PLANEACIÓN GENERAL DE MATEMÁTICAS- GEOMETRÍA - ESTADÍSTICA

SEGUNDO PERÍODO - GRADO 10º

EJES TEMÁTICOS

CONTENIDOS DESEMPEÑOS COGNITIVOSDESEMPEÑOS SOCIOAFECTIVOS

DESEMPEÑOS PROCEDIMENTALES

COMPETENCIAS RECURSOS HORAS

MATEMATIAS

GEOMETRIA

ESTADISTICA

1. Razones con la longitud de los lados de un triángulo rectángulo.

2. Funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

3. Funciones trigonométricas para los ángulos especiales

4. Signos de las funciones trigonométricas según los cuadrantes

5. Casos que se presentan en la resolución de triángulos rectángulos

6. Dominio, rango y período de cada función trigonométrica

7. Elaboración de la gráfica de cada función trigonométrica

8. Medidas de tendencia central con datos agrupados: media aritmética, mediana y moda.

9. Medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, covarianza, desviación típica o estándar

10. Análisis de resultados de encuestas

1. Obtiene el valor de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

2. Utiliza ideas geométricas y de la trigonometría para resolver diversos tipos de problemas, tanto de la matemática como de otras disciplinas.

3. Realiza e interpreta las gráficas de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano e identifica las gráficas sinusoidales.

4. Observa las propiedades y analiza las relaciones entre las expresiones algebraicas y las gráficas de las funciones.

5. Usa comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (centralidad, rango y varianza).

6. Resuelve y formula problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad

1. Manifiesta interés por aprender y cumplir con las actividades programadas.

2. Establece compromisos de responsabilidad frente a la clase.

3. Contesta de manera positiva frente a los llamados de atención, cambiando de actitud.

4. Es organizada y aseada con su puesto y lugar de trabajo.

5. Respeta las opiniones de los demás.

1. Presenta puntualmente y en forma ordenada, todas las actividades propuestas en la guía.

2. Participa activamente en las actividades propuestas en clase.

3. Realiza responsablemente las actividades propuestas en la guía sobre cada temática.

1. Comparo y contrasta las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

2. Identifica en forma visual, grafica y algebraicamente algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transversales en un cilindro y en un cono.

3. Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos.

4. Diseña experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales), para estudiar un problema o pregunta.

5. Interpreta la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a la curva y desarrolla métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos.

1. Guía2. Cuaderno3. Internet4. Páginas

interactivas

36

INVESTIGACIÓN OBJETIVO SUBTEMAS COMO DESARROLLARLO

DERECHOS HUMANOS Y COMPETENCIAS CIUDADANAS

Generar una actitud crítica en las estudiantes frente a la protección y asistencia familiar en el contexto de África.

Desarrollar competencias ciudadanas para una sana convivencia en los diferentes espacios institucionales, familiares y sociales.

Identificar las competencias ciudadanas que se ponen en práctica al momento de solucionar una situación de conflicto en el aula.

Derecho a la protección y asistencia familiar

Competencias ciudadanas para aprender a convivir en paz.

Generar talleres de debate donde se trabaje el derecho a la protección y asistencia familiar tanto en el contexto de África como en el mundo de hoy.

Realizar preguntas tipo pruebas saber, en las evaluaciones a realizar relacionadas con competencias ciudadanas.

TRIGONOMETRIA

MEDIDA DE ANGULOS:

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.

Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

1 Grado sexagesimal (°):

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

2 Radián (rad):

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio

Ejemplo:

 2π  rad = 360°

π  rad = 180°

30º   rad

/3 rad     º

ACTIVIDAD 1 .

1 . Pasa a rad ianes los s igu ien tes ángu los :

a .

b .

c .

d .

e .

2. Pasa a rad ianes los s igu ien tes ángu los

a. 

b. 

c. 

d. 

e. 450º

RAZONES TRIGONOMETRICAS:

Seno:  Seno de l ángu lo B : es la razón en t re e l ca te to opues to a l ángu lo

y la h ipo tenusa.

Se denota por  sen B.

Coseno:  Coseno de l ángu lo B : es la razón en t re e l ca te to cont iguo a l

ángu lo y la h ipo tenusa.

Se denota por  cos B.

