Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan - fsb.unizg.hr · PREPORUČENA LITERATURA . Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics – Fundamentals and Applications, McGraw-Hill,

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

UDBENICI SVEUILITA U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan

M E H A N I K A F L U I D A I V J E B E

Zagreb, 2017.

SADRAJ Popis najvanijih oznaka ..................................................................................................................... II

Preporuena literatura ........................................................................................................................ III

0. Vjebe Ponavljanje .................................................................................................................... 1

1. Vjebe Matematike osnove .................................................................................................. 9

2. Vjebe Matematike osnove ............................................................................................... 17

3. Vjebe Fizikalne osnove i Statika fluida: Hidrostatski manometar .................. 23

4. Vjebe Statika fluida: Manometar i Sila tlaka na ravnu povrinu ...................... 31

5. Vjebe Statika fluida: Sila tlaka na ravnu povrinu i Sila tlaka na zakrivljenu povrinu ......................................................................................................................................... 41

6. Vjebe Statika fluida: Sila tlaka na zakrivljenu povrinu i Sila uzgona ............ 51

7. Vjebe Kinematika fluida i Primjena jednadbe kontinuiteta ............................. 61

8. Vjebe Primjena jednadbe kontinuiteta i Bernoullijeve jednadbe ............... 69

9. Vjebe Primjena jednadbe kontinuiteta, Bernoullijeve jednadbe i jednadbe koliine gibanja ..................................................................................................... 77

10. Vjebe Primjena jednadbe kontinuiteta, Bernoullijeve jednadbe i jednadbe koliine gibanja ..................................................................................................... 89

11. Vjebe Hidrauliki strojevi .............................................................................................. 101

12. Vjebe Hidrauliki strojevi i Dimenzijska analiza ................................................. 113

13. Vjebe Dimenzijska analiza ............................................................................................. 125

14. Vjebe Proraun cjevovoda ............................................................................................. 135

15. Vjebe Proraun cjevovoda ............................................................................................. 149

Mehanika fluida I vjebe I

POPIS NAJVANIJIH OZNAKA

Fizikalna veliina Oznaka Dimenzija Jedinica u SI sustavu

povrina A, S L2 m2

brzina zvuka c LT-1 m/s

promjer D, d L m

sila F MLT-2 N

ubrzanje Zemljine sile tee g LT-2 m/s2

volumenski modul elastinosti K ML-1T-2 Pa

maseni protok m MT-1 kg/s

moment sile M ML2T-2 Nm

snaga P ML2T-3 W

tlak p ML-1T-2 Pa

volumenski protok Q L3T-1 m3/s

potencijal masene sile U L2T-2 m2/s2

specifina unutranja energija u L2T-2 J/kg

volumen fluida V L3 m3

brzina strujanja fluida v LT-1 m/s

rad sile, energija W, E ML2T-2 J

geodetska visina z L m

gustoa fluida ML-3 kg/m3

kinematika viskoznost L2T-1 m2/s

dinamika viskoznost ML-1T-1 Pas

kutna brzina T-1 rad/s

koeficijent otpora trenja - -

naprezanje , ML-1T-2 N/m2

kut - rad

II Mehanika fluida I vjebe

PREPORUENA LITERATURA

Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics Fundamentals and Applications,

McGraw-Hill, 2006.

Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnika enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod,

Zagreb, 1982.

Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John

Wiley&Sons, Toronto, 1990.

Virag, Z.: Mehanika fluida odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveuilite u

Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.

White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.

Zbirke zadataka

Bukurov, M., Todorovi, B., Biki, S.: Zbirka zadataka iz mehanike fluida 1, Fakultet

tehnikih nauka u Novom Sadu, FTN - Grafiki centar GRID, Novi Sad, Srbija,

2013.

Maksimovi, . i dr.: Zbirka zadataka iz Mehanike fluida s reenim ispitnim rokovima,

Graeviniski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2002,

http://www.ptf.unze.ba/nastava/OHH/L5%20Zbirka%20zadataka%20iz%20Meh

anike%20fluida.pdf, 09.12.2015.

Obrovi B., Savi S.: Zbirka reenih zadataka iz mehanike fluida - Osnovni kurs,

Mainski fakultet u Kragujevcu, Kragujevac, 2011.

avar, M.: Zbirka ispitnih zadataka iz Mehanike fluida I, Sveuilite u Zagrebu,

Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.

https://www.fsb.unizg.hr/hydro/pdf/Nastavni_materijali/Zbirka_zadataka_iz_MF

_%28Savar%29.pdf, 09.12.2015.

Mehanika fluida I vjebe III

0. VJEBE PONAVLJANJE

0.1 Na visini h = 1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida

stalnom brzinom v = 8 m/s, pod kutom = 49. Uz pretpostavku idealnog fluida i

uz zanemarenje trenja izmeu zraka i fluida odredite maksimalnu visinu H i

duljinu L koju e mlaz dosegnuti.

Rjeenje: Mlaz fluida je sa svih strana okruen zrakom pod konstantnim atmosferskim tlakom,

tako da je rezultirajua sila tlaka na svaku esticu fluida u mlazu jednaka nuli, te od

vanjskih sila ostaje samo sila teine. Prema tome, svaka estica fluida u mlazu gibat e

se poput materijalne toke u polju gravitacije (kosi hitac). Budui da svaka estica u

izlaznom mlazu ima brzinu v, dovoljno je promatrati gibanje jedne estice fluida, a

gibanje svih ostalih estica e biti potpuno identino. Stoga e oblik mlaza biti jednak

obliku putanje to bi ga opisala jedna materijalna toka izbaena brzinom v pod kutom

s visine h u odnosu na koordinatni sustav prikazan na slici.

a gpa v

Mehanika fluida I vjebe 1

0. Vjebe Ponavljanje

Gibanje se rastavlja u smjeru osi x i osi z. U svakom trenutku na esticu djeluje samo

sila teine d dF m g= d

d

, te prema drugom Newtonovom zakonu d dm a F =d

d

, vrijedi

a g=d d , ili

2

x 2

d = 0d

xa xt

= = (a)

2

z 2

d = -d

za z gt

= = (b)

Jednadbe (a) i (b) se integriraju u vremenu nakon ega slijedi:

x 1d = =dxx v Ct

= (c)

z 2d = = - +dzz v g t Ct

= (d)

Konstante C1 i C2 se odreuju iz poetnih uvjeta. Vremenski trenutak t = 0 odgovara

trenutku nailaska estice fluida u toku A u kojoj su komponente brzine

x = cosv v (e)

z = sinv v ; za t=0 (f)

Uvrtavanjem jednadbi (e) i (f) u jednadbe (c) i (d) slijedi da je

1 = cosC v i (g)

2 = sinC v (h)

a

z

x

v =vA

g

vC

vB

t =A 0

tB

tC

dm g.

dm g.

dm g.

2 Mehanika fluida I vjebe


odnosno vrijedi

xd = = cosdx v vt

(i)

zd = = sindz v v gtt

(j)

Integriranjem jednadbi (i) i (j) dobije se promjena puta estice fluida u vremenu:

3= cosx v t C + (k)

2 41= sin2

z v t gt C + (l)

Konstante integracije C3 i C4 se ponovo dobiju iz poetnih uvjeta, tj. U trenutku t = 0

estica fluida se nalazi u toki A s koordinatama x = xA = 0 i z = zA = h, to uvrteno u

(k) i (l) daje: 3 = 0C i 4 =C h , odnosno:

= cosx v t (m)

21= sin2

z h v t gt+ (n)

Poloaje toaka B i C mogue je odrediti iz jednadbi (j), (m) i (n).

