SVEUCILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKUOdjel za matematiku

Sveucilišni preddiplomski studij matematike

Zrinka Bertić

GREENOV TEOREM I PRIMJENE

Završni rad

Osijek, godina 2012.

SVEUCILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKUOdjel za matematiku

Sveucilišni preddiplomski studij matematike

Zrinka Bertić

GREENOV TEOREM I PRIMJENE

Završni rad

Mentor: doc. dr. sc. Krešimir Burazin

Osijek, godina 2012.

Sažetak

Predmet ovog završnog rada je proucavanje Greenovog teorema. Uvedeni su pojmovi krivuljnihi plošnih integrala te su iskazani i dokazani teoremi o divergenciji, rotaciji, gradijentu, Stokesovi Cauchyjev teorem. Navedene su osnovne primjene teorema na podrucje termodinamike, za-kone ocuvanja te Maxwellove jednadžbe.Kljucne rijeci: krivuljni integral, plošni integral, Greenov teorem, zakoni ocuvanja

Abstract

The subject of this thesis is to study Green’s theorem. Some terms have been introduced, suchas curve and volume integrals and surfaces. Divergence theorem, Gradient theorem, Rotationtheorem, Stokes’ theorem and Cauchys’ theorem are stated and prooved. Some bacis applica-tions of Greens’ theorem to thermodynamics, conservation laws and Maxwell’s equations aregivenKey words: curve integral, volume integral, Greens’ theorem, Conservation laws

Sadržaj

1 Uvod 5

2 Greenov teorem 62.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Greenov teorem u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Greenov teorem za višestruko povezana podrucja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Greenov teorem u Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Teorem o divergenciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Neke posljedice teorema o divergenciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Stokesov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Primjene Greenovog teorema 223.1 Cauchyjev teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Zakon sacuvanja mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Eulerova jednadžba za idealne fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Drugi Fickov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Maxwellove jednadžbe i nehomogena valna jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4

1 Uvod

Zadatak ovog završnog rada je pobliže proucavanje Greenovog teorema. Zanimat ce nas teoremu ravnini, na višestruko povezanim podrucjima, u n-dimenzionalnom prostoru te njegova pri-mjena vezana za realne i kompleksne funkcije više varijabli, kao i neke fizikalne zakone.

Rad je podijeljen na dvije vece cjeline, Greenov teorem i primjene Greenova teorema.

U prvom dijelu cemo se upoznati s pojmovima koji su potrebni za uvodenje Greenovog te-orema kao što su krivuljni integrali, površina plohe te plošni integrali. Zatim cemo iskazati idokazati Greenov teorem u ravnini, Greenov teorem za višestruko povezana podrucja, Greenovteorem u Rn te teorem o divergenciji i Stokesov teorem.

U drugom dijelu cemo se upoznati s nekim primjenama Greenova teorema, pocevši sa Ca-uchyjevim teoremom za funkcije kompleksne varijable. Zatim cemo spomenuti neke fizikalneprimjene Greenova teorema, kao što je zakon sacuvanja mase, Eulerova jednadžba za idealnefluide, difuzijska jednadžba te veza izmedu Maxwellovih i valnih jednadžbi.

Uz vecinu dokaza i defincija priložene su i skice radi lakšeg predocavanja uvjeta teorema ilipojmova.

5

2 Greenov teorem

2.1 Osnovni pojmovi

Definicija 2.1. Funkcija f je klase C na Ω ako je ona neprekidna na Ω. Za funkciju f :Ω→ R

kažemo da je klase C k na otvorenom skupuΩ⊆Rn ako je ona klase C k−1 naΩ i ako sve parcijalnederivacije k-tog reda funkcije f postoje na Ω i one su na Ω neprekidne. Sa C k (Ω) oznacavamoskup svih funkcija klase C k naΩ.

Definicija 2.2. Za skup Γ ⊂ R2 kažemo da je Jordanov luk ili jednostavna glatka krivulja sa ru-bovima ako vrijedi:

1. postoji bar jedan uredeni par segmenta [a,b] i funkcije r : [a,b] → R2 takvi da je Γ =r (t ) ∈R2 : t ∈ [a,b];

2. funkcija r je injekcija sa [a,b] na Γ;

3. funkcija r je klase C 1 na [a,b];

4. r ′(t ) 6= 0 za svako t ∈ [a,b].

Tocke A = r (a) i B = r (b) zovu se rubne tocke ili krajevi luka Γ, a za uredeni par ([a,b],r ) kojizadovoljava navedene uvjete kažemo da daje glatku parametrizaciju skupa Γ.

Uzmimo da je Γ Jordanov luk i da je sa

r = r (t ), t ∈ [a,b], a < b (2.1)

dana glatka parametrizacija luka Γ. Neka je f : Γ→ R realna funkcija definirana na krivulji Γ.Tada je kompozicija f r definirana na segmentu [a,b].

Definicija 2.3. Ako je funkcija t 7→ ( f r )(t ) · |r ′(t )| R-integrabilna1 na segmentu [a,b], onda seintegral

b∫a

f [r (t )]|r ′(t )| dt (2.2)

naziva krivuljni integral (prve vrste) funkcije f po krivulji Γ i oznacava sa∫Γ

f ds. (2.3)

1Za definiciju R-integrabilne funkcije pogledati |1|, str. 127

6

Definicija 2.4. Neka je ([a,b],r ) glatka parametrizacija Jordanovog luka Γ i nekaäΓ oznacavakrivuljuΓ orijentiranu od ruba A = r (a) prema rubu B = r (b). Ako je vektorsko polje a definiranona krivulji Γ i ako je funkcija

t 7→ a[r (t )] · r ′(t )

R-integrabilna na segmentu [a,b] onda se integral

b∫a

a[r (t )] · r ′(t ) dt (2.4)

naziva krivuljni integral polja a po krivulji Γ orijentiranoj od A prema B i taj integral se ozna-cava sa ∫

äΓa dr. (2.5)

Definicija 2.5. Neka jeΩ⊆R3 otvoren skup, f :Ω→R skalarno polje, ~a :Ω→R3 vektorsko poljei neka su ona klase C 1 naΩ.

Gradijent skalarnog polja f je vektorsko polje grad f :Ω→R3 definirano s

grad f = i∂ f

∂x+ j

∂ f

∂y+k

∂ f

∂z. (2.6)

Divergencija vektorskog polja ~a je skalarno polje div~a :Ω→R definirano s

div~a = ∂ax

∂x+ ∂ay

∂y+ ∂az

∂z(2.7)

gdje su ax , ay i az komponente polja ~a.Rotacija vektorskog polja ~a je vektorsko polje rot~a :Ω→R3 definirano s

rot~a =(∂az

∂y− ∂ay

∂z

)i +

(∂ax

∂z− ∂az

∂x

)j +

(∂ay

∂x− ∂ax

∂y

)k =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

ax ay az

∣∣∣∣∣∣∣ (2.8)

gdje su ax , ay i az komponente polja ~a iz R3 u R.

