1. APSOLUTNAGEOMETRIJAEuklidska geometrija izvedena sintetickim metodom zasniva se na aksiomamakojesupodeljeneupetgrupai to: aksiomerasporeda, aksiomeincidencije,aksiomepodudarnosti, aksiomeneprekidnosti i aksiomuparalelnosti. Deoteteorijekoji seizvodi izprvecetiri grupeaksioma, daklebezaksiomeparalel-nosti, nazivaseapsolutnomgeometrijom. Zadaci izovogclanasuizteapso-lutne geometrije, pa se njihovo resavanje zasniva iskljucivo na primeni poznatihstavova iz tog dela geometrije.1.1. KonveksniikonkavnilikoviDenicija 1.1. Lik nazivamo konveksnimako sve tacke duzi koja je odre -denabilokojimdvematackamatogalikapripadajutomeliku; akotaj uslovnijezadovoljen, liknazivamo konkavnim. Tako su likovi predstavljeni na slikama1 i 3 konveksni, a na slikama 2 i 4 konkavni.sl.1. sl.2. sl.3. sl.4.Denicija1.2. Lik nazivamoogranicenimakopostoji kruznapovrs kojasadrzi svetackelika; akotakvakruznapovrs nepostoji, liknazivamoneogranicenim. Takosulikovipredstavljeninaslikama1i2ograniceni, anaslikama 3 i 4 neograniceni.Denicija1.3. Najvecuodduzikojuspajajupodvetackeogranicenoglikanazivamo precnikomili dijametromlika.Denicija 1.4. Pravu s koja se nalazi u ravni lika i koja s tim likom ima jednuili vise zajednickih tacaka, pri cemu se sve ostale tacke lika nalaze s iste straneod praves nazivamo pravom osloncalika.Denicija1.5. Uodnosunasvakuravnupovrs svetackeravni delesenaunutrasnje, spoljasnje i granicne. Tacku A nazivamo unutrasnjom tackom povrsiakopostoji kruznapovrssasredistemA cijesvetackepripadajupovrsi .Tacku B nazivamo spoljasnjom u odnosu na ravnu povrs ako u ravni te povrsipostoji kruznapovrssasredistemBkojanesadrzi ni jednutackupovrsi .Tacku C ravne povrsi nazivamo granicnom ako u ravni povrsi svaka kruznapovrs sa sredistemCsadrzi i tacaka koje pripadaju i tacaka koje ne pripadajupovrsi . Skupsvihgranicnihtacakapovrsi predstavljaizvesnulinijukojunazivamo granicomili rubompovrsi.Denicija1.6. Zaravnulinijukazemodajekonveksna akoonapredstavljagranicu neke konveksne povrsi.ZADACI1. Dokazati da je svaka(a) trougaona povrs,1(b) kruzna povrs,konveksna.2. Ako sva temena neke poligonske povrsi (A1. . . An) pripadaju nekoj konvek-snoj povrsi , dokazati dasvetackepoligonskepovrsi (A1. . . An)pripadajupovrsi.3. Dokazati da je presek konacnog broja od n konveksnih likova tako -de konvek-san lik.4. Ako jea1, . . . , ankonacan skup odn duzi koje pripadaju jednoj pravoj i odkojih svake dve imaju najmanje jednu zajednicku tacku, dokazati da svih n duzitoga skupa imaju najmanje jednu zajednicku tacku.5. Akokonacanskupodnpolupravihnekeprave ppokrivacelutupravu,dokazatidautomskupupolupravihpostojetakvedvepolupravekojetako -depokrivaju celu tu pravu.6. Ako je1, . . . , nkonacan skup odn (n 4) konveksnih povrsi jedne ravniod kojih svake tri imaju najmanje jednu zajednicku tacku,dokazati da svihnpovrsi ima tako -de bar jednu zajednicku tacku (Helijeva teorema u ravni).7. Ako jeA1, . . . , An konacan skup odn tacaka jedne ravni, pri cemu svake triodtihntacakapripadajunekojkruznojpovrsinipoluprecnikar, dokazatidapostoji kruzna povrs poluprecnikar koja sadrzi svihn tacaka.8. Akokonacanskup 1, . . . , nodnpoluravni nekeravni pokrivaceluturavan,dokazatidautomskupupoluravnipostojetakvetripoluravnikojepokrivaju celu tu ravan.9. Akoje l1, . . . , lnkonacanskupodnkruznihlukovasadrzanihnaistomkrugul pri cemu je svaki od tih lukova manji od poluobima krugal, a svaka triod tih lukova imaju najmanje jednu zajednicku tacku, dokazati da svi likovi togkruga imaju najmanje jednu zajednicku tacku.10.Ako za svake tri tacke P, Q, R prostog ravnog poligona A1, . . . , An postoji utom poligonu tacka S takva da sve unutrasnje tacke duzi PS, QS, RS se tako -denalaze u tom poligonu, dokazati da u tom poligonu postoji tackaO takva da seunutrasnje tacke svih duzi koje spajaju tackuO s tackama tog poligona tako -denalaze u tom poligonu (Teorema M.A. Krasnoseljskog).11. Ako su A1 i A2 bilo koje dve unutrasnje tacke konveksne povrsi , dokazatida su sve ostale tacke duziA1A2unutrasnje tacke povrsi.12. Ako jeA1unutrasnja iA2granicna tacka konveksne povrsi, dokazati dasu sve ostale tacke duziA1A2unutrasnje tacke povrsi.13. AkosuA1i A2dvegranicnetackekonveksnepovrsi , dokazati dasuunutrasnje tacke duziA1A2ili sve unutrasnje ili sve granicne tacke povrsi.14. Dokazati dasvakapravaskrozbilokojuunutrasnjutackuPkonveksnepovrsi moze da ima s rubom te povrsi najvise dve zajednicke tacke.15. DokazatidasvakapravaskrozbilokojuunutrasnjutackuPogranicenekonveksne povrsi sece granicu te povrsi u dvema tackama.16. Ako svaka prava kroz bilo koju unutrasnju tacku ogranicene povrsisecerub te povrsi u dvema tackama, dokazati da je povrs konveksna.17. Ako se kroz svaku tacku ruba ogranicene povrsi moze konstruisati naj-manje jedna prava oslonca te povrsi, dokazati da je povrs konveksna.218. Ako jePzajednicka tacka povrsi i pravel oslonca povrsi, dokazati dajePgranicna tacka povrsi.19. Ako je duz MNdijametar konveksne povrsi , dokazati da su prave m i n,koje su u tackamaMiNupravne na pravojMN, prave oslonca povrsi.1.2. Kombinatornizadaciizapsolutnegeometrije20. Dokazati da skup koji se sastoji iz konacnog broja odn pravih neke ravni, pri cemu se svake dve od tih pravih seku, a nikoje tri i vise ne seku u jednojtacki, razlazeravannan=12(n2+ n + 2)konveksnihoblasti odkojihjen = 2n neogranicenih in =12(n23n + 2) ogranicenih.21. Dokazati da skup koji se sastoji iz konacnog broja od n krugova neke ravni, pri cemu se svaka dva kruga iz tog skupa seku, a nikoja tri i vise ne seku ujednoj tacki, razlaze ravan nan2n + 2 oblasti.22.Ako je l broj presecnih tacaka svih dijagonala konveksnog poligona A1, . . . , An,kod kojeg se nikoje tri i vise dijagonala ne seku u jednoj tacki, dokazati da jel =124n(n 1)(n 2)(n 3).23. Ako jefnbroj poligonskih povrsi koje se dobijaju razlaganjem konveksnepoligonske povrsiA1, . . . , An njenim dijagonalama, pri cemu se nikoje tri i visedijagonala ne seku u jednoj tacki, dokazati da jefn =124(n 1)(n 2)(n23n + 12).24. Dokazati daseoblasti dobijenerazlaganjemravni proizvoljnimpravamaa1, . . . , an mogu podeliti na dva skupa tako da svaka oblast pripada samo jednomod tih skupova i da nikoje dve susedne oblasti ne pripadaju istom skupu.1.3Ostalizadaciizapsolutnegeometrije25. DokazatidanepostojipoligonA1. . . A2n+1saneparnimbrojemtemenakome bi sve stranice sekle izvesnu pravup.26. Ako suA,B,Ctri nekolinearne tacke, dokazati da(a) postoji prava koja sece produzenja polupravihAB,BC,AC;(b) ne postoji prava koja sece produzenja polupravihAB,BC,CA.27. Akoje cetvorougaoABCDkonveksan, dokazatidasenjegovedijagonaleseku,iobratno,akosedijagonale cetvorouglaABCDseku,dokazatidajeonkonveksan.28. Ako je cetvorougaoABCD konkavan, dokazati da se njegove dijagonale neseku, iobratno, akosedijagonale cetvorouglaABCDneseku, dokazatidajeon konkavan.29. AkoduzkojaspajadveunutrasnjetackenaspramnihstranicaABi BCsecedijagonaleACi BDcetvorouglaABCD, dokazati dasedijagonaletogcetvorougla seku, tj. da je taj cetvorougao konveksan.30. Dokazati da je kod svakog konveksnog cetvorougla zbir dijagonala veci odzbira bilo kojih dveju naspramnih stranica.331. Ako jeS presek dijagonala konveksnog cetvorouglaABCD iPproizvoljnatacka njegove ravni, dokazati da jeSA+SB +SC +SD PA+PB +PC +PD.32. Dokazati da je zbir dijagonala konveksnog cetvorougla veci od poluobima,a manji od obima tog cetvorougla.33. Dokazati da je zbir svih dijagonala konveksnog petougla veci od obima togpetougla.34.Ako je Pproizvoljna tacka u ravni konveksnog poligona A1. . . An, dokazatida jePA1 +PA2 +. . . +PAn>12(A1A2 +A2A3 +. . . +AnA1).35. Ako jePproizvoljna tacka u konveksnom poligonuA1. . . An, dokazati dajePA1 +PA2 +. . . +PAnAB,dokazati da je BAD> CAD, i obrnuto, ako je BAD> CAD, dokazatida jeAC> AB.37. Ako jeD bilo koja unutrasnja tacka straniceBCtrougla ABC, dokazatida jeAB +AC BC< 2AD.38. Ako sua, b, c stranice trougla i matezisna linija koja odgovara stranici a,dokazati da jeb +c a < 2ma< b +c.39. Ako suma, mb, mctezisne linije trougla i p njegov poluobim,dokazati dajep < ma +mb +mc< 2p.40. Ako jePproizvoljna tacka simetrale unutrasnjeg ugla A, a O proizvoljnatacka simetrale spoljasnjeg ugla A trougla ABC, dokazati da je[PB PC[ [AB AC[ i QB +QC AB +AC.41. Akojekodtrougla ABCstranicaABmanjaodstraniceAC, tackaDsrediste straniceBC, tackaEpresek raspolovnice ugla A sa stranicomBCiNpodnozje visine iz temenaA, dokazati da je AEB< AEC,BE< CE, atackaEizme -du tacakaNiD.42.Ako su ABC i A

B

C

dva trougla kod kojih je AB = A

B

, AC = A

C

i A > A

, dokazati da jeBC> B

C

.43.Ako su ABC i A

B

C

dva trougla kod kojih je AB = A

B

, AC = A

C

iBC> B

C

, dokazati da je A > A

.44. Dokazati da su kod trouglaABCstraniceABi ACme -du sobom jednakeako su mu jednake:(a) tezisne linijeBB1iCC1;(b) simetraleBB2iCC2unutrasnjih uglovaBiC;4(v) visineBB3iCC3.45. Nekasu AA1, BB1, CC1tezisne linije i AA2, BB2, CC2visine trouglaABC, a A

A

1, B

B

1, C

C

1tezisne linije i A

A

2, B

B

2, C

C

2visine trouglaA

B

C

. Dokazati da su trouglovi ABCi A

B

C

podudarni ako je:(a)KEY WORDAB = A

B

, AC = A

C

, AA1 = A

A

1(b)AB = A

B

, AC = A

C

, BB1 = B

B

1(v)AB = A

B

, A = A

, CC2 = C

C

2(g)BC = B

C

, BB2 = B

B

2, CC2 = C

C

2(d)BC = B

C

, AA1 = A

A

1, AA2 = A

A

246.Ako su tezisne linije AD i uglovi BAD, CAD trougla ABC jednaki tezisnojliniji A

D

i uglovima B

A

D, C

A

D

trougla A

B

C

, dokazati da je ABC =A

B

C

.47. AkojekodtrouglovaABCi A

B

C

razlikastranicaABi ACjednakarazlicistranicaA

B

i A

C

stranicaBCjednakastranici B

C

itezisnalinijaAD jednaka tezisnoj linijiA

D

, dokazati da je ABC = A

B

C

.48. Akojekodprostog cetvorouglaABCD A = Bi AD=BC,dokazatida je C= D,a tacka odre -dena sredistima stranicaABi CDosa simetrijecetvorouglaABCD.49. Ako je kod prostog konveksnog cetvorouglaABCD A = B i C = D,dokazati da jeAD = BCiAC = BD.50. Ako je kod prostog cetvorougla ABCD A = B i D > C, dokazati dajeBC> AD.51. Akojekodprostog cetvorouglaABCD A = Bi BC>AD,dokazatida je D > C.52. Akojekodprostog cetvorouglaABCDAD=BCi A> B,dokazatida je C> D.53.Ako su naspramni uglovi prostog cetvorougla me -du sobom jednaki, dokazatida su njegove naspramne stranice me -du sobom tako -de jednake.54. AkojekodprostogcetvorouglaABCDB=Di akojesrediste Odijagonale AC na dijagonali BD, dokazati da su kod tog cetvorougla naspramnestranice me -du sobom jednake.55.Ako je kod prostog cetvorougla ABCD zbir stranica AB i BC jednak zbirustranicaCDi DA, i akojesredisteOdijagonaleACtackadijagonaleBD,dokazati dasukodtogcetvorouglaABCDnaspramnestraniceme -dusobomjednake.56. Akopraveodre -denestranicamaprostogcetvorougladodirujuneki krugkoji se nalazi u tom cetvorouglu, dokazati da je kod tog cetvorougla zbir dvejunaspramnih stranica jednak zbiru drugih dveju naspramnih stranica.557. Ako su stranice prostog cetvorougla ABCD na tangentnom krugu k koji senalazi izvan tog cetvorougla,dokazati da je razlika dveju naspramnih stranicajednaka razlici drugih dveju stranica tog cetvorougla.58. Akosustranice slozenogcetvorougla ABCDnatangentamakruga k,dokazati dajerazlikadvejunaspramnihstranicajednakarazlici drugihdvejustranica tog cetvorougla.59.Ako je ABCD konveksan cetvorougao kod koga krugovi upisani u trougloveABC i CDA dodiruju dijagonalu AC u istoj tacki, dokazati da se u cetvorougaoABCD moze upisati krug.60.Ako je ABCD konveksan cetvorougao takav da krugovi upisani u trougloveABC i CDA dodiruju dijagonalu AC u istoj tacki, dokazati da i krugovi upisaniu trougloveABD iBCD dodiruju stranicu u istoj tacki.61.Ako su A i B dodirne tacke dveju tangenata a i b nekog kruga k sa sredistemO, aM1i M2dodirnetackedrugihdvejutangenatam1i m2, odkojihprvasece prave a i b u tackama A1 i B1, a druga sece prave a i b u tackama A2 i B2,dokazati da su ugloviA1OB1iA2OB2jednaki ili suplementni zavisno od togada li su tackeM1iM2na istom ili na raznim lucimaABkrugak.62. Dokazati da je poligon A1. . . An pravilan ako su sve njegove stranice me -dusobom jednake in 2 uzastopnih unutrasnjih uglova me -du sobom jednaki.63. Ako je A1. . . Anprost poligons parnimbrojemtemenacije stranicedodiruju neki krugk sa sredistemS, dokazati da je(a)A1A2 +A3A4 +. . . +An1An = A2A3 +A4A5 +. . . +AnA1;(b) A1SA2 + A3SA4 + . . . + An1SAn= A2SA3 + A4SA5 + . . . +AnSA1.64.Dva konveksna n-tougla A1. . . An i A

