296 Anncrlen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

Zwr Theorie des dichtemodulierten Elektronmstrahle bei endlicher Stromdichte

Von 3. Borgmnis und E. L e d i n e g g (Mit 11 Abbildungen)

Verwendete Beseichnungen:

B~ = Gleichstromgeschwindigkeit des Elektronenstrahls, u0 = Elektronengeschwindigkeit hinter dem Steuerspalt,

c = Lichtgesehwindigkeit in cm/sec, A = Wellenliinge in em,

o = -- Kreisfrequenz der Steuerspannung, 2 n c A

_ - - Spezifische Elektronenladung, m

a = 0,886 -lo-’* Dielektrizitiitskonstante im praktischen Mabystem,

2 = Steuerspannung,

a = - Aussteuerungsgrad,

t = laufende Zeit, z = Austrittszeit der Elektronen aus dem Steuerspalt,

8 = Ortskoordinate (Abstand vom Steuerspalt), p = Raumladungsdichte in Coul./cm*, j = Strahlstromdichte in Amp./cm’, j, = Gleichstromdichte des Elektronenstrahls in Amp./cms, j, = Amplitude der p-ten Harmonischen der komplexen Fourierzerlegung der

J D = Amplitude der p-ten Harmonischen der reelZen Fourierzerlegung der

j , = Kritische Stromdichte, definiert in GI. (14),

U, = Besohleunigungsgleiehspsnnung,

42

uo

To = Laufeeit, definiert in G1. (26),

Stromdichte,

Stromdichte,

J9 = Besselsche Funktion mit dem Indexp,

I. Einleitung Ein von der Kathode K (Abb. 1) aasgehender Elektronenstrahl

wird durch eine Gleichspannung U, beschleunigt und durchhuft an- schlieSend in einem (als unendlich dilnn angenommenen) Steuerspalt S eine zeitlich, beispielsweise sinuafiirmig verilnderliche Steuerspan-

- i = l / - l .

Borgnis u. Ledinegg. Theorie d. ddchtemodul. Ekktronensttahls WW. 297

nung 22 (t); durch Q wird die Strahlgeschwindigkeit ,,moduliert'( (Abb. 2). Diese Geschwindigkeitsmodulation bringt bei der U'eiterbewegung des Strahls eine Dichtemodnlation in der Strahlrichtung hervor: Elektronen , die den Steuerspalt zu Zeiten eines Geschwindigkeits- anstieges passieren, werden ,,verdichtet", da spater austretende Elek- tronen zufolge ihrer etwas hoheren Geschwindigkeit die fruher am- getretenen ein- nnd uberholen. Umgekehrt werden die zu Zeiten einer Geschwindigkeitsabnahme durchtretenden Elektronen ausein- andergezogen. An einer Stelle s hinter dem Steuerspalt weist der urspriinglich in seiner Geschwindigkeit und Dichte homogene Strahl eine zeitlich periodisch schwankende Stromdichte aut.

s

I I I PO u ̂KJ -t

Abb. 1 Abb. 2 Abb. 1. Anordnung zur Dichtemodulation eines Elektronenstrahls

Abb. 2. Zeitlicher Verlauf der Elektronengeschwindigkeit beim Austritt aus dem Steuerspalt bei sinusformiger Steuerspannung

Ein solcher Mechanismus wird nach Bruche und Recknage!l) als Phasenfokussierung bezeichnet. Er besitzt insbesondere im Zu- sammenhang mit der Erzeugung kurzer elektrischer WelIen eine praktische Bedeutung. ffber die Foknssierungseigenschaften eines solchen Systems gibt eine kinematische Betrachtung AufschlnS 2). Sieht man von den elektrostatischen und magnetischen Krilften im Strahl ab, so bewegen sich die Elektronen hinter S kriaftefrei; jedes Elektron behalt die Geschwindigkeit bei, die es bei Austritt aus S besa6. 1st t die laufende Zeit, 7 die Austrittszeit &us S, vo( t ) die Geschwindigkeit beim Austritt, so gilt fur den zuriickgelegten Weg hinter dem Steuerspalt

In einem s, t-Diagramm (Elektronenfahrplan) bilden die Bahnen eine Geradenschar mit 7 als Parameter. Die Einhullende dieser Schar

s = v o ( t ) ( t - 7) .

