Analisis Varian Ranking Satu ArahKruskal-Wallis
Kelompok 5
Sekolah Tinggi Ilmu Statistik2013
Anggota Kelompok 5:
Imansyah (11.6712)
Martha B. T. Napitupulu (11.6773)
Martini Pratiwi (11.6776)
Ni Putu Sumartini (11.6811)
Salindri Trikusuma W. (11.6892)
Yesdi Christian Calvin (11.6958)
Analisis Varian Ranking Satu Arah Kruskal-Wallis
Deskripsi:
Uji Kruskal-Wallis pertama kali diperkenalkan oleh
William H. Kruskal dan W. Allen Wallis pada tahun 1952.
Uji ini merupakan salah satu uji statistik nonparametrik
dalam kasus k sampel independen. Uji Kruskal-Wallis
juga merupakan perluasan dari uji Mann-Whitney.
Tujuan:
menguji hipotesis nol bahwa k sampel independen
berasal dari populasi yang sama atau identik dalam hal
harga rata-ratanya
Syarat:
• Pengamatan harus bebas satu sama lain (tidak
berpasangan/independent).
• Tipe data setidak-tidaknya adalah ordinal.
• Variabel yang diamati merupakan variabel
yang berdistribusi kontinyu.
Prosedur Penghitungan:
1)Masing-masing nilai observasi diberi ranking secara
keseluruhan dalam satu rangkaian. Pemberian
ranking diurutkan dari nilai yang terkecil hingga
nilai yang terbesar. Nilai yang terkecil diberi
ranking 1 dan nilai yang terbesar diberi ranking N
(dimana N adalah jumlah seluruh observasi). Jika
ada nilai yang sama, maka ranking dari nilai-nilai
tersebut adalah rata-rata ranking dari nilai-nilai
observasi tersebut.
2) Menghitung jumlah ranking dari masing-masing kolom (Rj).
3) Selanjutnya, uji Kruskal-Wallis dapat didefinisikan dengan rumus:
dimana,
H: nilai Kruskal-Wallis dari hasil penghitungan
Rj: jumlah rank dari kelompok/kategori ke-j
nj : banyaknya kasus dalam sampel pada kelompok/kategori ke-j
k: banyaknya kelompok/kategori
N: jumlah seluruh observasi (N=n1+n2+n3+………..+nk)
Jika ditemukan angka sama sebanyak lebih dari 25% nilai
observasi maka perlu adanya koreksi pada rumus penghitungan
uji Kruskal-Wallis, dengan faktor koreksinya adalah:
dimana,
• t : banyaknya nilai observasi tertentu yang sama pada
serangkaian nilai observasi
• N : jumlah seluruh observasi (N=n1+n2+n3+………..+nk)
Sehingga rumus uji Kruskal-Wallis dengan kasus angka
sama berjumlah banyak adalah:
Prosedur:
1) Menentukan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif
H0 : k sampel berasal dari populasi yang sama
H1 : k sampel berasal dari populasi yang berbeda
2) Memberikan ranking pada masing–masing nilai observasi dengan urutan dari ranking 1 hingga N.
3) Menentukan harga R (jumlah ranking) untuk masing–masing kelompok atau kategori.
4) Menghitung nilai H
Jika ditemukan angka sama sebanyak lebih dari 25% nilai observasi, maka hitunglah harga H dengan menggunakan Rumus (8.3). Jika tidak, gunakanlah Rumus (8.1).
5) Ketentuan penggunaan Tabel
Metode untuk menilai signifikansi harga observasi H bergantung pada besarnya k dan banyaknya sampel pada setiap kelompok/kategori tersebut.
• Jika k=3 dan nj 5 (j=1;2;3), Tabel O dapat digunakan
untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di
bawah H0.
• Dalam kasus lain, dapat digunakan Tabel C dengan derajat bebas (k-1).
6) Keputusan
H0 akan ditolak jika nilai H (k-1) atau nilai p-value
sebaliknya H0 akan gagal ditolak jika nilai H < (k-1) atau
nilai p-value > .
Contoh Soal
Uji Kruskal-Wallis
Contoh 1
Untuk membandingkan tingkat keefektifan dari 3
macam metode diet, maka sebanyak 22 orang
mahasiswi yang dipilih dari suatu universitas dibagi
ke dalam 3 kelompok yang mana masing-masing
kelompok mengikuti program diet selama empat
minggu sesuai dengan metode yang telah dibuat.
Setelah program diet berakhir, maka diperoleh
banyaknya berat badan yang hilang (dalam kg) dari
mahasiswi-mahasiswi tersebut sebagai berikut:
Ujilah Ho yang menyatakan bahwa tingkat keefektifan dari ketiga metode diet di atas adalah sama, terhadap hipotesis alternatif yang menyatakan bahwa tingkat keefektifan ketiga metode di atas adalah tidak sama (α = 5%).
