436 Annabn der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940

II. Algebrafiche Identitaten 4n der Diraaechem Theorte dee Elektrone, die DCfferentialquotlert~ enthulten

Von W . X o f d n k

Einleitung und Zusammenfaeeung

In der Diracschen Gleichung des Elektrons im au6eren Feld sind die elektromagnetischen Potentiale reell. Durch tfbergang zum Konjugiert-Komplexen erhalt man also eine zweite Gleichung mit denselben Potentialen. Indem man weiterhin die Diracgleichung nachinander mit den 16 Matrizen des gesamten hyperkomplexen Diracschen Zahlensystems multipliziert, d. h. mit I, d , u2, us, u4, u14, a [ 9 &a], . . . , 011 n2 a3 a4 und zu diesen Gleichungen jeweils die Konjugiert-Komplexe hildet , erhhlt man 32 Gleichungen, aus denen man die 4 Potentiale eliminieren kann. Die verbleibenden 28 Gleichungen, die hier unter dem Namen ,,ReaZitLitsrelatirmen" laufen mogen , Bind Differentialbeziehungen, welche die in der D i r a c schen Theorie vorkommenden GroBen miteinander verkntipfen. Sie bedehen immer, gleichgiiltig, wie das Potential im Spezialfalle l a u h m g .

I n dieser primitiven Form der Ableitung enthalten die 28 Re- alifitsrelationen aber au6er den deutbaren GroSen und deren Ab- leitungen anch undeutbare GroSen (lei1 111, 9 1). Die deutbaren OraSen haben z. B. die Form (y*, 0 y) oder

wilhrend die undeutbaxen die Form z. B.

besitzen, wobei 0 irgendeinen Operator aus dem Diracschen Matrixring bedeutet. '

Ziel von Teil I1 ist es, die wzathemtiscbn Hilfsmittel ftir die Hauptaufgabe dieser Arbeit, namlich fur die Elimination der un- deutbaren (fr8Ben aus den Realitlitsrelationen zu liefern, urn sie von ihrer primitiven, undeutbaren Form in eine deutbare tiber- znftthren (Teil III, 9 2).

W. Kojink. Zur Diracschen Them& des Elektrons. I I 437

Dementsprechend beschiiftigt sich Teil I1 mit den GriiSeii (x-, 0111) und (y", 0 a9 , Formen dieser Art bezeichnen wir als ,,vorn" bzw. ,,hinten" differentiiert. Aus ihnen setzen sich die undeutbaren GroBen zusammen; um sie in deutbare zu vernandeln, mu1 man also diese vorn und hinten differentiierten GriiBen be- trachten und ihre Dijjerenzen durch Summen von vorn und hinteu differentiierten GroBen ausdriicken.

Dazu werden in 3 1 mit Hilfe der ersten Bilineargleichung [I G1. (4)] 256 algebraische Identitaten unter den vorn diflerentiierten GriiBen abgeleitet, indem die 2 in G1. (%) vorkommenden Ope- ratoren P und Q unabhangig voneinander die 16 Matrizen des Rings durchlaufen. Durch teilweise Anwendung der Vektorschreibweise lassen sie sich in die Formelsammlung 1-52 zusammendrangen. In 8 3 wird dasselbe fur die hinten differentiierten GroBen durch- geftihrt und eine Vorschrift angegeben, nach welcher man von jeder Formel fur die vordere Differentiation zu einer entsprechendeu Formel fiir die hintere Differentiation iibergehen kann. I n Q 3 wird gezeigt, da5 die Anwendung der 2. Grundgleichung nichts ergibt, was nicht aus der 1. Grundgleichung ebenfalls gewonnen werden kann, solange man nur von den Symmetrieeigenschaften der Matrix B Gebrauch macht. 3 4 enthalt eine andersartige Anwendung der 1. Grundgleichung: Uie in $0 1 und 2 aufgestellten Gleichungen fur die vorn und hinten differentiierten GroBen enthrtlten als Koeffizienten undifferentiierte GroBen; in $ 4 wird dagegen die 1. Grundgleichung so angewandt, daB nur differentiierte GroBen auftreten. Wahrend also die Gleichungen der Q$ 1 und 2 linear in den vorn bzw. hinten differentiierten GroBen sind, sind die des Q 4 bilinear, bzw. quadratisch. I n 48 5-9 werden die in $0 1-4 aufgestellten Identitaten nach den vorn bzw. hinten differentiierten GroEen aufgelost. I n Q 6 findet man die Losungen fur kso, %, ksFu, k8, in Q 6 die fur sot, Sk, k o k , &, in 8 8 die fur kB, &$I, Bk, @. I n diesen Losungen treten ein sehr bomerkenswerter vierdimensionaler Nullvektor - den man auch als dreidimensionalen komplexen Einheitsvektor (q bzw. p ) schreiben kann - und 2 zunilchst unbekannte Parameter f und 91 auf. ffber sie geben 86 7 und 9 Aufschlu5. Nach diesen Ergiinzungen sind die Losungen volls tiindig und die ZurUckftihrung der undeutbaren auf deutbare GroBen wird in Q 10, soweit dies iiberhaupt moglich ist, vorgenommen: alle undeutbaren GrijBen lassen sich auf eine einzige reduzieren [Gl. (87)-(9311.

Es gelingt also, durch geeignete Kombination differentiierter und nndifferentiierter GroBen bei der Reduktion der undeutbaren

a* 1

Diese Aufgabe lost Teil 11.