1) Briiche u. Recknagel , Ztsehr. f. Phys. 108. S. 459 1938. 2) Vgl. F. Borgnis u. E. Led inegg , Ztschr. f. t e c h Phys. 21. S. 256

1940 und dortige Literatnrhinweise.

298 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

ist der Ort aller Punkte, in denen sich bei S zeitlich benachbarte Elektronen treffen ; in Analogie zu optischen Erscheinungen wird sie auch als Kaustik, der Steuerspalt als Lime bezeichnet (Abb. 3). Auf

r t - Abb. 3. Einhullende der Bahngeraden (Raustik) beizeitlich periodischer Steuer- spannung. Die eingezeichneten Bahn- geraden entsprechen den WertengroBter und kleinster Austrittsgeschwindigkeit

am Steuerspalt

der Kaustik wird' die Strahl- strdmdichte unendlich. Ein be- sonders ausgezeichneter Punkt der Kaustik ist die SpitzeF; dort treffen sich nicht nur zwei be- nachbarte Elektronen, wie auf den ubrigen Punkten, sondern drei. Die Stromdichte wird dort von hoherer Ordnung unendlich, die Spitze F bildet einen Fokus zweiter Ordnung. obe r den zeit- lichen Verlauf der Stromdichte an irgendeiner Stelle s hinter der Linse geben die kinematischen Betrachtungen ebenfalls Auf- schluB. Die Stromdichte schwankt periodisch. Im Fokus besitzt sie eine Unendlichkeitsstelle, fur

s > s, geht sie 2mal innerhalb einer Periode durch unendlich, wie nus Abb. 3 abzulesen ist. Fu r praktische Anwendungen ist meist weniger der Verlauf der Strahlstromdichte selbst als deren zeitliche

Abb. 4. Grundwellenamplitude j', der Stromdichte in Abhangigkeit vom Ab- stand 8 vom Steuerspalt bei kleiner sinusformiger Steuerspannung und Ver-

nachlassigung der Raumladung

Fourierzerlegung, d. h. die Amplituden der Grund- und der Ober- wellen i n Abhangigkeit von s von AufschluB. Abb. 4 gibt als Bei- spiel den Verlauf der GroBe j 1 / 2 j , (jl Amplitude der Grundwelle, j , Gleichstromamplitude) bei kleiner sinusformiger Modulation. Die Ordinate stellt zugleich, wie sich leicht zeigen lafit, den ideellen

Borgnis u. Ledinegg. Theorie d. dichtemdul. Elektronenstrahls usw. 299

Wirkungsgrad bei der Schwingungserzeugung mit derartigen An- ordnungen dar ').

Die kinematischen Betrachtungen vernachlassigen die elek- trischen und magnetischen Krafte im Strahl. Man wird jedoch er- warten konnen, daB die ,,Giite" der Fokussierung besonders durch die Ranmladungswirkung, d. h. die abstoBenden Krafte der Elektronen im Strahl bei hoheren Stromdichten beeintrachtigt wird. Die folgenden Untersuchungen vermitteln einen Einblick in die Wirk- samkeit der durch die Raumladung hervorgerufenen Krafte. Voraus- gesetzt wird eine sinusformig modulierte Linse.

Ein geradliniger Strahl von begrenztem Querschnitt, der aus der &hung des Steuerspaltes heraustritt, ist zweierlei Effekten unter- worfen : der radialen Aufspreizung und der axialen ,,Dekompression". Vom ersteren Effekt sehen wir im folgenden ab, da wir ein ebenes Problem behandeln, d. h. den Strahl in zu seiner Bewegungsrichtung senkrechten Ebenen als unendlich ausgedehnt betrachten. Der Strahl- aufspreizung la6t sich durch elektrische oder magnetische Linsen begegnen ; die axiale Dekompression kann man jedoch keinesfalls beseitigen.

