zbirka zadataka

  • View
    272

  • Download
    25

Embed Size (px)

DESCRIPTION

zadaci za prijemni iz matematike

Text of zbirka zadataka

  • PRIPREMNI ZADACI ZA

    PRIJEMNI ISPIT GRAEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU

    Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni buduim studentima za lake pripremanje prijemnog ispita na Graevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje kole), Stjepan Mintakovi, Zavod za izdavanje udbenika Sarajevo; 2. Metodika zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje kole),Dr Marcel najder, Dr Stjepan Tomi, Zavod za izdavanje udbenika Sarajevo, te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehniki fakultet, Fiziki fakultet i Fakultet za fiziku hemiju na Univerzitetu u Beogradu, te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveuilitu u Zagrebu.

  • 2 SADRAJRAZLOMCI...3ALGEBARSKIIZRAZI...9KVADRATNEJEDNAINE...14JEDNAINESAAPSOLUTNIMVRIJEDNOSTIMA...16GRAFICIKVADRATNEFUNKCIJESAAPSOLUTNIMVRIJEDNOSTIMA...18LOGARITAMSKEJEDNAINEINEJEDNAINE...19PRIMJENASLINOSTI...21POVRINARAVNIHFIGURA...22TRIGONOMETRIJA...24

    ISvoenjenaprvikvadrant...24IITrigonometrijskefunkcijesloenihuglova...25IIITrigonometrijskejednaine...27

    ANALITIKAGEOMETRIJAURAVNI...30PRIMJERIPRIJEMNOGISPITANARAZNIMFAKULTETIMA...40ElektrotehnikifakultetUiverzitetauBeogradu...40FakultetzasaobraajikomunikacijeuSarajevu...42ElektrotehnikifakultetUiverzitetauSarajevu...43GraevinskifakultetuSarajevo....46MalostatistikesaprijemnogispitanaGFuSarajevu02.07.2007...48TESTIRAJTESEZAPRIJEMNIISPITIZMATEMATIKE...52PROGRAMIZAPRIJEMNIISPITIZMATEMATIKE....58

  • 3 Razlomci:

    Izraunativrijednostinumerikihizraza:

    1.

    2.3.4.5.6.7.8.

    PRIMJEDBA:Ovdjejemjeovitibroj 2 15 2 17 23 35 5 5 5 5= + = v

  • 4 9.

    10.

    11.

    12.

    13.

    14.

    15.

    16.

    17.

    18.

    19.

    20.

  • 5

    21.

    22.

    23.

    24.

    25.

    26.

    27.

    28.

    29.

    30.

    31.

  • 6

    32.

    34.

    36.

  • 7 Rjeenja

    1.5.9.

    12.

    13.

    14.

    17.

    20.

    23.

    26.

    29.

    31.

    32.

  • 8

    33.

    34.

  • 9

    Algebarskiizrazi

    1.2.3.4.5.6.7.8.

  • 10 9.

    10.

    11.

    12.

    13.

    14.

    15.

    16.

    17.

    18.

  • 11

    19.

    20.

    Rijeenja

    1.2.3.

    4.5.

  • 12 6.7.9.

    11.

    12.

  • 13 13.

    14.

    15.

    16.

    17.

    18.

  • 14 Kvadratnejednaine

    1.

    2.3.4.5.6.

    7.

  • 15 Rjeenjakvadratnihjednaina

    1.2.3.

    4.5.6.7.

  • 16

    Jednainesaapsolutnimvrijednostima

    1.2.

    3.4.

    Rjeenjajednaina1.2.3.

    4.

  • 17

  • 18

    Graficikvadratnefunkcijesaapsolutnimvrijednostima

    1.

    3.

    Rjeenja1.2.3.

  • 19 Logaritamskejednaineinejednaine

    1.2.3.4.6.

  • 20 Rjeenjalogaritamskejednaineinejednaine

    1.

    2.3.4.

    5.

    6.

  • 21 Primjenaslinosti

    1.

    2.3.4.5.6.

    Rjeenja

    1.

    3.4.

    6.

  • 22 Povrinaravnihfigura

    1.2.

    3.4.5.6.7.8.9.

    10.

    11.

    12.

    13.

    14.

  • 23 Rijeenja

    1.4.5.7.8.9.

    10.

    11.

    12.

    14.

  • 24 Trigonometrija

    Rjeenja

  • 25

  • 26 Rjeenja

  • 27

    IIITrigonometrijskejednaine

  • 28 Rjeenja

  • 29

  • 30

    ANALITIKAGAEOMETRIJAURAVNI

    Taka

    RastojanjedtaakaM1(x1,y1)iM2(x2.y2):2 2

    2 1 2 1d = (x - x ) + (y - y )

    KoordinatesredineSduiM1M2: ( ) ( )s 1 2 s 1 21 1x x x , y y y2 2

    = + = + .

