chap2.doc

Variables Aleatorias

Se tiene el experimento aleatorio: Lanzar una moneda 3 veces

El espacio muestral que corresponde a este experimento es: S={ccc, ccs, css, csc, sss, ssc, scc, scs}

Sea X = nmero de caras, qu valores puede tomar la variable X?Espacio MuestralVariable aleatoria X

sssx1 = 0

css, ssc, scsx2 = 1

ccs, csc, sccx3 = 2

cccx4 = 3

Sea Y = nmero de caras menos nmero de sellos, qu valores puede tomar Y?

Definicin: Una variable aleatoria es un nmero que depende del resultado aleatorio de un experimento.

Una variable aleatoria es una regla que asigna un valor numrico (slo uno) a cada punto en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Suponga que se aplicar una encuesta a los estudiantes de la Politcnica donde se preguntar por el nmero de cursos inscritos este semestre. Identifique la variable aleatoria de inters y enumere sus valores posibles.

Ahora nos interesa aprender cmo asignar probabilidades a eventos y para eso vamos a distinguir dos tipos de variables aleatorias:

Una variable aleatoria discreta puede tomar valores finitos o contables.

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un intervalo.

Variables aleatorias discretas

Si la variable aleatoria es discreta la describimos segn su distribucin de probabilidades, que consiste en una lista de valores posibles de la variable y la proporcin de veces que esperamos que ocurran:xx1x2...xk

P(x)p1p2...pk

Volvamos al experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces

Espacio muestral S={ccc, ccs, css, csc, sss, ssc, scc, scs}Sea X = nmero de caras, x = 0, 1, 2, 3

Escriba la distribucin de probabilidades de X:

x

P(x)

Modelo para el nmero de libros en mochilas de estudiantesSea X una variable aleatoria que representa el nmero de libros que llevan en la mochila los estudiantes de esta facultad:

x0123

P(x)0,50,20,20,1

a) Describa la forma de la distribucinb) Qu proporcin de estudiantes llevan 3 o menos libros ()?c) Qu proporcin de estudiantes llevan ms de 2 libros ()?d) Qu proporcin de estudiantes llevan entre 2,1 y 2,8 libros ()?e) Qu proporcin de estudiantes llevan entre 1 y 2 libros ()?

La distribucin de probabilidades de una variable aleatoria discreta X es una funcin (tabla o regla), denotada por p(x) o P[ X=x ], que asigna una probabilidad a cada valor posible de la variable aleatoria X.

Propiedades de una funcin de distribucin:

1. Los valores de las probabilidades estn entre 0 y 1 () para todo x

2. La suma de las probabilidades es 1 ( )

Tamao familiarSea X el nmero de personas de hogares en el censo 2002

x1234567 y ms

p(x)0,110,180,220,230,140,07

a) Cunto debe ser la probabilidad de que el tamao familiar sea de 7 y ms personas para que esta sea una distribucin de probabilidades discreta legtima?b) Muestre grficamente la distribucin de probabilidades.c) Cul es la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga un tamao familiar de ms de 5 personas?d) Cul es la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga un tamao familiar de no ms de 2 personas?e) Cul es ?

Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores x1, x2, ... xk, con probabilidad p1, p2,... pk, entonces la media o el valor esperado de X est dado por:

la varianza de X est dada por:

y la desviacin estndar de X est dada por:

En el caso del nmero de caras al lanzar 3 monedas, la distribucin de probabilidades de X es:

x0123

p(x)1/83/83/81/8

La media de X es:

y la desviacin estndar de X es :

Algunas distribuciones de probabilidad para variables discretas son:

1) Distribucin Binomial

La probabilidad de obtener x nmero de xitos en n intentos independientes de un experimento binomial esta dado por: para x = 0, 1, 2, , n , donde p es la probabilidad de xito en cada intento.EjemploSi una moneda se lanza 15 veces, encuentre la probabilidad de obtener exactamente 10 caras.Solucin:El lanzar una moneda es un experimento binomial. Dado que nos interesa contar el nmero de caras, as reclamamos como xito cuando salen stas. Dejemos que el nmero de xitos sea la variable aleatoria (x). Substituyendo n = nmero de intentos = 15,x = nmero de xitos = 10, yp = probabilidad de xito (cara) en cada intento = , obtenemos

aproximadamente un 9% de oportunidad.Ejercicios1. Una mquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas slo haya una defectuosa.