2. Die Bahngleichung der Btrahlelektronen

Wir betrachten eine unendlich ausgedehnte ebene Elektronen- stromung (Abb. 5). Die elektrische Feldstarke E besitzt nur eine Komponente parallel zu s und ist eine Funktion von s und der Zeit t. Aus dem Steuerspalt trete ein zeitlich konstanter

(wir beziehen uns im folgenden - stets auf eine Flache von 1 cm2), dessen Trager eine zeitlich modu- Lierte Qeschwindigkeit vo (r) be- aitzen; T ist die Startzeit der Elektronen am Steuerspalt, t die laufende Zeit. Magnetische Wirkungen werden auBer acht gelassen, cine Berucksichtigung derselben ist im Rahmen einer Behandlung als ebenes Problem nicht moglich. Da die magnetischen Wafte, wie bekannt, der abstoBenden Wirkung der elektrostatischen Kriifte entgegen gerichtet sind, wirken sie sich nur giinstig aus.

Strom mit der Stromdichte j, 6 i i frl

------- -

c-- f t ~ 2'

t = t 1 Abb. 5 Schema der betracbteten Anordnung

1) D. L. W e b s t e r , J. appl. Phys. 10. S. 501. 1939.

300 A-llijialen der Phgsik. 5. Folyc. Bnnd 13. 1943

Die Bewegungsgleichung fiir eiii Elektron lautet unter dieserr Voraussetzungen

(1) ) )1 6' = e E (s: 1) .

s = s (1. 7 ) ;

Die Integration TOI: (I) Iiefert

die Startzeit r t u t t :LIS Parniiieter auf. I T ) k m u nian soinit gewhriebeu denken in der Form

E ( t j t) ist die das zur Zeit r gestartete Elektron jeweils begleitende Feldstarke. Die Raumladungsgleichung lautet ini praktischen Ma& system ( E = 0,886-10-13) fiir das ehene ProlJleni

(11) d E - rJ s 6 . - (s. t i .

wenn p die Raurnladung iii CouLjcm:' bedeutet. Als dritte Grundgleichung benijtipt man die Beziehung fiir den

totalen Strom 1. der sich ails Konvektions- und Verschiebungsstrom zusanimensetzt :

a 6 j ( t , = ! ' V + c . (111) d t

Mit (Ia) und (11) folgt ,

Der Term auf der rechten Seite stellt die partielie Ableituug von E nach t bei festgehaltenem r dar ; es ist

GI. (111) laBt sich daher schreiben l)

(111 a)

Wir setzen iin folgenden den iiu6eren Strom als zeitlich konstant voraus; mit jet) = j,. folgt

Durch Integration erhalt man

1) Vgl. dam W. 0. S c h u m s n n , Ann. d. I'hys. 15. S. 813. 1932 und J . Mii l ler , Hochfr. l'eehn. u. Elektroak. 41. 156. 1933.

Bmgnis u. Ledinegg. Theorie d. dichtemodul. Elektronenstrahls usw. 301

wenn E, die zur Startzeit an der Lime wirksame Feldstarke bedeutet. Damit wird aus (Ia)

s = ~ = -vn (t - r ) -t $ E, ( r ) . (3) d t m e

Hieraus durch Integration

.. d 1‘

1 eJ 3 9JL & nz s = v = -- - - O - ( t - rj? + >-~, , ( r ) ( t - r ) + u Ot ri t 4)

und

(5) 1 e j 1 e 2 (t - d 3 + -7 6 m e - m s = E, ( t ) (t - r)? + V, (ri (t - r) .

Wir setzen im folgenden E,(t) an der Lime gleich Xull; fiihren wir weiterhin znr Abkurzung ein

D = p i o (6) JJk E ’ so folgt mit (5)

(7) s = t ’ot t ) ( t - 5) + (t - TI’.

Der EinHuB der Raumladung driickt sich in dem mit D behafteten Glied in (7) aus; das Verhalten ohne Beriicksichtigung der Raum- ladung erhalt man im Grenzfall verschwindender Stromdichte mit D = 0.

Die angegebenen Gleichungen gelten nur unter der Bedingung, daB sich Elektronen im Strahl nicht iiberholen; andernfalls trafe man an Orten hinter solchen ~berholungsstellen Elektronen mit (endlich) verschiedenen Geschwindigkeiten an. Dies widerspricht aber der G1. (III), bei der nur Elektronen einer einzigen Geschwindigkeit v angesetzt sind. Alle folgenden Uberlegungen gelten daher nur bis zu jenen Stellen des Elektronenstrahls, wo sich Elektronen . erstrnalig einholen oder - und auf diesen Fall werden wir besonders ein- gehen - die Verhaltnisse liegen so, daB iiberhaupt keine Ein- bzw. fjberholnngen eintreten.

