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8/18/2019 10. Estimadores de Parámetros

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Suponga que X es una variable aleatoria con media y varianza f2. Sea Xl X 2 , ••• , XIIuna muestra alea

de X de tamaño

n.

Demuestre que la media de la muestra

X

y la varianza de la muestra

son estimadore

sesgados de

y

f2,

respectivamente. Considere

Esto es, es un estimador insesgado de 8 si en promedio sus valores son iguales a J. Obs

que esto equivale a requerir que la media de la distribución de la muestra de sea igual a 8.

1e = 8.

Una propiedad deseable de un estimador es que debe estar cerca , en cierto sentido, del valor

dadero del parámetro desconocido. Formalmente, decimos que es un estimador insesg o o

tral

del parámetro 8 si

10 1 1 Propiedades de los estimadores

Puede haber varios estimadores puntuales potenciales diferentes para un parámetro. Por e

plo, si deseamos estimar la media de una variable aleatoria, podríamos considerar la media d

muestra, la mediana de la muestra, o quizá el promedio de las observaciones más pequeña

y

grande en la muestra como estimadores puntuales. Para decidir cuál es el mejor estimador pun

que puede usarse de un parámetro particular, necesitamos examinar sus propiedades estadístic

desarrollar algunos criterios para estimadores comparativos.

Las siguientes son estimaciones por puntos razonables de estos parámetros:

• para

/ 1

la estimación es {l=

la media de la muestra

• para 0 2, la estimación es 2

5 1 la varianza de la muestra

• para p la estimación es

p

=

X/n, la proporción de la muestra, donde X es el número de o

tos en una muestra aleatoria de tamaño n que pertenece a la clase de interés

• para / 1 1 - / 1 2 la estimación es { l1 { l2

X I - X2 la diferencia entre las medias de la mu

de dos muestras aleatorias independientes

• para

P I - P2

la estimación es

P I - P2

la diferencia entre dos proporciones de la muestra ca

ladas a partir de dos muestras aleatorias independientes

Los problemas de estimación ocurren con frecuencia en ingeniería. A menudo necesitamos es

los siguientes parámetros

• la media

/ 1

de una sola población

• la varianza

0 2

o desviación estándar de

a

de una sola población

• la proporción

p

de artículos en una población que pertenece a la clase de interés

• la diferencia entre las medias de dos poblaciones, / 1 1 - / 1 2

• la diferencia entre dos proporciones de población, p¡ -

P2

6

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



ECM e E[e - E e ]2

+ [8

E e ]2

El error cuadrático medio puede reescribirse como sigue:

10-2

El error cuadrático medio ECM, conocido también como MSE, por sus siglas en inglés) de un

e se define como

Por tanto, la varianza de la muestra es un estimador insesgado de la varianza de la población 0 2. Sin

bargo, la desviación estándar S de lamuestra es un estimador sesgado de la desviación estándar O de la po-

ación. En el caso de muestras grandes, este sesgo es despreciable.

n/12

+

n0 2 - n/12 - 0 2)

n

= 0 2.

Sin embargo, puesto que E X7) =

/1 2 +

0 2 YE X2) =

/1 2 +

0 2/n, tenemos

= n ~

1

E ±XT - nX2)

= [ L n E c x b

nECX2)] .

n

i=1

L n

2

=--E X . +X2-2 XX)

n 1

i=l

n

=-E~CX-X )2

n

i=1

[

±C X ¡

_X)2]

EC S2

E _i=_I _

n

En consecuencia, la media de la muestra

X

es un estimador insesgado de la media de la población

/1 .

Con-

ere ahora

n

E X)

:L /1

/1 .

n i=1

puesto que ECX i) /1 para toda

i

1, 2, ... , n,

11

:L ECX ¡

n i=1

ESTIMACiÓN

DE

PARÁMETROS

6



Puesto que 1/n < 1 para tamaños de muestra n ~ 2 concluiríamos que la media de la mue

es un mejor estimador de

J i

que una sola observación

X;

Dentro de la clase de estimadores insesgados nos gustaría encontrar el estimador que tien

varianza más pequeña. Éste se llama estimador insesgado de varianza mínima. La figura 10 1m

tra la distribución de probabilidad de dos estimadores insesgados

y e 2, teniendo

una vari

más pequeña que e

2.

El estimador

producirá con mayor probabilidad que e

2

una estimación

cercana al valor verdadero del parámetro desconocido

Es posible obtener una cota inferior en la varianza de todos los estimadores insesgados

un estimador insesgado del parámetro

e

basado en una muestra aleatoria de

n

observacione

ECM X 2/n 1

= =

ECM X¡

a2 n

Si esta eficiencia relativa es menor que uno concluiríamos que é l es un estimador más efi

te de

e

que é

2

en el sentido de que tiene un error cuadrático medio más pequeño. Por ejemplo

ponga que deseamos estimar la media J i de una población. Tenemos una muestra aleatoria

observaciones l

X 2 .•• Xn

y deseamos comparar dos estimadores posibles para J i la media

muestra

X

y una sola observación de la muestra digamos

Xi

Observe que tanto

X

como

Xi

so

timadores insesgados de

J i ;

en consecuencia el error cuadrático medio de ambos estimadores es

plemente la varianza. Para la media de la muestra tenemos

ECM X V X

o- n donde a

2

varianza de la población; en una observación individual tenemos

ECM X

i =

V X¡

=

2.

Por t

la eficiencia relativa de

X ¡

a es

ECM el

ECM e2 ·

Esto es el error cuadráticomedio de e es igual a la varianza del estimadormás el sesgo al cu

do. Si

e

es un estimador insesgadode e el error cuadrático medio de

e

es igual a la varianza de

El error cuadrático medio es un criterio importante para comparar dos estimadores. Sean

dos estimadores del parámetro

e

y

ECM el

y

ECM e2

los errores cuadráticos medios de

Entonces la eficiencia relativa de

a

se define como

PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



1

[

X

1 l ] 2

nE

2

V X ) ~ _ _ :- -

1 -:-

nE ~

[ ln GJ2i l ~ X :~

n

Al sustituir en la ecuación 10-4 obtenemos

X 1 l 2

In O v 2]t) - 0 .

Demostraremos que la media de la muestra

es el estimador insesgado de varianza mínima de la media de

una distribución normal con varianza conocida.

En el ejemplo 10.1 observamos que es un estimador insesgado de Observe que

Esta desigualdad se denomina cota inferior de Cramér-Rao. Si un estimador insesgado é satis

face la ecuación 1 4 como una igualdad, se tratará del estimador insesgado de varianza mínima

de 8.

l0-4

considere que

¡ x

8) denota la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X. Entonces una

cota inferior en la varianza de é es

1

ESTIMACiÓN DE PARÁMETROS

7



Distribución de

1

Uno de los mejores métodos para obtener un estimador puntual es el de máxima verosimilitud. Sup

ga que X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad

f x e

donde

e

es un paráme

10 1 2 Método de máxima verosimilitud

La consistencia es una propiedad de muestras grandes, puesto que describe el comportamien

en el límite del estimador é conforme el tamaño de la muestra tiende al infinito. Suele ser difícil

mostrar que un estimador es consistente usando la definición de la ecuación 10-5. Sin embargo,

estimadores cuyo error cuadrático medio o varianza, si el estimador es insesgado tiende a c

cuando el tamaño de la muestra se acerca al infinito, son consistentes. Por ejemplo, X es un estim

dor consistente de la media de una distribución normal, puesto que X es insesgado

y

lím

V X

lím J2 /n

O

n--7~

n--7~

lO

Encontramos algunas veces que los estimadores sesgados son preferibles a los insesgados

que tienen un error cuadrático medio más pequeño. Esto es, podemos reducir la varianza del esti

dor de manera considerable introduciendo una cantidad relativamente pequeña de sesgo. En t

que la reducción en la varianza sea mayor que el sesgo al cuadrado, se obtendrá un estimador m

rado en el sentido de error cuadrático medio. Por ejemplo, la figura 10-2 muestra la distribución

probabilidad de un estimador sesgado

{j

con varianza menor que el estimador insesgado

{j2

S

más probable que una estimación basada en

{jl

estuviera más cerca del valor verdadero de

e

que

basada en

{j2

Veremos una aplicación de la estimación sesgada en el capítulo 15.

Un estimador

{ j

con un error cuadrático medio menor o igual al error cuadrático medio de c

quier otro estimador

{j

para todos los valores del parámetro

e

se llama estimador óptimo de

e

Otra manera de definir la cercanía de un estimador

{ j

a un parámetro

e

se da en términos d

consistencia. Si

{jn

es un estimador de e basado en una muestra aleatoria de tamaño n decimos

én

es consistente para e si, para

e >

O

Pu~to que sabemos que, de manera general, la varianza de la media d e la muestra es

V X J2/n

vemo

V X

satisface la cota inferior de Cramér-Rao con una igualdad. En consecuencia,

X

es el estimador

gado de varianza mínima de 1 1 para la distribución normal donde

J2

es conocida.

8 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



n

L Jl)

II

_1_e- xi-Jl 2/2r:Jl

i

1 .,fiii

=

e- I/2r:Jl i xi-Jl 2

2na2 n /2 i=1 •

Sea X distribuida normalmente con media u desconocida y varianza a

2

conocida. La función de verosimilitud

de una muestra de tamaño

n

es

que, intuitivamente, es una respuesta satisfactoria. Por supuesto, se debe realizar una prueba de segunda deri-

vada, pero aquí la obviaremos.

Al igualar esto a cero y despejarp, se obtiene el estimador de máxima verosimilitud, p , como

i x ¡ n - i x ¡

d InL P) __ i_=I_ _ =1

dp _ p --- -:l;---p- ---

Luego,

Observamos que si

maximiza L P), entonces

también maximiza In L P), ya que el logaritmo es una

función monótona creciente. Por tanto,

i=1

n L x ; n I x ¡

L p) p ¡ 1_p)J-x¡ P i=1 1_p) i=l

donde

p

es el parámetro que se va a estimar. La función de verosimilitud de una muestra de tamaño n sería

x

=

0 1

en otro caso,

O

p x)

p 1_

p)I-x,

Sea X una variable aleatoria de Bemoulli. La función de probabilidad es

Observe que la función de verosimilitud es ahora función únicamente del parámetro descono-

cido 8. El estimador de máxima verosimilitud EMV,o MLE, por sus siglas en inglés de 8 es el valor

de 8 que maximiza la función de verosimilitud L 8 . E n esencia, el estimador demáxima verosimili-

tud es el valor de 8 que maximiza la probabilidad de ocurrencia de los resultados de la muestra.

00-68

f xl

8 .

f X2

8 · ... .

f x

n,

8).

desconocido único. Sean

XI X

2, ••. ,

X

n los valores observados en una muestra aleatoria de tamaño

n. Entonces, lafunción de verosimlitud de la muestra es

ESTIM CiÓN DE P RÁMETROS

9



Considere que X se distribuye normalmente con media Ji y varianza 0 2, donde tanto Ji como

0 2

se de

cen. Encuentre los estimadores de máxima verosimilitud de

Ji

y

0 2.

La función de verosimilitud pa

El método de máxima verosimilitud puede emplearse en situaciones en las que se requiere es

varios parámetros desconocidos por ejemplo 8

1

8

2 ... 8k.

En tales casos la función de verosim

es una función de los

k

parámetros desconocidos 81, 82, ••• ,

8

k

los estimadores de máxima vero

1itud { ¡} se encontrarían igualando a cero las primeras

k

derivadas parciales

aLc81 ,

82 ...

8

1 2 ...

k ,

resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.

Observe que la pendiente de esta función no es cero en todas partes por lo que no podemos utiliz

todos de cálculo para encontrar el estimador de máxima verosimilitud á. Sin embargo la función de v

militud aumenta cuando

a

disminuye. Por tanto maximizaríamos

L a)

fijando á como el valor más pe

que podría suponerse en forma razonable. Por supuesto a no puede ser más pequeña que el valor más g

de la muestra de modo que usaríamos la observación más grande como

á.

Así

á máx X¡

es el EMV

n

L a) n

;=1 a a

Considere que X se distribuye uniformemente en el intervalo de a

a.

La función de verosimilitud d

muestra aleatoria de

Xl

X2 X

n

de

tamaño

n

es

No siempre es posible utilizar métodos de cálculo para determinar el máximo de

L 8 .

E

ilustra en el siguiente ejemplo.

como el estimador de máxima verosimilitud de Ji.

n _

fl=-~X.=X

n ¿_

;=1

d n L Ji) _

2)-1~ )

---- - - - O ¿ _

X ; - Ji .

dJi ;= 1

. Al igualar a cero este último resultado y despejar

Ji

se obtiene

y

n

n L Ji) - n/2)ln 2Jr0 2)_ 20 2)-1 L x; Ji)2

;=1

Ahora




grande. Los estimadores de máxima verosimilitud también son consistentes. Además, tienen

propiedad de invarianza; esto es, si es el estimador de máxima verosimilitud de e y u e es una

nción de

e

que tiene un inverso de un valor único; entonces el estimador de máxima verosimilitud

u e)

es

u e .

Se puede demostrar en forma gráfica que la máxima verosimilitudse ubicará en el valor del má

o estimadorde verosimilitud.Considereuna muestra de tamaño

n

=

10de una distribuciónnormal:

Los estimadores de máxima verosimilitudno son necesariamenteinsesgados véase el estimador

máximaverosimilitud de

2

en el ejemplo 10.6 ,pero es usual que puedan modificarse con facili

ad para hacerlos insesgados. El sesgo se aproxima a cero en muestras grandes. En general, los esti

adores demáxima verosimilitud tienen buenaspropiedades de muestra grande, llamadas sintótic s

specíficamente,los EMV se distribuyenen forma asintótica, son insesgadosy tienenuna varianzaque

e aproxima a la cota inferior de Cramér-Raopara n grande. De modo más preciso, decimos que si

el estimador de máxima verosimilitud para

e . . ¡n

e

e

se distribuye normalmente con media ce

y varianza

e están muy relacionados con la varianza insesgada

de la muestra, a saber:

a

2

= n - 1 /n S2.

~ ~

fl

= ; ;:~ x, =

X

=

Las soluciones de las ecuaciones anteriores producen los estimadores de máxima verosimilitud

dln L fl,a2

=

_l_i, xi _ fl)

=

0,

dfl

0 2 i=1

dln L ji,a2

=

-n

_ _

±

X _

2 = o

d 0 2) 20 2 20 4 i=1

fl

Luego,

n

~

In L fl,a

2 =

-ln 2n-a

2 - -- ~ X i -

fl)2.

2 20 2 ;=1

y

ESTIMACiÓN DE PARÁMETROS 7



Los momentos { 1 1 ; } de la población serán en general funciones de los k parámetros desco

dos

{e

i}. Al igualar los momentos de la muestra y los momentos de la población se produci

discreta. 1 2 ...

k,

X continua1 2 ... k,

1 ; E X

t)

f~ x

t

f x; e 1 , e 2 , , e k dx,

X

p x; ~1,e2 ,

k

X x

Los primeros

k

momentos de la población en tomo al origen son

1 2 ...

k.

Suponga que X es una variable aleatoria continua con densidad de probabilidadf x; e l e 2 , . . .

o una variable aleatoria discreta con distribuciónp x;

el

2 ••• k caracterizada por k parám

desconocidos. SeaXI

2 ... , X;

una muestra aleatoria deX de tamaño n; definimos los prime

momentos de muestra respecto del origen como

10 1 3 Método de momentos

Figura 1 3 Log de la función de verosimilitud de diferentes medias.

Media de la muestra

-700 22

J

-600

87

6

4

3

-500

Suponga que se sabe que la varianza de la población es igual a 4. Según se ha demostra

EMV para la media 1 1 . de una distribución normal es igual a

X

Para este conjunto de datos

La figura 10-3presenta ellog de la función de verosimilitud para diferentes valores de la media

serve que el valor máximo de la función log de verosimilitud está aproximadamente en 2

gunas veces. la función de verosimilitud es relativamente plana en una región alrededo

máximo. Esto se puede deber al tamaño de la muestra tomada de la población. Una muestra

maño pequeño puede conducir a un log de verosimilitud muy plano. lo que implica menor

sión en la estimación del parámetro de interés.