Tangente:  Tangente de l ángu lo B : es la razón en t re e l ca te to opues to a l

ángu lo y e l ca te to cont iguo a l ángu lo .

Se denota por   tg B

Cosecante:  Cosecante de l ángu lo B : es la razón inversa de l seno de B.

Se denota por  cosec B.

Secante

Secante de l ángu lo B : es la razón inversa de l coseno de B.

Se denota por  sec B.

Cotangente

Cotangente de l ángu lo B : es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por  cotg B.

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS:

Se l lama ci rcunferencia goniométr ica a aqué l la que t iene su  centro en

e l or igen de coordenadas   y su   radio  es la unidad . En la c i rcun ferenc ia

gon iomét r ica   los e jes de coordenadas del imi tan cuatro

cuadrantes  que se numeran en sent ido cont ra r io a las agu jas de l re lo j .

QOP y TOS son t r iángulos semejantes.

QOP y T 'OS′ son t r iángulos semejantes.

 

E l seno es la o rdenada.

E l coseno es la absc isa .

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Signo de las razones t r igonométr icas

 

ACTIVIDAD 2.

1  De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m.

Reso lver e l t r iángu lo .

2  De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Reso lver

e l t r iángu lo .

3  De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22° . Reso lver e l

t r iángu lo .

4  De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen b = 5 .2 m y B = 37º . Reso lver

e l t r iángu lo .

5  De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41 .7° . Reso lver

e l t r iángu lo .

6 De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54 .6° . Reso lver e l

t r iángu lo .

7  De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Reso lver e l

t r iángu lo .

8 De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Reso lver e l

t r iángu lo .

9  Un árbo l de 50 m de a l to p royec ta una sombra de 60 m de la rga . Encont ra r

e l ángu lo de e levac ión de l so l en ese momento .

10  Un d i r ig ib le que es tá vo lando a 800 m de a l tu ra , d is t ingue un pueb lo con

un ángu lo de depres ión de 12° . ¿A qué d is tanc ia de l pueb lo se ha l la?

11  Ha l la r e l rad io de una c i rcun ferenc ia sab iendo que una cuerda de 24 .6 m

t iene como arco cor respond ien te uno de 70° .    

12  Ca lcu la r e l á rea de una parce la t r iangu lar , sab iendo que dos de sus lados

miden 80 m y 130 m, y fo rman en t re e l los un ángu lo de 70° .

13  Ca lcu la la a l tu ra de un árbo l , sab iendo que desde un punto de l te r reno se

observa su copa ba jo un ángu lo de 30° y s i nos acercamos 10 m, ba jo un ángu lo

de 60° .

14  La long i tud de l lado de un oc tógono regu la r es 12 m. Ha l la r los rad ios de

la c i rcun ferenc ia inscr i ta y c i rcunscr i ta .

15  Ca lcu la r la long i tud de l lado y de la apotema de un oc tógono regu la r

inscr i to en una c i rcun ferenc ia de 49 cent ímet ros de rad io .

16 Tres pueb los A , B y C es tán un idos por car re te ras . La d is tanc ia de A a C es

6 km y la de B a C 9 km. E l ángu lo que fo rman es tas car re te ras es 120° .

¿Cuánto d is tan A y B?

RAZONES TRIGONOMETRICAS

Seno, coseno y tangente de 30º 45º y 60º 

Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si

trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda

dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que

la altura es:

Seno, coseno y tangente de 45º

 

ACTIVIDAD 3.

1  Expresa en grados sexages imales los s igu ien tes ángu los :

1  3 rad

2 2π/5rad .

3 3π/10 rad .

2  Expresa en rad ianes los s igu ien tes ángu los :

1 316°

2  10°

3  127º

3  Sab iendo que cos α = ¼ , y que  270º <α <360° . Ca lcu la r las res tan tes

razones t r igonomét r icas de l ángu lo α .

4  Sab iendo que tg α = 2 , y que  180º < α <270° . Ca lcu la r las res tan tes

razones t r igonomét r icas de l ángu lo α .

5  Sab iendo que sec α = 2 , 0< α <   /2 , ca lcu la r las res tan tes razones

t r igonomét r icas .

6  Ca lcu la las razones de los s igu ien tes ángu los :

1 225°

2  330°

3  2655°

4  −840º

7  Comprobar las ident idades :

1

2

3

4

5

8  De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41 .7° . Reso lver

e l t r iángu lo .

