Zur Theorie der D i r a c-Teilchen mit orientiertem Spin Von A . S o k o l o w und B. Ker imoio

Inhaltsiibersicht Es wird gezeigt, da13 Erscheinungen, die mit der Kichterhaltung der

Paritat bei schwacher Wechselwirkung zusammenhangen, mit Hilfe von Dir a c -Gleichungen unter Berhcksichtigung der Spinorientierung untersucht werden konnen.

1. EinPiihrung

Vor kurzem faiiden Lee und Yangl ) 2) eine neue fundanientale Eigenschaft der Elementarteilchen, die Nichterhaltung der Paritat bei schwachen Wechsel- wirkungen.

Eine besonders gute theoretische Lhtermauerung dieser Idee lieferte die Betrachtung des spontanen Zerfalls von Teilchen, bei den1 Neutrinos emittiert werden (p-Zerfall, Zerfall von n- und p-Mesonen).

Entsprechend der neuen Theorie hangt die Nichterhaltung der Paritat mit verschiedeneri Werten der Spinprojektion auf die Bewegungsrichtung des Neutrinos bzw. des Antineutrinos zusammen.

Einige Voraussagen von Lee und Y a n g wurden experimentell bestatigt (obwohl bisher niir eine gute qualitative ubereinstimmung mit der Theorie erzielt wurde). Es handelt sich hierbei sowohl urn die Untersuchung der polaren Anisotropie der Strahlungsintensi ta t beim Zerfall von Teilchen mit orientierteni S ~ i n ~ ) ~ ) als auch um die Betrachtung der Polarisationseigen- scahaften beim Zerfall von Teilchen mit beliebig gerichtetem Spins-8). Den Berechnungen zufolgeg) lo) miissen Elektronen mit orientierteni Spin zirkular polarisierte Photonen emittieren.

~ -_ 1) T. Lee u. C. Yang, Phsyir. Rev. 104, 254 (1956). 2) T. Lee u. C. Yang, Physic. Rev. 105, 1671 (1957). 8 ) C. Wn, E. Ambler, R. Hayward , D. Hoppes 11. R. Hudson, Physic. Rev.

4) M.Burgy, E. Eps te in , V. Krohn , T. Novey, S. Rahoy, G. Ringo u. V.

6 ) R. Garwin, L. Ledermann u. M. Weinrich, Physic. Rev. 105, 1415 (1957). 6 ) J. Friedemann u. V. Telegdi, Physic. Rev. 105, 1681 (1957). 7 ) H. Frauenfelder, R. Bobone u. a., Physic. Rev. 106, 386 (1957). 8 ) M. Goldhaber, L. Grodzins u. A. W. Sunyar , Physic. Rev. 106, 826 (1957). 9 ) J. Nadshafow, Nachrichten der Staatl. Mosk. Universitiit (UdSSR) im Druck. 10) K. McVoy, Physic. Rev. 106, 828 (1957).

106, 1413 (1957).

Telegdi, Physic. Rev. 107, 1731 (1957).

A . Sokolow u. B. Kerimow: Zur Theorie der Dirac-Teilchen mil orientierlem Spin 47

Als Wellengleichung M urde fur das Neutrino die sogenannte Zweikoni- ponentengleichung verwendet, die nur dann Gultigkeit besitzt, wenn die Masse des Neutrinos genau Xu11 ist2) 11) 12).

Andererseits wurde die allgemeine Theorie der D i rac -Teilchen mit orien- tiertem Spin in folgenden Arbeiten entwickelt 13-15). Im vorliegenden Artikel wollen wir diese Theorie zur Beschreibung von Erscheinungen benutzen, die mit neuen Neutrinoeigenschaften zusammenhangen. Diese Arbeiten werden ausfiihrlich im 0 21 der Monographie16) besprochen [siehe auchl')] .

