Cap. 3 BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE pag. B1*3.1 TOPOLOGIE i MRIMI1523.1.1 Topologia circuitelor1523.1.2 Clasificarea circuitelor1533.1.3 Mrimi sinusoidate1553.1.4 Caracterizarea dipolului electric pasiv1593.1.5 Puteri electrice n regim permanent sinusoidal1623.2 ECUAIILE CIRCUITELOR ELECTRICE1643.2.1 Teorema lui Joubert1643.2.2 Teoremele lui Kirchhoff1663.2.3 Teorema conservrii puterilor1673.3 ELEMENTE DIPOLARE170 3.3.1 Elemente active (surse, generatoare)170 3.3.2 Rezistoare electrice172 3.3.3 Bobine electrice174 3.3.4 Condensatoare electrice17713 probleme rezolvate + 17 probleme propuse___________* - R. Morar .a.; Electrotehnic i maini electrice curs, vol.1; Lito UTC-N; 621.3/E35c

3.1 TOPOLOGIE i MRIMI3.1.1 TOPOLOGIA CIRCUITELORFig. 3.1 Reea electric (a) i schema sa topologic (b) latur poriune neramificat de circuit, pe care curentul rmne constant; nod punct de intersecie a cel puin trei laturi, sau punctul n care se unesc extremitile unei laturi nchise cu ea nsi; ochi (bucl, ciclu) o succesiune de laturi formnd o curb nchis; pentru orice reea conex (oricare dou noduri pot fi unite printr-o curb care trece numai prin laturi), numrul de ochiuri independente: o = n + 1;

fa de un sistem dat de ochiuri, un ochi este independent dac conine cel puin o latur necomun la acel sistem.

3.1.2 CLASIFICAREA CIRCUITELORnatura elementelor de circuit: - liniare; neliniare.b) regimul de funcionare: - staionar (c.c.); cuasistaionar (c.a.); nestaionar (variabil).c) legtura cu exteriorul: - izolate; neizolate: - dipol (latur); cuadripol; multipol.frecvena f = 0regimul permanent sinusoidal al circuitelor liniare de c.a.fenomene stabilizatemrimile de stare varieaz periodicce vom studia ?

Fig. 3.2 Laturi active (a, b, c); pasiv (d); generatoare (a); receptoare (b, c, d) latur - activ: e o pasiv: e = 0 latur - receptoare: p = ui > 0 (primete putere pe la borne); generatoare: p = ui < 0 (cedeaz putere pe la borne);latur activ receptoare: i u si i e; u + e = iRd) clasificarea laturilor* de circuit------------Latur de circuit electric = circuit electric (neizolat) dipolar

3.1.3 MRIMI SINUSOIDATEFig. 3.3 Producerea t.e.m. sinusoidale, prin rotirea unei bobine ntr-un cmp magnetic exterior = constant;B = constant; (t) = a) producere flux magnetic fascicular f = A-spir:NBA = const. = Em

Fig. 3.4 Caracterizarea mrimii periodice i(t) valoarea medie ptratic = valoarea efectiv (eficace): frecvena: f = 1/T [s-1] = [Hz] pulsaia: = 2/T = 2f valoarea medie:b) caracterizare perioada: T [s]- valoarea indicat de aparatele de msur

defazajul: 12 = -21 = Fig. 3.5 Faze iniiale i defazajefaza: [rad]

faza iniial: = 0: mrimi n faz; = : mrimi n opoziie de faz.

Problema 3.1.Caracterizai sinusoida tensiunii reelei monofazate de j.t. dac valoarea instantanee are expresia: u(t) = 2220 sin(100t) [V]. U = 220[V];Um= 2220 =311[V]. = 100 = 314 [rad/s];f = /2 =50 [Hz];T = 1/f = 0,02 [s] Tema 3.1 Calculai frecvena i pulsaia mrimii sinusoidale dac T = 20[ms].

Tema 3.2. Scriei ecuaia i reprezentai sinusoida tensiunii u(t), dac T = 2[ms] i valoarea maxim (de vrf) Um = 331[V] este atins la t = 0,2[ms].

Tema 3.3 Demonstrai c valoarea medie a mrimilor sinusoidale este nul.

