Download pdf - 16 Integrales Dobles Presentacion

Tema 16: integrales dobles

Tema 16: integrales doblesMatematica II

20122013

Indice

1 Integrales dobles e iteradas sobre ractangulosIntegrales dobles y volumenesComputo de integrales dobles

2 Integrales dobles sobre regiones no rectangularesComputo de integrales dobles (continuacion)Propiedades de las integrales dobles

Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Indice

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Consideramos una funcionf (x , y) definida en unaregion rectangular R

R : a x b c y d

Si subdividimos R en npequenos rectangulostendremos una particionde R.Cada pequeno rectangulode ancho x y altura ytiene area A = xy .

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

R : a x b c y d

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

R : a x b c y d

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

Si numeramos los nrectangulos, cada unotendra un areaA1,A2, . . . ,An, dondeAk es el area delk -esimo rectangulo.Luego hacemos una sumade Riemann, eligiendo unpunto (xk , yk ) en cadarectangulo

Sn =n

k=1

f (xk , yk )Ak

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

Si numeramos los nrectangulos, cada unotendra un areaA1,A2, . . . ,An, dondeAk es el area delk -esimo rectangulo.Luego hacemos una sumade Riemann, eligiendo unpunto (xk , yk ) en cadarectangulo

Sn =n

k=1

f (xk , yk )Ak

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

Una diferente eleccion delos (xk , yk ) resultara endiferentes valores paraSn. . .Si hacemos que lacantidad de rectangulos naumente infinitamente, lasumas convergeran a unvalor unico

I = lmn

nk=1

f (xk , yk )Ak

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

Una diferente eleccion delos (xk , yk ) resultara endiferentes valores paraSn. . .Si hacemos que lacantidad de rectangulos naumente infinitamente, lasumas convergeran a unvalor unico

I = lmn

nk=1

f (xk , yk )Ak

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

Si este lmite existe se lollama integral doble def (x , y) sobre la region R, yse anota

I =

Rf (x , y)dA

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

Integrales dobles como volumenes

Si f (x , y) es una funcion positiva sobre la region R, puedeinterpretarse la integral doble como un volumen.

Cada caja tendra unpequeno volumen

Vk = f (xk , yk )Ak

Cuando n, lasuma para todas lascajas sera

Volumen =

Rf (x , y) dA

Vk = f (xk , yk )Ak

Volumen =

Rf (x , y) dA

Vk = f (xk , yk )Ak

Volumen =

Rf (x , y) dA

Computo de integrales dobles

Indice

Un ejemplo de calculo con integrales iteradas

1 Buscamos el volumen bajo elplano z = 4 x y sobre laregion R : 0 x 2, 0 y 1.

2 El area A(x) de una rodaja delvolumen buscado, para un xconstante, es la integral simple

A(x) = y=1

y=0(4 x y) dy

3 Entonces, el volumen sera

Volumen = x=2

x=0A(x) dx

A(x) = y=1

y=0(4 x y) dy

Volumen = x=2

x=0A(x) dx

A(x) = y=1

y=0(4 x y) dy

Volumen = x=2

x=0A(x) dx

4 Si combinamos ambas integrales nos queda

Volumen = x=2

x=0A(x) dx

=

x=2x=0

( y=1y=0

(4 x y) dy)

dx

=

x=2x=0

[4y xy y

2

]y=1y=0

dx

=

x=2x=0

(72 x

)dx

=

[72

x x2

2

]x=2x=0

= 5

5 Pero que sucede si tomamosrodajas con y constante?

6 El area A(y) de una rodaja delvolumen buscado, para un yconstante, es la integral simple

A(y) = x=2

x=0(4 x y) dx

Volumen = y=1

y=0A(y) dy

A(y) = x=2

x=0(4 x y) dx

Volumen = y=1

y=0A(y) dy

A(y) = x=2

x=0(4 x y) dx

Volumen = y=1

y=0A(y) dy

8 Si combinamos ambas integrales nos queda

Volumen = y=1

y=0A(y) dy

=

y=1y=0

( x=2x=0

(4 x y) dx)

dy

=

y=1y=0

[4x x

2

2 xy

]x=2x=0

dy

=

y=1y=0

(6 2y) dy

=[6y y2

]y=1y=0

= 5

9 Hemos encontrado dos formas de calcular el volumeniterando dos integrales simples

Volumen = 2

0

10

(4 x y) dy dx

Volumen = 1

0

20

(4 x y) dx dy

10 Pero ya vimos que existe una tercer forma de calcular elmismo volumen con una sola integral doble

Volumen =

R(4 x y) dA

9 Hemos encontrado dos formas de calcular el volumeniterando dos integrales simples

Volumen = 2

0

10

(4 x y) dy dx

Volumen = 1

0

20

(4 x y) dx dy

10 Pero ya vimos que existe una tercer forma de calcular elmismo volumen con una sola integral doble

Volumen =

R(4 x y) dA

Teorema de Fubini

Teorema 1 (de Fubini, primera forma)