2. Berechnung der Illatrixelemente unter Beriicksichtigung der Spinzustlnde

Bekanntlich hat die D i rac -Gleichung fur freie Teilchen folgendes Aus- sehen :

(1) l i a

(-7%-

mobei H die Hamilton-Funktion ist:

Um die Spinzustande eindeutig einzufuhren, mussen wir eine Zusatzbedingung verwenden :

Dann sieht die Losung folgenderniafien aus :

+ Hier ist $ = E tik - der Impuls, E = E c ti K = E c ti v k 2 + k2 - die Energie des Teilchens ; m, = c- - die Ruhniasse; E bestimmt das Vorzeichen der Energie und s bedeutet die doppelte Projektion des Spins auf die Bewegungs- richtung des Teilchens. Bei s = 1 ist der Spin mit der Bewegungsrichtung gleichgerichtet, bei s = - 1 ist der Spin der Bewegung des Teilchens ent- gegengerichtet.

Die GroBe C+ C charakterisiert die. Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens im Zustand ( k , s, E ) .

12,h

11) A. Salam, Nuovo Cimento, 5 , 299 (1967). 12) T,. Landau, Nuclear Physics 3, 127 (1957). 13) A. Sokolow, Journ, of Physics (UdSSR), 9, 363 (1945). 1 4 ) A. Sokolow u. A. Muchtarow, Nachrichten der Staatl. Mosk. Univers,

15) A. Solrolow u. B. Kerimow, Nuovo Cimento 5, 921 (1957). 16) A. Sokolow, ,,Quantenelektrodynamik", Akademie-Verlag Berlin 1957. 17) A. Solrolow, J. exp. theoret. Phys. (UdSSR) 33, 794 (1957).

(UdSSR) 8, 63 (1948).

45 Annalen der Physik. Y. Folge. Band 2. 1958

Die Amplituden b (k, s, E ) bilden eine vierreihige, einseilige Matrix's) : +

1

b=vz (5)

* e n wo 8, spharische Winkel des Vektors k und 8 - - - 4' (1 - s) sind. In dieser Arbeit wollen wir die Theorie der D i rac -Teilchen mit orientiertem

Spin auf den Fall verallgemeinern, in dem die Teilchen verschiedene Massen besitzen (kh =+ k,,).

Bei der Berechnung der Matrixelemente werden wir folgenden Ausdruck erhalten [s. a. 14) Gl. (21,1)] :

,- 2

4. + -+ -+ (ypnv*, ypv> = b+ ( k , S, 8 ) yp'v' b SI, E') b+ (k', sl, yllu b ( k , s, E ) . (6)

Hier ist b 6, s, E ) die Spinamplitude eines Dirac-Teilchens mit der Ruhmasse

Bei der Berechnung der Matrixelemente lassen sich die Di rac -Matrizen

(7) wobei e4 = a, = I (Einheitsmatrix) ist. Unter der Matrix a, werden wir den Ausdruck (2%) verstehen, wo "n der Einheitsvektor in einer beliebigen drei- dimensionalen Richtung ist.

Dann finden wir fur das gesuchte Matrixelement (6) den Ausdruck [s.16)

G1. (21,15)] :

m6 = k;, tilt.

ypu bequem in folgender Weise darstellen [s. le) Gl. (21,13)] :

y P V = ep 0, = 0, ep; (p, v = 1, 2, 3, 41,

+ + 1 Id. 3 a,,, =T Spur 0,. (1 + s y--) a, ( I + sckk).

Nach Berechnung der Spur in den letzten Ausdrucken erhalten wir folgende Darstellung fur die GroRen ell, ,, und a,, ":

A . Sokolow w. B. Kerimou: Fur Theorie der Dirae-Teilehen mit orientiertem Spin 49

+

( Z . t ) ( Z . Z ) + & . G ) $ . t ) kk ' + s sr

Die in l6) [s. Formel (21,17) und (21,lS)l angefuhrten Ergebnisse konnendaraus gefunden werden, wenn wir k, = % setzen.

