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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze 1 von 26
22 RAAbits Physik Februar 2011
I/G
Ein problemorientiertesUnterrichtskonzept
Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler’sche Gesetze – die unterschiedliche Länge der Jahreszeiten erkunden
Manfred Vogel, Hiddenhausen
Jedes Jahr umrundet die Erde als ein treuer Begleiter die Sonne. Frühjahr, Sommer, Herbst und Winter wechseln in diesem Zeitraum einander ab und bestimmen unser Leben. Manchem vergeht dabei eine bestimmte Jahreszeit nicht schnell genug – er hat den Eindruck, sie dauere länger als die anderen. Und so falsch ist dieser Eindruck auch nicht, denn Frühling und Sommer sind auf der Nordhalbkugel tatsächlich länger als Herbst und Winter.
Was hat es mit den unterschiedlich langen Jahreszeiten auf sich? Gehen Sie dieser Frage in einem problemorien-tierten Physikunterricht nach: Ihre Schüler stellen Hypothesen auf. Sie ergründen die Ursache für die unterschiedliche Länge der Jahreszeiten, indem sie Schlussfol-gerungen aus den Kepler’schen Gesetzen ziehen. Anschließend vollziehen sie mithilfe des Gravitationsgesetzes auch rechnerisch nach, warum die Jahreszeiten unterschiedlich lang sind.
Der Beitrag im Überblick
Klasse: 10 (G8) / 11
Dauer: 4 Stunden
Ihr Plus
Tipp- und Lösungskarten für einen differenzierten Unterricht
Materialien für einen fächerüberüber-greifenden Unterricht und für Projekte
Inhalt
Die Kepler’schen Gesetze kennenlernen und aus ihnen Schlüsse ziehen
Eine naturwissenschaftliche Denk- und Arbeitsweise üben
Die Ursachen für die Entstehung der Jahreszeiten und deren unterschied-liche Länge erarbeiten
Berechnungen zu Geschwindigkeiten von Himmelskörpern (Erde, Satelliten) anstellen
Die Erde bewegt sich in 365 Tagen, 5 Stunden und 49 Minuten einmal um die Sonne und dabei wechseln sich vier Jahreszeiten einander ab. Doch warum sind diese unterschiedlich lang?
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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze2 von 26
22 RAAbits Physik Februar 2011
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Fachliche und didaktisch-methodische Hinweise
Nutzen Sie das Thema Jahreszeiten als Rahmen für einen spannenden Unterricht
In den gemäßigten Breiten sind die Jahreszeiten deutlich ausgeprägt. Der Wandel der Jahreszeiten stellt damit eine wichtige Alltagserfahrung der Schüler dar. Vielfach bestimmen die Jahreszeiten auch die Freizeitgestaltung der Schüler. So vergnügen sie sich im Winter auf Skiern oder auf dem Snowboard, während im Sommer das Meer oder Badeseen locken. Die Frage nach der Entstehung der Jahreszeiten und ihrer Länge bildet den Ausgangspunkt und Rahmen dieser Unterrichtseinheit.
Aus fachdidaktischer Sicht ist dieses Thema hervorragend geeignet, den Schülern auf eine interessante Weise die Kepler’schen Gesetze und das Gravitationsgesetz zu vermitteln sowie die Gesetzmäßigkeiten, denen die Zentripetalkraft folgt, zu wiederholen. Anhand der Frage, warum die Jahreszeiten unterschiedlich lang sind, lässt sich der Unterricht prob-lemorientiert gestalten. Ein solcher ist besonders geeignet, die naturwissenschaftliche Denkweise der Schüler zu trainieren (siehe problemorientierter Unterricht).
Die Materialien sind systematisch aufgebaut. Schritt für Schritt werden die Schüler zur Antwort auf die Frage nach der unterschiedlichen Länge der Jahreszeiten geführt. Die einzelnen Arbeitsblätter sind so gestaltet, dass die Schüler – zumeist in Gruppen – weit-gehend selbstständig arbeiten können. Deshalb eignet sich die Arbeitseinheit nicht nur für den regulären Unterricht, sondern kann auch gut für Projektarbeit und Schlechtwet-terphasen bei Schullandheimaufenthalten eingesetzt werden. Zudem lässt sich der Beitrag auch für einen fächerübergreifenden Unterricht mit Geografie nutzen.
