1

CapítuloIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

DE LA VARIABLE TRIPLE11

xTan31

xTanTanx3x3Tan2

3

Cosx3xCos4x3Cos 3 xSen4Senx3x3Sen 3

Seno de 3x Coseno de 3x Tangente de 3x

FÓRMULAS ESPECIALES:

1x2Cos21x2Cos2Tanxx3Tan)1x2Cos2(Cosxx3Cos)1x2Cos2(Senxx3Sen

DEGRADACIONES:

x3CosCosx3xCos4 3 x3SenSenx3xSen4 3

PROPIEDADES :

x3Tan)xº60(Tan)xº60(TanTanx

x3Cos41)xº60(Cos)xº60(CosCosx

x3Sen41)xº60(Sen)xº60(SenSenx

Tanx + Tan(60º+x) + Tan(120º+x) = 3Tan3x

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

01.Señala el equivalente de la expresión:

xCosxCosxSenx3Sen

33

3

a) Tgx b) Secx c) Cscxd) Ctgx e) N.A.

02. Simplificar:E = (Tg2A+TgA)(Cos3A+CosA)Csc3A

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

03. La expresión que da Cos3x en términos de Cosx es:

a) 3Cosx+4Cos3x b) 4Cosx3Cos3xc) 3Cosx-4cos3x d) 4Cos3x-3Cosxe) 3Cos3x-4Cosx

04. El valor de la expresión:

Cosaa3Cos

Senaa3Sen es:

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

05. Si: 111Tgx . Calcular: Tg3x.

a) 3,07 b) 0,27 c) 3,27d) 32 e) 0,21

06. Sen2a = Cos3a, 0<a< 2

Calcular el valor de: Sena

a) 5

51b)

415

c) 3

15

d) 4

15 e) N.A.

07. Si: SenA = 2/3, entonces Sen3A es:

a) 1 b) 19/23 c) 27/22d) 21/29 e) 22/27

08. Calcular el valor de:

)º40Sen21)(º10Sen43(F 22

a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/2 e) 1/3

09. Simplificar:

Sen3SenSen

Cos3CosCos 33

a) Cos b) Sen c) 1d) 3 e) 0

10. Del gráfico mostrado, hallar: "x".

A

E

D

C

B

x

4

3

a) 4 b) 7 c) 17

d) 8 e) 72

11. Simplificar:

º40Cosº20Cosº40Cosº20Cos 33

a) 3 b) 4 c) 4/3d) 3/4 e) 3/2

12. Reducir:2Cos6x . Sen3x + Sen3x

a) Sen6x b) 3Sen6x c) Sen9xd) Cos9x e) 3Cos6x

13. La siguiente igualdad es una identidad:

KCosK2

Cos3Cos

Sen3Sen

Hallar: "K".

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 3

14. Calcular: º36Cosº18Sen 33

a) 25

b) 85

c) 45

d) 65

e) 45

15. Calcular: Cot18º(4Cos18º-3Sec18º)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3

16. Calcular:Tan9º+Cot9º-Tan27º-Cot27º

a) 2 b) 4 c) 6d) 0 e) 8

17. Calcular:Cos85º(1+2Sen80º)

a) 23

b) 21

c) 4

26

d) 4

26 e)

415

18. Simplificar:

Tan3 (2Cos2 -1)-(2Cos2 +1)Tanan

a) Tan b) Cot c) 0

d) Tan3 e) Cot3

19. Calcular:3Cos210º.Sec250º.Sec270º

a) 64 b) 9/64 c) 1/64d) 192 e) 64/9

20. Calcular:

92Cos8

92Sec 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

21. Siendo : 22Cot ; " " agudo..

Calcular : 3Sen

a) 97

b) 97 c) 27

23

d) 2723 e) 27

17

22. Si :31x2Cos ,

hallar : Cos6x

a) 2722

b) 2723

c) 2722

d) 2717

e) 2723

23. Hallar : Sen 111º

a) 1258

b) 125108

c) 125117

d) 125107

e) 1259

24. Sabiendo que :

IIC ; 22Cot ,

calcular :

Sec3SenC

a) 36

217b)

36217 c)

36223

d) 36

223 e) 36

27

25. Siendo : 32Sen

Calcular :

Cos3CosC

a) 31

b) 92

c) 97

d) 31 e) 9

2

26. Sabiendo que : 23

1Cos ,

calcular : Csc3SenP

a) 92

b) 94

c) 97

d) 92 e) 9

4

27. Señale el valor de "Senx", si :Sen2x = Cos3x

a) 4

15 b)

415

c) 1d) a y c son respuestas.e) a, b y c son respuestas.