Definicija 2.6. Neka je dan desni koordinatni sustav S = (O; i , j ,k). Definiramo Hamiltonovdiferencijalni operator (nabla) sa

∇= i∂

∂x+ j

∂

∂y+k

∂

∂z(2.9)

Sada (2.8) prelazi urot~a =∇×~a (2.10)

što je formalno vektorski produkt nable s poljem ~a. Isto tako, (2.7) prelazi u

div~a =∇·~a (2.11)

što daje skalarni produkt od ∇ s ~a. Na kraju, (2.6) prelazi u

grad f =∇ f (2.12)

što pokazuje da se gradijent polja f dobiva primjenom nable na f .

7

Definicija 2.7. Neka je dan desni koordinatni sustav S = (O; i , j ,k). Definiramo Laplaceov dife-rencijalni operator sa

4= div grad =∇·∇= ∂2

∂x2+ ∂2

∂y2+ ∂2

∂z2(2.13)

Definicija 2.8. Otvoren, neprazan i povezan skup Ω⊆ Rn naziva se podrucje. Unija podrucjaΩi njegove granice ∂Ω naziva se zatvoreno podrucje.

Definicija 2.9. Neka je Ω otvoren skup u Rn i ~a :Ω→ R3 vektorsko polje koje je neprekidno naΩ. Kažemo da je polje ~a konzervativno (potencijalno) naΩ ako postoji skalarno polje Φ :Ω→R

klase C 1 naΩ takvo da je~a(P ) =− gradΦ(P ), P ∈Ω (2.14)

Definicija 2.10. Neka je f :Ω→R skalarno polje klase C 1 na otvorenom skupuΩ⊆R3. Za realanbroj c skup Sc = P ∈Ω : f (P ) = c naziva se nivo ploha polja f .

U koordinatnom sustavu (O; i , j ,k) je sa f (x, y, z) = c dana jednadžba plohe Sc . Neka je Γ Jor-danov luk koji leži na plohi Sc i neka Γ prolazi tockom P0 ∈ Sc . Uzmimo glatku parametrizaciju([a,b],r ) krivulje Γ. Sada je r (t0) = P0,r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k i f (x(t ), y(t ), z(t )) = c za svakot ∈ [a,b]. Deriviranjem po t dobivamo

∂ f

∂x

dx

dt+ ∂ f

∂y

dy

dt+ ∂ f

∂z

dz

dt= 0,

odnosnograd f (P0) · r ′(t0) = 0. (2.15)

Formula (2.15) pokazuje da je vektor grad f (P0) okomit na svaku krivulju Γ (odnosno na tan-gencijalni vektor r ′(t0) krivulje Γ) u tocki P0 = r (t0) koja leži na plohi Sc i prolazi tockom P0.

Uzmimo da je grad f (P0) 6= 0 i sa M(P0) oznacimo ravninu koja prolazi tockom P0 i okomitaje na vektor grad f (P0). Buduci da je ravnina M(P0) skup svih tocaka P iz R3 za koje je

# »P0P ·

grad f (P0) = 0, to znaci da# »P0P = (x −x0)i + (y − y0) j + (z − z0)k,

grad f = ∂ f

∂xi + ∂ f

∂yj + ∂ f

∂zk

povlaci da je

(x −x0)∂ f

∂x+ (y − y0)

∂ f

∂y+ (z − z0)

∂ f

∂z= 0 (2.16)

jednadžba ravnine M(P0). Pri tome u (2.16) parcijalne derivacije treba racunati u tocki P0.Ovako definirana ravnina M(P0) zove se tangencijalna ravnina na plohu Sc u tocki P0, a sa (2.16)je dana njezina jednadžba. Pravac kroz P0 koji je okomit na tangencijalnu ravninu M(P0) zovese normala na plohu Sc u tocki P0. Tocka P ∈R3 leži na toj normali ako i samo ako postoji realanbroj λ takav da je

# »OP = # »

OP0 +λgrad f . Odavde dobivamo parametarsku jednadžbu normale

x = x0 + ∂ f

∂x, y = y0 + ∂ f

∂y, z = z0 + ∂ f

∂z, λ ∈R (2.17)

Vektor

~n(P0) = grad f (P0)

|grad f (P0)|nazivamo jedinicni vektor normale na plohu Sc u tocki P0.

8

Definicija 2.11. Za skup S ⊂ R3 kažemo da je ploha klase C k (k ≥ 1), ako za svaku tocku P0 ∈ Spostoje:

1. pravokutni koordinatni sustav (O; i , j ,k);

2. okolina V tocke P0;

3. otvoren skupΩ⊆R2;

4. funkcija f :Ω→R klase C k naΩ

takvi da je sa z = f (x, y), (x, y) ∈Ω dana jednadžba skupa V ∩S.

Slika 2.1: Parametrizacija plohe

Definicija 2.12. Za plohu klase C k kažemo da je glatka ploha ako u svakoj tocki (x, y, z) na takvuplohu postoji tangencijalna ravnina.

Neka je S glatka ploha. U svakoj tocki plohe S uzmimo vanjsku normalu ~n, tj. vektor ~n gledaiz podrucja koje S ogranicava van. U tom slucaju kažemo da je ploha S pozitivno orijentirana itako orijentiranu plohu oznacavamo saäS. Drugu mogucu orijentaciju plohe S kod koje normalagleda u podrucje ograniceno sa S zovemo negativna orijentacija.

Definicija 2.13. Neka je f :Ω→ R skalarno polje, gdje je Ω ⊆ R3 otvoren skup. Neka je S plohasadržana u Ω zadana funkcijom z = g (x, y), (x, y) ∈ D ⊆ R2, gdje je D zatvoren skup omeden spo dijelovima glatkom krivuljom. Plošni integral skalarnog polja f po plohi S je brojÏ

S

f (x, y, z)dS =ÏD

f (x, y, g (x, y))

√1+

(∂g

∂x

)2

+(∂g

∂y

)2

dxdy (2.18)

Pokušajmo opravdati ovu definiciju.

Definicija 2.14. Neka je g :Ω→ R diferencijabilna funkcija, gdje je Ω ⊆ R2 otvoren skup i nekaje D ⊂ Ω skup koji je zatvoren i omeden s po dijelovima glatkom krivuljom. Ako se ploha Sortogonalno projicira na skup D te je pri tome zadana jednadžbom z = g (x, y), (x, y) ∈ D, tadaje površina plohe S definirana kao

P (S) =ÏD

√1+

(∂g

∂x

)2

+(∂g

∂y

)2

dxdy =ÏD

dS (2.19)

9

U definiciji (2.14) je izraz dS element površine, dakle površina je jednaka "beskonacnomzbroju" beskonacno malih elemenata površine, što je definicija integrala. Objasnimo formuluza element površine dS.