9 De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54 .6° . Reso lver e l

t r iángu lo .

10 De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Reso lver e l

t r iángu lo .

11 De un t r iángu lo rec tángu lo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Reso lver e l

t r iángu lo .

12 Un árbo l de 50 m de a l to p royec ta una sombra de 60 m de la rga . Encont ra r

e l ángu lo de e levac ión de l so l en ese momento .

13 Un d i r ig ib le que es tá vo lando a 800 m de a l tu ra , d is t ingue un pueb lo con un

ángu lo de depres ión de 12° . ¿A qué d is tanc ia de l pueb lo se ha l la?

14 Hal la r e l rad io de una c i rcun ferenc ia sab iendo que una cuerda de 24 .6 m

t iene como arco cor respond ien te uno de 70° .

15 Calcu la r e l á rea de una parce la t r iangu lar , sab iendo que dos de sus lados

miden 80 m y 130 m, y fo rman en t re e l los un ángu lo de 70° .

16  Ca lcu la la a l tu ra de un árbo l , sab iendo que desde un punto de l te r reno se

observa su copa ba jo un ángu lo de 30° y s i nos acercamos 10 m, ba jo un ángu lo

de 60° .

17  La long i tud de l lado de un oc tógono regu la r es 12 m. Ha l la r los rad ios de

la c i rcun ferenc ia inscr i ta y c i rcunscr i ta .

Razones trigonométricas de ángulos notables

ACTIVIDAD 4.

Obtener las siguientes razones trigonométricas de ángulos notables:

a. sen 45ºb. cos 90ºc. cotg 45ºd. cosec 60ºe. tg 60ºf. sen 30ºg. cosec 45ºh. sec 60ºi. cos 30ºj. tg 270ºk. sec 180ºl. cotg 60º

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplos:

1 . Sabiendo que sen α = 3 /5 , y que  90º <α <180° . Ca lcu la r las res tan tes

razones t r igonomét r icas de l ángu lo α .

2.  Sab iendo que tg α = 2 , y que  180º < α <270° . Ca lcu la r las res tan tes

razones t r igonomét r icas de l ángu lo α .

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

Son aqué l los cuya suma es 90º ó   /2 rad ianes .

Ejemplos:

ANGULOS SUPLEMENTARIOS

Son aqué l los cuya suma es 180° ó   rad ianes .

Ejemplo:

ANGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º

Son aqué l los cuya res ta es 180° ó   rad ianes .

Ejemplo:

ANGULOS OPUESTOS

Son aqué l los cuya suma es 360º ó 2 rad ianes .

Ejemplo:

ANGULOS NEGATIVOS Y MAYORES DE 360º

Ángulos negat ivos 

E l ángu lo es negat ivo s i se desp laza en e l sen t ido de l mov imien to de las

agu jas de l re lo j .

-α =  360° - α

Ejemplo:

Resolución de t r iángulos rectángulos 

Reso lver un t r iángu lo es ha l la r sus lados , ángu los y á rea . Es necesar io

conocer dos lados de l t r iángu lo , o b ien un lado y un ángu lo d is t in to de l

rec to .

1  Se conocen la h ipo tenusa y un ca te to :

Ejemplo:

Reso lver e l t r iángu lo conoc iendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0 .6747        B = arc sen 0 .6747 =  42° 25 ′

C = 90° - 42° 25 ′ =  47° 35 ′

c = a cos B     c = 415 · 0 .7381 =  306. 31 m

2  Se conocen los dos ca te tos :

 

Ejemplo:

Reso lver e l t r iángu lo conoc iendo:

b = 33 m y c = 21 m .

tg B = 33 /21 = 1 .5714          B = 57° 32 ′

C = 90° − 57° 32 ′ =  32° 28 ′

a = b /sen B      a = 33 /0 .8347 =  39.12 m

3  Se conocen la h ipo tenusa y un ángu lo agudo:

 

Ejemplo:

Reso lver e l t r iángu lo conoc iendo:

a = 45 m y B = 22° .

