Zbirka Zadataka Iz Matematike

  • View
    485

  • Download
    57

Embed Size (px)

DESCRIPTION

zbirka

Text of Zbirka Zadataka Iz Matematike

  • UNIVERZITET U ZENICI

    MAINSKI FAKULTET

    ELEMENTI TEORIJE SA ZBIRKOM URAENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE I

    Devad Zei, Almir Huskanovi, Hermina Draguni

    ZENICA, 2005.

  • PREDGOVOR

    Ovaj udbenik je uraen na taj nain da studentima Mainskog fakulteta u Zenici a i drugih tehnikih fakulteta nudi neke elemente teorije i potpuno uraene zadatke iz Matematike I a to oni sluaju u sklopu redovnog studija. Obraene oblasti su u skladu sa programom predmeta Matematike I, izuzev funkcija dviju promjenljivih. Namjera ovog

    udbenika je ta da kanalie potrebe i zahtjeve koji su postavljeni pred studente da bi uspjeno

    mogli poloiti pismeni dio ispita iz predmeta Matematike I. Isto tako, savladavajui osnovne pojmove iz obraenih oblast i ovladavajui matematike tehnike bit e u mogunosti da lake usvoje neke tee i apstraktnije teorije u daljnjem izuavanju matematike. Udbenik je sainjen iz vie poglavlja a u kojima su ukljueni dijelovi teorije brojeva, linearna algebra, vektori, analitika u prostoru, diferencijalni i integralni raun funkcije jedne promjenljive i oni dijelovi koji su neophodni da bi se mogle obraditi kljune teme koje su bile predviene. Udebenik je preteno sastavljen od uraenih zadataka sa uvodnim teoretskim dijelom u kojem su date neke definicije, teoreme i osnovne informacije koje su potrebne da bi

    se uspjeno mogao pratiti tok izrade zadatka. U svakom sluaju ovakav vid udbenika moe biti dosta koristan svim studentima tehnikih fakulteta a nastao je dugogodinjim dranjem vjebi iz predmeta Matematika I na Mainskom fakultetu u Zenici.

    AUTORI

  • S A D R A J

    1. OSNOVNE ALGEBARSKE STRUKTURE....................................................... 1 1.1. MATEMATIKA INDUKCIJA............................................................................. 3 1.2. BINOMNI I TRINOMNI OBRAZAC .................................................................... 8 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI................................................................................... 12

    2. DETERMINANTA............................................................................................. 20 2.1. MATRICE ............................................................................................................. 23 2.2. SISTEMI LINEARNIH JEDNAINA ................................................................ 31 2.3. HOMOGENI SISTEMI......................................................................................... 40

    3. VEKTORI ............................................................................................................ 43 3.1. SKALARNI (UNUTRANJI) PROIZVOD ........................................................ 47 3.2. VEKTORSKI PROIZVOD VEKTORA .............................................................. 50 3.3. MJEOVITI PROIZVOD VEKTORA ................................................................ 53 3.4. RAVAN U PROSTORU ...................................................................................... 56 3.5. PRAVA U PROSTORU....................................................................................... 60 3.6. PRAVA I RAVAN U PROSTORU ..................................................................... 66

    4. NIZOVI ................................................................................................................ 74

    5. FUNKCIJA .......................................................................................................... 84 5.1. OSNOVNI ZADACI O FUNKCIJAMA JEDNE VARIJABLE .......................... 88 5.2. GRANINA VRIJEDNOST FUNKCIJE U TAKI........................................ 101 5.3. NEPREKIDNOST FUNKCIJE ........................................................................... 107 5.4. IZVOD FUNKCIJE........................................................................................... 112

    6. DIFERENCIJAL PRVOG REDA I PRIMJENA DIFERENCIJALNOG

    RAUNA KOD ISPITIVANJA FUNKCIJA ................................................. 121 6.1. JEDNAINA TANGENTE I NORMALE KRIVE........................................... 123 6.2. L' HOSPITALOVO PRAVILO.......................................................................... 125 6.3. EKSTREMNE VRIJEDNOSTI FUNKCIJA ...................................................... 129 6.4. ASIMPTOTE KRIVIH LINIJA U RAVNI......................................................... 131 6.5. RAST I OPADANJE FUNKCIJA....................................................................... 133 6.6. PREVOJNE TAKE, KONVEKSNOST I KONKAVNOST FUNKCIJE ........ 134

  • 7. ISPITIVANJE I GRAFIKO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJA............... 135

    8. NEODREENI INTEGRAL ........................................................................... 145 8.1. METODA SUPSTITUCIJE ................................................................................ 149 8.2. METODA PARCIJALNE INTEGRACIJE ........................................................ 151 8.3. INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA.................................................. 152 8.4. METODA OSTROGRADSKOG ....................................................................... 156 8.5. INTEGRACIJA BINOMNOG DIFERENCIJALA ............................................ 157 8.6. EULEROVE SMJENE........................................................................................ 158 8.7. INTEGRACIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA .................................... 160