1. . . A

n imaju sve odgovarajuce stran-ice jednake izuzev stranicaA1A2iA

1A

2. Ako su za = 3, 4, . . . , n svi ili samoneki od uglovaAveci od odgovarajucih uglovaA

, a ostali me -du sobom jed-naki, dokazati da jeA1A2> A

1A

2.65.Dva ravna konveksna n-tougla A1. . . An i A

1. . . A

n imaju sve odgovarajucestranicejednakeizuzevstranicaA1A2i A

1A

2, aza=3, 4, . . . , nuglovi Anisu manji od odgovarajucih uglovaA

. Ako jeA1A2>A

1A

2,dokazati da jebar jedan od uglovaAveci od njemu odgovarajuceg uglaA

.66. Dvakonveksnan-touglaA1. . . Ani A

1. . . A

nsajednakimodgovarajucimstranicama nemaju sve jednake odgovarajuce unutrasnje uglove. Ako temeniman-touglaA1. . . An dodelimo znake plus ili minus zavisno da li su uglovi kod tihtemena veci ili manji od odgovarajucih uglovan-touglaA

1. . . A

n,dokazati dabroj promena ovih znakova uzetih redom kod temenaA1, . . . , An nije manje odcetiri.67. Ako od pet komplanarnih tacakaA1, A2, A3, A4, A5 nikoje tri ne pripadajujednojpravoj, dokazatidame -dunjimapostoje cetiritackekojepredstavljajutemena konveksnog cetvorougla.68. Ako svake cetiri odn komplanarnih tacakaA1. . . An predstavljaju temenakonveksnogcetvorougla, dokazati dazadatihntacakapredstavljajutemenanekog konveksnogn-tougla.69. Dokazati da je zbir dvaju unutrasnjih uglova trougla manja od zbira dvajupravih uglova.670. Ako je bilo koji trougao, dokazati da postoji trougao 1 takav da je zbirS1 unutrasnjih uglova trougla 1 jednak zbiru S unutrasnjih uglova trougla ,a jedan od uglova trougla 1 bar dvaput manji od naznacenog ugla trougla .71.Dokazati da zbir unutrasnjih uglova trougla ne moze biti veci od zbira dvajupravih uglova.72. Dokazati da zbir unutrasnjih uglova prostog ravnogn-tougla ne moze bitiveci od zbira (2n 4) pravih uglova.73. Ako suMiNdve razne tacke jednog kraka ostrog uglaXOY , aM

iN

upravne projekcije tih tacaka na drugom kraku i ako je tacka Mizme -du tacakaO iN, dokazati da je(a) OMM

ONN

;(b)MM

< NN

.74. Ako jeC

podnozje visine iz temenaCpravog ugla trouglaABC, dokazatida je ACC

ABC.75. Dokazati damanjoj visini trouglaodgovaravecastranica, i obrnuto, damanjoj stranici trougla odgovara veca visina.76.Ako neka prava s kroz srediste Posnovice BC jednakokrakog trougla ABCsece praveACiABu tackamaQ iR takvim da je tackaPizme -du tacakaQ iR, dokazati da jeQR BC.77. Dokazati da je simetrala jedne stranice trougla upravna na pravoj koja jeodre -dena sredistima drugih dveju stranica tog trougla.78. Ako suA,B,Ctri razne tacke neke pravel iA

,B

,C

istim redom tackeneke druge pravel

takve da jeAB = A

B

iBC = B

C

, dokazati da sredistaP, Q, R duzi AA

, BB

, CC

pripadaju jednoj pravoj ili se poklapaju (TeoremaHjelmsleva).79. Ako sve tacke konacnog skupa tacaka ne pripadaju jednoj pravoj, dokazatida postoji prava koja sadrzi samo dve tacke tog skupa tacaka.80. Akosvakapravaodre -denadvematackamanekogkonacnogskupaodntacaka sadrzi najmanje jos jednu tacku tog skupa, dokazati da svih n tacaka togskupa pripadaju jednoj pravoj.81. Ako je u ravni dat konacan skup odn pravih pri cemu se svake dve od tihpravih seku u tacki koja pripada bar jos jednoj pravoj iz tog skupa, dokazati dase svihn datih pravih seku u jednoj tacki.72. PARALELNOST2.1ParalelnostpravihU ovom clanu svrstani su zadaci za cije je resavanje neophodno pretpostavitida je uvedena aksioma paralelnosti euklidske geometrije i da su izvedene osnovneteoreme koje iz nje proizilaze. To je pre svega stav o zbiru unutrasnjih uglovapoligona, stav prema kome je u svakom krugu sredisnji ugao dva puta veci odperiferijskognadistimlukom, stavpremakomesepraveodre -denevisinamatrougla seku u jednoj tacki koju nazivamo ortocentrom tog trougla, stav premakomesetezisnelinijetrouglasekuujednojtacki kojunazivamotezistemtogtrougla, itd.82. Ako je ABCtrougao kome ugao A nije prav. D tacka izaA u odnosunaBtakva da jeAD = AC, aEpodnozje upravne izBna pravoj koja sadrziD i uporedna je sa stranicomAC, dokazati da je duzBEjednaka zbiru visinaBB1iCC1trougla ABC.83. Ako je ABCtrougao kome ugao A nije prav. Dtacka polupraveABtakvadajeAD=AC,aEpodnozjeupravneizBnapravojkojasadrzi Diuporedna je sa stranicom AC, dokazati da je duz BE jednaka razlici visina BB1iCC1trougla ABC.84. Akougao Atrougla ABCnijepraviakosuMi NtackepolupravihBCi CBtakvedaje BAM= Ci CAN= B,dokazatidaje AMNjednakokrak trougao.85.Ako je D tacka u kojoj simetrala ugla A sece stranicu BC trougla ABC,Ssredisteupisanogkrugai Ptackaukojoj taj krugdodirujestranicuBC,dokazati da je BSP= CSD.86. Ako suA

, B

, C

sredista stranicaBC, CA, ABtrougla ABCi ako jeD podnozje visine iz temenaA, dokazati da je priAC> ABA

B

D = A

C

D = B C.87. AkosuA1, B1, C1tackeukojimaupisanikrugtrougla ABCdodirujestranice BC, CA, AB; A2, B2, C2 tacke u kojima upisani krug trougla A1B1C1dodiruje straniceB1C1,C1A1,A1B1; itd, zatimR prav ugao, dokazati da jeBnAnCn =23R +1(2)n(A 23R).88. Ako obelezimo saE iFtacke u kojima simetrale unutrasnjeg i spoljasnjegugla A trougla ABCseku pravuBC, saD podnozje visine iz temenaA, saG tacku polupraveACtakvu da jeAB=AG, saOsrediste krugalopisanogoko trougla ABCi saL tacku u kojoj tangenta krugal u tackiA sece pravuBC, dokazati da je(a)DAE = AFE = GBC =12(B C)(b) polupravaAEbisektrisa ugla OAD;(c) tackaL srediste duziEF.889. Ako jeD proizvoljna tacka prave koja sadrzi stranicuBCtrougla ABC,aO1iO2sredista krugova opisanih oko trouglova ABD i ACD. Dokazatida su konveksni uglovi O1AO2i BACjednaki i istosmerni.90. Ako suS, Sa, Sb, Sc sredista upisanih krugova trouglaABCiR prav ugao,dokazati da je(a)BSC = R + 12A(b)BSaC = R 12A(c)BSbC = CScB =12A91. Ako suli kopisani krug i upisani krug trougla ABCi ka, kb, kcspoljaupisani krugovi koji odgovaraju respektivno stranicamaBC, CA, AB, dokazatida su zajednicka unutrasnja tangenta krugovakikakoja je razlicita od praveBC i zajednicka spoljasnja tangenta krugova kb i kc koja je razlicita od prave BCparalelne s pravomt koja u temenuA dodiruje krugl, zatim da su odstojanjapomenutih tangenata od pravet jednaka visini iz temenaA trouglaABC.92. Dokazati da kod prostog cetvorougla(a)simetraledvajuuzastopnihunutrasnjihuglovazahvatajuugaojednakpoluzbiru drugih dvaju unutrasnjih uglova;(b)simetraledvajunaspramnihuglovazahvatajuugaojednakpolurazlicidrugih dvaju unutrasnjih uglova;(c) simetrale uglova koji su odre -deni naspramnim stranicama zahvataju ugaojednak poluzbiru dvaju naspramnih uglova.93. Ako suP, Q, R, Spodnozja upravnih kroz presekOdijagonala, na strani-camaAB, BC, CD, DAcetvorouglaABCD, dokazati dajeSOQ=2T 12(R P) gde jeTprav ugao.94. Ako jeABCDpravougaonik kome jeAB= 3BC,zatimE, Fpar tacakastraniceABtakvih da jeAE = EF= FBiR prav ugao, dokazati da jeAED +AFD +ABD = R.95. Ako suABCD iA

, B

, C

, D

dva konveksna cetvorougla s odgovarajucimjednakim stranicama i ako je A > A

, dokazati da jeB< B

, C> C

, D < D

.96. Dokazati da su sredista stranica svakog cetvorouglaABCD s neparalelnimdijagonalamatemenaparalelogramacijesustraniceparalelnesdijagonalamaACi BDi jednakepolovinamatihdijagonala. AkosudijagonaleACi BDcetvorouglaABCD paralelne, dokazati da sredista njegovih stranica pripadajujednoj pravoj.97. Akosudijagonale cetvorouglame -dusobomupravne,dokazatidasuduzikoje spajaju sredista naspramnih stranica tog cetvorougla me -du sobom jednake.998. Akosuduzikojespajajusredistanaspramnihstranica cetvorouglame -dusobom jednake, dokazati da su dijagonale tog cetvorougla me -du sobom upravne.99. Ako su P, Q, R, S sredista stranica AB, BC, CD, DA i M, Nsredista dijag-onalaACi BD cetvorouglaABCD,dokazati da se duzi PR, QS, MNseku ujednoj tacki koja je srediste svake od njih.100. Dokazati da tacke simetricne nekoj tackiO u odnosu na srediste stranicacetvorouglaABCD i neparalelnim dijagonalama predstavljaju temena paralel-ograma cije su stranice uporedne i jednake dijagonalama tog cetvorougla.101. Dokazati da sredista krakova i sredista dijagonala bilo kojeg trapeza pri-padaju jednoj pravoj.102. Dokazati dajesrednjalinijakonveksnogtrapezajednakapoluzbiru, aduz odre -dena sredistima dijagonala jednaka polurazlici uporednih stranica togtrapeza.103. Akojeduzkojaspajasredistadvejunaspramnihstranica ADi BCcetvorougla ABCD jednaka poluzbiru ili polurazlici drugih dveju stranica, dokazatida su straniceABiCD tog cetvorougla me -du sobom uporedne.104. Ako duz odre -dena sredistimaMiNnaspramnih stranicaADiBCbilokojeg cetvorouglaABCDsecedijagonaleACi BDutackamaPi Q,iakojeduzMPjednaka duziNQ, dokazati da su druge dve naspramne straniceABiCD me -du sobom uporedne.105. AkosunaspramnestraniceABi CDcetvorouglaABCDme -dusobomjednake, dokazati da je prava odre -dena sredistima drugih dveju stranica upravnena pravoj koja je odre -dena sredistima dijagonala tog cetvorougla.106. AkosunaspramnestraniceABi CDcetvorouglaABCDme -dusobomjednake,dokazati da prava odre -dena sredistima drugih dveju stranica zahvatasa pravamaABiCD jednake uglove.107. Ako zbir duzi koje spajaju sredista naspramnih stranica cetvorougla jed-nak poluobimu tog cetvorougla, dokazati da je taj cetvorougao paralelogram.108. Neka se kod cetvorouglaABCD prave odre -dene naspramnim stranicamaABiCD seku u tackiP, a prave odre -dene naspramnim stranicamaAD iBCseku u tacki P

. Ako su M, N, M

, N

tacke polupravih PA, PC, P

A, P

C takveda je PM= AB, PN= CD, P

N

= AD, P

N

= BC, dokazati da su duzi MNiM

N

jednake i istosmerne.109. Ako je duz koja spaja sredista osnovaABiCD trapezaABCD jednakapolurazlici tih osnova i ako je AB> CD, dokazati da je zbir unutrasnjih uglovaA iBtog trapeza prav ugao.110. Dokazati daupravneprojekcijejednogtemenatrouglanasimetralamaunutrasnjih i spoljasnjih uglova kod druga dva temena pripadaju jednoj pravoj.111. Ako jek krug opisan oko jednakostranicnog trouglaABCiPproizvoljnatackakrugak,dokazatidajeduzAPjednakazbiruilirazliciduzi BPi CP,prema tome da li je tacka Pna luku BC kruga k na kome nije teme A ili je pakna kruznom lukuBAC.112.Ako su a, b, c tri prave jedne ravni koje se seku u istoj tacki O i koje razlazuravan u kojoj se nalaze na sest jednakih uglova, dokazati da su podnozjaA,B,Cupravnihizproizvoljnetacke PrazliciteodOnapravamaa, b, ctemenajednakostranicnog trougla.10113. Akosua, b, ctripravekojesesekuuistojtacki Oikojerazlazuravanu kojoj se nalaze na sest jednakih uglova, dokazati da je odstojanje proizvoljnetacke Pte ravni od prave a jednako zbiru ili razlici odstojanja te tacke od drugihdveju pravihb ic.114. Ako je O srediste, AB precnik i Pproizvoljna tacka nekog kruga k, zatimMpodnozje upravne iz tacke Pna pravoj AB, O tacka poluprave PO takva dajePO = 2AMiR druga presecna tacka praveAOs krugomk, dokazati da jeAOR = 3AOP.115.Ako su O1 i O2 sredista krugova k1 i k2, P1 i P2 tacke u kojima proizvoljnapravakojasadrzi zajednickutackuMtihkrugovasece k1i k2, aNtackasimetricna s tackom Mu odnosu na srediste O duzi O1O2, dokazati da je tackaNna simetralis duziP1P2.116. Ako suB

i C

tacke u kojima proizvoljan krug kroz temenaBi CsecestraniceAB iACtrouglaABC, dokazati da je pravaB

