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Zur Genauigkeit von CLEMENCE' Theorie des Mars (Ast ronomisches R e c h e n - I n s t i t u t in Heide lberg , Mi t te i lungen Ser ie B Nr. 17)

Von S. BOHAIE, Heidelberg

Mit I Abbildung. (Eingegangen 1967 September 29)

Die Autokovarianzfunktion der Differcnzen in Lange zivischen CLEniENcE' Theorie des hlars und der numerischen Integration von HBRCET zeigt, daD diese Widerspriiche ein trigonametrisches Glied mit einer Periode van 7 ~ 4 ~ und einer niittlcrcn Amplitude von o'!o I 5 enthalten.

Zur Prufung seiner Theorie des Mars hat CLEhfENCE fur 162 Daten im Abstand von 80 Tagen des Zeitintervalls J.D. 2422080-2434960 (1919 Mai I -1954 Aug. 5) die berechneten Storungen mit den Ergebnissen einer von HERGET ausgefuhrten numerischen Integration verglichen [I]. Die Storungen in iz dz, v, u/cos i sind auf O ~ O O O I , HERGETS rechtwinklige heliozentrische Koordinaten auf 9 Dezimalen der A.E. angegeben. Die sich aus dem Vergleich (nach Abzug einer durch eine Ausgleichung bestimmten elliptischen Korrektion) ergebenden Widerspriiche vi Theorie minus numerische Integration sind be- sonders in Lange und im Radiusvektor (angegeben auf O ~ O O I bzw. 9 Dezimalen) von unerwarteter GroBe und zeigen einen deutlich ausgepragten systematischen Gang. Fur die Unterschiede in Lange ist das mittlere Streuungsquadrat u2 gleich 175364 . I O - ~ (Bog.-sek.)2, die Streuung selbst gleich 0!0132 ; fur die im Radiusvektor sind die entsprechenden Zahlen 4255.18 - 10-l~ (A.E.)2 und 65.2 . I O - ~ A.E. CLE- AIENCE auBert dazu: ,,The discrepancies in orbital longitude and radius vector are comparable in magni- tude and of a quasi-periodic character, the amplitude and period being variable. . . . the average period (is) near to the period of Mars around the Sun." Im folgenden sol1 das systematische Verhalten dieser Differenzen naher untersucht werden.

Ein Weg, urn festzustellen, wie aufeinanderfolgende Widerspriiche vi (i = I , . . ., i t ; 1z = 162) korreliert sind, und im besonderen ob irgendwelche Perioden mit groBer Amplitude vorhanden sind, hesteht darin, die Autokovarianzfunktion sk zu berechnen, welche definiert ist durch

I 1,--k

n - k,Zl Sk = -. ~~~ r vi Vi+k ;

1; =: [(J.D.)i - ~4zz080]/80 ist die Verschiebungszahl (Intervallindex, Verzugsspanne, ,,Lag"), so wird gleich dem mittleren Streuungsquadrat 02. Wenn vi = A cos ( ( 1 ) i + 6) ware, dann bestunde die Auto- kovarianz sh aus einein trigonometrischen Term 112 A 2 cos (IJ 1:; es werden also starke Frequenzkompo- nenten gegeniiber schwachen vergroBert.

Die Ergebnisse einer solchen Autokovarianzanalyse sind fur die Differenzen vi in Lange aus Abb. I a, fur die im Radiusvektor aus Abb. I b abzulesen.

Im Gegensatz zu der Autokovarianz im Radiusvektor zeigt die in Lange eine persistente Periode von etwa 7 ~ 4 ~ ; die mittlere Amplitude des diese Schwingung erzeugenden periodischen Gliedes in den Differenzen ergibt sich zu etwa Ol'OI45. Eine genauere Bestimmung der Periode [z; S. 2621 fuhrt auf den Wert 723d944; ihr entspricht in den Widerspruchen selbst ein Term