Slika 2.2: Element površine plohe

Dio plohe S koji se projicira na pravokutnik

(x0, y0), (x0 +dx, y0), (x0 +dx, y0 +dy), (x0, y0 +dy)

aproksimiramo paralelogramom koji leži u tangencijalnoj ravnini plohe S u tocki (x0, y0, g (x0, y0)),a projicira se na taj pravokutnik. Jednadžba tangencijalne ravnine glasi

z − g (x0, y0) = ∂g (x0, y0)

∂x(x −x0)+ ∂g (x0, y0)

∂y(y − y0).

Vrhovi paralelograma su

T1 = (x0, y0, g (x0, y0))

T2 =(

x0 +dx, y0, g (x0, y0)+ ∂g (x0, y0)

∂xdx

)T3 =

(x0 +dx, y0 +dy, g (x0, y0)+ ∂g (x0, y0)

∂xdx + ∂g (x0, y0)

∂ydy

)T4 =

(x0, y0 +dy, g (x0, y0)+ ∂g (x0, y0)

∂ydy

)Površina paralelograma je

dS ≈ |# »T1T2 × # »

T1T3| = |

∣∣∣∣∣∣∣i j k

dx 0 ∂g (x0,y0)∂x dx

0 dy ∂g (x0,y0)∂y dy

∣∣∣∣∣∣∣ |=

∣∣∣∣i (−∂g (x0, y0)

∂xdxdy)+ j (−∂g (x0, y0)

∂ydxdy)+k(−dxdy)

∣∣∣∣=

√(∂g (x0, y0)

∂x

)2

+(∂g (x0, y0)

∂y

)2

+1 dxdy,

10

a površina plohe je suma svih dS, odnosno

P (S) =ÏD

dS.

Definicija 2.15. Neka je~a :Ω→R3,Ω⊆R3, neprekidno vektorsko polje. Neka je glatka ploha S ⊆Ω zadana funkcijom z = f (x, y), (x, y) ∈ D, gdje je D otvoren skup s rubom koji je po dijelovimaglatka zatvorena krivulja. Plošni integral vektorskog polja ~a po orijentiranoj plohi äD je brojÏ

äD(

ax

(−∂ f

∂x

)+ay

(−∂ f

∂y

)+az

)dx dy. (2.20)

Koristeci definicije polja jedinicnih normala

~n =−∂ f∂x i − ∂ f

∂y j +k√1+

(∂ f∂x

)2 +(∂ f∂y

)2(2.21)

i elemenata površine dS, uz oznaku# »

dS =~ndS, možemo pisatiÏäS~a

# »

dS =ÏS

~a ·~ndS. (2.22)

2.2 Greenov teorem u ravnini

Teorem 2.1. Neka je Ω otvoren skup u R2 i M , N : Ω → R funkcije klase C 1 na Ω. Neka je Γkontura i neka je D zatvoreno podrucje unutar konture Γ. Pretpostavimo da je D podskup odΩ.Zakljucak: Vrijedi formula Ï

D

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)dx dy =

∫äΓ

M dx +N dy (2.23)

gdjeäΓ oznacava pozitivno orijentiranu krivulju Γ.

Dokažimo teorem za jedan specijalan slucaj.

Dokaz. Pretpostavimo da je zatvoreno i ograniceno podrucje D takvo da svaka paralela sa y-osi, odnosno sa x-osi, sijece rub Γ = ∂D podrucja D u najviše dvije tocke. Sa a i b oznacimobrojeve takve da je skup D sadržan u pruzi izmedu paralela sa y-osi koje idu tockama a i b, tj.D ⊆ [a,b]×R. Uvjeti na D su takvi da postoje dvije funkcije f1, f2 : [a,b] →R po dijelovima klaseC 1 na [a,b] i takve da je skup D izmedu grafova funkcija f1i f2, tj.

D = (x, y) ∈R2 : f1(x) ≤ y ≤ f2(x); x ∈ [a,b] (2.24)

Sa Γ1 oznacimo graf funkcije f1 i sa Γ2 graf funkcije f2. Sada je Γ = Γ1 ∪Γ2. Krivulju Γ1 ori-jentiramo od tocke (a, f1(a)) prema tocki (b, f1(b)), a krivulju Γ2 od tocke (b, f2(b)) prema tocki(a, f2(a)). Tako orijentirane krivulje oznacimo sa äΓ1 i äΓ2.

11

Slika 2.3: Podrucje D - apscise a i b

Pretpostavka da je M funkcija klase C 1 na otvorenom skupu Ω koji sadrži skup D osiguravaneprekidnost funkcijeΦ= ∂M

∂y naΩ. No tada vrijedi

ÏD

Φ dx dy =b∫

a

f2(x)∫f1(x)

Φ(x, y) dy

dx (2.25)

Newton-Leibnizova formula daje:

f2(x)∫f1(x)

Φ dy =f2(x)∫

f1(x)

∂M

∂ydy = M(x, f2(x))−M(x, f1(x)). (2.26)

Prema tome (2.25) prelazi u

ÏD

∂M

∂ydx dy =

b∫a

[M(x, f2(x))−M(x, f1(x))] dx =a∫

b

M(x, f2(x)) dx +b∫

a

M(x, f1(x)) dx.

Nob∫

a

M(x, f2(x)) dx =∫

−äΓ2

M dx +0 · dy =−∫äΓ2

M dx

a∫b

M(x, f1(x)) dx =∫

−äΓ1

M dx +0 · dy =−∫äΓ1

M dx

Prema tome je ÏD

∂M

∂ydx dy =−

∫äΓ1

M dx −∫äΓ2

M dx

iz cega slijedi

−ÏD

∂M

∂ydx dy =

∫∂D

M dx (2.27)

12

Slika 2.4: Podrucje D - ordinate c i d

Neka su sada c i d ordinate najniže i najviše tocke ruba ∂D i g1, g2 takve funkcije da je

D = (x, y) ∈R2 : g1(y) ≤ x ≤ g2(y); y ∈ [c,d ] (2.28)

Umjesto (2.25) sada imamo formulu

ÏD

Φ dx dy =d∫

c

g2(y)∫g1(y)

Φ(x, y) dx

dy (2.29)

koja u slucaju neprekidne funkcijeΦ= ∂N∂x prelazi u

ÏD

∂N

∂xdx dy =

d∫c

[N (g2(y), y)−M(g1(y), y)] dy =d∫

c

N (g2(y), y) dy

+d∫

c

N (g1(y), y) dy =∫∂D

N dy ⇒

ÏD

∂N

∂xdx dy =

∫∂D

N dy (2.30)

Zbrojimo li (2.27) i (2.30) dobivamo Greenovu formulu:ÏD

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)dx dy =

∫∂D

(M dx +N dy). (2.31)

13

2.3 Greenov teorem za višestruko povezana područja

Teorem 2.2. Neka su Γ0,Γ1, . . . ,Γn konture s ovim svojstvima:

1. bilo koje dvije od tih krivulja su disjunktne;

2. krivulje Γ1, . . . ,Γn leže u unutarnjem podrucju krivulje Γ0

3. krivulja Γi leži u vanjskom podrucju krivulje Γ j za i 6= j , i ≥ 1, j ≥ 1.