Annalen der Phyelk. 6. Folge. 38. 29

438 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1943

GroBen vie1 weiter zu komiiien als zu 9 Identitaten wie im Falle der undifferenzierten GrijBen allein. Dort sind 7 unabhlngig, z. B. G!, 5, 4. Hier nur eine einzige, z. B. i(kG - Gk).

A h AbschluB findet man in 8 11 .eiue Formelsammlung iibdr die Umwandlung verschiedener Kombinationen undeutbarer Groeen in rlentbare.

Wegen der Redeutung aller vorkoinmenden Zeichen vgl. I, 8 1.

5 1. Anwendung der ersten Bilineargleiohung auf die vordere Differentiation

Urn nun die in 1, 8 2 erwiihute Bilineargleichung (I, 4) :1

k = l

fur die ,,vordere'' Differentiation zur Anwendung zu bringen, multi- pliziere man sie mit (vordere Multiplikation) Pez Q5z , wobei P und Q zwei zunichst beliebige '4reihige Matrizen sein mogen, uud suni- iniere uber $ und $. Mau erhlilt dann

:I

= P e a Q g a - ( P y G ) ? o ( Q Y " ) L ; ~ - ( P Y 4)pa(Q P ) s a + (PY[1?31)en(Q Y " ~ ] ) C ~ . Bedeuten ye , &, x.,, qc je eiuen Satz von 4 Funktionen, 80 ergibt Multiplikation mit diesen Funktionen und Summation itber die Indizes p, S, v, 8 = 1, , , . 4 eine bilineare Gleichung mit inneren Prodnkten :

3

2 (ql P Y * X ) ( E , Q Y* W ) + (y , P i p [ ' 2 : 3 J x ) (8, Q ~ 2 ~ 1 W) 1. = 1

= (v, P W ) (5, & x ) - (F, P Y~ W ) ( E , Q Y'Z) - ( ~ p , P .P 9) (51 Q Y ' X ) + (Y, P Y " ~ ] Y) (8, Q Y"~"z) -

Sind die 4 Funktionen, die durcli x dargestellt werden, dieselben wie die durcli I,LJ dargestellten, so heben sich die Glieder weg, die explizit y[1231 enthalten, und es bleibt eine Gleichung einfacher Form

SchlieBlich fithrt die Substitution (p =

die Anwendung auf die vordere Differentiation tauglichen Form : und 6 = I,O+ zu der fur

a %

W. Kofink. Zur Diracschen Ttteorie des Elektrons. I I 439

LaBt man nun P und Q die 16 Alatrizen des Mntrixringes der Diracmatrizen durchlaufen, so entstehen 256 - verschiedene - lineare Gleichungen fur die 16 voru nach xk differentiierten innereu Produkte kS , ", &s!~, k.<p, kMl,ir, k i l l M 1 , mit undifferentiierten innereu Produkten fi, f i , s p , ip, illlrn, M,, - p = 0,1 ,2 ,3 und ( E : m ) = 1,2,3 - als Koeffizienten. Man erhalt diese Gleichungen am einfachsten aus der Tab. 1 S. 95 der friiheren YerBffehtlichung*), worin R einer der Operatoren P, Q ist und an der Kreuzungsstelle voii Zeile und Spalte jeweils das innere Produkt (yf, R yj ~ p ) steht**). Der erste Faktor wird zur Reneichnung der vordereu Differentiation nach xk immer mit einem vorderen, oberen Indes k versehen. Im folgenden sind die so aus GI. (a] erhaltenen Beziehungen zusammengestellt und links die Operstoren P uncl Q angegeben, welche zu dieser Gleichung fuhrten. F u r einen Teil der GI. (1)-(26) wird die Vektorschreibweise benutzt, fur den nnderen Teil (27) -(52), der sich fiir die Vektor- schreibweise nicht oigiiet , wird je eine Komponente angeschrieben.

A. Die erste Gruppe von Identitaten enthlilt nur die vorn differentiierten GroBen ks,, k ~ , k ~ , 253.

P

I I I I 1 I I I

*) W. K o f i n k , Ann. d. Phys. [5 ] 30. S. 91. 1937. **) Owkfehlerberichtigung. Diese Tabelle enthlilt 2 Druckfehler. Am

Kreuzungspunkt der Zeile $ und der Ypalte y4 muB - iS, statt - 8,, am Kreuzungspunkt der Zeile E und der Spalte y[lZ3] mull io statt id, stehen.

29 *

Annakn &r Physik. 5. Folga. Band 38. 1940

7[W

y4

y4 p 3 1

r4

,,,4

r4 ,11231

7[123]

440

P __

Y 6 Y 5 Y 5

Y 5

PI (lt i) I; 32 4 - *so !it - ["m, #] = i (km 4, - '20 m) , p 4 I (17) "> I - k 3 , $it - [km, 41 = i ("m so - %, m) , 1.I2'1 (18) k f 2 4 - k s o m + ["$l,#] = - i(kY& - k i 0 $ 1 ) ,

r"41 (19) k 32 I - k i o m + ["ti! %] = - i ( k i l t so - k s o $1) , y' (20) ["$, m] + k5" I - k.so % = i ( 9 2 & - %il id), p 4 1 (21) + kSo # - ki0 4 = - i ( k A m - km R) , r""] (22) - - e s ,4 f ' l05 +'$A+' f im = i p i , q ,

7i1231 (24) ("&,%It) - ' J L S - 2 = i(kso i, - kJ,, so),

r4 (25) p a 3 1 (26)

- ["R,

7' (23) - k ~ , ~ + k 3 0 ~ + k 3 ~ ~ + k ~ 3 1 J d = i[Lm,ZD7],

("gI,$) f k32J2 - %,SO + k k o i o = 0, ("m,m) + k J 2 J i - k S O S O f kHDkO = 0.