2. La probabilidad de xito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes:a) Ninguno sufra la enfermedad

b) Todos sufran la enfermedad

c) Dos de ellos contraigan la enfermedad

3. La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fbrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar:

a) El nmero de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000

b) La varianza y la desviacin tpica.

4. La probabilidad de que un paciente se recupere de una extraa enfermedad es 0.4 . Si se sabe que 15 personas contraen esa enfermedad,

a) Cul es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10?

b) Cul es la probabilidad de que sobrevivan de 3 a 8?

c) Calcule la media y la varianza de esta distribucin binomial.

5.En ciudad la necesidad de dinero para comprar drogas se establece como la razn del 75% de los robos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes cinco casos de robo:

Robo por droga = 0,75Robo por otra causa = 0.25N=15

a) dos resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

b) al menos tres resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

c) Represente esta distribucin binomial en un histograma

n

0,75k0,255 -kprobabilidad

0110,000976560,00097656

150,750,003906250,01464844

2100,56250,0156250,08789063

3100,4218750,06250,26367188

450,316406250,250,39550781

510,2373046910,23730469

d) Calcule la media y la varianza de esta distribucin binomial.

6.Un prominente mdico afirma que 70% de las personas con cncer de pulmn son fumadores empedernidos. Si su aseveracin es correcta:

a) encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes menos de la mitad sean fumadores empedernidos.

Todos Tienen cncer n=1070% por fumar30% por otras causas

b) encuentre la probabilidad de que de 10 de los pacientes con cncer de pulmn ninguno sea fumador empedernido.

c) Represente esta distribucin binomial en un histogramad) Calcule la media y la varianza de esta distribucin binomial.

7.De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de socilogos de la Universidad de Massachussets aproximadamente el 60% de los consumidores de Valium en el estado de Massachussets tomaron Valium por primera vez debido a problemas psicolgicos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes ocho consumidores entrevistados en este estado: a) tres comenzaron a tomar Valium por problemas psicolgicos.b) al menos cinco comenzaron a consumir Valium por problemas que no fueron psicolgicos.c) Represente esta distribucin binomial en un histograma.d) Calcule la media y la varianza de esta distribucin binomial.

8.De acuerdo a una encuesta a nivel nacional en Estados Unidos de la universidad de Michigan a estudiantes universitarios de ltimo ao revela que el 70% de los estudiantes desaprueba el consumo diario de la mariguana. Si se seleccionan doce estudiantes al azar y se les pide su opinin, encuentre la probabilidad de que el nmero de los que desaprueban fumar mariguana todos los das sea: a) entre siete y nueve.b) a lo ms cinco.c) no memos de ocho.d) Represente esta distribucin binomial en un histograma.e) Calcule la media y la varianza de esta distribucin binomial.

9.Un estudio examin las actitudes hacia los antidepresivos. El estudio revel que aproximadamente el 70% cree que los antidepresivos en realidad no curan nada, slo encubren el problema real. De acuerdo con este estudio a) cul es la probabilidad de que al menos tres de las siguientes cinco personas seleccionadas al azar sean de esta opinin?b) Represente esta distribucin binomial en un histogramac) Calcule la media y la varianza de esta distribucin binomial.