    PovrinatrouglaPovrinaPtrouglasavrhovimaM1(x1,y1)iM2(x2.y2)iM3(x3,y3):

    [ ]1 2 3 2 3 1 3 1 21P = x (y y ) x (y y ) x (y y )2

    + +

    TakeM1(x1,y1)iM2(x2.y2)iM3(x3,y3)sukolinearne(tj.leenaistojpravoj)akkojeP=0.JednainapraveOptioblik:Ax+By+C=0,AiliBjerazliitoodnule(tj. 2 2A B+ z0).C=0implicirapravaprolazikrozkoordinatnipoetak.

    Segmentnioblik:yx 1,

    a b+ =

    takaP(a,0)presjeksaosomOx,takaQ(0,b)presjeksaosomOy;x = a prava paralelna osi Oy, y= b prava paralelna osi Ox; jedna ina ose Ox y= 0, jedna ina ose Oy: x= 0. Eksplicitnioblik

    y=kx+n

    (0,n)presjeksaosomOy,n , 0 , k 0,k

    v presjeksaosomOx,DugaosapozitivnimsmeromoseOx,k=

    tgakoeficijentpravca. PramenapravihsacentrumM0(x0,y0):yy0=k(xx0). PravekrozdvijetakeM1(x1,y1)iM2(x2.y2):

    ( ) ( )( ) ( )( )2 11 1 1 2 1 2 1 12 1

    y yy y x x ili y y x x y y x x

    x x = =

    Normalnioblik(p!0jerastojanjepraveodkoordinatnogpoetka,aEugaokojinormalanatupravuzatvarasa(pozitivnom)smjeromoseOx)

    x cos ysin p 0C+ C = .Vezaizmeuraznihoblikajednaineprave

    2 2

    C C A Ca , b , k tg , , p ,A B B 2 A B

    Q= = = B = B+C= = +

    Predznakpredkorjenombirasetakodajep!0.Uslovparalelnostipravih

    Pravey=k1x+n1,y=k2x+n2suparalelneakoisamoakojek1=k2. PraveA1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,suparaleleneakko: 1 1 2 2A : B A : B= .Uslovnormalnostipravih Pravey=k1x+n1,k1z0iy=k2x+n2,k2z0,sunormalneakkojek1k2=1. PraveA1x+B1y+C1=0iA2x+B2y+C2=0sunormalneakkojeA1A2+B1B2=0.

    PravakrozMo(xo,yo)normalnanapravuy=kx+n,kz0je ( )0 01y y x x .k

    =

  • 31 Ugaoizmedupravih

    y=k1x+m1,y=k2x+n2: 2 1 1 21 2

    k ktg , 1 k k

    1 k kK= +

    +,tj.1 1 2k k+ =0M=r90

    0.

    Rastojanjetakeodprave

    rastojanjedtakeM0(x0,y0)odpraveAx+By+C=0, 2 2A B+ z0,je 0 0

    2 2

    Ax By Cd

    A +B

    + +=

    dC>0akosutakeOiM0saistestraneprave, dC0.Tadaje:2 2

    22

    B C B C - 4ADp , q , r .2A 2A 4A

    += = =

    Tangenta krunice AkotakaMo(xo,yo)pripadakrunici(xp)

    2+(yq)2=r2 ondaje(xop)(xp)+(yoq)(yq)=r

    2

    jednainatangentekruniceutojtaki. Pravay=kx+njetangentakrunice(xp)2+(yq)2=r2akkoje(1+k2)r2=(qkpn)2.

    Elipsa

    jegeometrijskomjestotaakauravnisaosobinomda jezbirrastojanjaoddvijeutvrenetake(fokusaF1 iF2)stalan.Zbirrastojanjamakojetakeelipsedofokusaobiljeavasesa2a.

  • 32

    Kanonskajednaina:22

    2 2

    yx 1a b

    + =

    Ekscentritet:2

    2

    c be 1 1a a

    = = < ;Fokusi(ie):(c ,0) , (c,0)

    Jednainedirektrisa:a ax , xe e

    = = ;fokalniparametar:2bp

    a=

    Fokalniradijusi:r1=a+ex,r2=aex;

    TangentautakiM(x0,yo):0 02 2

    x x y y1

    a b+ =

    Uslovidapravay=kx+nbudetangentahipcrbole:a2k2+b2=n2

    Hiperbola

    jegeometrijskomjestotaakauravnizakojevrijedidajerazlikarastojanjaoddvijeutvrenetake(fokusaF1iF2)stalna.Stalnarazlikaudaljenostiodfokusaobelezavasesa2a.