PROBABILIDAD y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



El método de momentos suele producir estimadores razonablemente buenos. En el ejemplo 10.7,

por mencionar un caso, los estimadores de momento son idénticos a los estimadores de máxima

verosimilitud. En general, los estimadores de momento se distribuyen aproximadamente de man

era normal y asintótica, y son consistentes. Sin embargo, su varianza puede ser mayor que la varian

za de los estimadores obtenidos por otros métodos, tales como el método de máxima verosimilitud.

o el estimador del momento de a es exactamente el doble de la media de la muestra.

a

= X

El primer momento de la muestra es justamente Por consiguiente,

Considere que X se distribuye uniformemente en el intervalo O,a Para encontrar un estimador de a por el

método de momentos, tenga en cuenta que el primer momento de población alrededor de cero es

; :

~ Í , X f - n X 2 = Í, X ¡_X 2.

~l

con la solución

f . 1 ; ; : f . 1 ,

/12;: } J i

Los momentos de la muestra son m i ; :

lIn L7=¡X¡

y

m;;: lln L7=¡X7.

De acuerdo con la ecuación 10-9 ob

tenemos

Sea X - N f . 1 ,

}2 ,

donde f . 1 y

}2

se desconocen. Para obtener estimadores para J i y

}2

por el método de mo

mentos, recuerde que para la distribución normal

La solución de la ecuación 10-9, denotada 81, 82, ... ,

produce los estimadores de momen

to de e l e 2 , . . . , e k .


7



La distribución conjunta de la muestra y

j

en el numerador de la ecuación 10-10, son producto

la distribución anterior de

j, y

la verosimilitud

(lO-l

Definimos la

distribuciónposterior

de

j,

como la distribución condicional de

j

dada por los

sultados de la muestra. Esto es exactamente

En los capítulos anteriores hemos hecho un amplio estudio del uso de la probabilidad. Hasta ah

hemos interpretado las probabilidades en el sentido de la frecuencia; es decir, si se refieren a un

perimento que se puede repetir un número indefinido de veces: si la probabilidad de que ocurra

evento

A

es 0.6, entonces podríamos esperar que

A

ocurriera aproximadamente en 60 de los en

yos experimentales. Con frecuencia, esta interpretación de la probabilidad se llama objetivismo

punto de vista clásico.

La inferencia bayesiana requiere una interpretación diferente de la probabilidad, que se lla

punto de vista subjetivo. Con frecuencia encontramos enunciados subjetivos, tales como: Exi

30 de posibilidades de que llueva hoy . Los enunciados subjetivos miden un grado de confi

za personal respecto de algún evento, más que una interpretación de la frecuencia. La inferencia

yesiana requiere hacer uso de la probabilidad subjetiva para medir nuestro grado de confian

respecto de un estado de la naturaleza. Es decir, debemos especificar una distribución de probab

dad para describir nuestro grado de confianza respecto de un parámetro desconocido. Este proce

miento es totalmente diferente de lo que hemos analizado con anterioridad. Hasta ahora,

parámetros se han tratado como constantes desconocidas; la inferencia bayesiana requiere consi

rarlos como

variables aleatorias

Suponga que

f

j

es la distribución de probabilidad del parámetro o estado de la naturaleza

j

distribución f

j

resume nuestra información objetiva de

j

antes de obtener los datos de la mues

Obviamente, si tenemos cierta certeza en relación con el valor de

j,

podemos elegir f

j

con una

rianza pequeña, en tanto que si tenemos duda respecto del valor de

j,

podemos elegir f

j

con

varianza más grande. Llamamos f

j

la distribución anterior de

j.

Ahora consideremos la distribución de la variable aleatoria X. La distribución de X denotada

f x

j

indica que la distribución depende del parámetro desconocido

j.

Suponga que tomamos

muestra aleatoria X, digamos Xl'

X2 • X

La función de verosimilitud

conjunta

de la muestra e

10 1 4 Inferencia bayesiana

El estimador en ese ejemplo no siempre genera una estimación compatible con nuestro cono

miento de la situación. Por ejemplo, si nuestras observaciones de la muestra fueran XI 60, X

10 y

x

5, entonces

50, que no es razonable, puesto que sabemos que

a

60.

7 PRO ILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



Por tanto, usando la ecuación 10-12, la densidad posterior para íl es

donde k se debe elegir dependiendo del conocimiento exacto o del grado de confianza que se tiene en relación

con el valor de íl La densidad conjunta de la muestra y de íles

f( x l x2 ... , X n;A ) kílne-A (D ,+ k).

y la densidad marginal de la muestra es

f(xl x2 ... , xn

=

kíl e-A(Lx,+ k) díl

r n

1

(LX i

kr

l

en otro caso,

íl>

A I x

f( x l X2 .. . , xnlíl) = íl ne = •

Suponga que, según nuestras consideraciones, la distribución anterior también es exponencial para íl,

Se sabe que el tiempo de vida útil de un transistor se distribuye de manera exponencial con parámetro

í

Pa

ra una muestra aleatoria de n transistores, la densidad conjunta de los elementos de la muestra, teniendo en

cuenta íl, es

Observamos que se ha usado el teorema de Bayes para transformar o actualizar la distribución an

terior en la posterior. La distribución posterior refleja nuestro grado de confianza de 8 de acuerdo

con la información proporcionada. Además, la distribución posterior es proporcional al producto de

la distribución anterior y la verosimilitud. La constante de proporcionalidad está dada por la cons

tante de normalización de f( x l x2 ... , xn .

Así, la densidad posterior de e expresa nuestro grado de confianza respecto del valor de e to

mando en cuenta el resultado de la muestra.

10-12

10-11

{ ~

f (8 )f (X I x 2 ... , x

n

l8 ) d8 , x

c.ontinua,

f( x l x2 .•• Xn -

Lf(8)f(Xl X2 . .. , xnI8), x discreta.

e

En consecuencia, podemos escribir la distribución posterior de 8 como

El denominador de la ecuación 10-10, que es la distribución marginal de la muestra, es exacta

nte una constante de normalización obtenida a partir de


7



f~e{d XI x2 .. . , xn);O}t x¡, x2 .. . , xn 10)r O)dO

= f~e e;o)r x l x2 ... , xn ;O)dO

=

f xl, x2 ... , xn ) e e ;o )r O lx¡, x2 ... , x n)d O .

La función B será minimizada si podemos encontrar una función d que minimice la can

dentro de las llaves más grandes de la ecuación 10-14 para cada conjunto de valores Es de

estimador bayesiano de

O

es una función

d

de las

Xi

que minimiza

Definimos

al

estimad o r d e B a yes del parámetro O ,como una función d de la muestra l X2 ,

que minimiza el riesgo esperado. 0, intercambiando el orden de integración de la ecuación 10-1

tenemos

1

B d )

E [ R d ;O )]

f

R d ;O) f O) d O

= f ~ { f ~ f ~ e{d x), x2 .. . , xn ); O } f X I x 2 .. . , xn l O )dx

l

d x2 .. . d X n } f O ) d O .

R d ; O )

E [e é;O)]

f ~ f ~ . . .~

e{d X I X 2 ... , xn );o } f xl X 2 .. . , X n O )d x) , d X 2 ... d xn ,

donde la función d xl, x2 ... , xn ) una notación alterna para el estimador e, es simplemente un

ción de las observaciones. Puesto que O es considerada una variable aleatoria, el riesgo en sí m

es una variable aleatoria. Nos gustaría encontrar la función d que minimice el riesgo esperado

cribimos el riesgo esperado como

10 1 5 Aplicaciones de la estimación

En esta sección analizaremos la aplicación de la inferencia bayesiana al problema de la estim

de un parámetro desconocido de una distribución de probabilidad. Sea

X X

2 •

X ;

una m

aleatoria de la variable aleatoria X que tiene una densidadf x

lO

Queremos obtener un punto

timación de O . S e a f O ) la distribución anterior de O , y sea e e; O ) la fu n ció n d e p érdid a . La fu

de pérdida es una función de penalización que refleja el pago que debe hacerse por no iden

O como una realización de su estimador puntual e. Elecciones comunes para e e; O ) son e -

l 2. Generalmente, entre menor es la precisión de una realización de

e

más se debe pag

conjunción con una función de pérdida particular, el riesgo se define como el valor esperado

función de pérdida respecto de las variables aleatorias XI x

2 ... ,

X ; que contienen a

e

En otr

labras, el riesgo es

276

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARAINGENIERíA



<

/l

<

=.

/l _1_

e- 1/2 ¡.P

v 2 1 t

Sea

XI

X2, ... , Xn una muestra aleatoria de densidad normal con media /l y varianza 1, donde /l se desconoce.

Suponga que la densidad anterior para /l es normal con media y varianza 1; es decir

Observe que el resultado que produce cada uno de los métodos es diferente. La estimación de Bayes es

ligeramente más cercana a la estimación anterior que el estimador de máxima verosimilitud.

A = _ _

= 0.06667.

n 1500

i

;=1

En consecuencia, el estimador de máxima verosimilitud de A,con base en la muestra de datos anterior, es

Podemos comparar este resultado con los que obtendríamos mediante métodos clásicos. El estimador de

máxima verosimilitud del parámetro

A

en una distribución exponencial es

1

x¡ k

i=1

n l = 10 1 = 0.06707.

1500

140

Suponga que, en el problema del tiempo de vida útil del ejemplo 10-9, una distribución anterior razona

ble es una exponencial para A que tiene un parámetro k = 140.Esto es equivalente a decir que la estimación

anterior para

A

es 0.07142. Una muestra aleatoria de tamaño n = 10 da por resultado I . } ~ l x¡= 1500. La esti

mación bayesiana de es

1 1 1

A==

Considere la situación que se planteó en el ejemplo 10-9, donde se mostró que si la variable aleatoria X está

distribuida exponencialmente con parámetro A y si lad istribución anterior para A es exponencial con paráme

tro k la distribución posterior para A es una distribución gamma con parámetros 1 1 1 YI . ; ~ I X¡ k Por tan

to, si se supone una función de pérdida del error cuadrático, el estimador de Bayes para

A

es la media de esta

distribución gamma

Si la función de pérdida f O ; O es la pérdida del error cuadrático O - 0 2, podemos mostrar que

el estimador bayesiano de O,digamos O , es la media de la densidad posterior para O véase el ejer

cicio 10-78 .




n

L X i

n X =

11

= = .

n + 1 n + 1

Por tanto, la densidad posterior para 1 1es una densidad normal con media nX/ n 1 Yvarianza n

Si la función de pérdida C f l 1 1 )es el error cuadrático, el estimador de Bayes de 11es

n

1)1/2

{ l

[2 2n ,i1 1 n

,i2 )}

-----,-,-- exp - - n+

1

1 1 - --- ---

2 n )

1/2

2

n +

1

n + 1 )2

n

1)1/2

exp{-

_ _

n 1) [11- x ] 2 }

2 n ) 1/2 2 n + 1

{

1( n2,i2)}

2 n)-n /2 n 1 -112 exp - 2 : x f ; ; : ; : ¡

2n)- n+I)/2 ex

p{-

-i[L x f+ n+

1 112

2n.i11]}

usando el hecho de que el valor de la integral es 21t)1/2/ n

1 1/2

ya que una densidad normalizada se

gra a 1 .Ahora la densidad posterior para 11es

1 [ 1 ,i2 )]

exp--

2:r---

n 1)1/2 2n)n/2 2 n + 1

¡(XI x 2 ... , x n)

_1 -

exp[- _ _(2:x f n2,i2)] x

[_1_

f = exp[- _ _ n +

1 11-

n ,i 2 ] d l1 ]

2n) nl2 2 n + 1 2n)1/2 .c.co 2 n+ 1

Completando el-cuadrado en el exponente dentro de la integral, obtenemos

¡(XI X 2 . . . X n 1 exp {- _ _ _ _ _ 2 : X ¡ } f = exp {- _ _ _ _ _ [ e n + 1 1 1 2

2 J n X l }

d u .

2n) n+I)/2

2 ~ 2

La densidad marginal de la muestra es

Así, la densidad conjunta de la muestra y 1 1es

¡ x

1

) =__ e - 1 /2 )L x , 11 )

l 2 n

2n)n/2

La densidad condicional conjunta de la muestra dada 1 1es

8 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA


http://slidepdf.com/reader/full/10-estimadores-de-parametros 17/61Observe que el error estándar es aproximadamente 0.2 de la media de la muestra, lo que implica que he

os obtenido una estimación puntual más o menos precisa de la conductividad térmica.

¡

= =

0.~4

=

0.0898.

v n

viO

El error estándar de la media de la muestra es Ji

J/ln

y

puesto que

se desconoce, podemos sustituir

a por la desviación estándar de la muestra para obtener el error estándar estimado de

x

41.924 Btu/h-ft-°F.

Una estimación por puntos de la conductividad térmica media a 100°F

y

550 W, es la media de la

, o

41.60,41.48,42.34,41.95,41.86,

42.18,41.72,42.26,41.81,42.04.

n artículo del Journal of Heat Transfer (Trans. ASME, Ses. 96, 1974, p. 59) describe un método para me

ir la conductividad térmica de hierro Arrnco. Al emplear una temperatura de 100°F

y

una entrada de poten

ia de 550 W, se obtuvieron las siguientes 10 mediciones de conductividad térmica (en Btu/hr-pie-f F):

Si o involucra cualesquiera parámetros desconocidos, entonces si sustituimos estimaciones de

stos parámetros en la ecuación 10-17, obtenemos el

error estándar estimado de ,

digamos a { j o Un

rror estándar pequeño implica que se ha presentado una estimación relativamente precisa.

(10-17)

uando presentamos el valor de una estimación puntual, suele ser necesario dar alguna idea de su

recisión. El error estándar es la medida de precisión más usual. Si () es un estimador de e el error

tándar de es justamente la desviación estándar de (), o

10 1 6 Precisión de la estimación: el error estándar

a diferencia entre los dos estimadores es pequeña comparada con 1 I J Y i En problemas prácticos, una

uestra de tamaño moderado produce aproximadamente la misma estimación, ya sea usando el mé

odo de Bayes o el método de máxima verosimilitud si los resultados de la muestra son consistentes

on la información que se asumió previamente; de lo contrario, la estimación de Bayes puede dife

ir considerablemente de la estimación de máxima verosimilitud. En tales circunstancias, si los re

ultados de la muestra se aceptan como correctos, la información previa debe ser errónea. Entonces,

a mejor estimación a usar es la estimación de máxima verosimilitud.

Si los resultados de la muestra no están de acuerdo con la información anterior, el estimador de

s tenderá a producir una estimación que esté entre la estimación de máxima verosimilitud y los

upuestos previos. Si hay más inconsistencia entre la información anterior y la muestra, habrá una

an diferencia entre las dos estimaciones. Para analizar una muestra de esto, véase el ejemplo 10-10.

ESTIM IÓN DE P RÁMETROS 9



100 2

: ¿ } . , ; -

0.00551)

: } . ; -

X 2

La media de la distribución exponencial está dada por

E X)

= 1/A También se sabe que

E X)

=

l/A.

estimación razonable para A es entonces }.,=1/x.A partir de los datos de la muestra, encontramos = 19

lo que da como resultado}.,= 1/192.44= 0.00520. Se generaron B = 100muestras bootstrap de tamaño n

usando Minitab conf x;0.00520 = 0.00520e-O·00520x.Algunas estimaciones bootstrap semuestran en

bla 1O-l. 100

Se encuentra que el promedio de las estimaciones bootstrap es de

X

= I :/100=0.0055l. El error e

dar de la estimación es i=l

195.2, 20l.4, 183.0, 175.1,205.1,191.7,188.6,173.5,200.8,210.0.