Tema 3.4 Scriei expresia sinusoidei curentului electric, dac ampermetrul indic 2[A] iar frecvenmetrul 100[Hz]. Alegei faza iniial a curentului sinusoidal egal cu un sfert de perioad.

c) reprezentarea n complex (prin fazori)valoare efectiv modulfaz iniial argumentfazor: segment orientat ataat numrului complex IFig. 3.6 Planul complex (planul Gauss).Problema 3.2.

d) operaii cu mrimi sinusoidale reprezentate n complex ADUNAREAi = i1 + i2:Fig. 3.7 Adunarea mrimilor sinusoidale reprezentate n complex

AMPLIFICAREA CU UN SCALAR DERIVAREA INTEGRAREA

Fig. 3.8 Operaii cu mrimi sinusoidale reprezentate n complex (operaii cu fazori). >1 >1

Avantajul operaiilor cu fazori: transformarea ecuaiilor integro - difereniale (funcie de timp) n ecuaii algebrice (cu numere complexe).Fig. 3.9 Circuit RLC serieFig. 3.11 Semiplanul impedanei ZFig. 3.10 Diagrama fazorial mprire cu fazorul I = Ieji(mprire cu I i rotire cu -i)

Problema 3.3.Ce valoare indic ampermetrul, dac i1(t) = 32 sin(314t+/3)[A] i i2(t) = 5,65 sin(100t+/6)[A]. Scriei expresia sinusoideicurentului ce parcurge ampermetrul.Rezolvare indentificnd sinusoidele: I1= 3[A]; 1 = /3[rad] i I2= 5,65/2 = 4[A]; 2 = /6[rad]; fazorii curenilor:

prima teorema a lui Kirchhoff: i1 +i2 i = 0;

i(t) = 6,762 sin(314t+0,74)[A]. Tema 3.5Determinai, cu ajutorul fazorilor, valoarea efectiv, faza iniial a curentului i = i1 i2 i scriei expresia valorii instantanee i(t), dac i1(t)= 2I1sin(t+/3), i2(t)= 2I2sin(t+2/3) i I1 = 2I2 = 3[A].Tema 3.6 Deducei forma canonic n sinus a t.e.m. autoinduse n bobina de inductivitate L=3[mH] parcurs de curentul i1(t) = 32 sin(314t+/3)[A].

3.1.4 CARACTERIZAREA DIPOLULUI PASIVFig. 3.12 Dipol electric pasiv (receptor)- excitaie:- rspuns:parametri dipolului:? Caracterizare = cunoaterea valoriilor parametrilor electrici echivaleni; Parametri electrici pot fi determinai experimental, prin ncercri electrice (ncercarea de mers n gol i ncercarea la scurtcircuit de prob). 4 grupe de cte 2 parametri reali; 2 parametri complexi.

a) Impedan Z i defazaj >0 dipol cu caracter inductiv; =0 dipol cu caracter rezistiv; 0 dipol cu caracter inductiv; X=0 dipol cu caracter rezistiv; X

Fig. 3.13 Planul complex al fazorilor tensiune i curent (a) i semiplanele parametrilor impedan (b) i admitan (c).Z = Zej = Z(cos +jsin) = R + j Xc) Impedan complexa ZNu este fazor, ci operator complexI i(t)

c) Admitan Y i defazaj d) Conductan G i susceptan B

c) Admitan complex YFig. 3.14 Planul complex al fazorilor tensiune i curent (a) i semiplanele parametrilor impedan (b) i admitan (c).Nu este fazor, ci operator complexI i(t)

