Zur Theorie des Radiometers

341

Zur Theor ie des Rad iometers .

Von A. Sterntal in Wien.

Mit 1 Abbildung. (Eingegangen am 22. Juli 1926.)

Der Radiometerdruek auf ein Einplattenradiometer wird unter Beriicksiehtigung der Oberfl~ehenbeschaffenheit des Radiometerflfigels bereehnet. Dabei wird das Gas als ruhend angenommen. Es ergibt sieh, daft der Radiometereffekt der e r s t en PoCenz des W~rmestromes proportional ist. Die Tatsaehe, daf E. E i n s t e i n Pro- portionalit~t mit der zweiten Potenz des W~rmestromes erhalten hat, ist darauf zur[ickzuffihren, daft die Verfasserin das Vorhandensein fester, im Gase befindlicher KSrper nicht berfieksiehtigt hat. Es ergibt sieh ferner, daft bei den iibliehen Radiometerkonstruktionen der Radiometereffekt bei hSheren Drueken dem Gasdruck mit grofler Ann~herung umgekehrt proportional ist. Was die Riehtung der Kraft betrifft, so ist bei einem aus einem einheitIiehen Material bestehenden Radiometer- flfige] eine negative Radiometerwirkung nur dann mSglieh, wenn die niehtbestrahlte

Seite rauher ist als die bestrahlte.

w 1. E i n l e i t u n g . DerVersnch, die yon E h r e n h a f ~ im Jahre 1918

gefundene Photophorese als Radiometerwirkung zu deuten, fiihrte zu

genauerem and eingehenderem Studlum der Radiometererseheinungen.

W~hrend die Weehselwlrkungen zwisehen Gas and festem KOrper bei

~u~erst tiefen Drueken dutch K n u d s e n and B a u l e experimentell and

theoretiseh untersueht wurden, b]ieben die Verha]tnisse bei h~heren

Drucken lange Zeit ungekl~rt. Ers t in den ]e~zten Jahren ersehien eine

verh~ltnismafiig grol~e Anzah] yon theoretisehen und experimen~e]len

Arbei ten, yon denen einige sich zum Ziele setzten, im Hinbl ick auf die

negative Photophorese die MSglichkeit einer negativen Radiome~erwirkung

naehzuweisen, in deren anderen aber haupts~ehlieh die Druekabhangig-

kei t des Radiometereffekts behandelt wurde 1).

Von den ]etzteren sind insbesondere die experimentellen Unter-

suchungen yon W e s t p h a ] zu erwahnen. Die yon ibm auf Grund zahl-

reieher Messungen gefundene Druekabh~ngigkeit des Radiometereffekts,

1) W. H. W e s t p h a l , ZS. f. Phys. 1, 92, 256, 431, 1920; 4, 211, 1921;, Verh. d. D. Phys. Ges. 21, 129, 1919; W. Ger laeh und W. W e s t p h a l , Verb. d. D. Phys. Ges. 21, 218, 1919; W. Ger l aeh , ZS. f. Phys. 2, 207, 1920; G. L a s k i und F. Ze rne r , ebenda 3, 224, 1920; A. Rub inowiez , Ann. d. Phys. 62, 691, 1920; E. E i n s t e i n , ebenda 69, 241, 1922; G. H e t t n e r , ZS. f. Phys. 16, 345, 1923; 27, 12, 1924; 87, 179, 1926; W. Ger lach und E. Made lung , ebenda 21, 254, 1924; W. Ger laeh und tt. A lbach , ebenda 14, 285, 1923; W. Ger laeh and A. Golsen , ebenda 15, 1, 1923; A. E i n s t e i n , ebenda 27~ 1, 1924; 0. t t a l p e r n , Ann. d. Phys. 73, 624, 1924. Uber Photophorese vgl. ferner: F. ~ i c h a u d , C.R. ]68, 770, 1919; T. T e r a d a , Prec. Phys. Math. Soc. Japan (3) 4, 67, 1922.

342 A. Sterntal,

nach der die sogenannte ,,Radiometeffunktion" in bezug au[ ihr Maximum symmetrisch ist, wurde sparer auch durch Versuche yon G e r l a c h be-

statigt.

Im Jahre 1922 ver~ffentlichte E. E i n s t e i n eine Theorie der Radio- meterwirkungen bei h{~heren Drucken, welche die riehtige Druckabhingig- keit zu liefern sehien. Der Radlometerdruck ist naeh dleser Theorie umgekehrt proportional dem Gasdruck. Dies ist nun, wie H e t t n e r

zeigt% vertrigllch mit der sich aus W e s t p h a l s ]gessungen ergebenden

Symmetrle der Radiometerfunktion. Setzt man nimlich K ~ - - - a fiir P

1 grolle I0 und K ~ b~ fiir kleine ~, so kann man diese Formeln zu ~- _L+ i - - a ~-~ vereinigen. Nimmt man an, dal] diese Beziehung aueh noeh

fiir mlttlere Drucke gilt, so ergibt sich aus ihr die yon W e s t p h a l ge-

fundene Symmetrie.

