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Zur tensor ie l l en F o r m der w e U e n m e c h a n i s c h e n Gle ichungen des Elektrons.

Von Heinrieh Mandel in Leningrad (Petersburg).

(Eingegangen am 1. M~rz 1929.)

Es wird eine ftinfdimensionale Form der Diraoschen Gleichungen vorgeschla.gen und eine mSgliche geometrische Deutung des Wahrscheinlichkeitsfeldes ~.rtk besprochen~

1. Die fiinfdimensionale Betrachtung erwies sich fiir die geometrische Deutung der makroskopischen Elektrodynamik a]s gut geeignet. In der Vakuumelektrodynamik scheint es abet, dal] man eigentlich yon den

elektromagnetisehen We]len nur im Sinne eines Wahrscheinlichkeitswellen- feldes spreehen darf, dessen Amplituden das Vorhandensein der polarisierten

Lichtquanten* in derselben Art angeben, wie die Amplituden der so-

genannten ~F/k-Wellen das Vorhandenseln der po]arlsierten Elektronen. Die Analogie ist ia in der letzten Zeit bereits yon mehreren Seiten

hervorgehoben und besprochen worden.

In manehen Fallen des ~P'tk-Feldes kann wohl eigentlich yon einer quasi-makroskopischen Betrachtung des Einki~rperproblems die Rede sein, man denke etwa an ein Biindel yon monochromatischen Kathodenstrahlen in irgend einem i~ulleren Kraftfelde.

Deswegen soll hier die Frage naeh der geometrisehen Deutung aueh des ~F~-Feldes und der Diracschen Fe]dgleichungen gestellt werden.

2. Wir bedienen uns der yon W. Gor don** und J. F r e n k e l * * *

herriihrenden tensorlellen Form der D iracschen Gleichungen, wobei die We]lenfunktionen dureh einen Tensor ~p'ik dargestellt sind. Diesen Tensor schreiben wir fiinfdimensional folgendermal]en:

~p-ik ~=_ ~pT/k + ~[i ]. (1)

und ebenso einen zweiten Tensor ~ , wobei die Fiinterskalare ~p und

und die ( X - - X ) - Pseudoprojektionen des antlsymmetrlschen Teiles 1 4

~pik i m ~ g ~ F [''~] bzw.~ t~ i, i k~[ ,~]b i sau[kons tan teFaktore n ~ mg, g~

genau den Bezeichnungen der zi~ierten F renke l schen Arbe~t entsprechen.

* Vgl. P. Jordan , ZS. f. Phys. 44, 292, 1927. ** W. Gordon, ebenda 50, 630, 1928.

*** J. Frenkel , ebenda 52, 356, 1928. Der Verfasser hat mir liebenswiirdiger- weise die MSglichkeit gegeben, seine Arbeit noch im Manuskript zu lesen.

568 Heinr ieh Mandel,

3. Bekanntlieh* haben nur die ( X - X)-Pseudoprojektionen der 1 4

Fiinfervektoren**, und anderersei~s die X-Projek~ion derselben*** un-

mittelbare physikalisehe Bedeutung.

Deswegen ftihren wir die entspreehenden or~hogonalen Komponenten

• i des Gradienten ~ i ein; fiir i ~ 5 batten wir schon****

V i Ak . . . . . A i A k . ' ' , (2a)

fiir i ---- 5 definieren wir:

v ~ A k . . . ~ V ~ XS X , A , ' . . . (2b)

Daraus iolgt also z. B.: V l ~ ~--- V5 ~ i ~ 0, Itir i ~ 5.

Wlr be~rachten diese ftinf Differentialoperatoren V~, i ---- 1 . . . 5 als Komponenten eines symbolischen Ftinfervektors. Im folgenden be- nutzen wir also nicht den Vektor XTi (den fiinfdimensionalen Gradienten),

so.ndern immer nur V i - Demgem~ kSnnen wir die linke Seite der Gleichung (54) - - ZS. f.

Phys. 45. 285, 1927 - - jetzt aueh in der Form V~9~. schreiben; ftir

einen Tensor, wie 9~ uk, der vollstandig in der ( X - X)-Pseudoprojektion 1 4

liegt und yon x ~ (in der Riehtung der ,Zyllnderaehse") unabh~ngig

bleibt, ist ja

V , ~ - g;- V , = A , , i ~ 5.

4. Sodann sehreiben wir an der Stelle der Gleichungen (15a) der zltler~en F r e n k e 1 sehen Arbeit Iolgendes System der zehn linearen

Divergenzgleichungen in Iiinfdimensionaler Form:

V,, ~/si~ ~ 0 (3a)

V,.~/~i' -~- 0. (3b)

* Ygl. ZS. f. Phys. 45~ 285~ 1927 mad 4:9, 697, 1928. Wir bedienen uns hier der Beze ichnungen jener Arbeit.

** Wie z. B. die Vierergesehwindigkei t Z i d oci d 8 - - d~ - - ( y i - - X i (X, .Y"))

(wobei y i d Xids der EinheiBvektor der Fiinfergeschwindigkeit).