3. Der EinfluB der Spinorientierung beim Elektron und beim Neutrino auf den P-Zerfall und den Zerfall der n-Mesonen

Zuerst wollen wir die Theorie des Neutrinos mit orientiertem Spin fur die Analyse des Einflusses von Spinzustanden des Elektrons auf den ,!I-Zerfall benutzen17). Die allgemeinste, keine Ableitungen enthaltende Hamil ton - Funktion der Wechselwirkung in der gewohnlichen Theorie des ,!I-Zerfalls hat folgendes Aussehen :

u = gj CY: Oj yn) (Y: Oj ~ v ) , (12)

wo yg,yn die Wellenfunktionen des Protons und des Neutrons bzw. ye', y,, die des freien Elektrons und des Neutrinos sind; gj ist die Wechselwirkungs- konstante. Der Operator Oj, der sich aus 16 Dirac-Matrizen zusammensetzt, stellt alle moglichen Variationen des ,!I-Zerfalls dar ( j = S , V , T , A und P ) :

+ - + . -+

(13) 0, = A ; op. =ap = O L , i I ; OT = apv = @ 3 c T , % & a ;

0, = op = 0, iel; 0, = @ 2 . -+

Bekanntlich wird die Wahrscheinlichkeit fur den /?-Zerfall in der Zeiteinheit durch folgende Formel definiert :

W dK' dQ, dQ, = -+ K' VK'2-T (AK - K')2 dK' dQedQV, (14)

wobei das Matrixelement der Elektron-Neutrino-Funktionen folgendes Aus- sehen hat :

R = + gi M ; b: (k, s, e) 07 be (k', s' E ' ) 2 g,, Mi, b: @, s'E') 0i.b. (z, s, E ) , (15) * *

i'

Hier sind b, und be die Diracschen Spinamplituden des Neutrinos und des Elektrons, c ti AK = c ti(K, - K,) die Energiedifferenz von Neutron und Pro-

4 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 2

50 Annalen der Phys ik . 7. Folge. Band 2. 1958

* * + -c ton, p' = ti E' k: p = A E k die Impulse des Elektrons und des Neutrinos, rnb = ti kb/c die Ruhmasse des Elektrons. Die Ruhmasse des Neutrinos nehmen wir als Null an (k, = 0).

Bei der weiteren Berechnung der GroBen R beschranken wir uns hinsicht- lich des Nukleons auf die nichtrelativistische Naherung

Mit Hilfe der Formeln (lo), (1 1) konnen wir aus (15) die Werte fur R finden, und zwar fur erlaubte tfbergange unter Beriicksichtung der Spinorientierung beim Elektron (8') und beim Neutrino (s):

a) Skalar- und Vektorvariante:

wobei das Minuszeichen sich auf die Skalarvariante (8) und das Pluszeichen auf die Vektorvariante ( V ) bezieht.

b) Tensor- und Pseudovektorvariante

und c) Pseudoskalarvariante RP 0, wo die GroBen:

M = $ vi I yn d3 x, 3 = $ y$Zy,, d3 2, (19) die Matrixelemente beim tfbergang des Neutrons in ein Proton charakterisieren.

Analog konnen wir leicht den Wert fur R im Falle der Superposition der skalaren Variante und der Tensorvariante finden. Durch Einsetzen von R-Werten aus (16)-(19) in (14) und durch Integration iiber alle Flugrichtungen des Elektrons und des Neutrinos erhalten wir fur den B-Zerfall die Verteilung der Elektronen auf die Energien unter Beriicksichtigung der Spinorientierung beim Elektron (8') und beim Neutrino (s):

(20).

wo 1

239 c i i 2 F = . -K'1/K'2-k'2(dK-KK')2 0

ist Die erhaltenen Formeln (16)-( 19) und (20) gestatten eine Berucksichtigung

des Einflusses von neuen Spineigenschaften des Neutrinos auf den B-Zerfall,

A . Sokolow u. B. Kerimow: Zur Theorie der DiTae-Teilchen mit orientiertem s p i n 51

