Aksijalno naprezanjeIsak Karabegovi , Tehni ki fakultet Biha Aksijalno naprezanje predstavlja specijalni slu aj ravnog stanja napona. Ono se javlja kada je tap na svojim krajevima optere en zateu im ili pritiskuju im kolinearnim silama iji se pravci poklapaju s uzdunom osom tapa. To je jednoosno naprezanje i u popre nom presjeku koji je okomit na uzdunu osu javlja se samo normalna komponenta tenzora napona z = (slika 4.1.).

F

A

=

F A

F

F

Slika 4.1. tap pod djelovanjem vanjskih i unutranjih sila89

4.1. Naponi i deformacije aksijalno napregnutog tapa Nose i element oblika tapa (slika 4.1.) optere en je na krajevima podunim centri nim silama F. Ako se tap presije e, unutranja sila predstavlja rezultantu elementarnih sila raspore enih po povrini A popre nog presjeka. Moe se re i da je sila raspore ena po jedinici povrine ili intenzitet sile podijeljen s popre nim presjekom napon , tj.

=

F . A

(4.1)

Da bi se definisao napon u odre enoj ta ki popre nog presjeka, potrebno je razmatrati malu povrinu A unutar popre nog presjeka (slika 4.2.). Veli ina F je srednja vrijednost unutranje sile raspore ene po tom elementu povrine. Koli nik napona. Kada

A 0 dobija se napon u ta ki, tj. = limF dF = . A dA

F je srednja vrijednost A

A 0

(4.2)

F

AP

F

Slika 4.2. Prosje na vrijednost normalnog napona poduno napregnutog tapa U optem slu aju vrijednosti napona u izrazu (4.1) i u izrazu (4.2) nisu jednake. Sila, odnosno optere enje po popre nom presjeku tapa mijenja se po izrazu

dF = dA .( A)

(4.3)

Mada je distribucija napona neodre ena, u praksi se uzima da je distribucija normalnih napona u aksijalno optere enom tapu uniformna. I unutranje sile su ravnomjerno raspore ene po popre nom presjeku, pa sila F djeluje u centru popre nog presjeka.90

To zna i da je ravnomjerna distribucija napona mogu a samo ako aksijalne sile prolaze kroz centre popre nih presjeka , pa je to centri no optere enje tapova. Da bi se moglo zaklju iti ho e li tap izdrati zadatu silu F, mora se napon izra unat u tapu, uporediti s maksimalnim dozvoljenim naponom za materijal tog tapa i on mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu. Pored napona za analizu i dizajniranje aksijalno napregnutih tapova vane su deformacije koje su posljedica djelovanja optere enja. Posebno je vano izbje i velike deformacije, to je prvi korak u zatiti tapne strukture, koja treba da ostvari ulogu za koju je namijenjena. Analiza deformacija moe pomo i u odre ivanju naprezanja. Naime, nije uvijek mogu e odrediti sile u tapovima samo primjenom principa statike. To je stoga to je statika zasnovana na pretpostavkama da je tijelo kruto, tj. nedeformabilno. U stvarnosti inenjerske konstrukcije su deformabilne. Analiziraju i deformacije u razli itim dijelovima konstrukcije mogu e je na i sile makar se konstrukcije sa stati kog aspekta smatrale stati ki neodre ene. Za potpuno razumjevanje naprezanja unutar lanova konstrukcije neophodno je razumjeti deformacije. Na slici 4.3 prikazan je tap BC konstantnog popre nog presjeka A. Kada se na kraj tapa u ta ki C nanese aksijalna sila F do i e do izduenja tapa za duinu l to je direktna posljedica djelovanja sile F .

B l0

B

Cl

CF

z Slika 4.3. Izduenje aksijalno napregnutog tapa Ako se tap aksijalno optereti na oba kraja, slika 4.4., silama F i - F , po etna duina tapa lo promijenit e se i postati l = l0 + l , tj. tap je promijenio duinu i izduio se za

apsolutno izduenje l . Istovremeno e u popre nom pravcu aksijalno optere enog tapa nastati deformacija i to e do i do smanjenja irine b0 na b. Ukoliko umjesto isteu ih aksijalnih sila djeluju pritiskuju e aksijalne sile duina tapa e se skratiti za l , a irina pove ati za b.

91

b0

F

F

b

z

l/2l

l0

l/2

Slika 4.4. Izduenje aksijalno napregnutog tapa na oba kraja Promjena duine osim u apsolutnim veli inama izduenja moe se dati i u relativnim odnosima. Tako se relativno izduenje tapa na slici 4.4 moe definirati izrazom

z =gdje je:

l l 0 l = , l0 l0

(4.4)

z - dilatacija ili relativno izduenje u pravcu ose z, l0 po etna duina tapa, a l - kona na duina tapa.

S obzirom da se odvija u uzdunom pravcu tapa z, dilatacija dok je dilatacija

p popre

z

se ozna ava kao uzduna,

na dilatacija, tj.

p =

b b0 b = . b0 b0

(4.5)

U podru ju elasti nih deformacija postoji veza izme u uzdunih i popre nih dilatacija, koja je eksperimentalno odre ena i data izrazom

p = z ,

(4.6)

gdje je: - Poasonov (Poisson) koeficijent. Znak minus pokazuje da je popre na dilatacija suprotnog predznaka od uzdune. 4.2. Veza izme u napona i deformacije Ve ina inenjerskih konstrukcija se dizajnira za male deformacije koje se nalaze u linearnom podru ju elasti nosti. U tom podru ju linearnosti napona i deformacije postoji proporcionalnost izme u napona i deformacije data izrazom

= E ,92

(4.7)

koja je eksperimentalno odre ena (Dodatak 2 Eksperimentalno odre ivanje zavisnosti napon-dilatacija). Koeficijent proporcionalnosti E predstavlja Jangov (Young) modul elasti nosti koji je karakteristika materijala i izraava se u Pa. Izraz 4.7 poznat je kao Hukov (Hooke) zakon. U podru ju linearne elasti nosti na osnovu (4.7), (4.1) i (4.4) dobija se

F l =E , A l0odakle je apsolutno izduenje

(4.8)

l =

F l0 . EA

(4.9)

Umnoak EA zove se aksijalna krutost.