*** Wie z. B. das Verh~iltnis der Ladung zur Masse --e ~ (X,. Y O ~--~'ds D~

**** ZS. f. Phys . 40, 697, 1928.

Zur tensoriellen Form der wellenmechanisehea Gleichungen des Elektrons. 569

Die in V i quadra~ischen Gleichungen lauten danach:

Vff ~ v ~r v ~ O, (4a)

V . V . .W'~ ~ ~ 0, (r

oder ausfiihrllch (ira Z-Koordinatensys[em) ausgeschzieben, (4a) z. B.:

V :, V v ge.'* ~ ~ ga, V ,~ g.a g,, V.~ g, g~ ( tp 7 + t t t ) + ' 5 5

1 * = g,"" ,~, , A , , ~ , --C~(A~.x~Xs)05~ ,'~ + V~x~x~* = o, (5)

5

4 4

wobei z~i = V i - - X i X ~ c ) . ~ , und V i die vierdimension~l kovariante

Differentiafion in bezug auf die Riemannmefirik der ffik bedeutet. Dies stellt elne unmittelbare Verallgemeineruug fiir das Magnet-

elektron der bekannten K l e i n - F o c k s c h e n fiinMimensionalen We]]en- gleichung dar. Wenn wir den Tensor ~p-~geik als einen nichtsymme- trischen fiinfdimensionalen Fundamentaltensor deuten, so kann auch die G]eiehung (5) als Wellengleichung ~72,p = 0 bezeichnet werden.

Beim ~Jbergang zur vierdimensionalen Gleiehung folgt 4 4

g m

wobei das Viererpoten~ial i ,, ~X*" X i _ _

5

das elektromagnefische Feld darstellt. 2 Z i e ~ 5

Setzt man ferner g r ~ : g r ~ (x~... x ~) e a und wahlt man die

m Einheit auf der fiin~en Achse, so da~ X ~ ~ - (e, m bedeu~en Ladung

6

und Masse des Elektrons), so folgt

4 ~ i cp,~ ~ , 4 ~ ' [ e l , ] V ~ o - - ~ - e ~ , . V o - ~ - ( e~ ~ - m ~ ) % 2 ~ , , , ~ 4 - ~ , , ~" = 0. (6)

Dies stimmt genau mi~ der bekann*en vierdimensionalen Form der Wellengleichungen eines magnetischen Elektrons in einem beliebigen Krafffelde tiberein. Ebensolche Gleichung erhalt man aus (4b), wenn man statfi gri~ den Tensor ~ ' ~ zugrunde leg~. Obgleieh gei~ und ~ri~

nich{ antisymmetriseh sind, ktinnen sie in einem gewissen Sinne (wir gehen dennoch nieht ngher darauf ein) als einander duale Tensoren be- zeichnefi werden.

5. Da es uns hier nur auf die Form der Gleichungen ankommt, so lassen wir die Frage each dem Ursprung dieser Dualit~t ellen. Physikalisch

570 tieinrich Mandel, Zur tensorieUen Form usw.

hei]t es also, dal] die folgende geometrische Fragestellung sich eigentlich nur auf den Fall sehr starker aul~erer Magnetfelder bezieht, so dai] man die Wahrschelnliehkeit der inversen Orlentierung der Magnetonen ver- naehlassigen kann.

Das elektromagnetlsche antisymmetrisehe Tensorfeld im R~

V~Xk ~ V~Xk] ---- e o ~ k 5 m

sagt aus: in der Riehtung X i ~ndert sich die Metrik nieht, d. h. R 5 ist

in dieser Riehtung zylindrisch. (Erstes System der Maxwel lschen Gleichungen). Die Integrabilitatsbedlngungen dieser Gleiehungen im Vakuum bilden das zweite System der Maxwel l schen Gleiehangen.

V ~ i , z - ~,,!8~i �9 ~ O.

Dem analog sag~ eln Tensorfeld V i Yk yon der Besehaffenheit

V~ Ir~ ~ ~ 7~ ~ § V[~ ~kj ---- W~k (7)

aus: in der Riehtung y i andert sich die Metrik konform (periodiseh z. B.) d. h. R 5 erfahrt in dieser Riehtung eine infiniteslmale konforme Trans-

formation*. Die Integrabilitatsbedingungen dieser Gleiehungen (7) ergeben (beim

Versehwinden des Kriimmungstensors K~-k z~ des /is) die Gleichung (3 a): $

Man sieht leich[ ein, dal] das Feld ~ k danaeh diejenige geometrisehe Eigenschaft des R 5 ausdriiekt, welehe als eine unmittelbare Verallgemeinerung der Zylindrizit~t gel~en kann.

Verschwindet n~mlich der Skalarteil ~p, so wird /~ in der Richtung y i zylindriseh, dabei fallt aus der Wellenglelchung die Masse des Teilchens heraus. Is t ferner die Richfiung ](i zur Raum-Zeit Welt ortogonal, also mit der des X i identisch, so erhalt die Gleiehung (3a) die bekannte

Form der M axwel lsehen Gleichungen im Vakuum.

Inwiefern man die bier entworfenen geometrischen Ausfiihrungen als Ausgangspunkt fiir eine geometrisehe Deutung der wellenmeehanisehen Begriffe wirklich ansehen kann, soll indessen dahingestel]t bleiben.

Jedenfalls miissen wir nochmals betonen, dal] dabei blo13 eine un- gef~hre Analogie mit den makroskopisehen (Maxwellschen) elektro- magnefiisehen Gleichungen zugrunde geleg~ worden ist.

�9 i)ber die infinitesimale koaforme Transformation des /~ vgl. auch die vorstehende Arbeit.