Do toke B mlaz fluida ide prema gore, odnosno brzina vz je pozitivna, a nakon toke B

brzina vz je negativna, to znai da je u toki B brzina vz jednaka nuli, te se iz jednadbe

(j) moe izraunati vrijeme tB potrebno da estica fluida doe od toke A do toke B.

zB B Bsin= 0 = sin vv v g t tg

= (o)

Iz jednadbi (m) i (n) za t = tB slijede koordinate toke B

2

Bsin sin cos= cos 3,23 mv vx vg g

= = (p)

( )2

B

sin= = + 2,86 m

2v

z H hg

= (q)

U toki C je t = tC i zC = 0 te iz jednadbe (n) slijedi

2C C10 = + sin2

h v t g t (r)

Rjeenje kvadratne jednadbe (r) je:



2 2

Csin sin 2

=v v gh

tg

+ (s)

gdje je oito samo jedno rjeenje fizikalno (tC mora biti pozitivno)

2 2

Csin sin 2

= 1,379 sv v gh

tg

+ += (t)

Uvrtenjem tC u jednadbu (m) za x-koordinatu toke C slijedi:

C C= = cos 7,24 mx L v t = (u)

0.2 estica fluida giba se po zakrivljenoj putanji, prema slici. Odredite ubrzanje estice fluida za sluaj da je brzina zadana u funkciji puta s, koji se mjeri du putanje.

Rjeenje:

Definirat emo lokalne jedinine vektore sed

u smjeru putanje i ned

u smjeru normale na

putanju. Vektor brzine je tada

s sd( ) ( )dsv v s e s et

= =d d d

(a)

Ako je putanja zakrivljena, tada je vektor sed

promjenljiv.

Ubrzanje estice fluida je po definiciji

ddvat

=d

d (b)

Budui da je ( )v v s=d d , po pravilima sloenog deriviranja vrijedi:

[ ] 2 ss sdd d d d

d d d d dv

ev s va v ve v e vs t s s s

= = = +dd

d d d (c)

en

es

v=ves v=v s( )

s

estica fluida ili materijalna toka



U svrhu odreivanja derivacije sddes

d

putanja se lokalno zamijeni krunicom polumjera

R.

Tada se moe pisati

d ds R = (d)

( ) ( )s ss

0

d limd s

e s s e ses s

+ =

d d

d

(e)

Iz slike je:

( ) ( )s s ne s s e s e+ = d d d (f)

iz slinosti trokuta ABC i ABC slijedi:

1

sR

= (g)

pa vrijedi:

s n ndde e es R R

= =

d d d

(h)

to uvrteno u izraz za ubrzanje daje:

en es( )ses( )s+ sD

DjR

- ( )es s

e s()s

es( )s+ sD

Ds

Dj

en-aDj

R

C

AB

A

Cen es

atan



2

s n t s n n

normalnatangencijalna komponentakomponenta ubrzanjaubrzanja

dd

v va v e e a e a es R

= = +d d d d d (i)

Zakljuak: Tangencijalna komponenta ubrzanja moe gledati u smjeru sed

ili

obrnuto, a normalna komponenta ubrzanja uvijek gleda prema sreditu zakrivljenosti

putanje.

Specijalni sluaj: Gibanje estice fluida po krunoj putanji polumjera R, uz konstantnu

kutnu brzinu d konst.d t = =

konst.v R= =

t = 0a 2

2n

va RR

= =

0.3 Fluid konstantne gustoe struji stalnom brzinom vd kroz svinutu cijev

konstantnog poprenog presjeka koja se nalazi u horizontalnoj ravnini. Primjenom

zakona koliine gibanja odredite smjer sile fluida na stijenku cijevi.

Rjeenje:

Koliina gibanja mvd jedininog volumena fluida mv vV

=d

d , je konstantna po veliini, a

promjenjiva po smjeru. Za promjenu smjera koliine gibanja od ulaza do izlaza iz cijevi

je prema zakonu koliine gibanja potrebna sila. Da bi fluid promijenio smjer strujanja

potrebna je sila koja gleda prema sreditu zakrivljenosti putanje estice fluida. Sila

kojom fluid djeluje na stijenku cijevi je suprotnog predznaka tj. djeluje kao na slici

v

R

w = konst

z = konst.v

v



Ako bi cijev bila fleksibilna imala bi tendenciju izravnavanja.

Primjer: to se dogaa sa fleksibilnim crijevom namotanim u kolut?

Ffluida na stijenku


1. VJEBE MATEMATIKE OSNOVE

1.1 Izraunati sljedee izraze primjenom pravila za mnoenje Kroneckerovim delta simbolom:

a) ii , b) ij ij , c) ij ik jk , d) ij jk , e) ij ikA

Rjeenje:

a) 11 22 33 3ii = + + = (a)

b) 3ij ij ii jj = = = (b)

c)

3ij ik jk kj jk kkkj

= = = (c)

d) ij jk ik = (d)

e) ij ik jkA A = (e)

1.2 Zapiite u indeksnoj notaciji komponente vektora 2f j= d

d

.

Rjeenje:

22i if = (a)

1.3 Direktnim razvojem pokazati da za permutacijski simbol ijk vrijedi:

a) 6ijk kij =

b) 0ijk j ka a =

Rjeenje: a)

1 1 2 2 3 3

2,3 3,2 1,3 3,1 1,2 2,1

231 123 321 132 132 213 312 231 123 312 213 3211 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

6

ijk kij ij ij ij ij ij ij

+ + + + + +

= + +

= + + + + + =

(a)


1. Vjebe Matematike osnove

b) 0a a =d d

1 123 2 3 132 3 2 2 3 3 21 1

1 0jk j ki a a a a a a a a a a +

= = + = = (b)

2 231 3 1 213 1 3 3 1 1 31 1


= = + = = (c)

3 312 1 2 321 2 1 1 2 2 11 1


= = + = = (d)

1.4 Odredite 2f komponentu vektorskog izraza: ji

j jij i

ccf b bx x

=

.

Rjeenje:

2 2 21 22

2 1 2

jj j

j

cc c cf b b b bx x x x

= = +

2 1 2

3 1 23 2 2

c c cb b bx x x

+

3

32

32 1 21 3

1 2 3 2

c bx

cc c cb bx x x x

= +

(a)

1.5 Koristei indeksnu notaciju dokazati vektorske identitete:

a) ( ) ( ) ( )a b c a c b a b c = d d dd d d d d d b) ( ) 0a b a =dd d

Rjeenje: a)

j k j i j j j im

i

a b c a c b a b c

=

d d d

d d d d d d

(a)

1

23

+-



Prikaz u indeksnoj notaciji:

ijm j mk k j j i j j ia b c a c b a b c = (b)

Dokaz:

( )ijm mk j k ik j i jk j k

j j i j j i

a b c a b c

a c b a b c

=

= (c)

b)

0j k i

i

a b a

=

d

d d

(d)

Prikaz u indeksnoj notaciji:

0ijk j k ia b a = (e)

Dokaz:

simetrino po

antisimetrino poi j j i

ijk jik

a a a a ijij

=

= (f)

Produkt simetrinog i antisimetrinog tenzora je jednak nuli.