C

uporedna s pravomkoja u temenuA dodiruje krug opisan oko trouglaABC.117. AkosuB

i C

tackeukojimanekapravauporednaspravomkojautemenuA dodiruje opisani krug trouglaABCsece straniceABiAC, dokazatida tackeB, C, B

, C

pripadaju jednom krugu.118. AkojedijagonalaACprecnikkrugaopisanogokotetivnogcetvorouglaABCD, dokazati da su upravne projekcije bilo kojih dveju naspramnih stranicatog cetvorougla na drugoj dijagonali me -du sobom jednake.119.Ako je Pproizvoljna tacka kruga l opisanog oko trougla ABC, a P1, P2, P3tacke simetricne s tackom Pu odnosu na simetrale uglova A, B, C, dokazati dasu praveAP1, BP2, CP3me -du sobom uporedne.120. Ako suABi CDparalelne tetive dvaju krugova koji se seku u tackamaMiN, dokazati da su ugloviAMCiBND jednaki ili suplementni.121. AkosuA, Bi C, Dtackeukojimanekapravapsecedvakrugaki lkoji se seku u tackamaMiN, dokazati da su ugloviAMCiBND jednaki ilisuplementni zavisno od toga imaju li tetiveAB iCD zajednickih tacaka ili ne.122.Ako su M i N tacke u kojima se seku dva kruga k i l, A i B tacke u kojimaproizvoljna tacka krugak sece krugl, aCdodirna tacka, dokazati da su ugloviAMCi BNCjednaki ili suplementni, zavisnoodtogadali jeCunutrasnjatacka tetiveABili je na njenom produzenju.123.Ako su A i B dodirne tacke bilo koje zajednicke tangente dvaju krugova k il koji se seku u tackama M i N, dokazati da su uglovi AMB i ANB suplementni.124. Ako suAB iCD dve paralelne tetive dvaju krugovak il koji se dodirujuu nekoj tackiM, dokazati da su ugloviAMCiBND jednaki ili suplementni.125. Ako je Mdodirna tacka dvaju krugova k i l, a A, B i C, D tacke u kojimaneka prava sece krugoveki l,dokazati da su uglovi AMCi BMDjednaki ilisuplementni, zavisno od toga da li se krugovik il dodiruju iznutra ili spolja.126. Ako je Mdodirna tacka dvaju krugova k i l, p proizvoljna prava koja secekrug k u tackama A, B i dodiruje krug l u tacki C, dokazati da su uglovi AMCiBNDjednaki ili suplementni, zavisno od toga da li se krugovikil dodirujuiznutra ili spolja.127. AkosuMi Npresecnetackedvajukrugovaki l, pi qdvepravekroztacku Nod kojih prva sece krugove k i l u tackama A i B, a druga sece krugovek il u tackamaCiD, dokazati da su ugloviAMBiCMD jednaki.11128. Ako su O1 i O2 sredista dvaju krugova k1 i k2 koji se seku u tackama MiN, aP1iP2tacke u kojima proizvoljna prava krozNsecek1ik2, dokazati daje P1MP2 = O1MO2.129.Ako su O1 i O2 sredista dvaju krugova k1 i k2 koji se seku, Pjedna njihovapresecna tacka, aM1, M2iN1, N2dodirne tacke zajednickih dirki tih krugovapricemusuM1i M2sonestranepraveO1O2skojenijeP, dokazati dajeM1PM2 =12O1PO2i N1ON2 =122R12O1PO2.130.Ako su M i N presecne tacke dvaju krugova k1 i k2, p i q poluprave kojimaje zajednicki krajMi koje s polupravomMNzahvataju jednake uglove. AkosuP1 iP2 preseci polupravep s krugovimak1 ik2, aO1 iO2 preseci polupraveq s krugovimak1ik2, dokazati da su duziP1P2iQ1Q2me -du sobom jednake.131. Ako suPiQ sredista lukovaAB iACkruga opisanog oko trouglaABC,dokazati da je tetivaPQ upravna na simetrali uglaA tog trougla.132. AkosuP, Q, R, SsredistalukovaAB, BC, CD, DAkrugaopisanogoko konveksnog tetivnog cetvorouglaABCD, pri cemu navedeni luci ne sadrzeostala temena tog cetvorougla, dokazati da se tetivePR iOS seku pod pravimuglom.133. AkosuSi Ttackeukojimasesekudvakrugak1i k2, Pi Qtackeukojima proizvoljna prava kroz tackuTsece krugovek1ik2, aR tacka u kojojse seku dirke krugovak1ik2konstruisane u tackamaPiQ, dokazati da tackeP,Q,R,Spripadaju jednom krugu.134. Ako suPiQ tacke u kojima proizvoljan krug kroz temenaB iCtrouglaABC sece stranice AB i AC, a P

i Q

tacke u kojima prave kroz Pi Q uporednesastranicamaACi ABsekustranicuBC, dokazati datacke P, P

, Q, Q

pripadaju jednom krugu.135. Ako suO1 iO2 sredista dvaju krugovak1 ik2 koji se seku u tackamaA iB, aCiD tacke u kojima praveAO1iAO2seku krugovek2ik1, dokazati datackeB,C,D,O1,O2pripadaju jednom krugu.136. AkosuPi QtackeukojimasimetralestranicaACi ABsekupraveodre -dene stranicamaABi ACtrouglaABC, aOsrediste kruga opisanog okotrougla ABC, dokazati da tacke B, C, P, Q, O pripadaju jednom krugu, ili pakjednoj pravoj.137. AkosuAD, BE, CFvisinetrouglaABC, aMi Ntackesimetricnestackom D u odnosu na prave AB i AC, dokazati da tacke E, F, M, N pripadajujednoj pravoj.138. Dokazati da podnozja upravnih kroz bilo koju tacku kruga opisanog okonekog trougla na pravama koje su odre -dene stranicama tog trougla, pripadajujednoj pravoj (Simsonova teorema).139.Ako je ABC jednakostranican trougao i Pproizvoljna tacka njegove ravnikoja nije na opisanom krugu oko tog trougla,dokazati da postoji trougao cijesu stranice jednake duzimaPA,PB,PC(Teorema Pompejca).140. Krugksece straniceBC, CA, ABtrouglaABCu tackamaPi P

, Q iQ

,R iR

. Ako se normale u tackamaP,Q,R na pravamaBC,CA,AB sekuujednojtackidokazatidasenormaleutackamaP

, Q

, R

napravamaBC,CA,ABtako -de seku u jednoj tacki.141. AkosuAA

, BB

, CC

visineostrouglogtrouglaABC, dokazati dajeortocentarHtog trougla srediste upisanog kruga trouglaA

B

C

.12142. Ako su AA

,BB

,CC

visine trougla ABCkome je ugao A tup, dokazatidajeortocentarHtogtrouglasredistespoljaupisanogkrugatrouglaA

B

C

koji dodiruje stranicuB

C

.143. Dokazati da tacke simetricne s ortocentrom u odnosu na prave odre -denestranicama trougla pripadaju krugu koji je opisan oko tog trougla.144. AkojeHortocentartrouglaABC,dokazatidasupoluprecnicikrugovaopisanih oko trouglovaABC,HBC,HCA,HABme -du sobom jednaki.145. AkojeHortocentar, Tsrediste, OsredistekrugaopisanogokotrouglaABCiA1srediste straniceBC, dokazati(a) da je duzOA1istosmerna s duziAHi jednaka njenoj polovini(b) da tackeO,T,Hpripadaju jednoj pravoj, pri cemu jeHT= 2TO.146. Ako jeABCD tetivan cetvorougao,Eortocentar trouglaABD iForto-centar trouglaABC, dokazati da je cetvorougaoCDEFparalelogram.147. Dokazati da tacke simetricne s ortocentrom u odnosu na sredista stranicatrougla pripadaju krugu koji je opisan oko tog trougla.148. Ako suHi Oortocentar i srediste opisanog kruga trouglaABC,aMiNsrediste duzi AHi tezisne linijeADiz temenaA, dokazati da tackeO, M,Npripadaju jednoj pravoj,stavise da je tackaNsrediste duziOM.149. AkojeHortocentar, Osredisteopisanogkruga, i DpodnozjevisineiztemenaAtrouglaABC, zatimMtackaukojoj sesekupraveAOi BC, Esrediste duzi OHi Fsrediste duzi AM, dokazati da tackeD, E, Fpripadajujednoj pravoj.150. AkosuHi DortocentarisredistestraniceBCtrouglaABC, aEi FpodnozjaupravnihiztackeHnasimetraliunutrasnjegisimetralispoljasnjeguglaA, dokazati da tackeD,E,Fpripadaju jednoj pravoj.151. AkojeOsredisteopisanogkrugatrouglaABC, Mtackasimetricnasortocentrom H tog trougla u odnosu na teme A i N tacka simetricna s temenomA u odnosu na sredisteDstraniceBC, dokazati da tackeO, M, Npripadajujednoj pravoj.152. Dokazati da sredista stranica, podnozja visina i sredista duzi koje spajajuortocentar s temenima trougla pripadaju jednom krugu (Ojlerov krug).153. Dokazati dasesredisteOjlerovogkrugabilokojegtrouglapoklapasasredistem duzikojaspaja ortocentarsa sredistemopisanog krugatog trougla,zatim da je poluprecnik toga kruga jednak polovini poluprecnika opisanog kruga.154. Ako obelezimo saA1,B1,C1sredista stranicaBC = a,CA = b,AB = ctrouglaABC, sap poluobim tog trougla, sal(O, r) opisani krug tog trougla, saP, Q, R tacke u kojima upisani krugk(S1, ) dodiruje straniceBC, CA, AB,sa Pi,Qi,Ri za i = a, b, c tacke u kojima spolja upisani krug ki(Si, i) dodirujepraveBC,CA,AB, saMiNtacke u kojima simetrala straniceBCsece krugl pri cemu je tackaMna lukuBAC, a saM

iN

podnozja upravnih iz tacakaMiNna pravojAB, dokazati da je(a)AQa = ARa = p(b)QQa = RRa = a13(v)QbQc = RbRc = a(g)AQ = AR = BRc = PPc = CPb = CQb = p a(d)PPa = b cPbPc = b +c( -d)PA1 = A1Pa, PcA1 = A1Pb(e)A1M=12(b +c), A1N=12(a)(z)MM

=12(bc), NN

=12(a +)(z)AM

=12(b c), AN

=12(b +c)(i)

a +b +c = 4r +155.Ako su A1, B1, C1 sredista stranica BC, CA, AB ostrouglog ili pravouglogtrouglaABC, Oi r sredistei poluprecnikopisanogkruga, apoluprecnikupisanog kruga, dokazati da jeOA1 +OB1 +OC1 = r +.156. Ako suA1, B1, C1sredista stranicaBC, CA, ABtrouglaABCkome jeugaoA tup,O ir srediste i poluprecnik krugal opisanog oko trouglaABCipoluprecnik upisanog kruga, dokazati da jeOA1 +OB1 +OC1 = r +.157. AkoobelezimosaABCDkonveksan cetvorougaoupisanukrugukisa

1, 2, 3, 4 poluprecnici krugova upisanih u trouglove BCD, CDA, DAB, ABC,dokazati da je

1 +3 = 2 +4.158. AkojeHortocentarostrouglogtrouglaABC, rpoluprecnikopisanogkruga, poluprecnikupisanogkrugai apoluprecnikspoljaupisanogkrugakoji dodiruje stranicuBC, dokazati da je(a)AH = 2r + a;(b)AH BH +CH = 2(r +).159. Ako suMi Ntacke u kojima krug odre -den temenimaB, Ci sredistemS upisanog kruga trouglaABCsece praveAB iAC, dokazati da je pravaMNzajednicka dirka upisanih krugova trouglaABCkoji dodiruju stranicuBC.14160. AkosuSbi Scsredistaspoljaupisanihkrugovakbi kctrouglaABC,aMi Ntacke u kojima krug opisan oko tetivnog cetvorougla BCSbSc sece praveAB i AC, dokazati da je prava MNzajednicka spoljasnja dirka krugova kb i kc.161. Ako se dijagonaleACiBDtetivnog cetvorouglaABCDseku u tackiOpodpravimuglom,dokazatidasupodnozja, P, Q, R, SupravnihiztackeOna pravamaAB,BC,CD,DA temena tangentnog i tetivnog cetvorougla.162.Ako je ABCD tetivan i tangentan cetvorougao cije stranice AB, BC, CD,DA dodiruju upisani krug u tackamaP,Q,R,S, dokazati da se duziPR iQSseku pod pravim uglom.163. Ako jeABCDtetivan cetvorougao, dokazati da su sredistaSA, SB, SC,SDkrugova upisanih u trouglove BCD,CDA,DAB,ABCtemena pravouglogparalelograma.164.Ako je D podnozje visine koje odgovara hipotenuzi BC pravouglog trouglaABC, dokazati da je prava odre -dena sredistima S1 i S2 krugova k1 i k2 upisanihu trougloveABD iACD upravna na simetrali uglaA trouglaABC.165. Akosupbi pc, qci qa, rai rbtrisektori unutrasnjihuglovaA, B, CproizvoljnogtrouglaABCpri cemusepolupravepbi pcnalazedopolupravihACiAB koje sadrze stranice naspram temenaB iC, itd, dokazati da su tackeP, Q, R u kojima se seku poluprave qa i ra, rb i pb, pc i qc temena jednakostranogtrougla (Morlejeva teorema).153. PROPORCIONALNOSTDUZIISLICNOSTLIKOVA166. AkosuCi C

tackedvejuuporednihduzi ABi A

B

takvedajeAB:CB = A

C

: C

B

, dokazati da se praveAA

,BB

,CC

seku u jednoj tacki ilisu me -du sobom uporedne.167.Ako su A, B, C tri tacke neke prave p, a A

, B

, C

tacke neke druge pravep

takve da jeAB

|BA

iAC

|CA

, dokazati da je iBC

|CB

(Paposovateorema).168. Ako suA, B, Ctri tacke jedne prave,aA

, B

, C

tacke izvan te pravetakve da jeAB

|BA

, AC

|CA

iBC

|CB

, dokazati da tackeA

, B

, C

tako -de pripadaju jednoj pravoj (Obratna Paposova teorema).169. Ako su A1,B1,C1 sredista stranica BC,CA,AB trougla ABC, a Mi Ntacke u kojima proizvoljna prava kroz teme A sece prave A1B1 i A1C1, dokazatida jeBM | CN.170. KroznaspramnatemenaAi CparalelogramaABCDkonstruisanesudve paralelne prave od kojih prva sece prave odre -dene stranicamaBCiCDutackama Pi Q, a druga sece prave odre -dene stranicama AB i AD u tackama RiS, dokazati da jePR | QS.171. Ako suHi Dortocentar i podnozje visine iz temenaA trouglaABC, aMi NtackeukojimaupravneiztackeDnapravamaABi ACsekupravekoje su u tackamaBiCupravne na straniciBC, dokazati da tackeH,M,Npripadaju jednoj pravoj.172. Ako suA