4.2.1. Stati ki odre eni problemi Ako je homogeni tap BC, konstantnog popre nog presjeka A, izloen djelovanju samo jedne aksijalne sile F (slika 4.3.), u popre nom presjeku se javlja normalni napon a izduenje tapa je

=

l =

popre nih presjeka, potrebno je odrediti unutranju aksijalnu silu u pojedinim segmentima, jer ona nije konstantna du tapa (slika 4.5a). Ukupno izduenje tapa je

Fl0 . Me utim, ako je tap optere en silama Fi u nekoliko AE

F , A

l =i

li =i

Faili , EA

(4.10)

gdje Fai nije vanjsko optere enje, nego je unutranja aksijalna sila u segmentu i, a li je duina tog segmenta. Normalni napon u pojedinim segmentima je

i =

Fai . A

(4.11)

Ako se umjesto tapa konstantnog popre nog presjeka posmatra tap koji se sastoji od nekoliko segmenata od razli itih materijala Ei, popre nih presjeka Ai i duina li na koje djeluju sile Fi (slika 4.5b.) ukupno izduenje je

l =i

Faili . Ai Ei

(4.12)93

l1

l1

F1F2

F1 F2

l2

l3

l3

l2

F3z z

F3

a) b) Slika 4.5. Aksijalno optere en tap a) konstantnog popre nog presjeka b) stepenasto promjenljivog popre nog presjeka Dakle, u izrazu (4.12) je Fai intenzitet aksijalne sile u odgovaraju em popre nom presjeku tapa. Ako je optere enje raspodijeljeno kontinuirano (na primjer tap optere en vlastitom teinom) ili se presjek tapa mijenja kontinuirano, tap treba podijeliti na beskona no mnogo dijelova duine z 0 . Tada je ukupno izduenje

l = lim

z 0

i

Fai zi , Ai Ei

(4.13)

odnosno, ukupno izduenje tapa dobiveno integriranjem po duini je

l =

l

0

F dz , AE

(4.14)

gdje su F i A funkcije koordinate z.94

4.2.2. Stati ki neodre eni problemi Konstrukcija u kojoj se javlja k nepoznatih reakcija veza i unutranjih sila u tapovima, ako ima s stepeni slobode kretanja, pri emu je k>s, je stati ki neodre ena konstrukcija. Stepen stati ke neodre enosti te konstrukcije je n= k s. (4.15)

Da bi se takvi problemi rijeili uvode se dodatne jedna ine, koje vrijede za deformirani sistem. Naime, uspostavlja se veza izme u deformacija pojedinih dijelova konstrukcije, tj. radi se geometrijska analiza na ina deformiranja konstrukcije. Na taj na in se dobija broj jedna ina jednak broju nepoznatih (reakcije veza i unutranje sile u tapovima). Stati ki neodre eni problemi iz aksijalnog naprezanja mogu se svrstati u tri grupe. 4.2.2.1. tapovi serijski vezani Na slici 4.6a., prikazan je tap promjenjivog popre nog presjeka, koji je ukljeten na krajevima i optere en aksijalnom silom F. Reakcije u osloncima A i B su nepoznate. Moe se postaviti jedan stati ki uslov ravnotee (slika 4.6b):

Fz = 0,

FA + FB F = 0

(a)

u kome se javljaju dvije nepoznate. Dakle, problem je jednom stati ki neodre en. z B (A1, E) 3 2 l

FB3

FB

FF2

+

F

Fa-

2l

l

(A2, E)

1

1

a) A

b)

FA

c) FA

Slika 4.6. a) Stati ki neodre en tap b) Sile u stati ki neodre enom tapu c) Dijagram aksijalnih sila95

Dodatni uslov se dobija iz uslova deformabilnosti. Na slici 4.6b se vidi da nema pomjeranja ta aka A i B, pa je ukupno pomjeranje, naprimjer ta ke A

l1 + l2 + l3 = 0,odnosno, koritenjem izraza (4.12) dobija se

(b)

Iz (c) se dobija

FA 2l FAl (FA F )l = 0. EA2 EA1 EA1

(c)

FA =a iz (a) druga nepoznata

A2 F, 2( A1 + A2 )

FB =Naponi su na osnovu (4.11)

2 A1 + A2 F. 2( A1 + A2 )

1 =

FA , A2

2 =

FA , A1

3 =

F FA . A1

4.2.2.2. Zglobno vezani tapovi Na slici 4.7.a prikazana su tri tapa zglobno vezana u C i optere ena silom F. Da bi se odredile sile u tapovima koriste se stati ki uslovi ravnotee:

Fx = 0, Fy = 0,

F2 sin F3 sin = 0, F2 = F3 , (d) F1 + F2 cos + F3 cos F = 0,

F1 + 2 F2 cos = F .

(e)

96

E, A, l1 C

F1l2a

y

l1

C E, A, l2

F2

C1

x

F3

FE, A, l2

F

a)

b)

Slika 4.7. a) Stati ki neodre ena tapna konstrukcija b) Plan pomjeranja za datu konstrukciju

U jedna inama (d) i (e) javljaju se tri nepoznate, pa je problem jednom stati ki neodre en. Potrebno je postaviti dopunski uslov. On se dobija iz uslova kompatibilnosti deformacija. Naime, konstrukcija se deformira tako da ni nakon deformiranja ne do e do raskidanja veze. Pomjeranje vora do koga dolazi odre uje se pomo u Viliotovog (Williot) plana pomjeranja (slika 4.7b). Na slici 4.7b se vidi da dolazi do pomjeranja vora C u C1. Moe se postaviti veza izme u izduenja tapova:

l1 =

l2 . cos

(f)

Koritenjem izraza (4.9) i (f) dobija se

F1l1 F2l2 = . EA EA cosIz jedna ina (d), (e) i (g) dobijaju se sile u tapovima

(g)

97

F1 =

F , l1 2 1 + 2 cos l2

F2 = F3 =

F F1 . 2 cos

4.2.2.3. Sistem od deformabilnih tapova i krute grede Na slici 4.8a prikazan je kruti tap ABC objeen na dva elasti na tapa i vezan za zid zglobnom vezom.

