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Revisões de Camada Limite Laminar Matéria:

– Introdução à Camada limite;

– Camada limite confinada e não-confinada;

– Escoamentos de corte livre e Esteira;

– Camadas limites laminares e turbulentas;

– Separação da camada limite;

– Equações para CL delgada;

– Efeito do gradiente longitudinal sobre a evolução da camada limite.

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Introdução à camada limite

Filmes (6), 88, 89

MFM: BL, Impulsive Started Flow, Overview

MFM: BL, BL Concepts,Viscous effects near boundaries

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Introdução à camada limite Camada limite: região na vizinhança de uma parede

onde se fazem sentir os efeitos viscosos/difusivos e dissipação de energia mecânica

U U

x

y Escoamento exterior invíscido

Camada limite: significativoyu

(x)

Espessura da camada limite: u0,99 U

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Introdução à camada limite Linhas de corrente sobre uma placa plana:

1. As linhas de corrente afastam-se lentamente da parede. Porquê?

U U

x

yLinha limite da CL

Linha de corrente

2. Esse afastamento é mais intenso nas linhas de corrente exteriores à CL. Porquê?

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Introdução à camada limite Notas sobre a camada limite:

1. A camada limite pode ser laminar ou turbulenta.

2. A camada limite diz-se delgada se (x)<<x

3. A camada limite diz-se confinada se não puder crescer livremente (ex: num tubo ou entre placas).

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Introdução à camada limite Camada limite confinada:

(x) zona de perfil desenvolvidoregião de entrada

camada limite

Escoamento exterior

1. Na região de entrada: a velocidade aumenta na zona central (para manter o caudal) e a pressão baixa (eq. Bernoulli) –> dp/dx<0.

2. Após a união das CL todo o escoamento é de camada limite, e, no caso de CL turbulenta, a dimensão dos vórtices é

limitada a d. Rx

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Introdução à camada limite Camada limite não-confinada (escoamentos exteriores):

1. não é limitado, vai crescendo com a distância x (distância ao início da CL).

2. Perfil de velocidades adimensional pode estabilizar.

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Introdução à camada limite

Outros escoamentos de corte (transporte convectivo longitudinal de quantidade de movimento afectado por difusão transversal):

o Escoamentos de corte livre: ex: jacto livre

o Esteira: zona do escoamento resultante da junção das CL sobre as duas faces da placa

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Introdução à camada limite Passagem de regime laminar a turbulento:

Ux

viscosas forças

inércia forçasRe x – distância ao início da CL

• Início da CL: 0x 0Re Escoamento laminar

• Placa suficientemente longa: Re aumenta

Re crítico (5105)

Passagem a turbulento

00 yyu muito elevado

00 yyu reduz-se

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Introdução à camada limite Regiões da camada limite turbulenta:

– Sub-camada linear ou laminar;– Camada de transição;– Zona de perfil logarítmico;– Zona exterior (vórtices turbulentos misturados com escoamento exterior não-turbulento).

mfm – BL/ Instability, Transition and Turbulence:Boundary Layer transitionFully turbulent BL flowInstability and transition in pipe and duct flow

Fully turbulent duct flow

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Equações da camada limite laminar delgada (<<x) sobre placa plana

Escoamento estacionário, e constantes. pois as linhas de corrente são

ligeiramente divergentes0 yp

dxdpxp e

2

2

2

21

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

Equação de Navier-Stokes 2D na direcção x:

quando comparado com 2

2

y

u

dxdpe

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Equações da camada limite laminar delgada (<<x) sobre placa plana

2

21

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu e

Equação de camada limite laminar 2D delgada (<<x) para placa plana:

pe – pressão exterior, pode ser calculada pela equação de Bernoulli, visto não haver efeitos viscosos no exterior da CL

Nota 1. A placa pode ser considerada plana se for muito menor que o raio de curvatura local

Nota 2. No ponto de separação a CL cresce muito e deixa de ser delgada.

