K. G R ~ G R R : Dynemiscl~es Verhalten von elitstiscli-plastischen Iidrpern 483

% A R I R I 5S, 48:1 - - 4 4 i ( I ' J i X )

'Lur Theorie dcs dynarriischen Verhnltens von elnstisch-plastischen Kiirperii

111 dirser Arbeit wird gezeiyt, da8 das dynamische T'erhalten V07k elastiseh-plastisciLen liotpern unter gau.issen Bnnnhmeta durch Anfanysuvertprobleme f u r Ecolutionsungleichungen xweiter Ordnung bedwiabmi I I r r d m knnri. F u r ain s@elles iWnfarzalyesetz wird dip eindeutige Lo.ybarkeit drmrliger Aufyaben bewie.wn.

I ~ L this paper it is shown that under certain awumpl ions the d y n u ~ n i c behaviour of elnst -plnstic iiinte?inlq con be descraberl b y initial value problems for second order differential inequalities. In the m s e oj n npa a1 consti tut iw rclntinn thP ? O ~ I ( ~ P nolvnhility of such problewis is proved.

R cTaTbe I I O I ~ ~ ~ ~ H O , 'ITO ,w~iaM~iqccI~oc I I ~ B ~ J ( ~ I I M ~ 3,nacTo-ii.nacTM'IecH'HX T e n npIi H ~ I C O T O ~ L I S npe;znox,e-

o.kiio1-o w c i iiorn uaTeprranbFroro vpanrrcmn ,toIfasaiio o!kiioannwian pa:q)eurrihiocT1, TBWS 3a;zaci.

0. Ki 11 fiihru 11 g

IIIIHX MORiHO OnHCaTL C IIO%oIL[l~lO 3aXaq I~olrrci nIJIFI DBOJIIOIIHOIIHLIS J'paBIIeH14fi l3TOpOl'O IIOp$I! [ l ia . ]I,lIn

Die vorliegende Arheit ist eirie Fortsetzung der Arbeit [4], in dcr wir das quasi-statischc Vcrhnltrn ~ o r 1 e1:istisc.h- plastischen Korpern behandelt hnhen. I m ersten Abschnitt forinulieren w ir inatheniatische Aufgaberistellitngc.n, die das dynaniisc~he Verhalten eines dreidiinensionalen Kiirpers beschreiben. Unser Ausgangspunkt ist dabei eiiie ,~lodellvorstcllung, wie sie von DEL PIERO [2] angegeben worden ist. Die sich ergebenden Aufgaben sind ltaiid- .2nfxngswertprol~lenlen fur partielle Differcntiulgleichungen sehr ahnlich. Im zweiten Abschnitt heweisen wir f u r c a i n spezielleb Materialgesetz (das auf PRAGER zuriickgeht) die Korrektheit der genannten Aufgabenstelliingen, d. h. (fir Existenz genau einer Lasung und deren stetige Abhiingigkeit von Anfangswerten und iiufieren Kraften.

Wir werden in dieser Arbeit ohne nochnialige Erltiuterung von den Begriffen und Bezeichnungen Gebraixch rtinc~hen, die wir in den Abschnitten 1 und 2 drr Arbeit [4] eingefuhrt hahen. lnsbesondere werden wir den dort erklarten Begriff des snechanisch~n Proxesses benutzen, der in gewisserri Sinnr das Verhalten eiries elastisch-plasti- when Kiirpers vharakterisiert. Hinweise auf die Forineln (l), ( Z ) , ... aus [4] werden wir in der Form (I.l), (1.2), ... schreiben.

