Download pdf - 02 Metode Deformasi Konsisten

9/9/2014

1

2 Metode Deformasi Konsisten

K L 3 1 0 1 , K E L A S 0 1

S E M E S T E R I 2 0 1 4 / 2 0 1 5

Pengantar

Telah dipelajari sebelumnya bahwa keseimbanganmerupakan persyaratan yang harus dipenuhi olehmerupakan persyaratan yang harus dipenuhi olehsistem struktur yang menerima beban reaksidan gaya dalam mengimbangi beban yang bekerja.

Jika reaksi dan gaya dalam struktur dapatditentukan hanya dengan menggunakan persamaankeseimbangan, maka struktur termasuk kategoristatis tertentu (statically determinate).

2

9/9/2014

2

2D2D 3D3D

Persamaan Keseimbangan

0

0

0

x

y

F

F

M

=

=

=

0 0

0 0

0 0

x x

y y

F M

F M

F M

= =

= =

= =

0zM = 0 0z zF M= =

3

Ketaktentuan Statis

Jika terdapat lebih banyak reaksi dan/atau gaya dalamdaripada jumlah persamaan keseimbangan, strukturp j p g ,dikatakan sebagai statis tak tentu (statically indeterminate).

Hal ini bukan berarti reaksi dan gaya dalam tidak bisaditentukan. Hanya persamaan keseimbangan tidak cukupuntuk menentukan besar reaksi dan gaya dalam tersebut.

A B

wMA

RAy RB

4

9/9/2014

3

Gaya Kelebihan

Struktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statis tertentu dengan menghilangkan sejumlah gaya(reaksi atau gaya dalam) yang nilainya belum diketahui.Gaya-gaya yang dihilangkan ini disebut gaya kelebihan (redundant forces).Jumlah gaya kelebihan ini sama dengan derajat kestatistaktentuan struktur.Struktur statis tertentu yang dihasilkan disebut struktur primer.Sembarang reaksi atau gaya dalam dapat dipilih sebagai gaya kelebihan selama struktur primer yang dihasilkan stabil.

5

Prinsip Dasar

Struktur statis tak tentu dapat dianalisis sebagai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai beban luar dan struktur primer yang dikenai gaya-gaya kelebihan.

=A BwMA

RA R

A B

w

RA 0

MA0

+RAy RB

RAy0

AB

RBRAy1

MA1MA = MA0 + MA1RAy = RAy0 + RAy1

6

9/9/2014

4

Prinsip Dasar

Agar deformasi struktur primer di tempat gaya kelebihan bekerja konsisten dengan struktur statis tak tentu semula, j g ,diperlukan syarat kompatibilitas.

=

+

A B

wMA

RAy RB

w

RAy0

MA00

+

RBRAy1

MA11

B = 0 B = 0 + 1

0 + 1 = 0persamaankompatibilitas

7

Prinsip Dasar

Setiap persamaan kompatibilitas mengandung gaya kelebihan yang belum diketahui nilainya.kelebihan yang belum diketahui nilainya.

Jumlah persamaan kompatibilitas sama banyak dengan jumlah gaya kelebihan.

Dengan demikian penyelesaian persamaan kompatibilitas secara simultan akan menghasilkan nilai semua gaya kelebihan.g y

8

9/9/2014

5

Ilustrasi Perhitungan

wMA0

2

0 0; 2Ay AwLR wL M= =

RAy0

0 4

0 8wLEI

=

MA1

1 1;Ay B A BR R M R L= =

RBRAy1

1 3

1 3BR LEI

=

9

Ilustrasi Perhitungan

Persamaan kompatibilitas:34

0 0BR LwL + = + =

Reaksi lainnya:

0 1 0 08 3EI EI + = + =

( )3 8BwLR =

( )0 1 3 58 8Ay Ay AywL wLR R R wL= + = =

( )2 2

0 1

8 83 CCW

2 8 8A A AwL wL wLM M M L = + = + =

10

9/9/2014

6

Gaya Dalam sebagai Gaya Kelebihan

Selain reaksi, gaya dalam dapat pula dipilih sebagai gaya kelebihan.gaya kelebihan.