Neka je D unija krivulje Γ0 sa onim dijelom unutarnjeg podrucja krivulje Γ0 iz kojeg su izbacenaunutarnja podrucja krivulja Γ1, . . . ,Γn . Neka su M i N funkcije klase C 1 na otvorenom skupu kojisadrži skup D. Tada vrijedi Greenova formulaÏ

D

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)dx dy =

∫∂D

(M dx +N dy) =∫äΓ0

(M dx +N dy)−n∑

k=1

∫äΓk

(M dx +N dy)

gdje äΓi (i = 0,1, . . . ,n) oznacava pozitivno orijentiranu krivulju Γi .

Slika 2.5: Višestruko povezano podrucje D

Dokaz. Pokažimo teorem za podrucje D kao na slici (2.5). Ovaj skup nastaje tako da iz unutar-njeg podrucja krivulje Γ0 izbacimo unutarnje podrucje krivulje Γ1 zajedno s Γ1. Uzmimo tockeA,B ,C ,E , A′,B ′,C ′,E ′ kao na slici (2.5) b). Primjetimo sada da se skup D raspada na dva skupaD1 i D2 od kojih je svaki unutarnje podrucje po dijelovima glatkih jednostavnih krivulja. PremaGreenovom teoremu je

ÎD1

(∂N∂x − ∂M

∂y

)dx dy = ∫

∂D1

(M dx +N dy)ÎD2

(∂N∂x − ∂M

∂y

)dx dy = ∫

∂D2

(M dx +N dy)(2.32)

s tim da su krivulje ∂D1 i ∂D2 pozitivno orijentirane. Zbrojimo li formule (2.32), tada zbrojlijevih strana daje lijevu stranu formule (2.31), a zbroj desnih strana prelazi u ∫

A A′E

+∫

EC

+∫

C B ′B

+∫

B A

+∫

AB

+∫

BC ′C

+∫

C E

+∫

EE ′A

. (2.33)

Buduci da je ∫B A

=−∫

AB

,∫

EC

=−∫

C E

,∫

A A′E

+∫

E ′E A

=∫äΓ0

,∫

C B ′B

+∫

BC ′C

=∫

−äΓ1

14

to prelazi u ∫äΓ0

(M dx +N dy)+∫

−äΓ1

(M dx +N dy), (2.34)

a to pokazuje da formula (2.31) vrijedi ukoliko granicu ∂D od D orijentiramo kao na slici (2.5)c).

2.4 Greenov teorem u Rn

Teorem 2.3. Neka jeΩ⊆Rn otvoren i omeden skup i ∂Ω klase C 1. Tada za skalarno polje f klaseC 1 na nekoj okolini odΩ (najmanje na zatvaracu skupaΩ ) vrijedi∫

Ω

∂ f

∂xidx =

∫∂Ω

f ·ni dS (2.35)

gdje je ~n = (n1,n2, . . . ,nn) polje vanjskih jedinicnih vektora normale na ∂Ω zadano s (2.21).

Dokaz. U dokazu cemo koristiti tehniku koja se zove particija jedinice. Ukratko, neka je danrealni broj ε > 0. Tada postoji familija funkcija ϕ1, . . . ,ϕn definiranih na Rn klase C 1takvih davrijedi

n∑k=1

ϕk = 1 na zatvaracu odΩ

za svaki k,ϕk = 0 izvan kugle radijusa ε

Prvo se izaberu nenegativne funkcije ϕk koje zadovoljavaju drugo svojstvo takve da je njihovasuma pozitivna na zatvaracu od Ω i onda se svaka od njih normalizira tako da se podijeli saukupnom sumom. Funkcije ne moraju nužno biti klase C 1, vec bilo koje klase C k . Koristeciparticiju jedinice, dovoljno je dokazati (2.35)za svaki produkt ϕk f i zatim zbrojiti sve rezultateda bi dokazali teorem.

Sada promatramo dva slucaja. Prvi je slucaj kada je citava kugla unutar koje je funkcija fnenegativna sadržana u interioru skupa Ω. Tada je desna strana od (2.35) jednaka nuli jer jef ·ni jednako nuli na ∂Ω. Tada za lijevu stranu dobivamo

∫Ω

∂ f

∂xidx =

∫Rn

∂ f

∂xidx =

∫Rn−1

∞∫−∞

∂ f

∂xidxi

dS,

a unutarnji integral iznosi∞∫

−∞

∂ f

∂xidxi = 0.

Drugi slucaj je nešto kompliciraniji. Ovdje je funkcija f nenegativna unutar kugle proizvoljnomalog radijusa ε, ali ta kugla sijece ∂Ω. Particiju jedinice cemo primjeniti na ovaj slucaj takoda izaberemo tako male kugle da kada jedna presijece ∂Ω, otvoreni skup Ω u okolini te kuglemožemo opisati kao "jednu stranu" grafa funkcije klase C 1.

15

Slika 2.6: Primjer drugog slucaja

Dio skupaΩ koji je prikazan na slici možemo opisati nejednakošcu

x j >ϕ(x1, . . . , x j−1, x j+1, . . . , xn),

odnosno x j < ϕ(x1, . . . , x j−1, x j+1, . . . , xn) ukoliko se skup nalazi sa druge strane ruba, ali tu va-rijantu necemo razmatrati. Prilagodimo sada neke oznake. Prvo, pošto je f jednaka nuli izvanneke proizvoljno male kugle, smijemo pretpostaviti da je f definirana za sve x j koji zadovolja-vaju gornju nejednakost. Drugo, razmjestit cemo koordinate tako da je j = n. Trece, sa x ′ cemooznaciti vektor x ′ = (x1, . . . , xn−1) tako da je f definirana za sve x takve da je xn >ϕ(x ′), x ′ ∈ V ,gdje je V ⊂Rn−1 proizvoljno mala kugla.

Sada možemo polje ~n zadati sa

~n =(∂ϕ∂x1

, · · · , ∂ϕ∂xn−1

,−1)

√||∇ϕ||2 +1, (2.36)

te

dS =√||∇ϕ||2 +1 dx1 . . .dxn−1 =

√||∇ϕ||2 +1 dx ′ (2.37)

Prema tome,

ni dx ′

∂ϕ∂xi

dx ′ za i 6= n

−dx ′ za i = n(2.38)

Iz ovih formula slijedi da moramo promatrati još dva slucaja. Neka je prvo i = n. Ovdjeimamo ∫

Ω

∂ f

∂xndx =

∫V

∞∫ϕ(x ′)

∂ f

∂xndxn dx ′ =

∫V

f∣∣xn=∞

xn=ϕ(x ′) dx ′

=∫V

− f (x ′,ϕ(x ′)) dx ′ =∫∂Ω

f ·nn dS

cime je teorem dokazan.