1.6 Prikazati u indeksnoj notaciji sljedee vektorske identitete:

a) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d c a b d d a b c = d d d d d d

d d d d d d

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )a b c d a c b d b c a d = d d d d d dd d d d d d

Rjeenje: a)

m p i m n k i mn k ni i ij

k

a b c d c a b d d a b c

=

d d d d d d

d d d d d d

(a)

kij im m jnp n p k i imn m n k i imn m na b c d c a b d d a b c = (b)



b)

j k m i j j i j j i iii

a b c d a c b d b c a d

=

d d d d d d

d d d d d d

(c)

ijk j k im m i i j j i i j ja b c d a c b d b c a d = (d)

1.7 Razviti u indeksnu notaciju i prikazati simboliki sljedee izraze:

a) ( )uv

b) ( )ua d

c) ( )ua d

d) ( )u

Rjeenje: a)

( )uv (a)

( )j j j

v uuv u vx x x

= +

(b)

( )uv u v v u = + (c)

b)

iiu a

d

(d)

( ) ii ii i i

a uua u ax x x

= +

(e)

( )ua u a a u = + d d d (f)

c)

i

kju a

d

(g)



( )k kijk ijk ijk kj j j

ua a uu ax x x

= +

(h)

( )ua u a u a = + d d d (i)

d)

i iu

(j)

2 2 2 2

2 2 21 2 3i i i i

u u u u ux x x x x x x

= = + +

( )u u = (k)

1.8 Primjenom indeksne notacije izraunajte izraz ( )a b b d dd , uz pretpostavku da je ad okomito na b

d

.

Rjeenje: Uvjet okomitosti:

0a b =d

d odnosno j j 0a b = (a)

kij im m j j k j m j

i ijk imk

j km kjm

a b b a b b a b b

=

d d

d

2

k j j k j ja b b a b b b a = d

d (b)

(a b) b aa

a b

b



1.9 Zapiite u indeksnoj notaciji izraze za:

a) moment sile Fd

u odnosu na ishodite

b) rad sile Fd

na putu d rd .

Rjeenje: a)

i j k

i

M r F= d d

d

(a)

i ijk j kM x F= (b)

b)

d dW F r= d

d

(c)

i id dW F x= (d)

Napomena: Snaga je

d=dWPt

(e)

ii i id xd WP F F v

d t d t= = = (f)

F

r

x1x2

x3

F

d r

x1

x2

x3

r



1.10 Izraunajte sferni, simetrini i antisimetrini dio tenzora

0 6 4T 4 6 2

8 0 6

=

Rjeenje: Sferni dio tenzora

4 0 0

1 0 4 0 43

0 0 4kk ij ijT

= =

(a)

Simetrini dio tenzora

0 6 4 0 4 8 0 1 6

1 1 4 6 2 6 6 0 1 6 12 2

8 0 6 4 2 6 6 1 6ij ij jiS T T

= + = + =

(b)

Antisimetrini dio tenzora

0 6 4 0 4 8 0 5 2

1 1 4 6 2 6 6 0 5 0 12 2

8 0 6 4 2 6 2 1 0ij ij jiA T T

= = =

(c)

Napomena:

ij ij ijT S A= + (d)


2. VJEBE MATEMATIKE OSNOVE

2.1 Odredite fluks vektora dS

Q v n S= d d po povrini S kocke brida a = 2 s centrom u

ishoditu. Povrina S je orijentirana vektorom vanjske normale nd , a vektor vd je

( )1 2 1 2 3 2 2 3 3 33 6 3v x x e x x e x x x e= + +d d d d .

Rjeenje: Formula Gauss-Ostrogradsky

ii iiS V

vQ v n d S d Vx

= =

(a)

2 3

1 2 2 3 2 3 3

1

(3 ;6 ; 3 )iv x x x x x x xv v v

=

(b)

11

23

i

i

v vx x

x

=

3 2

32

2 3

6 3

vvx xx x

+ +

1

(c)

36 1ii

v xx

=

(d)

( )010203

3 36 1 6 1 8xxx

V

Q x d V x V V===

= = = = (e)

Napomena: Podintegralna funkcija je linearna pa je integral jednak vrijednosti

podintegralne funkcije u teitu volumena pomnoenom s veliinom volumena.



2.2 Izraunajte vrijednost integrala dS

F pn S= d

d , gdje je S povrina kugle polumjera

R = 3, sa sreditem u toki C(2,1,3) a nd je vanjska normala na povrinu, ako je 2 2 21 2 3p x x x= + + . Kolika bi bila vrijednost F

d

za sluaj p = konst?

Rjeenje:

i iiS V

pF pn d S dVx

= =

(a)

2 2 21 2 3p x x x= + + 11

2p xx

=

2

2

2p xx

=

3

3

2p xx

=

(b)

31 1 ,142 2 2 2 3 1443V

F x dV x V = = = = C (c)

32 2 ,242 2 2 1 3 723V

F x dV x V = = = = C (d)

33 3 ,342 2 2 3 3 2163V

F x dV x V = = = = C (e)

( )144 , 72 , 216iF = (f)

Ili

2 2 21 2 3 j jp x x x x x= + + =

2 2jj ii i

ij

xp x xx x

= =

(g)

,2 2i i iiV V

iteita V

pF dV x dV x Vx

x

= = =

C

(h)

U gornjem izrazu je definirano teite volumena!

Za sluaj p = konst. 0i

px

=

Fi=0



2.3 Odredite jedan jedinini vektor si u ijem smjeru nema promjene polja 21 2 36p x x x= + u toki T (1,2,3).

Rjeenje: Openito:

si moe biti bilo koji vektor u ravnini koja je tangencijalna na p = konst. u toki T

U toki T

11

12p xx

=

3

2

p xx

=

2

3

p xx

=

( )12, 3, 2

i T

px

=

(a)

Uvjet okomitosti grad p i si

0ii

p sx

=

1 2 3

1 2 3

0p p ps s sx x x

+ + =

(b)

1 2 312 3 2 0s s s+ + = (c)

Proizvoljno odabiremo 1 2 1s s= = pa je

( ) ( )22 23 1 21 1512 3 7,5 1 1 7,5 58,252 2 i i

s s s s s= = = = + + = (d)

( )i1 1 7,5, , 0,131, 0,131, 0,983

58,25 58,25 58,25s

= =

(e)

grad p

si

p=konst.

T

x1 x2

x3



2.4 U toki T fluida tenzor naprezanja ima sljedee komponente u odnosu na

koordinatni sustav 1 2 3x x xO

7 0 20 5 02 0 4

ij

=

Odredite :

a) Vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom i2 2 1, ,3 3 3

n =

, te

apsolutnu vrijednost toga vektora.

b) Normalnu komponentu naprezanja u toj ravnini i apsolutnu vrijednost

tangencijalnog naprezanja.

c) Kut izmeu vektora normale i vektora naprezanja.

Rjeenje: a)

7 0 2

0 5 02 0 4

ij

=

2 2 1, ,3 3 3i

n =

(a)

( )i j j jin n = (b)

( ) ( ) ( )1 1 11 2 21 3 31 2 17 2 43 3jn n n n = + + = + = (c)

( ) ( )2 1 12 2 22 3 32 2 1053 3jn n n n = + + = = (d)

( ) ( ) ( )3 1 13 2 23 3 33 2 12 4 03 3jn n n n = + + = + = (e)

104, ,03i

=

(f)

( )2

2 2 2 21 2 3

104 5, 213i j

n = + + = + =

(g)



b)

1 1 2 2 3 32 10 2 4443 3 3 9nn i i

n n n n = = + + = + =

(h)

( )2

2 2 2 445,21 1,799nt i nn

= = =

(i)

c) Treba uoiti da je na slici kotiran kut izmeu normale i negativnog vektora

naprezanja za koji vrijedi

449cos 0,938

5,21i i nn

i i

n

= = = = ( )arccos 0,938 20,2 = = a (j)

nisnnj

snt

si



2.5 Zadano je stanje tlanih naprezanja u fluidu tenzorom ij ijp =

Pokaite da je vektor naprezanja uvijek paralelan vektoru vanjske normale, te da je

komponenta normalnog naprezanja jednaka p nezavisna od orijentacije povrine.