Die Geschwindigeit wo beim Austritt dcr Elektronen ails der Linse ist eine Funktion der Startzeit T . Bei sinusformiger Yteuer- spannung gilt

t 8) v = i, 1/ 1 + a sin m t , wobei 5, die durch die Beschleunigungsspannung U, vermittelte StrahlgeschR indigkeit beim Eintritt in die Linse, w die Kreisfrequenz der Steuerspannnog und a den Aussteuerungsgrad bedeuten. Fur bleine Aussteuerungen machen wir von der Entwicklung

~~-

21 = e,, (1 + u sin w r + . . .) (9) 2 Gebraach.

90.2 Anncden der Physik. 5 . Folge. Band 43. 1943

3. Bedingungsgleiohung fur das Auftreten einer Kaustik

Die Balinen der Elektronen mit der Startzeit t als Parameter wurden durch (7) beschrieben; ihre Einhiillende liefert die Kaustik. Es ist mit 17)

(7 a)

Durch Differentiation nach t (gekennzeichnet durch eineii Punkt) folgt

(10)

G1. (7 a) uud (10) liefern msammen die Parameterdarstellung der Iiaustik iuit t als Parameter. t - t ist die Laufzeit eines Elektrons von der Linse bis zur Kaustik. Man erhalt dafiir aus (10)

D, o,, und o , ~ sind positiv, daher ist t - t entweder a) positiv

wenn a) der positive Bereich von 0, genommen wird (nur in diesem

Bereich tritt eine Einholung ein) und ZD:'., < 1 oder b) fiir alle z

die Bedingung

2DL0, > 1

oder b) komplex,

ru-

00 (12)

erfullt ist. benachbarter Elektronen mehr ein. folgt mit (8) und (12)

I m letzteren Fall tritt iiberhaupt keine uberholung Fur sinusfiirmige Aussteuerung.

> 1 . 8 0 (1 + a sin o zf'* 2 0 3 , - = ~~

uo2 aew'gO cos2o I

Dies ist fur alle t der Fall, wenn

Mit Einfiihrung von D aus (6) definieren mir eine ,,Kritische Strom-- dichte"

(144

3 z c oder mit Einfiihrung der Wellenlange i. = =-- und der Be-

schleunigungsspannung U - 6J

nz 8,' 0 - 2 e

Borgnis u. Ledinegg. Tho& d. dichtemdul. Elektronenstrahls ww. 303

zahlenmatlig

j, = 13,27 a1 __ u,,'" [.Amp./cm2]. - (1 - a ) ' : 1 2

(14c)

Mit (13) folgt dann: ,,Ist die Strahlstromdichte groBer als die unter (14) angegebene

kritische Stromdichte j,, so holen sich die Strahlelektronen infolge der Raumladungswirkung nirgends mehr ein".

Z. B. erhalt man bei U, = 1600 Volt, ii = 20 cm und a = 0,l eine kritische Stromdichte j , = 15,6 mA. Bereits bei dieser Stromdichte tritt unter den gewiihlten Verhaltnissen keine Fokussierung in dem bisher gebrauchlichen Sinn mehr auf. Das Beispiel zeigt, dab im Fall des ebenen Problems schon bei relativ geringen Stromdichten der EinfluB der Raumladung erheblich werden kann.

Wir werden einem wesentlichen Teil der folgenden Betrachtungen die Voraussetzung j , > j, zugrunde legen; damit erfiillen wir die oben e r w h t e Bedingung, daB nur Elektronen oinerlei Geschwindigkeit vorhanden sind, an allen Stellen hinter der Linse. Die ubrigen Be- trachtungen, bei denen j , < j , nicht vorausgesetzt ist, gelten nur bis zu der in diesem Fall vorhandenen Kaustik.