C = 90° - 22° =  68°

b = a sen 22°      b = 45 · 0 .3746 =  16.85 m

c = a cos 22°         c = 45 · 0 .9272 =  41.72 m

4  Se conocen un ca te to y un ángu lo agudo:

 

Ejemplo:

Reso lver e l t r iángu lo conoc iendo:

b = 5 .2 m y B = 37º

C = 90° - 37° =  53º

a = b /sen B        a = 5 .2 /0 .6018 =  8.64 m

c = b · co tg B     c = 5 .2 · 1 .3270 =  6. 9 m

ACTIVIDAD 5.

1 . Dado e l s iguiente t r iángulo rectángulo , ca lcula la medida de los lados

y los ángulos desconocidos para cada caso:

2 . Dados b = 6 cm y c = 11 cm, ca lcu la a , B y C.

   

 

   

3. Dados b = 39 cm y B = 31º , ca lcu la a , c y C.

   

   

   

4. Dados c = 8 cm y B = 50º , ca lcu la a , b y C.

 

   

   

5. Dados a = 8 cm y C = 65º , ca lcu la b , c y B .

   

   

 

Real iza: (Redondea a dos decimales en e l caso que sea necesar io)

6 . Calcu la la a l tu ra de un árbo l sab iendo que a una d is tanc ia de 8

met ros se ve ba jo un ángu lo de 32º

A l tu ra =    m

7. Una esca le ra de 6 met ros es tá apoyada sobre una pared y fo rma un

ángu lo de 53º con e l sue lo .

a. Calcu la la a l tu ra a la que se encuent ra apoyada la esca le ra

A l tu ra =    m

b. ¿Qué d is tanc ia hay desde e l ex t remo in fe r io r de la esca le ra has ta

la pared?

Dis tanc ia =    m

8. Para med i r la p ro fund idad de una cueva, los espe leó logos u t i l i zan

un car re te de h i lo . Van so l tando h i lo y miden la long i tud y e l ángu lo

que fo rma e l h i lo con la hor izon ta l . ¿A qué pro fund idad se

encont ra rá un espe leó logo que se encuent re en e l punto B?  

Profund idad =    m

9. Hal la la anchura de l r ío , u t i l i zando las med idas que se han

tomado:  

Anchura =    m

10. Desde un c ie r to punto se ve la par te más a l ta de una to r re ba jo

un ángu lo de 25º . S i avanzamos 20 met ros para acercarnos a la

to r re , e l ángu lo es ahora de 51º . Ca lcu la la a l tu ra de la to r re

A l tu ra =    m

11. ¿Cuál es e l d iámet ro de la c i rcun ferenc ia que se puede t razar

con un compás cuyos brazos fo rman un ángu lo de 34º y miden 10

cm?

Al tu ra =    cm

El ige la opción correcta:

12 . Dos personas separadas por una d is tanc ia de 5 km observan un

av ión con ángu los de 23º y 18º respec t ivamente . ¿A qué a l tu ra se

encuent ra e l av ión y qu ién se encuent ra más cerca de l av ión?

 

   

 

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Función seno 

f(x) = sen x

Dominio: 

Recorrido: [−1, 1]

Período: 

Continuidad: Continua en 

Impar: sen(−x) = −sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Dominio: 

Recorrido: [−1, 1]

Período: 

Continuidad: Continua en 

Par: cos(−x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Dominio: 

Recorrido: 

Continuidad: Continua en 

Período: 

Impar: tg(−x) = −tg x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Dominio:

Recorrido: 

Continuidad: Continua en 

Período: 

Impar: cotg(−x) = −cotg x

Función secante

f(x) = sec x

Dominio: 

Recorrido: (− ∞, −1]   [1, ∞)

Período: 

Continuidad: Continua en 

Par: sec(−x) = sec x

Función cosecante f(x) = cosec x

Dominio: 

Recorrido: (− ∞, −1]   [1, ∞)

Período: 

Continuidad: Continua en 

Impar: cosec(−x) = −cosec x

LIMITES

Lími te en un punto 

E l l ím i te de la func ión   f (x )  en e l puntox 0 , es e l va lo r a l que se acercan las

imágenes ( las  y ) cuando los o r ig ina les ( las  x ) se acercan a l va lo r  x 0 . Es

dec i r e l va lo r a l que t ienden las imágenes cuando los o r ig ina les t ienden

a  x 0 .

Vamos a es tud ia r e l l ím i te de la func ión f (x ) = x 2  en e l punto x 0  = 2 .