Misalnya untuk struktur balok berikut:

Momen lentur di B, MB, dapat dijadikan gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer

AB

w

C

kelebihan sehingga diperoleh struktur primer berikut:

A B

w MB

B C

wMB

11

A B

w

BA0

Syarat kompatibilitas:

B C

w

BC0

MB wMBA B

BA1

B CBC1

0 0 1 1 0BA BC BA BC + + + =

Selesaikan persamaan kompatibilitas di atas untuk memperoleh nilai MB, kemudian tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam pada balok tersebut!

12

9/9/2014

7

Penamaan Variabel

Gaya-gaya kelebihan diberi nama Xi.

Perpindahan struktur primer akibat beban luar Perpindahan struktur primer akibat beban luar dalam masing-masing arah gaya kelebihan diberi nama 0i.

Perpindahan struktur primer dalam arah Xi akibat gaya kelebihan Xj diberi nama ij.

w

RAy0

MA001

X1RAy1

MA111

13

Koefisien Fleksibilitas

Untuk memisahkan unknown Xi dalam perhitungan, terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 satuan dalam masing-masing arah gaya kelebihan.

Perpindahan akibat gaya 1 satuan ini diberi nama ij, yaitu perpindahan dalam arah gaya kelebihan ke-i(Xi) akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan ke-j (Xj).jij disebut juga koefisien fleksibilitas.

14

9/9/2014

8


MA1

X1RAy1

11

mA1

11 11 1X =

1rAy1

111 1 1

1 1 1

A A

Ay Ay

M m XR r X

==

L

15


Dengan metode beban satuan, nilai perpindahan struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ijstruktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ijadalah:

00

0 0

;L L

i jii ij

m mM m dx dxEI EI

= = M0 = momen lentur pada struktur primer akibat beban luar.mi = momen lentur pada struktur primer akibat gaya 1 satuan

dalam arah gaya kelebihan Xi.

Persamaan kompatibilitas sekarang dapat dituliskan dalam bentuk:

01 11 10 11 10 0X + = + =

11 1 01X = 16

9/9/2014

9


Untuk struktur rangka batang, nilai perpindahan struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ij struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ij adalah:

00

1 1;

N Nki kj kk ki k

i ijk kk k k k

s s LS s LE A E A

= =

= =

Sk0 = gaya batang k pada struktur primer akibat beban luar.k0 g y b g p p b b bski = gaya batang k pada struktur primer akibat gaya 1 satuan

dalam arah gaya kelebihan Xi.

17

Contoh 1

Pilih reaksi momen di A sebagai gaya kelebihan dan gunakan metode deformasi konsisten untuk gunakan metode deformasi konsisten untuk menentukan reaksi dari struktur balok seperti tergambar.

B

wMA

B

wX1

A B

RAy RB

A B

RAy RB

18

9/9/2014

10

Syarat kompatibilitas: Putaran di tumpuan A harus nol, karena A adalah tumpuan jepit.

01 11 1 0X + =01 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat beban luar,

11 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat momen satu satuan11dalam arah X1.

A B

w

RAy0 = wL/2 RB0 = wL/2

01

A B

1

rAy1 = 1/L rB1 = 1/L

11

m1

1+

M0

wL2/8

+Diagrammomen

19

Perpindahan struktur primer akibat beban luar:

( )( )1 111 1 1L m m Ldx = =

( )2

0 101

0

3

1 26 8

24

L M m L wLdxEI EI

wLEI

= =

=

Koefisien fleksibilitas: ( )( )110

1 13

3

dxEI EI

LEI

=

Koefisien fleksibilitas:

Persamaan kompatibilitas:

01 11 1 0X + =3

0wL L X+ =12

1

024 3

8

XEI EI

wLX

+ =

=

( )2

CCW8A

wLM = 20

9/9/2014

11

Reaksi lainnya:

( )

( )

0 1 1

2

0 1 1

2

1 5 2 8 8

1 3

Ay Ay Ay

B B B

R R r X

wL wL wLL

R R r X

wL wL wL

= +

= + =

= +

( )1 32 8 8wL wL wL

L = + =

w

AB

L /83wL/8

5wL/8wL2/8

21

Contoh 2

Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya

20 kN/m

Agambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur seperti tergambar.

Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas

8 m

6 m

A B

C

E dan inersia penampang I.8 m

22

9/9/2014

12

Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu derajat 1 (terdapat 1 gaya kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di C (RCx).

20 kN/m

A B

X1

Syarat kompatibilitas:C

X1

Perpindahan horizontal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah sendi:

01 11 1 0X + =

01 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat beban luar,

11 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat gayasatu satuan dalam arah X1

23

Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:

80 kN

20 kN/m

0.75

1

+

160

(b) ri1

80 kN

(a) Ri0

0.75

1

6

6

(c) M0 (d) m1

24

9/9/2014

13

Perpindahan strukturprimer akibat beban luar:

1 111

L m m dxEI

=

( )( ) ( )( )0 101

0

8 6 2 1606

2560

L M m dxEI EI

EI

= =

=


( )( )( ) ( )( )( )

110

8 6 6 6 6 6 1683 3

EI

EI EI EI

= + =

(perpindahan struktur primerakibat beban 1 satuan)

Persamaankompatibilitas: 10 11 1

0X + =

2560 168 0X+ =

( )

1

1

0

2560 15.24 kN 168

XEI EI

X

+ =

= =

( )15.24 kN CxR = 25

Reaksi lainnya: ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0 1 15.24 15.24 kN

80 0.75 15.24 68.57 kN

80 0.75 15.24 91.43 kN

Ax Ax Ax

Ay Ay Ay

Cy Cy Cy

R R r X

R R r X

R R r X

= + = + =

= + = + =

= + = + =

20 kN/m 68.57

(a) Reaksi (b) Gaya geser V [kN]

+

+

15.24 kN

15.24 kN

68.57 kN

15.24

91.43

91 43

+

(c) Momen lentur M [kN-m]

91.43 kN

117.55

91.43

26

9/9/2014

14

Contoh 3

Hitung reaksi dan gayaHitung reaksi dan gaya-gaya batang dari strukturrangka batang sepertitergambar. Semua batang terbuatdari bahan yang sama, dengan modulus 1

2

3

4

5 6

7

9 mD

CA B

90 kN

dengan modulus elastisitas E dan luaspenampang A.

6 m 6 m

E

27

Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu luar derajat 1 (terdapat 1 reaksi kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi di C.

S1D

CA B

90 kN X1RA

S2

S3

S4S5 S6

S7

Syarat kompatibilitas:Perpindahan vertikal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah rol:

01 11 1 0X + =

REx

REy

01 = perpindahan vertikal titik C pada struktur primer akibat beban luar,

11 = perpindahan vertikal titik C pada struktur primer akibat gayasatu satuan dalam arah X1

28

9/9/2014

15

Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:

90 kN

60 kN

75

0

90

0

0

1.33

0

11.33 1.33

60

90 kN

60 kN

7545

75

1

1.33

1.67

1.67

0

0

Ri0 dan Si0 ri1 dan si1

29

Perhitungan deformasi:

Batang Li[m]Si0

[kN] si1 Si0 si1 Li si1 si1 Li Si [kN]

1 7.5 75 1.67 937.5 20.83 50.20

2 9 45 0 0 0 452 9 45 0 0 0 45

3 7.5 75 0 0 0 75

4 6 0 1.33 0 10.67 19.84

5 4.5 90 0 0 0 90

6 7.5 0 1.67 0 20.83 24.80

7 6 0 1.33 0 10.67 19.84

937.5 63

01937.5EA

= 1163EA

=30

9/9/2014

16


01 11 1 0X + =

( )1

1

937.5 63 0

14.88 kN

XEA EA

X

+ =

= Reaksi lainnya:

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

0 1 1

0 1 1

0 1 1

60 1.33 14.88 40.16 kN

60 1.33 14.88 40.16 kN

90 1 14.88 75.12 kN

A A A

Ex Ex Ex

Ey Ey Ey

R R r X

R R r X

R R r X

= + = + =

= + = + =

= + = + =

Gaya-gaya batang:

S S X+

90 kN

40.16 kN

14.88 kN

19.8419.84

0 1 1i i iS S s X= +

Hasil perhitungan dituliskan di kolom paling kanan pada tabel perhitungan di atas dan pada gambar di samping. 40.16 kN

75.12 kN

50.20

24.8090

75

45

31

Contoh 4

Hitung reaksi dan gaya-b t d i t ktgaya batang dari struktur

rangka batang sepertitergambar.Semua batang terbuatdari bahan yang sama, dengan modulus

l ti it E d l

2

3 45

6

4 m

D

80 kN

C30 kN

elastisitas E dan luaspenampang A.