Si f (x , y) es continua en la region rectangularR : a x b, c y d, entonces

Rf (x , y) dA =

dc

ba

f (x , y) dx dy = b

a

dc

f (x , y) dy dx

El teorema de Fubini dice que las integrales dobles sobrerectangulos se calculan mediante integrales iteradas.El teorema tambien indica que la integral doble se calculaintegrando en cualquier orden, segun sea masconveniente.

Teorema de Fubini

Rf (x , y) dA =

dc

ba

f (x , y) dx dy = b

a

dc

f (x , y) dy dx

Teorema de Fubini

Rf (x , y) dA =

dc

ba

f (x , y) dx dy = b

a

dc

f (x , y) dy dx

Ejemplo 1

Determinar el volumen de la region acotada por arriba por elparaboloide elptico z = 10 + x2 + 3y2 y abajo por el rectanguloR : 0 x 1, 0 y 2.

1 El volumen sera

V =

R(10 + x2 + 3y2) dA

=

10

20

(10 + x2 + 3y2) dy dx

=

10

[10y + x2y + y3

]20 dx

=

10

(20 + 2x2 + 8) dx

=[20x + 2/3x3 + 8x

]10 =

86/3

Ejemplo 1

Determinar el volumen de la region acotada por arriba por elparaboloide elptico z = 10 + x2 + 3y2 y abajo por el rectanguloR : 0 x 1, 0 y 2.

1 El volumen sera

V =

R(10 + x2 + 3y2) dA

=

10

20

(10 + x2 + 3y2) dy dx

=

10

[10y + x2y + y3

]20 dx

=

10

(20 + 2x2 + 8) dx

=[20x + 2/3x3 + 8x

]10 =

86/3

Integrales dobles sobre regiones no rectangulares

Computo de integrales dobles (continuacion)

Indice

Comentarios preliminares

Para definir la integral doble sobre una region norectangular, podemos proceder como antes: hacer unaparticion de R y calcular el lmite, para n, de la sumade los productos f (xk , yk )Ak .Estas integrales dobles tambien pueden interpretarsecomo volumenes.Y resultara que tambien pueden calcularse por medio dedos integrales iteradas, respecto de x y respecto de y .Sin embargo, ahora deberemos prestar especial cuidadoal elegir los lmites de integracion correctos para las dosintegrales simples. . .

Teorema de Fubini

Teorema 2 (de Fubini, segunda forma)

Si f (x , y) es continua en una region R, entonces:1 si R esta definida por a x b, g1(x) y g2(x), con

g1 y g2 continuas en [a,b], entoncesR

f (x , y) dA = b

a

g2(x)g1(x)

f (x , y) dy dx

2 si R esta definida por c y d, h1(y) x h2(y), conh1 y h2 continuas en [c,d ], entonces

Rf (x , y) dA =

dc

h2(y)h1(y)

f (x , y) dx dy

Ejemplo 2

Calcular el volumen del prisma cuya base es el triangulo en elplano xy acotado por el eje x y las rectas y = x y x = 1, y cuyaparte superior es el plano z = f (x , y) = 3 x y .

x

y

01

1

R

x=

1y=x

Ejemplo 2

1 La primera forma sera

V = 1

0

x0

(3 x y) dy dx

=

10

[3y xy 1/2 y2

]x0

dx

=

10

(3x 3/2 x2

)dx

=[

3/2 x2 1/2 x3]1

0= 1

x

y

01

1

Ry = 0

y=x

Ejemplo 2

2 La segunda forma sera

V = 1

0

1y

(3 x y) dx dy

=

10

[3x 1/2 x2 xy

]1y

dy

=

10

(5/2 4y + 3/2 y2

)dy

=[

5/2 y 2y2 + 1/3 y2]1

0= 1

x

y

01

1

R

x=

1x=y

Ejemplo 3

Calcular R

sin xx

dA

donde R es el el triangulo en el plano xy acotado por el eje x ylas rectas y = x y x = 1.

