Zlatni Rez

  • View
    184

  • Download
    8

Embed Size (px)

Text of Zlatni Rez

OBLIKOVANJE RADNOG PROSTORA : Zlatni rez i Fibonaccijevi brojeviOd poetka postojanja ovjeka na Zemlji, ljudi su se trudili definirati pojmove ljepote, sklada, i funkcionalnosti, u glazbi, likovnoj umjetnosti, arhitekturi, pa sve do oblikovanja relativno banalnih, praktinih stvari, koje koristimo u svakodnvnom ivotu. Ljepotu ili sklad je same po sebi teko definirati, jer su oni prvenstveno subjektivni, te su se kroz povijest mjenjali u ovisnosti o uvijetima u kojima je ovjek ivio u tom trenutku. Dok je definiranje neeg prvenstveno subjektivnog samo po sebi kotradiktorno, ideal funkcionalnosti moda je neto laki za definiranje. Teilo se formuliranju zakona kojima bi se to jednostavnije definiralo savreno funkcioniranje i oblikovanje ovjekove ivotne i radne okoline, uz stanovitu dozu ljepote i sklada. U pokuaju da se dostigne te ideale ovjek je po modelu, pokuao kopirati stvaralatvo prirode, koja je oduvijek bila sinonim za savreno funkcioniranje i organizaciju do najmanjeg detalja, uz neki sveprisutni sklad i ljepotu, koji bi podupirali takvu organizaciju i funkcioniranje. Od jednostanine amebe, pa sve do najveih ivuih organizama kao to su uljeture i kitovi, bez obzira na njihovu veliinu, svi su organizmi (ukljuujui i ovijeka) bili sposobni kretati se, hraniti, razvijatijednom rijeju ivjeti, te je svaki od njih bio oblikovan po nekom naelu koje mu je bez obzira na uvjete i vrijeme u kojima je postojao, omoguavalo da ivi. Ba zbog tih razloga, ovjek se trudio pronai nekakav zakon, ili matematiku formulaciju prirodnog sklada koji je omoguavao tako savreno funkcioniranje. Stari Egipani, poznati po graditeljstvu velianstvenih graevina, koje ovjek do danas smatra jednim od najveih svijetskih uda, koristili su odreene proporcije i zakonitosti pri gradnji, dobivenih promatranjem prirode. Grci, kao predstavnici kulturolokog razvoja svog vremena, takoer su bili svjesni postojanja odreenih proporcija koje su odreivale sklad i ljepotu, te su prema tim naelima gradili graevine, kipove i ostale umjetnike forme, koje su do danas ostali simboli ideala ljepote i sklada. Ako se malo odmaknemo i sagledamo malo iru sliku, pitamo se to je to zajedniko svim definicijama sklada i ljepote koji su se kroz godine mijenjali. Odgovor na to daje nam "zlatni rez" ili tzv. boanska proporcija, i Fibonaccijevi brojevi. Sigurno se pitate, kako je mogue da jedan omjer, ma kakav on bio, moe biti zajednikim svim navedenim idealima, i jo bitnije od toga, kako se taj omjer

uklapa u funkcioniranje i stvaralatvo prirode, a samim time i ovjekove radne i ivotne okoline?

Fibonaccijevi brojevi"Najvei matematiar srednjeg vijeka", Leonardo Pisano, poznat kao Fibonacci, Talijan roen oko 1775. otkrio je neobino svojstvo matematikog niza koji danas nosi njegovo ime, iako nije sigurno da li je bi svjestan povezanosti niza sa zlatnim rezom. Njegovim najveim doprinosom matematici smatra se dijelo "Liber Abaci" ("Knjiga raunanja"), koje je postalo vodei uthecaj na koritenje arapskog (decimalnog) brojevnog sustava u Europi, te njegovom prevladavanju nad rimskim sustavom. Fibonaccijevi brojevi ili Fibonaccijev niz ine sljedei brojevi : 0 1 1 2 3 5 8 13 21 .... Svaki sljedei broj rauna se kao zbroj prethodna dva broja u niz. prva dva broja su 0 i 1 0+1=1 1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 .... Fibbonaci je do otkria doao promatrajui razmnoavanje zeeva u prirodi, te pokuavajui predvidjeti koliko e parova dijece podignuti jedan par roditelja, u jednoj godini. 1. Na poetku je bio jedan par zeeva - roditelji. 2. Na kraju prvog mjeseca, zeevi su se parili, ali je ostao samo jedan par zeeva. 3. Na kraju drugog mjeseca, roditelju si imali 1 par djece, to znai da sad imamo 2 para zeeva. 4. Na kraju treeg mjeseca, roditelji imaju novi par djece, sto nam daje ukupno 3 para zeeva. 5. Na kraju etvrtog mjeseca, roditelji imaju novi par djece, ali i njihova prva djeca imaju jedan par djece, to je sveukupno 5 parova zeeva. Broj parova zeeva po mjesecima moemo vidjeti na sljedeem dijagramu :