Wenn P + Q ist, so entsteht durch Vertauschen von P und (3 j e eine weitere Identitat, die aus der angefiihrten hervorgeht, wenn man das Kennzeichen der vorderen Differentiation k vom ersten E'aktor auf den zweiten verschiebt. G1. (2') geht auf diese Weise aus 01. (2) hervor. Wir erwahnen au6er diesem Beispiel keine dieser Identitaten. Sie sind ja Bus den angeschriebenen leicht zu gewinnen.

C. Die dritte Gruppe Yon Identitiiten enthlilt nur die vorn differentiierten GrGflen 'so, kio, 'm, '&, 'J2, 'A: I

P' I Q

y'

y1 pa'

p3] (27) k n $ - k ~ 1 M 2 3 - k M s l ~ 2 - k ~ 1 2 ~ 3 = i(ki,Mlo-kMl,bl), +I4] (28) i ( k ~ l Mlo-kMl,, s~), p 1 (28) k j 2 i o - k s , M1,-kMm s 2 - k N 3 0 s3 = - i k i1),

s ~ - ~ S ? ~ dZ23-kJf31 d2-kM12 A3 =

W . Iiofink. Zur Diracschen Tlzorie des Eleklrons. I I 441

E. Analog zu GI. [I, (29)-(32)]:

H'enn spater auf eine- Identitat Bezug genommen wird, welche aus einer der angefilhrten [GI. (x)] dnrch Vertauschen von P und Q hervorgeht, 60 ist dies durch einen ' an der Gleichungenummer [GI. (x')] kenntlich gemacht. G1. (x') geht aus G1. (x) durch Ver- schieben des Index k vom ersten auf den zweiten Faktor unserer bilinearen Ausdriicke hervor.

5 2. Anwendung der ereten Bilineargleiohung auf die hintere Differentiation

dusgehend von der Grundgleichung [I, (411

442 Annalen der Physik. 5. Polge. Band 38. 1940

erhglt man analog zu 8 2 durch hintere Multiplikation mit den 4reihigen Matrizen P g o Qu ,, , 4 Sltzen von 4 Funktionen y p yo &, y o und Summation uber alle Indizes n, 6, ?, Z, { I , C, die Bilineargleichung in den inneren Produkten:

5 (y, yk p X ) (A yk Q v9 + (T, Y L ~ ~ ~ ~ IJx) ( E ! y[lz31 Q w) = ( E , I ’ x ) (el Q 714

4 1 Y”’X)(Cp, Y 5 (2 v)- (4, YJ PX)(Y, r4 Q y) + (61 Yrlml pX)(Q.,1”12~31 Q v3. k = l

I m Sonderfalle tp = 6 nimmt diese Gleichung einfachere Gestalt an

und fiir y = = 71~’ und y = __ ’* wird aus ihr a Xk

Der Vergleich mit G1. (%) fiir die vordere Difierentiation zeigt, daB die beiden Gleichungen bis auf die Reihenfolge der Faktoren y3 und P bzw. Q ubereinstimmen. Da P und Q die 16 Matrizen des D i r a c - schen Matrixrings durchlanfen, so gilt y j P = & P y j . Ob das obere oder untere Vorzeichen zu aahlen ist, wird rladurch hestimmt, daB i” der Abteilung I, y l , y2, y3, y4, y 5 oder der Restabteilung des Matrix- ringes angehort. Wenn Q (oder P) eine der 6 Matrizen der ersten db- teilung ist, dann kommt unter yJ Q sicher die Einheit vor, namlich fur Q = ; ‘ J . Wenn Q (oder PI zu den 10 Matrizen der Restabteilung gehort, dann kommt unter y j Q sicher nicht die Einheit vor, also fehlt auch das zugehorige innere Produkt 9. Das Vorkommen bzw. Nichtvorkommen VOII 2 ist ein geeignetes Kriterium f u r die Vorzeichenwahl fiir jeden Faktor der bilinearen Ausdriicke beim Ubergang von GI. (%) zu GI. (% %) : 1st 52 vorhanden, so bleibt bei 9, h, so, sl, s, , s, das Vorzeichen un- veriindert, wahrend bei ior i l , i2, .$, ~ ~ ? 3 1 ~ ~ 3 ~ , ~ ~ * l ~ , ~ , ~ ~ o , ~ ~ o das entgegengesetzte Vorzeichen zu wiihlen ist ; wenn 52 fehlt, so behalt umgekehrt die zweite Abteilung von GroBen ihr Vorzeichen, wahrend die erste es iindert. Dasselbe gilt auch fur die Faktoren, die einen Differentialquotienten enthalten, nur wird gleichzeitig die vordere Differentiation durch hintere ersetzt, z. B. geht k& in Jik uber, wenn kc vorhanden ist und in -fik, wenn k Q fehlt. Bei Anwendung dieser Vorschrift auf Gl. (1)-(52) des letzteu Paragraphen erkennt man, dafi alle Glieder, die explizit d i e iinaganare Einheit enthalten, ihr Vor- zeicheii wechselu unter Festhaltung des Vorzeichens der iibrigen Glieder. Dieses Verhalteri ist von einem flbergang ins Xonjugiert-

Das zugehorige innere Produkt ist aber 9.