X f(x)

1,9 3,61

1,99 3,9601

1,999 3,996001

... ...

↓ ↓

2 4

X f(x)

2,1 4.41

2,01 4,0401

2,001 4,004001

... ...

↓ ↓

2 4

Tanto s i nos acercamos a 2 por la i zqu ie rda o la derecha las imágenes se

acercan a 4 .

Se d ice que la función   f (x )   t iene como l ími te e l número  L   ,

cuando x   t iende ax 0 , s i f i jado un número rea l posi t ivo  ε   , mayor que

cero, ex iste un numero posi t ivo  δ  dependiente de  ε , ta l que, para

todos los va lores de  x  d ist intos dex 0  que cumplen la condic ión |x − x 0 |

< δ   , se cumple que   | f (x ) − L | < ε .

También podemos de f in i r e l concepto de l ím i te a t ravés de en tornos :

 si y sólo s i , para cualquier entorno de  L  que tomemos, por

pequeño que sea su radio  ε , ex iste un entorno de  x 0 ,  E δ (x 0 ) , cuyos

e lementos (s in contar  x 0 ) , t ienen sus imágenes dentro del entorno

de L ,  E ε (L ) .

DERIVADAS

Der ivada de una función en un punto 

La der ivada de la func ión f (x ) en e l punto x = a es e l va lo r de l l ím i te , s i

ex is te , de un coc ien te inc rementa l cuando e l inc remento de la var iab le

t iende a cero .

Ejemplos  

1.  Hal la r la der ivada de la func ión f (x ) = 3x 2  en e l punto x = 2 .

2.  Calcu la r la der ivada de la func ión f (x ) = x 2  + 4x − 5 en x = 1 .

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

 

Cuando h t iende a 0 , e l punto Q t iende a confundirse con e l P .

Entonces la recta secante t iende a ser la recta tangente a la función

f (x ) en P, y por tanto e l ángulo α t iende a ser β .

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la

der ivada de la función en ese punto.

m t  = f ' (a )

E jemplo  

Dada la parábo la f (x ) = x 2 , ha l la r los puntos en los que la rec ta tangente es

para le la a la b isec t r i z de l p r imer cuadrante .

La b isec t r i z de l p r imer cuadrante t iene como ecuac ión y = x , por tan to su

pend ien te es m = 1 .

Como las dos rec tas son para le las tendrán la misma pend ien te , as í que:

f ' (a ) = 1 .

Porque la pend ien te de la tangente a la curva es igua l a la der ivada en e l

punto x = a .

ACTIVIDAD 6.

1 Calcu la r las der ivadas en los puntos que se ind ica :

1  en x = -5 .

2  en x = 1 .

3  en x = 2 .

4  en x = 3 .

2 Dada la curva de ecuac ión f (x ) = 2x 2  − 3x − 1 , ha l la las coordenadas de los

puntos de d icha curva en los que la tangente fo rma con e l e je OX un ángu lo de

45° .

3 ¿Cuál es la ve loc idad que l leva un vehícu lo se mueve según la ecuac ión e( t )

= 2 − 3 t 2  en e l qu in to segundo de su recor r ido? E l espac io se mide en met ros y

e l t iempo en segundos.

ESTADISTICA

Parámetros estadísticos:

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

Tipos de parámetros estadísticos

Hay tres tipos parámetros estadísticos:

De centralización.

De posición

De dispersión.

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Las medidas de centralización son:

Media aritmética

La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda

La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

Las medidas de posición son:

Cuartiles

Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles

Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

MODA

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no haymoda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es elpromedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Ejemplo:  

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

  fi

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

  100

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Ejemplo:  

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

  fi hi

[0, 5) 15 3

[5, 7) 20 10

[7, 9) 12 6

[9, 10) 3 3

  50  

LA MEDIANA

Es el valor que ocupa el lugar centralde todos los datos cuando éstos estánordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo paravariables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la mediaentre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre  .

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

 es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo:  

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

  fi Fi

[60, 63) 5 5

[63, 66) 18 23

[66, 69) 42 65

[69, 72) 27 92

[72, 75) 8 100

  100  

100/2 = 50

Clase de la mediana: [66, 69)

MEDIA ARITMETICA

La media aritmética es el valorobtenido al sumar todos los datos ydividir el resultado entre el númerototal de datos.

 es el símbolo de la media aritmética.