Nun ist aber nach der E. E ins te insehen Theorie im Widerspruch mit der Erfahrung der Radiometereffekt dem Q u a d r a t e des Wirme- stromes proportional. Die yon M a d e l u n g und G e r l a e h angestellten Versuche ergaben eindeutig, dad der Radiometereffekt der e r s t e n Potenz des W~rmestromes proportional ist. Der nach dieser Theorie bereehnete Absohtwert der Kraft stimmt nieht einmal der Gr~Benordnung nach mit dem beobachteten iiberein. H e t t n e r und C z e r n y haben bei einem ihrer

Versuehe einen Radiometerdruck erhalten, der t04mal so grol] war als der naeh der E ins t e in schen Theorie erreehnete.

DaB die Verfasserin an einer yon ihr zweeks Uberpriifung ihrer

Theorie herangezogenen Messung yon K n u d s e n einen 18real so grol]en Wert ~fir den Radiometerdruck erhie]t Ms der yon K n u d s e n gemessene, ist ]eicht zu erkliren. Denn ffir solche tlefe Drucke, die K n u d s e n mlt seinem absoluten Manometer gemessen hat, gilt die yon der Verfasserin abgeleitete Bezlehung nicht, da in einem hochverdfinnten Gase gar kein W~rmestrom im eigentliehen Sinne zustande kommen kann. Die in diesem Falle yon der einen Platte auf die andere fibergefiihrte Wirme- menge ist lediglieh ~,on dem Temperaturunterschied der beiden Platten and yon deren ~u~eren Leitfihigkeiten abhingig.

Aber se]bst bei hohen Drueken ]~ann die Theorie yon E. E i n s t e i n mit den Experimenten nicht iibereinstimmen. Denn diese Theorie liefert den Druek im freien (]ase, wahrend man es bei den Versucheu mit im (~ase befln~]lichea festen KOrpern zu tun hat, deren Vorhandensein

Zur Theorie des Radiometers. 343

beim Auftreten eines Radiometereffekts yon ausschlaggebender Be-

deu~ung ist.

Von der Ansieht ausgehend, dab der yon E. E i n s t e i n betraehtete

Effekt dutch eine andere bei den gew~hnliehen Strahlungsintensit~ten wesentlich grSi]ere Kraftwirkung iiberdeckt wird, stellte H e t t n e r eine

Theorie der Radiometereffekte auf, nach der eine grolle Gruppe yon Radio- meterwlrkungen dureh eine ira Gase stattfindende materielle Str~mung

erklart werden kann 1). In einer kiirzlich erschienenen Arbeit 2) stell~ er

lest, dal3 die Bereehnung der Radiometerwirkungen bei hohem Drucke

auf hydrodynamisehe Probleme fiihrt, und dal3 alle friiheren Ansatze, bei

denen das Gas als ruhend betraehtet wird, nieht zum Ziele fiihren

konnten.

In der vorliegenden Arbeit sol] nun eine Bereehnung des Radiometer-

druekes auf ein Einplattenradiometer mit Beriickslchtigung seiner Ober-

flachenbeschaffenheit durehgefiihrt werden, wobei das Gas als ruhend

angenommen wird. Es wird sieh zeigen, da$ sieh aueh dana die riehtige Abh~ngigkeit veto W~rmestrom und Gasdruck erglbt 8).

Vorliegende Arbeit zerfKUt in zwei Teile:

1. Berechnung des Wames t romes aus der einfallenden Strahlungs-

energie.

2. Berechnung des Radiometerdruckes.

w B e r e c h n u n g des W a r m e s ~ r o m e s aus de r e i n f a l l e n d e n

S t r a h l u n g s e n e r g i e . Wi r legen die y - -z -Ebene in die vordere Flfiehe

der planparallelen Platte, so dal3 die positive X-Aehse in ihr Inheres

zeigt. Wir lassen senkreehtes Lieht in tier Riehtung tier positiven

X-Achse auffallen. Die Bestrahlung so]l mSgliehst gleiehm~13ig erfolgen.

Dureh die Flacheneinheit der Plattenoberflaehe dringe in der Zelteinheit

die Energie S o ein. Wir nehmen ferner an, dal] die einfallende Energie

1) G. H e t t n e r , ZS. f. Phys. 27, 12, 1924. '~) Derselbe, ebenda 87, 179, 1926. 3) Bei gleiehmfilliger Bestrahlung des Radiometerfliigels wird kaum ein merk-

liehes Temperaturgef~lle infolge der Randwirkungen anzunehmen sein. Bei dem Zweiplattenradiometer hingegen diiffte der t tet tnersche Effekt yon mallgebender Bedeutung sein. Das ist am besten an dem absoluten Manometer Knudsens zu sehen. Dort war der feste~ elektrisch erhitzte, schmale Streifen der viel breiteren, quadratischen, bewegten Platte gegeniibergestellt. Es konnte also ein W~rmestrom l~ngs der Obeffl~ehe der bewegten Platte entstehen, der eine entgegengesetzt geriehtete materielle StrSmung hervorruft. Die Abnahme des Radiometer- effekts mit.zunehmendem Drucke ist sehr deutlich zu sehen. Die Proportionalit~t mit 1//) ist aus den Messungsprotokollen nicht zu entnehmen, weiI die einzelnen 5[essungen bei verschiedenen Temperaturdifferenzen ausgefilhrt warden.