1

3 m

A B

32

9/9/2014

17

Struktur primerSalah satu gaya batang dapat dipilih sebagai gayak l bih i l b l h l h

ReaksiReaksi dapat langsung dihitung menggunakan persamaan keseimbangan. Struktur ini merupakan struktur statis tak tentu dalam derajat 1 (terdapatkelebihan 1 batang).

S6D

80 kN

C30 kN

Syarat kompatibilitas

kelebihan, misalnya gaya batang 3. Batang 3 seolah-olahdiputus di tengah dan dapat berpindah relatif terhadapsatu sama lain akibat beban luar dan akibat beban 1 satuandalam arah X1.

Total perpindahan antara kedua ujung batang 3 yang diputus harus sama dengan nol.

S1

X1

S2 S4S5

A B

X1

p g

01 = perpindahan relatif kedua ujung batang 3 yang diputus akibat beban luar,

11 = perpindahan relatif kedua ujung batang 3 yang diputus akibat bebansatu satuan dalam arah X1

01 11 1 0X + =

33

Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:

D

80 kN

C30 kN

30DC

0.6

30 kN

40 kN

50

30

40 0

A B

40 kN

1

A B

1

0.6

0.8 0.81

Ri0 dan Si0 ri1 dan si1

34

9/9/2014

18

Perhitungan deformasi:

Batang Li[m]Si0

[kN] si1 Si0 si1 Li si1 si1 Li Si [kN]

1 3 30 0.6 54 1.08 22.01

2 4 40 0 8 128 2 56 50 652 4 40 0.8 128 2.56 50.65

3 5 0 1 0 5 13.31

4 5 50 1 250 5 36.69

5 4 0 0.8 0 2.56 10.65

6 3 30 0.6 54 1.08 22.01

230 17.28

01230EA

= 1117.28

EA =

35

Persamaan kompatibilitas:01 11 1 0X + =

( )1

1

230 17.28 0

13.31 kN tarik

XEA EA

X

+ =

=

Gaya-gaya batang lainnya:Gaya gaya batang lainnya:

0 1 1i i iS S s X= +

0.6

5

.65

4 m

D

80 kN

C30 kN22.01

30 kN

40 kN 40 kN

50

22.01

10

4 m

3 m

A B

36

9/9/2014

19

Derajat Kestatistaktentuan > 1

Untuk struktur dengan derajat kestatistaktentuan > 1, diterapkan pola penyelesaian yang sama: diterapkan pola penyelesaian yang sama:

Ubah menjadi struktur primer statis tertentu dengan sejumlah gaya kelebihan.

Tetapkan syarat kompatibilitas.

Selesaikan persamaan kompatibilitas menggunakan nilai perpindahan struktur primer akibat beban luar (0i) dan koefisien fleksibilitas (ij) untuk memperoleh nilai gaya ( ij) p g ykelebihan.

Tentukan nilai reaksi lainnya.

37

Ilustrasi

w

A B

RAy

RAx

RB

MA

C

RC

w

struktur statistak tentu

struktur primer

A B

X1 = RB

C

X2 = RC

1 = B = 0

pdan gaya kelebihan

syarat kompatibilitas 2 = C = 0

38

9/9/2014

20


RAy002

01

MA0

2111

mA1

Koefisien fleksibilitas:1

rAy1

1

mA2 12

rAy2

22


(perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan)

Persamaan kompatibilitas:Persamaan kompatibilitas:

1 01 11 1 12 2

2 02 21 1 22 2

0 00 0

X XX X

= + + = = + + =

39

Sekarang persamaan kompatibilitas dapat dituliskan dalambentuk matriks:

0111 12 1

0221 22 2

00

XX

=

atau dalam formula yang lebih umum:

[ ]{ } { } { }0X =

[] = matriks fleksibilitas yang berisikan koefisien fleksibilitas{X} = vektor gaya kelebihan yang nilainya belum diketahui