Uzorak koji se ponavlja u Fibonaccijevom nizu kasnije je primjeen u jo mnogim pojavama u prirodi: spiralni rast koljaka, uzorkom rata lia na biljkama, omjerom djelova tijela ivotinja i ovjeka, .... Bitna osobina Fibonaccijevog niza, za koju nije sigurno da je je bio svjestan sam Fibonacci, je konvergencija djeljenja dva uzastopna lana niza tei u broj 1.61803398... to je ni manje ni vie nego tzv. "Zlatni broj" ili (Phi), koji je izravno povezan sa omjerom zlatnog reza i iznosi 1.6180339887...

Jo jedan nain prezantacije Fibbonacijevog niza je crtanjem kvadrata odreene povrine. Poninjemo sa dva kvadrata duine stranice 1, koje nacrtamo jedn do drugog. Zatima iznad ta dva kvadrata nacrtamo kvadrat duine stranice 2 (1+1=2). Zatim pored tako dobivenog pravokutnika, nacrtamo kvadrat duine stranice 3 (1+2=3) . Nastavimo li dodavati nove kvadrate na sliku, takve da je stranica novog kvadrata jednaka zbroju duljina stranica prethodna dva, dobivamo kvadrate ije su duljine stranica jednake brojevima Fibonaccijevog niza.

Ako u tako dobivene kvadrate ucrtamo pravokutne krune lukove dobivamo spiralu. Spirala nije prava matematika spirala, poto je napravljena od krunih isjeaka, ali je vrlo dobra aproksimacija spirala koje se pojavljuju u prirodi kod pueva, koljaka, te u rasporedu sjemenki kod biljaka.

Ostala neobicna svojstva Fibonaccijevog niza : http://goldennumber.net/math.htm

Zlatni broj, omjer zlatnog rezaZlatni brojZlatni broj, Phi () iznosi 1.6180339887.... Phi moemo izraunati na vie naina, od kojih je svaki relativno intuitivan, i pokazuje nam jedno od bitnih svojstava tog broja. Phi moemo dobiti rjeavanjem sljedee jednadbe: n2 - n1 - n0 = 0 to je jednako n2 - n - 1 = 0 to meemo pisati kao n2 = n + 1 ili 1/n = n - 1 Rjeenje jednadbe je: ( 5 + 1 ) / 2 = 1.6180339... = Phi Takvo rijeenje nam pokazuje dva svojstva jedinstvena za Phi: 1. Korijen iz Phi je jednak zbroju Phi i broja 1: Phi2 = Phi + 1 2. Rezultat djeljena jedan sa Phi jest Phi minus: 1/Phi = Phi - 1 Decimalni dio broja Phi, takoer se oznaava kao phi i iznosi 0.618339887... 1/Phi = phi Broj Phi se moe jednostavno konstruirati i geometrijski:

Povezanost omjera zlatnog reza i zlatnog brojaOmjer, ili proporcija, odreena brojem Phi bila je poznata ve Egipanima i antikim Grcima. Renesansnim umjetnicima taj je omjer poznat pod nazivom "Boanska proporcija", Zlatni rez, ili Zlatni omjer. Ba kao to je broj pi () omjer opsega i polumjera kruga, tako je i broj Phi omjer duljine segmenata linije podjeljene na sljedei nain:

A/B = B/C A = 1.6108... * B B = 1,6108... * C A dijeli B u omjeru jednakom u kojem B dijeli C, i taj omjer je zlatni rez.