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z

wu

y

vu

x

uu

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu e

2

21

Equações da camada limite turbulenta delgada (<<x) sobre placa plana

Equação de camada limite turbulenta 2D delgada (<<x) para placa plana:

Resultante das Tensões de Reynolds (notar o termo em w’)

0 0

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Separação da camada limite Separação da camada limite: inversão do escoamento

por acção de um gradiente de pressão adverso (pressão cresce no sentido do escoamento) + acção viscosa

mfm: BL / Separation / Flow over edges and blunt bodies

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Separação da camada limite Separação da camada limite: inversão do escoamento

por acção de um gradiente de pressão adverso (pressão cresce no sentido do escoamento) + acção viscosa

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Separação da Camada Limite Equação de camada limite laminar 2D delgada

(<<x) para placa plana:

2

21

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu e

Junto à placa (y=0) u=v=0 :

dx

dp

y

u e

y1

0

2

2

Mesmo resultado para camada limite turbulenta, pois junto à placa há a sub-camada linear ou laminar.

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Separação da Camada limite Exterior da camada limite: 0

2

2

y

u

O gradiente de pressão exterior pode ser:o dpe/dx=0 <–> U0 constante (LC exteriores paralelas):

o dpe/dx>0 <–> U0 decrescente (LC exteriores divergentes):o dpe/dx<0 <–> U0 crescente (LC exteriores convergentes):

Junto à placa (y=0) u=v=0 :

dx

dp

y

u e

y1

0

2

2

mesmo sinal

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Gradiente de pressão nulo:dpe/dx=0 <–> U0 constante (LC exteriores paralelas):

y

u

Ponto de inflexão na parede

Não pode ocorrer inversão (separação) da camada limite

02

2

yy

u

00

2

2

yy

u

Separação da Camada limite

Curvatura do perfil de velocidades não muda

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Gradiente de pressão favorável:dpe/dx<0 <–> U0 crescente (LC exteriores convergentes):

02

2

yy

u y

00

2

2

yy

u

Perfil mantém a curvatura

Não é possível haver separação da CL

Separação da Camada limite

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Gradiente de pressão adverso:dpe/dx>0 <–> U0 decrescente (LC exteriores divergentes):

02

2

yy

u

00

2

2

yy

u

Perfil altera a curvatura

É possível haver separação da CL

y

P.I.

Separação da Camada limite

CL separada

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Resultante das forças viscosas:2

2

y

u

anula-se com a velocidade

não pode provocar por si só estagnação do fluido (menos ainda a inversão – separação - da CL)

Separação da Camada limite

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Acção do gradiente longitudinal de pressão:

0dx

dpe (L.C. exteriores convergentes)

0dx

dpe (L.C. exteriores divergentes)

contraria acção viscosa reforça acção viscosa

perfis de velocidade mais cheios

perfis de velocidade menos cheios

...11

dx

dp

ux

u e

reduz crescimento da CL aumenta crescimento da CL

Separação da Camada limite

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Acção do gradiente longitudinal de pressão:

perfis de velocidade mais cheios

perfis de velocidade menos cheios

...11

dx

dp

ux

u e

reduz crescimento da CL aumenta crescimento da CL

Perfis mais cheios resistem melhor a gradientes adversos de pressão

Escoamentos turbulentos (perfis mais cheios) resistem melhor a gradientes adversos de pressão

Separação da Camada limite

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Separação da Camada limite

Gradiente longitudinal adverso e intenso, não provoca separação => não há forças viscosas

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Na ausência de forças viscosas não há separação:

(ds deslocamento sobre a LC)

V=0 (ponto de estagnação) 0ds

dp

ds

dp

ds

dVV

1

Separação da Camada limite

Resultante daForça de pressão

não há inversão do escoamento

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MECÂNICA DOS FLUIDOS II Conceitos:

– Camada limite;

– Espessura da camada limite;

– Linha limite da CL;

– Afastamento das linhas de corrente na CL;

– Camada limite delgada;

– Camada limite confinada e não-confinada;

– Escoamentos de corte livre;

– Esteira;

– Equações para CL delgada.

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Conceitos:– Separação da camada limite: condições para a ocorrência de

separação da camada limite;

– Gradientes de pressão nulos, favoráveis e adversos;

– Acção do gradiente de pressão sobre a evolução da C.L.

Separação da Camada limite

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MECÂNICA DOS FLUIDOS II

Bibliografia:– Sabersky – Fluid Flow: 8.1, 8.2

– White – Fluid Mechanics: 7.1, 7.3, 7.5


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