{} = vektor perpindahan tumpuan yang umumnya bernilai nol,{} vektor perpindahan tumpuan yang umumnya bernilai nol,

kecuali jika terjadi perpindahan tumpuan

{0} = vektor perpindahan struktur primer pada setiap arah gaya kelebihan

akibat beban luar

40

9/9/2014

21

Gaya kelebihan:

{ } [ ] { } { }( )1 0X = Reaksi dan gaya dalam lainnya:

R R r X r X r X= + + + +0 1 1 2 2

01

0 1 1 2 2

0

i i i i iN N

N

i ik kk

i i i i iN NN

i ik kk

R R r X r X r X

R r X

S S s X s X s X

S s X

=

= + + + +

= +

= + + + +

= +

K

K

1k=

41

Teorema Betti-MaxwellJames C. Maxwell (1864)

Perpindahan suatu titik pada struktur (titik A) akibat beban satuan yang bekerja di titik yang lain (titik B) beban satuan yang bekerja di titik yang lain (titik B) sama dengan perpindahan titik B akibat beban satuan yang bekerja di titik A.

Dengan kata lain: ij = jiImplikasi: matriks fleksibilitas simetris.

42

9/9/2014

22

Prosedur Metode Deformasi Konsisten

Tentukan derajat kestatistaktentuan struktur.Pilih gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer g y gg p pyang stabil.Tetapkan syarat kompatibilitas yang sesuai dengan gaya kelebihan yang dipilih.Susun persamaan kompatibilitas dalam bentuk:

[ ]{ } { } { }0X = dengan menentukan nilai ij (perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan) dan 0i (perpindahan struktur primer akibat beban).

43

Prosedur Metode Deformasi Konsisten

Selesaikan persamaan kompatibilitas untuk memperoleh nilai gaya kelebihan {X}.memperoleh nilai gaya kelebihan {X}.

Hitung reaksi dan gaya-gaya dalam lainnya:

{ } [ ] { } { }( )1 0X =

N

R R r X= +{ } { } [ ]{ }R R X 01

01

i i ik kkN

i i ik kk

R R r X

S S s X

=

=

= +

= +

{ } { } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }

0

0

R R r X

S S s X

= +

= +

44

9/9/2014

23

Contoh 5

Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur balok seperti dan momen lentur dari struktur balok seperti tergambar.

Balok AB dan BC memiliki modulus elastisitas E, panjang L, dan inersia penampang I.

w

A B C

45

Struktur primer dan gaya kelebihan:

w

A B

X1 = RB

C

X2 = RC

Syarat kompatibilitas: 1 = B = 0 2 = C = 0


11 1 12 2 01

21 1 22 2 02

X XX X

+ = + =

Diagram momen akibat beban luar dan beban 1 satuanpada masing-masing arah gaya kelebihan:

w L 2L

+ +

2wL2

2wL

2wL2M0

11

11

m1 m2

L 2L

46

9/9/2014

24


( )( )( )

( )( ) ( )

( )( )( )

31 1

110

31 2

120

32 2

13 3

2 21 56 6

2 2 21 8

L

L

L

L L Lm m LdxEI EI EI

L L L Lm m LdxEI EI EI

L L Lm m Ld

= = =

+ = = =


( )( )( )2 222

0 3 3dx

EI EI EI = = =

( )( ) ( ) ( )2 2 40 1

01

2 2 1.1251 176 24

L L L wL wLM m wLdxEI EI EI

+ = = =

( )( ) ( ) ( )0

2 2 40 2

020

6 24

2 2 2 2 0.51 26

L

EI EI EI

L L wL wLM m wLdxEI EI EI

+ = = =

47

Persamaan kompatibilitas: [ ]{ } { } { }0X = 3 4

1

2

11

2

2 5 175 16 486 24

2 5 175 16 484

XL wLXEI EI

X wLX

=

=

Reaksi lainnya:0 1 2 1AA A ARR r r X

MM X

= +

( ) ( )8 11; 7 28B CwL wLR R= =

2 5 16 484

16 5 17 3215 2 48 114 7 28

X

wL wL

= =

0 1 2 2

2

2 1 1 32 132 2 11 228 28

AA A AMM m m X

wL wL wLwL L L L

= + =

( ) ( )213 ; CCW

28 14A AwL wLR M= =

48

9/9/2014

25

Diagram gaya-gaya dalam:

A B C

87wL 11

28wL13

28wL

2

14wL

w

1328wL

1528wL

1728wL

1128wL

+ +

V

0.0772wL2

M

0.0714wL2

0.0364wL2

0.1071wL2

++

49

Contoh 6

Tentukan reaksi dari struktur seperti tergambar.

20 kN/mseperti tergambar.

Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas Edan inersia penampang I.

8 m

6 m

A B

C

50

9/9/2014

26

Struktur primer dan gaya kelebihan:

20 kN/m

A B

CX1

Misalnya reaksi horizontal dan momen di Bdipilih sebagai gaya kelebihan.

C 1

X2Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:

20 kN/m

A B

80 kN

160 kN-m

C

80 kN

80 kN

Ri0 M0

51

A B

0.75

1

m

6

6

Cri1

0.75

1 m1

A B

0 125

+1

1

C

0.125

ri2

0.1251

m2

+

52

9/9/2014

27


( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

1 111

0

1 212

0

8 6 6 6 6 6 1683 3

8 6 1 6 6 1 343 2

L

L

m m dxEI EI EI EI

m m dxEI EI EI EI

= = + =

= = + =

( )( )( ) ( )( )( )

0

2 222

0

8 1 1 6 1 1 263 3

L m m dxEI EI EI EI

= = + =


( )( ) ( )( )0 101

8 6 2 160 25606

L M m dxEI EI EI

= = =

( )( ) ( )( )

010

0 202

0

6

8 1 2 160 12806 3

L

EI EI EI

M m dxEI EI EI

= = =

53


( )( )

1

2

1

2

504 102 76801 1102 26 12803 3

25.6CCW51.2

Cx

C

XXEI EI

RXMX

=

= = ( )2 C

0 1 0 25.625.6

80 0.75 0.125 67.251.2

80 0.75 0.125 92.8

Ax

Ay

Cy

RRR

= + =

Reaksi lainnya:

20 kN/m

A B

6 2 kN

25.6 kN

C

67.2 kN

92.8 kN51.2 kN-m

25.6 kN

54

9/9/2014

28

Contoh 7

Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari struktur rangka

80 kN

30 kNbatang dari struktur rangka batang seperti tergambar.

Semua batang terbuat dari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luas penampang A.

1

2

3 45

6

4 m

D

A B

C30 kN

3 m

55

Struktur primer dan gaya kelebihanSatu reaksi dan satu gaya batang harus dipilih sebagaigaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di B dan gayabatang 3, seperti tergambar.

X1

S2 S4S5

S6D

80 kN

C30 kN

X1

XS1AB

X2Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:

5040 0

D

80 kN

C30 kN

30 DC

1

0.6

0.8 0.81

30 kN

40 kN

50

30

4

Ri0 dan Si0

A B

40 kN

1 1

ri1 dan si1

1

1

ri2 dan si2

A B0.6

56

9/9/2014

29

Perhitungan koefisien fleksibilitas dan perpindahan struktur primer:

#L

[m]S0

[kN] s1 s2 s1s1L s1s2L s2s2L S0s1L S0s2LS

[kN]

1 3 30 0 6 1 1 08 1 8 3 54 90 01 3 30 0.6 1 1.08 1.8 3 54 90 0

2 4 40 0.8 0 2.56 0 0 128 0 48.69

3 5 0 1 0 5 0 0 0 0 10.86

4 5 50 1 0 5 0 0 250 0 39.14

5 4 0 0.8 0 2.56 0 0 0 0 8.69

6 3 30 0.6 0 1.08 0 0 54 0 23.48

17.28 1.8 3 230 90

11 12 22 01 02

57

Persamaan kompatibilitas: [ ]{ } { } { }01

2

11

17.28 1.8 0 2301 11.8 3 0 90

17.28 1.8 2301 8 3 90

X

XXEA EA

XX

=

=

= 2 1.8 3 90

10.8623.48

X

= ( )( )

3 10.86 kN tarik

23.48 kNBx

S

R

=

=

Reaksi dan gaya batang lainnya:

X { } { } [ ]

{ } { } [ ]

10 1 2

2

10 1 2

2

i i i i

i i i i

XR R r r

X

XS S s s

X

= +

= +

58

9/9/2014

30

Pengaruh Perpindahan Tumpuan

Berbeda dengan struktur statis tertentu, perpindahan tumpuan pada struktur statis tak tentu perpindahan tumpuan pada struktur statis tak tentu akan menimbulkan gaya-gaya dalam pada struktur.

Dalam struktur yang sebenarnya, perpindahan tumpuan ini dapat diakibatkan oleh penurunan tanah atau pondasi, kesalahan pengukuran pada saat konstruksi, perubahan ukuran material akibat perubahan suhu, susut dan rangkak pada beton, kesalahan fabrikasi, atau sebab-sebab lainnya.

59

Pengaruh Perpindahan Tumpuan

Pada metode fleksibilitas, perpindahan tumpuan ini dimasukkan ke dalam analisis dengan mengubah dimasukkan ke dalam analisis dengan mengubah nilai perpindahan pada persamaan kompatibilitas.

Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi:Perpindahan pada arah yang dipilih sebagai gaya kelebihan.

Perpindahan tumpuan struktur primer (yang tidak dipilih sebagai gaya kelebihan).

60

9/9/2014

31

Perpindahan pada arahyang dipilih sebagai gaya kelebihan

w

A BC

C = 1Tumpuan C mengalamipenurunan sebesar

C 1 satuan.

w

A B

X1 = RB

C

X2 = RC

Struktur primer dan gayakelebihan yang dipilih.

02 21 1 22 2 1X X + + =

0111 12 1

0221 22 2

01

XX

=

Syarat kompatibilitas di tumpuan C :

sehingga persamaankompatibilitas menjadi:

61

Perpindahan tumpuan struktur primer

A B C

w Tumpuan A mengalamiputaran sebesar 0.1 rad

A B Csearah putaran jarum jam.

w

A B

X1 = RB

C

X2 = RC

Struktur primer dan gayakelebihan yang dipilih.

Perpindahan dalam arah masing-masing gaya kelebihan akibat

2s = 0.2L1s = 0.1L

{ } 01 1002 2

s

s

+ = +

0111 12 1

0221 22 2

0.100.20

LXLX

=

perpindahan struktur primer.

62

9/9/2014

32

Contoh 8

Tentukan reaksi pada struktur balok seperti tergambar apabila tumpuan B mengalami tergambar apabila tumpuan B mengalami perpindahan vertikal sebesar 1 satuan (ke arah atas).

1

A

B

63

Struktur primer dan gaya kelebihan

X1

X2

Koefisien fleksibilitas

11

L

+L

1

+1

1

( )( ) ( )( )

( )( )

3 2

11 12

22

1;

3 3 2 21 1

L L L L LL LEI EI EI EI

L LEI EI

= = = =

= =

64

9/9/2014

33

Persamaan kompatibilitas2

1

2

1 02 30 06 3 6

XL LLXEI L

=

122 3

6 3 1 126 13 2 0 63

X LEI EIX L L LL L L

= =

Reaksi lainnya

2 3 2 0 63X L L LL L L

3

3

0 1 0 120 1 6

126

Ay

A

R EIM L LL

EILL

= +

=

6EI6LL 1

3

12EIL

3

12EIL

2

6EIL

2

6EIL

65

Contoh 9

Tentukan reaksi pada struktur seperti tergambar, jika tumpuan A mengalami putaran sebesar 1 satuan jika tumpuan A mengalami putaran sebesar 1 satuan searah putaran jarum jam.

Gunakan struktur primer dan matriks fleksibilitas

1

AB

Gunakan struktur primer dan matriks fleksibilitas dari Contoh 8.

66

9/9/2014

34

Perpindahan tumpuan struktur primer

Persamaan kompatibilitas

L

1

21 0 02 3 X LL LL

1

2 0 0 16 3 6 XEI L=

12 22 3

2

6 3 66 13 2 1 23

X L L LEI EIX L L LL L L

= =

Reaksi lainnya0 1 0 6AyR LEI +

4EI23

23

0 1 2

64

y

AM L LL

LEILL

= +

=

1

AB

2

6EIL

2

6EIL

2EIL

L

67