Odskočni odziv ( )s t sistema drugog reda:

    ODSKOČNI ODZIV:

    2

    21( ) 1 ( )1

    ar 1

    s

    c

    i

    o

    n

    c s , 0

    1n nt

    s htt te

    Vremenska konstanta sistema: 1

    n

    T

    n

    tt

    T n

    tt Te e

    Stacionarno stanje: 2( ) 1 1 / 1s e

    02sin 1 1 0 1n t

    t

    h(t)

    1

  • s(t)

    t

  • Stacionarno stanje odskočnog odziva s(t):

    Odskočni odziv s(t) sistema drugog reda

  • 1.6.1 VREME KAŠNJENJA

    kT – vreme kašnjenja je vreme

    potrebno da se vrednost odskočnog

    odziva s t promeni od 0 do 50% vrednosti u stacionarnom stanju.

    Sistem II reda:

    0.7 1n kT

    Linearna aproksimacija: ( ) 0.7 1lf

    Vreme kašnjenja

    0.7 1k

    n

    T

    Vreme kašnjenja pokazuje sa kolikim se zakašnjenjem od trenutka dejstva pobude na izlazu sistema pojavljuje primetan signal.

  • 1.6.2 VREME USPONA

    uT - vreme uspona je vreme potrebno da

    se vrednost signala s(t) promeni od 10% do 90% vrednosti u stacionarnom stanju.

    Sistem II reda:

    21 1.1 1.4n uT

    Kvadratna aproksimacija:

    2( ) 1 1.1 1.4kf

    Vreme uspona

    21 1.1 1.4u

    n

    T

    Definiše brzinu reagovanja sistema.

    Većem vremenu uspona odgovaraju veća izobličenja u prenosu signala.

  • 1.6.3 VREME PRESKOKA I PRESKOK

    PT – vreme preskoka je trenutak kada signal

    s(t) dostiže svoju maksimalnu vrednost smax.

    Sistem II reda:

    Vreme preskoka: 21

    p

    n

    T

    % - preskok definiše se u procentima:

    max ( )% 100%( )

    s s

    s

    21% 100%e

    Preskok mera relativne stabilnosti sistema, karakteriše tačnosti rada sistema.

  • 1.6.4 VREME SMIRENJA

    ST – vreme smirenja je vreme potrebno da

    amplituda signala y t uđe u pojas širine 2 oko vrednosti ( )s , odnosno u pojas

    ( ) (1 )s .

    Za se najčešće usvaja 2% ili 5% od ( )s .

    Posle isteka vremena smirenja prelazni proces se može zanemariti. Sistem II reda:

    44S

    n

    T T

    ( za 2%)

    33S

    n

    T T

    (za 5%)

    Vremenska konstanta sistema: 1

    n

    T

  • Za 2%

  • 1.6.5 UČESTANOST (PERIOD) OSCILACIJA

    Period oscilacija definiše razmak između dva susedna maksimuma u odskočnom odzivu.

    2

    2

    1( ) 1 sin 1

    1

    nt

    ns t e t

    Učestanost

    oscilacija odziva:

    21n

    Perioda oscilacija: 2

    2 2

    1n

    Broj perioda

    tokom vremena

    smirenja

    22 1STN