Drugi slucaj gledamo za i 6= n. Ovdje imamo problem što moramo prvo napraviti integracijupo xn , pa cemo za svaki fiksan x ′ ∈V napraviti zamjenu xn =ϕ(x ′)+t . Tada za 0 < t <∞ imamo:

16

∫Ω

∂ f

∂xidx =

∫V

∞∫ϕ(x ′)

∂ f

∂xi(x ′, xn) dxn dx ′

=∫V

∞∫0

∂ f

∂xi(x ′,ϕ(x ′)+ t ) dt dx ′

=∫

V ×(0,∞)

∂ f

∂xi(x ′,ϕ(x ′)+ t ) dt dx ′

=∫

V ×(0,∞)

[∂

∂xi( f (x ′,ϕ(x ′)+ t ))− ∂ϕ

∂xi

∂ f

∂xn

]dt dx ′

Sada provodimo dvije integracije. Prvo cemo vidjeti što se dogodi s prvim dijelom integrala.Pošto integraciju provodimo za fiksan t , ustvari imamo

∞∫−∞

∂

∂xi( f (x ′,ϕ(x ′)+ t )) dxi = 0.

Za drugi dio integrala vratimo se s varijable t na xn pa dobivamo∫Ω

∂ f

∂xidx =

∫V ×(0,∞)

− ∂ϕ

∂xi

∂ f

∂xn(x ′,ϕ(x ′)+ t ) dt dx ′

=∫V

− ∂ϕ

∂xi

∞∫ϕ(x ′)

∂ f

∂xn(x ′, xn) dxn dx ′

=∫V

− ∂ϕ

∂xif (x ′, xn)

∣∣xn=∞xn=ϕ(x ′) dx ′

=∫V

∂ϕ

∂xif (x ′,ϕ(x ′)) dx ′

=∫∂Ω

f ·ni dS

Ovime je u potpunosti dokazan teorem.

2.5 Teorem o divergenciji

Teorem 2.4. Neka je V zatvoreno podrucje u prostoru R3 ograniceno sa po dijelovima glatkomzatvorenom plohom koja samu sebe ne presijeca i neka je ~n polje vanjskih normala na S zadanos (2.21).Ako je ~a vektorsko polje klase C 1 u okolini podrucja V , onda vrijedi formula:Ñ

V

div~a dx dy dz =ÏäS~a

# »

dS (2.39)

17

odnosno ∫V

div~a dV =∫S

~a ·~n # »

dS (2.40)

Slika 2.7: Po dijelovima glatka ploha S = S1 ∪S2 ∪S0

Formula 2.40 zove se još i Gauss-Green-Ostrogradski formula, a ovim teoremom omogucenoje pretvaranje integrala po plohi S u trostruki integral po podrucju koje ta ploha omeduje.

Dokaz teorema se provodi jednako kao i dokaz Greenovog teorema u Rn jer je teorem o di-vergenciji ustvari Greenov teorem definiran na R3 za vektorsko polje ~a.

2.5.1 Neke posljedice teorema o divergenciji

Neka je (O; i , j ,k) desni pravokutni koordinatni sustav i V zatvoreno podrucje prostora ograni-ceno plohom S = ∂V takvom da se teorem o divergenciji može primjeniti na svako vektorskopolje klase C 1 u okolini od V .

Teorem o gradijentu

Teorem 2.5. Neka je f skalarno polje klase C 1 u okolini podrucja V . Tada vrijediÑV

grad f dV =Ó∂V

f ·~n dS (2.41)

gdje je ~n polje jedinicnih vektora normale dano formulom (2.21).

Dokaz. Jednostavnim racunom dobivamo:ÑV

grad f dV = iÑ

V

∂ f

∂xdV + j

ÑV

∂ f

∂ydV +k

ÑV

∂ f

∂zdV

= iÑ

V

div(i f )dV + jÑ

V

div( j f )dV +kÑ

V

div(k f )dV

= iÓ∂V

i f ·~n dS + jÓ∂V

j f ·~n dS +kÓ∂V

k f ·~n dS

=Ó∂V

[(~n · i )i + (~n · j ) j + (~n ·k)k] f dS =Ó∂V

f ·~n dS

cime je teorem dokazan.

18

Teorem o rotaciji

Teorem 2.6. Neka je ~a vektorsko polje klase C 1 u okolini podrucja V . Tada vrijediÑV

rot~a dV =Ó∂V

(~n ×~a) dS (2.42)

gdje je ~n polje jedinicnih vektora normale dano formulom (2.21).

Dokaz. Jednostavnim racunom dobivamo:ÑV

rot~a dV = iÑ

V

[∂az

∂y− ∂ay

∂z

]dV + j

ÑV

[∂ax

∂z− ∂az

∂x

]dV +k

ÑV

[∂ay

∂x− ∂ax

∂y

]dV

= iÑ

V

div(az j −ay k)dV + jÑ

V

div(−az i +ax k)dV

+ kÑ

V

div(ay i −ax j )dV = iÓ∂V

(az j −ay k) ·n dS

+ jÓ∂V

(−az i +ax k) ·n dS +kÓ∂V

(ay i −ax j ) ·n dS

=Ó∂V

[i

∣∣∣∣n · j n ·kay az

∣∣∣∣− j

∣∣∣∣n · i n ·kax az

∣∣∣∣+k

∣∣∣∣n · i n · jax ax

∣∣∣∣]dS

=Ó∂V

(~n ×~a) dS

cime je teorem dokazan.

2.6 Stokesov teorem

Neka je (O; i , j ,k) desni pravokutni koordinatni sustav u prostoru,Ω podrucje koje leži u x y-ravnini i neka je f :Ω→R funkcija klase C 2 naΩ. Uzmimo zatvoreno podrucje D ⊂Ω takvo daje γ= ∂D glatka kontura i pretpostavimo da paralele sa x-osi, odnosno sa y-osi, sijeku krivulju∂D u najviše dvije tocke.

Puni valjak D ×R nad podrucjem D isijeca dio S plohe z = f (x, y), (x, y) ∈Ω. Sa Γ oznacimokrivulju koja obrubljuje plohu S, tj. dio plohe S koji se projicira na γ. Krivulju γ orijentiramou pozitivnom smjeru i tu orijentaciju prenesemo na Γ, tj. krivulju Γ orijentiramo tako da tocka(x, y, f (x, y)) napreduje po Γ u pozitivnom smislu, kada tocka (x, y) prolazi po γ suprotno kre-tanju kazaljke na satu.

19

Slika 2.8: Valjak D ×R

Ako je x =U (t ), y =V (t ), t ∈ [a,b] glatka parametrizacija krivulje γ koja odgovara pozitivnojorijentaciji, onda je sa

ρ(t ) =U (t )i +V (t ) j + f (U (t ),V (t ))k, t ∈ [a,b] (2.43)

dana glatka parametrizacija krivulje Γ. Napomenimo da je ploha S dana sa r (x, y) = xi + y j +f (x, y)k, (x, y) ∈ D.