E, A 1 2l

E, A

2

y A 2l B l a)

Fx C l

FAy

FAxA

F1B l1 B' B'' b)

F

F2C l2 C' C''

Slika 4.8. a) Kruta greda vezana pomo u dva elasti na tapa b) Deformirana stati ki neodre ena konstrukcija Stati ki uslovi ravnotee prema slici 4.8b su:98

Fx = 0; Fy = 0, M A = 0,

FAx = 0 FA + F1 + F2 F = 0, F2 4l + F1 2l F 3l = 0.(h) (i)

U jedna inama (h) i (i) javljaju se tri nepoznate, to zna i da je problem jednom stati ki neodre en. Dopunska jedna ina se dobija iz uslova da krajevi tapova 1 i 2 nakon njihove deformacije moraju biti na krutom tapu (slika 4.8b). Poto su deformacije male mogu se lukovi BB', odnosno CC' aproksimirati tangentama na te lukove BB'' i CC''. Iz sli nosti trouglova AB''B i AC''C dobija se

l1 2l 1 = = . l2 4l 2Koritenjem izraza (4.9) i (j) dobija se

(j)

F1 2l 1 F2 2l = , AE 2 AEodnosno

F1 =

1 F2 . 2

(k)

Iz jedna ina (k), (i) i (h) dobijaju se nepoznate

F1 =

3 3 1 F , F2 = F , FA = F . 10 5 10

4.2.3. Dimenzionisanje aksijalno optere enih tapova Kod aksijalno napregnutih tapova, ako je poznato optere enje odre uju se njihove dimenzije, a ako se znaju dimenzije odre uje se najve e optere enje koje ta tapna konstrukcija moe izdrati. I jedno i drugo se odre uje iz uslova da normalni napon ni u jednoj ta ki tapa ne bude ve i od dozvoljenog napona d za odre eni materijal tapa.

99

To zna i da mora biti

Ukoliko materijal ima razli ite granice te enja u zoni zatezanja i pritiska (Dodatak 2 Eksperimentalno odre ivanje zavisnosti napon dilatacija), tada su razli iti dozvoljeni naponi u zoni zatezanja i pritiska. U tom slu aju popre ni presjek tapova se odre uje iz uslova

F d. A

(4.16)

U nejedna inama pritiska.

de (4.17) de

A

F

,

A

F

dc

.

(4.17)

je dozvoljeni napon pri zatezanju, a

dc

dozvoljeni napon

4.3. Utjecaj temperature na pojavu deformacija U prethodnoj analizi tijelo se deformiralo samo pod utjecajem sila, jer mu se nije mijenjala temperatura. Me utim, zagrijavanje (hla enje) utje e na pojavu deformacija (irenja ili skupljanja) tijela. Tada mogu nastati samouravnoteene unutranje sile, odnosno naponi koji nisu posljedica vanjskog optere enja. Pojava termi kih deformacija objanjena je na jednostavnom primjeru. Homogeni tap ravnomjernog popre nog presjeka postavljen je na horizontalnu podlogu (slika 4.9.) i zagrijan. l0 A l0 A B

T

lTB

T+T

Slika 4.9. Termi ka dilatacija

koji predstavlja karakteristiku materijala, tj.

T tap e se izduiti za lT . Izduenje je proporcionalno duini l0, promjeni temperature T i koeficijentu termi kog irenja Ako temperatura tapa poraste za

lT = Tl0 .100

(4.18)

Termi ka dilatacija je

T =

lT = T l0

(4.19)

i posljedica je promjene temperature. U slu aju na slici 4.9. tap se slobodno iri pa se ne javljaju termi ki naponi. tap na slici 4.10. nije slobodan i postavljen je izme u nepokretnih oslonaca na rastojanju l0 . l0 A B

F

F'

A

B

Slika 4.10. Termi ki optere en tap U po etku, prije zagrijavanja, nema ni deformacija niti napona. S porastom temperature tap se ne moe iriti zbog ograni enja pa je izduenje tapa l =0. Ako je tap homogen i istog popre nog presjeka u svim presjecima bi e T = 0. tap e usljed irenja pritiskivati oslonce, te e se javiti reakcije oslonaca, tj. sile F i F '. Treba odrediti napon koji se javlja usljed prirataja temperature T . Problem spada u stati ki neodre ene. Zbog toga treba prvo izra unati vrijednost reakcija u osloncima (F) za uslov da je izduenje tapa jednako nuli. Koriste i se metodom sabiranja deformacija (princip superpozicije) moe se na i ukupno izduenje. Naime, tap se oslobodi veze uB (slika 4.11a) i njegovo izduenje zbog promjene temperature je Tl0 (slika 4.11b). Poto u B djeluje reakcija oslonca B javit e se druga deformacija skra enje tapa biti jednako nuli, tj.

Fl0 (slika 4.11c). Ukupno izduenje mora AE Fl0 = 0. AE

l = lT + l F = Tl0 Reakcija oslonca je

F = AET ,

(4.20)101

a termi ki napon je

=

F = E T . A

(4.21)

Termi ki napon dat izrazom (4.21) odnosi se na tap ravnomjernog popre nog presjeka. Bilo koji drugi problem mora se posebno analizirati. l0 A B a)

lTA B b)

lFAF

c)

B

Slika 4.11. Izduenje mehani ki i termi ki optere enog tapa

4.4. Naponi i deformacije tapa optere enog sopstvenom teinom O

max , E w

z

dz

Fa

l

a

al-z wmax

FZz a) z b) c)

d)

Slika 4.12. tap optere en sopstvenom teinom102

tap na slici 4.12a, optere en je sopstvenom teinom i vezan osloncem u ta ki O. Duina tapa je l a povrina popre nog presjeka A. Ako se napravi popre ni presjek a-a, dio tapa ispred presjeka (slika 4.12b) je u ravnotei ako je zbir svih sila du ose tapa jednak nuli.