Mit (7) und (10) laBt sich eine Abschatzung gewinnen, wann die Raumladungswirkung vernachlassigt werden kann; wir beschrankeu uns dabei auf kleine Aussteuerungsgrade. Fur j o = 0 und kleine a ergibt sich fur die Lage sr. der Spitze (vgl. Abb. 3) und die zugehorige Laufzeit l) 05)

Aus (10) sieht man, daB der Raumladungseinfluh vernachlassigt werden kann, wenn

2 (t - r)p = - . 2 % . S p n - a w ' a m

D -(t - ?)"So. (16) 2

[Unter dieser Bedingung ist auch in (7) das mit D behaftete Qlied vernachlassigbar.] Fiir praktische Zwecke geniigt es, die Verhaltnisse bis etwa zum doppelten Abstand der Spitze zu betrachten. Mit (15) folgt dann aus (16)

8D (17) a x o s 8 , < 1 - Mit Einfiihrung von j,, I und 0, erhalt man

1) F. Borgnie u. E. Ledinegg, a. a 0.

304 Aiinulen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

Bei Stromdichten nach (15) ist bis zum doppelten Fokusabstand bei kleinen Aussteuerungen cler EinfluS der Rnuniladung rernachlassigbar.

4. Kaustik und Stromdichte

Fur j , < j , ist eine Kaustik als Einhiillende der Elektronenbahnen nach (7) vorhanden. Ihre Gleichung mit t aIs Parameter lautet mit (78) und (1 1) unter Einfiihrung von (8) bei beliebiger Aussteuerung

u s - B, 11 + T s i n wr\t - T\ - ,i - = o

o a ~ ~ c o s z - ( ~ * i1 - s I , (1 + a s i n o r < " - - . 1

CK'WPi(UCOS'(IJT /

Abb. 6. Verlauf der Einhiillenden der Gahn- Abb. 7 . Prinzipieller Verlauf der Kaustik geraden (Kaustik) bei verschiedencn IVerten

GI. (19) mit den W'erten 0 - 0 , 5 , i := 1, (BJ =%I

bei verschiedenen Stromdichten

fiir sinusfiirmige Stenerspannung. Dk ellt- spricht dem kritischen Wert der Stromdichte

der Stromdichte (hzn-. von Di, Lerrchnet n:tcli CDi < 4 < n3 < DL1

fiir sinusfiirmige Stenerspamiiing

AI-,h.6zeigtfurn=O,j dieEinhullende. berechriet nachjl9)fiir einigewerte ron D. I m l'rinzip ha t die Kaustik eine sichelartige Forol. I m Grenzfall rerschwindender Stromdichte (D = 0) ist die obere Spitze der Sichel ins Uneridliche geriiclit: niit zunehmeuder Dichte schrumpft sie his auf eiuen Pankt zusaninieu. der bei der kritisclien Stromdichte j , erreicht wird. Fur griiBzre Stronidichten existiert, \vie besprochen, keine Kaustik mehr (Alhb. 7).

Die Stromdichte i nu eiueni Ort s in -4bhSngiglieit von der Zeit t ist gegeben (lurch')

1) F. U o r g n i v 11. E. L e d i n e g g , Z. f. t e c h . l'hys. 21. S. 256. 1910 11.

23. s. 306. 1912.

Borgnis u. Ledinegg. Theorie d . dichtemodul. Elektronenstrahls usw. 305

Aus (7) folgt durch Differentiation nach T bei konstantem s

und hieraus D 2 - U" (t - 1) + -- ( t - I)'

II v, + '' (' -

1 + 2v" (t - d8

(21)

Damit nach (20) lJ

. . 1 = lo I J

UO - vo

Dieser Ausdruck fur die Stromdichte zahlt nur die Elektronen, die innerhalb der zu den betrachteten Bahnen gehorigen. Periode aus- getreten sind. Fur den Fall, dai3 sich Elektronenbahnen verschiedener Perioden schneiclen sollten, ist dieser An- teil zu (20) besonders hinzuzufiigen. Wean keine Kaustik existiert. lgBt sich leicht nachweisen, daB keinesfalls solche fjber- schneidungen von Elektronenbahnen aus verschiedenen Perioden vorkommen ; wir werden hiervon weiter unten Gebrauch machen.