Um die Resultate von L e e und Y a n g zu erhalten, mussen wir fur Neu- trinos s = 1, fur Antineutrinos s = - 1 setzen. I n dieser Arbeit schlagen wir vor, fur das Antineutrino einen solchen Wert von s zu wahlen, da13 der ,!3- Zerfall mit einem Elektron immer mit einer Ausstrahlung eines Antineutrinos verbunden sei. Dann bedeuten in den Formeln (8)-(11) die Gro13en K', 2, s' und kh respektive die Energie, den Impuls, die Spinprojektion und die Masse des Teilchens, das mit dem Neutrino entsteht (z. B. Elektron oder p-Meson).

Wenn beim B-Zerfall ein Antineutrino emittiert wird (n + p + e- + Y), mussen wir E = -1, s = 1 setzen. Dann werden die Polarisationserschei- nungen fur emittierte Elektronen (E' = I) durch den Faktor - (1 aus den Beziehungen (20) festgelegt, wobei:

1 4 E E' s s'

Die Menge der Elektronen, deren Spin dem Impuls gleichgerichtet ist, isf; proportional Rl (s' = 1). 1st der Spin dem Impuls entgengegerichtet, dann fungiert R-, (s' = -1) als Proportionalitatsfaktor :

Der Polarisationsgrad der Elektronen beim j3-Zerfall eines nichtorientierten Kernes wird durch folgenden Ausdruck bestimmt :

Daraus erhalten wir :

wo v die Geschwindigkeit des Elektrons ist. Aus (22), (23) folgt, dalj Elek- tronen grofier Energien in der skalaren Variante und in der Tensor- variante der Theorie in ihrer Bewegungsrichtung vollstandig polarisiert sind ( Rfl = RT1 = 0 bei - N 1 . In der Vektor- und Pseudovektorvariante der Theorie sind sie entgegengesetzt zu ihrer Bewegungsrichtung vollstandig

: ) polarisiert RT = Rf = 0 bei- N 1). (

Erfolgt der B-Zerfall unter Emission eines Elektrons und eines Antineu- trinos, mu13 man in den Formeln (20) E' = 1, 8 s = 1 setzen. Dann erhdt man leicht fur den Polarisationsgrad der Elektronen einen anderen Ausdruck :

Ps T =-- ; , p v . a = ; - (234

Auf diese Weise folgt aus der Theorie des Neutrinos rnit orientiertem Spin, da13 beim ,!3-Zerfall der nicht orientierten Kerne im Falle der Emission eines Antineutrinos mit orientiertem Spin eine Polarisation P der Elektronen in der Bewegungsrichtung beobachtet werden mu13. Fiir erlaubte Obergange (reine Fermi-Ubergange oder Gamow -Teller-Obergange) betragt die maximale Polarisation - oder -- .

4* c " ( G 7

52 Annalen der Physik. 7. Folge. Bard 2. 1958

Die Existenz einer derartigen Spinpolarisation fur Elektronen, wobei der Spin der Bewegungsrichtung der Elektronen entgegengerichtet ist, konnte unliingst7) beim Zerfall der nichtorientierten Kerne des CoG0 experimentell nachgewiesen werden. Also wird fur Antineutrinos hei E = - 1 im Falle der V - oder A-Wechselwirkung die GroBe s = 1, aber im Falle der T- oder S-Wech- selwirkung s = - 1. Fur den Neutrino-Fall mu13 man die Zeichen andern.

Relativistische Elektronen rnit orientiertem Spin (der Bewegungsrichtung gleich- oder entgegengerichtet) emittieren zirkular polarisierte Bremsphotonen (Links- und Rechtspolarisation) 9, lo), Die Existenz einer derartigen Zirkular- polarisation der Bremsstrahlung der Elektronen, die von SrgO + YgO emi- tiert werden, wurde vor ganz kurzer Zeit experimentell nachgewiesens).

