8/13/2019 2.4. Oscilacije
1/33
FIZIKAFIZIKA11
Prof. dr.Prof. dr. RajfaRajfa MusemiMusemi20020099/2010/2010 godgod
MaMainski fakultetinski fakultetSarajevoSarajevo
8/13/2019 2.4. Oscilacije
2/33
OscilacijeOscilacije
Harmonijske oscilacijeHarmonijske oscilacije
Energija harmonijskih oscilacijaEnergija harmonijskih oscilacija
Harmonijski oscilatorHarmonijski oscilator
Slaganje harmonijskih oscilacijaSlaganje harmonijskih oscilacijaMatematiMatematiko/fiziko/fiziko klatnoko klatno
PriguPriguene i prisilne oscilacijeene i prisilne oscilacije
8/13/2019 2.4. Oscilacije
3/33
OscilacijeOscilacije -- titranjatitranja
OscilovanjeOscilovanje -- kretkretanje ili promjena fizianje ili promjena fizikogkogprocesa koje se odlikuje odreenim stepenomprocesa koje se odlikuje odreenim stepenomponavljanjaponavljanja..
U zavisnosti od prirode fiziU zavisnosti od prirode fizikog procesa koji sekog procesa koji seponavlja, oscilacije dijelimo na:ponavlja, oscilacije dijelimo na:
mehanimehanike, elektromagnetske ike, elektromagnetske ielektromehanielektromehanike.ke.
U zavisnosti od karaktera djelovanja naU zavisnosti od karaktera djelovanja naoscilatorni sistem razlikujemo:oscilatorni sistem razlikujemo: slobodne,slobodne,prigupriguene i prisilne oscilacije.ene i prisilne oscilacije.
Ako se veliAko se veliina koja oscilira mijenja po zakonuina koja oscilira mijenja po zakonusinusa ili kosinusa u funkciji vremenasinusa ili kosinusa u funkciji vremena to suto suharmonijske oscilacije /harmonijska titranja/.harmonijske oscilacije /harmonijska titranja/.
8/13/2019 2.4. Oscilacije
4/33
Harmonijske oscilacijeHarmonijske oscilacije
Sistem sesastoji od
kuglice mase m
koja je objeena
na elastinu
oprugu. U stanju
ravnotee sila,
silu teine mguravnoteuje
elastina sila
(Hookeov
zakon):
0lkmg
8/13/2019 2.4. Oscilacije
5/33
Harmonijske oscilacijeHarmonijske oscilacije
Ako pomjerimo kuglicu iz ravnoteAko pomjerimo kuglicu iz ravnotenognog
polopoloaja na rastojanje xaja na rastojanje x
Zbog uslova ravnoteZbog uslova ravnotee dobija see dobija se
)( 0 xlkmgF
kxF Sila Fima osobine:
proporcionalna je pomjeranju kuglice iz poloaja
ravnotee i
uvijek je usmjerena prema poloaju ravnotee.
Za sile koje se ponaaju po istoj zakonitosti kaemo da su
kvazielastine.
8/13/2019 2.4. Oscilacije
6/33
Harmonijske oscilacijeHarmonijske oscilacije
Sistem u kojem djeluje kvazielastiSistem u kojem djeluje kvazielastina sila, prina sila, pripomjeranju iz ravnotepomjeranju iz ravnotenog polonog poloaja naaja narastojanjerastojanjexx dobivadobiva potencijalnu energijupotencijalnu energiju::
Pomjeri se kuglica zaPomjeri se kuglica zaxx==AA i pusti da osciluje.i pusti da osciluje.Pod dejstvom silePod dejstvom sile F =F = --kxkxkuglicakuglica e se kretatie se kretatiprema ravnoteprema ravnotenom polonom poloaju brzinomaju brzinom v=dx/dtv=dx/dt
AAje najveje najvea udaljenost od ravnotea udaljenost od ravnotenognogpolopoloaja i zove seaja i zove se AMPLITUDAAMPLITUDA..