2) Distribucin de poissonCaractersticas:En este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por unidad de rea, tiempo, pieza, etc, etc,:- # de defectos de una tela por m2- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por da, hora, minuto, etc, etc.- # de bacterias por cm2de cultivo- # de llamadas telefnicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- # de llegadas de embarcaciones aun puerto por da, mes, etc, etc.Para determinar la probabilidad de que ocurran x xitos por unidad de tiempo, rea, o producto, la frmula a utilizar sera:

donde:p(x,l) = probabilidad de que ocurran x xitos, cuando el nmero promedio de ocurrencia de ellos esll= media o promedio de xitos por unidad de tiempo, rea o productoe= 2.718x= variable que nos denota el nmero de xitos que se desea que ocurraHay que hacer notar que en esta distribucin el nmero de xitos que ocurren por unidad de tiempo, rea o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, as como cada rea es independiente de otra rea dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Ejemplos:1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da, cules son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un da dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos das consecutivos?Solucin:a)x = variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.l= 6 cheques sin fondo por dae= 2.718

b)x= variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en dos das consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.l= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio quellegan al banco en dos das consecutivosNota:lsiempre debe de estar en funcin de x siempre o dicho de otra forma, debe hablar de lo mismo que x.

2. En la inspeccin de hojalata producida por un proceso electroltico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfeccin en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando ms una imperfeccin en 15 minutos.Solucin:a)x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.l= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b)x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.l= 0.2 x 5 =1 imperfeccin en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416c)x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.l= 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106Ejercicios1) El nmero de fallas de un instrumento de prueba debido a partculas contaminantes de un producto es una variable Poisson con media () igual a 0.02 fallas por hora.a) Cul es la probabilidad de que el instrumento falle una vez en una jornada de doce horas?b) Cul es la probabilidad de que el nmero de veces que falle el instrumento en una jornada de 36 horas sea mayor o igual a cuatro y menor que siete? c) Para el caso b) calcule la E(X) y la V(X).

2) El nmero de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una variable aleatoria Poisson, con una media () igual a 0.1 defectos por metro cuadrado de tela. a) Cul es la probabilidad de tener cuatro defectos en cinco metros de tela? b) Cul es la probabilidad de que el nmero de defectos en doce metros de tela sea mayor o igual a dos y menor que cinco? c) Para el caso b) calcule la E(X) y la V(X)

3) El nmero de llamadas que llega a un conmutador se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que, en promedio, se reciben 10 llamadas por hora.a) Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora?b) Cual es la probabilidad de que se reciban tres o menos llamadas en una hora?c) Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 15 llamadas en dos hora?

4) El cajero automtico ubicado dentro de una tienda por departamentos, en promedio es utilizado por seis personas en una hora.a) Cul es la probabilidad de que dos o cuatro personas utilicen el cajero durante una hora? b) Cul es la probabilidad de que nadie utilice el cajero durante diez minutos? c) Cul es la probabilidad de que en dos horas el nmero de personas que utilicen el cajero sea mayor o igual a tres y menor seis?

5) En una fbrica de ropa el gerente de produccin, tiene estadsticas que le indican que, en cierta tela, en promedio existe 1,5 defectos por cada rollo, calcular la probabilidad de que:a) Como mximo se encuentre dos defectos en dos rollos de tela.b) Por lo menos se encuentren tres defectos en tres rollos de tela.

6) En una fbrica de ropa el gerente de produccin, tiene estadsticas que le indican que, en cierta tela, en promedio existe 2,5 defectos por cada rollo, calcular la probabilidad de que:a) Como mximo se encuentre dos defectos en un rollos de tela.b) Por lo menos se encuentren tres defectos en dos rollos de tela.

7) En un estacionamiento en la central de abastos llegan en promedio 4 vehculos cada hora. Calcular la probabilidad de que:a) Lleguen como mximo 3 automviles en dos horas. b) Lleguen por lo menos 4 automviles en cuatro horas.

8) En un estacionamiento en la central de abastos llegan en promedio 3 vehculos cada hora. Calcular la probabilidad de que:a) Lleguen como mximo 2 automviles en dos horas. b) Lleguen por lo menos 4 automviles en tres horas.

Variables aleatorias continuas

Definicin:Una funcin de densidad es una funcin o curva que describe la forma de una distribucin.

El rea total bajo la curva es igual a uno y calculamos probabilidades como reas bajo la curva de densidad.