Auf der Kaustik Nird die Strorndichte unendlich, da der Neuner von (20) zu- folge (10) verschwindet. Es sei bemerkt. da8 die Strom- bzw. die Ilaumladungs- dichte auch bei der strengen Beriick-

1 - -(t - z) +, (t - r ) 8 P)

II I ' \

I \ I LO/ p. i -=oJ -.f

ax sichtigung der elektrischen Krafte im ~ -=cn Strahl den M'ert Unendlich annehmen d S

kann. Die elektrische Feldstarke bleibt, Abb.8* PrinzipiellerVerlauf des elektrischen Feldes und damit wie man aus (2) erkennt, immer endlich der Kraft auf ein Elektron Bu

und damit auch die Kraft auf ein einzehes einer Ste1le ur,elldlicher R ~ ~ ~ . Elektron. Das Feld besitzt an der Stelle, ladungs- bzw. Stromdichte wo die Dichte unendlicli ist, lediglich eine umendlich steile Tangente (Abb. 8). Dieser Umstand riihrt von der Rehandlung des ebenen Problems her, bei dem von vornherein radiale Krafte ausscheiden. I n Wirklichkeit werden wegen des end- lichen Strahlquerschnitts radiale Krafte eine unendliche Dichte auf der Kaustik verhindern.

Annalen der Phyaik. 5. Folge. 43. 20

SO6 Anmlq der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

Far j , > j , ist eine Kanstik nnd damit Stellen unendlicher Dichte nirgends mehr vorhanden. Die Stelle der Kanstik vertritt dann etwa die Kurve der maximden Stromdichte im s, tDiagramm. Man gewinnt sie prinzipiell aus (22) durch Differentiation unter Hinznnahme von (7). Wir gehen hier nicht weiter daranf ein, da sie praktisch nicht so sehr von Interesse ist. Von groBerer Bedeutung iat die Fourierzerlegung der Stromdichte nach der Zeit in Abhiingigkeit von s, der wir uns im folgenden sunrenden.

5. Fourierzerlegung der Stromdicbta

Wir beschranken uns auf kleine Anssteuerungen und Strom- dichten, die oberhalb der kritischen Stromdichte liegen; hier haben unsere Ansgangsgleichungen uneingeschrankt Qeltung. Die Fourier- zerlegung der Stromdichte in komplexer Form liefert

+ m

(23)

mit -m

+*

Unter Einfiihrung von (20) folgt mit Transformation auf r

i25) - -n

Zur AusfIihrung des Integrals i n (25) benotigt man t ( ~ ) , das implizit durch (7) gegeben ist; man hat dabei eine Gleichung dritten Grades aufzulosen. Ftir kleine a! konnen wir so vorgehen, dab wir uns t (r) an6 (7) zunachst fur a = 0 gelost denken. Ftihrt man fiir (t - T ) ~ = ~

noch To ein, so folgt mit (7) D

mit einer reellen Liisung

Man erhalt z. B. bei Aufliisung durch Hyperbelfunktionen

- T03 + fi,, T,) - d = 0 (26) 6

(27) T,) = To(% @", Q.

Die Idsung der ,,gestorten" Gleichung (26) bei kleinem a: (29) - 6 - ( t - r ) 3 + ~ o ( 1 + ~ s i n o r D

Borgnis u. Ledinegg. Theorie d . dichtemodul. Elektronenstrahls usw. 307

folgt unter Beschrankung auf Glieder 1. Ordnung in cr (beispielsweise nach der ,,regula falsi") zu

t - - t = T , - a 3 To

Damit folgt aus (25) mit w T = 5

Mit Einfiihrung der Besselschen Funktion

--n

folgt, wenn wir noch die Amplitude der reellen Fourierzerlegung j p = 21jpl einfiihren, die p t e Harmonische der Stromdichte aus

Fur verschwindende Stromdichte erhalt man mit

(33)

in fjbereinstimmung mit einem bekannten Ergebnis von Webs te r 1). Der Ausdruck f9/2jo, den wir mit q bezeichneten, stellt gleichzeitig den ideellen Wirkungsgrad bei der Schwingungserzeugung durch dichtemodulierte Elektronenstrahlen dar.

Abb. 9 gibt fur ein Zahlenbeispiel ( U , = 1600 Volt, I = 20 cm, a! = 0,l) den Verlauf i i ( s ) nach (32) fur die Grundwelle ( p = 1). Bei verschwindender Raumladung erhalt man den bekannten Verlauf rnit einem Maximum von I/ = 0,58. Die kritische Stromdichte, oberhalb derer die Beziehung (32) erst gilt, liegt bei etwa 13 mA2). Der

1) D .L .Webster , a. a. 0. I3 27rra U0';?

