Variables aleatoriasM.I. Jos Francisco Macedo Calvillo

PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

El alumno conocer el concepto de variable aleatoria y podr analizar el comportamiento probabilista de la variable, a travs de su distribucin y sus caractersticas numricasObjetivo

3.1 El concepto de variable aleatoria como abstraccin de un evento aleatorio y su definicin

Variable aleatoriao

Es una funcin que asocia un nmero real con cada elemento del espacio muestral

o

En un experimento estadstico, a cada punto del espacio muestral se le asignar un valor numrico

Ejemplo 1Si juegas 2 volados puedes ganar o perder en cada uno de ellos, por lo que tu espacio muestral est dado por las opciones siguientes: S={GG, GP, PG, PP}(con G=ganar y P=perder)

Con las que podemos elaborar la siguiente tabla:

Espacio Muestral GG GP PG PP

V 2 1 1 0

Donde

V es la variable aleatoria que nos indica la cantidad de victorias obtenidas en estos 2 volados

Ejemplo 2P&E WMMY 78

El empleado de seguridad regresa tres cascos de seguridad al azar a tres trabajadores de un taller siderrgico que ya los haban probado. Si Green, White y Brown , en ese orden reciben uno de los tres cascos, liste los puntos muestrales para los posibles rdenes de regreso de los cascos, y encuentre el valor de m de la variable aleatoria M que representa el nmero de asociaciones correctas:

Espacio M Muestral GWB GBW BWG WGB WBG BGW 3 1 1 1 0 0

Donde

M es la variable aleatoria que nos indica la cantidad de cascos devueltos correctamente

Suponga

que un plan de muestreo consiste en revisar 10 productos, de un lote de 100, donde se sabe que 12 son defectuosos Sea X la variable aleatoria definida como el nmero de artculos defectuosos de la muestra de 10, la variable tomar valores de 0 a 10

3.2 Variable aleatoria discreta: Funcin de probabilidad, sus propiedades y su representacin grfica, Funcin de distribucin acumulativa, sus propiedades y su representacin grfica

o

Si un espacio muestral contiene un nmero finito de posibilidades, o una serie interminable con tantos elementos como nmeros enteros existen, se llama espacio muestral discreto Si un espacio muestral contiene un nmero infinito de posibilidades igual al nmero de puntos en un segmento de lnea, se llama espacio muestral continuo

o

Variable aleatoria discretao

Se considera una variable aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles.

Espacio M Muestral GWB GBW BWG WGB WBG BGW 3 1 1 1 0 0

En el ejemplo de los casos podemos determinar quela probabilidad asociada a cada valor de m son:mP(M=m)

0 2/6

1 3/6

3 1/6

mP(M=m)

0 1/3

1 1/2

3 1/6

o

La representacin de las probabilidades se realiza mediante una funcin de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, la cual ordena los conjuntos de pares (x,f(x))

Funcin de probabilidadesEl conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una funcin de probabilidades, una funcin masa de probabilidad o una distribucin de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado posible x, 1. () 0 2. = 1 3. = = ()o

EjemploP&E WMMY 80

Un embarque de 8 microcomputadoras similares para una tienda al detalle contiene 3 que estn defectuosas. Si una escuela hace una compra al azar de dos de estas computadoras, encuentre la distribucin de probabilidad para el nmero de defectuosas

3 0 = = 0 = 0

5 2 = 10 8 28 2

3 1 = = 1 = 1

5 1 = 15 8 28 25 0 = 3 8 28 2 3

3 2 = = 2 = 2

xf(x)

0

1

10/28 15/28 3/28

o

Si una agencia automotriz vende el 50% de su inventario de cierto vehculo extranjero equipado con bolsas de aire, encuentre una frmula para la distribucin de probabilidad del nmero de automviles con bolsas de aire entre los siguientes 4 vehculos que venda la agencia

1 0 = = 0 = 16 1 = = 1 = 4 16 6 2 = = 2 = 16

4 16 1 4 = = 4 = 16 3 = = 3 =

3.3 Variable aleatoria continua: Funcin de densidad, sus propiedades y su representacin grfica, Funcin de distribucin acumulativa, sus propiedades y su representacin grfica

Variable aleatoria continua

o

Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua se le denomina variable aleatoria continua

3.4 Valor esperado o media de la variable aleatoria discreta y de la continua y su interpretacin prctica. El valor esperado como operador matemtico y sus propiedades. Momentos con respecto al origen y a la media.

3.5 Parmetros de las distribuciones de las variables aleatorias discretas y continuas. Medidas de tendencia central: media, mediana y moda. Medidas de dispersin: rango, desviacin estndar, variancias y coeficiente de variacin. Medidas de simetra. La variancia como el segundo momento con respecto a la media y sus propiedades