Rjeenje:

( )i j j ji j ji in n n p pn = = = (a)

1nn i i i in p n n p = = = (b)

Sferni tenzor

0 0

0 00 0

ij

pp

p

=

(c)

Zakljuak: Sila tlaka je uvijek okomita na povrinu.

ni

ni

-pni

-pni

T

T


3. VJEBE FIZIKALNE OSNOVE I STATIKA FLUIDA: HIDROSTATSKI MANOMETAR

3.1 Blok mase m = 10 kg klie po glatkoj povrini kosine nagnute pod kutom = 20.

Odredite brzinu U bloka koja e se ustaliti, ako se izmeu bloka i kosine nalazi

uljni film debljine h = 0,1 mm. Dinamika viskoznost ulja je = 0,38 Pas, a

povrina bloka u dodiru s uljem A = 0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine u

uljnom filmu.

Rjeenje:

Newtonov zakon viskoznosti za linearni profil brzine daje

Uh

= (a)

Smino naprezanje je konstantno, pa je ukupna smina sila na donjoj povrini bloka

F A = (b)

Blok klie konstantnom brzinom, pa ravnotea sila u pravcu kosine daje

sinF mg = (c)

Zamjenom se dobije

sinU A mgh

= (d)

m

a

U=?

m

A

h amg

mgsina

F


3. Vjebe Fizikalne osnove i Statika fluida: Hidrostatski manometar

sinmg hUA

=

(e)

310 9,80665 sin 20 0,1 10 m

0,38 0,15 sU

=

a

(f)

0,0588 m/sU = (g)

Napomena: Za ubrzanje Zemljine sile tee g se koristi vrijednost 29,80665 m/sg = .

3.2 Newtonska kapljevina gustoe = 920 kg/m3, kinematike viskoznosti

= 510-4 m2/s struji uz nepominu stijenku. Profil brzine uz stijenku dan je

izrazom 33 1

2 2u y yU

=

gdje je y udaljenost od stijenke, a udaljenost na kojoj je brzina u U= .

Odredite veliinu i smjer tangencijalnog naprezanja na povrini stijenke, u zavisnosti

od U i .

Rjeenje: Smino naprezanje na povrini stijenke je

0 0

d dd dy y

u uy y

= =

= = (a)

2

30

d 3 1 3 d 3d 2 2 d 2y

u y u UUy y

=

= =

(b)

32

U

= (c)

Ako se eli zavisnost samo od U i , onda se uvrste vrijednosti za i , pri emu se

mora naglasiti u kojim jedinicama se uvrtavaju preostale fizikalne veliine

y

u( )y

U

d



{ } { }{ }24 m/s

N/mm

3920 5 102

U

= (d)

{ } { }{ }2m/s

N/mm

0,69U

= (e)

Napomena: Tangencijalno naprezanje fluida na stijenku djeluje u smjeru relativne

brzine fluida u odnosu na stijenku.

3.3 U cilindrinoj posudi polumjera R0 = 220 mm, nalazi se cilindar polumjera R = 216 mm koji rotira stalnom brzinom vrtnje n = 200 o/min za to se troi snaga

P = 46 W. Odredite dinamiku viskoznost kapljevine koja ispunjava prostor

izmeu cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dna

zanemarite. Zadano je: h = 20 cm.

Rjeenje: Kutna brzina vrtnje se rauna prema

30

n = (a)

a obodna brzina prema

u R= (b)

Smino naprezanje je prema Newtonov zakonu viskoznosti za linearni profil brzine

0

uR R

=

(c)

R

h

m=?

n=konst

POSUDA

R0

g

cilindar



Smino naprezanje je konstantno, pa je ukupna smina sila na plat cilindra

2F R h = (d)

Moment smine sile je

M F R= (e) a snaga koja se troi na vrtnju cilindra

P M = (f)

Zamjena prethodnih izraza daje

2 20

2 2 uP F R R h R hR R

= = =

(g)

( )

2 3 3 2 3

0 0

2 2900

R n RP h hR R R R = =

(h)

Iz gornjeg izraza se moe izraunati traena dinamika viskoznost

( )03 2 3450P R R

n R h

= (i)

( )

3 2 3

450 46 0,220 0,216 Pa s

200 0,216 0,20

=

(j)

0,0331 Pa s = (k)

3.4 U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoe = 999,1 kg/m3 nadoliveno je

ulje gustoe 0 = 820 kg/m3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0 = 150 mm,

odredite razliku visina h razina ulja i vode.

pa pag

h=?h0ulje



Rjeenje:

Jednadba manometra od A do B:

( )0 0 0a ap g h h gh p + = (a)

daje

0 0 0 0h h h = (b)

Razlika visina h razina ulja i vode je

00 1h h

=

(c)

8200,15 1 m

999,1h =

(d)

0,0269 m 26,9 mmh = = (e)

pa

pa hA

B

h0h0-h



3.5 Odredite apsolutni i manometarski tlak u toki A spremnika, za otklone manometra

i barometra prema slici. Zadano je: p = 999 kg/m3, p1 = 771 kg/m3, p0 = 13560

kg/m3,

h = 5 cm, h0 = 17,5 cm, h1 = 12,5 cm, ha = 752 mm.

Rjeenje:

Jednadba barometra: 0 99999,6 Pa 1000 mbar 1000 hPaa ap gh= = = = (a)

Napomena: 0,001 bar 1 mbar 1 hPa= = (b)

Jednadba manometra: ( )A 0 0 1 1 1ap p g h h gh gh = + + (c)

Apsolutni tlak u toki A: A 138458 Pa=1385 mbarp = (d)

Manometarski tlak u toki A: MA A 38458 Pa = 385 mbarap p p= = (e)

h

h0

h1

haA



3.6 Hidrostatski manometar moe se iskoristiti za mjerenje koliine fluida u spremniku

oblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine ive gustoe 0 u lijevom kraku

manometra o volumenu V nafte gustoe u spremniku dimenzija dna LxB. Visina h

se mjeri od ravnotenog poloaja ive prije punjenja spremnika i prikljune cijevi

naftom.

Rjeenje: Volumen nafte u spremniku

VV L B H HL B

= =

(a)

Jednadba manometra od slobodne povrine nafte u spremniku do slobodne povrine

ive u manometru

( ) 02a ap g H h g p + + + = (b)

Zamjenom prve u drugu jednadbu se dobije traena visina

( )02V h

L B + =

(c)

02

V hL B

= + (d)

U sluaju praznog spremnika V = 0 i pune prikljune cijevi je 0 =

002

h

=

(e)

pa

pa

h

spremnik dimen ija dnax

z L B

ravnoteni poloaj ive

nafta

priklju na cijev

iva


4. VJEBE STATIKA FLUIDA: MANOMETAR I SILA TLAKA NA RAVNU POVRINU

4.1 Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra / mjerena razlika tlakova) poveava se naginjanjem kraka manometra. Za

mikromanometar na slici, duljina u nagnutom kraku mjeri se od poloaja

meniskusa kod jednakih tlakova p1 i p2. Odredite kut nagiba kraka da bi

osjetljivost manometra bila 1mm/Pa. Zadano je: p = 800 kg/m3.

Rjeenje: Iz geometrije na slici je

2 sinh = (a)

Jednadba manometra od jedne do druge slobodne povrine je

( )2 1 2 1p g h h p+ + = (b)

Volumen za koji se smanji kapljevina u spremniku jednak je dodatnom volumenu u

nagnutom kraku, pa se moe pisati

2 2

14 4D dh = (c)

a odavde se moe izraziti visina h1

2

1dh D

=

(d)

Uvrtavanjem izraza (a) i (d) u (b) dobije se

2

1 2sindg p pD

+ =

(e)

D= d10

d h1 h2


4. Vjebe Statika fluida: Manometar i Sila tlaka na ravnu povrinu

U zadatku je osjetljivost hidrostatskog manometra definirana odnosom otklon

manometra i mjerene razlike tlakova, odnosno

321 2

1osjetljivost 10 m Pasin

p p dg

D

= = =

+

(f)

to daje

2 23

3 1010 sin 1 sin 0,117d dgD g D

+ = = =

(g)

pa je kut nagiba kraka

6,75 6 44 45 = =a a (h)

4.2 Na slici je shematski prikazan princip rada hidraulike pree. Odredite kojom silom F treba gurati ruicu da se ostvari sila preanja F2 = 4800 N. Zadano je: m = 25 kg,

D = 200 mm, h = 1,3 m, 1 = 52 cm, 2 = 12 cm, A1 = 19,6 cm2, p = 820 kg/m3.

1 h

A1 2

Dm

F2

F=?

otpresak

g



Rjeenje:

Jednadba ravnotee poluge

( )1 2 1 2F F + = (a)

Jednadba ravnotee stapa 1

11 1 1 1 11

a aFp A p A F p pA

= + = + (b)

Jednadba manometra

2 1p p gh= (c)

Jednadba ravnotee stapa 2

22 2 a 2 2 2 a 2

4

F mgp A p A F mg p pD +

= + + = + (d)

h 1

A1

A2

F1 F1 2

F

F2

F2

F2

p2

mg

mg

otpresak

ulje

stap 2

F2

p2

p1p1

G



Ovo je sustav etiri jednadbe s etiri nepoznate veliine: F, F1, p1, p2 koji se moe

rijeiti tako da se tlakovi iz jednadbi (b) i (d) uvrste u jednadbu (c)

2 121

4

a aF mg Fp p gh

D A

+

+ = + (e)

Iz koje se moe izraunati sila F1

21 1 2 335 N

4

F mgF A ghD

+

= + =

(f)

Sila F kojom treba gurati ruicu se sada moe izraunati iz jednadbe (a)

211 2

62,9 NF F

= =+

(g)



4.3 Odredite rezultantnu silu tlaka (veliinu, smjer i hvatite) na kvadratni poklopac dimenzije a = 0,8 m, ije se teite nalazi na dubini H = 1,8 m, za sluajeve prema

slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h = 0,8 m, H1 = 1,2 m, p = 998,2 kg/m3,

p1 = 820 kg/m3, a = 70o.



Rjeenje: a)

2 11277 NhF gH a= = (a)

C 1.92 msinHy

= = (b)

4

2

212 0,0278 m

12C C C

aI ay

y S y a y = = = =

(c)

Sile konstantnog tlaka pa izvana i iznutra se

ponitavaju.

b) 1. nain

Izvana djeluje sila uslijed atmosferskog

tlaka pa, a iznutra sila uslijed konstantnog

tlaka p0. Razlika tih dviju sila je sila F0 pretlaka pM0 iznutra.

Sila Fh uslijed hidrostatskog tlaka je ista

kao pod a).

Jednadba manometra

0ap gh p+ = (d)

0 0 7831 PaM ap p p gh= = = (e) 2

00 5012 NMF p a= = (f)

H

O

C

z

Fh

yC

Dy

a=70o

h

H

a

.. .

.. .

. ..

..

....

.. ...

.

C

a



Rezultantna sila :

0 16289 NR hF F F= + = (g)

RC FM M= (h)

RR hF y F y = (i)

0,0193 mhR RFy y F == (j)

b) 2. nain

Ako se pretlak 0Mp

pretvori u visinu tlaka

0Mp hg

= dolazi se do

fiktivne slobodne

povrine na kojoj vlada

atmosferski tlak, te na

povrinu djeluje samo

sila uslijed hidrostatskog

tlaka raunata na temelju

dubine mjerene od

fiktivne slobodne

povrine.

( )2

16289 NRhF F g H h a= = + =

= (k)

2,77 msinCH hy

+

= = (l)

4

2

212 0,0193 m

12R C C C

aI ay

y S y a y = = = =

(m)

C Fh

F0FR

Dy

Dy

R

poklopac

H

h

z

a

. .

..

. ..

..

....

.. ...

.

H

O

C

fiktivna slobodnapovrina

yC

DyR



c)

Sile konstantnog tlaka

pa se ponitavaju.

Sila Fh uslijed

hidrostatskog tlaka je

ista kao pod a).

21 1 1 6176 NhF gH a= = (n)

11 1, 28 msinCHy

= = (o)

4

1 21 1

12 0,0418 mC C

aI

yy S y a

= = =

(p)

1 5101 NR h hF F F= = (q)

RC F

M M= (r) 1 1 Rh h RF y F y F y = (s)

11 0,0109 mh hR RF y F yy F

=

= (t)



4.4 Potrebno je odrediti na koju visinu h treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac jedinine irine, okretljiv u toki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite teine.

Gustoa poklopca je jednolika, a masa mu je m = 250 kg. Zadano je: L = 160 cm ,

15 = a , = 998 kg/m3.

Rjeenje:

Na poklopac djeluje

vlastita teina i sila

hidrostatskog tlaka.

Poklopac e se otvoriti

kada moment sile

teine u odnosu na

toku O bude vei od

momenta sile

hidrostatskog tlaka.

Krak sile teine u odnosu na toku O je cos2L a krak sile Fh hidrostatskog tlaka je

2L y , te vrijedi

cos2 2hL Lmg F y >

(a)

Sila hidrostatskog tlaka je definirana izrazom

rO

L

pa

pa

h=?

g

poklopaca

rO

L

pa

mg

Fh

y C

x

Dy

pa h

a

a

C



sin 1h C CF gh A g y L = = (b)

a pomak

3 21

12 1 12C C C

I L Lyy A y L y

= = =

(c)

Uvrtavanjem izraza (b) i (c) u (a) slijedi izraz za yC

0,851 m6C

m Ly ctgL

< + = (d)

Iz slike slijedi granina visina h fluida

sin sin 0,427m2CLh x y = = + =

(e)

Oito je sinh L > = 0,414 m, to znai da je razina fluida iznad gornjeg ruba

poklopca, kao to je pretpostavljeno na slici. Da to nije tako, trebalo bi ponoviti

proraun uz pretpostavku da je samo dio povrine poklopca u dodiru s fluidom.


Popis najvanijih oznakaPreporuena literatura0. Vjebe Ponavljanje0.1 Na visini h = 1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom brzinom v = 8 m/s, pod kutom = 49 . Uz pretpostavku idealnog fluida i uz zanemarenje trenja izmeu zraka i fluida odredite maksimalnu visinu H i duljinu L...0.2 estica fluida giba se po zakrivljenoj putanji, prema slici. Odredite ubrzanje estice fluida za sluaj da je brzina zadana u funkciji puta s, koji se mjeri du putanje.0.3 Fluid konstantne gustoe struji stalnom brzinom kroz svinutu cijev konstantnog poprenog presjeka koja se nalazi u horizontalnoj ravnini. Primjenom zakona koliine gibanja odredite smjer sile fluida na stijenku cijevi.

1. Vjebe Matematike osnove1.1 Izraunati sljedee izraze primjenom pravila za mnoenje Kroneckerovim delta simbolom:a) , b) , c) , d) , e)1.2 Zapiite u indeksnoj notaciji komponente vektora .1.3 Direktnim razvojem pokazati da za permutacijski simbol vrijedi:a)b)1.4 Odredite komponentu vektorskog izraza: .1.5 Koristei indeksnu notaciju dokazati vektorske identitete:a)b)1.6 Prikazati u indeksnoj notaciji sljedee vektorske identitete:a)b)1.7 Razviti u indeksnu notaciju i prikazati simboliki sljedee izraze:a)b)c)d)1.8 Primjenom indeksne notacije izraunajte izraz , uz pretpostavku da je okomito na .1.9 Zapiite u indeksnoj notaciji izraze za:a) moment sile u odnosu na ishoditeb) rad sile na putu .1.10 Izraunajte sferni, simetrini i antisimetrini dio tenzora

2. Vjebe Matematike osnove2.1 Odredite fluks vektora po povrini S kocke brida a = 2 s centrom u ishoditu. Povrina S je orijentirana vektorom vanjske normale , a vektor je .2.2 Izraunajte vrijednost integrala , gdje je S povrina kugle polumjera R = 3, sa sreditem u toki C(2,1,3) a je vanjska normala na povrinu, ako je . Kolika bi bila vrijednost za sluaj p = konst?2.3 Odredite jedan jedinini vektor si u ijem smjeru nema promjene polja u toki T (1,2,3).2.4 U toki T fluida tenzor naprezanja ima sljedee komponente u odnosu na koordinatni sustavOdredite :a) Vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom , te apsolutnu vrijednost toga vektora.b) Normalnu komponentu naprezanja u toj ravnini i apsolutnu vrijednost tangencijalnog naprezanja.c) Kut ( izmeu vektora normale i vektora naprezanja.2.5 Zadano je stanje tlanih naprezanja u fluidu tenzorom Pokaite da je vektor naprezanja uvijek paralelan vektoru vanjske normale, te da je komponenta normalnog naprezanja jednaka p nezavisna od orijentacije povrine.

3. Vjebe Fizikalne osnove i Statika fluida: Hidrostatski manometar3.1 Blok mase m = 10 kg klie po glatkoj povrini kosine nagnute pod kutom ( = 20(. Odredite brzinu U bloka koja e se ustaliti, ako se izmeu bloka i kosine nalazi uljni film debljine h = 0,1 mm. Dinamika viskoznost ulja je ( = 0,38 Pa(s, a povrina...3.2 Newtonska kapljevina gustoe ( = 920 kg/m3, kinematike viskoznosti = 510-4 m2/s struji uz nepominu stijenku. Profil brzine uz stijenku dan je izrazomgdje je udaljenost od stijenke, a udaljenost na kojoj je brzina . Odredite veliinu i smjer tangencijalnog naprezanja na povrini stijenke, u zavisnosti od i .3.3 U cilindrinoj posudi polumjera R0 = 220 mm, nalazi se cilindar polumjera R = 216 mm koji rotira stalnom brzinom vrtnje n = 200 o/min za to se troi snaga P = 46 W. Odredite dinamiku viskoznost ( kapljevine koja ispunjava prostor izmeu cilind...3.4 U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoe ( = 999,1 kg/m3 nadoliveno je ulje gustoe (0 = 820 kg/m3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0 = 150 mm, odredite razliku visina h razina ulja i vode.3.5 Odredite apsolutni i manometarski tlak u toki A spremnika, za otklone manometra i barometra prema slici. Zadano je: ( = 999 kg/m3, (1 = 771 kg/m3, (0 = 13560 kg/m3, h = 5 cm, h0 = 17,5 cm, h1 = 12,5 cm, ha = 752 mm.3.6 Hidrostatski manometar moe se iskoristiti za mjerenje koliine fluida u spremniku oblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l ive gustoe (0 u lijevom kraku manometra o volumenu V nafte gustoe ( u spremniku dimenzija dna LxB. Visina h se...

4. Vjebe Statika fluida: Manometar i Sila tlaka na ravnu povrinu4.1 Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra / mjerena razlika tlakova) poveava se naginjanjem kraka manometra. Za mikromanometar na slici, duljina l u nagnutom kraku mjeri se od poloaja meniskusa kod jednakih tlakov...4.2 Na slici je shematski prikazan princip rada hidraulike pree. Odredite kojom silom F treba gurati ruicu da se ostvari sila preanja F2 = 4800 N. Zadano je: m = 25 kg, D = 200 mm, h = 1,3 m, l1 = 52 cm, l2 = 12 cm, A1 = 19,6 cm2, ( = 820 kg/m3.4.3 Odredite rezultantnu silu tlaka (veliinu, smjer i hvatite) na kvadratni poklopac dimenzije a = 0,8 m, ije se teite nalazi na dubini H = 1,8 m, za sluajeve prema slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h = 0,8 m, H1 = 1,2 m, ( = 998,2 kg/m3, (1 =...4.4 Potrebno je odrediti na koju visinu h treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac jedinine irine, okretljiv u toki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite teine. Gustoa poklopca je jednolika, a masa mu je m = 250 kg. Zadano je: L = 160 cm ...

5. Vjebe Statika fluida: Sila tlaka na ravnu povrinu i Sila tlaka na zakrivljenu povrinu5.1 Treba odrediti silu F koja dri u ravnotei poklopac AB jedinine irine, zglobno vezan u toki A, u poloaju prema slici. Zadano je : a = 0,84 m, H = 0,65 m, h = 35,5 cm, ( = 999 kg/m3.5.2 Treba odrediti rezultantnu silu na zatvara, oblika polucilindra, jedinine irine (B = 1 m), prema slici. Zadano je: H = 3 m, R = 1 m, ( = 60o, ( = 998,2 kg/m3.5.3 Kvadratina greda zglobno je uvrena u bridu A. Odredite silu kojom treba djelovati na gredu jedinine duljine (B = 1 m) da bi bila u ravnotei u poloaju prema slici. Zadano je: a = 1 m, ( = 999 kg/m3.5.4 Homogena elina kugla gustoe (c = 7800 kg/m3 radijusa R = 8 cm zatvara otvor na ravnoj stijenci promjera d = 12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stijenke da kugla oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM = 5000 Pa.

6. Vjebe Statika fluida: Sila tlaka na zakrivljenu povrinu i Sila uzgona6.1 Treba odrediti silu F u vijcima, kojima je privren poklopac, oblika stoca, mase m = 474 kg, prema slici. Zadano je: H=1,4 m, h=0,9 m, R=0,8 m, pM0=2800 Pa, (=998 kg/m3.6.2 Na slici je prikazan presjek spremnika jedinine irine, ispunjenog vodom gustoe = 998 kg/m3. Odredite vlane i smine sile u vijcima u spojevima A B i C. Zanemarite teinu svih dijelova spremnika. Zadano je: H = 2,5 m, h = 0,9 m, R = 0,6 m.6.3 Drvena homogena greda gustoe ( = 940 kg/m3, duljine L = 8 m i promjera D = 0,5 m, privrena je pod vodom gustoe (v = 999kg/m3 u toki O, oko koje se moe okretati. Kolika e u ravnotenom poloaju biti duljina uronjenog dijela grede?6.4 Tankostijena bava mase m = 94 kg, volumena V = 600 l, potpuno je potopljena pod vodu gustoe ( = 998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom zanemarive teine i privezana uetom za dno. Odredite silu F u uetu.6.5 Kocka gustoe (0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara kvadratini otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu F potrebnu za podizanje kocke. Zadano je: H=1,2 m, (=35 , (=999 kg/m3.

