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Matemáticas

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11// Lugares geométricos. Mediatriz y Bisectriz

Mediatriz de un segmento de extremos A y B: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y B.

1. Encuentra el punto M (punto medio entre A y B). 2. Halla el vector perpendicular a AB 3. Calcula la ecuación de la recta que pasa por M y tiene

como vector director el vector perpendicular a AB

Bisectriz de dos rectas r y s: Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de r y de s.

d(P, r) = d(P, s)

Ejercicios Resueltos

1 # Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(5, 2) y B(-3, 8).

La mediatriz es una recta perpendicular al punto medio del segmento AB, por lo que:

Debe pasar por el punto Medio )5,1(2

82,2

35M

como ( 8,6)v B A= - = -r es vector director, entonces el vector normal es (6,8)n =r

MEDIATRIZ: ecuación de la recta que pasa por M (1, 5) y tiene vector, (6,8) (3,4)n = =r

y 5x 13 4

3(y – 5) = 4 (x –1) 3 y – 15 = 4x – 4 4x – 3y + 11 = 0

2 # Calcula las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r: 3x – 4y +1 = 0 y s: 5x + 12y – 7 = 0

3x 4y 1 5x 12y 7 3x 4y 1 5x 12y 74 139 16 25 144

39x 52y 13 25x 60y 35 14x 112y 48 0 7x 56 24 039x 52y 13 25x 60y 35 64x 8y 22 0

3 # Dado el triángulo de vértices )7,2(),4,6(),1,0( RQP

a) Halla la longitud del lado PQ b) Halla la ecuación de la recta r sobre la que está dicho lado c) Halla la distanciadel vértice R a esa recta r d) Calcula el área o superficie S del triángulo

Sol: a) d(P,Q)=3 5 b) r: x-2y+2=0 c) d(R,r)=10/ 5 d) S=15 u2

Mediatriz: recta perpendicular en el punto

medio de un segmento.

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22// LA CIRCUNFERENCIA

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

La distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia es el radio.

(x – a)2 + (y – b)2 = r2 Ecuación reducida

x2 + y2 + mx +ny + p = 0 Ecuación Desarrollada

El centro C(a, b) m na ; b2 2

El radio 2 2r a b p

Posición de una recta respecto de una circunferencia

Mediante el cálculo de la distancia de un punto (el centro de la circunferencia) a la recta: Vemos si la distancia es igual, más grande o más pequeño que el radio.

Si d > r La recta es exterior a la circunferencia.

Si d < r La recta es interior a la circunferencia.

Si d = r La recta es tangente a la circunferencia.

Mediante la resolución del sistema:

2 Soluciones: La recta es interior a la circunferencia.

1 Solución: La recta es tangente a la circunferencia.

No tiene solución: La recta es exterior a la circunferencia.

33// LA ELIPSE

DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de los punto del plano en el que la suma de distancias de los focos (F y F´) a un punto P es constante.

PF´ y PF son los radios vectores del punto P

ELEMENTOS DE LA ELIPSE:

Eje mayor : AA 2a ; semieje mayor: a

Eje menor : BB 2b ; semieje menor: b

Distancia focal:FF 2c ; semidistancia focal: c

Focos: son los puntos F y F´

Vértices: A, A´, B y B´

PF´ + PF = 2a

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RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA ELIPSE: a2 = b2 + c2

EXCENTRICIDAD: mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. cea

0 < e < 1

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE CENTRADA EN EL ORIGEN CON LOS FOCOS SOBRE EL EJE X 22

2 2yx 1

a b