Zeitschrift fiir Physik. Bd. XXXIX. 23

344 A. Sterntal,

nach einem Exponentialgesetz absorbiert wird. Von der an der hinteren Flache ankommenden Energie werde der Bruchteil Q reflektiert, so da~

eine tier ersten entgegengesetzt gerichtete Strahlung durch die Platte hindurchgeht. u an die u zuriickkommenden Energie

werde wieder der Bruchtell Q reflektiert usw. In der Enffernung x wird somit durch die Flacheneinheit die Energie vom Betrage

So e-fl~ (1 + @~ e- ~(~(~ --~ - ~4 e-~ 8~ + . . . ) = c So e-fl~

in tier Richtung der positiven X-Achse und vom Betrage

0 Soe-fl(2~-~) (1 + 02e-2f l~+ ~ e - ~ + . . . ) ------ c O Soe -~(~-~)

in tier Richtung der negativen X-Achse in der Zeiteinheit hindurchgehen. Die absorbierte elektrische Energie wird in Warme verwandelt, die durch

- - div ~ gegeben ist, wobei ~ den P oyn t i ng schen Vektor bedeuteL

Zur Berechnung des Warmestromes haben wir die Differential-

gleichungen:

d 2 T i Zi dx 2 - - c f lSoe - f l~ - -co f lSoe - f l t2~-x ) (1)

d 2 T a Za d x ~ - - 0, (2)

d2Ta 0 (2') )'a ~ x ~ - =

mit den Randbedingungen:

z, (dr, = \dx/~=o

za \-d~-x/~ = ~ h~ (T~ - - Ta)~ = o,

/ d T i \ -~- --h,2(Tt--Ta)z-- a,

ftir x = - - d ""7a----- 7 d x '

ftir x = a + ~ T . = -- ~ ~t-_,-"

Zur Theorie tles Radiometers. 3 4 5

H i e r i n b e d e u t e t :

T i die Temperatur im Innern der Platte,

T a , , des Gases auf der Riickseite der Platte,

T a Vorderseite

)'i den W~rmeleitungskoeffizienten des PIattenmaterials,

)'a " " . umgebenden Gases,

hi die ~iuflere Leitfiihigkeit der vorderen Fl~che,

h,~ ,, ,, , ,, riickwiirtigen ,,

b' die Dicke der Platte,

7 den Temperatursprungskoeffizienten ~ ~a]h, wobei

h die ~ul~ere Leitf~higkeit der Gef~il~wiinde ist.

Die T e m p e r a t u r de r Ge~aflwande w u r d e g le ich N u l l gesetz t .

,/-r:/

/ / / ,

Fig. 1.

und

Aus (1) e r h a l t e n w i r d u r c h zwe ima l ige I n t e g r a t i o n :

dT i s ~ ----- c S o e - ~ - - c o S o e - f l ( 2 ~ - z ) + C 1

~i Ti - - c c 0 fl S o e - ' ~ - - - ~ Soe-fl(2~-~) + Clx + Ca,

ebenso aus (2) bzw. (2 ' ) :

dTa - - a

d x und

T a ~ a x ~ - b

~ZW.

bzw.

d T ~ _ _ a'

d x

Ta ~ a 'x-~-b' .

23*

346 A. Sterntal,

Die Grenzbedingungen lauten somit:

cSo_c~Soe-~,,~+C,=h,l-l(_ ~ c~ ' ,] L~,~ -# So-- y So~-~'+ C,)--b , ('3)

' h [ 1 / c c Q C~] Zaa..~-- -b'], (4)

-I c ~,aa ~- -h,[~i(--~Soe-fla(l+Q)+Cl~+C2)-a~-b], (6)

a' d + b' a' )~a , - ---- 7 ------#-a, (7)

ira a ( d + ~ ) + b : - T a : - - ~ a . (8)

Aus (7) bzw. (8) ergibt sieh:

bzw.

Setzt man diese Werte yon b' and b in (3) bzw. ill (5) ein und bertick- sichtigt man, dal] [wegen Gleichhelt tier rechten Seiten yon (3) und (4)

bzw. (5) uad (6)]

__~ - - c S O e-fl'~(1 - - @) + C 1 a' eS~ co SO e-~fl~ ~ C1 und a = )*a •a

so erh~lt man c S o - c 0 S o e - ~ + C~

c cQ C~) c S ~ 1 7 6

und C S o e - ~ ( 1 - - e) q- C 1

_h a i _ C_Soe_~a( 1 +CI~+C~) C S o e - ~ ( 1 - e ) +

Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich die Konstan~en C~ und C 2 berechnen.


Da wir nut denWarmestrom im Gase J~a a und J~a a' brauchen werden,

so haben wir nur C 1 zu bereehnen. Es ist

[cd e~ e h~ ~- o - e e -~ ~ ) - C e - ~ ( ~ h~ -e) - O+e - ~ ) (~-e e -~) ~ § ~ - ~(~-e -~) (~-e e-~ ~)

C~ ~ So 2 d 1 1 2 3 ..~---+-- + - - + .~ +

a hi h~

Es ergibt sieh somit ffir die W~trmestrSme auf den beiden Seiten der

Platte :

)'a a' ~ e So ~i 2d 1 1 2 3 (9)

�9 "a a ~ cSo

+-+-+~+~ T- a h i h~

~/ d 1 1 (l_q)e-fl~_(l_e-fl(i)(l+@e-fl~')(._ffa+.~l+_~) 1 , 1 -P~k -~-~ - e ) O.-ee-~'~)

2d i 1 2 (10)

w B e r e e h n u n g des R a d i o m e t e r d r n c k e s . 1. A b l e i t u n g

des G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i h n g s g e s e t z e s . Wir gehen jetzt zur

Berechnung des Radiometerdruckes auf die Platte fiber. Die kinetische

Gastheorie deutet den Radiometerdruck als algebraische Summe der Be-

wegungsgrSI]en, die yon den Gasmolekeln auf die beiden Seiten der Platte

pro Flachen- and Zeiteinheit fibertragen werden.