Fzi = 0,i

FZ Fa = 0,

Fa = FZ

gdje je Fa unutranja sila u tapu, a Fz teina tapa ispred presjeka.

FZ = V = A(l z ) ,gdje je V zapremina posmatranog dijela tapa, a Rezultanta unutranjih sila je

(4.22)

zapreminska teina.

Fa = A.Iz jednakosti izraza (4.22) i (4.23) dobije se

(4.23)

A(l z ) = A, = (l z ) .

(4.24)

Vidi se da normalni napon zavisi linearno od koordinate z. Maksimalna vrijednost normalnog napona dobije se u ta ki O, tj. za z = 0,

max = l ,a minimalni napon za z = l

(4.25)

min = 0.

Promjena normalnog napona du tapa prikazana je na slici 4.12c. Deformacija je na osnovu (4.7) i (4.24) jednaka

=

E

(l z ),

(4.26)

te su maksimalna i minimalna vrijednost

max =

lE

,

min = 0.

(4.27)

Ako bi tap bio izloen djelovanju aksijalne zatezne sile F na slobodnom kraju kao i djelovanju sopstvene teine onda je napon u presjeku jednak superpoziciji napona usljed ove dvije sile, tj.103

=Najve i napon je

1 [F + A (l z )]. A

(4.28)

max =gdje je G teina tapa.

F + V F +G = , A A

(4.29)

Pomjeranje ta aka popre nog presjeka deformacija u ta ki je

w zavisi o poloaju ta ke, tj. w = w( z ) , a

=

dw , dz

(4.30)

to je dato izrazom (2.45), poglavlje 2.6. Analiza deformacije. Na osnovu (4.26) i (4.30) dobija se da je pomjeranje ta aka popre nog presjeka

w= w=

z

E

(l z )dz,2

0

(2lz z ). 2El 22E

(4.31)

Pomjeranje ta aka popre nog presjeka raste po zakonu kvadratne parabole, slika 4.12d. Maksimalno pomjeranje za z = l,

wmax =

= l

(4.32)

je ukupno izduenje tapa duine l.

4.5. tapovi idealnog oblika tapovi konstantnog popre nog presjeka usljed dejstva sopstvene teine imaju najve i napon u ukljetenju, slika 4.12c. Svi popre ni presjeci ispod ukljetenja nisu racionalno iskoriteni. Popre ni presjek tapa bi se trebao smanjivati prema slobodnom kraju.104

Idealan popre ni presjek tapa je onaj za koji optere eni tap ima konstantan napon po cijeloj duini tapa, jednak dozvoljenom naponu d . Na slici 4.13. je prikazan tap optere en silom

F na slobodnom kraju i sopstvenom teinom.z

=dz

l-z

dz

Fa + dFa Az+d Azdz Az F a) b) Slika 4.13. tap idealnog oblikadG

l z

Fac)

Uslov ravnotee segmenta na slici 4.13c dat je jedna inom -Fa dG + Fa + dFa = 0, gdje je dG teina elementa duine dz,

dG = Az dz ,Fa je unutranja sila u popre nom presjeku Az,

Fa = d Az ,a dFa je prirataj unutranje sile u popre nom presjeku Az + dAz

dFa = d dAz .Uslov ravnotee sada glasi: d Az A z dz + d A z + d dA z = 0,

odakle se dobija

dAz = dz. Az d

(4.33)

105

Rjeenje diferencijalne jedna ine u optem obliku je

ln Az =

z + c. d

Konstanta c se odredi iz grani nog uslova z=0, Az = A0, odakle slijedi lnA0=c. Uvrtavanjem konstante u opte rjeenje dobija se

z + ln A0 , d A ln z = z. A0 dln Az =z

Kod tapova idealnog oblika povrina se mijenja prema (4.34), tj.

Az = A0 e d .

(4.34)

U izrazu (4.34) A0 je povrina popre nog presjeka slobodnog kraja na kojem djeluje spoljanja sila F. Poto je

d =

F , A0z

bi e povrina popre nog presjeka tapa idealnog oblika

Az =

F

d

ed

.

(4.35)

tap idealnog oblika, koji je izloen zatezanju ili pritisku, veoma je teko izvesti. Zato se rade tapovi stepenasto promjenljivog popre nog presjeka kod kojih je = const. pri prelasku s jednog na drugi segment tapa.

4.6. tapovi stepenasto promjenljivog popre nog presjeka Na slici 4.14. prikazan je stepenasti tap koji ima tri segmenta, ali u optem slu aju moe imati n segmenata. tap je postavljen u vertikalni poloaj, u vr en u gornjem kraju i na slobodnom kraju optere en silom F. Svi ostali podaci dati su na slici 4.14. Ravnotea prvog segmenta tapa svodi se na ravnoteu sila u pravcu ose z. F + G1 F1 = 0. G1 =

A1 l1 predstavlja teinu prvog segmenta.

106

O

F2

l3

A3

l2

G2 F1 '

l2

F1A2 l1

l1

A1 F z

G1F

z

Slika 4.14. Stepenasti tap optere en silom na slobodnom kraju

Sila F1 predstavlja zbir svih unutranjih sila u presjeku izme u prvog i drugog segmenta popre nog presjeka A1 s konstantnim naponom koji je jednak dozvoljenom d

F + A1l1 A1 d = 0 ,odakle je povrina popre nog presjeka

A1 =

F . d l1

(4.36)

Ravnotea drugog segmenta tapa dana je sljede im izrazom gdje je F1 + G2 F2 = 0 , G2 =

A2 l2 ,

a F2 je sila koja obuhvata sve unutranje sile u presjeku izme u drugog i tre eg stepena, tj.107

F2 = A2 d . Sada je

A1 d + A2 l 2 A2 d = 0 ,odakle se dobija

A2 =

A1 d F d = . d l2 ( d l1 )( d l2 )

(4.37)

Na sli an na in dobije se i popre ni presjek A3 i on se ra una prema2 F d . A3 = ( d l1 )( d l2 )( d l3 )

(4.38)

Za tap koji ima n segmenata, povrina n-tog segmenta bi e

An =

n F d 1 . ( d l1 )( d l2 )....( d ln )

(4.39)

Ako je duina segmenata ista, moe se pisati da je za k-ti segment

lk =

ukupna duina, a n broj segmenata. Tada je povrina k-tog segmenta jednaka

L , gdje je L n(4.40)

Ak =

F L d 1 n dk

.