x

y

01

1

R

x=

1y=x

Ejemplo 3

Calcular R

sin xx

dA

1 Integrando primero respecto de ynos queda

=

10

x0

sin xx

dy dx = 1

0

[sin x

xy]x

0dx

=

10

sin x dx = [ cos x ]10 = cos 1 + 1 0,46 x

y

01

1

R

x=

1y=x

Ejemplo 3

Calcular R

sin xx

dA

2 Integrando primero respecto de xnos quedara

=

10

1y

sin xx

dx dy

la cual no tiene una antiderivadasencilla. . .

x

y

01

1

R

x=

1y=x

Como determinar los lmites de integracion?

Usando secciones transversales verticales.1 Hacer un bosquejo.2 Determinar los lmites de integracion en y .3 Determinar los lmites de integracion en x .

x

y

0 1

1R

y =1 x2

y = 1 x

x

R

f (x , y) dA = 1

0

1x21x

f (x , y) dy dx

Como determinar los lmites de integracion?

Usando secciones transversales horizontales.1 Hacer un bosquejo.2 Determinar los lmites de integracion en x .3 Determinar los lmites de integracion en y .

x

y

0 1

1R

x =

1 y 2

x = 1 yy

Rf (x , y) dA =

10

1y21y

f (x , y) dx dy

Propiedades de las integrales dobles

Indice

Si f (x , y) y g(x , y) son continuas en la frontera de una regionR, entonces se cumplen las siguientes propiedades.

1 Multiplo constante:R

cf (x , y) dA = c

Rf (x , y) dA

para cualquier numero c.2 Suma y resta:

R

(f (x , y)g(x , y))dA =

Rf (x , y) dA

R

g(x , y) dA

Si f (x , y) y g(x , y) son continuas en la frontera de una regionR, entonces se cumplen las siguientes propiedades.

1 Multiplo constante:R

cf (x , y) dA = c

Rf (x , y) dA

para cualquier numero c.2 Suma y resta:

R

(f (x , y)g(x , y))dA =

Rf (x , y) dA

R

g(x , y) dA

3 Dominacion

(a)

Rf (x , y) dA 0 si f (x , y) 0 en R.

(b)

Rf (x , y) dA

R

g(x , y) dA si f (x , y) g(x , y) en R.4 Aditividad:

Rf (x , y) dA =

R1

f (x , y) dA +

R2f (x , y) dA

si R es la union de dos regiones R1 y R2 que no sesolapan.

3 Dominacion

(a)

Rf (x , y) dA 0 si f (x , y) 0 en R.

(b)

Rf (x , y) dA

R

g(x , y) dA si f (x , y) g(x , y) en R.4 Aditividad:

Rf (x , y) dA =

R1

f (x , y) dA +

R2f (x , y) dA

si R es la union de dos regiones R1 y R2 que no sesolapan.

Ejemplos con Sage

Calculo de integrales dobles

Indice

3 Ejemplos con SageCalculo de integrales dobles

Ejemplos con Sage

Integral doble sobre una region rectangular

# definir la funcion f (x , y) = 10 + x2 + 3y2

f(x,y ) = 10+x**2+3*y**2# mostrar la funcion fshow(f)# definir los lmites de integraciona = 0; b = 1; c = 0; d = 2# integrar primero respecto de y, luego de xI = f.integrate(y,c,d).integrate(x,a,b)show(I)# integrar primero respecto de x, luego de yI = f.integrate(x,a,b).integrate(y,c,d)show(I)

Ejemplos con Sage

Integral doble sobre una region general

# definir la funcion f (x , y) = 3 x yf(x,y) = 3-x-y# mostrar la funcion fshow(f)# definir los lmites de integraciona = 0; b = 1; c = 0; d = x# integrar primero respecto de y, luego de xI = f.integrate(y,c,d).integrate(x,a,b)show(I)# redefinir los lmites de integracionc = 0; d = 1; a = y; b = 1# integrar primero respecto de x, luego de yI = f.integrate(x,a,b).integrate(y,c,d)show(I)

Integrales dobles e iteradas sobre ractngulosIntegrales dobles y volmenesCmputo de integrales dobles

Integrales dobles sobre regiones no rectangularesCmputo de integrales dobles (continuacin)Propiedades de las integrales dobles

ApndiceEjemplos con SageClculo de integrales dobles