Um diese Summe berechnen zu kSnnen, leiten wir nach einer yon

P. E p s t e i n angegebenen und aueh yon E. E i n s t e i n benutzten Methode ein Geschwindigkeitsverteilungsgesetz ab, wobei wir auch die innere Energie der Gasmoleki~le bertieksichtigen.

Folgende vier Bedingungen mfissen bei einem station~ren W~rmestrom l~ngs der positiven x-Achse erffillt sein:

a) die Zahl der 3{o]ekille in der Volumeinheit ist konstant; b) die mittlere Energie der Mo]eki~le Jst konstant; e) das Gas ruht;

d) es finder eine Warmestrtimung hngs der positiven X-Achse startS).

Ist f(~ ~7 ~P~ P2 "-' P~,) d ~ d ~7 d ~ d21 . . . dp~ die Anzahl der )lolekfile in der Volumeinheit, deren GesehwJndigkeitskomponenten zwischen den

1} Die Bedingungen a and b gelten hier nieht streng. Da wir aber annehmen, daft die Geschwindigkeitsverteilung nur wenig yon der ~[axwellsehen abweicht, vernachl~ssigen wit bier im Anschlul] an E. Einste in die Abh~tngig- keit dieser Funktionen yon ,r.

348 A. Sterntal,

Grenzen ~ und ~ d- d~, ~ und ~ -]- dy, ~ und ~ -[- d~ und deren inhere Impulskomponenten zwischen den Grenzen 1o1 und 1o~-4-dp~, ~s und 1% + di~ ... i% und I% d-d2~ llegen, so lautet die Boltzmannsche H-Funktion:

H .~- I f l g f d v ,

wo dv ~ d~d~d~d~ldp~ ... dpn gesetzt ist. Die vier oben genann%en Bedingungen lassen sich folgendermal]en formulieren:

~ f dv ---~ iV ~ const ]

l i [ m ~/' (11) ~ (~ -4- "d- ~'2) d- U] f dv = const,

wo U = ~ ~io~ und loi die inneren ~npulskomponenten bedeuten.

] f~ dv = O, (12)

wobei ~ die x-Komponente des Warmestromes bedentet. Der stationgre Znstand wird hergestellt sein, wenn die H-Funktion ein Minimum erreicht hat. Indem wir das Minimum der H-Funktion bestimmen, erhalten wir das gewiinschte Verteflungsgesetz.

Wir bilden die Variation dieser fiinf Gleichnngen, multiplizieren sie der Reihe nach mit 1, ~, ;t, - -~ , - - ? , addieren die so entstandenen Gleichungen und erhalten:

~ / f [ f l g f + "f-4- ; t ( 2 ( ~ + ~ 2 + ~)-4- U ) f - - e c , f

und daraus :

lg f -l-, 1 + tr + ;t [~- (~2 + + ~) _[_

Somit ist m m ,.o ~e) U] -1-,~,-:~[y(~:"-~-,i~+:2)+u]+a~-7[~(~-+,F-+ ,

f ~ U " 2

oder

/' = A e--h*(.~2+,12+.72)-- m .~U,


m wobei ~ m 2 = h* und ? . ~ : fl gesetzt ist. Wir entwickeln die Funk-

tion e ~$+fl~(~2+~2+~2)+~v in eine Reihe. Dann ist

nh*v[ v' v 8 ] f : A e -h*(~2 + ~2 + ~2)- - ~ 1.-~ v -~- ~.. + ~.. + . . . ,

Wlr nehmen im folgenden an, daft die Geschwi~dlgkeltsverteilung m

nur wenlg yon der Maxwellschen abweicht und setzen h * - - 2 x T '

wobei x die B o l t zmannsche Konstante und T die mlttlere Temperatur des Gases isK Beschr~nken wlr uns auf die llnearen Glieder (daft es gestattet ist, wlrd sparer gezeigt), so lautet die Verteilungsfunktion:

= . . �9

| i r o n

Wir haben nun die Konstanten A, ~ und ~ zn bestimmen. Zur Bestimmung yon A benutzen wlr (11):

I ~ \ n+~ (m~nl n 1

Daraus ergib~ sich: I h * \ n + 3 1 2 \nl~

A = Nt-~-) n t in ) (a,~n . ' . a~)'/,. (14)

Die Konstanten a und {] ergeben sich aus den Bedingungen (12)

und (13). Aus (12) ergib~ sieh:

I nh*ur 2 ~ n U ] d v -- h* (~ + ~2 + ~2)_

- - o o

n + 3

n .~,.."m""/n (,z~ ,~n . . . ,~,,)- ~ ,_[~- + ~ pj o.

h* n Also :

n + 5 ~ + ~ - ~ = o. (15)

350 A. Sterntal,

Aus (13) erhalt man: + ~

p o o

I A e - h* (~

, , , ,

, ~ + ~ 2 ) - ~h*u[ 2fl 5"] .~ i + ~ + ~ ( ~ + ~ + ~) +-~-- ~

(,~ + 5) (,~ + v) t q _ _ _ _ + ~ J = ~, .