4.7. Naponi u kosom presjeku tapa U prethodnim razmatranjima ra unat je napon u presjeku normalnom na podunu osu tapa, u pravcu koje djeluje vanjska sila. To je bio normalni napon = z (izraz 4.1). Ako se eli odrediti naponsko stanje u kosom presjeku, koji s normalnim presjekom gradi ugao (slika 4.15a), tada sila F djeluje na kosi presjek povrine

A=

A0 (slika 4.15b). cos

108

Totalni napon u kosom presjeku pn jednak je

pn =gdje je

z

F F cos = = z cos , A A0

(4.41)

totalni napon za normalni presjek.

F'

F

z

ta) A

n

npn

F'

F

c)

n

A0 b)

A

Slika 4.15. Aksijalno napregnut tap i naponi u kosom presjeku tapa U kosom presjeku totalni napon se moe razloiti na dvije me usobno normalne komponente, a to su normalni i smi u i napon (slika 4.15c). Ovi naponi su:

n = pn cos = z cos 2 , n = p n sin = z sin cos ,(4.42) jer, prema usvojenoj konvenciji o znaku smi u eg napona (poglavlje 2.1), on je pozitivan ako djeluje na pozitivnoj povrini i usmjeren je u pozitivnom smjeru odgovaraju e koordinatne ose ili ako nastoji proizvesti rotaciju materijala suprotno kretanju kazaljke na satu, to nije slu aj u razmatranom primjeru (slika 4.15c). Izrazi (4.42) uz koritenje trigonometrijskih relacija

cos 2 =mogu se napisati u obliku:

1 (1 + cos 2 ), 2

sin cos =

1 sin 2 2

109

z (1 + cos 2 ), 2 n = z sin 2 , 2 n =

(4.43)

to odgovara izrazima (3.15), koji su dobijeni pri rjeavanju specijalnog slu aja ravnog stanja napona (poglavlje 3.4.1.). Glavni naponi se dobijaju za

1 = 0,

2 =

2

,

1 = z ,

2 = 0.

(4.44)

Ekstremni smi u i naponi se dobijaju za

1, 2 = , 4

1, 2 =

z . 2

(4.45)

4.8. Morov (Mohr) krug napona Promjena komponentnih napona s promjenom ugla , data izrazima (4.43), moe se grafi ki predstaviti pomo u Morovog (Mohr) kruga napona. Iz izraza (4.43) nakon kvadriranja i sabiranja dobija se

n

z2

2

+ =2 n

z2

2

,

(4.46)

to predstavlja jedna inu kruga radijusa (slika 4.16). Na slici 4.16. vidi se da su glavni naponi smi u i naponi

z2

, a koordinate centra kruga su C

z2

,0

1 = CS1 =

z2

, a 2 = CS 2 =

1 = OP = z , a 2 = 0, 1 z2

dok su ekstremni

i u ravnima dejstva napona

1, 2

normalni naponi su

0 = OC =

z2

.

110

n

S1

z

nP2 O

C2

A P1

n

D S2

Slika 4.16. Morov krug napona za aksijalno naprezanje

4.9. Raspored napona i deformacija pod djelovanjem aksijalnog optere enja i SenVenanov (Saint-Venant) princip Ravnomjeran raspored napona po popre nom presjeku tapa ostvaruje se samo u slu ajevima kada je presjek dovoljno udaljen od djelovanja koncentrisane sile i ako u blizini nema nagle promjene popre nog presjeka. U blizini otvora, zareza i na mjestu djelovanja sila, raspored napona nije ravnomjeran. Najve i napon moe biti nekoliko puta ve i od srednjeg napona. Ta pojava je poznata kao koncentracija naprezanja. Problemi koncentracije naprezanja rjeavaju se numeri kim i eksperimentalnim metodama. Na slici 4.17. prikazan je eksperimentalno odre en raspored napona u popre nom presjeku tapa, ije su dimenzije popre nog presjeka h i b pri emu je h>>b (tap male debljine) i koji je optere en koncentrisanom silom F. Raspored napona dat je u presjecima

n

Raspored napona u popre nim presjecima tapa je razli it za razli itu udaljenost tih presjeka od napadne ta ke sile. S pove anjem udaljenosti od mjesta djelovanja sile raspored napona je ravnomjerniji. U ta ki djelovanja sile kada bi ona stvarno djelovala u ta ki, napon bi bio max = . Na rastojanju koje je jednako ili ve e od irine tapa moe se uzeti da je raspored napona ravnomjeran, tj. jednak prora unskom

h h , i h. 4 2

=

F . A111

F

F

F

F

b/4

h

h

min max sr

b/2

h

min=0,973sr max=1,027srF'

min=0,668sr min=0,198sr max=1,387sr max=2,575sr

Slika 4.17. Raspored napona u popre nim presjecima aksijalno napregnutog tapa To zna i da, osim u ta kama djelovanja ili u bliskoj okolini napadne ta ke sile, raspored napona se moe smatrati nezavisnim od promjene optere enja, ako su ta optere enja stati ki ekvivalentna. Stati ki ekvivalentna optere enja zna e da imaju istu rezultiraju u silu i isti rezultiraju i moment. Ovim je izraen Sen-Venanov (Saint-Venant) princip. On se moe izraziti i na drugi na in: Ako na malom dijelu tijela djeluju me usobno uravnoteene sile, one izazivaju samo lokalna naprezanja u neposrednoj blizini dejstva sile i brzo opadaju s udaljavanjem od mjesta optere enja. Ako se u tapu nalaze diskontinuiteti koje proizvode otvori razli itih oblika ili nagle promjene presjeka, slika 4.18., na tim mjestima javit e se maksimalni napon. Veli ina maksimalnog napona zavisi od oblika i veli ine diskontinuiteta i srednje vrijednosti napona, a data je izrazom