Se sabe que los tiempos de falla X de un componente electrónico siguen una distribución exponencial co

parámetro desconocido A Una muestra aleatoria de 10componentes da como resultado los siguientes tiem

de falla (en horas):

En los textos sobre estadística, con frecuencia se reemplaza B - 1 por B; para valores gran

de sin embargo, se obtiene una pequeña diferencia práctica en la estimación.

l

S{J=

t {j: -

e

i=l

Cuando la distribución de

{j

es desconocida o complicada, puede ser difícil estimar el erro

tándar de {j usando la teoría de la estadística estándar. En este caso, se puede usar una técnica

tensiva de cálculo llamada

bootstrap.

Efron

y

Tibshirani (1993) hicieron una excelente introducc

a ella.

Suponga que el error estándar de {j se denota por

J{J

Además, suponga que la función de

sidad de probabilidad de la población está dada por f x;8). A partir de estos datos, se puede c

truir fácilmente la estimación bootstrap de J {J

1.

Dada una muestra aleatoria de f x; j),

Xl

X2 •.. , x

n

estime 8 denotado por {j.

2. Usando la estimación j, genere una muestra de tamaño n de la distribución j (x.é). Ést

la muestra bootstrap.

3. Usando la muestra bootstrap, estime 8. Esta estimación se denota por {j:.

4. Genere muestras bootstrap

B

para obtener las estimaciones bootstrap,

{j:

para

i

1, 2, .

(con frecuencia se usa

B

100 o 200).

B

5. Sea e ~{j: l B la representación de la media de la muestra de las estimaciones bootst

6. El error bootstrap estándar de e se encuentra con la fórmula usual de desviación están

8 PROBABILIDAD ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



se llama intervalo de confianza de 1

1 -

a

para el parámetro desconocido

A L YU se les de

nomina límites de confianza inferior y superior, respectivamente, y 1-

recibe el nombre de coefi-

ciente de confianza La interpretación del intervalo de confianza es que, si se recopilan muchas

muestras aleatorias y se calcula un intervalo de confianza de 100 1 - a en de cada muestra,

100 1- a de estos intervalos contendrán el valor verdadero de La situación se ilustra en la fi

gura 10-4, la cual muestra varios intervalosde confianza de 100 1- a para la media J i de una dis

tribución. Los puntos en el centro de cada intervalo indican la estimación puntual de

J i

en este caso,

X

Observe que uno de los 15 intervalos no contiene el valor verdadero de

J i

Si éste fuera un inter

valo de confianza de 95 , a la larga sólo 5 de los intervalos no contendrían

J i

Ahora bien, en la práctica obtenemos sólo una muestra aleatoria y calculamos un intervalo de

confianza. Puesto que este intervalo contendrá o no el valor verdadero de

no es razonable atri

buir un nivel de probabilidad a este evento específico. El enunciado apropiado sería que se en

cuentra en el intervalo observado [L,

U]

con confianza de 100 1 - a . Este enunciado tiene una

interpretación de frecuencia: esto es, no sabemos si el enunciado es verdadero para esta muestra es

pecífica, pero el método utilizado para obtener el intervalo [L U] produce enunciados correctos el

100 1-

a

de las veces.

El intervalo de confianza en la ecuación 10-19podría llamarse con mayor propiedad un

interva-

lo de confianza de dos lados en cuanto a que especifica tanto un límite inferior como uno superior

10-1 9)

:::;

e

U

El intervalo resultante

10-18 )

{L:::;

e

U } =

En muchas situaciones, una estimación puntual no proporciona suficiente información acerca del pa

rámetro de interés. Por ejemplo, si nos interesa estimar la resistencia media del concreto a la com

presión, tal vez un solo número no tenga mucho significado. Una estimación del intervalo de la

forma L :::;

i :::;

U podría resultar más útil. Los puntos extremos de este intervalo serán variables alea

torias, puesto que son funciones de datos de muestra.

En general, para construir un estimador de intervalo del parámetro desconocido

debemos en

contrar dos estadísticas, L y U tales que

1 2 EST IM AC iÓ N D EL IN TER VALO DE C O NF IAN ZA D E U N A SO LA M UESTR A

0 00489

04 390

00

0 00411

0 00650

0 00790

243 407

153 821

126 554

2

3

~

I

edia de la muestra

uestra

Tabla 10 1

Estimaciones bootstrap del ejemplo 10 13




La longitud de un intervalo-de confianza observado de ambos lados es una medida impor

te de la calidad de la información obtenida de la muestra. La longitud de medio intervalo J -

U- J se denomina precisión del estimador. Cuanto más largo sea el intervalo de confianza, m

confianza tendremos de que el intervalo contiene en realidad el verdadero valor de

J .

Por otra

te, cuanto más largo sea el intervalo, tanto menor será la información que tenemos en tomo al v

00

{ J 5 U} =

donde el límite de confianza superiorU se elige de manera que

10

De manera similar, un intervalo de confianza superior de 100 1 - a de un lado para J

dado por el intervalo

10

{L 5

J} = 1

donde el límite de confianza inferior

se elige de modo que

10

5 J

en

J .

En ocasiones, un intervalo de confianza

de un l do

podría ser más apropiado. Un interval

confianza inferior de 1OO1 - a de un lado para J está dado por intervalo

Figura 1 4 onstrucción repetid de un interv lo de confi nz p r 1

282 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARAINGENIERíA



z

a

Considere los datos de conductividad térmica del ejemplo 10-12.Suponga que deseamos encontrar un interva

lo de confianza de 95 en la conductividad térmica media de hierroArmco. Imagine que conocemos que la

10-25)

Al comparar las ecuaciones 10-24y 10-18,vemos que el intervalo de confianza de dos lados de

100 1-

a)

en

es

10-24)

Esto puede reacomodarse como

p { X ZoJ a/m

X

ZaJ a/m} =

1

a

o

se toma como una distribución normal estándar.

La distribución de

Z

=

X-

1l / a/.J1i

se muestra en la figura 10-5.Al examinar esta figura ve

mos que

X-Il

z= r

a¡vn

Sea X una variable aleatoria normal con media desconocida

y varianza conocida

2

y suponga

que se toma una muestra aleatoria de tamaño

n

Xl

X

2, •• . ,

Xn

Puede obtenerse un intervalo de con

fianza de 100 1-

a)

en

considerando la distribución muestral de la media de la muestra

En

la sección 9-3 se dijo que la distribución muestral de

es normal si X es normal

y

aproximadamen

te normal si las condiciones del Teoremadel Límite Central se cumplen. La media de es y la va

rianza es

o- ».

Por tanto, la distribución de la estadística

10 2.1 Intervalo de confianza sobre la media de una

distribución normal conocida la varianza


8



El intervalo de confianza de 99 es más largo que el intervalo de confianza de 95 . Est

porque tenemos un nivel más alto de confianza en el intervalo de confianza de 99 . En general

ra una muestra fija de tamaño n y una desviación estándar a entre más alto es el nivel de conf

za, más largo será el intervalo de confianza resultante.

Puesto que la longitu del intervalo de confianza mide la pre isión de la estimación, vemos

la precisión se relaciona inversamente con el nivel de confianza. Como se comentó antes, es m

2 2.58a/vn 5.l5a/-Jii.

en tanto que la longitud del intervalo de confianza de 99 es

2 1.96alJri 3.92a/Fn

Nivel de confianza y precisión de la estimación

Observe que, en el ejemplo previo, nuestra elección de 95 del nivel de confianza fue, en esen

arbitraria. ¿Qué habría sucedido si hubiéramos elegido un nivel de confianza más alto, digamo

99 ? De hecho, ¿no es razonable desear un nivel de confianza más alto? Para

a

0.01, encon

mos Za/2 =

ZO.01l2

=

ZO.005

= 2.58, en tanto que para a = 0.05,

ZO.025

= 1.96. En consecuencia, la

gitud del intervalo de confianza de 95 es

41.862 ~

~

41.986.

Éste es nuestro intervalo de valores razonables para la conductividad térmica media con una confianz

95 por ciento.

Por consiguiente, el límite de confianza de 95 de los dos lados es

u

= i Za/2 j /J n

41.924

1.96 0.1O)/JTo

41.924 0.062

=

41.986.

y el límite de confianza superior es

= i Za/2

j / I f i

41.924 - 1.96 0.1O)/JTo

41.924 - 0.062

41.862

desviación estándar de la conductividad térmica a 100°F Y550W es o 0.10Btu h pie F Si suponemo

la conductividad térmica se distribuye normalmente o que las condiciones del Teorema del Límite Cent

cumplen), podemos utilizar la ecuación 10-25para construirel intervalode confianza. Un intervalo de 95

plica que 1 - a 0.95, así que a 0.05 y, de acuerdo con la tabla II del apéndice Za/2 ZO 05/2 ZO 025

El límite de confianza inferior es

8 PROBABILIDAD y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



10-27)

1s

X

z; J . .¡n,

y el intervalo de confianza inferior de 100 1 - a para )1 es

Intervalos

de confianza de un lado

También es posible obtener intervalos de confianza de un lado para )1, ajustando L

00

o U

00

y reemplazando

ZaJ2

por Zu. El intervalo de confianza superior de 100 1 - a para

)1

es

Observe cómo, en general, el tamaño de la muestra se comporta como una función de la longi

tud del intervalo de confianza E el nivel de confianza como 100 1 - a , y la desviación estándar

J

como sigue:

• cuando la longitud deseada del intervalo E se reduce, el tamaño de la muestra requerida n

aumenta para un valor fijo de Jy una confianza especificada;

• cuando Jaumenta, el tamaño de la muestra requerida

n

aumenta para una longitud fija E

y

una confianza especificada,

y

• cuando el nivel de confianza aumenta, el tamaño de la muestra requerida

n

se incrementa pa

ra una longitud fija

Ey

una desviación estándar

J.

ZaJ2 J 2

[ 1.96)0.10]2

n= = =15.37=16.

E 5

Si el lado derecho de la ecuación 10-26 no es un entero, debe redondearse hacia arriba. Observe

que E es la longitud del intervalo de confianza resultante.

Para ilustrar el empleo de este procedimiento, suponga que deseamos que el error en la esti

mación de la conductividad térmica media del hierro Armco del ejemplo 10-14 sea menor a 0.05

Btu/h-pie-c f con confianza de 95 . Puesto que

J

= 0.10 YZO.025 1.96, podemos encontrar que

el tamaño de muestra requerido a partir de la ecuación 10-26 es

10-26 )

Elección del tamaño de la muestra

La precisión del intervalo de confianza en la ecuación 10-25 es ZaJ2 J lJii . Esto significa que al

usar

para estimar

11 ,

el error

E

= x 111es menor que

ZaJ2 J /F n

con confianza de 100 1- a .Es

to semuestra gráficamenteen la figura 10-6.En situacionesdonde el tamañode la muestra puede con

trolarse, podemos elegirncomo 100 1- a confiablede que el error al estimar serámenor que un

error especificadoE El tamaño de muestra apropiadoes

Figura 1 6 Error al estimar J con

u x +

Za

a vn

x

Za

a vn

E error x ¡ J

1----+1


8



o

P{

aJ

n ] ::;t::; t

aJ

n ]} 1 - a

es la distribución

t

con 1 grados de libertad. Mostraremos ahora cómo se obtiene el interva

confianza en

f l .

La distribución de

t

=

X

f l )/ ( S / v r i ) semuestra en la figura 10-7.Al dejar que

t

aJ

n ]

sea el p

to porcentual superior Ctl de la distribución t con n 1 grados de libertad, observamos en la fi

10-7 que

t

_ X - - - ; - - . . . . . . f l _

S v n

Suponga que deseamos determinar un intervalo de confianza o la media de una distribución, pe

desconoce la varianza. Se dispone, de manera específica, de una muestra aleatoria de tamañon

X2 ••. X

n

y X y S 2 son la media y la varianza de la muestra, respectivamente. Una posibilida

ría reemplazar aen las fórmulas del intervalo de confianza para

f l

con varianza conocida ecu

nes 10-25, 10-27Y10-28 con la desviación estándar s de la muestra. Si el tamaño de muestra,

relativamente grande, digamos

n

30, éste es un procedimiento aceptable. En consecuencia, lla

mos a menudo a los intervalos de confianza en las secciones 10·2.1 y 10-2.2intervalos de conf

za de muestra grande debido a que son aproximadamente válidos, incluso si las varianza

población desconocidas se reemplazan por las varianzas de muestra correspondientes.

Cuando los tamaños de muestra son pequeños, este enfoque no funciona y debemos utilizar

procedimiento. Para producir un intervalo de confianza válido, debemos hacer una suposición

fuerte relativa a la población base. La suposición usual es que la población base se distribuye

malmente.

Esto conduce a intervalos de confianza basados en la distribución

t.

Específicamente

X ] , X 2 ... X; una muestra aleatoria de una distribución normal con media f l y varianza o? desc

cidas. En la sección 9-4 se mencionó que la distribución muestral de la estadística

10 2 2 Intervalo de confianza sobre la media de una

distribución normal con varianza desconocida

8




x

9.8475,

s

0.0954.

Deseamos encontrar un intervalo de confianza de 95 respecto de la media del tiempo residual de flama.

La media

la desviación estándar de la muestra son

9.85, 9.93, 9.75, 9.77, 9.67,

9.87, 9.67,

9.94,

9.85,

9.75,

9.83,

9.92, 9.74, 9.99, 9.88,

9.95,

9.95, 9.93, 9.92,

9.89.

Un artículo del Joumal ofTesting and Evaluation ol. 10,núm . 4, 1982,p. 133)presenta las siguientes20 me

diciones del tiempo residual de flama en segundos) en muestras tratadas de ropa de dormir para niños:

Recuerde que estos procedimientos suponen que estarnos realizando el muestreo en una pobla

ción normal. Esta suposición es importante para muestras pequeñas. Por fortuna, la suposición de

normalidad se cumple en muchas situaciones prácticas, Cuando ese no es el caso, debernos utilizar

intervalos de confianza de

distribución libre

o

no paramétricos.

Los métodos no paramétricos se es

tudian en el capítulo 16, Sin embargo, cuando la población es normal, los intervalos de distribución

t son los intervalos de confianza de 100 1 - a más cortos posibles, y por ello son superiores a los

métodos no paramétricos.

La selección del tamaño demuestra

n

requerido para brindar un intervalo de confianza de la lon

gitud necesaria no es tan fácil como en el caso de la

conocida, porque la longitud del intervalo de

pende del valor de desconocido antes de recopilar los datos) y de

n

Además,

n

entra al intervalo

de confianza a través de

1 / v n

y de t

aJ2 n-l

En consecuencia, la

n

requerida debe determinarse me

diante ensayo y error.

1 0-32)

y intervalo de confianza superior de 100 1-

a

en

J i

es

J i ;

t

an

S / v n

10-31)

Un intervalo de confianza inferior de 100 1 -

a

en

J i

está dado por

tan S / v n : : : ; J i

10-30)

t

aJ2 n-l

S / . . ¡ n : : : ; i ;

t

aJ2 n-l

S / J i i

Al comparar las ecuaciones 10-29 y 10-18, vernos que el intervalo de confianza de dos lados de

100 1- a en J i es

1 0-29)

{ X -

taJ2 n-l S / J ñ : : : ; J i ;

taJ2 n-l S / J ñ } a

Al reacomodar esta última ecuación se obtiene

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 8


http://slidepdf.com/reader/full/10-estimadores-de-parametros 26/61X~/2

n

Xf a/2 n

a/2

2

2

2 } - 1 _

X l aJ2 n 1 X XaJ2 n l a

es ji cuadrada con n 1 grados de libertad. Esta distribución se ilustra en la figura 10-8.