Problema 3.4.Ce caracter (inductiv, capacitiv sau rezistiv) are dipolul electric caracterizat de impedana complex Z = 3 + j4[].Soluie: Z = R +jX = 3 +j4; R = 3; X = +4 >0 caracter inductiv.Problema 3.5.Curentul sinusoidal, de pulsatie = 2f, frecven f = 50[Hz] i valoare efectiv I = 2[mA], parcurge rezistorul de rezisten R = 1500[]. S se calculeze: valoarea instantanee a curentului: i(t)=2Isin(t+) = 2,8310-3sin(314t+ )[A]; valoarea instantanee a tensiunii, la bornele rezistorului: u(t)=Ri =2IRsin(t+) = 4,24sin(314t+ )[V]; valoarea efectiv a tensiunii: U = RI =1500210-3 = 3[V].Problema 3.6S se calculeze curentul prin bobina de inductivitate L = 5[H], alimentat la tensiunea sinusoidal cu valoare efectiv de 3[V] i frecvena f = 20[kHz]. valoarea instantanee a tensiunii : u(t) = 2Usin(t+) = 23sin(125,7103t+)[V]; admitana bobinei: YL= 1/ ZL= 1/ L =1/(2fL) = 1,59[S]; valoarea instantanee a curentului: i(t) =2UYLsin(t+ - /2) = 24,77sin(125,7103t+ - /2)[A].

Tema 3.7Calculai impedana complex, impedana i admitana condensatorului cu capacitatea C = 33[nF], la frecvena f = 100[Hz]. Se d: X = -1/C.

Tema 3.8 Ce caracter are dipolul electric caracterizat de admitana Y = 3 + j4[S]. Justificai rspunsul.

3.1.5 PUTERI ELECTRICE n REGIM SINUSOIDALa) Puterea instantanee p(t):b) Puterea aparent S:amplitudinea puterii instantanee;putere disponibil. Se dau: Se definesc:Fig. 3.15 Dipol electric pasiv (dipol receptor)- excitaia;- rspunsul;

Fig. 3.16 Puterea instantanee p(t), activ P i aparent S.Observaii: Dac u(t) i i(t) au frecvena f, puterea p(t) are frecvena dubl: 2f. Dac 0 exist momente n care p(t)

P0 absorbit;putere util.c) Puterea activ P: factor de putere: factor de utilizare a puterii disponibile; caracterizeaz eficacitatea sistemului de distribuie a energiei electrice; distribuitorul de energie electric doreste kP ct mai mare, adic kP 1.

d) Puterea reactiv Qdipol inductiv: Q > 0, absoarbe putere reactiv; dipol rezistiv: Q = 0; transfer ntre componentele circuituluidipol capacitiv: Q < 0, debiteaz putere reactiv.

Fig. 3.17 Semiplanul puterii complexe S.d) Puterea complex SNu este fazor, ci operator complex

Problema 3.7.Un motor asincron monofazat este alimentat la tensiunea de 220[V], frecvena 50[Hz]. Motorul este receptor inductiv, care poate fi reprezentat prin impedana complex Z = R + jX = 42 + j26[]. Calculai puterile electrice absorbite de motor.RezolvareTema 3.9 Problema precedent rezolvat n complex. Calculai i inductivitatea motorului.Tema 3.10Rezistorul cu R = 3[] disip P = 675[W]. Care este valoarea efectiva a curentului i valoarea efectiv a tensiunii la bornele rezistorului?Tema 3.11 Ce caracter (rezistiv, inductiv sau capacitiv) are dipolul care absoarbe att putere activ ct i putere reactiv. Justificai rspunsul.

Problema 3.8.O bobin real cu rezistena R = 6[] i inductivitatea L = 15[mH] este alimentat cu tensiunea u(t) = 224sin(314t)[V]. Calculai parametrii electrici ai bobinei i puterile electrice absorbite de aceasta.

Rezolvare: Valoarea efectiv, pulsaia, frecvena i faza iniial a tensiunii snt: U = 24[V]; = 100 = 314[rad/s]; f = /2 = 50[Hz]; u = 0. Reactana: X=L= 1001510-3 = 4,71[], permite calculul impedanei i defajazului: Z = (R2+X2)1/2 = 7,63[]; = arctgX/R = arctg4,71/6 = 0,66[rad] = 380. Valoarea efectiv, faza iniial i expresia curentului absorbit: I = U/Z = 24/7,63 = 3,13[A]; i= u- = -0,66[rad]; i(t) = 23,14sin(314t-0,66)[A]. Puterile activ i reactiv consumate de bobin: P = RI2 = UIcos = 59,3[W]; Q = XI2 = UIsin = 46,6[var]. Utiliznd simbolurile complexe ale mrimilor i parametrilor: U = Ueju = 24[V]; I = Ieji = 3,14e-j0,66 = 2,47-j1,94[A]; Z = Zej = R+jX = 6+j4,71[]; S = ZI2 = UI* = 24(2,47+j1,94) = 59,3 + j46,6[VA].