Unter Benutzung yon (14) ergibt sich:

In+5 ~z (n-J-5)(n+7),fl] Nml 8 h *---~ + 16 n*~j ~ r

Aus (15) und (16) erhalt man:

4 r h* ~ und fl __ 8 r h*S ~z------- hr m N m ( n + 5 ) "

(16)

2. B e r e c h n u n g des y o n den a u f f a l l e n d e n M o l e k t i l e n h e r - r i i h r e n d e n D r u c k e s . Bevor wir den auf diePlat te iibertragenenImpuls berechnen, bestimmen wir die Anzahl der in der Zeiteinhei~ auI die Flacheneinheit der Platte aullallenden ~[olekeln.

Es ist

na~ -------- d~ d~ ~ dpl ... d:pnAe -h*(~+'72+~)--d-v

= A. 2 ~ "ff (~z 1o~2 . . . u,n)-z/z __ ~ "

~ult ipl izier t man den Integranden in der vorigen Gleichungimit - - m ~ t und integrier~ man den so erhaltenen Ausdruck tiber ~ yon - - c~ bis 0, und tiber die iibrigen Yariabeln yon - - c~ bis + cr so erh~ilt man den

Zur Theorie des Radiometers . 351

yon den auffaUenden Molekiilen auf die Flacheneinheit pro Zeiteinheit

iiber~ragenen Impuls :

o + o o +~o + ~ + o o

- - h* (~2 "4- n2 + ~2) - U - - P ~ = Am, d~ d~ d~ d p 1 . . . diane W

- - ~ - - o o - - o o - - c J o - - ~

--= A m (o h ~ . . . a . ) _ , l ~ u ~ u --~-

h* -~ h* ~

, ,~ 2 n § N m 2 P n+s 4 - - 4h* n § 5 ~ "

(17)

3. R e f l e x i o n der Molekiile. Es eriibHgt nun noch den Impuls

zu berechnen, den die Molekeln bei ihrer Reilexion in der Zeiteinheit auf

die Fliieheneinheit iibertragen.

Wir gehen yon der bekannten Adsorptionshypothese aus, die besagt,

dal3 beim Auftreffen der Gasmolekiile auf eine feste Wand ein Energie-

austauseh zwlschen den Molektilen des Gases und denen der festen Wand

sta~tfindet. Die Gasmolekeln werden dann bei einer Temperatur T 1

reflektiert, die sowohl yon der ihrer Geschwindigkeit vor dem Auftreffen

entsprechenden Temperatur als auch yon der Temperatur und 0ber-

fl~chenbesehaffenhei~ der Wand abh~ngig ist. Bedeutet T die mitflere

Temperatur der auffallenden Molektilgruppe, Tw die Temperatur der Wand,

so ist T 1 - - T = 6 (Tw - - T), wo 6 der Akkomodationskoeffizient istl).

B aule ~) hat eine molekulartheoretisehe Deutung dieser Konstanten

gegeben, indem er sieh die Reflexion der Molekiile so vorstellf, dal~ ein

Bruekteil v yon ihnen nach einmaligem, die iibrigen aber nach mehr- maligem Zusammensto$ mit den K(/rpermolekiilen wieder emittier~ werden.

Es ~st in erster N~herung:

(m § m~) '~ "

Hier bedeutet m die Masse eines Gasmolekiils, mw die Masse eines Wand- molekiils.

1) M. Knudsen, Ann. d. Phys. 34, 593, 1911. ~) B. Baule, Ann. d. Phys. 44, 155~ 1914.

352 A. Sterntal,

Wir nehmen nun an, dab die Molekiile diffus mit einer mittleren

Temperatur T 1 rd lek t ie r t werdenl).

Das Verteilungsgesetz laute:

fl = AI e-ht*(~2+~2+~2)- ~1 u

Wi t haben jetzt die Konstan~en A 1 und h* zu bestimmen. Zu diesem

Zwecke berechnen wir die Anzahl der in der Zeiteinhelt yon der Flachen-

einheit der Platte reflektlerten Molekiile. Es ist:

nre ~ = d~ d~ d~ dp~ . . . d p n A l e - h ~ * ( ~ + ~ 2 + ~ ) - - - d - u ~

0 - - ~ - - o o - - ~ - - o o

Es muB nun die Anzahl der reflektierten Molekiile der der auffallenden

gleich sein, also

A / ~ m \ hi2 7g ~n)_ll 2

Daraus ergibt sich:

n + 4

/ 2 \n/2 h* 2 A 1 = N(--~ "1 h._1/2 ~Zn)lI2.

\ m / n +.~ ( ~ a2 "'" 7g 2

Zur Bestimmung yon h~ gehen w i r yon der Gleichung

T ~ - - t = - - 7 ~ - x < o

aus, wo t die Temperatur der an der Wand anliegenden Gassehich~ bedeutet.

Setzt man naherungsweise mit K n u d s e n ~) t - - T1 + T ~ , so lautet die

vorige Gleiehung:

Tv, T~ + T d T 2 - - - - - - - T d x

1) Trotzdem diese Vorstellung nicht den B a ule schen Anschauungen entspricht, benutzen wir doch die Baulesche Bezeichnungsweise, da diese zu einem ein- facherea Endresultat fiihrt. Herr Th. Sexl ist nun, nachdem er im Besitze des von mir in bezug auf die W~rmestromabb~ngigkeit des Radiometereffektes gefundenen Resultats war, zu wesentlieh demselben Ergebnis dadurch gelangt, dal} er von den B auleschen Anschauungen ausging. Da die Drucklegung vorliegender Arbeit durch ungiinstige Umst~nde verzSgert worden ist, ist die Arbeit yon Herrn Sexl bereits zu einer Zeit erschienen, zu der vorliegende Arbeit noeh im Drucke war.