max = K sr ,gdje je: K faktor koncentracije napona, a

(4.47)

sr napon u oslabljenom presjeku, tj.(4.48)

sr =

F F = . A0 (h d )b

112

b

d/2

F

r h

F

Fh d

F

d/2

sr

max

Fmax

Fsr

a) b) Slika 4.18. Raspored napona u okolini a) krunog otvora, b) polukrunih utora pri aksijalnom optere enju Faktori koncentracije za razli ite konstruktivne elemente i razli ite diskontinuitete odre uju se eksperimentalno. Za slu ajeve na slici 4.19., dati su u grafi koj formi. A 2rF

srF

h

a)

0

max

0

B rF F

h

b)

0

sr max

0

113

K=

max sr3

a) 2 b) 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2r h

Slika 4.19. Promjena faktora koncentracije napona s promjenom slu ajeve na slikama a) i b) 4.10. Deformacioni rad

2r za h

Pri aksijalnom naprezanju, ako nema promjene koli ine toplote u tijelu i ako nema promjene kineti ke energije, deformacioni rad ili rad unutranjih sila bi e jednak radu vanjskih sila. Pod dejstvom vanjskih sila tijelo se deformie i dolazi do pomjeranja napadnih ta aka tih sila, te one vre rad (slika 4.20). B

ClF

l

B

C

Slika 4.20. Istezanje tapa pod dejstvom aksijalne sile114

Moe se pisati da je u podru ju linearne elasti nosti (slika 4.21.) F F

Fz dz l

W=

1 F l 2l

z

Slika 4.21. Dijagram sila-izduenje u linearnom podru ju elasti nosti

dW = Fz dz, a na osnovu

Fz z F = , bi e Fz = z, te je F l ll

dW =

F F Fl 2 zdz, odnosno W = zdz = . l l 0 2 l

Rad vanjskih sila je

W

=

Izraz (4.49) dobijen je ranije u poglavlju 2.11. Ovaj izraz izraava Klapejronovu (Clapeyron) teoremu: Rad vanjske normalne sile pri aksijalnom naprezanju i stati kom optere enju jednak je polovini vrijednosti koju bi imao kada bi sila od po etka djelovala konstantnim intenzitetom. Rad unutranjih sila po jedinici zapremine se dobija iz (2.78) ako se stavi da su sve naponske komponente osim z jednake nuli, tj.

Fl . 2

(4.49)

Wd ' =

2

,

(4.50)

ili iz (4.49) uz koritenje izraza (4.1) i (4.4). Naime,

Wd ' =

W d W Al 0 = = = . V V 2V 2

115

4.11.

Primjeri i zadaci

Primjer 4.1. Odrediti izduenje eli nog tapa prikazanog na slici 4.22. Zadano je: F1 = 500kN, F2 = 300kN, F3 = 200kN, E = 200GPa. A1 = 600 mm2, A2 = 200 mm2, l1 = l2 = 300 mm, l3 = 400 mm.

A

B

A1

C

F1

F2

A2

D

F3

l1 Slika 4.22.

l2

l3

eli ni tap optere en silama

Rjeenje: Ukupno izduenje je na osnovu (4.12) jednako

l =i

Fai li 1 Fa1l1 Fa 2l2 Fa 3l3 = + + Ai Ei E A1 A2 A31 2 3

F1

F2

F3

1 400

2

3

+

200

Fa100

+

-

Slika 4.22a Dijagram aksijalnih sila116

gdje su aksijalne sile: odnosno

Fa1 = FA = 500 300 + 200 = 400kN, Fa2 = 400 500 = -100kN, Fa3 = - 100 + 300 = 200 kN = F3 (slika 4.22a),

l =

1 400 300 100 300 200 400 10 3 10 3 + + 600 600 200 200 10 9 10 6

l = 2,75 10 3 m = 2,75mm.

Primjer 4.2. Kruti tap BDE je zglobno vezan pomo u dva tapa AB i CD za nepokretan zid. tap AB izra en je od aluminijuma E = 70GPa i popre nog presjeka 50mm2. tap CD je eli ni E = 200MPa i popre nog presjeka 600mm2. Za silu od 30kN ije je djelovanje prikazano na slici 4.23., odrediti pomjeranja ta aka B,D i E.

C 0,4 m A 0,3 m D 0,2 m 0,4 m 30 kN

B

E

Slika 4.23. tapna konstrukcija Rjeenje: 30 kN FAB B 0,2 m FCD D 0,4 m E 0,4 m C A 0,3 m A= 600 mm2 E= 200 GPa D FCD=90 kN Slika 4.24. Sistem tapova rastavljen na tri podsistema117

FCD=90 kN FAB=60 kN A= 500 mm2 E= 70 GPa B FAB=60 kN

Sistem tapova se rastavi na tri podsistema (slika 4.24.). Iz stati kih uslova ravnotee (a) i (b) odrede se unutranje sile u elementima.

Fy = 0,(a)

-FAB + FCD 30 = 0, FCD = 90 kN ( istezanje) (b)

M B = 0, FCD 0,2 30 0,6 = 0,FAB = 60 kN (pritisak).

Pomjeranje ta ke D ra una se prema (4.9) za silu FCD u tapu CD i

FCDl 90 103 0,4 = , AE 600 10 6 200 106 lD = 300 10 6 m = 0,3mm. l D =B' x H D' D E

(c)

lBB

lD lE

200

400

E'

Slika 4.25. Pomjeranje ta aka tapne konstrukcije na slici 4.23. Pomjeranje ta ke B ra una se prema (4.9) za silu FAB = 60kN i iznosi

l B =

FABl 60 103 0,3 = , AE 500 10 6 70 106 l B = 514 10 6 m = 0,514mm.