Para desarrollar el intervalo de confianza, observamos en la figura 10-8 que

SupongaqueX se distribuyenormalmenteconmedia l y varianza

j2

desconocidas.SeaXl

2, ... ,

una muestra aleatoria de tamaño

n,

y

S 2

la varianza de la muestra. En la sección 9-3 se mostró q

la distribución muestral de

10 2 3 Intervalo de confianza sobre la varianza de una distribución norma

Tenemos una confianza de 95 de que la media del tiempo residual de flama está entre 9.8025 9.8

segundos.

9.8029 seg ~

l ~

9.8921 seg

Por tanto, el intervalo de confianza de 95 es

x ta/2,n-1 s / J ñ

9.8475

2.093 0.0954 /50

9.8921 seg

y

L x ta/2,n-1 s / J ñ

9.8475 -

2.093 0.0954 /50

9.8029 seg.

De acuerdo con la tabla IV del apéndice, encontramos que

tO 025 19

2.093. Los límites de confianza i

rior

superior de 95 son

288 PROB BILID D

EST DíSTIC P R INGENIERí



a 0.21 onzas de líquido

Este último enunciado puede convertirse en un intervalo de confianza en la desviación estándar

a,

toman

do la raíz cuadrada en ambos lados, lo que resulta en

o? -:;(19)0,0225 0.0423 (onzas de líquidoj-.

10.117

2 n

S

a -

2

XO 95 9

Un embotellador de refrescos está interesado en el funcionamiento uniforme de la máquina que se utiliza pa

ra llenar latas, En particular, le interesa que la desviación estándar adel proceso de llenado sea menor de 0,2

onzas de líquido; en otro caso, habrá un porcentaje más alto que el tolerable de latas que no estarán comple

tamente llenas, Supondremos que el volumen de llenado sedistribuye aproximadamente en forma normal. Una

muestra aleatoria de 20 latas resulta con una varianza de S 0.0225 (onzas de líquidoj-. Un intervalo de con

fianza superior de 95 se encuentra a partir de la ecuación 10-36, del siguiente modo:

(10-36)

n

1)52

2

Xl-a n-l

El intervalo de confianza superior a 100(1 - a se encuentra asignando L = Oy sustituyendo

2 2

1 bti

Xl-a 2 n-l con X

l-a n-l

con o que se o tiene

(10-35)

n

1)52

2

2 s rr .

Xa n-l

(10-34)

n-l S2< n-l 52

2 _ J 2

X

a 2 n-

1

X

1-

a 2 n -

1

Para determinar un intervalo de confianza inferior a 100(1 - a en a2, determinamos U y

reemplazamos

X~2 n-l

con

X~ n-l

lo que resulta en

Al comparar la ecuaciones 10-33 y 10-18, vemos que el intervalo de confianza de dos lados de

100(1 - a en a2 es

(10-33)

n

1)52 )

1 _ a,

Xta 2 n-l

Esta última ecuación puede reacomodarse para producir

(

2

<

n

1)52<

2 ) _

p

Xl-a 2 n-l - a2 -

X

a 2 n-l -

a

o


9



el intervalo de confianza de los dos lados de 1

O O

1 -

a

aproximado en

p

es

(1

JPO-P J P l -P

P

p

-Z aJ2 . n ~

p ~p

ZaJ2 n

1 -

a

Reconocemos la cantidad .. j

p

1 - P /n como el error estándar del estimador puntual p. De

tunadamente los límites superior e inferior del intervalo de confianza obtenido a partir de la

ción 10-37 contendrían el parámetro desconocido p. Sin embargo, una solución satisfacto

sustituir p por p en el error estándar, lo que resulta en un error estándar estimado. Por tanto,

0

J p O - P l - J p I - P l

P p -ZaJ2 n ~p ~p ZaJ2 n a

Esta expresión puede reacomodarse como

p

p

P -Za12 S p I n- Za12 ~ I

a .

o

P{-ZaJ2 ~

Z~

ZaJ2 }

a

es aproximadamente normal estándar. .

Para construir el intervalo de confianza en p, observe que

z

~p---=-p

{P l

n-

P

10 2 4 Intervalo de confianza sobre una proporción

A menudo es necesario construir un intervalo de confianza de 1000 - a en una proporción

ejemplo, suponga que se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño n de una gran población

siblemente infinita), que X ~ n observaciones en esta muestra pertenecen a la clase de interé

tonces p X /n es el estimador puntual de la proporción de la población que pertenece a esta

Observe que n

p

son los parámetros de la distribución binomial. Además, en la sección 7-5

que la distribución de p es aproximadamente normal con media p varianza muestral p (1 - p

p no está demasiado cerca de

O

o 1, si n es relativamente grande. De tal modo, la distribuci

Por tanto, en el nivel de confianza de 95 , los datos no soportan el requerimiento de que la des

estándar del proceso sea menor de 0.20 onzas de líquido.




Esta función es relativamente plana de p 0.3 a p 0.7. Se requiere una estimación de p para uti

izar la ecuación 10-42. Si se dispone de una estimación p de una muestra previa, podría sustituirse

on ella la

p

en la ecuación 10-42, o quizá sería posible realizar una estimación subjetiva. Si estas al

ernativas no son satisfactorias, podría tomarse una muestra preliminar, calcularse

p

y

emplearse lue

o la ecuación 10-42 para determinar cuántas observaciones adicionales se requieren para estimar

10-42 )

Defina el error al estimar p por medio de p como E

Ip p l Observe que tenemos una confian

a de aproximadamente

IODO

a) de que este error es menor que

ZaJ

.Jp 1 - p)/n. Por tanto, en

situaciones en las que puede seleccionarse el tamaño de la muestra, podemos elegir n de manera que

xista una confianza de 100 1 -

a)

de que el error sea menor que algún valor especificado

E.

El

amaño de muestra apropiado es

0.08

p

0.24.

la cual se simplifica a

0.16 -1.96

0.16 0.84 ::::p:: : :

0.16

1.96 0.16 0.84)

75 75

o

p l - p p l -

p ZO 25

n::::

P ::::P ZO 25

n

En una muestra aleatoria de 75 ejes de árbol, 12 tienen un acabado superficial más rugoso que lo permitido

por las especificaciones. Por tanto, una estimación puntual de la proporción de los ejes en la población que ex

cede las especificaciones de rugosidad pes x/n 12/75 0.16. Un intervalo de confianza de 95 de dos

lados parap se calcula a partir de la ecuación 10-39 como

10-41)

A Z p 1 fJ)

n .

y un intervalo de confianza superior de 100 1 - a) aproximado es

10-40 )

z

PO-P <p

aJ

n -,

Un intervalo de confianza inferior de 100 1 - a) aproximado es


9



0.16 0.84)

--- -----

75

0.16+ 1.96)2 1.96

2 75

p 1- p

Z~

; ___ =

--

2

A Z~ Z

p --± aJ2

2n

Los autores se refieren a esto como elpuntaje del intervalo de confianza. Los intervalos de

fianza de un lado se pueden construir reemplazando simplementeZaJ2con Za

Para ilustrar este intervalo de confianza, reconsidere el ejemplo 10-17, en el que se anal

acabado superficial de un eje deárbol con n = 75 Y 0.16. Los límites inferior y superior d

intervalo de confianza de 95 usando el enfoque deAgresti y Coull son

Z~

1+-

n

p 1- p ZaJ2

2

A

Z~J

p --±ZaJ2

2n

El procedimiento desarrollado en esta sección depende de la aproximación normal a la bino

En situaciones en las que esta aproximación es inapropiada, particularmente en casos donde n e

queña, deben utilizarse otros métodos. Podrían emplearse, por ejemplo, tablas de la distribució

-nomial para obtener un intervalo de confianza para

p.

Si

n

es grande pero

p

es pequeña, podría u

la aproximación de Poisson a la binomial para construir intervalos de confianza. Duncan 1986

tra estos procedimientos.

Agresti y Coull 1998) presentaron una forma alternativa de un intervalo de confianza en l

porción de una poblaciónp, basada en una prueba de hipótesis de grandes muestras enp véase

pítulo 11).Agresti y Coull mostraron que los límites superior e inferior de un intervalo de conf

aproximado de 1OO1 - a enp son

Z 2 196) 2

.025 A l_A)= _._ 0.16 0.84)=207.

E p p 0.05

Considere los datos del ejemplo 10-17. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si deseamos

una confianza de 95 de que el error al emplearp para estimar

p

es menor que 0.05?Al usarp

0.16 com

estimación inicial de

p,

encontramos, de acuerdo con la ecuación 10-42,que el tamaño de muestra requeri

Con la finalidad demantener al menos un nivel de confianza de 100 1- a , el valor de n

pre se redondea al entero siguiente.

)

2

ZaJ2

n=

0.25 .

en n. En otras palabras, tenemos al menos una confianza de 100 1- a de que el error al es

p

por medio de

p

es menor que

E

si el tamaño de la muestra es

292 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARAINGENIERíA



normal estándar si y

2

son normales o aproximadamente normales estándar si se aplican las

ndiciones del Teorema del Límite Central, respectivamente. De acuerdo con la figura 10-5, esto

plica que

0 3 1 Intervalo de confianza de la diferencia entre las medias

~

de dos distribuciones normales con varianzas conocidas

f l

sidere dos variables aleatorias independientes,

XI

con media desconocida /11

y

varianza conoci-H

O I y X2 con media desconocida lzy varianza conocida O ~ . Deseamos encontrar un intervalo de

nfianza de 100 1- a de la diferencia entre las medias

/11 -

lz· Sea XII X

12, ... ,

X n una mues-

a aleatoria de nl_obs~vaciones de

XI y

sea

X

21,

22 2n2

una muestra aleatoria de

n2

observa-

ones de

2

Si XI YX2 son medias de la muestra, la estadística

EST IM AC iÓ N D EL IN TER VALO D E C ON FIAN ZA D E D OS M UESTR AS

3

Los límites de confianza inferior superior resultantes son 0.094 0.260, respectivamente.

Agresti y Coull argumentan que el intervalo de confianza más complicado tiene varias ventajas

obre el intervalo estándar más grande de la muestra dado en la ecuación 10-39). Una ventaja es

sus intervalos de confianza tienden a conservar el nivel indicado de confianza mejor que el in

rvalo estándar más grande de la muestra. Otra ventaja es que el límite de confianza inferior siem

será no negativo. El intervalo de confianza más grande de la muestra puede dar como resultado

es de confianza inferiores negativos, que el profesionista en general determina como cero. Un

todo que podemos reportar como límite inferior negativo de un parámetro que es inherentemen

no negativo tal como una proporción, p se considera con frecuencia un método inferior. Por úl

, los requisitos de que no esté cercano a o 1

de que sea relativamente grande, no son

isitos para el enfoque sugerido por Agresti y Coull. En otras palabras, su enfoque da como re

ultado un intervalo de confianza apropiado para cualquier combinación de n y p

0.186

±

0.087

1.051

0.177 ± 0.083.



http://slidepdf.com/reader/full/10-estimadores-de-parametros 32/61 1.0) 2 1.5) 2

- - ~2

x

1 x2 Za 2

13.1 - 0.88

=

12.22 kg/mm-,

1.0 )2 1.5 )2

87.6 -74.5 -1.645 --

lO

12

Se realizaron pruebas de tensión en dos barras de aluminio de diferente calidad, usadas en la fabricación d

avión de transporte comercial. Con base en experiencias anteriores en el proceso de fabricación de barras

la fase de pruebas, supondremos que se conoce la desviación estándar de la tensión. En la tabla 10-2sem

tran los datos obtenidos.

Si f 1 1

f i

denotan la media de las tensiones para las dos calidadesde las barras, podemos encontrar u

tervalo de confianza de 90 en la diferencia de la media de la tensión f 1 1 f i como sigue:

10-4

y un intervalo de confianza inferior a 1OO 1 - a es

10-4

Los intervalos de confianza unilaterales de

1 1 1

J z

también se pueden obtener. Un intervalo

confianza superior a 100 1 - a en 1 1 1 J z es

10-4

J

- JI J2 - - JI J2

XI - X

2 -

Z a J 2

~

1 1 1

J z ;

XI - X

2

Z a J 2

.

ni n2 ni n2

Comparando las ecuaciones 10-43 y 10-18, observamos que el intervalo de confianza 100 1 -

para J z es

10-4

J2 J2

I

=1-a.

ni n2

Esta ecuación se puede reacomodar como

9 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



nsidere dos variables aleatorias independientes normales, digamos Xl con media f . 1 1 y varianza

I

y

X

2

con media

f . 1 2

y

varianza

a~

Tanto las medias

f 1 1

y

f . 1 2

como las varianzas

aI

y

a~

son des

aso

J1

J2

J

ora ampliaremos los resultados de la sección 10-2.2al caso de dos poblaciones con medias y va

nzas desconocidas, y deseamos encontrar los intervalos de confianza en la diferencia de las me

f . 1 1 f . 1 2 .

Si ambos tamaños de muestra,

Y

n 2

exceden a 30, se pueden usar los intervalos de

distribuciónnormalde varianzaconocidade la sección 10-3.1.Sinembargo, cuando se tomanmues

s pequeñas,debemos suponerque laspoblacionessubyacentesson distribuidasnormalmentecon va

as desconocidasy con base en los intervalos de confianza en la distribución

t

0 3 2 Intervalo de confianza de la diferencia entre las medias de

dos distribuciones normales con varianzas desconocidas

Recuerde redondear hacia arriba si n no es un entero.

(10-47)

Si se conocen las desviaciones estándar l Ya (al menos de manera aproximada) y si los tama

s de lamuestra Yn 2 soniguales (digamos, n 2 n , podemosdeterminarel tamañode lamues

requerida, de manera que elerror en la estimación f 1 1 f . 1 2 usando

X l - 1 2

será menor que en

0(1 -

a

de confianza. El tamaño de la muestra requerida de cada población es

n 2 ; 2 f a a~ .

Media de la

Calidad de Tamaño de

muestra de la Desviación estándar

la barra la muestra tensión kg/mm2

kg/mm2

1

1 x

1

87 6

<

= = 1

2

= = 12

x

= = 74 5

<

= = 1 5

bla 1 2 Resultados de la prueba de tensión en barras de aluminio

12.22 kg/mrn?~ -112s 13.98kg/mm .

Tenemos 90 de confianza de que la media de la tensión de la barra de aluminio (calidad 1)excede a la

e la barra de aluminio (calidad 2) entre 12.22

y

13.98 kg/mm-,

Por tanto, el intervalo de confianza de 90 sobre la diferencia de la media de la tensión es

13.1+ 0.88

13.98 kg/mm-,




Un intervalo de confianza inferior con 100 1 - a unilateral para 1 1 1 2 es

10

Por tanto, un intervalo de confianza con 1OO1-

a

de dos lados para la diferencia entre las

dias 1 1 1

2

es

10

Esta ecuación se puede reacomodar como

o

es la distribución t con

nI

nz

2 grados de libertad. Por tanto,

tica

Para desarrollar el intervalo de confianza para 1 1 1 1 1 2 observe que la distribución de la est

10

z

nI

l Si

nz l S~

P nI n2 - 2

Las muestras aleatorias de tamaño

nI nz

se toman en X y X

respectivamente. Se denota

medias de las muestras medianteXI y X y las varianzas de la muestra con s i y ~ Yaque s i y S

estimaciones de la varianza común a podemos obtener un estimador combinado mezclado d

9 PROBABILIDAD ESTADíSTICAPARAINGENIERíA



1.76minutos fl¡ -

J : : ;

3.24 minutos.

Esto es, el intervalo de confianza de 95 en la diferencia de la media de los tiempos de inmersión es

= 3.24minutos.

f F ; 1

XI - X2 taJ2•

n n

-2 sp

2 n2

y

= 1.76minutos

1

f F ;

XI - x2 taJ 2 2

.n¡ n,-

nI n2

La desviación estándar compartida es

sp

J

0.8557

=

0.925. Yaque

taJ2•

n¡ n

2 2

=

tO.025 .25

=

2.060, podemos

calcular 95 de los límites de confianza superior e inferior como

12 15 - 2

0.8557.