W . KofirLk. Zur Diracschen Theorie des Elektrons. I I 443

liouiplexe wohl zu unterscheiden, denn die Hermiteizitat der Dirac- mhrizen war nicht vorausgesetzt, also gilt

- wobei A+ = A * die Adjungierte von A ist uud A eine Matrix aus dem vollen Diracschen Matrixring der 01 bedeutet.

Sind dagegen die Matrizen a hermiteisch, so iet A+ = d und der b r - gsog von der vorderen zur hiriteren Differentiation geschieht durch Ubergang zutn Konjugiert-Komplexen.

5 3. Anwendung der aweiten Bilineergleichung Nach [I, (12)-(14)] sind die 6 Matrizen B, By' (p = 1, 2, 3, 4, 5)

schiefsymmetrisch, die 10 Matrizen U y[r3.1, B y[ lav] symmetrisch. Dies bedingt, daS die inneren Produkte (53) ( y , B y ) = O und ( ? , B y p y ) = O sind, wahrend sich iiber (11, Bybvly) und (v, B y [ ~ ~ ~ ~ l y ) n i c h t s einfaches aussagen la&. (53) ermogliclit, ohne explizite Kenntnis der Matrix B eine teilweise Anwendung der zweiten Grundgleichung, indem man durch Bildung geeigneter innerer Produkte das B enthaltende Glied in G1. [I, (lo)] zum Verschwinden bringt. Die Diskussion der mog- lichen F d l e ergibt folgendes:

a) Die direkte Anwendung der G1. [I, (lo)], d. h. Multiplikation

mit yE, yo, a4, yc+ bringt solange als y,, uod ip0 derselbe Satz von Funktionen sind, sowohl die linke als aucli die rechte Seite identisch zum Verschwinden, denn die Vertauschung von e und C, ist dann bedeutungslos.

b) Die Multiplikation der G1. [I, (lo)] durch zwei 4reihige Matrizen r und I" aus dem Diracschen Matrixring dagegen, und die Bildung innerer Produkte mit Hilfe von 4 Satzen von je 4 Funk- tioneu rpo xli a, & ergibt

a vve+

2 ( ~ f , B r ; ~ ) (cp, r' 13- 1 ti = (c, V ) (Q, 1'' T X ) - (g, I- Y ) c ~ , T X ) + ( E , Y5 4 (T, I-' Y 5 T X ) - (cp, I- Y5 4 (6, Y j T X ) + G! Y4 y) ( y , r" Y4 rx') - (e, Y4Y) (E! IA T X ) - (& y[121 lp) (e, r' Yrw rz) + (T, I-' y11z31 W) (5, y[12:%1 TI).

U'enn einer der Operatoren r oder I-f auB der Abteilung der ti Matrizen I , ; , I , y2, y3: y4, y6 gewahlt wird, wlihrend der andere unbesclirlinkt bleiben kann, und dann entsprechend dieser Wahl x = t/i hzw. y = 6 gesetzt wid , verschwindet die linke Seite. So entsteht

fur x = v, qj = -! 6 = y+, wenn I' eine der Matrizen I , y', y2,

y3, y4, y 5 bedeutet, die Gleichung

a v+ a xk

444 Annalen der Physik. 5. Polye. Bald. 38. 1940

1. Wird r ihnerhalb der erlaubten Abteilung gleich I , y4, y6 ge- setzt, so zeigt sich nach Berechnung der entsprechenden Produkte, daS in diesen 3 Fallen auch die rechte Seite identisch verschwindet.

2. Bedeutet T eine der Matrizen y', y 2 , ys so entsteht je eine nichttriviale Gleichung; z. B. fur Ir = 71:

Man kann jedoch zeigen, daS diese Gleichung auch am der ersten Grundgleichung [I, (4)] in der Form [I1 8 1 GI. (+)I folgt, indem man dort die Wahl 1. Q = I, P = r" yl und 2. Q = yF-I, P = T' y[1231 trifft. Subtraktion der dabei entstehenden 2 Gleichungen voneinander er- gibt (54). Da r== y1 eine in keiner Weise vor I'= ya, r= y3 aus- gezeichnete Wahl ist, so ist damit erwiesen, daS die zweite Bilinear- gleichung [I, (lo)] keine weiteren, iiber die Ergebnisse der ersten [I, (4)] hinausgehenden Identitaten erzielen last, solange nur von den Sym- metrieeigenschaften der Matrix R Qebrauch gemacht wird, ihre explizite Gestalt aber unbekannt ist.

4. Weitere Anwendungen der ereten Bilineargleichung

Vordere bzzu. hintme Differentiation in beidol. Faktoren. Anetatt in der

GI. (*I vorhergehenden Gleichung = q+ zu setzen, setze man 6 = w. und erhLlt

a x k

Wenn darin P und Q deli Matrixring durchlaufen, entstehen dieselben algebrr- ischen IdentitLten fur die vorn diff'erentiierten GroEen wie sie in I 5 3 fur die

W. Kofink. %ur Diracschen Theorie des Elektrons. I1 445

unditferentierten angefiihrt wurdcn. Man erhiilt sie demnach durch Hinrufiigen eines oberen Index k an alle in I a 3 stehenden Identittiten. 2 Beispiele sind:

(561 (k.q,)2 - (", ka) = ("L)~ + f i r P = Q = r ,

a* Ebenso fiihrt der Ersatz von .ry im zweiten Faktor von (* +) durch - zu einer analogen Gleichung fur die hinten differentiierten GrijSen

a xt

Analog zu dem zu G1. (55) Gesagten entstehen aus (58) dieselben algebraischen Identittiten fur die hinten differentiierten Oroflen wie sie Bus (55) fir die vorn differentiierten entsprsngen. Man erhiilt sie, indem man an alle in I 5 3 an- gef iihrten Identitiiten einen hinteren, oberen Index k anbringt.