2) Ygl. M. K n u d s e n , Ann. d. Phys. 34, 593, 1911.


Da nun T 1 - - T = (1 - - ~ v ) ( T ~ - - T ) ,

so ist Tw__ TI--avT

1 --av

Se~zt man dies in die vorige Formel ein, so erh~It man:

und daraus:

wobei

ist.

T 1 - - ~ z v T TI + T dT 1 --~zv 2 -~- - - Z dx

1 - - t z v , d T z , - r = - 2 1 - V ~ ~r ~ ,

__ 1 f ~ V ~ T I + ~ z V ) ~ a l ) n-+-4 1 - - e c v

Es ist somit

wobei

n + 4

k r

P

m Ersetzt man T dureh 2 ~ ' und fiihrt man den entsprechenden Aus-

druek auch fiir T 1 ein, so ist

m m kq0~. TI-- T --__

2~h~ 2 ~ h * - -

Durch eine leichte Umformung erh~lt man:

h* h* = kvflx (18)

l + p T

4. B e r e c h n u n g des y o n den r e f l e k t i e r t e n ~ [ o l e k i i l e n h e r - r t i h r e n d e n D r u c k e s und des R a d i o m e t e r d r u c k e s . Nun kiinnen

wir den yon den Molektilen auf die Flachenelnheit pro Zeiteinheit bei ihrer Reflexion iibertragenen Impuls berechnen.

1) B. Baule, Ann. d. Phys. 44, 145, 1914.

354 A. Sterntal,

Es is~

J J J J

n + 3

1 ~ 2 /m~nl2 Nm 1 = A1 ~ 4 ~ ~ 2 ) ((~1 g 2 " " gn)- 1/2 = 4 - - ' h .1/2 hi .1/2 "

h*

Durch Einsetzen yon (18) ergibt sich

= _ _ ( k ~ 2 . __ p~f Nm 1 + (19)

Wir entwiekela 1 q- ,~-~-) in eine Reihe und brechen mit dem

linearen Gliede ab: k ~ i 1 2 k

1 q- p T / = 1 - } - ~ .

Setzt man diesen Wer t in (19) ein, so erhg]t man:

_ _ pl-~,f _ _ N m N,mkg~ ~ (20) ~ 4 h * + 8h*loT "

Den in der Zeiteinheit auf die Fli~cheneinheit iibertragenen Impuls erhalt man durch Addition yon (17) und (20). Es ist:

= 2 h * +'P~[gh~7-2 , , + s "

Setzt man den Wer t yon k ein, so ergibt sich unter Benutzung der bekannten Formeln :

M N m = p, ~ = 2h'p_ und h * - -

2 R T der Gesamtimpuls :

] V oI 1

Bei schwachen WgrmestrSmen wird der reine Radiometerdruck angenghert dutch

I W ~ [ W 2 1 ~ (21)

gegeben sein.


Analog ist der Radiometerdruek auf der anderen Seite der Platte dutch

~/--M-- I V 2 1 ~/~ 1 5 ]

gegeben.

Den resultierenden Radiometerdruek erhiflt man dureh Addition:

- - , - - - M - - 1 - 1

~, ~ 1 ~ n +

Bei kleinen Temperaturunterschieden kann man vor die Klammer

setzen, mid man erhalt somit fiir den resultierenden Radlometerdruck:

,~//--M-['~-~ 1 V ~ 1 ] '~-~-~'a(u~-a) ~ 2 n + 4 n + 5 "

Setzt man die Ausdriicke (9) und (10) fiir ~a a' und ]~aa ein, so ergibt sich endlich :

n+4

I

~ ( l - e - . ) ] (~-~--.'~1) (1--e-P~) (1+ p e-(3d)+ (1--p e-fl J) [~ (1§ e-P o~) --~-~

2d 1 1 2 3

~-/+ ~ + ~ +~+ ~-7 (22;

w 4. Diskussion des Resul tats . 1. Kraf t r ich tung. Wir wollen nun das bier gefundene Resultat in bezug auf die Kraftriehtung diskutieren.

Wir betrachten den Ausdruck

~ ~)~ e ~ l + ~ e ~ ~1 oe ~ [ ~ L ~ - ~ ~ 1 e ~ 1

35~; A. Sterntal ,

der ~fir die Riehtung der Kraft bestimmend ist. Dieser Ausdruck setzt

sieh aus zwei Summanden zusammen, yon denen der zweite niemals negativ werden kann. Es iolgt nimlich aus

2 (i + e-~) - ~-~ e-{/~) 0

die Ungleichung fl/t 1 - - e - ~ ~

2 - > 1 + e-~ ~" x

2 Um ihre Richtigkeit einzusehen, betrachten wir die Funktion

1 - - e - ~ '

Wie man sich dureh Differentiation fiberzeugt, ist diese Funktion stets waehsend, nimmt also gleichzeltig mit x zu. Fiir x ---- 0 nimmt

0 die Funktion den unbestimmten Wert ~ an. Naeh der bekannten Regel

von l ' H o s p l t a l finder man den Wert ffir x ~ 0 gleieh 1. Somit ist x 1 - - e - ~

fiir alle positiven x :~ ~ l ~ - e _ ~ �9 Ersetzen wit x dureh • (~, so erhalten

wir die behauptete Ungleiehung.