360" v = oI0146 sin

dessen Phase und (mittlere) Amplitude nach der Methode der kleinsten Quadrate (durch eine harmoni- sche Analyse) bestimmt worden sind und worin t die Zeit gezahlt in Tagen von J.D. 2422080, dem ersten Datum, ab bedeutet. Subtrahiert man dieses periodische Glied von den ursprunglichen Widerspriichen in Lange, so zeigen die neuen Reste vi - v noch immer einen systematischen Gang, jedoch verringern sich die urspriinglichen Werte 175364 . I O - ~ (Bog.-sek.)2 und ol0132 fur das mittlere Streuungsquadrat und die Streuung auf 72345 - 10-* (Bog.-sek.)2 und 0:0085; die Elimination dieses Terms reduziert die Differenzen vi Theorie minus numerische Integration in Lange also wesentlich, ihm lrommt hiernach reale Bedeutung zu. Das wird auch deutlich, wenn man aus den neuen Resten die Autokovarianzfunk- tion berechnet; sie ist in Abb. IC dargestellt und laat keine persistente Periode mehr erkennen (aller- dings immer noch einen systematischen Gang).

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2 0 , , I I I I I I I I I I ,

-20 .* Y $ 6

$ 4 9 0 2 In*

0 2

U I

n

'f - 2

2 - 4 4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Verschiebungszahl k ( in Einheif. v. ROd)

Abb. I. a) Autokovarianz der Differenzen Theorie - num. Integration in Lange; b) Autokovarianz der Differenzen Theorie - num. Integration im Radiusvektor; c) Autokovarianz der Differenzen Theorie - num. Integration in Lange nach Subtraktion des Terms

360° o'lor46sin ( ___ 723d944 t + 280700 1

Der Periode von 723?944 entspricht die Frequenz n = 179011gq/d. Bezeichnet man mit n4, n5, n,, n, die mittleren taglichen Bewegungen von Mars, Jupiter, Uranus, Pluto, so hat man

und n4 - 2 n7 - n, = 17871767ld = n'

6 ns = 179417701d = n" . Eine harmonische Analyse der Widerspruche vi Theorie minus numerische Integration mit der zu n" = 6 n5 gehorenden Periode von 722?098 ergibt den Term

Subtrahiert man dieses Glied von den Widerspruchen vi, so sind die Reste vi - v" in GroBe und Gang kaum verschieden von denen, die nach Elimination des oben abgeleiteten Terms v erhalten wurden; mittleres Streuungsquadrat und Streuung ergeben sich zu 73825 - I O - ~ (Bog.-sek.)a und 0':0086, also nur wenig groBer als die zur Periode von 723d944 berechneten Werte; die neue Autokovarianzfunktion ist praktisch identisch mit der in Abb. I C dargestellten. Auf mindestens ebenso gute Ergebnisse mu13 hiernach eine harmonische Analyse mit der Frequenz n' fuhren. Zur Periode 686d980, der Umlaufzeit des Mars um die Sonne, ergibt sich in gleicher Weise eine Amplitude von o l o o r ~ ; ein solcher Term ist also praktisch nicht vorhanden (die Widerspruche in Lange sind, wie oben vermerkt, nur auf O ~ O O I ange- geben).

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Ob und wie das aus einer Autokovarianzanalyse der Differenzen Theorie minus numerische Inte- gration in Lange ausgef ilterte periodische Glied seinen Ursprung in CLEMENCE’ Theorie hat, kann hier nicht entschieden werden; moglich ware auch ein Fehler bei Berechnung der Storungen fur die 162 zum Vergleich ausgewahlten Daten. Da13 HERCETS numerische Integration (Interval1 zed) einen Term mit einer Periode von rund einem Sechstel der Umlaufszeit Jupiters erzeugt hat, ist unwahrscheinlich ; dies um so mehr, als HERCET fur die Koordinaten der auBeren Planeten die Resultate aus der simuita- nen numerischen Integration von ECKERT et al. [3] benutzt hat (welche u. a. frei sind von den Fehlern der HrLLschen Theorien des Jupiter und Saturn).

Literatur [I] G. M. CLEMENCE, Theory of Mars - Cornplction. Astron. Pap. Amer. Eph. 16.261 (1961). [L] I<. STUMPFF, Grundlagen und Methodcn der Periodcnforscliung. Berlin 1937. [3] W. J. ECKERT, D. BROUWER, G . RI. CLERIENCE, Coordinates of the five outer planets 1653-2060. Astron.

Pap. Amer. Eph. 12.1 (1951).