,B

,C

tacke u kojima proizvoljna pravas sece prave odre -denestranicama BC, CA, AB trougla ABC, dokazati da ortocentri trouglova AB

C

,A

BC

,A

B

Cpripadaju jednoj pravoj.173. Dokazati da su ortocentri cetriju trouglova koji su odre -deni sa cetiri praveod kojih nikoje dve nisu paralelne i nikoje tri nisu konkurentne pripadaju jednojpravoj.174. Ako suEi Ftacke u kojima simetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg uglaAtrouglaABCseku pravuBC, dokazati da je(a)BE : CE = AB : AC;(b)BF: CF= AB : AC.175. Ako obelezimo saSsrediste upisanog kruga trouglaABC, saSa, Sb, Scsredistaspoljaupisanihkrugovakoji odgovarajuredomstranicamaBC, CA,ABa saEiFtacke u kojima simetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg uglaA sekupravuBC, dokazati da je(a)AS : SE = ASa : SaE = (AB +AC) : BC;(b)ASb : SbF= ASc : ScF= [AB AC[ : BC.176. AkosuS, Sa, Sb, ScsredistaupisanihkrugovatrouglaABC, zatimP,Pa, Pb, Pctacke u kojima ti krugovi dodiruju pravuBCiA1srediste straniceBC, dokazati da je16(a)SA1 | APa;(b)SaA1 | AP;(v)SbA1 | APc;(g)ScA1 | APb.177. Ako su D i A1 podnozje visine iz temena A i srediste stranice BC trouglaABC, zatimk(S, ), ka(Sa, a), kb(Sb, b), kc(Sc, c)upisani krugovi trouglaABC i X, Xa, Xb, Xc tacke u kojima prave SA1, SaA1, SbA1, ScA1 seku pravuAD, dokazati da je(a)AX = (b)AXa = a(v)AXb = b(g)AXc = c178. Ako suXi Ytacke u kojima simetrale uglovaBi CtrouglaABCsekuduzkojaspajatemeAstackomPaukojoj spoljaupisani krugkadodirujestranicuBC, dokazati da jeAX : AY= AB : AC.179. Dokazati daseduzi kojespajajutemenaAicetvorouglaA1A2A3A4satezistimaTitrouglova koji su odre -deni ostalim temenima, seku u jednoj tacki,tezistu tog cetvorougla, pri cemu jeAiT: TTi = 3 : 1.180. AkojeAA1precnikkrugak, BproizvoljnatackakrugakrazlicitaodtacakaAi A

, aCtackaduzi AA

takvadaje AB=CA

, dokazati dasesimetrala uglaA, tezisna linija iz temenaBi visina iz temenaCtrouglaABCseku u jednoj tacki.181. AkojeDsredistestraniceBCtrouglaABC, Ptackaukojojsimetralaugla ADB sece stranicu AB i Q tacka u kojoj simetrala ugla ADC sece stranicuAC, dokazati da jeABC APQ.182. Ako je ugao A trougla ABCostar i ako suB

iC

podnozja visina iztemenaBiC, dokazati da jeABC AB

C

.17183. Akojeugao Atrougla ABCostariakosuB

i C

podnozjavisinaiz temenaBiC, aO srediste krugak opisanog oko tog trougla, dokazati da jeOA B

C

.184.Neka je tacka S izvan kruga k. Ako su Pi Q tacke u kojima tangente krozSdodirujuk, aA iB tacke u kojima proizvoljna prava krozSsecek, dokazatida jeAP: BP= AQ : BQ.185. Ako suA

iC

tacke u kojima krug kroz temenaA, B, CparalelogramaABCD sece praveAD iCD, dokazati da jeA

B : A

C = A

C

: A

D.186. Ako obelezimo saDproizvoljnu tacku prave koja je odre -dena stranicomBC trougla ABC, a sa O1 i O2 sredista krugova opisanih oko trouglova ABDi ACD, dokazati da jeABC AO1O2.187. Akosupi p

dvepravekojesesekuutacki O, zatimA, B, Ctackeprave pi A

, B

, C

tackeprave p

takvedaje O(A, B, C), O(A

, B

, C

) iAB:BC=A

B

:B

C

,dokazatidasekrugoviopisaniokotrouglovaOAA

,OBB

,OCC

seku u istim tackama ili se me -du sobom dodiruju u tackiO.188. AkosuA

, B

, C

podnozjavisinaiztemenaA, B, Ctrougla ABC,dokazati da jeABC A

B

C

A

BC

A

B

C.189. Ako je PAQ prav,A proizvoljna tacka polupraveOQ, aB,C,D tackepolupraveOP, takve da je [OBCD] iOA = OB = BC = CD, dokazati da jeABC DBA.190. Ako suPiQ tacke stranicaABiACtrougla ABCtakve da jeAB =nAPi AC=(n + 1)AQ, dokazati dasuzasvevrednosti brojanpravePQkonkurentne.191. Ako suP,Q,R tacke stranicaBC,CA,ABtrougla ABCtakve da jeBP: PC=CQ : QA =AR: RB, dokazatidasetezistatrouglova ABCiPQR poklapaju.192. Ako suP,Q,R tacke stranicaBC,CA,ABtrougla ABCtakve da jeBP: PC=CQ : QA =AR: RB=k, dokazatidapostojitrougaokomesustranice jednake duzimaAP,BQ iCR.193. Ako jeD srediste osnoveBCjednakokrakog trougla ABC,Epodnozjeupravneiz Dnastranici AC, F sredisteduzi DE, dokazati dajeduz BEupravna na duziAF.194. Nekasu ABCi A

B

C

dvahomoteticnatrouglauodnosunanekutackuO, ap, q, rpravekroztackuOuporednesapravamaBC, CA, AB.Ako trougao PQR, koji je upisan u trougao ABC, odre -duje na stranicamatrougla A

B

C

jednakeodsecke, dokazatidatrougao PQRodre -dujeinapravamap,q,r jednake odsecke.18195. Ako suBiCtacke u kojima praveABiACdodiruju krugk, aP,Q,Rpodnozja upravnih iz proizvoljne tacke S toga kruga na pravama BC, CA, AB,dokazati da jeSP2= SQ SR.196. Ako jekkrug opisan oko trougla ABC, t dirka krugaku tacki A i Dtacka u kojoj prava krozBuporedna sat seceAC, dokazati da jeAB2= ACAD.197. Akoje Dtackaukojoj simetralauglaAsecestranicuBCtrouglaABC, E tacka u kojoj upravna kroz D na simetrali unutrasnjeg ugla B secepravuABi FtackaukojojupravnakrozDnasimetrali spoljasnjeguglaCsece pravuAC, dokazati da jeAD2= AEAF.198. Ako upravna kroz proizvoljnu tacku Phipotenuze BC pravouglog trouglaABC sece prave AC i AB u tackama Q i R, a opisani krug oko trougla ABCu tackiS, dokazati da jePS2= PQ PR.199. AkojePQRSkvadratupisanupravougli trougao ABCpricemusutemena Pi Q hipotenuze BC, a temena R i S na stranicama AC i AB, dokazatida jePQ2= BPCQ.200. Ako suP, Q, R tacke u kojima proizvoljna prava kroz temeA paralelo-gramaABCD sece praveBC, CD, BD, dokazati da jeAR2= PRQR.201. PravakrozpresekSdijagonalaACi BDuporednasastranicomABcetvorouglaABCDsece praveCD, BC, ADu tackamaP, Q, R. Dokazati dajePS2= PQ PR.202. Ako su A, B, C tri razne tacke kruga k, A

i B

upravne projekcije tacakaA iB na pravojc koja u tackiCdodiruje krugk iC

upravna projekcija tackeCna pravojAB, dokazati da jeAA

BB

= CC2.203. AkosuABi CDosnovicejednakokrakogtrapezaABCDopisanogokokruga poluprecnikar, dokazati da jeABCD = 4r2.204.Ako su a, b, c, d duzi jednake stranicama AB, BC, CD, DA a x i y duzi jed-nake dijagonalama AC i BD konveksnog i tetivnog cetvorougla ABCD, dokazatida jexy=ad +bcab +cd.19205. Ako su kod trouglaABCstraniceBC, CA, ABjednake duzimaa, b, c iako je A = 2B, dokazati da jea2= b(b +c).206. Ako su kod trouglaABCstraniceBC, CA, ABjednake duzimaa, b, c iako je A = 2B, dokazati da jea2= b(b +c).207. Ako su kod trouglaABCstraniceBC, CA, ABjednake duzimaa, b, c iako jea2= b(b +c), dokazati da jeA = 2B.208. Ako suP, Q, R tacke u kojima proizvoljna prava kroz temeA paralelo-gramaABCD sece praveBC, CD, BD, dokazati da je1AR=1AP+1AQ.209. Ako suP,Q,R tacke u kojima proizvoljna pravas kroz tezisteTtrouglaABCsecepraveBC, CA, ABpri cemusutackeQi RsistestraneodT,dokazati da je1TP=1TQ +1TR.210.Ako su dijagonale AC i BD cetvorougla ABCD seku u tacki O i ako pravakroz tackuO uporedna sa stranicomAB sece straniceAD iBCu tackamaA1iB2, prava kroz tackuO uporedna sa stranicomBCsece straniceABiCD utackamaB1iC2, prava kroz tackuO uporedna sa stranicomCD sece straniceBCiAD u tackama C1 iD2, a prava kroz tacku O uporedna sa stranicom DAsece straniceCD iABu tackamaD1iA2, dokazati da jeA1B2AB+B1C2BC+C1D2CD+D1A2DA= 4.211. AkojeDproizvoljnatackastraniceBCtrouglaABC, aEi FtackestranicaACiABtakve da jeAB | DEiAC | DF, dokazati da jeEDAB+EDAC= 1.212. Ako suA

, B

, C

tacke u kojima uporedne prave kroz temenaA, B, CtrouglaABCseku praveBC,CA,AB, dokazati da je1AA

+1BB

+1CC

= 0.213. Ako suA

,B

,C

sredista stranicaBC,CA,ABtrouglaABC;P,Q,Rtacke u kojima proizvoljna pravas sece praveBC, CA, ABiP

, Q

, R

tackeu kojima ta ista prava sece praveB

C

, C

A

, A

B

, dokazati da je1PP

+1QQ

+1RR

= 0.20214. Ako krug upisan u trougaoABCsece tezisnu linijuAA1u tackamaMiNtakvim da jeAM= MN= NA1, dokazati da je priAC> AB,AB : BC : CA = 5 : 10 : 13.215. AkojepravakojasadrzivisinuADtrouglaABCdirkakrugaopisanogoko trougla, dokazati da je razlika unutrasnjih uglovaBiCprav ugao.216. Ako je razlika unutrasnjih uglova B i C trougla ABC prav ugao, dokazatida je prava koja sadrzi visinuAD dirka kruga opisanog oko trouglaABC.217. AkojepravakojasadrzivisinuADtrouglaABCdirkakrugaopisanogoko tog trougla, dokazati da jeAD2= BDCD.218. Ako je podnozje D visine iz temena A na produzenju stranice BC trouglaABC i pri tome AD2= BDCD, dokazati da je prava AD dirka kruga opisanogoko trouglaABC.219. Neka simetrala ugla A sece stranicu BC trougla ABC u tacki E, dokazatida je ugaoA tog trougla prav ako i samo ako je1AB+1AC=

1BE2+1CE2.220. AkojekodtrouglaABCzbirili razlikaunutrasnjihuglovaBi Cpravugao iD podnozje visine iz temenaA, dokazati da je1AB2+1AC2=1AD2.221. Ako jeD podnozje visine iz temenaA trouglaABCi pri tome1AB2+1AC2=1AD2,dokazati da je zbir ili razlika unutrasnjih uglovaBiCtog trougla prav ugao.222. AkojekodtrouglaABCzbirili razlikaunutrasnjihuglovaBi Cpravugao i ako jeD podnozje visine iz temenaA, dokazati da je(a)AD2= BDCD(b)AB2: AC2= BD : CD223. AkojekodtrouglaABCzbirili razlikaunutrasnjihuglovaBi Cpravugao i ako jer poluprecnik kruga opisanog oko trouglaABC, dokazati da jeAB2+AC2= 4r2.224. Ako je ugaoA trouglaABCprav iTteziste tog trougla, dokazati da jeBT2+CT2= AT2.21225. AkosuEi FtackeukojimasimetraleunutrasnjihuglovaBi CsekunaspramnestranicetrouglaABC, aP, Q, RpodnozjaupravnihizproizvoljnetackeMduziEFna stranicamaBC, CA, AB, dokazati da jeMP= MQ+MR.226. Ako suMiNtacke u kojima prava kroz presekOdijagonalaACiBDtrapeza ABCD uporedna s osnovicama AB i CD sece prave AD i BC, dokazatida je tackaO srediste duziMN.227. Ako jeABCD trapez sa nejednakim kracimaAD iBC, dokazati da jeAC2BD2AD2BC2=AB +CDAB CD.228. AkosuPi QtackenakracimaADi BCtrapezaABCDtakvedajeAP: PD = BQ : QC = m : n, dokazati da jePQ =nAB +m DCm+n.229. Ako jeTteziste trouglaABCis proizvoljna prava u ravni tog trougla, aT

, A

, B

, C

uporedne projekcije tacakaT, A, B, Cna pravojs, dokazati da jeTT

=13(AA

+BB

+CC

).230. Dvakrugak1i k2spoluprecnicimar1i r2dodirujusespoljautackiP. AkojeQpodnozjeupravneiztackePnabilokojojspoljasnjojdirki tihkrugova, dokazati da jePQ =2r1r2r1 +r2.231. AkosuMi NtackestranicaABi CD, aPi QtackestranicaADi BCcetvorouglaABCDtakvedaje AM: MB=DN: NC=m: niAP: PD=BQ : QC=p : q,dokazatidaseduzi MNi PQsekuutacki Otakvoj da jeMO : OM= p : q iPO : OQ = m : n.232. AkojekodtrouglaABCstranicaBCjednakapoluzbirudrugihdvejustranica, dokazati,(a) da teme A, sredista Mi Nstranica AB i AC, srediste O opisanog krugai sredisteSupisanog kruga pripadaju jednom kruguk;(b) da je simetralaASuglaA upravna na pravojOS;(v) da dirka krugak u tackiSsadrzi tezisteTtrouglaABC.233. AkojekodtrouglaABCstranicaBCjednakapoluzbirudrugihdvejustranica, dokazati da je(a)ha = 3 = a(b)a2= 4(2r )234.Neka je AD visina koja odgovara hipotenuzi BC pravouglog trougla ABC,DEvisinatrouglaABDi DFvisinatrouglaACD. AkojeBC=a, AD=ha, BE = m, CF= n dokazati da je22(a)h3a = amn;(b)a2= m2+n2+ 3h2a;(v)3a2=3m2+3n2.235. AkojeOsredisteduzi AB, aCi DtackepraveABtakvedajeOC:OD = k, dokazati da jeAC2BC2= k(AD2BD2).236. Ako suABi CDdve tetive krugakkoje se seku u tacki Spod pravimuglom i ako suO ir srediste i poluprecnik krugak, dokazati da jeAB2+CD2= 4(2r2OS2).237. AkosuABi CDdvetetivekrugak(O, r)kojesesekuunekojtacki Spod pravim uglom, dokazati da jeAS2+BS2+CS2+DS2= 4r2.238. NekajeugaoAtrouglaABCpravi DpodnozjevisineiztemenaA.Ako sur,r1,r2poluprecnici opisanih i,1,2poluprecnici upisanih krugovatrouglovaABC,ABD,ACD dokazati da je(a)r2= r21 +r22;(b)