2
0 02
x x
p
kx
E Fdx kx dx
8/13/2019 2.4. Oscilacije
7/33
8/13/2019 2.4. Oscilacije
8/33
RjeRjeenje:enje:
Grafik otklona u funkciji vremenaGrafik otklona u funkciji vremena
Faza oscilovanjaFaza oscilovanja
)cos( tAx
)( t
8/13/2019 2.4. Oscilacije
9/33
--popoetna faza,etna faza, --krukruna frekvencijana frekvencija
Period oscilovanjaPeriod oscilovanja
FrekvencijaFrekvencija ffjejereciprorecipronana
vrijednost periodavrijednost perioda
1Hz = s1Hz = s--11
2T
fT
f 21
8/13/2019 2.4. Oscilacije
10/33
Ubrzanje i elongacija oscilovanja su uUbrzanje i elongacija oscilovanja su u
protufaziprotufazi
Brzina oscilovanjaBrzina oscilovanja
UbrzanjeUbrzanje
Iz poIz poetnih uslovaetnih uslova
ZaZa t=0 x = xt=0 x = x00ZaZa t=0, v = vt=0, v = v00
)sin( tAdt
dxv
)cos(22
2
tAdt
xda
2
202
0
vxA
0
0
xvtg
)cos( tAx
8/13/2019 2.4. Oscilacije
11/33
Energija harmonijskog oscilovanjaEnergija harmonijskog oscilovanja
KvazielastiKvazielastina sila je konzervativna, pa jena sila je konzervativna, pa jeukupna energija harmonijskogukupna energija harmonijskog
oscilovanja konstantnaoscilovanja konstantna..
Maksimalna potencijalna energijaMaksimalna potencijalna energija sese
dobije kada se sistem nalazi na najvedobije kada se sistem nalazi na najveemem
otklonu od ravnoteotklonu od ravnotenog polonog poloaja:aja:
EEpmaxpmax= (kx= (kxmaxmax))22/2/2
2
)(2
max
kAEp
22)(
222
maxmax
mAmvEk
Kada sistem prolazi kroz RP
kinetika enrgija je max, a
potencijalna =0.
8/13/2019 2.4. Oscilacije
12/33
Energija slobodnih oscilacijaEnergija slobodnih oscilacija
Ukupna energijaUkupna energija tijela koje slobodno titratijela koje slobodno titrajednaka je sumi njegove kinetijednaka je sumi njegove kinetike energijeke energije
ii elastielastine potencijalne energijene potencijalne energije
Energija sistema koji prosto harmonijski titra stalno se mijenja iz kinetike
u potencijalnu i nazad, a ukupna mehanika energija ne mijenja se u
vremenu. Prosti harmonijski oscilator je konzervativni sistem.
8/13/2019 2.4. Oscilacije
13/33
Harmonijski oscilatorHarmonijski oscilator
-- sistem koji vrsistem koji vriiharmonijska titranja okoharmonijska titranja okopolopoloaja ravnoteaja ravnotee:e:
Impuls harmonijskogImpuls harmonijskog
oscilatoraoscilatora::
Kvadriranjem i sabiranjemKvadriranjem i sabiranjemposljednje dvije jednaposljednje dvije jednaine dobijamo:ine dobijamo:
GrafiGrafiki predstavljen impulski predstavljen impulsharmoniharmoninog oscilatora u funkcijinog oscilatora u funkciji
otklonaotklonaxx, daje elipsu., daje elipsu.Ukupna energija harmoniUkupna energija harmoninognogoscilatoraoscilatoraje proporcionalnaje proporcionalnapovrpovrini elipse, priini elipse, pri emu jeemu jekoeficijent proporcionalnosti vlastitakoeficijent proporcionalnosti vlastitafrekvencija oscilatora:frekvencija oscilatora:
)cos( tAx
)sin( tmAmvp
1222
2
2
2
m
px
pdxfmAfSfE 2
8/13/2019 2.4. Oscilacije
14/33
Slaganje harmonijskih oscilacijaSlaganje harmonijskih oscilacija
Pri istovremenom djelovanju viPri istovremenom djelovanju vie elastie elastinih sila nanih sila na
oscilator onoscilator on e vre vriti sloiti sloeno kretanje, kojeeno kretanje, koje e bitie biti
jednako geometrijskom zbiru pojedinih oscilacija.jednako geometrijskom zbiru pojedinih oscilacija.