Lernvoraussetzungen – was Ihre Schüler mitbringen müssen
Die Schüler sollten souverän mit dem Taschenrechner umgehen können. Das trifft insbe-sondere auf das Rechnen mit Wurzeln, Brüchen und Zehnerpotenzen zu. Zudem ist Voraus-setzung, dass die Zentripetalkraft bereits behandelt wurde.
Der problemorientierte Unterricht – vermitteln Sie Ihren Schülern naturwissenschaft-liches Denken!
Was zeichnet den problemorientierten Unterricht aus? Diese Unterrichtsmethode ist beson-ders gut geeignet, die Schüler an eine naturwissenschaftliche Denk- und Arbeitsweise heranzuführen.
Dabei bildet die Problemfrage, warum die Jahreszeiten unterschiedlich lang sind, den Rahmen für die gesamte Unterrichtseinheit.
Bevor sich die Schüler mit der eigentlichen Problemfrage auseinandersetzen, ist es uner-lässlich, dass sie verstehen, wie es überhaupt zur Entstehung der Jahreszeiten kommt. Verwenden Sie – nachdem sich die Schüler in der Aufgabe 1 und Aufgabe 2a in M 1 mit dem geozentrischen und dem heliozentrischen Weltbild beschäftigt haben – als Einstieg für diesen Unterrichtsabschnitt die Abbildung 1 auf der Folie M 5 (Foto einer Herbstland-schaft). Kommen Sie anhand des Fotos auf die Jahreszeiten zu sprechen und stellen Sie die Frage nach ihrer Entstehung. Anschließend gehen Ihre Schüler dann dieser Frage auf den Grund. Dazu erhalten sie in M 1 eine Informationskarte, auf der die Bahn der Erde um die Sonne im Jahreslauf dargestellt ist. Damit und gegebenenfalls mithilfe einer Tippkarte erschließen sich die Schüler selbstständig in Gruppenarbeit die Entstehung der Jahreszeiten, prägen sich wichtige Begriffe ein und erhalten einen Überblick über die Bewegung der Erde um die Sonne und die Konstellation Erde – Sonne. Diese Kenntnisse sind wichtig, wenn später Überlegungen zur Länge der Jahreszeiten angestellt werden. Ihre Ergebnisse kontrollieren die Schüler selbstständig in der Gruppe mithilfe der Lösungs-karten. Zeigen Sie am Ende dieses Unterrichtsabschnittes die Abbildung 2 auf der Folie M 5 (Bahn der Erde um die Sonne im Jahresverlauf). Lassen Sie daran einen Schüler im
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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze 5 von 26
22 RAAbits Physik Februar 2011
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Materialübersicht
V = Vorbereitungszeit SV = Schülerversuch Ab = Arbeitsblatt/Informationsblatt D = Durchführungszeit LV = Lehrerversuch Fo = Folie GA = Gruppenarbeit
M 1 Ab Aristoteles, Kopernikus & Co. – die Entwicklung vom geozentrischen zum heliozentrischen Weltbild
M 2 Ab Warum sind die Jahreszeiten unterschiedlich lang?
M 3 Ab Was haben die Kepler’schen Gesetze mit der Bahngeschwindigkeit der Erde zu tun?
M 4 Ab Wie schnell bewegt sich die Erde? – Die Bahngeschwindigkeit rechnerisch ermitteln
M 5 Fo Folie mit Fotos zu verschiedenen Arbeitsblättern
M 6 Ab Wie schnell muss ein Satellit sein?
Die Erläuterungen und Lösungen zu den Materialien finden Sie ab der Seite 23.
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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze6 von 26
22 RAAbits Physik Februar 2011
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M 1 Aristoteles, Kopernikus & Co. – die Entwicklung vom geozen-trischen zum heliozentrischen Weltbild
Unsere Galaxie umfasst etwa 300 Milliarden Sterne. Eine Galaxie ist eine Ansammlung von Sternen, Planeten und sonstigen Objekten. Mit einer Entfernung von 4,34 Lichtjahren, das sind circa 41,2 · 1012 km, ist das aus zwei Sternen bestehende Sternensystem Alpha Centauri unserer Sonne am nächsten.
