ZBIRKA zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike na ... zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike

  • View
    109

  • Download
    14

Embed Size (px)

Text of ZBIRKA zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike na ... zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike

  • Univerzitet u Tuzli

    Fakultet elektrotehnike

    ZBIRKA

    zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike na

    Fakultetu elektrotehnike u periodu od 2000-2017. godine

    Tuzla, maj 2018

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA A

    1. Broj cjelobrojnih realnih rješenja nejednačine

    2

    1 1

    2 1x x ≥

    + + je:

    a) 6 b) 4 c) 3 d) 2

    2.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina

    3 1 13

    4 4 2 8 4 2x y x y − =

    + + − + i

    1 5 6

    8 2 8 4 2x y x y − =

    + + − + je:

    a) 1

    2 − b) 2− c)

    3

    2 − d) 2

    3.

    Zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje su rješenja jednačine

    ( )2 27 2 3 1 2 0x k x k k− − + − = realna i jednaka je:

    a) 1

    8 − b)

    1

    2 c) 4− d)

    1

    8

    4.

    Zbir realnih rješenja sistema jednačina 2 25 2x y⋅ = i 4

    4 5

    x

    y = je:

    a) 1 b) 2

    log 5

    c) 5

    log 2

    d) 1 2 log 2+

    5. Broj realnih rješenja jednačine

    2 25 1 2 0x x+ − + = je:

    a) 6 b) 4 c) 2 d) 0

    6.

    Vrijednost izraza 1 1 1 3 9 81

    81 27 9

    1 1 1 2 log 27 3log 9 log log log 2 log 27

    3 9 27 − + + − + je:

    a) 2 b) 1

    2 − c)

    1

    2 d)

    3

    2

    7. S koliko nula se završava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 do 91?

    a) 91 b) 36 c) 18 d) 9

    8.

    Ako je dat kompleksan broj 1 1 2Z i= − , koliko iznosi modul kompleksnog broja Z x iy= +

    tako da vrijedi 1

    7 Re

    5

    Z

    Z

       = 

       i { }1Im 1Z Z⋅ = ?

    a) 2 b) 5 c) 1 d) 10

    9. Broj svih realnih rješenja jednačine

    3 sin 2 cos 2 1

    3 x x− = na segmentu [ ]0,2π je:

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    10.

    Ako za trouglove ABC� i BDE� vrijedi

    : 3: 2AB BD = i 5BC = , koliko iznosi BE ?

    a) 1

    3 b)

    10

    3 c)

    4

    3 d)

    5

    3

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA A

    1.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    [ ) ( ]

    { }

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    22

    1 1; : 2 1 0

    2 1

    1 0 1.

    1 1 2 1 1 0; 0;

    2 1 2 1

    2 2 0; 0 / 1

    2 1 2 1

    22 0; 0

    2 1 1

    2, 1 1,0 .

    : 2,0

    2.

    Dp x x x x

    x x

    x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x xx x

    x x x

    x

    Cjelobrojna rješenja x

    Broj cjelobrojnih rješenja

    ≥ + + ≠ ⇒ + +

    + ≠ ⇒ ≠ −

    − − − − ≥ ≥

    + + + +

    − − + ≥ − ≥ −

    + + + +

    ++ ≤ ≤

    + + +

    ∈ − − ∪ −

    a) 6 b) 4 c) 3 d) 2

    2.

    a) 1

    2 − b) 2− c)

    3

    2 − d) 2

  • 3.

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    2 2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    1 2

    7 2 3 1 2 0

    0 ln :

    4 0

    4 3 1 4 7 2 0 / : 4

    3 1 7 2 0

    9 6 1 7 14 0

    2 8 1 0

    : 0, 4.

    x k x k k

    Rješenja kvadratne jednačine ax bx c su rea ai jednaka akovrijedi

    D b ac

    k k k

    k k k

    k k k k

    k k

    b Viettova pravila ak bk c k k

    a

    − − + − =

    + + =

    = − =

    − − ⋅ − =

    − − − =

    − + − + =

    + + =

    + + = + = − = −

    a) 1

    8 − b)

    1

    2 c) 4− d)

    1

    8

    4.

    ( )2 2

    2

    2

    2

    2 25 2 / log

    4 4 / log

    5

    log 2 5 log 2

    2 log log 2

    5

    log 2 log 5 log 2

    log 2 log 5 2log 2

    log 2 2 log 5 log 2

    2 log 2 log 5 2 log 2 / 2

    log 2 2 log 5 log 2

    4 log 2 2 log5 4log 2

    5 log 2 5log 2 1

    log 2 2 log 5 log 2 2 log 5 0

    x y

    x

    y

    x y

    x

    y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y y

    ⋅ =

    =

    ⋅ =

    =

    + =

    − =

    + =

    − = ⋅

    + =

    − =

    = ⇒ =

    + = ⇒ = 0

    1 0 1

    y

    x y

    ⇒ =

    + = + =

    a) 1 b) 2

    log 5

    c) 5

    log 2

    d) 1 2 log 2+

    5.