Ejemplo:  

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de lamedia es:

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

  xi fi xi · fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

    42 1 820

Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho númerocoincide con la media aritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, lamedia aritmética queda aumentada en dicho número.

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número lamedia aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

  xi fi

[60, 63) 61.5 5

[63, 66) 64.5 18

[66, 69) 67.5 42

[69, 72) 70.5 27

[72, ∞ )   8

    100

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.

ACTIVIDAD 7.

1. Sea una d is t r ibuc ión es tad ís t i ca que v iene dada por la s igu ien te tab la :

xi 61 64 67 70 73

fi 5 18 42 27 8

Calcu la r :

a. La moda, mediana y media .

b. El   rango, desviac ión media , var ianza y desviac ión t íp ica .

2. Calcu la r la  media , la  mediana   y la  moda  de la s igu ien te ser ie de números :

5 , 3 , 6 , 5 , 4 , 5 , 2 , 8 , 6 , 5 , 4 , 8 , 3 , 4 , 5 , 4 , 8 , 2 , 5 , 4 .

3. Hal la r la  var ianza y la desviac ión t íp ica  de la s igu ien te ser ie de da tos :

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 .

4. Hal la r la  media , mediana y moda  de la s igu ien te ser ie de números :

3 , 5 , 2 , 6 , 5 , 9 , 5 , 2 , 8 , 6 .

5. Hal la r la  desviac ión media , la var ianza y la desviac ión t íp ica  de la ser ies

de números s igu ien tes :

2 , 3 , 6 , 8 , 11 .

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 .

6. Se ha ap l i cado un tes t a los empleados de una fábr ica , ob ten iéndose la

s igu ien te tab la :

  fi

[38, 44) 7

[44, 50) 8

[50, 56) 15

[56, 62) 25

[62, 68) 18

[68, 74) 9

[74, 80) 6

Dibu jar e l  histograma   y e l  pol ígono de f recuencias acumuladas .

7. Dadas las ser ies es tad ís t i cas :

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 .

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 , 1 .

Ca lcu la r :

a. La moda , la  mediana   y la  media .

b. La desviac ión media , la var ianza   y la  desviac ión t íp ica .

c. Los  cuart i les  1 º y 3º .

d. Los  deci les  2 º y 7º .

e. Los  percent i les  32 y 85 .

Bibliografía:El éxito comienza en grado 10º, Los Tres Editores.

Webgrafia:www.wikipedia.comwww.vitutor.comwww.minedu.com

GLOSARIO:

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.

Un sistema de numeración puede representarse como

donde: es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).

 es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.

 son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

Identidad (matemática), una igualdad que permanece verdadera sin importar los valores que se asignen a las variables que aparecen en ella.Un cateto, en geometría, es cualquiera de los dos lados menores de untriángulo rectángulo los que conforman el ángulo recto. El lado mayor se denomina hipotenusa –el que es opuesto al ángulo recto. La denominación de catetos e hipotenusa se aplica a los lados de los triángulos rectángulos exclusivamente.

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.La manera habitual de denotar una función f es:f: A → B a → f(a),Donde  A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f yg, se denotarían entonces como:f: Z → N k → k2, o sencillamente f(k) = k2;g: V → A p → Inicial de p;si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Período o periodo,1 es palabra que deriva del latín periŏdus.2 Este término se utiliza regularmente para designar al intervalo de tiempo necesario para completar un ciclo repetitivo, o simplemente el espacio de tiempo que dura algo.En geología, período geológico es una unidad del tiempo geológico de segundo orden, inferior a la era geológica y superior a la época geológica.3

También existen periodos geológicos en cuerpos celestes externos a la Tierra (véase Escala de tiempo geológico lunar).En matemáticas:El período y la frase organizados en una o más oraciones (periódico puro) o posteriormente al primer número decimal (periódico mixto).El período de una función periódica es la parte de ésta (P) que, conforme se le añade a la variable independiente, hace repetir los valores de la variable dependiente:

En física, período de oscilación es el intervalo de tiempo entre 2 puntos equivalentes de una onda u oscilación, también se puede asociar a la frecuencia mediante la relación:

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de   en   es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología y del análisis real. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.