8 5. Aufliieung d e r lrlgebraieohen Ident i ta ten

Iu den vorangehenden Paragrapben wurde eine groSe Anzahl von algebraischen Gleichungen aufgestellt, die zwischen den vorn (bzw. hinten) differentiierten und den undifferentiierten OroBen be- stehen. Unser Ziel ist, die vorn (bzw. hinten) differentiierten GroSen soweit wie moglich auf updifferentiierte Gro6en zuriickzufiihren, um bei spateren Anwendungen ihre Elimination vornehmen zu konnen.

Von dem Gleichungesystem, das in 6 4 aufgestellt wurde, wisseu wir, da6 es dem Gleichungssystem I 8 3 fur die undifferentiierten Gro6en vollkommen gleicht. Demnach versichert es uns, da6 [analog xu I (18) und (19)] die GroBen ?JJl und ganz durch die i ibr iga kso, k.40 , 9, kb, kQ, k!2 ausgedriickt werden konnen. Daher konzentriert sich unser Interesse auf die Bestimmung dieser iibrigen Gro6en. Wir greifen also aus den Gleichungen der 08 1 uncl 4 diejenigen heraus, die nur diese GroSen enthalten und zwar so wenige wie moglich. Das Gleichungssystem (1)-(8), das nur die vorn differentiierten GrQBen %,, %, k 9 , k!? enthalt und das Gleichungssystem (9)-(15), das nur die vorn differentiierten GroBen kb,, @, pi?, kf? enthalt, er- fiillen diese Forderung.

Man kann natiirlich nicht alle vorn differentiierten GroBen auf undifferentiierte zuriickfiihren. Zwei vorn differentiierte GroBen k,C! und ks! sind nicht eliminierbar, so lange man nicht explizit clavon Gebrauch macht, da6 der Index k Differentiation bedeutet (65 5-8). Wenn man diese Tatsache beuiitzt (98 9-11), dann l&Bt sich beim Znsammenfiigen vorderer und hinterer Differentiation noch eine dieser Gr68en z. B. i ( k f 2 - $k) eliminieren. Vorerst sehen wir die 14 vorn

f u r die vordere Differentiation

446 Annulen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940

differentiierten GroBen kso , AI;, "i,, 2 4 , kD, also als Unbekannte, die 2 vorn differentiierten GroBen k f i , k c 2 und die 16 undifferentiierten GroBen so, t3, do, 1, 'ill?, fi, 2, h als Bekannte in unseren Gleichungen an. In Komponenten gezahlt haben wir fur die 4 Unbekannten k s , ,

k l k s Z , k s s ) 16 lineare Gleichungen [GI. (1)--(8)] und eine quadra- tische [Gl. (56)], die auBer UndifferentiiertenGroBen nur k f i und kh ent- halten. Bei der Auflosung dieses Gleicliungssystems zeigt es sich, da6 die quadratische G1. (56) aus den linearen folgt und daB von den 16 linearen G1. (1)-(8) iur drei linear unabhangig sind, so daB trotz der Vielzahl der Gleichungen die vier Unbekannten iiicht vollstandig bestimlnt werden konnen, sondern ein unbekannter Parameter k t in den Losungen verbleibt. , Analog verhalten sich die 16 linearen Gleichungen [Gl. (9), (2'), (10)- (15i], die in 5 1 als zweite Gruppe zu- sammengefalt wurden, und die quadratische G1. (57) in bezug auf die 4 Unbekannten k i , , k$ ( I . < , , ki3). Auch bei ihnen verbleibt ein (zweiter) unbekannter Parameter R q in den Losungen. Die Para- meter ", kq lassen sich erst nach Zusnmmenfiignng der vorn und hinten differentiierten GriiBen und aus der Rigenschaft des Index k, Differentiation zu bedeuten, bestimmen (8 9).

A. Aufliisung der linearen GI. (I)-@) und der quadratischenG1. (56). a) Beweis, dal3 G1. (56) aus den G1. (l), (3), (54 (7) folgt. Multi-

pliziere (3) skalar mit %, so ergibt sich

k ~ , ( k t 3 , 5 ) . - ( ( k 1 ; , k 5 ) s , = i l , k ~ ( k a , yh) - k d ( k ~ , n ) ; ,

woraus unter Anwendung von (l), (5) und (7) die G1. (56) folgt. Multipliziere

(3) skalar mit s,!D? und (4) mit - .<,%TI und addiere, so ergibt sich b) Beweis, (la6 G1. (5) aus den G1. (1)-(4) folgt.

- (Sd2 - , io2) (", m) = i so 12 (%, I;) - i io t 2 ( k 3 , 4) - k J 2 I.<, (sox - i o 2 - iP) - i so L? q - k i 2 (i so (so2 - do2 - i 2q + so a SZ] .