RjeRjeavanjeavanje sese znatno olakznatno olakava ako se oscilacijeava ako se oscilacije
predstave pomopredstave pomou, tzv.u, tzv. vektora amplitudevektora amplitude..Kada vektor amplitude intenziteta A, rotiramoKada vektor amplitude intenziteta A, rotiramo
ugaonom brzinomugaonom brzinom za ugaoza ugao oko zadane ose,oko zadane ose,
tadatada e se projekcija tog vektora na osu pomjeratie se projekcija tog vektora na osu pomjerati
po osi u granicama odpo osi u granicama odA do +A i njena veliA do +A i njena veliinaina eese mijenjati s vremenom po zakonu kosinusase mijenjati s vremenom po zakonu kosinusa
dakle vrdakle vriie proste harmonijske oscilacijee proste harmonijske oscilacije
8/13/2019 2.4. Oscilacije
15/33
SLAGANJE oscilacijaSLAGANJE oscilacija
Promatrajmo slaganjePromatrajmo slaganjedvije harmonijskedvije harmonijske
oscilacijeoscilacije istog smjeraistog smjera
i iste frekvencije.i iste frekvencije.
RezultirajuRezultirajueepomjeranjepomjeranje tijela vrtijela vritit
e se po istoj pravoje se po istoj pravoj
tako da je jednakotako da je jednako
algebarskom zbiru obaalgebarskom zbiru oba
pomjeranja:pomjeranja:
)cos()cos( 221121 tAtAxxx
8/13/2019 2.4. Oscilacije
16/33
Vektor AVektor A predstavljapredstavlja vektor amplitudevektor amplitude
rezultujurezultujue oscilacijee oscilacije..
PrimjenomPrimjenom kosinusnekosinusne teoremeteoreme dobijamodobijamo::
AkoAkojeje faznafazna razlikarazlika izmeizmeuu dvijedvije oscilacijeoscilacije
konstantnakonstantna,, oscilovanjaoscilovanja sese nazivajunazivajukoherentnakoherentna
)cos(2 12212
2
2
1
2 AAAAA
2211
2211
coscos
sinsin
AA
AA
tg
8/13/2019 2.4. Oscilacije
17/33
SLAGANJE oscilacijaSLAGANJE oscilacija
AkoAkojeje faznafazna razlikarazlikajednakajednaka nulinuli iliili n2
1)cos( 12 21 AAA
Ako je fazna razlika jednaka)12( n
1)cos( 12
21 AAA
8/13/2019 2.4. Oscilacije
18/33
MatematiMatematiko klatnoko klatno
MatematiMatematiko klatnoko klatno sastojisastojise od tase od takaste masekaste mase mm
objeobjeene na nerastegljivuene na nerastegljivu
vrlo laganu nit duvrlo laganu nit duineine ll..
MatematiMatematiko klatno oscilujeko klatno oscilujeharmonijski samo zaharmonijski samo za malemale
amplitudeamplitude, dok je, za ve, dok je, za veee
amplitude, period klatnaamplitude, period klatna
funkcija amplitude.funkcija amplitude.
8/13/2019 2.4. Oscilacije
19/33
MatematiMatematiko klatnoko klatno
PoPoto jeto je
JednaJednaina mat. klatna jeina mat. klatna je
2
2, t
dv l a l l
dt
sinsin2
2
mgdt
dmlmgmaF t
8/13/2019 2.4. Oscilacije
20/33
MatematiMatematiko klatnoko klatno
UU slusluajuaju malihmalihpomjeranjapomjeranja::
JednaJednaina jeina je
Njeno rjeNjeno rjeenjeenje
Gdje jeGdje je
sin
02
2
l
g
dt
d
)sin(0 t
l
g 2
lT
g
8/13/2019 2.4. Oscilacije
21/33
PriguPrigueneene oscilacijeoscilacije
PriguPrigueneene oscilacijeoscilacije susu oneone oscilacijeoscilacijekodkod kojihkojih dolazidolazi dodo gubitakagubitaka energijeenergije ii
prestankaprestanka titranjatitranja elastielastinene oprugeopruge nakonnakon
odreenogodreenog vremenavremena
Sila trenja koja se suprotstavlja kretanju jeSila trenja koja se suprotstavlja kretanju je
proporcionalna brziniproporcionalna brzini
mk0 Oznake: 0 vlastita frekvencija
nepriguenog oscilatora, a = b/2m faktor
priguenja
tr
d xF bv b
dt
8/13/2019 2.4. Oscilacije
22/33
PriguPrigueneene oscilacijeoscilacije
Jedn. kretanja na osnovu IIJedn. kretanja na osnovu IINewtonovog zakona se moNewtonovog zakona se moe napisatie napisati
kaokao mmaa == FFelel ++ FFtrtr
02 202
2
xdt
dx
dt
xd
20 k
m
faktor priguenja.