1. Formulierung von Aufgabrnstellungen Unser Ziel ist es, in diesem Abschnitt Aufgahenst ellungen herzuleit en, die einen dynainischen Verforrnungsprozefi einrs dreidimriisionalen elastiseh-plnstischen Kbrpers hei gegebenen iiuScren Kraften beschreiben. Wie in [4] nchrrien wir der Einfachheit halher an, dafi cler Kbrper eingespannt ist. Es ist ohne weiteres mbglicli, auch andcre Randhedingungen zu bctrachten. Wir gehen davon a m , daB das Materialgesetz des betrachteten Korpers durch die Bezichungen (T.X), (1.9) charakterisiert w i d

Tni folgenden sei uo einc Anfangsverschiebung, vo eine Anfangsgesclin indigkeit, uo eine niit ?lo physikalisch rert raglichc Anfnngsspsnnung und f ein Kraftprozen, d. h., cs gelte

u0 6 U , ?lo F T i , go E ~ ( K z c , ) = Co + BZLu,, f F H1(S; U * ) . Die Bestimmung des dynemiwhen Verhaltms des elastisch-plastischen Kdrpers fuhrt bei Vorgabe der genannten (ircifien auf die Suche nach rineni VerRrhiebunn9~roxeg ~c E H 1 ( S ; U ) nnd einein SpannungsprozeP u E H 1 ( S ; 2) mit folgenclcn Ei gcn schaf t en :

?/,, + K*o. =- f , (1) [I<//, cr] ist ein nicchnniseher Prozc,R , ( 2 )

[40), ~ ' ( 0 ) ~ 4 o ) l [ ? l o , ~ 0 , 0 0 1 ; (3) dahei bezeichnct u" die zweite Ableitung von u im Distributionensinne. 1st (1) mit o. E P ( S ; 2) und f E L 2 ( S ; [I*) erfullt, so gchtirt ?L" automatisvh zuin Raum L2(S ; U * ) . Die Gleichung (1 ) heinhaltet die C:leicligewichtshezie~~i~~~~cn fur den Kirper (vgl. (1.19). Wir haben der Einfnchlieit halher angenoninien, dafi der Korper dir konstaiite Dichtc 1 bcsitzt. Die Aussage (2) besagt, dafi die f u r clns lTerhalteii dtls K6rpers chnrnkteristische Beziehung zi t iscalit.n Deformationen und Spannungen erfhllt ist.

I n [4] hnben wir gesehen, dan (2) gleic.huwtig ist zii

0 = (AT" + ilz,o) ( ( A - R) Jill)' + RZ\l/L, To = (To - BKUn (1) (vgl. (1.17). Aiif Grand dcr Definition von - I r o l d l t sich (4) xuch in der folgenden Form schreiben:

481 K. G W ~ G E R : Dynamischcs Verhalten yon elnstiscli-plnstischcn Korpcm

Setzt nian den in (4) angegehenen Wert fur a in die Gleichung ( 1 ) ein, so erhalt man eine Aufgabenstellung, in dcr oxplizit> nur die Verschiehung u auftritt:

U” + K*((A,, + alco)-l ( ( A - B ) Ru)’ -1- BKu) = f , ~ ( 0 ) == u,, ~ ‘ ( 0 ) = I I ~ , z0 = 0, - BKu,, u E H1(S; 77) .

In1 Fall quasi-statischer Verformungen liatte es sich als zweckmaSig herausgestellt, cine ForniuIierurig der Aufgnbc in den Spannungen anzugeben. Diese Forniulierung war der niathematischen Behandlung rela tiv leiclit zuganglich. Wir werden im folgcnden zeigen, daIj im Falle dynamischer Verformungen eine Yonnulierung dcr Aufgabc giinstig ist, die sich ails (6)-(9) ergiht, wenn man anstelle von CT die neue unbekannte Wunktion

t

t ---f c( t ) := (a - BKu) ( s ) ds fiir alle t E s 0

einfiihrt. Unter Benutzung von ( 1aBt sich die Aufgabe (6)-(9) wie folgt schreiben:

U“ + K*(C’ + RKu) = f , (11) 5” 4- ale, f’ 3 ( ( A - B ) liu)’ , (12) [@), U’(O), W ) , 5“(0)1 = [uo, %, 0, 00 - B1Cuol 9 (13) U E HI(# ; u), 5; E H1(Aq; x). (14)

Hierbei verstehen wir arco als mehrdeutige Ahbildung von L2(S; Z) in sich. Aus (12) folgt daher inshesondcrc, dalJ 5;” dem Raum L2(S; Z) angehort.