2= 21 +22.239.Ako se krugovi k1(O1, r1) i k2(O2, r2) dodiruju spolja u tacki S, a prave p1i p2 seku u tacki S pod pravim uglom, pri cemu prava p1 sece k1 i k2 u tackamaA iB, a pravap2secek1ik2u tackamaCiD, dokazati da jeAB2+CD2= 4(r1 +r2)2.240. Ako sur1ir2poluprecnici dvaju krugovak1ik2koji se spolja dodirujuu tacki Pi ako jed odstojanje tackePod jedne njihove spoljasnje zajednickedirke, dokazati da je1r1+1r2=2d.241. Akosur1i r2poluprecnici dvajukrugovak1i k2koji seme -dusobomspoljadodirujui akosuT1i T2dodirnetackejednenjihovespoljasnjedirke,dokazati da jeT1T2 = 2r1r2.242. Nekasuk, k1, k2tri krugaupisanauugao, pricemukrugovi k1i k2dodirujukrugk, zatiml1i l2krugovi koji dodirujujedankruguglaapri23tome krugl1 dodiruje krugovek ik1, a krugl2 dodiruje krugovek ik2. Ako sur, 1, 2poluprecnici krugovak, l1, l2dokazati da je

1 +

2 =r.243. Ako suBB

iCC

visine iz temenaBiCtrouglaABC, ar poluprecnikopisanog kruga id odstojanje njegovog sredista od straniceBC, dokazati da jeBC : B

C

= r : d.244. AkojeHortocentartrouglaABCi Osredistekrugaopisanogokotogtrougla, dokazati da jeBC2+AH2= 4OA2.245. Ako jeHortocentar trouglaABC,r poluprecnik kruga opisanog oko togtrougla ia, b, c duzi jednake stranicamaBC,CA,AB, dokazati da jeAH2+BH2+CH2= 12r2(a2+b2+c2).246. Ako su AA

, BB

, CC

visine i H ortocentar trougla ABC, dokazati da je(a)AHAA

=12(AB2+AC2+BC2)(b)AHAA

+BHBB

+CC

=12(AB2+BC2+CA2)247. AkojeMsredistekvadratanadhipotenuzomBCtrouglaABCkojisenalazi s one strane od prave BC s koje nije teme A, sa Nsrediste kvadrata nadhipotenuzomBCkoji senalazi sonestraneodpraveBCsakojejetemeA,dokazati da je(a)AM=22(AB +AC)(b)AN=22(AB AC)248. Ako suP, Q, R tacke u kojima upisani krug dodiruje straniceBC, CA,AB trougla ABC, a A

, B

, C

podnozja upravnih iz proizvoljne tacke MkrugaknapravamaBC, CA, ABi P

, Q

, R

podnozjaupravnihiztackeMnapravamaQR,RP,PQ, dokazati da jeMA

MB

MC

= MP

MQ

MR

.249. Ako su,a,b,cpoluprecnici upisanih krugovak,ka,kb,kczatimP,Pa,Pb,Pctacke u kojima ti krugovi dodiruju pravuBCiP

,P

a,P

b,P

ctackeu kojima praveAP,APa,APb,APcseku krugovek,ka,kb,kc, dokazati da je(a)APPP

= 2ha24(b)APa PaP

a = 2aha(c)APb PbP

b = 2bha(d)APc PcP

c = 2cha250. Ako suS,Sa,Sb,Sc sredista i,a,b,c poluprecnici upisanih krugovatrougla ABC,Mi Ntacke u kojima simetrale spoljasnjeg i unutrasnjeg ugla Aseku opisani krug trouglaABC, kome je poluprecnikr, dokazati da je(a)SA SN= 2r(b)SaA SaN= 2ra(c)SbA SbM= 2rb(d)ScA ScM= 2rc251. Ako sua, b, c stranice trougla, rpoluprecnik opisanog kruga i havisinakoja odgovara stranicia, dokazati da jebc = 2rha.252. Akosuri hapoluprecnikopisanogkrugai visinaiztemenaAtrouglaABC, la i la simetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg ugla A, a Ni Mtacke u kojimate simetrale seku opisani krug, dokazati da je(a)AN=2rhala(b)AM=2rhala253. Akosubi cduzi jednakestranicamaACi ABtrouglaABC, lailasimetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg ugla A, a Ni Mtacke u kojima te simetraleseku opisani krug, dokazati da je(a)AN=bcla;(b)AM=bcla.254.Ako je ha visina iz temena A, la simetrala ugla A i r poluprecnik opisanogkruga trouglaABC, dokazati da jer =l2a2ha

m2ah2al2ah2a.255. Ako obelezimo sab ic stranice naspram temenaBiCtrouglaABC, sak(S, ) upisani krug, saka(Sa, a)kb(Sb, b), kc(Sc, c) spolja upisane krugove25kojiodgovaraju,respektivno,temenimaA, B, Casad, da, db, dcodstojanjatacakaS,Sa,Sb,Sc od prave koja sadrzi tezisnu linijuAA1 = ma, dokazati daje(a)d =(b c)2ma(b)db =(b +c)b2ma(c)da =(b c)a2ma(d)dc =(b +c)c2ma256.Ako su a, b, c stranice i ha, hb, hc njima odgovarajuce visine nekog trougla,zatim p poluobim, r poluprecnik opisanog kruga ipoluprecnik upisanog kruga,dokazati da je(a)ha +hb +hc =ab +bc +ca2r(b)ha +hb +hc = 2p(1a + 1b + 1c)257.Ako su , a, b, c poluprecnici upisanih krugova trougla ABC i ha visinaiz temenaA, dokazati da je(a)1

1

a=2ha(b)1

b+1

c=2ha258.Ako su ha, hb, hc visine trougla ABC, a , a, b, c poluprecnici njegovihupisanih krugova, dokazati da je(a)1

a+1

b+1

c=1

(b)1ha+1hb+1hc=1

(c)1ha+1hb1hc=1

c259. Akosua, b, c stranice i ppoluobimtrougla ABC, a , a, b, cpoluprecnici upisanih krugova tog trougla, dokazati da je26(a)

a = (p b)(p c)(b)

b c = p(p a)260. Akosua, b, c stranice i ppoluobimtrougla ABC, a , a, b, cpoluprecnici upisanih krugova, dokazati da je(a)

a (b +c) = ap(b)

a +b c = bc(c)

b ca =b2+c2a22(d)

a b +b c +c a = p2261. Ako su, a, b, c poluprecnici upisanih krugova trouglaABCip poluo-bim tog trougla, dokazati da je(a)

a

b

c = p2

(b)

b

c = (p a)2

a262. Akosua, b, cstranicetrouglaABC, a, a, b, cpoluprecniciupisanihkrugova ir poluprecnik opisanog kruga, dokazati da je

2+2a +2b +2c = 16r2(a2+b2+c2).263.Ako su a, b, c stranice i p poluobim trougla ABC, a , a, b, c poluprecniciupisanih krugova ir poluprecnik opisanog kruga, dokazati da je(a)a2= (a)(b +c)(b)a2+b2+c2= 2p2228r(v)ab +bc +ca = p2+2+ 4r264. Akosua, b, s, stranicei ppoluobimtrouglaABC, ri poluprecniciopisanog i upisanog kruga, a a poluprecnik spolja upisanog kruga koji se nalaziu ugluA, dokazati da je(a)abc = 4rp(b)abc = 4ra(p a)265. Ako suPi Q tacke u kojima simetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg uglaAtrouglaABCseku pravuBC, dokazati da je27(a)AP2= ABAC BPPC(b)AQ2= BQ CQABAC266. AkosulAilasimetraleunutrasnjegispoljasnjeguglaAtrouglaABC,a, b, c, duzi jednake stranicama BC, CA, AB i p poluobim tog trougla, dokazatida je(a)l2A =4bcp(p a)(b +c)2(b)l2a =4bc(p b)(p c)(b c)2267. Ako su a, b, c, stranice i p poluobim trougla ABC, a S, Sa, Sb, Sc sredistaupisanih krugova tog trougla, dokazati da je(a)AS2=bc(p a)p(b)AS2a =bcpp a(v)AS2b=bc(p c)p b(g)AS2c=bc(p b)p c268. AkosuS, Sa, Sb, Scsredistai , a, b, cpoluprecnici upisanihkrugovatrouglaABC, ar ip poluprecnik opisanog kruga i poluobim, dokazati da je(a)AS2+BS2+CS2= p2+28r(b)AS2a +BS2a +CS2a = p22+ 2a24r + 4ra(v)AS2a +BS2b +CS2c= p2+2+ 8r + 16r2269. Ako suS,Sa,Sb,Sc sredista upisanih krugova trouglaABCia,b,c duzijednake stranicamaBC,CA,AB, dokazati da je(a)AS2bc+BS2ca+CS2ab= 1(b)bcAS2a+caBS2b+abCS2c= 128270. AkosuS, Sa, Sb, ScsredistaupisanihkrugovatrouglaABC,aha, hb, hcnjegove visine ir poluprecnik opisanog kruga, dokazati da je(a)AS2ha+BS2hb+CS2hc= 2r(b)haAS2a+hbBS2b+hcCS2c=12r.271. AkosuS, Sa, Sb, Scsredistai , a, b, cpoluprecnici upisanihkrugovatrouglaABC, aO ir srediste i poluprecnik opisanog kruga, dokazati da je(a)OS2= r(r 2)(b)OS2a = r(r + 2a)(v)OS2+OS2a +OS2b +OS2c= 12r2272. Ako sua, b, c stranice i p poluobim trouglaABC, aS, Sa, Sb, Scsredistaupisanih krugova, dokazati da je(a)SS2a =a2bcp(p a)(b)SbS2c=a2bc(p b)(p c)273. AkosuS, Sa, Sb, Scsredistai , a, b, cpoluprecnici upisanihkrugovatrouglaABC, ar poluprecnik kruga opisanog oko tog trougla, dokazati da je(a)SS2a = 4r(a)(b)SbS2c= 4r(b +c)(v)SS2a +SS2b +SS2c= 8r(2r )(g)SbS2c +ScS2a +SaS2b= 8r(4r +)274. AkosuS, Sa, Sb, ScsredistaupisanihkrugovatrouglaABCi akojepoluprecnikupisanogkruga, rpoluprecnikopisanogkrugai ppoluobimtogtrougla, dokazati da je(a)ASBSCS = 4r2(b)ASa BSb CSc = 4rp2(v)SSa SSb SSc = 16r2

29(g)SaSb SbSc ScSa = 16r2p275. Ako suS, Sa, Sb, Scsredista upisanih krugova trouglova dokazati da je(a)ASASa = ABAC(b)ASb ASc = ABAC.276. Akojerpoluprecnikopisanogkruga, poluprecnikupisanogkruga, Ssrediste upisanog kruga i Sa srediste spolja upisanog kruga koji odgovara straniciBC, dokazati da jeASSSa = 4.277.Ako su duzi b i c jednake stranicama AC i AB trougla ABC, S isredistei poluprecnik upisanog kruga r poluprecnik opisanog kruga tog trougla, dokazatida jeAS2= bc 4r.278. Ako obelezimo saha,hb,hc visine iz temenaA,B,CtrouglaABC, saSsrediste upisanog kruga i sar poluprecnik opisanog kruga, dokazati da jeSA2ha+SB2hb+SC2hc= 2r.279. Ako suna, nb, ncodseccikoje trougaoABCodre -duje na pravama kojesadrze srediste upisanog kruga, a paralelne su respektivno sa stranicama BC =a,CA = b,AB = c, dokazati da jenaa+nbb+ncc= 2.304. KARAKTERISTICNETEOREMEINJIHOVEPRIMENE4.1. Apolonijevateorema280. (Apolonije) Ako jeXtacka straniceBCtrouglaABCtakva da jeBX:XC = m : n, dokazati da jenAB2+mAC2+nBX2+mCX2+ (m+n)AX2.281. AkojeXproizvoljnatackaravnipravougaonikaABCD,dokazatidajeAX2+CX2= BX2+DX2.282. Dokazati dajekodparalelogramazbirkvadratastranicajednakzbirukvadrata dijagonala.283.Ako je kod cetvorougla ABCD zbir kvadrata stranica jednak zbiru kvadratadijagonala, dokazati da je taj cetvorougao paralelogram.284. Ako jeXtacka straniceBCtrouglaABCtakva da jeBX : XC = m : n,Ytacka u kojoj pravaAXsece krug upisan oko trouglaABC, dokazati da jenAB2+mAC2= (m+n)AXAY.285. AkojeDpodnozjevisineiztemenaAi A1straniceBCtrouglaABC,dokazati da jeAC2AB2= 2BCDA1.286. Akoje Dtackastranice BCtrouglaABCtakvadaje BD=2DC,dokazati da jeAB22AC2= 3AD2+ 6AD2.287. Ako suXiYtacke straniceBCtrouglaABCtakve da jeBX = XY=Y C, dokazati da jeAB2+AC2= AX2+AY2+ 4XY2.288. AkosuAA1, BB1, CC1tezisnelinijetrouglaABCi Tnjegovoteziste,dokazati da je(a)AA21 =14(2AB2+ 2AC2BC2)(b)AA21 +BB11 +CC21=34(AB2+BC2+CA2);(v)AT2+BT2+CT2=13(AB2+BC2+CA2).289. Ako suPi Q sredista dijagonalaACi BD cetvoruglaABCD, dokazatida jePQ2=14(AB2+BC2+CD2+DA2AC2BD2).31290. Akosul1i lasimetraleunutrasnjegi spoljasnjeguglaAtrouglaABC,zatim a, b, c stranice naspram temena A, B, C i p poluobim tog trougla, dokazatida je(a)l2a =4bcp(p a)(b +c)2(b)l2a =4abc(p b)(p c)(b c)2.291. Akojetacka Msredistetetive ABkruga kkomejesrediste O. Nproizvoljna tacka krugal kome je duzOMprecnik iC, dokazati da jeAC2+BC2= 4NC2.292. Ako suH, T, O, Sortocentar, teziste, srediste opisanog kruga i sredisteupisanog kruga bilo kojeg trougla, a r ipoluprecnik opisanog i upisanog kruga,dokazati da je(a)SH2+ 2SO2= 3(ST2+ 2OT2)(a)3(ST2+ 2OT2) SH2= 2r(r 2)293. Dokazati daje poluprecnikkrugakoji dodiruje katete i opisani krugpravouglog trougla jednak precniku upisanog kruga.294. AkosustraniceBC, CA, ABtrougla ABCjednakeduzimaa, b, ciako je O srediste i r poluprecnik kruga opisanog oko trougla ABC, a O

tackasimetricna saO u odnosu na pravuBC, dokazati da jeAO2= r2+b2+c2a2.295. Ako je kod trougla ABCAB2+ AC2= 5BC2, dokazati da su tezisnelinije iz temenaBiCme -du sobom upravne.296. Ako jeSsrediste kruga upisanog u trougao ABCiPproizvoljna tackaravni tog trougla, dokazati da jeBCBA2+CAPB2+ABPC2= BCSA2+CASB2+ABSC2+(BC+CA+AB)PS2.297. (M. Stewart) Ako jeXtacka straniceBCtrougla ABC, dokazati da jeBCAX2= XC2 AB2+BXAC2BXXCbc.298. Akosuri poluprecnikopisanogkrugai poluprecnikupisanogkrugatrougla ABCkomejestranicaBCnajmanja,aMi NtackestranicaABiACtakve da jeMB = NC = BC = a, dokazati da jeMN2=a2r (r 2).32299. Akosuri apoluprecnikopisanogkrugaipoluprecnikupisanogkrugakoji odgovara straniciBCtrouglaABC, aMiNtacke pravihAB iACtakveda jeAB MiMB = NC = BC = a, dokazati da jeMN2=a2r (r + 2a).300.Ako su B

i C

podnozja upravnih iz temena B i C na simetrali unutrasnjeguglaA trouglaABC, dokazati da jeBB