Propiedades de una funcin densidad:

La funcin densidad de una variable aleatoria continua X es una funcin, denotada por f(x), que satisface:

1. La densidad es siempre mayor o igual a cero.

2. El rea bajo la curva de densidad es uno

3. = es el rea o proporcin entre a y b

La distribucin Normal

Existe una distribucin de frecuencias terica llamada distribucin normal, que puede considerarse como modelo adecuado para la distribucin de un gran nmero de variables en el campo biolgico.

Notacin: se lee: X es una variable aleatoria continua con distribucin Normal, con media y desviacin estndar .

La funcin densidad de una variable aleatoria Normal est dada por:

,

Caractersticas:

Su grfico semeja una campana simtrica, cuyas colas se extienden hacia el infinito tanto en direccin negativa como en la positiva. El promedio, la mediana y la moda de la distribucin tienen el mismo valor. La distribucin queda completamente definida por el promedio y la desviacin estndar. El promedio nos informa sobre la posicin o ubicacin de la distribucin en el eje horizontal y la desviacin estndar refleja la dispersin de los valores con respecto al promedio.

Los puntajes del test de inteligencia para nios WISC (Weschler Intelligence Scale for Children) siguen una distribucin Normal con media 100 y desviacin estndar de 15 (http://nicologic.free.fr/FAQ.htm). Nos interesa saber qu proporcin de nios tendrn un CI menor que 130?

Clculo de reas de una Distribucin Normal:

Definicin:

Si , la variable normal estandarizada es: y tiene distribucin Normal con media cero y varianza igual a uno: .

Z es el nmero de desviaciones estndar que x difiere de la media :

Si Z > 0entonces x es mayor a la media .

Si Z < 0entonces x es menor a la media .

Si Z = 0entonces x es igual a la media .

Para cualquier distribucin Normal se cumple que:

68,3% de las observaciones se encontrarn a una desviacin estndar de la media, es decir dentro del intervalo:

( - , + )

95,4% de las observaciones se encontrarn a dos desviaciones estndar de la media, i.e. dentro del intervalo:

( - 2, + 2)

99,7% de las observaciones se encontrarn a tres desviaciones estndar de la media, i.e. dentro del intervalo:

( - 3, + 3 )

Aunque tericamente la distribucin llega a - y a +, en la prctica es muy raro encontrar valores a ms de 3 desviaciones estndar del promedio. Clculo de reasa) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la izquierda de z = 1,22b) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la derecha de z = 1,22c) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra entre z = 0 y z =1,22d) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la izquierda de z = -2,55e) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra entre z = -1,22 y z = 1,22

Puntajes de CI

Suponga que definimos a X como los puntajes de CI del test de inteligencia WISC, con distribucin

a) Qu proporcin de nios tendr un CI menor a 85?b) Qu proporcin de nios tendr un CI mayor a 85?c) Qu proporcin de nios tendr un CI entre 85 y 115?

Continuando con el modelo para el puntaje de CI para nios, considere la siguiente pregunta: Qu puntaje de CI debe tener un nio para ubicarse entre el 1% con ms alto puntaje?

El tiempo que demoran los nadadores de 100 metros mariposa sigue una normal con media 55 segundos y desviacin estndar de 5 segundos.

a) Los organizadores de un campeonato deciden dar certificados a todos los nadadores que terminen antes de 49 segundos. Si hay 50 nadadores en los 100 metros mariposa, cuntos certificados se necesitarn?

b) Con qu tiempo debe terminar un nadador para estar entre el 2% ms rpido de la distribucin de tiempos?

1

Punto de

inflexin

Distribucin #2:

Normal con media 80

Desviacin estndar 10

Distribucin #1:

Distribucin #3:

Normal con media 50

Desviacin estndar 10

Normal con media 80

Desviacin estndar 5

20

50

30

40

60

70

80

90

100

100

115

85

130

70

rea a la izquierda de 130?

Ptje CI

0

( - 3(

( - 2(

( - (

( + 2(

( + 3(

( + (

(

99,7%

95,4%

68,3%

X

densidad

Area

Funcin densidad

f(x)=P(a