So2 - i , 2 * 0. Daraus folgt (5) unter Anwendung von (1) und (2), da im allgemeinen

c) Beweis, dab G1. (7) aus den G1. (1)-(4) folgt. Bei der Multi- plikation von (3) mit - i so Zm ergibt sich unter Beiiutzung VOII (1)

k, (9, %it) = - i s,, (", m, + kSo (i k" R + so h) - 1.d (so2 - i o 2 ) , eine Gleichung, die (7) niit (5) verbindet. Einsetzen von (5), das nach b) aus den G1. (1)-(4) folgt, erweist auch (7) als eine Folge von (1) bis (4).

d) Beweis, daS G1. (6) und (8) aus den G1. (1)-(4) folgen. Man niultipliziere G1. (3) init - is, und aufierdem vektoriell mit - 8 ,

W . Kojink. Zur Diracschen Theorie des Eikktrons. II 447

ferner G1. (4) mit i&o und auSerdem yektoriell rnit 8, addiere alle vier Produkte, so erhalt mail unter Verwendung von (1) und (2) und den algebraischen Identitaten [I, (15), (16), (29)-(32)]

k S o [ G , h]-[ks, s o h - 8,5] = i % ( W + i22) 8

- kG(i3 n + h h) + k d ( - is $2 + i n). Andererseits multipliziere man G1. (1) rnit d ! G1. (2) rnit - 5 und addiere, so entsteht

(60) k ~ , ( ~ o $ - , ~ 0 5 ) + l I L S , [ s , $ ] ] = ' Q ( ~ J 2 - i i 3 d ) +kL'(hh+it3f2). Unter Verwendung der algebraischen Identitaten [l, (18 und (19)] ergibt Multiplikation von (59) rnit - b, von (f0) rnit Q und Addition G1. (6), wahrend Multiplikation von (59) rnit J?, von (60) rnit J i und Addition zu G1. (8) fiihrt.

Damit ist gezeigt, da6 die G1. (56) und (5)-(8) aus den Gl.(l)-(4) f'olgen, so daf3 die 9uflOsung von (1)-(4) nuumehr allein ubrigbleibt.

e) Auflosnng der (31. (1)-(4). Diese Gleichungen werden durch den Ansatz

(6 1) I

mit I

und einem beliebigen Parameter kE befriedigt, derart, daB far die neuen Unbekannten qo und q ( q l , q 2 , q,l nun homogene lineare Gleichungen iibrigbleiben. Man kann also qo = 1 setzen und erhalt fur q die Gleichungen

(63)

Uurch vektorielle Multiplikation von (63d) mit 5 uud unter Vcr- wendung von (63a, d) und der Identitat [I, (15)] oder durch vek- torielle Multipliliation von (63c) mit 4 unter Verwendung von (63b, c) und der Identitat (I, 16) erhalt man jeweils

q ist ein komplexer Einheitsvektor (im Dreidimensionalen), rnit q,, = 1 zusammen ein komplexer Nullvektor (im Vierdimensionalen): es gilt

448 Annulen dcr Phgsik. 5.FoL~c. Lland38. 1940

R

2 4 : = 1, wie man unter Beniitzung zweier Formeln a m [I, (36)]

uod der Tatsache, da.B (so 3 - io 8 , [3, 41) = 0 ist, erkennt. B. Ganz analog findet man fur k.40, k 4 ( k S 1 , k S 2 , 'cs.,) aus der

zweiten Gruppe von 16 linearen Gleichungen 8 1 G1. (9), (23, (10)-(15) und der quadratischen Gleichung 6 4 GI. (57) die Losung

i = 1

I I

mit derselben Bedeutung (62) von LA und kB, dem zweiten beliebigen Parameter kq und dem gleichen Vektor q (64).

8 6. AuflBeung der algebraiechen Identitiiten fir die h in te re Differentiation

Fur die hinten differentiierten GroEen bestehen (5 2) Gleichungen, die am denen fur die vorne differentiierten entstehen, wenn alle explizit auftrelenden i durch - i ersetzt werden. &an erhiilt durch denselben ProzeE such aus den Losungen fur die vordere die Losungen fur die hintere Differentiation. Die bei diesern Ubergaug den kE und kq entsprechenden unbekannten Parameter seien Ek und qk, wiihrend' der Vektor p genannt werde, der durch Andern des Vorzeichens von i in q entsteht. Dann kann man die entsprechenden Glei- chungen f i r die hintere Differentiation losen durch

mit

und

Fiir hermitekhe Diracmatrizen wiiren Ak = ckA)', Bk = (kB)*, p = q*, F k = (*&*, qk = (kq)*; im allgerneinenFal1 nicht, da dann 8 0 , A,, 8 , 8 usw. nicht reell sind. Im allgenieinen Fall findet der nbergang von vorderer zu hinterer Differentiation dnreh Vorzeiehengnderung der erplizit auftretenden i, Ersetzen von q durch p und Verlageru des oberen Index von vorn n w h hinten statt.

bzw. nk, ~ k , die Nun fehlen noch die Losungen fur k m ,

wir in 8 8 gewinnen werden.

5 7. Einigee Bemerkenswerte u b e r d ie komplexen Vektoren 1, und q Die komplexen Einheitsvektoren p und q erlauben in Komponenten ge-

chrieben die bemerkenswerte Umformung

W . Kojink. Zur Lliracschn Theorie des Elektrons. II 449

(70) 8,s - R09 + 5 2 2 +

sup - .j b I' - (a* + SC.0 f) ( P , 9) = b) [&, q] = !JJl + i fCq,

c) (rm, q) = - i h ,

Q 8. tfbereinstimmung von Loeungen, die auf vereohiedenen Wegen gewonnen werden

Nacbdeln die Losungen fur kso, k5, k i o , k 4 gefunden sind (8 5), lassen sich die ubrigen GroBen k%X und '.$TI, die wir als Unbekannte betrachten, berechnen. Infolge der Mannigfaltigkeit der Gleichungen der 88 1 und 4 kann man diesen Losungen verschiedene Formen geben und deren Gleichwertigkeit nachweisen.