2) Diesen Wert erhait man ausj,= - >------, das ist die Beziehung (14c) 1" fur kleine a. Nachdem wir uns in diesem Abschnitt auf kleine a hesehranken, hat man konsequenterweise im Nenner von (14c) a gegen 1 zu vernachlassigen. Der genaue Wert von ,j, nach (14c) ist l5,6 mA; man sieht,'daB der Fehler noch hei a = 0,l nicht sehr groS ist.

20 *

4 5 4

Die maximal erreichbaren t\'erte von I , = in Abhiingigkeit

von j,, U, und i. lassen sich aus (32) (lurch Difrereritiation dcs Arguments von J p nach s gewinnen. Wie wir gleicli zeigen, bleibt in dem Geltungsbereich von (321, d. 11. fui. j , > j r , das Argument von J p stets unter p ; somit betindet man sich unterhalb des ersten Maximums von Jpr wo J , eine monoton waclisende P'unktion ist. Es geniigt deshalb, zur Feststellung der Maximalwerte Ton ?I das Nsximum des Arguments von J , festzustellen. Man erhalt aus (32) den Maximalwert von ti fur den T o - f e r t

(34)

und damit 71,,,ar selbst zu

Go

\

\I0 =o \ 7'210 /

/

\ I . \

/ I

(35)

Borgnis u. Ledinegg. T h r i e d . dichtemodul. Elektronenstrahls usw. 309

Die zugehorige Stelle s-, an der das Maximum der pten Harmo- nischen liegt, folgt mit TI nach (34) aus (26) z u

Bemerkenswert ist, da8 sm unabhangig von p, I ~ I und u ist. An der Stelle s,,, hahen daher alle Harmonischen ihr Maximum. Von rt ist, da (36) nur fur kleine a gilt, sm i n erster h'dherung unabhangig;

U 7UU ZOO 3UU 4UU 5UO 6# 7UU - Abb. 10. AbhXngigkeit des Maximalwerta j , , , , der Grundwelle der Stromdichte von jail/ Vo (Einstromung j . in mA/cm', Beschleunigungsspannung TI, in kV)

mit der Wellenltinge 1 81s Parameter fur eine Aussteuerung von n = 0 , 1

bei groberer Aussteuerung wird eine Abhangigkeit von a auftreten I).

Xuch fur j , < j , wird sm, selbst bei kb inen Aussteuerungen, von p, 01 und M abhangig werden; dies zeigt der Wert von s,,, bei ver- schwindender Stromdichte, der aus (33) fur p = 1 z. €3. zu

gefunden wird2). DieVerschiedeiiheit der Dichteverhaltnisse in den beiden Bereichen

j o s ~ j k macht es verstiindlich, da6 in den beiden Bcreichen so ver- schiedenartige GesetzmaBigkeiten wie beispielsweise f iir s, herrschen.

1) Zur Moglichkeit dcr Fourierzerlegung der Stromdichte bei groberer Anasteue:ung vgl. Ztsehr. f. techn. Phys. 23 (1943) S. 307ff. GI. (9) bia (19). Die Amplit.uden der Hermoniscben ergeben sic11 naeh dem gleichen Yorgmg in der Form schnell konvergierender Besselfunktions-Reihen.

2) I). L W e b s t e r , a a. 0.

310 Anlzalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

Die Giiltigkeit von (35) ist durch den minimalen D-Wert nach (13) begrenzt. Setzt man Dmlo in das Argument von (35) ein, so erhalt man

wie oben bemerkt. ZahlenmaBig liefert (35) niit Einfiihrung von 1, 91, < J , (P)

und U,

Abb. 11. Abstand der Stelle maxirnaler Stromdichte von der Steuerlinse S, in Abhiingigkeit von der Einstromungj. (in mA/cm$) mit der Beschleunigungs-

spannung (in Volt) als Parameter bei kleinen Aussteuerungen

ebenso aus (36) uo3 . i,, '- sm= 6, l , [cm].

Abb. 10 zeigt den Verlauf von fin, fur die Grundwelle (p = 1) als Funktion von j,/vF bei einer Aussteuerung von a = 0,l. Abb. 11 gibt den Ort sm des maximalen 17 als Funktion der Strom- dichte mit U , als Parameter.