11 0.85)2 14 0.98)2

nI

l sf

n2

l si

n¡

n2 -

2

En un proceso químico por lotes usado para imprimir tarjetasde circuitería, se han comparado dos diferentesca

talizadorespara determinar si requieren diferentes tiempos de inmersión para eliminar cantidades idénticas de

material fotorresistente. Se analizaron 12 lotes con el catalizador 1 y se obtuvo como resultado una media

del tiempo de inmersión de la muestra de ¡ = 24.6 minutos

y

una desviación estándar de s¡ = 0.85 minutos.

Se analizaron 15 lotes con el catalizador 2 y se obtuvo como resultado una media del tiempo de inmersión de

la muestra de

= 22.1 minutos una desviación estándar de s2 = 0.98 minutos. Encontraremos un intervalo

de confianza de 95 en la diferencia entre las medias fl¡ - fl2 suponiendo que la desviación estándar o va

rianza) es igual en las dos poblaciones. La estimación compartida de la varianza común se encuentra usando

la ecuación 10-48 como se indica a continuación:

lO-52)

y

un intervalo de confianza superior a 100 1 -

a

unilateral para / 1 1 z es


9



En las secciones 10-3.1 y 10-3.2 desarrollamos intervalos de confianza para las diferencias de

dias cuando se han seleccionadolas dos muestras aleatorias independientes de las dos poblacion

interés.Es decir, se han seleccionadonI observacionesaleatoriamentede laprimera población y se

seleccionadocompletamenteindependientesn2 observacionesaleatoriamentede la segundapobla

Hay también un número d e casos experimentales en donde sólo hay n unidades experimentales

rentes y los datos se han reunido en

parejas;

así, se han hecho dos observacionesde cada unidad

Por ejemplo, en la revista

Human Factors

1962, p. 375) se reporta un estudio en el que se p

a 14 personas estacionar dos autos con diferentes distancias entre ejes y radios de giro. Se reg

el tiempo en segundos para cada auto y persona; en la tabla 10-3 se muestran los datos obten

Observe que cada persona es la unidad experimental a la que nos referimos anteriormente. De

mos obtener un intervalo de confianza de la diferencia entre las medias de los tiempos en que s

tacionan los dos autos, digamos J . 1 112.

En general, suponga que los datos consisten en n parejas Xli X21), X I2, X

22 ...

X n X2n

supone que tanto X¡ comoX2 están distribuidos normalmente con medias

J i ]

y 112,respectivam

Las variables aleatorias con

parejas diferentes

son

independientes

Sin embargo, ya que hay dos

didas de la misma unidad experimental, las dos medidas dentro del mismo par pueden no ser i

10 3 3 Intervalo de confianza en J L ¡

J l l

para observaciones pareadas

El límite de confianza superior inferior) se puede encontrar reemplazando el límite de con

za inferior superior) por -

00 00)

y cambiando

aJ2

por

lO

En consecuencia,un intervalode confianza aproximadode dos lados de 100 1-

a

para J i ,

cuando J f * J i es

- - { sr si - - { S r si

XI - X 2 - tC J i 2 ,v n

n ::; J i , - 112::;XI - X 2

tC J i 2 ,v n

n

, 2 , 2

lO

está distribuida aproximadamente como t con grados de libertad dados por

x \ -

X

2 - J i , - J i2 )

V S¡jn Syn2

En muchos casos no es razonable suponer que J f J i Aun cuando no se cumpla esta suposi

podemos encontrar un intervalo de confianza de 100 1 - a para u, - 112usando el hecho de

la estadística

Caso

j f j i

9 PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



Volvamos ahora a la tabla 10-3, que contiene los datos del tiempo para 11

14 personas que estacionan para

lelamente dos automóviles. A partir de la columna de diferencias observadas, di calculamos J = l.21 Y

sd

=

12.68.De acuerdo con la ecuación 10-55,el intervalo de confianza de 90 para

J . l D

=

J .l 1

J . l 2 se encuentra co

mo se indica a continuación:

donde y son la media de la muestra y la desviación estándar de las diferencias i respec

tivamente. Este intervalo de confianza es válido para el caso en que ( J i

J~

ya que s b estima

( J b = V X¡ - X

2 .

Asimismo, para muestras grandes digamos n ~ 30 pares), la condición de norma

lidad es innecesaria.

lO -55)

ya que el valor esperado de XI X 2 es la diferencia en los valores esperados sin considerar siXI X 2

son independientes.En consecuencia,podemos construir un intervalo de confianza para u¡ J 1 2 exac

tamente como se encuentra un intervalo de confianza para

1D

Debido a que las diferencias i están

distribuidas normalmente y son independientes, podemos usar el mismo procedimiento que emplea

mos en la distribución de la sección 10-2.2para encontrar el intervalo de confianza en 1D Por ana

logía con la ecuación 10-30, el intervalo de confianza de 100 1 - a en 1D 11

J 1 2

es

Automóvil

Persona

1

2

Diferencia

37 0

17 8 19 2

2 25 8

20 2 5 6

3

16 2

16 8 0 6

4 24 2

41 4 17 2

5

22 0

21 4 0 6

6

33 4

38 4 5 0

7 23 8

16 8 7 0

8

58 2

32 2 26 0

9

33 6

27 8 5 8

10 24 4

23 2 1 2

11 23 4

29 6 6 2

12 21 2

20 6 0 6

13

36 2

32 2 4 0

14 29 8

53 8

24 0

1D = E D = E X

I -

X

2

= E X

1 -

E X

2

= 1 1

J 1 2

Tabla 1 3 Tiempo en segundos para estacionar paralelamente dos automóviles

ESTIM CiÓN DE P RÁMETROS 299



a/2

¡

s i / a i

P F1_ aJ2 n2-I n¡-1 5 . ~ 2 5 .F aJ2 n2-J n¡-1

=

a.

S

al

o

P{FI-aJ2n-In-l 5.F 5.FaJ2 I_In_l}

=

~2 2

es F con n2 - 1Yn 1 grados de libertad. En la figura 10-9se muestra la distribución. A part

ella, vemos que

Suponga que

X

y

X

2 son variables aleatorias normales independientes con medias desconocid

y fl2 y varianzas desconocidas y

a i

respectivamente. Deseamos encontrar un intervalo de

fianza de 100 1 - a de la razón a r / a i . Sean dos muestras aleatorias de tamaños n Y

2

tom

de

X

y

2

y sean y si las varianzas de la muestra. Para encontrar el intervalo de confianza

servamos que la distribución muestral de

10 3 4 Intervalos de confianza de la razón de varianzas

de dos distribuciones normales

Observe que, cuando se parean los datos, se pierden grados de libertad en comparación co

intervalos de confianza de las dos muestras, pero normalmente se logra un aumento en la prec

de estimación, ya que

S d

es más pequeño que

S p -

Observe que el intervalo de confianza en

u D

incluye al cero. Esto implica que a un nivel de confian

90 , los datos no soportan la demanda de que los dos autos tengan medias de tiempo de estacionamien

y

u 2

Es decir, el valor

u D ,ul - ,u2 O

es consistente con los datos observados.

1.21 - 1.771 12 .68)/.JT4

: S ; u D s

1.21 1.771 12.68)/.JT4,

-4.79:S;,uD:S; 7.21.

3

PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



0 2

o

0 . 8 5 )2 l 0 .8 5 )2

--0.39~-~--2.74,

0 . 9 8 )2 a i 0 .9 8 )2

S 2 0 2 s 2

F <_1<_1 F

2 0.95,14,11 2- 2 0.05,14,11

S 2 0 2 S 2

Considere

el

proceso químico por lotes descrito en el ejemplo 10-20.Recuerde que s e compara la medida de su

efectividad para reducir los tiempos de inmersión para la impresión de tarjetas de circuitería; la prueba de

= 12 lotes se realizó con el catalizador 1 y la de z = 15 lotes se realizó con el catalizador 2, dando como

resultado

=

0.85 minutos

y

S 2

=

0.98 minutos. Encontraremos un intervalo de confianza de 90 de la razón

de las varianzas

l

aI A partir de la ecuación 10-57, encontramos que

10-60)

mientras que un intervalo de confianza superior a 100 1 -

a)

de

O t O i

es

0 2 S2

_I::;;_IF

S2 a,n

-I,n¡-1

0 2 2

lO-59)

Podemos también construir los intervalos de confianza de un lado, Un límite de confianza infe

rior a 100 1 -

a)

de

O r O i

es

lO-58 )

FI~at2,1J2-1,1J¡-1

=

-

at2,n¡-I,n2-1

donde el punto de la cola inferior 1 - a de la distribución

Fn2-1,n¡-1

está dado por véase la ecua

ción

9-22

lO-57)

Comparando las ecuaciones 10-56 10-18,vemos que el intervalo de confianza de 100 1- a)

de dos lados para

O t O i

es

S2 0 2 S2

_ _ _I

S

2 l-at2 n2-1 1J¡-1 2 - S2

at2,n -I,n¡-I

2 0 2 2

lO-56)

Por tanto

ESTIM iÓN DE P RÁMETROS 3



Considere los datos del ejemplo 10-17. Suponga que se efectúa una modificación en el proceso de a

0

y un intervalo de confianza superior de 1000 -

a

aproximado para PI - P2 es

1

Un intervalo de confianza inferior de 100 1- a aproximado para PI -

P 2

es

I l P

P 2 l - P 2 )

se distribuye aproximadamente en forma normal estándar. Al emplear un planteamiento anál

de la sección previa, resulta que un intervalo de confianza de dos lados de 1000 - a apro

do para PI - P2 es

PI -

P 2 - PI - P2

z

; = = = = = = = = = = = _

pIO -

P I) P 2 1 - P 2 )

Si hay dos proporciones de interés, digamos

PI

y

P2

es posible obtener un intervalo de confia

100 1 - a respecto de su diferenciaPI - P2 Si dos muestras independientes de tamaños n

se toman de poblaciones infinitas, de manera que X¡ y X

sean variables aleatorias binomiale

pendientes con parámetros ni PI) y n2 P2) respectivamente, donde

X I

representa el número

servaciones de muestra de la primera población que pertenece a una clase de interés, y X

2

repr

el número de observaciones de muestra de la segunda población que pertenece a una clase d

rés, entonces PI

X¡fn l

y

P 2 X 2 / n 2

son estimadores independientes de

P I

y

P 2

respectiva

Además, bajo la suposición de que se aplica la aproximación normala la binomial, la estadís

10 3 5 Intervalo de confianza sobre la diferencia entre dos proporciones

usando el hecho de que F

O .9 5 ,14,¡¡

IIF

O .0 5, 1 1 ,1 4

1/2.58

0.39. Yaque este intervalo de confianza inclu

dades, no podríamos exigir que las desviaciones estándar de los tiempos de inmersión para los dos cata

res sean diferentes al nivel de confianza de 90 .

3 PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



Recuerde el ejemplo 10-3, donde se mostró que el estimador de máxima verosimilitud del parámetro P de una

distribución de Bemoulli es

P

lIn I.7:¡

X¡

Al emplear la cota inferior de Cramér-Rao, podemos com

probar que la cota inferior para la varianza de

es

Usualmente, V

j

es una función del parámetro desconocido J En estos casos, sustituya J por

{j

10-64)

Si se utiliza el método de máxima verosimilitud para la estimación de parámetros, pueden emplear

se las propiedades asintóticas de estos estimadores para obtener intervalos de confianza aproxima

dos. Sea

{j

el estimador de máxima verosimilitud de

J

En muestras grandes,

{j

se distribuye

aproximadamente de manera normal con media J y varianza

V j

dada por la cota inferior de Cra

mér-Rao ecuación 10-4). Por consiguiente, un intervalo de confianza aproximado de 100 1-

a

para J es

1 4 IN TE RV ALO SD E C ON FIA NZA A PR OX IM AD OS

E N LA E STIM AC iÓ N D E M ÁX IM A V ER OS IM IL IT UD

Este intervalo incluye el cero, de modo que, con base en los datos de la muestra, parece poco probable

que los cambios realizados en el proceso de acabado de la superficie hayan reducido la proporción de los ejes

de árbol defectuosos que se están produciendo.

- 0.07

~p¡ -

P ~ 0.15.

Esto se simplifica a

~p¡ -

P ~ 0.16 - 0.12 1.96

0.16 0.84) 0.12 0.88)

.

75 85

0.16 0.84) 0.12 0.88)

75 85

0.16 - 0.12 - 1.96

o

Piel-PI fiz l-P2

1

p ¡

P2 -

ZO.025

P¡ l-PI P2 1-P2

n¡ n2

P2 10/85 0.12, podemos obtener un intervalo de confianza aproximado de 95 en la diferencia de la pro

porción de defectos producidos bajo los dos procesos, utilizando la ecuación 10-61 como



http://slidepdf.com/reader/full/10-estimadores-de-parametros 42/61 10

m

P

{todos los enunciados

m

son simultáneamente correctos}

1 -

a ~

1 -

La;

;=1

En ocasiones es necesario construir varios intervalos de confianza respecto de más de un parám

y deseamos que haya una probabilidad de 1 - a de que la

tot li

de tales intervalos de con

za produzca de manera simultánea enunciados correctos. Por ejemplo, suponga que estamos tom

do una muestra de una población normal con media y varianza desconocidas, y que desea

construir intervalos de confianza para J y 0 2, tales que la probabilidad de que ambos intervalos

duzcan simultáneamente conclusiones correctas sea l a . Puesto que y S son independie

podríamos asegurar este resultado construyendo intervalos de confianza de

100 1- a)I/2

par

da parámetro por separado, y ambos intervalos producirían de manera simultánea conclusione

rrectas con probabilidad

1 - a)I/2 1 -

a I 2 1 -

a).

Si las estadísticas de la muestra en las cuales sebasan los intervalos de confianza no son v

bles aleatorias independientes, los intervalos de confianza no son independientes y deben emp

se otros métodos. En general, suponga que se requieren m intervalos de confianza. La desigua

de Bonferroni establece que

IN TE RV ALO S D E C O NF IA NZ A S IM U LT ÁN EO S

5

~ Z P l-P < < A Z P l-P

p- aJ2 -p-p+ aJ2 .

n n

Este resultado no debe ser sorprendente, ya que sabemos directamente que para la distribución deBe

lli V X) V X¡)In p l - p)/n. En cualquier caso, reemplazando p por P en V P), el intervalo de conf

aproximado con 100 1 - a para p se encuentra a partir de la ecuación 10-64 como

p l

p

n

P) ~

1

n [ ~

- -1 __P ]

De acuerdo con la distribución de Bernoulli, observamos que

E X)

p

y

E X2)

p.

Por tanto, esta ú

expresión se simplifica a

n E [ +

l X 2 _ 2 X l X ]

p2

l

p)2

p l

p)

1

n E [ ~

ln[r l -

p I X ]r

1

=

E [ X

l_X ]2

n

¡;

l-p

1

V P)




¡ Ji e- 1/2 /J-2 2 •

.J2ii

pongaque la variable aleatoriaXestá distribuida normalmenteconmedia

Ji y

varianza4. El valor de

Ji

es des

nocido, pero una razonable densidad anterior podría ser normal con media 2

y

varianza l. Esto es

Previamente presentamos las técnicas bayesianas para la estimación puntual. En esta sección, pre

sentaremos el enfoque bayesiano para construir intervalos de confianza.