Jawaban :
• Hipotesis
H0 : tingkat keefektifan dari ketiga metode diet adalah
sama
H1 : tingkat keefektifan dari ketiga metode diet adalah
tidak sama
• Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test
• Tingkat Signifikansi : α=5%,
• Distribusi sampling :
H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1), sehingga wilayah kritis dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C.
• Penghitungan
n1=6 ; n2=7 ; n3=9 ; N= n1 + n2 + n3 = 22
• Daerah penolakan :
H (k-1) atau p-value
• Keputusan :
0,05(2) = 5,991
Karena 15,633 > 5,991 H > 0,05(2) , maka Tolak
H0
• Kesimpulan :
Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup
bukti untuk menyatakan bahwa tingkat keefektifan
dari ketiga metode diet tersebut adalah sama.
Contoh 2
Manajemen restoran fastfood sangat ingin tahu pendapat langganannya mengenai pelayanan, kebersihan dan kualitas makanan dari restorannya. Pihak management ingin membandingkan hasil rating pelanggan untuk tiga shift yang berbeda, yaitu:
Shift 1: 16.00 – midnight
Shift 2: midnight – 08.00
Shift 3: 08.00 – 16.00
Pelanggan diberi kesempatan untuk mengisi kartu saran. Pada penelitian ini 10 kartu saran (customer card) dipilih secara random, untuk setiap shift. Rating digolongkan dalam empat kategori yaitu
4 = sempurna, 3 = baik, 2 = biasa, 1 = buruk. Diperoleh data seperti dibawah ini:
Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapatkah pihak manajemen mengatakan bahwa karyawannya memberikan pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan yang sama sepanjang hari?
Jawaban :
• HipotesisH0 : Tidak ada perbedaan rating pelanggan untuk
pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.
H1 : Ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.
• Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test. Persoalan di atas merupakan persoalan k sampel independent. Karena data berada pada skala pengukuran ordinal (ranking), maka Kruskal-Wallis Test dapat digunakan.
• Tingkat Signifikansi : α = 0,05• Distribusi sampling :
H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1), sehingga wilayah kritis dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C.
• Penghitungann1= n2= n3=10 ; N= n1 + n2 + n3 = 30
• Daerah penolakan : H (k-1) atau p-value
• Keputusan :
0,05(2) = 5,991
Karena 3,01 < 5,991 H < 0,05(2) , maka gagal tolak
H0
• Kesimpulan :
Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti
untuk menyatakan bahwa ada perbedaan rating
pelanggan untuk pelayanan, kebersihan, dan kualitas
makanan antara ketiga shift tersebut.
Penyelesaian Contoh Soal 2 tanpa menggunakan faktor koreksi
• Daerah penolakan : H (k-1) atau p-value • Keputusan :
0,05(2) = 5,991
Karena 2,645 < 5,991 H < 0,05(2) , maka gagal tolak H0
Dari sini dapat dilihat bahwa H hasil perhitungan dengan
menggunakan faktor koreksi lebih besar daripada hasil
perhitungan tanpa faktor koreksi. Sehingga H dengan faktor
koreksi lebih signifikan dalam menolak H0.
Contoh 3
Sebuah perusahaan ingin mengetahui apakah terdapat
perbedaan keterlambatan masuk kerja antara pekerja yang
rumahnya jauh atau dekat dari lokasi perusahaan. Misalkan
jarak rumah dikategorikan dekat ( kurang dari 10 km), sedang
(10 – 15 km) dan jauh ( lebih dari 15 km). Keterlambatan
masuk kerja dihitung dalam menit keterlambatan selama
sebulan terakhir.
Penelitian dilakukan pada tiga kelompok pekerja dengan
sampel acak, dengan masing-masing sampel untuk yang
memiliki jarak rumah dekat sebanyak 5 sampel, jarak sedang
sebanyak 4 sampel dan jauh sebanyak 3 sampel. Ujilah
dengan tingkat kepercayaan 95 %. Datanya sebagai berikut :
Jawaban :
• Hipotesis
H0 : Tidak ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga
kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya.
H1 : Ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga
kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya
• Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test. Karena data berada pada skala pengukuran rasio (lama keterlambatan), maka kruskal-wallis dapat digunakan.
• Tingkat Signifikansi : α = 0,05• Penghitungan
n1= 5 ; n2= 4 ; n3= 3 ; N= n1 + n2 + n3 = 12
• Daerah penolakan : p-value
• Keputusan :
Karena k=3 dan nj 5 (j=1;2;3), maka kita dapat
menggunkan Tabel O untuk menentukan nilai yang
berkaitan dengan harga di bawah H0.
Dari tabel O untuk nilai p-value untuk H = 1,004 adalah lebih besar dari 0,103 (p-value > 0,103).
Karena p-value > 0,05 , maka gagal tolak H0
• Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya.