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Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”

Números

Reales

2020

C. S. “ M. R. G.”

Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ” Año: 2020 Cursos: 4° I y II Localidad: San Lorenzo

e-mail: [email protected] Pág. 2

Los Números reales ( ℝ )

Antes de dedicarnos con mayor detenimiento al conjunto de los números reales recordemos a

cada uno de los distintos conjuntos numéricos que conocemos con algunos de sus propios

elementos…

ℕ : conjunto de los números naturales

ℕ = { } ... ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1

ℤ : conjunto de los números enteros

ℤ = { } ... ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ... −−−−−

ℚ : conjunto de los números racionales

� Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente (división)

entre dos números enteros.

Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como una fracción o como una

expresión decimal ; tanto una como la otra designan exactamente al mismo número. La expresión

decimal de un número racional puede tener un número “finito” (cantidad limitada) de cifras decimales

o, por otra parte, puede tener “infinitas” (cantidad ilimitada) cifras decimales periódicas…

Ejemplos:

a) 3,75 4

15 = b) 21,175

40

847 = c) =

9

22 2,4444 … = 4,2

)

d) 11

180 = 16,363636… = 16,36 e) ... 0,166666

6

1 −=− = 61,0

) −

f) 198

8953 = 45,217171717… = 45,217

ℚ =

−−−− ... ; 4

29 ; 7 ;

2

5 ; 2,001 ;

10

9 ; 0,75 ; 0 ;

2

1 ;

4

5 ; 3 ;

2

7 ; ...

� : conjunto de los números irracionales

� Los números irracionales son todos aquellos que no pueden ser expresados como un cociente

entre dos números enteros ya que se caracterizan por tener “infinitas” cifras decimales no periódicas.

Todas las raíces enésimas no exactas de números enteros son números irracionales …

Ejemplos:

a) 2 = 1,414213562 … b) 7 = 2,645751311 …

c) 4 3

= 1,587401052 … d) 18 5

= 1,782602458 …



Hay números irracionales que se determinan o forman a partir de una “ley de formación”…

Ejemplos:

a) 4,3691215182124… b) – 3, 1122334455…

c) 0,12345678901123… d) – 25,102030405060…

I =

≅π≅+

=θ−− ... ; ... 43,14159265 ; ... 82,71828182 e ; 2

51 ; 2 ;

2

3 5 ; 2 3

DATOS: θ 2

51

+= es conocido como el número de oro o número áureo.

82,71828182 e≅ … es conocido como número “ e ” o constante de Neper.

... 43,14159265 ≅π es conocido como el número pí .

ℝ = conjunto de los números reales ( está formado por la unión de todos los elementos de los

conjuntos numéricos ℚ e � ) .

El sentido de formación e inclusión de estos conjuntos numéricos es el siguiente…

ℝ

1

3

8

6

2

5

4

7

1−

0

2−3−

4−

5−

6−

7−8− 2

θ 2

3 5 −

3 10 2 3 −

4 25 e

π

10

92,001

2 15,)

77

99 −

2

5

4

29

0,75

4

5 −

3

7 −

2

1 −

ℚ

�

ℤ

ℕ



Los números reales se pueden representar gráficamente en una recta llamada “recta real” y

algunos la llaman simplemente “recta numérica”. A un punto de la misma se le asigna el número 0,

se elige un segmento unidad y se ubican luego los números enteros como referencia inicial: a la

derecha del 0 se ubicarán los “enteros positivos” mientras que a la izquierda del 0 se ubicarán los

“enteros negativos”. Finalmente se podrán situar a los racionales y a algunos irracionales.

ACTIVIDAD: 1) Clasificar, luego de hacer las cuentas necesarias, a cada una de las expresiones siguientes en

“enteros” ( ℤ ) , “racionales” ( ℚ ) o “irracionales” ( � ) según corresponda cada caso y completar su

casillero…

a) 45 b) 3 . 12 c) 2 8 + d) 3

64 8 +

e) 11 5 + f) 4

16

1 g) – 5,163163163…

h) – 3

2) Identificar y marcar con una “V” (verdadero) o “F” (falso) en el cuadro correspondiente a todas

aquellas expresiones que sean “irracionales” …

a) 2,007 b) – 3

8 c) 4

27 d) – 9,675

e) –

+

2

2 2 f)

4

2−

g) –

+

4

25 27

3

h) – 13,245924592459… i) 123,047914792479347944795479…

ℝ



TEOREMA de PITÁGORAS

Un matemático griego muy importante para la historia de la humanidad fue Pitágoras de

Samos (considerado como el primer matemático puro), que vivió entre el 569 y el 475 a.C. y

demostró formalmente el famoso “teorema” que se lleva su nombre aunque es necesario destacar

que los egipcios, mucho tiempo antes que naciera Pitágoras, ya conocían esta “propiedad” de los

triángulos rectángulos y la utilizaban inteligentemente cada vez que el Río Nilo decrecía en su nivel

para mensurar nuevamente las dimensiones de los terrenos que fueron cubiertos por las aguas del

mencionado río.

A Pitágoras se le atribuye este importantísimo teorema ya que fue quien logró “demostrar”

formalmente la propiedad que hasta hoy en día es utilizada con frecuencia.