Bemerkung 1: Die vorangegangenen Uberlegungen eeigen, daS die Aufgabenstellungen (1) -(3) und (11) bis (14) Lquivalent sind. Kennt man eine Lijsung [ul 51 der Aufgabe ( 1 1)-(14), so kann man die Sjxinniingen a aus der Reziehung 0 = t’ -1- BKu erniitteln.

2. L8Rung der Aufgaben im Spexialfall

Wie im Fall quasi-statischer Verformungen sind wir lcider nicht in der Lage, die ini vorigen Absehnitt erhaltenen Aufgabenstellungen unter den dort genannten Voraussetzungen zu losen. Alinlich wie in [4], Abschnitt 3, spez ia l i - s ieren wir deshalh das Materialgesetz, indem wir annehmen, daB die in (T.8), (1.9) eingefiihrten Abhildiingen A und B folgenderniaRen gegeben sind:

A = J , B = kJ , O < E < 1; (15) dahei bezeichnet J den durch (1.2) definierten Isomorphismus vom Raum 3 der Deforrnationen auf den Knum 3‘ dcr Spannungen. Die Aufgabe (6)-(9) erhalt unter der Voraussetzung (15) die Gestalt

U” + K*a = f , 0‘ + i31CO(a - ~ J K u ) 3 JICU’ ,

(16) (17)

[u(O), u’(O), 4 O ) l = [uo, %, (701,

u E HI(#; U ) , 0 E HI(#; Z) . Analog ergibt sich anstelle von (10) hew. (11) -( 14) :

u“ + K*((Ar0 + a I C , ) - l (1 - k ) JKu’ + kJKu) = f , w(0) == uo, u’(0) = v,,

i“’ + 81, t‘ 3 (1 - k ) JKu‘

[u(O), lL’(O), W ) , t’(0)I = [uo, %> 0, ufl - kJ1Cuol 9

u E &(S; U ) , 5; E H y S ; 2) *

z, = uo -- ICJKU,, u E I.’(,Y; U ) bzw.

U” + K*((’ + kJKu) = f ,

Urn auf das Probleni (21) -(24) einen bekannten Satz iiber Evoliition~gleichungen zweiter Ordnung anwenden zu kiinnen, fiihren wir die folgenden HILBERT-Raume ein:

€1 := L2(G; R3), Ul := 1J x 2, HI := H x Z, 7J7 :- 7J* x 2. Fiir g E U* und u E U (bzw. g E Ii, u E H ) bezeichnen wir mit (g, u) den Wert des linearen Funktionals g in1 Yunkt u (bzw. das ubliche Skalarprodukt von g und u im ltaum H ) . Es erweist sich als zweckmafiig, fiir [g, . r ] i ZJ: und [u, C] E 77, (bzw. [g, z] E H,, [u, 51 E Hl) das folgende Skalarprodukt einzufiihren :

( [q , zl, [u, 5111 := (1 - k ) (8, u) + (z, 0 2 * UT knnn irii Sinne des eben eingefiihrten Skalarprodukts als der zii 77, duale Rniirn nngesehen tverden. T>;abei w i d autonintisch Hl mit seineni dualen Kaum identifiziert.

Wir definieren nun I; E Y( U,, U:) (lurch die Beziehung

L[u, 51 := k[K*JKu, 01 fiir alle [u, 51 E U, . (25)

&lit U ( H ) Imeichnen wir, wie iiblich, die Menge derjenigen Panre [u, 51 E U,, fiir die M [ u , i ] $. 0 i&. Offensiclitlich ist D ( N ) - 7J >( C,.