(d)

Pomjeranje ta ke E moe se odrediti iz sli nosti trouglova (slika 4.25.):

BB ' BH = , DD' HD118

l A 200 x = lD x

x = 73,7 mm,

(e)

EE ' HE = , DD' HDPrimjer 4.3.

l E 400 + 73,7 = , lE = 1,928mm. 0,3 73,7

(f)

tap AC, obostrano uklijeten i prikazan na slici 4.26., optere en je aksijalnom silom F. Odrediti reakcije oslonaca. (A2, E2)

FA

(A1, E1) A B l1

FC l2

FC

Slika 4.26. Uklijeten tap (stati ki neodre en tap) Rjeenje: Za tap AC, moe se postaviti jedan stati ki uslov ravnotee sila FA + FC F = 0 iz kojeg se ne mogu odrediti reakcije. Zato se postavi i drugi uslov da je izduenje tapova l = 0. To je ta no, jer je izduenje sprije eno osloncima. U svrhu odre ivanja pomjeranja tapa ukloni se oslonac A i doda reakcija veze FA. tap e se deformirati i pri tom e se ta ke tapa pomjerati. Pomjeranje ta ke A jednako je zbiru izduenja oba dijela tapa (izraz 4.12), tj.

l A = l1 + l 2 ,pri emu su prema (4.9) izduenja

(a)

l1 =

(F F )l2 . FAl1 i l2 = A E1 A1 E2 A2

(b)

Poto je pomjeranje ta ke A nula, bi e

FA l1 (FA F )l 2 =0. E1 A1 E 2 A2

(c)

Reakcija FA se odredi iz (c) i iznosi

119

FA =

F , l E A 1+ 1 2 2 l 2 E1 A1

(d)

a reakcija FC iz uslova ravnotee sila pa je

FC =

F . l 2 E1 A1 1+ l1 E 2 A2

(e)

Primjer 4.4. Konstrukcija se sastoji od tri tapa jednakih popre nih presjeka A i modula elasti nosti E. U ta ki A optere ena je silom F, slika 4.27. Odrediti sile u tapovima konstrukcije ako je poznato F, l, A, E i . D

B

C

1

2

3

l

A F

Slika 4.27. Stati ki neodre ena tapna konstrukcija

Rjeenje: Stati ki uslovi ravnotee sila (slika 4.28) daju:

Fx = 0, Fy = 0,

F1 sin + F3 sin = 0, 2 F1 cos + F2 F = 0.

F1 = F3 ,

(a)

120

B

y

F2 F1

F3

l/cos

AF

x

A A2

Slika 4.28. Uslov ravnotee ta ke A

l1

A1

Slika 4.29. Detalj deformirane konstrukcije oko ta ke A Poto je problem stati ki neodre en postavlja se dodatni uslov ravnotee deformacija u voru A. Ta ka A pomjerila se u ta ku A1. Pri tom se tap 2 izduio za l 2 , a tap 1 za

l1 . Iz trougla AA1A2 (slika 4.29), vidi se da je l2 cos = l1 .

Izduenja tapova su prema (4.9):

F1l F2 l l 2 = ; l1 = cos . EA EANa osnovu (b) i (c) dobija se

F1l F2 l cos = cos , EA EA F2 cos 2 = F1.(d)121

l2(b) (c)

900

Iz izraza (a) i (d) dobijaju se sile u tapovima:

F 1 + 2 cos3 cos 2 F1 = F3 = F . 1 + 2 cos3 F2 =Primjer 4.5. Osovina krunog popre nog presjeka, slika 4.30., u vr ena je pri sobnoj temperaturi T0 izme u zidova A i B. Izra unati normalne napone koji nastaju u bakarnim i eli nim dijelovima osovine ako se temperatura pove a na T1. Dato je T0 = 200C, T1 = 500C, l1 = l3 = 20cm, l2 = 40 cm, D = 8 cm, d = 6cm, E = 2105MPa, ECu = 105MPa,

= 12,5 10 6

1 , K

Cu = 16,5 10 6Cu

1 . K

elik

Cu

FAD A l1 d B l2 l3

FB

Slika 4.30. Osovina krunog presjeka izloena promjeni temperature Rjeenje: Uslov ravnotee sila du ose osovine je FA = FB ali njihove vrijednosti se ne mogu odrediti iz te jedne jedna ine. Dodatni uslov je da suma linearnih deformacija dijelova tapa usljed unutranjih sila u tapu mora biti jednaka sumi deformacija usljed promjene temperature, tj.

lF =

lT .

(a)

Na osnovu (4.10) i (4.18) i uslova (a) bi e:

FAl1 Fl Fl + A 2 + A 3 = Cu Tl1 + Tl2 + Cu Tl3 , ECu A1 E A2 ECu A3gdje je

(b)

T = T1 T0 = 300 C .122

Iz jedna ine (b) moe se izra unati reakcija FA = 231,54kN. Naponi su prema (4.1):

Cu = =

FA 4 231,54 = = 46,1 MPa, A1 82

FA 4 231,54 = = 81,9 MPa. A2 6 2

Primjer 4.6. tap na slici 4.31. ima otvor na sredini. Odrediti maksimalno naprezanje u presjeku ako je zadano: b = 2cm, h = 16 cm, r = 4 cm i F = 32 kN.