Podemos usar métodos bayesianos para construir intervalos estimados de los parámetros que son

similares a los intervalos de confianza. Si se haobtenido la densidad posterior para e podemos cons

ruir un intervalo, usualmente centrado en la media posterior, que contiene 100 1 - a de la posi

ilidad posterior. Este intervalo se llama intervalo bayesiano de 100 1 -

a

para el parámetro

esconocido e

Mientras que en muchos casos el intervalo estimado de Bayes para

es muy similar al interva

o de confianza clásico con el mismo coeficiente de confianza, la interpretación de los dos es muy

iferente.Un intervalo de confianza es un intervalo que, antes de que se tome la muestra, incluirá la

esconocida con probabilidad 1 - a Es decir, el intervalo de confianza clásico se relaciona con la

cuencia relativa de un intervalo que incluye a e Por otra parte, un intervalo de Bayes es un inter

alo que contiene 100 1 - a de la probabilidad posterior para e Puesto que la densidad de pro

ilidad posterior mide un grado de confianza respecto de

a partir de los resultados de la muestra

ada, el intervalo de Bayes proporciona un grado subjetivo de confianza respecto de

e

más que una

erpretación de la frecuencia. El intervalo de Bayes estimado de

se ve afectado por los resulta

s de la muestra, pero no está completamente determinado por ellos.

IN TERV LOS DE CONF I NZ YES I NOS

6

donde 1 - a¡ es el nivel de confianza utilizado en el intervalo de confianza i-ésimo. En la práctica,

seleccionamos un valor para el nivel de confianza simultáneo 1 - a, y después elegimos la a¡ indi

vidual, tal que I ¡ ¡

Usualmente, hacemos ¡

cdm

Como ejemplo, suponga que deseamos construir dos intervalos de confianza respecto de las me

dias de dos distribuciones normales, de manera que tengamos al menos 90 de confianza de que

ambos enunciados serán simultáneamente correctos. Por lo tanto, puesto que 1 -

a

0.90, tenemos

a

0.10, y puesto que se requieren dos intervalos de confianza, cada uno de éstos debe construirse

con a¡ al 0.10/2 0.05, 1,2. Esto es, dos intervalos de confianza individuales de 95 de

u¡

y

conducirán simultáne mente a enunciados correctos con una probabilidad de por lomenos 0.90.




Pueden generarse muestras bootstrap para estimar los valores de 1y S.

Suponga que

B

muestras bootstrap se generan y se calculan é~ é; ... é~y 0 . A partir d

tas estimaciones, calculamos las diferencias

é~

0 ,

é;

0 .. . ,

é~

iJ , ordenamos las diferen

en orden creciente y encontramos los percentiles necesarios 100 1-

aJ2)

Y100

aJ2)

para

1

y S

ejemplo, si B

=

200 Yse desea un intervalo de confianza de 90 , 100 1 - 0.10/2)

nonages

quinto percentil

100 0.10/2)

quintopercentil sería la diferencia 190a.

diferencia lOa.,respec

mente.

1

=

é -

100 1 - aJ2) percentil de

é -

8),

S =

é -

100 aJ2) percentil de

é -

8).

pectivamente,

En la sección 10-1.6 se presentó la técnica bootstrap para estimar el error estándar de un parám

f). La técnica bootstrap se puede usar también para construir un intervalo de confianza para 8.

Para un parámetro arbitrario 8, los límites generales inferior y superior de 100 1- a) son,

1 7 INTERVALOSDE CONF IANZA BOOTSTRAP

Vemos que el intervalo de Bayes es ligeramente más corto que el intervalo de confianza clásico, ya

la información anterior es equivalente a aumentar un poco el tamaño de la muestra si no se supone co

miento anterior.

1.52

s l

3.48.

Si ignoramos la información anterior, el intervalo de confianza clásico para

l

es

1.52

s u s

3.28.

Si se toma una muestra aleatoria de tamaño 16 y se encuentra que

2.5, la ecuación 10-66 se red

10

X+8

2

nX+8+Z

2

__ - - ZO.025

s l s

0025 __ -

n+4 ~ n+4 . ~

usando los métodos de la sección 10-1.4.Así, la distribución posterior para

l

es normal con media

nX

n 4) y varianza 4/ n 4). Un intervalo de Bayes de 95 para u que es simétrica respecto de la media

terior, sería

Podemos ahora mostrar que la densidad posterior para l es

6

PROB BILID DY EST DíSTIC P R INGENIERí



0.0650.0750.0850.0950.105 0.1150.1250.135 0.1450.155

lambda

r

c

Q

10

20

Nuestro interés es construir un intervalo de confianza de 90 de una exponencial con parámetro A.Por de

finición, la suma de T variablesaleatorias independientese idénticasdistribuidasexponencialmentesigueunadis

tribucióngamma, T A Por tanto, T

4, pero senecesita estimar el valor deA.Se puedeencontraruna estimación

bootstrappara Ausando la técnica dada en la sección 10-1.6.Empleando los datos de tiempode vida útil indica

dos con anterioridad, encontramos que el tiempopromedio de vida útil es de

x

42.545. La media de la distri

bución gamma es E X TIAYA se calcula para cada muestra bootstrap. Al utilizar Minitab para B 100

bootstraps, encontramos que la estimación bootstrap ~* 0.0949. Usando las estimaciones bootstrap para ca

da muestra, se pueden calcular las diferencias;en la tabla 10-4se muestran algunos de los cálculos.

Cuando se organizan las 100diferencias en orden creciente, el quinto percentil y el nonagesimoquinto per

centil serán -0.0205 y 0.0232, respectivamente. Por tanto, los límites de confianza resultantes son:

78.7778, 13.5260,6.8291,47.3746, 16.2033,27.5387,28.2515,38.5826,

35.4363,80.2757,50.3861,81.3155,42.2532,33.9970,57.4312.

Un dispositivo electrónico consiste en cuatro componentes. El tiempo de vida útil de cada componente sigue

una distribución exponencial, y todos ellos son idénticos e independientes unos de los otros. El dispositivo

electrónico fallará sólo después de que cuatro componentes hayan rebasado su vida útil. Se han recopilado los

tiempos de vida útil de los componentes electrónicos de 15de estos dispositivos. Los tiempos totales de vida

útil son:

100

Muestra

l·¡ x

0.087316

0.0075392

0.090689 0.0 041660

0.096664

0.0018094

0.090193

0.0046623

1

2

3

Tabla 10 4 Estimaciones bootstrap para el ejemplo 10 26




y

Hasta ahora, en este capítulo se han presentado estimadores de intervalos de los parámetros de la

blación, como la media, u. Existen muchas situaciones en las que al interesado le gustaría pred

una sola observación futura para la variable aleatoria de interés, en lugar de predecir o estima

promedio de esta variable aleatoria. Para ello, se puede construir un interv lo de predicción

cualquier observación única en algún tiempo futuro.

Considere una muestra aleatoria dada de tamaño

Xl

2 •

n

de una población normal

media J l y variaza ;2. Denotemos con

elpromedio de la muestra. Suponga que deseamos pred

la observación futura n

+

l.Puesto que es el punto que se ha predicho para esta observación, el e

de predicción está dado por X

n

1 El valor esperado

la varianza del error de predicción son

E Xn+

1 -

X E Xn+

l -

E X J l J l

10 8 1 Intervalosde predicción

1 8 O TR O S P R O BLE M AS D E ES T IM AC iÓ N D E IN TE R VA LO S

Tenemos aproximadamente 90 de confianza de que el valor real de Aestá entre 0.0717 y 0.1154. E

figura lO-lOse representa el histograma de las estimaciones para bootstrap

A :

mientras que en la fi

10-11 se muestran las diferencias

A ;

x .

Las estimaciones bootstrap son razonables cuando el estimado

insesgado

el error estándar es aproximadamente constante.

0.0949 - 0.0232 0.0717,

S 0.0949 - --0.0205) 0.1154.

Figura 10 11 Histograma de las diferencias

;

t

o

0 03 0 02 0 01 0 00 0 01 0 02 0 03 0 04

diferencias

.

.

~

I I

I

I

I I

I I

20

308 PROBABILIDADY ESTADíSTICA PARAINGENIERíA



10-69

El intervalo de predicción superior de un lado 100 1 -

a)

en X +

1

está dado por

é

J i

+ . -, 1+

10-68

El intervalo de predicción inferior de un lado 100 1 - a) en

+

1 está dado por

J i - ~ V S (

~

X

Reacomodando la desigualdad, obtenemos la forma final para el intervalo de predicción de dos

lados 100 1-

a) :

J i -

1 2 _ /

. 1 (

I

X~ ~

J i

, , , , , , . - . J

. 1 (

I

10-67

sigue la distribución t con n 1 grados de libertad.

Siguiendo el procedimiento usual para construir intervalos de confianza, el intervalo de predic

ción de dos lados de 100 1 - a) es

X

n 1

X

T ~

y es normal estándar. Si (1 2 es desconocida, es posible estimarla mediante la varianza de la muestra,

5 1

y

entonces

X n+ -X - O _ Xn+ - X

~~

z

Ya que

X

n+ y

X

son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, el error de

predicción también está distribuido de la misma manera y


9



Como ya hemos mencionado antes en este capítulo, los intervalos de confianza son los interva

los que esperamos que se ubique el parámetro de población verdadero, tal como

u.

En contrast

interv los de toler n i son los intervalos en los que esperamos se encuentre unpor ent je de l

blación.

Suponga queX es una variable aleatoria normalmente distribuida con mediau y varianza

J2

peraríamos que aproximadamente95 de todos los valores de X estén contenidos en el interva

1.645

J.

Pero, ¿qué pasa si

u

y rr son desconocidasy debemos estimarlas? Usando la estimación

tual x y s parauna muestrade tamañon podemosconstruirel intervalox 1.645s.Desafortunada

te, debido a la variabilidad en la estimación de

f 1

y

J

el intervalo resultante puede contenermen

95 de los valores. En este ejemplo particular, un valor más grande que 1.645 necesitará ga

zar 95 de cobertura cuando se usan las estimaciones puntuales para los parámetros de la pobl

Podemos construir un intervalo que contenga los valores del porcentaje de la población indica

tener confianza relativa en el resultado. Por ejemplo, podemos querer que sea 90 confiable y

intervalo resultante cubra al menos 95 de los valores de la población.A este tipo de interval

llama

interv lo de toler n i

y se puede construir para diferentes niveles de confianza.

En general, para

°

q 100, el intervalo de tolerancia de dos lados cubre al menosq d

valores de una población normal con un 100(1 -

a)

de confianza de

x ± ks.

El valor

k

e

constante tabulada para diferentes combinaciones de

q

y 100(1 - a . En la tabla XIV del ap

ce se presentan los valores de k para q 90, 95 Y99, Ypara 100(1 -

a

90, 95 y 99.

El intervalo de tolerancia inferior de un lado que cubre al menos

q

de los valores de una p

ción normal con una confianza .100(1- a) es x ks. El intervalo de tolerancia superior de un

que cubre al menos

q

de los valores de una población normal con una confianza 100(1 -

a)

ks

Se calcularon diferentes valores de

k

para intervalos de tolerancia de un lado usando la té

en Odeh y Owens (1980), y se proporcionan también en la tabla XIV del apéndice.

10 8 2

nterv los de toler nci

1.018

s

Xli

2.314.

0.273

1

1 ~

0.273)2(1 2 _ _

s

Xli

s

1.666

ta/2n~l

10

.666- ta/2,n~1

Según los cálculos, el promedio

y

la desviación estándar de la muestra son

1.666 Ys

0.273

pectivamente. Puede ser importante predecir la fuerza máxima experimentada por el avión. Puesto que

2.262, el intervalo de predicción 95 enXli es

U5, 1.23, 1.56, 1.69, 1.71, 1.83, 1.83, 1.85, 1.90, 1.91

Las fuerzas máximas experimentadas por un avión en 10vuelos a lo largo de una ruta particular son (e

dades de gravedad, g)

3 PROB BILID D EST DíSTIC P R INGENIERí



Observe que hay una diferencia fundamental entre los límites de confianza y los límites de tole

rancia. Los límites de confianza y, por tanto, los intervalos de confianza) se usan para estimar un

parámetro de la población, en tanto que los límites de tolerancia y los intervalos de tolerancia) se

usan para indicar los límites entre los que podemos esperar encontrar una proporción de la pobla

ción. Conforme

n

tiende a infinito, la longitud de un intervalo de confianza tiende a cero, mientras

que los límites de tolerancia tienden a los cuantiles correspondientes de la población.

n

_ _

1.9 . 9.488 = 46.

2 1 4

Así, a fin de tener 95 de certeza de que al menos 90 de la población estará incluida entre los

valores extremos de la muestra, necesitamos un tamaño de muestra

10-70)

1

X~

n=- ---·_- .

2 l-P 4

Además, la

n

requerida es aproximadamente

npn-l - n - l pn

a.

Es posible construir intervalos de tolerancia

no p r métricos

basados en los valores extremos

en una muestra aleatoria de tamaño

n

a partir de cualquier población continua. Si

es la proporción

mínima de la población contenida entre la observación más grande y la más pequeña con confianza

1 - se puede demostrar que

Por tanto, concluimos que tenemos 95 de confianza de que al menos 99 de todas las fuerzas máximas

se ubicarían entre 0.456

Y2.876

0.456, 2.876).

o

1.666

4.433 0.273)

Reconsidere las fuerzas máximas para el avión del ejemplo 10-27. Se desea encontrar un intervalo de toleran

cia de dos lados que cubra 99 de todas las fuerzas máximas con confianza 95 . De acuerdo con la tabla XIV

del apéndice, con 1 - 0.95, q 0.99

y

n 10, encontramos que

4.z1.33.El promedio

y

la desviación

estándar de la muestra se calcularon como 1.666 y

s

0.273, respectivamente. El intervalo de tolerancia

resultante es, entonces,




10-6 Los mejores estimadores insesgados linea

Un estimador ° recibe el nombre de estima

lineal si es una combinación lineal de las ob

vaciones en la muestra. ° se llama el mejor e

mador insesgado lineal si, de todas las funcio

lineales de las observaciones, es insesgado y

ne varianza rrúnima. Demuestre que la media

la muestra

es el mejor estimador insesgado

neal de la media de la población J

es un estimador insesgado de 0 2

10-5 Considere que se toman tres muestras aleato

de tamaños

n¡

= 10,

n2

= 8

n3

= 6 de una

blación con media J y varianza O z . Sean s i

y S~las varianzas de muestra. Demuestre qu

s z = lOS¡ 8S~ 6S~

24

10-4 Suponga que

JI

°

2

Y °

3

son estimadores d

Sabemos que E OI)

E J2)

e E 03)

=

V O¡)

= 12,

V 02)

= 10 Y

E J3 - e)2

= 6. Co

pare estos tres estimadores. ¿Cuál prefiere

ted? ¿Por qué?

10-3

Suponga que

1

y

Jz

son estimadores del pa

rámetro e . Sabemos que

E O¡)

e

E 02)

¿Alguno de los estimadores es insesgado?

¿Cuál de los estimadores es el mejor ? ¿ En

qué sentido es el mejor?

10-2 Deje que XI

Xz ... ,

X7 denote una muestra

aleatoria de una población que tiene media J y

varianza 0 2 Considere los siguientes estima

dores de

J :

XI

X2

X7

l

7

° 2XI - X6

4

2 - 2

dos estimadores de J ¿Cuál es el mejor esti

mador de J ? Explique su elección.

_ 1

n

X

2 = -

n~

i=1

_ 1

n

X¡=-¿X¡

n i=1

10-1 Suponga que tenemos una muestra aleatoria de

tamaño nde una población denotada por X

y

E X = J y V X = 0 2 Sean

EJER C IC IO S

1

En este capítulo se han introducido las estimaciones por puntos

y

de intervalos para parámetros des

nocidos. Se han analizado varios métodos para la obtención de estimadores puntuales, incluidos el m

todo de máxima verosimilitud y el método de los momentos. El método de máxima verosimilitud su

llevar a estimadores que tienen buenas propiedades estadísticas. Se obtuvieron intervalos de confia

para una diversidad de problemas de estimación de parámetros. Estos intervalos tienen una interpre

ción de frecuencia. Los intervalos de confianza de dos lados, desarrollados en las secciones 10-

10-3, se resumen en la tabla 10-5. En algunos casos los intervalos de confianza de un lado pueden

apropiados. Éstos pueden obtenerse dejando un límite de confianza en el intervalo de confianza de

lados igual al límite inferior (o superior) de una región factible para el parámetro,

y

empleando aen

gar de a/2 como el nivel de probabilidad en el límite de confianza superior (o inferior) restante. T

bién se presentaron los intervalos de confianza usando la técnica bootstrap, así como, de manera bre

los intervalo~de confianza aproximados en la estimación de máxima verosimilitud

y

los intervalos

confianza aproximados.