2bm
8/13/2019 2.4. Oscilacije
23/33
RjeRjeenje:enje:
)sin()( tAetx t
22
0
)cos()sin()( teAteAdt
dxtv tt
)sin()cos(2)sin()( 222
2 teAteAteA
dtxdta ttt
8/13/2019 2.4. Oscilacije
24/33
PriguPriguene oscilacijeene oscilacije -- grafikgrafikAmplituda opada eksponencijalno s vremenom;Amplituda opada eksponencijalno s vremenom; to je faktor priguto je faktor priguenjaenja
vevei, to i amplituda bri, to i amplituda bre opadae opada. Energija se gubi na savladavanje sile. Energija se gubi na savladavanje siletrenja.(trenja.( umjestoumjesto ). Prigu). Priguenje smanjuje frekvenciju oscilovanjaenje smanjuje frekvenciju oscilovanja
Primjer:Primjer:-- tijelo koje visi na vertikalnoj opruzi a uronjeno je utijelo koje visi na vertikalnoj opruzi a uronjeno je u
viskoznu sredinu.viskoznu sredinu.
8/13/2019 2.4. Oscilacije
25/33
mk
mb
mFAtFF
tAsdt
ds
dt
sd
tFdt
ds
bksdt
sd
m
20
000
0
2
02
2
02
2
,2
,,sin
sin2
sin
Prinudne prisilne oscilacijeU realnim situacijama postoje disipativne sile koje priguuju
titranje, pa tijelo nakon nekog vremena prestaje titrati.
Da bi se nadoknadila energija titranja, na sistem djeluje vanjska(periodina) sila. Posljedica djelovanja takve sile biti e titranje
sistema frekvencijom vanjske sile, nakon prijelaznog vremena.
8/13/2019 2.4. Oscilacije
26/33
8/13/2019 2.4. Oscilacije
27/33
Rezonantna frekvencija manja je od vlastite
frekvencije, a razlika je manja to je priguenje manje.
U graninom sluaju (bez trenja) r=0.U idealnom sluaju pri rezonanciji bi amplituda bila
beskonana.
8/13/2019 2.4. Oscilacije
28/33
8/13/2019 2.4. Oscilacije
29/33
Vlastite frekvencijeVlastite frekvencije
pojedinih dijelova tijelapojedinih dijelova tijela
trbutrbuna masa 4na masa 4--8 Hz8 Hz
kikima 7 Hzma 7 Hz
glava i vrat 30 Hzglava i vrat 30 Hz
oona jabuna jabuica 80 Hzica 80 Hz
8/13/2019 2.4. Oscilacije
30/33
Lissajousove krive-figure
Kada na materijalnu taku djeluju dvije meusobno okomite
harmonijske sile, estica istovremeno obavlja dva meusobnookomita harmonijska titranja:
gdje je fazna razlika izmeu titranja u smjeru ose y i titranja
u smjeru ose x. Putanja estice bit e 2D krivulja zadana
parametarskim jednadbama. Budui da su amplitude A1 i A2,
putanja estice uvijek e biti upisana u pravougaonik 2A1 i 2A2.
)sin(sin2211
tAytAx
A1=2 A
2=1 A
1=4 A
2=3 A
1=8 A
2=9
)sin(sin2211
tAytAx
8/13/2019 2.4. Oscilacije
31/33
Frekvencije oba oscilovanja jednake, 1=2
Eliptiki polarizirano sloeno oscilovanje
8/13/2019 2.4. Oscilacije
32/33
Frekvencije nisu jednake, 1 : 2= 1 : 2
8/13/2019 2.4. Oscilacije
33/33
Primjeri neharmonijskih funkcijaPrimjeri neharmonijskih funkcija
Na slici su stubiNa slici su stubiima prikazani udjeli pojedinihima prikazani udjeli pojedinih
harmonijskih komponenti uharmonijskih komponenti u
neharmonijskimneharmonijskim funkcijama. Frekvencije vifunkcijama. Frekvencije viihih
lanova u Fourierovu razvoju su cjelobrojnilanova u Fourierovu razvoju su cjelobrojni
viviekratnici frkvencijeekratnici frkvencije prvogprvog lana u razvoju. Te selana u razvoju. Te se
frekvencije zovufrekvencije zovu vivii harmonici.i harmonici.