A. Wir finden k%X und k$N zunachst in zwei Formen, in der sie auf die Qro8en kso, kB, kS:o, k4 zuriickgefiihrt sind. D a m elimi- nieren wir ki$l bzw. k%X aus den Qleichungen

und

und erhalten eine erste Form

(117

(4')

k%X 32 - k!& n = ip0 4 - k 4 i0) - [%, 41

* A n + a 3 2 = - (Go 5 - so) - i [%, @]

W ( @ + d a) = l - ' ( ( S o k 4 - k.<,G) + i[5, %]j

I 4 1 ( J P + h a) = d !(so k!3 - k'go 5) + i [5 , "a]) I

- $ I [ ~ , ~ ] + i ( S , k 4 - - ~ o O ) ) ,

+ s?([%, 41 + i(.@ - k . $ 4 ) j .

(76) I Die zweite Form enthiilt Glieder mit und ohne die imaginiire Ein- heit in einer Mischung, die fur eine spatere Anwendung (8 10)

450 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1943

geeigneter ist. Man erhalt sie, wenn man in (76) die GroBen [*3, 61 und so kd - kioi3 mit Hilfe der G1. (3) und (10) beseitigt. Sie lautet

kllJZ (Id2 + l az ) = (kJ.2 SL + k ! 3 h) 9Jl + (kh 12 - "2 h) $1 + i J2 ("z, %] - [a, 411 + i ' I ( S 0 % - "05 + k d " h - d 0 ) 3 ) , I 1 ?JJI ( 2 2 + $22) = ( k L 2 $2 + k d 12) ~ + (4 i2 - k f i $) %TI (7 7)

Man erkennt an dieser Form, daB k$R aus % hervorgeht, wenn man J2 durcli J j , 4 durch - L2, '52 durch k_r? und k d durch - k i . 2

ersetzt. und k!@ nocli ks0, ki3, k d o , k d .

Wenn man die Ansgtze (61) und (65) fur diese GroBen in (76) ein- einfiihrt, so erhiilt man fur kllJZ und k%h Darstellungen in einer zu (61) und (65) analogen Form. In dieser bleiben dann nur noch die (nach unserer in 8 5 gewiihlten Einteilung) ,,bekannten" GroSen kR und und die unbestimmten Parameter h E und krl zuriick. Nach Berlicksichtigung der Identitaten [I (34) und (35)] und den Defi- nitionen (62) fur LA und kB ergibt sich dabei

B. I n (76) und (77 ) enthalten

Wiihrend in den Lijsungen fur ks0, % nur der unbestimmte Para- meter kt und in den Losungen f u r k i 0 , 4 nur 4 auftrat, kommen sie in 9 und beide zusammen. vor. Diese Darstellung ist also fiir und weniger einfach.

C. SchlieSlich ergab a 4 eine der' nlgebraischen Identitllt [I (18)] bzw. [I (19)] analoge Darstellungsweise von '9JL bzw. "fi. 2. B. gilt danach fiir 'fl (79)

tfbereinstimmung von (79) mit (78) kann man feststellen, indem man in (79) die Lijsnngen (61) und (65) fur 'so, $3, %o, '4 einsetzt, das dann erplizit auf- tretende i mit Hilfe der G1. (63c und d) beseitigt und beachtet, daB

kn {("y + (kd)J\ = kR (kSo k4 - Q, %) - "[", %j.

W . liofink. Zur Diracschen Theorie des Elektrons. I I 451

Fur die hinten differentiierten GroBen 'Bk und 'ibk gelten zu (76)-(78) analoge Formeln. Man versetze, urn sie zu erhalten, alle oberen Indizes von vorn nach hinten, iindere das Vorzeichen alley explizit auftretenden i und ersetze q durch p.

9. Beetimmung der Parameter 6 und 7 und Vervolletiindigung

Bisher wurde von der Tatsache, daS der obere Index k Differen- tiation nach xk bedeutet, kein Gebrauch gemacht, Er war bisher ein reiner Bezeichnungsindex und hiitte genau so gut Ersetzen von q1

durch eine beliebige Funktion cp statt durch 2 ! ! bedeuten konnen. Eriunern seiner Bedeutung ermiiglicht die Bestimmung der bisher unbestimmten Parameter ", E L ; "T I , q1 in den Losungen (61), (66), (66), (67) nnd (78).

der Liieungen

a xk

A. Man erhlilt durch Kombination von G1. (3) fiir die vordere mit der enteprechenden fur die hintere Differentiation

Fiihrt man diesen Ausdruck in die ebenso erglinzte GI. (1)

8* . i ( k 8 0 - Sok) - (6, i ( ' 6 - e')) = JI! - i('.'n - an") + i 2 - i('d - hk) ein, so wird unter Berficksichtigung von [I, (15), (25), (27)]

(fi? + h2) * i ("8" - 5;) = Bola - i('&! - fi') f h - ;('it - ak)] asz + P o ( n- - a xh

Andererseits folgt taus den Losungen (61) und (66):

(fi2 - f - . f 2 2 ) . i ( k S o - 8 g g k ) = 80tJI!. i(kJC-A'),+fC.i(kh-~*)]

Vergleich beider Auedriicke ergibt den Imaginllrteil von '5 :

4 52 Annalen der Physik. 5. Polge. Band 38. 1940

B. Die Summe ''so + a," = -csy liillt sich ebenfalls mit Hilfe der Lib a xk

sungen (61) und (66) zusammeuf ugen :