1 9 R ESU M E N

312 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARAINGENIERíA



Diferencia de dos proporciones o

dos parámetros binomiales

P1- P2

p

roporción o parámetro de una distribución

binomial

p

Cociente de dos varianzas a~/a~de dos

distribuciones normales

n-1)S2 n-1)S2

__ :::::

:::::

X~2 n- 1 X ~- a/ 2 n- 1

Varianza

a2

de una distribución normal

Diferencia entre las medias de dos distribuciones

normales para muestras en pares

I v

= 11 1 -

1 2

n

-1 S~

n 2

-1 Si

n

n

2

donde

Sp

=


normales 111 - 112 varianza af

=

a~

desconocida

x t/2 n- 1

sj ¡¡¡ :::::

1 ta/ 2 n-1

sjFn

edia

11

de una distribución normal

varianza

a

2

desconocida


normales 11 1 y 11 2 varianzas

a~

y

ai

conocidas

Media 11 de una distribución normal

varianza

a2

conocida

Intervalo de confianza de dos lados de 100 1 a

ipo de problema

Estimador

por puntos

Tabla 10 5 Resumen de procedimientos de intervalos de confianza


http://slidepdf.com/reader/full/10-estimadores-de-parametros 52/6110-24 Sea X una variable aleatoria con media

f

y

rianza

o y XI

X

2 ...

X; una muestra a

10-23 Suponga que se conoce A en el ejercicio

vio, pero que Xc se desconoce. Obtenga el

mador de máxima verosimilitud de

xc.

f x A exp[-A X - xc ], x> Xc >

O

O

en otro caso.

Sea Xl X 2, .•• , X; una muestra aleatoria d

maño

n

Encuentre el estimador de máxima

rosimilitud de

10-22 Considere que X tiene la distribución expon

cial truncada a la izquierda en

x

Sea

XI X2 ... X;

una muestra aleatoria d

maño n. Obtenga el estimador de máxima v

similitud de

=0,

O<.f < 1,

en otro caso.

f x =

y+

l .P,

10-21 Suponga que la variable aleatoria X tiene la

ttibución de probabilidad

es un estimador insesgado de u. Suponie

que

X I

Y

X 2

son independientes, encuentre

valor de

a

que minimice la varianza de

o

<

a

<

1,

10-20 Sea X una variable aleatoria con media f y

rianza

2. Dadas dos muestras aleatorias d

maños

nI

Y

n2

con medias de muestra

X l

y

respectivamente, demuestre que

10-19 Demuestre que si {j es un estimador inses

de

J

y si lím

V

j

=

O entonces {j es u

> ~

timador consistente de

J .

10-18 Establezca la función de verosimilitud

una muestra aleatoria de tamaño

n

a partir

distribución de Weibull. ¿Qué dificultade

encontrarían al obtener los estimadores de

xima verosimilitud de los tres parámetros

distribución de Weibull?

10-17 Sea X una variable aleatoria binomial con pa

rámetros n desconocido) y p Obtenga el esti

mador de máxima verosimilitud de p con base

10-16 Sea X una variable aleatoria binomial con pará

metros n y p ambos desconocidos. Determine

estimadores de n y p por

método de momen

tos, con base en una muestra aleatoria de tama

ñoN

10-15 Sea X una variable aleatoria binomial con pa

rámetros

n

conocido)

y p

Obtenga un estima

dor de

p

por el método de momentos, con base

en una muestra aleatoria de tamaño N

10-14 Sea X una variable aleatoria de Bemoulli con

parámetro

p

Encuentre un estimador de

p

por

el método de momentos, con base en una

muestra aleatoria de tamaño

n

10-13 Sea X una variable aleatoria geométrica con

parámetro

p

Determine el estimador de máxi

ma verosimilitud de

p

con base en una mues

tra aleatoria de tamaño n.

10-12 Sea X una variable aleatoria geométrica con

parámetro p Encuentre un estimador de p por

medio de el método de momentos, con base en

una muestra aleatoria de tamaño n.

10-11 Determine estimadores de momento de los pa

rámetros

r

y

A

de la distribución gamma, con

base en una muestra aleatoria de tamaño

n.

1 lO Encuentre el estimador de A en la distribución

exponencial por el método de momentos, con

base en una muestra aleatoria de tamaño

n

10-9 Determine el estimador de máxima verosimili

tud del parámetro

A

en la distribución expo

nencial, con base en una muestra aleatoria de

tamaño

n.

10-8 Determine el estimador de e en la distribución

de Poisson por el método de momentos, basa

do en una muestra aleatoria de tamaño

n

4 PRO ILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



a Encuentre la densidad posterior para su

poniendo que n

b

Encuentre el estimador de Bayes para

O

suponiendo que la función de pérdida es

0< 0< eO 1,

la densidad anterior para O es

O<x<O

x lO 2x

2

10-35 La variable aleatoria X tiene una función de

densidad

10-34 Se sabe que el número de defectos que ocurren

en una oblea de silicón que se usa para la fabri

cación de circuitos integrados es una variable

aleatoria de Poisson con parámetro Suponga

que la densidad anterior para A es exponencial

con parámetro 0.25. En 10 obleas se observó

un total de 45 defectos. Establezca una integral

que defina un intervalo de Bayes de 95 para

¿Qué dificultades encontraría al evaluar es

ta integral?

10-33 El peso de unas cajas de dulces está distribui

do normalmente con media

J i

y varianza

~

Es

razonable suponer una densidad anterior para

J i

normal con una media de 10 libras y una va

rianza de

~

Determine la estimación de Bayes

de J i dado que una muestra de tamaño 25 pro

duce

x

10.05 libras. Si las cajas que pesan

menos de 9.95 libras son defectuosas, ¿cuál es

la probabilidad de que se produzcan cajas de

fectuosas?

10-32 El tiempo entre las fallas del motor de un mo

lino está distribuido exponencialmente con

parámetro J l Suponga que asumimos una ex

ponencial anterior en J l con una media de 3000

horas. Se observan dos motores y el tiempo

promedio entre las fallas es de x =3135 horas.

Suponiendo una pérdida del error cuadrático,

determine la estimación de Bayes para Jl

de tamaño 4 produce el valor x 1.05. Supo

niendo una pérdida del error cuadrático, deter

mine la estimación de Bayes para

J i.


10-31 Un proceso se utiliza para la fabricación de tar

jetas de circuitería. Se taladra una muestra si

tuada a una distancia X de un hueco de la tarjeta.

La distancia es una variable aleatoria X -

N Jl

10-30 Suponga que X -

N Ji,

40 Y sea la densidad

anterior para J i igual a N 4, 8 . Para una mues

tra aleatoria de tamaño 25, se obtiene el valor

x

4.85. ¿Cuál es la estimación de Bayes de J i,

suponiendo una pérdida del error cuadrático?

10-29 Sea X una variable aleatoria de Poisson con pa

rámetro

La densidad anterior para

es una

distribución gamma con parámetros

m

1 Y

m

1 / v Determine la densidad posterior para A

dada una muestra aleatoria de tamaño

n

de

X

10-28 Sea X una variable aleatoria de Bemoulli con

parámetro p. Si la densidad anterior para pes

una distribución beta con parámetros a y b, de

termine la densidad posterior para

p

dando

una muestra aleatoria de tamaño n de X.

10-27 Sea X una variable aleatoria geométrica con pa

rámetro p Suponga que asumimos una distribu

ción beta con parámetros a y b con la densidad

anterior dep Determine la densidad posterior de

p dada una muestra aleatoria de tamaño n de X.

10-26 Sea X una variable aleatoria distribuida nor

malmente con media J i conocida y varianza o?

desconocida. Suponga que la densidad anterior

para

l/a

2

es una distribución gamma con pa

rámetros

m

1 Y

ma~

Determine la densidad

posterior para l/a2, dada una muestra aleato

ria de tamaño n de

X

10-25 Sea X una variable aleatoria distribuida nor

malmente con media

J i

y varianza

a

2. Supon

ga que se conoce a2 y que se desconoce a

J i.

La densidad anterior para

J i

se supone que es

normal con media y varianza a~ Determine

la densidad posterior para

J i,

dada una muestra

aleatoria de tamaño n de X.

para una elección apropiada de K Determine

el valor apropiado para K



10-44 Suponga que en el ejercicio 10-41 se dese

timar la resistencia a la compresión con

error que sea menor que 15 psi. ¿Qué tam

10-43 Suponga que en el ejercicio 10-40 desea

que el ancho total del intervalo de confi

respecto de la vida media sea de ocho ho

¿Qué tamaño de muestra debe utilizarse?

10-42 Suponga que en el ejercicio 10-40 desea

tener una confianza de 95 de que el erro

la estimación de la vida media fuera m

que cinco horas. ¿Qué tamaño de muestra

be usarse?

10-41 Un ingeniero civil analiza la resistencia de

ta clase de concreto a la compresión. És

distribuye aproximadamente en forma no

con varianza J 1000 (psij .Una mu

aleatoria de 12 especímenes tiene una resi

cia media a l a compresión de

x

3250 psi

a Construya un intervalo de confianz

dos lados de 95 respecto de la resis

cia media a la compresión.

b

Construya un intervalo de confianz

dos lados de 99 respecto de la resis

cia media a la compresión. Compare e

cho de este intervalo de confianza co

ancho del encontrado en la parte a .

10-40 Se sabe que la vida, en horas, de una bom

eléctrica de 7 5watts se distribuye aproxim

mente en forma normalcon desviaciónestá

J=25 horas. Unamuestra aleatoriade 20b

billas tiene una vida media de

x

1014ho

a

Construya unintervalo de confianza de

lados de 95 respecto de la vida med

b

Construya un intervalo de confianza

rior de 95 respecto de la vida media

a Construyaun intervalodeconfianzade

lados de 99 respecto del diámetro m

de los anillos de pistón.

b Construya un límite de confianza inf

de 95 respecto del diámetro medi

los anillos de pistón.

10-39 Un fabricante produce anillos de pistón para un

motor de automóvil. Se sabe que el diámetro

de los anillos se distribuye aproximadamente

en forma normal y con una desviación están

dar J

0.001 mm. Una muestra aleatoria de

15 anillos tiene un diámetro medio de

x

=

74.036 mm.

b Emplee los resultados de a para encontrar

un intervalo de confianza de 100(1- a)

para

X

_

f n

10-38 Cuando XI

X

2

X ;

son variables aleatorias

de Poisson independientes, cada una con pará

metro A y cuando

n

es relativamente grande,

la media de muestra es aproximadamente

normal con media A y varianza )Jn.

a ¿Cuál es la distribución de la estadística

donde al

lX z

a.

Sea

a

0.05 y obtenga el

intervalo para al = lX z =

a/2

=0.025. Después

determine el intervalo para el caso al 0.01 y

lX z

0.04. ¿Cuál intervalo es el más corto?

¿Hay alguna ventaja para un intervalo de con

fianza simétrico ?

10-37 Considere el intervalo de confianza para

. l

con

desviación estándar Jconocida:

encuentre el estimador de Bayes de p si

n

l

€ jJ ;

p

2 j J _

p 2

Si la función de pérdida es el error cuadrático,

encuentre el estimador de Bayes de

p

si está

disponible una observación. Si la función de

pérdida es

=0,

o

<p

5 . 1

en otro caso.

f P 6p l - p),

10-36 Suponga que X sigue la distribución de Ber

noulli con parámetro

p

Asuma una razonable

densidad anterior parap de

6




1 5

Un ingeniero de control de calidad midió el es-

pesor de la pared de 25 botellas de vidrio con

capacidad de dos litros. La media de la mues-

tra fue 4.05 mm y la desviación estándar de

la muestra s 0.08 mm. Determine un interva-

lo de confianza inferior de 90 respecto del

espesor de pared medio.

323,312,300,284,283,261,207,183,

180,179,174,167,167,157,120.

1 49 Un artículo del nnual Reviews Material Re-

search 2001 , p. 291) presenta las fuerzas de

adhesión para diferentes materiales energéti-

cos explosivos, propulsores y pirotécnicos). A

continuación se presenta la fuerza de adhesión

para 15 de estos materiales. Construya un in-

tervalo de confianza de dos lados de 95 para

la media de la fuerza de adhesión.

a

Construya un intervalode confianza de dos

lados de 95 respecto de laresistenciame-

dia.

b Construya un intervalo de confianza infe-

rior de 95 respecto de la resistencia me-

dia.

e) Construya un intervalo de confianza de

dos lados de 95 r especto de la resisten-

cia media, suponiendo que 36. Com-

pare este intervalo con el de la parte

a

Construya un intervalo de predicción de

dos lados con 95 para una sola resisten-

cia a la compresión.

e Construya un intervalo de tolerancia de

dos lados que cubra 99 de todas las re-

sistencias a la compresión con una con-

fianza de 95 por ciento.

2204

2263

2295

2217

2249

2281

2275

2300

2237

2301

2255

2238

2216 .

2225

2318

2250

1 48

Un ingeniero civil está probando la resistencia

de cierta clase de concreto a la compresión.

Realiza la prueba con 16especímenes y obtie-

ne los siguientes datos:


1 47

Dos diferentes compuestos de gasolina sin plo-

mo se están probando para estudiar sus núme-

ros de octanaje. La varianza del número de

octanaje para el compuesto 1 es d¡

l.5, y pa-

ra el compuesto 2, ~

1.2. Se prueban dos

muestras aleatoriasde tamañoni

15Yn2 20,

Y los números de octanaje medios son Xl

89.6 Yx 92.5.Construyaun intervalode con-

fianza de dos lados de 95 respecto de la dife-

rencia entre las medias de los números de

octanaje.

1 46 Se están estudiando las tasas de quemado de

dos diferentes propulsores de cohete a base

de combustible sólido. Se sabe que ambos pro-

pulsores tienenaproximadamentela mismades-

viaciónestándarde tasa de quemado; esto es, 1

2 3 cm/s. Se prueban dos muestras alea-

torias de ni 20 y n 20 especímenes, y las

tasas de quemado medias de muestra son X

18 cm/s y x 24 cm/s. Construya un intervalo

con 99 de confianza respecto de la diferencia

entre las medias de la tasa de quemado.

1 45

Se emplean dos máquinas para llenar botellas

de plástico con detergente lavatrastes. Se tie-

nen como datos que las desviaciones estándar

del volumen de llenado son 1 0.15 onzas de

líquido y

2

0.18 onzas de líquido para cada

una de las dos máquinas. Se seleccionan dos

muestras aleatorias de 12 botellas de la

máquina 1y n2 10 botellas de la máquina 2,

y las medias de muestra de los volúmenes de

llenado son X l

30.87 onzas de líquido y x

30.68 onzas de líquido.

a

Construya un intervalo de confianza de

dos lados de 90 re specto de la diferencia

entre las medias del volumen de llenado.

b Construya un intervalo de confianza de

dos lados de 95 respecto de la diferencia

entre las medias del volumen de llenado.

Compare el ancho de este intervalo con el

del intervalo de la parte a

e) Construya un intervalo de confianza supe-

rior de 95 respecto de la diferencia entre

las medias del volumen de llenado.