7. Vjebe Kinematika fluida i Primjena jednadbe kontinuiteta7.1 Ravninsko strujanje fluida (slika strujanja je ista u svim ravninama paralelnim s ravninom x3 = 0) zadano je jednadbama gibanja :gdje su: ( = 1 s-1 vremenska konstanta, yi Lagrangeove koordinate, a xi prostorne ili Eulerove koordinate. Odredite :a) brzinu i ubrzanje estice fluida u Lagrangeovim koordinatama,b) polje brzine i ubrzanja,c) trajektoriju estice fluida yi = (1,1),d) strujnice, te nacrtajte strujnicu koje prolazi tokom xi = (1,1).7.2 Stap injekcije je promjera D = 9 mm, a igla je promjera d = 0,2 mm. Odredite brzinu v1 strujanja nestlaivog fluida kroz iglu, ako je brzina pomicanja stapa v = 3 mm/s.7.3 U mjealite kroz prvu cijev promjera D1 = 100 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe (1 = 850 kg/m3 masenim protokom , a kroz drugu cijev promjera D2 = 150 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe (2 = 980 kg/m3, brzinom v2 = 2,1 m/s. Odredite kojom e brz...7.4 U cilindrini spremnik ulazi voda, kroz jednu cijev protokom Q1 = 18 l/s, a kroz drugu protokom Q2 = 25 l/s. Kroz treu cijev promjera D3 = 100 mm voda istjee brzinom v3 = 3,8 m/s. Odredite vrijeme potrebno da u spremnik utee 3 m3 vode.

8. Vjebe Primjena jednadbe kontinuiteta i Bernoullijeve jednadbe8.1 Odredite minimalni protok Q u nestlaivom strujanju fluida kod kojeg e ejektor poeti usisavati fluid kroz vertikalnu cjevicu. Zadano je A2 = 14 cm2, A1 = 3,5 cm2, h = 0,9 m.8.2 Odredite visinu zB kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida ostvaruje maksimalni protok Q nestlaivog fluida gustoe ( = 995,6 kg/m3, tlaka isparavanja pv = 4241 Pa, ako je: pa = 1010 mbar, z1 = 34 m, z0 = 30,5 m, d = 150 mm.8.3 Voda neviskozno struji kroz cijev promjera d izmeu dva velika spremnika u kojima je razlika visina razina H. Odredite postotno poveanje protoka Q ako se na cijev ugradi difuzor izlaznog promjera D = 2d.8.4 Odredite visinu h koju e dosegnuti mlaz vode (( = 1000 kg/m3) na izlazu iz ravaste cijevi, prema slici, ako su manometarski tlakovi pM1 = pM2 = 2,68 bar. Zadano je: D1 = 200 mm, D2 = 150 mm, d = 100 mm, H = 8 m.8.5 Odredite promjer d mlaznice u sustavu prema slici uz uvjet da fluid u prikljunoj cijevi spremnika 2 miruje. Pretpostavite neviskozno strujanje. Zadano je H = 3,4 m, h = 2,6 m, D = 100 mm.8.6 Odredite brzinu v1 i tlak p1 zraka ((z =1,23 kg/m3) u simetrali cijevi promjera D = 50 mm, pomou mjernog sustava s Prandtl-Pitotovom cijevi prema slici. Pretpostavite neviskozno strujanje i uzmite u obzir promjer Prandtl-Pitotove cijevi. Zadano ...

9. Vjebe Primjena jednadbe kontinuiteta, Bernoullijeve jednadbe i jednadbe koliine gibanja9.1 Odredite protok vode mjeren Venturijevom cijevi, prema slici. Uzmite u obzir i koeficijent korekcije brzine. Pri kojem bi protoku, za isti smjer strujanja i apsolutni tlak p1=1,96 bar nastupila kavitacija u presjeku 2. Zadano je: ( = 998,2 kg/m3, ...9.2 Osnosimetrina posuda prema slici otvorena je prema atmosferi, a u poetnom je trenutku ispunjena nestlaivim fluidom do visine H. Treba odrediti vrijeme pranjenja posude ako otvor na dnu ima koeficijent protoka Cd = 0,96. Zadano je: D = 42 cm,...9.3 Odredite horizontalnu silu vode na redukcijsku spojnicu prema slici, uz pretpostavku neviskoznog strujanja fluida. Zadano je: D = 200 mm, d = 100 mm, ( = 1000 kg/m3, pM1 = 1,6 bar, pM2 = 0,9 bar.9.4 Odredite rezultantu silu vode na ravu prema slici uz pretpostavku neviskoznog strujanja. Volumen vode u ravi je V = 0,11 m3. Zadano je: H = 3,8 m, h = 2,1 m, h1 = 1 m, D1 = 300 mm, D2 = 200 mm, D3 = 100 mm, ( = 1000 kg/m3.9.5 Fluid nastrujava u horizontalnom ravninskom neviskoznom strujanju na plou jedinine irine nagnutu pod kutom ( = 36 . Treba odrediti pretlak u presjeku A-A ako je ploa uravnoteena silom F = 680 N, prema slici. Zadano je: h = 25 mm, H = 40 mm, ...

10. Vjebe Primjena jednadbe kontinuiteta, Bernoullijeve jednadbe i jednadbe koliine gibanja10.1 Treba odrediti rezultantnu silu fluida (veliinu i smjer) na difuzor s koljenom, prema slici, uz protok Q = 389 l/s. Pretpostaviti strujanje idealnoga fluida. Volumen difuzora je Vd = 3,27 m3, a volumen koljena do prikljuka je Vk = 0,16 m3. Napo...10.2 Mlaz fluida nastrujava u neviskoznom strujanju u horizontalnoj ravnini protokom Q = 0,03 m3/s, brzinom v = 3 m/s, na okomito postavljenu plou prema slici. Treba odrediti silu fluida na plou ako je Q1 = 0,01 m3/s. Zadano je: ( = 1000 kg/m3.10.3 Potrebno je odrediti silu F kojom treba pridravati lopaticu mase m = 4,8 kg okretljivu oko toke O, prema slici, da bi bila u horizontalnom poloaju. Pretpostaviti neviskozno strujanje fluida. Za proraun obujma vode u lopatici pretpostaviti pop...10.4 Voda se prepumpava iz nieg u vii spremnik, protokom Q = 14 l/s. Odredite visinu dobave hp pumpe i potrebnu snagu PM motora za pokretanje pumpe ako su iskoristivost pumpe (P = 0,75, visina gubitaka do ulaza u pumpu hF1-2 = 1,5 m, visina gubitaka...10.5 Pumpa dobavlja vodu mlaznici protokom Q = 0,056 m3/s. Motor predaje pumpi snagu PM = 40,2 kW, a ukupna iskoristivost pumpe je 85%. Na ulazu u pumpu je izmjeren manometarski tlak pM2 = -0,351 bar. Odredite visinu gubitaka energije hF1-2 od razine...