Jedinicni vektor ~T tangente na krivulju Γ ima isti smjer kao i vektor ∂ρ∂t . Sada cemo sa ~n(P )

oznaciti jedinicni vektor normale u tocki P ∈ S usmjeren tako da se gledano sa vrha vektora ~nkrivulja Γ oko S obavija suprotno kretanju kazaljke na satu. Ploha S, za koju je u svakoj tockiodabran jedinicni vektor normale, orijentirana je ploha. Ukoliko su ploha S i njezin rub Γ ori-jentirani na gore opisani nacin, kažemo da su oni koherentno orijentirani.

Teorem 2.7. Neka je S po dijelovima glatka ploha i neka je granica ∂S od S (orijentirana saP 7→ n(P )) po dijelovima glatka jednostavna zatvorena krivulja, orijentirana koherentno s ori-jentacijom plohe S funkcijom tangente P 7→~n(P ). Tada vrijedi formula∫

S

rot~a# »

dS =∫∂S

~a ·~T ds (2.44)

za svako vektorsko polje ~a klase C 1 u okolini plohe S.

Dokaz. Stokesov teorem ce biti dokazan uz neke vrlo restriktivne uvjete. Funkcija f ce bitiklase C 2, a granica γ podrucja D glatka krivulja. Ti uvjeti se mogu oslabiti tako da f bude klaseC 1, a granica γ po dijelovima glatka krivulja takva da podrucje D zadovoljava uvjete Greenovateorema.

20

Slika 2.9: Primjer podrucja za koje vrijedi Stokesov teorem

Primjenit cemo formulu (2.31) za pogodno odabrane funkcije M =~a · ∂r∂x i N =~a · ∂r

∂y .Koristit cemo formulu

(∇×~a) ·(∂r

∂x× ∂r

∂y

)= ∂

∂x

(~a · ∂r

∂y

)− ∂

∂y

(~a · ∂r

∂x

)(2.45)

koju je lako direktno provjeriti.Polazeci od parametrizacije (2.43) krivulje Γ imamo

∫∂S

~a ·~T ds =b∫

a

~a[r (U (t ),V (t ))]ρ′(t )dt

=b∫

a

~a[r (U (t ),V (t ))]

[∂r

∂xU ′(t )+ ∂r

∂yV ′(t )

]dt

=∫∂D

(M dx +N dy) =∫D

[∂

∂x

(~a · ∂r

∂y

)− ∂

∂y

(~a · ∂r

∂x

)]dx dy

=∫D

(∇×~a) ·(∂x

∂y× ∂r

∂y

)dx dy =

∫D

(∇×~a)

(−i∂ f

∂x− j

∂ f

∂y+k

)dx dy

=∫S

(∇×~a)# »

dS

cime je teorem dokazan.

U slucaju da je a = M i +N j i S = D , Stokesova formula prelazi u Greenovu formulu.

21

3 Primjene Greenovog teorema

3.1 Cauchyjev teorem

Definicija 3.1. Neka jeΩ⊆C, f :Ω→C i definirajmo realne funkcije u i v sa

f (z) = u(x, y)+ i v(x, y), z = x + i y ∈Ω, (3.1)

tj. u = Re f , v = Im f . Ako je funkcija f ′ neprekidna naΩ, f se zove analiticka funkcija naΩ.

Teorem 3.1. Ako je funkcija f analiticka u otvorenom skupu Ω ⊆ C i ako je Γ kontura koja za-jedno sa svojim unutarnjim podrucjem leži uΩ, onda je∫

Γ

f (z) dz = 0 (3.2)

Dokaz. Neka jeΩ⊆C otvoren skup i neka je f analiticka funkcija naΩ. Tada su realni u = Re f iimaginarni v = Im f dijelovi od f :Ω→C funkcije klase C 1 koje su vezane Cauchy-Riemannovimuvjetima

∂u

∂x= ∂v

∂y, −∂u

∂y= ∂v

∂x(3.3)

Vrijedi ∫Γ

f (z) dz =∫Γ

(u dx − v dy)+ i∫Γ

(v dx +u dy)

Primjenjujemo Greenov teorem (2.31) uzimajuci M = u, N = −v , odnosno M = v, N = u ikoristeci jednadžbe (3.3) dobivamo∫

Γ

(u dx − v dy) =∫D

(−∂v

∂x− ∂u

∂y

)dx dy = 0

∫Γ

(v dx +u dy) =∫D

(−∂u

∂x− ∂v

∂y

)dx dy = 0

Time je teorem dokazan.

3.2 Zakon sačuvanja mase

Uzmimo da proucavamo stacionarno protjecanje fluida. To je takvo protjecanje tekucine prikojem brzina ~v i gustoca ρ tekucine ne ovise o vremenu nego samo o položaju u prostoru. Za-mislimo plohu S u tekucini i pokušajmo odrediti kolicinu tekucine koja tokom kratkog vremen-skog intervala t protece kroz plohu S. U tu svrhu plohu S podijelimo na male plohe S1, . . . ,Sm .Kolicina tekucine koja kroz malu plohu Sk površine µ(Sk ) protece tokom vremena t odredena

22

je volumenom valjka kome je baza Sk , a duljina izvodnice je jednaka |~v ·t |. Oznacimo li sa~n(Qk )jedinicni vektor normale na plohu Sk u tocki Qk koja leži na Sk , onda je sa

ρ(Qk )µ(Sk )~v(Qk )~n(Qk ) · t

približno dana kolicina tekucine koja kroz Sk protece za vrijeme t . No tada je sa

n∑k=1

ρ(Qk )µ(Sk )~v(Qk )~n(Qk )

približno dana kolicina tekucine koja prode u jedinici vremena plohom S. Odavde vidimo daplošni integral ∫

S

ρ ~v ·~n dS (3.4)

daje traženu kolicinu tekucine koja u jedinici vremena protece kroz plohu S, što možemo shva-titi i kao kolicinu tekucine koja u jedinici vremena istece i utece u kuglu V (r ) radijusa r koja jeomedena plohom S. Ako je (3.4) strogo pozitivna velicina, to onda znaci da se iz V (r ) u jedinicivremena više tekucine izlije nego što se ulije. To bi znacilo da u tom dijelu prostora postojeizvori tekucine. Sa

1

µ(V (r ))

∫S

ρ ~v ·~n dS, (3.5)

gdje je µ(V (r )) volumen kugle V (r ), dana je prosjecna gustoca jakosti izvora koji se nalaze uV (r ). Prijedemo li na limes po r → 0 i iskoristimo formulu

div~a (P ) = limr→0

1

µ(V (r ))

∫S

~a ·~n dS

dolazimo do zakljucka da divρ~v u tocki P daje intenzitet izvora tekucine u tocki P . Prema tome,div ~a (P ) > 0 znaci da polje ~a ima izvor u tocki P . Analogno tome, div ~a (P ) < 0 znaci da polje ~au tocki P ima ponor, a ako je div ~a = 0 na V , onda to znaci da V nema ni izvora ni ponora.