Povezanost sa Fibonaccijevim nizomBroj Phi je usko povezan s fibonaccijevim nizom. Koristei Phi moemo vrlo jednostavno izraunati bilo koji broj Fibonaccijevog niza. n-ti (fn) broj raunamo kao: fn = Phin / 5 ili fn = [ Phi n - (-Phi)-n ] / (2Phi-1) Uz ve prije spomenuto svojstvo da konvergencija djeljenja dva uzastopna lana niza tei u broj 1.61803398... to je ni manje ni vie nego (Phi).

Zato su Phi i zlatni broj toliko posebni ?Na prvi pogled Phi je broj, koji osim to ima neka zanimljiva svojstva, ne govori nita posebno vie osim toga. Ali broj Phi ili zlatni omjer koji on ini pojavljuje se svuda oko nas. U prirodi, kod biljaka pri rasporedu listova na stabiljci, i latica na cvijetovima, kod rasporeda sjemenki na biljkama poput suncokreta, na eerima crnogorice. Zatim kod ivotinja i ovjeka, kod omjera pojedinih djelova tijela (ruku, nogu, glave...), proporcija lica, ritma otkucaja srca, u strukturi DNA... Zatim u umjetnosti, slikarstvu, glazbi, arhitekturi, matematici, geometriji, kosmologiji, poslovanju dionicama, marketingu, i jo mnogim podrujima.

Oblikovanje ovjekove okolineNakon to smo istraili koja to zakonitost povezuje ideal ljepote i funkcionalnosti, tijekom evolucije, zanimljivo bi bilo istraiti kolika je mogunost primjene tih zakonitosti (u naem sluaju Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza) na oblikovanje ovjekove radne okoline. Kao to je ve prije spomenuto, zlatni rez su u arhitekturi koristili Egipani. Nakon njih primjenjivali su ga Grci u arhitekturi i umjetnosti: kiparstvu, slikarstvu. Tokom modernije povijesti zlatni rez primjenjuje se u arhitekturi, slikarstvu, glazbi, znanosti, i koristili su ga u svom stvaranju najvei ljudi svog vremena kao DaVinci, Leonardo, Beetoven, Debusy, Bach, i Dali. ak su i danas neke od najveih i najpoznatijih graevina na svijetu (zgrada Ujedinjenih naroda, CN toranj u Torontu, Norte Damme) sagraene prema tom omjeru. Takvi podaci nimalo ne ude, zbog ve objanjenih svojstava zlatnog reza i broja Phi. Namee se pitanje kako je mogue to vie u praksi upotrijebiti taj omjer. Iz navedenih primjera vidimo mogua podruja primjene: slikarstvo, kiparstvo, arhitektura, glazba, matematika. Zlatni omjer mogue je koristiti pri likovnom oblikovanju bilo ega, od odreivanja kompozicije, odreivanja pravilnih proporcija predmeta ili osobe koju slikamo, praktian je i dizajnerima, pri izradi npr. internt stranica, plakata, dizajnu interijera, fotografima, kreatorima odjee. Zatim arhitektima, u dizajnu graevina, eksterijera kao i interijera, u modeliraju plonih-dvodimenzionalnih i volumnih-trodimenzionalnih oblika. Mogu ga koristiti i glazbenici, koji e primjetiti da odreene matemetike (u ovom sluaju i prirodne) sekvence pretvorene u glazbu, vrlo ugodno stimuliraju ljudsko uho. Takoer obliovanje ovjekove radne okoline, raspored predmeta koji se koriste u radu, moe se poboljati koristei zlatni omjer, jer kao to je prije navedeno zlatni broj se u prirodi koristi ba zbog tog svojstva da s pomou njega moe postii najpovoljniji raspored objekata. Praktiki u svakoj situaciji u kojoj se moete nai, pri odreivanju rasporeda objekata, bilo samo na papiru ili u stvarnosti, pritome elei postii maksimalnu funkcionalnost, ali i ljepotu,omjer zlatnog reza bit e vrlo mono orue. Iz navedenog, vidi se da su podruja primjene neogranien