Gegenwartig ist es schwierig, sich fur die eine oder die andere Variante der Theorie zu entscheiden. Es ist moglich, da13 erst ihre Kombination zum Ziele fuhren wird.

Untersuchen wir jetzt den EinfluS der Spinorientierung des Neutrinos auf den Zerfall des n-Mesons. Als Beispiel betrachten wir den Zerfalln -+ p + v. In dem Koordinatensystem, in welchem das n-Meson ruht, hiingt der Im- puls des p-Mesons k, = - k‘ mit dem Impuls k, = k des Neutrinos wie folgt zusammen : k = k’. Der Wechselwirkungsoperator fur den Zerfall des n-Mesons (n + p + v) mu13 folgende Form haben:

+ + * +

+ +

(24) +

U=gCpzYv @ Z P P ’

In diesem Fall erhalten wir aus (15), (8)-(11), da13 die Wahrscheinlichkeit der Emission eines p-Mesons dem Faktor

1 R = < Y2*, Y24 ) =T e22 044 =

proportional ist. Wenn das Neutrino beim n-Zerfall vollstandig polarisiert ist (E = 1, k,, = 0), wird die Polarisation des p-Mesons (E ‘ = -1) durch folgen- den Ausdruck definiert :

R = + ( l + s ’ s g ) (1 f s ’ s ) .

Daraus ist ersichtlich, dal3 die emittierten Neutrinos beim Zerfall n+p + v in ihrer Bewegungsrichtung vollstandig polarisiert sein werden, da R nur dann von Null verschieden sein wird, wenn s’ = 1 ist, d. h. wenn Spin und Be- wegungsrichtung des p-Mensons gleichgerichtet sind (&’ = - 1).

Auf diese Weise kann man unter Zuhilfenahme der Theorie des Neutrinos mit orientiertem Spin bei der Wechselwirkungsenergie ohne Kombinationen der Gro13en und ihrer Pseudowerte auskommen. Man mu13 noch bemerken, da13 wir mit Hilfe der Theorie der Dirac-Teilchen mit orientiertem Spin in der Lage sind, auf zwei Arten sowohl die Eigenschaften des Neutrinos als auch die der Antineutrinos zu beschreiben: 1. s = f 1, E = 1 und 2. s = 5 1, & = -1.

Man erhalt vollig identische Ergebnisse nur dann, wenn die Ruhmasse fehlt : ko = 0. Diese identischen Ergebnisse dienten gerade als Grundlage bei der Beweisfuhrung der kombinierten Invarianzz) 12).

A. Sokdow u. B. Kerimow: Zur Theorie der Dirac-Teilchen mit orientiertem Spin 53

1st die Ruhmasse von Null verschieden (k,, + 0), so fuhren die Zustande 1. und 2. ft ir das Neutrino (oder Antineutrino) zu unterschiedlichen Resultaten. Deshalb erhalt man mit Hilfe dieser Theorie bei ko + 0 vier verschiedene Zu- stande. Jeder dieser Zustande zeigt fur sich betrachtet keine kombinierte Invarianz.

Zum SchluB sei noch bemerkt, da13 trotz der gleichzeitigen Anwesenheit von Teilchen (Elektronen, Protonen, Neutronen usw.) und Antiteilchen (Posi- tronen, Antiprotonen, Antineutronen usw.) unsere Welt deutlich asymme- trisch hinsichtlich der Anzahl der Teilchen und Antiteilchen ist. Es ist durch- aus moglich, daB diese Asymmetrie in unserer Welt gerade durch die Nicht- erhaltung der Paritat zum Ausdruck kommt. Wenn dies tatsachlich der Fall ist, dann muB die Asymmetrie, die mit der Paritat verbunden ist, in der ,,Anti- welt" gerade umgekehrt sein.

Mos k a u , Staatliche Universitat, Physikalische Fakultat.

Bei der Redaktion eingegangen am 24. Dezember 1967.