=

cb(p b)(p c) i CC

=

bc(p b)(p c).301. Ako sua ic osnovice,b id kraci,e ifdijagonale trapeza, dokazati da jee2= ac +ad2cb2a ci f2= ac +ab2cd2a c.302. Odrediti skup svih tacakaPza koje jem AP2+nBP2= l2gde suA iBdate tacke,m in dati brojevi il data duz.303. Neka jeOsrediste i rpoluprecnik krugak, aA tacka u njegovoj ravni id duz jednaka duziOA. Ako suMiNpromenljive tacke krugaktakve da jeugao MANprav:(a)dokazatidajeskupsvihsredistasvihtetivaMNkrugaktako -dekrugl kome se srediste poklapa sa sredistem duziOA, a poluprecnik je jednak duzi122r2d2;(b) dokazati da je skup svih presecnih tacaka dirki krugaku tackamaMiNtako -de izvestan krug l1 koji je homotetican s krugom l u odnosu na tacku O.304. AkojeABCDtangentanitetivan cetvorougao, rpoluprecnikopisanogkruga, poluprecnikupisanogkrugai dduzkojaspajasredistatihkrugova,dokazati da je1(r +d)2+1(r d)2=1

2.4.2. Lajbnicovateoremainjenaprimena305. (G.W.Leibnitz)AkojeTtezistetrougla ABCi Pproizvoljnatacka,dokazati da jePA2+PB2+PC2= TA2+TB2+TC2+ 3PT2.306. Ako jeTteziste cetvorouglaABCD iPproizvoljna tacka, dokazati da jePA2+PB2+PC2+PD2= TA2+TB2+TC2+TD2+ 4PT2.307.Ako je ABCD tetivan cetvorougao sa upravnim dijagonalama, a r poluprecnikopisanog kruga dokazati da jeAB2+CD2= BC2+AD2= 4r2.33308. Ako su a, b, c stranice trougla ABC, O i r srediste i poluprecnik opisanogkruga, aTiHteziste i ortocentar tog trougla, dokazati da je(a)OT2= r219(a2+b2+c2);(b)OH2= 9r2(a2+b2+c2);(v)TH2= 4r2 49(a2+b2+c2);(g)AH2+BH2+CH2= 12r2(a2+b2+c2).309. AkoobelezimosaO, H, Tsredisteopisanogkruga, ortocentaritezistetrouglaABC, sapnjegovpoluobimsarpoluprecnikopisanogkrugai sapoluprecnik upisanog kruga, dokazati da je(a)OT2=19(9r22p2+ 22+ 8r);(b)OH2= 9r22p2+ 22+ 8r;(v)HT2=49(9r22p2+ 22+ 8r);(g)AH2+BH2+CH2= 12r22p2+ 22+ 8r.310. Ako suS,Sa,Sb,Sc sredista i,a,b,c poluprecnici upisanih krugovatrouglaABC, aa,b,c stranice,p poluobim,r poluprecnik opisanog kruga iTteziste tog trougla, dokazati da je(a)9TS2= p2+ 5216r;(b)9TS2a = p22+ 62a4r + 12ra;(v)TS2+TS2a +TS2b +TS2c= 16r2 49(a2+b2+c2).311. Ako suS,Sa,Sb,Sc sredista i,a,b,c poluprecnici upisanih krugovatrouglaABC,aa, b, c stranice, p poluobim, rpoluprecnik opisanog kruga, Tteziste iHortocentar tog trougla, dokazati da je34(a)HS2= 4r2+ 4r + 32p2;(b)HS2a = 4r2+ 4r +2+ 22ap2;(v)HS2+HS2a +HS2b +HS2c= 48r24(a2+b2+c2).312.Ako je O1 srediste Ojlerovog kruga, H ortocentar i r poluprecnik opisanogkruga trouglaABC, dokazati da je(a)O1A2+O1B2+O1C2=14(3r2+a2+b2+c2);(b)O1A2+O1B2+O1C2+O1H3= 3r2.4.3. Karnoovateoremainjenaprimena313. (L.Carnot)AkosuP, Q, R,tackepravihkojesuodre -denestranicamaBC, CA, ABtrouglaABC, dokazati da se prave upravne u tackamaP, Q, Rna pravamaBC,CA,ABseku u jednoj tacki ako i samo ako jeBP2PC2+CQ2QA2+AR2RB2= 0.314. AkoobelezimosaOproizvoljnutackukojasenalazi uravni poligonaA1, . . . , An i sa P1, . . . , Pn podnozja upravnih iz tacke O na pravama A1A2, . . . , AnA1,dokazati da jeA1P21+A2P22+. . . +AnP2n = P1A22 +P2A23 +. . . +PnA21.315. PrimenomKarnooveteoremedokazati dasesimetralestranicatrouglaseku u jednoj tacki.316. PrimenomKarnooveteoremedokazati dasepraveodre -denevisinamatrougla seku u jednoj tacki, ortocentru tog trougla.317. Dokazati da se normale kroz sredista spolja upisanih krugova trougla naodgovarajucim stranicama seku u jednoj tacki.318. Odtri krugakojimasredistanisunajednojpravojsvakadvakrugaseseku. Dokazati da se prave odre -dene zajednickim tetivama tih krugova seku ujednoj tacki, radikalnom sredistu tih krugova.319.Ako su A

, B

, C

ponozja visina iz temena A, B, C trougla ABC, dokazatida se normale kroz temena A, B, C na pravama B

C

, C

A

, A

B

seku u jednojtacki,sredistuO kruga opisanog oko trouglaABC.35320. AkojeOproizvoljnatackaravni trouglaABCaA

, B

, C

podnozjaupravnih kroz O na pravama BC, CA, AB, dokazati da se normale kroz temenaA,B,Cna pravamaB

C

,C

A

,A

B

seku u jednoj tacki.321. AkosuA

, B

, C

upravneprojekcijetemenaA, B, CtrouglaABCnanekoj pravojp, dokazati da se prave kroz tackeA

,B

,C

upravne na pravamaBC, CA, ABsekuuizvesnojtacki P, ortopolupravepuodnosunatrougaoABC.322. DvatrouglaABCi A

B

C

pripadajuistojravni. AkoseupravnekroztackeA, B, CnapravamaB

C

, C

A

, A

B

sekuujednojtacki, dokazati dasei upravne tackeA

, B

, C

na pravamaBC, CA, ABtako -de sekuu jednojtacki.4.4.Cevijevateoremainjenaprimena323.(Giovanni Ceva) Ako su P, Q, R tacke pravih koje su odre -dene stranicamaBC, CA, ABtrouglaABC, dokazati dasepraveAP, BQ, CRsekuujednojtacki ako i samo ako jeBPPC CQQA ARRB= 1.324. PrimenomCevijeve teoreme dokazati da se(a) tezisne linije trougla seku u jednoj tacki;(b) prave odre -dene visinama trougla seku u jednoj tacki;(v)simetrale unutrasnjih uglova trougla seku u jednoj tacki;(g)simetralejednogunutrasnjeguglai simetraledvaspoljasnjauglakoddruga dva temena trougla seku u jednoj tacki.325. AkosuP, Q, Rtackeukojimakrugupisanutrougao ABCdodirujestraniceBC, CA, CB, dokazatidasepraveAP, BQ, CRsekuujednojtacki(Zergonova teorema).326. Ako su Pa, Qa, Ra tacke u kojima krug upisan u trougao ABCdodirujestranicu BC i produzenja stranica CAi AB, dokazati da se prave APa, BQa, CRaseku u jednoj tacki.327. Ako suPa, Qb, Rctacke u kojima spolja upisani krugovi trougla ABCdodiruju stranice BC, CA, AB dokazati da se praveAPa, BQb, CRc seku u jed-noj tacki.328. Neka je ABCproizvoljan trougao ik krug koji sece praveBC, CA, ABu tackamaPi P

, Q i Q

, R i R

. Ako se pri tome praveAP, BQ, CR seku ujednoj tacki, dokazati da se i praveAP

, BQ

, CR

tako -de seku u jednoj tacki.329. Dokazati da se prave od kojih svaka sadrzi po jedno teme trougla i razlazeobim tog trougla na dva jednaka dela, seku u jednoj tacki.330. Ako je Psrediste stranice BC trougla ABC i ako su Q i R tacke u kojimaneka prava uporedna sa stranicom BC sece prave AC i AB, dokazati da se praveAP,BQ,CR seku u jednoj tacki.331. Neka je ABCproizvoljan trougao i neka suP,Q,R tacke pravihBC,CA, ABtakve da se praveAP, BQ, CRseku u jednoj tacki. Ako suA

, B

,C

sredistaduzi AP, BQ, CR,dokazatidasepraveA

P

, B

Q

, C

R

sekuujednoj tacki.36332. Neka su A

,B

,C

sredista stranica BC,CA,AB trougla ABC. P,Q,Rtacke pravihBC, CA, ABi P

, Q

, R

tacke simetricne saP, Q, R u odnosunanaA

, B

, C

. Akosepri tomepraveAP, BQ, CRsekuujednoj tacki,dokazati da se i praveAP

,BQ

,CR

tako -de seku u jednoj tacki.333. Neka suAA

,BB

,CC

simetrale unutrasnjih uglova trouglaABC, aPiP

, Q i Q

, R i R

tacke pravih BC, CA, AB takve da su prave AP

, BQ

, CR

simetricne sa pravama AP, BQ, CR u odnosu na prave AA

, BB

, CC

. Ako sepri tome prave AP,BQ,CR seku u jednoj tacki S, dokazati da se i prave AP

,BQ

,CR

tako -de seku u jednoj tackiS

. Dokazati zatim da upravne projekcijetacakaSiS

na pravamaBC,CA,ABpripadaju jednom krugu.334. NekajeA1. . . A2n1ravanmnogougaosneparnimbrojemstranicai Sproizvoljna tacka njegove ravni. Ako prave SA1, . . . , SA2n1 odre -dene tackom Si temenima mnogougla seku prave odre -dene naspramnim stranicama u tackamaPn, Pn+1, . . . , P2n1, . . . , Pn1, dokazati da jeA1P1P1A2

A2P2P2A3

A2n1P2n1P2n1A1= 1.4.5. Menelajevateoremainjenaprimena335.(Menelaus) Dokazati da tacke P, Q, R pravih koje su odre -dene stranicamaBC,CA,ABtrouglaABCpripadaju jednoj pravoj ako i samo ako jeBPPC CQQA ARRB= 1.336. DokazatidatackeP, Q, RukojimasimetralespoljasnjeguglaAiun-utrasnjihuglovaBi Csekupraveodre -denenaspramnimstranicamatrouglaABC, pripadaju jednoj pravoj.337. DokazatidatackeP, Q, RukojimasimetralespoljasnjihuglovaA, B,C seku prave odre -dene naspramnim stranicama trougla ABC, pripadaju jednojpravoj.338.Dokazati da tacke P, Q, R u kojima dirke kruga opisanog oko trougla ABCu njegovim temenima seku prave odre -dene naspramnim stranicama, pripadajujednoj pravoj, Menelajevoj pravoj trouglaABC.339. Dokazati dasukodtrouglasredistejednevisine, dodirnatackaodgo-varajuce stranice sa spolja upisanim krugom i srediste upisanog kruga tri kolin-earne tacke.340. Dokazati dasukodtrouglasredistejednevisine, dodirnatackaodgo-varajuce stranice sa upisanim krugom i srediste spolja upisanog kruga koji odgo-vara toj stranici tri kolinearne tacke.341. Dokazati dasukodtrouglasredistevisineizjednogtemena, sredistespolja upisanog kruga koji odgovara drugom temenu i dodirna tacka spolja up-isanog kruga koji odgovara trecem temenu, sa pravom koja sadrzi stranicu odgo-varajucu s pomenutom visinom, tri kolinearne tacke.342. AkojeOsredisteopisanogkrugatrouglaABC, Mtackasimetricnasortocentrom H tog trougla u odnosu na teme A i N tacka simetricna s temenom37AuodnosunasredisteDstraniceBC, dokazatidatackeO, M, Npripadajujednoj pravoj.343. AkosuP, Q, RtackestranicaBC, CA, ABtrouglaABCtakvedajeBP:PC=CQ :QA =AR :RBi P

tacka u kojoj se seku praveBCi PQ,dokazati da jeBP

: CP

= CP2: BP2.344. AkosuA

, B

, C

sredistastranicaBC, CA, CB, Mpresekduzi AA

iBC

, aNpresek pravihABiCM, dokazati da jeAB = 3AN.345. AkosuMi NtackenastranicamaABi ACtrouglaABCtakvedajeAM= ANa D

tacka u kojoj tezisna linija AD trougla sece duz MN, dokazatida jeMD

: D

N= AC : AB.346.Ako su P, Q, R tacke u kojima neka prava sece prave odre -dene stranicamaBC, CA, ABtrouglaABC, dokazatidanjimasimetricnetackeP