Es ergibt sieh somit [iir den Fall, dal] die beiden Oberfl~ehen tier Platte gleich beschaffen sind (h 1 ~ h~), eine positive Radiometerwirkung.

Wenn h 1 ~ h~, d.h. wenn die bestrahlte Fliehe rauher ist als die

andere, ergibt sich eben~alls eine positive Radiometerwirkung. Is t h 1 ~ h~, so ist ffir sehr hohe Drucke, sofern eine Radlometerwirkung bei ihnen fiberhaupt beobachtet werden kann, diese auch noch positiv. Mit ab-

nehmendem Drucke f~llt der erste Summand des Ausdruekes

(~- ~) (1-e-h~)(l + qe-fl~)+ (1-qe-~'~)[~ (l + e-~'r)-5(1-e-~)] immer mehr ins Gewleht, und die an[angs sehwaeh positive Radiometer- wirkung geht in elne negative fiber.

Dieses Resultat gilt natiirlieh nur flit solehe Radiometerfltigel, die aus einem einheitliehen Material yon elnem iiberall gleiehen Absorptions- vermSgen bestehen. Bei den Experimenten hingegen kommen vorwiegend solehe Flfigel vor, die aus zwei versehiedenen Sehichten mit versehiedenen Absorptionskoeffizienten zusammengesetzt sin& Zum Beispiel bestehen die Platten bei den Wes tpha l schen Versuehen aus einer mit einer Rul]- oder Platinmohrsehicht bedeekten Metallfolie. Ebenso besal]en die beiden


Seiten der Gerlachschen Molybd~tnglanzradiometer versehiedene Ab- sorptionskoe~fizienten. Es ist dann natiirlich die Temperaturverteilung innerhalb der Platte eine ganz andere, und zu dem bier ausgefiihrten Wi~rmeleitungse~fekt wird noGh eta optiseher Effekt hinzutreten, dessert Ursache in der Versehiedenheit der Absorptionskoe~fizienten der beiden Sehiehten liegt. Der Warmeleitungseffekt wird aber auGh bet dem Zwei- sGhlchtenradiometer nicht ohne Bedeutung seth. Das ist besonders aus einem yon G e r l a e h mit einem beruften Glimmerradiometer ausgefiihrten Versuehe zu ersehenl). Er land nitmlieh bet Bestrahlung der nieht- beruften Seite negativen Effekt, der bet Ausschaltung der langwelligen Strahlen in einen positiven iibergegangen ist. Dieser Versuch zeigt, dal3 die negative Radiometerwirkung in der stitrkeren Absorption langwelliger Strahlen der berul]ten Seite ihre UrsaGhe hat. Nun aber ist die anfangs negative Radiometerwirkung bet Aussehaltnng der langwelligen Strahlen nur in eine s ehwache positive iibergegangen, im Gegensatz zu den Mo- lybdanglanzradiometern, bet denen unter ahnliehen Versuehsbedlagungen der negative Effekt in einen ebenso grofen positiven umgekehrt ist. Aueh G e r l a c h vermutete, daf hier 'e in Warmeleitungseffekt im Spiele ist. Mitte]s des von uns gefundenen Resultats laf~ sigh dieser Versuch sehr ein[aeh erklaren. Uber den positlven Effekt hat sich ein negativer iiberlagert, der infolge der besseren Ubergangsleitfahlgkeit der beruften, nicht bestrahlten Seite entstanden ist. Da/~ bet den Molybdgnglanz- radlometern dieser Effekt nicht sehr merkbar war, ist dadurch zu erklaren, daft dort die oxydierte Seite yon der frischen night sehr ver- sGhieden war.

Um eine bessere Ubereinstimmung mit den Experimenten in bezug au~ die Kraftrichtung zu erzielen, miifte man den Radiometerfliigel als aus zwei verschiedenen Sehiehten bestehend annehmen, die versehiedene Absorptionskoeffizienten besitzen. Dementsprechend miiften die Rand- bedingungen der Differentialgleichungen abge~ndert werden.

2. W a r m e s t r o m . Wie aus (21) ersiehtlieh, ist der Radiometer- druek der e r s t en Potenz des Witrmestromes proportional. Were1 wir uns in der Yerteilungsfunktion night nur auf die linearen Glieder besehrankt und noch die quadratisGhen mitgenommen hatten, so wtirden wir noeh

Gin Zusatzglied mit qg~ erhalten, namlieh B rp2 M 2p RT' wobei B ein eehter

Bruch ist. Beachten wir, dab die Temperaturerh~hung der Platte yon

1) W. Gerlach, ZS. f. Phys. 2, 207, 1920.