1 59

Considere los datos del ejercicio 10-48. Co

truya lo siguiente:

Un intervalo de confianza de dos lados

1 58

Se extraen muestras aleatorias de tamaños

n

15 Y

n

10 de dos poblaciones normales in

pendientes. Las medias y varianzas de las mu

tras son

x ¡

300,

=

16, Xz

=

325 y

s~

Suponiendo que

Jr * J ~,

construya un inter

lo de confianza de dos lados de 95 en

J 1 ¡

1 57

Se está investigando el diámetro de barras

acero manufacturadas en diferentes máquin

de extrusión. Se seleccionan dos muestras al

torias de tamaños

n¡

15 y

nz

18, y las m

dias y varianzas de muestra son

x ¡

8.73,

0.30

x 8.68 Y 0.34, respectivament

Suponiendo que

J r J~ ,

construya un in

valo de confianza de dos lados de 95 resp

to de la diferencia entre las medias de

diámetros de las barras.

1 56

Se tomaron muestras aleatorias de tamaño

de dos poblaciones normales independiente

Las medias y las desviaciones estándar de

muestras fueron

X I

22.0, S 1.8, Xz

21.

z 1.5. Suponiendo que

Jr

J i obtenga

siguiente:

Un intervalo de confianza de dos lados

95 respecto de

J 1 1

f 1 2 .

b

Un intervalo de confianza superior

95 respecto de

J 1 ¡

f 1 2 .

Un intervalo de confianza inferior de 9

respecto de

J 1 ¡

f 1 2 .

1 55

Se está investigando el voltaje de salida de

tipos de transformadores. Diez transformad

res de cada tipo se seleccionan al azar para m

dir su voltaje. Las medias de muestra son

x

12.13 voltios y Xz

12.05 voltios. Sabemos

las varianzas del voltaje de salida para los dos

pos de transformadores son

J r =

0.7 Y

J i

respectivamente. Construya un intervalo

confianza de dos lados de 95 respecto de

diferencia entre las medias del voltaje.

e

Un intervalo de confianza superior de 9

en J 1 ¡ f 1 2 .

1 54

Dos muestras aleatorias independientes de ta

maños

n¡

18

Y n z

20 se toman de dos pobla

ciones normales. Las medias de las muestras

son

x ¡

200 YXz

190. Sabemos que las va

rianzas son

a f

15 Y

J~

12 Encuentre lo si

guiente:

Un intervalo de confianza de dos lados de

95 respecto de

J 1 ¡

f 1 2 .

1 53

Un artículo de

Computersin Cardiology 1993

p. 317) presenta los resultados de una prueba

de estrés en el corazón, en la que el estrés se in

duce mediante una droga en particular. Se han

registrado los ritmos del corazón en latidos

por minuto) de nueve pacientes de sexo mascu

lino después de que se les ha administrado la

droga. Se encontró que el ritmo promedio es de

x

=

102.9 lpm) con una desviación estándar

de la muestra de s

13.9 lpm). Encuentre un

intervalo de confianza de 90 sobre la media

del ritmo después de que se ha administrado la

droga.

1 52

Una muestra aleatoria de tamaño 15 de una po

blación normal tiene media

x

550 y varianza

s z

49. Determine lo siguiente:


95 respecto de J 1 .

b


respecto de J 1 .

Un intervalo de confianza superior de

95 respecto de J 1 .

l Un intervalo de predicción bilateral de

95 para una sola observación.

e Un intervalo de tolerancia bilateral que cu

briera 90 de todas las observaciones con

un 99 de confianza.

1 51

Un ingeniero industrial está interesado en esti

mar el tiempo medio requerido para ensamblar

una tarjeta de circuitería. ¿Qué tan grande de

be ser la muestra si el ingeniero desea tener

una confianza de 95 de que el error en la es

timación de la media es menor que 0.25 minu

tos? La desviación estándar del tiempo de

ensamblaje es 0.45 minutos.




1 72Resultados de un estudio sobre el desempeño

de una silla de ruedas se presentaron en el Pro-

ceedings of the IEEE 4th Annual Northeast

1 71 La fracción de productos defectuosos fabrica

dos por dos líneas de producción se está anali

zando. Una muestra aleatoria de 1000 unidades

de la línea

tiene 10 defectuosas, en tanto que

una muestra aleatoria de 1200 unidades de la

línea 2 tiene 25 defectuosas. Encuentre un in

tervalo de confianza de 99 respecto de la di

ferencia entre unidades defectuosas producidas

por las dos líneas.

1 7

Se realizó un estudio para determinar si hay

una diferencia significativa entre los miembros

de un sindicato con base en el sexo. Se tomó una

muestra aleatoria de 5000 empleados de una fá

brica y, de este grupo, 785 eran miembros del

sindicato. Se tomó una muestra aleatoria de 3000

empleadas y, de este grupo, 327 eran miembros

del sindicato. Construya un intervalo de con

fianza de 99 de la diferencia entre las propor

ciones

PI P2·

1 69

Se lleva a cabo un estudio para determinar el

porcentaje de familias que poseen al menos

dos aparatos de televisión. ¿Qué tan grande de

be ser la muestra si se desea tener una confian

za de 99 de que el error al estimar esta

cantidad sea menor que 0.01?

1 68

Un fabricante de calculadoras electrónicas está

interesado en estimar la fracción de unidades

defectuosas que se producen. Una muestra

aleatoria de 8000 calculadoras incluye 18 de

fectuosas. Calcule un intervalo de confianza

superior a 99 respecto de la fracción de uni

dades defectuosas.

1 67

¿Qué tan grande debe ser una muestra en el ejer

cicio 10-66 para tener una confianza de 95 de

que el error en la estimación de la tasa de chofe

res no asegurados sea menor que 0.03?

no estaban asegurados. Construya un intervalo

de confianza de 95 de dos lados sobre el pro

medio de la razón de choferes no asegurados.

1 65 Construya un intervalo de confianza de dos la

dos de 95 respecto del cociente de las varian

zas o ~/o ~ utilizando los datos del ejercicio

10-58.

1 64

Considere los datos en el ejercicio 10-57. Cons

truya

siguiente:


90 para o ~/o ~

b


95 para

a~/o ~

Compare el ancho de es

te intervalo con el ancho del intervalo en

la parte

a


para o ~ /o ~

l Un intervalo de confianza superior de 90

para o ~ /o ~

1 63

Considere los datos del ejercicio 10-56. Cons

truya un intervalo de confianza de dos lados

de 95 respecto del cociente de las varianzas de

población o ~ /o ~

1 62

En una muestra aleatoria de 100 bombillas

eléctricas se encontró que la desviación están

dar de muestra de la vida de las mismas era de

12.6 horas. Calcule un intervalo de confianza

superior de 90 respecto de la varianza de la

vida de las bombillas.

1 61

Construya un intervalo de confianza de dos la

dos de 95 respecto de la varianza de los da

tos del espesor de pared del ejercicio 10-50.

1 6 Considere los datos del ejercicio 10-49. Cons

truya siguiente:

a


99 para

b Un intervalo de confianza inferior de 99

para

2


para 2•

para


para

b


1 66

De una selección aleatoria de 400 choferes, 48




1 78

Pruebe que si se usa la función de pér

error cuadrático, el estimador de Baye

la media de la distribución posterior p

1 77

Sea X una variable aleatoria distribu

malmente con media

J i

5 y una varia

conocida 2 . La densidad anterior para

una distribución gamma con parámetr

y

1.0.Determine la densidad post

ra

l

2 Si una muestra aleatoria de ta

da como resultado L X ¡ - 4)2

4.92, d

la estimacióndeBayes de

a

2

suponi

pérdida del error cuadrático. Establezc

tegral que defina el intervalo de Bayes

para l a2.

1 76

Una variable aleatoria X está distribu

malmente con media J i y varianza o ?

densidad anterior para

J i

es uniforme e

12.Una muestra aleatoria de tamaño 1

ce

x

8. Construya un intervalo de B

90 para

J i

¿Sería razonable aceptar

tesis de que

J i

9?

1 75 Considere los datos del ejercicio 10-56

ga que una muestra aleatoria de tamañ

se obtiene deuna tercera población nor

x 3

20.5 Y s3

1.2. Encuentre dos in

de confianza de dos lados respecto de

u

J i Y112- J J tales que haya al m

probabilidad de 0.95 de que los tres in

conduzcan simultáneamente a conclus

rrectas.

1 74 Considere los datos del ejercicio 10

cuentre intervalos de confianza respec

2, tales que tengamos al menos una

za de 90 de que ambos intervalos c

en forma simultánea a conclusiones co

Encuentre un intervalo de confianza

respecto de la diferencia en el millaj

¿Cuál marca prefiere usted?

Auto

Marca 1 Marca 2

36 925 34 318

2 45 300 42 280

3 36 240 35 500

4 32 100

31 950

5 37 210

38 015

6 48 360 47 800

7

38 200 37 810

8 33 500

33 215

1 73

El gerente que tiene a su cargo una flotilla de

automóviles está probando dos marcas de llan

tas radiales. Asigna al azar una llanta de cada

marca a las dos ruedas traseras de ocho autos y

corre estos mismos hasta que las llantas se des

gastan. Los datos se muestran a continuación

n kilómetros) :

Encuentre un intervalo de confianza de 95

de la diferencia entre los tiempos de realiza

ción. ¿Existe algún indicio de que una de las

palancas sea la preferida?

Persona PSF

PSP

25 9 33 4

2 30 2 37 4

33 7 48 0

4 27 6 30 5

5

33 3 27 8

6

34 6 27 5

7 33 1 369

8 30 6

31 1

9

30 5 27 1

10

25 4

38 0

tipos depalancas: de sensaciónde fuerza PSF)

y de sensación de posición PSP) para el con

trol de la silla de ruedas. Sepidió a 10personas

que probaran ambas palancas. Una respuesta

de interés es el tiempo en segundos)para com

pletar una trayectoria predeterminada. Los da

tos usuales en este tipo de experimento son los

siguientes:

32 PROBABILIDAD ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



10-9. f)-l.

1

A x,

a

.

n

i=1

10-7.

1

10-3. e

2, porque se tendría un ECM más pequeño.

C

0-1. Ambos estimadores son insesgados. Ahora, V Xl T2/2n, mientras que V X2 cfl/n.

Puesto que

V X

1

V X

2

X l

es un estimador más eficiente que

X

2.

Capítulo 10

d 0.588.

e 0.241.b 2.85.-25. a 1.63.

d 20.48.e 34.17.b 11.34.-23. a 2.73.

9-21.

f

t)

1- e-nA t

F t)

1- e-A t n .

JX ll

X n)

2 2n

2

m

+

n -

2)

Para

F

m n

tenemos

J i

nltn -

2 para

n

>

2

y

a

=

2

para

n

>

4.

, m n -

2)

n -

4)

9-17.

1

1

2

9-15. J i

=

u,

T

2u.

-13. se ft = ~p 1 - p /n, se ft = ~p 1 - p /n.

1.5 2 2.0 2

-- + --

0.47. 9-11.

N O, 1 .

25 30

T~ T~

=

ni n2

El error estándar de XI - X

2

es-9.

9-7. Use S ¡ n

-5.

N 5.00, 0.00125 .

i=l

s

9-1. f xl X2 ... , xs)

1/ 2na2 5/2e-l/2cr2

Xi - 11)2.

apítulo 9

8-31. Para 8-29,

cv

0.0198; para 8-30, cv 9.72. 8-33.

22.41, s2 208.25,

x

22.81,

moda 23.64.

8-25.

8-29.

a

120.22, s2 5.66, s 2.38. b

x

120,moda 121.

b La media de la muestra y la desviación estándar serán de 100 unidades de longitud. La

varianza de la muestra será de 10,000unidades de longitud.

8-23. a El promedio de la muestra se reducirá en 63.

8-21. 74.002, s2 6.875 X 10-6, s 0.0026.

-1.

131.30, S2 113.85,s 10.67.

Capítulo 8

768 PROBABILIDAD

ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



11-7. a

Zo

1.349, no se rechaza Ho. b 2. e 1.1-5.

Zo

2.50, se rechaza Ho.

11-1. a Zo -1.333, no se rechaza Ho. b 0.05. 11-3. a

Zo

-12.65, se rechaza Ho. b 3.

apítulo

10-73. -2038:::; J il - J i ~ 3774.8.

10-75. -3.1529:::; Jil - J i ; 0.1529; -1.9015:::; Jil - J i ; 0.9015; -0.1775 ~ Ji] - J i ~ 2.1775.

10-69. 16577. 10-71. -0.0244:::;

P I - P 2:::; 0 .0 024 .

0-67.

0 .0 8 8 :: :;p ::: ; 0 .1 5 2 .

10-61. 0.0039:::;

o? :::;

0.0124. 10-63. 0.574:::; J2 ~ 3.614. 10-65. 0.11:::;af aI ;

0.86 .

e a

2 ::: ; 2 4 6 0 .6 2 .

b 714.56:::; J2

0-59. a 649.60:::; J2 :::;2853.69

10-53. 94.282:::;Ji:::; 111.518. 10-55. -0.839:::;J i¡ - J i ; -0.679. 10-57. 0.355:::;u sJi2 : : : ;0.455.

10-51. 13.0-47. -3.68:::; J i - J i ~ -2.1210-49. 183.0 ~ J i ~ 256.6.

10-45. a 0.0723 :::; i] - J i ;3267.89. b 0.0499

<

Jil - J i ;0.33. e u - J i ;0.3076.

10-43.1500151.b 1004.80sJ i.

0-41. a 3232.11su s ; 3267.89.

10 35. (a )f(8 Ix )

f~~l~

e 2 (2 2 ~ 2 x)· . b [ J

1/2. 10-37. a¡

a/2 es más corto.

10-39. a 74.03533 :::; i:::; 74.03666. b 74.0356 :::; i.

10-31. 0.967. 10-33.0.3783.

10-29. La densidad posterior para Aes gamma con parámetros

r

m

L x i

1Y8

n m

l /Av.

1 11_

X / [ 1 l n )

~ X ¡ x ] . r

X / [ l / n )

~Xl-

X 2 ]

10 13. l / X 10-15. X t / n 10-17. X / n o

10-21. -1 -

ñ l 1 n

x;

10-23. X l .

i=l

10 25. f(J iI x ], x2 ... , x

n

Cl/2 2n - l/2 exp{ ~ [Ji-

~ ~ n

n 1

donde C .

a? J~

10-27. La densidadposterior parap es una distribuciónbeta con parámetros

n

y

b

L Xi

n

RESPUESTASA EJERCICIOS SELECCIONADOS 769



Capítulo 3

12-15. a { 20.47, tI 0.33, t2 1.73, t3 2.07. b tI - t2 -1.40.

12 11 n = 3.

2-9. a

Fa

2.38. b Ninguno.

12-7. a Fa

4.01. b La media 3 difiere de la media 2. e SSc2

246.33. d 0.88.

12-5. a Fa 2.62. b { 2l.70, tI 0.023, t2 -0.166, t3 0.029, t4 0.059.

12-1. a

Fa

3.17. 12-3. a

Fa

12.73. b La técnica de mezclado 4 es diferente de 1,2 Y3.

Capítulo

11 59 X~

22.06, se rechaza H a 1 57

X~ =

34.896, se rechaza H a·

11 53 X ~

0.0331, no se rechaza

H a

11-55.

X ~


H a

11 47 X~


H a

11-49.

X~


H a

11-37. o = 1.333, no se rechaza H a 11-41. o = -2.023, no se rechaza H a

11 33 2.4465, no se rechaza H a 11-35. t 5.21, se rechaza H a

11 31 Fa =

30.69, se rechaza

H a;

0.65.

b

0.58.

1-29. a

x

2.28, se rechaza

H a

d 17.

e 0.30.

1-27. a x 43.75, se rechaza H a b 0.3078 x 10-4.

11 25

fa

=

0.56, no se rechaza H a

11 21 Fa


H a

11-23. a

Fa

l.07, no se rechaza

H a

b 0.15. e 75.

11-19. a t 8.49, se rechaza H a b -2.35, no se rechaza H a e 1. d 5.

11 13

o 1.842,no se rechaza H a 11-15. fa 1.47, no se rechaza H a en J 0.05. 11-17. 3.

11-11.Zo

-7.25, se rechaza

H a

1-9. Zo

=

2.656, se rechaza

H a

PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARAINGENIERíA