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“Vibración excitada armónicamente” Página: 60

Facultad de Ciencias y Tecnología

Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

m

c

K

x

mg

x

cx

K( + x)

F s

enw

t0

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO

Detalles Pág.

Excitación indirecta.................................................................................................................. 66

Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69

Decremento logarítmico........................................................................................................... 71

Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79

Transmisibilidad....................................................................................................................... 80

Energía disipada por amortiguamiento..................................................................................... 83

Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su respuesta de vibración

tiene lugar a la misma frecuencia de excitación.

Una fuente común de excitación armónica es el desbalance en máquinas rotatorias, aunque la

excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de excitación. Pero se

estudia la excitación armónica para comprender como el sistema responde a tipos más generales

de excitación.

Considerando un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una

fuerza armónica tsenF0

En el nivel de equilibrio estático

mgK (1)




Aun desplazamiento “x”

tsenFmgxcxKxm 0

tsenFgmxcKxKxm 0

tsenFKxxcxm 0 (2)

Se sabe que la solución de la ecuación (2) consta de dos partes: Una parte complementaria

(Solución homogénea) y una solución particular; es decir:

pc xxx (3)

la solución complementaria o transitoria es la solución de un sistema libre amortiguado y está

dado por una de estas tres, según cual sea el caso

- Caso sobre - amortiguado CCc

tt

c21 BeAex

( 21 , son reales y diferentes)

- Caso amortiguado crítico CCc

t

c eBtAx ( 21 , iguales y reales)

- Caso sub – amortiguado CCc

tsenBtcosAex 00

t

c ( 21 , son complejos)

La solución particular o estacionaria es una solución estacionaria de la misma frecuencia de

excitación.

Existen varias formas de resolución de la ecuación diferencial (2); una de ellas es:

Sea: tcosBtsenAxp (4)

O también: tsenxxp (5)

Donde x Amplitud de oscilación

Fase de desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.

Derivando dos veces (4)

tsenBtcosAxp (6)

tcosBtsenAx22

p (7)

Reemplazando (4), (6) y (7) en (2)




tsenFtcosBtsenAKtsenBtcosActcosBtsenAm 0

22

Multiplicando y factorizando senos y cosenos

tsenFtcosKBAcBmtsenKABcAm 0

22

Igualando términos según sean senos o cosenos se tiene:

0

2FKABctm (a)

0KBAcBm2 (b)

Resolviendo el sistema: Despejando A de (b)

c

KBBmA

2 (c)

Reemplazando (c) en (a)

0

222

Fc

KBBmKBc

c

KBBmm

c

0

2222242FcBKKBmBcKBmm

0

222242FccKKm2mB

0

22222FccKKm2mB

1

222

0

0

222

cKm

FcBFccKmB

Reemplazando en (c)

222

0

2

cKm

FmKA

Reemplazando en (4)

tcoscKm

Fctsen

cKm

FmKx

222

0

222

0

2

p

Factorizando:

tcosctsenmK

cKm

Fx

2

222

0

p

(7)

Según (3), la solución es:




Considerando la ecuación (5) también se puede resolver por el método de la impedancia

mecánica, que es un método sencillo y directo para la vibración del estado estacionario.

tsenxx (5)

tcosxx (8)

tsenxx2 (9)

Recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y la aceleración están

delante del desplazamiento en 90 y 180 respectivamente.

.La suma vectorial es:

0

2FxcxmKx la magnitud será:

2

0

22222FxcxmK

222

0

cmK

Fx

(10)

La fase se obtiene del gráfico:

2mK

carctag

xmK

xctag

(11)

Dividiendo entre K el numerador y denominador de (10) y (11) se obtiene:

tcosctsenmKcKm

FtsenBtcosAex

2

222

0

00

t

Kxx

mw x

cwx

wt

x

o

Fo

2

o(K - mw)x

cwx




222

0

K

c

K

m1

K

F

x

K

m1

K

c

arctag2

Considerando las expresiones:

m

K Frecuencia natural de oscilación no amortiguado

m2Cc Amortiguamiento crítico

cC

c Factor de amortiguamiento

22

Km2

KC

C

c

K

c2c

c

Reemplazando en estas últimas ecuaciones

22

2

20

21

1

F

xK

2

1

2

arctag

Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional 0F

xKy la fase son funciones solamente

0

1.0

1.0

2.0

3.0

2.0 3.0 4.0 5.0

-1.0 0.5

0.375

0.25

0.10

0.050.00

0 1 2 3 4 5

90°

180°

Razón de frecuencias w/w

Ang

ulo

de fa

se

Razón de frecuencias w/w

0.375

0.15

0.05

0F

xK

cC

C

1




de la razón de frecuencias

y el factor de amortiguación , que gráficamente se representan

como:

Estas curvas muestran que el factor de amortiguación tiene gran influencia sobre la amplitud y el

ángulo de fase en la región de frecuencia próxima a resonancia.

Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el

diagrama de fuerzas para

, pequeño, igual a uno y grande.

Para valores pequeños, las fuerzas de inercia y las de amortiguamiento son pequeñas, lo que

implica un (ángulo de fase) pequeño. Por tanto la magnitud de la fuerza global es igual a la

fuerza del resorte.

Para 1

el ángulo de fase es 90, note que la fuerza de inercia es mayor y es equilibrada por

la fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguación.

Para 1

, se aproxima a 180 y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer la

gran fuerza de inercia.

cwx

Kxx

Fo

o

mw x2

cwx

Kx

mw x2

o o = 90°

mw x2

cwx

KxFo xo




Por tanto : La solución a la ecuación diferencial (1) puede escribirse como:

Hasta aquí se ve que la fuerza externa actúa directamente sobre la masa vibratoria; pero puede

ocurrir también que esta fuerza actúe de forma indirecta.

Excitación indirecta.

Si la fuerza excitadora se origina en un elemento intermedio

Como tcosUy

Considerando un sistema inercial se tiene:

xyKxycxKxcxm 2211

xKyKxcycxKxcxm 222211

yKycxKKxccxm 22

K

21

c

21

yKycKxxcxm 22

Pero tcosUy

Derivando tsenUy

tcosUKtsenUcKxxcxm 22

tsenUctcosUKKxxcxm 22

tcosPKxxcxm

Donde: 2

2

2

2 cKUP

mx

K1

K2 c2

c1

yy (t) = Ucoswt




2

2

K

carctag

a) Cuando no hay elementos intermedios conectados al sistema vibratorio y el movimiento

armónico de la fuente de excitación se transmite directamente al punto base del resorte y

amortiguador. Es el caso de los instrumentos sísmicos.

La ecuación diferencial del movimiento, se obtiene considerando un sistema inercial, por tanto la

deformación del resorte es:

xmyxKyxc (a)

sea

yzxyxz (b)

yxz

Derivando dos veces:

yzx (c)

Reemplazando en (a)

yzmKzzc

ymKzzczm

Pero tsenAy tsenAy2

tsenAmKzzczm2

tsenAmKzzczm

Note que la ecuación siempre es la misma y lo único que cambia es la amplitud de excitación.

c(x - y)

m

K

x

y

y = Asenwt




Ejm. El pistón mostrado en la Fig. oscila con un movimiento armónico tcosAx dentro de un

cilindro de masa “m” el cual es soportado por un resorte de cte. “K”. Si entre el pistón y la pared

del cilindro hay amortiguamiento viscoso “c”; encuentre la amplitud del movimiento del cilindro

y su diferencia de fase con el pistón.

Sistema equivalente

xmKxyxc

ycKxxcxm

Pero tcosAy tsenAy

tsencAKxxcxm (1)

La solución particular tiene la forma:

tcosGtsenGx 21

tsenGtcosGx 21

tcosGtsenGx2

2

2

1

Reemplazando en (1)

tsencAtcosKGtsenKGtsencGtcoscGtcosmGtsenmG 2121

2

2

2

1

Factorizando senos y cosenos

tsencAtcosGcGmKtsenGcGmK 12

2

21

2

Igualando términos

cAGcGmK 21

2

0GmKGc 2

2

1

y = Acoswt

mc

K

m

Kx

cy

y = Acoswt

m

c(x - y)




wt

wt

o

x

G2

G1

x

Resolviendo este sistema, se halla las constantes 1G y 2G

Sea: 2mKa

cb

Reemplazando a y b en el sistema

bAbGaG 21

0aGbG 21

222

2

1221

cmK

AcmKG

ba

abAG

222

2

222

2

2

cmK

AcG

ba

AbG

La amplitud

222

22

222

2

2

2

2

1

ba

Ab

ba

abAxGGx

2222

2

222

222

ba

bA

ba

Abx

ba

bAbax

La fase: a

barctag

ba

abAba

Ab

arctagG

Garctag

22

22

2

1

2

Desbalanceamiento rotacional.

El desbalance en máquinas rotatorias es una causa de excitación vibratoria.

222cmK

Acx

2mK

carctag




wt

K/2

Fm

e

M

c K/2

esenwt

Existe desbalanceamiento rotacional en una máquina, si en centro de gravedad de la parte

rotatoria no coincide con el eje de rotación.

Considerando que el sistema está restringido a moverse en dirección vertical.

El desbalance está representado por una masa excéntrica “m” con excentricidad “e” que rota con

velocidad .

La fuerza centrífuga debido al desbalanceamiento en la parte rotatoria de la máquina es:

2

N emmaF

La proyección vertical de F es:

tsenmeF2

V

Por tanto la ecuación diferencial del movimiento es:

tsenmeKxxcxM2 (1)

Esta ecuación es idéntica al caso de la oscilación forzada con amortiguación; siendo

meF0

tsen

cmK

mex

222

2

p

tsen

21

K

me

x22

2

2

2

p




Decremento logarítmico.

Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema,

consiste en medir la rata de caída de las oscilaciones libres.

Se sabe que a mayor amortiguamiento, mayor rata de caída.

Considerando una vibración amortiguada (Sub – amortiguada) expresada por la ecuación

tsenBtcosAetx 00

t

El decremento logarítmico, se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes

sucesivas cualesquiera.

1010

t

00

t

2

1

tsenBtcosAe

tsenBtcosAeln

x

xln

1

1

Como el seno y el coseno son funciones periódicas, pueden simplificarse los factores y queda:

elnee

eln

e

eln

1

1

1

1

t

t

t

t

Como : 2

1

2

x

t

X1

X2




221

2

1

2

Cuando 1112

Valor aproximado

El gráfico muestra los valores exactos y aproximados de como función de

Al determinar experimentalmente; se debe notar que cualquier pequeño error al medir dos

amplitudes sucesivas dará resultados erróneos, ya que generalmente estas amplitudes son muy

próximas una de otra.

Para evitar esta dificultad, se mide dos amplitudes separadas “n” ciclos. Sea 0x la primera

amplitud medida y nx la amplitud después de “n” ciclos transcurridos.

Como n

1n

1n

2n

2

1

1

0

x

xln

x

xln...

x

xln

x

xln

n

1n

1n

2n

2

1

1

0

x

x

x

x...

x

x

x

xe

La razón: nn

n

1n

3

2

2

1

1

0

n

0 eex

x...

x

x

x

x

x

x

x

x

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2

4

6

8

10

12

Factor de amortiguamiento

Decr

emen

to lo

garít

mico

1

2 2

cC

C




n

0

x

xlnelnn

Ejm. Los datos siguientes están dados para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso,

donde m = 10 lb., K = 30 lb/plg y c = 0.12 (lb/plg)seg. Determine el decremento logarítmico y la

razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera.

Se sabe que 2

1

2

seg

rad94.33seglg/p384

lb10

lgp/lb30

m

K 2

0698.0seglg/p384seg/rad94.33lb102

lgp/seglb12.0

m2

c 2

20698.01

0698.02

44.0

1

0

1

0

1

0 ex

xe

x

x

x

xln

1. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda

cuadrada o función quebrada.

n

0

x

xln

n

1

44.0

55.1x

x

1

0




Se sabe que:

1n

0n0n0 tnsenbtncosaa2

1tf

Donde T

20

T = Periodo

Según el gráfico tf 1 t0

1 2t

Según las fórmulas:

dttfT

2a 2

T

2

T0

(1)

dttmcostfT

2a 0

2

T

2

Tn

(2)

dttnsentfT

2b 0

2

T

2

Tn

(3)

Cálculo de 0a

0201

tt1

dt2

2dt

2

2a

2

0

2

00

Cálculo de nb

0

2

0

00

0

0

00n dttncosn

1tncos

n

11dttnsen

2

2dttnsen

2

2b

x

1

-1

2 3 4 5 t




Como T

20

; 12T 0

ncosn2cos0ncosncosn

11bn

Si n = impar

n

41111

n

1bn

Si n = par

01111n

1bn

Cálculo de na

2

0

00

0

00

2

00n tnsenn

1tnsen

n

11dttncosdttncos

2

2a

0nsenn2sen0sennsenn

1an

Para todo n par o impar

Por tanto:

0tnsenn

40

2

1tf 0

7

1n

Para los cuatro primeros términos; es decir: n = 1, 3, 5, 7

...t7sen7

4t5sen

5

4t3sen

3

4tsen

4tf

...t7sen

7

1t5sen

5

1t3sen

3

1tsen

4tf

0




2. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda

triangular.

tf

1t

2

Para t0

t

23

Para 2t

Como T

20

; 12T 0

Cálculo de 0a

dtt2

32

2dt1t

2

2

2

2a

2

00

222

2

2

0

2

0 34

60011

t1

t3tt11

a

022001

a0

Cálculo de na

dtntcost2

32

2dtntcos1t

2

2

2a

2

0n

0 0

2 2

n dtntcost2

dtntcos3dtntcosdtntcost21

a

(1) (2) (3) (4)

Integrando por partes

(1) = (4)

-1

x

1

2 3 t




sea dtdutu

ntsenn

1vdtntcosdv

dtntsenn

1ntsen

n

tudv

ntcosn

1ntsen

n

tI

2

Desarrollando

2

2

2

00

2n ntcosn

1ntsen

n

t2ntsen

n

13ntsen

n

1ntcos

n

1ntsen

n

t21a

(1) 1ncosn

2

n

1ncos

n

120cos

n

10sen

n

02ncos

n

10sen

n

222222

(2) 00senn

1nsen

n

1

(3) 0nsenn

1n2sen

n

13

(4)

ncos

n

1n2cos

n

12ncos

n

1nsen

nn2cos

n

1n2sen

n

222222

Por tanto:

ncosn

2n2cos

n

21ncos

n

21a

222n

Si n es par

01n

21

n

211

n

21a

222n

Si n es impar

2nn

8a

Cálculo de nb

0

2

n ntsent2

3ntsen1t2

2

2b




0 0

2 2

n dtntsent2

dtntsen3dtntsendtntsent21

b

De tabla: ntcosn

tntsen

n

1dtntsent

2

2

2

2

00

2n ntcosn

tntsen

n

12ntcos

n

13ntcos

n

1ntcos

n

tntsen

n

121b

(1) (2) (3) (4)

(1)

ncos

n

2ncos

n

20cos

n

00sen

n

1ncos

nnsen

n

1222

(2) ncos1n

1

n

1ncos

n

10cos

n

1ncos

n

1

(3) n2cosncosn

3ncos

n

1n2cos

n

13

(4)

ncosn2cos2n

2ncos

nnsen

n

1n2cos

n

2n2sen

n

1

n

222

Por tanto:

ncosn2cos2

n

2n2cosncos

n

3ncos1

n

1ncos

n

21bn

Si n es par

0n

2

n

21112

n

211

n

311

n

11

n

21bn

Si n es impar

0n

6

n

6

n

2

n

21112

n

211

n

311

n

11

n

21bn

Por tanto:

0ntcosn

80

2

1tf

7

1n2

p/n = 1,3,5,7

t7cos

49

1t5cos

25

1t3cos

9

1tcos

8tf




Aislamiento de las vibraciones.

A menudo se presentan dificultades durante la instalación de máquinas, ya que fuerzas de inercia

no compensadas producen vibraciones en las máquinas y éstas pasan a través del bastidor de la

máquina a la fundación, de donde se transmiten a otras máquinas.

La manera más simple de evitar estas vibraciones es suprimirlas en su origen, asegurando un

equilibrado correcto, sin embargo, es difícilmente practicable, por tanto la única alternativa es

aislar el equipo montándolas sobre resortes y amortiguadores.

El aislamiento puede llevarse a cabo de dos maneras:

a) Impidiendo que la vibración pase de su fuente a la fundación de la máquina; este tipo se

denomina “Aislamiento Activo”.

b) Impidiendo que la vibración transmitida a través del suelo pase al bastidor de la máquina y se

le llama “Aislamiento Pasivo”.

El aislamiento activo y pasivo difieren el uno del otro, solamente en cuanto que el primero

supone una acción directa de la fuerza perturbadora sobre la masa (Fig. a); mientras que el

segundo es el punto base del resorte – amortiguador, lo que es excitado por la fuerza perturbadora

(Fig. b).

K

P

m

c

P

m

K

(a) (b)




Transmisibilidad.

Con el propósito de reducir tanto como sea posible la cantidad de fuerza transmitida a los

cimientos debido a la vibración de la maquinaria; las máquinas generalmente están aisladas de los

cimientos, montándolas sobre resortes y amortiguadores.

La “transmisibilidad” se define como la razón entre la fuerza transmitida a la fuerza impresa.