Tema 3.12Calculai impedana i admitana unui condensator de capacitate C =47[nF], la frecvena f = 100[kHz]. Repetai calculele pentru bobina cu inductivitatea L = 3,3[H]. Calculai valorile maxime ale tensiunii la bornele acestor elemente ideale de circuit parcurse de curentul sinusoidal de frecvena f i valoare efectiv I = 5[mA].

Tema 3.13 La ce tensiune se poate alimenta un rezistor cu caracteristicile: P = 1[W] i R =10[k]?

Tema 3.14 Un motor de c.a. monofazat, alimentat la tensiunea U = 220 [V], absoarbe puterea activ P = 2 [kW], la cos = 0,8. S se calculeze parametri dipolului receptor constituit de motor, puterea reactiv i puterea aparent.

3.2.1 FORMA COMPLEX a LEGII lui OHMTeorema lui Joubert legea conduciei electrice, n regim cuasistaionar, pentru o latur de circuit electric.Fig. 3.18 Latur activ i receptoare.kk+1( )( )( )( )corespondena operatiilor+Uk uk ik; +Ek ek ik; k

3.2.2 TEOREMELE lui KIRCHHOFF+Ik ik iese din nod+Uk uk o; +Ek ek o; +Ik ik o;a) prima teorem nodul (n)b) a doua teorem ochiul (o)Fig. 3.19 Nod electrocineticFig. 3.20 Ochi de circuit electricn

Fig. 3.21 Calculul tensiunii ntre dou noduriAPLICAIEProblema 3.9Aplicati teorema lui Joubert laturii active formate din impedana Z = R + jX, nseriat cu o sursa de tensiune contraelectromotoare (t.c.e.m.). SoluieU12 E = I(R + jX)Uk = +U12 u12 i; Ek = - E e i;

3.2.3 TEOREMA CONSERVRII PUTERILOR- se conserv att puterile active ct i cele reactiveFig. 3.22 Latur activ i receptoare(reea izolat: -laturi; o -ochiuri independente)

3.3. ELEMENTE de CIRCUIT DIPOLARE3.3.1. ELEMENTE ACTIVE (SURSE, GENERATOARE)3.3.2. REZISTOARE ELECTRICE3.3.3. BOBINE ELECTRICE3.3.4. CONDENSATOARE ELECTRICEelement activ (e 0)pasiv (e = 0)rezistor;bobin;condensator.

3.3.1. ELEMENTE ACTIVE (SURSE, GENERATOARE)Fig. 3.23 Generator ideal de tensiune (a), ideal de curent (b) i generator real (c). n c.a. sinusoidal: - generatorul real are caracter inductiv; - este caracterizat de t.e.m. sinusoidal E = Eej i de impedana complex Zg = 1/Yg

3.3.2. REZISTOARE ELECTRICEa) rezistor liniar: R = const. f(u,i)Fig. 3.24 Rezistor liniar n c.a.P = RI2 = U2/R; Q = 0.Impedana este independent de frezistorul liniar absoarbe numai putere activu= 0

b) rezistor neliniar: R const. = f(u,i)Fig. 3.25 Caracteristica volt-amper a rezistoarelor neliniare: a) termistor; b) varistor; c) diod semiconductoare.

Fig. 3.26 Codul de culori pentru marcarea rezistoarelor electroniceCategorii de rezistoare: fixe; variabile; neliniareUtilizare: producerea local unei cderi de tensiune; transformarea energiei electrice n energie termic (cldur).Tehnologie: rezistoare chimice; rezistoare bobinate; rezistoare cu pelicul.Mrimi caracteristice: puterea disipat; rezistena; tolerana.

culoareabanda 1banda 2banda 3banda 4banda 5Negru000x 1Maro111x 101%Rosu222x 1002%Portocaliu333x 1,000Galben444x 10,000Verde555x 100,0000.50%Albastru666x 1060.25%Violet777x 1070.10%Gri888x 1080.05%Alb999x 109Auriux 0.15%Argintiux 0.0110%