111 in a 1 : Die durch (27) definierte dbbildung J f ist maximal inonoton. Ucwciy: 142s sei u( c [ J , c, E C, und [K*[,, z,] E M[71,, [,I fur i = 1, 2 . Dnnn gilt 3 i i f Grunt1 tlcr Definition

von ill und clcr Monotonic von C J Z , ~ a h mchrdeutigc Ahhildung \‘on 2 in sir11 c c UR*(L -GI, tl - rz1, [ul - u2,

= (zl - 7 2 + (1 - k ) (JKU, - JKu2)7 el - (,)r 2 0 . - ~ 2 1 ) ~ (1 - k ) (k.*(il - iz), /11 -t (tI - 72, il - h2)L

Diese I‘ngleichung hweis t die Monotonie von 31. Es gelte nun

(19 - K*{, a - t], [wl - u, 5, - 2 0 fiir allc [u , 51 t D(J1) inid alle [ K * [ , 71 E M [ u , . Ihc Maximalitat von $1 ist hewiesen, wenn wir zrigeri konnen, tlafl hieraus clip Bcziehiing [{I, 01 E il/[u1, [,] folgt. I)ict l ( b t ~ , t c Vrrglc*ic hung ist aquivalent zii

(28) ( 1 nnd allc 5 F C, .

k ) (g ~ K*[, u1 - u) -1- (u - t + (1 - k ) J K u , - ( ) 2 2 0 fi i r allr ? (iIc,C, nlle II C l

Wwhlt ninn I / 7 w,, so erlliilt man

(O I ( I - k ) JKu, - Z, i; - 2 0 fur alle ? c 3Zct,t untl nllc 5 c C, . Auf (?runt1 tler nraxininlc~n Monotonie von Ole, folgt daraus 5, 6 Co und

u + (1 - k ) J K u ~ E aI ,o[ , . Folglich rlnrf in (28) auch 5 = 5, gewahlt werden. Daniit ergibt sich

(g - u1 - w ) 2 0 fiir alle u E U . I )ns ist nur niijglich, wenn g = K*T, ist. %us dieser Beziehung nnd (29) folgt [g , 01 t N[u,, el]. Uainit ist die Mnxi- malitat des Operators 1cI hewiesen.

Rlit Hilfe der Operatoren L und 31 laBt sich die Aufgabe (21)-(24) folgendermaflen schreiben:

(90)

u, t U , vo E U , a, E C, + kJKu,, K*u, E H , f E H1(S; H ) . (31) Da7tn besitzt dip Aufpbe (30) genuu eine LCsung.

Rcwcis : JIicJ Rehauptung von Satz 1 folgt aiis eineni von BARBU angegebenen Satz iibcr Kvolut ionsglei- ( hungc.n zwei tw Ordnung (sirhe [ 11, Th. 1.1, Ch. V). liin den Satz anwentIcn ZII kiinncn, lint ninn rinc.hziipriifem, clnll, folgontlrc: gilt:

[f, 01 E IP(8; Ill), [vO, a. - k.J1i2c0] t D ( M ) , [k l i*JRu, , 01 + [K*(ao - kJKu,), z $- (1 -- k ) JKu,] E H I fiir rin z E 3ZC, (a, - kJRu,) .

l)a D ( M ) = CJ x C, und 0 E arcs (ao ~ kJKw,) ist, folgen diese Relationen aus der Voraussetzung (31). Fur dic Anwendung tks Satzes benotigt man auaerdem die Eigenschaft (26) des Operators L und die in Lenima 1 nachgo- 1% iesene maximale Monotonie von M . Darriit ist Satz 1 bewiesen.

Folgerring: Uwtpr (jPr VoruussPfzmg (31) sind die Azcfgaben (1G) -(19) unil (20) e i d e i c t i g l o s b n ~ . J3c.nic:rkung 2 : Satz 1 zcigt, dal3 frir tlas tlnrc.li (15) charakterisicrtc spceicllc M:Ltc~ri:Llgwfz folgcwl(~i gilt :

G i l h inan Rnfnngsverschiehung, hrifnngsb.csc.h\~indigkeit, Anfangsspanniiiig uncl Liiflcw KrAftc. iwr, SO esist iert genau ein dynairiischcr ~erforn~ririgsproee fl. wenn

a ) Anfangsverschiebung und Anfangsspannnng physilrnlisch vertriiglich Rind ((1. 11. oo E Co + kJKzco), 1 1 ) die vorgegebenen Groflen gewissen ReBu1a”itatsvoraiissetzringen geniigcn (11, E U , K*u, E H , f F W(N; I I ) ) .