C

A

B

Pitágoras logró demostrar la propiedad de todo triángulo rectángulo que le permite, conociendo

dos de los lados calcular el tercero restante… ya sea la hipotenusa misma o uno de los catetos. Es decir

entonces que se pueden presentar entonces dos combinaciones posibles…

1. Si se conocen las longitudes de los catetos… me propongo calcular la hipotenusa…

Ejemplo: determinar la longitud de la hipotenusa en el siguiente triángulo rectángulo considerando

los datos que el mismo tiene.

Entonces … si aplicamos el teorema de Pitágoras tenemos que…

= + y reemplazando los datos tenemos…

= ) cm 3 (2

+ ) cm 4 (2

calculando las potencias…

ENUNCIADO del TEOREMA: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de las longitudes de los catetos.

Cateto

Cateto

Hipotenusa

...enteSimbólicam

C2

= A2

+ B2

.

A

cm 3

B

C

cm 4

2

C2

A2

B2

C

.



= cm 92

+ cm 162

resolviendo la suma…

= cm 252

pasando el cuadrado de C al otro miembro …

C = 2

cm 25 = 25 . 2

cm = 5 cm es decir que …

C = 5 cm

Rta: la longitud de la hipotenusa C del triángulo rectángulo es de 5 cm .

2. Si en un triángulo rectángulo se conocen las longitudes de uno de los catetos y la de la hipotenusa…

también puedo aplicar el teorema de Pitágoras calcular la longitud del cateto que falta…

Ejemplo: determinar la longitud del cateto que falta en el triángulo rectángulo ∆

pqr considerando los

datos que el mismo tiene.



= ) m 16 (2

+ calculando las potencias…

400 2

m = 256 2

m + despejando …

400 2

m – 256 2

m = resolviendo la resta tenemos…

144 2

m = si lo acomodamos convenientemente…

= 144 2

m pasando el cuadrado de rq al otro miembro …

= 2

m 144 = 144 . 2

m = 12 m es decir que …

rq = 12 m

Rta: la longitud del cateto rq del triángulo rectángulo ∆

pqr es de 12 m .

2

C2

C

=

=

m 16

m 20

pr

pqDatos

p

q

r.

2

pq2

pr2

rq

2

) m 20 (2

rq

2

rq2

rq

2

rq

2

rq

2

rq

rq



Otro Ejemplo: determinar la longitud del lado que falta en el triángulo rectángulo ∆

abc considerando los

datos que el mismo tiene.



= 2

ac + ) km 9 (2

calculando las potencias…

169 k2

m = 2

ac + 81 2

m despejando 2

ac …

169 2

km – 81 2

km = 2

ac resolviendo la resta tenemos…

88 k 2

m = 2

ac si lo acomodamos convenientemente…

2

ac = 88 k2

m pasando el cuadrado de ac al otro miembro …

ac = 2

km 88 = 88 . 2

k m = 88 km es decir que …

ac = 88 km y 88 es un número irracional.

Rta: la longitud del lado ac del triángulo rectángulo ∆

abc es de 88 km .

Aplicación del Teorema de PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras tiene múltiples aplicaciones entre las cuales podemos señalar la posibilidad

que permite representar gráficamente algunos números irracionales en la recta numérica. Estos números

irracionales particulares son el resultado de las raíces cuadradas de números enteros que no tienen

resultados exactos o no son raíces exactas… como ser 2 ; 5 ; 10 ; 14 ; etc .

Podemos pensar a estos números irracionales como la hipotenusa de un triángulo rectángulo y

descomponer a la misma como la suma de los cuadrados de los catetos…

� Ejemplo N° 1: representar en la recta numérica al número irracional 2 …

Resolución: Aplicamos entonces el teorema de Pitágoras expresando a la hipotenusa del triángulo rectángulo con

una longitud 2 …

.

a

b

c

=

=

km 9

km 13

cb

abDatos

2

ab2

ac2

cb

2

) km 13 (



Entonces… si realizamos la construcción geométrica tenemos …


Resolución:

Aplicamos entonces el teorema de Pitágoras expresando a la hipotenusa del triángulo rectángulo con

una longitud 5 …

Luego … si realizamos la construcción geométrica obtenemos …

1−2−3− 0 1

1

2 3 4

2

ℜ

222

BAC +=

Cateto CatetoHipotenusa

? ? 2 222

+=

222

? ?2 +=

222

BAC +=


? ? 5 222

+=

22

1 25 +=

ℜ

0

2

1−2−3− 1

1

2

5

5 3 4 5

22

??2 +=

22

112 +=

1 1

4 1



Pero también… podemos invertir las posiciones de los catetos y llegamos pues al mismo resultado

geométrico y aritmético. Es decir …


Resolución:

Aplicamos entonces el teorema de Pitágoras expresando a la hipotenusa del triángulo rectángulo con

una longitud 10 …

01−2−3−

5

5 1

2

2 3 4 5

ℜ

222

BAC +=


? ? 10 222

+=

22

1310 +=

0

10

10 1−2− 1 2 3 4 5

ℜ



Y… si invertimos las posiciones de los catetos y llegamos pues al mismo resultado…

ACTIVIDAD:

1) Determinar analíticamente la longitud del lado desconocido en cada uno de los siguientes

triángulos rectángulos…

a) b)

c)

3

01−2− 1 2 310

4 5

ℜ

10

a

b

c

m

n

s

cm 8

cm 6

m 12

m 9

•

•

•

p

r

q

=

=

km 17 pq

km 14 :

qrDatos



2) Representar gráficamente en la recta numérica a los números irracionales…

a) 13 y 13 − b) 17 y 17 −

c) 18 y 18 − d) 20 y 20 −