Den vorangehenden Betrachtungen liegt die Annahme E, = 0 am Steuerspalt zugrunde. Eine zeitliche Schwankung von E,, kann bei konstanter Stromdichte i, fur kleine Aussteuerungen und schnialen Steuerspalt in erster Naherung vernachlassigt werden, wie eine ein-

( 3 6 4

Borgnis U. Ledinegg. Tho& d. dichtemodul. Elektronenstrahls USW. 311

fache Betrachtung zeigt. EE bereitet keine prinzipielle Schwierigkeit, die Rechnung in analoger Weise auf den Fal l Eo .f- 0 xu erweitern. Hierzu bedarf es weiterer Voraussetzungen tiber die Anordnung, in der sich der Elektronenstrahl bewegt. 1st die Elektronenstromung z. B. zwischen zwei im Abstand d befindlichen metallischen Ebenen eingeschlossen, die auf gleichem Potential gehaIten werden, so tritt

am Steuerspalt ein mittleres Gegenfeld E, = - !$- auf. Ein solches

Gegenfeld wird man jedoch wegen seiner ungilnstigen Wirkung auf die Fokussieruug zu vermeiden trachten; wird es durch eine zwischen den Ebenen angelegte Spannung auf Null kompensiert, so ist der hier behandelte Fal l E, = 0 realisiert.

In Wirklichkeit liegen die Verhilltnisse im allgemeinan zweifellos gunstiger, rtls die vorstehenden ltechnungen ergeben, und zwar wegen des endlichen Strahlquerschnitts. Die Raumladungswirkung ver- ringert sich hier gegenuber der Wirkung bei unendlich aus- gedehnter Stromung unter Umstilnden betriichtlich l). N a n wird daher in praxi gunstigere, d. h. hohere Werte von j, und q, als oben angegbben, erwarten dilrfen.

ti. Zusammenfaneung.

Uutersucht wird der EinfluB der Raumladungskrifte in einem ebenen geschwindigkeits- und damit dichtemodulierten Elektronen- strahl. Zufolge der aeitlich schwankenden Austrittsgeschwindigkeit an der ,,Steuerlinser6 konnen sich Strahlelektronen Iangs ihrer Bahn ein- uud uberholen. An den uberholungsstellen wird die Strom- dichte unendlich, die beteiligten Elektronen werden dort ,,fokussiert.'. Die abstoBendeii elektrischen Krif te in1 Strahl wirken einer solchen Pokussierung entgegen; bei geringen Stromdichten kommt trotxdem eine Pokussierung xustantle. Es existiert jedoch eine ,,kritische Stromdichte" j,, bei deren ujberschreitung die Raumladungskrafte eine gegenseitige Einliolung von Strahlelektronen ganzlicli verhindern. Bei Stromdicliten oberhalb der kritischen Stromdichte findet keine Fokussierung im iihlichen Sinn mehr statt.

Fur die unendlich ausgetlelinte ebene Elektronenstromung wird f u r den Fal l verschwindender Feldst i rke a n der Steuerlinse

1) Dies zeigt die Betraehtung der elektrostatischen Verbfiltnisse einer axialeymmetriaeben kreiszylindrischen hum~adungaverteilung zwiachen zwei auf gleichem Potential befindlichen, unendlich ausgedehnten metallischen Ebenen, woriiber an anderer Stelle berichtet werden 8011.

312 Annakn der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

die kritische Stromdichte 1, fur eine sinusformige Steuerspannung angegeben, ebenso eine Abschatzung , bei welchen Stromdichten die Raumladungskrafte veruachlassigt werden konnen. Fur Strom- dichten unterhalb i, werden die Fokussierungsverhiiltnisse unter- sucht. Fiir Stromdichten oberhalb i, liefert die zeitliche Fourier- zerlegung der Stromdichte bei kleinen Aussteuerungen ein Bild von der raumlichen Verteilung der Amplituden der Grundwelle und der Oberwellen der Stromdichte hinter der Steuerlinse; Lage und GroSe der Maximalwerte der Amplituden werden an- gegeben.

G r a z, I. Physikalisches Institut der Universitat.

(Eingegangen 7. Juli 1943)

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