Wir werden spater sehen, dall man sich von den unter b) aufgefuhrten Regiilaritatsforderungen - die nicht in der Natur der Aufgabenstellung liegen - weitgehcnd frei machen kann, indeni man einen schwzcheren, aher p h y i - kaliscli duruhaus sinnvollen Losungsbegriff fur die Anfgabe (16) -( 19) einfuhrt.

Im folgenden Sntz befassen wir uns mit der K~rrckthe i t~ dcr behandelten Aufgabenstellungen.

486 K. GROCER: Dynamisches Verhalten von c.1nstisch-plnstisclrcn Korpern

t t -1- J (g‘(s), ?l(R)) CIS - (y(l), u ( l ) ) 1 ( [ I ( O ) , I ! ( ( ) ) ) - J ( h ( s ) , ,u‘(s)) c L } -+

0 0

+ f Ilz(t)llE - ; IlT(0) l lE Unter Benutzung von (1.18) folgt daraus

t Ilu’(t)llf t- Ilu(t)llb + I l w l ; 5 const (11u’(0)IIli + IIu(O)II2 + IIz(0)IIi. IIuIIb(s;o*) + I {IIg’(cs)IIb i- I I ~ ( ~ ) I I ~ + IIh(s)IIk + I I u ’ ( ~ ) I I ~ I } ds) .

Mit Hilfe des GRoNWALLsChen Lemmas und der Beziehung z = a - J K u erhalt inan daraus weiter init einer Konstanten c, die nicht von t und nicht von der gewahlten Darstellung von f als Suninie g + h, g E H 1 ( S ; ti*), h t L2(X; H ) , abhangt:

Dn

0

Ilu‘(t)lli + lI,Wll‘b - t Ilo(f)ll:- 5 c(llu’(0)llL + Il.(0)ll?I + Ila(0)llE -k llgIl~1ys; U ’ ) + Ilhl l%~(s; 11)) *

I l f l I I IyS; U * ) + P ( S , I l ) = inf (II9IIH’(S;O*, -I Il~llLY(s;a)) ~4 h=f

g 6 H’(S; U*), f € L y S ; H) ist, folgt daraus die Behauptung des Satzes, ahgesehcn von dcr Ahschatziing fiir 1 ju”j ji,~(.q; < J j ) . Wrgw

U” = f - K*a ergiht sich die gewimwhte Abschatzung fur I I u ” ( ILy,y; ur) sofort am dern vorangegangenen Resultnt. Damit ist> Sntz 2 bewiesen.

Wir wollen nun, wie angekiindigt, f i ir die Aufgabenstellung (16) -( 19) einen schwacheren Losungsbegriff einfiihren. Es sei

D := {[u,, w,, go, f l E U X U X ,Z X f P ( X ; H ) I 0, E (7, + k J K u O , K*u, E U } . Man iihcrzcugt sich leicht davon, (la0 I ) in

X := {[ug, ~ 0 , a,, f ] E U X 11 X Z X (H’ (8 ; U * ) + L2(A; 11)) I go E C0 -1 kJl<u,} diclit liegt, wenn man X mit der Metrik dcs Raums U x H x ,Z x (HI(&‘; U * ) + L2(S; H ) ) versieht. Wcitcr soi

11 nd

7)er Inhalt der Siitze 1 und 2 1 a O t sich nun wie folgt zusammenfassen: Zu jedem [u,, w,, a,, f] E D existiert genau eine Losung [u, a] der Aufgabe (lG)-(l9), und die Zirorrlnung

rug, w,, a,, f ] H [u, a] ist ah Abbildung aus x in Y LIPSCHITZ-Sktig. Da D in X dicht liegt, kann die Zuordnung [u,, w,, a,, f] H [u, a] in eindcutiger Weise zu einer auf den\ gnnzcn