Slika 4.31. tap sa otvorom na sredini Rjeenje: Povrina oslabljenog presjeka je

A0 = (h 2r )b = 16cm 2 .Prosje ni napon u presjeku je prema (4.48):

sr =Najve i napon je prema (4.47)

F 32 103 = = 2 107 = 20 MPa. A0 16 10 4

max = K sr .Faktor koncentracije K odredi se iz dijagrama na slici 4.19., kriva (a) za iznosi K = 2,15, sada je

2r

F

F

h

2r 2 4 = = 0,5 i h 16

max = 2,15 20 = 43 MPa.123

Zadatak 4.7. tap duine l, popre nog presjeka A1 i modula elasti nosti E1 smjeten je u cijev iste duine l i popre nog presjeka A2 i modula elasti nosti E2. Odrediti aksijalne sile u tapu i cijevi kada na desnom kraju na prirubnicu djeluje sila F prema slici 4.32. cijev (A2, E2) tap (A1, E1)

Fprirubnica

l Slika 4.32. tap unutar cijevi pod dejstvom sile F Rezultat:

F1 =

A1E1F , A1E1 + A2 E2

F2 =

A2 E2 F . A1E1 + A2 E2

Zadatak 4.8. Konstrukcija na slici 4.33., sastoji se od 3 tapa. tapovi se zagriju pa se temperatura promijeni za T . Odrediti napone u tapovima ako su od istog materijala, te imaju isto E i .

B

C

D

1

l

2

3

A

Slika 4.33. Stati ki neodre ena konstrukcija zagrijana za Rezultat:

T

1 = 3 = ET124

1 cos 2 , 1 + 2 cos3

2 = 2ET

cos cos3 . 1 + 2 cos3

Zadatak 4.9. Odrediti napone u dijelovima eli nog tapa AC i CB prikazanog na slici 4.34., u slu aju kada je temperatura tapa 500C. tap je u vr en na dva oslonca na temperaturi 250 C. Poznato je E = 200GPa i

= 12 10 6A1

0

1 , A1 = 400mm2, A2 = 800mm2. CA2

A 300mm

C

300mm

B

Slika 4.34. eli ni tap izloen promjeni temperature Rezultat:

1 = 240 MPa,

2 = 120 MPa.

Zadatak 4.10. Vertikalna eli na ipka ABC je pri vr ena na gornjem kraju, a na donjem je optere ena silom F1. Horizontalna poluga BDE je pri vr ena na vertikalnu ipku u B i poduprta u ta ki D. Poluga je optere ena na kraju E silom F2. Poznato je: l1 = 0,5m, A1 = 16 10-5m2, l2 = 0,8m, A2 = 10 10-5m2, E = 2 1011Pa, a = 0,7 m , b = 0,6 m. Odrediti vertikalno pomjeranje ta ke C ako je F1 = 10kN, a F2 = 26kN. Zanemariti teinu ipke i poluge.A

A1 a b E D A2F2

l1

B

l2C F1

Slika 4.35. tapna konstrukcija optere ena silama F1 i F2 Rezultat:

l AC = 0,21 mm125

Zadatak 4.11. Horizontalna kruta greda ADB duine 2l je pri vr ena za zid zglobnom vezom u A i objeena na dvije ice CD i CB (slika 4.36.). ice su privezane zglobno u C. Obje ice su od istog materijala i imaju istu povrinu popre nog presjeka. Odrediti sile u icama uzrokovane vertikalnim optere enjem koje djeluje na kraju grede. C 2 B l

1 A l1

l

D

2

Slika 4.36. tapna konstrukcija optere ena silom F

F

Rezultat: Zadatak 4.12.

F1 =

2 F, 8 2 +5 5

F2 =

8 F. 58 5 +5 5

(

)

eli na plo a 150 x 25 x 500 mm pri vr ena je za drveni blok 150 x 150 x 500 mm (slika 4.37.). Usljed dejstva optere enja F dolazi do njihovog skra enja za 0,75 mm. Poznato je: E = 210 GPa, Ed = 12 GPa. Odrediti: a) normalni napon u svakom materijalu, b) veli inu optere enja F, c) poloaj sile F s obzirom na vanjsku ivicu eli ne plo e.

F

elik 500 mm 25 mm 150 mm

drvo

Slika 4.37.126

eli na plo a pri vr ena za drveni blok i optere ena silom F

Rezultat:

a) = 315MPa, b) F = 1586 kN c) x = 34,8 mm

d = 18MPa,

Zadatak 4.13. Kada je tapna struktura na slici 4.38., neoptere ena postoji zazor od 0,03 mm izme u krute plo e D i tapa B. Odrediti veli inu sile F koja e uzrokovati aksijalne napone iste veli ine u tapovima A,B,C. Poznato je: tap Materijal A, mm2 E, GPa A Al legura 3000 70 B elik 1500 200 C Bronza 1000 100

F kruto

F D0,03 mm 350 mm

A

B

C

100 mm

100 mm

Slika 4.38. tapna struktura optere ena silom F Rezultat: Zadatak 4.14. Zglobno vezana struktura na slici 4.39. optere ena je silom F = 150 kN i zagrijana za 1000C. Moduli elasti nosti i koeficijenti termi kog irenja su: EAl=75GPa, E = 200GPa, F = 66kN

Al = 22 10 6

AB = 500mm2. Greda CD je kruta.

1 1 , = 12 10 6 . Povrine popre nih presjeka su: AA = 1000mm2, K K

127

Odrediti: a) normalne napone u tapovima A i B, b) pomjeranje ta ke D.

Alelik

B C1,5m

1,5m

A

2m

D2,5m 1,0m

F=150 kN Slika 4.39. tapna struktura optere ena silom F i zagrijana za Rezultat: a) b)

T

A = 153 MPa, D = 10,6 mm

B = 184 MPa

Zadatak 4.15. eli ni tapovi A i C (E=200GPa) su zglobno vezani za krutu gredu D (slika 4.40.). tap C je preko krute plo e E vezan za bronzani tap B (E=100GPa). Popre ni presjeci tapova su AA=2500 mm2, AB = 2500 mm2 i AC = 1250 mm2. Dozvoljeni napon za eli ne tapove je 140 MPa i za bronzu 210 MPa. Odrediti radnu silu F tako da napon u tapovima ne prekora i doputene vrijednosti i da vertikalno pomjeranje ta ke E ne bude ve e od 1,25 mm.750 mm 1500 mm

D1500 mm

CF/2 E

F/2

A

kruto

B

Slika 4.40. tapna struktura optere ena silom F Rezultat:128

F=500kN

750 mm

750 mm