11. Vjebe Hidrauliki strojevi11.1 Centrifugalna pumpa radi na N = 1750 o/min, a apsolutna brzina na ulazu u lopatini prostor je radijalna ((1 = 90o). Kut lopatica na ulaznom bridu u odnosu na negativni smjer obodne brzine je (1 = 30o, a na izlaznom (2 = 45o. Uz pretpostavku nevi...11.2 Treba odrediti kutnu brzinu vrtnje (0 i protok Q0 kroz slobodno rotirajuu svinutu cijev prema slici. Kolika je dobivena snaga PT i protok QT za sluaj da cijev rotira kutnom brzinom (T = (0/2. Koliku snagu PP (i pri kojem protoku QP) treba uloi...11.3 Primitivna turbina preko remenice predaje korisnu snagu PM = 730 W, pri konstantnoj brzini vrtnje N = 30 o/min i pri ukupnom protoku kroz turbinu Q = 28,5 l/s. Treba odrediti snagu PS koju predaje spremnik, snagu PT turbine i snagu PI fluida na ...11.4 Primjenom primitivne teorije propelera, odredite izraz za maksimalnu snagu vjetroturbine. Primjenom izvedenog izraza odredite potrebni promjer rotora vjetroturbine koja e kod brzine vjetra od m/s davati elektrinu snagu na izlazu iz generatora...

12. Vjebe Hidrauliki strojevi i Dimenzijska analiza12.1 Nestlaivi fluid pri atmosferskom tlaku nastrujava na lopatice radnog kola turbine, prema slici, protokom , brzinom pod kutom u odnosu na smjer obodne brzine. Odredite kut i stalnu kutnu brzinu vrtnje radnog kola da bi uz tangencijalno naila...12.2 Za pokretanje zubarske builice koristi se turbina pogonjena zrakom. Turbina se vrti brzinom 30000 okretaja u minuti, a poznato je da je unutarnji radius radnog kola (do korijena lopatica) , a vanjski radijus (do vrha lopatica) . Poznato je da je...12.3 Ispitajte dimenzijsku nezavisnost sljedeih skupova fizikalnih veliina:a) p, i vb) Q, L i c) g, L i Qd) F, M i te) , p i Vgdje su: p - tlak, ( - smino naprezanje, v - brzina, Q - protok, L - karakteristina duljina, ( - dinamika viskoznost, g - ubrzanje sile tee, F - sila, M - moment sile, t - vrijeme, - gustoa i V - volumen.12.4 Formirajte bezdimenzijske ( parametre od veliina: vrijeme t, ubrzanje Zemljine sile tee g, sila F, moment M, tlak p i dinamika viskoznost ( s pomou dimenzijski nezavisnog skupa: gustoa (, brzina v i duljina L.

13. Vjebe Dimenzijska analiza13.1 Moment M fluida na rotor aksijalne turbine zavisi od gustoe fluida (, promjera D rotora, kutne brzine ( rotacije rotora i volumenskog protoka Q fluida kroz turbinu. Primjenom dimenzijske analize treba odrediti opi oblik zavisnosti momenta M od ...13.2 Otvorena cilindrina posuda promjera D, koja na dnu ima otvor promjera d, koeficijenta protoka Cd ispunjena je fluidom do visine H. Posuda se potpuno isprazni u vremenu t1 = 36,5 s. Primjenom Pi-teorema treba odrediti za koje bi se vrijeme t2 isp...13.3 Pumpa koja transportira vodu gustoe 998 kg/m3 protokom 5 l/s u optimalnom reimu rada postie razliku tlaka 4 bar. Kupac je zainteresiran za kupnju pumpe koja transportira ulje gustoe 800 kg/m3 protokom 4,5 l/s te u optimalnom reimu rada posti...13.4 Sila uzgona na krilo povrine zavisi od brzine leta, gustoe zraka i napadnog kuta (kuta izmeu pravca vektora brzine i spojnice vrha i repa profila krila). Ako su u zranom tunelu na krilu povrine 0,4 m2, pri brzini strujanja od 30 m/s i ...nacrtajte ovisnost bezdimenzijske sile uzgona o napadnom kutu. Izraunajte silu uzgona na geometrijski slinom krilu povrine 30 m2, koje e letjeti u zraku gustoe 0,9 kg/m3 brzinom 400 km/h, pod napadnim kutom 5 .

14. Vjebe Proraun cjevovoda14.1 Odredite promjer D2 cjevovoda da bi razina fluida u spremniku 2 prema slici ostala konstantna. Zadano je: = 997 kg/m3, = 0,86 10-6 m2/s, H = 18,2 m, h = 11,4 m, L1 = 898 m, D1 = 200 mm, k1 = k2 = 0,02 mm i L2 = 2610 m. Napomena: Zanemarite ...14.2 Treba odrediti snagu koju pumpa predaje fluidu u sustavu za hlaenje kada je izveden kao otvoreni, prema slici (a), te kao zatvoreni prema slici (b). U oba je sluaja protok u sustavu Q = 0,005 m3/s, a promjena gustoe i viskoznosti s temperaturo...14.3 Treba odrediti promjer D tlanog cjevovoda Pelton turbine da bi se na izlazu iz mlaznice dobilo 92% raspoloive potencijalne energije u obliku kinetike energije izlaznog mlaza uz protok od Q = 0,552 m3/s. Koliki je promjer D3 mlaznice. Zadano je...14.4 Treba odrediti visinu h, protok Q i snagu PF koja se troi na svladavanje trenja, u situaciji prema slici. Koliku bi visinu hid dosegao mlaz i koliki bi bio protok Qid da je fluid idealan. Zadano je: ( = 999 kg/m3, ( = 1,13.10-6 m2/s, D = 65 mm, ...

15. Vjebe Proraun cjevovoda15.1 Odredite gubitke tlaka pri strujanju zraka ( = 1,225 kg/m3 = konst., = 1,4607 10-5 m2/s) protokom Q = 5 m3/s kroz cjevovod duljine L = 60 m pravokutnog presjeka axb = 600x300 mm. Cijev je od galvaniziranog eljeza.15.2 Za cjevovod prema slici, kojim se pretae fluid iz lijevog u desni spremnik, odredite:a) protok i visinu dobave pumpe, ako je u sustavu jedna pumpa ija visina dobave ovisi o protoku prema zadanoj funkcijib) protok kroz cjevovod i visinu dobave svake pumpe za sluaj da su u sustavu dvije paralelno ugraene pumpe iste karakteristike kao pod a)c) protok kroz cjevovod i zajedniku visinu dobave obje pumpe za sluaj da su u sustavu dvije serijski ugraene pumpe iste karakteristike kao pod a)Sve lokalne gubitke zanemarite. Radi lakeg prorauna pretpostavite konstantni koeficijent trenja . Zadano je: m, m, m, kg/m3, Pa s, m , s2/m5.15.3 U cjevovodnom sustavu prema slici fluid struji od spremnika 1 prema spremniku 2 protokom Q = 170 m3/h. Treba odrediti protok Q1 koji bi se ustalio u sustavu kada bi na polovini duljine (od toke B) postojao paralelni cjevovod do spremnika 2, ist...15.4 Odredite maksimalnu snagu P koju je mogue ostvariti na Peltonovoj turbini prema slici. Zadano je: D = 5 cm, L = 250 m (ukupna duljina cjevovoda), k = 0,16 mm (hrapavost cijevi) = 999 kg/m3, ( = 1,139(10-6 m2/s, Kkolj = 0,75, Kul = 0,5, Ks ( 0,...

Documents

Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan - fsb.unizg.hr · PREPORUČENA LITERATURA . Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics – Fundamentals and Applications, McGraw-Hill,