, Q

, R

uodnosu na sredista stranicaBC,CA,ABpripadaju jednoj pravoj.347. Ako dve prave s i s

seku prave odre -dene stranicama BC, CA, CB trouglaABC u tackama P, Q, R i P

, Q

, R

, dokazati da presecne tacke X, Y, Z pravihBCiQR

,CA iRP

,ABiPQ

pripadaju jednoj pravoj.348. Ako jeOproizvoljna tacka ravni trouglaABC, dokazati da tackeP, Q,R u kojima upravne u tackiO na duzimaOA, OB, OCseku respektivno praveBC,CA,ABpripadaju jednoj pravoj.349. Ako suADiAEtezisna linija i simetrala uglaA trouglaABC, aP, Q,R upravne projekcije proizvoljne tacke Mprave AE na pravama BC, CA, AB,dokazati da se praveAD, MP, QR seku u jednoj tacki.350.Ako je ABCD proizvoljan cetvorougao, E tacka u kojoj se seku prave ABi CD, FtackaukojojsesekupraveBCi DA,dokazatidasredistaP, Q, RduziAC,BD,EFpripadaju jednoj pravoj.351. Ako jeABCD ravan cetvorougao,Epresecna tacka pravihABiCD,Fpresecna tacka pravihBCiAD,A

,B

,C

,D

tacke u kojima cetiri uporedneprave kroz temenaA,B,C,D seku pravuEF, dokazati da je1AA

+1CC

=1BB

+1DD

.352. AkoobelezimosaA, B, C, DcetiriraznetackenekepraveptakvedajeAB = BC = CD, saO proizvoljnu tacku izvan pravep i saA

, B

, C

, D

tackeu kojima neka pravap

koja ne sadrzi tackuOsece praveOA, OB, OC, OD,dokazati da jeAA

A

O +DD

D

O=BB

B

O +CC

C

O.353.Ako su P1, . . . , Pn tacke u kojima neka prava p sece prave odre -dene strani-camaA1A2, . . . , AnA1n-touglaA1. . . An, dokazati da jeA1P1P1A2

A2P2P2A3. . . AnPnPnA1= (1)n.384.6. Dezargovateoremainjenaprimena354. (G. Dezargues) Neka suABCiA

B

C

dva trougla koji pripadaju jednojravniikojimasepraveodre -deneodgovarajucimstranicamaBCi B

C

, CAiC

A

, ABi A

B

seku u tackamaP, Q, R. Ako se pri tome praveAA

, BB

,CC

seku u jednoj tacki, dokazati da tackeP,Q,R pripadaju jednoj pravoj, iobratno, ako tackeP,Q,R pripadaju jednoj pravoj, dokazati da se praveAA

,BB

,CC

seku u jednoj tacki.355. Ako su tackeP, Q, Rna pravama odre -denim stranicamaBC, CA, ABtrouglaABCtakve da se praveAP, BQ, CR seku u jednoj tacki O, dokazatida presecne tackeP

, Q

, R

pravihBCi QR, CA i RP, ABi PKpripadajujednoj pravoj.356. Ako suAA

, BB

, CC

visinetrouglaABC,dokazatidatackeP, Q, RukojimasesekupraveBCi B

C

, CAi C

A

, ABi A

B

pripadajujednojpravoj.357. Ako suP, Q, R tacke u kojima upisani krug dodiruje straniceBC, CA,ABtrouglaABC, dokazati da se tackeX, Y , Zu kojima se seku praveQR iBC,RPiCA,PQ iABnalaze na jednoj pravoj358.Ako su Pa, Qb, Rc tacke u kojima spolja upisani krugovi dodiruju straniceBC, CA, ABtrouglaABC, dokazati dasetackeX, Y , ZukojimasesekuQbRciBC,RcPaiCA,PaQbiABnalaze na jednoj pravoj.359. Dokazati da se ose perspektiva triju trouglova, perspektivnih u odnosu naistu tacku, seku u jednoj tacki.4.7. Paskalovateoremainjenaprimena360. (B. Pascal) Ako jeA1, . . . , A6tetivan sestougao, dokazati da tackeP,Q,R u kojima se seku prave odre -dene naspramnim stranicama A1A2 i A4A5, A2A3iA5A6,A3A4iA6A1pripadaju jednoj pravoj.361.Neka se tri tetive AA

, BB

, CC

istog kruga k seku u jednoj tacki S. AkoobelezimosaXproizvoljnutackukrugakisaP, Q, RtackeukojimapraveXA

,XB

,XC

seku respektivno praveBC,CA,AB, dokazati da tackeP,Q,R,Spripadaju jednoj pravoj.362. Ako obelezimo saDproizvoljnu tacku trouglaABC, saPi Q podnozjaupravnihiztackeDnapravamaABi AC, asaRi Spodnozjaupravnihiztacke A na pravama DB i DC, dokazati da su prave BC, PS, QR konkurentne.363. AkosuP, Q, RpodnozjaupravnihizproizvoljnetackeOnapravamakojesuodre -denestranicamaBC, CA, ABtrouglaABC, aP

, Q

, R

tackeukojimakruglodre -dentackamaP, Q, RsecepraveBC, CA, AB,dokazatida presecne tackeX, Y, ZpravihQR

iQ

R,RP

iR

P,PQ

iP

Q pripadajupravoj koja je odre -dena tackomO i sredistemSkrugal.364. Ako suP, Q, Rtacke u kojima neka pravas kroz izvesnu tackuOsecepraveodre -denestranicamaBC, CA, ABtrouglaABC, aP

, Q

, R

tackeukojimapraveOA, OB, OCsekuopisni krugokotogtrougla, dokazati daseprave PP

, QQ

, RR

seku u jednoj tacki koja se nalazi na opisanom krugu okotog trougla.394.8. Brijansonovateoremainjenaprimena365. (M. Brianchon)Dokazati dasepraveodre -denenaspramnimtemenimatangentnog sestougla seku u jednoj tacki, Brijansonovoj tacki tog sestougla.366. Ako suP, Q, Rtackeu kojima straniceBC, CA, ABdodirujuupisanikrug trouglaABC, dokazati da se praveAP,BQ,CR seku u jednoj tacki.367. Ako suP, Q, R, Stacke u kojima prave odre -dene stranicamaAB, BC,CD, DA tangentnog cetvorouglaABCDdodiruju upisani krugk, dokazati dase praveAC,BD,PR,QSseku u jednoj tacki.368. Ako su P, Q, R tacke u kojima upisani krug k dodiruje stranice BC, CA,AB trougla ABC, zatim A

, B

, C

tacke pravih BC, CA, AB takve da se praveAA

, BB

, CC

seku u jednoj tacki O, a P

, Q

, R

tacke u kojima se seku drugedirke kruga k iz tacaka B

i C

, C

i A

, A

i B

, dokazati da se prave PP

,QQ

,RR

seku u tackiO.4.9. VanObelovateoremainjenaprimena369. (Van Aubel) Ako suA

,B

,C

tacke pravih koje su odre -dene stranicamaBC, CA, ABtrouglaABCtakvedasepraveAA

, BB

, CC

sekuujednojtackiO, dokazati da jeAOOA=AC

C

B+AB

B

C.370. Ako jeTpresek tezisnih linijaAA

,BB

,CC

trouglaABC, dokazati dajeAT: TA

= 2 : 1.371. Ako jeSsrediste upisanog kruga trouglaABC, aEtacka u kojoj pravaASsece stranicuBC, dokazati da jeAS : SE = (b +c) : a.372. Ako jeGZergonova tacka trouglaABC, aPtacka u kojoj upisani krugdodiruje stranicuBC, dokazati da jeAGGP=a(p a)(p b)(p c).373. Ako je Sc srediste spolja upisanog kruga trougla ABCkome je AC> ABiFtacka u kojoj pravaAScsece pravuBC, dokazati da jeASc : ScF= (b c) : a.374. Akoje r poluprecnikopisanogkrugai poluprecnikupisanogkrugatrougla ABC, zatim P, Q, R tacke u kojima upisani krug dodiruje stranice BC,CA,ABiGZergonova tacka trouglaABC, dokazati da jeAGGP BGGQ CQGR=4r

.40375. Ako jeNNagelova tacka trouglaABCi Paukojojspolja upisanikrugdodiruje stranicuBC. Dokazati da jeANNPa=ap a.376. Akoje r poluprecnikopisanogkrugai poluprecnikupisanogkrugatrouglaABC, zatimPa,Qb,Rc tacke u kojima spolja upisani krugovi dodirujustraniceBC,CA,ABiNNagelova tacka tog trougla, dokazati da jeANNPa

BNNQb

CNNRc=4r

.377. Ako su M1 i N1 tacke stranica AB i AC takve da je BM1 : M1A = AN1 :N1C = k1, aM2iN2tacke tih istih stranica takve da jeBM2 : M2A = AN2 :N2C=k2, dokazati da se praveM1N1i M2N2seku u nekoj tacki Spri cemujeM1S : SN1 = k2iM2S : SN2 = k1.4.10. Ptolemejevateorema378. (K.Ptolemej)AkojeABCDkonveksanitetivan cetvorougao, dokazatida je proizvod njegovih dijagonala jednak zbiru proizvoda njegovih naspramnihstranica, tj. da jeACBD = ABCD +BCAD.379. Primenom Ptolemejeve teoreme dokazati Pitagorin stav.380. AkojekkrugopisanokokvadrataABCD, aMproizvoljnatackalukaCD krugak na kome nisu temenaA iB, dokazati da jeMA+MC = MB 2 i MAMC = MD 2.381. Ako jea stranica id dijagonala pravilnog petouglaA1. . . A5, dokazati dajed =a2(1 +5).382. Ako jeA1. . . A7pravilan sedmougao, dokazati da je1A1A2=1A1A3+1A1A4.383.Ako je ABC jednakostranican trougao i Ptacka kruga k opisanog oko togtrougla,dokazati da je duzAPjednaka zbiru ili razlici duzi BPi CP,prematome da li tackaPpripada lukuBCkruguk na kome nijeA ili je na kruznomlukuBAC.384. Ako jeABCD konveksan i tetivan cetvorougao, aEtacka u kojoj pravakrozCuporedna sa dijagonalomBD sece opisani krug, dokazati da jeAEBD = ABBC +CDDA.385. AkojeABCDparalelogrami EtackaukojojkrugopisanokotrouglaABCsece polupravuAD, dokazati da jeADAE = AC2AB2.41386. AkosuA

, B

, C

, D

tackeukojimaproizvoljankrugkrozteme AparalelogramaABCD sece polupraveAB,AC,AD, dokazati da jeACAC

= ABAB

+ADAD

.387. Akosua, b, c, dduzi jednakestranicamaAB, BC, CD, DAaxi yduzi jednake dijagonalama AC i BD konveksnog i tetivnog cetvorougla ABCD,dokazati da jexy=ad +bcab +cd.388. Akosua, b, c, dduzi jednakestranicamaAB, BC, CD, DAaxi yduzi jednake dijagonalama AC i BD konveksnog i tetivnog cetvorougla ABCD,dokazati da jex2=(ac +bd)(ad +bc)ab +cd, i y2=(ac +bd)(ab +cd)ad +bc.389. AkojeABprecniki rpoluprecnikkrugak, aCi DtackenaraznimlucimaABtog trougla, dokazati da jeCD =12r(AC

4r2AD2+AD

4r2AC2).390. Ako jeABprecnik krugak, aCiD tacke na istom lukuABtoga krugatakve da je cetvorougaoABCD konveksan, dokazati da jeCD =12r(AC

4r2AD2+AD

4r2AC2).391. AkoobelezimosaSpresecnutackudijagonalacetvorouglaABCDup-isanog u krugu poluprecnika r, a sa r1, r2, r3, r4 poluprecnike krugova opisanihoko trouglovaSAB,SBC,SCD,SDA, dokazati da jer2=(r1r2 +r3r4)(r1r4 +r2r3)r1r3 +r2r4.392. Akoje A1. . . A6konveksansestougaoupisanukrug ki akonjegoveuzastopnestraniceA1A2, . . . , A6, A1obelezimosaa1, . . . , a6dijagonaleA1A4,A2A5,A3A6sad1,d2,d3, dokazati da jed1d2d3 = a1a3a5 +a2a4a6 +a1a4d3 +a2a5d1 +a3a6d2.393. Akosud1, . . . , d2n+1rastojanjatemenapravilnogpoligonaA1. . . A2n+1sneparnimbrojemstranicaodproizvoljnetackePkojasenalazinamanjemlukuA1A2n+1kruga opisanog oko tog poligona, dokazati da jed1 +d3 +d5 +. . . +d2n+1 = d2 +d4 +d6 +. . . +d2n.4.11. Ojlerovateoremaizgeometrije cetvorouglainjenaprimena42394.(L. Euler) Ako su Pi Q sredista dijagonala AC i BD cetvorougla ABCD,dokazati da jeAB2+BC2+CD2+DA2= AC2+BD2+ 4PQ2.395. Dokazati da je zbir kvadrata stranica paralelogramaABCD jednak zbirukvadrata njegovih dijagonala, tj. da jeAB2+BC2+CD2+DA2= AC2+BD2.396. Ako su kod cetvorouglaABCD tackeKiL sredista naspramnih stranicaABiCD, a tackeMiNsredista naspramnih stranicaBCiDA, dokazati dajeAC2+BD2= 2(KL2+MN2).397. AkosukodcetvorouglaABCDdijagonaleACi BDme -dusobomup-ravne, dokazati dasuzbirovi kvadratanaspramnihstranicatogcetvorouglame -du sobom jednaki, tj. da jeAB2+CD2= BC2+AD2.398. AkosukodcetvorouglaABCDzbirovi kvadratanaspramnihstranicajednaki, dokazati dasupraveodre -denedijagonalamaACi BDme -dusobomupravne.435. HARMONIJSKI SPREGNUTI ELEMENTI. DVORAZMERA5.1. HarmonijsketackeiharmonijskepraveDenicija5.1. AkosuA, B, C, Dcetiri raznekolinearnetacketakvedajeAC:CB=AD:DB,tada kazemo da sutackeCi Dharmonijskispregnutesa tackamaA iBili da su tackeA,B,C,D harmonijski spregnute.Cinjenicu da su A, B, C, D cetiri harmonijske tacke simbolicki obelezavamosa H(A, B; C, D).Denicija 5.2. Za cetiri konkurentne ili paralelne pravea,b,c,d kazemo da suharmonijskispregnuteakopostojipravaskojaihseceredomuharmonijskimtackamaA,B,C,D.Cinjenicu da su a, b, c, d cetiri harmonijske prave simbolicki obelezavamo saH(a, b; c, d).399. AkosuA, B, Ctri raznekolinearnetacke, dokazati dapostoji jednaisamo jedna tackaD takva da je H(A, B; C, D).400. AkosuA, B, C, Dcetiri kolinearnetacketakvedaje H(A, B; C, D),dokazati da je H(C, D; A, B).401. Ako suA,B,C,D cetiri razne tacke neke pravep,O tacka izvan pravepaEiFtacke u kojima prava krozB uporedna saOA seceOCiOD, dokazatida je H(A, B; C, D) ako i samo ako je tackaBsrediste duziEF.402. Ako suA,B,C,D cetiri razne kolinearne tacke i ako je tackaO sredisteduziAB, dokazati da je H(A, B; C, D) ako i samo ako jeOB2= OCOD.403. Dokazati dasucetiri raznekolinearnetacke A, B, C, Dharmonijskispregnute ako i samo ako je1AC+1AD=2AB.404. Ako suA, B, C, Drazne kolinearne tacke, dokazati da je H(A, B; C, D)ako i samo ako jeOCAC+ODAD=2AB.405. Ako suA,B,C,D razne kolinearne tacke, dokazati da je(OA+OB)(OC +OD) = 2(OA OB +OCOD).406. Ako suA, B, C, Dkolinearne tacke takve da je H(A, B; C, D), dokazatida je1AC+1BC+1AD +1BD= 0.407. Ako suA,B,C,D kolinearne tacke takve da je H(A, B; C, D) i ako jeOsredisne duziAB, dokazati da je1ACBC+1ADBD=1AOBO.44408. AkosuA, B, C, Dkolinearnetacketakvedaje H(A, B; C, D)iakojetackaO srediste duziAB, dokazati da jeADBD = CDOD.409. AkosuA, B, C, Dkolinearnetacketakvedaje H(A, B; C, D)iakojetackaO srediste duziAB, dokazati da jeOC2+OD2= CD2+ 2OB2.410. Ako suA,B,C,D kolinearne tacke takve da je H(A, B; C, D) a tackeOiO