- {it * i("JL - $ i A ) - $2 - i("L - a",) Go + (n' + J P ) ( k & + 6 " . Andererseits erhiilt mau aus der durch die hintere Differentiation ergiinzten GI. (2)

die man oben einfiihrt, fu r den Realteil von ' 6 : ( 2 2 + 3P) ('E + 6') = ( J P + iL' + "2) _- a 8,

0 axc,

Dabei wurde von der Ahkiirzung

Gebrauch gemacht. nach zb differentiierten Identitiit [I, (15)] folgendermafien schreiben:

Der Realteil von ' E liiflt sich unter Beniitzung der

~~

C. Aus (8 1) und (83) folgen unter Erinnerung an die Bedeutung (64) und (69) der Vektoren q und .p fur die Parameter kg und E k

Auf einem ganz analogen Weg lassen sich auch k q und q k aus den durch die hintere Differentiation erganzten G1. (1 l), (9) und (2') unter Anwendung der Identitaten [I, (16), (26), (28)] berechnen: man erhdlt

Einsetzen von k& tk, ' q , q k in die Formeln (61), (65), (66)) (67) und (78) vervollst'idigt die Losungen ks,, 2 5 ) k4, k!!Jl, k$?. In den vervollstiindigten Losungen treten auger deutbaren GroBen nur noch zwei undentbare k J 2 und k!> auf.

W . Iiofink. Zur Diracschen Theorie des Elektrons. 11 453

Die angegebenen Losungen befriedigen die ganze Liste oon 01. (1)-(52). Sie enthiilt keino algebraische Identitiit, die nicht :iuf die bisher erwahnten zuriickfiihrbar wiire.

0 10. Zuriiokfiihrung der undeutbaren GlrSOen auf deutbare Die Ergebnisse der vorangehenden Paragraphen ermoglichen,

alle undeutbaren Grof3en i ("so - so"), i (a5 - Sf-), i (a.40 - .<oh), i (ad - dL), i(km - mk), i \k& - &i - ) , i ( a i 2 - 127.), i t h h - i i h ) auf eine einzige z. B. i(kQ - S2k) znriickzuflihren.

(86) la5t sich unter Beibehaltung von zwei undeutbaren GroBen den iibrigen folgende Dsrstelluag geben:

Mit der Bezeichnung

U , a ~2 - i ( i b 52 - $2 A) + 1) . i kk ti - li 1-1

~-

Diese Schreibweise hat den Vorteil der Symmetrie gegentiber der, die man erhalt, wenn man schlie5lich von der aufierdem noch be- stehenden Beziehnng

(93) I Gebrauch macht, urn aus (87)-(92) z. B. i ( k h - !>7:) zu eliminieren. Man erkennt daraus jedoch, da5 es moglich ist, alle undeutbaren 0riiBen auf eine einzige zurtickzufiihren.

Die G1. (87)-(90) erhlilt man aus den LSsungen (61) und (66), (65) und (67) durch Zusammenfiigen der enteprechenden, vorn und hinten differentiierten Gro6en. Dabei ist zu berticksichtigen, da6

Herlcilung der G1. (87)-(93).

Annalen der Physlk. 5. Folgc. 38. 90

454 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940

ist. Es bestehtnbereinstimmung mit Ausdrucken, die man aus den Kombinationctl undeutbarer GriiSen im niichsten Paragraphen erhalten kann. Z. B. ergibt sich (87) durch Multiplikation von [§ 11, G1. (7)] mit A. [s 11, G1. (14)] mit und Addition, (88) durch Multiplikation von [§ 11, GI. (€91 mit S 2 , [$ 11, GI. (6)] rnit h und Addition, (89) durch Blultiplikation von [$ 11, G1. (14)J mit A , [§ 11, G1. 12)) mit A und Addition, (90) durch Blultiplikation von [s 11, GI. (15) mit s;!, [§ 11, GI. (13)] mit SI! und Addition. Die GI. (91) u:d (92) entstehen unter Anwendung von (93) aus der Form (77) fur kn und 'YX beim Zusammenfiigen rnit der ent- sprechenden hinten differentiierten GriiHe. Die G1. (93) selbst geht aus einer Kombination von G1. (2) oder (2') und der entsprechenden f u r die hintere Differentiation hervor.

§ 11. Kombinat ionen u n d e u t b a r e r Qronen

Das gesamte Formelsystem 5 1 G1. (1)-(52) fur die vordere Diflerentiation geht, wie schon erwahnt, durch geeignete Verbindung mit einer entsprechenden Formel fur die hintere Differentiation in ein System von Gleichungen iiber, das Kombinationen undeutbarer GroSen in deutbare iiberfiihrt. In der folgenden Zusammenstellung sind die wichtigsten Kombinationen undeutbarer GroBen, namlich diejenigen, welche in 111 zur Anwendung kommen werden, unter denselben Nummern wie ihre Ursprungsgleichung in 8 1 angeschrieben.

i ( k ~ 2 - h - i ( k h - tb) ~2 ")=- a ; 0 ax, 9 a x k

W. Kojink. Zur Diracschen Theoric &s Eleklrons. II 455

In diesen Formeln wird von der abkihzenden Vektorschreib- weise (a, 2) [Definition G1.(82)] und [ %! - , deren erste

. gemacht. Die Gleichnngen entspringen allein der Algebra, der D iracschen

Matrizen, obwohl sie Differentialquotienten enthalten. Sie erfordern weder eine spezielle Darstellung noch die Hermiteizitat dieser Matrizen.

Frankfurt a. M., Physikalisches Institut der Universitat.

(Eingegangen 4. September 1940)

Komponente z. B. [%, = A,= a BB - A , a Bs bedentet, Qebranch

-

30 *