Rnum X definierten LrPscHrTz-stetigen Abbildung forgesetzt werden. Wir wollen clicse Abhildung niit, R l.~ezeic~linc~n. Def in i t i on : Fur beliebiges [uO, w,, a,, f] c X hezeichnen wir dim I’nnr [ I L , a1 = &[uo, w,, a,, f] E Y ~ L I S .uchit*irr*lrr

Losung dea Problems (16) -( 19). Nach Definition vori R ist [u , a1 = R[u,, wO, a,, f] gcnau dann, wenn cine Folge ([uoi, w ~ , , go,, /$I), i = 1, 2, ... ,

aus D existiert, fiir die gilt: [uoi, wol, boi, f t ] 4 [u,, v,, a,, f ] in X , [ u , , a,] 4 [u, a] in P. 1)abei hczcichnet[uL, a,] dic navh Satz 1 eindeutig bestimnite Losung der Aufgabe

Y := { [ U , 01 E c(8; V) x C ( 8 ; Z) I u’ E c(8; H ) , U” E L2(8; u*)} Il[u, ~ I I I U := Ilullccs;u, + IIu’Ilc(s;II) + II~”IIL“(s;U”) + l l ~ I l ( , ( . S ; Z ) .

(35) (36) (37) (38)

K. GROCER: Dynamisches T'erhaltm von rlnstisrh-pla~tischen Kiirpern 487

Aus der Brziehung (35) folgt durch Grenziibergang in Lz(,S; U * ) u" -1 K*a = f .

Das P ~ a r [u, a] geniigt also in der iiblichen Weist: der ~leichgewichtsbedingung. Die Punlit,ionen 10 untl a crfiiI1c.n nul3erdeni die Anfangsbedingringeri u(0) = u , ~ , ~ ' ( 0 ) = vor a(0) = oo. Fiir. eine sc+hwnchc Losung [,u, (TI sind die VOIII

Standpunkt dcr Mechanik interessanten GrolJen wie Verschiebungen, ~ ' e i s c . ~ ~ i e l ~ r ~ n g s g e s c . l i ~ v i ~ i ~ ~ i ~ k ~ i t c n , J)efor.- nintionen wid Spannungen wohldcfiniert,. Die Fragc nach dcin dynaniischen Verhalt'en einrs Kiir11,er.s (u i i t dcnl Iiier hkraclitet'en Materialgesetz) kann also auch fiir Daten [uo, vo, q,, f ] E X als sinnvoll angeselien wctrden.

I n der Reziehung (36) kann man in1 allgerneinen nicht zur Grenzc iihergehcii, da u' nicht zu Lz(A'; U ) geliijren irlu[J. Man kann dahcr niclit zeigen, da13 [Ku, u] ein mechanischer Prozefi im Sinnc dcr Definition 3 in [4] ist,. Diese Pest,sttellung legt die Prage nahe, oh es inoglich ist, den Regriff ,,mechanisuher ProZen" so zu crweitern, dalj aiwh fiir jede srhwache Losung der Anfgabe (16)-( 19) das Paar [Ku, a] aiitoniat'iscli rin niwhanischer 1'1.ozclJ ist. Leider ist uns eine derart'ige Erweiterung bisher nicht gelungcn.

Litoratiir 1 RARBTJ, V., Nonlinear Sernigroups arid Differential Equations in EANACH Spaccs, Bnkareut, Leydrn 1970. 2 DEL PIERO, G., On the elastic-plastic material element, Arch. Rat. Mech. Analysis 59, 111-129 (1975). 3 GAJEWSKI, H. ; O~i insn , K.; ZACHARIAS, K., Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentjialgleichnngen, Berlin 1974. 4 GIL~GER, K., Zur Il'heorie des quasi-stat,ischen Verhalt'ens von elastisch-plast,ischen Kiirpern, ZAMM 58, 81 -88 (1978).

Eingereiclit: 2. 12. 1076

Anschrift: Dr. K. GROCER, AdW der DDR, Zentralinstitiit fiir Mat,liemat,ik und Meclianik, Mohrenst,r&e 39, DDlt 108 Ikrlin