    9. ODREENI INTEGRAL................................................................................. 164 9.1. IZRAUNAVANJE POVRINE RAVNIH FIGURA ...................................... 170 9.2. KOMPLANACIJA OBRTNIH POVRI............................................................ 172 9.3. ZAPREMINA ROTACIONOG TIJELA............................................................ 174 9.4. DUINA LUKA KRIVE .................................................................................... 176

    10. LITERATURA .................................................................................................. 178

  • 1

    OSNOVNE ALGEBARSKE STRUKTURE

    Polje realnih brojeva Neka su u skupu R definirani sabiranje + i mnoenje te binarna relacija i neka su za sve

    , ,x y z R zadovoljeni uvjeti: (R.1) ( ) ( ),x y z x y z+ + = + + (R.2) ( ( 0 )( ) 0 ,R x R x x + = (R.3) ( ( )( ( ) ) ( ) 0,x R x R x x + = (R.4) ,x y y x+ = + (R.5) ( ) ( ) ,x yz xy z= (R.6) ( ) ,x y z xy xz+ = + (R.7) { }( 1 \ 0 )( ) 1 ,R x R x x = (R.8) { } 1 1( \ 0 )( ) 1,x R x R x x = (R.9) xy yx= , (R.10) ( ) ( ),x y y x < (R.11) ( ) ,x y y x x y = (R.12) ( ) ( ),x y y z x z (R.13) ( ) ( ),x y x z y z + + (R.14) ( ) ( 0) ( ),x y z xz yz > (R.15) Svaki odozgo ogranien neprazan skup u R ima supremum u R. Tada ureenu etvorku ( , , , )R + zovemo ureeno kompletno polje ili polje realnih brojeva. Aksiom (R.15) izraava bitno svojstvo skupa realnih brojeva R koje zovemo kompletnost skupa R. Prirodni brojevi Bitne osobine skupa N prirodnih brojeva mogu se izraziti slijedeim teoremom: Teorem (Peanovi aksiomi) (N.1) 1 ,N (N.2) ( 1 ),n N n N n n+ + + = (N.3) ( , ) , ( : ),m n N m n m n n n injekcija+ + + = = (N.4) ( ) 1,n N n+ (N.5) Ako je M podskup od N sa osobinama 1 ( )( ) .M n N n M n M M N+ = Peti Peanov aksiom (Princip matematike indukcije) je mono sredstvo pri dokazivanju iskaza koji se odnose na prirodne brojeve i pri definiranju funkcija. Metoda se sastoji u slijedeem: ako neka tvrdnja vrijedi za n=1 i ako iz pretpostavke da tvrdnja vrijedi za n=k slijedi da tvrdnja vrijedi za n=k+1, onda tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve n.

  • Elementi teorije sa zbirkom uraenih zadataka iz Matematike I

    2

    Za sve ,n k N definiramo: ( 1) ( 1)! 1 2 3 , 1, .

    0 !n n n n n kn n

    k k += = = (Izraz n! itamo: en faktorijel; Izraz

    nk

    itamo: en nad k. Vrijedi:

    11

    n n nk k k

    + + = i .n nk n k =

    Binomna formula: Za sve ,a b R i sve n N je:

    1 1( ) ,0 1 1

    n n n n nn n n na b a a b ab bn n

    + = + + + + ili krae 0( ) .n

    n n k k

    k

    na b a b

    k

    =

    + = Brojevi

    nk zovu se binomni koeficijenti.

    Trinomna formula:

    Za sve , ,a b c R i sve n N je: !( ) .! ! !

    n i j k

    i j k n

    na b c a b ci j k+ + =

    + + = Skup Z cijelih brojeva: Stavimo { } { }: , 0 .N n n N Z N N = = Tada se Z zove skup cijelih brojeva. Skup Q racionalnih brojeva i skup I iracionalnih brojeva:

    Skup : ,xQ x Z n Nn

    = nazivamo skup racionalnih brojeva. Skup \I R Q= zove se skup iracionalnih brojeva. Npr. jednostavno se dokazuje da 2 I . Skup koji ima jednak kardinalni broj kao skup prirodnih brojeva N je prebrojiv skup. Drugim rijeima, skup A je prebrojiv ako i samo ako postoji bijekcija :f N A . Prebrojivi su skupovi npr. N, Z, Q a neprebrojivi su npr. R, C, skup transcedentnih brojeva. Inae, broj dobiven iz cijelih brojeva pomou konano primjena operacija sabiranja, oduzimanja, mnoenja i dijeljenja te vaenja n-tih korijena, gdje je n N jeste algebarski broj. Naime, to je broj koji je rjeenje neke algebarske jednadbe s cijelim koeficijentima. Realan broj koji nije rjeenje ni jedne algebarske jednadbe s cijelim koeficijentima je transcendentan broj. Takvi su npr. brojevi

    2, , ln 2,2e . Transcedentnih brojeva ima vie nego algebarskih brojeva. Kompleksni brojevi: Definirajmo sabiranje i mnoenje u 2R sa: ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = + + (1)