3.3.3. BOBINE ELECTRICEa) bobina ideal (fr pierderi): L = const. f(,i); R = 0. inductivitate = inductan: L = /i; [H = Wb/A]R = 0;X = +L; = +/2;ZL= LP = 0;Q = LI2 > 0; absorbita impedana bobinei variaza liniar cu frecventa f; la f = 0 (c.c.) impedana este nul (scurtcircuit).Fig. 3.27 Bobina electric ideal n c.a. sinusoidalu= 0

Bobine fr miez ( cu aer: r= 1): inductivitate perfect liniar;frecven mare, care ar cauza pierderi exagerate n miez feromagnetic. Bobine cu miez feromagnetic (nchis, sau cu ntrefier): tol silicioas de oel electrotehnic: r= 103 105; ntrefierul liniarizeaz caracteristica de magnerizare; utilizate la frecvene industriale (sute Hz): p1,0/50=1[W/kg]. Bobine cu miez ferimagnetic: ferite = materiale semiconductoare sinterizate: MeO Fe2O3; utilizate la frecvene mari i foarte mari (kHz GHz). B = 1[T];f = 50[Hz].

b) bobina cu pierderi (real): L const. = f(,i); R 0.Fig. 3.28 Schemele echivalente serie (a) i paralel (b) ale bobinei reale i diagramele fazoriale.- n rezistena proprie pR; - prin histerezis magnetic pH; - prin cureni turbionari pT pierderi:U =UR+UL= RsI+jLsI = /2 - ; = unghi de pierderi.P = UIcos = pR+pH+pTpR = pCU : pierderi n nfurarepH + pT = pFe: pierderi n miez metoda celor 3 aparate: P[W]; U[V]; I[A]Zs= Rs+ jLsP = UIcos = UIsin scheme echivalente:

Problema 3.10.Calculul parametrilor unei bobine reale, prin metoda celor 3 aparate. Se dau valorile msurate: I = 1[A]; U = 100[V]; P = 10[W]; f = 50[Hz].Soluie: alegem schema echivalenta serie: Z = Rs+ jLsRs = P/I2 = 10[]; Ls =U2I2 - P2 /(2fI2) = 0,316[H];X = 2fL = 99,5[]; kP = cos = P/UI = 0,1Problema 3.11.O bobin cu miez de fier are rezistena ohmic (n c.c.) R = 6,4[]. Alimentat cu tensiunea sinusoidal cu valoarea efectiv U = 220[V] i frecvena f =50[Hz], bobina absoarbe puterea activ P = 400[W], la un curent I = 4[A]. Se cer:a) parametri schemei echivalente serie;b) factorul de putere i puterea reactiv absorbit; c) pierderile de putere n nfurarea bobinei i pierderile n miez.Rezolvare:a) Rs = P/I2 = 400/42 = 25[]; Ls =U2I2 - P2 /(2fI2) = 0,138[H]; De precizat c rezistena echivalent Rs nglobeaz att rezistena ohmic ct i rezistena datorat pierderilor n miezul feromagnetic (Rs = R + RFe; 25[] = 6,4[] + RFe).

Tema 3.14Care din valorile impedanelor de mai jos, caracterizeaz o bobin real i care o bobin ideal: Z=1+j2[], Z= 1-j2[], Z= 1[], Z= +j2[], Z= -j2[]. Justificai alegerea fcut. b) kP = cos = P/(UI) = 400/(2204) = 0,45; Q = S2-P2 = U2I2-P2 = 693[var].c) - pierderile n nfurri = pierderi n rezistena ohmic; pCu = RI2 = 6,442 = 102,4[W]; - pierderile n miez: pFe = P - pCu = RFeI2 = (400 102,4) = (18,642) = 197,6[W].