Blicken wir abends zum Himmel empor, so übt dieser mit seinen Milliarden leuchtenden Sternen auch heute noch eine große Faszination auf uns aus. Die Menschen in der Antike und im Mittelalter empfanden ähnlich. Zudem ging für sie vom Sternenhimmel ein großes Geheimnis aus: Sie sahen Sterne auf- und untergehen und bemerkten, dass je nach Jahres-zeit unterschiedliche Sterne am Firmament zu sehen sind. Um dieses Geheimnis sowie die Entstehung der Jahreszeiten und die Bewegung der Sonne am Himmel im Tagesverlauf zu erklären, entwickelten sie Theorien über den Aufbau des Universums. Vollziehen Sie einige dieser wichtigen Theorien nach.
Bis ins späte Mittelalter galt die von Aristo-teles von Chalkidike (384–322 v. Chr.) aufge-stellte Theorie, wonach die Erde die Gestalt einer Kugel haben und im Zentrum des Universums liegen sollte. Aristoteles zufolge kreisen Sonne, Mond und alle Planeten um die Erde. Dieses Weltbild, bei dem die Erde im Mittelpunkt des Universums steht, wird als geozentrisches Weltbild bezeichnet. Der Begriff geozentrisch stammt von dem grie-chischen Wort geokentrikó (= „erdzentriert“). Doch viele Erscheinungen am Himmel sind mit diesem Weltbild nicht oder nur unzu-reichend zu erklären. So lassen sich die Schleifenbewegungen, die die Planeten am Himmel vollziehen, mit dieser Theorie nicht erklären. Ebenso bleibt unklar, warum die Jahreszeiten ungleich lang sind.
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Römische Büste des Aristoteles
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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze 9 von 26
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Informationskarte zur Entstehung der Jahreszeiten (zu M 1)
Tipp- und Lösungskarten zu M 1
Tipp zu Aufgabe 2b
Der sich im Verlauf eines Jahres leicht verändernde Abstand der Erde von der Sonne übt einen geringen Einfluss auf die Entstehung der Jahreszeiten aus. Er sorgt nur dafür, dass die Winter auf der Südhalbkugel etwas strenger als diejenigen auf der Nordhalbkugel ausfallen. Der Neigung der Erdachse kommt hingegen eine wichtige Rolle bei der Entstehung der Jahreszeiten zu. Überlegen Sie sich, warum das so ist.
Tipp zur Zusatzaufgabe für Experten
Überlegen Sie sich, warum es Schaltjahre gibt.
Lösungskarte zu M 1 – Aufgabe 1
Ein geozentrisches Bild vom Universum bestand in der Antike und herrschte bis in das späte Mittelalter vor. Der Begriff leitet sich von dem griechischen Wort geokentrikó „erdzentriert“ ab. Dabei liegt die Erde im Mittelpunkt des Universums und die Sonne, der Mond und die Sterne kreisen um die Erde. Dieses Weltbild wurde insbesondere von Aristoteles (384–322 v. Chr.) begründet.
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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze 11 von 26
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M 2 Warum sind die Jahreszeiten unterschiedlich lang?
Die Jahreszeiten wie hier der Winter sind in den gemäßigten Breiten sehr unterschiedlich
Im Frühling wird es in Mitteleuropa deutlich wärmer. Nach einer längeren Winterpause blüht die Natur auf. Den Sommer genießen viele Menschen am Badesee, der Herbst beein-druckt durch buntes Laub. Im Winter lockt der Schnee viele zum Skifahren. Die Jahres-zeiten mit ihren Vorzügen und Nachteilen erleben wir ganz bewusst. Je nach Vorliebe vergeht für uns eine bestimmte Jahreszeit nicht schnell genug und wir wünschen uns eine andere Jahreszeit herbei. Doch kaum jemandem ist dabei klar, dass es tatsächlich Unterschiede in der Länge der Jahreszeiten gibt.
So haben Frühling und Sommer auf der Nordhalbkugel zusammen eine Länge von 186 Tagen und 10 Stunden, während die Länge von Herbst und Winter nur 178 Tage und 20 Stunden beträgt. Doch warum ist das so? Gehen Sie im Folgenden diesem Phänomen auf den Grund.
Aufgaben
1. Stellen Sie in Ihrer Gruppe Hypothesen darüber an, warum die Jahreszeiten unter-
schiedlich lang sind.