    Kanonskajednaina:22

    2 2

    yx 1a b

    =

    Ekscentricitet:2

    2

    c be 1 1a a

    = = + > ;Fokusi(ie):(c ,0) , (c,0)

    Jednainedirektrisa:a ax , xe e

    = = ;fokalniparametar:2bp

    a=

    Fokalniradijusi:r1=a+ex,r2=a+ex;

    TangentautakiM(x0,yo):0 02 2

    x x y y1

    a b =

    Uslovidapravay=kx+nbudetangentahipcrbole:a2k2b2=n2

    Parabola

    jegeometrijskomjesto taakauravnisaosobinomda jerastojanjeod jedne fiksne take (fokusaF) jednakorastojanjuodjednefiksneprave(direktrised).Kanonskajednaina:y2=2pxEkscentricitet:e=

    Fokus:p , 02

    Jednainadirektrise: px2

    = ,Fokalniparametar:p

  • 33

    Fokalniradijus: p r = x + 2

    TangentautakiM(xo,yo): ( )0 0y y p x x= + Uslovidapravay=kx+nbudetangentaparabole:2kn=p

  • 34

    34

    ZADACI

    Takaitrougao

    1.OdredititakuM(x,y)kojajejednakoudaljenaodtacaka:M1(l,0),M2(2,2)iM3(0,2). Rjesenje.IzuslovazadatkajeMM1=MM2iMM1=MM3,dobijeseslijedeisistemjednaina:

    odnosno2x+4y=7,2x4y=3,ijejerjeenjex=1iy=5/4,pajetraenatakaM(1,5/4).2. PokazatidajetrougaoABCjednakokrakopravougliakosunjegovatemena:A(2,l),5(5,3)iC(0,4).3. DatasutriuzastopnatjemenaA(l,0),B(3,1)iC(5,4)paralelogramaABCD.Na'ikoordinatetemenaD.Rezultat.D(3,3).4.. DatasudvasusjednatjemenaA(4,4),B(2,8)ipresjekdijagonalaS(2,2)paralelogramaABCD.OdredititjemenaCiD.Rezultat.C(8,0),D(2,4).5. DvatjemenatrouglaABCsuA(3,1)iB(2,2),atreetjemeCpripadapozitivnomdijeluyose.NaikoordinatetakeCtakodapovrinatogtrouglabude10.Uputstvo.Izuslovazadatkadobijaseslijedeajednaina:

    5y 8 20 (y 0). = > Rezultat. ( )C 0, 28 5 . '6. TritjemenacetvorouglaABCDsu:A(4,0),B(3,5)iC(7,5),aetvrtotjemeDpripadanegativnomdijeluxose.OdreditikoordinatetackeDtakodapovrinacetvorouglaABCDbude50.Rezultat.D(6,0).

    Prava

    7.DatajetakaA(l,2)ipravajednacinom2x+y3=0.a) NacijednacinupravekojaprolazikroztackuAinormalnajenadatojpravoj.b) NacijednainupravekojaprolazikroztackuAiparalelnajesadatompravom.

    Rjesenje.a)Koeficijentpravcadatepravejek=2,akoeficijenttrazenepraveje 11 1k ,k 2

    = = pajejednaina

    traeneprave ( )1y 2 x 12

    = ,odnosnox2y+3=0.Rezultat.b)2x+ y 4 =0.

    8.TackeA1(l,0),B1(2,1)iC1(0,3)susredinestranicatrouglaABC.Nacikoordinatetjemenatogtrougla.Uputstvo.

    PravaBCjeparalelnasapravomB1C1ilahkojeviditidajeBC:yx 1 ;

    2 2+ =

    pravaABjeparalelnasapravomA1B1paje

    AB:y 3x ;

    3 1=

    pravaACjeparalelnasapravomA1C1paje:AC:

    y 1x 2 .1 3

    = Rezultat. A(3,4),B(3,2),C(l2).

    9. Ujednainipravemx2y+5=0odreditiparametarmtakoda:a) pravabudeparalelnapravojx+y1=0,b) pravabudenormalnanapravuxy+1=0;c) pravazaklapasapozitivnimsmijeromxoseugaood60.Rezultat.a)m=2;b)m=2;c) m 2 3.= 10.Tjemenatrouglasutake:M1(3,0),M2(5,2)iM3(4,5).NaijednainuvisinetrouglaMiM2M3kojaodgovaratemenuM1.Rezultat.x3y3=0.11. NaijednainupravekojaprolazikroztakuA(2,3)isakoordinatnimosamagraditrougaopovrsine12.Uputstvo.

    Jednainatraen