3.3.4. CONDENSATOARE ELECTRICEa) condensatorul liniar (fr pierderi): C = const. f(q,u). capacitate: C = q/u; [F = C/V]P = 0;Q = -CU2 < 0; debitataFig. 3.29 Condensator liniar (fr pierderi) impedana condensatorului variaz invers proporional cu frecvena; la f=0 (c.c.) impedana condensatorului este infinit (ntrerupere de circuit).0

Clasificarea condensatoarelor dup: geometria armturilor: rulate, plane, tubulare, plachete; tipul dielectricului: aer, hrtie, ceramic, mic, oxid metalic (Al2O3; Ta2O5); domeniu de utilizare: electronic, electrotehnic, nalt tensiune.Familii de condensatoare: fixe neelectrolitice: hrtie mpregnat, mic, film termoplastic (poliester, policarbonat, polipropilen, poliester), sticl, ceramic, ulei, gaz etc; fixe electrolitice: oxid metalic, polarizate / nepolarizate; variabile / ajustabile (trimer): aer, ceramic, film plastic; neliniare: diode varicap - folosite n automatizri.

b) condensatorul real (cu pierderi): P 0; -/2- imperfeciunilor dielectricului; - polarizrii ciclice a dielectricului pierderi datorate:I = IR+IC = U/RP+jCPU = -/2 + ; = unghi de pierderi. metoda celor 3 aparate: P[W]; U[V]; I[A]Fig. 3.30 Scheme echivalente serie (a) i paralel (b) ale condensatorului real i diagramele fazoriale.nclzirea dielectricYp = 1/Rp +jC scheme echivalente:

Fig. 3.31 Pierderi n dielectricul condensatorul (a). Instalaia de nclzire dielectric (b). uscarea n volum a materialelor izolatoare (lemn, corpuri abrazive etc.); lipirea maselor plastice; - aparate electrocasnice (cuptor cu microunde etc). Utilizri:nclzirea dielectric

Problema 3.12.Care din valorile admitanelor de mai jos, caracterizeaz un condensator real i care un condensator ideal: Y = 1 + j2[S], Y =1 - j2[S], Y = 1[S], Y = +j2[S], Y = - j2[S]. Justificai rspunsul ales.Problema 3.13n vederea determinrii experimentale a parametrilor unui condensator, acesta se alimenteaz cu tensiunea U = 50[V] de frecven f = 50[Hz], absorbind curentul I = 0,28[A] i puterea activ P = 850[mW]. S se calculeze unghiul de pierderi n dielectricul condensatorului i parametrii schemei echivalente paralel.Rezolvare:cos = sin = P/(UI) = 0,85/(500,28) = 0,061; = arcsin0,061 = 3030= 0,06[rad].RP = U2/P = 502/0,85 = 2941[] = 2,941[k]; CP = (U2I2-P2)1/2/(2fU2) = 17,810-6[F] = 17,8[F].

Caracterizarea elementelor ideale de circuit

Element de circuitRezistorBobinCondensatorEcuaia tensiunii funcie de timpu = Riu = Ldi/dtu =1/CidtEcuaia tensiunii n complexUR= RIUL= jLIUC= I / jCImpedana complex Z = R + jXZR= RZL= jLZC= -j / CAdmitana complex Y = G - jBYR= 1/ RYL= -j / LYC= jCDefazajul R = 0L = +/2R = /2Impedana ZZR= RZL= LZC= LAdmitana YYR= 1/ RYL= 1 / LYC= CRezistena RRR= RRL= 0 (serie)RC= 0 (serie)Reactana XXR= 0XL= +LXC= -1/CConductana GGR= 1/ RGL= 0 (paralel)GC= 0 (paralel)Susceptana BBR= 0BL= -1 / LBC= +CPuterea complex S = P + jQSR= RI2 + j0SL= 0 + jLI2SC= 0 jCU2Factorul de putere kP = coscos = 1cos = 0cos = 0

Tema 3.15Reprezentai variaia rezistenei electrice cu frecvena, pentru elementele de circuit ideale: rezistor, bobin i condensator.

Tema 3.16 Explicai comportarea bobinei i condensatorului n c.a., dac frecvena f.

Tema 3.17 Un condensator plan are caracteristicile: suprafaa armturilor A = 1[m2], distana dintre armturi d = 5[mm], permitivitatea relativ a dielectricului r= 2,5 i tangenta unghiului de pierderi n dielectric tg = 10-3. Care snt capacitatea condensatorului i pierderile n dielectric, dac este alimentat cu tensiunea U = 1[kV] i frecvena f = 1[kHz]?