Cada una de estas razones es conocida como trasmisibilidad de fuerza o de desplazamiento. Las

curvas muestran que la transmisibilidad es menor que la unidad sólo para 2

, estableciendo

por lo tanto el hecho de que el aislamiento vibratorio es posible únicamente cuando 2

, un

resorte no amortiguado es superior a un resorte amortiguado, para efectos de reducir la

transmisibilidad.

22

2

2

2

0

21

21

F

FTR t

0

Demostración.

Como resultado la fuerza transmitida a los cimientos es la suma de las fuerzas del resorte y del

amortiguador; es decir:

xcKxFt (1)

Bajo las condiciones estudiadas anteriormente (Vibración en estado estacionario px )

La solución está dada por:

tsen

21

K

F

x

A

22

2

2

0

p




22

2

2

0 21

AKF

tsenAxp tcosAxp (2)

(2) en (1)

tcosActsenKAFt (3)

Pero la fuerza en el resorte es máxima cuando la velocidad es cero ( es decir, x es máximo) y la

amortiguación es máxima cuando la velocidad es máxima y el desplazamiento es cero.

Como entre la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguación forman 90, la fuerza resultante es:

22

t cKAF (4)

La fuerza impresa está dada por:

2

1

K

cAKFt

m

K Frecuencia natural

mcc 2 Amortiguamiento crítico

cc

c Factor o razón de amortiguamiento

2

222

K

m

K

c

c

c

K

c c

c

2

21

AKFt

22

2

2

2

0

21

21

F

FTR t

Cuando el amortiguamiento es despreciable, la ecuación de transmisibilidad se reduce a:




1

12

TR

Ejm. Un motor pesa 200 lb. y está girando a una velocidad de 1800 rpm., si la transmisibilidad

de la fuerza entre el motor y el piso es 0.1 o 10 %.¿Cuál será la constante elástica de la armadura

del motor?

lgp

seg.lb52.0m

seg

lgp384

1.lb200m

2

2

seg

rad5.188

seg60

min1

min

rev18002f2

Suponiendo que tiene muy poca amortiguación: 0

Reemplazando en:

22

2

2

2

0

t

21

21

F

F.R.T

1

1.R.T

2

2

Note el cambio de orden en el denominador

101

1

11.0

2

2

2

2

11m

K

1111

222

2

2

11

seg

15.188

lgp

seglb52.0

11

mK

22

2




Energía disipada por amortiguamiento.

El amortiguamiento está presente en todos los sistemas oscilatorios. Su efecto es retirar energía

del sistema, que se disipa en forma de calor o de radiación. La pérdida de energía se traduce en

decrementos de la amplitud de la vibración libre. En el estado estacionario de las vibraciones

forzadas, la pérdida de energía es compensada por la energía suministrada por la excitación.

Un sistema vibratorio puede encontrar muchos tipos de fuerzas de amortiguación, desde la

fricción interna molecular hasta la fricción de deslizamiento y la resistencia de un fluido.

La disipación de energía es determinada usualmente bajo condiciones de oscilaciones cíclicas.

Dependiendo del tipo de amortiguamiento presente, la relación fuerza desplazamiento, cuando se

la grafica puede variar grandemente. En todos los casos, la curva fuerza desplazamiento encerrará

un área, llamada “Bucla de histéresis” que es proporcional a la energía disipada por ciclo. La

energía perdida por ciclo, debido a la fuerza de amortiguación “ dF ” se calcula de la ecuación

general.

dxFW dd (1)

En general, “ dW ” dependerá de muchos factores, tales como temperatura, frecuencia o amplitud.

Se considerará en este caso la más simple disipación de energía, el de un sistema resorte-masa

con amortiguación viscosa.

xcFd

tAsenx

tAx cos

Reemplazando en (1)

dtxcdxxcWd 2

2/2

0

222 cos AcdttAcWd

(2)

lgp

lb7.1679K




De interés particular es la energía disipada en vibración forzada a resonancia. Sustituyendo:

Kmcm

K 2 en (2)

22 KAWd (3)

La energía disipada por ciclo de la fuerza de amortiguación puede representarse como sigue.

Escribiendo la velocidad en la forma:

tsenAtAx 21cos

22 xAx

Por tanto: 22 xAcxcFd (4)

Reordenando la ecuación se tiene:

1

22

A

x

Ac

Fd

(5)

Esta ecuación se conoce como la de una elipse con “ dF ” y “x” representada a lo largo de los ejes

vertical y horizontal. La energía disipada por ciclo está dada por el área encerrada por la elipse.

Fd

x

x