Uzmimo sada da promatramo protjecanje tekucine kojoj gustoca ρ zavisi od položaja i odvremena, tj. da je ρ funkcija od x, y, z i od t . Masa tekucine u podrucju V je tada dana s

m(t ) =∫v

ρ dV ,

a sadm

dt=

∫∂V

ρ ~v dS (3.6)

dana je kolicina tekucine koja u jedinici vremena izade iz podrucja V . Promjena (3.6) nastaje izdva dijela. U prvom redu promjena gustoce tokom vremena koja doprinosi da masa

−∫V

∂ρ

∂tdV (3.7)

tekucine izade iz V . Nadalje, izvori (ili ponori) jacine τ koji se nalaze u V doprinose da iz Vizade tekucina mase

4π∫V

ρ τ dV. (3.8)

23

Teorem o divergenciji daje ∫∂V

ρ ~v dS =∫V

div(ρ ~v) dV. (3.9)

Zbroj od (3.7) i (3.8) daje masu koja u jedinici vremena istece iz V , a to je jednako (3.9). Prematome

4π∫V

ρ τ dV −∫V

∂ρ

∂tdV =

∫V

div(ρ ~v) dV ⇒

∫V

[div(ρ ~v)+ ∂ρ

∂t−4πτ

]dV = 0. (3.10)

Buduci da je podintegralna funkcija u (3.10) neprekidna i da je zamišljeno podrucje V pro-izvoljno iz (3.10), dobivamo:

∂ρ

∂t+div(ρ ~v) = 4πρ τ (3.11)

Jednadžba (3.11) naziva se jednadžba kontinuiteta i ona je temeljna jednadžba hidrodinamike.

3.3 Eulerova jednadžba za idealne fluide

Teorem 3.2 (Jednadžba transporta). Neka je ~F vektorsko polje na R3 i oznacimo tok vektorskogpolja ~F s pocetkom u~x u vremenu t saφ(~x, t ). Neka je J (~x, t ) Jakobijan odφt :~x 7→φ(~x, t ) za nekit fiksan. Tada vrijedi

∂

∂tJ (~x, t ) = [div ~F (φ(~x, t ))] J (~x, t ). (3.12)

Za danu funkciju f (x, y, z, t ) i podrucje W ⊂R3, jednadžba transporta glasi:

d

d t

ÑWt

f (x, y, z, t ) dx dy dz =ÑWt

(D f

Dt+ f div ~F

)dx dy dz, (3.13)

gdje je Wt =φt (W ), što oznacava podrucje koje se krece s tokom, i gdje je

D f

Dt= ∂ f

∂t+∇ f ·~F .

Neka su φ, J ,~F , f definirani kao u teoremu. Vektorska forma gornjeg teorema glasi

d

d t

ÑWt

( f ·~F ) dx dy dz =ÑWt

(∂

∂t( f ·~F )+~F ·∇( f ·~F )+ ( f ·~F )div ~F

)dx dy dz (3.14)

gdje ~F ·∇( f ·~F ) oznacava 3x3 matricu D( f ·~F ) koja djeluje na vektor stupac ~F .

Jednadžba kontinuiteta nije dovoljna da bismo potpuno opisali kretanje fluida. Fluidi kojeopisuje jednadžba kontinuiteta mogu biti stlacivi. Ako je div~v = 0 (nestlacivi slucaj) i ρ je kons-tanta, tada vrijedi formula

ρdiv~v +~v ·∇ρ+ ∂ρ

∂t= 0.

Medutim opcenito, cak i u slucaju nestlacivih fluida, formula nije automatski primjenjiva jer jeρ funkcija od (x, y, z) i t . Prema tome, cak i ako vrijedi div~v = 0, div(ρ~v) 6= 0 takoder može bitiistinito.

24

Ovdje cemo razmatrati Eulerovu jednadžbu idealnog fluida. Neka se neviskozan fluid gibakroz prostor brzinom ~v . Kada kažemo da je fluid idealan, pri tome mislimo da ako je W nekidio prostora kroz koji se fluid giba, sile tlaka djeluju na rub od W duž njegove normale.

Pretpostavimo da je sila na jedinicnu površinu koja djeluje na ∂W jednaka −p~n, gdje jep(x, y, z, t ) funkcija koju cemo zvati tlak. Prema tome, ukupna sila koja djeluje na W jednaka je

~F∂W =−Ï∂W

p~ndS. (3.15)

Ovo je vektorska velicina; i -ta komponenta od ~F∂W je integral po i -toj komponenti od p~nnad ∂W (što je plošni integral realne funkcije). Ako je~e neki fiksan vektor u prostoru, dobivamo

~F∂W ·~e =−Ï∂W

p ·~e ·~ndS,

što je integral skalara nad ∂W . Prema teoremu o divergenciji i ako iskoristimo relacijudiv( f ·~F ) = f div~F +~F ·∇ f dobivamo

~E ·~F∂W =−ÑW

div(p~E) dx dy dz =−ÑW

(gradp) ·~E dx dy dz

pa je

~F∂W =−ÑW

∇p dx dy dz (3.16)

Sada primjenimo Newtonov drugi zakon na podrucje Wt koje se giba. Kao u jednadžbi trans-porta, Wt =φt (W ), gdje φt (x) =φ(x, t ) oznacava vektorski tok polja~v . Promjena brzine gibanjafluida u Wt jednaka je sili koja djeluje na njega:

d

d t

ÑWt

p~v dx dy dz = ~F∂Wt =ÑWt

∇p dx dy dz.

Primjenimo vektorski oblik jednadžbe transporta na lijevu stranu i dobivamoÑWt

(∂

∂t(ρ~v)+~v ·∇(ρ~v)+ρ~vdiv~v

)dx dy dz =−

ÑWt

∇p dx dy dz.

Pošto je Wt prozivoljan, to je ekvivalentno

∂

∂t(ρ~v)+~v ·∇(ρ~v)+ρ~vdiv~v =−∇p.

Pojednostavljivanje pomocu formule izvedene iz jednadžbe kontinuiteta koja glasi

ρdiv~v +~v ·∇ρ+ ∂

∂t= 0

nam daje

ρ

(∂~v

∂t+~v ·∇~v

)=−∇p. (3.17)

Gornja jednadžba se naziva Eulerova jednadžba za idealne fluide.Za stlacive fluide, p ce biti funkcija od ρ (npr. za neke plinove vrijedi p = Aργ, gdje su A i γ

konstante). Ako je fluid nestlaciv, ρ ce biti odredeno iz uvjeta div~v = 0.