358 A. Sterntai,

der GrSl~enordnung 1 ~ ist 1) und die Entfernung der Plat te yon den Ge- fal]wanden etwa wie bei den W e s t p h a l s c h e n u 5cm ist, so ergibt sieh fiir q~z ein Wef t yon der Griil]enordnung 108. Nehmen wir

nun den ungtinstlgen Fall M ~ 28 (Stickstoff) und ~ klein genug, abet immerhin noch so groin, da~ die frele Weg]ange klein gegen die Gef~ti]- dimensionen ist, z. B. ~o ~ - 500 dyn/em 2, so ist das Glied mit q~ yon der GrS~enordnung 10 - I , wahrend das ralt q~z ~ yon der GrSl3enordnung 10 - 5 ist. Das steht in Ubereinstlmmung damit, da~ der yon H e t t n e r und C z e r n y beobachtete RadiometereIfekt 104real so grol3 war als der naeh tier Theorie yon E. E i n s t e i n errechnete, da ja nach dieser Theorie der Radiometereffek~ der z w e i t e n Potenz des Warmestromes proportional

sein soll. 3. G a s d r u c k . Um (22) in bezug auf Druekabhangigkeit zu unter-

suchen, betrachten wir den Ansdruek

1 1 ( - ~ - - ~ 1 ) ( 1 - e - f l ~ ) ( l + @e-fl~)+ ( l - @ e - f l ~ [~/(1 +e-fl~)-~.fl(1-e-~)]

2 d 1 1 2 8

der die Druekabhangigkeit angibt. Bei bestimmten Radlometergefal]- 1 1

dimensionen kann es einen Druckbereich geben, fiir den ~ + ~ ~- ~- ~i

2 d gegen ~-a vernachlassigt werden kann. Ebenso wird der erste Summand

des Z~hlers den zweiten stark iiberwiegen, sobald die beiden Oberfl~chen

der Plat te nicht gleich oder angen~hert gleich beschaffen sind. Nehmen wir @ ---- - - 1 an, was bei metalliseher Reflexion angenghert der Fall

sein wird, so vereinfacht sieh unser Ausdruek zu

1 '

2 d 1 1 2

xW+N+g+g+ -i Man sieht sofort, dal3, wenn der erste Summand des Z~hlers den zweiten tiir grol3e ~(~ iiberwiegt, er es um so mehr fiir k]eine fl~ rut. Denn der

zweite Summand nimmt, wie schon gezeigt, mlt / ~ ab, wahrend der 1 1

Faktor yon - - - - - mit abnehmendem fl ~ zunimmt. h2 hi

1) W. Ger lach und W. Wes tpha l , Yerh. d. D. Phys. Ges. 21, 218, 1919.


an. Symmetric der Radiometcrfunktion fesiges~ellt hat. rende Ausdruck nimmt dann die vereinfachte Form

1 1 8 2

h~ h 1 Zi its fl 2 d l 1 2

an.

Wit nehmen nun den ungiins~igen Fall grol3er Absorption (~ 8 ~ 1)

Das frifft bei den Messungen yon W e s t p h a l zu, bei denen er die

Der uns interessie-

Wir wenden nun diese Formel auf eine typische, aus den frtiher

erwRhnten W es tpha l schen Versuchen herausgegriffene Messung an ~).

Bei dieser Messung war:

P la t t enmater ia l - -Z inn . . . iti = 0,15.4,2.107, 6 ---~ 12,5 ~, Gas--Wasserstoff . . . . . . )~a ----- 3 . 1 0 -4 . 4,2.107.

Vordere Flliche des Radiometerfliigels dick beruft.

Es ist

n + 4 1 - - t z v - - p k 6 h~-p l + o:v 2 - - 6 '

61 [iir Ruff in H 2 ---- 0,64, 62 fiir Glas und blankes Metall in H 2 = 0,36 ~) Aus dlesen Daten ergibt sich:

k = 0,596,

1 1 1 h a - - 4 ,1 .10 - 3 p - ,

h-~

2 d - - = 0 , 8 . 1 0 -3 , Z~

10-1o 1 1 2 8 1 3 ~ 1 2 7 . 1 0 _ s 7 ~ l~-~ -~ ~ ~- h + Z-T - - h-~ ~- h- + Z i jo 0,15.4,2

Bei Zulassung eines 5 proz. Fehlers kann man fiir p ~ 600 dyn/cm 2

1 1 9. ~ 2 d vernachl~ssigen. Ebenso den Ausdruck ~ + ~ + ~ + ~ gegen Z--~

2 1 ] ist Z~ ;tiff fiir alle in Betracht kommenden Drucke gegen h2 h~

vernachlassigbar.

1) W. H. W e s t p h a l , ZS. f. Phys. 1, 92, 1920. 2) Die Wer t e yon al, a 2 sind nus ,,1Jber positi~:e und negat ive Radiometer-

wirkungen" yon W. G e r l a o h und W. H. W * ~ s t p h a l , ge rh . d. D. Phys. Ges. 21, 218, 1919.

Zcitschrift fiir Physik. Bd. XXXlX. 24

3 6 0 A. Sterntal, Zur Theorie des Radiometers.

Fii~' alle ahnlichen Rad~ome~erkonstruk~ionen ist somlt bei hSheren Drucken die Druekabhgngigkeit dutch

1 1

h.~ l,~- 1 7~ - - ~1 2d 2d Za

gegeben. Der Radiometereffekt ist also in diesem Druckbereich dem Gasdruck umgekehrt proportional, was sich, wie in der Einleihmg hervor- gehoben wurde, mit der Yon W es tpha l ge~undenen Symmefirie der Radio- meterfunktion in Einklang brlngen l~flt.

W ien , I lL physik. Institut d. Universitgt~ Juli 1926.

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Zur Theorie des Radiometers