2. Diskutieren Sie über Ihre Vermutungen und schreiben Sie sie auf.
3. Entscheiden Sie sich für eine Hypothese, die Sie für am wahrscheinlichsten halten.
Diese Hypothese trägt dann ein Gruppenmitglied im Plenum vor.
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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze 13 von 26
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Informationskarte zu den Kepler’schen Gesetzen
1. Kepler’sches Gesetz
Die Planeten bewegen sich nicht auf einer Kreisbahn, sondern auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Kepler’sches Gesetz
Die Verbindungslinie vom Mittelpunkt der Sonne zum Mittelpunkt des Planeten (der sogenannte Fahrstrahl) überstreicht in der gleichen Zeit gleich große Flächen.
3. Kepler’sches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier beliebiger Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a1 und a2 ihrer Bahnen.
Es gilt also: 2 3
1 12 3
2 2
T a
T a= .
Abbildung 1:
Bewegung der Planeten um die Sonne
Abbildung 2:
Die Flächen A1, A2 und A3 sind gleich groß. Nach dem 2. Kepler’schen Gesetz ist die Zeit, in der der Planet von P1 nach P2 läuft, genauso groß wie die Zeit, in der er von P3 nach P4 bzw. von P5 nach P6 läuft.
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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze 15 von 26
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Lösungskarten zu M 3
Lösungskarte zu M 3 – Aufgabe 1
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1. Kepler’sches Gesetz
Würden sich die Planeten, wie von Kopernikus angenommen, auf Kreisbahnen bewegen, dann wäre ihr Abstand zur Sonne stets gleich. Bei der Bewegung der Planeten auf einer elliptischen Bahn um die Sonne hingegen ändert sich ihr Abstand zur Sonne ständig. Der sonnenfernste Punkt eines Planeten wird als Aphel und der sonnennächste Punkt als Perihel bezeichnet.
2. Kepler’sches Gesetz
Da in der gleichen Zeit gleich große Flächen von der Verbindungslinie Sonne – Planet überstrichen werden, sind die Bogenstücke, welche die Planeten in Sonnennähe zurücklegen, größer als diejenigen, die sie in der gleichen Zeit in Sonnenferne zurück-legen. Daraus ergibt sich, dass sich die Planeten in Sonnennähe schneller bewegen als in Sonnenferne.
3. Kepler’sches Gesetz
Bei diesem Gesetz geht es um einen Vergleich zwischen zwei Planeten, die unter-schiedlich weit von der Sonne entfernt sind. Dabei weist derjenige Planet, der weiter von der Sonne entfernt liegt, eine deutlich längere Umlaufzeit und damit auch eine geringere Bahngeschwindigkeit auf. Dies ergibt sich aus dem Zusammenhang
2 31 12 3
2 2
T a
T a= .
Lösungskarte zu M 3 – Aufgabe 2
Aufgabe 2
Das zweite Kepler’sche Gesetz liefert eine Erklärung für die unterschiedliche Länge der Jahreszeiten. Aus ihm ergibt sich, dass die Planeten in Sonnennähe eine größere Geschwindigkeit haben. Das gilt entsprechend auch für die Erde. Sie erreicht ihre sonnennächste Position um den 3. Januar und ist dann circa 147 Millionen km von der Sonne entfernt. Zu diesem Zeitpunkt ist auf der Nordhalbkugel Winter. Und dann hat die Erde gemäß dem zweiten Kepler’schen Gesetz aufgrund ihrer Sonnennähe auch die höchste Bahngeschwindigkeit. Nach diesem Zeitraum nimmt die Entfernung der Erde von der Sonne wieder zu, sodass ihre Bahngeschwindigkeit abnimmt. Um den 5. Juli hat sie dann mit einer Entfernung von 152 Millionen km ihren sonnenfernsten Punkt und damit ihre geringste Bahngeschwindigkeit erreicht. Die Bahngeschwindig-keit der Erde ist also im Nordherbst und Nordwinter größer als im Nordfrühjahr und Nordsommer. Dementsprechend fallen die beiden erstgenannten Jahreszeiten kürzer aus als die beiden letztgenannten.
Aber nicht nur die verschiedenen Bahngeschwindigkeiten der Erde sind für die unter-schiedliche Länge der Jahreszeiten verantwortlich. Gemäß dem ersten Kepler’schen Gesetz steht die Sonne in dem Brennpunkt der Ellipse. Dementsprechend ist der Kreisbogen im Nordherbst und Nordwinter kleiner als derjenige im Nordfrühling und Nordsommer.