sredista duziABiCD, dokazati da jeOB2+OD2= OO2.411. Ako suA,B,C,A

,B

,C

tacke jedne prave takve da je H(A, A

; B, C),H(A, A

; C, A), H(C, C

; A, B), dokazati da je1AA

+1BB

+1CC

= 0.412. Ako su A, B, C, D cetiri kolinearne tacke takve da je H(A, B; C, D) i akoje pri tomeAC : CB = m : n, dakle iAD : DB = m : n, dokazati da jeDBBC=m+nmniDAAC=m+nmn.413. AkosuA, B, C, Dcetiri kolinearnetacketakvedaje H(A, B; C, D)iAC : CB = m : n, i ako je tackaNsrediste duziCD, dokazati da jeAN: NB = m2: n2.414. AkosuA, B, C, Dcetiri kolinearnetacketakvedaje H(A, B; C, D)iAC : CB = m : n, a tackeMiNsredista duziABiCD, dokazati da jeMNAB=12 m2+n2m2n2.415. Ako su A, B, C, D cetiri kolinearne tacke takve da je H(A, B; C, D), a MiNsredista duziABiCD, dokazati da jeAB2+CD2= 4MN2.416. Ako suA,B,C,D cetiri kolinearne tacke takve da je H(A, B; C, D) i pritomeAC : CB = m : n, dokazati da jeABCD=m2n22mn.417.Ako obelezimo sa E i Ftacke u kojima simetrale unutrasnjeg i spoljasnjegugla A trougla ABC seku pravu BC, i sa S, Sa, Sb, Sc sredista upisanih krugovatog trougla, dokazati da je45(a)H(B, C; E, F);(b)H(A, E; S, Sa);(v)H(A, P; Sb, Sc).418. AkojeA1sredistestraniceBC, DpodnozjevisineiztemenaA, aEiFtacke u kojima simetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg uglaA trouglaABCsekupravuBC, dokazati da je(a)4A1DA1E = (b c)2;(b)4A1DA1F= (b +c)2;(v)A1DEF= bc.419. Ako suP, Q, R tacke u kojima upisani krug dodiruje straniceBC, CA,ABtrouglaABC, aStacka u kojoj pravaQR sece pravuBC, dokazati da jeH(B, C; P, S).420. AkosuPa, Qa, Ratackeukojimaspoljaupisani krugkoji odgovaratemenuAtrouglaABCdodirujepraveBC, CA, ABi StackaukojojpravaQaRasece pravuBC, dokazati da je H(B, C; Pa, S).421. AkosuPa, Qb, RctackeukojimaspoljaupisanikrugovitrouglaABCdodiruju straniceBC,CA,AB i ako jeStacka u kojoj pravaQbRc sece pravuBC, dokazati da je H(B, C; Pa, S).422. Ako suQa iRa tacke u kojima spolja upisani krug koji odgovara straniciBCtrouglaABCdodirujepraveACi AB, aQbi RctackeukojimaspoljaupisanikrugovitogtrougladodirujustraniceACi AB, dokazatidasupraveBC,QaRa,QbRckonkurentne.423. AkosuP, Q, RtackeukojimakonkurentnepraveAO, BO, COsekuprave odre -dene stranicama BC, CA, AB trougla ABC i S tacka u kojoj se sekupraveBCiQR, dokazati da je H(B, C; P, S).424. NekasuPi P

, Qi Q

, Ri R

tackepravihkojesuodre -denestrani-camaBC, CA, ABtrouglaABC,takvedaje H(B, C; P, P

), H(C, A; Q, Q

),H(A, B; R, R

). Ako su pri tome praveAP,BQ,CR konkurentne, dokazati dasutackeP

, Q

, R

kolinearne; iobrnuto, akosutackeP

, Q

, R

kolinearne,dokazati da su praveAP,BQ,CR konkurentne.425. Ako je ABCD proizvoljan cetvorougao, Ptacka u kojoj se seku prave ABi CD, Q tacka u kojoj se seku praveBCi AD,aRi Stacke u kojima praveACiBD seku pravuPQ, dokazati da je H(P, Q; R, S).46426.Ako neka prava p

sece cetiri harmonijske prave a, b, c, d u raznim tackamaA

,B

,C

,D

, dokazati da je H(A

, B

; C

, D

).427. Ako su pravec id simetrale uglova koje odre -duju pravea ib, dokazati daje H(a, b; c, d).428. Ako obelezimo saD podnozje visine iz temenaA trouglaABC, saEiFtacke u kojima simetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg uglaA seku pravuBCi Osrediste kruga opisanog oko tog trougla, dokazati da je H(AO, AD; AE, AF).429. Ako suA

, B

, C

tacke ukojima simetrale unutrasnjih uglovaA, B, Cseku naspramne stranice trouglaABC, aB

,C

tacke u kojima se seku praveA

C

iBB

,A

B

iCC

, dokazati da je pravaAA

simetrala uglaB

AC

.430. Ako jeHtacka u kojoj se seku prave odre -dene visinamaAA

,BB

,CC

trouglaABC, DsredistestraniceBCi EtackaukojojsesekupraveBB

iCC

, dokazati da jeAD HE.431. Ako je D srediste stranice BC, E podnozje visine iz temena A i Ftacka ukojoj krug opisan oko trougla ABC sece krug u kome je dijametar AD, dokazatida je H(AB, AC; AE, AF).432. Ako suMiNtacke u kojima prava kroz presekOdijagonalaACiBDuporedna sa osnovicomABsece krakeADi BCtrapezaABCD,dokazati daje1MN=12

1AB+1CD

.433. AkojeABCDpravougaonikiakosuP, QtackepraveACtakvedajeH(A, C; P, Q),aR, Stacke praveBDtakve da je H(B, D; R, S),dokazati datackeP,Q,R,Spripadaju jednom krugu.434. AkoobelezimosaPi QsredistalukovaABistogkrugak, saRtackuprave koja dodiruje krugk u tackiQ, saD bilo koju od tacaka u kojima kruglopisan oko trouglaPQR sece pravuABi saCtacku u kojoj prava kroz tackuQ paralelna sa pravomRD sece pravuAB, dokazati da je H(A, B; C, D).435. Ako suA, B, C, D cetiri kolinearne tacke, k1i k2krugovi od kojih prvisadrzi tacke A i B, a drugi tacke C i D, zatim Pi R presecne tacke tih krugova,S presecna tacka pravih PR i AB,Tdodirna tacka jedne od dirki kroz S na k1ilik2, aXiYtacke u kojima krugl(S, ST) sece pravuAB, dokazati da jeH(A, B; X, Y ) i H(C, D; X, Y ).5.2. Dvorazmera cetiritackeidvorazmera cetiripraveDenicija5.3. Dvorazmeromcetiri kolinearne tacke A, B, C, DnazivamokolicnikdvejurazmeraAC: DBi AD: DB. Akotudvorazmerusimbolickiobelezimo sa (A, B; C, D), bice(A, B; C, D) =ACCB:ADDB.Denicija5.3. Dvorazmeromcetiri konkurentneili paralelneprave nazivamodvorazmeru tacaka A, B, C, D u kojima neka prava s sece prave a, b, c, d. Ako47dvorazmeru cetiri pravea,b,c,d obelezimo sa (a, b; c, d), bice(a, b; c, d) = (A, B; C, D).436. Ako suA,B,Ctri tacke orijentisane pravep ik realan broj, dokazati daje tackaMna pravojp za koju je (A, B; C, M) = k jednoznacno odre -dena.437.Ako su A, B, C tri tacke neke prave p, A

i B

tacke neke druge prave krozCtakve da jeA

C: B

C= k,Spresecna tacka pravihAA

iBB

iDtacka ukojoj prava krozSuporedna saA

B

secep, dokazati da je (A, B; C, D) = k.438. Ako suA, B, C, D cetiri tacke jedne prave, dokazati da je(A, B; C, D) = (1AB 1AD) : (1AB 1AD).439. Ako suO, A, B, C, D tacke orijentisane pravep, dokazati da je(A, B; C, D) =OAOCOB OC:OAODOB OD.440. AkosuA, A

, B, B

, C, C

, D, D

i OtackenekepravetakvedajeOA OA

= OBOB

= OCOC

= ODOD

= k, dokazati da je(A, B; C, D) = (A

, B

; C

, D

).441.Ako su A, B, C, D, A

, B

, C

, D

, O kolinearne tacke takve da je OAOA

=OBOB

= OCOC

dokazati da je(A, B; C, C

) = (A

, B

; C

, C).442. Ako suA, B, C, D, A

, B

, C

, D

, M, Nkolinearne tacke takve da je(A, A

; M, N) = (B, B

; M, N) = (C, C

; M, N) = (D, D

; M

, N

),dokazati da je(A, B; C, D) = (A

, B

; C

, D

).443. Ako suA, B, C, D, C

, D

kolinearne tacke takve da je(A, B; C, D) = (A, B; C

, D

),dokazati da je(A, B; C, C

) = (A, B; D, D

).444. Ako suA, B, X, Y, Ztacke jedne prave, dokazati da je(A, B; X, Y )(A, B; Y, Z)(A, B; Z, Y ) = 1.445. Ako suA,B,C,D cetiri razne kolinearne tacke, dokazati da je(D, A; B, C)(D, B; C, A)(D, C; A, B) = 1.48446. Ako suA,B,C,D,E,Frazne kolinearne tacke takve da je(A, B; C, F) = (C, D; B, F) = (E, B; D, F) = 1,dokazati da je(A, E; B, F) = 1.447.Ako su A, B, C, Dcetiri razne kolinearne tacke dokazati da je H(A, B; C, D)ako i samo ako je(A, B; C, D) = (A, B; D, C).448. Ako suA,B,C,D,Eproizvoljne tacke jedne prave, dokazati da je(A, B; C, D)(A, B; D, E) = (A, B; C, E).449. Ako suA,B,C,D cetiri tacke orijentisane prave, dokazati da je(a)(A, B; C, D)(A, B; D, C) = 1;(b)(A, B; C, D) +(A, C; B, D) = 1.450. Ako suA,B,C,D cetiri tacke orijentisane prave, dokazati da je(A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A).451. AkosuA, B, C, Dcetiri tacke naorijentisanoj pravoj takve daje(A, B; C, D) = k, dokazati da je(a)(A, B; D, C) =1k(b)(A, C; B, D) = 1 k(c)(A, C; D, B) =11 k(d)(A, D; C, B) =kk 1(e)(A, D; B, C) =k 1k452. Ako suA,B,C,D,E tacke jedne prave takve da je (A, B; C, D) = m i(A, B; C, E) = n dokazati da je(a)(A, B; E, D) =mn(b)(A, C; E, D) =m1n 149(c)(B, C; E, D) =n(m1)m(n 1)(d)(C, D; B, E) =mnm(1 n)453. Akodvepravepi p

sekucetiri konkurentneprave a, b, c, d, prvautackamaA,B,C,D a druga u tackamaA

,B

,C

,D

, dokazati da je(A, B; C, D) = (A

, B

; C

, D

).454. Neka suA,B,C,D tacke neke pravep iA

,B

,C

,D

tacke neke drugepravep

takve da je (A, B; C, D) = (A

, B

; C

, D

). Ako se pri tome praveAA

,BB

,CC

seku u nekoj tackiS, dokazati da i pravaDD

sadrzi tackuS.455. Ako suA, B, Ctri tacke jedne praves iA

, B

, C

tri tacke neke drugepraves

, dokazati da tackeP, Q, R u kojima se seku praveBC

i B

C, CA

iC

A,AB

iB

A pripadaju jednoj pravoj.456.Ako su E i Fproizvoljne tacke naspramnih stranica AB i CD cetvorouglaABCD, dokazati datackeP, Q, RukojimasesekudijagonalecetvorouglaABCD,AEFD,EBCFpripadaju jednoj pravoj.457. Akopraveodre -denedvematetivamaABi CDnekogkrugaksadrzesredisteStetiveMNtogistogkruga, dokazati dasutackeXi Y ukojimapravaMNsece praveAD iBCsimetricne me -du sobom u odnosu na tackuS.458. Ako suO iO

bilo koje dve tacke ravni trouglaABC, aP,Q,R tacke ukojima praveO

A,O

B,O

Cseku praveBC,CA,AB, dokazati da je(B, C; P, P

)(C, A; Q, Q

)(A, B; R, R

) = 1.459. NekasuP, P

; Q, Q

; R, R

tackepravihkojesuodre -denestranicamaBC,CA,ABtrouglaABCtakve da je(B, C; P, P

)(C, A; Q, Q

)(A, B; R, R

) = 1.460.Ako dve prave s i s

seku prave odre -dene stranicama BC, CA, AB trouglaABCu tackamaP,Q,R iP

,Q

,R

, dokazati da je(B, C; P, P

)(C, A; Q, Q

)(A, B; R, R

) = 1.461. NekasuP, P

; Q, Q

; R, R

tackepravihkojesuodre -denestranicamaBC,CA,AB, trouglaABCtakve da je(B, C; P, P

)(C, A; Q, Q

)(A, B; R, R

) = 1.Ako pri tome tackeP, Q, Rpripadaju nekoj pravojs,dokazati da i tackeP

,Q

,R

tako -de pripadaju nekoj pravojs

.462. Ako jeS proizvoljna tacka u ravni trouglaABCi ako suP,Q,R tacke ukojima praveSA, SB, SCseku r