28. Reducir :

Cosxx3Cos

Senxx3SenA

a) Cosx b) Sen2x c) Sen4xd) 4Cos2x e) 2

4

29. Siendo : 31Sen ,

calcular :

Cos3CosL

a) 311

b) 27

c) 311

d) 2 e) 95

30. Reducir :C = (Cos3x + 2Cosx) Tanx

a) Sen3x Cosx b) Tan3xc) Sen3x d) Cos3x Senxe) Cot3x

31. Si : Sen3x = 0,25 Senx,

calcule : 1xTan5K 2

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

32. Si : Tan3x = 5Tanx,calcule : |Tan2x|

a) 7 b) 14 c) 52

d) 37

e) 5

33. Al calcular el valor de :

º10Cos3

º10Sen1F ,

obtenemos :

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

34. El valor de :E = Cos80º Cos20º Cos40º es:

a) 2 b) 43

c) 4

d) 21

e) 81

35. Simplificar :

º20Sen31º20SenE

a) 2Tan20º b) Tan40º c) 2Tan40ºd) Tan20º e) Sec20º

36. Simplificar :

x3CosSenx2x3SenC

a) Tanx b) Tanx c) Cotx

d) Cotx e) xTan2

37. Siendo :

31

xCosx3Cos

xSenx3Sen3

3

,

calcular : L = Tan3x Cotx

a) 136

b) 133 c) 13

12

d) 133

e) 136

38. Calcular el máximo valor de :

xCot . x3TanM 3 ; 2

; 0x

a) 21217 b) 21217

c) 21712 d) 21712

e) 25

39. Si : 4

15º18Sen ,

hallar el valor de M,si :

MSec15º Sec9º = Sen15º Sen9º

a) 8581 b) 15

8

c) 4541 d)

815

e) 154

40. Al simplificar la expresión :E = Sen6º Sen54º Sen66º

Obtenemos :

a) Sen12º b) 2Sen6ºc) Sen18º d) 2Sen12º

e) 4

º18Sen

41. Calcular el valor aproximado de la expresión :S = Csc27º Sec27º

a) 53 b) 53

5

c) )53(2 d) 55

e) 2

53

42. El valor de :

3º20Cos41x

Es igual a :

a) Cot10º b) Tan10º c) Cot20ºd) Tan20º e) 2Tan10º

43. Calcular el valor de ,.

2

22

)CosSen(

CosSen3CosSenCos3Sen

a) 1 b) 1 c) 2

d) 2 e) 21

44. En el triángulo de la figura, hallar el ángulo , paraque a sea doble de b.

x y z

a ab b

a) 23ArcCos b)

32ArcCos

c) 41ArcCos d)

21ArcCos

e) 43ArcCos

45. Calcule:

º13Cosº17Senº13Cosº17SenM

33

a) 21

b) 43

c) 83

d) 23

e) 41

46. Si :Sen3x Cscx + Cos3x Secx = K Cosp . x,

calcular : K + p

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 8

47. Si : Cos39º = nCos13º,

halle : º13Tan2 en términos de "n"

a) n1n3

b) n1n2

c) n1n3

d) n1n2

e) n3n1

48. Si :1n1n

Tanxx3Tan

,

halle : x3Sen

Senx en términos de "n"

a) n + 1 b) 1)1n( c) n2

d) n 1 e) 1)1n(

49. Sabiendo que : nSenz

z3SenSeny

y3SenSenx

x3Sen ,

hallar : Coszz3Cos

Cosyy3Cos

Cosxx3CosL

a) n + 3 b) n 3 c) n + 6d) n 6 e) 2n 6

50. Del gráfico, hallar la medida del ángulo " "

a

4a

43º17º

13º

a) 39º b) 17º c) 36ºd) 51º e) 48º

51. El valor de :

º70Secº50Secº10Sec2 222 es :

a) 3

128 b) 649 c)

641

d) 192 e) 964

52 El valor de :G = Cot24º Cot57º Cot24º Cot33º

a) 2 b) 3 c) 2d) 1 e) 1

6

53. Hallar el valor de la expresión :

º80Tanº40Tanº20TanM 222

a) 12 b) 9 c) 21d) 24 e) 33

54. En el gráfico :

8495

S

S

2

1 ,

calcular " "

S1S2

32

A

B

CD

a) 76ArcCos b)

98ArcCos

c) 109ArcCos d)

1110ArcCos

e) 65ArcCos

55. Del gráfico, calcular : 3Sen

A

C

D

E

F

4

2

3

2

2

a) 43

b) 83

c) 31

d) 32

e) 61

56. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de una torre;con un ángulo de elevación " ". Si nos acercamosuna distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de

elevación es " 2º90 ".Calcular el valor de :

Tan2SecL

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

57. Calcular :L = Tan130º Tan10º + Tan70º Tan130º Tan10º Tan70º

a) 3 b) 3 c) 2d) 2 e) 6

58. Del gráfico, hallar : yx

A

B

C5º 45º 80º 20ºD Ex y

a) º5Csc2 b) º10Csc2

c) º5Csc22 d) º10Csc

22

e) º5Csc42

59. Del gráfico, hallar : x

2

A B

C

D

m

nx

a) mnm

2m

b) mnm

2n

c) mnm

2n

d) nnm

2n

e) nnm

2m

60. Del gráfico, hallar la longitud de CD

24º 36º

16

A

B

C

D

E6º

a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36d) 3,23 e) 2,32

7

Claves Claves

a

b

d

d

b

b

e

c

d

d

d

c

c

c

b

b

d

c

a

e

c

e

c

d

c

c

a

e

e

c

c

d

e

e

b

b

d

a

a

e

c

c

c

e

b

d

e

b

d

a

a

c

e

a

a

a

a

e

c

a

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.