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3. Gravitation, Zentripetalkraft und Kepler‘sche Gesetze 23 von 26
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Erläuterungen und Lösungen
Erläuterung (M 1, M 3 und M 4)
Was sich Ihre Schüler mithilfe der Arbeitsblätter erarbeiten
Mithilfe der Arbeitsblätter M 1, M 3 und M 4 erarbeiten sich die Schüler wichtige Sach-verhalte, die zur Klärung der Problemfrage nach der Ursache der unterschiedlichen Länge der Jahreszeiten wichtig sind. In M 1 beschäftigen sie sich mit der Entstehung der Jahres-zeiten und verschiedenen Weltbildern, in M 3 lernen sie die Kepler’schen Gesetze kennen. Mithilfe dieser Gesetze finden sie heraus, dass die unterschiedliche Bahngeschwindigkeit der Erde die Ursache für die unterschiedliche Länge der Jahreszeiten ist. In M 4 erbringen Ihre Schüler schließlich den rechnerischen Nachweis für die unterschiedliche Geschwin-digkeit der Erde im Jahresverlauf.
So setzen Sie die Arbeitsblätter in Ihrem Unterricht ein
Ein wichtiger Bestandteil der Arbeitsblätter sind die Tipp- und Lösungskarten. Die Tipp-karten dienen der Differenzierung. Auf ihnen bekommen die Schüler Hinweise, die zur Lösung der jeweiligen Aufgabe beitragen. Mithilfe der Lösungskarten kontrollieren die Schüler selbstständig ihre Lösungen.
Alle oben genannten Arbeitsblätter werden im Rahmen einer Gruppenarbeit eingesetzt. Sehen Sie dabei für jedes Arbeitsblatt eine Schulstunde vor. Je nach Klassenstärke setzen sich die Gruppen aus 4–6 Schülern zusammen. Jede Gruppe erhält jeweils einen Umschlag mit Tippkarten und einen Umschlag mit Lösungskarten. Kopieren Sie dazu vor Ihrem Unterricht die Tipp- und Lösungskarten in der erforderlichen Anzahl, laminieren Sie sie und schneiden Sie die Karten aus. Bereiten Sie für jeden Gruppentisch zwei Umschläge vor. Den einen versehen Sie mit der Beschriftung Tippkarten, den anderen mit der Beschrif-tung Lösungskarten. In diese Umschläge geben Sie dann die Tipp- und Lösungskarten, die für die jeweilige Stunde benötigt werden. Für die folgenden Stunden verwenden Sie dann die Umschläge wieder – Sie müssen dann die Tipp- und Lösungskarten einfach nur austauschen.
M 1 Aristoteles, Kopernikus & Co. – die Entwicklung vom geozentrischen zum heliozentrischen Weltbild
In M 1 erhalten die Schüler zusätzlich zu Tipp- und Lösungskarten noch eine Informati-onskarte, auf der die Bahnbewegung der Erde im Jahreslauf dargestellt ist. Laminieren Sie diese Karte ebenfalls und legen Sie sie offen auf den Gruppentischen aus. Machen Sie Ihren Schülern aber zuvor klar, dass die Bahn der Erde in der Grafik zur Veranschau-lichung der Ellipsenbahn der Erde übertrieben dargestellt ist. Die Erde bewegt sich zwar auf einer Ellipse um die Sonne, diese ist aber nahezu kreisförmig. So beträgt die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne ca. 149,6 Millionen km. Dabei weichen die beiden Extremwerte Aphel (sonnenfernster Punkt) und Perihel (sonnennächster Punkt) nur um 1,67 % von diesem Mittelwert ab.
Dazu, wie Sie M 1 und die anderen Arbeitsblätter in den gesamten Unterrichtskontext einbetten, finden Sie eine ausführliche Beschreibung im Theorieteil. Dort ist das gesamte Unterrichtskonzept beschrieben.
Lösungen (M 1, M 3 und M 4)
Bei den Arbeitsblättern M 1, M 3 und M 4 werden Lösungskarten eingesetzt, anhand derer die Schüler ihre Lösungen selbstständig kontrollieren können. Diese Lösungskarten finden Sie dementsprechend bei den entsprechenden Arbeitsblättern.
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