    2 2

    2

    2

    2 2

    5 1 2 0

    :

    0,

    1 0,

    2 0

    : 5 1 2 0, .

    ln .

    x x

    Kako je

    x za x R

    x za x R

    slijedi x x za x R

    Jednačina nema rea ihrješenja

    + − + =

    ≥ ∀ ∈

    − ≥ ∀ ∈

    >

    + − + > ∀ ∈

    a) 6 b) 4 c) 2 d) 0

  • 6.

    1 1 1 3 9 81

    81 27 9

    3 2 1 2 3 3

    4 3 2 2 4

    1 1 1 2 log 27 3log 9 log log log 2log 27

    3 9 27

    1 1 1 log log log

    log 27 log 9 log 273 9 272 3 2 1 1 1 log 3 log 9 log81

    log log log 81 27 9

    log 3 log 3 log 3 log 3 log 3 log 3 2 3 2

    log 3 log 3 log 3 log 3 log 3 log3

    − − −

    − − −

    − + + − + =

    ⋅ − ⋅ + + − + ⋅ =

    ⋅ − ⋅ + + − + ⋅ =

    3log 3 2 log 3 log 3 2log 3 3log 3 3log 3 3 1 3 3 2 3 2 2 2 2

    4log3 3log 3 2log 3 log 3 2 log 3 4log 3 2 2 2 2

    − − − ⋅ − ⋅ + + − + ⋅ = − + + − + + = − − −

    a) 2 b) 1

    2 − c)

    1

    2 d)

    3

    2

    7.

    Nula na kraju proizvoda prirodnih brojeva nastaje na dva načina: od broja 10 ili množenjem

    brojeva 2 i 5. Kako je i broj 10 djeljiv brojem 5, to znači da je broj nula kojima se proizvod

    završava jednak broju faktora djeljivih sa 5. Od 1 do 91 je 18 brojeva djeljivih sa 5 (prvi manji broj

    od 91 djeljiv sa 5 je 90, tj. 90:5=18) što znači da se proizvod prirodnih brojeva od 1 do 91 završava

    sa 18 nula.

    a) 91 b) 36 c) 18 d) 9

    8.

    { } ( ) ( ){ } { } 1

    1

    2 2

    1 2 2 2 2 7 Re Re Re Re 2 7

    1 2 1 2 1 2 5 5 5

    Im Im 1 2 Im 2 2 1 2 1

    2 7 / 2

    2 1

    2 4 14

    2 1

    5 15 3

    2 3 1 1

    1 3 1 3

    Z x iy x iy i x ix iy y x y x y

    i i iZ

    Z Z x iy i x ix iy y x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    y y

    x x

    Z i

      + + − − + + +        = = ⋅ = = = ⇒ + =       

    + + −       

    ⋅ = + ⋅ − = − + + = ⇒ − + =

    + = ⋅

    − + =

    + =

    − + =

    = ⇒ =

    − + = ⇒ =

    = + = + 10=

    a) 2 b) 5 c) 1 d) 10

  • 9.

    [ ] [ ]1 2

    3 sin 2 cos 2 1

    3

    sin 2 cos 2 1 6

    sin 6sin 2 cos 2 1 / cos

    6 cos

    6

    sin 2 cos sin cos 2 cos 6 6 6

    3 sin 2

    6 2

    1 :2 2 2 2 6 3 2 4

    5 0,2 0,2 ,

    4 4

    2 5 2 :2 2 2 2

    6 3 6

    o

    o

    x x

    x tg x

    x x

    x x

    x

    x k x k x k

    x x k Z

    x k x k x

    π

    π π

    π

    π π π

    π

    π π π π π π π

    π π π π

    π π π π π

    − =

    − ⋅ =

    − ⋅ = ⋅

    ⋅ − ⋅ =

      − = 

     

    − = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

    = ∈ ∧ = ∈ ∈

    − = + ⇒ = + ⇒ =

    [ ] [ ]3 4

    5

    12

    5 17 0,2 0,2 ,

    12 12

    ln :2.

    k

    x x k Z

    Broj rea ih rješenja

    π π

    π π π π

    + ⇒

    = ∈ ∧ = ∈ ∈

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    10

    .

    , :

    , . 2

    : :

    : : 3: 2

    2 10 2 3

    3 3

    Uglovi ABC i DBE suunakrsni pa vrijedi ABC DBE

    Kako su ACB BED slijedi BAC BDE

    Trouglovi ABC i BDE su slični ABC BDE

    AB BD BC BE

    BC BC BE BE

    π

    =

    = = =

    ∆ ≅ ∆

    = =

    = ⇒ = =

    p p p p

    p p p p

    a) 1

    3 b)

    10

    3 c)

    4

    3 d)

    5

    3

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA B

    1. Broj cjelobrojnih rješenja realnih nejednačine

    2

    4 1

    8 16x x ≥

    − + je:

    a) 2 b) 3 c) 4