25

3.4 Drugi Fickov zakon

Neka je T (t , x, y, z) funkcija klace C 2 koja oznacava temperaturu u nekom tijelu u vremenu t .Tada je ∇T funkcija vremena, a toplina "tece" unutar vektorskog polja −∇T = ~F . Primjetimo da∇T ide u smjeru porasta temperature. Pošto toplina prelazi s toplijeg tijela na hladnije, stav-ljen je minus da bi model odgovarao fizikalnoj stvarnosti. Gustoca energije, odnosno kolicinaenergije u jedinici vremena, se oznacava sa cρ0T , gdje je c konstanta koju zovemo specificnitoplinski kapacitet, a ρ0 je gustoca mase, što je takoder konstanta. Vektor toka energije je defi-niran sa~J = k~F , gdje je k konstanta koju nazivamo provodljivost.

Pretpostavimo sada da je ukupna kolicina energije ocuvana. To znaci da ~J i ρ = cρ0T ispu-njavaju zakon ocuvanja mase, gdje ρ ima ulogu mase (iako je ustvari gustoca energije). Sadaimamo

d

d t

ÑW

ρdV =−Ï∂W

~J ·~n dS

što je ekvivalentno jednadžbi kontinuiteta

div~J + ∂ρ

∂t= 0. (3.18)

Medutim,div~J = div(−k∇T ) =−k4T

gdje je 4 Laplaceov operator zadan sa (2.7). Nadalje,

∂ρ

∂t= ∂(cρ0T )

∂t= cρ0

∂T

∂t.

Prema tome, jednadžba (3.18) prelazi u

∂T

∂t= k

cρ04T = κ4T, (3.19)

gdje je κ= kcρ0

konstanta difuzije.

Jednadžba (3.19) se naziva jednadžba difuzije ili drugi Fickov zakon.

3.5 Maxwellove jednadžbe i nehomogena valnajednadžba

Neka su ~E i ~H funkcije od (t , x, y, z) klase C 1 takve da cine vektorsko polje za svaki t . Fizi-kalno, ~E možemo promatrati kao elektricno, a ~H kao magnetno polje. Takva polja zadovoljavajuMaxwellove jednadžbe gdje je ρ(t , x, y, z) gustoca naboja, a~J (t , x, y, z) gustoca elektricne struje:

∇·~E = ρ (Gaussov zakon) (3.20)

∇· ~H = 0 (ne postoje magnetni monopoli) (3.21)

∇×~E + ∂~H

∂t= 0 (Faradayev zakon) (3.22)

∇× ~H − ∂~E

∂t= ~J (Ampereov zakon) (3.23)

26

Prema prethodnim jednadžbama možemo zakljuciti da, s protjecanjem vremena t , polja ~E i~H medudjeluju te djeluju na naboje ili tokove struje koji su prisutni.

Pošto je ∇·~H = 0, postoji vektorsko polje ~A takvo da vrijedi ~H =∇×~A (ako pretpostavimo da je~H definirano na citavom R3 za svako vrijeme t ). Vektorsko polje ~A nije jedinstveno pa možemokoristiti ~A′ = ~A +∇ f za bilo koju funkciju f (t , x, y, z) jer je ∇×∇ f = 0. Za svaki takav ~A, premajednadžbi (3.22), dobivamo

0 = ∇×~E + ∂~H

∂t=∇×~E + ∂

∂t∇×~A

= ∇×~E ×∇× ∂~A

∂t=∇×

(~E + ∂~A

∂t

)

Primjetimo da je vektorsko polje ~E + ∂~A∂t potencijalno. To znaci da postoji realna funkcijaφ na

R3 takva da vrijedi

~E + ∂~A

∂t=−∇φ. (3.24)

Primjenimo sada jednadžbu (3.24) i relaciju

∇× (∇×~A) =∇(∇·~A)−4~A

na jednadžbu (3.23) i u tom slucaju dobivamo

~J = ∇× ~H − ∂~E

∂t=∇× (∇×~A)− ∂

∂t

(−∂~A

∂t−∇φ

)

= ∇(∇·~A)−4·~A+ ∂2~A

∂t 2+ ∂

∂t(∇φ).

Prema tome,

4~A− ∂2~A

∂t 2=−~J +∇(∇·~A)+ ∂

∂t(∇φ)

što znaci

4~A− ∂2~A

∂t 2=−~J +∇

(∇·~A+ ∂φ

∂t

). (3.25)

Iskoristimo li ponovno jednadžbu (3.24) i jednadžbu (3.20), dobivamo

ρ =∇·~E =∇·(−∇φ− ∂~A

∂t

)=−4φ− ∂(∇·~A)

∂t,

odnosno

4φ=−ρ− ∂(∇·~A)

∂t. (3.26)

Iskoristimo sada slobodu koju imamo pri izboru vektorskog polja ~A. Uvodimo "uvjet"

∇·~A+ ∂φ

∂t= 0. (3.27)

Moramo biti sigurni da to možemo napraviti. Pretpostavimo li da imamo zadane ~A0 i pripadnu

funkciju φ0, možemo li izabrati novi ~A = ~A0+∇ f i novi φ takav da vrijedi ∇·~A+ ∂φ∂t = 0? S novim

~A, novi φ je φ0 − ∂ f∂t .

27

Uvjet (3.27) tada postaje

0 =∇· (~A0 +∇ f ) =∂(φ0 − ∂ f

∂t

)∂t

=∇·~A0 +4 f + ∂φ0

∂t− ∂2 f

∂t 2,

to jest

4 f − ∂2 f

∂t 2=−

(∇·~A0 + ∂φ0

∂t

). (3.28)

Prema tome, da bismo mogli izabrati ~A i φ koji zadovoljavaju ∇ · ~A + ∂φ∂t = 0, moramo moci

riješiti jednadžbu (3.28) koju zovemo nehomogena valna jednadžba.

Ako prihvatimo da ~A iφmogu biti izabrani tako da zadovoljavaju∇·~A+∂φ∂t = 0, tada jednadžbe

(3.25) i (3.26) za ~A i φ postaju

4~A− ∂2~A

∂t 2=−~J

4φ− ∂2φ

∂t 2=−ρ.

Obratno, ako ~A iφ zadovoljavaju jednadžbe ∇·~A+ ∂φ∂t = 0, 4φ− ∂2φ

∂t 2 =−ρ i 4~A− ∂2~A∂t 2 =−~J , tada

polja ~E =−∇φ− ∂~A∂t i ~H =∇×~A zadovoljavaju Maxwellove jednadžbe. U tom slucaju Maxwellove

jednadžbe možemo promatrati kao valne jednadžbe.

28

Literatura

|1| S. Kurepa, Matematicka analiza 3, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1975.

|2| K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering,Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

|3| C.L. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Berkeley, 1997.

|4| Š. Ungar, Matematicka analiza 4, skripta

|5| I. Slapnicar, Matematika 3, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Split, 2006.

|6| H. Kraljevic, S. Kurepa, Matematicka analiza 4 (Funkcije kompleksne varijable), Tehnickaknjiga, Zagreb, 1986.

|7| V. A. Zorich, Mathematical Analysis II, 4th Corrected Edition, Moscow, 2002.

|8| J. E. Marsden, A. J. Tromba, Vector Calculus, Fifth Edition, New York, 2003.

29